Алгебраические дроби в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Определение и основное свойство дроби:

Определение:

Частное (отношение) двух алгебраических выражений, записанное при помощи черты деления, называется алгебраической дробью. Например, выражения

суть алгебраические дроби. При этом делимое называется числителем, а делитель — знаменателем. Например, алгебраическая дробь

имеет числителем число Алгебраические дроби а знаменателем число

Основное свойство алгебраической дроби. Величина алгебраической дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить (или разделить) на одно и то же число, не равное нулю. Это свойство следует из того, что частное не меняется при умножении (или делении) делимого и делителя на одно и то же число, не равное нулю.

Основное свойство дроби записывается в виде формул:

где

Несократимые и сократимые дроби

Если наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби равен единице, то дробь называется несократимой. Например: .

суть несократимые дроби.

Если же наибольший общий делитель числителя и знаменателя отличен от единицы, то дробь называется сократимой. Например:

суть сократимые дроби.

Если числитель или знаменатель дроби отдельно или одновременно являются многочленами, то для решения вопроса о сократимости или несократимости этой дроби необходимо эти многочлены предварительно разложить на целые неприводимые множители, если это возможно. Например, дробь Алгебраические дроби сократима, так как после разложения числителя и знаменателя на множители она принимает вид

Если числитель и знаменатель дроби разделить на их наибольший общий делитель, то получится . несократимая дробь, тождественно равная данной дроби.

Примеры сокращения дробей:

Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель этой дроби на какой-нибудь их общий множитель.

Полученная после этого новая дробь будет тождественно равна первоначальной дроби. Например,

(Здесь дробь сокращена только на общий множитель b.)

(Здесь дробь сокращена только на За.)

Примечание:

Выражение Алгебраические дроби по форме дробное, но по существу целое, так как оно тождественно равно выражению 5аb. Однако между выражениями и 5ab имеется еще и другое различие, а именно выражение Алгебраические дроби при а = 0 смысла не имеет, тогда как выражение 5ab при а = 0 имеет смысл, так как принимает определенное значение нуль.

Перемена знаков у членов дроби

Если числитель и знаменатель дроби заменить величинами, им противоположными, то значение дроби не изменится, так как эта операция равносильна умножению числителя и знаменателя на одно и то же число —1. Например,

Если числитель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Например:

Если знаменатель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Например:

Примечание. Так как а — b и b — а являются величинами противоположными, то Алгебраические дроби всегда представляет собой минус единицу, если только

Если же а = b , то выражение обращается в Алгебраические дроби и потому смысла не имеет.

Наименьшее общее кратное

Из арифметики известно, что наименьшим общим кратным произведений

является произведение

По аналогии с этим наименьшим общим кратным произведений

будет выражение

Наименьшим общим кратным произведений

будет

Наименьшим общим кратным произведений

будет

Чтобы составить наименьшее общее кратное нескольких многочленов, следует сначала эти многочлены разложить на неприводимые множители.

Примеры:

1. Найти наименьшее общее кратное многочленов

Очевидно, что

Искомым наименьшим кратным будет

2. Найти наименьшее общее кратное многочленов

Очевидно, что

Искомым наименьшим кратным будет

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с. одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, оставив знаменатель без изменения.

Примеры:

Сложение дробей с одночленными знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с различными одночленными знаменателями, надо:

Составить наименьшее кратное знаменателей всех дробей и принять его за общий знаменатель.
Найти дополнительный множитель для каждой дроби.
Сумму произведений дополнительных множителей на соответствующие числители разделить на общий знаменатель.

Примеры:

Рассмотрим еще такой пример:

Здесь общий знаменатель

Дополнительный множитель для Алгебраические дроби

Поэтому получим:

Сложение дробей, среди знаменателей которых встречаются многочлены

Чтобы сложить дроби, среди знаменателей которых встречаются многочлены, сначала эти многочлены следует разложить на неприводимые множители. Далее надо поступать, как и при сложении дробей с одночленными знаменателями.

Примеры:

Найти сумму трех дробей:

где а и b и с различные числа, отличные от нуля. Искомую сумму найдем двумя способами.

1-й способ. Общим знаменателем всех трех дробей будет произведение

Множитель (b—а) не следует включать в общий знаменатель, так как его абсолютная величина такая же, как и абсолютная величина множителя (а — b). По такой же причине не включается и множитель (с — b).

Дополнительными множителями будут:

для первой дроби Алгебраические дроби
для второй так как

для третьей Алгебраические дроби так как

Поэтому

Преобразуем числитель последней дроби:

Таким образом, сумма данных трех дробей будет равна

или Алгебраические дроби так как

2-й способ. Найдем сперва сумму первых двух дробей:

Преобразуем числитель этой дроби:

Теперь искомая сумма трех заданных дробей будет:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы вычесть из одной дроби другую с тем же знаменателем, надо вычесть числитель второй дроби из числителя первой и подписать общий знаменатель.

Например:

Вычитание дробей в более сложных случаях выполняется аналогично тому, как и сложение.

Пример:

Преобразуем числитель полученной дроби:

Таким образом, алгебраическая сумма данных четырех дробей будет равна дроби

которая после сокращения примет вид

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, надо произведение их числителей разделить на произведение знаменателей.

Например:

Если среди числителей и знаменателей дробей имеются многочлены, то эти многочлены целесообразно разложить на множители и лишь после этого совершать операцию умножения дробей.

Например:

Само собой разумеется, что при умножении дроби Алгебраические дроби на дробь разлагать многочлены не требуется, так как они сокращаются непосредственно.

Взаимно обратные выражения

Определение. Два алгебраических выражения называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Например, выражения а и Алгебраические дроби взаимнообратны. Также взаимно обратны выражения 2ах и

Если данное выражение Алгебраические дроби то ему обратным будет (а + b).

Если данное выражение — a, то ему обратным будет Алгебраические дроби

Если данное выражение Алгебраические дроби то обратным будет

Если данноe число 1, то ему обратным будет тоже 1.

Нуль обратного себе числа не имеет.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую или одно выражение на другое, достаточно первую дробь или первое выражение умножить на величину, обратную второй дроби или второму выражению.

Таким образом, деление дробей или алгебраических выражений сводится к умножению.

Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей

Пример:

Чтобы упростить лучшим способом дробь

умножим ее числитель и знаменатель на ху. В результате получим Алгебраические дроби Выражение ху есть наименьшее кратное знаменателей всех дробей, находящихся в числителе и знаменателе.

Чтобы упростить дробь

умножим ее числитель и знаменатель на выражение

В результате получим:

т. е. Алгебраические дроби или — а. Очевидно, что

Общее преобразование рациональных выражений

Сколь бы сложным ни было даyное выражение, если оно рационально, т. е. содержит лишь действия сложения, вычитания, умножения и деления, то его всегда можно преобразовать так, что в результате получится либо целое выражение, либо несократимая дробь, числитель и знаменатель которой суть целые выражения. Например, выражение

тождественно равно выражению Алгебраические дроби

Выражение

тождественно равно выражению Алгебраические дроби

Выражение

тождественно равно выражению

Во втором примере в результате преобразования получилось целое выражение Алгебраические дроби , а в двух остальных — несократимые дроби

В качестве примера на применение общих преобразований рациональных выражений покажем, что из равенства

если а, b, c не равны между собой и отличны от нуля, вытекает равенство

Решение:

Из данного равенства следует:

или после раскрытия скобок и переноса всех членов в левую часть:

или последовательно

что и требовалось доказать.

Выделение целой части неправильной рациональной дроби

Выражение

называется рациональной дробью.

Если Алгебраические дроби , то эта дробь называется неправильной; в противном случае, т. е. когда , она называется правильной.

Например, рациональные дроби

являются неправильными.

Рациональные дроби

являются правильными.

Выделение целой части

Пусть требуется выделить целую часть неправильной рациональной дроби, например дроби Алгебраические дроби

Разделим многочлен Алгебраические дроби на многочлен

Получили частное Алгебраические дроби и остаток

Делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток. Поэтому

Разделив левую и правую части этого тождества на Алгебраические дроби получим

Выражение Алгебраические дроби называется целой частью дроби выражение же есть правильная дробь.

Таким образом, неправильная рациональная дробь

оказалась представленной в виде суммы многочлена Алгебраические дроби и правильной дроби .

Изложенное преобразование применимо ко всякой неправильной рациональной дроби.

В курсе высшей математики встречаются задачи, для решения которых необходима операция выделения целой части неправильной рациональной дроби.

Примеры:

1. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби

т. е. представить эту дробь в виде алгебраической суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби.

Отв. Алгебраические дроби

2. Выделить целую часть дроби

3. Выделить целую часть дроби

Отв. Алгебраические дроби

О символах и

1. О символе

Символ Алгебраические дроби по своей форме напоминает степень. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова, т. е. как произведение, составленное из одинаковых множителей, невозможно. Бессмысленно сказать, что число а умножается само на себя нуль раз. С этой точки зрения выражение Алгебраические дроби ие имеет смысла. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда их показатели одинаковые, то нам достаточно принять по условию символ Алгебраические дроби , где , равным единице.

Итак, примем по определению, что Алгебраические дроби , если только .
Тогда

Выражение же Алгебраические дроби остается лишенным смысла. Теперь мы можем писать

где Алгебраические дроби . И эта запись будет вполне оправдана. В самом деле, левая часть есть единица, так как делимое и делитель равны между собой и отличны от нуля. Правая часть согласно принятому определению также есть единица.

2. О символе

Символ Алгебраические дроби также имеет форму степени. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова невозможно. Бессмысленно говорить, что число а умножается само на себя отрицательное число раз. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда показатель степени делимого меньше показателя степени делителя, достаточно принять Алгебраические дроби , где , равным

Итак, примем по определению, что Алгебраические дроби , где .

Тогда

Теперь мы можем писать

где Алгебраические дроби .

И эта запись будет вполне оправданной. В самом деле, левая часть есть Алгебраические дроби , т. е. правая же, по принятому нами определению, также есть .

3. Действия над символами и

Хотя символы Алгебраические дроби и не являются степенями в первоначальном смысле этого слова, однако оказывается, что над ними можно производить действия по тем же самым правилам, которые были установлены для степеней с натуральными показателями. В самом деле, докажем, например, что равенство

является верным.

что и требовалось доказать.

Также легко убедиться в справедливости и такого равенства

Действительно,

Все это позволяет нам символы Алгебраические дроби и называть степенями.

Символ называется степенью с нулевым показателем, символ — степенью с отрицательным показателем.

Теперь мы можем равенство

где Алгебраические дроби , считать справедливым при любых целых значениях букв тип.

Примеры:

Очевидно, что

Алгебраические дроби и их решение

Если алгебраическое выражение, составленное из букв и чисел, содержит, кроме трех первых действий— сложения, вычитания и умножения, — также еще и деление (на буквенное выражение), то такое выражение называют дробным. Примером могут служить выражения: Алгебраические дроби , , , , , .

Если последнее действие, указываемое выражением, есть деление, то такое выражение называется просто «дробью (алгебраической дробью). При этом, если, кроме этого последнего действия, делений больше производить не нужно, дробь называется простой, в противном случае — сложной. Так, среди предыдущих примеров только последний нельзя назвать дробью (это сумма двух дробей); предпоследний есть сложная дробь, четыре предыдущих — простые дроби.

К сложным дробям мы обратимся несколько позднее; сначала же будем заниматься только простыми.

Простая алгебраическая дробь есть отношение двух целых алгебраических выражений, являющихся числителем и знаменателем дроби.

Мы знаем, что существует число, которое ни в коем случае не может быть знаменателем дроби: это — нуль; поэтому, если знаменатель про стой алгебраической дроби оказывается тождественное равным нулю, то сама дробь не имеет смысла ни при каких значениях входящих букв. Примером служит дробь
Алгебраические дроби . Очень часто встречается другой случай, когда знаменатель дроби тождественно не равен нулю, однако обращается в нуль при некоторых значениях входящих букв. При этих значениях букв дробь «теряет смысл» — не имеет никакого числового значения. По этому, написав дробь, всегда подразумевают, что числовые значения, придаваемые входящим буквам, таковы, что не обращают знаменатель в нуль.

Иногда это отмечают и в явной форме: например, Алгебраические дроби .

В дальнейшем, говоря о данной дроби, мы всегда будем подразумевать, что буквам даются лишь такие значения, которые не обращают знаменатель в нуль. Что касается числителя дроби, то исключать из рассмотрения те случаи, когда он обращается в нуль, излишне. Напомним, что если числитель дроби равен нулю, то и сама дробь равна нулю. Обратно, если дробь равна нулю, то непременно числитель равен нулю. Итак, простая алгебраическая дробь обращается в нуль при тех и только при тех значениях входящих букв, при которых ее числитель обращается в нуль.

Из арифметики отлично известно основное свойство дроби (частного); дробь (частное) не изменяется, если числитель (делимое) и знаменатель (делитель) умножить или разделить на одно и то же число Алгебраические дроби . Например, дробь не изменяется, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на : .

Число Алгебраические дроби может также быть дробным: если, допустим, равно ,то умножить на — значит сначала умножить на и затем разделить на . Оно может быть и отрицательным: при умножении числителя и знаменателя на отрицательное число знаки числителя и знаменателя меняются, а знак дроби остается неизменным. Оно не может быть только равным нулю: понятно — почему.

В виде формулы основное свойство дроби записывается следующим образом: Алгебраические дроби (1).

Основное свойство дроби можно выразить следующими словами; если некоторое выражение входит множителем в числитель и в знаменатель алгебраической дроби, то при условии, что оно не равно нулю, можно на него «сократить» данную дробь: значение дроби при этом не меняется. И, напротив, можно умножить числитель и знаменатель алгебраической дроби на произвольное выражение при условии, что оно не обращается в нуль.

Примечание:

Равенство (1), выражающее основное свойство дроби, считается тождеством, несмотря на то, что его левая часть теряет смысл при Алгебраические дроби , и на то, что обе его части теряют смысл при .

Вообще за равенством двух алгебраических выражений принято сохранять наименование тождества и в том случае, если одно из этих выражений или оба теряют смысл при некоторых исключительных значениях входящих букв. Такое расширенное понимание тождества, между прочим, позволяет относить сокращение дроби на буквенное выражение к числу тождественных преобразований.

Руководствуясь основным свойством дроби, можно сокращать алгебраическую дробь (как и арифметическую) на буквенные или числовые множители, входящие одновременно в ее числитель и в ее знаменатель.

Если таких множителей нет, дробь называют несократимой.

Например, дробь Алгебраические дроби можно сократить на : .

Левая и правая часть равенства тождественно равны (хотя левая теряет смысл при Алгебраические дроби , и обе — при ).

Мы переходим дальше к изучению действий над алгебраическими дробями — сложения, вычитания, умножения и деления. Выполнить одно из этих действий над данными простыми дробями — значит не только соединить эти дроби соответственным знаком, но также и произвести над полученным выражением тождественные преобразования, целью которых является представить это выражение в виде простой дроби (или целого выражения). Производя действия над дробями, стараются вместе с тем сокращать дробь на общие множители числителя и знаменателя.

При изучении действий над дробями мы начнем с более легких — умножения и деления, а затем перейдем к более трудным — сложению и вычитанию. Те случаи, когда какие-нибудь из данных выражений оказываются целыми, мы не будем рассматривать отдельно, так как всякое целое выражение можно представить в виде дробного, именно, подписывая под ним в качестве знаменателя единицу.

Умножение и деление дробей

Правило умножения арифметических дробей выражается формулой: Алгебраические дроби (*) и словами может быть прочитано следующим образом: произведение двух дробей равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Написанная выше формула справедлива не только в том случае, если входящие буквы имеют целые положительные значения, но и в том случае, если эти значения — дробные; она справедлива также и в том случае, если некоторые из входящих букв имеют отрицательные значения. Значение нуль, конечно, исключено для знаменателей, но не исключено для числителей.

Но раз равенство (*) имеет место при всех значениях входящих букв (кроме тех исключительных, при которых знаменатели дробей обращаются в нуль), то оно является тождеством.

Таким образом, правило умножения алгебраических дробей выражается той же формулой и формулируется теми же словами, что и правило умножения арифметических дробей.

В алгебре вместо того, чтобы вычесть некоторое число, можно прибавить число, противоположное по знаку: Алгебраические дроби .

Таким же образом вместо того, чтобы разделить на некоторое число (не равное нулю), достаточно умножить на величину, обратную этому числу: Алгебраические дроби .

Действительно, следуя правилу умножения, мы получаем: Алгебраические дроби .

Так как величина, обратная дроби Алгебраические дроби есть дробь , то правило деления дроби на дробь (подобное арифметическому) дается формулой: (2).

Чтобы разделить на дробь, достаточно умножить на величину, ей обратную («разделить на числитель и умножить на знаменатель).

Сложение и вычитание дробей

Сложить две алгебраические дроби означает — представить их сумму в виде одной алгебраической дроби; то же — для вычитания.

Если данные дроби имеют один и тот же знаменатель, то, чтобы сложить их — в алгебре, как и в арифметике, — достаточно составить дробь с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей: Алгебраические дроби .

Это — распределительный закон деления, справедливый при любом Алгебраические дроби , не равном нулю.

Если же складываемые дроби имеют различные знаменатели, то в алгебре, как и в арифметике, необходимо предварительно привести дроби к общему знаменателю. При этом пользуются основным свойством дроби — основным тождеством (*) , в котором мы теперь поменяем местами правую и левую части: Алгебраические дроби .

Желая сложить две дроби Алгебраические дроби и , мы всегда можем умножить числитель и знаменатель первой дроби на , а числитель и знаменатель второй — на . и тогда получим: , дальше достаточно сложить числители: Алгебраические дроби . Итак, мы получаем тождество: (3).

Подобным же образом, ссылаясь на распределительный закон деления и на основное свойство дроби, выведите общую формулу вычитания дробей: Алгебраические дроби (4).

При действиях с дробями часто приходится пользоваться важным частным случаем основного свойства дроби (*) Алгебраические дроби именно, тем случаем, когда равно . В этом случае мы получаем: .

Таким образом, значение дроби не меняется при одновременном изменении знаков числителя и знаменателя.

Так как Алгебраические дроби , то можно заключить: при изменении знака только числителя или только знаменателя знак дроби меняется.

Отсюда следует: если мы меняем знак знаменателя, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изменить знак, или числителя или самой дроби; если мы меняем знак числителя, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изменить знак или знаменателя или самой дроби. Например, Алгебраические дроби .

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

В арифметике указывается правило для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) нескольких целых чисел.

Пусть даны числа Алгебраические дроби , и . Разложим их на простые множители: , , .

Составим новое число из данных чисел следующим образом: возьмем каждый встречающийся множитель в наименьшей из степеней, в которых он встречается, и затем перемножим: Алгебраические дроби .

Полученное число Алгебраические дроби есть НОД данных чисел: частные от деления этих чисел на уже не имеют общих делителей, отличных от .

Составим другое число из данных чисел, отбирая каждый встречающийся множитель в наибольшей из степеней, в которых он встречается, и перемножая: Алгебраические дроби . Полученное число есть НОК данных чисел; частные от деления числа на эти числа уже не имеют общих делителей, отличных от .

Таким же образом можно составлять НОД и НОК алгебраических одночленных выражений с целыми коэффициентами, обращаясь при этом с буквами как с целыми числами (хотя буквы могут иметь какие угодно, в том числе и дробные, значения). Так, если даны выражения Алгебраические дроби , и , то их наибольший общий делитель равен , а их наименьшее общее кратное равно . После деления данных выражений на их НОД получаются частные Алгебраические дроби , , , уже не имеющие общих множителей. После деления НОК на данные числа получаются частные , и , также не имеющие общих множителей.

Наибольший общий делитель двух чисел может быть полезен в арифметике при сокращении дробей: найдя НОД числителя и знаменателя и сократив на него, мы сразу получаем несократимую дробь. При этом нахождение НОД стоит некоторого труда, так как не всегда очевидно с первого взгляда, каковы простые множите ли данного числа и в каких степенях они входят.

В алгебре же такого рода применение НОД излишне, так как буквенные множители выписываются явно.

Если, например, дана дробь Алгебраические дроби то НОД числителя и знаменателя равен ; сокращая на него, получим . Но и без наибольшего общего делителя можно сократить сначала, например, на , потом на Алгебраические дроби .

Зато в алгебре НОД приносит больше пользы при вынесении за скобку общих множителей много членных выражений. Пусть дано выражение Алгебраические дроби .

Мы видим сразу, что НОД всех членов равен Алгебраические дроби , и, вынося его за скобку, получаем: .

Что касается наименьшего общего кратного, то мы увидим дальше, что в алгебре, как и в арифметике, оно позволяет значительно упрощать записи при сложении и вычитании дробей.

Более сложные случаи сложения и вычитания дробей

При сложении и вычитании дробей удобно пользоваться приемом составления общего знаменателя посредством перемножения знаменателей данных дробей только в том случае, если каждые два, попарно взятые, знаменателя не имеют общих — ни буквенных, ни числовых — множителей. В других случаях употребление этого приема, хотя и дает верный результат, однако, ни коим образом не может быть рекомендовано, так как ведет к лишним записям и потере времени. Общее правило таково: в качестве общего знаменателя нескольких дробей следует брать НОК знаменателей всех данных дробей. Предварительно необходимо каждый знаменатель представить как про изведение отдельных множителей; в частности, если данный знаменатель — многочлен, нужно общие числовые и буквенные множители его членов выносить за скобку. Если встречаются многочленные множители, отличающиеся только знаком, то знак нужно менять, пользуясь уже известными приемами.

После того как общий знаменатель найден, необходимо выяснить, на какой один и тот же «дополнительный множитель» придется умножить знаменатель и числитель каждой дроби для того, чтобы ее знаменатель стал равным выбранному общему знаменателю.

Дальше, раз уже дроби приведены к общему знаменателю, сделать сложение или вычитание не представляет труда.

Пример:

Алгебраические дроби

Произведение знаменателей равно Алгебраические дроби . Однако есть возможность в качестве общего знаменателя взять более простое выражение, именно НОК знаменателей, равное . Дополнительным множителем для первой дроби является Алгебраические дроби , для второй , для третьей : , , .

Итак, Алгебраические дроби

Пример:

Алгебраические дроби .

HOK знаменателей равно Алгебраические дроби . Для первой дроби дополнительный множитель равен , для второй . Итак, .

Пример:

Алгебраические дроби

Принимая во внимание, что Алгебраические дроби и что , мы можем переписать данное выражение в следующем виде: .

Теперь ясно, что наименьшее общее кратное знаменателей равно Алгебраические дроби . Дополнительные множители трех дробей соответственно равны , и . Итак, мы получаем сумму или же, после упрощений в числителе и сокращения на , Алгебраические дроби .

Сложные дроби

Если приходится выполнять деление над выражениями, уже содержащими дроби, то, записывая частное в виде дроби (с чертой), мы получаем сложную дробь. Для облегчения записи в таких случаях иногда пользуются знаком двоеточия, но смысл получаемого от этого, конечно, не изменяется. Например, если Алгебраические дроби требуется разделить на , то результат можно записать в виде или .

Сложную дробь всегда можно преобразовать в простую. Для этого достаточно выполнить все действия в том порядке, как они указаны: сначала числитель и знаменатель сложной дроби записать в виде простых дробей и затем разделить дробь на дробь, согласно правилу деления. Так, в нашем примере мы получим: Алгебраические дроби

Однако такой способ преобразования сложной дроби в простую практически менее удобен, чем следующий. Пользуясь основным свойством дроби, умножим в нашем примере числитель и знаменатель на Алгебраические дроби ; тогда получим прежний результат: .

В качестве множителя, на который умножаются и числитель и знаменатель данной сложной дроби, следует, конечно, выбирать НОК знаменателей всех дробей, содержащихся в числителе и знаменателе данной дроби.

Всякое дробное алгебраическое выражение содержит лишь конечное число делений. Поэтому, сколько бы ни было «этажей» о сложной дроби, такую дробь всегда можно преобразовать в простую, постепенно уничтожая «этажи». Отсюда следует, что дробное алгебраическое выражение всегда может быте представлено в виде отношения двух целых алгебраических выражений.

Все действия с дробями. Расположенные многочлены в числителе и знаменателе дроби. Выделение целой части из неправильной дроби

Выполняя указанные действия над данными, простыми или сложными, алгебраическими дробями, мы получаем в результате простую алгебраическую дробь.

Если числители и знаменатели данных дробей — многочлены, расположенные по степеням одной и той же буквы, то числитель и знаменатель дроби, получающейся в результате выполнения действий, также представляются в виде многочленов, расположенных по степеням той же буквы.

После этого, если удастся в числителе и знамена теле обнаружить общие множители, на них следует сокращать полученную дробь.

Простая дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, расположенные по степеням одной и той же буквы, называется: правильной, если степень числителя меньше, чем степень знаменателя; неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя.

Если дробь — неправильная, то ее всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления числителя на знаменатель.

Неправильная дробь равна сумме: 1) частного, получающегося при делении числителя на знаменатель, и 2) правильной дроби, у которой числитель равен остатку при этом делении, а знаменатель — знаменателю данной дроби.

Например, деля многочлен Алгебраические дроби на двучлен , получаем: ; значит, .

Описанное выше преобразование напоминает выделение целой части из неправильной арифметической дроби; сравните хотя бы с таким примером: Алгебраические дроби

По указанной причине это преобразование называется выделением целой части из неправильной алгебраической дроби.

Вынесение за скобки каких угодно выражении

Заменяя в тождестве Алгебраические дроби (распределительный закон умножения) через и через , мы получим новое тождество выполняя в правой части умножения, затем переставляя множители в левой части и потом меняя местами правую и левую части, мы будем иметь, наконец, новое тождество Алгебраические дроби .

Оно говорит о следующем: любое отличное от нуля
число или алгебраическое выражение можно «вынести за скобки» из какой угодно алгебраической суммы. Вынося некоторое выражение из алгебраической суммы за скобки, нужно каждый член суммы разделить на это выражение.

Пример:

Вынести за скобки Алгебраические дроби из выражения .

Мы получаем: Алгебраические дроби .

Пример:

Из выражения Алгебраические дроби вынести за скобки .

Мы получаем: Алгебраические дроби

В многочленах, расположенных по степеням одной буквы, часто бывает полезно выносить за скобки или старший член или свободный член.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: