Дифференциальное уравнение в математике с примерами решения и образцами выполнения

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто используют математические модели в виде уравнений, связывающих основные параметры изучаемого процесса. И поскольку скорость изменения величин можно рассматривать как производную некоторой функции, то ряд уравнений содержат и искомую функцию, и производную этой функции.

Так, зависимость массы вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени описывается уравнением: или , где — коэффициент пропорциональности. «Закон размножения бактерий» (зависимость массы бактерий от времени ) также описывается уравнением: или , где .

Закон радиоактивного распада вещества ( ), закон изменения температуры тела в зависимости от времени (), закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря () — все это примеры использования подобных уравнений в практике. Уже приведенные примеры указывают на их исключительную роль при решении разнообразных задач.

Особенностью рассмотренных выше уравнений является то, что неизвестной оказывается нс одно число или пара чисел, а функция. Причем неизвестная функция находится под знаком производной. Уравнения, содержащие производные или дифференциал искомой функции называют дифференциальным и уравнениями.

Например, уравнения , , , являются дифференциальными уравнениями.

Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называют порядком дифференциального уравнения.

Так, , , — дифференциальные уравнения первого порядка, — дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пример:

Докажите, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение:

Найдем производную функции :. Подставим известное и найденное в дифференциальное уравнение :

Получили, что — верное равенство, следовательно, функция является решением дифференциального уравнения .

Любое дифференциальное уравнение имеет не одно, а множество решений, отличающихся друг от друга на константу . Такое множество решений получило название общего решения дифференциального уравнения. Геометрически его можно изобразить в виде семейства интегральных кривых.

При решении задач часто необходимо из всей совокупности решений дифференциального уравнения выделить одно, отвечающее конкретным требованиям. Для этого задают начальные условия: при . Геометрически это означает, что нужно выделить отдельную интегральную кривую, проходящую через точку .

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию , называется задачей Коши, а полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение

Решение различных задач сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Такое уравнение называется дифференциальным.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению.

Пример:

Составить уравнение кривой, обладающей тем свойством, что отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение:

Пусть — искомое уравнение, — произвольная точка кривой, определяемой этим уравнением; предположим, для определенности, что кривая расположена в первой четверти (рис. 115).

По условию задачи имеем , а следовательно, Из рис. 115 видно, что

Учитывая, что есть угловой коэффициент касательной, который в точке равен . получаем дифференциальное уравнение искомой кривой:

Из школьного курса известны и другие задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Наша ближайшая цель — научиться решать некоторые типы дифференциальных уравнений. Поэтому задачи на составление и решение дифференциальных уравнений мы рассмотрим ниже, а теперь переходим к введению
основных понятий и определений.

Определение:

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную , искомую функцию и ее производные

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Например, уравнения являются дифференциальными уравнениями.

Определение:

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение.

Например, — уравнение первого порядка, — уравнение третьего порядка.

Уравнение (2) является уравнением порядка, записанным в общем виде.

Уравнение первого порядка в общем виде записывается следующим образом:

Разрешая уравнение (3), если это возможно, относительно производной получим

Уравнение (4) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Определение:

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая обращает данное уравнение в тождество.

Так, например, решением уравнения (1) является
всякая функция вида

где С — постоянная.

В самом деле, заменив в уравнении (1) его значением из равенства (5), получим:

При различных числовых значениях постоянной С равенство (5) определяет различные решения
уравнения (1). Например, нетрудно убедиться, что функции являются решениями уравнения (1).

Таким образом, для дифференциального уравнения (1) мы рассмотрели как общее решение где С — произвольная постоянная, так и частные его решения, например, и другие, которые получаются из общего решения при различных числовых значениях постоянной С.

Определение:

Общим решением дифференциального уравнения порядка называется функция.

зависящая от п произвольных постоянных и удовлетворяющая данному уравнению при любых значениях этих постоянных.

Так, общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

содержащая только одну постоянную и удовлетворяющая данному уравнению при любом фиксированном значении постоянной С.

Определение:

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных.

Чтобы из бесконечного числа решений дифференциального уравнения, определяемых его общим решением, выделить одно частное решение, требуется ввести начальные условия.

Задать начальные условия дифференциального уравнения порядка означает задать некоторое фиксированное значение аргумента и соответствующие значения функции и ее производных

Задача нахождения частного решения удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши. В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши ставится так: найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию , или .

Пусть, например, требуется найти частное решение уравнения (1), удовлетворяющего условию . Общим решением уравнения (1) является функция (5). Подставляя в общее решение начальные условия , , найдем

Таким образом, искомым частным решением
уравнения (1) является функция

С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения определяет семейство кривых, называемых интегральными кривыми, а частное решение определяет лишь
одну-единственную интегральную кривую. Так, общее решение уравнения определяет семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат (рис. 116), а также прямую (при ). Частное решение определяет лишь одну гиперболу, проходящую через точку (2; 3).

Пример:

Доказать, что функция

является общим решением уравнения

Найти частное решение, удовлетворяющее начальному
условию

Решение:

Заменив в уравнении (10) его значением из равенства (9), получим

Следовательно, функция (9) является общим решением
уравнения (10).

Подставляя в (9) начальные условия , найдем

Таким образом, искомым частным решением будет функция ,

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение:

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

Предположим, что . Тогда уравнение (1) можно переписать так

Уравнение вида (2) называется уравнением с разделенными переменными.

Интегрируя почленно уравнение (2), получим общее решение уравнения (1):

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

1) разделить переменные;
2) интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения,
3) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Заметим, что если а является корнем уравнения , то, очевидно, функция является решением уравнения (1). Поэтому, чтобы получить все решения уравнения (1), надо к полученному общему решению добавить еще решения вида , где а — корень уравнения

Пример:

Найти частное решение уравнения , если при .

Решение:

Перепишем данное уравнение в виде

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем:

Подставив начальные условия , найдем C:

Следовательно, искомое частное решение будет

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом:

(полагаем здесь ).

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Для удобства потенцирования представим в виде и постоянную интегрирования в виде . Имеем:

Потенцируя, получим

В процессе решения мы предположили . Однако
— решение данного уравнения (в этом легко убедиться проверкой). Следовательно, сняв в (3) ограничение , мы получим, что

— общее решение данного уравнения (решение получается отсюда как частное решение именно при ).

Пример:

Тело, имеющее в начальный момент времени температуру , охлаждается в воздушной среде до температуры в течение времени мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 30°, если известно, что температура воздуха 20°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.

Решение:

Обозначим температуру тела в любой момент времени t через . Так как скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела Т и температурой воздуха 20°, то получаем дифференциальное уравнение

Здесь К — коэффициент пропорциональности. Уравнение (4) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, поэтому решаем его по указанной выше схеме.

Разделив переменные, получим

Интегрируя, находим:

или

Равенство (5) является общим решением уравнения (4). Найдем частное решение, удовлетворяющее условию :

Итак, частным решением является функция

Найдем числовое значение постоянной . Для этого воспользуемся условием, что :

Таким образом, частное решение (6) можно записать так:

В задаче требуется определить время, за которое тело охладится до температуры 30°. Положив в равенстве найдем:

Итак, тело охладится до температуры 30° в течение одного часа.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение:

Функция называется однородной функцией измерения , если при любом t (кроме, быть может, ) имеет место тождество

Например, — однородная функция третьего измерения, так как

Аналогично доказывается, что функции

являются однородными функциями соответственно первого, нулевого и второго измерений.

Определение:

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде

где — однородные функции одинакового измерения.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

где — новая неизвестная функция.

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

В данном уравнении функции — однородные второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным.

Положим , откуда . Подставляем эти выражения в данное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируем почленно это уравнение:

Возвращаясь к прежней функции находим искомое общее решение:

Пример:

Найти частное решение уравнения

если при

Решение:

Записав данное уравнение в виде легко можно убедиться в том, что оно однородно.

Положим , откуда Подставляем значения у и dy в последнее уравнение:

Интегрируя, получаем

откуда

Подставив в найденное общее решение начальные условия, найдем

Итак, искомое частное решение будет

Пример:

Составить уравнение кривой, проходящей через точку , если известно, что угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен

Решение:

На основании геометрического смысла производной

В полученном уравнении следовательно, оно однородное. Положим откуда Тогда уравнение принимает вид

Разделяем переменные:

Интегрируя это уравнение, найдем:

Возвращаясь к прежней функции у, будем иметь:

Подставляя координаты точки А в найденное общее решение, получим

Итак, искомое уравнение кривой имеет вид

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение:

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде

где и — заданные функции от (в частности, постоянные величины).

Линейное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью некоторой подстановки , где одна из функций и, подбирается определенным образом, а другая — новая неизвестная функция. Поясним сказанное на конкретном примере.

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Разделив все члены данного уравнения на , приведем его к виду (1):

Здесь Положим ,

откуда

Подставим эти значения в уравнение (2):

Сгруппируем члены, содержащие, например, и вынесем за скобку:

Выберем функцию и так, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль, т. е. чтобы

Тогда уравнение (3) примет вид

Итак, исходное уравнение мы можем привести к виду (5) заменой , где и — любое решение уравнения (4).

Решаем уравнение (4) как уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

откуда

Подставив значение функции и в уравнение (5), найдем:

откуда

Заменив в подстановке функции и и их выражениями из равенств (6) и (7), получим искомое общее решение данного уравнения:

или

Пример:

Найти частное решение уравнения если при

Решение:

Запишем данное уравнение в виде

Положим , откуда . Подставляем значения и в последнее уравнение:

Сгруппируем члены, содержащие и вынесем за скобки:

Найдем функцию и такую, что

Тогда уравнение (8) примет вид

Решаем уравнение (9) как уравнение с разделяющимися переменными

откуда, после интегрирования, т. е.

Подставив значение функции и в уравнение (10), найдем:

Отсюда

Итак, общим решением данного уравнения является функция

Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию при :

Следовательно, искомым частным решением является функция

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в разрешенном относительно виде

Определение 1. Общим решением уравнения (2) называется функция

Определение:

Общим решением уравнения (2) называется функция , содержащая две произвольные постоянные и и удовлетворяющая условиям:

1) при любых значениях постоянных и функция является решением уравнения (2)

2) каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения и такие, что функция является решением
уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).

Определение:

Частным решением уравнения (2) называется всякое решение , получающееся из общего решения при фиксированных значениях

Простейшее уравнение второго порядка имеет вид

Уравнения этого вида решаются двукратным интегрированием. Полагаем тогда уравнение (4) примет вид или Отсюда

где — одна из первообразных для функции Так как то

Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения (4)

Пример:

Найти общее решение уравнения .

Решение:

Положим ; тогда а следовательно,

Интегрируя это уравнение, находим:

Интегрируя второй раз, находим искомое общее решение:

Пример:

Водитель трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает на 1200 H за каждую секунду. Найти уравнение движения трамвая, если вначале сила тяги была равной нулю. Сила тяжести вагона , сопротивление трения постоянно и равно 2000 H; начальная скорость равна нулю; начало движения вагона не совпадает с моментом выключения реостата.

Решение:

Будем считать, что центр тяжести вагона перемещается по горизонтальной прямой. Начало координат поместим в начальном положении центра тяжести вагона.

Проектируя внешние силы, приложенные к вагону, на ось абсцисс, получим два слагаемых: силу тяги, равную 1200 t (t — время, прошедшее с момента включения реостата), и силу сопротивления, равную 2000 H.

Согласно второму закону динамики дифференциальное уравнение движения вагона имеет вид

Это дифференциальное уравнение вида (4). Так как начало движения не совпадает с моментом выключения реостата, то время , соответствующее началу движения, можно определить из условия равенства силы тяги и силы сопротивления:

Для удобства вычислений положим

откуда

Тогда уравнение (5) можно записать в виде

Интегрируя дифференциальное уравнение (7), получаем

Подставляя начальные условия при , находим ; следовательно,

Интегрируя уравнение (8), получим

Так как при Следовательно, уравнение движения вагона примет вид

или

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Определение и некоторые свойства

Определение 1. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где p и q — постоянные величины.

Определение:

Два частных решения и уравнения (1) образуют фундаментальную систему решений, если для любого x

Определитель называется определителем Вронского или вронскианом.

Пример:

Известно, что функции , являются частными решениями уравнения

Докажем, что решения и образуют фундаментальную систему решений, а и — не образуют.

В самом деле, найдя вронскианы указанных пар решений, получим:

Теорема:

О структуре общего решения. Если два частных решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами образуют фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид

где — произвольные постоянные. Выражение называется линейной комбинацией функций .

Доказательство:

Прежде всего докажем, что функция (3) является решением уравнения (1). Для этого подставим в уравнение (1) вместо у линейную комбинацию (3) и докажем, что оно превращается в тождество:

или

Так как и являются решениями уравнения (1),

то

Следовательно, равенство (4) при любых значениях и является тождеством: . А это значит, что функция (3) является решением уравнения (1).

Теперь докажем, что она является его общим решением. Для этого достаточно показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Пусть — какое-либо частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (5). Покажем, что оно может быть получено из общего решения (3) надлежащим выбором постоянных и

В самом деле, подставляя начальные условия в равенства

получим

Равенства (6) представляют собой систему уравнений с неизвестными и , причем определитель этой системы

является определителем Вронского для функций и при . Так как, по условию, частные решения и образуют фундаментальную систему, то при любом действительном значении . Поэтому система (6) имеет единственное решение:

Таким образом, существует частное решение

удовлетворяющее начальным условиям (5), причем в
силу его единственности оно совпадает с решением .

Теорема доказана.

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Было установлено, что для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (1) в виде

тогда

Подставляя выражения для в уравнение (1), получим

Так как

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решив характеристическое уравнение, найдем его корни и а следовательно, и частные решения уравнения (1):

При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая:

Случай — 1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: .

В этом случае имеем два частных решения уравнения (1): . Эти решения образуют фундаментальную систему решений, так как вронскиан

Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример:

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение:

Составляем характеристическое уравнение откуда

Подставляя найденные значения в формулу (10), получим общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Согласно заданным начальным условиям имеем

или

откуда Таким образом, искомым частным решением является функция

Случай 2. Корни характеристического уравнения
действительные и равные:

В этом случае непосредственно находим лишь одно
частное решение:

Предоставляем читателю возможность самостоятельно доказать, что вторым частным решением , образующим вместе с первым фундаментальную систему, является функция

Таким образом, в этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

:Характеристическое уравнение

имеет действительные и равные корни

Поэтому согласно формуле (11) искомое общее решение имеет вид

Случай 3. Корни характеристического уравнения
комплексные:

В этом случае частные решения имеют вид:

Но согласно формуле Эйлера (см. § 8 гл. 9)

Поэтому

Чтобы заменить комплексные решения действительными, рассмотрим функции:

Так как и являются линейными комбинациями частных решений и т. е. имеют вид (3), то они сами являются решениями уравнения (1), причем можно показать, что они образуют фундаментальную систему решений (определитель Вронского для этих решений отличен от нуля). Таким образом, общее
решение уравнения (1) имеет вид

или

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Корни характеристического уравнения

комплексные:

Здесь , поэтому общим решением является функция

Пример:

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям и

Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

Следовательно, общим решением является функция

Дифференцируя общее решение, найдем

Постоянные и находим из начальных условий:

Отсюда

Итак, искомым частным решением является функция

Решение задач на составление дифференциальных уравнений

Составление дифференциальных уравнений

Мы уже отмечали, что многие задачи физики, техники, биологии и социальных наук решаются при помощи дифференциальных уравнений. При этом сначала составляется дифференциальное уравнение, которое затем решается, во многих частных случаях, по одному из указанных выше способов, в зависимости от его типа. Составление дифференциальных уравнений по условию задачи напоминает составление алгебраических уравнений. При решении задач на составление дифференциальных уравнений широко используемся геометрический и физический смысл производной, а также известные законы естественных и социальных наук.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример:

Конденсатор, емкость которого Q, включается в цепь с напряжением Е и сопротивлением R. Определить заряд q(t) конденсатора в момент времени t, если в начальный момент времени он был равен нулю.

Решение:

Если в момент времени t заряд конденсатора равен q(t), то к этому моменту времени ток i равен , а электродвижущая сила Е равна разности между напряжением цепи U и напряжением конденсатора q/Q т. е.

Согласно закону Ома откуда

или

Уравнение (1) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения введем подстановку , откуда

Подставляя значения q и в уравнение (1), группируя члены, содержащие и вынося его за скобки, получим

Найдем функцию и, удовлетворяющую условию

тогда уравнение (2) примет вид

Из уравнения (3) находим

откуда, интегрируя, получаем

или

Подставим полученную функцию и в уравнение (4):

откуда

или

Таким образом,

или

Постоянную С найдем из условия при :

Итак, в любой момент времени t заряд конденсатора определяется по формуле

Дифференциальное уравнение показательного роста

Ряд задач на составление дифференциальных
уравнений приводит к уравнениям вида

где — постоянная величина.

Уравнение (6) называется уравнением показательного роста Его смысл состоит в том, что скорость изменения функции пропорциональна самой функции.

Перепишем уравнение (6) в виде

Разделяя переменные и интегрируя, находим последовательно:

или

Пример:

Катер движется в спокойной воде со скоростью Определить скорость катера через 2 мин после выключения двигателя, если за 40 с она уменьшилась до Сопротивление воды пропорционально скорости движения катера. Решение. Пусть скорость движения катера в момент времени t равна . Тогда на движущийся катер действует сила сопротивления воды Но согласно закону Ньютона а следовательно, , или

Уравнение (8) является дифференциальным уравнением показательного роста, поэтому его общим решением будет

Постоянную С найдем изначального условия

Итак, скорость движения катера после выключения двигателя определяется формулой

Найдем значение постоянной . Для этого воспользуемся условием, что при

Положив в равенстве найдем искомую скорость:

Пример:

Скорость распада радия в момент времени t пропорциональна его количеству m(t). Пусть в начальный момент времени масса радия . Сколько радия останется через 300 лет, если известно, что период T полураспада радия (промежуток времени, через который первоначальная масса радия уменьшается в два раза) равен 1550 лет.

Решение:

Из условия задачи имеем

где . Знак минус показывает, что масса радия убывает, а следовательно, скорость распада отрицательна.

Очевидно, что общим решением уравнения (11) будет функция

Согласно условию ; имеем:

Следовательно,

Коэффициент найдем из условия, что

Таким образом

Положив найдем количество радия, оставшегося не распавшимся через 300 лет:

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Пусть шарик массы m прикреплен двумя пружинами так, как показано на рис. 117. а. В положении равновесия координата
центра шарика равна нулю. Сместим шарик в направлении оси

Тогда согласно закону Гука на шарик действует сила, пропорциональная смещению x:

где . Знак минус указывает, что восстанавливающая сила направлена в сторону, противоположную направлению смещения. По второму закону Ньютона имеем

Из равенств (13) и (14) следует

Так как ускорение а прямолинейного движения есть вторая производная координаты (пути) по времени , то равенство (15) можно переписать в виде

Положив , получим

Уравнение (16) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если физическая величина изменяется во времени в соответствии с уравнением (16), то говорят, что она совершает гармонические колебания. Поэтому уравнение (16) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Решим уравнение (16). Для этого составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:

Следовательно, общим решением уравнения (16) будет функция

Вместо произвольных постоянных и введем новые произвольные постоянные А и , которые связаны с постоянными и соотношениями

Тогда равенство (17) примет вид

или

Равенство (19) является уравнением гармонических колебаний. Величина А представляет собой наибольшее отклонение тела от положения равновесия и называется амплитудой колебания.

Из равенств (18) следует

Так как sin и — периодическая функция с наименьшим периодом , то наименьший период гармонического колебания найдем из равенства

откуда

Величина называется частотой колебания. Наконец, величину называют начальной фазой гармонического колебания и находят по формуле , которая следует из равенств (18).

Дифференциальные уравнения в высшей математике

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или ее дифференциалы. ‘Гак, например, или дифференциальные уравнения.

Решить дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию от х, которая удовлетворяет данному уравнению, т. е. обращает это уравнение в тождество при подстановке ее в уравнение вместо у.

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы не выше первого порядка, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Дифференциальные уравнения имеют большое применение в геометрии, механике, физике и других дисциплинах, а также в технике.

Пример решения дифференциального уравнения мы имели , отыскивая уравнение кривой по заданному угловому коэффициенту касательной. В результате решения дифференциального уравнения

мы получили уравнение

которое носит название общего решения дифференциального уравнения. Подставив вместо х и у соответственно 1 и 3, мы нашли уравнение

называемое частным решением дифференциального уравнения *)

*) Общее решение дифференциального уравнения всегда содержит произвольное постоянное С, в частном же решении это постоянное заменено определенным числом.

Данные значения х = 1 и у = 3 называются начальными условиями. Начальные условия задаются для того, чтобы из общего решения дифференциального уравнения получить его частное решение.

Правильность решения дифференциального уравнения легко проверить, подставив выражение (2) в уравнение (1). В результате получим:

или

т. е.

что говорит о правильности решения уравнения (1).

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Если каждая часть дифференциального уравнения представляет собою произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в уравнении разделены; например, хdх = уdу. В этом случае уравнение можно интегрировать почленно.

Уравнения, в которых переменные разделяются, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, нужно произвести разделение переменных, а затем взять интеграл от обеих частей уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решить уравнение хdх = уdу если при х = 5 у= 10.

Решение:

Для разделения переменных обе части уравнения поделим на произведение ху, получим:

Интегрируя обе части последнего уравнения, найдем:

или

В правой части прибавлено постоянное в виде ln С для облегчения потенцирования. Освобождаясь от символа логарифма, т. е. потенцируя, получим общее решение:

Для определения постоянного С подставим в полученное решение начальные условия х = 5 и y =10:

откуда

Следовательно, искомое частное решение будет:

Таким образом, из всех прямых (семейства прямых), проходящих через начало координат, мы выделили одну, на которой лежит точка с координатами (5; 10).

Пример:

Решить уравнение если при

х = 0 у = 4.

Решение:

После разделения переменных получим:

отсюда

или

Находим значение С из условия x = 0 и у = 4; сделав подстановку, получим:

откуда

Итак,

Для потенцирования нужно и правую часть последнего равенства написать со знаком логарифма. Пользуясь определением логарифма, будем иметь:

следовательно, решение (1) можно переписать:

отсюда, потенцируя, получаем: или

Дифференциальные уравнения вида du dx

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. Простейшее из этих уравнений имеет вид оно решается двукратным интегрированием.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Согласно определению второй производной можно написать

Положим теперь

тогда

и данное уравнение перепишется следующим образом:

или

Интегрируя последнее уравнение, найдем:

и

Но

поэтому

или

Снова интегрируем и получаем:

Мы нашли общее решение данного уравнения.

Чтобы получить частное решение его, необходимо найти числовые значения постоянных С1 и С2; для этого нужно иметь начальные условия. Пусть кривая, определяемая частным

решением, проходит, например, через точки с координатами (0; 1) и ; тогда, подставив значения х и у в уравнение (1), получим следующую систему уравнений относительно С1 и С2:

откуда

Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях будет:

Для проверки правильности решения найдем вторую производную этой функции:

Мы пришли к исходному уравнению, что говорит о том, что оно решено правильно.

В разобранном примере начальные условия были даны в виде координат двух точек кривой, уравнение которой является частным решением дифференциального уравнения. Однако начальные условия могут быть даны и в иной форме, например, при

Это значит, что мы задаем точку кривой и направление касательной в этой точке.

Пример:

Ускорение прямолинейного движения тела равно Выразить путь s тела как функцию времени t.

Решение:

Согласно механическому смыслу второй производной функции имеем:

Обозначив

напишем

откуда

и

Заменив р его выражением, получим:

или

отсюда

Для получения частного решения нужны начальные условия. Пусть при t = 0 s = 0 и (предполагаем, что в начальный момент движения путь s и скорость равны нулю). Заменив t, s и уравнениях (2) и (3) нулями, получим:

Таким образом, искомая зависимость будет

Обыкновенные дифференциальные уравнения

В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения — это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений — изучение функций, являющихся решениями таких уравнений.

Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных более сложная и рассматривается в более полных или специальных курсах математики. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в данной главе. В дальнейшем, говоря о дифференциальных уравнениях, будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Определение дифференциального уравнения первого порядка

Изучение теории дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения — уравнения первого порядка.

Определение:

Уравнение вида
где х — независимая переменная; у — искомая функция; у’ — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у’, то оно принимает вид

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде или в виде являющемся частным случаем более общего уравнения
где Р (х, у) и Q (х, у) — известные функции. Уравнение в симметричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (2) и (3):

Решение уравнения. Задача Коши

Определение:

Решением дифференциального уравнения первого прядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, например, функция является решением уравнения т. е. при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (2) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема:

Теорема Коши. Если функция f (х, у) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения y’=f(x, у), удовлетворяющее условиям:

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция принимает заданное значение в заданной точке , называют начальными условиями решения и записывают обычно так:

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям (5), — одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши — значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку плоскости Оху.

Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.

Общее и частное решение уравнения

Дадим два основных определения.

Определение:

Общим решением уравнения (2) в некоторой области G плоскости Оху называется функция зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях (5) таких, что существует единственное значение постоянной такое, что функция удовлетворяет данным начальным условиям

Определение:

Частным решением уравнения (2) в области G называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении постоянной

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение — одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку .

Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример:

Рассмотрим уравнение
Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как функции определены и непрерывны на всей плоскости Оху. Легко проверить, что функция где С — произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Геометрически это общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной С получаем различные решения данного уравнения. Например, если

Для решения какой-нибудь задачи Коши, т. е. отыскания частного решения, зададим произвольные начальные условия: Подставляя эти значения в общее решение вместо х и у, получаем откуда Таким образом, найдено частное решение Геометрически это означает, что из семейства кубических парабол выбрана одна, проходящая через заданную точку (рис. 221).

Пример:

Рассмотрим уравнение
Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Функции непрерывны при Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме оси Оу, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши.

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнения в областях у>0 и у<0 является функция у=С/х, где С — произвольная постоянная. При различных значениях постоянной С получаем различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начальным условиям . Имеем 1=С/1. Отсюда С=1 и искомое частное решение у=1/х.

Геометрически общее решение данного уравнения представляет собой семейство гипербол у=С/х, каждая из которых изображает частное решение данного уравнения. Задавая начальные условия , выделяем из всего семейства ту гиперболу, которая проходит через точку (1; 1) плоскости Оху (рис. 222).

Заметим, что через точки, лежащие на оси Оу, не проходит ни одна интегральная кривая, т. е. это особые точки данного уравнения.

Геометрический смысл уравнения

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x, у) и пусть функция — его решение. График решения представляет собой непрерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент у’ касательной к интегральной кривой в каждой ее точке (х; у) равен значению в этой точке правой части уравнения f (x, у). Таким образом, уравнение y’=f(x, у) устанавливает зависимость между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у’ касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Зная х и у, можно указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке (х, у).

Сопоставим каждой точке (х; у) интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен f (х, у). Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение y’=f(x, у) определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого уравнения — интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.

Пример:

Рассмотрим уравнение у’=у/х.

Функция f (x, у)=у/х не определена при х=0, следовательно, поле направлений для данного уравнения можно построить на всей плоскости, кроме оси Оу.

В каждой точке угловой коэффициент у’ касательной к интегральной кривой равен у/х и совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и эту точку. На рис. 223 изображено поле направлений данного уравнения. Очевидно, что интегральными кривыми являются прямые у=Сх
(С—произвольная постоянная).

Рассмотрим теперь методы нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка. Отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно Ч рассматривают отдельные типы уравнений, и для каждого из них находят свой способ нахождения решения.

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение:

Уравнение вида
где — непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения уравнения (6) нужно, как говорят, разделить в нем переменные. Для этого заменим в (6) у’ на , разделим обе части уравнения на (предполагаем ) и умножим на dх. Тогда уравнение (6) принимает вид

В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у — только в левую (т. е. переменные разделены).

Предполагая, что функция является решением уравнения, и подставляя ее в (7), получаем тождество. Интегрируя тождество, получаем
где — произвольная постоянная.

Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение уравнения (6).

Пример:

Решить уравнение (сравните с примером 3). Решение. Данное уравнение вида (6), где и Разделяя переменные, получаем: . Интегрируя, имеем

Потенцируя, находим: что эквивалентно уравнению Полагая окончательно получаем
— общее решение данного уравнения, где С — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но . Заметим, что у=0 также решение уравнения (оно было потеряно при делении на у). Это решение можно включить в (9), если считать, что постоянная С принимает и значение С=0. Геометрически общее решение (9) представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат.

Пусть требуется выделить из общего решения (9) частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: Подставляя эти значения в общее решение (9) вместо х и у, получаем , откуда С=2. Таким образом, искомое частное решение у=2х.

Линейные уравнения

Определение:

Уравнение вида
где р(х) и f (х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у’ входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если то уравнение (10) называется линейным однородным уравнением. Если то уравнение (10) называется линейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (10) может быть применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения

соответствующего данному неоднородному уравнению (10). Уравнение (11) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем
Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (11):
где — произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение уравнения (10) в виде (12), где С будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от х (в этом смысл метода!), т. е. в виде

Чтобы найти функцию С(х) и, тем самым, решение в виде (13), подставим функцию (13) в уравнение (10). Получим

Итак, чтобы функция (13) являлась решением уравнения (10), функция С (х) должна удовлетворять уравнению (14). Интегрируя его, находим

где — произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для С(х) в соотношение (13), получаем общее решение линейного уравнения (10):

При решении конкретных примеров проще повторять каждый раз все приведенные выше выкладки, чем использовать громоздкую формулу (15).

Пример:

Найти общее решение уравнения
Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у’+3у=0. Разделяя переменные и интегрируя, находим

Ищем общее решение данного уравнения в виде Дифференцируя, имеем Подставляя в данное уравнение выражения для у и у’, получаем
откуда где — произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

Уравнения в полных дифференциалах

Определение:

Уравнение вида

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции F (х, у) в некоторой области G, называется уравнением в полных дифференциалах.

Если уравнение (16) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно записать следующим образом:

где F (х, у) — такая функция, что Отсюда следует, что общее решение уравнения (16) в неявном виде определяется уравнением

где С — произвольная постоянная. Действительно, если — решение уравнения (16), то и наоборот, для любой функции ,обращающей в тождество уравнение F(x, у)=С, получаем — решение уравнения (16).

Таким образом, нахождение решения уравнения (16) сводится к отысканию такой функции F(x, у), дифференциал которой равен

Как известно (см. теорему 13.7), для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(х, у), необходимо и достаточно, чтобы

Допустим, что условие (17) выполнено. Тогда существует функция
F(x, у) такая, что Отсюда

Интегрируя соотношение по х, находим
где С (y) — произвольная функция от у. Теперь подберем функцию С (y) так, чтобы выполнялось второе из соотношений (18). Для этого продифференцируем правую часть равенства (19) по у и производную приравняем Q (х, у):

Из полученного уравнения (20) определяем С'(y) и, интегрируя, находим С(у). Подставляя найденную функцию С(у) в соотношение (19), получаем искомую функцию F(х, у).

Чтобы выделить из общего решения частное, удовлетворяющее начальным условиям надо в общем решении F(x; y)=C х и у заменить начальными значениями. Тогда — искомое частное решение.

Пример:

Найти общее решение уравнения и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение:

Здесь Так как

то выражение является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y). Имеем

Найдем функцию С (у), используя формулу (20): Подставляя найденное С(у) в (21), получаем

Данное уравнение принимает вид а его общее решение определяется уравнением

Полагая — произвольная постоянная), получаем окончательное уравнение, определяющее неявно общее решение исходного дифференциального уравнения

Найдем теперь значение постоянной , при котором частное решение удовлетворяет заданным начальным условиям. Имеем: откуда , и искомое частное решение определяется уравнением

Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Мы рассмотрели несколько способов нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка. Если ни один из них не приводит к цели или требует сложных вычислений, то прибегают к приближенным методам решений уравнений. Познакомимся с простейшим из них — методом Эйлера.

Суть этого метода состоит в том, что искомая интегральная кривая, являющаяся графиком частного решения, приближенно заменяется ломаной.

Пусть даны дифференциальное уравнение

и начальные условия

Найдем приближенно решение
уравнения на отрезке , удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Разобьем отрезок точками на n равных частей.

Пусть Обозначим через приближенные значения искомого решения в точках . Проведем через точки разбиения х, прямые (рис. 224), параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Подставим значения в правую часть уравнения и вычислим угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке . Для нахождения приближенного значения у, искомого решения заменяем на отрезке интегральную кривую отрезком ее касательной в точке . При этом получаем

откуда, так как известны, находим

Подставляя значения х, и у, в правую часть уравнения , вычисляем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке . Далее, заменяя на отрезке интегральную кривую отрезком касательной, находим приближенное значение решения в точке :

В этом равенстве известными являются выражается через них.

Аналогично находим

Таким образом, приближенно построена искомая интегральная кривая в виде ломаной и получены приближенные значения искомого решения в точках . При этом значения вычисляются по формуле

Формула (22) и является основной расчетной формулой метода Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность

Степень точности метода Эйлера, вообще говоря, невелика. Существуют гораздо более точные методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти приближенное решение уравнения на отрезке [0, 1], удовлетворяющее начальным условиям , , и вычислить у при x=1.

Решение. Разделим отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками . Обозначим через приближенные значения решения, которые будем искать по формуле (22). Имеем:

Аналогично находятся остальные значения , причем результаты вычисления удобно расположить в таблице, заполняя последовательно одну строку за другой.

Второй столбец таблицы содержит приближенные значения искомого решения данного уравнения на [0, 1], удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Приближенное значение функции у при .

Чтобы сравнить приближенный результат с точным, найдем точное решение данного уравнения при тех же начальных условиях. Так как уравнение линейное, то используем метод вариации постоянной. Находим общее решение однородного уравнения

Варьируя постоянную и подставляя в данное уравнение, получаем:

общее решение данного уравнения. Подставляя вместо х и у начальные значения . находим = 2. Итак, точное решение данного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, . Точное решение при х=1 таково: . Сравнивая с приближенным значением, видим, что абсолютная погрешность составляет 0,2293.

Некоторые применения дифференциальных уравнений первого порядка

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные физические задачи. Основную трудность при их решении представляет составление дифференциальных уравнений. Здесь не существует универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на понимании законов физики, и умения переводить физические задачи на математический язык.

Рассмотрим несколько таких задач.

Задача о прожекторе. Определить форму зеркала, представляющего собой поверхность вращения и обладающего тем свойством, что все лучи, выходящие из источника света, помещенного в точке О на оси вращения, отражаются зеркалом параллельно этой оси.

Для решения задачи рассмотрим плоское сечение зеркала, проходящее через ось вращения. Поместим источник света в начале координат, и пусть ось вращения совпадает с осью Ох (рис. 225). Обозначим через а угол, образованный осью Ох и касательной 4S в произвольной точке сечения М (х; у). Наша цель — найти форму сечения, т. е. зависимость координаты у от координаты х: у=у(х). Ломаная ОМТ изображает путь луча, исходящего из источника света в точке О и отражающегося в точке Мот поверхности зеркала параллельно оси Ох. Проведем нормаль MN и опустим из точки М на ось Ох перпендикуляр MP. Так как (угол падения равен углу отражения), то . Следовательно, равнобедренный и OM = ON. Кроме того, по построению . Используя равенства ON=PN-РО, , РО= —х, ON= ОМ =, приходим к соотношению

Отсюда, учитывая геометрический смысл производной , для определения зависимости у от х получаем дифференциальное уравнение первого порядка

Преобразуем это уравнение следующим образом. Умножим обе его части на 2 dx:

Используя подстановку , получаем уравнение с разделяющимися переменными

которое можно преобразовать к виду

Заменяя переменную z ее выражением через х и у, получаем

Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем

Таким образом, искомая кривая — парабола с параметром р=С и вершиной, лежащей на отрицательной полуоси Ох на расстоянии С/2 от начала координат (рис. 226). Следовательно, искомая отражательная поверхность — параболоид вращения.

Задача о радиоактивном распаде. Экспериментальным путем установлено, что скорость распада радиоактивного вещества, т. е. скорость изменения его массы в зависимости от времени, прямо пропорциональна его количеству. Установим закон изменения массы т радиоактивного вещества в зависимости от времени t, считая, что начальная масса вещества при t=0 была .

Пусть в момент времени t масса вещества есть m, в момент времени масса составляет . За время распадается масса . Отношение -средняя скорость распада за время , -мгновенная скорость распада в момент времени t.

Согласно условию

где к — коэффициент пропорциональности (знак минус взят потому, что масса вещества убывает с течением времени, а производная убывающей функции отрицательна). Получено дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо найти зависимость массы m от времени t.

Решая уравнение, находим

откуда

Формула (24) дает зависимость массы вещества как функции времени. В данной задаче постоянная С имеет определенное значение, а именно при t=0 получаем: . Подставляя это значение С в формулу (24), получаем искомую зависимость массы радиоактивного вещества от времени:

Равенство (24) представляет собой общее решение дифференциального уравнения, а равенство (25) — частное решение, отвечающее начальным условиям данной задачи.

Коэффициент k определяется экспериментально. Например, для радия 0,000447. Промежуток времени Т, за который распадается половина первоначальной массы радиоактивного вещества, называют периодом полураспада этого вещества. Подставляя в формулу (25) вместо m значение , вместо k — значение 0,000447, получаем уравнение для определения периода полураспада Т радия:

откуда

Задача о законе «естественного роста». Закон «естественного роста» — это закон, согласно которому скорость «роста» вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем формулу для определения изменения количества вещества у в зависимости от времени t, считая, что в начальный момент t=0 количество вещества было равно .

Здесь независимой переменной является время t, а искомой величиной — количество вещества в любой момент времени. Скорость «роста» вещества есть скорость изменения величины у в зависимости от переменной t.

Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл производной, можно записать закон «естественного роста» следующим образом:

где k>0 — коэффициент пропорци9нальности. Уравнение (26), отличающееся только знаком правой части от уравнения (23), описывает многие процессы «размножения».

Решение уравнения (26), удовлетворяющее заданным начальным условиям , имеет вид

Формула (27) и выражает закон «естественного роста». Согласно этому закону, например, происходит «размножение» нейтронов в ядерных реакциях, размножение бактерий, рост кристаллов и т. п.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Уравнение вида

где х — независимая переменная; у — искомая функция; у’ и у» — ее производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Обычно изучают уравнения, которые могут быть записаны в виде, разрешенном относительно второй производной:

Так же как и для дифференциального уравнения первого порядка, решением уравнения (1) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется также интегральной кривой.

Для уравнения второго порядка имеет место теорема существования и единственности решения (теорема Коши), аналогичная соответствующей теореме для уравнения первого порядка.

Теорема:

Теорема Коши. Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой области G пространства переменных , то какова бы ни была внутренняя точка области G, в некоторой окрестности точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условиям

Геометрически это означает, что через заданную точку плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом у0 касательной в этой точке.

Условия (2) называют начальными условиями решения и часто записывают в виде

Как и для уравнения первого порядка, задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Дадим теперь определения общего и частного решений уравнения (1), удовлетворяющих условиям теоремы Коши.

Функция , зависящая от х и двух произвольных постоянных , называется общим решением уравнения (1) в некоторой области G, если она является решением уравнения (1) при любых значениях постоянных и если при любых начальных условиях (3) существуют единственные значения постоянных такие, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

Любая функция , получающаяся из общего решения уравнения (1) при определенных значениях постоянных называется частным решением.

Рассмотрим, например, уравнение у»=2. Это уравнение второго порядка. Так как функции и определены и непрерывны во всем пространстве переменных (х; у; у’), то оно удовлетворяет во всем пространстве требованиям теоремы Коши.

Общее решение данного уравнения найдем двукратным последовательным интегрированием. Последовательно интегрируя, находим сначала первую производную а затем и общее решение:

где —произвольные постоянные. Геометрически общее решение представляет собой семейство парабол, причем так как оно зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку плоскости проходит бесконечное множество парабол, имеющих различные касательные в этой точке. Поэтому для выделения одной параболы из полученного семейства кроме точки , через которую проходит парабола, нужно задать еще угловой коэффициент у о касательной к параболе в этой точке.

Найдем, например, частное решение данного уравнения при начальных условиях

Подставляя эти значения в выражения для общего решения и его производной , для определения получаем систему уравнений

откуда находим . Следовательно, искомым частным решением является функция

график которой — парабола, проходящая через точку (1; 1) с угловым коэффициентом в этой точке, равным единице.

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (1) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование уравнения (1) называется понижением порядка.

1) Уравнение вида у» = f(х). Уравнение не содержит у и у’. Введем новую функцию z(x), полагая z(x) = y’. Тогда z'(x) = y», и уравнение превращается в уравнение первого порядка: z'(x) = f(x) с искомой функцией z(x). Решая его, находим:

Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение:

где — произвольные постоянные.

Пример:

Найти общее решение уравнения у» = х.

Решение:

Полагая z(x)=y’, получаем уравнение первого порядка z'(х) = х. Интегрируя его, найдем . Заменяя z(x) на у’ и интегрируя еще раз, находим искомое общее решение:

2)Уравнение вида y» = f(x, у’). Уравнение не содержит у. Положим, как и в предыдущем случае, z(x)=y’; тогда z’ (х)=у», и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно . Решая его, найдем . Так как . Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение

где — произвольные постоянные.

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Полагая z(х) = у’, получаем линейное уравнение первого порядка . Решая его, найдем

Тогда искомое решение.

3)Уравнение вида у»=f(y, у’). Уравнение не содержит х. Вводим новую функцию z(y), полагая y’ = z. Тогда

Подставляя в уравнение выражения для у’ и у», получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от у:

Решая его, найдем . Так как , то .

Отсюда . Получено уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение данного уравнения:

где — произвольные постоянные.

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Полагая y’=z(y) и учитывая, что получаем . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, имеем , откуда . Учитывая, что находим: , откуда получаем искомое решение

При сокращении на z было потеряно решение уравнения z=y’=0, т. е. у=С=const. В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при =0 (за исключением решения у=0).

Дифференциальные уравнения высших порядков

Ограничимся только основными определениями и общими замечаниями, относящимися к дифференциальным уравнениям n-го порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

или, если оно разрешено относительно старшей производной,

Решением уравнения (4), как и уравнений первого и второго порядков, называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Теорема существования и единственности решения уравнения (4) аналогична соответствующим теоремам, приведенным ранее для случаев n=1 и n=2.

Общее решение уравнения (4) зависит от х и n произвольных постоянных и может быть записано в виде

Решения, получающиеся из общего при определенных значениях постоянных , называются частными решениями уравнения (4). Чтобы выделить частное решение уравнения из общего (4), можно задать начальные условия

Отыскание решения уравнения (4), удовлетворяющего заданным начальным условиям (5), называется решением задачи Коши для этого уравнения.

Простейшим уравнением вида (4) является уравнение, в котором правая часть зависит только от х, т. е. уравнение вида

Это уравнение легко решается. Действительно, интегрируя последовательно n раз, получаем

где — произвольные постоянные. Функция (7) и является общим решением уравнения (6).

Пример:

Найти общее решение уравнения третьего порядка у»‘=е’ и выделить из него частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Решение:

Последовательно интегрируя, находим . Интегрируя еще раз, получаем общее решение данного уравнения:

Подставляя в выражения для у, у’, у» начальные условия, имеем: откуда находим . Итак, — искомое частное решение.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в теории дифференциальных уравнений занимают важное место не только потому, что представляют собой простой и хорошо изученный тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи физики, механики, техники и особенно электротехники приводят к решению этих уравнений.

Определение:

Уравнение вида

где у — искомая функция, а р (х), q (х) и f (х) — непрерывные функции на некотором интервале (а, b), называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f(x)0, то уравнение (!) называется линейным однородным уравнением. Если же f (х)0, то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Разрешая уравнение (1) относительно у» : , видим, что оно является частным случаем уравнения и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения. Действительно, функция — непрерывная как функция трех переменных х, у, и у’ (она зависит от у и у’ линейно, а функции р (х), q (х) и f(х) непрерывны по условию), частные производные также являются непрерывными функциями трех переменных х, у и у’ (от у и у’ р (х) и q (х) не зависят, а как функции х непрерывны по условию). Поэтому при любых начальных условиях

где , уравнение (1) имеет единственное решение задачи Коши.

Изучение линейных дифференциальных уравнений мы начнем с однородных уравнений.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим некоторые свойства решении линейных однородных уравнении.

Теорема:

Если функции — решения уравнения

то функция при любых значениях постоянных также является решением уравнения (2).

Доказательство:

Продифференцировав дважды функцию и подставив выражения для у, у’ и у в левую часть уравнения (2), получим

Так как функции по условию являются решениями уравнения (2), то выражения в квадратных скобках тождественно равны нулю, а это значит, что функция — решение уравнения (2).

Итак, функция вида с произвольными постоянными является решением уравнения (2). Естественно возникает вопрос, не является ли это решение общим решением уравнения (2). Докажем, что при некоторых условиях функция является общим решением уравнения (2). Предварительно введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций .

Функции называются линейно зависимыми на (а, b), если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство

Очевидно, что если функции линейно зависимы, то они пропорциональны. Действительно, если причем , то . Верно и обратное.

Функции называются линейно независимыми на (a, b), если не существует таких чисел , из которых хоть одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство (3).

Другими словами, равенство (3) выполняется сразу для всех , если только .

Очевидно, что если функции линейно независимы, то их отношение , т. е. они не пропорциональны.

Так, например, функции линейно независимы на любом интервале (а, b), поскольку , а функции линейно зависимы на любом
промежутке, так как

Предположим теперь, что функции являются решениями уравнения (2). Вопрос о том, являются ли они линейно зависимыми или линейно назависимыми, решают с помощью определителя Вронского:

Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, определенной на (a, b), и обозначается или просто .

Теорема:

Если функции линейно зависимы на (а, b), то определитель Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале.

Доказательство:

Так как по условию функции линейно зависимы, то по определению существуют числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что имеет место равенство (3): . Пусть, например, . Тогда из равенства (3) следует, что

Подставляя выражения для в определитель Вронского, получаем

Теорема:

Если решения уравнения (2) линейно независимы на (а, b), то определитель Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

Доказательство:

Допустим обратное, т. е. предположим, что существует точка , в которой определитель Вронского . Составим систему уравнений

в которой — неизвестные числа. Так как определитель этой системы , то система (5) имеет (гл. 10, § 3, случай 2) не нулевое решение относительно (т. е. хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля). Рассмотрим функцию

где — ненулевое решение системы (5).

По теореме 15.3 эта функция является решением уравнения (2). Кроме того, поскольку — решение системы (5), функция у(х) удовлетворяет нулевым начальным условиям

Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет решение у(х) = 0. По теореме существования и единственности решение у(х)=0 является единственным решением уравнения (2) с начальными условиями (6). Следовательно, на интервале (а, b), а это означает, что функции у, (х) и у2(х) линейно зависимы на (а, b), что противоречит условию теоремы. Таким образом, для всех .

Итак, установлено, что если функции являются на (а, b) решениями линейного однородного уравнения (2), то составленный из них определитель Вронского на (а, b) либо равен нулю линейно зависимы), либо отличен от нуля линейно независимы).

Установим теперь, при каких условиях функция является общим решением линейного однородного уравнения (2).

Теорема:

Если функции — линейно независимые на (а, b) решения уравнения (2), то функция

где — произвольные постоянные, является общим решением уравнения (2).

Доказательство:

Напомним, что в силу теоремы 15.3 функция при любых значениях постоянных является решением уравнения (2). Для того чтобы доказать, что эта функция — общее решение уравнения (2), достаточно установить, что из него можно выделить частное решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям.

Пусть и

— произвольные начальные условия. Покажем, что постоянные можно подобрать так, что решение (7) при этих значениях постоянных является частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям (8).

Составим систему уравнений

в которой — неизвестные числа. Определитель этой системы есть определитель Вронского . Так как по условию функции — линейно независимы на (а, b), то в силу теоремы 15.5 . Поэтому система (9) имеет единственное решение, которое обозначим . Подставляя в равенство (7), получаем искомое частное решение уравнения (2): у=, удовлетворяющее условиям (8). Это и означает, что решение (7) является общим решением уравнения (2).

Из доказанной теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения (2) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить выражения (7) с произвольными постоянными .

Пример:

Найти общее решение уравнения у»—у= 0. Решение. Имеем линейное однородное уравнение. Легко заметить, что его частными решениями являются . Так как определитель Вронского

отличен от нуля, то эти решения линейно независимы на всей числовой прямой. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде где — произвольные постоянные.

В заключение покажем, как найти общее решение уравнения (2), если известно только одно частное решение этого уравнения. Пусть — частное решение уравнения (2). Введем новую функцию z, полагая . Тогда . Подставляя выражения для у, у’ и у» в уравнение (2) и группируя слагаемые, получаем

Так как —решение уравнения (2), то выражение в первых квадратных скобках равно нулю и уравнение принимает вид

Порядок этого уравнения можно понизить, полагая , где — новая искомая функция:

Получено уравнение первого порядка относительно функции и с разделяющимися переменными. Решая его, находим

где — произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной z и умножая выражение для z на получаем общее решение уравнения (2):

где — произвольные постоянные.

В качестве примера найдите самостоятельно общее решение уравнения у»—у=0 (см. пример 1), взяв одно из его частных решений за известное.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь основные свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1):

Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Общее решение уравнения (1) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Доказательство:

Пусть у (х) — частное решение уравнения (1), a — общее решение соответствующего однородного уравнения (2), где — произвольные постоянные. Покажем, что функция

— решение уравнения (1). Для этого найдем и подставим их в уравнение (1):

Отсюда следует, что функция действительно решение уравнения (1).

Покажем теперь, что функция (10) — общее решение уравнения (1). Для этого возьмем любое решение у уравнения (1) и рассмотрим разность . Эта разность является решением однородного уравнения (2). Действительно,

Это означает, что разность может быть записана в виде

где — определение значения постоянных . Итак, любое решение у уравнения (1) получается из формулы (10) при соответствующем подборе произвольных постоянных , т. е. функция (10) является общим решением уравнения (1).

Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть — общее решение однородного уравнения (2). Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в виде

рассматривая как некоторые искомые функции от х. Продифференцируем последнее равенство

Подберем функции так, чтобы выполнялось равенство

Тогда равенство (12) принимает вид

Дифференцируя это равенство, найдем у»:

Подставляя выражения для у, у’ и у» в уравнение (1) и группируя слагаемые, получаем

Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как — решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство принимает вид

Таким образом, функция (11) является решением уравнения (1), если функции удовлетворяют уравнениям (13) и (14). Объединяя их, получаем систему уравнений

в которой — неизвестны, а и f (х) — неизвестны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского

составленный из линейно независимых решений однородного уравнения (2), то он по теореме 15.5 не равен нулю, а значит, система (15) имеет единственное решение относительно . Решая эту систему, получаем

где —известные функции, откуда, интегрируя, найдем . Подставляя полученные выражения для в равенство (11), получаем искомое частное решение уравнения (1).

Пример:

Найти частное решение уравнения у»—у=х. Решение. В примере 1 п. 2 было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения у»—у=0. Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

Система (15) для нахождения в данном случае имеет вид

Складывая эти уравнения, найдем . Отсюда, интегрируя, получаем

Произвольную постоянную не пишем, так как ищем какое-нибудь частное решение. Подставляя выражение в первое из уравнений системы, найдем откуда интегрируя, получаем

Подставляя найденные выражения в равенство (16), получаем частное решение у данного неоднородного уравнения:

Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения и зная общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании равенства (10) можно записать общее решение данного неоднородного уравнения:

где — произвольные постоянные.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим важный частный случай линейных дифференциальных уравнений второго порядка — случай, когда функции р (х) и q (х) являются постоянными величинами. Такие уравнения называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

где р и q — вещественные числа.

Теорема:

Если число к — вещественный корень уравнения

то функция является решением уравнения (1).

2) Если числа — комплексные корни уравнения (2), то функции являются решениями уравнения (1).

Доказательство:

1) Пусть . Тогда Подставляя у, у’ и у» в уравнение (1), получаем

Так как , то, сокращая на имеем

Следовательно, если к является корнем уравнения (2), то функция —решение уравнения (1).

2)Аналогично случаю 1) можно проверить, что функции удовлетворяют уравнению (1).

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением и, следовательно, имеет два корня. Обозначим их .

Теорема :

1) Если корни характеристического уравнения вещественные и различные , то общее решение уравнения (1) имеет вид

2) если корни характеристического уравнения вещественные и равные , то общее решение имеет вид

3)если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение имеет вид

Доказательство:

1) Пусть корни различны. По теореме 15.8 функции —частные решения уравнения (1). Эти решения линейно независимы, так как . Следовательно, по теореме 15.6 общее решение уравнения (1) имеет вид

2)Пусть корни равны:. По теореме 15.8 функция —частное решение уравнения (1). Найдем второе частное решение, линейно независимое с первым. Будем искать его в виде где z (х) — новая неизвестная функция. Дифференцируя, имеем

Подставляя в левую часть уравнения (1), получаем

По условию, . Кроме того, , поэтому . Следовательно, для того чтобы найти функцию z(x), надо решить уравнение z»=0. Последовательно интегрируя, получаем: , где —произвольные постоянные. Полагая , найдем z(х) = х. Таким образом, — второе частное решение уравнения (1). Решения линейно независимы, так как и по теореме 15.6 общее решение уравнения (1) имеет вид

3)Пусть —комплексно-сопряженные корни, т. е. . Тогда по теореме 15.8 функции являются частными решениями уравнения (1). Эти решения линейно независимы, так как . Поэтому общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример:

Найти общее решение уравнения .

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни вещественные и различные.

Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид

Пример:

Найти общее решение уравнения.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни вещественные и равные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни комплексные.

Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

где p и q — вещественные числа; f (х) — непрерывная функция.

Как известно, общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы находить умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Для нахождения частного решения можно применять метод вариации произвольных постоянных. Однако если в правой части уравнения (3) — многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция , либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).

1) Правая часть имеет вид

где — многочлен степени п. Тогда частное решение у можно искать в виде

где Qn (х) — многочлен той же степени, что и , а r — число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 2). Так как правая часть уравнения — многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю , то частное решение ищем в виде

где А и В — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя у, у’ и у» в данное уравнение, найдем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства: A= 1, — 2A+В=1, находим: A=1, В=3.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение

2)Правая часть имеет вид

где — многочлен степени п. Тогда частное решение у следует искать в виде

где Q(x)— многочлен той же степени, что и , а г — число корней характеристического уравнения равных а. Если а=0, то f (х) = , т. е. имеет место случай 1).

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . В правой части этого уравнения — произведение многочлена первой степени на показательную функцию при а=1. Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень , то . В данном случае = х—многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства: , находим: . Подставляя найденные значения А и В в выражение для у, получаем частное решение данного уравнения ; общее решение имеет вид

3)Правая часть имеет вид

где — известные числа. Тогда частное решение у надо искать в виде

где А и В — неизвестные коэффициенты, а r — число корней характеристического уравнения, равных .

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения . В правой части равенства — тригонометрическая функция sin х, т. е. а=0, b=1, B=1. Так как — корень характеристического уравнения, то r= 1 и частное решение надо искать в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

откуда . Таким образом, частное решение общее решение уравнения

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Данное уравнение отличается от предыдущего только тем, что = 2. Так как не является корнем характеристического уравнения, то r=0 и частное решение следует искать в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

откуда А=0, В =-1/3, т. е. частное решение , общее решение уравнения

4) Правая часть имеет вид

где — многочлен степени n, а — многочлен степени m. Тогда частное решение следует искать в виде

где — многочлены степени — число корней характеристического уравнения, равных .

Пример:

Найти общее решение уравнения .

Решение:

Здесь характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения таково: . В правой части уравнения — произведение многочлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, так что . Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому r=0, и частное решение ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при cos х и sin х, находим

откуда . Таким образом, частное решение , а общее решение уравнения

Пример:

По данным корням характеристического уравнения и правой части f(х) записать частное решение у линейного неоднородного уравнения:

Решение:

а) Имеем:

Так как число — корень характеристического уравнения, то r=1. Поэтому ;

б)имеем: . Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому r=0. Следовательно ;

в)имеем: . Так как число не является корнем характеристического уравнения, то r=0. Поэтому ;

г)имеем:. Число — корень характеристического уравнения, поэтому r=1. Следовательно, ;

д)имеем: . Число — корень характеристического уравнения, значит, r=1. Следовательно,

В заключение докажем теорему, которую часто применяют при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых сумма нескольких слагаемых.

Теорема:

Если — решение уравнения

а — решение уравнения

то сумма является решением уравнения

Доказательство:

Составим сумму и подставим ее в левую часть уравнения (6). Получим

так как по условию выражение в первой скобке равно , а выражение во второй скобке равно . Следовательно, — решение уравнения (6).

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения .

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций sin х и , то в соответствии с теоремой 15.10 частное решение данного уравнения можно искать в виде

где — частное решение уравнения — частное решение уравнения .

Сначала найдем частное решение . Так как число не является корнем характеристического уравнения (r=0), то частное решение у, будем искать в виде . Подставляя в уравнение и сравнивая коэффициенты при sin х и cos х, получаем , откуда и, следовательно, .

Теперь найдем частное решение . Будем его искать в виде так как число а= -1 не является корнем характеристического уравнения. Подставляя в уравнение , имеем А=1/4. Следовательно, .

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид

а общее решение этого уравнения

Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений

Линейные дифференциальные уравнения являются мощным аппаратом в решении задач о колебаниях, занимающих значительное место в современной технике и физике. Познакомимся с одной из них — с задачей о колебании груза, подвешенного на вертикальной пружине.

Постановка задачи. Пусть груз массой m, подвешенный на пружине, движется по вертикальной прямой. Если пружину с грузом оттянуть или сжать, то груз начнет совершать колебания около положения равновесия. Установим закон движения груза, т. е. найдем формулу, выражающую отклонение груза от положения равновесия в любой момент времени t.

Совместим начало координат с положением равновесия груза а ось Оу направим вертикально вверх. Обозначим через /в.расстояние от конца нерастянутой пружины без груза до положения равно-, весия груза, а через у — отклонение груза от положения равновесия в момент времени t (рис. 227). На груз действует сила, равная сумме следующих трех сил: 1) силы . тяжести груза mg, направленной вниз; 2) силы сопротивления среды, направленной в сторону, противоположную движению груза, и по величине пропорциональной скорости движения груза, т. е. равной , где —коэффициент пропорциональности; 3) упругой силы пружины, направленной вверх (т. е. в положительном направлении оси Оу), величина которой, по закону Гука, пропорциональна деформации, т. е. равна , где с — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины (масса пружины не учитывается).

Согласно второму закону Ньютона получаем следующее уравнение движения груза:

Так как в положении равновесия {у=0) вес груза mg уравновешивается упругой силой пружины, то . Поэтому

Получено дифференциальное уравнение, которое называется уравнением свободных колебаний груза, подвешенного на пружине.

Если на груз действует внешняя сила, направленная вертикально (вдоль оси Оу), величина которой F (t) зависит от времени t, то уравнение (1) принимает вид

Уравнение (2) называется уравнением вынужденных колебаний груза, подвешенного на пружине.

Разделив все члены уравнения (2) на m и обозначая , получаем окончательный вид уравнения вынужденных колебаний:

Уравнение (3) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Перейдем теперь к исследованию колебаний, применяя известные решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Свободные колебания. Пусть отсутствуют внешняя сила f(t) и сопротивление среды (=0). Тогда уравнение (3) принимает вид

Это линейное однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и общее решение уравнения определяется формулой

где — произвольные постоянные. Для удобства дальнейших рассуждений заменим произвольные постоянные постоянными A>0 и ф, полагая (отсюда А =). Тогда

и общее решение можно записать в виде

Формула (4) выражает закон движения груза, подвешенного на пружине, т. е. отклонение у груза от положения равновесия в любой момент времени t. Согласно этой формуле груз совершает, как говорят, свободные гармонические колебания около положения равновесия. Величина А называется амплитудой колебаний, — частотой колебаний и ф — начальной фазой.

Для того чтобы выделить из общего решения частное, необходимо задать начальные условия движения. Пусть в начальный момент времени t=0 отклонение и скорость груза известны:

Тогда, дифференцируя, получаем

подставляя начальные условия (5) в (4) и (6), имеем

Отсюда, выражая произвольные постоянные А и ф и подставляя их значения в (4), получаем искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (5).

Из формул (7), в частности, следует, что постоянные А и ф зависят от частоты колебаний о и начальных условий движения. Частота же колебаний не зависит от начальных условий, а зависит от отношения коэффициента жесткости пружины к массе груза .

Пусть теперь отсутствует внешняя сила f (t), но имеет место сопротивление среды , например сопротивление воздуха. В этом случае уравнение (3) принимает вид

Характеристическое уравнение имеет корни

Здесь возможны три случая.

1)Тогда корни —вещественные, различные и отрицательные. Общее решение уравнения (8) имеет вид

Из полученной формулы следует, что груз колебаний не совершает, при неограниченном возрастании t отклонение груза у бесконечно долго приближается к положению равновесия (). В этом случае говорят, что груз совершает непериодическое затухающее движение.

2) Тогда корни — вещественные равные и отрицательные. Общее решение уравнения (8) имеет вид

В этом случае груз совершает движение, аналогичное предыдущему.

3) Тогда корни — комплексные. Общее решение уравнения (8) имеет вид

где . Заменяя на постоянные А и ф, запишем решение уравнения (8) в виде

Здесь, в отличие от формулы (4), амплитуда зависит от времени t. Так как <0, то амплитуда стремится к нулю при . Поэтому в данном случае груз совершает свободные затухающие колебания около положения равновесия.

Вынужденные колебания. Резонанс. Рассмотрим теперь случай, когда на колебательную систему действует периодическая внешняя сила f (t) = a sin предполагая для простоты, что сопротивление среды отсутствует ( = 0). В этом случае уравнение (8) принимает вид

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Известно, что общее решение этого уравнения является суммой общего решения У соответствующего однородного уравнения, которое было найдено выше [см. формулу (4)], и частного решения у неоднородного уравнения, которое надо найти.

Рассмотрим отдельно два случая.

а), т. е. частота внешней периодической силы отлична от частоты свободных колебаний груза. Так как число , не совпадает с корнем характеристического уравнения , то частное решение можно найти в виде

Дифференцируя у дважды и подставляя у и у» в уравнение (9), найдем: . Таким образом,

и общее решение уравнения (9) имеет вид

Как следует из формулы (10),частное решение у определяет колебание системы, создаваемое внешней силой, общее решение У= свободное колебание груза, а общее решение у — сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний с разными частотами .

В этом случае амплитуда постоянна, и если , близки по величине, то груз совершает колебания около положения равновесия с большой амплитудой.

б), т. е. частота внешней периодической силы совпадает с частотой свободных колебаний груза. Так как — корень характеристического уравнения , то в этом случае частное решение следует искать в виде

Дифференцируя у дважды и подставляя в уравнение (9), найдем: . Таким образом,

и общее решение уравнения (9) имеет вид

Как следует из найденной формулы, в данном случае, как и в предыдущем, имеет место сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний, но с одинаковыми частотами.

Наличие множителя t во втором члене свидетельствует, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t, т. е. груз будет совершать через некоторый промежуток времени колебания с очень большой амплитудой, даже если амплитуда а внешней силы мала. Это явление называется резонансом. Иногда оно приводит к разрушению колеблющихся систем.

На примере груза, подвешенного на пружине, рассмотрен случай механических колебаний упругих систем (к ним относится колебание на рессорах вагонов, автомобилей и т. п.). Аналогичное исследование проводится и при изучении электрических, звуковых и многих других колебаний. Главную роль в этих исследованиях играют линейные дифференциальные уравнения.

В заключение отметим, что изложенная теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка полностью переносится и на линейные дифференциальные уравнения любого порядка.

Дифференциальные уравнения — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Дифференциальные уравнения» вы познакомитесь с различными типами уравнений первого и второго порядков и освоите методы их решения. Вы изучите линейные уравнения с постоянными коэффициентами, структуру их общего решения и методы его нахождения (метод Эйлера, метод подбора частных решений, метод Лагранжа).

Понятие решения

Постановка задачи. Доказать, что функция у = у(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению F(x,y,y‘) = 0.

План решения.

Для доказательства того, что функция у = у(х) удовлетворяет
уравнению F(x,y,y’) = 0, достаточно вычислить производную y'(x),
подставить у(х) и у'(х) в это уравнение и убедиться в том, что получается тождество, т.е. F(x,y(x),y'(x)) = 0 для всех допустимых х.

Пример:

Доказать, что функция удовлетворяет
уравнению

Решение:

Имеем

Подставим у и у’ в левую часть уравнения и проведем необходимые преобразования:

Получаем тождество

Ответ. Функция удовлетворяет заданному уравнению.

Уравнения с разделяющимися переменными

Постановка задачи. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения вида

E(x)F(y) dx = G(x)H(y) dy. (1)

План решения.

1.В области, где и разделяем переменные, т.е.
представляем уравнение (1) в виде

2.Вычислим интегралы в уравнении

и преобразуем его к виду

3.Ответ записываем в таком виде: интегральные кривые определяются уравнением при всевозможных значениях С.

Замечание:

Если одно или оба уравнения G(x) = 0 и F(y) = 0
имеют решения то равенства и
нужно присоединить к ответу, так как они являются интегральными кривыми дифференциального уравнения (1).

Пример:

Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение:

1.Перепишем исходное уравнение в виде

Поскольку разделяем переменные, т.е.
представляем уравнение (2) в виде

2.Вычислим интегралы в уравнении

Имеем

Следовательно,

где

3.Упростив это равенство, получим

Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением

при всевозможных значениях С.

Однородные уравнения

Постановка задачи. Найти интегральные кривые однородного
дифференциального уравнения первого порядка, т.е. дифференциального уравнения вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = O, (1)

где Р(х,у) и Q(x,y) — однородные функции одинакового порядка,
т.е.

План решения.

1.Преобразуем уравнение (1) к виду

2.Делаем подстановку у(х) = х z(x), где z(x) — новая неизвестная
функция. Тогда у’ = z + x z’ и уравнение (1′) приводится к виду

т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.

Заметим, что подстановку у(х) = xz(x) можно делать сразу в
уравнении (1), не приводя его к виду (1′).

3.Разделяем переменные в области, где

4.Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными и делаем замену z(x) = y(x)/x. Записываем ответ.

Замечания:

1.Если — корень уравнения f(z) — z = 0, то решением
уравнения (1) будет также

2.Интегральные кривые однородного уравнения можно искать и
в полярных координатах.

Пример:

Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение:

1.Преобразуем заданное уравнение к виду

(мы разделили числитель и знаменатель правой части заданного уравнения на

2.Делаем подстановку у = xz(x), где z(x) — новая неизвестная
функция. Тогда у’ = z + xz’ и уравнение приводится к виду

т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.

В результате простых преобразований получаем

3.Разделяем переменные

4.Интегрируя, получаем

Заменяя z на у/х, получаем

Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением

при всевозможных значениях С.

Линейные уравнения 1-го порядка

Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

с начальным условием

План решения.

1-й способ.

1.Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2.Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
однородного уравнения (2)

3.Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3), считая
С неизвестной функцией ж, т.е. полагая С = С(х);

б) подставляем в уравнение (1) у и у’, определяемые из соотношения (3), где С = С(х). Из полученного дифференциального уравнения
определяем функцию С(х).

4.Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1)
получаем в виде

Здесь С(х) содержит произвольную постоянную .

5.Используя начальные условия (1′), находим значение и получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде

2-й способ.

1.Ищем решение уравнения (1) в виде

y = u(x)v(x), (4)

где u и v — неизвестные функции х.

2.Уравнение (1) принимает вид

u’v + uv’ + p(x)uv = q(x). (5)

3.Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно
уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало
множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

u’+р(х)u = 0. (6)

Тогда уравнение (5) примет вид

v’u = q(x). (7)

Решая уравнение (6) (с разделяющимися переменными), находим и, не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.

4.Подставляем u(х) в уравнение (7) и решаем его относительно v.

5.Записываем общее решение уравнения в виде у(х) = u(x)v(x).

6.Используя начальные условия (1′), получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде

Пример:

Найти решение задачи Коши для уравнения с начальным условием

Решение:

1-й способ.

1.Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2.Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение
однородного уравнения

у = Сх.

3.Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (8) в виде

у = С(х)х,

где С(х) — неизвестная функция х;

б) подставляя в уравнение (8)
у = С(х)х и у’ = С'(х)х + С(х),

получаем дифференциальное уравнение относительно С(х)

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные

и интегрируя, получаем

где — произвольная постоянная.

4.Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8)
имеет вид

5.Используя начальное условие у(1) = 1, получаем

находим и подставляем в общее решение (9).

Ответ. у = 1/х.

2-й способ.

1.Ищем решение уравнения (8) в виде

у = u(x)v(x),

где u и v — неизвестные функции х.

2.Уравнение (8) принимает вид

3.Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно
уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало
множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

Тогда уравнение (10) принимает вид

Решая уравнение (11) (с разделяющимися переменными), находим

u(х) = Ах,

где А — произвольная постоянная ( чтобы не сужать множество решений).

4.Подставляем u(х) в уравнение (12) и решаем его относительно v:

где В — произвольная постоянная.

5.Записываем общее решение уравнения (8) в виде

где С = АВ — произвольная постоянная.

6.Используя начальное условие у(1) = 1, находим C = 0.

Ответ. у = 1/х.

Уравнение Бернулли

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли

с начальным условием

План решения.

1.С помощью подстановки

уравнение приводится к линейному

где и

2.Решаем линейное уравнение (2) и делаем замену

3.Используя начальное условие находим решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде

Замечание:

При решения уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде у = u(x)v(x) или
применять метод вариации произвольной постоянной.

Пример:

Найти решение задачи Коши

с начальным условием

у(1)=1.

Решение:

Преобразовав уравнение к виду

убеждаемся, что это уравнение Бернулли с

1.С помощью подстановки

уравнение (3) приводится к линейному

2.Решаем уравнение (4) методом вариации произвольной постоянной:

а) решаем однородное уравнение получаем

получаем z=Cx;

б) ищем решение неоднородного уравнения в виде

z = С(х)х;

в) подставляя в уравнение (4)

z = С(х)х, z’= С'(х)х + С(х),

получаем уравнение с разделяющимися переменными

С'(х)х = -1.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (4) имеет
вид

или, после замены

3.Используя начальное условие y(1) = 1:

получаем

Ответ.

Уравнения в полных дифференциалах

Постановка задачи. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (1)

План решения.

1.Если в некоторой области D Р(х, у) и Q(x, у) имеют непрерывные частные производные и выполнено условие

то P(x,y)dx + Q(x,y)dy — дифференциал некоторой функции
U(x,y). Тогда уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде

где U(x, у) — дважды непрерывно дифференцируемая неизвестная
функция.

Из следует, что интегральные кривые определяются уравнением U(x,y) = С при всевозможных значениях С.

Для отыскания U заметим, что

2.Интегрируя первое равенство в (2) по x, получим

где — неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3.Дифференцируя U по у, имеем

Используя второе равенство в (2), получим уравнение

4.Находим и затем U(x,y).

Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением U(x,y) = C
при всевозможных значениях С.

Пример:

Найти интегральные кривые дифференциального урав-
уравнения

Решение:

1.Преобразуем уравнение (3):

В данном случае

Эти функции непрерывно дифференцируемы в области Кроме того,

Поэтому Р(х, у) dx + Q(x, у) dy — дифференциал некоторой функции
U(x, у) в любой односвязной области D, не содержащей точку х = 0,
у = 0. Следовательно, уравнение (3) является уравнением в полных
дифференциалах и может быть записано в виде

dU(x,y) = 0 при

При этом

2.Интегрируя первое равенство в (4) по x, получим, что при

где — неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3.Дифференцируя U по y, имеем

Используя второе равенство в (2), получим

После преобразований имеем

4.Отсюда

и, следовательно,

Ответ. Интегральные кривые в области у > 0 или в области у < 0
определяются уравнением

при всевозможных значениях С.

Уравнения вида

Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального
уравнения

План решения.

1.Полагал получим дифференциальное уравнение
первого порядка

2.Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий
метод решения, находим где — произвольная постоянная.

3.Так как имеем

Последовательно интегрируя k раз (при каждом интегрировании не
забывая о произвольной постоянной), получим ответ

— произвольные постоянные.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

1.Поскольку дифференциальное уравнение не содержит у, то полагая у’ = р(х), имеем у» = р'(х). Получаем дифференциальное уравнение первого порядка

2.Уравнение

линейное относительно р и p’. Решая его, например, методом вариации произвольной постоянной, находим

3.Так как р = у'(х), имеем

Интегрируя, получим общее решение

Ответ.

Уравнения вида F(y,y’,y»)=0

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

F(y,y’,y»)=0

с начальными условиями

План решения.

1.Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

у‘=р(у),

где р(у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно р(у)

2.Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий
метод решения, находим р = f(y,C), где С — произвольная постоянная.

3.Используя начальные условия (оба), находим

4.Подставляя получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные в области, где получаем

и, интегрируя, находим

Проверяем, не является ли решение особым решением
исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.

5.Используем начальные условия для нахождения второй постоянной (значение уже было найдено в п. 3) и получаем решение
задачи Коши.

Ответ записываем в виде у = у(х) или х = х(у).

Пример:

Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения

с начальными условиями

у(1) = -1, у‘(1) = -1

Решение:

1.Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

у’ =р(у),

где р(у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно

2.Разделяя переменные и интегрируя, находим

т.е.

(знак минус мы выбрали из начального условия у'(1) = —1 < 0.)

3.Из начальных условий (обоих) имеем у’ = — 1 при у = — 1.
Отсюда, Учитывая, что в силу первого начального условия
у < 0 и, следовательно, получаем

4.Разделяя переменные и интегрируя, находим

5.Из начального условия у(1) = —1 получим
Следовательно,

(Знак минус мы выбрали из начального условия у(1) = — 1 < 0.)

Ответ.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где — многочлен степени п, — многочлен степени т
и p,q,a,b — действительные числа.

План решения.

Общее решение неоднородного линейного уравнения n-го порядка
имеет следующую структуру:

где — фундаментальная система решений и — общее решение соответствующего однородного уравнения, — какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

1.Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде где — неизвестное число.

Подставляя в уравнение (2) и
сокращая получаем так называемое характеристическое уравнение

2.Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (2) записываются в одном из следующих трех видов:

а) если и вещественны и то фундаментальная система решений — это и общее решение имеет
вид

б) если и вещественны и то фундаментальная система решений — это и общее решение имеет
вид

в) если и комплексные, т.е. то фундаментальная система решений — это и общее решение имеет вид

3.Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения.
Поскольку правая часть уравнения имеет вид

можно применить метод подбора частных решений:

если а ± ib не является корнем характеристического уравнения (3), то

где и — многочлены степени k = max{n,m} с неопределенными коэффициентами;

если а ± ib есть корень характеристического уравнения (3) кратности s, то

где и — многочлены степени k = max{n,m} с неопределенными коэффициентами.

4.Находим неопределенные коэффициенты, подставляя в исходное уравнение.

Записываем ответ по формуле (1).

Замечание:

Аналогично решаются линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.

Пример:

Найти общее решение линейного дифференциального
уравнения

у» + у = х sin х. (5)

Решение:

1.Записываем соответствующее однородное уравнение

у» + у = 0 (6)

и ищем его решение в виде где — неизвестное число.
Подставляя в уравнение (6) и
сокращая получаем характеристическое уравнение

2.Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня

Имеем фундаментальную систему решений

и общее решение однородного уравнения (6)

3.Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения
(5). В нашем случае правая часть неоднородного уравнения имеет
вид (4) с а = 0, b = 1, n = 0, m = 1.

Так как характеристическое уравнение имеет комплексные корни
а ± ib = ±i кратности s = 1 и max {n, m} = 1, то частное решение
ищем в виде

где — неизвестные числа (неопределенные коэффициенты) .

4.Находим неопределенные коэффициенты, дифференцируя
два раза и подставляя в уравнение (5).

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при cos x,
х cos x, sin x, х sin x, получаем четыре уравнения

из которых определяем Таким
образом,

По формуле (1) находим общее решение неоднородного уравнения

Ответ.

Принцип суперпозиции

Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения п — го порядка с постоянными коэффициентами

где

План решения.

Принцип суперпозиции. Если правая часть уравнения (1)
есть сумма нескольких функций

и — какое-нибудь частное решение каждого уравнения

то в силу линейности уравнения (1) его общее решение имеет вид

где — общее решение однородного уравнения

1.Находим фундаментальную систему решений и общее решение
однородного уравнения.

2.Для каждого неоднородного уравнения (2) (i = 1, 2,…, k) находим частное решение (используя, например, метод подбора или
метод вариации произвольных постоянных).

Записываем ответ в виде (3).

Пример:

Найти общее решение линейного дифференциального
уравнения

Решение:

1.Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде где — неизвестное число.
Подставляя в уравнение (4) и
сокращая получаем характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение имеет три корня и

Таким образом, имеем фундаментальную систему решений
и общее решение однородного уравнения

2.Решаем неоднородное уравнение, используя принцип суперпозиции:

а) ищем частное решение неоднородного уравнения

в виде где А — неопределенный коэффициент (так
как а + ib = 10 — корень характеристического уравнения кратности
s = 1).

Дифференцируя три раза и подставляя в уравнение (5), находим А = 1/10. Таким образом,

б) ищем частное решение неоднородного уравнения

у'» -100у’ = 100cos10x (6)

в виде где и — неопределенные
коэффициенты (так как а±ib = ±10i не являются корнями характеристического уравнения, то множитель х отсутствует).

Дифференцируя три раза и подставляя в уравнение (6), находим и Таким образом,

Используя принцип суперпозиции (3), получаем

Ответ.

Метод Лагранжа

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

с начальными условиями

План решения.

1.Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Находим фундаментальную систему решений и и общее
решение однородного уравнения

2.Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных
постоянных).

Если известна фундаментальная система решений
однородного уравнения (2), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле

где функции и определяются из системы линейных алгебраических уравнений

3.Интегрируя, находим функции и и записываем общее решение неоднородного уравнения.

3.Используя начальные условия находим решение задачи
Коши.

Записываем ответ в виде у = у(х).

Пример:

Найти решение задачи Коши

с начальными условиями

Решение:

1.Записываем соответствующее однородное уравнение:

у» + у = 0.

Находим фундаментальную систему решений и и общее решение однородного уравнения

2.Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных
постоянных):

а) ищем решение данного неоднородного уравнения в виде

б) записываем систему уравнений для определения функций
и

Решая ее (так как решение ищем в окрестности точки х = 0, то
cos х > 0), получим

Интегрируя, находим

в) записываем полученное общее решение данного неоднородного
уравнения

3.Используя начальные условия, определяем константы и
Так как

то Так как

то

Ответ. у = cosx(ln cos x + 1) + х sin х.

Как решать дифференциальные уравнения — подробная инструкция с примерами

Дифференциальные уравнения первого порядка

1°. Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет общий вид

а разрешенное относительно первой производной:

Если функцию f (x, у) можно представить в виде отношения двух функций то дифференциальное уравнение представимо в дифференциальной форме

Решением дифференциального уравнения называется каждая функция у = у (х), которая после подстановки в уравнение вместе с у'(х) превращает его в тождество.

Теорема:

Существования и единственности решения. Если в уравнении у’ = f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная f(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, — точка этой области, то существует, и притом единственное, решение у = у (х), удовлетворяющее условию

Условие записываемое также в виде или при называется начальным условием, или условием Коши, для данного дифференциального уравнения. Геометрически начальное условие изображает точку в области D, через которую должна проходить интегральная кривая (решение уравнения) у = у(х).

2°. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям

1) удовлетворяет ДУ при любом значении С

2) каково бы ни было начальное условие можно найти значение такое, что удовлетворяет этому условию, т е

3°. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция соответствующая фиксированному значению постоянной С.

Решить, или проинтегрировать, данное дифференциальное уравнение означает найти общее решение или, иногда говорят, общий интеграл и если начальные условия заданы, то найти также то частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям.

Под общим интегралом дифференциального уравнения понимается соотношение вида

Ф (x, y, C) = 0,

получаемое при решении уравнения. Оно определяет решение
у = у(х, С) как неявную функцию двух переменных.

4°. Геометрически общее решение (общий интеграл) изображается семейством (множеством) кривых в области D, зависящих от постоянной С.

Каждая кривая этого семейства соответствует частному решению уравнения, а выделить какое-либо частное решение из общего можно заданием точки, через которую оно проходит. Именно это выражает условие Коши.

5°. Дифференциальное уравнение y’ = f(x,y), разрешенное относительно производной, определяется функцией f(x,y). В каждой точке значение есть а это — угловой коэффициент (направление) касательной к кривой у = у(х) в точке с абсциссой .

Тем самым уравнение у’ = f (х, у) геометрически изображается множеством или, как говорят, полем направлений в области D. Другими словами, каждая точка области снабжена направлением, вдоль которого должна через эту точку пройти интегральная кривая.

Геометрическое место точек, в которых у’ = К, где К — постоянная, или, что то же самое, f(x,y) = К (линия уровня функции f(х,у)), называется изоклиной данного уравнения. В точках изоклины направления поля параллельны между собой.

Метод изоклин представляет собой метод приближенного построения интегральной кривой, исходя из построенного поля направлений данного дифференциального уравнения.

Примеры с решениями

Пример:

Дано дифференциальное уравнение у’ = х. Построить поле направлений и указать приближенно общее решение этого уравнения.

Решение:

Имеем f(х,у) = х. Эта функция определена при всех значениях х и у (она не зависит от у). Это означает, что т.е. областью D является вся плоскость Оху. Во всех точках плоскости, в которых х = 0 (это ось Оу), имеем у’ = 0. Это значит, что в точках оси Оу поле горизонтально (на рис. 4.1 это изображено короткими горизонтальными штрихами). В точках плоскости, в которых х = 1 (это прямая х = 1), имеем у’ = 1, т.е. касательные ко всем кривым, пересекающим прямую х = 1, составляют с осью Ох угол в 45°. В точках прямой х = — 1 поле (множество касательных) составляет с положительным направлением оси Ох угол 135°, и т.д. Прямые х = К являются изоклинами поля направлений уравнения, и эти направления образуют с положительным направлением оси Ох углы, тангенс которых равен К. Тем самым поле направлений построено. Если через какую либо точку, скажем, через начало координат (0, 0), провести интегральную кривую, то в точке (0,0) эта кривая имеет горизонтальную касательную, а в окрестности точки х = 0, справа от нее, угловой коэффициент интегральной кривой положителен; прямую х = 1 она пересекает под углом в 45°, прямую под углом 60°, прямую х = 2 под большим углом, и т. д. Если эту интегральную кривую продолжать влево, то угловые коэффициенты касательных

меняются так, что прямую х = — 1 кривая пересекает под углом в 135°, прямую под углом 120° и т. п. Поскольку поле симметрично относительно оси Оу, то такими же будут и интегральные кривые. Аналогичным образом можно строить интегральную кривую, проходящую через другую точку плоскости, например, через точку (0, 1). Поле указывает на «параллельность» семейства интегральных кривых. Густая сеть изоклин и тщательное построение интегральных кривых наводят на мысль о том, что интегральные кривые напоминают параболы.

И это оправдано, так как общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример:

Дано дифференциальное уравнение

Проверить, является ли функция решением данного уравнения. Будет ли она его общим решением?

Решение:

Находим

Выражения для у и у’ подставим в левую часть исходного уравнения. После преобразований получим:

Получили тождество при т.е. данная функция является решением уравнения; оно не является общим решением, поскольку она не содержит произвольную постоянную.

Пример:

Проверить, что функция, заданная параметрически:

является решением дифференциального уравнения х = ln у’ + sin у’.

Решение:

Находим у’ по правилу дифференцирования параметрически заданной функции:

Дифференцируем:

Подставляем соответствующие выражения для у и у’ в исходное уравнение: ln t + sin t = ln t + sin t.

Получили тождество при t > 0. Данная функция есть решение исходного уравнения. Заметим, что она не является общим решением (не содержит постоянную).

Пример:

Проверить, что функция зависящая от произвольной постоянной С, является общим решением дифференциального уравнения

Решение:

Имеем

После подстановки в уравнение получаем тождество (проверить самостоятельно) при всех

При любых значениях С данная функция есть решение исходного уравнения.

Примечание:

Пусть и — произвольные числа. Найдем значение , такое, что Для этого решим относительно уравнение При находим

Подставим значение в выражение для

Это — частное решение, полученное из общего и удовлетворяющее условию Коши: при

Таким образом, данная функция представляет собой общее решение исходного уравнения.

Пример:

Построить (в приближенном виде) поле направлений и интегральные кривые для дифференциального уравнения

Решение:

Правая часть уравнения определена во всей плоскости Оху, т.е. область D, о которой речь идет в теореме существования и единственности, есть вся плоскость Оху. В начале координат имеем
х = у = 0 и у’ = 0. Ни в каких других точках не выполняется у’ = 0, т.е. начало координат — это единственная точка с горизонтальным направлением поля. В точке (1, 0) имеем у’ = 1, что соответствует направлению касательной под углом в 45°. Такое же направление касательных будет во всех точках окружности (в них ).

Окружность является изоклиной поля с направлением в 45°. В точках окружности поле направлено под углом 60°. В точках окружности поле направлено под углом v3 в 30°, и т.п. Чем меньше радиус окружности, тем меньше угол направления поля, и чем больше радиус окружности, тем круче наклон поля.

Пройдя через все точки поля, получим (условно говоря) все интегральные кривые. Общее представление об интегральных кривых можно получить из построенного чертежа (рис. 4.2). Одна кривая проходит через точку (0, 0) и имеет в этой точке горизонтальную касательную. Других кривых с горизонтальной касательной нет.

Пример:

Построить дифференциальное уравнение, если известно его общее решение

Решение:

Воспользуемся определением: нужно составить уравнение, содержащее аргумент х, неизвестную функцию у и ее производную y’. Для этого данную функцию продифференцируем, а затем из двух уравнений, объединенных в систему, исключим постоянную С. Итак,

или

Таким образом, в качестве искомого дифференциального уравнения можно взять одно из последних равенств.

Уравнения с разделенными и с разделяющимися переменными

1°. Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида

Считая, что искомая функция у = у(х), уравнение можно записать в виде равенства двух дифференциалов

Это равносильно тому, что первообразные Ф(х) и G(y(x)) левой и правой частей отличаются на произвольную постоянную

Это равенство является общим интегралом, или общим решением данного уравнения.

2°. Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно приводится к уравнению с разделенными переменными после почленного деления на

3°. Уравнение вида у’ = f (ах + by) можно привести к уравнению с разделенными переменными при помощи подстановки ах + by = v, где v — новая неизвестная функция.

Примеры с решениями

Пример:

Решить дифференциальное уравнение Найти также частное решение, удовлетворяющее начальному условию у = 0 при х = 0.

Решение:

Имеем уравнение с разделенными переменными: Каждую часть интегрируем по своей переменной: т.е.

Получили общий интеграл, или общее решение в неявном виде. Отсюда получаем решение в явном виде: (мы не учитываем периодичность тангенса). Подставляем сюда (или в общий интеграл) х = 0, у = 0 и определяем значение постоянной С: 0 = arctg С (или 0 = 0 + С ). Получаем С = 0 и подставляем это значение в общее решение. Искомое частное решение имеет вид

О т в е т ,

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Вынесением за скобки приводим уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

Почленно разделим на

Получаем уравнение с разделенными переменными:

Проинтегрируем (второе слагаемое по частям):

Получили общий интеграл, или общее решение в неявном виде.

О т в е т

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Очевидно, что правая часть данного уравнения является функцией от 2х + 3у. Обозначим v = 2х + 3у. Это равенство дифференцируем по переменной х (х — аргумент и для функции у и для функции v): 2 + 3у’ = v’.

Отсюда находим и подставляем это выражение в исходное уравнение:

Интегрируем

Получили общее решение вспомогательного уравнения. Возвращаясь к х и у, записываем общее решение исходного уравнения в неявном виде.

О т в е т

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Переписав данное уравнение в виде замечаем целесообразность подстановки (замены переменной) 2х + у = v. Дифференцируя это равенство (по переменной х), получаем 2 + у’ = v’, или у’ = v’ — 2. Исходное уравнение принимает вид (у = v — 2х): или

Это уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции v: Интегрируем:

— это общее решение вспомогательного уравнения. Возвращаемся к исходной неизвестной: v = 2х + у.

О т в е т у = 2tg(2х + С) — 2х.

Пример:

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

и найти также то частное решение, которое удовлетворяет условию Коши:

Решение:

Данное уравнение преобразуем с целью разделения переменных (заменив ) :

Интегрируем полученное равенство:

Получили общее решение в неявном виде. Для получения частного решения подставим в общее решение значения х = 2, у = 1 и найдем постоянную

Подставив это значение С в формулу общего решения, получаем искомое частное решение в неявном виде:

Иногда привести уравнение к виду, удобному для интегрирования,можно нетривиальной подстановкой (заменой).

Пример:

Решить дифференциальное уравнение

Решение:

Очевидно, что разделить переменные нельзя. Выполним замену ху = z, т.е. где z— новая неизвестная функция аргумента х. Дифференцируя первое равенство, получаем у + ху’ — z’. Отсюда ху’ = z’ — у. Подстановки в исходное уравнение дают:

Заменим и разделим переменные:

После интегрирования получаем

Остается вернуться к переменным х и у (z = xy):

О т в е т

Однородные уравнения первого порядка

1°. Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение вида

При помощи подстановки — т.е. у = t х, у’ = t х + t однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции t = t(x).

2°. Уравнение вида где приводится к однородному при помощи подстановок где и — числа, удовлетворяющие системе уравнений

Имея в виду равенство

данное уравнение приводим к однородному относительно новой функции v = v (u)

Если приведенная линейная система неразрешима, т.е. ее определитель равен нулю, то данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой .

Примеры с решениями

Пример:

Найти общий интеграл уравнения

Решение:

Формально не очевидно, что правая часть этого уравнения есть функция, зависящая от отношения Для того, чтобы это увидеть, вынесем за скобки в числителе и знаменателе и сократим на этот множитель. Получим

Получили однородное уравнение, вид которого обозначен в п. 1°. Положим у = tx, у’ = t’x + t (здесь t — новая искомая функция от х). Получаем уравнение

Преобразуем, перенося t в первую часть

или

разделим переменные:

Проинтегрируем: или

Подставляя получим искомый общий интеграл.

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Это уравнение было бы однородным, если в числителе и знаменателе правой части отсутствовали бы свободные члены. Оно имеет вид, указанный в п. 2°, и может быть приведено к однородному после дополнительного поиска.

Из линейной системы находим

Эти числа используем в последующих линейных заменах аргумента х и функции у. Положим х = u — 1, у = v + 2, у’ = v’. Получаем (убедитесь в этом) уравнение Это новое уравнение является однородным (в нем имеем новую неизвестную функцию v и новый аргумент u).

Подстановкой v = tu, v’ = t’u + t (здесь u — независимая переменная,
t = t (u) — неизвестная функция от u) приходим к уравнению с разделяющимися переменными. Имеем или . Заменяем разделяем переменные и интегрируем: т.е.

Возвращаемся к х и

Под знаком логарифма приведем к общему знаменателю, логарифм частного заменим разностью логарифмов, равные слагаемые в правой и левой частях сократим. Общее решение получаем в неявном виде.

Ответ

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Система , неразрешима, поэтому уравнение к однородному не приводится. Заметим, что правая часть есть функция от х + у. Уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. Положим x + y = z. Тогда
2х +2у + 5 = 2z + 5. После дифференцирования предыдущего равенства получаем: 1 + у’ = z’, у’ = z’ — 1. Приходим к уравнению откуда или

Интегрируем и возвращаемся к переменным х и у. Получаем

Ответ

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

1°. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли с показателем При уравнение Бернулли становится линейным.

Линейное уравнение и уравнение Бернулли можно решить единым методом, а именно подстановкой

Здесь u и v — две неизвестные функции, относительно которых имеет место равенство

На новые неизвестные функции u и v накладывается дополнительное условие (помимо того, что они должны удовлетворять предыдущему уравнению):

Если имеет место это равенство, то автоматическим следствием уравнения является равенство:

Предыдущее уравнение — с разделяющимися переменными. Решив его и подставив полученное v в последнее уравнение, определим функцию u. Тем самым, поскольку у = uv, общее решение первоначального уравнения найдено (в явном виде).

Примечание:

Из сказанного следует, что подстановкой у = uv линейное уравнение или уравнение Бернулли сводится к равносильной системе уравнений:

2°. Линейное уравнение можно решить и другим методом.

1) Если то уравнение называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

2) Общее решение неоднородного уравнения (т.е. при ) можно найти методом вариации произвольной постоянной, который заключается в том, что оно ищется в виде

Это выражение вместе с его производной подставляется в исходное уравнение, в результате чего получается новое дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции С(х). Найдя эту функцию, подставим ее в последнее равенство.

Ниже мы ограничимся только первым способом решения линейных уравнений и уравнений Бернулли.

Примеры с решениями

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Положим у’ = u’v + uv’. Получаем

1) Из уравнения uv’ + xuv = 0, т.е. или

находим или (постоянную интегрирования принимаем равной нулю).

2) Оставшееся уравнение после замены принимает вид или Отсюда или

Из полученных решений u и v составим общее решение данного уравнения.

О т в е т

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение не является линейным (или уравнением Бернулли), поэтому подстановка вида у = uv неприемлема. Необходимо вспомнить о взаимно обратных функциях и связи между их производными: чтобы заменить данное уравнение уравнением х’ = x cos у + sin 2у, линейным относительно функции х = х (у) аргумента у.

Выполним замену x’ = u’v + u v’

Подставляем в новое уравнение:

после чего можно воспользоваться схемой, примененной в предыдущем примере.

1) Приравниваем средние члены уравнения:
v’=v cos y, ln |v| = sin y, (постоянную интегрирования принимаем равной нулю).

2) Осталось равенство крайних слагаемых: u’v = sin 2у,

(интегрировали по частям). Умножив на v, получаем выражение для х = х (у).

Ответ

Пример:

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение:

Меняем ролями функцию у и аргумент х:

Получили линейное относительно неизвестной функции х = х (у) уравнение. Полагая , х’ = u’v + uv‘, получим систему

Ответ

Уравнения в полных дифференциалах

1°. Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если функции Р(х,у) и Q(x,y) удовлетворяют условию

В таком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных u (х, у), и если эту функцию найти, то общее решение уравнения имеет вид
u (х,у) = С.

2 . Уравнения, для которых условие не выполняется

(они не являются уравнениями в полных дифференциалах), приводятся к уравнениям в полных дифференциалах почленным умножением на надлежащий множитель р, называемый интегрирующим множителем:

зависит только от x;

зависит только от y;

Примеры с решениями

Пример:

Решить уравнение (х + у) dx + (х + 2у) dy = 0.

Решение:

Здесь Р = х + у, Q = х + 2у, Имеем уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u = u (х, у) из условия du = (х + у) dx + (x + 2у) dy. Так как то

Из первого условия находим

где — некоторая функция от у, определяемая из второго условия:

Отсюда следует, что т.е. а тогда u (х,у) =

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Имеем Q = — 2ху,

Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Выражение — зависит только от переменной х, поэтому согласно п. 2° (случай 1) уравнение допускает интегрирующий множитель зависящий от х:

Умножим почленно исходное уравнение на множитель Получаем новое уравнение

Теперь имеем

т.е. уравнение в полных дифференциалах.

Находим функцию u (х,у), такую, что

Дифференцируем эту функцию по у и приравниваем к

Отсюда т.е. не зависит от у.

Можно принять Тогда

О т в е т.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Имеем

Находим интегрирующий множитель:

Отсюда После почленного умножения уравнения на получаем уравнение в полных дифференциалах

Его общее решение имеет вид

Ответ

Примечание:

Некоторые уравнения допускают интегрирующие Множители, зависящие от обеих переменных х и у. Для получения таких множителей необходимо доумножать уравнение почленно на и анализировать возможности, при которых новое уравнение может быть уравнением в полных дифференциалах. Такие уравнения мы не рассматриваем.

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения, не разрешенные относительно производной:

Дано дифференциальное уравнение первого порядка степени n, не разрешенное относительно первой производной у, вида

— известные непрерывные функции своих аргументов.

Предположим, что данное уравнение разрешимо относительно у’ и имеет действительных решений

Такие уравнения были рассмотрены нами в предыдущих параграфах, а значит, общий интеграл исходного уравнения представляет собой совокупность решений всех отдельных уравнений.

Рассмотрим некоторые уравнения, которые не разрешимы относительно производной у’.

Уравнения вида

Предположим, что уравнение разрешимо только относительно переменной у, и пусть — какое-либо его действительное решение. В таком случае решение уравнения , а тогда и уравнения будем искать в параметрической форме.

Положим у’ = t (t — параметр). Равенство у = g(у’) дифференцируем по переменной х с последующей заменой у’ на t. Учитывая, что t = t(x) есть функция от х, получаем

Равенство крайних членов представляет собой дифференциальное уравнение, которое перепишем в виде (разделяем переменные) Отсюда и к этому равенству присоединяем первоначальное уравнение у = g(у’) т. е. y=g(t) Получаем параметрическое решение исходного уравнения
y = g (y)

Это решение составляет часть решения уравнения

Уравнения вида

Предположим, что уравнение разрешимо только относительно переменной x и х = g(у’) — какое-то его действительное решение. Это — уравнение, не разрешенное относительно y’. Его решение будем искать также в параметрической форме.

Положим у’ = t, т.е. Отсюда Равенство х = g (у’), т.е.
х = g(t), дифференцируем по х:

Отсюда dx = g'(t) dt. Сравнивая это равенство с равенством получаем или

Это равенство можно проинтегрировать и присоединить к нему равенство x = g (t).

Получаем: параметрическое решение уравнения
х = g(у’) составляющее также часть решений исходного уравнения

Уравнение Клеро

Уравнением Клеро называется уравнение вида не разрешенное относительно у’, где — некоторая известная функция.

1) Подстановка у’ = С (С — произвольная постоянная) показывает, что есть общее решение уравнения Клеро (из этого равенства следует, что у’ = С). Таким образом, общее решение уравнения Клеро геометрически представляет собой семейство прямых линий.

2) Уравнение Клеро допускает еще одно решение, которое не получается из общего, а потому не является частным и называется особым решением. Это решение найдем в параметрической форме по схеме, описанной выше.

Положим у’ = t (t — переменная, параметр) и подставим в уравнение Клеро. Получим и продифференцируем это равенство по х с последующей заменой у’ на t:

Отсюда а тогда ( t’ = 0 приводит к
t = С, у’ = С, а это уже было рассмотрено). К этому равенству присоединяем уравнение Клеро и тем самым получаем параметрическое выражение особого решения:

Уравнение Лагранжа

Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

не разрешенное относительно производной у’, где и — некоторые известные непрерывные функции.

Общий интеграл этого уравнения найдем в параметрической форме. Положим у’ = t. Тогда Дифференцируем это равенство по х. Получаем последовательно

Заменим здесь у’ на t, a t’ на и перепишем полученное равенство в виде

или

Это уравнение, очевидно, является линейным дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции x = x(t) при условии

К его общему решению присоединим равенство (уравнение) Лагран-жа и в результате получим общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме:

Случай обращения в нуль множителя при некотором значении параметра t приводит к и

Это — решение уравнения Лагранжа, не получаемое из общего решения, а потому оно является особым.

Примеры с решениями

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

Пример:

Решение:

Анализ левой части уравнения позволяет разложить ее на множители:

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений с разделяющимися переменными:

Общее решение исходного уравнения состоит из совокупности двух функций, каждая из которых зависит от своей произвольной постоянной (правая функция определена явно, вторая неявно, но для единообразия решение запишем в неявной форме).

О т в е т или

Примечание. В общем решении мы используем две константы и , чтобы подчеркнуть независимость решений отдельных уравнений. Однако использование одной постоянной не является ошибкой.

Пример:

Решение:

Данное уравнение необходимо разрешить как квадратное уравнение относительно производной у’.

Находим:

Пришли к совокупности уравнений, каждое из которых решается одним из известных способов. Первое решим заменой:

Второе интегрируем непосредственно:

Ответ

Примечание:

К исходным уравнениям примеров 1 и 2 (не разрешенным относительно производной у’) теорема существования и единственности неприменима. В качестве иллюстрации заметим, что в примере 2 через точку проходят две различные интегральные кривые: и

Пример:

Решение:

Для разложения левой части на множители преобразуем первую дробь:

Теперь нетрудно заметить, что исходное уравнение можно представить в виде

Решая два простых уравнения (предлагаем сделать это самостоятельно), приходим к общему решению.

Ответ

Для следующих уравнений приемы, примененные выше, неэффективны. Общие их решения можно представить только параметрически.

Пример:

Решение:

Данное уравнение можно отнести к уравнениям общего вида и применить к нему рассуждения п. 6.2.

Положим у’ = t (t — параметр). Получаем равенство которое дифференцируем по х (подчеркнем, что t = у’ — это функция от х, t = t(x), а тогда Получаем или (заменяя y’ = t ) Анализируем это равенство.

1) Если t = 0, т.е. у’ = 0, то функция у = С является решением полученного уравнения, но, вообще говоря, не удовлетворяет исходному уравнению: имеет место только при
С = 0, что дает одно тривиальное решение исходного уравнения: у = 0.

2) Если то анализируемое уравнение можно представить в виде или dx = 3(2-5t)dt. Его решение:

Это равенство не может определять общее решение исходного уравнения, ибо t не является независимой переменной (поскольку
t = у’) и, кроме этого, в полученном равенстве нет переменной у, а потому нет и аналитического выражения интегральной кривой, т.е. зависимости между х и у.

Присоединяем к полученному равенству исходное уравнение (равенство) с t = у’ в качестве параметра. Получаемая система представляет собой общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме.

Ответ

Пример:

Решение:

относительно производной а отсюда получится общее решение исходного уравнения. Однако наша цель — проиллюстрировать рассуждения п. 6.3. Положим у’ = t, т. е.

Исходное уравнение можно переписать в виде

Продифференцируем это равенство пo Поскольку получаем уравнение относительно неизвестной функции y = у(х) — у (х (t)).

Интегрирование дает:

Присоединяем к этому равенству первоначальное равенство и тем самым получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме.

Ответ

Пример:

Решить уравнение Клеро

Решение:

Уравнение Клеро (здесь )

решается в два этапа.

1) Заметим, что подстановка у’ = С (— произвольная постоянная) удовлетворяет данному уравнению: из него следует, что положив здесь приходим к тождеству (левая часть получена интегрированием равенства у’ = С, а правая часть взята из уравнения с заменой у’ = С). Значит, равенство дает общее решение исходного уравнения.

2) Поиск общего решения. Положим в исходном уравнении, как обычно, у’ = t, а затем продифференцируем полученное равенство по х с последующей заменой у’ на t:

Анализируем это равенство:

а) t’ = 0 t = С у’ = С; получили соотношение, уже рассмотренное в п. 1); оно приводит к общему решению;

б) — (зависимость х от параметра t).

Присоединив к этому выражению зависимость у от t, получим параметрическое решение: ,

Кстати, данный вид функции позволяет явно выразить параметр t через х и тем самым получить явную функцию у = у(х) — решение исходного уравнения. Сделаем это:

подставив в равенство получаем

Отсюда (наиболее простая неявная форма записи). Это так называемое особое (не частное) решение исходного уравнения, которое не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С.

Ответ

Примечание:

Между общим и особым решениями уравнений Клеро имеется связь, которая допускает геометрическую иллюстрацию.

График Г особого решения представляет собой полукубическую
параболу симметричную относительно оси у (рис. 4.3).

Оказывается, что общее решение есть семейство прямых ( С — произвольная постоянная, ), причем каждая прямая семейства является касательной к Г, а точка (x, у) графика Г принадлежит одновременно и какой-либо прямой Говорят, что особое решение составляет огибающую семейства прямых (общих интегральных кривых).

Вообще, предположим, что некоторое дифференциальное уравнение обладает общим решением со следующим свойством: существует интегральная кривая, не принадлежащая этому семейству, но имеющая общую точку с каждой интегральной кривой общего решения. Тогда эта новая линия является огибающей первого семейства и особым решением исходного уравнения. Именно такова линия для уравнения примера 6.

Пример:

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Лагранжа

Решение:

Заменим у’ = t. Уравнение принимает вид Это равенство дифференцируем по х, затем вместо у’ подставим

Поскольку то последнее уравнение можно представить в виде линейного дифференциального уравнения относительно неизвестной функции

Решим это уравнение подстановкой x’=u’v + u v’ Получаем

Из этой системы получаем общее решение линейного уравнения:

К этому равенству присоединяем выражение для у и получаем общее решение исходного уравнения Лагранжа в параметрической форме.

Ответ

Примечание:

В последнем равенстве можно вместо х вписать его выражение из первого равенства.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Уравнения, допускающие понижение порядка

1°. Дифференциальное уравнение порядка n в общем виде записывается так:

Для уравнения порядка n, разрешенного относительно старшей производной:

справедлива теорема существования и единственности решения.

Теорема:

Если функция ее частные производные по переменным непрерывны в некоторой области D из содержащей точку с координатами

существует, и притом единственное, решение у = у (х) уравнения (1), удовлетворяющее условиям

Эти условия называются начальными условиями, или условиями Коши.

2°. Общим решением дифференциального уравнения порядка n

называется функция зависящая от n произвольных постоянных такая, что:

1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных;

2) при заданных начальных условиях

где точка принадлежит области D, можно подобрать такие значения постоянных что

будет удовлетворять этим условиям.

Иногда общее решение определяется более общим соотношением

называемым общим интегралом, или неявным общим решением дифференциального уравнения.

3°. Для уравнения второго порядка у» = f(x,y, y’) начальные условия выражают условия определения интегральной кривой у = у(х), проходящей через данную точку и имеющей в этой точке угловой коэффициент касательной (или, другими словами, направление), равный

Согласно теореме 2, через данную точку может проходить бесконечное множество интегральных кривых, но только одна — в направлении, определенном значением

4°. Уравнения второго и более высоких порядков допускают решение или интегрирование в отдельных случаях; некоторые типы таких уравнений перечислим здесь.

1) Простейшее уравнение порядка n имеет вид

Общее решение этого уравнения получается в результате последовательного n-кратного интегрирования.

2) Уравнение вида

допускает понижение порядка на к единиц при помощи подстановок

не содержащее явно переменную у, сводится к двум уравнениям первого порядка:

где — общее решение уравнения F(x,p,p’) = 0.

3) Уравнение второго порядка, не содержащее явно независимую переменную х:

подстановками

(переменная у принимается в качестве независимой) сводится к двум уравнениям первого порядка:

где — общее решение уравнения F(y,p,p’) =0.

4) Подстановкой можно понизить на k единиц порядок n уравнения вида

Примеры с решениями

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Уравнение относится к типу 1). Интегрируем:

Интегрируем еще раз:

Далее, по аналогии:

Последнее интегрирование приводит к ответу (найдите его самостоятельно).

Ответ

Примечание:

Произведения (частные от деления) постоянных на числа являются также постоянными, поэтому предыдущий ответ можно записать в более удобном виде:

Пример:

Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х = 0, у = 1, у’ = 1.

Решение:

Данное уравнение не содержит явно переменную у, поэтому, согласно 2), воспользуемся подстановкой у’ = р, у» = р’. Приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно р:

Отсюда arctg р = — arctg х + arctg C, или

Остается проинтегрировать простейшее уравнение вида 1) (или с разделенными переменными) Получаем

это общее решение. Для получения искомого частного решения подставим сюда и в выражение для у’ значения х = 0, у = 1, у’ = 1 и определим

Эти значения подставим в выражение для у, откуда и получим искомое частное решение.

Пример:

Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям х = 1, у’ = 1.

Решение:

Визуально определяем, что это уравнение типа 3) — в нем явно отсутствует независимая переменная х. Принимаем у в качестве нового аргумента и выполняем подстановку у’ = р = р(у(х)). По правилу дифференцирования сложной функции находим

а исходное уравнение приводим к уравнению или
р’ = cos y (при этом мы опускаем одно решение р = 0, или у = С, которое не является общим: оно не содержит двух произвольных постоянных; если же рассматривать это решение как частное, то оно не удовлетворяет начальному у’ = 1). Находим p = sin y + C, или
y’ = sin y + C. Вычислим сначала значение С , исходя из начальных условий у’ = 1. Получим С = 0 и решим уравнение у’ = sin у, т.е.

Находим Из начальных условий х = 1, определяем

Тогда т.е.

Ответ

Примечание:

В этом примере требовалось найти у (частное решение), поэтому не стали интегрировать уравнение y’ = siny + C, илив общем виде, хотя это можно было делать. Это следует учитывать в тех случаях, когда промежуточное уравнение в общем виде трудно интегрировать.

Пример:

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение:

Данное уравнение относится к типу 2) с n = 3 и k = 2. Обозначим у» = р(х). Тогда у‘» = р’. После почленного деления уравнения на и соответствующих замен приходим к уравнению

Это линейное уравнение первого порядка решим подстановкой
р = uv, р’ = u’v + vu’. Опуская промежуточные выкладки (которые надо выполнить самостоятельно), укажем, что общее решение этого линейного уравнения имеет вид

После двух интегрирований находим общее решение исходного уравнения:

Значения трех постоянных определим исходя из начальных условий:

Начнем с равенства , в которое подставим x = 1,

Находим А теперь в равенство

подставляем x = 1, Получаем Наконец, в равенство подставляем

Ответ

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Прежде чем решить то или иное уравнение, имеет смысл проанализировать его конструкцию с целью обнаружения интегрируемых выражений или комбинаций.

В данном случае замечаем равенства (производные берутся по х):

а значит, исходное уравнение можно переписать в виде уравнения с разделенными переменными (вместо переменных имеем целые выражения):

Отсюда следует неравенство

В левой его части имеем (lnу’)’, а значит, после интегрирования получаем

Интегрируя по частям, имеем:

Тем самым общее решение получено.
Ответ

Пример:

Решить дифференциальное уравнение у»( 1 +2 ln у’) = 1.
Решение:

Уравнение можно отнести как к типу 2), так и к типу 3).

а) Принимаем, как для типа 2) р = у’ (х), р’ = у» (х). Приходим к уравнению с разделенными переменными (1 +2lnp)dp = dx. После интегрирования получаем , или 2у’lnу’ — у’ = х + С1.

Это уравнение не разрешимо относительно производной у’ и не встречается среди типов уравнений, которые можно интегрировать. Принимаем его как неразрешимое уравнение.

б) Принимаем, как для типа 3), р = р(у) = у’,

Приходим к уравнению первого порядка pp'( 1+ 2ln p) = 1, или

р(1 + 2lnp) dp = dy. После интегрирования получаем или

Это уравнение первого порядка также не встречается среди интегрируемых типов. Принимаем его как неразрешимое.

в) Переписываем результаты предыдущих пунктов а) и б) в виде системы

и принимаем эту систему в качестве общего решения исходного уравнения в параметрической форме с параметром t = у’.

Ответ

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1°. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка (кратко ЛДУ) называется уравнение вида

ay» + by’ + су = f(x)

(а, b, с — известные числа, f(х) — непрерывная функция) .

Если в некотором промежутке, то уравнение называется однородным (кратко ЛОДУ), в противном случае уравнение называется неоднородным (кратко ЛНДУ).

Обозначим А (у) = ay» + by’ + су. Тогда ЛОДУ можно записать так:
A(y) = 0, а ЛНДУ так: A(у) = f(x). В таком случае говорят об операторной записи дифференциального уравнения.

Запись (или ) означает, что функция является решением ЛОДУ (ЛНДУ).

2°. Две дважды дифференцируемые функции иназываются линейно независимыми на некотором отрезке [а; b], если их отношение не является постоянной величиной на этом отрезке, и линейно зависимыми в противном случае. Другими словами, если то и линейно независимы, а если постоянно, то и линейно зависимы.

О линейной зависимости или независимости функций и можно судить по определителю Вронского

Если функции и линейно зависимы на отрезке [a; b], то для всех х из [а; b].

Теорема:

Вронского. Если и — линейно независимые на отрезке [а; b] решения ЛОДУ, то определитель Вронского этих функций отличен от нуля в каждой точке этого отрезка.

3°. Общее решение ЛОДУ (и ЛНДУ) зависит от корней характеристического уравнения (кратко: хар. ур.) соответствующего ЛОДУ, получаемого заменой порядка производной неизвестной функции степенью обычной неизвестной переменной, которую обозначим буквой k. Общее решение можно найти, пользуясь только алгебраическими действиями. Вывод о структуре общего решения таких уравнений можно делать из следующих утверждений, которые легко проверить непосредственно (рекомендуем это проделать самостоятельно в качестве упражнений по решению квадратных уравнений и дифференцированию функций):

4) следующие условия равносильны:

5) если уравнение имеет два равных корня

6) если уравнение имеет два комплексно сопряженных корня то и

Теорема:

Если и — два линейно независимых решения ЛОДУ, то общее решение ЛОДУ имеет вид

Примечание:

Теорема 3 обеспечивает возможность получения частного решения данного дифференциального уравнения при любых начальных условиях.

4°. Алгоритм решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами состоит в составлении и решении характеристического уравнения Если при этом оно имеет:

1) два различных действительных корня то

2) два равных действительных корня то

3) два комплексно сопряженных корня то

Пример:

Проверить на линейную зависимость или линейную независимость следующие пары функций:

Решение:

Все функции заданы на всей числовой прямой. Пары функций а) и б) линейно независимы, так как их отношения не являются постоянными величинами:

Пары функций в) и д) линейно зависимы, так как их отношения являются постоянными:

Пример:

Проверить, что данные функции являются решениями данных дифференциальных уравнений, и составить общие решения этих уравнений:

Решение:

1) Находим первую и вторую производные первой функции:

Следовательно, есть частное решение уравнения Аналогично можно проверить, что функция также удовлетворяет этому уравнению (предлагаем проделать это самостоятельно). Данные функции линейно независимы, т.к. отношение

Согласно теореме 4 общее решение данного уравнения имеет вид

2) Аналогично решается этот пункт примера. Имеем (ограничимся решением данного уравнения);

3) Ограничимся проверкой функции (завершить самостоятельно):

Пример:

Найти общие решения данных линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В тех случаях, где даны начальные условия, найти соответствующие частные решения:

Решение:

Все дифференциальные уравнения решаются по единой схеме, поэтому незначительные детали иногда опускаются. Составляем характеристическое уравнение, находим его корни и общее решение ЛОДУ строим согласно алгоритму п. 4°.

Имеем

Согласно 1) п. 4° получаем

Ответ

Согласно 2) п. 4° получаем общее решение

Для получения частного решения необходимо это равенство продифференцировать:

Подставляя в последние равенства начальные условия х = 1, у = 2,
у’ = 1, приходим к системе

Отсюда

Согласно 3) п. 4° получаем
Ответ

4) Общее решение однородного уравнения имеет вид

Это равенство дифференцируем:

Подставляя в выражения для у и у’ начальные условия у = 2,
у’ + 1, получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Разрешимость системы обеспечивается теоремой 2. Находим

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1°. Уравнение вида

является линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами, или уравнением с правой частью, а уравнение А(у) = 0 однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению А(у) = f(x).

Теорема:

Если — некоторое частное решение ЛНДУ, то общее решение этого уравнения имеет вид — общее решение ЛОДУ).

Теорема:

Пусть — частное решение уравнения А(у) = /|(х); У2 — частное решение уравнения Тогда есть частное решение уравнения

2°. Частное решение уч ЛНДУ можно найти методом неопределенных коэффициентов (алгебраически), если правая часть /(ж) уравнения имеет специальный вид.

Ниже Pn,Qm. … — известные многочлены соответственно степеней п и то, Рn, Qm — многочлены с неизвестными коэффициентами (индекс многочлена обозначает его степень).

3°. Неизвестные коэффициенты многочленов, фигурирующих в теоремах 7 и 8, вычисляются следующим образом.

Выражения для подставляют в левую часть решаемого уравнения, а затем приравнивают коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях уравнения. Получаемая система уравнений и определяет искомые коэффициенты.

Примечание:

Теоремы 5-8 распространяются на уравнения порядка n:

Общее решение уравнения

представляет собой линейную комбинацию линейно независимых частных решений этого уравнения, которые получаются аналогичным образом, по корням характеристического уравнения

4°. Если правая часть неоднородного уравнения второго порядка имеет вид. отличный от тех, что указаны в теоремах 7-8, то частное решение для таких уравнений можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Теорема:

Пусть и — два частных линейно независимых решения ЛОДУ. Тогда существует функции , такие, что функция является частным решением ЛНДУ и При этом функции являются решениями системы дифференциальных уравнений первого порядка

Примеры с решениями

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Имеем:

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид т.е. не есть корень характеристического уравнения. Согласно п. 1) теоремы 3 частное решёние неоднородного уравнения следует выбирать в виде:

где А, В,С и D — неизвестные числа. Для их определения подставим в исходное уравнение выражения для

Вычисления организуем следующим образом. Выражения для запишем в столбик, а перед ними — соответствующие коэффициенты уравнения.

Систему уравнений получили в результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной х в правой и левой частях уравнения, получаемых при подстановке в него выражений для (метод неопределенных коэффициентов):

Общее решение неоднородного уравнения составим согласно теореме 1

Ответ

Пример:

Найти общее решение уравнения

Указать также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям x = 0, y = 1, y’= — 3

Решение:

Имеем

Правая часть имеет вид

однократный корень характеристического уравнения. Согласно п. 2) теоремы 3:

Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях х в правой и левой частях уравнения приводит к системе уравнений (формально имеем 4 уравнения и 3 неизвестных, но система всегда разрешима, ибо одно из уравнений является тривиальным):

Получили

Дифференцируем:

Начальные условия приводят к новой системе относительно неизвестных постоянных:

Ответ

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Имеем:

Дано — двукратный корень хар ур., n = I. Согласно п. 3) теоремы 3 составим соответствующую систему, предварительно преобразуя и предполагаемое частное решение и дифференцируя его.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

(триивиальное уравнение);

(тривиальное уравнение);

Ответ

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Правую часть уравнения сравним f(х) из теоремы 8. Имеем n = 0, n = 1,
s = mах(0, 1) = 1, числа не являются корнями характеристического уравнения. По теореме 4, п. 1 будем иметь (при дифференцировании подобные члены объединяются):

Ниже в начале каждой строки записан признак подобия сравниваемых членов.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Далее (см. теорему 2) находим два частных решения (решаем как бы два уравнения, что равносильно одному уравнению с двумя независимыми правыми частями).

а) Находим частное решение уравнения соответствующее тригонометрической части, имея в виду, что числа — это корни характеристического уравнения.

б) Находим частное решение, соответствующее алгебраической части:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Имеем:

Принимаем в качестве двух линейно независимых частных решений ЛОДУ. Тогда и решим систему дифференциальных уравнений (из теоремы 9):

Подчеркнем, что — функции переменной х. При помощи действий, указанных справа от системы, получаем:

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго

1°. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами порядка выше второго имеет вид

где n > 2.

Если то уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Схема решения уравнений второго порядка распространяется на уравнения порядка выше второго, с учетом конкретной специфики.

Например, корни характеристического уравнения

вносят следующую специфику:

1) каждому простому действительному корню k (или паре комплексных корней ) характеристического уравнения соответствует единственное частное решение вида (пара частных решений вида и ) исходного уравнения;

2) каждому действительному корню k кратности r соответствуют r линейно независимых корней исходного уравнения:

3) каждой паре комплексных корней кратности r соответствуют г пар линейно независимых решений исходного уравнения:

Теорема:

Общее решение ЛОДУ порядка п является линейной комбинацией всех n его частных линейно независимых решений, соответствующих корням характеристического уравнения, с произвольными коэффициентами. Общее решение ЛОДУ порядка п зависит от n произвольных постоянных.

Общее решение ЛНДУ представляет собой сумму общего решения ЛОДУ и одного частного решения ЛНДУ.

2°. Линейная независимость системы решений ЛОДУ на данном отрезке определяется ненулевым значением определителя Вронского для этой системы, который имеет вид

3°. Подбор частного решения неоднородного уравнения порядка n осуществляется так же, как в случае уравнения второго порядка, с учетом информации, приведенной в п. 1.

4°. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения состоит в определении соответствующего набора констант, зависящих от аргумента х и удовлетворяющих некоторой системе дифференциальных уравнений. Для случая уравнения третьего порядка

общее решение однородного уравнения имеет вид

где — фундаментальная система решений однородного уравнения (система линейно независимых решений); частное решение неоднородного уравнения имеет вид

где соответствующие константы являются решениями системы уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Корни характеристического уравнения можно определить методом разложения на множители:

Находим

Ответ.

Пример:

Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям x = 0, y= 1, y’ = 0, у» = 4.

Решение:

1)По характеристическому уравнению и его корням составим общее решение однородного уравнения:

2) По правой части уравнения подберем частное решение неоднородного уравнения

Коэффициенты А, В, С определим известным образом из соответствующей системы линейных уравнений. Сначала составим таблицу производных:

А теперь составим систему:

Получаем

3) Составим общее решение исходного уравнения:

4) Остается найти то частное решение неоднородного уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям. Для этого необходимо дважды продифференцировать

В выражения для и подставим начальные условия
х = 0, у = 1, После подстановки получаем систему, из которой определим

Пример:

Решить дифференциальное уравнение

Решение:

Корнями характеристического уравнения являются числа

Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид Частное решение неоднородного уравнения можно определить только методом вариации произвольных постоянных, т.е. где являются решениями системы дифференциальных уравнений

Из общего решения следует, что можно принять Тогда соответствующая система имеет вид:

При помощи первого действия, указанного справа от системы, получаем:

При помощи второго действия получаем: т.е.

Из первого уравнения системы, записанного в виде находим Отсюда т.е. Тем самым

Системы дифференциальных уравнений

1°. Систему дифференциальных уравнений первого порядка

назовем нормальной системой. Решить эту систему — означает найти n функций переменной х, удовлетворяющих системе.

Начальные условия, или условия Коши для системы дифференциальных уравнений представляют собой систему равенств (условий)

и выражают координаты точки (n + 1)-мерного пространства .

2°. Нормальную систему можно привести к одному уравнению порядка n (или меньше) относительно одной неизвестной функции, например, , при помощи следующего алгоритма.

1) Дифференцируем уравнение (1) системы по переменной х:

Производные в правой части этого равенства заменим выражениями в правых частях уравнений (1)—(n) системы. Получим уравнение

2) Это равенство дифференцируем по переменной х:

Производные в правой части этого равенства заменим их выражениями, заданными уравнениями (1)—(n).

Получим

Это уравнение дифференцируем по переменной х и т. д., пока не придем к уравнению

3) Полученные новые уравнения и уравнение (1) системы объединим в новую систему

4) Если первые (n — 1) уравнений этой системы разрешить относительно , а полученные выражения подставить в последнее уравнение, то получим уравнение порядка n относительно неизвестной функции у:

5) Из общего решения этого уравнения можно получить общее решение системы или требуемое частное решение.

Заметим, что порядок последнего уравнения может быть меньше, чем n, если при его получении были использованы не все уравнения системы.

3°. Системы более общего вида, чем нормальные системы п. 1°, можно решать специфическими способами, которые непросто систематизировать и классифицировать, но решение некоторых таких систем будет продемонстрировано на конкретных примерах.

Примеры с решениями

Пример:

Решить систему

Найти частное решение, если x = 0,

Решение:

Имеем дело с нормальной и к тому же линейной системой. Воспользуемся схемой п. 2°.

Первое уравнение продифференцировали (по переменной х, считающейся аргументом всех трех неизвестных функций системы), правую часть заменили на сумму правых частей второго и третьего уравнений, а затем сумму заменили левой частью первого уравнения. Получили уравнение второго порядка относительно неизвестной функции (при этом, очевидно, не использовали все операции, предусмотренные в п. 2°):

Его общее решение: или просто (индекс оо опускаем)

2) Для получения остальных функций постараемся выразить их через уже найденную и ее производные. Из второго уравнения системы вычитаем первое. Получаем

После замены

получаем новое уравнение

Общим решением этого неоднородного уравнения, или линейного уравнения первого порядка

является функция

3) Из первого уравнения

Общее решение системы найдено, оно содержит три произвольных постоянных:

4) Начальные условия x = 0, приводят к системе

Отсюда

Одним из специфических методов интегрирования систем дифференциальных уравнений является метод поиска интегрируемых выражений (комбинаций).

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Сразу заметим, что неизвестные функции обозначены различными буквами, а аргументом будем считать переменную t.

Смысл метода заключается в том, чтобы перейти от данной системы к другой, равносильной, в которой можно было бы выделить дифференциальные группы, или полные дифференциалы. Например, если над уравнениями данной системы выполнить указанные ниже действия (умножения на соответствующие числа и последующее сложение результатов), то последовательно получим:

Именно в получении последнего равенства состояла наша цель. Преобразуем последнее равенство и интегрируем:

Получили одно соотношение между неизвестными функциями, которое перепишем так:

Составим новую систему, присоединяя к последнему равенству первое уравнение исходной системы:

Складывая (как обозначено на схеме) эти уравнения, получим линейное (неоднородное) уравнение первого порядка которое можно решить методом подстановки:
х = uv, х’ = u’v + uv’. Получаем последовательно

— это первая неизвестная функция системы.

Вторую неизвестную функцию у = y(t) находим из соотношения

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Данную систему способом, описанным выше в п. 2°, приведем к одному уравнению третьего порядка. При этом порядок использования того или иного уравнения может быть произвольным.

1) Продифференцируем (по t) первое уравнение системы:
х» = Зх’ — у’ + z’. В этом равенстве заменим разность z’ — у’, найденную из двух других уравнений: z’ — у’ = 2х — 6у + 4z.

Получаем уравнение второго порядка относительно х, но с посторонними неизвестными функциям у и z: х» = Зх’ + 2x — 6у + 4z.

2) Это равенство продифференцируем еще раз по
t: х'» = Зх» + 2х’ — 6 у’ + 4z’ и выразим в нем —6 у’ + 4 z’ через переменные х, у, z. Для этого необходимо произвести некоторые преобразования исходной системы: второе уравнение умножим на
— 6, третье на 4 и результаты сложим (получаем искомое выражение): — 6y’ + 4z’ = 10х — 34у + 18z.

Подставляя это выражение в предыдущее, получаем: х'» = Зх» + 2х’+ 10х — 34у + 18 z.

3) Составим теперь новую систему из трех уравнений: первое уравнение исходной системы; уравнение, полученное в конце действия 1); последнее уравнение, которое получили перед этим абзацем. Уравнения напишем так:

В этой системе также имеем посторонние неизвестные у и z, которые будем исключать следующим образом. Преобразуем первые два уравнения этой системы: сначала первое уравнение, умноженное на —6, сложим со вторым уравнением; а затем это же первое уравнение, умноженное на — 4, сложим со вторым уравнением. Получим два вспомогательных уравнения, которые объединим в систему:

в одном из них отсутствует у, а в другом отсутствует z.

4) Обратимся теперь к этой системе: первое ее уравнение умножим на 9, а второе умножим на -17, и полученные результаты сложим с последним уравнением системы, составленной в начале действия 3). Этим мы исключаем посторонние функции из уравнения третьего порядка относительно х: х'» — 11 х» + 36x’ — 36х = 0. Получаем искомое уравнение третьего порядка с одной неизвестной функцией х, которое решаем известным образом.

Характеристическое уравнение имеет три простых корня: а общее решение дифференциального уравнения имеет вид

5) Другие неизвестные функции у и z найдем из промежуточных уравнений (соотношений), полученных выше в действии 3). Отсюда, в частности, получаем

Остается подставить в эти равенства выражения для х и их производных (предлагаем это проделать самостоятельно).

Ответ

Примечание:

Предлагаем найти более экономный способ получения дифференциального уравнения из действия 4).

Пример:

Решить систему

Найти также частное решение системы, удовлетворяющее начальным условиям t = 0, x = 1, y = 2.Решение. Из системы получим одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией. Сначала продифференцируем первое уравнение (по t ) и вместо y’ подставим выражение из второго уравнения: х» = 2х’ — 4у’, где
у’ = х — 3у. Получим х» = 2х’ — 4(х — 3у); вместо у подставим его выражение из первого уравнения: 4у = 2х — х’. Окончательно получим искомое уравнение х» + х’ — 2х = 0. Его решение имеет вид

Функцию у получаем из первого же уравнения:

Частное решение получаем из общего, используя начальные условия t = 0, х = 1, у = 2.

Примечание:

Изданной системы можно получить два уравнения второго порядка: х» + х’ — 2х = 0 (его получили выше) и у» + у’ — 2у = 0 (по аналогии). Но пара общих решений и этих уравнений не составляет общее решение системы, поскольку здесь постоянные А, В, С, D — произвольные, а они должны быть согласованы с самой системой.

Другой эффективный способ решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами принадлежит Л. Эйлеру и основан на использовании собственных чисел и собственных векторов матрицы данной системы.

Продемонстрируем этот метод на только что решенной системе.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Обозначим через матрицу, составленную из коэффициентов правой части системы. Выпишем характеристическое уравнение матрицы

Собственными числами являются корни этого уравнения и Это означает, что выражения вида (для х и для у) дают частные решения системы. Найдем какие-либо собственные векторы матрицы А, соответствующие этим числам,

Собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному числу — это произвольное нетривиальное решение однородной системы где Е — единичная матрица, размерность которой равна размерности матрицы A, a U — вектор-столбец неизвестных.

В нашем случае

1) При однородная система сводится

к одному уравнению т.е.

Положим, например, ; тогда собственный вектор, соответствующий . Это означает, что — частное решение системы.

2) Собственному числу соответствует однородная система

или уравнение положив получаем и собственный вектор Это означает, что — другое частное решение системы.

Общее решение системы является линейной комбинацией ее частных решений с произвольными постоянными (здесь обозначим их через

Ответ

Примечание:

Обратим внимание на то, что полученное здесь общее решение внешне отличается от решения, полученного выше. На самом деле они совпадают, если принять (или

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Характеристическое уравнение матрицы

Отсюда

Это уравнение имеет три простых корня а для матрицы А это три собственных числа.

Найдем теперь собственные векторы как решения однородной системы линейных уравнений где Е — единичная матрица третьего порядка, — столбец из трех неизвестных.

1) Соответствующая линейная однородная система имеет вид (после системы следуют ее преобразование и собственный вектор, координаты которого берем целыми числами):

принимаем . Частное решение, соответствующее собственному числу и собственному вектору имеет вид:

2) Имеем:

принимаем . Выписываем тройку функций — частное решение системы:

3) Имеем:

Принимаем Частное решение, соответствующее собственному числу имеет вид:

Составим общее решение исходной системы.

Ответ

Пример:

Решить систему

Решение:

Приведем краткое схематическое решение для закрепления методики собственных чисел и собственных векторов.

1. Характеристическое уравнение матрицы

имеет три простых корня:

2) Для каждого собственого числа находим какой-либо собственный вектор матрицы А и соответствующее ему частное решение системы.

а) Для можно выбрать собственный вектор (-1, 0, 1) и соответствующее ему частное решение

б) Для можно выбрать собственный вектор (1, 1, 1) и соответствующее ему частное решение

в) Для можно выбрать собственный вектор (—1, 2, —1) и соответствующее ему частное решение

в) Составим общее решение системы как линейную комбинацию полученных частных решений.

Ответ

Для решения систем дифференциальных уравнений более общего вида необходимо использовать более тонкие приемы их анализа и комбинирования.

Пример:

Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

Решение:

В данной системе неизвестные функции х и у зависят от аргумента t.

1) Обе части второго уравнения умножим на

Это равенство сложим с первым уравнением системы и с тождеством Получаем:

Заметим, что правая часть этого равенства равна нулю. Левая же ее часть есть сумма производных: Таким образом, получили нетривиальную комбинациюоткуда что представляет собой часть общего решения системы (имеем только одну постоянную).

2) Другую, аналогичную комбинацию получим не менее «творческим» способом. Обе части первого уравнения умножим на обе части второго уравнения умножим на полученные результаты сложим, и к ним еще прибавим равенство t’ = 1 (производная аргумента равна единице). Имеем:

Правая часть равна нулю, а в левой

3) Общий интеграл (общее решение в неявном виде) получаем из системы полученных таким образом равенств.

Ответ

Пример:

Проинтегрировать систему уравнений

Решение:

Перепишем систему в другой форме

Сложение и вычитание уравнений этой системы позволяют получить искомые неизвестные функции.

Ответ

Дифференциальные уравнения с подробным объяснением и теорией

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения является функция у = F(x) — первообразная для функции f(x).

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение у'» — 3у» + 2у = 0 — обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение — первого порядка; — ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача:

Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V (0) = 100 м/с, a V(l) = 50 м/с.

Решение:

Примем за независимую переменную время t, отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки V будет функцией t, т. е. V = V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): — есть ускорение движущегося тела, F — результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае — коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция V = V(t) является решением дифференциального уравнения или Здесь m — масса тела.

Как будет показано ниже (пример 48.5), где с —const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 с после начала замедления.

Найдем сначала параметры Согласно условию задачи, имеем: Отсюда

Следовательно, скорость точки изменяется по закону Поэтому V(3) = 25 м/с.

Задача:

Найти кривую, проходящую через точку (4;1), зная, что отрезок любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

Решение:

Пусть М(х; у) — произвольная точка кривой, уравнение которой у = f(х). Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (см. рис. 212).

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: есть угловой коэффициент касательной; в точке М(х; у) он равен у’, т. е. Из рисунка видно, что Но

По условию задачи AM = MB, следовательно, ОС =С В = x.

Таким образом, получаем Решением полученного дифференциального уравнения является функция (гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4).

Другие задачи

Можно показать, что:

• закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением — коэффициент пропорциональности, m(t) — масса радия в момент t.

• «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени, описывается уравнением где T(t) — температура тела в момент времени t, k — коэффициент пропорциональности, — температура воздуха (среды охлаждения);

• зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени t во многих случаях описывается уравнением , где k— коэффициент пропорциональности;

• «закон размножения бактерий» (зависимость массы т бактерий от времени t) описывается уравнением

• закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением — атмосферное давление воздуха на высоте h, k > 0.

Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных задач.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у’. Если уравнение (48.1) можно разрешить относительно у’, то его записывают в виде

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у’ = f(x;y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить у’ = с, т. е. f(х; у) = с.

Пример:

С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения у’ = 2х.

Решение:

Уравнение изоклин этого ДУ будет 2х = с, т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью Ох один и тот же угол а, тангенс которого равен с.

Так, при с = 0 имеем х = 0,поэтому а = 0;

при с = 1 уравнение изоклины поэтому
при с = -1:

при с = 2:

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

где P(x;y) и Q(x;y) — известные функции. Уравнение (48.3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Легко догадаться, что решением уравнения у’ = 2х является функция , а также и вообще где с — const.

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при функция у должна быть равна заданному числу , т. е. называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

Общим решением ДУ первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1. Функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении с.
2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения , то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; частное решение — одна кривая из этого семейства, проходящая через точку. Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши.

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении (48.2) функция f(х; у) и ее частная производная непрерывны в некоторой области D, содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).

(Без доказательства).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку .

Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида

В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое — от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

— его общий интеграл.

Пример:

Найти общий интеграл уравнения Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. Поэтому

Обозначим Тогда — общий интеграл ДУ.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид

Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая — только от у.

Уравнение (48.6) легко сводится к уравнению (48.5) путем почленного деления его на Получаем:

— общий интеграл.

Замечания. 1. При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, — особые решения.

2.Уравнение также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.

Уравнение где а, b, с — числа, путем замены ах + by + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем:

откуда следует

Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах + by + с, получим общий интеграл исходного уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения:

Оно имеет вид (48.6). Делим обе части уравнения на

Решением его является общий интеграл

Здесь уравнение имеет вид ху = 0. Его решения х = 0, у = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми.

Пример:

Решить уравнение удовлетворяющее условию у(4) = 1.

Решение:

Этот пример представляет собой решение задачи 2 из п. 47.2.

Имеем: Проинтегрировав, получим:

т.е. общее решение ДУ.

Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х = 4 и у = 1 в общее решение уравнения:

Получаем: частное решение уравнения

Пример:

Найти общее решение ДУ

Решение:

Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из п. 47.2. Приведем данное уравнение к виду (48.5):

Интегрируем:

Отсюда -общее решение уравнения.

Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т. е.

Например, функция есть однородная функция второго порядка, поскольку

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если функция f(x; у) есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное ДУ (48.7) можно записать в виде

Если f(x; у) — однородная функция нулевого порядка, то, по определению, Положив , получаем:

Однородное уравнение (48.8) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)

Действительно, подставив у = их и у’ = и’х + и в уравнение (48.8), получаем т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем и на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

ДУ (48.10) будет однородным, если Р(х; у) и Q (х; у) — однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение (48.10) в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение

При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8): подстановка (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример:

Найти общий интеграл уравнения

Решение:

Данное уравнение однородное, т. к. функции — однородные функции второго порядка.

Положим Тогда Подставляем в исходное уравнение:

последнее — уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные

и интегрируем

Обозначим Тогда

Заменяя и на получаем: — общий интеграл исходного уравнения.

Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к виду (48.8):

Затем положить тогда

Замечание. Уравнение вида Где — числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные и и v, положив — числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.

Пример:

Найти общий интеграл уравнения

т.е.

Решение:

Положив получаем:

Подберем так, чтобы

Находим, что Заданное уравнение примет вид

и будет являться однородным. Его решение получается, как это было показано выше, при помощи подстановки v = tu. Заметим, что, решив его, следует заменить u и v соответственно на x— 1 и у + 1. В итоге получим — общий интеграл данного уравнения.

Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

где р(х) и g(х) — заданные функции, в частности — постоянные.

Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ее производная у’ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой. Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (48.11) — метод И. Бернулли и метод Лагранжа.

Метод И. Бернулли

Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки— неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна нулю — действительно любую функцию у(х) можно записать как

где ). Тогда Подставляя выражения у и у’ в уравнение (48.11), получаем: или

Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим ДУ

Интегрируя, получаем:

Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с = 1. Отсюда

Подставляя найденную функцию v в уравнение (48.12), получаем

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

Возвращаясь к переменной у, получаем решение

исходного ДУ (48.11).

Пример:

Проинтегрировать уравнение

Решение:

Полагаем Тогда Сначала решаем уравнение

Теперь решаем уравнение

Итак, общее решение данного уравнения есть

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Уравнение (48.11) интегрируется следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

Таким образом,

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. полагаем с = с(х). Решение уравнения (48.11) ищем в виде

Находим производную:

Подставляем значения у и у’ в уравнение (48.11):

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид

Следовательно,

Интегрируя, находим:

Подставляя выражение c(x) в равенство (48.14), получим общее решение ДУ (48.11):

Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ср. с (48.13)).

Пример:

Решить пример 48.8 методом Лагранжа.

Решение:

Решаем уравнение у’ + 2ху = 0. Имеем или

Заменяем с на c(х), т. е. решение ДУ у’ + 2ху = 2х ищем в виде Имеем

Тогда

или

Поэтому или — общее решение данного уравнения.

Замечание:

Уравнение вида

— заданные функции, можно свести к линейному, если х считать функцией, а у — аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь равенством получаем

— линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в виде — две неизвестные функции.

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Учитывая, что от исходного уравнения переходим к линейному уравнению

Применим подстановку Тогда Получаем:

Находим функцию

Находим функцию

Интегрируя по частям, находим:

Значит, общее решение данного уравнения:

или

Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.

Если п = 0, то ДУ (48.15) — линейное, а при п =1 — с разделяющимися переменными.

В общем случае, разделив уравнение (48.15) на получим:

Обозначим Тогда Отсюда находим Уравнение (48.16) принимает вид

Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка сводит уравнение (48.15) к линейному. На практике ДУ (48.15) удобнее искать методом И. Бернулли в виде (не сводя его к линейному).

Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции и(х; у), т. е.

В этом случае ДУ (48.17) можно записать в виде du(x; у) = 0, а его общий интеграл будет:

Приведем условие, по которому можно судить, что выражение

есть полный дифференциал.

Теорема 48.2. Для того чтобы выражение

где функции Р(х; у) и Q(x; y) и их частные производные непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

Необходимость

Пусть есть полный дифференциал, т. е.

Учитывая, что (см. п. 44.3), имеем:

Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем

А так как смешанные частные производные Равны между собой (см. п. 44.2), получаем (48.19).

Достаточность

Пусть в области D выполняется условие (48.19). Покажем, что существует функция и(х; у) в области D такая, что

Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:

Если в первом уравнении (48.20) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим:

Здесь произвольная постоянная зависит от у (либо является числом). В решении (48.21) не известна лишь . Для ее нахождения продифференцируем функцию (48.21) по у:

Используя второе равенство (48.20), можно записать:

Отсюда

В равенстве (48.22) левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у.

Для этого продифференцируем правую часть по и убедимся, что производная равна нулю. Действительно,

Из равенства (48.22) находим :

Подставляя найденное значение для в равенство (48.21), находим функцию и(х; у) такую, что du ( x ; у) = Р(х; у) dx + <3(х; у) dy.

Таким образом, при решении ДУ вида (48.17) сначала проверяем выполнение условия (48.19). Затем, используя равенства (48.20), находим функцию и(х;у). Решение записываем в виде (48.18).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Запишем уравнение в дифференциальной форме:

Здесь Проверяем выполнение условия (48.19):

Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Условия (48.20) будут здесь выглядеть как

Отсюда имеем

Далее

Общим интегралом является

Если условие (48.19) не выполняется, то ДУ (48.17) не является уравнением в полных дифференциалах.

Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(х; у), называемую интегрирующим множителем.

Чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие

Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим

Для нахождения t(x;y) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование t как функции только одного аргумента х либо только у. Пусть, например, t = t(x). Тогда уравнение (48.23) принимает вид

Отсюда

При этом выражение должно зависеть только от х. Аналогично получаем, что если t = t(y) (t не зависит от х), то

а подынтегральное выражение должно зависеть только от у.

Пример:

Решить уравнение

Решение: Здесь

Однако

зависит только от х.

Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, выражение которого может быть получено при помощи формулы (48.24). В нашем случае получим, что

Умножая исходное уравнение на получаем:

т.е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что общий интеграл заданного уравнения имеет вид

Уравнения Лагранжа и Клеро

Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа

Уравнение вида

где — известные функции от называется уравнением Лагранжа.

Введем вспомогательный параметр, положив у’ = р. Тогда уравнение (48.25) примет вид

Дифференцируя по х, получим:

Уравнение (48.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем:

Исключая параметр р из уравнений (48.26) и (48.28), получаем общий интеграл уравнения (48.25) в виде

Отметим, что, переходя к уравнению (48.27), мы делили на При этом могли быть потеряны решения, для которых т. е. Это значение является корнем уравнения (см. (48.27)).

Решение является особым для уравнения (48.25) (см. понятие особого решения в п. 48.2).

Уравнение Клеро:

Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при

Уравнение (48.25) принимает вид

и называется уравнением Клеро. Положив у’ = р, получаем:

Дифференцируя по х, имеем:

Если Поэтому, с учетом (48.30), ДУ (48.29) имеет общее решение

Если то получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Это решение — особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример:

Решить уравнение Клеро

Решение:

Общее решение, согласно формуле (48.31), имеет вид Особое решение уравнения получаем согласно формулам (48.32) в виде Отсюда следует:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него всегда можно перейти к (49.1).

Решением ДУ (49.2) называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ (49.2) называется функция где — не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. является решением ДУ для каждого фиксированного значения .
2. Каковы бы ни были начальные условия
   

существуют единственные значения постоянных такие, что функция является решением уравнения (49.2) и удовлетворяет начальным условиям (49.3).

Всякое решение уравнения (49.2), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением. Решения ДУ (49.2), записанные в виде

называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (49.2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом Переписав ДУ (49.1) в виде

видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки (х; у) интегральной кривой, угловым коэффициентом k = у’ касательной к ней и кривизной в точке (х; у). В этом состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (49.3), называется задачей Коши.

Теорема:

Существования и единственности задачи Коши. Если в уравнении (49.2) функция f(x;y;y’) и ее частные производные непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и у’, то для всякой точки существует единственное решение уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным условиям (49.3).

Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го порядка, которое в общем виде записывается ка

или

если его можно разрешить относительно старшей производной. Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид

Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида

содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных.

Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.

Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удовлетворяющее начальным условиям (49.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть дано уравнение

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у’ = р(х). Тогда у» = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р’ = f(x). Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у’ = р(х). Получим общее решение заданного уравнения (49.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как уравнение (49.6) можно записать в виде dy’ = f(x)dx. Тогда, интегрируя уравнение у» = f(x), получаем:

Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: — общее решение данного уравнения. Если дано уравнение

то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение уравнения:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

II. Пусть дано уравнение

не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у’ = р, где р = р(х) — новая неизвестная функция. Тогда у» = р’ и уравнение (49.7) принимает вид р’ = f(x;p). Пусть — общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ:. Оно имеет вид (49.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение

не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: Получаем уравнение р’ = f(р) с разделяющимися переменными. Если задано уравнение вида

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив Тогда и уравнение (49.9) примет вид Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение

или

С помощью замены это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Полагаем у’ = р, где р = р(х), у» = р’.

Тогда Это уравнение с разделяющимися переменными: Интегрируя, получим Возвращаясь к исходной переменной, получим — общее решение уравнения.

III. Рассмотрим уравнение

которое не содержит явно независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р = р(у), зависящую от переменной у, полагая у’ = р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р = р(у(х)):

т. e. Теперь уравнение (49.10) запишется в виде

Пусть является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на у’, получаем — ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (49.10):

Частным случаем уравнения (49.10) является ДУ

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки:

Так же поступаем при решении уравнения Его порядок можно понизить на единицу, положив

По правилу дифференцирования сложной функции находим

Затем найдем

и т. д.

Замечание. Уравнение (49.8) также можно решать, применяя подстановку у’ = р, где р = р(у).

Пример:

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = 2, у'(0) = 2.

Решение:

Уравнение имеет вид (49.10). Положив получаем:

Так как (иначе у’ = 0, что противоречит начальному условию — получили линейное ДУ первого порядка.

Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 48.4). Полагаем Имеем: u’v + uv’ — uv + у -1 =0, или u’v + u(v’ — v) — 1 — у.

Подберем функцию v так, чтобы v’ — v = 0. Тогда

Получаем:

Интегрируя это равенство, находим, что

Следовательно,

Заменяя р на у‘, получаем: Подставляя у’ = 2 и у = 2 в это равенство, находим :

Имеем у’ = у. Отсюда Находим из начальных условий: Таким образом, — частное решение данного ДУ.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.

Уравнение вида

где — заданные функции (от х), называется линейным. ДУ п-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция g(х) — его свободным членом. Если свободный член то уравнение (49.11) называется линейным однородным уравнением; если то уравнение (49.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (49.11) на и обозначив

запишем уравнение (49.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а; b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (49.12) (см. теорему 49.1).

Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка:

и установим некоторые свойства его решений.

Теорема:

Если функции являются частными решениями уравнения (49.13), то решением этого уравнения является также функция

где — произвольные постоянные.
Подставим функцию и ее производные в левую часть ЛОДУ (49.13). Получаем:

так как функции — решения уравнения (49.13) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.

Таким образом, функция также является решением уравнения (49.13).

Из теоремы 49.2, как следствие, вытекает, что если — решения уравнения (49.13), то решениями его будут также функции

Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим решением уравнения (49.13)?

Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

[ф] Функции называются линейно независимыми на интервале (а; b), если равенство

где выполняется тогда и только тогда, когда Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля и выполняется равенство (49.15), то функции называются линейно зависимыми на (a;b).

Очевидно, что функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. для всех выполняется равенство

Например, функции линейно зависимы: функции — линейно независимы: функции являются линейно независимыми: равенство выполняется для всех

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский — польский математик).

Для двух дифференцируемых функций вронскиан имеет вид

Имеют место следующие теоремы.

Теорема:

Если дифференцируемые функции линейно зависимы на (а; b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Так как функции линейно зависимы, то в равенстве (49.15) значение отлично от нуля. Пусть поэтому для любого

Теорема:

Если функции — линейно независимые решения уравнения (49.13) на (а; b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Доказательство теоремы опустим.

Из теорем 49.3 и 49.4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (а; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а; b) частных решений ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация

Пример:

Частные решения

(их бесчисленное множество!) уравнения у» + у = 0 образуют фундаментальную систему решений; решения же — не образуют.

Теперь можно сказать, при каких условиях функция (49.14) будет общим решением уравнения (49.13).

Теорема:

Структура общего решения ЛОДУ второго порядка. Если два частных решения ЛОДУ (49.13) образуют на интервале (а; b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция

где — произвольные постоянные.

Согласно теореме 49.2, функция (49.16) является решением уравнения (49.13). Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

где

Подставив начальные условия (49.17) в решение (49.14), получим систему уравнений

где с неизвестными . Определитель этой системы

равен значению вронскиана

Так как решения образуют фундаментальную систему решений на то, согласно теореме 49.4, Поэтому система уравнений имеет единственное решение:

Решение является частным решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (49.13), удовлетворяющим начальным условиям (49.17). Теорема доказана.

Пример:

На основании теоремы 49.5 общим решением уравнения у»+ у=0 (см. пример 49.4) является функция

Линейные однородные ДУ n-го порядка

Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения п-го порядка, имеющие вид

1.Если функции являются частными решениями уравнения (49.18), то его решением является и функция

2.Функции называются линейно независимыми на (а; b), если равенство выполняется лишь в случае, когда все числа в противном случае (если хотя бы одно из чисел не равно нулю) функции — линейно зависимы.

3.Определитель Вронского имеет вид

4. Частные решения уравнения (49.18) образуют фундаментальную систему решений на (а; b), если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. для всех .

5. Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет вид — произвольные постоянные, — частные решения уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему.

Пример:

Показать, что функции образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).

Решение:

Найдем W(x):

Ясно, что для всех Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:

Подставив функции в это уравнение, получим систему из трех уравнений относительно функций Решая ее, получим ЛОДУ его общее решение:

Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

где р и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 49.5).

Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде

где k — некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у’ и у» в уравнение (50.1), получим:

Уравнение (50.2) называется характеристическим уравнением ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1) заменить у», у’ к у соответственно на ).

При решении характеристического уравнения (50.2) возможны следующие три случая.

Случай 1. Корни уравнения (50.2) действительные и различные:

В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются функции Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан

Следовательно, общее решение уравнения (50.1), согласно формуле (49.16), имеет вид

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Составим характеристическое уравнение: Решаем его: Записываем общее решение данного уравнения: — произвольные постоянные (формула (50.3)).

Случай 2. Корни характеристического уравнения (50.2) действительные и равные:

В этом случае имеем лишь одно частное решение Покажем, что наряду решением уравнения (50.1) будет и

Действительно, подставим функцию в уравнение (50.1). Имеем:

Ho есть корень уравнения (50.2); т. к. по условию

Поэтому т. е. функция является решением уравнения (50.1).

Частные решения образуют фундаментальную систему решений: Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (50.1) имеет вид

Случай 3. Корни уравнения (50.2) комплексные:

В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются функции По формулам Эйлера (см. п. 27.3)

имеем

Найдем два действительных частных решения уравнения (50.1). Для этого составим две линейные комбинации решений :

Функции являются решениями уравнения (50.1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 49.2).Эти решения образуют фундаментальную систему решений, так как (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение уравнения (50.1) запишется в виде или

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Имеем:

По формуле (50.5) получаем общее решение уравнения:

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (50.1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (50.2) и использованию формул (50.3)-(50.5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).

Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (п > 2) с постоянными коэффициентами

где — числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.

Частные решения уравнения (50.6) также ищем в виде где k — постоянное число.

Характеристическим для уравнения (50.6) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида

Уравнение (50.7) имеет, как известно, п корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через

Замечание:

Не все из корней уравнения (50.7) обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение имеет два равных корня: В этом случае говорят, что корень один (k = 3) и имеет кратность Если кратность корня равна единице: его называют простым.

Случай 1. Все корни уравнения (50.7) действительны и просты (различны). Тогда функции являются частными решениями уравнения (50.6) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (50.6) записывается в виде

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно, — общее решение данного уравнения.

Случай 2. Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m > 1). Тогда каждому простому корню к соответствует одно частное решение вида , а каждому корню k кратности m > 1 соответствует m частных решений:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Характеристическое уравнение

имеет корни Следовательно,

— общее решение уравнения.

Случай 3. Среди корней уравнения (50.7) есть комплексно-сопряженные корни. Тогда каждой паре простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения а каждой паре корней кратности m > 1 соответствуют 2m частных решений вида

Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Характеристическое уравнение

имеет корни

Следовательно,

— общее решение уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Структура общего решения ЛНДУ второго порядка:

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

—заданные, непрерывные на (а; b) функции. Уравнение

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема:

Структура общего решения ЛНДУ. Общим решением у уравнения (51.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения (51.2), т. е.

Убедимся, что функция (51.3) — решение уравнения (51.1). Так как у* есть решение уравнения (51.1), а — решение уравнения (51.2), то

В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения (51.1). Покажем теперь, что функция

является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать, что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные условия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему уравнений:

где с неизвестными . Определителем этой системы является определитель Вронского для функции в точке Функции линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. . Следовательно, система имеет единственное решение:

Решение:

является частным решением уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (51.5). Теорема доказана.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является функция (51.3), т. е.

Частное решение у* уравнения (51.1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (51.2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть — общее решение уравнения (51.2). Заменим в общем решении постоянные неизвестными функциями и подберем их так, чтобы функция

была решением уравнения (51.1). Найдем производную

Подберем функции так, чтобы

Тогда

Подставляя выражение для у* , (у*)’ и (у*)» в уравнение (51.1), получим:

или

Поскольку — решения уравнения (51.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

Таким образом, функция (51.6) будет частным решением у* уравнения (51.1), если функции удовлетворяют системе уравнений (51.7) и (51.8):

Определитель системы так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (51.2). Поэтому система (51.9) имеет единственное решение: — некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим а затем по формуле (51.6) составляем частное решение уравнения (51.1).

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Найдем общее решение у соответствующего однородного уравнения у» + у = 0. Имеем: Следовательно, Найдем теперь частное решение у* исходного уравнения. Оно ищется в виде (51.6): Для нахождения составляем систему уравнений вида (51.9):

Решаем ее:

Запишем частное решение данного уравнения: Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема:

О наложении решений. Если правая часть уравнения (51.1) представляет собой сумму двух функций: — частные решения уравнений

соответственно, то функция является решением данного уравнения.

Действительно,

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение

где р и q — некоторые числа.

Согласно теореме 51.1, общее решение уравнения (51.10) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (п. 51.2).

Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существует более простой способ нахождения у*, если правая часть f(х) уравнения (51.10) имеет тале называемый «специальный вид»:

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(х) уравнения (51.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид где а — многочлен степени п. Уравнение (51.10) запишется в виде

В этом случае частное решение ищем в виде:

где r — число, равное кратности а как корня характеристического уравнения (т. е. r — число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения ), a Qn(x) — — многочлен степени п, записанный с неопределенными коэффициентами

а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения

т. е. Следовательно,

После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (51.11), сокращения на получим:

Слева — многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа — многочлен степени п, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (п+ 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов

б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

В этом случае искать решение в форме нельзя, т. к. и уравнение (51.13) принимает вид

В левой части — многочлен степени (п — 1), в правой части — многочлен степени п. Чтобы получить тождество многочленов в решении у, нужно иметь многочлен степени (n + 1). Поэтому частное решение у следует искать в виде (в равенстве (51.12) положить r = 1).

в) Пусть а является двукратным корнем характеристического уравнения В этом случае а поэтому уравнение (51.13) принимает вид

Слева стоит многочлен степени п — 2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде

(в равенстве (51.12) положить r = 2).

Случай 2. Правая часть (51.10) имеет вид

где — многочлены степени пит соответственно, — действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (51.14) следует искать в виде

где r— число, равное кратности как корня характеристического уравнения — многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l — наивысшая степень многочленов

Замечания:

1. После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.
2. Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда
3. Если правая часть уравнения (51.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 51.2 о наложении решений.

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Найдем общее решение ЛОДУ у» — 2у’ + у = 0. Характеристическое уравнение имеет корень кратности 2. Значит, Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида причем не является корнем характеристического уравнения: Поэтому, согласно формуле (51.12), частное решение у* ищем в виде

— неопределенные коэффициенты. Тогда ( у* )’ = А, ( у* )» = 0. Подставив у* , ( у* )’, ( у*)» в исходное уравнение, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Отсюда А = 1, В = —2. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид у* = х—2. Следовательно, — искомое общее решение уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Общее решение ЛНДУ имеет вид Находим решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно,

Находим частное решение Правая часть ЛНДУ в нашем случае имеет вид Так как не совпадает с корнем характеристического уравнения, то r = 0. Согласно формуле (51.15), частное решение ищем в виде Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем:

Получаем:

или

Отсюда имеем:

Следовательно, А = 1, В = —3. Поэтому у* = cos3x — 3sin3x. И наконец,

— общее решение уравнения.

Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го (п > 2) порядка

где — заданные непрерывные функции на (a; b).

Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид

Теорема:

О структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка. Общее решение у ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения, т. е.

Частное решение у* ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если известно общее решение однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде

где — частные решения, образующие фундаментальную систему, однородного уравнения.

Система уравнений для нахождения неизвестных имеет вид

Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Метод подбора частного решения у* уравнения

где — числа, а правая часть f(х) имеет специальный вид, описанный в п. 51.3 для случая п = 2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок п > 2.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Находим :

Находим

отсюда

Тогда — Отсюда А = —1, В = 0 и получаем

Следовательно, функция

является общим решением уравнения.

Системы дифференциальных уравнении

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых функций следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций. Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1).

Так, система трех ДУ второго порядка

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: приводится к нормальной системе

Уравнение третьего порядка путем замены сводится к нормальной системе ДУ

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы (52.1) называется совокупность из п функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (52.1) имеют вид

Задача Коши для системы (52.1) ставится следующим образом: найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема:

Если в системе (52.1) все функции

непрерывны вместе со всеми своими частными производными по у, в некоторой области D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение системы, удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Меняя в области D точку (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от п произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (52.2) можно однозначно определить постоянные из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных , называется частным решением системы (52.1).

Интегрирование нормальных систем

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача — переход от ДУ к системе — рассмотрена выше на примере.) Техника этого «метода основана на следующих соображениях.

Пусть задана нормальная система (52.1). Продифференцируем по х любое, например первое, уравнение:

Подставив в это равенство значения производных из системы (52.1), получим

или, коротко,

Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения производных из системы (52.1), получим

Продолжая этот процесс (дифференцируем — подставляем — получаем), находим:

Соберем полученные уравнения в систему:

Из первых (п — 1) уравнений системы (52.3) выразим функции через х, функцию и ее производные Получим:

Найденные значения подставим в последнее уравнение системы (52.3). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции Пусть его общее решение есть

Продифференцировав его (n — 1) раз и подставив значения производных в уравнения системы (52.4), найдем функции :

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Продифференцируем первое уравнение: у» = 4у’ — 3z’. Подставляем z’ = 2у — 3z в полученное равенство: у» = 4у’ — 3(2у — 3z), -у» — 4у1 -1-6у *9z. Составляем систему уравнений:

Из первого уравнения системы выражаем z через у и у’ :

Подставляем значение z во второе уравнение последней системы:

т. е. у» — у’ — 6у = 0. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем его:

— общее решение уравнения. Находим функцию z. Значения подставляем в выражение z через у и у’ (формула (52.5)). Получим:

Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид

Замечание:

Систему уравнений (52.1) можно решать методом интегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.

Пример:

Решить систему уравнений:

Решение:

Сложим почленно данные уравнения: х’+у’ = х+у+2, или (х+у)’ = (х+у)+2. Обозначим х+у = z. Тогда имеем z’ = z+2. Решаем
полученное уравнение:

Получили так называемый первый интеграл системы. Из него можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым

уменьшить на единицу число искомых функций. Например, Тогда первое уравнение системы примет вид

Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем и у.

Замечание:

Данная система «позволяет» образовать еще одну интегрируемую комбинацию: Положив х — у = р, имеем: р’ = —р, или

Имея два первых интеграла системы, т. е. легко найти (складывая и вычитая первые интегралы),

Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями

где все коэффициенты — постоянные. Будем искать частное решение системы (52.6) в виде

где — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6).

Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель получим:

или

Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

Уравнение (52.9) называется характеристическим уравнением системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: Для каждого корня напишем систему (52.8) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем: для корня частное решение системы (52.6):

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (52.6) записывается в виде

Пример:

Решить систему уравнений:

Решение:

Характеристическое уравнение (52.9) данной системы имеет вид

При система (52.8) имеет вид

Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим тогда Получаем частные решения

При система (52.8) имеет вид

Положим тогда Значит, корню частные решения:

Общее решение исходной системы, согласно формуле (52.10), запишется в виде:

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание:

Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень не даст новых линейно независимых действительных решений.

Пример:

Найти частное решение системы

удовлетворяющее начальным условиям:

Решение:

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Для =1 получаем:

(см. (52.8)). Отсюда находим: (положили), Частное решение системы: Для получаем (см. (52.8)):

Отсюда находим: (положили), Частное комплексное решение системы:

В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im) части:

Как уже отмечено, корень приведет к этим же самым решениям.

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности m (m = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные A,B,C,…,N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (52.6).

Пример:

Решить систему уравнений:

Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение

Корню соответствует система (см. (52.8)):

Полагая находим Получаем одно частное решение исходной системы:

Двукратному корню соответствует решение вида

Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:

или, после сокращения на и группировки,

Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда

Выразим все коэффициенты через два из них (m = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F = В. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем D = В. Из четвертого уравнения находим Е = А — D, т. е. Е = А — В. Из третьего уравнения: С = Е — В, т. е. С = А —В —В, или С = А — 2В. Коэффициенты А и В. — произвольные.

Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = 0, Е = 1, F = 0. Полагая А = 0, В = 1, находим: С = -2, D = 1, Е = -1, F = 1. Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню k = 1:

Записываем общее решение исходной системы:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и первая производная этой функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

Здесь F — функция трех аргументов. Если уравнение (3.24) разрешить относительно , то получим

где f — функция двух переменных х и у, ее называют «правая часть уравнения».

Решение дифференциального уравнения (3.25) — это функция которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество

Пример:

Дано уравнение

Решение:

Покажем, что функция является его решением. Для этого подставим в данное уравнение вместо у и функции Имеем:

Для дифференциального уравнения (3.25) задача Коши формулируется так: среди всех решений уравнения (3.25) найти решение удовлетворяющее условию

где заданные числа. Условие (3.26) называется начальным условием, а числа — начальными значениями. Решение, удовлетворяющее начальным условиям, называется частным. Функция называется общим решением уравнения (3.25), если она является решением уравнения и из нее единственным образом находится частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию. В этом случае частное решение уравнения — решение, которое получается из общего при конкретном значении С, причем произвольная постоянная С определяется из уравнения

Частное решение находится единственным образом, если правая часть уравнения непрерывна как функция двух переменных и имеет непрерывную производную по аргументу у. Если общее решение задано в неявном виде то оно называется общим интегралом.

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения с разделяющимися переменными — это уравнение, правая часть которого есть произведение двух сомножителей каждый из которых зависит только от одной переменной

Метод решения: заменяется на затем умножаются обе части (3.27) на

Получим:

Дифференциалы переменных х и у, и соответствующие функции стоят отдельно, т. е. переменные отделены. Если обозначить то уравнение (3.28) можно переписать в виде

Так как из равенства дифференциалов двух функций следует, что сами функции отличаются на произвольное постоянное слагаемое, то или

Выражение (3.29) представляет собой общий интеграл уравнения (3.27).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Разрешим уравнение относительно

Здесь Заменим в этом уравнении на и умножим обе части уравнения на

Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим где произвольная постоянная. Отсюда следует: В данном случае удобно вместо написать

Тогда или Так как принимает любые значения, то обозначая окончательно получим где С — произвольная постоянная. Это общее решение заданного уравнения. Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальному условию Для этого в равенство подставим вместо х и у значения 4 и 1/2. Получим Отсюда следует, что Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Если уравнение с разделяющимися переменными задано в виде

то для отделения переменных достаточно разделить обе части на произведение

Отсюда получим интеграл:

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Для отделения переменных представим уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на

Переменные разделились. Интегрируем это уравнение:

Аналогично вычисляется Кроме того, вместо С можно взять В итоге получаем

Так как то находим общий интеграл уравнения в виде

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной В общем случае оно имеет вид

где коэффициенты А, В, С — заданные непрерывные функции от х. Предполагая, что в некотором интервале изменения х ко-

эффициент не обращается в нуль, делим обе части этого уравнения на :

Обозначая запишем уравнения в виде

Функция называется правой частью уравнения. Если то уравнение называется линейным однородным уравнением (линейным уравнением без правой части).

Итак, линейное однородное уравнение (его можно рассматривать и как уравнение с разделяющимися переменными). Если то уравнение (3.30) называется линейным неоднородным уравнением.

Например, уравнение является линейным неоднородным уравнением. Однородным по отношению к нему будет уравнение Уравнение (3.30) можно решать разными методами. Мы рассмотрим метод Бернулли или метод вариации произвольных постоянных. Он состоит в следующем. Делаем замену:

т.е., вместо одной неизвестной функции ищем две но зато одну из них выбираем такую, какую нам надо. Подставим в уравнение (3.30) вместо у и их выражения из (3.31), получим

Так как одну из функций в (3.32) можно выбрать произвольно, то функцию v выберем таким образом, чтобы коэффициент при u обратился в нуль, т.е.

Линейное однородное уравнение (3.30) для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому из (3.33) имеем:

Интегрируя, находим

Полагаем

Получим

Отсюда следует

Интегрируя, получим

где С — произвольная постоянная. Для того чтобы найти , умножим найденную функцию на :

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Это линейное неоднородное уравнение, где

Выполним замену Заданное дифференциальное уравнение перепишем в виде

Приравняем выражение в скобках нулю:

Получили уравнение для функции — уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:

Подставляя функцию в уравнение, найдем уравнение для функции :

Отсюда следует следовательно

Теперь находим общее решение заданного уравнения :

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную, функцию, ее первую и вторую производную

Здесь F — функция четырех аргументов. Если уравнение (3.35) разрешить относительно , то получим

где f — функция трех переменных х, у и . Решением дифференциального уравнения () называется функция которая будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество Общее решение содержит две произвольные постоянные Для дифференциального уравнения (3.36) задача Коши формулируется так: среди всех решений уравнения найти решение удовлетворяющее условиям

где заданные числа. Частное решение единственно, если функция непрерывна по аргументам х, у и , и имеет непрерывные производные по аргументам у и .

На практике чаще всего используются так называемые линейные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

Если то уравнение называется однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным. Общее решение однородного уравнения является линейной комбинацией двух различных частных решений

Тем самым, для того, чтобы найти общее решение линейного уравнения, достаточно найти два различных частных решения. Общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнения

Такие частные решения легко находятся, если коэффициенты уравнения есть постоянные величины, т. е.

Решением однородного уравнения с постоянными коэффициентами может быть только экспоненциальная функция вида так как только функция сохраняет свой вид при дифференцировании: причем Тогда

Это обычное квадратное уравнение, которое называется характеристическим. В зависимости от того, чему равен дискриминант уравнения различают три случая:

следовательно, есть два разных значения Общее решение уравнения имеет вид

следовательно, есть только одно решение уравнения Непосредственной подстановкой можно проверить, что в качестве второго решения можно выбрать а общим решением будет

в этом случае

Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

Пример:

Найти решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение имеет вид

Пример:

Найти решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение имеет вид

Пример:

Найти решение уравнения

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение имеет вид

Частное решение для неоднородного уравнения легко находится, если функция f равна:

в этом случае число В находится подстановкой в уравнение.

в этом случае числа D и Е находятся подстановкой в уравнение.

в этом случае

Пример:

Найти решение уравнения

Решение:

Общее решение имеет вид

Ищем

Подставим в уравнение

Общее решение

Как найти дифференциальные уравнения — подробная инструкция

Семейство функций:

Рассмотрим уравнение

в котором С обозначает любое действительное число, или, как говорят, параметр. Если придадим С определенное значение, например С= 1, то получим уравнение , которое имеет своим графиком параболу, изображенную на рис. 108.

Если положить то получим новую параболу, уравнение которой будет При С = 0 будем иметь у = 0, т. е. ось Ох. Таким образом, уравнение (1) определяет не одну функцию, а, как говорят, семейство функций, зависящее от одной произвольной постоянной (или параметра). Поскольку каждая функция имеет своим графиком некоторую кривую, то уравнение (1) определяет семейство кривых. На рис. 108 изображены кривые, принадлежащие семейству и соответствующие

Теперь найдем производную от функции (1)

и рассмотрим систему уравнений (1) и (2). Исключим из них произвольное постоянное (параметр) С. Решая уравнение (2) относительно С и подставляя полученное выражение в уравнение (1), получим:

или

Это уравнение связывает х, у и у’ для любой кривой семейства, определенного уравнением (1).

Уравнение (3) называют дифференциальным уравнением семейства кривых (1). Этому уравнению удовлетворяет любая функция семейства (1). Это надо понимать так: если возьмем уравнение любой функции из семейства (1), найдем производную и подставим в УI . уравнение (3), то получим тождество

Рассматривая дифференциальное уравнение (3), можно найти некоторые свойства всех кривых семейства (1).Например, в первой четверти х и у положительны; поэтому выражение в первой четверти всегда больше нуля и, следовательно, производная всегда положительна. Отсюда можно заключить, что все функции рассматриваемого семейства в первой четверти возрастают. Значит, рассмотрение дифференциального уравнения семейства позволило нам сделать заключение не об одной кривой, а о всем семействе сразу.

Теперь рассмотрим уравнение

где С1 и С2—произвольные постоянные, или параметры. Если взять, например, значения С1 = 1 и С2 = 0, тогда получим у = cos x. Эта кривая изображена на рис. 109.

Если С1= 0, С2 = 1, то получаем у = sin х. Эта кривая также изображена на рис. 109.

Вообще, для каждой пары значений С1 и С2 получается определенная кривая (на рис. 109) изображены кривые, соответствующие С1 = 1 и С2 = 0; С1 = 0 и С2 = 1; С1 = 1 и С2= 1). Будем говорить, что уравнение (4) определяет семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных (или двух параметров), а так как каждой функции соответствует кривая, то будем также говорить, что уравнение (4) определяет семейство кривых. Найдем первую и вторую производные от функции, определяемой уравнением (4):

Исключим из уравнений (4), (5) и (6) параметры С1 и С2 [в этом примере С1 и С2 проще всего исключаются при помощи сложения уравнений (4) и (6)]. После исключения будем иметь

Уравнение (7) является дифференциальным уравнением семейства (4). Из уравнения (7) находим, что y» = —у; отсюда видно, что в первой и второй четвертях, т. е. при y > 0, вторая производная отрицательна. А если у» < 0, то (см. гл. VIII) кривая выпукла. Таким образом, опять из рассмотрения дифференциального уравнения мы выяснили, что все кривые семейства, если они расположены над осью Ох, выпуклы, а если ниже оси Ох, вогнуты.

Приведенные примеры показывают связь между дифференциальными уравнениями и семействами кривых.

Основные определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое входят: независимое переменное, неизвестная функция и производные от этой неизвестной функции. При этом в уравнение обязательно должны входить производные, а независимое переменное и сама искомая функция явно могут не входить. Например,

являются дифференциальными уравнениями, хотя второе и третье уравнения не содержат явно неизвестной функции, а в четвертое не входит независимое переменное.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

Примерами дифференциальных уравнений второго порядка могут служить следующие:

Уравнение ху'» —уу’ = 0 есть дифференциальное уравнение третьего порядка. Уравнение — пятого порядка. Примером дифференциального уравнения порядка п может служить уравнение

Решить, или проинтегрировать, дифференциальное уравнение это значит найти такую функцию, которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество. Такая функция называется решением дифференциального уравнения.

Например, функция является решением дифференциального уравнения ху»— у’ = 0. Действительно, у’= 2х, у» = 2; подставляя у’ , у» в уравнение ху»— у’ = 0 , получаем , т. е. тождество.

Если решение дифференциального уравнения содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, то такое решение называется общим решением дифференциального уравнения.

Поясним, что называют независимыми произвольными постоянными:

Постоянные, входящие в решение, называются независимыми, если они входят в решение так, что нельзя заменить никакую комбинацию двух или нескольких из них при помощи введения нового постоянного и тем самым уменьшить число постоянных.

Например, если имеем

то сюда входят три постоянных C1, С2 и С3. Однако можно заданное уравнение переписать в виде

Если теперь обозначим С2 + С3 через С, то последнее уравнение перепишется так: В этом уравнении постоянных только два С1 и С. Таким образом, в первоначальном уравнении постоянные C1, С2 и С3 не были независимыми. Также, если рассмотрим уравнение

то его можно переписать в виде

обозначив С1 — С2 через С4, а С2 + С3 через C5, получим

Следовательно, в уравнении

, постоянные C1, С2 и С3 не являются независимыми.

Пример:

имеет общее решение

Решение, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных, называется частным решением. Например, если положить в предыдущем примере С1 = 0 и С2 = 1, то получим y = sin x, это частное решение.

Геометрический смысл общего решения: общее решение дифференциального уравнения является семейством кривых, зависящим от произвольных постоянных в числе, равном порядку дифференциального уравнения. Частное решение имеет своим графиком какую-нибудь из кривых, входящих в указанное семейство. Эти кривые называются интегральными кривыми.

Часто встречается задача, в которой нужно определить частное решение по начальным данным, или начальным условиям. Эта задача состоит в следующем:

Дано дифференциальное уравнение у’ = f(х, у); требуется найти решение y = (x) , которое при х = а принимало бы значение (а) = b, или, что то же, найти решение, график которого проходил бы через заданную точку (а, b). Координаты этой точки и являются начальными данными, или начальными условиями. Например, дано уравнение ; его общим решением является у = Сх (так как у’ = С, то при подстановке в уравнение получаем тождество). Надо выделить из общего решения частное, принимающее значение y = 6 при х = 2 (это начальные данные). Полагая в уравнении у = Сх х = 2, а у = 6, получаем 6 = С2, из этого уравнения определяем С. Находим, что С= 3. Таким образом, у = 3х является искомым частным решением.

Дифференциальные уравнения возникают часто при решении геометрических и физических задач, так как установить соотношение между дифференциалами (или производными) обычно легче, чем между самими величинами. Это объясняется тем, что, пользуясь дифференциалами, можно допускать ошибки, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с приращением независимого переменного, как мы это видели в гл. IX и XII и увидим в пр. 4 следующего параграфа.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Из всех дифференциальных уравнений первого порядка мы рассмотрим только один тип, именно уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Чтобы проинтегрировать, или, что то же, решить это уравнение, переписывают его в таком виде:

После этого ищут неопределенные интегралы от левой и правой частей уравнения (2) и приравнивают результаты. Произвольные постоянные, которые при этом получаются, обычно переносят в одну из частей равенства и их разность обозначают одной буквой. Покажем на примерах, как это делается.

Пример:

Рассмотрим уравнение . Разделяя переменные, перепишем его так: у dу = х dх. Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем

Обозначая , найдем откуда

Это и есть общее решение данного уравнения.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение Заменим производную отношением

дифференциалов и разделим переменные:

Проинтегрируем левую часть по у, правую по x и приравняем результаты:

Это равенство и дает общее решение.

Интересно отметить, что общие решения могут иметь различный вид, поэтому сразу не скажешь, что они дают одну и ту же связь между х и у. Например, возьмем только что полученное общее решение и положим С = aгctgC1, тогда

Теперь возьмем тангенсы от левой и правой частей

Заметив, что tg arctg y = у, и применив формулу тангенса суммы, получим

или

Последнее равенство также дает общее решение уравнения (*).

Пример:

Закон охлаждения тела в воздухе формулируется следующим образом:

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха, т. е.

где t — время, и — температура тела, и0 — температура воздуха, которая во время опыта считается неизменной, — коэффициент пропорциональности.

Тело в начале опыта имело температуру 100° С. Через 20 минут его температура стала 60° С. Узнать, через сколько минут температура тела станет равной 30° С, если известно, что температура воздуха во время опыта оставалась равной 20° С.

В нашей задаче и0 = 20, поэтому сформулированный закон запишется

Это—дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Перепишем его, разделив переменные:

Интегрируя левую и правую части, будем иметь

или, потенцируя,

Используем начальные условия: подставим в равенство (5) t = 0 и и = 100, получим . Отсюда = 80, и уравнение (5) принимает вид

Полученное уравнение еще не позволяет вычислить искомое время, так как в нем содержится неизвестный коэффициент . Для его определения используем результаты наблюдения, т. е. что при t = 20 температура и = 60. Подставляя эти данные в уравнение (6), получим

откуда , следовательно, уравнение (6) можно записать в виде

Теперь можно получить ответ на поставленный в задаче вопрос: положим в (7) и = 30, тогда

Решая это уравнение, находим

Таким образом, тело за 60 минут охладится до 30° С.

Пример:

Истечение жидкости из сосуда. Если жидкость вытекает из сосуда через малое отверстие в дне сосуда, то скорость v истечения в данный момент определяется формулой Здесь h —расстояние свободной поверхности жидкости от отверстия,— ускорение силы тяжести и — коэффициент, определяемый опытным путем и зависящий от вязкости жидкости и формы отверстия. Например, если жидкость— вода, а отверстие—круг радиуса 0,1, то коэффициент = 0,6. Значит, в этом случае формула будет выглядеть так:

Пользуясь приведенной формулой, решим задачу.

Задача:

Вычислить время T, за которое вода вытечет из сосуда, имеющего форму полушара радиуса R = 1м если известно, что в начальный момент вода заполняла весь сосуд. Отверстие, через которое вытекает вода, является кругом радиуса 0,1 м (рис. 110, а).

Решение:

Выберем оси координат так, как показано на рис. 110, я, и рассмотрим промежуточный момент времени t(0 < t < Т). В этот момент вода уже не будет занимать всего сосуда и ее поверхность будет находиться на расстоянии х от начала координат. Расстояние свободной поверхности воды от отверстия будет равно h = 1— х, скорость истечения

Рассмотрим, что произойдет с водой за малый промежуток времени dt, протекший с момента t . За этот промежуток времени уровень воды понизится на dх. С другой стороны, за этот же промежуток времени вода вытечет через отверстие в виде цилиндрической струйки. На чертеже изображены вытекший слой высоты dх (рис. 110, в) и струйка (рис. 110, в). Объем слоя и струйки равны между собой.

Подсчитаем каждый из этих объемов. Подсчеты будем вести так же, как в гл. XII, с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Так как dx мало, то можно считать, что скорость истечения за промежуток времени dt остается неизменной, такой же, какой она была в момент времени t. Значит, будем считать, что скорость истечения в указанном промежутке времени равна

Поэтому длина струйки (высота цилиндра) равна скорости, умноженной на время, т. е.

Объем струйки получим, умножив ее длину (высоту цилиндра) на площадь отверстия (площадь основания цилиндра), которая равна

Таким образом, объем струйки равен

Теперь подсчитаем объем слоя как объем цилиндра (см. гл. XII, § 1), высота которого равна dх, а радиус основания МК Выразим МК через х из прямоугольного треугольника ОМК. Применяя теорему Пифагора, получим

Поэтому площадь круга равна

а объем слоя

Приравнивая объем струйки объему слоя, получим

Это — дифференциальное уравнение, связывающее расстояние свободной поверхности воды от начала координат, время истечения и их дифференциалы. Уравнение (**) можно переписать в виде

Здесь переменные разделены, т. е. левая часть зависит только от t а правая — только от х. Интегрируя, получим

Для вычисления интеграла, стоящего в правой части, сделаем замену переменного, положив 1—х = z. Отсюда x = 1— z, dх = — dz, и интеграл перепишется в следующем виде:

Делая последовательные преобразования и интегрируя, получаем

Следовательно,

Это уравнение, хотя и дает связь между величинами t й х, но для расчетов им воспользоваться нельзя, так как в него еще входит произвольное постоянное С, величина которого неизвестна.

Однако вспомним, что нами не было использовано условие, что в начальный момент времени t = 0 вода занимала весь сосуд, т. е. ее поверхность проходила через начало координат. Значит, при t = 0 величина х равнялась нулю. Подставляя t = 0 и x = 0 в уравнение (***), получим

откуда

Найденное значение С подставляем в (***):

Итак, мы получили связь между х и t. Так как в момент, когда вся вода вытечет, x = 1, то время истечения воды из сосуда найдем, подставляя x = 1 в уравнение (****); получим, что T = 35,2сек.

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механик

Если точка движется по оси Ох под влиянием силы F и если t обозначает время, а х— расстояние от начала координат, то скорость v точки определяется первой производной а ускорение а —второй производной, т. е. . Связь между силой, массой точки и ее ускорением устанавливается законом Ньютона: действующая сила равна произведению массы на ускорение, т. е.

или

или

Приведем примеры дифференциальных уравнений, полученных при помощи этого закона.

Пример:

Точка движется под действием силы, пропорциональной скорости точки и направленной против движения. В начальный момент точка находилась в начале координат и скорость точки была равна v0. Найти закон движения, т. е. связь между расстоянием точки от начала координат и временем.

В этом примере величина силы F равна v, а так как сила направлена против движения, то

Применяя закон в форме (2), получаем дифференциальное уравнение первого порядка

Разделяем переменные:

Интегрируем левую и правую части и приравниваем результаты:

Для удобства записи положим С1 = lnС:

потенцируя, имеем

Это — общее решение задачи.

Так как в начальный момент t = 0 скорость равнялась v, то, подставляя t = 0 и v = v0 в уравнение (4), найдем значение С:

следовательно, уравнение (4) примет вид

Это — частное решение. Однако задача еще не решена, так как зависимость х от t не найдена. В силу того, что уравнение (5) можно переписать в виде

Это тоже дифференциальное уравнение первого порядка. Разделяем переменные:

Интегрируем отдельно левую и правую части и, приравнивая результаты, получаем

Так как в начальный момент времени точка находилась в начале координат, то, подставляя в (8) значения t = 0 и x = 0, имеем

Отсюда

При этом значении С2 из общего решения (8) получаем частное

или

Это и есть решение задачи.

Приведем конкретный пример, сводящийся к предыдущей задаче.

Пример:

Моторная лодка, вес которой 245 кг, идет прямолинейно и равномерно со скоростью 10 м\сек. В некоторый момент, который будем считать начальным, двигатель выключается и движение лодки замедляется за счет трения о воду. Через одну секунду после выключения двигателя лодка имела скорость 8 м\сек. Нужно найти скорость лодки через 5 сек и расстояние, пройденное за это время.

Примечание:

Сила трения лодки о воду пропорциональна скорости и направлена против движения. Коэффициент пропорциональности находится из опыта.

Применяя обозначения предыдущей задачи, имеем v0 = 10 м|сек. Так как вес лодки 245 кг, то ее масса равна , а считая, что , получим 25. Подставляя эти данные в равенство (5), находим

Эта формула еще непригодна для вычислений, так как в ней к неизвестно. Но мы еще не использовали то, что через 1 сек скорость лодки была 8 м\сек. Подставив эти данные, полученные из наблюдений, в равенство (5′), мы сможем найти . Сделаем это:

откуда

Логарифмируя обе части этого выражения, найдем

откуда

Итак, коэффициент пропорциональности найден. После этого равенство (5′) примет вид

Отсюда можно определить искомую скорость, подставляя t = 5 сек:

Подставляя найденное значение и данные значения т, v0 и t = 5 в равенство (9), найдем путь, пройденный за пять секунд:

Пример:

Рассмотрим движение точки под влиянием силы

Возьмем закон Ньютона в форме (3), тогда

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Проверим что выражение

является его общим решением. Для этого найдем

и

Подставляя вторую производную и саму функцию в уравнение, получим

Таким образом, функция (11), подставленная в уравнение (10), обращает его в тождество. Значит, функция (11) является решением уравнения (10). Поскольку эта функция содержит две произвольные постоянные С1 и С2 (ведь это любые числа), то она является общим решением уравнения (10).

Общее решение можно записать и в другом виде, а именно:

Положим

тогда

или

Коэффициент А называется амплитудой, — частой, — фазой. Вспомнив гл. IV, § 1, видим, что любым решением уравнения (10) является синусоида, т. е. колебательное движение. Уравнение (10) называется уравнением гармонических колебаний.

Движение точки на плоскости

Система дифференциальных уравнений:

Пусть точка Р с массой т движется на плоскости под влиянием силы F, которая меняется и по величине и по направлению. Для изучения этого движения точку Р проектируют на оси координат и рассматривают движения эти^ проекций по осям. Таким образом, вопрос движения точки на плоскости сводится к рассмотрению двух движений по осям координат.

Обозначим угол, образуемый силой F с положительным направлением оси Ох, через а (этот угол является переменной величиной). Тогда проекция силы F на ось Ох (обозначим ее X) будет

а проекция силы F на ось Оу (обозначим ее Y) будет

Проекции скорости v на оси Ох и Оу обозначим соответственно и проекции точки Р на оси Ох и Оу — Рх и Рy. Имеем Рх(х, 0), Ру(0,у).

В соответствии с § 4 можно записать:

или

Таким образом, движение точки на плоскости определяется двумя дифференциальными уравнениями и . Иногда удобнее пользоваться уравнениями и . Уравнения и называются системой дифференциальных уравнений движения точки на плоскости

Пример:

Рассмотрим движение материальной точки Р под влиянием силы тяжести F в безвоздушном пространстве, если известно, что точка брошена под углом а к горизонту из начала координат с начальной скоростью .

Выберем оси координат так, чтобы ось Ох была горизонтальной (рис. 111).

Во время движения на точку Р действует только сила тяжести F, равная mg, где т— масса точки, a g—ускорение силы тяжести. Сила тяжести направлена в отрицательном направлении оси Оу. Никакие другие силы на точку не действуют.

Проекция силы F на ось Ох равна нулю, а на ось Оу — равна (—mg). Поэтому уравнения и для нашего случая напишутся так:

Это—система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Однако удобнее воспользоваться уравнениями и , т. е. системой дифференциальных уравнений первого порядка. Эта система для рассматриваемой задачи такова:

Из уравнения (5Х) имеем: значит, все время сохраняет постоянное значение, а так как в начальный момент времени

, то и всегда

Но поэтому уравнение (6) перепишем в виде dx

Интегрируя, находим

Известно, что при t = 0 абсцисса равна нулю, т. е. х = 0. Подставляя эти значения в равенство (8), находим

Уравнение (8) получает вид

Из уравнения (5t) находим:

или

Интегрируя, получаем, что

Так как при t = 0 то из (10)

Уравнение (10) принимает вид

или

Интегрируя, наконец, последнее уравнение, получим, что

Так как при t = 0 ордината тоже равна нулю, то, подставляя значения t = 0 и y = 0 в (И), находим, что C3 = 0. После этого уравнение (11) уже принимает окончательный вид:

Уравнения (9) и (12) определяют движение точки, брошенной под углом к горизонту, под действием силы тяжести. Эти уравнения были уже получены из других соображений в гл. III.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее
неизвестные функции, независимые переменные и производные неизвестных функций.

Уравнение вида

F(x,y,y’) = 0, (10.1)

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у’ — ее
производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим
порядком производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Если уравнение (10.1) можно разрешить относительно у’ то
оно принимает вид

у’= f(х,у).

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется
функция в промежутке (a,b) (как конечном, так и
бесконечном), которая при подстановке в уравнение обращает его в
тождество. Вместо термина «решение» часто используют выражение
«интеграл дифференциального уравнения». Это связано с тем, что, во-
первых, сама задача является обобщением задачи интегрирования
функций и, во-вторых, решение действительно нередко находят путем интегрирования функций или, как принято говорить, путем квадратур.

Решением дифференциального уравнения является
интеграл Таким образом, это дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество решений, которое
выражается следующим образом.

Существует общее решение у(х, С) дифференциального
уравнения, которое зависит не только от независимой переменной х,
но еще и от произвольного параметра С, называемого постоянной
интегрирования. Подставляя вместо С конкретные частные
значения, получают различные частные решения.

Условия

при

в силу которых функция принимает заданное значение
в заданной точке называют начальными условиями решения.

Теорема существования (Коши)

Если f(х, у) непрерывна в
некоторой области около точки то существует по крайней
мере одно решение уравнения

у’ = f(х,у), (10.3)

принимающее при значение определенное и
непрерывное в некотором интервале около Если, кроме того, в этой области выполняется условие Липшица, т.е.

причем N не зависит от х, и то это решение единственное и
является непрерывной функцией от

Геометрический смысл теоремы существования и
единственности состоит в том, что через каждую точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (10.3).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если дифференциальное уравнение путем умножения или деления на какое-либо выражение можно привести к виду

где известная функция А зависит только от х, а В — только от у, то оно
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися
переменными.

Последнее уравнение можно записать и в иной форме:

или

где каждый символ интеграла означает какую-либо первообразную
для своей подынтегральной функции, а С — постоянную
интегрирования.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Разделение переменных дает

Интегрируя, получим

Последнее выражение эквивалентно уравнению Полагая
окончательно получим:

Пример:

Найти частное решение дифференциального уравнения

по начальным условиям при

Решение:

Общее решение исследуемого уравнения имеет вид (см.
пример 10.1) Подставив в него начальные условия, найдем откуда С = 1. Таким образом, искомое частное решение:

Пример:

Используя метод разделения переменных, найти
общие решения дифференциальных уравнений:

а) б)в)

Решение:

а)

Решим интегралы, введя замену 1 + x=t. Тогда

Таким образом, интегрируя дифференциальное уравнение, найдем

Введем замену Окончательно получим:

б)

Введя замену найдем:

Введя замену вычислим:

Таким образом, или

в)

Левый интеграл уравнения был найден в предыдущей задаче, а
правый определяется подстановкой т.е.

Представив подынтегральное выражение в виде

найдем

Таким образом, или

Пример:

Используя метод разделения переменных, найти
частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие
указанным начальным условиям:

а) при

б) при

в) при

г) при

Решение:

а)

Для расчета значения С подставим в полученное выражение начальные условия: Отсюда С =-2 . Частное решение имеет вид или

б)

в)

г)

Пример:

Функция спроса q от цены р имеет вид где

Тогда функция выручки от продаж R от цены (этот результат будет получен позже) определяется дифференциальным уравнением

Найти функцию выручки от цены.

Решение:

Дифференциальное уравнение иначе можно записать
в виде
Проинтегрировав данное уравнение, получим:

где — постоянная интегрирования.

Перепишем полученное уравнение в виде

Определим

Отсюда следует

Таким образом, функция выручки от цены является параболой.
Точки пересечения с осью Ор находим из уравнения

Решения этого уравнения р = 0 и являются искомыми
точками пересечения. Симметрия параболы позволяет определить
координаты экстремальной точки. По оси абсцисс координата экстремальной точки а по оси координат —

Значение выручки в экстремальной точке

С другой стороны, по определению выручки

Приравнивая правые части двух последних выражений, найдем

Подставив полученное значение в формулу для выручки, получим

График функциональной зависимости выручки от цены товара показан на рис. 10.1.

Из рисунка следует, что для цены на товар, заключенной между 0 и , повышение цены приведет к повышению выручки от продаж продавца. Понижение цены приведет к снижению выручки. Для
интервала цен от до повышение цены приведет к снижению выручки, понижение цены — к ее повышению. В частности, из графика рис. 10.1 следует, что при цене на товар, равной , незначительное снижение и повышение цены
приводят к небольшому снижению выручки от продаж продавца. ►

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида

y’+p(x)y = f(x). (10.4)

Термином «линейный» здесь отмечается, что уравнение линейно,
т.е. первой степени, относительно совокупности символов у и у’.

Линейное уравнение (10.4) называется однородным, если f(x) = 0.
Если то уравнение (10.4) называется неоднородным.

Найдем сначала решение однородного уравнения. Тогда,
предполагая, что получим:

или

Интегрируя, получим:

где — какая-либо из первообразных функций для р(х).

Потенцирование дает

Пусть теперь Введем новую неизвестную функцию
u(х) с помощью формулы

Это преобразование получено заменой в решении (10.5)
однородного уравнения постоянной С неизвестной функцией u(х).
Такое преобразование называется изменением, или вариацией
постоянной. Продифференцируем последнее выражение:

Так как то эту формулу можно переписать в виде

Подставляя у’, выраженное из последней формулы, и (10.6) в
(10.4), получим уравнение для искомой функции u(х):

или

Интегрируя, найдем

Здесь символ интеграла обозначает только одну какую-либо из
первообразных функций для своей подынтегральной функции.
Выражение для u(х) построено из известных функций р(х) и f(x)
исключительно с помощью квадратур, т.е. процессов
обыкновенного интегрирования. Для первоначальной неизвестной у получается следующее выражение:

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения

у’ + ху = -х. (10.7)

Решение:

Решим сначала однородное уравнение у’ + ху = 0 .
Разделяя переменные и интегрируя, находим

Введем новую неизвестную функцию u(х) с помощью формулы

Дифференцируя, получим

или

Учитывая (10.7) и (10.8), находим

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Окончательный результат определяем, подставив полученное
выражение в (10.8):

Правильность результата легко проверить дифференцированием. ►

Пример:

Найти общие решения линейных уравнений:

а) б)

Решение:

а) Однородное уравнение имеет вид

или

Его решение или

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
Дифференцируя, имеем или
откуда или

Интегрируя, получим Общее решение исследуемого
уравнения имеет вид

б) Однородное уравнение имеет вид

Ищем решение в виде

Уравнение Бернулли

Рассмотрим несколько более общее дифференциальное уравнение, называемое уравнением Бернулли:

где n — любое постоянное число.

Линейное уравнение является частным случаем уравнения Бернулли при n = 0. При n = 1 получаем уравнение с разделяющимися
переменными:

или

Будем полагать, что в уравнении Бернулли п отлично от нуля и
единицы. Решить это уравнение можно так же, как и линейное,
методом вариации постоянной. Найдем сначала решение
однородного уравнения. Тогда, предполагая, что получим или

Интегрируя, получим

где — какая-либо из первообразных функций для р(х).

Потенцирование дает

и

При определении общего решения уравнения Бернулли введем
новую неизвестную функцию v(x) с помощью формулы

Это преобразование получено заменой в решении (10.10)
однородного уравнения постоянной С неизвестной функцией v(x).
Продифференцируем выражение (10.11) и учтем, что

Подставив последнюю формулу и (10.11) в (10.9), получим

Разделив переменные, найдем

или

Интегрируя, получим:

или

где под символом интеграла подразумевается какая-либо одна первообразная.

Для определения первоначальной неизвестной у возведем правую и левую части (10.11) в степень 1-n:

Подставив в полученное выражение (10.12), найдем окончательное решение уравнения Бернулли:

или

Метод вариации постоянной может быть применен во многих других случаях.

Пример:

Найти общее решение уравнения Бернулли

Решение:

Решим сначала однородное уравнение у’ — ху = 0 . Разделяя переменные и интегрируя, находим

Введем новую неизвестную функцию v(x) с помощью формулы

Дифференцируя, получим:

Подставив последнюю формулу и (10.15) в (10.14), найдем

Интегрируя, получим

или

Окончательный результат определяем, подставив полученное
выражение в (10.15):

Пример:

Найти общие решения уравнений Бернулли:

а) б)

Решение:

а) Решим сначала однородное
уравнение

Введем новую неизвестную функцию v(x) с помощью формулы

Дифференцируя, получим:

Подставив последнюю формулу и (10.15) в исходное уравнение,
найдем

Интегрируя, получим:

или

Окончательный результат определяем, подставив полученное
выражение в (10.16):

б) Разделив правую и левую части на х, найдем:

Решим сначала однородное уравнение

Введем неизвестную функцию v(x):

Дифференцируя, получим:

Подставив последнюю формулу и (10.18) в (10.17), найдем:

Интегрируя, получим:

Окончательный результат определяем, подставив данное выражение
в (10.18):

Дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение вида

F(x, у, у’, у») = 0,

где х — независимая переменная, у — искомая функция у’ и у» — ее
производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Обычно изучаются уравнения, разрешенные относительно
второй производной:

у»= f(x,y,y’).

Решением дифференциального уравнения второго порядка
называется функция у(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой.

Условия

при

называются начальными условиями.

Пример:

Найти общие и частное решения уравнения у» = 2
при начальных условиях при

Решение:

Последовательно интегрируя, находим сначала первую производную:

а затем общее решение:

Подставляя значения начальных условий в выражение общего
решения и его производную, получим систему линейных уравнений:

откуда находим и

Таким образом, искомым частным решением является функция

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами может быть записано в виде

где постоянные коэффициенты.

Если в уравнении (10.19) правая часть равна нулю, то уравнение называется однородным, если не равна нулю — неоднородным.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

Рассмотрим метод интегрирования однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, предложенный Эйлером.

Частные решения линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами могут быть найдены в
виде где k — константа. Подставив в (10.20) и сокращая на не обращающийся в ноль множитель получим:

Это уравнение n-й степени определяет те значения k, при которых является решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (10.20). Если все корни характеристического уравнения (10.21) различны, то найдено n независимых решений уравнения (10.20). Тогда общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (10.20) имеет вид

где — произвольные постоянные.

Пример:

Решить уравнение у»=3у’ + 2у = 0 .

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид Его корни

Следовательно, общее решение:

Пример:

Решить уравнение у»‘ — у’ = 0.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид Его корни

Общее решение —

Комплексные корни характеристического уравнения (10.21) могут появляться лишь сопряженными парами, например:

Эти корни соответствуют комплексным решениям:

Комплексные решения могут быть заменены двумя действительными решениями, являющимися действительной и мнимой частями одного из представленных решений, т.е.

Пример:

Решить уравнение у» + 4у’ + 5у = 0.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид Его корни

Следовательно, общее решение —

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корни:

Следовательно, общее решение —

Если среди корней характеристического уравнения имеется корень кратности , то — частных решений будут иметь вид

Пример:

Решить уравнение у'» — Зу» + 3у’ — у = 0 .

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

или

Это уравнение имеет трехкратный корень Частные решения:

Следовательно, общее решение —

Если среди корней характеристического уравнения имеется комплексный корень кратности , то частных решений можно записать в виде

Отделяя действительную и мнимую части, получим частных действительных решений:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид или

Это уравнение имеет двукратные корни и Частные решения:

Следовательно, общее решение —

Рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если в уравнении (10.19) коэффициент то его можно записать в виде:

Теорема:

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (10.22) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и какого-либо частного решения неоднородного уравнения:

При решении неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях удается подобрать их частные решения и тем самым свести задачу к интегрированию соответствующего однородного уравнения.

Пусть, например, правая часть является многочленом степени s. Тогда уравнение (10.22) принимает вид:

Если то существует частное решение уравнения (10.24), тоже имеющее вид многочлена степени s:

Коэффициенты в уравнении (10.25) находят, подставляя (10.25) в (10.24) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях. Таким образом, получим для определения коэффициентов где i = 0,1, 2,…, s, всегда разрешимую систему линейных уравнений:

и т.д.

Предположим теперь, что

Тогда уравнение (10.24) принимает вид:

Частное решение уравнения (10.26) —

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Характеристическое уравнение соответствующего
однородного уравнения имеет вид: Данное уравнение имеет двукратные корни и Частные решения однородного уравнения: а его общее решение —

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Найдем вторую производную и подставим результат в исходное уравнение:

Отсюда находим

Общее решение неоднородного уравнения —

Пример:

Решить уравнение у» + у’ = х — 2 .

Решение:

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид: Корни данного уравнения: и Частные решения однородного уравнения: а его общее решение —

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Найдем первую и вторую производные: и подставим результат в исходное уравнение:

Отсюда находим

Общее решение неоднородного уравнения —

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение вида:

Если p не является корнем характеристического уравнения, то
частное решение надо искать в виде:

Если же р является корнем характеристического уравнения
кратности (этот случай называют особым, или резонансным), то
частное решение имеет вид:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Характеристическое уравнение соответствующего
однородного уравнения имеет вид: Корни данного уравнения: и Частные решения однородного уравнения: а его общее решение —

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Найдем вторую производную:

Подставим результат в исходное уравнение:

Отсюда находим

Общее решение неоднородного уравнения —

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

Характеристическое уравнение соответствующего
однородного уравнения имеет вид: Это уравнение имеет
двукратные корни и Частные решения однородного
уравнения: а его общее решение —

Частное решение неоднородного уравнения необходимо искать в виде:

Найдем первую и вторую производные:

Подставим результат в исходное уравнение:

Отсюда находим

Общее решение неоднородного уравнения —

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат