Для связи в whatsapp +905441085890

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

Если разлагаемая на отрезке Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода в ряд Фурье функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода является чётной или нечётной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится так называемым неполным).

Если функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода — чётная, то её ряд Фурье имеет вид Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода,

где Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

Таким образом, ряд Фурье для чётной функции содержит свободный член и только члены с косинусами. Ряд Фурье для чётной функции называется неполным тригонометрическим рядом или рядом по косинусам.

Если функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода — нечётная, то её ряд Фурье имеет вид Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода, где Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

Таким образом, ряд Фурье для нечётной функции содержит только члены с синусами. Ряд Фурье для нечётной функции называется неполным тригонометрическим рядом или рядом по синусам.

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода.

Пусть функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода, определённая на отрезке Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода, имеет период Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода (Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода, Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода — произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле.

Тогда её разложение в ряд Фурье на отрезке Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода имеет вид:

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

где Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

Пример №37.3.

Разложите функцию Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода на интервале (-4;4) в ряд Фурье.

Решение:

Функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому она разложима в ряд Фурье. В силу нечётности функции, её ряд Фурье будет рядом по синусам. Учитывая ещё и то, что функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода — периодическая с периодом, равным 8 Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода, получим её разложение в ряд Фурье: Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода, где Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода Вычислим отдельно определённый интеграл Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода методом интегрирования по частям:

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода
Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода
Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

В итоге, Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

Таким образом, разложение в ряд Фурье функции Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода имеет вид:

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода
Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

Ответ: Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода

Если функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода является непериодической, определённой на всей числовой оси, то она нс может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, нс может быть равна Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода для всех Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода. Однако непериодическая функция Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций, функций произвольного периода, на котором она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Теория разложения функций в тригонометрические ряды Фурье называется гармоническим анализом. Под практическим гармоническим анализом понимается представление конкретных функций, возникающих при решении практических задач, в виде ряда Фурье, коэффициенты которого, как правило, вычисляются приближенным образом. В большинстве случаев функции, описывающие исследуемый процесс, представлены экспериментальными данными или графиками. В подобных ситуациях коэффициенты Фурье вычисляются при помощи приближенных методов интегрирования.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Тригонометрический ряд Фурье.
Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п.
Понятие дифференциального уравнения.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.