Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор Элементы теории поля, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция Элементы теории поля не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

Элементы теории поля

(Наряду с обозначениями Элементы теории поля используют запись Элементы теории поля— радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор Элементы теории поля, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Элементы теории поля

Вектор Элементы теории поля можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Элементы теории поля

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора Элементы теории поля на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора Элементы теории поля равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Элементы теории поля

Векторное поле называется однородным, если Элементы теории поля — постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция Элементы теории поля определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное полеЭлементы теории поля определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней Элементы теории поля).

Пример:

Найти поле линейной скорости Элементы теории поляматериальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью Элементы теории полявокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора Элементы теории поля, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Элементы теории поля

Построим радиус-вектор Элементы теории поля точки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости Элементы теории поля(модуль), как известно из курса физики, равно Элементы теории поля, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но Элементы теории поля — угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, Элементы теории поля

Вектор скорости Элементы теории полянаправлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения Элементы теории полявекторы Элементы теории поля образуют правую тройку). Следовательно, Элементы теории поля т. е.

Элементы теории поля

или Элементы теории поля

Элементы теории поля

Поле линейных скоростей Элементы теории поля тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Элементы теории поля

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

Элементы теории поля

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: Элементы теории поля В частности, при с = 1 получим Элементы теории поля, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении Элементы теории поля. Пусть вектор Элементы теории поляимеет начало в точке М и направляющие косинусы Элементы теории поля

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке Элементы теории поля в направлении вектораЭлементы теории поля определяется как

Элементы теории поля

или

Элементы теории поля

(см. рис. 268).

Элементы теории поля

Тогда

Элементы теории поля

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению Элементы теории поля называется предел

Элементы теории поля

Производная по направлению Элементы теории поля и характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если Элементы теории поля> 0, то функция U возрастает в направлении Элементы теории поля, если Элементы теории поля< 0, то функция U в направлении Элементы теории поля убывает. Кроме того, величина Элементы теории поля представляет
собой мгновенную скорость изменения функции U в направлении Элементы теории поля в точке М: чем больше Элементы теории поля, тем быстрее изменяется функция U. В этом состоит физический смысл производной по направлению.

Выведем формулу для вычисления производной по направлению, считая, что функция U(x;y;z) дифференцируема в точке М. Тогда ее полное приращение в этой точке М можно записать так:

Элементы теории поля

где Элементы теории поля — бесконечно малые функции при Элементы теории поля (см. п. 44.3). Поскольку

Элементы теории поля

то

Элементы теории поля

Переходя к пределу при Элементы теории поля получим формулу для вычисления производной по направлению:

Элементы теории поля

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Элементы теории поля

Формула (70.2) принимает вид:

Элементы теории поля

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Элементы теории поля Их можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Элементы теории поля совпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) Элементы теории поляполучим

Пример:

Найти производную функции Элементы теории поля в точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Элементы теории поля
Решение:

Находим вектор Элементы теории поляи его направляющие косинусы:

Элементы теории поля

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Элементы теории поля

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Элементы теории поля

Поскольку jj^- < 0, то заЭлементы теории поля данная функция в данном направлении убывает.

Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении Элементы теории поля производная Элементы теории поля имеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

Элементы теории поля

и некоторого вектора

Элементы теории поля

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. Элементы теории поля

или

Элементы теории поля

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

Элементы теории поля

или

Элементы теории поля

где Элементы теории поля угол между вектором grad U и направлением Элементы теории поля (см. рис. 269).

Элементы теории поля

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Элементы теории поляТаким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

Элементы теории поля

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Элементы теории поля Но тогда из (70.3) следует, что Элементы теории поля

Элементы теории поля

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Элементы теории поля

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Элементы теории поля

Решение:

Имеем:

Элементы теории поля

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Элементы теории поля

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью Элементы теории поля, если точка А движется в направлении Элементы теории поля (антиградиентное направление).

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором Элементы теории поля. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля Элементы теории поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора Элементы теории поля.

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

Элементы теории поля

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Элементы теории поля

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, Элементы теории поля— ее радиус-вектор. Тогда вектор Элементы теории поля направлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов Элементы теории поля следует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Элементы теории полявокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором Элементы теории поля(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Элементы теории поля

Интегрируя, получим: Элементы теории поля т. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Элементы теории поля вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть Элементы теории поля — единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Элементы теории поля Выберем в каждой площадке точку Элементы теории поля (см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости Элементы теории поля в каждой точке: .Элементы теории поля.

Элементы теории поля

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Элементы теории поля постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через Элементы теории поля протекает количество жидкости, приближенно равное Элементы теории поля— площадь i-й площадки,Элементы теории поля— высота i-гo цилиндра с образующей Элементы теории поля. Но Я, является проекцией вектораЭлементы теории поля на нормаль Элементы теории поля — единичный вектор нормали к поверхности в точке Элементы теории поля. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Элементы теории поля

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Элементы теории поля площадок):

Элементы теории поля

Независимо от физического смысла поля Элементы теории поля полученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Элементы теории поля через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Элементы теории поля

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

Элементы теории поля

(см. (6.2)), то

Элементы теории поля

где Элементы теории поля— проекция вектора а на направление нормали Элементы теории поля — дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

Элементы теории поля

где векторЭлементы теории поля направлен по нормали к поверхности, причем Элементы теории поля

Так как

Элементы теории поля

— проекции вектора Элементы теории поля на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора Элементы теории поля, можно записать в виде

Элементы теории поля

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Элементы теории поля

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

Элементы теории поля

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле Элементы теории поляесть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором Элементы теории поля острый угол и Элементы теории поля в точках, где векторные линии входят в объем, Элементы теории поля).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К < 0, то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.

Можно сказать, что источники — точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки — точки, где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком — отрицательный заряд магнита (см. рис. 273).

Если К = 0, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

Элементы теории поля

Пример:

Найти поток вектора Элементы теории поля через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Элементы теории поля

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть Элементы теории поля на верхней стороне Элементы теории поляпоэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Элементы теории поля

Итак, Элементы теории поляНаходимЭлементы теории поля

Элементы теории поля

В результате имеем: Элементы теории поля

Элементы теории поля

Пример:

Найти поток радиус-вектора Элементы теории полячерез внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Элементы теории поля

Очевидно, чтоЭлементы теории поля

Элементы теории поля

т. к. Элементы теории поля

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Элементы теории поля

в точке М называется скаляр вида Элементы теории поляи обозначается символом Элементы теории поля, т. е.

Элементы теории поля

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. ЕслиЭлементы теории поля — постоянный вектор, то Элементы теории поля
  2. Элементы теории поля где с = const.
  3. Элементы теории поля т. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, Элементы теории поля — вектор, то
Элементы теории поля

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Элементы теории поля то

Элементы теории поля

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Элементы теории поля

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Элементы теории поля через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Элементы теории поля. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Элементы теории поля

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Элементы теории поля в точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Элементы теории поля

где Элементы теории поля— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Элементы теории поля Отсюда

Элементы теории поля

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда Элементы теории поля, и мы получаем выражение для Элементы теории поля в точке М:

Элементы теории поля

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Элементы теории поля

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что Элементы теории поляесть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Элементы теории поляточка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, приЭлементы теории поля точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Элементы теории поля характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то Элементы теории поля

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Элементы теории поля называется соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Элементы теории поля жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Элементы теории поля.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Элементы теории поля Имеем:

Элементы теории поля

Поле Элементы теории поля — соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть Элементы теории поля— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор Элементы теории поля направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и Элементы теории поля — дифференциал дуги кривой Элементы теории поля

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора Элементы теории поля на вектор Элементы теории поля, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Элементы теории поля
Элементы теории поля

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

Элементы теории поля

где Элементы теории поля— проекция вектораЭлементы теории поля на касательную Элементы теории поля, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Элементы теории поля

или

Элементы теории поля

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы Элементы теории поля поля при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение Элементы теории поля сохраняет знак: положительный, если направление вектора Элементы теории поля совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) Элементы теории поля вдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости Элементы теории поля, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости Элементы теории полясовпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

Элементы теории поля

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол Элементы теории поля с осью Oz, то циркуляция будет равна Элементы теории поля с изменением углаЭлементы теории поля величина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Элементы теории поля

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Элементы теории поля

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

Элементы теории поля

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

Элементы теории поля

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

Элементы теории поля

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Элементы теории поля

Следовательно,

Элементы теории поля

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Элементы теории поля

называется вектор, обозначаемый Элементы теории поля и определяемый формулой

Элементы теории поля

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Элементы теории поля

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Элементы теории поля— постоянный вектор, то Элементы теории поля
  2. Элементы теории поля
  3. Элементы теории поля т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, а Элементы теории поля — векторная, то
Элементы теории поля

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Элементы теории поля

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Элементы теории поля

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Элементы теории поля по контуру L, т. е. Элементы теории поля (см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Элементы теории поля через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Элементы теории поля

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Элементы теории поля
Элементы теории поля

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Элементы теории поля вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора Элементы теории поля через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Элементы теории поля

где Элементы теории поля — некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Элементы теории поля

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Элементы теории поля

Отсюда:

Элементы теории поля

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Элементы теории поляПерейдя к пределу, получаем:

Элементы теории поля

Ротором вектора Элементы теории поля в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Элементы теории поля есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Элементы теории поля, т. е. ротор вектора Элементы теории поля

По определению ротора

Элементы теории поля

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Элементы теории поляпредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полемЭлементы теории поля являются gradU, Элементы теории поля Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Элементы теории поля

Этот символический вектор называют также оператором Элементы теории поля (читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Элементы теории поля на скаляр U или вектор Элементы теории поля производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов Элементы теории поля на величины Элементы теории поляпонимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Элементы теории поля

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

Элементы теории поля

где Элементы теории поля

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

Элементы теории поля

(Понятно, что операция Элементы теории поля например, не имеет смысла: Элементы теории поля — скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о Элементы теории полябессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Элементы теории поля

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается Элементы теории поля. Таким образом,

Элементы теории поля

Дифференциальное уравнение Лапласа Элементы теории поля играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

Элементы теории поля

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. Элементы теории полятак как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

Элементы теории поля

4. Элементы теории полятак как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

Элементы теории поля

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Элементы теории поля

Здесь Элементы теории поля— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору Элементы теории поля.

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле Элементы теории поляназывается соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. Элементы теории поля

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

  1. В соленоидальном поле Элементы теории поляпоток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Элементы теории поля, то существует такое поле Элементы теории поля, что Элементы теории поля. Вектор Элементы теории поля называется векторным потенциалом поля Элементы теории поля.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что Элементы теории поля).

3. В соленоидальном поле Элементы теории поля поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями Элементы теории поля боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Элементы теории поляравен нулю. Следовательно,

Элементы теории поля

где n — внешняя нормаль.

Элементы теории поля

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, тоЭлементы теории поля и, следовательно,

Элементы теории поля

Переменив направление нормали на площадке Элементы теории поля, т.е. взяв внутреннюю нормаль Элементы теории поля получим:

Элементы теории поля

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле Элементы теории поля называется потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Элементы теории поляПримером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля Элементы теории поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

Элементы теории поля

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле Элементы теории поля криволинейный интеграл Элементы теории поля вдоль любой кривой L с началом в точке Элементы теории поляи концом в точке Элементы теории полязависит только от положения точек Элементы теории поля и не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки Элементы теории поля соединим их двумя кривыми Элементы теории поля так, чтобы контур Элементы теории полялежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Элементы теории поля

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Элементы теории поля

т. e.

Элементы теории поля

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если Элементы теории поля, то существует функция U (х; у; z) такая, что Элементы теории поля

Из равенства Элементы теории поля вытекает, что Элементы теории полят. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Элементы теории поля

Отсюда: Элементы теории поля Следовательно,

Элементы теории поля

т. е. вектор поля Элементы теории поля является градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства Элементы теории поля следует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Элементы теории поля

где Элементы теории поля — координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле Элементы теории поля называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. Элементы теории поля. (Иногда пишут Элементы теории поля; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

Элементы теории поля

и найти его потенциал.

Решение:

Имеем:

Элементы теории поля

Следовательно, поле вектора Элементы теории поля потенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Элементы теории поля Так как

Элементы теории поля

то

Элементы теории поля

Гармоническое поле

Векторное поле Элементы теории поля называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если Элементы теории поля

Элементы теории поля

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как полеЭлементы теории поля потенциально, то его можно записать в виде Элементы теории поля — потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

Элементы теории поля

или, что то же самое,

Элементы теории поля

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Аналитическая геометрия в пространстве
  125. Функции одной переменной
  126. Высшая алгебра
  127. Векторная алгебра
  128. Векторный анализ
  129. Векторы
  130. Скалярное произведение векторов
  131. Векторное произведение векторов
  132. Смешанное произведение векторов
  133. Операции над векторами
  134. Непрерывность функций
  135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  136. Предел и непрерывность функции одной переменной
  137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  140. Матрицы
  141. Линейные и евклидовы пространства
  142. Линейные отображения
  143. Дифференциальные теоремы о среднем
  144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  145. Функции комплексного переменного
  146. Преобразование Лапласа
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат