Оглавление:
Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.
Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.
Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.
- От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
- Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
- Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.
В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа
Оригиналы и их изображения:
Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.
Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).
Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:
- f(t) — кусочно-непрерывная при
т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
- Существуют такие числа
что для всех t выполняется неравенство
, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число
называется показателем роста f(t).
Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.
Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить ), степенные
и другие (для функций вида
( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция
(не удовлетворяет второму условию).
Замечание:
Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид она считается оригиналом, если действительные функции
являются оригиналами.
Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного , определяемая интегралом
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101927.png)
Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде или
(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).
Теорема:
Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости — показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости
.
Докажем первую часть теоремы. Пусть произвольная точка полуплоскости
(см. рис. 302).
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101936.png)
Учитывая, что находим:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101937.png)
так как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101938.png)
Таким образом,
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101939.png)
Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости
Следствие:
Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101942.png)
Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда
Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101944.png)
по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции не могут быть изображениями.
Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой или на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция
(ее особые точки расположены на всей оси s).
Теорема:
О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)
Пример:
Найти изображение единичной функции Хевисайда
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101953.png)
(см. рис. 303).
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101955.png)
Решение:
По формуле (78.1) при находим:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101958.png)
т. e. , или, в символической записи,
Замечание:
В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101967.png)
Пример:
Найти изображение функции — любое число.
Решение:
Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101970.png)
если Re(p — a) > 0. Таким образом,
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101971.png)
Пример:
Найти изображение функции f(t) = t.
Решение:
В этом случае преобразование Лапласа имеет вид
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101972.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101973.png)
Замечание:
Функция является аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).
Свойства преобразования Лапласа
Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.
Линейность
Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101977.png)
— постоянные числа, то
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101979.png)
Используя свойства интеграла, находим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101981.png)
Пример:
Найти изображения функций — любое число), с (const),
Решение:
Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101984.png)
т. е.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101985.png)
Аналогично получаем формулу
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101986.png)
Далее, т. е.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101988.png)
Наконец,
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101989.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101990.png)
Аналогично получаем формулу
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101991.png)
Подобие
Если
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101993.png)
т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.
По формуле (78.1) имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-101997.png)
(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть . Тогда
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102002.png)
Смещение (затухание)
Если
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102006.png)
т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной р.
В силу формулы (78.1) имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102008.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102010.png)
Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102011.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102013.png)
Пример:
Найти оригинал по его изображению
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102014.png)
Решение:
Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102016.png)
(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)
Запаздывание
Если
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102018.png)
т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на
.
Положив , получим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102023.png)
Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и имеют одинаковый вид, но график функции
сдвинут на
единиц
Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией
, начинается с опозданием на время
.
Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.
Функция
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102028.png)
называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).
Так как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102029.png)
Запаздывающую функцию
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102030.png)
можно записать так:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102032.png)
Пример:
Найти изображение f(t) = t — 1.
Решение:
Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.
Если понимать функцию f(t) как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102038.png)
т. е. (см. рис. 306, а), то, зная, что
(см. формулу (78.4)),
и, используя свойство линейности, находим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102043.png)
Если же понимать функцию f(t) как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102045.png)
т. е. (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102048.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102049.png)
Пример:
Найти изображение функции
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102050.png)
Решение:
Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции и обобщенной единичной функции
. Поэтому
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102054.png)
Пример:
Найти изображение функции
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102056.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102058.png)
Решение:
Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда :
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102060.png)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102062.png)
Изображение функции f(t) будет равно
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102064.png)
Замечания:
1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,
есть
2.Свойство опережения
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102066.png)
применяется значительно реже.
Дифференцирование оригинала
Если и функции
являются оригиналами, то
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102069.png)
По определению изображения находим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102072.png)
Итак, Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102076.png)
Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102077.png)
Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).
Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102079.png)
т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.
Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.
Пример:
Найти изображение выражения
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102080.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102081.png)
Решение:
Пусть Тогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102084.png)
Следовательно,
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102085.png)
Дифференцирование изображения
Если то
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102088.png)
т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).
Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102090.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102091.png)
Пример:
Найти изображения функций
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102093.png)
Решение:
Так как , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем
т. е.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102097.png)
Далее находим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102098.png)
Продолжая дифференцирование, получим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102099.png)
С учетом свойства смещения получаем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102100.png)
Согласно формуле (78.5), Следовательно,
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102102.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102104.png)
Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102105.png)
С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102106.png)
Интегрирование оригинала
Если
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102107.png)
т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.
Функция является оригиналом (можно проверить).
Пусть Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102111.png)
(так как ). А так как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102113.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102114.png)
Интегрирование изображения
Если и интеграл
сходится, то
т. е. интегрированию изображения от p до
соответствует деление его оригинала на t.
Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102138.png)
Пример:
Найти изображение функции найти изображение интегрального синуса
Решение:
Так как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102141.png)
т. е. Применяя свойство интегрирования t оригинала, получаем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102143.png)
Умножение изображений
Если то
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102145.png)
Можно показать, что функция является оригиналом.
Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102147.png)
Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102149.png)
Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102151.png)
Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции и обозначается символом
, т. е.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102155.png)
Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е.
Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102158.png)
Пример:
Найти оригинал функций
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102159.png)
Решение:
Так как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102160.png)
то
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102161.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102162.png)
т. e.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102163.png)
Аналогично получаем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102164.png)
Следствие:
Если также является оригиналом, то
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102167.png)
Запишем произведение в виде
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102169.png)
или
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102170.png)
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать
или
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102174.png)
Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102175.png)
Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.
Пример:
Найти оригинал, соответствующий изображению
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102176.png)
Решение:
Так как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102177.png)
то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102179.png)
Умножение оригиналов
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102180.png)
где путь интегрирования — вертикальная прямая (см. рис. 310) (примем без доказательства).
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102182.png)
Резюме
Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102184.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102185.png)
6. Дифференцирование изображения
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102186.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102187.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102188.png)
Таблица оригиналов и изображений
Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102189.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102191.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102194.png)
Обратное преобразование Лапласа
Теоремы разложения:
Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).
Теорема:
Если функция F(p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102199.png)
то функция
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102200.png)
является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102201.png)
Примем эту теорему без доказательства.
Пример:
Найти оригинал f(t), если
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102202.png)
Решение:
Имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102203.png)
Следовательно, на основании теоремы 79.1
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102204.png)
Запишем лорановское разложение функции в окрестности точки
:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102210.png)
где Следовательно,
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102215.png)
Теорема:
Если правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули)
то функция
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102219.png)
является оригиналом, имеющим изображение F(p).
Отметим, что дробь должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102221.png)
не может быть изображением.
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102230.png)
где — неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента
этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на
:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102236.png)
Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102239.png)
Итак, Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на
найдем
Подставляя найденные значения в равенство (79.2), получим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102245.png)
Так как по формуле (78.3)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102247.png)
то на основании свойства линейности имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102248.png)
Замечание:
Легко заметить, что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102250.png)
Можно показать, что если правильная дробь, но корни (нули)
знаменателя В(р) имеют кратности
соответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102255.png)
Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:
Если изображение является дробно-рациональной функцией от
— простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102257.png)
Формула Римана-Меллина
Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102259.png)
где интеграл берется вдоль любой прямой .
При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102262.png)
Замечание:
На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.
Пример:
Найти оригинал по его изображению
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102263.png)
Решение:
Проще всего поступить так:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102265.png)
(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).
Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102266.png)
корни знаменателя и, согласно формуле (79.1),
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102269.png)
Пример:
Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как
Решение:
Здесь
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102271.png)
— простой корень знаменателя, — 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102273.png)
Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь
на сумму простейших дробей:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102275.png)
Следовательно,
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102276.png)
Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение и так как
пользуясь свойством умножения изображений, имеем:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102281.png)
Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем
Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102282.png)
удовлетворяющее начальным условиям
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102283.png)
где — заданные числа.
Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.
Пусть Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102286.png)
Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102287.png)
— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102290.png)
Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.
В этом случае
Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).
Замечание:
Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при ).
Пример:
Решить операционным методом дифференциальное уравнение при условиях
Решение:
Пусть Тогда
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102298.png)
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102299.png)
Отсюда Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших
но так как корни знаменателя
простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102304.png)
Получаем:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102305.png)
Пример:
Найти решение уравнения
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102306.png)
при условии
Решение:
График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102308.png)
С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102309.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102310.png)
Таким образом, имеем
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102311.png)
Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102312.png)
Отсюда
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102313.png)
Так как
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102314.png)
то по теореме запаздывания находим:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102315.png)
Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Покажем это на конкретном примере.
Пример:
Решить систему дифференциальных уравнений
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102316.png)
Решение:
Пусть
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102317.png)
Находим, что
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102318.png)
Система операторных уравнений принимает вид
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102319.png)
Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102321.png)
Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102324.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102325.png)
![Операционное исчисление](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-102326.png)
С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат