Уравнения высших степеней с одним неизвестным с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Уравнения высших степеней с одним неизвестным:

Биквадратное уравнение

Как известно, целое уравнение, содержащее только четвертую, вторую и нулевую степени неизвестного, называется биквадратным.

Уравнение

представляет собой общий вид биквадратного уравнения. Принимая за новое неизвестное Уравнения высших степеней с одним неизвестным , получим:

откуда

Свойства корней биквадратного уравнения.

т. е. сумма корней биквадратного уравнения равна нулю как и надо было ожидать согласно теореме Виета, так как коэффициент при Уравнения высших степеней с одним неизвестным в биквадратном уравнении равен нулю.

т. е. произведение корней биквадратного уравнения равно отношению свободного члена к коэффициенту при четвертой степени неизвестного.

Возвратное уравнение 4-й степени

Общий вид возвратного уравнения 4-й степени таков:

Нуль не является корнем этого уравнения, поэтому можно разделить все члены уравнения на Уравнения высших степеней с одним неизвестным и привести уравнение к виду:

Введем новое неизвестное Уравнения высших степеней с одним неизвестным

Тогда

откуда

что приведет нас к квадратному уравнению Уравнения высших степеней с одним неизвестным

Найдя Уравнения высших степеней с одним неизвестным и пользуясь уравнением

найдем 4 значения неизвестного х.

Двучленные уравнения

1. Двучленное уравнение 3-й степени Уравнения высших степеней с одним неизвестным

а) Пусть из двух чисел А и В одно положительное, а другое отрицательное. Положим, что

где под выражением Уравнения высших степеней с одним неизвестным будем подразумевать лишь его арифметическое значение. (Как известно, арифметическое значение корня легко вычисляется с помощью таблиц логарифмов.)

Подставляя в данное уравнение вместо х выражение Уравнения высших степеней с одним неизвестным получим:

или

Отсюда

Пользуясь формулой

найдем все три корня исходного уравнения:

б) Пусть А и В одновременно положительны или одновременно отрицательны. Положим, что

где под выражением Уравнения высших степеней с одним неизвестным будем подразумевать опять лишь его арифметическое значение.

Из исходного уравнения получим:

или

Отсюда

Пользуясь формулой

найдем все три корня исходного уравнения:

2. Двучленное уравнение 4-й степени Уравнения высших степеней с одним неизвестным

а) Пусть из двух чисел А и В одно положительное, а другое отрицательное. Положим, что

где под выражением

будем подразумевать лишь его арифметическое значение. Тогда из исходного уравнения получим:

или

т. е. получим опять двучленное уравнение 4-й степени, но уже в его простейшей форме.

Решив уравнение Уравнения высших степеней с одним неизвестным найдем его четыре корня:

Пользуясь уравнением

найдем все 4 корня исходного уравнения:

б) Пусть оба числа А и В одновременно положительны либо одновременно отрицательны. Положим, что

где под выражением Уравнения высших степеней с одним неизвестным будем опять подразумевать лишь его арифметическое значение. Тогда из исходного уравнения получим:

т. е. опять двучленное уравнение, но уже в его простейшей форме.

Разложим левую часть последнего уравнения на множители:

Теперь легко обнаружить, что корнями уравнения

будут

Пользуясь уравнением

найдем:

3.Двучленное уравнение 6-й степени Уравнения высших степеней с одним неизвестным

а) Пусть из двух чисел А и В одно положительное, а другое отрицательное. Положим, что

где под выражением

будем, как и выше, подразумевать лишь его арифметическое значение. Тогда из исходного уравнения получим:

Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим:

Найдя 6 корней этого уравнения, определим и 6 корней исходного уравнения так же, как это мы делали в предыдущих случаях.

б) Пусть оба числа А и В либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. Положим, что

тогда получим:

Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим:

Таким образом, решение уравнения + 1 = О сводится к решению уравнения

Отсюда

Пользуясь формулой Уравнения высших степеней с одним неизвестным найдем шесть корней уравнения

Второй способ решения двучленного уравнения

Положим, что x=iy. Тогда задача сведется к решению уравнения

Найдя все 6 корней последнего уравнения и пользуясь равенством х=iy, найдем все 6 корней уравнения Уравнения высших степеней с одним неизвестным

4. Двучленное уравнение п-й степени Уравнения высших степеней с одним неизвестным

а) Пусть из двух чисел А и В одно положительное и другое отрицательное. Положим, что

где под выражением Уравнения высших степеней с одним неизвестным будем, как и раньше, подразумевать лишь его арифметическое значение. Тогда из исходного уравнения получим:

Найдя все п значений Уравнения высших степеней с одним неизвестным (см. стр. 590), получим п значений неизвестного у, а затем и все п корней исходного уравнения.

б) Пусть числа АнВ одновременно положительны или одновременно отрицательны. Положим, что

где под выражением Уравнения высших степеней с одним неизвестным будем опять-таки подразумевать лишь его арифметическое значение. Тогда получим:

Найдя все п значений Уравнения высших степеней с одним неизвестным , получим п значений неизвестного у, а затем и все п корней исходного уравнения:

Заметим, что двучленное уравнение

где Уравнения высших степеней с одним неизвестным никогда не имеет кратных корней. Уравнение

где Уравнения высших степеней с одним неизвестным имеет один п-кратный корень, равный нулю.

Другими словами, все п корней этого уравнения одинаковы и каждый равен нулю, т.е.

Трехчленные уравнения

Общий вид трехчленного уравнения таков:

Решение трехчленного уравнения подстановкой Уравнения высших степеней с одним неизвестным сводится к квадратному уравнению

и далее к двучленному уравнению п-й степени.

Пример:

Целое алгебраическое уравнение

Уравнение, в котором правая часть есть нуль, а левая — целая рациональная функция п-й степени, т. е.

называется целым алгебраическим уравнением п-й степени с одним неизвестным.

При п = 1 и п = 2 (как известно) это уравнение решается легко.

Вопрос о решении этого уравнения в общем виде при п = 3 и п = 4 освещен в конце настоящей главы. Вопрос же о решении уравнения (I) в общем виде при п > 4 изучается в специальных курсах современной алгебры. Корни уравнений степени выше 4-й не выражаются через коэффициенты уравнения посредством элементарных функций.

Наряду с этим обратная задача, т. е. задача составления уравнения п-й степени по данным его корням, решается легко.

В самом деле, пусть нам даны корни Уравнения высших степеней с одним неизвестным уравнения п-й степени. Тогда само уравнение может быть записано в виде

где Уравнения высших степеней с одним неизвестным — произвольное число, не равное нулю.

Раскрыв скобки и сгруппировав члены, содержащие одинаковые степени неизвестного, получим искомое уравнение в виде

где коэффициенты Уравнения высших степеней с одним неизвестным вполне определятся в зависимости от и от чисел .

Пример:

Составить уравнение 5-й степени по данным его корням:

Искомым уравнением будет:

Положив Уравнения высших степеней с одним неизвестным и раскрыв скобки, получим искомое уравнение в виде

Отыскание рациональных корней целого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами

Приведенное уравнение

Пусть в приведенном уравнении

все коэффициенты Уравнения высших степеней с одним неизвестным — целые числа и . Докажем следующие две теоремы.

Теорема:

Если уравнение (I) имеет целый корень, то он обязательно будет делителем свободного члена

Доказательство:

Допустим, что целое число l, не равное нулю, есть корень уравнения (I). Тогда получим:

В левой части уравнения мы имеем целое число. Следовательно, l должно быть делителем свободного члена Уравнения высших степеней с одним неизвестным что и требовалось доказать.

Следствие:

Если ни один из делителей свободного члена не является корнем уравнения (I), то последнее не имеет ни одного целого корня.

Теорема:

Уравнение (I) не может иметь ни одного дробного корня.

Доказательство:

Применим метод доказательства от противного. Допустим, что уравнение (I) имеет дробный корень Уравнения высших степеней с одним неизвестным , где р и q — целые взаимно простые числа. Тогда получим:

Умножив на Уравнения высших степеней с одним неизвестным получим:

Но последнее равенство невозможно, так как его левая часть есть число целое, а правая — дробное.

Следовательно, уравнение (I) не может иметь ни одного дробного корня.

Итак, уравнение (I) может иметь корни либо целые, либо иррациональные, либо мнимые.

Для нахождения целых корней уравнения (I) надо производить испытание делителей свободного члена. Если ни один делитель свободного члена не окажется корнем уравнения (I), то это будет означать (как это уже было доказано выше), что оно не имеет нн одного целого корня. В этом случае корнями уравнения (I) могут быть либо иррациональные, либо мнимые числа.

Примеры:

1. Найти целые корни уравнения:

Делителями свободного члена являются лишь числа 1; —1; 2; — 2. Ни один нз этих делителей не является корнем данного уравнения. Следовательно, оно не имеет нн одного целого корня.

2. Найти целые корни уравнения:

Делители 1;— 1; 2 не являются корнями этого уравнения. Делитель же — 2 является корнем данного уравнения. Следовательно, данное уравнение имеет только один целый корень, равный — 2.

Разделив многочлен Уравнения высших степеней с одним неизвестным на х + 2, получим в частном . Поэтому данное уравнение может быть записано в виде

Отсюда получим и остальные два корня данного уравнения:

Неприведенное уравнение

Пусть в неприведенном уравнении

все коэффициенты Уравнения высших степеней с одним неизвестным — целые числа и

Поставим следующую задачу. Найти все рациональные корни уравнения (II).

Умножив обе части уравнения на Уравнения высших степеней с одним неизвестным получим:

Примем за новое неизвестное произведение Уравнения высших степеней с одним неизвестным Полагая получим:

Таким обратом, мы пришли к уравнению относительно у, которое также имеет целые коэффициенты, но которое уже является приведенным. Это уравнение, как уже известно, дробных корней иметь не может. Но у него могут быть или не быть целые корни.

Если окажется, что уравнение (III) имеет целые корни, то каждому его.целому корню Уравнения высших степеней с одним неизвестным будет соответствовать (в силу равенства рациональный корень уравнения (II).

Если окажется, что уравнение (III) не имеет ни одного целого корня, то это будет означать, что уравнение (II) не имеет ни одного рационального корня.

Примеры:

1.Найти рациональные корни уравнения

Умножив на Уравнения высших степеней с одним неизвестным получим:

Полагая 2х = у, получим:

Делители свободного члена:

Ни один из этих делителей не является корнем уравнения Уравнения высших степеней с одним неизвестным , т. е. уравнение не имеет ни одного целого корня. Следовательно, первоначальное уравнение (а) на имеет ни одного рационального корня.

2. Найти рациональные корни уравнения

Умножив на Уравнения высших степеней с одним неизвестным , получим:

Уравнения высших степеней с одним неизвестным

Полагая 6х = у, получим:

Испытывая делители числа 216, найдем, что числа — 2 и 3 являются корнями уравнения (b).

Найденным целым корням уравнения (b) будут соответствовать (в силу уравнения 6х = у) .дробные корни уравнения (а), а именно:

Зная два корня уравнения Уравнения высших степеней с одним неизвестным разделим его левую часть на произведение: Для удобства деления предварительно умножим делимое и делитель на 6. Тогда получим:

Остальные корни уравнения (а) будут решениями уравнения Уравнения высших степеней с одним неизвестным

т. е. будут i и — i.

Итак, уравнение (а) имеет два рациональных корня Уравнения высших степеней с одним неизвестным и два чисто мнимых корня i и —i.

О решении уравнений 3-й и 4-й степени

Уравнение 3-й степени в общем виде таково:

где

Решение этого уравнения всегда можно свести к решению уравнения

Действительно, разделив все члены уравнения (I) на Уравнения высших степеней с одним неизвестным , получим уравнение в приведенной форме

Применим к последнему уравнению преобразование

где у— новая неизвестная, а h— постоянная, значение которой мы в дальнейшем выберем так, как нам будет необходимо.

Подставив в уравнение (III) вместо х выражение у + h и расположив результат по степеням у, получим:

Выберем постоянную h так, чтобы коэффициент при Уравнения высших степеней с одним неизвестным обратился в нуль, т. е. положим, что

откуда

Подставляя это значение h в уравнение (V), получим:

где

Теперь перейдем к решению уравнения

Неизвестное у представим в виде суммы двух новых неизвестных, т. е. положим, что

Тогда уравнение (Р) примет вид:

Так как мы вместо одного неизвестного у ввели два неизвестных u и v, то одно из них может быть выбрано произвольно; иначе говоря, мы можем установить между u и v еще одну произвольную зависимость.

Пользуясь этим, потребуем, чтобы Уравнения высших степеней с одним неизвестным Тогда уравнение (Q) примет вид:

Таким образом, мы пришли к системе уравнений:

или

В этой системе за неизвестные примем Уравнения высших степеней с одним неизвестным Тогда они определятся как корни квадратного уравнения

Таким образом, можем принять

Определив отсюда u и v, найдем результат для неизвестного у:

Получили так называемую формулу Кардаио для решения кубического уравнения.

Полные сведения о решении уравнения 3-й степени и о формуле Кардаио излагаются в учебниках по высшей алгебре.

Решение уравнения 4-й степени путем преобразований сводится к решению уравнения 3-й степени.

Некоторые системы уравнений высших степеней, решаемые искусственным путем

Примеры:

Преобразуем эту систему к виду:

Полагая х+у = u и ху = v, получим:

Найдя решения этой системы, придем к двум отдельным системам вида:

Решения этой системы наиболее удобно находить с помощью квадратного уравнения:

(см. стр. 360).

Разложим левые части уравнений на множители:

Перемножая и извлекая квадратный корень, получим:

Сопоставляя это уравнение по очереди с каждым из предшествующих трех уравнений, получим:

Складывая попарно, найдем два решения системы;

Прибавив к левой и правой частям каждого уравнения системы по единице, получим:

Разложим левые части системы на множители:

Перемножим левые и правые части уравнений системы и извлечем квадратный корень:

Пользуясь этим уравнением и каждым из трех предшествующих, получим:

Система имеет два решения.

4. Найти положительные решения системы п уравнений с п неизвестными Уравнения высших степеней с одним неизвестным

Эту систему можно было записать кратко так:

где все числа Уравнения высших степеней с одним неизвестным — положительные.

Перемножив левые и правые части системы уравнений, получим:

откуда

Из первого уравнения системы следует, что

Пользуясь этим равенством и равенством (А), найдем, что

откуда

Аналогично находятся значения и остальных неизвестных.

Под появившимися корнями (п — 2)-й степени и 2-й степени мы подразумеваем здесь лишь их арифметические значения.

Данная система имеет лишь одно такое решение, при котором значения всех п неизвестных одновременно положительны. Это решение можно записать кратко так:

5. Решить систему:

Преобразуем первое уравнение системы:

Так как х + у = b, то, заменив в последнем уравнении х + у через b и обозначив ху через z, получим квадратное уравнение

с одним неизвестным z. Решив это квадратное уравнение, найдем два значения для z, т е. для произведения ху.

Теперь задача сведется к решению двух отдельных систем вида:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: