Функции и графики в математике с примерами и образцами

График функции — это геометрическое понятие в математике, дающее представление о геометрическом образе функции. Наиболее наглядны графики вещественнозначных функций вещественного переменного одной переменной.

Изучение свойств функций и их графиков происходит как в школьной математике, так и в университете. Причем не только в курсах математического и функционального или экономического анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов.

Переменные величины и функции и их графики

1. Наблюдая какое-либо явление, мы видим, что одни величины, участвующие в нем, остаются неизменными, в то время как другие изменяются. Приведем несколько примеров.

Пример:

Пусть тепловоз движется по направлению от Ленинграда к Москве. Тогда такие величины, как, скажем, длина тепловоза, число колес, объем топливного бака, будут оставаться неизменными, а запас горючего, имеющийся на тепловозе, будет изменяться. Расстояние от Ленинграда до Москвы будет оставаться неизменным, а расстояния от тепловоза до Ленинграда и Москвы будут изменяться.

Пример:

Пусть происходит нагревание газа, заключенного в плотно закрытом сосуде. Тогда объем и число молекул газа будут оставаться неизменными, в то время как температура газа и его упругость (давление газа на стенки сосуда) будут изменяться.

Пример:

Пусть один конец пружины прикреплен к неподвижному предмету, а к другому концу подвешены два груза (рис. 76).

Если срезать шнур, которым второй груз прикреплен к первому, то первый груз станет совершать колебательное движение. Во время этого движения объем и масса первого груза будут оставаться постоянными, а расстояние груза до укрепленного конца пружины будет изменяться: то уменьшаясь, то увеличиваясь.

Пример:

Пусть имеется окружность с центром О и диаметром (рис. 77) и пусть по этой окружности движется точка М. Тогда расстояние точки М от центра окружности будет оставаться неизменным, а ее расстояние MP до диаметра будет изменяться: то увеличиваясь, то уменьшаясь.

Величина, участвующая в том или ином процессе и остающаяся неизменной, называется постоянной.

Величина, участвующая в том или ином процессе и изменяющаяся во время этого процесса, называется переменной.

2. Всякая величина, как постоянная, так и переменная, обозначается в математике какой-либо одной буквой. При этом постоянные величины принято обозначать преимущественно начальными буквами латинского алфавита, например буквами а, b, с и т. д., а величины переменные — последними буквами алфавита, например буквами х, у, z, u, v, s, t и т. д.

Однако бывают случаи, когда величины, обозначенные буквами а, b, с и т. д., приходится рассматривать как переменные, а величину, обозначенную, скажем, буквой х или у, как постоянную. Поэтому само по себе обозначение какой-либо величины, например
буквой а или х, не дает еще никаких указаний на то, будет ли эта величина постоянной или переменной; характер величины, обозначенной какой-либо буквой, должен всякий раз быть особо оговорен.

Кроме того, надо иметь в виду, что одна и та же величина может быть постоянной в одном процессе и переменной в другом. Например, расстояние точки М (рис. 78) от точки 0 будет величиной постоянной, если точка М движется по окружности, и переменной, если движение .точки М будет происходить по лучу OA.

Функция одного аргумента

1. Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых участвует пара переменных величин, изменяющихся в определенной взаимосвязи между собой.

Пример:

Будем наблюдать изменение стороны квадрата и происходящее при этом изменение площади квадрата. Обозначим длину стороны квадрата, выраженную, например, в сантиметрах, буквой х, а площадь квадрата, выраженную в квадратных сантиметрах, буквой у. Тогда х и у будут величинами переменными, изменяющимися в определенной взаимосвязи. Эту взаимосвязь можно выразить равенством

Здесь буквы х и у могут принимать лишь положительные значения, так как бессмысленно рассматривать сторону и площадь квадрата отрицательными.

Составим таблицу некоторых значений х и соответствующих значений у.

Составляя эту таблицу, мы давали переменной величине х произвольные значения; значения же переменной величины у мы вычисляли каждый раз с помощью одного и того же правила, даваемого равенством Поэтому естественно назвать величину х независимой переменной, а величину у— зависимой переменной.

Пример:

Пусть мы наблюдаем движение паровоза по Октябрьской железной дороге по направлению от Ленинграда к Москве, происходящее без остановок с постоянной скоростью 60 км в час, и пусть в полночь, т. е. в нуль часов, паровоз проходит станцию Бологое (рис. 79).

Обозначим время, отсчитываемое в сторону прошедшего и сторону будущего с момента полуночи, буквой t, а расстояние от ст. Бологое до паровоза, также отсчитываемое в двух противоположных направлениях, буквой s.

Будем считать, что буква t выражает время в часах, a s — расстояние в километрах. Здесь t и s будут величинами переменными, изменяющимися в определенной взаимосвязи. Эту взаимосвязь можно выразить равенством s = 60t .

В этом примере буквы t и s могут принимать как Положительные, так и отрицательные значения (рис. 80).

Составим таблицу значений s, соответствующих некоторым значениям t.

Составляя эту таблицу, мы давали переменной величине / произвольные значения; значения же переменной s мы вычисляли каждый раз с помощью одного и того же правила, выражаемого равенством

s= 60t.

Поэтому естественно и здесь назвать величину t независимой переменной, а величину s — зависимой переменной.

3. Связь между двумя переменными величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой определенное изменение другой, называют функциональной зависимостью между этими величинами.

Та переменная величина, значения которой мы задаем произвольно, называется независимой переменной или, еще иначе, аргументом.

Та же переменная, значение которой вполне определяется значением аргумента, называется зависимой переменной или функцией.

Определение:

Величина у называется функцией одного аргумента х, если каждому значению величины х соответствует единственное значение величины у.

Примечание. Следует иметь в виду, что совокупность различных возможных значений аргумента определяется всякйй раз условиями данной задачи. Поясним это примечание на примерах.

1) Площадь квадрата есть функция его стороны, определяемая равенством .

Здесь х есть аргумент, а у — функция аргумента х. В этом примере возможными значениями аргумента х являются лишь положительные числа.

2) Расстояние от ст. Бологое до локомотива (см. пример 2) есть функция времени, определяемая равенством

s= 60t.

Здесь t есть аргумент, a s функция аргумента t. В этом примере возможными значениями аргумента t являются числа положительные, отрицательные

3) Площадь S круга есть функция его радиуса R, определяемая равенством

Возможными значениями аргумента R являются лишь положительные числа.

4) Пусть буква обозначает сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n включительно, т. е.

Во второй части учебника в главе «Последовательности» доказано, что эта сумма определяется по формуле

Здесь n есть аргумент, а — функция. В этом примере возможными значениями аргумента являются лишь целые положительные числа.

Графическое изображение функции одного аргумента

1.Рассмотрим какую-нибудь функцию у одного аргумента х, например функцию

Составим таблицу значений этой функции для некоторых произвольно взятых значений аргумента х.

Эта таблица позволяет в некоторой степени составить себе представление о ходе изменения данной функции. Так, например, она показывает, что значения данной функции отрицательными быть не могут. Таблица показывает, что при двух противоположных значениях аргумента х значения функции оказываются одинаковыми.

Далее, при неограниченном возрастании абсолютной величины х величина функции у также возрастает неограниченно. Характеру изменения функции можно придать наглядность с помощью ее графического изображения. Что называется графическим изображением функции или графиком функции, будет разъяснено ниже.

2. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси и , пересекающиеся в точке О (рис. 81), и примем некоторый отрезок за единицу масштаба. Эти оси делят плоскость на четыре четверти: I, II, III и IV.

Теперь, пользуясь составленной выше таблицей (А), построим на оси изображения различных значений аргумента х. Например, на рисунке 82 изображены значения х, равные — 4; — 3; —2; — 1; 0; 1; 2; 3; 4.

Затем изобразим с помощью вертикальных отрезков значения у, соответствующие отмеченным значениям аргумента х. Причем эти вертикальные отрезки будем направлять вверх, когда они изображают положительные значения у, и вниз в противном случае. Например, на рисунке 83 изображены вертикальные отрезки, изображающие значения у, соответствующие выбранным значениям х.

По расположению точек ABCDOEFGH можно судить о функциональной зависимости, выраженной равенством

Если вообразить, что вертикальные отрезки построены не только для нескольких целых, но и для всевозможных значений

буквы х, то тогда множество концов вертикальных отрезков образуют некоторую линию АОН (рис. 84), которая и называется графическим изображением функции или, проще, графиком этой функции.

—есть граница между верхней и нижней полуплоскостями. График функции представляет собой кривую, расположенную в верхней полуплоскости и простирающуюся бесконечно.

3. Графическое изображение функции , т. е. кривая

линия АОН, наглядно показывает, что при переходе значения аргумента х от какого-либо отрицательного значения к другому отрицательному значению, имеющему меньшую абсолютную величину, значение функции убывает. При переходе же значения х от какого-либо положительного значения к большему положительному значению значение функции возрастает.

В разобранном примере все вертикальные отрезки расположены в верхней полуплоскости.

4. Теперь перейдем к построению графиков некоторых других функций.

1. Функция

Составим таблицу значений этой функции.

С помощью этой таблицы построим точки, принадлежащие графику данной функции. Проведя через эти точки соответствующую кривую, получим график функции (рис. 85).

Вертикальные отрезки, расположенные в нижней полуплоскости, изображают отрицательные значения функции.

При х = 0 функция не определена, так как выражение при х = 0 смысла не имеет. Однако легко видеть, что при значениях х, очень близких к нулю, абсолютная величина функции будет очень большой и тем большей, чем ближе к нулю будет взятое значение х.

График функции состоит из двух отдельных ветвей, простирающихся бесконечно. Одна ветвь расположена в четверти I, а другая —в четверти III.

2. Функция

Составим таблицу значений данной функции.

Пользуясь этой таблицей, построим точки, принадлежащие графику данной функции. Проведя через эти точки соответствующую кривую, получим график функции (рис. 86).

3. Функция

Составим таблицу значений данной функции.

Пользуясь этой таблицей, построим точки, принадлежащие графику данной функции, а по этим точкам и кривую (рис. 87).

4. На рисунках 88 и 89 изображены графики функций:

5. На рисунках 90 и 91 изображены графики функций:

При ознакомлении со вторым графиком следует учитывать, что

тогда как

График прямо пропорциональной зависимости

Построив графики функций

убедитесь в том, что график прямо пропорциональной зависимости, т. е. функции

есть прямая, проходящая через начальную точку О оси . Если k>0, эта прямая лежит в I и III четвертях, если же k < 0, то во II и IV.

График обратно пропорциональной зависимости

Построив графики функций

убедитесь в том, что график обратно пропорциональной зависимости, т. е. функции

состоит из двух бесконечных ветвей. Если k > 0, то ветви расположены в четвертях I и III. Если же k < 0, то во II и IV.

График обратно пропорциональной зависимости, т. е. функции называется равносторонней гиперболой.

График линейной функции

Построив графики функций

убедитесь в том, что график функции у = kx + b есть прямая линия (поэтому такая функция называется линейной).

Способ построения графиков функций, изложенный выше, является примитивным. Мы начинали с того, что составляли таблицу значений функции для различных значений аргумента. С помощью этой таблицы строили ряд точек, принадлежащих графику, и, наконец, через эти точки проводили от руки или с помощью лекал кривую линию, которая и являлась приближенным изображением графика функции.

Графический способ отыскания приближенных значений корней уравнения

Могут быть случаи, когда точные корни уравнения найти либо очень трудно, либо даже невозможно. Между тем как для практических целей бывает достаточно знать хотя бы приближенные значения этих корней (разумеется, с требуемой степенью точности). В этих случаях хорошим вспомогательным средством может служить графический метод. Мы называем этот метод вспомогательным, потому что он один не может дать полное решение вопроса. С помощью графического метода мы можем найти значения корней лишь с весьма ограниченной степенью точности. Но и такие приближенные значения корней будут представлять ценность, потому что, имея их, можно путем вычислений отыскать значения корней уже с любой степенью точности. (Графики очень удобно строить на миллиметровой бумаге.)

Поясним сказанное на примерах.

1. Найти приближенные значения корней уравнения

Очевидно, что корнями данного уравнения будут те значения буквы х, при которых функция

обращается в нуль. Поэтому корни данного уравнения изобразятся теми точками числовой оси , в которых график функции

пересекает, эту ось (рис. 92).

Теперь точки пересечения этого графика с осью позволяют обнаружить, что уравнение имеет три корня, приближенные значения которых будут: — 2,1; 0,2 и 1,8.

При графическом решении уравнения (или системы уравнений) ответы определяются лишь грубо приближенно. Однако существуют алгебраические способы, позволяющие исходя из этих грубых приближений получить ответы с любой требуемой степенью точности.

Покажем простейший способ уточнения корня.

Один из корней уравнения

,

найденный нами, равен 0,2 с точностью до 0,1.

Прежде всего выясним, меньше или больше истинного корня число 0,2.

Значит, 0,2 меньше истинного значения корня. Более того, этот корень заключается между числами 0,2 и 0,3.

Попробуем найти более тесные границы, между которыми лежит истинный корень. Для этого испытаем число 0,25.

Значит, истинное значение корня заключается между числами 0,25 и 0,30.

Испытаем теперь число 0,26.

Значит, истинное значение корня заключается между числами 0,25 и 0,26, разность между которыми равна 0,01.

Следовательно, число 0,25 есть приближенное значение корня с точностью до 0,01 с недостатком, а 0,26 — с той же точностью с избытком. Продолжая изложенный процесс, можно отыскать корень и .с требующейся нам степенью точности.

Более совершенные и практически более удобные способы нахождения приближенных корней уравнений с числовыми коэффициентами излагаются в курсах высшей алгебры.

2. Найти приближенно решения следующей системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Вспомним, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными х и у называется пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям системы. (Первое число подставляется вместо буквы х, а второе вместо у.)

Построим на одном и том же листе миллиметровой бумаги графики функций (рис. 93):

Кривая ABC — график функции Прямая MN — график функции

Теперь точки пересечения Р и Q этих графиков позволят обнаружить, что приближенными решениями системы

будут следующие пары чисел:

или в другой форме

Координаты на плоскости

Разобьем плоскость на четыре части двумя взаимно перпендикулярными направленными прямыми (осями) и (рис. 94) и примем определенный отрезок за единицу масштаба.

Ось называется осью абсцисс, а ось — осью ординат. Точка пересечения осей (точка О) называется началом координат.

Совокупность осей и при выбранной единице масштаба называется прямоугольной (декартовой) системой координат. Оси и называются осями координат.

Теперь установим такое правило, с помощью которого можно определять положение точки на плоскости.

Абсциссой х любой точки плоскости назовем число, выражающее расстояние этой точки до оси , взятое со знаком плюс, если точка лежит справа от оси , и со знаком минус — в противном случае. Например, абсцисса х точки А (рис. 95) равна 4.

Абсцисса точки В равна — 5. Абсцисса точки С равна — 4. Абсцисса точки D равна — 2.

Ординатой у любой точки назовем число, выражающее расстояние этой точки до оси , взятое со знаком плюс, если точка лежит выше оси , и со знаком минус— в противном случае.

Например, ордината у точки А (рис. 95) равна 2. Ордината точки В равна—2. Ордината точки С равна 3. Ордината точки D равна —1. Абсцисса точки О равна нулю. Ордината точки О равна нулю.

Чтобы показать, что точка D имеет абсциссу х = —2 и ординату у = —1, пишут кратко D (— 2; — 1).

Числа х и у, определяющие положение точки на плоскости, называются прямоугольными координатами точки.

На рисунке 96 изображены точки: Е (5; 0); F (0; — 3);

Геометрический образ уравнения

Возьмем какое-нибудь уравнение с двумя неизвестными, пример уравнение

Тогда все множество точек плоскости можно по отношению к этому равнению разбить на два класса:

1) на точки, координаты которых не удовлетворяют этому уравнению, и
2) на точки, координаты которых этому уравнению удовлетворяют.

Примерами точек первого класса служат, например, точки:

и т. д.

Примерами точек второго класса служат, например, точки:

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

есть геометрический образ этого уравнения.

Пользуясь теоремой Пифагора, нетрудно сообразить, что геометрическим образом уравнения

будет окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным 5 (рис. 97). В самом деле, если взять любую точку на этой окружности и ее координаты обозначить буквами х и у, то по теореме Пифагора получим, что . Если же взять точку внутри круга, то окажется, что

Для точек, лежащих вне круга,

Таким образом, мы доказали, что множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению будет представлять собой окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Эта окружность является как бы наглядной моделью уравнения Аналогично уравнение изображает окружность с центром в начале координат и с радиусом r.

Обобщая изложенное, примем следующее определение.

Геометрическим образом уравнения, связывающего координаты х и у, называется фигура, образованная множеством тех и только тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Убедитесь в том, что геометрическим образом уравнения, например х+ у = 2, будет служить прямая линия, проходящая через точки (0; 2) и (2; 0).) Постройте ряд точек, принадлежащих образу уравнения х+у=2, и убедитесь, что все они располагаются на прямой, проходящей через точки (0; 2) и (2; 0). Обратите внимание на то, что геометрическим образом всякого уравнения первой степени является прямая линия. Доказательство того, что геометрическим образом уравнения первой степени является прямая, здесь не приводится.

Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Пусть нам задана система:

Очевидно, что решением этой системы будет:

Построив на клетчатой или миллиметровой бумаге геометрические образы уравнений

убедитесь, что координатами точки пересечения пат ученных двух прямых линий будут:

Система

не имеет ни одного решения. Геометрически это означает, что прямые параллельны и различны.

Система

имеет бесконечное множество решений, которые можно получать как решения одного из данных уравнений. Геометрически это означает, что прямые сливаются в одну прямую.

Система

имеет только одно решение:

Геометрически это означает, что прямые

являются не параллельными, а пересекающимися.

После того как мы ввели понятие геометрического образа уравнения, можно называть график функции также «геометрическим образом уравнения».

Например, график функции есть геометрический образ

уравнения

Уравнение равномерного движения

Пусть в момент времени часов поезд начинает двигаться равномерно, со скоростью v км в час, со ст. Ларино по направлению к Москве (рис. 98).

Обозначим расстояние от Ленинграда до ст. Ларино в километрах буквой , момент времени в часах — буквой t; расстояние от Ленинграда до движущегося поезда в момент времени t — буквой s. Положение поезда в момент времени t показано на рисунке 99.

При этих условиях получим, что

Здесь — величины постоянные, а t и s—переменные.

Равенство

называется уравнением равномерного движения.

Во время движения поезда t и s меняются. Легко видеть, что s зависит от t, т. е. что s есть функция аргумента t. Действительно, при изменении t меняется s, причем каждому значению t соответствует определенное значение s. Если принять

то получим, что

Здесь опять же t есть аргумент, a s — функция. При t = 3 получим, что s = 123, если же , то s = 243 и т. Д.

График равномерного движения

Мы знаем, что равенство

выражает линейную функцию величины у от аргумента х и что график этой функции есть прямая линия (см. стр. 334). Перепишем уравнение равномерного движения

в виде

Здесь величина постоянная и величина v тоже постоянная. Величины же t и s, как было указано выше, переменные. Значит, s есть линейиая функция от t, а график равномерного движения представляет собой прямую линию.

Построим, например, график равномерного движения по уравнению

(Здесь t — время в часах, a s— расстояние в километрах.) При t = 2 получаем, что s=43. Эта пара чисел дает нам одну точку графика А (2; 43) (рис. 100). Теперь положив, что t = 3, получим, что s = 123. Эта пара чисел дает нам вторую точку графика, В (3; 123).

Так как график линейной функции есть прямая линия, то прямая, проведенная через две точки А и В, и будет искомым графиком заданного равномерного движения. Продолжение прямой линии АВ вниз в данном примере не требуется, так как по условию поезд начал свое движение в 2 часа со ст. Ларино по направлению к Москве. Пусть ст. Сокол находится от ст. Ларино на расстоянии 60 км в сторону Москвы.

По графику движения поезда (рис. 100) можно усмотреть, что поезд проходит ст. Сокол между двумя и тремя часами, примерно в 2 часа 40 мин.

График движения поездов

График движения поездов строится следующим образом.

1) Движение поезда на каждом отдельном перегоне рассматривается как равномерное, с установленной для этого перегона средней скоростью. Поэтому графиком движения поезда на каждом перегоне будет отрезок прямой линии.

2) Стоянки поезда изображаются горизонтальными отрезками прямо», изображающими продолжительность стоянки (101).

Отметка «8» показывает, что поезд отправляется от ст. Соковичи в 2 часа 08 мин. Отметка «16» показывает, что поезд должен иметь на ст. Гранит 16 мин. стоянки.

График движения на перегоне Гранит—Разъезд № 4 идет круче, чем график иа перегоне Соковичи — Гранит. Это значит, что средняя скорость на перегоне Гранит—Разъезд № 4 больше, чем на перегоне Соковичи — Гранит.

Продолжительность хода поезда для каждого перегона рассчитывается с учетом времени на разгон и на замедление поезда.

Аналогично строятся графики движения поездов, идущих в противоположном направлении, т. е., скажем, в направлении от Разъезда № 4 по направлению к Соковичи.

На рисунке 102 дан график движения поездов на участке Аристове — Соковичи для шестичасового промежутка времени. Этот график является частью суточного графика.

Пометки 14, 16, 15, 14, 18, 13 обозначают длины перегонов в километрах. Нечетные поезда идут от ст. Аристове к ст. Соковичи.

Поезда за № 1001, 1031, 1005 — грузовые нечетные, № 31 — пассажирский нечетный, № 1032, 1034 — грузовые четные, № 96 и 32 — пассажирские четные, № 902 — ускоренный грузовой (для перевозки, например, живности, молока, свежих овощей и т. д.)

Графики пассажирских поездов изображены жирными линиями вместо красных.

График многочлена 2-й степени

График многочлена 2-й степени

1. Частные случаи

Случай 1.

Этот случай получается при b = с = 0. График функции

называется параболой.

Предлагается учащемуся построить графики функций

и убедиться в справедливости следующего утверждения.

Парабола располагается в верхней полуплоскости, когда а>0, и в нижней, когда а < 0 (рис. 104).

Эта парабола располагается симметрично относительно оси . Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения параболы со своей осью называется вершиной параболы.

Парабола располагается тем ближе к оси , чем больше абсолютное значение коэффициента а (рис. 105, 106).

Случай 2.

Этот случай получается при b = 0. Предлагается учащемуся построить графики функций

и убедиться в следующем.

График функции есть парабола, смещенная параллельно оси вверх, когда с > 0 (рис. 107), и вниз, когда с < О (рис. 108). Осью этой параболы опять же является ось У,У, а вершиной точка (0;с).

Случай 3.

Предлагается учащемуся построить графики функций

и убедиться в следующем.

График функции есть парабола , смещенная параллельно оси вправо, когда m<0 (рис. 109), и влево, когда m>0 (рис. 110). Осью этой параболы является прямая, параллельная оси , проходящая через точку (—m\ о). Вершиной служит эта же точка (— m; о.)

2. График функции
(общий случай)

С помощью выделения полного квадрата получим:

Теперь видно, что график функции есть парабола , смещенная вверх или вниз и вправо или влево.

Если , то смещение происходит вверх;
если же то вниз.

Если то смещение происходит влево, если же то вправо.

Вершина параболы находится в точке

а ось проходит параллельно оси .

Ветвь параболы обращена вверх, когда а>0, и вниз, когда а <0.

Пример:

Построить график функции

Выделив полный квадрат, получим

Вершина параболы находится в точке (2; 1); ветвь обращена вверх (рис. 111). Найдя еще несколько точек параболы, легко построить искомый график.

Пример:

Построить график функции

Выделив полный квадрат, получим;

Вершина параболы находится в точке ; ветвь обращена вниз (рис. 112).

Парабола является одной из замечательных кривых и имеет многочисленные важные практические применения.

Доказано, что параболой оказывается сечение поверхности прямого круглого конуса плоскостью, параллельной одной из ее образующих (рис. 11З).

Доказано, что параболой оказывается траектория тела, брошенного горизонтально или наклонно к горизонту. На рисунке 114 изображена траектория тела, брошенного горизонтально со скоростью 15 м в секунду с высоты 300 м. (Сопротивлением воздуха мы здесь пренебрегаем.)

Отражающие поверхности рефлекторов и прожекторов делаются параболическими. (Поверхность называется параболической, если она получается вращением параболы около ее оси.) Благодаря этому лучи света, выйдя из источника и отразившись от зеркальной поверхности рефлектора или прожектора, идут дальше пучком, параллельным оси зеркала. Таким свойством обладает только параболическая форма поверхности зеркала.

Крупнейшие мосты в мире имеют параболическую форму. Благодаря этому достигаются красота их формы и лучшая механическая приспособленность к напряжениям и деформациям, вызываемым весом этих сооружений, т. е. достигается наибольшая прочность моста.

Способы задания функции в математике

Обратимся теперь к самому правилу соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости. Правило это может быть весьма разнообразной природы, поскольку оно ничем не было ограничено.

Аналитический способ

Наиболее простым и естественным представляется осуществление этого правила в виде аналитического выражения или формулы, содержащей указания на те операции или действия над постоянными числами и над значением независимой переменной х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у. Этот аналитический способ задания функций является наиболее важным в математике.

Примерами аналитического задания функции могут служить:

Табличный способ

В технике и естествознании часто встречаются такие величины х и у, зависимость между которыми заведомо существует, но неизвестна. Тогда производят ряд опытов, в каждом из которых измеряют значение величины х и соответствующее ему значение у. В результате составляется более или менее обширная таблица, в которой сопоставляются измеренные значения х измеренным значениям у.

Полученная таблица и будет представлять собой табличное задание функциональной, зависимости величины у от величины х.

Например, подвергая воду различным давлениям р (атм.) и измеряя каждый раз температуру t (°С) кипения воды, можно получить табличное задание функциональной зависимости температуры t кипения от давления р.

Таблица логарифмов чисел или тригонометрических величин представляет собой примеры табличного способа задания функции.

Немало примеров табличного способа задания функции можно встретить в технических справочниках.

Графический способ

В некоторых случаях при помощи самопишущих приборов функциональная зависимость между физическими величинами задается непосредственно графиком. Например, «индикаторная диаграмма», снимаемая при помощи индикатора, дает зависимость между объемом v и давлением р пара в цилиндре работающей паровой машины; «барограмма», записываемая барографом, представляет суточный ход атмосферного давления и т. п.

Хотя в математическом анализе функции графически не задают, но к графической иллюстрации функций прибегают очень часто.

Приведем еще один пример.

Пусть у есть ребро куба, а х его объем. Тогда функциональная зависимость у от х изобразится:

1) аналитически формулой ,
2) графически кривой (рис. 115),
3) табличным способом следующей таблицей

Другие способы задания функций

Было бы ошибочным думать, что ие существует иных способов задания функций, кроме аналитического, табличного и графического. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция Е(х) — «целая часть числа х».

Легко сообразить, что

и т. п.

Другим примером может служить функция Дирихле определяемая следующим образом:

Так что и т. п.

Идея функциональной зависимости возникла на почве всеобщего принципа причинной зависимости, которым прониклись естествознание и другие науки, особенно в XVII и XVIII веках. Однако между этим принципом и математической идеей функциональной зависимости есть существенное различие. Принцип причинной зависимости предполагает исчерпывающее перечисление действительных причин, приводящих к известному следствию. Функциональная же зависимость, давая связь между величинами, ие всегда предполагает, что изменение одной из них есть фактическая причина изменения другой.

Например, изменение температуры воздуха в течение суток является следствием многочисленных причин — изменений силы ветра, интенсивности солнечной радиации, степени влажности воздуха и т. п. функциональная же зависимость здесь может быть установлена просто между температурой и временем суток, хотя течение времени само по себе не является, конечно, «причиной» изменения температуры.

В определении понятия функции не требуется, чтобы при изменении независимой переменной функция фактически изменялась. Важным является лишь то, чтобы каждому рассматриваемому значению независимой переменной соответствовало определенное значение функции. Поэтому естественно считать функцией и величину, которая вовсе не меняется при изменении аргумента, иными словами, являющуюся постоянной. К этой точке зрения приводит еще и такое соображение: величина, зависящая от некоторой переменной величины и вообще изменяющаяся вместе с ней, может оказаться в частных предположениях постоянной. Конечно, нецелесообразно выделять из общего случая частный и считать, что в этом частном случае наша величина не есть уж функция

Например, из формулы

видно, что каждому значению х будет соответствовать одно определенное значение у. Следовательно, у есть функция от х. При изменении значения х будет изменяться и значение у. Но если в формуле (А) мы возьмем b = а, то величина у, оставаясь функцией от х, станет принимать при всех значениях аргумента х неизменно одно и то же значение, равное а.

Итак, постоянную можно тоже рассматривать как функцию, именно как функцию, значения которой для всех значений независимой переменной равны между собой. Все это не противоречит определению понятия функции.

Область определения функции

Областью определения функции называется совокупность всех значений независимой переменной х, для которых у принимает определенные действительные значения.

Областью определенности аналитического выражения называется совокупность всех значений независимой переменной, для которых это аналитическое выражение принимает определенные действительные значения.

Примеры.

Если функция задается аналитическим выражением без всяких дополнительных условий, то всегда подразумевают, что областью ее определения является область определенности этого аналитического выражения.

Функциональный знак

Пусть некоторая функция от аргумента х нам неизвестна. В этом случае принято ее обозначать одним нз следующих символов:

Пусть каким-нибудь способом нам удалось обнаружить, что этой ранее неизвестной функцией F(x) является выражение . Тогда мы должны считать, что в данном случае

Таким образом, символ F(с) во всех случаях есть значение функции F(x) при х = с, где с — любое число.

Понятие о четных и нечетных функциях

Существуют функции, значения которых не меняются при замене аргумента x на — х. Таким свойством обладает, например, функция Действительно, Функции, обладающие таким свойством, называются четными.

Определение:

Функция f (x) называется четной, если

Примеры четных функций:

График четной функции симметричен относительно оси . На рисунке 116 изображен график четной функции Cуществуют функции, абсолютное значение которых не меняется, а знак меняется на противоположный, при замене аргумента х на —x.

Таким свойством обладает, например, функция

Действительно,

Функции, обладающие таким свойством, называются нечетными.

Определение:

Функция f(x) называется нечетной, если

Примеры нечетных функций:

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. На рисунке 117 изображен график нечетной функции

Существуют функции, которые не являются четными и в то же время не являются нечетными.. Например, функция

не является ни четной, ни нечетной.

Известно, что cos(— х) = cos x. Это значит, что функция у = cos х является четной.

Известно далее, что sin(—x) = — sin x. Это значит, что функция y=sin x является нечетной.

Понятие о промежутках возрастания и убывания функции одного аргумента

Пусть кривая ABC (рис. 118) есть график некоторой функции y = f(x) на промежутке изменения аргумента x от а до с.

Рассматривая кривую ABC, мы видим, что при возрастании аргумента х от а до b функция у = f(x) возрастает, а при возрастании аргумента x от b до с функция у = f(х) убывает. В подобных случаях принято говорить, что функция f(x) возрастает на промежутке (а, b) и убывает на промежутке (b, с).

Определение:

Функция f(x) называется возрастающей на промежутке (а, b), если для любых чисел удовлетворяющих неравенствам

выполняется неравенство

Если же при

выполняется неравенство

то функция f(x) называется убывающей на промежутке (a, b).

Пример:

Докажем, что функция возрастает на промежутке (—1; 1).

Пусть — любые числа, удовлетворяющие неравенствам

Докажем что

Легко видеть, что

Так как , последняя дробь является положительным числом. А это и значит, что

Следовательно, функция возрастает на промежутке (-1; 1).

Пример:

Докажем, что функция убывает на промежутке (— V’l, Vl).

Пусть Тогда

Последнее произведение есть положительное число, так как

Последнее произведение есть положительное число, так как оба его множителя отрицательны. Действительно,

так как

так как

(Мы воспользовались тем, что абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных значений слагаемых, см. стр. 91.) Следовательно,

или

а это и значит, что функция убывает на промежутке

Функции нескольких аргументов

Кроме функций одного аргумента, о которых шла речь до сих пор, в математике и ее приложениях большое значение имеют функции нескольких аргументов.

Пусть, например, каждой системе значений трех независимых переменных (аргументов) х, у, z соответствует определенное значение четвертой переменной v. Тогда говорят, что v есть однозначная функция х, у, z и пишут:

Примеры функций двух и трех независимых переменных:

Объем V прямоугольного параллелепипеда есть функция его трех измерений х, у, z, а именно V = хуz.

Если

то

Если

Аналитически невыразимые функции

Все зависимости, рассмотренные нами в § 2 и 3 настоящей главы, были функциями аналитически выразимыми. Это значит, что каждый раз мы имели ту или иную формулу, по которой могли находить значения одной величины у по данным значениям другой величины х. Наряду с этим встречаются и такие величины w и v, которые зависят друг от друга, но зависимость эта такова, что ее выразить формулой невозможно. В этом случае мы будем говорить, что w есть функция аргумента v, аналитически невыразимая.

Приведем примеры.

1. Урожайность данного участка поля зависит от удобрения почвы, т. е. зависит от количества внесенного в почву вещества (органического или неорганического происхождения), улучшающего условия развития сельскохозяйственных культур. Однако эту зависимость невозможно выразить формулой, т. е. урожайность есть функция количества удобрения, аналитически невыразимая.
2. Количество ила, которое с данного участка дна реки уносится течением, есть функция скорости течения, аналитически невыразимая.
3. Рост мальчика есть функция его возраста, но функция эта опять же аналитически невыразима.

Однако не следует думать, что аналитически невыразимые функции не поддаются изучению. Напротив, и такие функции можно изучить достаточно хорошо по крайней мере для целей практики. Изучение аналитически невыразимых функций осуществляется с помощью опытов, наблюдений и статистических данных.

Обратим внимание еще на одно обстоятельство.

Далеко не все аналитически выразимые функции имеют столь простое выражение, как те, которые были приведены в § 2 и 3.

Например, на соответствия между х и у

следует, что у является функцией от х, заданной на всей числовой оси. Эта функция как раз и есть функция Дирихле, упомянутая на стр. 345.

Возникает вопрос: является ли функция Дирихле аналитически сыразимой, т. е. можно лн ее выразить формулой?

Во второй части книги в конце главы «Пределы» мы увидим, что она аналитически выразима.

Функциональная зависимость

Постоянные и переменные величины: Пусть 1 кг какого-либо товара стоит α рублей. Узнаем стоимость х кг этого товара. Обозначив искомую величину через у, получим:
y = ах.

Эта формула позволяет нам вычислить сумму, которую нужно заплатить за любое количество данного товара. Так:
стоимость 2 килограммов выражается в сумме 2а рублей,

„	5	„	„	„	„	5a	„
„	3,5	„	„	„	„	3,5a	„	и т. д.

В данную формулу входят три величины: х — количество товара, у — его стоимость и α — цена одного килограмма товара. Мы видим, что в то время как первые две из этих величин х и у принимают различные числовые значения, третью величину а мы предполагаем остающейся неизменной.

Возьмём формулу, выражающую длину окружности в зависимости от радиуса:

Здесь π есть число, выражающее отношение • длины окружности к диаметру. Приняв за величину π число 3,14 с точностью до 0,01, будем иметь приближённое значение длины окружности:

Давая различные числовые значения радиусу, мы сможем вычислить по этой формуле соответственно длину окружности. Так:

при	R=1	длина	окружности	будет	C = 6,28,
„	R=3	„	„	„	C= 18,84,
„	R=4,2	„	„	„	C= 26,376,	и т.д.

Здесь, как и в первом случае, величины С и R изменяются (принимают различные числовые значения), коэффициент же 6,28 остаётся неизменным.

Те величины, которые сохраняют неизменным своё значение, называются постоянными. Величины, могущие принимать различные значения, называются переменными.

Заметим, что считать некоторые величины постоянными можно лишь в относительном смысле, в пределах рассматриваемого вопроса. В действительной жизни мы не можем указать на такую величину, которая не подвергалась бы изменениям. В приведённом выше примере цена товара по истечении известного промежутка времени может измениться в ту или другую сторону.

Обычно входящие в формулу постоянные величины обозначаются первыми буквами алфавита: а, b, с, … , m, а переменные—последними: х, у, z; конечно, это условие соблюдается не всегда.

Аргумент и функция

Рассматривая переменные величины в приведённых примерах, мы замечаем, что в то время как дзе из них (количество товара, длина радиуса) мы изменяли произвольно, давая им произвольные числовые значения, другие две (стоимость всего товара, длина окружности) принимали те или иные числовые значения уже в зависимости от того, какие значения мы давали первым.

Та из двух связанных между собой переменных величин, которой можно придавать произвольные числовые значения, называется независимой переменной, или аргументом.

Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией этой другой переменной величины.

Так, в приведённых выше примерах стоимость товара есть функция его количества; длина окружности есть функция радиуса окружности.

Иногда переменная величина зависит не от одной, а от двух, трёх и более других переменных величин. Тогда она называется функцией двух, трёх и т. д. переменных.

Примеры:

1) Формула пути равномерного движения выражается так:
y=υx.
Здесь υ (скорость)—постоянная величина; х (время)—независимая переменная (аргумент) и у (пройденный путь) — функция этого аргумента.
2) Площадь круга выражается формулой:
.
Здесь R (радиус)—аргумент; S (площадь) —функция; π —постоянная величина.
3) Удельный вес тела выражается формулой:

Здесь d (удельный вес) есть функция двух переменных: P (веса тела) и υ (объёма тела).
4) Закон Джоуля —Ленца выражается формулой:

Здесь Q (количество теплоты) есть функция трёх переменных: I (силы тока), R (сопротивления проводника) и t (времени). Постоянная величина q, равная 0,24, есть так называемый тепловой эквивалент электрической энергии, т. е. значение Q при I=1, R=1, t=1.

Три способа выражения функциональной зависимости

а) При изучении функциональной зависимости между двумя переменными величинами мы прежде всего стараемся определить, какие числовые значения принимает одна из них в зависимости от изменения числовых значений другой.

Пусть, например, мы желаем изучить зависимость, которая существует между длиной железного стержня и его температурой. Подвергаем нагреванию железный стержень длиной, скажем, в 1 л при 0° и измеряем его длину при различных температурах. Результаты наблюдений мы можем представить в виде таблицы. В данном случае она будет иметь примерно такой вид:

Температура	0°	50°	80°	100°	350°	600°	1000°
Длина стержня	1 м	1,0006 м	1,00096 м	1,0012 м	1,0042 м	1,0072 м	1,012 м и т. д.

Из этой таблицы мы видим, что длина стержня с повышением его температуры увеличивается. Такой способ выражения функциональной зависимости между величинами называется табличным.

б) Табличный способ выражения функциональной зависимости неудобен тем, что даёт нам понятие о характере этой зависимости неполно. Так, в предыдущем примере мы из таблицы узнаём длину стержня лишь при некоторых определённых значениях температуры. Для того чтобы знать длину стержня при любой температуре, мы должны будем выразить зависимость между длиной стержня и температурой в общей форме, в виде формулы.

Вычислим, на сколько увеличивается длина стержня при повышении температуры на 1°. При температуре в 50° длина стержня была 1,0006 м. При температуре в 80° длина стала равна 1,00096 м. Значит, при повышении температуры на 80°- 50° = 30° удлинение стержня было равно 1,00096-1,0006 = 0,00036 (л).

Отсюда, удлинение при повышении температуры на 1° равно
0,00036 : 30=0,000012 (л/).

Беря длину стержня при других температурах, например при 80° и 350°, и производя соответствующие вычисления, мы опять получим величину 0,000012. Итак, при повышении температуры на 1° железный стержень длиной в 1 м при 1° удлиняется на 0,000012 м. Зная это, составим общую формулу зависимости между длиной стержня и его температурой.

При повышении температуры на 1° стержень удлиняется на 0,000012 м. Значит, при повышении температуры на t° удлинение будет равно 0,000012 t. Прибавляя это удлинение к первоначальной длине стержня при 0° (1 м) и обозначая длину стержня при t° через l, получим формулу:
l = 1+0,000012t.

Эта формула позволяет вычислить длину стержня при любой температуре. В частности, давая t значения 50°, 80°, 100° и т. д., мы получим для I те значения, которые уже имели в таблице.

Такой способ выражения функциональной зависимости при помощи формулы называется аналитическим.

в) Наконец, в целях наглядности мы часто изображаем зависимость между двумя величинами графическим способом—при помощи чертежа, диаграммы (графика). В нашем примере мы могли бы поступить, например, так:
Проведём две взаимно перпендикулярные прямые OX и OY и будем откладывать по прямой OX от точки О отрезки, пропорциональные температуре, а по прямой OY отрезки, пропорциональные удлинению стержня, в определённом масштабе (на чертеже одно деление по горизонтальной прямой соответствует 50°, а по вертикальной прямой 0,001 м).

Для каждого значения t откладываем от соответствующей точки отрезок, параллельный OY и равный удлинению стержня (в принятом масштабе). Получим график, изображённый на чертеже 2.

Графическое изображение функциональной зависимости широко используется в математике. При этом применяется особый метод, так называемый метод координат, с которым мы сейчас и познакомимся.

Метод координат

Возьмём взаимно перпендикулярные прямые XX₁ и YY₁ (черт. 3), пересекающиеся в точке О. Примем, далее, какой-нибудь отрезок прямой (равный, например, сантиметру) за единицу длины и условимся изображать значения независимого переменного х на прямой XX₁ , начиная от точки О как начала, причём положительные значения х будем откладывать вправо от О, а отрицательные — влево от О. Таким образом, отрезок OA изобразит значение х, равное +1, отрезок OB — значение х, равное + 2, отрезок ОС — значение х, равное -3, и т. п. Сама точка О изображает значение х , равное нулю. Значения функции у, соответствующие этим значениям х, мы условимся изображать на прямых, проведённых через точки А, В, С,. . . параллельно YY₁ (иначе сказать, на перпендикулярах к прямой XX₁ ), причём положительные значения функции мы будем откладывать вверх от прямой XX₁ , а отрицательные — вниз от неё. Если, например, при значение у будет , то на прямой XX₁ мы возьмём отрезок OD, равный , и восставим перпендикуляр DE, равный; тогда точке E соответствует значение у, равное . Равным образом точке К соответствует значение у, равное при , и т. п.

Заметим, что точки Е,К,… , соответствующие значениям функции у, мы можем получить несколько иначе, а именно: вместо того чтобы на перпендикулярах DE, FK, . .. откладывать отрезки, изображающие значения у, мы можем их откладывать на прямой YY₁ , начиная от точки О, и затем из концов этих отрезков проводить прямые, параллельные XX₁ , до пересечения с соответствующими перпендикулярами.

Так, отложив и проведя LE ∣∣ ОХ, мы получим точку Е,
т. е. ту самую точку, которую раньше мы получили, отложив .

Числа, соответствующие отрезкам OD, OF, …, откладываемым на прямой XX₁ от точки О, называются абсциссами точек Е, К, … ( — абсцисса точки Е, — абсцисса точки К и т. д.; числа, соответствующие отрезкам DE, FK, …, откладываемым на перпендикулярах к XX₁ (или на прямой YY₁), называются ординатами (—ордината точки Е, —ордината точки К и т. д.); те и другие совместно называются координатами точек Е, К, …

Неограниченная прямая XX₁ называется осью абсцисс, или осью х-ов (осью иксов); неограниченная прямая YY₁ называется осью ординат, или осью у-ов (осью игреков); та и другая прямые совместно называются осями координат. Точка О называется началом координат.

Определение положения точки на плоскости

Пользуясь системой координат, мы можем решить такие задачи:
а) Дана точка на плоскости; определить её координаты относительно данной системы координат. Пусть дана на плоскости точка P (черт. 4). Опустим из неё перпендикуляр PQ на ось х-ов. Измерив принятой единицей отрезок OQ, найдём абсциссу точки Р. Измерив отрезок PQ, найдём ординату точки P. На нашем чертеже абсцисса точки P равна +2, а ордината. Обыкновенно координаты точки пишутся в скобках рядом с буквой, тaκ или просто . На первом месте пишется абсцисса, на втором— ордината.

При нахождении координат точки не следует упускать из виду знак, который будет иметь координата. Так, координаты точки M'» будут (абсцисса) и -2 (ордината); координаты точки М» будут и -3 и т. д.

Если возьмём точку на оси х-ов, то ордината её, очевидно, будет равна нулю, а абсцисса — положительное или отрицательное число, равное по абсолютной величине расстоянию данной точки от точки О. Таковы, например, точки N (3, 0) и N‘ ∙

Если точка взята на оси у-ов, то её абсцисса равна нулю, а ордината есть число, равное по абсолютной величине расстоянию данной точки от точки О. Таковы, например, точки K (0,1) и K’ .

Абсцисса и ордината начала координат, очевидно, равны нулю.

б) Найти точку по данным её координатам. Рассмотрим несколько случаев. 1) Пусть координаты точки будут (1,3). Откладываем на оси х-ов от точки О вправо отрезок, равный принятой единице.

Из полученной точки восставим перпендикуляр и на нём отложим вверх отрезок, равный трём единицам. Полученная точка M и будет искомой.

Из сказанного выше ясно, что мы могли бы найти точку M и другим способом. Именно: отложим по оси х-ов отрезок, равный 1, затем по оси у-ов отрезок, равный 3, и из полученных точек проведём прямые, параллельные осям. Точка пересечения этих прямых даст опять точку M.

2) Пусть координаты точки будут . Очевидно, что здесь абсциссу (— 2) придётся откладывать влево от точки 0, а ординату — вверх. Полученная точка M’ и будет искомой.

3) Если координаты точки будут , то абсциссу придётся откладывать влево, а ординату — вниз. Получим точку M».

4) Наконец, по координатам получим точку M'» .

Мы видим, что координаты точки имеют тот или иной знак, т. е. будут положительны или отрицательны, смотря по тому, в каком координатном углу находится точка. Мы можем представить это в следующей таблице, считая первым по порядку правый верхний координатный угол и ведя от него счёт против движения часовой стрелки:

Координатный угол	Абсцисса х	Ордината у
1-й	+	+
2-й	—	+
3-й	—	—
4-й	+	—

Прямая пропорциональная зависимость

Каждый из опыта знает, что если объём воды увеличится (или уменьшится) в каком-нибудь отношении, то и вес её увеличится (или уменьшится) в том же отношении. Например, 1 л воды весит 1 кг, 2 л воды весят 2 кг, л воды весят кг и т. д. (предполагается, конечно, что все прочие условия, влияющие на вес воды, остаются неизменными; например, вода берётся одинаково чистая, при одной и той же температуре и пр.). Такая зависимость между объёмом воды и её весом называется пропорциональной, зависимостью. В арифметике говорят, что две величины находятся между собой в пропорциональной зависимости (или пропорциональны друг другу), если с увеличением (или с уменьшением) одной из них в каком-нибудь отношении другая тоже увеличивается (или уменьшается) в таком же отношении. Так, стоимость товара, продаваемого на вес, пропорциональна его весу; плата рабочим пропорциональна их числу (при одинаковых прочих условиях); величина дроби пропорциональна её числителю при неизменном знаменателе; площадь прямоугольника пропорциональна его основанию при неизменной высоте и пропорциональна его высоте при неизменном основании и т. п.

Пусть мы имеем две какие-нибудь пропорциональные величины (например, вес товара и его стоимость) и положим, что когда одна из них равна единице одной величины, другая пусть будет тогда равна k единицам этой другой величины (например, когда вес товара равен 1 кг, стоимость его, положим, будет 1 руб.). Если теперь допустим, что первая величина сделается равной х единицам, то тогда другая величина изменится и сделается равной у единицам (например, если товара будет взято не 1 кг, а 3 кг, то стоимость его окажется не 1 руб., а 3 руб.). Так как взятые нами величины пропорциональны, то число у должно быть больше или меньше числа к в таком отношении, в каком число х больше или меньше 1. Значит, мы будем иметь пропорцию:
y : k = x : 1,
из которой найдём:
y=kx.

Общее определение пропорциональной зависимости

Дадим следующее общее определение пропорциональной зависимости.

Две величины называются пропорциональными, если зависимость между ними может быть выражена формулой: y=kx, в которой х и у— числа, выражающие соответствующие друг другу значения взятых величин, k — постоянное число (равное тому частному значению у, которое соответствует значению х=1). Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности данных величин.

Данное определение отличается от арифметического тем, что коэффициент пропорциональности k может быть отрицательным числом. В этом последнем случае знаки значений аргумента и функции будут различны. Как известно из геометрии, длина C окружности радиуса R выражается формулой: C=2πR , в которой R и C — переменные величины, a 2π—постоянное число, поэтому мы можем сказать, что длина окружности пропорциональна её радиусу.

Обратная пропорциональная зависимость

Может случиться, что две переменные величины зависят одна от другой так, что с увеличением одной из них другая по абсолютной величине уменьшается, и притом уменьшается в таком же отношении, в каком первая увеличивается. Такие величины называются в арифметике обратно пропорциональными (а величины, просто пропорциональные, называются иногда прямо пропорциональными). Например, число часов, в течение которого поезд железной дороги проходит весь путь от Москвы до Ленинграда, обратно пропорционально средней скорости
, 1 движения этого поезда, так как с увеличением скорости в раза, в 2 раза, . . . , вообще в некотором отношении, число часов, в течение которого поезд пройдёт расстояние от Москвы до Ленинграда, уменьшится в раза, в 2 раза, … , вообще в том же отношении, в каком скорость увеличилась. Подобно этому, вес товара, который можно купить на данную сумму денег, например на 100 руб., обратно пропорционален цене килограмма этого товара; время, в течение которого выполняется рабочими заданная им работа, обратно пропорционально числу этих рабочих (конечно, при условии, что все рабочие работают одинаково успешно); величина дроби обратно пропорциональна её знаменателю (при постоянном числителе) и т. п.

Замечание:

Для того чтобы две зависящие друг от друга величины были пропорциональны (прямо или обратно), недостаточно только того, чтобы с увеличением одной величины другая тоже увеличивалась (для прямой пропорциональности) или чтобы с увеличением одной величины другая уменьшалась (для обратной пропорциональности). Например, если какое-нибудь слагаемое увеличится, то и сумма увеличится; но было бы ошибочно сказать, что сумма пропорциональна этому слагаемому, так как если увеличим слагаемое, например, в 3 раза, то сумма хотя и увеличится, но не в 3 раза. Подобно этому, нельзя, например, сказать, что разность обратно пропорциональна вычитаемому, так как если увеличится вычитаемое, например, в 2 раза, то разность хотя и уменьшится, но не в 2 раза. Нужно, чтобы увеличение или уменьшение обеих величин происходило в одинаковом отношении.

Возьмём какие-нибудь две обратно пропорциональные величины и предположим, что когда одна из них равна единице, другая будет равна k. Если теперь допустим, что эти величины изменились, причём первая сделалась равной х, а вторая у, то число у должно оказаться больше или меньше числа к в таком отношении, в каком число х меньше или больше 1, т. е., другими словами, в таком отношении, в каком 1 больше или меньше х. Значит, мы будем иметь пропорцию:
y : k = 1 : x , откуда yx =k .

Общее определение обратной пропорциональной зависимости

Две величины называются обратно пропорциональными, если произведение численного значения одной из них на соответствующее численное значение другой равняется постоянному числу.

Заметим, что данное определение от арифметического отличается тем, что постоянное число k может быть как положительным, так и отрицательным. В последнем случае знаки значений аргумента и функции будут различны.

Формула yx =k равносильна формуле , которую словесно можно выразить так:
Если две величины обратно пропорциональны, то численное значение одной из них равно некоторому постоянному числу, делённому на соответствующее численное значение другой величины.

График прямой пропорциональной зависимости

Докажем, что график функции y=kх есть прямая линия. Для простоты ограничимся случаем положительного k.

Для х=0 имеем у= k · 0=0; значит, точка, обе координаты которой равны нулю, т. е. начало координат, лежит на искомом графике (черт. 5).

Для х=1 имеем y=kx=k. Точку с абсциссой 1 и ординатой k обозначим через N. Эта точка лежит на нашем графике.

Докажем, что каждая точка прямой ON лежит на нашем графике. Другими словами, докажем, что абсцисса х и ордината у любой точки M прямой ON связаны между собой соотношением:
y=kх

Возьмём произвольную точку M прямой ON. Проведём через M прямую MP, параллельную оси ординат. Из подобия треугольников OPM и OQN следует:
PM:OP = QN:OQ.
Но
OQ=1, a QN= k,
поэтому
PM : OP=k, PM=k · OP.

Так как PM есть ордината, a OP — абсцисса точки М, то наше утверждение доказано: каждая точка прямой ON лежит на графике функции y=kx. Остаётся доказать, что нет ни одной точки графика, не лежащей на прямой ON. Но если бы такая точка Z была, то, проведя через неё прямую TZ параллельно оси у-ов и беря точку пересечения V прямой TZ с прямой ON, мы получили противоречие. В самом деле, так как точка V, по доказанному, также лежит на нашем графике, то одной и той же абсциссе ОТ соответствовали бы две ординаты графика, а именно: TZ и TV, тогда как абсциссе ОТ соответствует в действительности единственная ордината TV, равная к ОТ.

Итак:
График прямой пропорциональной зависимости (y=kx) есть прямая, проходящая через начало координат и через точку N, у которой абсцисса есть 1. а ордината равна коэффициенту пропорциональности (наш чертёж сделан для k=2).

Замечание:

Мы рассматривали график функции y=kx лишь для случая положительного k. Все наши рассуждения, однако, сохраняют силу также и для отрицательного к. Только прямая, являющаяся графиком функции y=kx , в случае отрицательного к будет лежать в углах X’OY и XOY’ (т. е. во второй и четвёртой четвертях); в самом деле, при отрицательном k сточка N с координатами (1, k ) лежит в четвёртой четверти, а искомый график есть прямая ON (черт. 5а).

Изменение положения прямой при изменении коэффициента пропорциональности

Построим на одном и том же чертеже 6 прямые, изображающие функции:

у которых коэффициенты положительны и притом возрастают. Из чертежа мы видим, что по мере возрастания коэффициента пропорциональности прямая отклоняется всё более и более от оси х-ов, приближаясь к оси у-ов. Таким образом, коэффициент к в функции y=kx характеризует собой угол, составленный прямой с полуосью OX’, поэтому число к называется также угловым коэффициентом прямой, изображающей графически функцию y=kx. Так как из этого соотношения видно, что , то можно сказать, что угловой коэффициент равен отношению какого-нибудь значения функции (какой-нибудь ординаты) к соответствующему значению аргумента соответствующей абсциссе) (черт. 7):

Отсюда видно, что k есть тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси абсцисс (как известно из тригонометрии, отношение одного катета к другому катету равняется тангенсу угла а, противолежащему первому катету).

Полезно заметить, что если k=l, т. е. если функция имеет вид у=х, то прямая, изображающая её, есть биссектриса прямого угла XOY (тогда треугольник OAM — равнобедренный и ∠α=45°). Если k =0, т. е. если функция имеет вид у=0, то прямая сливается с осью ОХ.

График обратной пропорциональности

Такая пропорциональность выражается, как мы видели, формулой:
ху = k , или

Построим график для частного случая, когда k=6, т. е. когда
функция будет .

Составим таблицу значений этой функции для положительных значений аргумента; например, такую:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	…
y	6	3	2			1			…

Нанеся значения, указанные в таблице, на чертёж и обведя все полученные на графике точки кривой (от руки или с помощью особой чертёжной линейки, называемой лекалом), мы получим график обратной пропорциональной зависимости (черт. 8).

Обратим внимание на следующие особенности этого графика: при неограниченном увеличении абсциссы х (х=9, 10, 11, 12, … ) ордината кривой всё уменьшается, приближаясь к нулю, так что кривая, по мере её продолжения направо, всё ближе и ближе подходит к оси х-ов, но никогда её достигнуть не может (дробь никогда не может сделаться равной нулю). Равным образом, если для х будем брать дроби , , и т. д., всё более и более приближающиеся к нулю, то у будет всё более и более возрастать (у= 12, 24, 48, . ..), так что ветвь кривой при продолжении её налево неограниченно поднимается вверх, приближаясь всё более и более к оси у-ов, но достигнуть её никогда не может (при х = 0 дробь перестаёт существовать).

Чертёж 9, сделанный в более крупном масштабе, чем предыдущий, представляет три графика функции при k=2; 1; . Они имеют те же особенности, как и график предыдущего чертежа, отличаясь друг от друга только большей или меньшей вдавленностью к вершине прямого угла.

График функции называется гиперболой. Пусть k>0. Тогда положительным значениям х соответствуют положительные значения у, и мы получим точки гиперболы, лежащие в первом квадранте. При отрицательных значениях х получим точки гиперболы, лежащие в третьем квадранте. Так как значению х = 0 никакого значения у не соответствует, то на оси ординат точек гиперболы нет; поэтому вся кривая распадается на две ветви, из которых одна лежит в первом, а другая — в третьем квадранте.

Пусть k<0 . Тогда одна ветвь гиперболы будет лежать во втором квадранте (та, которая состоит из точек с отрицательными абсциссами), а вторая — в четвёртом квадранте.

Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей; при положительном k эти ветви лежат в первом и третьем квадрантах, а при отрицательном k — во втором и в четвёртом.

Линейная функция

Линейная функция — функция вида y=kx+b (для функций одной переменной). Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности. Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Двучлен первой степени

Задача: Длина железного стержня при температуре 0° составляет 1 м; определить, какая длина l окажется у этого стержня, когда он будет нагрет до t°, если известно, что с каждым градусом нагревания длина стержня увеличивается на 0,000012 той длины, которую стержень имеет при 0°.

При нагревании на 1° длина стержня, равная при 0° одному метру (100 см), должна увеличиваться на 100× 0,000012 см, т. е. на 0,0012 см. Удлинение при нагревании на t° должно быть в t раз больше, чем при нагревании на 1°, поэтому всё удлинение будет 0,0012 t см. Прибавив к этому удлинению начальную длину стержня (при 0°), т. e. 100 см, получим:
l =0,0012 t +100.

Нетрудно видеть, что это та же самая формула, которую мы получили уже раньше, только длина l выражена теперь не в метрах, а в сантиметрах.

Если температуру t , до которой нагрет стержень, будем рассматривать как независимое переменное, то длину l мы можем рассматривать как функцию температуры. Обозначая по общепринятому правилу независимое переменное буквой х, а функцию — буквой у, мы можем зависимость между длиной стержня и его температурой выразить такой формулой:
y=0,0012x+100,
или в более общем виде:
у=kх + b,
если буквами к и b обозначим постоянные числа, входящие в нашу формулу.

Алгебраическое выражение вида kx+b, в котором k и b — какие-нибудь постоянные числа, а х — независимое переменное, называется двучленом первой степени (относительно х). Такие функции встречаются при решении многих задач и вопросов.

Корнем двучлена называется то значение аргумента х, при котором двучлен обращается в нуль. Чтобы найти такое значение, надо приравнять двучлен нулю и решить полученное уравнение. Так, корень двучлена получится, если решим уравнение:

График двучлена первой степени

Возьмём какой-нибудь частный случай двучлена, например такой:

Отбросим пока число 2 и возьмём более простую функцию: у=. Функция эта выражает пропорциональную зависимость между у и х и потому графически изобразится, как мы знаем, прямой (черт. 10), проходящей через начало координат и через точку М, у которой абсцисса есть 1, а ордината .

Если аргументу х будем давать не только положительные значения, но и отрицательные, то прямая эта продолжится вниз, проходя через точку М’, у которой абсцисса есть — 1 и ордината — . Если теперь восстановим отброшенное прежде число +2, т. е. возьмём функцию , то увидим, что все ординаты этой функции будут больше соответственных ординат функции на 2 единицы. Значит, график функции мы получим из графика функции, если прямую линию MM’ перенесём параллельно самой себе вверх на 2 единицы. Для этого отложим на оси OY отрезок ОА=2 и через точку А проведём прямую, параллельную MM’. Эта прямая и будет служить графиком функции . Абсцисса OD точки, в которой эта прямая пересекается с осью х-ов, равна корню двучлена, так как при этой абсциссе ордината у (т. е. величина самого двучлена) равна нулю на нашем чертеже ) .

Если возьмём функцию то отрезок OA надо отложить вниз от точки О, так как тогда все ординаты функции пришлось бы уменьшить на 2 единицы. Мы получим тогда прямую A’ B’, параллельную MM’ и отсекающую от оси у-ов отрезок OA’= -2. Корень этого двучлена равен абсциссе точки, в которой прямая A’B‘ пересекается с осью х-ов (на чертеже эта абсцисса равна ).

Если в функции y=kx+b коэффициент k будет число отрицательное (например, ) , то вспомогательная прямая, выражающая график функции y=kx, пройдёт через углы X₁OY и XOY₁ , сообразно чему изменится и направление прямой BC. Таким образом:

График двучлена y=kx+b есть прямая линия, параллельная прямой, изображающей функцию у = kx, и отсекающая от оси у-ов отрезок, равный b.

Вследствие того что график функции y=kx+b есть прямая линия, сама эта функция называется линейной.

Для краткости речи в дальнейшем изложении, вместо того чтобы говорить: «прямая, изображающая функцию y=kx+b«, мы будем говорить короче: «прямая y=kx+b«.

Угол, образуемый прямой y=kx+b с осью х-ов, равен углу, составленному с осью х-ов прямой y=kx; следовательно, этот угол зависит только от величины коэффициента к, и поэтому коэффициент этот в общем виде двучлена kx+b называется угловым коэффициентом.

Число b в двучлене kx+b есть так называемая начальная ордината, соответствующая начальному значению х=0; она представляет собой отрезок оси у-ов, отсекаемой прямой, изображающей двучлен.

Коэффициент к, как мы видели, равен тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси х-ов прямой у=kx (и, следовательно, параллельной ей прямой y=kx+b ).

Изменение двучлена y=kx+b с изменением х: Прямая у=kx , параллельная прямой y=kx+b, проходит через углы XOY и X₁OY₁ , если k>0, и через углы X₁OY и XOY₁ , если k<0.

Следовательно, в первом случае прямая y=kx+b поднимается вверх (черт. 11), а во втором случае она опускается вниз (если её рассматривать в направлении слева направо, черт. 12).

Если примем во внимание, что отрицательные числа тем больше, чем меньше их абсолютные величины, то мы можем сказать (черт. 12), что это возрастание или убывание неограниченно и притом равномерно, т. е. с увеличением х на одно и то же число функция возрастает или убывает также на одно и то же число.

Замечания. 1. Если угловой коэффициент k равен нулю, тогда двучлен обращается в одночлен y=b. Это значит, что в графическом изображении должна получиться такая прямая, у которой все точки имеют одну и ту же ординату, равную b, а абсцисса может быть какая угодно. Такая линия, очевидно, есть прямая, параллельная оси х-ов и отсекающая от оси у-ов отрезок, равный b. Значит, при b положительном эта прямая расположится над осью х-ов, а при b отрицательном — под нею (черт. 13); и в том и другом случае при изменении х функция остаётся постоянной (равной b).

В частности, если при k=0 ещё b=0, т. е. если линейная функция будет у=0, то график функции будет ось х-ов (для всякой точки этой оси ордината у=0, а абсцисса произвольная).

2. Если какая-нибудь прямая параллельна оси у-ов (черт. 14), то ординаты точек этой прямой могут иметь произвольные значения, абсциссы же для всех точек одинаковы, а именно: равны положительному или отрицательному отрезку m, который отсекается прямой от оси х-ов. Следовательно, такую прямую можно выразить уравнением так: х=m (ордината у, не входящая в уравнение, остаётся произвольной). В частности, если m=0, то получается уравнение х=0, выражающее, что абсцисса всякой точки есть 0, а ордината — какая угодно. Такая прямая есть ось у-ов.

Построение прямой y=kx+b по двум точкам: Чтобы построить прямую y=kx+b, можно было бы сначала построить вспомогательную прямую, изображающую функцию y=kx, и потом провести параллельную прямую, отсекающую от оси у-ов отрезок b. Но проще построить прямую y=kx+b, найдя предварительно какие-нибудь две точки этой прямой. Положим, например, надо построить прямую:

Для этого найдём координаты каких-нибудь двух точек, принадлежащих искомой прямой, например координаты тех точек, в которых прямая пересекается с осями координат. Для нахождения их положим в данном уравнении х=0 и определим соответствующее значение у, а затем положим у=0 и определим х; тогда найдём:
1) если х=0, то у= — 3;
2) если у=0, то х — 3 = 0 и х=6.

Точка с абсциссой 0 и ординатой — 3 есть точка P (черт. 15), точка с абсциссой 6 и ординатой 0 есть точка Q; значит, искомый график будет прямая PQ, проходящая через эти две точки.

Если точки пересечения с координатными осями (или одна из них) не помещаются в пределах чертежа, то можно подыскать другие точки, которые помещались бы на чертеже.

Основные элементарные функции и их графики

Основными элементарными функциями называют следующие: степенную функцию ; показательную функцию ; логарифмическую функцию ; , тригонометрические функции , ; обратные тригонометрические функции , .

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции взятия функции от функции называется элементарной функцией.

Пример:

Элементарными функциями являются:

Остановимся подробнее на графиках элементарных функций.

1. Степенная функция .

Рассмотрим частные случаи: (рис. 1.1), (рис. 1.2), (рис. 1.3), (рис.1.4), (рис. 1.5), (рис. 1.6), (рис. 1.7).

2. Показательная функция (рис. 1.8, рис. 1.9).

3. Логарифмическая функция , (рис. 1.10, рис. 1.11).

4. Тригонометрические функции (рис. 1.12), (рис. 1.13), (рис. 1.14), (рис. 1.15).

Обратные тригонометрические функции (рис. 1.16), (рис. 1.17), (рис. 1.18), (pис. 1.19).

Отдельно обратим внимание на определение и графики гиперболических функций: синус гиперболический (рис. 1.20),

; косинус гиперболический (рис. 1.21)

; тангенс гиперболический (рис. 1.22) ;

котангенс гиперболический (рис. 1.23) ,

Переменные в функции и графике

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем».

Эти слова, принадлежащие Ф. Энгельсу, ярко характеризуют новый этап в развитии математики, который связан с именами великих ученых XVII в.: Декарта, Ньютона и Лейбница. На основе их работ сформировалось понятие функции, были разработаны методы исследования функций, которые в течение трехсот лет остаются основным инструментом изучения окружающего мира с помощью математики.

Математика всегда была связана с вычислениями и формулами. Особенно много формул было получено при решении задач измерения — тысячелетия назад люди овладели формулами вычисления длин, площадей и объемов простейших фигур.

С помощью формул выражаются соотношения между различными величинами. Приведем примеры некоторых известных формул:

1. —формула объема шара.
2. — формула длины пути при свободном падении.
3. — формула кинетической энергии.
4. — формула Герона для вычисления площади треугольника.
5. — формула корней квадратного уравнения.

Декарт Рене

(1596—1650) — французский философ и математик. Одновременно с П. Ферма заложил основы аналитической геометрии и разработал теорию алгебраических уравнений. Историк математики Д. Я. Стройк написал о нем: «Заслуги Декарта прежде всего в том, что он применил хорошо развитую алгебру начала семнадцатого века к геометрическому анализу древних».

«И чем труднее доказательство, тем больше будет удовольствия тому, кто доказательство найдет». Р. Декарт

При работе с формулами и при вычислениях по ним приходится совершать преобразования выражений. Эта сторона математики вам уже хорошо знакома. Она будет продолжена и в нашем курсе. В названии курса слово «алгебра» как раз и отражает выполнение различных преобразований, или, как говорят, операционную сторону математики.

Математический анализ, начала которого мы будем изучать в этом курсе, рассматривает формулу как соотношение между меняющимися, переменными величинами. Как изменится точность вычисления объема шара, если точность измерения его радиуса изменить на одну сотую? Это типичный вопрос математического анализа. Ответ на него можно получить с помощью преобразований, так как формула объема шара не слишком сложна. Однако ответ на аналогичный вопрос, связанный с формулой Герона, получить алгебраическими средствами трудно. Математический анализ создал методы, с помощью которых можно следить за характером изменения связанных между собой величин.

В первой из приведенных выше формул участвуют буквы V, R, π , где V — это объем шара, R — его радиус, π — отношение длины окружности к диаметру. Ясно, что величины V и R могут меняться, а π является постоянной. Приближенное значение константы л равно 3,14159 (с точностью до 0,00001). Во второй формуле встречаются буквы s, t, g, где s — это длина пути, t — время движения, a g — ускорение свободного падения. Величины s и t могут меняться, а величина g в этой формуле считается постоянной.

Переменная — это общий термин для обозначения различных меняющихся величин.

Например, рассматривая поведение газа в замкнутом объеме, можно измерить его температуру T, его объем V, оказываемое им давление р.

Наблюдая за свободно падающим телом, можно измерить длину пути 5, пройденного телом за время t, его скорость v в момент времени /, его кинетическую энергию Е в момент времени t и т. д.

В этих примерах участвуют различные переменные величины, или просто переменные.

Зависимость между переменными

Переменные, появляющиеся при описании какого-либо процесса, обычно бывают связаны между собой. Одной из основных задач экспериментальных наук является изучение этих связей. Например, закон Клапейрона — Менделеева утверждает, что давление р, объем V и температура Т идеального газа связаны соотношением

Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. В то же время можно отвлечься от каких-то частных деталей, сосредоточив свое внимание лишь на некоторых сторонах процесса, идеализировав условия, в которых он протекает. Тогда удается построить математическую модель процесса, состоящую в перечислении основных характеристик и тех связей, которые между ними имеются.

Например, физики, вводя понятие идеального газа, пренебрегают взаимодействием между молекулами газа и их размером и получают газочые законы в виде соотношений между переменными р, V и Т.

При изучении падения материального тела можно пренебречь сопротивлением воздуха, изменением силы тяжести и т. п. и считать, что движение происходит по прямой с постоянным ускорением g. Тогда положение тела в любой момент времени t можно найти, зная его начальное положение и начальную скорость.

Какие значения могут принимать переменные? Во всех приведенных выше примерах переменные величины были скалярными, т. е. их значения задаются числами. И в дальнейшем мы будем изучать в основном переменные, принимающие числовые значения.

Границы, в которых могут меняться числовые значения переменных, обычно определяются физическими условиями. Так, закон Клапейрона — Менделеева верен лишь при значениях р, V и Т, лежащих в определенных промежутках.

Изучение различных зависимостей между переменными является нашей главной задачей. Хотя величин очень много, но давно
было замечено, что разные величины, появляющиеся при описании далеких друг от друга процессов, могут быть связаны между собой одной и той же зависимостью. Поэтому для изучения зависимостей полезно отвлечься от конкретного физического смысла рассматриваемых переменных.

Для нас в дальнейшем термин переменная будет означать просто букву, причем будет указано множество значений, которое она может принимать.

Например, мы будем говорить: рассмотрим переменную х, принимающую положительные значения.

Так как мы будем встречать в основном переменные, принимающие числовые значения, то полезно вспомнить некоторые числовые множества.

Числовые промежутки

Вам известно, что каждое число можно изобразить точкой числовой оси и, наоборот, каждая точка оси изображает некоторое число. Это соответствие между числами и точками числовой оси настолько естественно, что часто не различают число и изображающую его точку. Говорят, например, «точка 2», «точка —0,5», «нулевая точка».

Числовые множества удобно изображать на числовой оси. Нам чаще всего будут встречаться числовые промежутки. Конечные числовые промежутки, т. е. множества чисел, лежащих между двумя заданными числами, изображаются отрезками числовой оси. Бесконечные числовые промежутки, т. е. множества чисел, больших или меньших заданного числа, изображаются лучами, лежащими на числовой оси. Множество всех чисел заполняет всю числовую ось и обозначается буквой R. Примеры числовых промежутков, их запись с помощью скобок и неравенств, их изображение на числовой оси приведены на рисунке 1.

Если значение одной переменной мы изображаем на координатной прямой (числовой оси), то зависимости между двумя переменными можно изображать на координатной плоскости. Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат с помощью двух числовых осей. Значения одной переменной (скажем., х) откладываются на одной оси (оси х), значения другой переменной (скажем, у) — на другой оси (оси у).

Как графически изображается зависимость между переменными хну? Возьмем два значения переменных хну, связанных данной зависимостью, и построим точку Р с координатами (х\ у). Множество всех таких точек составит некоторую кривую, которая и является изображением изучаемой зависимости. Эту кривую называют графиком зависимости и, наоборот, саму зависимость называют уравнением кривой.

Простейшие зависимости

В огромном море зависимостей между переменными можно выделить три типа простейших зависимостей, которые встречаются чаще всего,— это прямая и обратная пропорциональность и квадратичная зависимость.

Пусть х и у — две переменные.

1) Говорят, что переменные х и у связаны прямой пропорциональной зависимостью, если их отношение постоянно. С помощью формул эту зависимость можно записать так: или y = kx, где k — постоянное число, к ≠ О.

2) Говорят, что переменные хну связаны обратной пропорциональной зависимостью, если их произведение постоянно.

Запишем эту зависимость с помощью формул ху=с или где с— постоянное число, с ≠ 0.

3) Говорят, что переменная у квадратично зависит от переменной х, если ее значения можно вычислить по формуле у=ах2, где а — постоянное число, а ≠ 0.

Заметим, что зависимость первых двух типов имеет симметричный характер: если переменная у прямо (или обратно) пропорциональна переменной х, то и, наоборот, переменная х прямо (или обратно) пропорциональна переменной у.

Например, если

Квадратичная зависимость не является симметричной, в нее переменные входят неравноправно: если у зависит от х по квадратичному закону, то зависимость х от у не является квадратичной.

Ферма Пьер (1601—1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометриии и дифференциального исчисления. Открыл правило нахождения экстремума с помощью производ-ной. Автор многих теорем теории чисел. Знаменитая теорема Ферма из теории чисел, которую Ферма сформулировал без доказательства, не доказана и до сих пор.

Графики простейших зависимостей приведены на схеме I. Графиком прямой пропорциональной зависимости является прямая. График обратно пропорциональной зависимости называется гиперболой. График квадратичной зависимости — парабола.

Большинство известных вам зависимостей между физическими величинами принадлежит к одному из указанных нами простейших типов.

Приведем примеры.

• U = RI — закон Ома, где U — напряжение, I — сила тока, R — сопротивление. Если одна из этих трех переменных постоянна, то две другие по закону Ома связаны прямой или обратной пропорциональной зависимостью.
• pV = RT — закон Клапейрона — Менделеева, где р — давление, V — объем, Т — температура, R — константа (газовая постоянная). При постоянной температуре давление и объем газа обратно пропорциональны.
• s = vt — закон равномерного движения, где s — путь, t — время, v—скорость (постоянная).

• -закон свободного падения, где s — путь, t — время, g — константа.
• q = CU — уравнение конденсатора, где U — напряжение, q — заряд, С — электроемкость.

• — объем кругового конуса, где R — радиус основания, Н — высота.
  

• — соотношение между концентрациями в растворе веществ А, В и их соединения АВ в условиях равновесия, где k — постоянная.
• —формула для вычисления расстояния до звезды, где π» — ее параллакс, вычисленный в угловых секундах.

• — формула для нормы прибавочной стоимости, где т — прибавочный труд, v — необходимый труд.

Понятие функции

Пусть даны две переменные х и у. Говорят, что переменная у является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого, значения х однозначно определить значение у.

Примеры функций:

В каждом из этих примеров указана формула, позволяющая для каждого значения переменной х однозначно вычислить значение переменной у.

Для того чтобы задать функцию, нужно:

1) указать множество всех возможных значений переменной х. Это множество, которое мы будем обозначать D, называют областью определения функции;

2) указать правило, по которому каждому числу х из множества D сопоставляется число у, определяемое числом х. Это число у называется значением функции в точке х. Переменную х называют аргументом.

Функция обычно обозначается одной буквой, например f. Значение функции f в точке х обозначается f (x).

Итак, если задана функция f, то задано множество чисел D и каждому числу x ∈ D сопоставлено число y = f(x).

Пусть задана функция f с областью определения D. Рассмотрим координатную плоскость. По оси абсцисс будем откладывать значение аргумента, а по оси ординат — значение функции. Для каждого числа x ∈ D можно вычислить y=f(x) и построить точку М (х; f (х)). Множество всех таких точек образует кривую, называемую графиком функции f в заданной системе координат.

Итак, графиком функции f называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)), где х пробегает область определения функции f.

На рисунке 2 изображены графики функций, которые были приведены в качестве примера.

Рассмотренные нами ранее простейшие зависимости определяют три важнейшие функции:

Эти функции являются стандартными примерами функций из трех классов, с которыми мы будем часто сталкиваться в дальнейшем: линейных, дробно-линейных и квадратичных.
Рис. 2

Способы задания функций

Для того чтобы определить переменную у как функцию от переменной х, нужно задать множество значений аргумента х и указать правило вычисления значений у в зависимости от х. Сначала обсудим, как задается правило вычисления значений. Во всех приведенных ранее примерах правило вычисления задавалось формулой, содержащей определенные операции.

Обучаясь математике, мы знакомились с различными действиями, операциями над числами. Например, используя только сложение и умножение, мы можем из числа х получить новые числа, скажем и т. п. Уже такого рода выражения, многочлены, могут служить для построения довольно богатого запаса функций.

Использование деления сильно расширяет этот запас, позволяет образовать выражения вида и т. п. Функции, которые строятся как отношения многочленов, называют рациональными.

Операция деления отличается от сложения и умножения тем, что она не всегда определена — в знаменателе дроби нельзя ста-вить нуль. Поэтому, например, в выражение можно подставить любые числа, кроме х= 1 и х= — 1, при которых знаменатель равен нулю.

Появление новых операций и введение специальных знаков для их обозначения приводят к дальнейшему обогащению наших возможностей — извлечение корня, переход к модулю числа и т. п.

Например, пусть f (х) равно числу —1, если х<0, равно нулю, если х = 0, и равно 1, если х>0. Этими словами мы описали некоторое правило вычисления, применимое к любому числу. Обозначим число f (х), найденное по этому правилу, через sgn х (от латинского слова signum, что означает «знак»). Теперь мы с помощью символа для обозначения новой операции можем строить новые формулы, например

Если функция задана формулой и не указано никаких ограничений, ее областью определения считается множество всех значений аргумента, при которых выполнимы все операции, участвующие в этой формуле. Это множество называют естественной областью определения данной функции. Так, естественной областью определения функции является множество чисел х, для которых , т. е. промежуток [—1; 1].

Еще раз обратим внимание на то, что две важные операции — деление и извлечение корня четной степени — выполнимы не всегда (нельзя разделить на нуль, нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа). Это ограничение надо помнить и учитывать при нахождении области определения функции, в задании которой участвуют указанные операции.

Значения функции вычисляются путем последовательного выполнения операций: возведение в квадрат, прибавление единицы, извлечение квадратного корня. Можно сказать, что функция является «сложной функцией», составленной из более простых: . Подробнее о понятии сложной функции можно узнать из заключительной беседы в первой главе.

Итак, правила вычисления значений функции могут задаваться формулами, полученными с помощью известных нам ранее действий над числами.

Другой важный способ задания функции — табличный. В таблице можно непосредственно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Вычисление значений функции может быть запрограммировано в калькуляторе. Вычислительное устройство может служить для вас способом задания новой функции. Современные вычислительные машины снабжены клавишами, позволяющими немедленно вычислить значения многих полезных функций.

Наконец, часто функцию задают с помощью графика. Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции. Приведем примеры.

На рисунке 3 изображены вольт-амперные характеристики некоторых электрических элементов, т. е. графически заданные зависимости напряжения от силы тока. Они получены не по готовой формуле, а экспериментально.

На рисунке 4 изображена кардиограмма работы человеческого сердца. Ее можно считать графиком изменения электрического потенциала на волокнах сердечной мышцы во время сердечного цикла.

Исследование функции по графику

Рассмотрим функцию y = f(x), график которой изображен на схеме II. Что можно сказать о свойствах функции f, глядя на график?

1) Спроектируем точки графика на ось х. Мы получим отрезок [а; Ь]. Этот промежуток является областью определения функции. Действительно, каждая прямая, параллельная оси у, проходящая через точку этого отрезка, пересекает график ровно в одной точке; вертикальные прямые, проходящие через точки х вне отрезка [а; Ь], график не пересекают.

2) Рассмотрим точки пересечения графика с осью х. На чертеже это . В этих точках функция обращается в нуль. Числа являются решениями уравнения f (х) = 0 и называются корнями функции (или ее нулями).

3) Корни функции / разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Функция положительна на промежутках и отрицательна на промежутках

Объединение промежутков представляет собой решение неравенства f (х)> 0, а объединение промежутков — решение неравенства f(x)<0.

4) График функции можно сравнить с профилем дороги, которая то поднимается в гору, то опускается в ложбину. Самые верхние и самые нижние точки этой дороги («вершины») играют важную роль при описании графика. Они соответствуют значениям аргумента, обозначенным на графике

Точка m1 замечательна тем, что если мы рассмотрим, как меняется функция f вблизи нее, то увидим, что значение f в этой точке будет наименьшим. Подчеркнем еще раз: f (m1) не является самым маленьким значением функции f (на чертеже легко найти далекие от m1 точки, в которых значение f меньше, чем f(m1)). Оно является наименьшим среди значений f в точках, близких к m1. Точно так же в точке m2 функция принимает значение, наибольшее среди ее значений в точках, близких к m2.

Точку m1 называют точкой локального минимума, а точку m2 — точкой локального максимума. Слово «локальный» означает «местный» и подчеркивает, что, скажем, f (m1) — наименьшее значение в некоторой окрестности точки m1.

Итак, в точках m1 и m3 функция f имеет локальный минимум, а в точке m2 — локальный максимум.

Часто употребляют термин экстремум, который объединяет оба понятия максимум и минимум. Точки m1, m2, mз — это точки экстремума функции.

5) Наибольшее значение функция f принимает в точке b, а наименьшее — в точке mз. На этот раз речь идет о самом большом и самом маленьком значениях функции на всей области определения. Наибольшее значение функции f равно M = f (b), а наименьшее равно m = f (тз).

Обратите еще раз внимание на возможные различия между точками экстремума и точками, где функция принимает наибольшее или наименьшее значения.

6) Что можно сказать о поведении функции f между точками экстремумов?

Из графика ясно, что на отрезке [a; m1] функция f убывает, затем на отрезке [т1, т2] она возрастает, далее на отрезке [т2; тз] функция f убывает и, наконец, на отрезке [тз; b] снова возрастает.

Часто употребляют термин «монотонность», который объединяет оба понятия «возрастание» и «убывание».

7) Спроектируем точки графика на ось у. Мы получим отрезок [т; М] являющийся областью значений функции f. Он состоит из всех точек у, являющихся значениями функции f при каком-либо (необязательно при одном) значении аргумента х.

Схема исследования функции

Мы провели исследование функции, изображенной на схеме II, следуя некоторому плану. Перечислим еще раз его основные моменты для исследования любой функции y = f (х). Этот план, который называют схемой исследования функции, включает в себя нахождение определенных характеристик функции, словесное определение которых дано в левой колонке схемы, а графическое — в правой.

1. Область определения, т. е. множество значений аргумента, при которых задана функция.
2. Корни, т. е. точки, в которых функция обращается в нуль, или иначе решения уравнения f(x) = 0.
3. Промежутки постоянного знака, т. е. промежутки, на которых функция положительна (отрицательна), или иначе решения неравенства f (х)> 0 (f(x)< 0).
4. Точки экстремума, т. е. точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое маленькое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.
5. Промежутки монотонности, т. е. промежутки, на которых функция или возрастает, или убывает.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции (по сравнению со всеми возможными в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).
7. Область значений функции, т. е. множество чисел, состоящее из всех значений функции.

• Проекция графика на ось х.

• Точки пересечения графика с осью х.
• Участки оси х, соответствующие точкам графика, лежащим выше (ниже) оси х.
• «Вершины» на графике функции.
• Участки оси х, где график идет вверх или вниз.
• Ординаты самой высокой и самой низкой точек графика.
• Проекция графика на ось у.

Часто график функции является симметричным. На рисунке 5 представлены различные виды симметрии графика: осевая симметрия (относительно оси у рис. 5, а); симметрия относительно начала координат (рис. 5,6). На рисунке 5, в график периодически повторяется. Первым из этих свойств графика обладают четные, вторым — нечетные, третьим — периодические функции. Определения четной и нечетной функций дадим сейчас, а периодические будем изучать в главе III.

Функция y=f (х) называется четной, если при всех значениях аргумента f (—х) —f (х). При этом имеется в виду, что если х входит в область определения, то и — х также входит в нее, т. е. что область определения функции f симметрична относительно начала координат.

Так как точки (х; у) и ( — х; у) одновременно принадлежат или не принадлежат графику четной функции, то этот график симметричен относительно оси у.

Аналогично функция y=f (х) (с областью определения, симметричной относительно начала координат) называется нечетной, если при всех значениях аргумента f ( — х) = — f (х).

Так как точки (х; у) и ( — х; —у) одновременно принадлежат или не принадлежат графику нечетной функции, то этот график симметричен относительно начала координат.

Примеры четных функций:

Примеры нечетных функций:

Примеры функций, не являющихся ни четными, ни нечетными:

График функции на схеме II представляет собой гладкую кривую. Встречаются графики (рис. 6) с различными нарушениями гладкости — изломами (точка Х1), остриями (точка х2), разрывами (точка хз). С изломами и остриями на графике мы встретимся в главе II.

Если график функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, то такую функцию называют непрерывной. Понятие непрерывности мы более подробно обсудим в заключительной беседе.

Решение уравнений и неравенств с помощью графика

Если уравнение записано в виде f(x) = 0, то его решения — это корни функции f. Начертив график функции f и отметив его точки пересечения с осью абсцисс, можно приближенно найти решения уравнения f(x) = 0, ответить на некоторые качественные вопросы о них, например: сколько корней имеет уравнение на заданном промежутке?

Корни уравнения f(x)=a мы найдем, определив точки пересечения прямой у = а, параллельной оси абсцисс, и графика функции f. Это позволяет определить количество корней уравнения f(x) = a при различных значениях а. Так, из рисунка 7 видно, что уравнение f(x)=1 имеет пять корней, f(x) = 3 — два корня, а уравнение f(x)= — 1 — ни одного.

Корни уравнения f (x)=g(x) находятся как абсциссы точек пересечения графиков функций f и g. Например, решая уравнение х3 + 2х — 3 = 0, переходим к уравнению x3 = — 2x + 3. Строя графики функций у=х3 и у=-2х+3, мы убеждаемся (рис. 8, а), что эти графики пересекаются в одной точке (1; 1), т. е. х=1 — корень уравнения.

Решения неравенства f {х)> 0 заполняют те промежутки оси абсцисс, где точки графика функции f лежат выше этой оси. Аналогично решения неравенства f(x)>g(x) заполняют промежутки, где график функции f лежит выше графика функции g.

Пример. Решить неравенство

Переходим к неравенству . Строим графики функций у=х4 и у=-х2+2 (рис. 8,6). Эти графики пересекаются в точках Р1 (— 1; 1) и Р2 (1; 1). Решение исходного неравенства х ⩽  — 1 и х ⩾   1,т. е. объединение промежутков (— ∞ ; — 1 ] и [1; + ∞ ).

Линейная функция и график

Свойства линейной функции:

Определение:

Линейной функцией называется функция вида у = кх+b.

Здесь х — независимая переменная, принимающая произвольные значения (аргумент), у— функция, k и b — параметры. Если параметр k равен нулю, то линейная функция становится постоянной: у = b. В дальнейшем мы часто будем считать, что к ≠ 0.

Прямая пропорциональная зависимость между переменными х и у приводит к простейшей линейной функции y = kx. Перечислим свойства этой функции, считая, что k ≠ 0.

1) Область определения — множество всех вещественных чисел R.

2) Корни — единственный корень x = 0.

3) Промежутки постоянного знака (они зависят от знака параметра k):

а) если k>0, то у>0 при x>0, у<0 при x<0;

б) если k<0, то у>0 при x<0, у<0 при x>0.

4) Экстремумов нет.

5) Промежутки монотонности:

а) если k>0, то у возрастает на всей числовой оси;

6) если k<0, то у убывает на всей числовой оси.

б) Наибольших и наименьших значений нет.

7) Область значений — множество R. (Действительно, уравнение kx = a имеет решение при любом а, следовательно, выражение kx, где к ≠ 0, принимает любое значение.)

8) Функция y = kx нечетная.

Свойства функции y = kx+b (k ≠ 0) могут быть выведены из свойств простейшей линейной функции y =kx с помощью следующего преобразования:

где

Точки х и х — x1 на числовой оси получаются друг из друга сдвигом на x1 (схема III), поэтому графики функций y = kx и y=k(x — x1) получаются друг из друга таким же сдвигом вдоль оси абсцисс. Корень функции «переедет» из точки x = 0 в точку

Аналогичный сдвиг произойдет с промежутками постоянного знака и монотонности. Явление нечетности пропадет, хотя симметрия графика сохранится (теперь центром симметрии будет не точка x = 0, а х = x1).

График линейной функции

Графиком линейной функции у = kх (прямой пропорциональной зависимости между переменными х и у) является прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент k называется угловым коэффициентом этой прямой. Он равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси х, т. е. k = tg а. При положительных k этот угол острый, при отрицательных — тупой. Это соответствует характеру монотонности линейной функции: при k>0 она возрастает, при k<0 убывает. Графиком функции y = kx + b является прямая, параллельная прямой y = kx, сдвинутая вдоль оси х на при k ≠ 0 (схема III).

Для построения графика линейной функции y = kx + b достаточно знать угловой коэффициент k и одну точку, лежащую на графике, т. е. знать значение функции при одном значении аргумента, скажем, у=уо при х = х0. При необходимости из этих данных коэффициент b находят так: y0 = kx0 + b, откуда b=у0 — kx0.

Итак, прямая, имеющая угловой коэффициент k и проходящая через точку (x0; уо), является графиком линейной функции у = kx + b = kx + (yо — kхо). Зависимость y = kx+yo — kxo можно переписать в виде у — у0 = kх — kхо или у — уо = k (х — хо). Последнюю запись называют уравнением прямой с угловым коэффициентом k и проходящей через точку (x0; у0).

Часто прямая задается двумя ее точками Р1 (x1; у1) и Р2 (x2, y2). Угловой коэффициент такой прямой вычисляется по формуле Необходимое для применимости этой формулы условие х1 ≠ х2 геометрически означает, что прямая Р\Р2 не параллельна оси у.

Модуль

Определение:

Модулем числа х (обозначается | х | ) называется расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х (схема IV).

Модуль числа х можно записать формулой

Действительно, возьмем число х и изобразим его точкой М числовой оси. Если х>0, то расстояние \ОМ\ между точками О и М равно х, т. е. | х | =х. Если же x<0, то |ОМ| = — х, т.е. | х | = — х. Если х = 0, то М совпадает с О и верны обе формулы | х | = х и | х | = —х. Поэтому случай х = 0 можно присоединять к любому из двух: х>0 или x<0.

Теорема:

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа.

Доказательство. Возьмем числа х и х1. Обозначим на числовой оси точки, изображающие числа х, x1 и х — x1 через М, М1 и М’ (схема IV). При сдвиге вдоль оси х на х1 точка О перейдет в М1, а точка М’ — в М, т. е. \ОМ’\ = \М1М \ . Так как по определению модуля | ОМ’ | = |x-x1|, то | х—x1 | = |M1M|, что и требовалось доказать. (Обратите внимание на то, что доказательство не зависит от взаимного расположения точек М и М1.)

Заметим, что так как |М1М| = | ММ1|, то |х — х 1|= | x1 — х |. В частности, |— х | = |x|. Легко доказать еще одну полезную формулу:

Модуль разности можно «раскрыть» аналитически:

Простые уравнения и неравенства с модулем удобно решать, используя его геометрический смысл. Приведем примеры решения уравнений и неравенств.

1. |x|=3. Это соотношение геометрически означает, что расстояние от точки х до начала координат равно 3, т. е. х = 3 или х=— 3. Ответ: х=±3 (возможна другая форма записи ответа: x1 = —3, x2= 3).
2. |x+5|=2. Рассматривая |x + 5| как |х —( —5)|, прочтем исходное соотношение так: расстояние от точки х до точки — 5 равно 2. Откладывая на числовой оси от точки —5 отрезок длиной 2 (в обе стороны), получим ответ: x1 = — 7, x2 =—3.
3. |3 —2х| = 1. Сначала делаем преобразования: |3 — 2х | = |2x—3| = откуда

Разделив обе части уравнения на 2, получаем

Используя числовую ось, получаем ответ: x1 = 1, x2 = 2.

1. Задачу решения этого неравенства геометрически можно сформулировать так: найти точки х, расстояния от которых до начала координат меньше или равны 2. Ответ: — 2 ≤ ≤ x ≤ 2, или иначе [ — 2; 2]
2. | — 1—2x| ≥ 3. Делаем преобразования: | — 1— 2x| ≥ 3, . Ответом является объединение двух бесконечных промежутков x ≤ — 2, x ≥ 1 или другая форма записи: (— ∞ ; —2] U [1; + ∞ ).

На рисунке 9 изображены график функции у= |х| и график функции у= |х — х1|, который получается из предыдущего графика сдвигом вдоль оси абсцисс.

Приведем пример построения более сложного графика. 6. Построить график функции у=|x + 2| + | х—2|. Наносим на ось к корни линейных функций, стоящих под знаком модуля: x1 = —2, x2 = 2. На каждом из трех получившихся промежутков числовой оси знаки этих линейных функций постоянны, и мы можем избавиться от знака модуля:

При построении графика надо провести вертикальные прямые х= —2 и х = 2, которые разобьют плоскость на три части. В левой части надо провести прямую у=—2х, в центральной полосе у = 4 и в правой у = 2х (рис. 10). (Для контроля надо следить, чтобы ломаная была непрерывной, т. е. чтобы значения в разделяющих точках излома, вычисленные по соседним формулам, совпадали.) В нашем случае при х= —2 значение функции у = —2х совпадает со значением у = 4 и точно так же при х= 2 совпадают значения функций у = 4 и у = 2х.

Метод интервалов

Неравенства вида f (х)>0, когда функцию y = f (х) можно представить как произведение линейных множителей, можно решать методом интервалов, который состоит в следующем:

1) разложить f (х) на линейные множители;

2) найти корень каждого множителя и нанести все корни на

числовую ось;

3) исследовать знак произведения на каждом из получившихся

отрезков числовой оси (схема III).

При этом полезно использовать следующее правило: если все линейные множители различны (имеют разные корни), то произведение будет менять знак при переходе от одного интервала числовой оси к соседнему (знаки будут чередоваться). Поэтому достаточно определить знак на одном каком-нибудь интервале (обычно это будет крайний правый интервал).

Как применяется это правило, видно из следующих примеров.

1. Решить неравенство (х — 1) (х — 3)>0.

Нанесем на числовую ось точки х1= l и х2 = 3 (корни линейных функций у = х— 1 и у = х — 3). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: (— ∞ ; 1), (1; 3), (3; + ∞ ). На каждом из этих интервалов каждый множитель сохраняет постоянный знак, а при переходе через корень меняет знак один множитель. Начнем с крайнего правого интервала (3; + ∞ ). На нем оба множителя положительны. При переходе (справа налево) через точку х2=3 множитель х-З стал отрицательным и все произведение поменяло знак, т. е. стало отрицательным. При переходе через точку х1 = 1 поменял знак первый множитель и все произведение стало положительным. Результат исследования знаков отражен на рисунке 11. Ответом будут промежутки (— ∞ ; 1), (3; + ∞ ). Иначе можно записать: х<1, х>3.

2. Решить неравенство

Нанесем на числовую ось корни соответствующих линейных функций, т. е. точки —1; 0; 1; 5, которые разбили числовую ось на пять интервалов. Распределение знаков дроби на этих интервалах изображено на рисунке 12. Ответ можно записать так: (—1; 0), (1; 5), или —1<х<0, 1<х<5.

Иногда для применения метода интервалов приходится раскладывать на множители левую часть неравенства, с тем чтобы записать ее в виде произведения или частного двучленов вида х — а.

3. Решить неравенство

Преобразовав левую часть: получим Корни линейных функций: х1= — 2, х2=1 хз =

Ответ: ( — ∞ ; — 2), (1;) .

При решении нестрогих неравенств вида f (х) ≥ 0 или f(х) ≤ 0 надо включать в множество решений точки, являющиеся корнями линейных функций, стоящих в числителе.

4. Решить неравенство

Перепишем неравенство в виде

Нанесем на числовую ось точки

Ответ:

Существенной чертой метода интервалов является разбиение числовой оси на участки и рассмотрение данной функции отдельно на каждом участке. Это же обычно приходится делать, когда нужно «раскрыть модули».

5. Построить график функции

Выясним сначала, при каких х выполняется неравенство х2 — 4 ≥ 0. Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим два луча х ≥ 2 и х ≤ — 2.

При этих х выражение под знаком модуля неотрицательно, поэтому, раскрывая модуль, получим, что при этих х

При остальных х, т. е. при —2<х<2, выражение под знаком модуля отрицательно. Поэтому здесь у=—(х —4) + х2 = 4. Итак, на интервале ( — 2; 2) данная функция совпадает с функцией у —4, а на промежутках (— ∞ ; —2] и [2; +∞ ) — с функцией у=2х2-4 (рис. 13).

При разложении левой части неравенства могут встретиться одинаковые множители. Если этих множителей четное число, при переходе через их общий корень произведение не будет менять знак. Если же число одинаковых множителей нечетно, то знак будет меняться. Множители в четной степени, хотя они и не влияют на знак всего выражения, отбрасывать нельзя, так как при этом потеряется точка, в которой этот множитель обращается в нуль.

Приведем пример.

6. Решить неравенство

Нанесем на числовую ось х1 = — 1, х2 = 1, Хз = 2 и определим знаки дроби на каждом промежутке (рис. 14). Ответ: [—1; 1), (1; + ∞ ).

Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций — это термин, используемый в школьной программе для обозначения линейных преобразований функции или её аргумента

Параллельный перенос

Зависимости между переменными величинами описываются с помощью функций. Основные свойства этих функций не должны существенно меняться при изменении способа измерения переменных величин, т. е. при изменении их масштаба и начала отсчета. С другой стороны, за счет более рационального выбора способа измерения переменных величин обычно удается упростить запись зависимости между ними, привести эту запись к некоторому стандартному виду. На геометрическом языке изменение способа измерения величин означает некоторые простые преобразования графиков, к изучению которых мы и переходим.

Изменение начала отсчета переменных приводит к параллельному переносу. Возьмем переменную х и перенесем начало ее отсчета в точку х0. Новую переменную обозначим через х’. Связь между переменными х и х’ записывается формулой х’=х—x0, или x=x’+x0. Чтобы не ошибиться в знаке, полезно убедиться в том, что значению исходной переменной х=х0 соответствует нулевое значение переменной х’. Аналогично, сдвигая на у0 значения переменной у, получим переменную у’, связанную с у формулой у’=у — у9, или у = у’+уо. Геометрически точки М(х; у), М'{х’; у’) и М0 (х0; уо) связаны векторным соотношением =

Установим связь между графиками функций y==f(x) и у = =f(x — a). Если мы обозначим х — а через х’ (т. е. если мы сдвинем начало отсчета аргумента в точку а), то получим соотношение y = f{х’). Это означает, что для построения графика функции y = f(x — a) надо изобразить график исходной функции

0 (х0; уо) связаны векторным соотношением ОМ’ =

=ОМ + ММ’, или ОМ == ОМ’ —ММ’ (рис. 15).

Установим связь между графиками функций y=f(x) и у =f(x — a). Если мы обозначим х — а через х’ (т. е. если мы сдвинем начало отсчета аргумента в точку а), то получим соотношение y = f{х’). Это означает, что для построения графика функции y = f(x — a) надо изобразить график исходной функции

в системе координат (х’; у), т. е. сдвинуть график функции y=f(x) на вектор (а; 0). Так как переменная у не меняется, то сдвиг происходит вдоль оси х (рис. 16, а).

Этим способом мы уже пользовались при сравнении графиков функций y = kx и y = kx+b.

Аналогично график функции y =f(x)+b связан с графиком функции у—f (х). Обозначив у—b через у’, получим y’=f(x). Это означает, что для построения графика функции у=f(х)+b надо изобразить график исходной функции f в системе координат (х; у’), т. е. сдвинуть график функции y = f(x) на вектор (0; b). При этом происходит параллельный перенос вдоль оси у (рис. 16,6).

Иногда приходится менять начало отсчета одновременно и у аргумента х и у функции у, т. е. рассматривать зависимость вида

y = f(x — a) + b (или y — b = f(x—a)). При построении графика функции y = f {х — a)+b надо сделать два параллельных переноса на векторы что можно заменить одним параллельным переносом на вектор (рис. 16, в). При этом точка (xо; уо) графика функции f (х) переходит в точку (х0 + а; y0 + b) графика функции y = f (х-а)

Примеры построения графика с помощью параллельного переноса приведены на рисунке 17.

Изменение масштаба

Изменим масштаб измерения величины х. Результат измерения в новом масштабе обозначим через х’. Чтобы найти связь между значениями х и х’, достаточно знать, какое значение переменной х’ соответствует единице масштаба переменной х. Пусть это значение равно k. Тогда все другие значения переменной изменятся пропорционально, т. е. или x’ = kx (проверим, что при х= 1 значение х’ равно k).

Отсюда следует связь между графиками функций y = f(x) и y = f (kx)=f (х’), где x’ = kx: график функции y = f (kx) получается из графика функции у = f{х) некоторым растяжением или сжатием вдоль оси х. При k>l происходит сжатие графика, так как х’ = 1 получается при и точка на исходном графике, соответствующая аргументу, равному 1, соответствует точке нового графика при Аналогично при 0<k< 1 происходит растяжение графика.

Связь между графиками функций y = f(х) и y = kf(x) устанавливается аналогично. Только теперь надо менять масштаб измерения у:

Ситуация стала противоположной — при k> 1 происходит растяжение графика вдоль оси у, а при 0<k<l—его сжатие.

Поведение графика при изменении масштаба изображено на рисунке 18.

В преобразованиях y=f(kx) и y=kf(x) мы считали, что k > 0. Чтобы включить и случай k<0, рассмотрим сначала k= — 1. Так как точки (х; у) и ( — х; у) симметричны относительно оси у, то и графики функций y=f(x) и y=f(—x) симметричны этой оси. Аналогично графики функций y=f(x) и у = — f (х) симметричны относительно оси х (рис. 19).

Пользуясь тремя типами преобразований графиков — параллельным переносом, растяжением (сжатием) и симметрией, можно, исходя из графика функции y=f (х), построить график функции y=Af(kx+b) + B при любых значениях параметров А, В, k, b.

Рассмотрим примеры.

1. Построить график функции

Преобразуем правую часть: т. е.

Отсюда ясно, какие преобразования надо сделать со знакомым графиком , чтобы построить

требуемый график. Сначала сделаем отражение относительно оси х, получим график функции .

Затем растянем график по оси у, получим график функции Наконец, сделаем параллельный перенос с помощью вектора с координатами ( — 2; 1), получим график функции (рис. 20).

Аналогично можно построить график любой дробно-линейной функции, т. е. функции вида Сначала ее преобразуют к виду , затем строят «крест» — прямые х=хо и у=уо, а потом гиперболу располагают в первом—третьем или втором — четвертом квадрантах в зависимости от знака k. Значение k учитывают при нанесении на график двух-трех контрольных точек.

2.Построить график функции у= \х2+х\ — 2. Сначала строим параболу — график функции у = х2 + х. Абсцисса вершины этой параболы ордината корни х, = — 1, х2 = 0. Далее строим график у=|х2 + х|, для чего точки графика функции у=х2+х лежащие ниже оси абсцисс (у них у<0), симметрично отражаем относительно этой оси (так как \у\ = — у при у<0). Затем сдвинем на две единицы вниз (у0 =—2) весь график (вдоль оси у) и получим искомую кривую (рис. 21)

Квадратичная функция

В качестве примера использования техники преобразования графиков получим свойства произвольной квадратичной функции, исходя из свойств простейшей функции у=х2.

Пусть у = ах2+Ьх + с, а ≠ 0. Выполним преобразование квадратного трехчлена, которое называется выделением полного квадрата:

Парабола получается из параболы у = х2 параллельным переносом на вектор с координатами и последующим растяжением вдоль оси у. Графики квадратичных функций при различных знаках старшего коэффициента а и дискриминанта D = b2 — 4ac изображены на схеме V.

Сопоставим основные характеристики функций у = х2 и у = ах2 +bх +с.

Промежутки постоянного знака и промежутки монотонности квадратичной функции зависят от знака чисел а и D = b2 — 4ас (схема V).

Температурная шкала:

Ярким примером использования преобразований координат служат температурные шкалы и графики зависимостей различных физических величин от температуры. В практической жизни мы измеряем температуру по шкале Цельсия, в которой за начало отсчета принята точка плавления льда, а масштаб (1°С) выбран так, чтобы вода кипела в точке 100°. В некоторых странах температуру измеряют с помощью других шкал. Например, в названии книги американского писателя Р. Бредбери «451° по Фаренгейту» нам не сразу ясно, о какой температуре идет речь. Для’ этого надо суметь перевести градусы по Фаренгейту в градусы по Цельсию. Как записать этот перевод на язык формул? Достаточно знать, что по шкале Фаренгейта точка плавления льда равна 32°, а точка кипения воды 212°. Как видите, при переходе от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта не только сдвигается начало отсчета, но и меняется масштаб—на 100° по Цельсию приходится 212° — 32°== 180° по Фаренгейту. Можно сказать, что шкала измерения температуры по Фаренгейту растянута по сравнению со шкалой Цельсия в 1,8 раза, а начало отсчета сдвинуто на 32°. Поэтому связь между температурой tf по Фаренгейту и температурой tc по Цельсию выразится формулой tf= 1,8 ⋅ tс + 32. (Для проверки подставьте точки плавления льда и кипения воды.)

Ясно, что, изучая другие переменные, связанные с температурой (например, давление тела), надо уметь строить графики независимо от того, в какой шкале измеряется температура. Например, если нам известна зависимость p = f (tF) давления р от температуры по Фаренгейту tF, то эта же зависимость р как функция температуры tс, измеряемая по Цельсию, будет иметь вид p=f(l,8fc+32).

Кроме рассмотренных температурных шкал Цельсия и Фаренгейта, используются шкалы Кельвина (абсолютная шкала) и Реомюра. Ниже в таблице приведены различные температуры в четырех шкалах, обозначенных первыми буквами С, F, К, R (измерения произведены с точностью до единицы). Используя таблицу, решите следующие задачи:

а) Выразите единицу температуры в шкалах F, К и R через градус Цельсия (с точностью до 0,1).

б) Считая, что температура человеческого тела в градусах Цельсия равна 37, вычислите ее в других шкалах.

в) Составьте формулы, выражающие температуру в шкалах Кельвина и Реомюра через температуру по Цельсию.

г) Зная формулы перехода от температуры по Цельсию к температуре по Фаренгейту и Реомюру, составьте формулу перехода от шкалы Фаренгейта к шкале Реомюра (не используя больше таблицу).

д) Сколько чисел в таблице (и каких) достаточно оставить, чтобы можно было восстановить все остальные?

Измерение величин

Важнейшее назначение числа — измерять величины, служить мерой сравнения их значений. Приведем примеры различных величин, которые можно измерять с помощью чисел: длина,

масса, объем, скорость прямолинейного движения, температура, энергия, электрический заряд, производительность труда, стоимость продукции, национальный доход.

Выберем одну из этих величин, например длину, и попробуем более подробно описать процесс ее измерения. Измерение начинается с выбора масштаба, единицы измерения. Будем измерять длины отрезков, расположенных на заданной прямой. За единицу длины примем длину некоторого фиксированного отрезка е.

Рассмотрим произвольный отрезок а. Возможны следующие случаи:

1) Отрезок е укладывается в отрезке а ровно n раз, где n — натуральное число (рис. 22, а). В этом случае отрезку а приписывают длину, равную n (в масштабе е).

2) Отрезок в не укладывается целое число раз, однако существует такой отрезок b, который укладывается целое число как в отрезке е, так и в отрезке а (рис. 22,6). Если b укладывается в е ровно n раз, а в отрезке а ровно m раз, то отрезку а приписывают длину, равную рациональному числу (в масштабе е). В этом случае говорят, что отрезок а соизмерим с единичным отрезком е, а отрезок b называют общей мерой отрезков а и е. Заметим, что выбор общей меры соизмеримых отрезков неоднозначен, например, половина или треть отрезка b также является общей мерой отрезков а и е. Эта неоднозначность сказывается на неоднозначности записи рационального числа в виде . Так, записи и т. д. являются разными записями одного и того же рационального числа.

3) Отрезки а и е не имеют общей меры, несоизмеримы. Открытие древнегреческими математиками существования несоизмеримых отрезков (диагональ квадрата несоизмерима с его стороной) является одним из самых замечательных открытий математики. Можно предложить различные бесконечные процедуры измерения отрезка а в масштабе е. Наиболее известная процедура, связанная с десятичной системой счисления, состоит в следующем. Сначала находится, сколько раз масштаб укладывается в измеряемом отрезке, скажем ао (число а0 может равняться нулю, если отрезок а меньше, короче, отрезка е). Затем берется одна десятая отрезка е и откладывается в том остатке, который получился после откладывания отрезка е в исходном отрезке а0 раз. Пусть a1 — максимальное число раз, которое одна десятая е откладывается в этом остатке (а1 равно 0, 1, 2, …, 9). Затем берется одна сотая отрезка е и откладывается в новом остатке и т. д. Так получается последовательность а0, a1, а2, в которой а0 — целое число, а числа а1, а2, … могут принимать значения 0, 1, 2, …, 9. Эта последовательность, называемая бесконечной десятичной дробью (и записываемая а0, а1а2…), представляет собой запись процесса измерения длины отрезка а (в масштабе е) с помощью десятичных дробей.

Считая, что результатом измерения длины является вещественное (или действительное) число, получаем, что это число мы можем записать в виде бесконечной десятичной дроби (а можем записать и иначе). Длины отрезков, соизмеримых с масштабом, т. е. рациональные числа, тоже имеют запись в виде бесконечных десятичных дробей. Оказывается, что рациональные числа — это такие вещественные числа, которые записываются периодическими десятичными дробями.

Диагональ квадрата (если за единицу масштаба принята его сторона) можно записать непериодической бесконечной десятичной дробью, начало которой таково: 1,414213… . Непериодические десятичные дроби являются записью чисел, называемых иррациональными.

Величины, которые можно измерить аналогично измерению длин отрезков, называют положительными скалярными величинами. Полученное в результате измерения вещественное число называют значением (или мерой) этой скалярной величины (в выбранном масштабе). Приписывание знака « + » или « —» позволяет измерять относительные скалярные величины (например, температуру, скорость прямолинейного движения, рост производительности труда и т. п.).

Развитие понятия функции

Хотя конкретные функции использовались в математике еще в глубокой древности, потребность в общем понятии возникла лишь в XVII в. в связи с развитием методов математического анализа. Сам термин «функция» впервые применил Лейбниц, а его ученик И. Бернулли в 1718 г. дал определение, близкое тому, которым мы сейчас пользуемся: «Функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из переменной величины и постоянных».

Хотя в определении И. Бернулли и содержатся слова «каким угодно способом…», математика XVII в. еще не была готова к тому смыслу этих слов, который сейчас мы в них вкладываем. В 1748 г. Л. Эйлер пишет о способе задания функции уже более определенно: «Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменной величины и чисел или постоянных величин».

Мысль о том, что функция однозначно связывается с аналитической формулой, задающей способ вычисления ее значений, привела уже в середине XVII в. к знаменитому спору ряда крупных математиков (среди которых был и Л. Эйлер) о том, что можно считать функцией, а что нельзя. Этот спор не был схоластическим. Он возник из различных решений важной практической задачи о форме колебаний струны и в конце концов значительно расширил понятие функции, привел к открытию новых важных способов ее задания (например, в виде наложения бесконечного количества колебаний).

Дальнейшее развитие математики показало, что нельзя ограничиться лишь какими-то «просто» описываемыми способами задания функций, гораздо полезнее допустить любой мыслимый способ соответствия между переменными. Это привело в начале XX в. к отчетливым формулировкам понятия функции как отображения, которое позволяет каждому элементу данного числового множества однозначно поставить в соответствие некоторое другое число.

Такое понимание функции, распространенное к тому же не только на числа, но и на множества произвольных объектов, сильно обогатило возможности математики. Одновременно было придумано много функций, настолько непохожих по свойствам на те функции, которые встречались раньше, что к ним оказались неприменимы классические методы математического анализа. Поэтому стало важным выделять функции, «достаточно хорошие» с той или иной точки зрения. Примером являются непрерывные функции, о которых мы скажем немного ниже.

Развитие вычислительной техники и ее математического обеспечения привело к изменению взгляда на функцию в другом направлении. Машина может иметь дело с функцией лишь тогда, когда способ вычисления ее значений задан точным предписанием, алгоритмом.

Сложная функция

Чаще всего мы будем встречать функции, заданные формулой. Как мы уже объясняли в основном тексте, формула строится путем последовательного выполнения различных известных операций над аргументом и постоянными числами. Эта процедура может быть уточнена с помощью понятия сложной функции.

Пусть даны две функции z=f (у) и y = g{x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h (х), значения которой вычисляются по правилу h {x) = f (g (х))

(т. е. сначала вычисляется g (х), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение f в точке у).

Со сложными функциями мы, разумеется, встречались и раньше. Так, функцию можно рассматривать как композицию функций

Для вычисления значений сложной функции надо суметь разобраться в последовательности производимых операций, т. е. представить сложную функцию как композицию более простых. При этом встречается несколько трудностей. Первая из них связана с обозначениями. В приведенном выше определении использованы три переменные: х, у и z. Ясно, что если у есть функция от х, a z есть функция от у, то z можно рассматривать как функцию от х. Однако часто приходится составлять сложную функцию из двух функций, обозначенных одной и той же переменной.

Скажем, как составить композицию функций или в общем виде y = f(x) и y = g(x)? Для этого надо уточнить порядок, в котором вычисляются значения данных функций: например, сначала g, а затем f или, наоборот, сначала f, а затем g. Для приведенного примера мы получим две различные функции: , а в общем виде y = f(g(x)) и y=g(f(x)).

Для записи композиции функций употребляется значок Например, запись h=f ° g означает, что функция h получена как композиция функций f и g (сначала применяется g, а затем f, т. е. ( f ° g ) (x)=f (g (x))). Как показывает приведенный выше пример, операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: f ° g ≠ g ° f.

Другая трудность в обращении со сложными функциями состоит в том, что при этом необходимо следить за областями определения. Чтобы можно было вычислить сложную функцию h= f (g (х)), надо, чтобы число g (х), т. е. значение функции g, попадало в область определения функции f. Так, вычисляя значения функции мы должны брать только те числа х, для которых 1— х2 ≥ 0, т. е. те, для которых число 1—х2 попадает в область определения функции

Неявное задание функции

Исторически одним из основных источников появления новых функций было решение геометрических задач. Исходным объектом в этих задачах была кривая. Первое употребление Лейбницем слова «функция» было связано с тем, что он хотел в общем виде рассматривать различные геометрические объекты, связанные с кривой (абсцисса и ордината точки, различные отрезки касательных и т. д.), как переменные, зависящие друг от друга.

Кривая, построенная на координатной плоскости (х; у), может быть задана уравнением, связывающим координаты точек кривой. Уравнения некоторых кривых вам уже известны:

y = kx+b — уравнение прямой,

ху = с — уравнение гиперболы.

у = ах2 — уравнение параболы.

На рисунке 23 изображено еще несколько кривых, заданных своими уравнениями:

х2+у2=1 —уравнение окружности (рис. 23, а),

|х|+|y| = l — уравнение квадрата (рис. 23,6),

— уравнение астроиды (рис. 23, в).

(Астроида — это траектория движения точки колеса радиуса которое катится внутри обода радиуса 1.)

Как известно, уравнение кривой определяет зависимость между координатами ее точек. При таком подходе обе координаты рассматриваются как равноправные. Однако часто нужно рассматривать одну координату как функцию другой. Тогда говорят, что уравнение кривой задает эту функцию неявно. Чтобы сделать задание функции явным, надо из уравнения кривой выразить одну координату через другую. В приведенных нами уравнениях прямой и параболы переменная у с самого начала выражена явно как функция от переменной х. Из уравнения гиперболы каждая из переменных легко выражается как функция другой: и

Из уравнения прямой (если k ≠ 0) также легко выразить х через у, получив

Рассмотрим другие случаи. Что препятствует тому, чтобы, скажем, выразить из уравнения окружности у как функцию от х? Поставим этот же вопрос геометрически: почему окружность нельзя рассматривать как график некоторой функции? Вспомним, как строится график функции. Для каждого числа х из области определения строится одна точка с координатами (х; f (х)), т. е. прямая, проведенная через каждую точку х на оси абсцисс параллельно оси ординат, пересекает график ровно в одной точке. Это условие не выполняется для окружности, квадрата, астроиды.

Из затруднения можно выйти следующим образом: рассматривать не всю кривую, а только ее часть. Например, можно взять не всю окружность, а только ее половину, лежащую в верхней полуплоскости. Аналитически это означает, что у ≥ 0, и теперь можно (однозначно) выразить у как функцию от х так: .

Задача выражения одной переменной из уравнения кривой как функции от другой не всегда может быть решена элементарными средствами.

Часто возникает задача выразить из соотношения y = f(x) переменную х как функцию от у, т. е. для функции f построить обратную функцию. С этой задачей мы столкнемся в следующих главах.

Монотонность функции

Уточним понятие монотонности функции. При грамотном использовании терминов «возрастание» и «убывание» функции надо обязательно указывать, на каком участке изменения аргумента рассматривается монотонность функции.

Рассмотрим функцию f и некоторый промежуток, целиком входящий в область определения функции f. Обозначим выбранный промежуток одной буквой, например А. Напомним определение монотонной функции.

Определение:

Функция f называется возрастающей (убывающей) на промежутке А, если для любых двух чисел х1 и х2 из этого промежутка, таких, что x1<x2, выполняется условие f (x1)<f (х2))(соответственно f (x1)>f (х2)).

Символически определение возрастания функции может быть записано так: Символ ⇒ мы будем использовать для обозначения условного утверждения: если…, то… .

Пользуясь определением монотонности и свойствами неравенств, докажите самостоятельно следующие утверждения:

1. Функция у=2х является возрастающей на всей числовой оси (и, разумеется, на каждом ее промежутке).
2. Функция у = Зх2 является убывающей на промежутке (— ∞ ; 0] и возрастающей на промежутке [0; + ∞ ).
3. Функция является убывающей как на промежутке (— ∞ ; 0), так и на промежутке (0; + ∞ ).

Подчеркнем еще раз, что мы будем говорить о монотонности функции только на промежутке, целиком входящем в ее область

определения. Поэтому нельзя сказать в целом о функции , что она монотонна, хотя она убывает на каждом промежутке, где она определена.

Все функции, с которыми мы будем в дальнейшем встречаться, «склеены» из функций, монотонных на промежутках. Иначе говоря, мы будем изучать такие функции, область определения которых можно разбить на промежутки, на каждом из которых функция монотонна.

Разберемся в том, что может происходить при «склеивании» функций, монотонных на двух стыкующихся между собой промежутках А и В.

Все интересующие нас случаи представлены на рисунках 24 и 25. Прежде всего наглядно видна разница между двумя группами графиков.

Все функции, изображенные на рисунке 24, определены в точке стыковки промежутков А и В. Кроме того, графики этих функций не имеют разрывов в отличие от графиков, изображенных на рисунке 25.

Ситуация, изображенная на рисунке 24, ясна. В случаях «а» и «б» промежутки А и В надо объединить. Функция останется монотонной на полученном промежутке. В случае «в» возрастание функции на промежутке А сменяется убыванием на промежутке В. В точке стыковки функция имеет максимум. Аналогично в случае «г» в точке стыковки функция имеет минимум.

Во всех случаях, изображенных на рисунке 25, функция имеет разрыв в точке стыковки промежутков монотонности. Такая точка является исключительной, или, как говорят, особой точкой. Поведение функции вблизи особой точки может быть различным, как это видно из рисунка. При построении графиков функций особые точки придется исследовать отдельно.

Непрерывность функции

Вернемся к рисунку 25. На нем были изображены графики функций, которые мы назвали разрывными. Попробуем более точно описать, что такое непрерывная функция.

Если в данной точке у функции разрыв, то это означает, что при маленьком изменении аргумента значение функции совершит скачок. Наоборот, функция непрерывна в данной точке, если при маленьком изменении аргумента мало будут меняться ее значения.

Как сопоставить приведенное определение непрерывности с интуитивным представлением о непрерывной функции как о функции, график которой можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги? Прежде всего это легко сделать для монотонной функции.

Пусть функция f монотонна (например, возрастает) на конечном промежутке [а; b]. Пусть f(a) = c и f(b) = d. Непрерывность функции f означает, что при изменении аргумента от а до b она принимает без пропусков все промежуточные значения от с до d. Разрывность монотонной функции означает наличие скачков, пробелов, пропусков среди ее значений (рис. 26).

Это означает, что для монотонной функции за определение непрерывности может быть взято следующее ее свойство: монотонная функция непрерывна, если она принимает все промежуточные значения.

Сложнее обстоит дело с точками стыковки. Прежде всего в точке стыковки двух промежутков монотонная функция может быть не определена. Разумеется, говорить о непрерывности в такой точке нельзя. При этом может быть так, что функцию можно «доопределить» в этой точке, после чего она станет непрерывной. Типичным примером такой ситуации может служить функция

Она не определена при x = 1, но если дробь сократить, то получится х+1. Поэтому если положить значение у при х=1 равным 2, то определенная таким образом функция будет непрерывной в каждой точке числовой оси.

Функция не определена при х=0. Однако, как бы мы ни определяли ее значение в этой точке, она не может быть непрерывной. То же самое можно сказать и о функции y=f(x), где f(x)= — 1 при х<0 и f(x)=l при х>0. Однако по рисунку ясно, что эта функция и функция ведут себя вблизи нуля по-разному. Чтобы различить эти случаи, говорят о «конечном» и «бесконечном» разрывах.

Мы не даем точного определения этих терминов, считая, что смысл слов «конечный разрыв» и «бесконечный разрыв» ясен из приведенных примеров.

Пусть функция f монотонна и непрерывна на отрезке [а; b]. Как мы уже сказали, это означает, что она принимает все промежуточные значения. Отсюда следует, что если на концах отрезка функция f принимает значения разных знаков, то в некоторой точке с она обращается в нуль (рис. 27). Это свойство непрерывной функции часто будет использоваться при решении уравнений с помощью графика.

Понятие функции и ее графика в высшей математике

Напомним основные сведения о числовых функциях, известные из предыдущих классов. Начнем с определения функции.

Если каждому числу х из числового множества D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция.

Множество D называют областью определения функции, х— аргументом функции.

Функцию обычно обозначают буквой f. Тот факт, что числу х поставлено в соответствие число у, записывают так: у = f(x). Переменную у часто опускают и говорят: задана функция , lgx и т. п. Вместо буквы f можно употреблять любую другую букву.

Напомним, что нет никаких ограничений на способ, которым установлено соответствие между переменными х и у. Чаще всего это соответствие устанавливается при помощи формул: и т.п.

Но бывают и более сложные случаи задания функции, когда на разных частях области определения функция задается разными формулами. Например:

или

Функция может быть задана и словесным описанием. Например, функция [х] есть целая часть числа х. Напомним, что [х]=n для всех х, удовлетворяющих неравенству где n — целое число.

Иногда функции задаются при помощи рисунка. Например, для каждого числа х > 0 можно рассматривать площадь фигуры, заштрихованной на рис. 1. Эго функция от х. Ее обыкновенно обозначают через 3, а ее значение в точке х обозначают S(х). Из рисунка видно, что S(1) = 1, a S(2) = 2,5.

Приведенные примеры задания функции никоим образом не исчерпывают всего разнообразия возможностей, с которыми вы будете встречаться при дальнейшем обучении.

Область определения функции — множество D — тоже может быть весьма произвольна. Простейшие области определения: отрезок — множество чисел x, удовлетворяющих неравенству , и множество внутренних точек этого отрезка — интервал ]а; b[—

множество чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х < b. Числа а и b называются концами отрезка и интервала: а — левым, b — правым. На числовой оси отрезок и интервал принято обозначать так, как это показано на рис. 2 и 3. Кроме отрезков и интервалов часто еще говорят о полуотрезках (или полуинтервалах) и Это множество чисел х, удовлетворяющих неравенству или соответственно. На рис. 4 и 5 приведено их изображение на числовой прямой.

Общее название для перечисленных выше множеств — промежуток. Число b — а называется длиной такого промежутка.

Еще рассматриваются бесконечные промежутки — лучи, или полупрямые:

— множество чисел х, удовлетворяющих неравенству

— множество чисел х, удовлетворяющих неравенству

—множество чисел х, удовлетворяющих неравенству

— множество чисел х, удовлетворяющих неравенству и прямая:

— множество всех действительных чисел. Графиком функции f называется множество точек на плоскости с координатами (х; f(х)), где х — любое число из области определения этой функции (рис. 6).

График дает наглядное представление о рассматриваемой функции. Вы уже знакомы с графиками простейших функций: графиком линейной функции у = kx + b является прямая (рис. 7); графиком обратной пропорциональности является гипербола (рис. 8, на рисунке m > 0). Графиком квадратного трехчлена или квадратичной функции

является парабола (на рис. 9 приведен график функции ).

Построим график функции у = |х | — целая часть х. Построение проводится по полуинтервалам в соответствии с определением функции «целая часть». Пусть х удовлетворяет двойному неравенству (т. е. принадлежит полуинтервалу [0; 1[). Тогда целая часть х равна 0, т. е. y=[xl = 0.

На рис. 10 эта часть графика изображена отрезком оси абсцисс, правый конец которого помечен светлым кружком. Этот кружок на графике говорит о том, что [1] 0. Далее рассмотрим числа х, удовлетворяющие двойному неравенству (т. е. из полуинтервала (1; 2[). Для них целая часть равна I, т. е. у = [х] = 1. Следовательно, над этим полуинтервалом график функции [х]—горизонтальный отрезок со светлым кружком в точке (2; 1).

Рассматривая х, удовлетворяющие двойному неравенству (т. е. из полуинтервала [-1; 0[), и замечая, что для них целая часть равна -1, получаем график [х| над этим полуинтервалом — горизонтальный отрезок со светлым кружком в точке (0; —1). Подобным образом, перебирая последовательно полуинтервалы с целыми концами, продолжаем строить график.

Изменение функции

В более сложных (по сравнению с предыдущим пунктом) случаях график функции f обычно строят так: наносят на плоскости точки с координатами где числа произвольно выбраны из области определения функции f (график которой мы хотим построить), а Таким образом, построенные точки лежат на графике рассматриваемой функции. После этого проводят через отмеченные точки линию (рис. 12 и 13). Ее считают схематическим изображением искомого графика. Однако при этом ряд важных особенностей

графика функции может быть утерян или искажен (рис. 14, 15 и 16). Рассмотрим некоторые из этих особенностей.

Функция f называется возрастающей на промежутке, если для любых и этого промежутка из неравенства следует неравенство Можно сказать, что график возрастающей функции идет «снизу вверх» при движении слева направо (рис. 17).

Функция f называется убывающей на промежутке, если для любых и этого промежутка из неравенства следует неравенство Можно сказать, что график убывающей функции идет «сверху вниз» при движении слева направо (рис. 18).

Экстремум функции

Кроме промежутков возрастания и убывания для графика функции существенно указать точки экстремума. Дадим их определение.

Точка называется точкой максимума функции f, если можно указать такой интервал ]а; b[, содержащий эту точку , что

для всех из ]а; b[.

Можно сказать, что точка максимума функции есть «самая высокая» точка части графика, функции, расположенной над интервалом ]а; b[

(рис. 27). Например, общая граница между интервалом возрастания и интервалом убывания есть точка максимума. Точка называется точкой минимума функции f, если можно указать такой интервал ]а; b[, содержащий точку , что для всех из ]а; b[.

Можно сказать, что точка минимума функции есть «самая низкая», точка на части графика функции, расположенной над интервалом ]а; b[ (рис. 28). Например, общая граница между интервалом убывания и интервалом возрастания есть точка минимума.

Общее название для точек максимума и минимума — точки экстремума.

Приращение аргумента и приращение функции

Далее мы часто будем иметь дело с разностью значений аргумента и разностью соответствующих значений функции. Для этих разностей введены специальные обозначения и названия.

Рассмотрим функцию Ее график изображен на рис. 35. Значение функции в точке 2 равно 8:

Продвинемся вправо от точки 2 по оси абсцисс на расстояние, равное 0,2 единицы. Мы окажемся в точке 2,2. В этом случае говорят, что аргумент функции получил в точке 2 приращение 0,2. Приращение аргумента в точке х — это разность двух его значений = 2,2 и х = 2 (рис. 36). Пишут:

т. е. 2,2 — 2 = 0,2.

Здесь греческая буква (дельта прописная) применена для обозначения приращения аргумента. Не следует забывать, что — это одно целое выражение, а не произведение «дельты» на «икс».

Приращение аргумента иногда обозначают буквой h. В нашем примере h = 0,2.

Можно продвинуться от точки 2 влево на 0,2 единицы, тогда мы окажемся в точке 1,8 (рис. 37). Приращение аргумента теперь будет отрицательным:

= — 0,2; h = — 0,2.

Итак, приращением аргумента в точке х называют разность двух значений аргумента — х обозначают через h или (читается: «дельта икс»). Таким образом,

и
или
и

Приращением функции f в точке х, соответствующим приращению аргумента называют разность Приращение функции обозначают или короче и читают: «дельта эф от икс», «дельта эф» или «дельта игрек». Таким образом,
и
или
и
или
и

На рис. 38 отмечены приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Например, если приращение аргумента функции f(х) = в точке х обозначим через h, то

Непрерывность функции

Наглядное представление о непрерывности функции: Вы уже умеете строить графики некоторых функций, например у = 2 — х (рис. 43) или у = — 2х (рис. 44). Обратим сейчас основное внимание

в этих графиках на то, что их можно нарисовать, не отрывая карандашa от бумаги — одним непрерывным движением. Поэтому говорят, это непрерывные функции. А вот график функции (рис. 45) или (рис. 46) так нарисовать нельзя — нарисовав левую часть графика, придется оторвать карандаш от бумаги, чтобы нарисовать

правую часть. Про такие функции говорят, что они разрывны. В приведенных примерах точка нуль является точкой разрыва.

Функция (целая часть х, см. рис. 10) имеет разрывы при всех целых значениях аргумента х, а во всех остальных точках эта функция непрерывна.

Мы будем изучать описанное выше свойство непрерывности функции или его отсутствие, т. е. разрыв.

Упражнения 53 и 54 , иллюстрирующие непрерывность или разрывность функции, приведены в конце этого пункта.

Рассмотрение графиков непрерывных функций приводит нас к следующей характеристике непрерывности функции: малому изменению аргумента (т. е. малому ||) соответствует малое изменение функции (т. е. малое ||).

Можно сформулировать свойство непрерывности функции и так: если то и точность второго равенства может быть сделана как угодно большой за счет повышения точности первого равенства (рис. 47).

Рассмотрим, например, как будет меняться соответствующее приращение функции в точке 4, если уменьшить приращение в этой точке.

Пусть = 0,3, тогда а приращение функции в точке 4, соответствующее приращению аргумента 0,3, будет равно

Посмотрим, как изменится приращение функции при уменьшении приращения аргумента. Например, возьмем = 0,2 и = 0,1. Соответственно получим и

Ниже приводится сводная таблица изменения приращения аргумента и соответствующего изменения приращения функции:

Если процесс уменьшения || продолжить (в таблице это отмечено многоточием), то заметим, что при уменьшении || уменьшается и ||. Отсюда напрашивается вывод: функция в точке 4 непрерывна.

Разберем пример разрывной функции. Функция у = {х} = х — [х] (дробная часть х, рис. 48) имеет разрывы при всех целых значениях аргумента х, а во всех остальных точках эта функция непрерывна. Составим для этой функции таблицу приращений аргумента и соответствующих значений приращений функции в точке 3:

Из верхней половины таблицы видно, что при неограниченном уменьшении положительных приращений аргумента неограниченно уменьшается и соответствующее приращение функции. Может показался, что функция непрерывна в точке 3. Но, рассмотрев нижнюю половину таблицы, мы видим, что при уменьшении приращения аргумента (по абсолютной величине) приращение функции не уменьшается, а увеличивается. По графику (рис. 48) ясно видно, в чем здесь дело: от приближения аргумента слева к точке 3 мы не приближаемся к значению функции 0 в этой точке, а удаляемся от него, приближаясь к значению 1. Итак, при приближении аргумента слева к точке 3 соответствующее значение функции приближается к 1, а при приближении аргумента справа к точке 3 соответствующее значение функции приближается к 0 — значению функции в точке 3.

Получаем вывод: функция у = {х} разрывна в точке 3. Эта функция разрывна и при любом целом значении аргумента х. По графику (рис. 48) видно, что в этих точках происходит «скачок» значений функции на единицу.

Характеристику непрерывности функции (имеется в виду приращение аргумента и приращение функции) мы часто встречаем в практике и технике. Например, при нагреваний воды ее температура есть функция от времени t, т е. Поскольку за малый промежуток времени вода нагревается мало, то функция такова, что малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции т.е. это непрерывная функция. Если подсоединить прибор, автоматически записывающий температуру нагреваемой воды, то мы увидим непрерывную линию, являющуюся графиком температуры .

К понятию непрерывности функции подводят и потребности приближенных вычислений. Представьте себе, что требуется вычислить значение функции f(x) в точке х, т е. найти число f(x). Причем часто приходится округлять число х, т. е. брать для вычисления другое число вычислять вместо f(х). При этом получается ошибка, равная Для непрерывных функций эта ошибка может быть сделана как угодно малой по модулю, если ошибка округления подобрана достаточно малой (тоже по модулю) (см. рис. 47).

Поясним сказанное конкретным примером. Пусть требуется вычислить объем куба, ребро которого равно Этот объем равен что является значением функции при аргументе Для вычисления берется с точностью до трех, четырех и т. п. знаков после запятой. В результате получается приближенное значение для объема куба. Ясно, что чем точнее измерено ребро, т. е. чем точнее вычислен тем точнее получен объем.

Пример:

Доказать, что линейная функция непрерывна.

Решение:

Пусть f(х) = kx + b. Тогда

т. е.

Следовательно, при неограниченном уменьшении | | неограниченно уменьшается и ||, т. е. линейная функция непрерывна.

Пример:

Доказать, что для всех х > 1 функция непрерывна.

Решение:

Найдем приращение этой функции:

Рассмотрим такие приращения аргумента для которых выполнено неравенство Тогда

поскольку при уменьшении знаменателя дробь увеличивается. Получаем откуда видно, что при неограниченном уменьшении неограниченно уменьшается и что /и требовалось доказать.

Пример:

Доказать, что функция непрерывна в точке 0,2.

Решение:

Найдем приращение этой функций в точке 0,2:

Рассмотрим приращения аргумента удовлетворяющие неравенству Тогда и

Отсюда ясно, что при неограниченном уменьшении неограниченно уменьшается и что и требовалось доказать.

Заметим, что аналогичные рассуждения в общем случае показывают непрерывность в любой точке

Пример:

Доказать, что функция непрерывна в точке х = -3.

Решение:

Найдем приращение этой функции в точке — 3:

Рассмотрим удовлетворяющие неравенству Тогда

Отсюда видно, что при неограниченном уменьшении неограниченно уменьшается что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения можно провести для любой точки х и доказать, что функция непрерывна в этой точке.

Формулировка понятия непрерывности функции в точке

Дадим точную математическую формулировку понятия непрерывности функции в точке. При этом по традиции пользуются греческими буквами: — эпсилон и — дельта.

Определение:

Функция f называется непрерывной в точке если для любого положительного числа можно подобрать такое положительное число что
для всех приращений таких, что (1)

Если приращения функции записать подробнее, то условие (1) будет выглядеть следующим образом:
для любого х такого, что (2)

Например, применительно к приближенным вычислениям число можно рассматривать как заданную точность вычислений (если вычисления ведутся с точностью до трех знаков после запятой, то = = 0,001, до четырех — то = 0,0001 и т. д.). А число — это та наибольшая ошибка, которую можно допустить при округлении числа (взяв вместо него число х), не нарушая заданной точности вычислений.

Проиллюстрируем данное определение на рис. 49. Возьмем график непрерывной функции f (т. е. этот график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги). Отложим на оси ординат точку и проведем прямые и Они ограничивают полосу, внутри которой находится точка графика рассматриваемой функции / вместе с частью этого графика. Спроектируем эту часть

графика на ось абсцисс. Проекция содержит интервал, в котором лежит точка Наименьшее расстояние от точки до концов этого интервала обозначим через — это положительное число. Тогда для любого числа х, попавшего в интервал выполняется неравенство а точка графика (х; f(х)) попадает внутрь полосы (рис. 50). Следовательно, ордината этой точки есть число, попадающее в интервал оси ординат, и потому выполнено неравенство Геометрически ясно, что подобное построение можно сделать для сколь угодно узкой полосы, то есть для любого числа Именно в этом и заключается основное зерно понятия непрерывности функции в точке.

Отметим, что если функция удовлетворяет условию

(см. примеры 1 —4, п. 5), то для любого числа достаточно
взять и тогда условие (1) будет выполнено: если то т. е.

В курсах математического анализа доказываются основные свойства непрерывных функций.

Теорема:

Если функции f u g непрерывны в точке то в этой точке будут непрерывны следующие функции: f + g, f — g, f * g, k * f (k — постоянная), (если ). Функция f(x) = непрерывна внутри области определения.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Наглядно же она ясна. Например, сумма f + g непрерывна потому, что при малых изменениях слагаемых мало меняется их сумма.

Пример. Докажем, опираясь на теорему, что функция

непрерывна внутри области определения.

Область определения этой функции есть множество чисел х, которые. удовлетворяют неравенствам и (поскольку знаменатель не должен равняться нулю). Числитель этой функции непрерывен при х > 0, так как это функция вида при (см. основные свойства непрерывных функций). Знаменатель есть тоже непрерывная функция как разность двух непрерывных функций 1 и Следовательно, по основным свойствам непрерывных функций, эта дробь есть функция непрерывная, поскольку знаменатель не обращается в нуль в области определения.

Предел функции

Тот факт, что функция f непрерывна в точке коротко принято записывать следующим образом:

Эта запись читается так: «предел функции эф при икс, стремящемся к икс нулевому, равен эф от икс нулевого».

Например, поскольку функция непрерывна в точке то

Упражнения на применение формулы (1) помещены в конце этого пункта (№ 79—88).

Оказывается, что полезно определить понятие предела функции при х, стремящемся к не только для функций, непрерывных в точке но и для других случаев. Предел функции сообщает дополнительную информацию о самой функции в том случае, если у функции в данной точке нет непрерывности.

Например, функция не является непрерывной в точке 2, так как она не определена в этой точке. Однако при всех общий множитель числителя и знаменателя (х — 2) не равен нулю и потому возможно сокращение дроби:

Полученная после сокращения функция непрерывна в точке 2, и потому

Число и принимается за предел интересующей нас функции f при
х, стремящемся к 2. Коротко приведенные рассуждения принято записывать следующим образом:

Обратим внимание на то, что для вычисления предела функции при х, стремящемся к 2, нам пришлось рассмотреть другую функцию (получившуюся из f после сокращения на х—2). Значения функций f и F равны между собой для всех значений х, кроме х = 2, а при х = 2 функция непрерывна. Запишем кратко соотношения между функциями f и F:

Таким образом, для вычисления предела функции f при х, стремящемся к 2, важно, что функцию f мы заменили на такую функцию F,

которая совпадает с f для всех а в точке х = 2 функция F непрерывна (в отличие от f) и потому легко вычисляется :То, что функции f и F совпадают при всех видно на рис. 51 и 52.

Перейдем к общему определению предела функции.

Определение:

Число А .называется пределом функции f при х, стремящемся к

если функция

непрерывна в точке

Упражнения на вычисление пределов функций даны в конце пункта (№ 89—98).

Запись можно пояснить так: для всех х, «близких» к т.е. и и точность равенства может быть сделана сколь угодно большой за счет повышения точности в равенстве .

В самом деле, по определению, функция F(x) непрерывна в точке Следовательно, для всех х, «близких» к Но А и F(x) = f(х) при Значит, приближенное равенство можно записать в виде для всех и

На рис. 53 дан пример графика функции, для которой выполнено равенство (2).

Теория пределов выходит за рамки данного курса. Поэтому правила вычисления пределов приведем без доказательства — если существуют то:

постоянная.

Полное доказательство этих правил приводится в курсах математического анализа, а наглядное объяснение очень просто: если и то это значит, что если Но тогда что поясняет правило 1. Аналогично поясняются правила 2, 3 и 4.

Для приложений еще удобна следующая теорема.

Теорема (о промежуточной функции). Если
для всех то и .

Сформулируем эту теорему словами. Если значения функции р для всех х, кроме заключены между соответствующими значениями функций f u g, пределы которых при х, стремящемся к совпадают и равны А, то и предел функции р при х, стремящемся к равен А.

Рис. 54 дает наглядное представление о содержании теоремы.

Производная

Решение многих задач значительно упрощается, если пользоваться характеристикой скорости изменения функции — производной.

Определение производной

Наглядное представление о непрерывности функции состоит в том, что малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. Теперь нас будет интересовать уточнение: во сколько раз приращение функции больше (или меньше) приращения аргумента; коротко говорят: какова скорость изменения функции.

Производной функции f в точке х называется предел

Это число обозначается f'(x) (читается: «эф штрих от ико), так что, по определению,

Для обозначения производной приняты и более простые записи: и т.п. (читается: «эф штрих», «игрек штрих», «игрек штрих по икс»). Пользуясь обозначениями из п. 4 (с. 13), формулу (1) часто записывают в виде

Поскольку равенство (2) означает, что для всех достаточно малых то

т. е. производная как раз и показывает, во сколько раз больше (или меньше) иначе — какова скорость изменения функции.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

По определению производной (см. формулу (1)) имеем

Таким образом,

Пример:

Доказать, что

Решение:

По определению производной,

Пример:

Найти если

Решение:

Так как по формуле (5) то

Пример:

Для функции в точке х = 3 найти приближенно для малых

Решение:

По формуле (3), Поскольку f'(х) = 2х (см. формулу (4)), то f'(3) = 6. Следовательно,
Заметим, что для приближенных вычислений подсчет примера (4) означает следующее: ошибка в аргументе функции f(х) = около точки х = 3 вызывает ошибку в значении функции, в шесть раз боль-шую. Это значит, например, что для вычисления надо брать один запасной знак для значения числа

Геометрический смысл производной

Решение многих задач приводит к понятию производной: это и определение скорости точки и ее ускорения, и определение плотности — вещества, и определение силы тока, и многое другое. Сейчас мы подробнее остановимся на геометрической задаче — построение касательной к кривой. Начнем с определения.

Пусть задана, линия L и точка на ней. Прямая называется касательной к линии L в точке , если есть предельное положение секущей когда точка М стремится по кривой L к точке . Точка называется точкой касания (рис. 58).

При построении касательной к графику функции
основной является следующая теорема, которую называют «геометрическим смыслом производной».

Теорема:

Существование невертикальной касательной к графику функции f в точке равносильно существованию производной При этом угловой коэффициент касательной равен а уравнение касательной имеет вид

Сначала докажем, что угловой коэффициент секущей (рис. 59)
Действительно, запишем уравнение секущей
у = kx + b. (3)

Точки и лежат на этой секущей. Следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению (3):

Вычитая эти равенства почленно, получаем
или

Из последнего равенства находим, что Формула (2) доказана.

При стремящемся к нулю, точка М по графику функции стремится к точке а секущая поворачивается вокруг точки Ясно, что секущая имеет предельное невертикальное положение при тогда и только тогда, когда ее угловой коэффициент имеет предел при . Но

Следовательно, предельное положение секущей есть прямая с угловым коэффициентом т. е. угловой коэффициент касательной равен (рис. 59).

Покажем, что (1) есть уравнение касательной Координаты
точки удовлетворяют этому уравнению. Раскроем скобки в уравнении (1) и перепишем его в виде

Мы видим, что угловой коэффициент этой прямой равен Следовательно, это касательная

Пример. Построить касательную к параболе в точке = -1.

Решение:

Поскольку у’ = 2х (формула (4), п. 8) то

Кроме того, Подставляя найденные значения в формулу (1), получаем уравнение искомой касательной
у — 1—2(х + 1) или у = —2х — 1.

После этого касательная строится по ее уравнению (рис. 60).

Правила вычисления производной

Для облегчения вычисления производных существует несколько правил. Коротко эти правила обычно формулируют следующим образом: если функции f u g имеют производные, то их сумма, разность, произведение и частное (если в рассматриваемой точке) тоже имеют производные и эти производные вычисляются по следующим формулам:

коротко говорят: производная суммы равна сумме производных, а производная разности равна разности производных:

k— постоянная. (2)

коротко говорят: постоянный множитель выносится за знак производной;

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Так как в упражнениях 103, 106 и 110 уже были вычислены

то

Пример:

Доказать, что при любом целом при

Решение:

Доказательство для проведем методом математической индукции. При n = 2 формула (5) верна. Это было доказано в примере 1, п. 8. Предположим, что формула верна при n = k, докажем, что тогда она верна и при n = k + 1. В самом деле,

Отсюда в силу принципа математической индукции следует, что формула (5) верна для всех целых показателей . При n = 1 эта формула тоже верна (при ), так как При n = 0 и имеем: и Если n<0, то число m = —n > 0, и по доказанному выше

в силу правила вычисления производной дроби. Формула (5) полностью доказана.

Замечание:

Формула (5) верна для любого показателя n. Так, для это уже было проверено в упражнениях. Общий случай будет разобран позднее.

Пример:

Вычислить производные функций

Решение:

Пользуясь правилами вычисления производной, формулой (5) и замечанием к ней, имеем:

Докажем теперь равенство (1) для суммы. По определению производной и правилу вычисления предела суммы,

Применение производной

Рассмотрим применение производной к построению графиков функций, решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений и использование производной в простейших приближенных вычислениях.

Для построения графиков функций основную роль играет признак возрастания и убывания функции.

Теорема:

Если f'(x) > 0 на интервале ]а; b[, то функция f(x) возрастает на интервале ]a; b[. Если f'(x) < 0 на интервале ]a; b[, то функция f(x) убывает на интервале la; b[.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки данного курса.

Пример:

Построить график функции

Решение:

Эта функция определена и непрерывна для всех х. Найдем ее промежутки возрастания и убывания, пользуясь признаком. Производная этой функции

Ясно, что у’ > 0 на интервале ]—1; 1[. Следовательно, на интервале ]—1; 1[ заданная функция возрастает, а на промежутках и производная у’ <. 0. Из этого следует, что на этих промежутках заданная функция убывает. Остается вычислить значения функции в концах найденных промежутков

и учесть при построении графика, что
у = 0 при х = 0 и х = ±

После этого все отмеченные точки наносятся на рисунок и соединяются плавной линией с учетом промежутков возрастания и убывания (рис. 62).
Заметим, что в точках х = 1 и х = —1 при построении автоматически получились точки экстремума: максимум в точке х = 1 и минимум в точке х = —1. Это те точки, в которых у’ = 0. Оказывается, что это неслучайно: условие у’ = 0 есть необходимое условие экстремума для функций, имеющих производную. Функция возрастает на

отрезке (как это видно на рис. 62), а не на интервале. Это следует из ее непрерывности. Аналогично убывает функция на замкнутых промежутках и

Пример:

Из квадратного листа бумаги выкроить коробку (без крышки), имеющую наибольшую вместимость.

Решение этой задачи тоже связано с применением производной и признака возрастания и убывания. Выкройка коробки показана на рис 63,а. Объем получающейся при этом коробки (рис. 63,6) равен

Нам надо подобрать х так, чтобы этот объем был наибольшим. Построим график функции V. При этом ясно, что по смыслу задачи х должен удовлетворять неравенствам 0< х < т.е. находиться в интервале Определим интервалы возрастания и убывания функции V. Ее производная

Ясно, что V’ > 0 на интервале Следовательно, на этом интервале функция V возрастает. А на интервале производная V < 0. Следовательно, на этом интервале функция V убывает. График функции V приведен на рис. 64.

Из него видно, что наибольший объем у коробки получается при и

Основой для приближенных вычислений служит формула (3), п. 8. Если воспользоваться тем, что а
то эту формулу можно записать в виде

откуда получаем приближенную формулу

Смысл этой простейшей из формул приближенных вычислений состоит в том, что, зная и можно просто подсчитывать приближенные значения f(х) при В курсах математического анализа доказывается, что точность этого равенства пропорциональна ; говорят: «имеет порядок ». Поэтому формула (1) дает достаточную точность, если || достаточно мало.

Пример:

Вычислить приближенно

Решение:

Возьмем функцию Число, которое нам надо приближенно вычислить, есть значение этой функции при х = 32,1. Положим = 32 и подсчитаем

и

Подставляя эти числа в формулу (1) при х = 32,1, получаем

Сравнивая полученный результат с таблицей, видим, что ответ верен с точностью до пяти знаков после запятой.

Пример:

Вычислить приближенно

Решение:

При использовании формулы (1) берем
и х = 0,999.
Вычислим сначала
и

Подставив эти числа в формулу (1), получаем

Пример:

Найти ошибку приближенного равенства

Решение:

Найти ошибку приближенного равенства — значит определить значение разности Для этого рассмотрим функцию Нас интересует значение этой функции при х = 130. Заметим, что = 2, т. е. это значение функции в точке = 128. Вычислив и и подставив полученные числа в формулу (1), получаем

т. е. ответ верен с точностью до двух знаков после запятой.

В ряде упражнений придется искать наибольшее и наименьшее значения для корня квадратного из некоторого выражения. При их решении следует иметь в виду, что наибольшее значение корня квадратного получается при наибольшем значении для подкоренного выражения.

Сложная функция и ее производная

Пусть задана пара функций у = f(z) и z = g(x). Она задает у как функцию от х, т. е. у = F(x). Действительно, возьмем х и вычислим соответствующее ему число z = g(x). По этому числу z вычислим соответствующее ему число у = f(z). Таким образом, по взятому числу х получено единственное число у, т. е. у есть функция от х. Функция F(x) называется сложной функцией, составленной из функций f и g при промежуточной переменной г, и обозначается f(g(x)).

Например, функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из функций и
В курсах математического анализа доказывается, что сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна. Наглядно это ясно: если мало меняется х, то мало меняется z = g(x) в силу непрерывности функции g, а тогда мало меняется у = f(z) в силу непрерывности функции f.

Перейдем к вычислению производных сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции (мы его приводим без доказательства) коротко формулируется так: если составляющие функции имеют производные, то и сложная функция имеет производную

Пример:

Вычислить производную функции

Решение:

Рассмотрим заданную функцию как сложную функцию, составленную из функций и Составляющие функции имеют производные
и

Тогда, по формуле (1), заданная функция тоже имеет производную

Пример:

Пусть р есть функция от х, имеющая производную. Доказать, что

Решение:

Действительно, функцию можно рассматривать как сложную: и z = р (х). Так как и то по правилу вычисления производной сложной функции (равенство (I)) имеем

Пользуясь равенством (2) и тем, что можно вывести правило (3), п. 10:

Пример:

Доказать, что если функция g имеет производную и не обращается в нуль, то

Решение:

Функцию рассмотрим как сложную:
и z = g(x). Так как и то по правилу вычисления
производной сложной функции (равенство (1)) имеем

Пользуясь равенством (3), легко вывести правило (4), п. 10:

Поясним правило вычисления производной сложной функции следующим образом.

Пусть аргумент х функции получил приращение Тогда функция z = g(x) получила приращение а функция у = f(z) получила приращение

Поскольку и то

Дополнение по функциям и их графикам

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1) Показательная функция . На рис. 104 покат залы графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

2) Степенная функция . Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 105.

3) Логарифмическая функция ; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.

4) Тригонометрические функции ; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107.

5) Обратные тригонометрические функции . На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций могут служить функции

Примерами не элементарных функций могут служить функции

Смотрите также:

• Предмет экономико-математические методы

Уравнения	Геометрия
Прогрессии и комбинаторика	Модели и моделирование

Функции и их графики и как их решать

Функциональная зависимость

В повседневной жизни и в практической деятельности постоянно приходится иметь дело с величинами переменными, т. е. изменяющимися с течением времени или в зависимости от обстоятельств. Это совершенно неизбежно, например, в учении о движении, т. е. в механике, так как величины, определяющие положение движущегося тела, все время изменяют свои численные значения. В самом простом случае механического движения—движения точки по прямой, положение точки определяется алгебраической величиной расстояния от точки отсчета, и это расстояние все время изменяется. Но и во всех других отделах физики, в технике, в естествознании — всюду, где только возможно применение методов математики, неизбежно появляется идея переменной величины, ибо все в природе находится в состоянии постоянного изменения и развития.

Более того, и в самой математике иногда полезно рассматривать данную постоянную величину как одно из значений переменной. И это дает возможность полнее понять ту закономерность, которая описывается данной формулой. Само обозначение чисел буквами, собственно говоря, отражает целесообразность такого рассмотрения. Когда мы решаем йадачу в общем виде, обозначая данные числа буквами, мы затем вправе подставлять вместо букв различные численные значения, т. е. считать их переменными, и следить за тем, как изменяется ответ задачи в зависимости от изменения исходных данных.

Часто приходится иметь дело с переменными, связанными функциональной зависимостью. Это значит, что изменение одной перемен- i ной влечет за собой вполне определенное изменение другой переменной.

Определение:

Если каждому значению одной переменной соответствует одно вполне определенное значение другой, то первая из этих переменных называется независимой переменной или аргументом, вторая — функцией от этой независимой переменной.

Например, площадь квадрата есть функция от длины его стороны; алгебраическая величина пути, пройденного точкой, находящейся в определенном прямолинейном движении, есть функция от времени и т. д.

Необходимо заметить, что разделение ролей двух переменных, связанных функциональной зависимостью, имеет условный характер и зависит от обстоятельств исследования. Так, если мы должны следить за изменением площади квадрата при изменении длины его стороны, мы рассматриваем площадь как функцию и длину стороны — как независимую переменную. Наоборот, если для нас важно изменение длины стороны в зависимости от площади квадрата, роли функции и независимой переменной меняются.

Чтобы задать функцию, нужно дать правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной может быть вычислено соответствующее значение функции.

Наиболее удобным «правилом» является алгебраическая формула, дающая выражение каждого значения функции через соответствующее значение независимой переменной. Так, формула дает возможность по любому значению переменной х вычислить соответствующее значение переменной у, т. е. задает у как функцию от х. Формулы

и т. д. каждая выражает переменную у как функцию от переменной х.

Функция, заданная посредством формулы, дающей выражение каждого значения функции через соответствующее значение независимой переменной, называется явно заданной.

Кроме явно заданных функций, часто приходится иметь дело с функциями, заданными неявно. Под этим понимается задание уравнения, связывающего соответствующие значения функции и независимой переменной, но не решенного относительно значений функции.

Например, зависимость ху= 1 задает у как функцию от х, ибо каждому значению х (кроме нуля) соответствует одно и только одно значение у. Ту же функцию можно задать явно посредством

формулы Для этого достаточно решить уравнение ху= 1относительно у.

При неявном задании функции возможно, что из уравнения, связывающего значения двух переменных, всем (или некоторым) значениям одной из переменных соответствует два или больше значений другой переменной. В этом случае считается, что одно уравнение задает многозначную функцию.

Например, решая уравнение относительно у, мы получим т. е. каждому значению х здесь соответствует два значения у. Эту двузначную функцию можно считать составленной из двух однозначных

Такого рода расщепления многозначной функции на однозначные ветви часто применяются. Такое расщепление можно произвести разными способами, и вопрос о наиболее естественном выборе способа расщепления решается в каждом частном случае отдельно.

Функция может быть задана не только посредством формулы или уравнения, но и при помощи какого-либо сформулированного словами правила вычисления значений функции по значениям независимой переменной.

Например, у как функция от х задается так:

у = 5, пока х меняется от 0 до 1, у = 6 — х, пока х меняется от 1 до 3.

Наконец, на практике часто приходится иметь дело с функциями, заданными посредством таблицы, в которой ряду значений независимой переменной сопоставлены соответствующие значения функции. Однако табличное задание функции является менее полным, чем задание посредством формулы или словесного описания, так как по таблице мы можем находить только те значения функции, которые находятся в таблице.

Правда, приемы так называемой интерполяции дают возможность вычислять при помощи данной таблицы значения функции и не входящие в таблицу, но сами приемы интерполяции основаны на дополнительных сведениях о свойствах функции и применимы только для функций, изменяющихся достаточно плавно при непрерывном изменении независимой переменной.

При задании функции необходимо указывать ее область задания, т. е. совокупность значений независимой переменной, при которых рассматривается функция. Если функция возникает в связи с исследованием какой-либо конкретной задачи, область ее задания определяется смыслом задачи.

Пусть, например, известно, что периметр прямоугольника равен 20 см и надо выразить его площадь через длину его основания. Пусть длина основания равна х см, высота равна h см. Тогда

и, следовательно, h = 10 — х. Площадь

Мы получили явную формулу для выражения значений интересующей нас функции (площади прямоугольника) через значение независимой переменной (длины основания).

Эта формула имеет смысл при всех без исключения вещественных значениях переменной х. Однако, по смыслу задачи, числа х и h должны быть положительными, и следовательно, 0< x < 10. Эти неравенства и определяют область задания функции в данной задаче.

Если же функция задана формулой в отрыве от какой-либо конкретной задачи, то за естественную область ее задания принимается совокупность всех значений независимой переменной, при которых формула позволяет вычислять значение функции.

Например, функция, заданная формулой имеет естественной областью задания все значения х, кроме x = 0; функция имеет смысл при

Выяснение естественной области задания функций иногда представляет довольно трудную задачу.

Прямоугольная система координат на плоскости

Для построения графика пользуются методом прямоугольных координат на плоскости.

Напомним, что системой прямоугольных координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных направленных прямых с выбранными единицами масштаба. Одна из этих прямых называется осью абсцисс, другая — осью ординат, обе вместе — осями координат. Единицы масштаба по осям координат обычно выбираются одинаковыми. Точка пересечения осей, имеющая название начала координат, принимается за начальную точку отсчета по каждой из осей.

Введенная система координат на плоскости дает возможность задавать положение любой точки плоскости заданием двух действительных чисел — координат точки. Делается это следующим образом.

Через данную точку М (рис. 43) проводится прямая MN, параллельная оси ординат, до пересечения ее с осью абсцисс. Длина отрезка ON, взятая со знаком + или —, в зависимости от совпадения или несовпадения направления отрезка ON с направлением оси абсцисс, называется абсциссой точки М. Таким же образом, длина отрезка ОР, равного и параллельного MN, взятая с надлежащим знаком, называется ординатой точки М. Абсцисса и ордината точки вместе называются координатами точки.

В свою очередь любые два действительных числа могут быть приняты за координаты некоторой точки. Действительно, для того чтобы найти точку с данной абсциссой а и данной ординатой b, достаточно построить на осях точки N и Р, изображающие числа а и b, и провести через них прямые параллельно осям координат. Точка М пересечения этих прямых и будет искомой.

Таким образом, координаты точки играют роль ее адреса. Каждая точка имеет вполне определенные координаты, и обратно, по данным координатам положение точки устанавливается однозначно.

Координаты точки принято записывать рядом, разделив их запятой (или точкой с запятой, если координаты заданы десятичными дробями) и заключив в обыкновенные скобки; на первом месте пишется абсцисса, на втором — ордината. Например, (3, 2) обозначают координаты точки М (рис. 43). То обстоятельство, что точка М имеет координаты (а, b), кратко записывается так: Ж (а, b).

График функции

Графиком функции называется геометрическое место точек, координатами которых являются соответствующие значения независимой переменной и функции.

Обычно значения независимой переменной откладываются по оси абсцисс, значения функции — по оси ординат.

Построение графика данной функции практически возможно лишь приближенно с той точностью, которую допускают чертежные средства и выбранный масштаб. Чем больше выбрана единица масштаба, тем точнее можно построить выбранный участок графика функции. Но даже несовершенный график вносит наглядность и дает возможность понять и ощутить ход изменения функции при изменении независимой переменной.

Рассмотрим несколько примеров на построение графиков.

Пример. Построить график функции

Прежде всего построим таблицу значений функции по обе стороны от нуля, придавая независимой переменной целые значения:

Мы ограничиваемся значениями х от — 4 до 4, так как дальнейший ход изменения функции ясен. При возрастании абсолютной величины х числитель и знаменатель дроби будут расти по
абсолютной величине, но рост знаменателя будет значительно опережать рост числителя, и абсолютная величина дроби будет подходить все ближе и ближе к нулю.

Перенеся на чертеж вычисленные точки, мы видим, как их соединить более или менее плавной линией. Неясно только, как соединять точки (—1, —1), (0, 0), (1, 1). Они явно лежат на одной прямой. Но можно ли их соединять прямой линией? Для выяснения этого вопроса добавим новые точки графика:

Теперь вопрос ясен (рис. 44; пунктиром отмечено продолжение ветвей графика за пределами значений, вычисленных в таблице).

Пример. Построить график функции

Естественной областью задания функции является вся совокупность действительных чисел, за исключением нуля. Для построения графика прежде всего составим таблицу значений, включив в нее целые значения для х. При этом удобно формулу преобразовать к виду

Получим:

Перенеся эту таблицу на чертеж, мы получим ряд точек, которые естественным образом соединяются плавной линией, за исключением участка от х =—1 до x = 1.

На этом участке изобразить график плавной линией заведомо нельзя, так как на графике не существует точки с абсциссой нуль. Для того чтобы уточнить поведение функции на этом участке, следует вычислить еще ряд ее значений при значениях х, близких к нулю. Строим дополнительную таблицу:

Мы видим, что при значениях х, близких к нулю, значения у становятся очень большими по абсолютной величине, положительными при положительных х и отрицательными при отрицательных х. Поэтому при приближении х к нулю справа — ветвь графика безгранично поднимается, при приближении х к нулю слева — ветвь графика безгранично опускается.

В целом график выглядит так, как показано на рис. 45. Он как бы «разорван» осью x = 0 на две отдельные ветви.

Пример. Построить график функции

Естественной областью определения этой функции является совокупность значений переменной х, заключенных между числами -3 и + 3, включая сами эти числа.

Действительно, если абсолютная величина х не превосходит 3, то и разность не отрицательна. Если же х больше 3 по абсолютной величине (т. е. x > 3 или x < 3), то x² > 9, разность 9 — x² отрицательна и смысла не имеет.

Составим таблицу значений функции, включив в нее значения х, близкие к +3 и -3, для того чтобы узнать, что происходит с функцией вблизи границ ее естественной области определения:

Построив вычисленные точки и соединив их, получим график (рис. 46).

Легко убедиться в том, что этот график есть верхняя полуокружность радиуса 3 с центром в У начале координат. Действительно, если М есть точка на графике с координатами (х, у), то ее расстояние от начала координат легко определяется по теореме Пифагора:

откуда ОМ=3,в каком бы месте графика ни находилась точка М Обратно, если М лежит на указанной полуокружности, то, по теореме Пифагора,

Откуда

Вторая возможность должна быть отброшена, ибо для всех точек рассматриваемой полуокружности ординаты не отрицательны.

Полную окружность радиуса 3 мы получили бы, присоединив к графику функции график функции Обе эти функции являются ветвями двузначной функции, определяемой неявным уравнением Таким образом, окружность радиуса 3 есть график зависимости

Совершенно такими же рассуждениями легко убедиться, что окружность любого радиуса r с центром в начале координат является графиком зависимости

Пример. Построить график функции

Данное уравнение определяет у как двузначную функцию х, именно

Обе выделенные ветви имеют естественной областью задания значения л:, заключенные между — 3 и 3.

Составим для ветви таблицу значений:

Для второй ветви соответствующие значения у отличаются только знаком. На рис. 47 изображен график данной зависимости. Он напоминает восьмерку, положенную горизонтально. Ветвь

изображается той частью графика, которая лежит выше оси абсцисс. Ветвь

изображается нижней половиной графика.

Обе эти ветви имеют графики с резким изломом в начале координат. Любопытно отметить при этом, что правая половина графика плавно переходит в левую половину графика Обе эти части вместе образуют график функции ибо

при положительном х и

при х отрицательном.

Прямо пропорциональная зависимость

Простейшим видом функциональной зависимости является прямо пропорциональная зависимость, которая характеризуется тем, что значения функции пропорциональны значениям независимой переменной. Пропорциональная зависимость переменных х и у выражается уравнением у = kx, где k — постоянный коэффициент.

Теорема:

График функции y — kx есть прямая линия, проходящая через начало координат.

Доказательство. Допустим для определенности, что k — положительное число и пусть М₁— точка графика, абсцисса которой равна 1. Тогда ордината точки M₁ равна k • 1 = k. Возьмем произвольную точку М4 на графике и предположим только, что ее абсцисса х положительна (рис. 48).

Опустим перпендикуляры M₁N₁, и М₂N₂ из точек M₁ и M₂ на ось абсцисс и рассмотрим треугольники ОM₁N₁, и OM₂N₂. Углы этих треугольников при вершинах N₁, и N₂, равны, как прямые углы. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны.

Действительно,

так как точка лежит на графике функции у — kx, и следовательно, ее координаты связаны этим соотношением.

Следовательно,

Таким образом, треугольники ON₁M₁, и ON₂M₂ подобны, и следовательно, углы при общей вершине О равны, т. е. точкиM₁, и М₂ лежат на одной и той же прямой, проходящей через начало координат.

Итак, все точки графика функции y = kx имеющие положительные абсциссы, расположены по прямой, проходящей через точку М и через начало координат. Точки с отрицательными абсциссами укладываются на ту же прямую, продолженную через начало координат налево.

Действительно, если точка М₃(х₃, у₃), абсцисса которой отрицательна, лежит на графике, то симметричная с ней относительно начала координат точка М₃(-x₃, -у₃) тоже лежит на графике, ибо если y₃ = kx₃, то —y₃ = k(—x₃). Но абсцисса х₃ положительна, и следовательно, М₃ лежит на описанной выше прямой линии. Следовательно, и симметричная с ней точка M₃ лежит на той же прямой. Наконец, само начало координат тоже принадлежит графику, ибо его координаты (О, О) удовлетворяют уравнению y = kx при любом k.

Таким образом, все точки графика функции у = kx укладываются на прямую линию, проходящую через начало координат и через точку M₁,(1, k).

Обратно, всякая точка, лежащая на такой прямой, принадлежит графику. Докажем это для точек с положительными абсциссами. Для точек с отрицательными абсциссами доказательство аналогично.

Возьмем снова точку M₁, (1, k), заведомо лежащую на графике, и пусть М₂(х₂, у₂) есть какая-либо точка с положительной абсциссой, лежащая на прямой, проходящей через начало координат и через М₁

Опустим из точек M₁, и M₂ перпендикуляры на ось абсцисс и пусть N₁ и N₂—основания этих перпендикуляров (см. рис. 48). Треугольники OM₁N₁ и OM₂N₂ подобны, ибо они прямоугольны и имеют равные углы при вершине О. Следовательно, их катеты пропорциональны

откуда y₂ = kx₂ т. е. точка M₂ действительно «лежит на графике функции y = kx.

Итак, мы доказали, что все точки графика y — kx расположены на прямой, проходящей через начало координат и точку М,( 1, k). Обратно, каждая точка этой прямой принадлежит графику y = kx.

Следовательно, эта прямая совпадает с графиком, что и требовалось доказать.

Мы доказали теорему для функции y = kx при положительном коэффициенте пропорциональности k. Совершенно таким же способом она устанавливается и при отрицательном k. Разница будет только в том, что график функции y — kx при положительном k проходит из левого нижнего координатного угла в правый верхний,

а при отрицательном k — из левого верхнего угла в правый нижний.

Наконец, если k = 0, то у = 0 при всех х, и следовательно, графиком является ось абсцисс.

Построим на одном чертеже несколько графиков функции y = kx при различных численных значениях k для того, чтобы проследить, как изменяется график при изменении k. При построении используем то обстоятельство, что график функции y = kx проходит через начало координат и через точку M₁ (1, k).

На рис. 49 изображены графики при k=-3,-2,-1,-½,0,½,1, 2, 3.

Из построения очевидно, что при увеличении положительного коэффициента k график образует все бoльший угол с осью абсцисс, постепенно приближающийся к прямому углу. При уменьшении положительных k угол между графиком и осью абсцисс уменьшается, и при k = О график совпадает с осью абсцисс. При отрицательном значении k график образует с осью абсцисс острый угол, откладываемый вниз от положительного направления оси абсцисс. Этот угол возрастает при увеличении абсолютной величины k, постепенно приближаясь к прямому углу.

Коэффициент пропорциональности k называется угловым коэффициентом или наклоном графика.

Теорема:

Всякая прямая, проходящая через начало координат, за исключением оси ординат, есть график некоторой функции y = kx.

Доказательство. Пусть дана прямая, проходящая через начало координат и отличающаяся от оси ординат. Возьмем на ней какую-либо точку M₁ (х₁;у₁), абсцисса которой отличается от нуля. Такая точка найдется на прямой, и силу предположения, что она не совпадает с осью координат. Обозначим отношение через k.

График функции y = kx проходит через точку М₁ ибо координаты (x₁,y₁) этой точки удовлетворяют соотношению у = kx.

Действительно, Следовательно, график функции y = kx есть прямая, проходящая через начало координат и точку М₁. Но, так как через две данные точки проходит только одна прямая, график функции y = kх совпадает с данной прямой, что и требовалось доказать.

Замечание:

Ось ординат не является графиком функции у = kx. «Уравнением» оси ординат является равенство х = 0, ибо абсциссы всех точек, лежащих на оси ординат, равны нулю, и обратно, каждая точка с абсциссой, равной нулю, лежит на оси ординат.

Линейная функция

Двучленом первой степени от х или линейным двучленом от х называется выражение вида kx+ b, где k и b — некоторые постоянные. Например, 2х + 3; —½x+1; 3х — линейные двучлены.

Функция у, значения которой выражаются через значения независимой переменной в виде линейного двучлена kx+b, называется линейной функцией.

Теорема:

График линейной функции есть прямая линия.

Доказательство. С целью исследования графика функции y = kx—b введем вспомогательную функцию у = kx, график которой мы уже рассматривали.

Предположим для простоты, что b > 0. Каждое ^значение функции y = kx+b получается из соответствующего значения функции y = kx добавлением числа b, одного и того же для всех значений независимой переменной х. Геометрически это обозначает, что каждая точка графика функции y = kx + b расположена на b единиц выше точки графика функции y = kx c той же абсциссой. Следовательно, график функции y = kx + b может быть получен из прямой линии, являющейся графиком функции у = kx, параллельным перенесением на b единиц в сторону положительных ординат.

Поэтому график у = kx + b есть прямая, параллельная прямой y = kx (рис. 50).

Если b отрицательно, то график функции у = kx + b получается из графика у = kx параллельным перенесением на \b\ единиц вниз в направлении оси ординат. Так что и в этом случае график функции y = kx+ b есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Прямая у = kx + b пересекает ось ординат в точке с ординатой, равной b, ибо при х = 0 у = b. Поэтому b называется начальной ординатой графика.

В силу параллельности прямых y = kx+ b и y = kx они образуют одинаковый угол с осью абсцисс. Поэтому число k называется угловым коэффициентом или наклоном прямой y = kx+ b, так же как для графика прямой пропорциональности.

Ввиду того, что прямая вполне определяется своими двумя точками, для построения графика линейной функции достаточно построить две точки графика и соединить их прямой линией.

Построим график функции С этой целью зададимся двумя значениями х, например x₁ = 0 и x₂ = 4. Соответствующие значения у равны y₁ = — 1 и y₂= 1. Следовательно, график рассматриваемой функции есть прямая, у проходящая через точки М₁(0, — 1) и M₂(4,1)(рис 51).

Теорема:

Всякая прямая, не параллельная оси ординат, есть график некоторой линейной функции.

Доказательство. Действительно, любая такая прямая пересекается с осью ординат в одной точке М.

Пусть b есть ордината точки М. Проведем через начало координат прямую, параллельную данной. В силу теоремы 2 § 4 эта прямая есть график прямой пропорциональной зависимости y = kx. График линейной функции y = kx+ b есть прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой у = kx.

Так как через данную точку проходит только одна прямая, параллельная прямой y = kx, график y = kx+ b совпадает с данной прямой, что и требовалось доказать.

Замечание:

Каждая прямая, параллельная оси ординат, не является графиком линейной функции. Такая прямая характеризуется уравнением х = х₀, где х₀ есть абсцисса одной из ее точек, например точки пересечения с осью абсцисс. Действительно, абсциссы всех точек прямой, параллельной оси ординат, равны между собой и, следовательно, равны абсциссе точки пересечения прямой с осью абсцисс. Обратно, все точки плоскости, имеющие абсциссу x₀, лежат на прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (x₀, 0) (рис. 52).

Геометрический смысл уравнения первой степени с двумя неизвестными

Уравнение первой степени

с двумя «неизвестными» х и у есть зависимость, связывающая х и у, которые рассматриваются как переменные величины. Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Ах + By +С = 0, есть график этой зависимости. Рассмотрим, что представляет собой этот график. Предположим сначала, что В ≠ 0. Тогда уравнение (1) можно решить относительно у:

Таким образом, при В ≠ 0 у есть линейная функция от х и ее графиком является прямая линия, не параллельная оси ординат. Эта прямая будет параллельна оси абсцисс в том и только том случае, если А = 0. Она будет проходить через начало координат в том и только том случае, если С=0.

Теперь допустим, что B = 0. Тогда уравнение (1) превращается в

и потому, если А ≠ 0, то Следовательно, графиком будет в этом случае прямая, параллельная оси ординат.

Если оба коэффициента А и В при переменных х и у в уравнении Ах+ Ву + С=0 равны нулю, т. е. если уравнение имеет вид

то это уравнение есть либо тождество (когда С=0), либо бессмысленное равенство (когда С ≠ 0). В первом случае «графиком» его будет вся плоскость, так как «уравнению» 0х + 0у + 0 = 0 удовлетворяют координаты х и у любой точки.

Итак, если А и В не равны нулю одновременно, то графиком зависимости Ах + By + С= 0 является прямая линия.

Уравнение

называется уравнением прямой.

Квадратичная функция

Функция у, значения которой выражаются через значения независимой переменной х в виде квадратного трехчлена

называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции у = ах² + bx + с мы изучим в несколько этапов, постепенно усложняя вид функции.

График функции у = х².График этот носит название параболы и имеет вид, изображенный на рис. 53. Этот график рассматривался в первой части книги (гл. II, § 17, пример 2 и гл. IX, § 4).

Парабола у = х ² представляет собой кривую линию, состоящую из двух симметричных быстро поднимающихся бесконечных ветвей, плавно соединяющихся в начале координат. Ось ординат является осью симметрии параболы у = х ² . Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы. Для параболы у = х² вершиной является начало координат.

График функции у = ах² при а > 0. Дадим несколько примеров графиков функции у = ах² при а = 2, 1, ½ (рис. 54). Из этих примеров видно, что графиком функции у = ах² является тоже парабола более «широкая», чем парабола у = х ² при а < 1, и более «узкая» при а > 1.

Докажем теперь, что график функции у = ах² есть действительно парабола, т. е. что этот график совпадает с графиком у = х², но построенным в другом масштабе. С этой целью, выбрав на плоскости основную единицу масштаба, в котором будем строить график, возьмем на той же плоскости другую вспомогательную единицу масштаба, величина которой равна основной единицы. Координаты какой-либо точки, измеренные в основном
масштабе, мы будем называть основными координатами, измеренные во вспомогательном масштабе — вспомогательными.

Если (х, у)— основные координаты какой-либо точки М, а вспомогательные координаты той же точки суть (х’, у’), то х’ = ах; у’ = ау. Действительно, длина любого отрезка при измерении во вспомогательном масштабе получается из длины того же отрезка, измеренной в основном масштабе, умножением на а.

Представим себе, что мы построили график, функции у = ах² в основном масштабе. Умножив обе части уравнения у = ах² на а, получим ау = (ах)², т. е. у’ = (х’)². Таким образом, вспомогательные координаты (х’, у’) любой точки, лежащей на графике функции у = ах² , связаны соотношением у’ = (х’)² . Обратно, если вспомогательные координаты некоторой точки связаны соотношением у’ = (х’)² а, то основные координаты связаны соотношением ау=(ах) ² , т. е. у = ах² , и следовательно, точка лежит на графике функции у = ах² .

Таким образом, графиком функции у = ах² является парабола у’ = х’² , но только построенная во вспомогательном масштабе, единицей которого является единицы основного масштаба.

Иными словами, графиком функции у = ах² является парабола у’ = х’², равномерно сжатая в а раз (при а > 1) или равномерно растянутая в раз (при а < 1).

График функции у = ах² при a < 0. Пусть у = ах² и а отрицательно. Положим а = -a. Тогда у = — a₁x² . Сравнивая точки графиков у = а₁х² и у =-а₁х² , имеющих одинаковые абсциссы, мы видим, что их ординаты равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Следовательно, график функции у = — a₁x² симметричен графику функции у = а₁х² относительно оси абсцисс. Таким образом, график функции у = ах² при отрицательном а тоже является параболой. Но ее бесконечные ветви направлены не вверх, а вниз.

На рис. 54 изображены графики функций у = ах² при нескольких значениях а, положительных и отрицательных.

График функции y = ax² + d. Для построения графика функции y = ax² + d сравним эту функцию с функцией у = ах². При каждом х значения функции y = ax² + d получаются из соответствующих значений функции y = ax² добавлением одного и того же числа d для всех х. Геометрически это означает, что каждая точка графика функции y = ax² + d получается из соответствующей точки графика y = ax² сдвигом на | d | единиц вверх или вниз в зависимости от знака d. Следовательно, и весь график y = ax² + d получается из параболы y = ax² таким же сдвигом, т. е. график y = ax² + d представляет собою такую же параболу, как и y = ax² , но сдвинутую в направлении оси ординат. Осью симметрии параболы y = ax² + d снова является ось ординат. Вершиной является точка с абсциссой х = 0, ордината вершины равна d, так как при x = 0 y = d.

На рис. 55 изображено несколько парабол рассматриваемого вида.

График функции у = а(х — m)² . Сравнивая функции у = а(х — m)² и y = ax² видим, что значения функции совпадают со значениями функции у = ах² при x = x₀. Геометрически это означает, что точка на графике функции у = а(х — m)² с абсциссой x = x₀ +m имеет одинаковую ординату с точкой на графике у = ах² , имеющей абсциссу x = x₀ . Иными словами, каждая точка графика функции у = а(х — m)² получается из некоторой точки графика функции у = ах² сдвигом на | m | единиц в направлении оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака m. Поэтому и весь график функции у = а(х — m)² получается из параболы у = ах² сдвигом на | m\ единиц вправо или влево в зависимости от знака m. Следовательно, график функции у = а(х — m)² есть такая же парабола, как и график функции у = ах² , но сдвинутая в направлении оси абсцисс. В частности, вершина параболы у = а(х — m)² находится в точке (m, 0), а ось симметрии есть прямая, проходящая через эту точку и параллельная оси ординат. На рис. 56 изображается несколько парабол рассматриваемого вида.

График функции у = а(х — m)² +d . Из соображений, приведенных при выводе графика линейной функции и при выводе графика функции у = ах² + d, следует, что график функции у = а(х — m)² +d получается из графика функции у = а(х — m)² +d сдвигом в направлении оси ординат на \d\ единиц вверх или вниз в зависимости от знака d.

Поэтому график функции у = а(х — m)² +d есть такая же парабола, как у = ах² , по сдвинутая на m единиц в направлении оси абсцисс и на d единиц в направлении оси ординат. Поэтому вершина параболы у = а(х — m)² +d находится в точке (m, d), а ось симметрии есть прямая, параллельная оси ординат и проходящая через эту точку.
На рис. 57 изображена парабола и Для сравнения параболы и

График общей квадратичной функции. Общую квадратичную функцию легко привести к виду, рассмотренному в предыдущем пункте. Для этого прежде всего вынесем за скобки старший коэффициент а:

а затем к приведенному квадратному трехчлену, находящемуся в скобках, применим неоднократно применявшийся выше прием выделения полного квадрата суммы, рассматривая х² как квадрат первого слагаемого, как удвоенное произведение первого на второе. В результате получим

Таким образом, общая квадратичная функция приводится к виду

Следовательно, графиком функции у =ах² +bх+с является такая же парабола, как у = ах² , но сдвинутая так, что ее вершина находится в точке

На рис.58 изображена парабола у = х² — 4x+3 и, для сравнения, парабола у = х²

Исследование графика квадратичной функции

При построении графика квадратичной функции

могут представиться следующие случаи.

Случай 1.В этом случае бесконечные ветви параболы направлены вверх, ордината вершины

отрицательна, и следовательно, вершина расположена ниже оси абсцисс (рис. 59). В силу этого парабола должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Абсциссы этих точек являются корнями трехчлена ах² + bx + с или, что то же самое, корнями уравнения ах² + bx + с = 0, ибо ордината любой точки оси абсцисс есть 0.

Таким образом, мы убеждаемся из геометрических соображений, что в этом случае трехчлен имеет два действительных корня.

Случай 2. а > 0; b²— 4ас = 0. Бесконечные ветви направлены вверх. Ордината вершины d равна нулю, т. е. вершина лежит на оси абсцисс и парабола касается оси абсцисс в одной точке (рис. 60).

Таким образом, трехчлен ах² + bx + с имеет в этом случае только один корень.

Случай 3. а > 0; b² — 4ас < 0. Бесконечные ветви параболы направлены вверх. Ордината вершины

положительна, т. е. вершина расположена выше оси абсцисс (рис. 61). Следовательно, и вся парабола расположена выше оси абсцисс и с ней не пересекается.

Трехчлен ах² + bx + с в этом случае действительных корней не имеет.

Случай 4. а < 0; b² — 4ac > 0. В этом случае бесконечные ветви параболы направлены вниз. Ордината вершины

положительна, и следовательно, вершина лежит выше оси абсцисс (рис. 62). Следовательно, график пересекает ось абсцисс в двух точках, и потому трехчлен ах² + bx + с имеет два действительных корня.

Случай 5. а < 0; b² — 4ас = 0. Бесконечные ветви направлены вниз. Ордината вершины

равна нулю (рис. 63). График касается оси абсцисс снизу водной точке. Следовательно, трехчлен имеет один действительный корень.

Случай 6. а < 0; b² — 4ас < 0. Бесконечные ветви графика направлены вниз. Ордината вершины

отрицательна, т. е. вершина лежит ниже оси абсцисс. Следовательно,

и весь график лежит ниже оси абсцисс и с ней не пересекается (рис. 64). Трехчлен ах² + bx + с не имеет действительных корней.

Итак, из геометрических соображений мы получили, что трехчлен ах² + bx + с имеет два действительных корня, если b² — 4ас > 0 (случаи 1 и 4), один действительный корень, если b² — 4ас = 0 (случаи 2 и 5), и не имеет действительных корней, если b1 — 4ас < 0 (случаи 3 и 6).

Эти результаты совпадают с результатами алгебраического исследования, проведенного в § 4 гл. Ⅱ. Имеется только небольшая разница в описании случая b² — 4ас = 0. Именно, при алгебраическом исследовании единственный существующий в этом случае корень рассматривается как «двойной», т. е. как два совпадающих корня.

Обратно пропорциональная зависимость

Если значение функции изменяется обратно пропорционально значению независимой переменной, то такая функциональная зависимость называется обратно пропорциональной зависимостью. При обратно пропорциональной зависимости значения функции выражаются через значения независимой переменной по формуле

где k — данный коэффициент.

Выясним вид графика обратно пропорциональной зависимости.

Прежде всего построим график функции Естественной областью задания этой функции является совокупность всех действительных значений независимой переменной х, за исключением нуля. Поэтому при построении таблицы значений включаем ряд значений независимой переменной, близких к нулю, так как поведение функции вблизи нуля может быть весьма существенным при построении графика:

Нанеся вычисленные точки на чертеж и соединив их, получим график, изображенный на рис. 65. При безграничном увеличении

значений х по абсолютной величине значения у становятся по абсолютной величине все меньше и меньше, приближаясь к нулю. При приближении значений х к нулю, значения у безгранично растут по абсолютной величине. График состоит из двух отдельных частей, каждая из которых имеет две бесконечные ветви. Одна из ветвей каждой части приближается к оси абсцисс, другая — к оси ординат. График функции называется гиперболой.

Зависимость можно задать и уравнением ху= 1.

Из такой формы записи следует, что если точка (x₀, у₀) лежит на гиперболе, то и точка (у₀, ;x₀) лежит на ней. Очевидно, что точки (x₀. y₀) и (y₀, х₀) симметричны относительно биссектрисы правого верхнего координатного угла. Следовательно, и гипербола симметрична относительно этой биссектрисы.

Далее, если точка (x₀ , у₀ ) лежит на гиперболе, то и точка (-x₀,-y₀) лежит на гиперболе, ибо (-x₀)(-у₀) =x₀y₀. и следовательно, если x₀y₀ = 1, то и (-x₀)(-y₀) = 1 Точки (х₀, у₀) и (-х₀, -у₀) симметричны относительно начала координат. Следовательно, и гипербола симметрична относительно начала координат.

Заметим теперь, что если точки М и М’ симметричны относительно некоторой прямой АВ, а М и М» симметричны относительно точки О. лежащей на этой прямой, то М и М» симметричны относительно прямой, проходящей через О и перпендикулярной к АВ (рис. 66)

Поэтому из симметрии гиперболы относительно биссектрисы правого верхнего угла и относительно начала координат следует симметрия гиперболы и относительно биссектрисы правого нижнего угла, ибо она перпендикулярна первой биссектрисе и проходит через начало.

Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии, из которых одна пересекает ее, другая не пересекает. Пересечение осей симметрии является центром симметрии гиперболы.

Рассмотрим теперь график функции где k — любое положительное число. Дадим несколько примеров графиков функции при к = 3, 2, 1 (рис. 67). Из этого построения видно, что графиком функции является тоже гипербола, «растянутая» при k > 1 и «сжатая» при k < 1

Докажем, что график функции есть действительно гипербола, т. е. что этот график совпадает с графиком , но построенном в другом масштабе.

Обозначим √k через m. Тогда k = m² и зависимость между х и y можно переписать в виде Введя, как во втором разделе § 7, вспомогательную единицу масштаба, величина которой равна m единиц основного масштаба, мы получим, что при переходе к вспомогательным координатам х’, у’ соотношение превращается в х’у’ = 1. Следовательно, график зависимости в основных координатах совпадает с графиком зависимости х’у’ = 1 в вспомогательных координатах, т. е. является гиперболой. Эта гипербола получается из гиперболы ху = 1 растяжением в m раз (при m > 1) или сжатием в раз (при m < 1).

Итак, график функции при положительном k является гиперболой, получающейся из гиперболы растяжением в m=√k раз (или сжатием в раз .)

График функции при отрицательном k симметричен относительно оси абсцисс с графиком где k₁ = — k > 0. Следовательно, график функции при отрицательном k тоже является гиперболой, только расположенной в левом верхнем и правом нижнем углах. На рис. 67 изображены несколько гипербол при различных значениях для k.

Функции и графики — основные понятия и определения

Величина. Числовые множества

При изучении природы и в трудовой деятельности человеку приходится иметь дело с многими разнообразными величинами. К ним, в частности, относятся длина, площадь, температура, время, сила, скорость и т. д. Вообще под величиной обычно понимают объект, который может быть охарактеризован числом в результате измерения, т. е. в результате сравнения с объектом той же физической природы, принятым за единицу измерения.

В тех или иных физических процессах могут участвовать несколько величин, причем одни из них могут изменять свои числовые значения, а другие нет. Первые из них будем называть переменными, а вторые — постоянными, хотя такое разделение величин более или менее условно.

Для математики свойственно абстрагироваться от физической природы рассматриваемых величин; величина характеризуется множеством принимаемых ею числовых значений. Если это множество сводится к одному единственному значению, то величина называется постоянной; если множество ее значений состоит более чем из одного элемента, то величина называется переменной. Здесь и дальше мы ограничим себя действительными величинами, множества значений которых состоят исключительно из действительных чисел.

Множество значений, принимаемых переменной величиной, называется ее областью изменения.

Приведем несколько примеров. Число сторон многоугольника может иметь значения 3, 4, 5, … Частное отделения числа, не равного нулю, на модуль этого же числа может принимать только два значения: +1 и —1. Квадрат действительного числа может быть равен любому неотрицательному числу.

Вообще, область изменения переменной величины х может быть произвольным числовым множеством. Если величина принимает только натуральные значения 1, 2, 3, … , то ее называют целочисленной переменной. Часто приходится рассматривать переменные, множество значений которых представляет собой некоторый (конечный или бесконечный) интервал числовой оси.

Уточним в связи с этим понятие интервала (или промежутка).

Пусть a, b—два действительных числа, причем a < b. Тогда можно рассматривать следующие виды интервалов.

Открытым интервалом (а, b) называется множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < b, т. е. совокупность всех точек числовой оси, лежащих строго между точками а и b (концы исключаются). Интервал () длины 2h с серединой называется окрестностью (h-окрестностью) точки .

Замкнутым интервалом или сегментом [а, b] называется множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам , т. е. совокупность всех точек, расположенных между а и b, включая а и b.

Иногда рассматриваются полуоткрытые интервалы [a, b) и ( a, b ], соответственно определяемые неравенствами .

Бесконечный интервал () определяется как множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству ; в случае неравенства бесконечный интервал обозначают [). Вся числовая ось также может рассматриваться как бесконечный интервал и обозначаться через ().

Определение функции

Геометрия, механика, физика, различные области науки и техники дают нам множество примеров, когда рассматриваемые в том или ином вопросе переменные величины находятся в зависимости, так что значение одной из величин определяет значение другой. Площадь круга полностью определяется величиной его радиуса: . Скорость точки, движущейся равноускоренно, зависит от времени по закону . Давление идеального газа при постоянном объеме изменяется в зависимости от температуры: .

Во всех указанных примерах, несмотря на различие смысла входящих в них величин, есть нечто общее: задание значения одной из двух рассматриваемых переменных величин определяет значение второй величины. Такого рода зависимости между двумя переменными называют функциональными зависимостями.

Сформулируем определение понятия функции: переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х (из некоторой области X изменения х) поставлено в соответствие по определенному закону значение у. При этом х называется независимой переменной (иногда аргументом), а область ее изменения X — областью определения (или существования) функции у. Множество значений, принимаемых у при изменении х, называется, как обычно, областью изменения у.

В принятом определении функции существенны два момента: во-первых, в нем указана область изменения X независимой переменной х, и, во-вторых, в нем требуется наличие определенного правила соответствия между у и х.

Тот факт, что у есть функция от х, выражают в записи так:

(произносится: «игрек есть эф от икс»). Буквой f в этом равенстве обозначен именно закон соответствия между х и у.

Схематически можно изобразить это так: будем рассматривать две числовые оси х и у (рис. 11); пусть X —область определения функции y = f(x). Каждой точке х из этой области ставится в соответствие некоторая точка оси у (закон соответствия f условно изображается стрелкой).

Значение функции y = f(x), соответствующее определенному значению из области определения функции, обозначается так:

Пример:

Функция задана равенством (и определена при всех значениях х).

Найти: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

a) ; б) ; в) ; г) .

При одновременном рассмотрении нескольких различных функций используют различные буквы для обозначения каждого из законов соответствия, например:

Две функции считают равными (совпадающими), если их области определения совпадают и значения при любых одинаковых значениях аргумента равны.

Пример:

Функции f(x) = 2 и совпадают; нет необходимости обозначать их разными буквами f и .

Пример:

Функция f (х) = х и функция различаются: первая определена на всей оси, вторая—только при , хотя в этом случае они равны: при имеем .

График функции. Способы задания функций

Для графического представления функции y = f(x) используем декартову прямоугольную систему координат (рис. 12). Каждой точке х оси Ох из области определения функции f(x) отвечает значение у = f (х) и, вместе с тем, точка плоскости с координатами (х, f (х)); при изменении х эти точки образуют график функции. Точное определение таково: графиком функции (относительно данной системы координат) называется множество точек плоскости, абсциссами которых служат значения аргумента х, а ординатами — соответствующие им значения функции у — f (х).

Для графика функции y = f(x), изображенного на рис. 12, показаны точки с абсциссами ординаты соответственно равны . График показан на интервале [а, b) то, что точка х = b исключена, условно показано стрелкой в правом конце кривой линии — графика функции y = f(x).

График функции дает удобное и наглядное представление о ее свойствах, и ниже уделено много внимания методам построения графиков функций.

Определение функции не дает указания на то, в какой форме задан закон соответствия между значениями аргумента и зависимой переменной; практически привычной формой задания этого закона является для нас запись функциональной зависимости в виде некоторой математической формулы, например:

В этом случае говорят, что функция задана аналитическим выражением. При этом термин «аналитическое выражение» имеет приблизительно тот же смысл, что и «алгебраическое выражение», с той разницей, что при записи аналитического выражения не ограничиваются только алгебраическими действиями (т. е. рациональными действиями и операцией извлечения корня), но пользуются, например, такими действиями, как логарифмирование, отыскание синуса или тангенса данного значения аргумента и т. п. Вообще, при определении новой математической операции для нее вводится специальный символ, который в дальнейшем уже можно использовать для записи аналитического выражения.

Для функции, заданной аналитическим выражением, область определения может состоять только из значений x, входящих в о. д. з. этого выражения. Область определения функции оказывается в этом случае частью области допустимых значений аналитического выражения, задающего функцию, или совпадает с этой областью. Например, площадь S круга, как функция радиуса R, задается выражением . Область определения этой функции по смыслу дела есть ; взятое же само по себе аналитическое выражение определено при всех значениях R. Если функция задана аналитическим выражением относительно аргумента х и область определения не указана, то подразумевают, что область определения совпадает с о. д. з. задающего ее выражения.

Иногда функция задается разными аналитическими выражениями в разных частях области определения. Самый простой пример: будем рассматривать |х| как функцию от х. Тогда

Можно записать |х| ив виде . Вообще, одна и та же функция может быть задана различными способами и в разных видах.

Кроме аналитического способа задания применяют графическое и табличное задание функций. Если функция задана графиком, то можно по чертежу находить значения у, отвечающие данным значениям х, разумеется, приближенно.

Табличный способ задания функции заключается в том, что для избранных значений аргумента х, обычно отстоящих друг от друга на некоторую постоянную величину — шаг таблицы, указываются соответствующие значения у (с определенной степенью точности). Небольшой фрагмент таблицы может выглядеть так:

В данном примере шаг таблицы равен 0,02.

Графическое и табличное задание функций часто возникает в результате проведения измерений, опытов, применения самопишущих приборов.

Для многих функций, заданных аналитически, также составлены таблицы, облегчающие применение этих функций (таблицыквадратных и кубических корней, таблицы логарифмов, тригонометрических функций и др.). Необходимо приобрести навыки в пользовании таблицами функций (см. п. 220).

В восемнадцатом и в начале девятнадцатого века математики представляли себе функцию только с точки зрения ее аналитического выражения. Лишь в первой половине девятнадцатого столетия некоторыми математиками, в том числе великим русским ученым Н. И. Лобачевским, было сформулировано современное определение функции: существенным является наличие закона соответствия, а не возможность представить его «формулой». В частности, допускается и словесное описание закона соответствия: например, f(x) = [х] — целая часть х определяется как «наибольшее целое число, не превосходящее х».

Элементарное исследование поведения функции

Систематическое и полное исследование функций составляет одну из главных задач области математики, называемой математическим анализом. В элементарной математике также рассматривают простейшие вопросы, связанные с исследованием функций. При этом под исследованием функции понимают установление ряда ее свойств. Итогом такого исследования может быть построение графика функции. В связи с этим вспомним некоторые понятия, относящиеся к функциям.

а) Нулем (или корнем) функции f (x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль. Графически нули функции суть точки пересечения ее графика с осью Ох (например, точка на рис. 12).

б) Функция f (х), область определения которой симметрична относительно начала отсчета О (например, является сегментом [—а, а]), называется четной, если для любого х из ее области определения выполнено равенство

График четной функции симметричен относительно оси Оу (рис. 13), так как вместе с точкой (х, f(х)) ему будет принадлежать и симметричная точка (—х, f(х)). Обратно, если график симметричен относительно оси Оу, то функция — четная.

в) Функция f (х), область определения которой на оси Ох симметрична относительно начала О, называется нечетной, если для любого х из ее области определения выполнено равенство

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как вместе с любой его точкой (х, f(x)) ему принадлежит и симметричная точка (—х, —f(x)) (рис. 14). Обратно, если график функции симметричен относительно О, то функция — нечетная.

Примеры четных и нечетных функций:

Многие функции, например , не являются ни четными, ни нечетными функциями.

г) Функция называется возрастающей в некотором промежутке, лежащем в ее области определения, если для любых двух значений из этого промежутка из неравенства следует (большим значениям аргумента отвечают большие значения функции). Если из следует лишь неравенство , то функция назвается неубывающей. Аналогично, убывающей называется функция, для которой из следует , а невозрастающей — функция, для которой при выполняется неравенство .

Интервал, на котором функция убывает или возрастает, называется интервалом монотонности функции. Так, например, для функции, график которой изображен на рис. 12, интервалами монотонности служат интервалы и (на первом из них функция монотонно возрастает, на втором—монотонно убывает).

Функция , которая также может быть задана парой равенств

является неубывающей функцией на всей числовой оси. Она возрастает на положительной полуоси (рис. 15).

д) Точка называется точкой максимума (минимума) функции у = f (х), если функция определена в самой этой точке и в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство

На рис. 16 точки суть точки максимума, а точки —точки минимума функции. Максимум функции—ее наибольшее значение но сравнению с «соседними» точками слева и справа, но не обязательно по сравнению с отдаленными точками.

Практически, если находятся интервалы монотонности, то на их стыке часто обнаруживаются точки максимума или минимума, как на рис. 16. Термин «экстремум» функции объединяет понятия максимума и минимума: точки суть точки экстремума функции f(x).

е) Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность. На рис. 17,а прямые х = 1 и у = 0 — асимптоты графика функции. На рис. 17,б показан график с асимптотой у = х (биссектриса первого координатного угла).

При исследовании функции необходимо.ответить на следующие вопросы.

1) Область определения функции; 2) область изменения функции, т. е. область ее значений; 3) нули функции; интервалы знакопостоянства функции (т. е. интервалы, в которых функция положительна или отрицательна); точка пересечения графика с осью Оу (если функция определена при х = 0); 4) свойства симметрии графика функции (четность или нечетность функции); 5) интервалы возрастания и убывания функции; 6) точки максимума и минимума функции; 7) асимптоты графика функции.

Разумеется, не псегда мы можем элементарными средствами получить точный ответ на все вопросы. Напротив, иногда возникают и другие, дополнительные вопросы различного содержания. Здесь указана примерная схема, которой мы в общих чертах придерживаемся при исследовании функции и построении ее графика.

Сложная функция

Понятие сложной функции, или функции от функции, определяется следующим образом. Пусть — некоторая функция от х; рассмотрим другую функцию y = f (u) такую, чтобы ее область определения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции . Тогда можно рассматривать как функцию от х: задание х определяет , а значение u, если оно попадет в область определения функции у = f (u), определит у. Таким образом, в конечном счете заданием х определяется значение у, т. е. у становится функцией х. Заданная таким способом функция

называется сложной функцией от х (заданной через посредство промежуточного аргумента u).

Пример. Функция естественно представляется как сложная функция так: .

Схематически сущность понятия сложной функции поясняется рис. 18.

Следует заметить, что термин «сложная функция» указывает на способ задания этой функции, а не на какие-либо се особые свойства. Любую функцию при желании можно представить как сложную функцию. Например, для функции у = х можно записать или

т. е. представить ее как сложную функцию.

Обратная функция

Рассмотрим функцию y = f(x), областью определения которой служит, например, сегмент [a, b] (рис. 19), а областью изменения — сегмент [с, d]. Функция y = f(x) ставит каждой точке сегмента [a, b] в соответствие некоторую точку сегмента [с, d].

Для изображенной на рис. 19 функции (благодаря тому, что она монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению из сегмента [с, d] соответствует единственное значение из сегмента [а, b] такое, что . Тем самым х можно рассматривать как функцию от у с областью определения [с, d] и областью изменения [а, b]. Функцию x = g(y) назовем обратной по отношению к функции у = f (х) (можно эти две функции назвать взаимно обратными).

При схематическом изображении взаимно обратные функции f и g представятся стрелками, как показано на рис. 20. При этом, однако, существенно, чтобы данному у могло отвечать лишь одно значение х такое, что у = f (х), тогда мы и пишем: х = g (у). Записи y = f (x) и x = g (y) имеют здесь равнозначный смысл: x = g (y) в том и только в том случае, если y = f (x).

Поэтому пары чисел (х, у), определяемые любым из двух соотношений y = f(x) и x = g(y), будут одними и теми же. Это означает, что графики функций y = f(x) и x = g(y) совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную х, изменяющуюся на сегменте [а, b], вторая — переменную у с областью изменения аргумента [с, d]. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции — на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции x = g(y) мы станем значения аргумента обозначать через х и изображать на оси Ох, а значения функции будем обозначать через у и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами f и g; зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к y = f(x) функции будет уже иметь вид y = g(x).

Теперь график функции y = g(x) будет получаться из графика у = f х) (или x = g(y)) с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого— третьего координатных углов (рис. 21). В самом деле, пусть точка () лежит на графике данной функции; тогда точка () с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции. Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы (п. 8), а отсюда и следует наше утверждеиие: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I—III координатных углов.

Пример. Найти функцию, обратную по отношению к функции .

Решение:

Из равенства, определяющего данную функцию, выразим х через у:

В последнем равенстве поменяем местами х и у и получим выражение для функции

обратной по отношению к данной функции.

Внесем некоторые уточнения в понятие обратной функции. Мы начали рассматривать вопрос об обратной функции на примере функции, заданной графиком на рис. 19. Эта функция монотонна всюду в области определения. Именно этим обусловлен тот факт, что каждой точке из сегмента [с, d] функция х = g(y) ставит в соответствие только одну точку из сегмента [а, b]. Но для функции, не являющейся монотонной, это может не выполняться. В самом деле, на рис. 22 на сегменте [a, b] показан график немонотонной функции y = f(x). По этой причине имеются значения у, которым соответствует не единственная точка сегмента [а, b]; так, точке отвечают три точки такие, что , , . В силу этого функция y = f(x), рассматриваемая на сегменте [а, b], не имеет обратной функции, если, конечно, не обобщать понятие функции, вводя «многозначные функции». Если наряду с функцией f(x), определенной на сегменте [а, b], рассматривать функцию, определенную только на интервале монотонности функции f(х) (например, [а, с], [с, d] или [d, b]) и совпадающую с f(х) на этом интервале, то у этой новой функции уже будет существовать обратная функция. С этим вопросом мы встретимся в п. 41 при изучении функции и в пп . 130—133 при изучении обратных тригонометрических функций.

Функции нескольких переменных

Схема представления зависимостей величин в природе с помощью функций одной переменной является очень упрощенной; в действительности значения данной интересующей нас величины зависят от многих факторов (определяются значениями ряда других величин). Возьмем в качестве примера уравнение состояния идеального газа

PV = RT.

Это уравнение связывает три (вообще говоря, переменные) величины: давление Р, температуру Т, объем V. Если ограничиться изучением изотермических процессов (), то можно будет объем считать функцией давления:

Если рассматривать изобарические процессы (), то придется уже объем считать функцией температуры:

и т. д. В общем же случае объем V надо рассматривать как функцию двух переменных Р, Т:

Дадим определение функции двух переменных (случай функции большего числа переменных трактуется аналогично). Величина z называется функцией двух переменных х, у (принимающих значения в некоторой допустимой области изменения, называемой областью определения функции z = f (х, у)), если каждой паре значений х, у (из этой области) отвечает по некоторому закону единственное значение z.

Поскольку пара значений аргументов х, у может быть изображена точкой плоскости, то область определения функции удобно изображать на плоскости.

Пример. Функция задана аналитическим выражением:

найти ее область определения (т. е. о. д. з. соответствующего выражения), и изобразить ее графически.

Решение:

а) Функция определена при . Соответствующая область—четвертый квадрант (включая ограничивающие его лучи координатных осей), рис. 23, а.

б) Здесь , или . Это условие определяет множество точек, расстояние которых от начала О меньше единицы. Такие точки заполняют внутренность круга с центром в О и радиусом, равным единице (точки окружности в область не входят), как показано на рис. 23, б.

Элементарные функции

В элементарной математике по большей части рассматриваются функции, которые могут быть аналитически заданы с помощью рациональных действий (сложение, вычитание, умножение и деление), выполняемых над числами (константами) и перечисленными ниже так называемыми основными элементарными функциями, а также с помощью образования сложных функций. Основными элементарными функциями условимся считать следующие:

I) степенные функции , где k—любое действительное число;

II) показательные функции , где а — любое положительное число, отличное от единицы: ;

III) логарифмические функции , где а—любое положительное число, отличное от единицы: ;

IV) тригонометрические функции

V) обратные тригонометрические функции

Функции, получающиеся из основных элементарных функций перечисленными выше операциями (из которых особенно важна операция образования сложной функции), будем называть элементарными функциями. Так, например, элементарными являются функции

и т. п.

Выделим некоторые особенно важные внды элементарных функций.

Функции, образуемые применением к аргументу только трех целых рациональных действий, называют целыми рациональными функциями (ц. р. ф.). Их также называют многочленами или полиномами от переменной х; любая ц. р. ф. записывается в виде

Если , то она называется ц. р. ф. или полиномом степени n. Линейную ц. р.ф.

называют просто линейной функцией; квадратичную ц. р.ф.

— квадратным (или квадратичным) трехчленом.

Дробно-рациональной функцией (д. р.ф.) называют функцию, которая требует для своего образования выполнения рациональных действий (включая деление). Таковы, например, функции

Вообще, д. р. ф. представляется как частное от деления двух ц. р. ф.:

В простейшем случае, когда числитель и знаменатель —линейны, функция имеет вид

и называется дробно-линейной функцией.

Если, кроме рациональных операций, для образования функции применяется еще извлечение корня целой степени (т. е. возведение в рациональную степень), то такую функцию мы называем алгебраической иррациональной функцией. Примеры алгебраических иррациональных функций:

Все перечисленные до сих пор виды элементарных функций называются алгебраическими функциями.

Показательная функция, логарифмическая функция, степенная функция при иррациональном показателе степени называются трансцендентными функциями; также трансцендентными считают и тригонометрические функции. Сам термин «трансцендентный» означает «превосходящий» (в смысле превосходящий силу алгебраических методов). Тригонометрические функции изучаются в главах VIII—XII; здесь мы рассмотрим некоторые алгебраические и трансцендентные функции (логарифмическую и показательную).

Линейная функция

Линейной функцией мы назвали функцию вида (37.2):

При b = 0 она принимает вид

В этом случае говорят, что у прямо пропорционально х (с коэффициентом пропорциональности а); равенство (38.2) задает прямую пропорциональную зависимость между х и у.

Отметим простейшие свойства функции у = ах: 1) функция определена при всех значениях х; 2) график функции проходит через начало координат (при х = 0 имеем у = 0); 3) функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат, так как а(—х) = — (ах).

Чтобы построить график функции у = ах, проведем через начало координат прямую линию под углом к оси Ох (угол отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки; см. п. 8) таким, что .

Докажем, что эта прямая и является графиком функции. Для этого следует установить два положения: 1. Любая точка этой прямой есть точка графика функции. 2. Любая точка графика функции лежит на построенной нами прямой.

Возьмем любую точку прямой, отличную от начала координат (точка на рис. 24, а). Имеем для нее

— точка лежит на графике функции. Обратно, если для некоторой точки выполнено равенство , т. е. , то прямая, соединяющая эту точку с началом координат, наклонена к оси Ох под углом , т. е. совпадает с построенной нами прямой.

Таким образом, график функции у = ах есть прямая, проходящая через начало координат под углом (где ) к оси Ох. В связи с этим коэффициент а прямой пропорциональности называют также угловым коэффициентом прямой, служащей графиком нашей функции. При а > 0 прямая располагается в I и III квадрантах (угол острый; рис. 24, а), при а < 0 она располагается во II и IV квадрантах (угол тупой; рис. 24, b), при а = 0 прямая совпадает с Ох.

Для построения графика линейной функции (38.1) сравним ее с функцией (38.2) и заметим, что при любом значении х величина у, т. е. ордината графика линейной функции у = ах + b, получится из ординаты графика функции у = ах прибавлением одного и того же слагаемого b. Отсюда ясно, что графиком функции (38.1) будет служить прямая линия, параллельная линии у = ах, служащей графиком функции (38.2). Эта прямая получается из прямой у = ах сдвигом на |b| единиц вверх при b > 0 или вниз при b < 0. При x = 0 имеем у = b величина b показывает, в какой точке график пересекает ось ординат (рис. 25).

Доказано, что графиком линейной функции является прямая линия, пересекающая ось Оу в точке с ординатой b и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен а.

Справедливо и обратное утверждение: всякая (не параллельная оси Оу) прямая на плоскости является графиком линейной функции (38.1).

Величины а и b называются, соответственно, угловым коэффициентом и начальной ординатой прямой, служащей графиком линейной функции (38.1). При а > 0 линейная функция возрастает, при а < 0 — убывает, при а = 0 является постоянной.

Для фактического построения графика у = ах + b с данными числовыми значениями коэффициентов а и b используем то, что прямая линия определяется любыми двумя своими точками.

Пример:

Построить графики следующих линейных функций: а) у = 2х — 3; б) у = —2х; в) y = — 1.

Решение:

а) Для построения прямой линии — графика данной функции найдем ее точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точку пересечения с Оу, полагаем в уравнении прямой х = 0 и находим . Аналогично, полагая у = 0, получаем абсциссу х = 3/2 точки, в которой прямая пересекает ось 0х; через полученные точки (0, —3) и (3/2, 0) проводим прямую (рис. 26).

б) В этом случае прямая проходит через начало координат O (0, 0) и для ее построения достаточно найти еще одну точку. Положим, например, х = 1, при этом у = —2; значит точка A (1, —2) принадлежит искомому графику. Построим прямую, проходящую через точки A и О, она и является графиком данной функции (рис. 26).

в) В этом примере а = 0. Графиком функции служит прямая, параллельная оси Ох. В данном случае она удалена от этой оси на одну единицу масштаба и лежит под ней (рис. 26).

Произвольная прямая, не параллельная оси Оу, является графиком некоторой линейной функции. Если прямая параллельна оси Оу и пересекает ось Ох в точке с абсциссой, то все точки прямой имеют такую же абсциссу; прямая определяется уравнением

не содержащим у.

Можно вообще рассмотреть произвольное уравнение первой степени (линейное уравнение) относительно х и у:

Такое уравнение называется общим линейным уравнением. При оно, по существу, определяет у как линейную функцию х:

Если функция у = f (х) задана уравнением F (х, у) = 0, связывающим x и у, которое не разрешено относительно у, то говорят, что функция задана в неявном виде; уравнение (38.4) задает линейную функцию в неявном виде.

Если , то считаем и находим

т. е. получаем уравнение прямой, параллельной оси Оу. Окончательный вывод: общее линейное уравнение (38.4) всегда определяет на плоскости прямую линию (предполагается, что А и В одновременно нулю не равны).

Пример:

Построить прямые, заданные следующими уравнениями: a) 2x + 3y — 6 = 0; б) Зx +15 = 0.

Решение:

а) Определим точки пересечения данной прямой с осями координат. Для этого в уравнении положим сначала х = 0, а затем у = 0. Найдем точки (0, 2) и (3, 0) и проведем через эти две точки прямую (рис. 27).

б) В уравнении отсутствует член с у. Поэтому оно задает прямую, параллельную оси ординат. Находим х = —5 и строим прямую, параллельную оси ординат, расположенную слева от этой оси и отстоящую от нее на 5 единиц масштаба (рис. 27).

Квадратичная функция

Квадратичная функция .

Рассмотрим функцию

установим ее простейшие свойства и построим график этой функции.

1. Функция определена при всех значениях х; значения функции неотрицательны: она равна нулю при x = 0 и положительна при любых других значениях х. Следовательно, график функции проходит через начало координат и располагается выше оси Ох (имея с ней общую точку 0 (0, 0)).
2. Функция четная: ; график функции симметричен относительно оси Оу. Поэтому достаточно построить его для и затем зеркально отразить относительно Оу.
3. При функция —возрастающая; действительно, при имеем , т. е. . Для отрицательных х, т. е. в интервале (], функция убывает. Всего имеем два интервала монотонности:

1) интервал убывания (],

2) интервал возрастания [).

Точка O (0, 0)—точка минимума функции. В ней функция принимает свое наименьшее значение, равное нулю.

4. Для правильного изображения графика функции полезно рассмотреть более подробно характер ее изменения («поведение») при х, весьма близких к нулю, и при весьма больших х.

Если х принимает, например, большие положительные значения, скажем х = 10, х = 100, х = 1000 и т. д., то у также быстро растет (при функция также стремится к бесконечности). При этом у растет не только в абсолютном смысле, но и по отношению к х. Именно, находим из

откуда видно, что с увеличением х отношение y/x растет неограниченно, стремится к бесконечности. Поэтому график функции поднимается вверх (вправо) весьма круто (рис. 28).

При очень малых х, например при х = 0,1, х = 0,01, х = 0,001, у принимает, соответственно, еще более быстро убывающие значения 0,01; 0,0001; 0,000001, малые не только «абсолютно», но и по отношению к х (что видно из того же равенства (39.2)). Геометрически это означает, что наклон хорды, соединяющей точку (х, у) графика с точкой (0, 0), при малых х будет очень мал: график подходит к началу координат, тесно сближаясь с осью Ох, «касаясь» оси Ох (рис. 28).

Для более точного изображения графика составим еще небольшую табличку значений функции, например:

Полученные на рисунке точки соединим плавной линией с учетом общих, установленных выше свойств функции.

Графики функций имеют такой же характер; при ординаты графика функции отличаются множителем а от ординат графика функции . При получается график, симметрично расположенный с графиком относительно оси Ох.

На рис. 29 показаны графики функций при а = 1, 1/2, 2, — 1, —1/2, —2.

Напомним, что график функции вида называется параболой; ось симметрии графика называется осью параболы (здесь она совпадает с осью Оу), точка пересечения параболы со своей осью — вершиной параболы (здесь вершина совпадает с началом координат).

Функции более общего вида (37.3) (квадратные трехчлены) изучаются в п. 45.

Степенная функция

Степенная функция . Рассмотрим теперь функцию

при любом натуральном n. В случае n = 1 и n = 2 получаются уже знакомые функции: линейная у = х и квадратичная , графиками которых являются прямая (биссектриса I—III координатных углов) и парабола.

Можно также рассмотреть и несколько более общий случай функций вида . Их графики получатся из графиков функций аналогично тому, как параболы получались в п. 39. из параболы .

Можно указать на некоторые общие свойства рассматриваемых функций. Все они принимают нулевое значение при х = 0 (их графики проходят через начало координат). При четном п = 2k функция четная, так как . График симметричен относительно оси Оу. Если n — нечетное, n = 2k + 1, то и функция нечетная, так как . В этом случае график симметричен относительно начала координат.

Для функции (40.1) все являются возрастающими. При этом, чем больше показатель n, тем больше значения для ; напротив, при функции с большим показателем степени n принимают меньшие значения. Для х = 1 все функции принимают значения, равные 1.

Вот табличка, поясняющая это на примере отдельных значений:

Графики функций для n = 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 30. При n = 3 и n = 4 они соответственно называются параболами третьей и четвертой степени (парабола третьей степени называется также кубической параболой).

Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени

Начнем с исследования степенной функции в случае k = —1:

или с несколько более общей функции:

(в этом случае говорят, что х и у нахрдятся в обратной пропорциональной зависимости, а число m называют коэффициентом обратной пропорциональности). Равенство (41.2) записывают также в симметричной относительно х и у форме:

Таким образом, произведение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, постоянно и равно коэффициенту га ропорц иональности.

Проведем исследование функции (41.2) в случае m > 0.

1) Областью определения функции (41.2) служит вся ось Ох, кроме точки х = 0: эта область состоит из двух бесконечных открытых интервалов () и ().

2) Функция не обращается в нуль. Если х > 0, то (в силу m > 0) и у > 0, для отрицательных х функция также принимает отрицательные значения. Областью изменения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

3) Функция (41.2) нечетна (докажите); ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно поэтому рассмотреть лишь ту его часть, которая соответствует интервалу ().

График функции (41.2) обладает и симметрией относительно биссектрис координатных углов. Покажем, например, его симметрию относительно биссектрисы I—III углов. Запись (41.3) совершенно симметрична относительно х и у; поэтому, если точка лежит на графике функции, то и симметричная с ней точка , имеющая координаты , , лежит на том же графике; из равенства следует

Это соображение применимо всякий раз, когда соотношение между х и у можно представить в форме, симметричной относительно х и у, т. е. в виде F(х, у) = 0, причем функция F(х, у) удовлетворяет условию F(у, x) = F(x, y).

4) При х > 0 функция (41.2) убывающая; действительно, из следует , т. е. . Функция является убывающей и в интервале () (проверьте самостоятельно). Было бы ошибкой тем не менее считать функцию убывающей во всей области определения: в точке х = 0 она не определена, имеется два интервала ее монотонности: () и (), в каждом из которых она убывает.

5) Изучим характер изменения у при условии, что х принимает все большие положительные значения (стремится к бесконечности). Ясно, что у = m/х при этом будет приближаться к нулю, оставаясь все же положительным. Графически это означает, что кривая приближается (при движении точки вправо) к оси абсцисс, оставаясь выше оси абсцисс. Ось Ох является асимптотой графика обратной пропорциональности.

Если, напротив, заставить х приближаться к нулю, оставаясь положительным, то у будет неограниченно возрастать (стремиться к бесконечности). График имеет и вторую асимптоту — ось Оу (последнее ясно также из наличия асимптоты Ох и симметрии относительно прямой у = х). Кривая, соответствующая разобранному случаю m > 0, показана на рис. 31, а; случай m < 0 рассматривается аналогично, график изображен на рис. 31, б.

Кривая, служащая графиком обратной пропорциональной зависимости, называется равнобочной гиперболой. В обоих случаях m > 0 и m < 0 гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями гиперболы. Гипербола имеет оси

симметрии (здесь они совпадают с биссерктрисами координатных углов), две асимптоты (они совпали с координатными осями), центр симметрии (помещающийся в точке пересечения осей симметрии и асимптот).

На рис. 32 показаны графики функций при n = 2, n = 3; исследование этих функций предоставляется читателю.

В качестве примеров степенных функций с дробными показателями степени рассмотрим и .

Функцию можно рассматривать как обратную по отношению к ; поэтому можно построить ее график как кривую, симметричную с кубической параболой относительно биссектрисы I—III координатных углов (рис. 33). Ясно, что и не зная правила, относящегося к графикам взаимно обратных функций, мы могли бы переписать уравнение в равносильном виде и строить график функции как кубической функции от у.

В случае функции область определения — полуось . И здесь можно применить правило, относящееся к графикам взаимно обратных функций; в самом деле, если мы

рассмотрим функцию во всей ее области определения (), то она не будет монотонной и не будет иметь обратной функции. Возьмем, однако, функцию , ограничив область изменения х положительной полуосью (рис. 34). Теперь функция монотонна (на всей полуоси ) и имеет обратную функцию , график которой показан на том же рис. 34.

Покажем еще график функции , называемый часто полукубической параболой.

Проведем краткое исследование функции.

1) Область определения — вся числовая ось.

2) Функция неотрицательна и обращается в нуль только при х = 0; график функции проходит через начало координат и лежит выше оси абсцисс.

3) Функция четная, ее график симметричен относительно оси Оу.

4) Функция монотонно возрастает при положительных х (и монотонно убывает при отрицательных х, что видно, например, из симметрии графика относительно Оу).

5) При неограниченно растущем х функция также растет (стремится к бесконечности), но медленнее, чем х; равенство влечет за собой , т. е. при отношение y/х уменьшается, приближаясь к нулю. Это означает, что хорда, соединяющая точку (0, 0) с любой точкой , наклонена к оси Ох по мере удаления точки в бесконечность под все более острым утлом (рис. 35), график поднимается полого.

Исследуем еще вид кривой вблизи начала координат. Здесь при малых значениях х отношение , показывающее наклон хорды, весьма велико, кривая входит в начало координат, тесно приближаясь к оси Оу (касаясь оси Оу). График на рис. 35 построен с учетом этого исследования и с использованием отдельных точек (0, 0), (1/8, 1/4), (1, 1), (8, 4).

Аналогичными приемами могут быть исследованы функции с любыми рациональными показателями степени.

Показательная функция

Функция вида

при называется показательной функцией.

Исследуем эту функцию.

1) Областью определения функции (42.1) служит вся ось абсцисс, т. е. бесконечный интервал ().

2) Функция (42.1) не является ни четной, ни нечетной.

3) Функция положительна при всех значениях аргумента, поэтому ее график весь располагается выше оси абсцисс. Если , то при и при . Напротив, если , то при и при . В любом случае . График проходит через точку (0, 1) на оси Оу.

4) Если , то функция монотонно возрастает; если , то она монотонно убывает. Действительно, пусть, например, . При имеем

в этом выражении оба множителя положительны и . Аналогично доказывается убывание функции в случае .

5) Пусть ; как мы видели, функция возрастает; можно показать, что при этом ее значения по мере возрастания х становятся сколь угодно большими. График функции круто поднимается вверх при движении точки х по оси абсцисс вправо.

Если теперь заставить переменную точку х двигаться без ограничений по оси Ох влево, то при этом значения функции (42.1) будут становиться все меньше и меньше, оставаясь, однако, положительными. По мере неограниченного движения точки х по оси Ох влево график функции (42.1) будет сверху все ближе и ближе подходить к оси Ох. Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции (42.1), как показано на рис. 36, а.

В случае функция , как уже отмечено, убывает; по мере возрастания х ее значения быстро приближаются к нулю — ось Ох является асимптотой графика функции. Отрицательным значениям х теперь соответствуют значения функции, большие единицы, с увеличением модуля х () функция растет, стремится к бесконечности. График показательной функции при показан на рис. 36, б.

Чем больше основание , тем круче поднимается график функции вправо и тем быстрее приближается к асимптоте

при движении точки влево. На рис. 37 показаны графики показательных функций при значениях основания а = 2, 3, 1/2, 1/3. Заметим, что графики и (или и ) соответственно симметричны относительно оси Оу. Действительно, можно записать как если точка (х, у) принадлежит графику функции , то точка (—х, у), симметричная ей относительно оси Оу, лежит на графике .

Замечание:

Исключение из числа значений основания а чисел а = 0, а = 1 и отрицательных значений а объясняется следующими обстоятельствами. При а = 0 выражение вида определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю. При а = 1 выражение определено при всех х, но снова имеет постоянное значение (тождественно равно единице). Для отрицательных а возможно возведение в целую степень х = n или в рациональную степень x = p/q с нечетным знаменателем q; имеет смысл в случае а < 0 лишь при указанных сравнительно «редких» значениях а. Поэтому а = 0 и а = 1 исключают из определения показательной функции в силу того, что эти случаи неинтересны (приводят к постоянным), а а < 0 — в силу того, что область допустимых значений х не является «сплошной», а состоит из «разрозненных» точек. Само аналитическое выражение в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения точка х = —1, у = —1 входит в о.д.з.

Логарифмическая функция

Функция вида

где называется логарифмической функцией.

Чтобы построить график логарифмической функции, проще всего заметить, что она является обратной функцией для показательной функции. Действительно, если , то , и обратно. Функции и —взаимно обратные функции, их графики расположены зеркально-симметрично относительно биссектрисы I—III координатных углов.

Этим мы и воспользовались при построении на рис. 38 графика логарифмической функции по известному (изображенному здесь пунктиром) графику показательной функции

(рис. 38, а относится к случаю , а рис. 38, б — к случаю ).

Отметим, что графики логарифмических функций в обоих случаях расположены правее оси ординат Оу, поскольку логарифмическая функция определена лишь для положительных значении независимой переменной x. При всяком основании a ( или ) графики проходят через точку (1, 0). Число х = 1 служит нулем логарифмической функции при любом а.

При логарифмическая функция (43.1) является возрастающей функцией, при — убывающей.

Преобразование графиков

Параллельный сдвиг графика

Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. Так, если известен график функции y = f(x), то можно построить графики функций вида

1) Построение графика функции (сдвиг графика в направлении оси ординат). Вспомним, что график линейной функции у = ах + b получался из графика функции y = ax сдвигом на |b| единиц (вверх или вниз, смотря по знаку b) в направлении оси Оу (см. рис. 25).

Точно так же ясно, что ординаты графика функции получаются из ординат графика функции y = f(x) прибавлением постоянного слагаемого , т. е. для получения графика надо весь график у = f(х) переместить параллельно оси Оу на единиц вверх или вниз, смотря по знаку (рис. 39).

2) Построение графика функции (сдвиг графика в направлении оси абсцисс). Пусть по графику функции у = f(х) нужно построить график функции . Эту задачу можно решить переносом графика функции у = f(х) на единиц масштаба влево, если , и вправо, если (рис. 40).

Пойсним это на следующем примере. Рассмотрим функцию и сравним ее график с графиком функции . Одни и те же ординаты мы получим, если для функции будем брать абсциссы на единицу меньшие, чем для . Абсциссы всех точек графика следует уменьшить на единицу, т. е. сдвинуть график влево на одну единицу масштаба (рис. 41, а).

По таким же соображениям видно, что график функции получится из графика функции сдвигом на две единицы вправо (рис. 41, б).

Оба сдвига — в направлении осей Ох и Оу — могут применяться одновременно. Так, для построения графика функции следует график функции снести на две единицы вдоль оси Ох вправо и на одну единицу вдоль оси Оу вниз (рис. 41, б).

Пример. Построить графики функций: а) ; б) .

Решение:

а) График функции получится из известного графика функции (рис. 30) сдвигом на две единицы влево и на одну единицу вверх (рис. 42, а).

б) Решение понятно из рис. 42, б. Область определения функции здесь — бесконечный интервал [).

В некоторых случаях вместо сдвига графика пользуются переносом начала координат (п. 8, рис. 6). Покажем, как это делается, на примере функции , график которой уже был показан на рис. 41, в.

Возьмем точку О’ (вершину параболы) с координатами (2, —1) (рис. 43) и перенесем в нее начало координат; при этом связь между старыми и новыми координатами по формулам (8.1) будет такая: х — 2 = х’, у + 1 = у’. В новых координатных осях уравнение параболы примет простейший вид ; парабола строится уже по ее новому уравнению непосредственно относительно новой системы координат.

График квадратного трехчлена

Квадратным трехчленом мы назвали целую рациональную функцию второй степени (37.3):

где . Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными сдвигами (в на правлениях координатных осей) из параболы . Для этоп приведем выражение (45.1) путем простых тождественных преобразований к виду

Соответствующие преобразования, записанные ниже, известны как «выделение точного квадрата»:

Мы привели квадратный трехчлен к виду (45.2); при этом

(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (45.1) к виду (45.2) непосредственно).

Теперь видно, что график трехчлена (45.1)—парабола, равная параболе и получаемая сдвигами параболы в направлениях осей координат на и (с учетом знака и ) соответственно. Вершина этой параболы помещается в точке (), ее осью служит прямая . При вершина— наинизшая точка параболы, при — наивысшая.

Пример. Построить графики функций: а) ; б) .

Решение:

а) Преобразуем квадратный трехчлен:

Вершина параболы — точка О’ (—1, —8), ось — прямая х = —1. Вершина здесь — наинизшая точка графика (минимум и наименьшее значение функции получаются при х = —1). Наметим еще точки пересечения графика с осями координат: при х = 0 имеем у = —6. Если у = 0, то , . По указанный данным парабола построена на рис. 44, а.

б) На рис. 44, б показан график второй функции

Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов а, b, с в его выражении (45.1).

Обозначим в равенстве (45.2′) величину через d:

называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (45.1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта d и старшего коэффициента а.

1) а > 0, d < 0. Вершина графика. О’ (—b/(2a), —d/(4a)) лежит выше оси Ох, поскольку —d/(4a) > 0; так как а > 0, то график расположен выше вершины О’; он лежит в верхней полуплоскости (у > 0; рис. 45, а).

2) а < 0, d < 0. Вершина О’ (— b/(2a), —d/(4a)) лежит ниже оси Ох и является наивысшей точкой графика. Парабола расположена в нижней полуплоскости (у < 0; рис. 45, б).

3) а > 0, d > 0. Вершина О’ лежит ниже оси Ох, парабола пересекает ось Ох в двух точках (рис. 45, а).

4) а < 0, d > 0. Вершина О’ лежит выше оси Ох, парабола снова пересекает ось Ох в двух точках (рис. 45, г).

5) а > 0, d = 0. Вершина лежит на самой оси Ох, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. 45, д).

6) а < 0, d = 0. Вершина снова лежит на оси Ох, но парабола расположена в нижней полуплоскости (рис. 45, е).

Выводы. Если d < 0, то график функции весь лежит либо выше (при а > 0), либо ниже (при а < 0) оси абсцисс. Функция с d < 0 знакопостоянна. Если d = 0, то положение отличается лишь тем, что вершина параболы лежит на оси Ох (функция знакопостоянна, но в одной точке обращается в нуль).

Если d > 0, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси Ох). Квадратный трехчлене d > 0 имеет два корня (нуля) . При а > 0 он отрицателен в интервале между корнями (рис. 45, в) и положителен вне этого интервала. При а < 0 он положителен в интервале между корнями (рис. 45, г) и отрицателен вне этого интервала.

Все эти сведения будут использованы в теории квадратных уравнений и при решении квадратных неравенств (пп. 61, 79).

График дробно-линейной функции

Так же как построение графика квадратного трехчлена полностью сводится к построению графика квадратичной функции , исследование дробно-линейной функции (37.5)

и построение ее графика сводятся к построению графика обратной пропорциональности (равнобочной гиперболы). Именно докажем, что график функции (46.1) получается параллельным сдвигом графика функции y = k/x вдоль осей Ох и Оу. Для этого приведем тождественными преобразованиями выражение (46.1) к виду

Рассмотрим два случая: и .

1) Пусть . Тогда

т. е. мы привели выражение у к виду (46.2) при

(запоминать эти формулы не нужно).

2) Если а = 0, то преобразование проводится еще проще:

Пример. Построить графики функций:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Перепишем у в виде .

График получается из графика функции сдвигом влево на 3/4 единицы; его асимптотами будут прямые у = 0 и х = —3/4; для построения графика использована также точка его пересечения с осью Оу: х = 0, у = 2/3. График изображен на рис. 46, а.

б) Имеем

Асимптоты графика — линии х = —3 и у = 1; точки пересечения с осями координат: (0, 1/3) и (—1, 0). График построен на рис. 46, б.

в) График показан на рис. 46, в.

Замечание:

Условие (46.1) имеет простой смысл: если ad — bс = 0, то числитель и знаменатель в записи формулы (46.1), задающей функцию, пропорциональны и при всех значениях функция сводится к постоянной: у = а/с. Этот случай естественно исключить.

Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика

Если имеется график функции y = f(x), то нетрудно построить графики функций у = — f(x), y = f(—х), у = — f(—х). Эти графики будут симметричны с графиком функции y = f(x) относительно оси Ох, оси Оу, начала координат соответственно. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) у = — f (х); точки этого графика будут симметричны с точками графика функции y = f(x) относительно оси Ох (каждой точке (х, f(х)) отвечает точка (х, —f(x)), симметричная с ней).

2) y = f(—х); в этом случае область определения функции y = f(—х) состоит из точек, оси Ох, симметричных с точками области определения функции у = f(х) относительно начала координат. Например, функция определена при , функция же определена при . Графики функций у = f(х) и у = f(—х) состоят из попарно симметричных относительно оси Оу точек (х, f(х)) и (—х, f(x)).

3) у = f(—х); точки этого графика будут соответственно расположены симметрично точкам (х, f(х)) графика y = f(x) относительно начала координат.

На рис. 47 показан график некоторой функции y = f(x) и графики функций y = — f(x), y = f( — x), y = — f( — x).

По графику функции y = f(x) можно также построить график функции вида

Положим для определенности (случай сведется к случаю положительного после преобразования симметрии рассмотренного только что).

Ясно, что график функции получится из графика функции y = f(x) умножением всех ординат на одно и то же число ( так получались, например, графики функций по графику функции ). Если (например, , как на рис. 48), то можно сказать, что график растягивается в раз в направлении оси Оу. При (на рис. 48 показан случай ) «растяжение» в раз удобней назвать сжатием (в раз).

Наконец, покажем еще, как по графику функции y = f(x) найти график функции . Пусть сначала . Тогда точкам графика y = f(x) с координатами (х, у) можно поставить в соответствие точки графика с теми же ординатами у и абсциссами в раз меньшими, чем абсциссы х графика y = f(x). Так, в случае мы будем получать равные значения функций y = f(x) и y = f(2х), выбирая для второй вдвое меньшие абсциссы, чем для первой. При действие деления абсцисс х на приведет не к уменьшению (сжатию), а к увеличению (растяжению) абсцисс. На рис. 49 показаны график некоторой функции y = f(x) (заданной на сегменте [a, b]) и графики функций у = f(2х), y = f(x/2). Заметим, что сама область оси Оx, в которой задана функция y = f(х), соответственно растягивается или сжимается.

Рассмотренные преобразования могут осуществляться одновременно в разных сочетаниях. Так, чтобы по графику функции y = f(x) построить график функции у = —3f (2х), cледует выполнить преобразования:

1) сжатия в направлении Ох в два раза,

2) растяжения в направлении оси Оу в три раза,

3) отражения отнсительно оси Ох.

Преобразования сжатия (растяжения) в направлениях осей Ох и Оу встретятся, например, при построении графиков некоторых тригонометрических функций (п. 112).

Построение графиков функций у = |f(x)|, y = f(|x|), y = |f (|x|)

Если дан график функции y = f (x), то легко можно получить и графики функций у = |f(x)|, y = f(|x|), y = |f (|x|) .

1) y = |f(х)|; ясно, что область определения у этой функции та же, что и у функции у = f(х). Если для данного х значение , то ординаты обоих графиков совпадают, графики имеют общую точку. При f(х) < 0, в силу определения модуля (п. 6), |f (х)| = — f(х) и точки графиков симметричны относительно оси Ох. Таким образом, все точки графика функции у = f(х), лежащие выше оси абсцисс и на ней, принадлежат также и графику функции y = |f(x)|; все точки графика функции у = f(х), лежащие ниже оси абсцисс, нужно зеркально отразить относительно этой оси, чтобы получить точки графика функции y = |f(x)|, соответствующие тем же абсциссам (рис. 50).

2) Для построения графика функции y = f(|х|) заметим, что при всех будет |x| = x и, значит, f(|х|) = f(х). Таким образом, все точки графика функции y = f(x), расположенные в правой полуплоскости, будут принадлежать также и графику функции y = f(|x|). Далее, функция y = f(|х|) — четная (п. 33).

В самом деле, |—x| = |x| и, значит, f(| —х|) = f(|х|). Поэтому для построения графика функции y = f(|x|) по графику функции y = f(x) нужно сохранить без изменения часть данного графика, расположенную в правой полуплоскости, и зеркально отразить ее относительно оси ординат (при этом часть графика y = f(x), расположенную в левой полуплоскости, нужно отбросить). Соответствующая иллюстрация дается на рис. 51.

3) Для построения графика функции у = |f(|х|)| следует последовательно перейти от графика функции y = f (x) к графику функции y = f(|x|), а затем от него — к графику у = |f(|х|)| . Пример показан на рис. 52.

Пример:

Построить графики следующих функций: а) у = х — 1; б) у = |x — 1|; в) у = |х| — 1 ; г) у = ||x|— 1|.

Решение:

Каждая из заданных функций определена на всей оси абсцисс. В качестве основного возьмем график функции у = х — 1 и из него подходящим преобразованием получим все другие требуемые графики.

а) График линейной функции у = х — 1 изображен на рис. 53, а.

б) Для построения графика функции у = |х — 1| следует часть графика функции у = х — 1, лежащую ниже оси Ох, зеркально отразить в оси Ох (рис. 53, б).

в) В соответствии с общим правилом построения графика функции y = f(|x|) по графику функции y = f(x) поступаем так:

берем график функции y = х — 1; часть его, лежащую левее оси Оу, отбрасываем, а часть, лежащую правее oси Оу, зеркально отражаем в оси Оу. В результате получаем график функции у = |х| — 1 (рис. 53, в).

г) Пользуясь уже имеющимся графиком функции у = |х|— 1, получаем график у = ||x| — 1|, как показано на рис. 53, г.

Пример:

Построить графики следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение:

Каждая из данных функций определена на всей оси абсцисс. В качестве основного возьмем график функции .

а) Перепишем выражение, задающее функцию, в виде ; график функции — парабола с вершиной (2, — 1) (рис. 54, а).

б) График функции показан на рис. 54, б.

в) Заметим, что функцию можно представить в виде (так как ); график этой функции изображен на рис. 54, а.

г) График функции показан на рис. 54, г.

Пример:

Построить графики следующих функций:

a) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение:

а) График функции получается из графика сдвигом на три единицы вправо. На рис. 55, а показаны оба указанных графика.

б) Записываем функцию в виде

Ее график получается из графика сдвигом на две единицы вверх (рис. 55, б).

в) График получается растяжением в направлении оси Оу в два раза (рис. 55, в) из графика .

г) ; построение понятно из рис. 55, г.

д) ; построение понятно из рис. 55, д.

Сложение графиков

Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить прием графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков). Покажем этот прием на примерах.

Пример:

Построить график функции .

Решение:

Можно представить данную функцию как сумму функций и , графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 56 тонкими линиями: это — прямая и кубическая парабола . Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере — вершину О (0, 0) параболы, точки пересечения прямой с осями и т. д.).

Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем многое сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т. д. Положение этих характерных точек ее графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.

Пример:

Построить график функции .

Решение:

График данной функции можно получить сложением графиков показательной функции (п. 42) и линейной функции (п. 38). Это сделано на рис. 57.

График пересекает ось Ох в точках х = 1, х = 2, являющихся нулями функции .

Обратим еще внимание на то, что прямая является асимптотой графика (так как при х, стремящемся к минус бесконечности, разность между значениями функций и стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти ее точное положение для нас затруднительно.

Пример:

Построить график функции .

Решение:

График может быть построен вычитанием ординат графика из ординат графика (рис. 58). В данном случае полезно дополнить это построение некоторым общим исследованием свойств функции .

Ясно, что функция определена для всех значений х и является четной. Она обращается в нуль при х = 0, х = ±1. Как видно из построения графика методом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их нетрудно найти;

преобразуем выражение функции:

Теперь видно, что наибольшее значение функция имеет при . Точка является точкой минимума данной функции (но значение функции в этой точке, равное нулю, не есть ее наименьшее значение).

Некоторые сведения о рациональных функциях

Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов

Мы определили понятия целой и дробной рациональной функции от х; ц. р.ф. степени n задавались в виде

а д. р.ф.— как частное от деления двух ц. р.ф.:

Ц. р.ф. определена при всех значениях аргумента, а д. р.ф. не определена только в нулях знаменателя.

При сложении, вычитании, умножении и делении рациональных функций вновь получаются рациональные функции. Здесь мы остановимся на вопросе о делении двух целых рациональных функций (или о делении двух многочленов от х).

Напомним сначала определение частного и остатка при делении натуральных чисел (п. 6): если а и b—два любых натуральных числа, то всегда можно найти два других числа q и r такие, что

и r < b. Число q называется частным, а r — остатком при делении а на b.

Весьма сходным образом мы определим теперь частное и остаток при делении двух многочленов. Пусть

и

— два произвольных многочлена. Назовем два других многочлена Q (х) и R (х), удовлетворяющие условиям:

соответственно частным и остатком при делении многочленов и . Заметим, что, вместо условия «остаток меньше делителя» в случае чисел, для многочленов вводится условие «степень остатка меньше степени делителя».

В этом определении подразумевается, что равенство (50.3) имеет тождественный характер: если произвести действия умножения и сложения многочленов в его правой части, то получится многочлен с теми же коэффициентами при соответствующих степенях х, что и у .

Пример:

В записи

— частное, а 2 — остаток от деления на .

Пример:

В записи

— частное от деления на , а остаток равен нулю.

Определение:

Говорят, что многочлен делится на многочлен нацело, если существует многочлен Q (х) такой, что

(иначе: остаток при делении на равен нулю).

Следует поставить вопросы: всегда ли для двух многочленов и существуют частное и остаток, единственным ли образом определены частное и остаток? Не приводя доказательства, даем ответ на эти вопросы: каковы бы ни были два многочлена и (), существуют единственным образом определенные многочлены Q (х), R (х), являющиеся частным и остатком при делении на .

Так как, очевидным образом, степень многочлена-произведения равна сумме степеней многочленов-сомножителей, то нетрудно сделать вывод: при степень частного от деления на равна разности степеней n — m; при n < m частное тождественно равно нулю; в последнем случае

, т. е.

(аналогично тому, как при делении 5 на 7 получим: ).

При наше утверждение о степени Q (х) выясняется из сравнения степеней многочленов в обеих частях равенства

Так как степень R (х) по определению меньше m, то она также меньше степени . Степень должна равняться степени , откуда степень Q (х) равна n—m.

Напомним на примере метод деления многочленов (деление «углом»).

Пример:

Найти частное и остаток при делении

на

Решение:

Ограничимся пояснением первых шагов: делим старший член делимого на старший член делителя; получаем . Умножаем делитель на и результат подписываем под делимым. Вычитаем подписанный результат из делимого и снова делим старший член разности на старший член делителя … Процесс заканчивается, когда очередной остаток при вычитании имеет степень, меньшую степени делителя (или просто равен нулю).

Таким образом,

Если обе части равенства P(x) = S(x) Q (x) + R(x), определяющего частное и остаток от деления Р(х) на S(x), разделить почленно на S(х), то получим равенство

представляющее дробную рациональную функцию в виде суммы целой части Q (х) и дроби , у которой степень числителя меньше степени знаменателя (правильная рациональная дробь). Это сходно с разложением числовой дроби (рационального числа) на целую и дробную части.

Схема Горнера

Рассмотрим более подробно процесс деления многочлена на линейный двучлен вида . В этом случае деление упрощается и может быть проведено по специальной схеме, называемой обычно схемой Горнера.

Запишем основное равенство, определяющее частное и остаток, в случае делителя вида ; частное имеет степень n—1, а остаток — нулевую степень, т. е. просто является числом:

Как уже указывалось, это равенство—тождественное, многочлены в его левой и правой частях совпадают; раскрыв скобки, получим равенства, выражающие совпадение коэффициентов при одинаковых степенях х:

Отсюда последовательно находим

Вычисление коэффициентов частного и остатка располагают в такой таблице:

Верхняя строка таблицы заполняется сразу; в нижней строке помещаются коэффициенты частного и остаток; она заполняется постепенно, слева направо. В каждой клетке нижней строки записывается сумма коэффициентов из верхней строки и умноженного на а результата, записанного в соседней слева клетке нижней строки.

Пример:

Выполнить деление многочлена на по схеме Горнера.

Решение:

Составляем таблицу:

Частное равно , остаток .

Пример:

Разделить, пользуясь схемой Горнера, многочлен на двучлен . Здесь а = —1. В остальном решение выполняется так же:

Частное равно , остаток равен 9.

Замечательно, что остаток от деления многочлена на двучлен может быть найден независимо от выполнения деления, без отыскания частного. Действительно, положим в равенстве

. Так как равенство тождественное, то оно удовлетворится и мы найдем

Остаток от деления многочлена на двучлен вида равен значению многочлена при :

Как следствие отсюда вытекает

Теорема Безу

Многочлен делится без остатка на двучлен в том и только в том случае, когда а — корень многочлена.

Пример:

Найти остаток от деления многочлена на двучлен (не выполняя деления).

Решение:

Значение остатка находим так:

Пример:

При каком значении многочлен

разделится на х + 2 нацело?

Решение:

Для того чтобы деление выполнялось нацело, в силу теоремы Безу необходимо и достаточно, чтобы число —2 было нулем многочлена. Имеем

откуда находим: многочлен разделится на х + 2 нацело, если (и только при этом условии).

Пользуясь теоремой Безу, легко выяснить, при каких условиях выражения вида ()

будут делиться на , без остатка.

1) делится на при любом n. Действительно,

откуда делимость вытекает в силу теоремы Безу.

2) делится на при четном n и не делится при нечетном n. Действительно, находим

3) делится на при нечетном n и не делится при четном n; не делится на ни при каком n.

Доказательство аналогично и предоставляется читателю.

Нули многочлена. Разложение многочлена на множители

Ц. р.ф. или многочлен можно рассматривать не только при действительных значениях х, но и при любых комплексных значениях z; в самом деле, все действия, необходимые для получения значения многочлена

имеют смысл при любом комплексном z (мы сохраним обозначение х для действительной части z = x + iy). Разумеется, при этом и значения, принимаемые многочленом, будут, вообще говоря, комплексными числами. Однако вполне возможно, что при некоторых комплексных (мнимых) значениях z многочлен не только будет иметь действительные значения, но может обращаться в нуль. В дальнейшем, в гл. V, изучая алгебраические уравнения, мы будем искать все их корни, а не только действительные. Поэтому полезно сейчас рассмотреть вопрос о значениях многочлена при комплексных значениях z.

Даламбером была сделана попытка доказать, а Гауссом окончательно доказано важное предложение:

Всякий многочлен степени имеет в комплексной области хотя бы один корень.

Это предложение, устанавливающее существование корня многочлена (быть может, не действительного), носит название основной теоремы алгебры. Теорема эта верна даже и для многочленов с комплексными коэффициентами, но мы ограничиваемся только случаем многочленов с действительными коэффициентами. Доказательства теоремы Гаусса мы привести не можем.

В п. 15, говоря о комплексно сопряженных числах, мы отметили, что сумма, разность, произведение чисел, комплексно сопряженных с данными, комплексно сопряжены, соответственно, с их суммой, разностью, произведением. Отсюда вытекает утверждение:

Значения многочлена (52.1) при комплексно сопряженных значениях сопряжены между собой.

Доказательство. Значения , , выражаемые равенствами

будут сопряжены, так как получаются одинаковьши действиями над сопряженными числами. В самом деле, —действительные коэффициенты, и они, следовательно, сами себе сопряжены: , , … , . Поэтому можно написать

и из сравнения и получим .

Следствие. Если многочлен имеет комплексный корень , то и сопряженное число является его корнем.

В самом деле, если , то и

Пусть теперь а — действительный корень многочлена (52.1). По теореме Безу разделим на и напишем

Если , то многочлен также обязан иметь корень. Может случиться, что число а снова является его корнем. Тогда повторим деление на и получим

Пусть, вообще говоря, деление на () нацело удается выполнить k раз, но уже не удается в (k + 1)-й раз. Тогда а мы называем k—кратным корнем многочлена и пишем

Многочлен здесь уже не делится на () нацело. Если k = 1, то корень а называется однократным или простым; если k > 1, корень a называется кратным.

Может быть, многочлен также имеет действительный корень (кратности l). Тогда мы напишем

и продолжим этот процесс до исчерпания всех действительных корней . Если при этом в записи

Рп (г)= (г-a)* (г-р)<.. . />„, (г) (52.2)167

и, следовательно, последний множитель —константа, то процесс привел нас к отысканию всех корней многочлена и разложению многочлена на линейные множители. Сравнение степеней даст нам при этом

т. е. сумма кратностей корней равна степени многочлена. Говорят проще, что многочлен имеет столько корней, какова его степень (считая каждый кратный корень столько раз, какова его кратность).

Может, однако случиться, что на некотором шаге в записи (52.2) многочлен положительной степени уже не имеет ни одного действительного корня. Тогда, в силу основной теоремы алгебры, он имеет комплексный корень . Вместе с тем он имеет и корень . Нетрудно было бы распространить теорему Безу и на случай деления на двучлен с мнимым а. Многочлен должен делиться поэтому на и на . Для того чтобы не вводить эти мнимые сомножители в разложение многочлена на множители, можно, вместо последовательного выполнения деления на и , разделить сразу на произведение

которое уже оказывается квадратным трехчленом с действительными коэффициентами (и отрицательным дискриминантом:

В результате в записи разложения на множители появятся множители вида (снова однократные или повторяющиеся):

где последнее частное — число. Сравнение коэффициента при в левой и правой частях равенства (52.2′) покажет, что . Поэтому окончательно разложение многочлена с действительными коэффициентами на действительные множители имеет вид

Вывод: многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение (повторяющихся или нет) линейных двучленов вида и квадратных трехчленов вида . Число всех корней многочлена с учетом их кратности равно его степени n.

Пример. Число х = 1 является корнем многочлена

Указать кратность корня х = 1 и разложить Р(х) на множители

Решение:

Применяя схему Горнера для деления многочлена на x — 1 (можно обойтись и без схемы Горнера, выполнив деление обычным способом, как в п. 50):

Таким образом, частное равно :

Многочлен, найденный как частное от деления, снова делим на х — 1:

Получаем частное и еще раз делим его на х — 1:

Теперь остаток отличен от нуля, поэтому окончательно

где уже не делится на х — 1 без остатка. Корень х = 1 — двукратный корень многочлена. Трехчлен имеет комплексно сопряженные корни (см. п. 59), так как его дискриминант отрицателен: . Разложение на множители, записанное в форме (52.4), имеет вид

Графики функций — решение и построение по всем темам

При изучении темы «Графики функций» вы научитесь исследовать поведение функции: находить ее область определения, асимптоты, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба, а также воплощать полученные результаты в виде эскиза графика. Кроме того, вы
научитесь находить наименьшие и наибольшие значения функции, непрерывной на отрезке, и исследовать локальное поведение функции по ее производным высших порядков.

Общая схема построения графика функции

Постановка задачи. Исследовать функцию у = f(x) и построить ее график.

План решения. Полученные в каждом пункте результаты последовательно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомого графика и в итоге получаем эскиз графика.

1.Находим область определения D функции f(x) и исследуем
ее поведение в граничных точках области D,
включая и

а) Пусть (k = 1, 2,…, n) — конечная граничная точка
области D (т.е. f(x) не определена в этой точке). Вычисляем односторонние пределы и/или

Если хотя бы один из этих пределов бесконечен, то — вертикальная асимптота графика f(x).

б) Исследуем поведение функции при

если существуют конечные пределы

то прямая у = kх + b — наклонная асимптота графика функции f(x)
при (если k = 0, т.е. то у = b — горизонтальная асимптота).

Аналогично исследуется поведение функции при .
Отметим, что асимптоты при и при могут быть
разными.

2.Выясняем четность и периодичность функции.

Если f(—x) = f(x), то функция f(x) называется четной. Графики
четных функций симметричны относительно оси OY. Поэтому график четной функции достаточно построить для х > 0 и нарисовать
весь график, отразив полученную кривую относительно оси OY.

Если f(—x) = —f(x), то функция f(x) называется нечетной. Графики нечетных функций симметричны относительно точки (0, 0). Поэтому график нечетной функции достаточно построить для х > 0 и
нарисовать весь график, отразив полученную кривую относительно
точки (0,0).

Если f(x+T) = f(x) при некотором Т > 0, то функция f(x) называется периодической. График периодической функции имеет одну
и ту же форму на каждом из отрезков …, [—2Т, — Т], [—Т, 0], [0,Т],
[Т, 2Т], … Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь
одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на
остальных отрезках.

3.Находим точки пересечения графика с осями координат. Для
этого вычисляем f(0) и решаем уравнение f(x) = 0.

4.Находим точки максимума и минимума функции и интервалы
монотонности. Для этого:

а) вычисляем производную f'(x) и находим критические точки
функции, т.е. точки, в которых f'(x) = 0, или не существует.
Отметим, что если f'(a) = 0, то касательная к графику в этой точке
горизонтальна, если f (а) = , то касательная вертикальна.

б) определяя знак производной, находим интервалы возрастания
и убывания функции: если f'(x) > 0, то функция возрастает, если
f'(x) < 0, то функция убывает;

в) если производная меняет знак при переходе через критическую точку то а — точка экстремума:

если f'(x) > 0 при и f'(x) < 0 при то а — точка максимума;

если f'(x) < 0 при и f'(x) > 0 при то
а — точка минимума;

если производная сохраняет знак при переходе через критическую
точку, то в этой точке экстремума нет.

5.Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости
вверх и вниз. Для этого:

а) вычисляем производную f»(x) и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых f»(x) = 0, или
f»(x) не существует;

б) определяя знак второй производной, находим интервалы вы-
выпуклости вверх и вниз: если f»(x) > 0, функция выпукла вниз, если
f»(x) < 0, функция выпукла вверх;

в) если вторая производная меняет знак при переходе через точку
в которой f»(x) = 0, или не существует, то а — точка
перегиба (при = 0 график имеет горизонтальную касательную,
при f'(a) = — вертикальную касательную).

6.Уточняя полученный эскиз (например, можно определить еще
координаты каких-нибудь точек) и соединяя элементы графика, полученные в окрестностях граничных точек области определения (вблизи асимптот), критических точек и точек перегиба, получаем график функции y = f(x).

Пример. Исследовать функцию и построить ее
график.

Решение:

Полученные в каждом пункте результаты последовательно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомого гра-
графика и в итоге получаем эскиз графика.

1.Находим область определения D. Очевидно, что функция определена при всех х, кроме х = 2. Поэтому

Исследуем поведение функции в граничных точках области D.

а) Вычисляем пределы:

Следовательно, прямая х = 2 — вертикальная асимптота, причем
функция при приближении к ней слева и справа неограниченно возрастает (рис. 1).

б) Исследуем поведение функции при :

и при :

Следовательно, у = х/4 + 1 — наклонная асимптота при
Заметим, что при достаточно больших положительных х f(x) > х/4 + 1,
т.е. при график функции приближается к асимптоте сверху, а при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных х f(x) < х/4 + 1, т.е. при график функции приближается к асимптоте снизу (рис. 2).

2.Функция не обладает свойствами четности и периодичности.

3.График функции пересекает оси координат в единственной
точке (0, 0).

4.Находим точки максимума и минимума функции и интервалы
монотонности. Для этого:

а) вычисляем первую производную:

Критические точки функции, принадлежащие области определения
D, суть х = 0 и х = 6. Поскольку у'(0) = 0 и у'(6) = 0, касательная к
графику в этих точках горизонтальна (рис. 3);

б) определяя знак производной, находим интервалы возрастания
и убывания функции: функция возрастает в интервалах ( 2) и
F, ) и убывает в интервале B, 6);

в) при переходе через критическую точку х = 0 производная не
меняет знак, следовательно, в этой точке экстремума нет.

При переходе через критическую точку х = 6 производная меняет
знак, следовательно, в этой точке экстремум есть.

Так как у’ < 0 при и у’ > 0 при то
F,27/8) — точка минимума (рис. 4).

5.Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости
вверх и вниз. Для этого:

а) вычисляем вторую производную

Единственная точка, принадлежащая области определения функции,
в которой у» = 0, это точка х = 0;

б) определяя знак второй производной, находим интервалы вы-
выпуклости вверх и вниз: функция выпукла вверх в интервале (0) и выпукла вниз в интервалах (0, 2) и (2, ).

Отметим, что направление выпуклости соответствует расположению графика относительно асимптот:

при х < 0 функция выпукла вверх и график приближается к наклонной асимптоте снизу;

при функция выпукла вниз и график приближается к
вертикальной асимптоте х = 2 слева;

при функция выпукла вниз и график приближается к
вертикальной асимптоте х = 2 слева, а к наклонной асимптоте сверху;

в) так как вторая производная меняет знак при переходе через
точку х = 0, то (0, 0) — точка перегиба (с горизонтальной касательной) (рис. 5).

6.Уточняя полученный эскиз (например, можно определить еще
координаты каких-нибудь точек) и соединяя элементы графика, полученные в окрестностях граничных точек области определения (вблизи асимптот), критических точек и точек перегиба, получаем график функции у = f(x) (рис. 6).

Наибольшее и наименьшее значения функции

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [а, b].

План решения. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) на данном отрезке [а, b] достигаются в критических точках функции (точках, в которых f'(x) = 0, или f'(x) не
существует) или на концах отрезка [а, b].

1.Проверяем, что заданная функция на данном отрезке является
непрерывной.

2.Ищем производную заданной функции.

3.Находим критические точки функции f(x) и выбираем из них
те, которые принадлежат данному отрезку [а, b].

4.Вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка. Сравнивая полученные значения, находим наибольшее М и наименьшее m значения функции на [а, b].

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [—1, 2].

Решение:

1.Заданная функция является непрерывной на отрезке [—1,2], так
как является отношением непрерывных функций со знаменателем, не равным нулю

2.Вычисляем производную заданной функции:

3.Критическими точками заданной функции являются х = 0 и
х = — 2. Данному отрезку [—1,2] принадлежит только точка х = 0.

4.Вычисляем значение функции в точке х = 0 и значения функции
на концах заданного отрезка. Имеем

f(0)=5, f(-1)=0, f(2)=3.

Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение
функции m = 0 достигается в точке х = — 1, а наибольшее значение M = 5 — в точке х = 0.

Ответ. Функция принимает наименьшее значение m = 0 в точке
x = — 1, а наибольшее значение M = 5 — в точке х = 0.

Исследование функции с помощью производных высших порядков

Постановка задачи. Исследовать функцию у = f(x) в окрестности точки х = а с помощью производных высших порядков.

План решения. Пусть при некотором k > 1

Тогда если k — четное число, то точка а является точкой экстремума,
а именно точкой максимума, если и точкой минимума, если Если же k — нечетное число, то точка а является
точкой перегиба.

Пример. Исследовать функцию

в окрестности точки а = 1 с помощью производных высших порядков.

Решение:

Вычисляем производные заданной функции в точке а = 1:

2.Так как k = 4 — четное число и то точка а = 1 есть
точка максимума функции

Ответ. Функция имеет максимум в
точке а = 1.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Преобразования графиков функций
3. Квадратная функция и её графики
4. Алгебраические неравенства
5. Неравенства
6. Неравенства с переменными
7. Прогрессии в математике
8. Арифметическая прогрессия
9. Геометрическая прогрессия
10. Показатели в математике
11. Логарифмы в математике
12. Исследование уравнений
13. Уравнения высших степеней
14. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
15. Комплексные числа
16. Непрерывная дробь (цепная дробь)
17. Алгебраические уравнения
18. Неопределенные уравнения
19. Соединения
20. Бином Ньютона
21. Число е
22. Непрерывные дроби
23. Функция
24. Исследование функций
25. Предел
26. Интеграл
27. Двойной интеграл
28. Тройной интеграл
29. Интегрирование
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат