Оглавление:
Предел и непрерывность функции одной переменной является одним из важнейших понятий математического анализа. Основные понятия математического анализа, такие как производная, интеграл, связаны с предельным переходом Предел и непрерывность функции одной переменной
Понятие функции. Способы задания функции
Понятие функции является основным и первоначальным, как и понятие множества.
Пусть X — некоторое множество действительных чисел х. Если каждому х ∈ X по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число у, то говорят, что на множестве X задана функция и пишут
у = f(х) или у = у(х), х ∈ x.
Введенную таким образом функцию называют числовой. При этом множество X называют областью определения функции, а независимую переменную х — аргументом.
Для указания функции иногда используют только символ, которым обозначен закон соответствия, т. е. вместо f(х) пишут просто f. Таким образом, функция задана, если указаны
1)область определения X;
2) правило f, которое каждому значению х ∈ X ставит в соответствие определенное число у = f(х) — значение функции, отвечающее этому значению аргумента х.
Функции f и g называют равными, если их области определения совпадают и равенство f(х) = g(х) верно для любого значения аргумента х из их обшей области определения. Так, функции
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32853.png)
не являются равными; они равны только на отрезке [0, I]. Примеры функций.
- Последовательность {аn} есть функция целочисленного аргумента, определенная на множестве натуральных чисел, такая, что f(n) = аn (n = 1, 2,… ).
- Функция у = п! (читается «эн-факториал»). Задана на множестве натуральных чисел: каждому натуральному числу п ставится в соответствие произведение всех натуральных чисел от I до п включительно:
n! = 1 • 2 • 3 … n,
причем условно полагают 0! = 1.
3.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32865.png)
Обозначение sign происходит от латинского слова signum — знак. Эта функция определена на всей числовой прямой — ∞ < х < + ∞; множество ее значений состоит из трех чисел -1,0, 1 (рис.1).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32873.png)
4. у = [z], где [z] обозначает целую часть действительного числа х, т. е. [z| — наибольшее целое число, не превосходящее z: [z] = п для п ≤ х<п + 1, п = 0, ±1, ±2…..Читается: «игрек равно антье икс (фр. entier). Эта функция задана на всей числовой оси, а множество всех ее значений состоит из целых чисел (рис. 2).
Способы задания функции
Аналитическое задание функции
Функция у = f(x) называется заданной аналитически, если она определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия надо произвести над каждым значением х, чтобы получить соответствующее значение у. Например, функция
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32891.png)
задана аналитически.
При этом под областью определения функции (если она заранее не указана) понимается множество всех действительных значений аргумента х, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, принимает лишь действительные и конечные значения. В этом смысле область определения функции называют также ее областью существования.
Для функции областью определения является отрезок -1 ≤ х ≤ 1. Для функции у = sin х область определения — вся числовая ось — ∞ < х < + ∞. Заметим, что не всякая формула определяет функцию. Например, формула
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32905.png)
никакую функцию не определяет, так как нет ни одного действительного значения х, при котором имели бы действительные значения оба написанных выше корня.
Аналитическое задание функции может выглядеть достаточно сложно. В частности, функция может быть задана различными формулами на различных частях своей области определения. Например, функция может быть определена так:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32915.png)
(рис.3).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32917.png)
Графический способ задания функции
Функция у = f(x) называется заданной графически, если задан ее график, т.е. множество точек (х, f(x)) на плоскости хОу, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции (рис. 4).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32923.png)
Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке. Например, функция Дирихле
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32927.png)
не допускает такого изображения. Функция D(х) задана на всей числовой оси, а множество ее значений состоит из двух чисел 0 и 1.
Табличный способ задания функции
Функция называется заданной таблично, если приведена таблица, в которой указаны численные значения функции для некоторых значений аргумента. При табличном задании функции ее область определения состоит только из значений х1, x2,…, хn, перечисленных в таблице.
Предел функции в точке
Понятие предела функции является центральным в математическом анализе.
Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности Q точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.
Определение Коши:
Число А называется пределом функции f(х) в точке х0, если для любого числа ε > 0, которое может быть как угодно малым, существует число δ > 0, такое, что для всех х ∈ Ω , х ≠ хо, удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32947.png)
верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32951.png)
Обозначение:
помошью логических символов это определение выражается следующим образом
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32972.png)
Примеры:
- Пользуясь определением предела функции в точке, показать, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32975.png)
Функция f(x) = 2х + 3 определена всюду, включая точку хо = 1: f(1) = 5. Возьмем любое ε > 0. Для того, чтобы неравенство (2х + 3) — 5| < ε имело место, необходимо выполнение следующих неравенств
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32978.png)
Следовательно, если взять , то при |х — 1| <
будем иметь |f(х) — 5| < ε. Это означает, что число 5 есть предел функции , f(x) = 2х + 3 в точке хо = 1.
2. Пользуясь определением предела функции, показать, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33012.png)
Функция
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33023.png)
не определена в точке хо = 2. Рассмотрим f(х) в некоторой окрестности точки x0 = 2, например, на интервале (1,5). не содержащем точку х = 0, в которой функция f(x) также не определена. Возьмем произвольное число ε > 0 и преобразуем выражение |f(x) — 2| при x ≠ 2 следующим образом
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33032.png)
Для х ∈ (1,5) получаем неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33044.png)
Отсюда видно, что если взять δ = с, то для всех х ∈ (1, 5), подчиненных условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33055.png)
будет верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33060.png)
Это означает, что число А = 2 является пределом данной функции в точке хо = 2.
Дадим геометрическое пояснение понятия предела функции в точке, обратившись к ее графику (рис. 5). При х < х0 значения функции f(x) определяются ординатами точек кривой М1М, при х > хо — ординатами точек кривой MM2. Значение f(x0) определяется ординатой точки N. График данной функции получается, если взять «хорошую» кривую М1ММ2 и точку М(хо, А) на кривой заменить точкой N.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33066.png)
Покажем, что в точке хо функция f(х) имеет предел, равный числу А (ординате точки М). Возьмем любое (как угодно малое) число ε > 0. Отметим на оси Оу точки с ординатами А, А — ε, А + ε. Обозначим через Р и Q точки пересечения графика функции у = f(х) с прямыми у = А- ε и у = А + ε. Пусть абсциссы этих точек есть xo — h1, х0 + h2 соответственно (h1 > 0, h2 > 0). Из рисунка видно, что для любого х ≠ хо из интервала (хо — h1, хо + h2) значение функции f(х) заключено между А — ε и А + ε ,т. е. для всех х ≠ хо, удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33298.png)
верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33305.png)
Положим δ — min {h1, h2}. Тогда интервал (хо — δ, хо + δ) будет содержаться в интервале (х0 — h1), Хо + h2) и, следовательно, неравенство А — ε < f(x) < А + ε или, что тоже,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33316.png)
будет выполнено для всех х, удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33323.png)
Это доказывает, что .
Таким образом, функция у = f(х) имеет предел А в точке хо, если, какой бы узкой ни была ε -полоска между прямыми у = А- ε и у = А + ε, найдется такое δ > 0, что для всех х из проколотой δ -окрестности точки х0 точки графика функции у= f(х) оказываются внутри указанной ε -полоски.
Замечание:
Величина δ зависит от ε: δ = δ( ε ).
Замечание:
В определении предела функции в точке Хо сама точка xo из рассмотрения исключается. Таким образом, значение функции в точке Xo не влияет на предел функции в этой точке. Более того, функция может быть даже не определена в точке Хо. Поэтому две функции, равные в окрестности точки Хо, исключая, быть может, саму точку хо (в ней они могут иметь разные значения, одна из них или обе вместе могут быть не определены), имеют при х → Хо один и тот же предел или обе не имеют предела. Отсюда, в частности, следует, что для отыскания в точке х0 предела дроби законно сокращать эту дробь на равные выражения, обращающиеся в нуль при х = Хо.
Пример:
Найти
Функция f(x) = для всех х ≠ 0 равна единице, а в точке х = 0 не определена. Заменив f(х) на равную ей при х ≠ 0 функцию
g(х) = 1, получаем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33358.png)
Пример:
Найти , где
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33375.png)
(рис.6).
Функция g(х) = х2, — ∞ < х < + ∞, совпадает с функцией f(х) всюду, исключая точку х = 0, и имеет в точке х = 0 предел, равный нулю: = 0 (покажите это!). Поэтому
= 0.
Задача:
Сформулировать с помощью неравенств (на языке ε — δ), что означает
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33398.png)
Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности Ω точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.
Определение Гейне:
Число А называется пределом функции f(х) в точке х0, если для любой последовательности {хn} значений аргумента х (fn ∈ Ω, хп ≠ х0), сходящейся к точке хо, соответствующая последовательность значений функции {f(хп)} сходится к числу А.
Приведенным определением удобно пользоваться, когда надо установить, что функция f(х) не имеет предела в точке х0. Для этого достаточно найти какую-нибудь последовательность {f(хп)}, не имеющую предела, или же указать две последовательности {f(хn)} и {f(х’n)}, имеющие различные пределы.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33446.png)
Покажем, например, что функция f(х) = sin (рис.7), определенная всюду, кроме точки x = 0, не имеет предела в точке х = 0.
Рассмотрим две последовательности и
сходящиеся к точке х = 0. Соответствующие последовательности значений функции f(х) сходятся к разным пределам: последовательность
сходится к нулю, а последовательность
— к единице. Это означает, что функция f(х) = sin
в точке х = 0 предела не имеет.
Замечание:
Оба определения предела функции в точке (определение Коши и определение Гейне) равносильны.
Теоремы о пределах
Теорема:
Единственность предела. Если функция f(х) имеет предел в точке хо, то этот предел единственный.
Пусть . Покажем, что никакое число В ≠ А не может быть пределом функции f(х) в точке х0. Тот факт, что
≠ В с помощью логических символов формулируется так:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33495.png)
Воспользовавшись неравенством ||а| — |b|| ≤ |а — b|, получаем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33498.png)
Возьмем Поскольку
, для выбранного ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33509.png)
Из соотношения (1) для указанных значений х имеем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33521.png)
Итак, нашлось ε > 0 такое, что каким бы малым ни было δ > 0, существуют х ≠ х0,
такие, что 0 < |х — хо| < δ и вместе с тем |f(х) — В| ≥ ε . Отсюда В ≠ .
Определение:
Функция f(x) называется ограниченной в окрестности точки хо, если существуют числа М > 0 и δ > 0 такие, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33529.png)
Теорема:
Ограниченность функции, имеющей предел. Если функция f{х) определена в окрестности точки хо и имеет в точке Хо конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Пусть
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33541.png)
Тогда для любого ε > 0, например, для ε = 1, найдется такое δ > 0, что для всех х ≠ хо. удовлетворяющих условию |х — х0| < δ , будет верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33548.png)
Замечая, что всегда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33552.png)
получим
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33556.png)
Положим M = mах{|A| + 1, |f(х0)|}- Тогда в каждой точке х интервала (хо — δ, х0 + δ) будем иметь
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33569.png)
Это означает, согласно определению, что функция f(х) ограничена в окрестности точки х0.
Напротив, из ограниченности функции f(х) в окрестности точки хо не следует существования предела функции f(х) в точке хо. Например, функция f(х) = sin ограничена в окрестности точки х = 0:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33578.png)
но не имеет предела в точке х = 0.
Сформулируем еще две теоремы, геометрический смысл которыхдостаточно ясен.
Теорема:
Переход к пределу в неравенстве. Если f(x) ≤ φ(х) для всех х из некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки Хо, и каждая из функций f(x) и φ(х) в точке Хо имеет предел, то
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33583.png)
(рис.8).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33594.png)
Заметим, что из строгого неравенства f(х) < φ(х) для функций не обязательно следует строгое неравенство для их пределов. Если эти пределы существуют, то мы можем утверждать лишь, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33603.png)
Так, например, для функций
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33611.png)
выполнено неравенство f(х) < φ(x) ∀ x, в то время как
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33615.png)
Теорема:
Предел промежуточной функции. Если φ(х) ≤ f(х) ≤ ψ(x) для всех х в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки xо (рис. 9), и функции φ(х) и ψ(x) в точке хо имеют один и тот же предел А, то и функцияf(х) в точке хо имеет предел, равный этому же числу А.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33622.png)
Предел функции в бесконечности
Пусть функция f(х) определена либо на всей числовой оси, либо по крайней мере для всех х, удовлетворяющих условию |х| > К при некотором К > 0.
Определение:
Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности, и пишут
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33637.png)
если для любого ε > 0 существует число N > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |х| > N, верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33634.png)
Заменив в этом определении условие |х| > N на х > N или на х < -N соответственно, получим определения
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33643.png)
Из этих определений следует, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33650.png)
тогда и только тогда, когда одновременно
Тот факт, что , геометрически означает следующее: какой бы узкой ни была с-полоска между прямыми у = А- ε и у = А + ε, найдется такая прямая х = N > 0, что правее нее график функции у = f(x) целиком содержится в указанной е-полоске (рис. 10). В этом случае говорят, что при х —> + ∞ график функции у = f(х) асимптотически приближается к прямой у = А.
Пример:
Функция f(х) = определена на всей числовой оси и представляет собой дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает при |x| → + ∞. Естественно ожидать, что
=0. Покажем это.
Возьмем любое ε > 0, подчиненное условию 0 < ε ≤ 1. Чтобы имело место соотношение
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34617.png)
должно выполняться неравенство < ε или, что то же,
,
откуда |z| > Таким образом, если взять N =
, то при |r| > N будем иметь |
| < ε. Это означает, что число 4=0 есть предел данной функции при х → ∞.
Заметим, что подкоренное выражение 1/ε — 1 ≥ 0 лишь для ε ≤ 1. В случае, когда ε > I, неравенство < ε выполняется автоматически для всех х ∈ R.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34657.png)
График четной функции у = асимптотически приближается к прямой у = 0 при х ± ∞.
Задача:
Сформулировать с помощью неравенств, что означает
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34653.png)
Бесконечно малые функции
Пусть функция а(х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки х0.
Определение:
Функция а(х) называется бесконечно малой функцией (сокращенно б. м. ф.) при х, стремящемся к хо, если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34666.png)
Например, функция а(х) = х — 1 является б. м. ф. при х → 1, так как . График функции у = х-1 изображен на рис. 11.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34662.png)
Вообще, функция а(х) = х-х0 является простейшим примером б. м. ф. при х → хо.
Принимая во внимание определение предела функции в точке, определение б. м. ф. можно сформулировать так.
Определение:
Функция а(х) называется бесконечно малой при х → хо, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < |х — хо| < δ, верно неравенство
|а(х)| < ε.
Наряду с понятием бесконечно малой функции при х → х0 вводится понятие бесконечно малой функции при х → ∞, х → + ∞ и х → — ∞ .
Определение:
Функция а(х) называется бесконечно малой при х → ∞, если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34693.png)
Если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34694.png)
то функция а(х) называется бесконечно малой соответственно при х → + ∞ или при х → — ∞.
Например, функция а(х) =, х ≠ 0, является бесконечно малой при х → ∞ , поскольку
= 0. Функция а(х) = е-x есть бесконечно малая функция при х → + ∞ , так как
= 0.
В дальнейшем все понятия и теоремы, связанные с пределами функций, мы будем, как правило, рассматривать только применительно к случаю предела функции в точке, предоставляя читателю самому сформулировать соответствующие понятия и доказать аналогичные теоремы для случаев, когда х → + ∞, х → + ∞ или х → — ∞.
Свойства бесконечно малых функций
Теорема:
Если а(х) и β (х) — б.м. ф. при х → хо, то их сумма а(х) + β (х) есть также б. м. ф. при х → хо.
Возьмем любое ε > 0. Так как а(х) — б. м. ф. при х → хо, то найдется δ1 > 0 такое, что для всех х ≠ хо, удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34746.png)
верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34748.png)
По условию β(х) также б.м.ф. при х → хо, поэтому найдется δ2 > 0. такое, что для всех х ≠ хо, удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34753.png)
верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34757.png)
Положим δ = min{δ1,< δ2}. Тогда для всех х ≠ хо, удовлетворяющих условию |х — xо| < δ, будут одновременно верны неравенства (1) и (2). Поэтому
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34760.png)
Это означает, что сумма а(х) + β(х) есть б. м. ф. при х → хо.
Замечание:
Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа функций, б. м. при х → xо.
Теорема:
Произведение б. м. ф. на ограниченную функцию. Если функция а(х) является б. м. ф. при х → х0» а функция f(x) ограничена в окрестности точки Xq, то произведение a(x)f(x) есть б. м. ф. при х → х0.
По условию функция f(x) ограничена в окрестности точки хо. Это означает, что существуют такие числа δ1 > 0 и М > 0, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34767.png)
Возьмем любое ε > 0. Так как по условию а(х) — б. м. ф. при х —» хо, то найдется такое δ2 > 0, что для всех х ≠ хо. удовлетворяющих условию |х —х0| < δ2, будет верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34769.png)
Положим δ = min{ δ1, δ2}- Тогда для всех х ≠ хо, удовлетворяющих условию |х — хо| < δ , будут одновременно верны неравенства
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34774.png)
Поэтому
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34778.png)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34782.png)
Это означает, что произведение а(х)f(х) есть б. м. ф. при х —» xo.
Пример:
Функцию у = х sin {рис. 12) можно рассматривать как произведение функций а(х) = х и f(х) = sin
. Функция а(х) есть б. м. ф. при х -> x0, а функция f(x) = sin
определена всюду, исключая точку х = 0, и ограничена в любой проколотой окрестности этой точки. Поэтому, в силу теоремы 6, функция у = х sin
есть б. м. ф. при х -> x0, так что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34793.png)
Следствие:
Если а(х) — б. м. ф. при х → xo, а функция f(х) в точке xо имеет (конечный) предел, то произведение a(x)f(x) есть б. м. ф. при х → xo.
Это вытекает из того, что функция, имеющая в точке хо предел, ограничена в проколотой окрестности точки хо.
Лемма:
Если функция f(х) в точке xo имеет предел, отличный от нуля, то функция ограничена в проколотой окрестности точки xo.
Пусть ≠ 0. Тогда для любого ε > 0, в частности для
, найдется δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < |х — хо| < δ, будет верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34817.png)
Значит, для указанных значений х определена функция , причем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34820.png)
так что ограничена в проколотой окрестности точки х0.
Теорема:
Если а(х) — б. м. ф. при х → х0, а функция f(x) имеет в точке х0 предел, отличный от нуля, то частное есть б. м. ф. при х → xо.
Представим частное в виде
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34831.png)
В силу леммы функция ограничена в проколотой окрестности точки х0 и, следовательно, а(х) •
— б. м. ф. при х → х0 как произведение б. м. ф. на ограниченную. Условие
≠ 0 является существенным. Рассмотрим, например, функции а(х) = х и f(х) = х2, являющиеся б. м. ф. при х → 0. Частное
очевидно, не является б. м. ф. при х → 0, так что отношение двух бесконечно малых функций в общем случае не есть бесконечно малая функция.
Теорема:
Связь функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки Хо, кроме, может быть, самой точки Хо. Для того, чтобы функция f(x) в точке Хо имела пределом число А, необходимо и достаточно, чтобы f(x) можно было представить в виде суммы
f(x) = А + а(х),
где а(х) — б. м. ф. при х → x0.
Необходимость. Пусть функция f(х) имеет в точке хо предел, равный числу А,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34859.png)
Положим
a(x)=f(x)-A (1)
и докажем, что а(х) — б. м. ф. при х → хо. Возьмем любое ε > 0. Так как по условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34865.png)
то для выбранного ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех х, х ≠ хо, удовлетворяющих условию |х — х0| < δ, верно неравенство
|f(х) — А| < ε.
В силу (1) последнее можно записать в виде
|а(х)| < ε.
Это означает, что а(х) — б. м. ф. при х → хо.
Достаточность. Пусть функцию f(х) можно представить в виде
f(х) = А + а(х), (2)
где А — постоянная, а а(х) — б.м.ф. при х → х0. Докажем, что функция f(х) в точке хо имеет предел, равный числу А. Возьмем любое ε > 0. Так как по условию а(х) — б.м.ф. при х → хо, то найдется такое δ > 0, что для всех х, х ≠ хо, удовлетворяющих условию |х — хо| < δ, будет выполняться неравенство
|а(х)| < ε.
Но в силу (2) а(х) = f(x)-A. Поэтому |f(х) — A| < ε для тех же значений х. Согласно определению это означает, что А = .
Арифметические операции над пределами
Пусть функции f(х) и φ(x) определены в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.
Теорема:
Если функции f(х) и φ(x) в точке Хо имеют пределы, то в этой точке имеют пределы также их сумма f(x) + φ(х), разность f(х) — φ(x), произведение f(x) ⋅ φ(x) и, при дополнительном условии , частное причем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34895.png)
Ограничимся доказательством утверждения 2) о пределе произведения.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34925.png)
Так как Ва(х), А β(х), а(х) β(х) — б.м.ф. при х → хо (как произведение б.м.ф. на ограниченную), то и их сумма есть б. м. ф. при х → х0.
Таким образом, функция f(x)< φ(x) представлена как сумма постоянной АВ и б.м.ф. при х → хо. Отсюда на основании теоремы 8 заключаем, что функция f(х) • φ{х) .имеет предел в точке х0, равный числу АВ:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34931.png)
Утверждения 1) и 3) доказываются подобным же образом (докажите!).
Замечание:
Теорема о пределе суммы (произведения) обобщается на случай любого фиксированного числа слагаемых (сомножителей), имеющих предел.
Следствие:
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Задача:
Пусть функция f(х) имеет предел в точке Хо, а функция φ(x) не имеет предела. Будут ли существовать пределы
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34937.png)
Задача. Пусть не существует. Доказать, что
не существует.
Приведем несколько примеров на вычисление пределов функций. Пример:
Найти
Будем рассматривать данную функцию как частное двух функций f(х) = х2 — 4 и φ(x) = х + 1. Каждая из этих функций в точке х = 0 имеет предел:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34952.png)
Так как предел знаменателя φ(х) заданного отношения не равен нулю, то можно воспользоваться теоремой о пределе частного, что дает
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34995.png)
Пример:
Найти
Полагая f(x) = x2 — I, φ(x) = x — 1, имеем т.е., как говорят, имеет место неопределенность вида 0/0. Пользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Для раскрытия неопределенности поступаем так. В определении предела функции в точке х = 1 сама точка х = 1 из рассмотрения исключается. Заметив это, представим данную функцию в виде
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35012.png)
откуда, сокращая на х — 1 ≠ 0, получим
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35038.png)
Поэтому
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35041.png)
Пример:
Найти .
Пределы числителя и знаменателя в точке х = 0 равны нулю, т.е. опять имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель данной дроби на . При х ≠ 0 имеем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35062.png)
К полученной функции применима теорема о пределе частного, так что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35068.png)
Пример:
Рассмотрим функцию f(х) = sin x2. Она определена на всей числовой Оси, четна, ограничена и обращается в нуль при
, где п = 0, 1, 2, … .
Покажем, что эта функция — не периодическая. Возьмем два соседних нуля функции; пусть это будут
Расстояние между ними равно
Найдем
Здесь имеет место неопределенность вида ∞ — ∞. Чтобы ее раскрыть, умножим и разделим выражени
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35111.png)
Будем иметь
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35114.png)
(поскольку числитель последней дроби постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает при п → ∞).
Таким образом, расстояние между двумя соседними нулями функции стремится к нулю при п → ∞ . Следовательно, функция sin x2 —непериодическая.
Бесконечно большие функции. Их связь с бесконечно малыми функциями
Наряду с понятием бесконечно малых функций вводится понятие бесконечно больших функций (б. б. ф.).
Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки хо.
Определение:
Если для любого, как угодно большого, числа М > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х ≠ хо, удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35129.png)
выполняется неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35131.png)
то функцию f(x) называют бесконечно большой функцией при х —> xо и пишут
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35154.png)
При этом говорят также, что f(х) при х → хо имеет бесконечный предел.
С помощью логических символов определение функции f(x), бесконечно большой при х → хо, запишется так
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35157.png)
Заменяя в приведенном определении неравенство |f(х)| > М на f(х) > М или на f(х) < -М соответственно, получим определение положительной б.б.ф. f(х),
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35159.png)
или отрицательной б. б. ф. f(х),
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35189.png)
Пример:
Функция f(х) =, определенная для всех х ≠ 0 (рис. 13), есть б. б. ф. при х → 0.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35193.png)
Возьмем любое М > 0, как угодно большое. Неравенство |f(x)| => M равносильно неравенству |z| = |х -0| <
. Поэтому, если взять δ =
, то для ∀x, х ≠ 0, таких, что |х — 0| = |x| <
, будет верно неравенство |f(x)| =
> М . Согласно определению это означает, что f(x) =
— б. б. ф. при х -> 0.
Функция f(х) = , определенная для всех х ≠ 0 (рис. 14), при х —» 0 есть положительная б. б. ф.
Геометрическое пояснение б.б.ф.: функция f(х) является б.б.ф. при х —» хо, если для любой горизонтальной полосы между прямыми у = — М и у = М, сколь бы широкой она ни была, можно указать такие две вертикальные прямые х = хо — δ и х = хо + δ, что между этими прямыми часть графика функции у = f(х), х ≠ хо, целиком расположена вне этой горизонтальной полосы (рис. 15).
Заметим, что функция /(х) может быть неограниченной в окрестности точки хо и не быть бесконечно большой при х —» хо. Например, функция f(х) = не ограничена в окрестности точки х = 0, но не является б. б. ф. при х —» 0 (попробуйте сделать рисунок).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35240.png)
Определение:
Будем говорить, что f(х) есть бесконечно большая функция при х —> ∞ и писать
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35245.png)
если для любого числа М > О, хотя бы и как угодно большого, найдется число п > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |х| > N, верно неравенство
|f(х)|>М.
Пример:
f(х) = х — б. б.ф. при х -» ∞. В самом деле, ∀ M > 0 ∃N > 0, например, N = М, такое, что ∀x, |x| > N, верно неравенство |f(x)| = |x| > M.
Подобным же образом можно сформулировать определение бесконечно больших функций при х —> + ∞ и при х —> — ∞.
Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует зависимость, которая выражается следующими теоремами.
Теорема:
Если функция f(x) — бесконечно большая при х —» x0, то функция а(х) = — бесконечно малая при х —» хо.
Возьмем любое, как угодно малое ε > 0. Так как по условию функция f(х) — бесконечно большая при х —» хо, то для любого М > 0, в частности для М=1/ε, найдется такое δ > 0, что при всех значениях х, х Ф х0,изусловия |х — х0| < δ будет следовать неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35278.png)
Для таких значений х определена функция а(х) = , и для нее
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35280.png)
Итак,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35283.png)
Это означает, что а(х) = — б. м. ф. при х —» хо. Аналогично доказывается обратное утверждение.
Теорема:
Если а(х) — бесконечно малая функция при х —> х0 и в некоторой окрестности (х0 — δ, х0 + δ) точки xо, кроме, быть может, самой точки xо, ос(х) отлична от нуля, то функция f(х) =бесконечно большая при х —» хо.
Задача:
Сформулировать на языке неравенств, что значит
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35287.png)
Пример:
Рассмотрим дробно-рациональную функцию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35289.png)
представляющую собой отношение двух многочленов относительно х степеней тип соответственно, и исследуем поведение этой функции при х → ∞,
При достаточно больших |х| знаменатель этой дроби отличен от нуля, и рассматриваемое отношение имеет смысл. Разделив числитель и знаменатель дроби на хn, получим
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35291.png)
Ясно, что при х → ∞ знаменатель дроби имеет пределом число bо ≠ 0. Числитель дроби при т > п неограниченно возрастает по абсолютной величине; при т = п предел числителя равен коэффициенту ao; при т < п предел числителя равен нулю. Таким образом,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35297.png)
Односторонние пределы функции в точке
Пусть функция f(х) определена на интервале (а, х0).
Определение:
Число А называется пределом функции f(x) в точке х0 слева, если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х0 — δ < х < х0, верно неравенство
|f(х) -А|< ε.
В этом случае пишут
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35303.png)
Пусть функция f(х) определена на интервале (х0, b).
Определение:
Число А называют пределом функции f(x) в точке xo справа и пишут
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35308.png)
если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию хо < х < xq + δ, верно неравенство
|f(х) -A|< ε.
Пусть теперь функция f(x) определена в двусторонней окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо (рис. 16).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35313.png)
Теорема:
Для того, чтобы функция f(x) имела предел в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы функции f(х) в точке xо слева и справа и они были равны между собой. Тогда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35316.png)
Пусть . Тогда для всякого ε > О существует δ > 0 такое, что для всех х из интервала (хо — δ, хо + δ), х Ф хо, верно неравенство
|f(х) -A|< ε. (1)
Так как неравенство (1) имеет место как на интервале (хо — δ , хо), так и на интервале (хо, хо + δ), то согласно определению
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35320.png)
Обратно, пусть
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35322.png)
Тогда для любого ε > 0 существуют такие δ1 > 0 и δ2 > 0, что если х0 — δ1 < х < х0 и соответственно хо < х < хо + δ2, то |(х) — А| < ε. Обозначая через 6 наименьшее из чисел 62, получим, что |f(х) — А| < ε для всех х таких, что 0 < |х — х0| < δ. Это означает, что
Примеры:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35333.png)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35334.png)
Если функция f(х) задана на отрезке [а, b] или на интервале (а, b), то в точке а она может иметь только предел справа, a в точке b — только слева.
Непрерывность функции
Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности Ω точки хо.
Определение:
Функция f(х) называется непрерывной в точке хо, если
1) она имеет предел вточке хо;
2) этот предел равен f(х0) — значению функции f(х) в точке хо,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35337.png)
Так как хо = то равенству (1) можно придать следующую форму
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35340.png)
Следовательно, для непрерывной функции символ lim предельного перехода и символ f функции можно менять местами.
На языке ε — δ определение непрерывности выглядит так.
Определение:
Функция f(х) называется непрерывной в точке хо, если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0, такое, что для всех х ∈ Ω1, удовлетворяющих условию |х — xo| < δ , выполняется неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35348.png)
При этом в общем случае величина 6 зависит как от числа е > 0, так и от точки хо: δ = δ ( ε , х0).
С помощью логических символов определение 2 записывается в виде
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35351.png)
Подчеркнем, что теперь (в отличие от предыдущих параграфов) мы не требуем, чтобы х ≠ xo.
Приведем еще одну формулировку понятия непрерывности функции в точке. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности Ω точки хо (рис.20).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35357.png)
Считая хо исходной точкой, возьмем другое значение аргумента х = хо + ∆х ∈ Ω , отличающееся от первоначального значения х0 на некоторую величину ∆х (все равно, положительную или отрицательную), которую будем называть приращением аргумента. Величину изменения функции
∆y = f(xо + ∆х) — f(х0) (3)
назовем приращением функции f в точке хо, отвечающим приращению ∆х аргумента х. Условие непрерывности функции f(х) в точке хо
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35364.png)
можно записать так
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35367.png)
Это равносильно тому, что
(4)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35369.png)
Замечая, что f(х0 + ∆ х) — f(х0) = ∆у, равенство (4) можно представить в виде
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35371.png)
Определение:
Функция у = f(х) называется непрерывной в точке хо £ П, если приращение ∆у функции в этой точке, отвечающее приращению ∆х аргумента, стремится к нулю при ∆х → 0.
Пример:
Покажем, что функция у = х1 непрерывна во всякой точке хо числовой оси.
В самом деле, для любого приращения ∆x в точке хо имеем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35375.png)
откуда видно, что величина ∆у → 0 при ∆х → 0.
В ряде случаев удобно пользоваться следующим определением непрерывности функции в точке.
Определение Гейне:
Пусть функция f(х) задана на произвольном множестве Е действительных чисел и пусть точка хо ∈ Е. Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности точек {хn} ,хп ∈ Е, сходящейся к точке хо, соответствующая последовательность {f(хn)} значений функции сходится к f(х0).
Пользуясь определением 4, можно показать, что функция Дирихле
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35413.png)
не является непрерывной в любой точке xo ∈ R.
Все четыре определения непрерывности функции равносильны. В каждом конкретном случае пользуются тем определением, которое оказывается более удобным.
Следующие теоремы выражают локальные свойства функции, непрерывной в точке.
Теорема:
Если функция f(х) непрерывна в точке хо и f(х0) > А (соответственно f(х0) < А), то существует такое δ > 0, что f(x) > А (соответственно f(x) < А) для всех х из интервала (хо — δ, xо + δ).
Пусть для определенности f(х0) > А, так что
f(х0) = A + h,
где h > 0. Возьмем ε = В силу непрерывности f(х) в точке хо существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |х — хо| < δ, верно неравенство или
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35423.png)
откуда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35425.png)
имеем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35428.png)
Теорема:
Устойчивость знака непрерывной функции. Если функция f(х) непрерывна в точке xо и f(х0) ≠ 0, то существует окрестность (хо — δ, х0 + δ) точки х0, в которой функция f(х) не обращается в нуль и сохраняет один и тот же знак (знак числа f(х0)).
Чтобы убедиться в этом, достаточно в предыдущей теореме взять А = 0.
Основные элементарные функции. Их непрерывность
Основными элементарными функциями называются следующие функции.
- Степенная функция
у = хa, где а — любое действительное число; область определения х > 0.
2. Показательная функция
у = аx, а > 0, а ≠ 1; область определения — ∞ < х < + ∞.
3. Логарифмическая функция
y = logaх, а > 0, а ≠ 1; область определения х > 0.
4. Тригонометрические функции
у = sin х; область определения — ∞ < х < + ∞;
у = cos х; область определения — ∞ < х < + ∞;
у = tg х; область определения х ≠+ п π, п = 0, ± I,. ±2,
у = ctg х; область определения х ≠ п π, п = 0, ±1, ±2,… .
5. Обратные тригонометрические функции
У = arcsin х; область определения -1 1;
У = arccos х; область определения 1;
У = arctg х; область определения — ∞ < х < + ∞;
У = arcctg х; область определения — ∞ < X < + ∞.
Функции, которые получаются из основных с помощью конечного числа арифметических операций, а также операций взятия функции от функции, примененных конечное число раз, называются элементарными функциями.
Можно показать, что все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Пример:
Покажем, например, непрерывность функции у = cos х, — ∞ < х < + ∞.
Предварительно докажем неравенство
(1)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35466.png)
Рассмотрим окружность радикса 1 (рис.21).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35472.png)
Пусть угол АОВ имеет радианную величину х, 0 < х < , и пусть LAOB = LAOC. Очевидно, длина отрезка ВС равна 2 sin х; длина дуги —- ВС равна 2x. Так как длина дуги больше длины хорды, стягивающей эту дугу, то 2 sin х < 2х и, значит, sin < х. Для рассматриваемых значений х
∈ (0, ) этo неравенство можно записать в виде |sinx| < |х|. Учитывая, что |sin(-x)| = | -sinx| = |sinx| и | — х| = |х|, замечаем, что неравенство | sin х| < |х| верно и для х ∈ (-
, o). Так как sin0 = 0, то неравенство (1) справедливо для всех х ∈ (—
>
), eсли же х ∉ (-
,
), то |x| ≥
> 1, тогда как |sinx| ≤ 1 ∀ x. Следовательно, неравенство
| sin х| ≤ |х|
верно для любых х.
Функция у = cos x определена на всей числовой оси. Возьмем любую точку x ∈ R, Дадим этому значению х приращение ∆х. Тогда функция у = cos х получит приращение
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35508.png)
Отсюда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35514.png)
Воспользовавшись тем, что всегда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35516.png)
в силу неравенства (1), из (2) получаем, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35518.png)
(при фиксированном х ∆у есть функция от ∆х). Отсюда, в силу теоремы о пределе промежуточной функции, при ∆x → 0 получаем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35582.png)
Это означает, что функция у = cos х непрерывна в любой точке х числовой оси.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Если угол х выражен в радианах, то
(1)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35591.png)
Предположим, что угол х заключен в границах 0 < х <. Рассмотрим окружность радиуса 1 и проведем некоторые построения (рис. 22).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35593.png)
Из рисунка видно, что площ. ∆ОАВ < площ. сектора ОАВ < площ. ∆О АС.
Так как указанные площади равны соответственно
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35598.png)
Разделив все члены этого неравенства на sin х > 0, получим
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35600.png)
Неравенство (2) доказано для х ∈ (0, ), но оно верно и для х ∈ (-
, 0), так как
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35609.png)
Функция у = cos х непрерывна в любой точке х, в частности, в точке х = 0, так что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35615.png)
Таким образом, обе функции φ(x) = cosx и φ(x) = 1 имеют в точке х = 0 предел, равный единице. По теореме о пределе промежуточной функции из (2) и (3) получаем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35620.png)
Второй замечательный предел
Мы установили выше, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35625.png)
Положим = z. Легко видеть, что z принимает значения 1,
,… и z → o при п → ∞.
Будем очевидно иметь
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35644.png)
Можно показать, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35647.png)
когда х стремится к нулю произвольным образом, пробегая любую последовательность значений, отличных от нуля.
Операции над непрерывными функциями
Теорема:
Пусть функции f(x) и φ(х) определены в некоторой окрестности точки хо-Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке X0, то непрерывны в точке Хо их сумма f(х) + φ(х), разность f{х) — φ(х), произведение f{х) ⋅ φ(x), а также частное(при дополнительном условии φ(хо) ≠ 0).
Докажем непрерывность частного функций.
Пусть функции f(х) и φ(х) непрерывны в точке io. причем у(хо) ≠ 0. В силу теоремы об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки хо, в которой функция φ(х) ≠ 0. Поэтому функция F(x) = определена в некоторой окрестности точки хо — Так как
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35674.png)
то по теореме о пределе частного имеем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35682.png)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35688.png)
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.
Сложная функция. Непрерывность сложной функции
Пусть на некотором множестве Е точек числовой оси задана функция и = φ(х). Обозначим через Е1 множество значений и, соответствующих значениям х из множества Е. Пусть далее на множестве Е1 определена функция у = f(u). Таким образом, каждому х ∈ Е соответствует определенное и ∈ Е1, а этому и ∈ Е1, в свою очередь, соответствует определенное значение у = f(u) (рис. 23). Следовательно, величина у в конечном счете является функцией от х, определенной на множестве Е. В этом случае у мы будем называть сложной функцией от x и обозначать
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35707.png)
Например, если и = sinx, у = еu, то мы имеем сложную функцию y=esinx, определенную для всех х.
Теорема:
Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Если функция и = φ (х) в точке хо имеет предел, равный числу А, а функция у = f(и) непрерывна в точке и = А, то сложная функция у = f [ φ (х)] в точке х0 имеет предел, равный f(A).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35740.png)
Возьмем любое ε > 0. Так как функция f(и) непрерывна в точке и = A, то для выбранного ε > 0 существует такое число η > 0, что для всех и, удовлетворяющих условию
|и-A|< η, (1)
верно неравенство
|f(u)-f(A)|< ε. (2)
По условию . Поэтому, каким бы ни было число η > 0, найдется такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35768.png)
будет верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35769.png)
или, что то же самое,неравенство (1). А из неравенства (1) следует неравенство (2), которое можно записать в виде
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35771.png)
Итак, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию
0 < |х — х0| < δ,
верно неравенствo
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35774.png)
Согласно определению это означает, что число f(A) есть предел сложной функции f[ φ(х)] в точке хо.
Таким образом, при выполнении условий теоремы
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35780.png)
или, что то же
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35786.png)
Это соотношение выражает правило перехода к пределу под знаком непрерывной функции.
Пример:
Показать, что
Заметим, что
Функция является сложной функцией, составленной из функций у = ln и,
. Так как
, и функция у = ln u непрерывна в точке и = е, то на основании теоремы 16 получаем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35815.png)
Теорема:
Непрерывность сложной функции. Если функция и = φ(х) непрерывна в точке xq, а функция у = f(и) непрерывна в точке u0 = φ(xo), то сложная функция у = f[ φ(х)] непрерывна в точке xo.
По условию функция и = φ (х) в точке хо имеет предел, равный φ(хо) = и0. Кроме того, функция у = f{и) непрерывна в точке ио. На основании теоремы 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции сложная функция у = f[φ(x)] в точке хо имеет предел, равный f(ио) = f[φ(хо)],
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35828.png)
что означает непрерывность сложной функции f[ φ (х)] в точке хо.
Точки разрыва функции. Их классификация
Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки хо- Согласно определению, непрерывность функции f(х) в точке хо выражается соотношением
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35833.png)
Пользуясь односторонними пределами функции, равенство (1) можно заменить равносильным ему двойным равенством
(2)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35839.png)
Таким образом, функция /(х) непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа, они равны между собой и равны значению функции f(х) в точке хо-
Определение:
Если в точке хо функция f(x) не является непрерывной, то говорят, что f(х) разрывна в этой точке, и точку хо называют точкой разрыва функции f(х). ( Если функция f(х) не определена в точке xo, то точку xo также называют точкой разрыва функции. )
Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно нарушено условие ее непрерывности (2).
Определение:
Если в точке х0 функция f(х) имеет предел слева и предел справа и они равны между собой, но не равны значению функции в точке xo,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35857.png)
то точка хо называется точкой устранимого разрыва функции f(x).
Такое название оправдывается тем, что в этом случае достаточно изменить значение функции только в одной точке хо, чтобы получить новую функцию, уже непрерывную в точке хо. Именно, если f(х) имеет в точке хо устранимый разрыв, то функция
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35862.png)
непрерывна в точке хо. Мы «устранили» разрыв, изменив значение функции в одной точке хо.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35869.png)
Пример:
Пусть
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35865.png)
Имеем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35872.png)
так что точка х = 0 есть точка устранимого разрыва для функции f(x) (рис. 24). Если изменить значение данной функции f в точке х = 0, положив f(0) = 0, то получим непрерывную в точке х = 0 функцию F(x) =|x|.
Вообще, графиком функции, непрерывной на множестве (х0 — δ1 ,xo) U (хо, х0 + δ2) и имеющей в точке xо устранимый разрыв, служит непрерывная кривая, из которой удалена точка с абсциссой хо (рис. 25).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35877.png)
Подчеркнем, что в точке хо устранимого разрыва существует.
Если не существует, то точка хо называется точкой неустранимого разрыва.
Определение:
Если в точке хо функция f(х) имеет конечные пределы слева и справа, но они разные,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35899.png)
то точка хо называется точкой разрыва функции f(х) с конечным скачком функции. (При этом безразлично, совпадает или нет f(хо) с одним из односторонних пределов.)
Такое название точки разрыва обусловлено тем, что при переходе х через точку хо значения функции f(х) претерпевают скачок, измеряемый разностью f(xо + 0) -f(х0 — 0) предельных значений /(х) в точке хо справа и слева.
Пример:
Пусть , f(0) = I (рис.26).
Для данной функции точка х = 0 есть точка разрыва с конечным скачком функции, равным -2:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35910.png)
Точки устранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком функции называются точками разрыва первого рода. Каждая точка разрыва 1-го рода функции f(х) характеризуется тем, что в этой точке функция f(х) имеет конечный предел как слева, так и справа.
Все другие точки разрыва функции называются точками разрыва второго рода. Каждая точка разрыва второго рода функции f(x) характеризуется тем, что в этой точке функция f(x) не имеет конечного предела по крайней мере с одной стороны — слева или справа.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35919.png)
Примеры:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35922.png)
Для данной функции точка х = 0 есть точка разрыва второго рода, так как
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35929.png)
Эта функция в точке х = 0 не имеет ни конечного, ни бесконечного предела как слева, так и справа (чтобы убедиться в этом, можно воспользоваться определением предела функции по Гейне). Поэтому для данной функции точка х = 0 является точкой разрыва второго рода.
Для функции Дирихле
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35934.png)
любая точка хо есть точка разрыва 2-го рода.
Будем говорить, что функция f(х) в точке хо непрерывна справа, если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35938.png)
и непрерывна слева, если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-35940.png)
Функция f(х) называется непрерывной на интервале (а, b), если она непрерывна о каждой точке этого интервала. Множество всех функций, непрерывных на интервале (а, b) обозначают С (а, b).
Функция f(х) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна на интервале (а, b) и в точке а непрерывна справа, а в точке b — непрерывна слева. Множество всех таких функций обозначают С [а, bJ.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема: Больцано—Коши о нуле функции:
Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и в концах его имеет значения, противоположные по знаку, то f (х) обращается в нуль по крайней мере в одной точке интервала (а, b).
Пусть числа f(а) и f(b) противоположны по знаку. Точка делит отрезок [а, b] пополам. Если f( ξ ) = 0, то теорема верна. Пусть f( ξ ) ≠ 0. Тогда один из отрезков [а, ξ ] или [ ξ , b] будет таким, что в его концах значения функции f(х) имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через [а1, b1] и разделим его пополам точкой
Если = 0, то теорема верна. Пусть f( ξ1) ≠ 0. Тогда один из отрезков [а1, ξ1] или [а2, ξ2] будет таким, что в его концах значения функции f(x) имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через [a2, b2] и разделим его пополам.
Продолжая этот процесс, мы либо встретим на очередном этапе рассуждений точку a ∈ (a, b), для которой f(a) = 0, и тогда теорема доказана. Либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36052.png)
и на концах каждого из которых функция f(x) имеет значения разных знаков.
В силу леммы Кантора существует единственная точка а, принадлежащая всем отрезкам [аn, bn].
Докажем, что f(a) = 0. Допустим противное: f(а) ≠ 0. Функция f(х) непрерывна в точке a ∈ [a, b] и, о силу устойчивости знака непрерывной функции, найдется такой интервал (а — δ, а + δ), в котором f(х) сохраняет знак. Так как то п можно взять настолько большим, что отрезок [аn, bn] будет содержаться в интервале (а — δ, а + δ), и поэтому числа f(an) и f(bn) будут одного знака. Но по построению отрезков [аn, bn] при любом п числа f(аn) и f(b„) противоположны по знаку. Полученное противоречие доказывает, что наше допущение f(а) ≠ 0 неверно. Следовательно f(а) = 0, где а < а < b (точка а ∈ [а, b], но не может совпадать ни с точкой а, ни с точкой b, так как f(a) ≠ 0, f(b) ≠ 0).
Геометрически результат теоремы очевиден. Если f(a)f(b) < 0.то точки А(а, f(a)) и В(b, f(b)) лежат в разных полуплоскостях, на которые ось Ох делит плоскость хОу. График непрерывной функции у = f(х), соединяющий эти точки, обязательно пересечет ось Ох по край ней мере в одной точке (рис.27).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36079.png)
Требование непрерывности функции f(х) на [а, b] существенно: функция, имеющая разрыв хотя бы в одной точке, может перейти от отрицательного значения к положительному и не обращаясь в нуль. Так будет, например, с функцией
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36080.png)
(рис.28).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36081.png)
Укажем одно из применений доказанной теоремы. Рассмотрим многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36082.png)
Пусть для определенности ао > 0. При достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях х знак многочлена будет отрицательным, а при достаточно больших положительных значениях х — положительным. Так как многочлен есть всюду непрерывная функция, то найдется некоторая точка, в которой он необходимо обращается в нуль. Отсюда следует, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.
Теоремой 18 можно пользоваться и для приближенного вычисления корня.
Пример:
Найдем приближенно корень многочлена
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36089.png)
Это — многочлен нечетной степени и потому заведомо имеет по крайней мере один действительный корень.
На концах отрезка (0. 1] многочлен Р3(х) принимает значения разных знаков: Pз(0) = -1 < 0, Р3(1) = 1 >о. Следовательно, в интервале (0, 1) имеется корень этого многочлена.
Если взять точку ξ = 1/2 — середину отрезка (0, 1]. то получим
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36091.png)
Значит, корень находится в интервале ( 1/2, l ). Возьмем теперь точку ξ1= 3/4 — середину отрезка [ 1/2, l]. Будем иметь
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36092.png)
так что корень содержится в интервале (1/2,3/4) Продолжая этот процесс, мы можем найти все более тесные границы для корня многочлена Pз(х).
Теорема Коши:
О промежуточных значениях непрерывной функции. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], причем f(a) = A, f(b) = В. Тогда каким бы ни было число С, заключенное между числами А и В, на отрезке [а, b] найдется по крайней мере одна точка а такая, что f(а) = С.
Иными словами, непрерывная на отрезке [а, b] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка.
Пусть, для определенности, А < В. Рассмотрим функцию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36093.png)
где А < С < В. Очевидно, функция φ(х) непрерывна на отрезке [а, b], причем на концах этого отрезка φ(х) принимает значения противоположного знака,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36094.png)
По теореме 18 в интервале (а, b) найдется точка а такая, что φ(а) = f(а) — С = 0, т.е. f(a) = C.
Теорема:
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на нем, т. е. существует такое число К > 0, что для всех х ∈ [а, b] верно неравенств
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36095.png)
Замечание:
Если функция f(х) непрерывна на интервале (а, b) (или на полуинтервале [а, b), или на полуинтервале (а, b]), то f(х) не обязательно ограничена на нем. Например, функция f(х) = непрерывна на полуинтервале (0, 1], но не ограничена на нем.
Пусть функция f(x) определена и ограничена на некотором множестве Е. Назовем точной верхней гранью М функции f(x) на множестве Е точную верхнюю грань множества значений функции f(x) на множестве Е
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36098.png)
Аналогично определяется точная нижняя грань т. функции f(x) на Е:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36100.png)
Теорема:
Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и верхней граней, т.е. на отрезке [а, b] найдутся такие точки ξ и η, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36105.png)
(рис. 29).
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36103.png)
Замечание:
Условие непрерывности функции f(x) на отрезке [а, b) существенно: функция f(x) = х непрерывна на интервале (-1, 1) и ограничена на нем, но ее точная верхняя грань = 1 не достигается, т.е. нет такого хo ∈ (-1, 1), значение этой функции для которого равно единице. Другой пример: f(x) = х — [х] на (0, 1| (рис.30). Здесь
= 1, но он не достигается на отрезке [0, 1]. Это связано с тем, что функция f(х) разрывна на (0, 1].
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36114.png)
Назовем точную верхнюю грань наибольшим значением, а точную нижнюю грань — наименьшим значением функции f(x) на отрезке [а, b]. Тогда второй теореме Вейерштрасса можно придать следующую формулировку.
Теорема:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она на этом отрезке принимает свои наименьшее и наибольшее значения.
Равномерная непрерывность
Пусть функция f(x) непрерывна на интервале (а, b). Тогда в любой точке хо ∈ (а, b) для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х ∈ (а, b), удовлетворяющих условию |z — х0| < δ, верно неравенство |(x) — (xо)| < δ. При этом величина δ зависит как от е, так и от точки хо: δ = δ( ε, xo) Так что при одном и том же ε > 0 в разных точках х ∈ (а, b) число δ может оказаться разным и ниоткуда не следует, что существует единое δ для всех х ∈ (а, b). Требование, чтобы такое δ = δ( ε ) > 0 существовало, является более сильным, чем требование просто непрерывности функции f(x) на интервале (а, b).
Определение:
Функция f(x) называется равномерно непрерывной на интервале (d,b), если для всякого ε > 0 существует такое δ = δ ( ε ) > 0, что для любых точек х’ и х» из интервала (а, b), удовлетворяющих условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36121.png)
верно неравенство
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36122.png)
Здесь существенно, что для всякого ε > 0 существует δ > 0, обеспечивающее выполнение неравенства сразу для всех х’, х» из интервала (а, b) при единственном условии \х’ — х»\ < δ.
Пример:
Функция f(х) = х равномерно непрерывна на всей числовой оси. Здесь достаточно взять δ = ε.
Ясно, что если функция f(x) равномерно непрерывна на интервале (а, b), то она непрерывна в каждой точке х ∈ (а, b). Обратное утверждение неверно.
Пример:
Функция непрерывна на интервале (0, I), но не является равномерно непрерывной на этом интервале.
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36131.png)
Тогда величина
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36133.png)
за счет выбора п может быть сделана меньше любого числа δ > 0, в то время как
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36137.png)
Тем самым, существует ε > 0 (например, ε = 1/2 ) такое, что при любом δ > 0 найдутся точки х’n и х»п из (0, 1) такие, что | х’n — х»п |< δ, но Следовательно, функция f(x) =
не является равномерно непрерывной на интервале (0, I).
Пример:
Функция f(x) = 1/x непрерывна на интервале (0, 1), но не является равномерно непрерывной на этом интервале.
Пусть ( ε > 0 — любое). Тогда величина
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36166.png)
при достаточно большом п может быть сделана меньше любого δ > 0. Вместе с тем, |f(х’n) -f(x»n)| = 2ε > ε. Следовательно, функция f(х) = 1/x не является равномерно непрерывной на интервале (0, I).
Тем более интересно, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она на этом отрезке обладает свойством равномерной непрерывности.
Теорема Кантора:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке.
Сравнение бесконечно малых функций
Пусть а(х) и β(х) — б. м. ф. при х → хо.
Определение:
Если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36189.png)
то а(х) называется б. м. более высокого порядка, чем β(х) и пишут а(х) = o ( β(х)), х → хо (читается «альфа равно о-малое от бета»). Символ о( β (х)), х → хо, означает любую б. м.ф., имеющую в точке х0 более высокий порядок малости, чем б. м. в этой точке функция β(х).
Пример:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36206.png)
Для них
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36208.png)
так что х2 = о(х), х → 0.
Определение:
Если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36213.png)
то a(z) и β(x) называют бесконечно малыми функциями одного порядка.
Так, a(x) = 2х, β(х) = х, х → 0, — б. м. ф. одного порядка, поскольку
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36221.png)
lim -тт-f = lim — = 2. х-0 р(х) г-0 X
Определение:
Говорят, что б. м. при х → хо функции а(х) и β(х) не сравнимы, если отношение при х —> хо не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.
Например, б. м. при х → 0 функции а(х) = xsin \ и /3(х) = х не сравнимы, поскольку их отношение = sin 1/x не имеет конечного предела в точке х = 0 и не является б. б. ф. при х → 0.
Определение:
Говорят, что б. м. при х → 0 функция а(х) имеет порядок малости т ∈ N относительно основной б. м. при х → хо функции w(х) = х — хо, если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36230.png)
Например, функция а(х) = 3 sin2 х, б. м. при х 0, имеет порядок малости т = 2 относительно б. м. при х → 0 функции и(х) = х, так как
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36234.png)
Эквивалентные бесконечно малые функции
Определение:
Две бесконечно малые при х → хо функции а(х) и β(х) называются эквивалентными, если предел их отношения в точке хо равен единице:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36282.png)
Эквивалентные б. м. ф. представляют частный случай б. м. одного порядка. Эквивалентность б. м. ф. а(х) и β(х) обозначается так:
а(х) ~ β(х), х → хо.
Про эквивалентные б. м. ф. а(х) и β(х) говорят также, что они равны асимптотически при х → xo.
Замечание:
Пусть a(х), β(х) и γ(x) — б. м.ф. при х — ю. Нетрудно видеть, что
1) а(х) ~ а(х), х → xo,
2) если а(х) ~ β{х), то β(х) ~ a(х), х → xo;
3) если а(х) ~ β(х), а β(х) ~ γ(1), то а(х) ~ γ(1), х → хо,
так что отношение эквивалентности обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых функций. В свое время мы установили, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36292.png)
Нетрудно показать, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36299.png)
Докажем, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36301.png)
Положим аx — 1= y. Отсюда аx = 1 + у, х = . Ясно, что у → 0 при х → 0. Следовательно,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36311.png)
Поэтому аx — 1 ~ х ln а, х —» 0. В частности, при а = е получаем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36317.png)
Докажем, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36321.png)
Положим (1 + х)р — 1 = у. Тогда (1 + х)р — 1 + у, откуда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36324.png)
Ясно, что y → 0 при х → 0. Используя равенство (1), получим
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36328.png)
Переходя к пределу при х → 0 (у → 0), найдем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36332.png)
Итак,
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36335.png)
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (асимптотических равенств)
(2)
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36337.png)
Определение:
Если для функции f(x) можно подобрать числа а и т, а ≠ 0, т ∈ N, такие, что f(х) ~ axm, х → 0, то говорят, что функция axm есть главный степенной член функции f(х) при х → 0.
Правые части написанных выше асимптотических равенств есть главные степенные члены левых частей.
Теорема:
Замена б.м.ф. эквивалентными. Пусть а(х), β(х), а1(х), β1(х) — бесконечно малые при х → xо функции, причем а(х) ~ a1(x), β(х) ~ β1(х). Если в точке xо отношение имеет конечный или бесконечный предел, то он не изменится при замене а(х) на a1(х) и β(х) на β1(х).
Представим отношение в виде
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36352.png)
По условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36355.png)
Если отношение в точке x0 имеет предел А, то, воспользовавшись теоремой о пределе произведения, из (3) будем иметь
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36358.png)
Если же бесконечно большая функция при х → xо, то вся правая часть равенства (3) и, значит,
также будет б. б. ф. при х → x0.
Пример:
Вычислить
Пользуясь теоремой о замене б.м.ф. им эквивалентными и таблицей (2), получаем
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36374.png)
Теорема:
Условие эквивалентности. Для того, чтобы две бесконечно малые при х —> xо функции а(х) и β(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность при х —> хо была бы б. м. ф. более высокого порядка, чем они сами.
Необходимость. Пусть а(х) и β(х) — эквивалентные б. м. ф. при х → x0. Докажем, что их разность
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36382.png)
(б. м. ф. при x → x0) является б. м. более высокого порядка, чем β(x), а, следовательно, и а(x). Действительно, по условию а(x) ~ β(x), x → xо, и значит
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36390.png)
Отсюда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36394.png)
Это означает, что при x → x0 б. м. ф. γ(х) есть б. м. более высокого порядка, чем β(х). Достаточность, Пусть разность
γ(x) = а(x) — β(x)
функций а(x) и р(х), б. м. при x —> x0, есть б. м. ф. более высокого порядка, чем β(x) (или а(x)). Докажем, что а(x) ~ β(x), x → x0. По условию
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36402.png)
Отсюда
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36404.png)
что означает эквивалентность б. м. ф. а(x) и β(х) при x → x0.
Пример:
Функции а(х) = х+2х1 и β(х) = х есть б. м. ф. при х0. Их разность γ(1) = 2х3 при х → 0 является б. м. более высокого порядка, чем а(х) и β(х). Следовательно, a(z) ~ β(х), х → 0.
Символы о и О (символы Ландау)
Пусть функции f(х) и φ(x) определены в некоторой окрестности Ω точки хо, кроме, быть может, самой точки хо, и пусть в некоторой окрестности Ωо точки хо, х ≠ хо, φ(х) ≠ 0 (здесь точка хо может быть конечной и бесконечной). Говорят, что f(х) есть о-малое от φ(х) и пишут
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36409.png)
если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36410.png)
Соотношение f(x) = о( φ(х)), х → хо, означает таким образом, что функция f(х) есть бесконечно малая по сравнению с φ (х) при х → хо. В частности, соотношение f(х) = о(1), х → хо, означает, что f(х) — бесконечно малая функция при х → xo.
Примеры:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36412.png)
Говорят, что f(х) есть О-большое от φ(х) при х → х0, х ∈ Ω, и пишут
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36424.png)
если существует число М > 0 и окрестность Ω0 точки xo такие, что
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36421.png)
Соотношение f(х) = 0(1), х → хо, означает, что f(x) ограничена в окрестности точки xo.
Примеры:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36431.png)
Использование знака равенства в рассматриваемой ситуации является чисто условным, так как некоторые свойства знака равенства не сохраняются. Например, из «равенства»
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36434.png)
не следует, что 0(1) = sin х.
Справедливы следующие формулы:
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36451.png)
Напомним, что если
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36455.png)
то функции f(x) и φ(x) называют эквивалентными или асимптотически равными при х → х0 и пишут f(х) ~ φ(х), х → Х0.
Пользуясь таблицей (2) эквивалентных б. м. ф. и теоремой 25, получаем асимптотические формулы
![Предел и непрерывность функции одной переменной](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-36458.png)
Всю группу соотношений f(x) ~ φ{х), f{х) = о(φ(х)), f(x) = O(φ{х)), х → х0, называют асимптотическими формулами или асимптотическими оценками.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат