Для связи в whatsapp +905441085890

Матрицы в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Понятие матрицы имеет большое значение. Объясняется это тем. что многие математические модели процессов и состояний в технике записываются в простой и компактной матричной форме.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, переменных, функций, или других математических объектов. Эти математические объекты (числа, переменные и т.д.) называются элементами матрицы и в общем виде снабжаются двойной индексацией для обозначения места элемента в матрице.

Матрица обозначается круглыми скобками по бокам таблицы. Матрицы также обозначают большими латинскими буквами Матрицы, частные виды матриц

Примеры матриц:

Матрицы, частные виды матриц

Здесь показаны различные типы матриц. Матрица Матрицы, частные виды матриц — прямоугольная, размерностью (2×3), первая цифра указывает количество строк, вторая цифра — количество столбцов.

Матрица Матрицы, частные виды матриц — квадратная, у неё число строк равно числу столбцов.

Матрица Матрицы, частные виды матриц состоит из одного столбца (матрица-столбец), матрица Матрицы, частные виды матриц состоит из одной строки (матрица-строка).

Различают также диагональные матрицы — квадратные матрицы, у которых все элементы, кроме элементов, стоящих в главной диагонали, равны нулю.

Единичные матрицы — диагональные матрицы, у которых в главной диагонали стоят единицы. Например,

Матрицы, частные виды матриц

Здесь Матрицы, частные виды матриц — диагональная матрица; Матрицы, частные виды матриц — единичные матрицы разной размерности.

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Операции с матрицами: определения и пример с решением
Определители 2 и 3 порядков, вычисление, свойства
Основные свойства и приложения двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Матрицы

Терминология и обозначения:

Матрицей А размера m х n называется набор m • n чисел — элементов матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

записанных в виде прямоугольной таблицы (1)

Матрицы. Определители. Линейные системы

или

Матрицы. Определители. Линейные системы

Символ aij читается так: «альфа-и-жи». Набор

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется i-й строкой матрицы А:

Матрицы. Определители. Линейные системы

а набор

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется j-м столбцом матрицы А:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Таким образом, данная матрица А имеет m строк и n столбцов, а элемент aij расположен в i-й строке и в j-м столбце матрицы А — в позиции (i, j) (рис. 1). Числа i и j определяют расположение элемента aij в матрице А и являются как бы координатами этого элемента в прямоугольной таблице А.

Матрицы. Определители. Линейные системы

Если размер матрицы известен, то часто пишут кратко

А = (aij)

Матрица размера 1 х n называется просто строкой, а матрица размера m х 1 — столбцом. В случае m = n матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы


называется квадратной матрицей порядка n. В частности, квадратной матрицей первого порядка является одноэлементная матрица А = ( a11 ). Набор элементов

Матрицы. Определители. Линейные системы

образует главную диагональ матрицы А.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, а квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, (2)

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется единичной. Подчеркнем, что для каждого размера m х n существует своя нулевая матрица, а для каждого числа n — своя единичная матрица порядка n.

Множество всех матриц размера m х n часто обозначают через Rmxn. Введенное обозначение требует дополнительных пояснений (для определенности мы ограничиваемся здесь рассмотрением только матриц, элементами которых являются вещественные числа). Множество вещественных чисел принято обозначать через R. Отсюда и символ Kmxn (множество матриц размера m х n, элементами которых являются комплексные числа, принято обозначать так: Cmxn см. главу XXV). С учетом этого обозначения матрицу (1) можно записать так

Матрицы. Определители. Линейные системы

Матрицы А = (aij) и В = (βij ) называются равными, если они имеют одинаковый размер и их элементы, находящиеся в одинаковых позициях, совпадают, т. е.

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы


Обозначение: А = В.

Операции над матрицами

Сложение матриц

Пусть А и В — матрицы одного размера:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Суммой матриц А и В называется матрицаМатрицы. Определители. Линейные системы элементы которой вычисляются по формуле (3)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Обозначение: С = A + В.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы на число λ называется матрица В = ( βij) ∈ Rmxn , элементы которой вычисляются по формуле (4)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Обозначение: В = λ А.

Запишем эти операции подробнее:

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

Линейное пространство строк

Рассмотрим введенные операции сложения и умножения не число на множестве матриц размера 1 х п — п-мерных строках. Пусть

Матрицы. Определители. Линейные системы

Тогда, согласно формулам (3) и (4), (5)

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

(6)
Правила (5) и (6) обладают легко проверяемыми свойствам (7)

Матрицы. Определители. Линейные системы

(здесь λ и μ — произвольные числа; а, b, с и х — n-мерные строки, 0 — нулевая п-мерная строка) и задают на множестве n-строк структуру линейного пространства.

Линейная зависимость

Введем важное понятие линейной зависимости. Пусть а1…, am — n-мерные строки. Строка b, определяемая равенством (8)

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется линейной комбинацией строк al,…, am с коэффициентами λl …, λm. Линейная комбинация (8) называется нетривиальной, если хотя бы одно из чисел λl,…, λm отлично от нуля, и тривиальной, если λm = … = λm = 0 (ясно, что в последнем случае b — нулевая строка). Строки называются линейно зависимыми, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевой строке 0. Строки называются линейно независимыми, если нулевой строке равна только их тривиальная линейная комбинация.

Покажем, что
если строки линейно зависимы, то одна из них является линейной комбинацией остальных.

Пусть строки al,…, аm линейно зависимы: найдутся числа λl,…, λm, не все равные нулю и такие, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Пусть, например, λm ≠ 0. Перенесем все слагаемые, кроме последнего, из левой части формулы в правую,

Матрицы. Определители. Линейные системы

и, поделив обе части полученного равенства на λm ≠ 0, придем к тому, что строка аm является линейной комбинацией остальных строк —

Матрицы. Определители. Линейные системы

Верно и обратное: если одна из строк является линейной комбинацией остальных, например,

Матрицы. Определители. Линейные системы

то существует нетривиальная линейная комбинация строкМатрицы. Определители. Линейные системы

Матрицы. Определители. Линейные системы

(коэффициент при аm равен — 1 ≠ 0), равная нулевой строке. Значит, эти строки линейно зависимы.

Аналогичными: свойствами обладает множество Rmxl m-мерных столбцов.
Общее определение линейного пространства будет рассмотрено в главе V.

Правило сокращенного суммирования

Сумму вида

Матрицы. Определители. Линейные системы

часто удобно записывать так

Матрицы. Определители. Линейные системы

(знак сокращенного суммирования принято обозначать прописной греческой буквой Σ — «сигма»).

Умножение матриц

Пусть А = (aik) и В = (βkj) — квадратные матрицы порядка n. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

элементы которой вычисляются по формуле
(9)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Обозначение: С = АВ.

Правило (9) можно проиллюстрировать следующей схемой

Матрицы. Определители. Линейные системы

С использованием знака сокращенного суммирования формула (9) записывается так:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Порядок матриц-сомножителей существен.

Следующий пример показывает, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА. Пример 1. Пусть

Матрицы. Определители. Линейные системы

Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Аналогичные примеры можно построить для матриц А и В любого порядка.

Пример:

Пусть А — матрица третьего порядка

Матрицы. Определители. Линейные системы

Покажем, что умножение матрицы А на матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

слева меняет местами 2-ю и 3-ю строки. Имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Аналогично можно убедиться в том, что умножение матрицы А на матрицу Р23 справа меняет местами 2-й и 3-й столбцы.

Пример:

Для любой матрицы А выполняются равенства (10)

Матрицы. Определители. Линейные системы

где I — единичная матрица.
Пусть, например,
А — матрица третьего порядка

Матрицы. Определители. Линейные системы

Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Справедливость равенства
проверяется аналогично.

I • А = А

Доказанные формулы (10) объясняют название матрицы I. Умножение матриц обладает следующими свойствами.

Если А, В, С, D — квадратные матрицы (n-го порядка), то

А. (АВ)С = А(ВС),

Б. А(В+С) = АВ + АС, (В +C)D = BD + CD.

Докажем, например, первую из формул Б.

Нетрудно видеть, что все три матрицы АВ, АС и А(В + С) имеют одинаковый порядок п. Вычисляя их элементы в позиции (i, j), получаем соответственно

Матрицы. Определители. Линейные системы

Ясно, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Требуемое равенство доказано.

Похожими рассуждениями доказываются и две другие формулы.

Замечание:

Операцию умножения можно определить и для прямоугольных матриц.
Пусть даны матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

Тогда элементы Матрицы. Определители. Линейные системыматрицы Матрицы. Определители. Линейные системы вычисляются по формуле (11)

Матрицы. Определители. Линейные системы

Произведение двух прямоугольных матриц существует не всегда: для того чтобы матрицу А можно было умножить на матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А совпадало с числом строк матрицы В (см. формулу (11) и рис. 2).

Матрицы. Определители. Линейные системы

Для прямоугольных матриц справедливы формулы (10), А и Б (при условии, разумеется, что соответствующие произведения имеют смысл).

Пример:

Найти произведение матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

на матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

Прежде всего, проверяем, что число столбцов матрицы А (два) совпадает с числом строк матрицы В (две). Значит, умножать матрицу А на матрицу В можно. Вычислим это произведение. Имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

О порядке суммирования

Сумму Н всех элементов прямоугольной матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

можно вычислить двумя способами:

1-й способ. Найдем суммы элементов каждого столбца

Матрицы. Определители. Линейные системы

и сложим полученные числа:

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й способ. Найдем суммы элементов каждой строки

Матрицы. Определители. Линейные системы

и сложим полученные числа:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Отсюда вытекает, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Транспонирование матрицы

Матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется транспонированной по отношению к матрице

Матрицы. Определители. Линейные системы


Обозначение: АТ.

Пример:

Транспонировав матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

согласно определению, получим

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

Подчеркнем, что элемент матрицы АТ, находящийся в позиции (j, i), совпадает с элементом матрицы А, находящимся в позиции (i, j). При транспонировании строки матрицы А переходят в столбцы матрицы АТ , а столбцы — в строки. Таким образом, если у матрицы А m строк и n столбцов, то у транспонированной матрицы АТ n строки m столбцов.
Укажем некоторые свойства операции транспонирования:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Элементарные преобразования матрицы

Пусть А и Матрицы. Определители. Линейные системы — произвольные матрицы одинакового размера m х n. Обозначим последовательные строки матрицы А через

Матрицы. Определители. Линейные системы

соответственно.

Будем говорить, что матрица Матрицы. Определители. Линейные системы получена из матрицы А

1.перестановкой двух строк, если Матрицы. Определители. Линейные системы — последовательные строки матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы;

2. умножением строки на не равное нулю число β, еcли Матрицы. Определители. Линейные системы — последовательные строки матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы;

3. прибавлением к строке матрицы А другой ее строки, умноженной на числом, если Матрицы. Определители. Линейные системы — последовательные строки матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы.

Замечание:

Во всех трех типах преобразований отмеченные многоточием строки не претерпевают никаких изменений.

Преобразования указанных трех типов называются элементарными преобразованиями строк матрицы А. Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.

Пример:

Матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

получена из матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

перестановкой 2-й и 3-й строк, а матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

получена из матрицы А перестановкой 1-го и 2-го столбцов.

Если к 1-й строке матрицы А прибавить 3-ю, умноженную на -2, то получим матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

Замечание:

Нетрудно увидеть, что если матрица Матрицы. Определители. Линейные системы получена из матрицы А элементарным преобразованием строк любого из трех типов, то и матрицу А можно получить из матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы элементарным преобразованием строк, причем того же типа (либо вновь меняя местами k-ю и l-ю строки, либо умножая k-ю строку на ‘/ β, либо прибавляя к l-Й строке k—ю строку, умноженную на — λ).

Основной процесс:

Опишем метод, который позволяет при помощи элементарных преобразований строк приводить произвольную матрицу к матрице более простого вида.

ПустьМатрицы. Определители. Линейные системы — ненулевая матрица.

1-й шаг. То, что матрица А — ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один элемент, не равный нулю. Так как он расположен в какой-то строке, то в матрице А есть ненулевые строки. Выберем ту из них, в которой первый отличный от нуля элемент расположен в столбце с наименьшим номером k1 ≥ 1. Применив к матрице А преобразование 1-го типа, переставим эту строку на место первой строки. В результате этого преобразования матрица А переходит в матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

где Матрицы. Определители. Линейные системы.

Покажем теперь, как добиться того, чтобы все элементы k1 -го столбца матрицы (12), кроме первого его элемента Матрицы. Определители. Линейные системы, оказались равными нулю.

Если к i-й строке матрицы (12) (i = 2,… ,m) прибавить первую строку, умноженную на

Матрицы. Определители. Линейные системы

(это преобразование 3-го типа), то в результате получим матрицу, у которой элемент в позиции (i, k1) будет равен нулю. Проведя эту операцию с каждой из строк, содержащих ненулевые элементы в k1 -м столбце, приходим к матрице вида
(13)

Матрицы. Определители. Линейные системы

Конец 1-го шага.

В дальнейших преобразованиях первая строка не участвует.

Возможны два случая:

  1. Все строки матрицы (13), кроме первой, нулевые. В этом случае считаем процесс преобразований завершенным.
  2. У матрицы (13) есть ненулевые строки, кроме первой.

2-й шаг. Выберем ту из них, в которой первый ненулевой элемент располагается в столбце с наименьшим номером, например, k2 (вследствие специального выбора строки на первом шаге и выполненных выше преобразований k1< k2). Применив к матрице (13) преобразование первого типа, переставим эту строку на место второй строки. Имеем (14)

Матрицы. Определители. Линейные системы

где Матрицы. Определители. Линейные системы Прибавляя к i-й строке (i = 3,…, m) матрицы (14) вторую строку, умноженную на

Матрицы. Определители. Линейные системы

далее действуем по той же схеме, что и при первом шаге. Конец 2-го шага.

В общем случае может возникнуть необходимость 3-го и последующих шагов. Однако суммарное число шагов не превосходит min(m,n). Поэтому обязательно наступит момент, когда процесс преобразований завершится, и мы получим матрицу следующего ступенчатого вида —
(15)

Матрицы. Определители. Линейные системы

где Матрицы. Определители. Линейные системы и

Матрицы. Определители. Линейные системы

Матрица вида (15) называется ступенчатой. Тем самым, доказано следующее утверждение.

Теорема:

Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице при помощи конечного числа элементарных преобразований строк (1 -го и 3-го типов).

Пример:

Привести матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы


к матрице ступенчатого вида.

Поменяем местами 1-ю и 4-ю строки матрицы А:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки матрицы А1.

Матрицы. Определители. Линейные системы

Матрица А2 — ступенчатая.

Пример:

Привести матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

к ступенчатой.

Поменяем местами первую и третью строки

Матрицы. Определители. Линейные системы

1-й шаг. Вычитаем из второй, третьей и четвертой строк первую строку, умноженную соответственно на числа 5, 3 и 7. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й шаг. Для простоты последующих вычислений воспользуемся элементарным преобразованием строк 2-го типа (хотя они и не использовались в описанном выше процессе, но их применение часто упрощает вычисления): умножим вторую строку на Матрицы. Определители. Линейные системы, третью — на Матрицы. Определители. Линейные системы, четвертую — на Матрицы. Определители. Линейные системы. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Вычитаем из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 1 и 2 соответственно. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы


3-й шаг. Замечая, что третья строка нулевая, переставим ее с четвертой. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы


Полученная матрица А5 является ступенчатой.
Ступенчатую матрицу при помоши элементарных преобразований ее столбцов можно привести к матрице, имеющей еще более простой вид (16)

Матрицы. Определители. Линейные системы

(все элементы матрицы, кроме единиц, стоящих в позициях (l, 1), (2,2), (r, r) равны нулю).

Путем перестановки в матрице (15) столбцов с номерами Матрицы. Определители. Линейные системына места первого, второго, …, r-го столбцов соответственно (это преобразования 1-го типа) получаем трапециевидную матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

Пример:

Например, переставляя 3-й и 5-й столбцы матрицы А5, получаем, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Прибавляя к j-му столбцу матрицы (17) первый столбец, умноженный на

Матрицы. Определители. Линейные системы

(преобразования 3-го типа), получим в результате всех таких преобразований матрицу, первая строка которой содержит только один ненулевой элемент — Матрицы. Определители. Линейные системы:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Упрощая аналогично 2-ю, 3-ю, …, r-ю строки, в итоге получим

Матрицы. Определители. Линейные системы

К виду (16) матрица (18) приводится элементарными преобразованиями 2-го типа.

Пример:

Подвергая матрицу Аб таким преобразованиям, приходим к матрице

Матрицы. Определители. Линейные системы


и, далее,

Матрицы. Определители. Линейные системы

Матрицы элементарных преобразований

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы — матрицы элементарных преобразований. Так называются матрицы следующих трех типов.

1-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной матрицы перестановкой любых двух строк. Например, матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

получена из единичной матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

перестановкой i-й и j-й строк (в матрице все элементы вне главной диагонали кроме тех, которые располагаются в позициях (i, j) и (j, i), равны нулю).

2-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не равное нулю число. Например, матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

отличается от единичной матрицы лишь элементом β ≠ 0 в позиции (j, j) (в матрице Dj все элементы вне главной диагонали равны нулю).

3-й тип. Матрицы, отличающиеся от единичной матрицы лишь одним внедиаго-нальным элементом. Например, матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

отличается от единичной лишь элементом γ в позиции (i, j), а матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

отличается от единичной тоже элементом γ, но в позиции (j, i) (все другие внедиаго-нальные элементы матриц Lij и Rij , кроме указанных, равны нулю).

Сформулируем основное свойство матриц элементарных преобразований.
Теорема:

Элементарные преобразования произвольной матрицы равносильны умножению этой матрицы на матрицы элементарных преобразований:

А. Элементарные преобразования строк матрицы А —

  1. Умножение матрицы А на матрицу Р ij — слева переставляет строки с номерами i и j.
  2. Умножение матрицы А на матрицу D j — слева равносильно умножению j-й строки матрицы А на число β.
  3. Прибавление к j-й строке матрицы А ее i-й строки, умноженной на число γ, равносильно умножению матрицы А на матрицу Lij слева.

Б. Элементарные преобразования столбцов матрицы А —

  1. Умножение матрицы А на матрицу Рij справа переставляет столбцы с номерами i и j.
  2. Умножение матрицы А на матрицу Dj — справа равносильно умножению j -го столбца матрицы А на число β.
  3. Прибавление к j -му столбцу матрицы А ее i-го столбца, умноженного на число γ, равносильно умножению матрицы А на матрицу Rij справа.

Для простоты ограничимся случаем m = n = 3. Пусть А — квадратная матрица третьего порядка

Матрицы. Определители. Линейные системы
  1. В п. 1.4 («Умножение матриц») было показано (см. пример 2), что при умножении матрицы А на матрицу
Матрицы. Определители. Линейные системы

слева получается матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

приумножении А на Р23 справа — матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

Нетрудно заметить, что матрица В отличается от матрицы А порядком строк, а матрица С — порядком столбцов.

Аналогично проверяется справедливость свойства 1 для матриц Р12 и P13

2. Умножим матрицу А на

Матрицы. Определители. Линейные системы

Имеем:

а) приумножении слева

Матрицы. Определители. Линейные системы

б) при умножении справа

Матрицы. Определители. Линейные системы

Аналогично проверяется справедливость свойства 2 для матриц D1 и D3. Подобным же образом можно убедиться в справедливости свойства 3.

Определители

Свяжем с каждой квадратной матрицей число — определитель матрицы — по следующему правилу.

Будем считать, что определитель матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

первого порядка равен числу Матрицы. Определители. Линейные системы.

Определителем матрицы второго порядка

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется число, равное Матрицы. Определители. Линейные системы.


Обозначение:
(1)

Матрицы. Определители. Линейные системы

Определителем матрицы третьего порядка

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется число, равное

Матрицы. Определители. Линейные системы


С учетом формулы (1) получаем:

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

Формулу (2) легче запомнить, если воспользоваться двумя правилами для построения слагаемых определителя, символически описанными на рисунке 4. На левом рисунке показано, как выбирать сомножители первых трех слагаемых определителя, а на правом — трех последних.

Матрицы. Определители. Линейные системы

Предположим теперь, что определители матриц, порядок которых меньше n, уже введены. Определителем матрицы n-го порядка

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется число, равное
(4)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Здесь Mil (i = l,… , n) — определитель матрицы порядка n — 1:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Матрица (5) получена из матрицы А путем вычеркивания первого столбца и i-й строки.
Обозначение:
(6)

Матрицы. Определители. Линейные системы

Формула (4) называется разложением определителя по первому столбцу. Нетрудно проверить непосредственно, что при n = 2 и n = 3 эта формула дает те же числа, что и формулы (1) и (2) соответственно. Например, при n = 3 имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Формула (4) допускает сокращенную запись
(8)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Пример:

Вычислим определитель треугольной матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

Имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Таким образом,

определитель треугольной матрицы (матрицы треугольного вида) равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали.

Обратимся к общей ситуации. Пусть теперь i и j — произвольные числа из набора 1,2, … , n — 1, n. Определитель матрицы порядка n — 1, которая получается из матрицы А вычеркиванием элементов i-й строки и j-го столбца, называется дополнительным минором элемента aij и обозначается через (рис.5). Таким образом, Mij — дополнительный минор элемента ail.

Матрицы. Определители. Линейные системы

По аналогии с формулой (8) введем числа Dj
(9)

Матрицы. Определители. Линейные системы

Покажем, что все числа D = D1,D2…., Dn равны между собой.

Для простоты ограничимся рассмотрением случая n = 3. Тогда из формул (9) при j = 2 получаем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Каждый минор М12 (i = 1, 2, 3) является определителем второго порядка —

Матрицы. Определители. Линейные системы

Вычислим определители (11) в соответствии с правилом (1) и, подставляя результаты

Матрицы. Определители. Линейные системы

в формулу (10), получим, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Сравнивая правые части соотношений (7) и (12), убеждаемся в том, что D = D2. Подобным же образом проверяется равенство D = D3.

Замечание:

Равенства D = D1 = …= Dn в общем случае также доказываются путем сведения к вычислению определителей меньшего порядка ((n — 1)-гои (n — 2)-го).
Таким образом, доказана формула
(13)

Матрицы. Определители. Линейные системы

коротко называемая разложением определителя по j -му столбцу. Придадим полученному результату несколько иной вид. Число
(14)

Матрицы. Определители. Линейные системы


называется алгебраическим дополнением элемента aij в определителе |А|. Заметим, что алгебраическое дополнение Аij элемента aij зависит только от его позиции (t, j) в матрице А. При замене элемента aij матрицы на любое другое число алгебраическое дополнение не изменяется. С учетом обозначения (14) формулу (13) можно записать в следующем виде:
(15)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Тем самым, показано, что
определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов произвольного столбца на их алгебраические дополнения.

По аналогии с формулами (9) вводятся числа (16)

Матрицы. Определители. Линейные системы

также равные между собой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить предыдущие рассуждения. Имеет место следующий замечательный факт.

Теорема:

Для любого i = 1…..n

Матрицы. Определители. Линейные системы

Иными словами, справедливо разложение определителя по i-й строке.

Достаточно убедиться в том, что (18)

Матрицы. Определители. Линейные системы

Вновь ограничимся случаем n = 3. Согласно правилу (16), имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

и далее

Матрицы. Определители. Линейные системы

Сравнивая полученный результат с формулой (7), убеждаемся в справедливости требуемого равенства (18).

Замечание:

В общем случае равенство Матрицы. Определители. Линейные системы также доказывается путем сведения к вычислению определителей меньшего порядка ((n — 1)-го и (n — 2)-то).

С учетом обозначения (14) полученный результат можно записать следующим образом:

Матрицы. Определители. Линейные системы

— определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов произвольной строки на их алгебраические дополнения.

Пример:

Вычислим определители матриц элементарных преобразований.

Раскладывая определитель матрицы Рij.

Матрицы. Определители. Линейные системы


по 1-й строке и затем повторяя эту операцию достаточное число раз (n — 2), придем в результате к следующей формуле

Матрицы. Определители. Линейные системы

Так как матрица Dj элементарных преобразований 2-го типа имеет диагональный вид, то

Матрицы. Определители. Линейные системы

Для матрицы Lij третьего Типа получаем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Свойства определителя

Линейность

Пусть в определителе D i-я строка является линейной комбинацией двух n-строк:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы


где определители

Матрицы. Определители. Линейные системы

отличаются от определителя D только i -ми строками.

Чтобы убедиться в справедливости этого свойства, достаточно разложить определители D, D’ и D» по i-й строке. Так как алгебраические дополнения Аij элементов i-й строки у всех трех определителей одинаковы, то согласно формуле (19) имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Отсюда следует, что Матрицы. Определители. Линейные системы

Антисимметричность

Если определитель Матрицы. Определители. Линейные системыполучен из определителя D перестановкой двух строк,


Матрицы. Определители. Линейные системы = -D.

Предположим, что определитель Матрицы. Определители. Линейные системы получен из определителя D перестановкой первых двух строк:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Разложим определитель D по второй строке, а определитель Матрицы. Определители. Линейные системы — по первой строке. Согласно формуле (17) получим соответственно

Матрицы. Определители. Линейные системы

Нетрудно видеть, что Матрицы. Определители. Линейные системы = — D.

При перестановке любых двух строк определителя D доказательство проводится аналогично.

Транспонирование определителя

При транспонировании матрицы определитель не изменяется

T| = |А|.

Это свойство непосредственно вытекает из доказанной выше теоремы: разложение определителя |А| по первой строке совпадает с разложением определителя | АT | по первому столбцу.

Заметим, чтосвойства 1 и 2 справедливы и для столбцов (это следует из свойства 3).

Определитель произведения квадратных матриц

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е. если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то

|АВ| = |А| • |В|.

Сформулируем свойства определителя, удобные при практических вычислениях.

1. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух любых строк, согласно свойству 2, определитель должен изменить знак на противоположный; с другой стороны, при перестановке двух одинаковых строк определитель не меняется. Значит, D = -D, откуда вытекает, что D = 0.

2. Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого определителя на это число.

Это вытекает из свойства 1 при μ = 0.

3. Определитель с нулевой строкой равен нулю.

Достаточно разложить определитель по нулевой строке.

4. Определитель, одна и з строк которого равна произведению другой его строки на число, равен нулю.

В силу свойства 2 множитель можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя равными строками.

5. Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на любое число, то полученный определитель будет равен исходному.

Полученный определитель согласно свойству 1 равен сумме двух определителей — исходного и определителя, одна из строк которого равна произведению другой его строки на число.
Итог: определитель не изменится, если к любой его cmроке прибавить линейную комбинацию других строк определителя.

То же самое справедливо и для столбцов определителя.

Задача:

Доказать, что сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки определителя равна нулю.

Заменим в определителе

Матрицы. Определители. Линейные системы

элементы k-й строки соответствующими элементами i-й строки. Получим определитель

Матрицы. Определители. Линейные системы

с двумя одинаковыми строками — i -й и k-й. Согласно свойству 1, 5 = 0.

Раскладывая определитель D по k-й строке, получим требуемое равенство

Матрицы. Определители. Линейные системы

(напомним, что изменение элементов строки определителя не изменяет алгебраических дополнений этих элементов).

Вычисление определителя

Прежде чем обратиться к описанию вычисления определителя при помощи элементарных преобразований, отметим, что при преобразованиях первого типа определитель изменяет знак (свойство I), при преобразованиях второго типа определитель умножается на то же число (свойство 2), а при преобразованиях третьего типа определитель не изменяется.

Пример:

Вычислить определитель матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

Элемент а11 ≠ 0. Не все элементы первого столбца делятся на а11 нацело. Чтобы избежать деления элементов матрицы, умножим 2-ю строку на -2, 3-ю на -1 и четвертую на 2. Получим

Матрицы. Определители. Линейные системы

1-й шаг. Прибавляем ко второй, третьей и четвертой строкам первую строку, умноженную соответственно на 3, 2 и 3. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й шаг. Чтобы избежать деления, умножим последнюю строку на -7. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Прибавляя к четвертой строке вторую строку, умноженную на 11, получим

Матрицы. Определители. Линейные системы

3-й шаг. Переставляем третью и четвертую строки:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Вычисляя определитель полученной треугольной матрицы, имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Отсюда окончательно получаем, что

|А| = 54.

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель этой матрицы не равен нулю.

Пусть А = (aij) — невырожденная матрица порядка n. Построим новую квадратную матрицу В порядка п по следующему правилу: в i -ю строку и j -й столбец матрицы В — в позицию (i, j) — помещается число, равное алгебраическому дополнению Aij элемента aij матрицы А:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Матрица В обладает следующим важным свойством:
(1)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Докажем, например, равенство

АВ = |А| • I.

Элемент произведения АВ, находящийся в позиции (i, j) вычисляется по формуле

Матрицы. Определители. Линейные системы

При i = j получаем разложение определителя матрицы А по i-й строке:

Матрицы. Определители. Линейные системы

При i ≠ j согласно разобранной выше задаче

Матрицы. Определители. Линейные системы

Равенство

ВА = |А| • I

обосновывается аналогично. Матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы

называется обратной к матрице А.

Из формулы (1) вытекают равенства
(3)

Матрицы. Определители. Линейные системы


Это означает, что матрицу А 1 можно рассматривать как решение сразу двух матричных уравнений

АХ = I и ХА = I,

где

Матрицы. Определители. Линейные системы

— неизвестная матрица.

Покажем, что других общих решений у этих матричных уравнений нет. < Предположим, что для некоторой матрицы С выполняются равенства

АС = I и СА = I.

Умножим обе части каждого из равенств на матрицу А-1: левого — слева, правого — справа. Получим

Матрицы. Определители. Линейные системы

Пользуясь свойствами операции умножения матриц, преобразуем правые части равенств (4):

Матрицы. Определители. Линейные системы

В соответствии с формулой (3) и формулами (10) каждое из равенств (4) дает требуемое соотношение: С = А-1.

Метод Жордана

Укажем простой и эффективный способ вычисления обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Начнем с обоснования метода.

Теорема:

Произвольную невырожденную матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной матрице.
Согласно теореме 1 любую матрицу при помощи элементарных преобразований строк (1-го и 3-го типов) можно привести к матрице ступенчатого вида. Если исходная матрица является квадратной и невырожденной, то она преобразуется к матрице, имеющей треугольный вид

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

Покажем это. Элементарные преобразования строк матрицы равносильны умножению этой матрицы слева на соответствующие матрицы элементарных преобразований (теорема 2). Как показано выше, матрицы элементарных преобразований невырождены. В силу свойства 4 определителя при умножении квадратных матриц их определители перемножаются. Поэтому при умножении невырожденной матрицы на любую из матриц элементарных преобразований вновь получаем невырожденную матрицу. Если ширина хотя бы одной «ступеньки» у получившейся в результате ступенчатой матрицы была бы больше одного элемента (см. рис. 6), то ее определитель равнялся бы нулю. Это противоречит предыдущему рассуждению. Тем самым, матрица (5) оказывается невырожденной, т. е.

Матрицы. Определители. Линейные системы


Матрицы. Определители. Линейные системы

Элементарными преобразованиями строк 2-го типа полученная матрица (5) приводится к следующему виду

Матрицы. Определители. Линейные системы

Единичная матрица получается из матрицы (6) элементарными преобразованиями третьего типа: последовательно прибавляя к первым n — 1 строкам последнюю, умноженную соответственно на — Матрицы. Определители. Линейные системы, приводим ее к матрице, у которой все элементы n-го столбца, кроме последнего, равны нулю:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Аналогичным образом, прибавляя к первым n — 2 строкам полученной матрицы (n — 1)-ю строку, умноженную соответственно на Матрицы. Определители. Линейные системы придем к матрице, у которой все элементы последних двух столбцов, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, и т. д. Наконец, прибавляя к первой строке вторую, умноженную на Матрицы. Определители. Линейные системы, придем к единичной матрице

Матрицы. Определители. Линейные системы

Доказанное утверждение позволяет переформулировать теорему 4 в матричной форме:

Теорема:

Для любой невырожденной матрицы (к можно указать матрицы элементарных преобразований Матрицы. Определители. Линейные системы такие, что

Матрицы. Определители. Линейные системы


Умножим обе части равенства (7) на матрицу Матрицы. Определители. Линейные системы справа. Получаем, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Способ построения обратной матрицы

Пусть А — невырожденная матрица порядка n. Составим расширенную матрицу
(АI) (8)
размера n х (2n). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям, соответствующим матрицам Матрицы. Определители. Линейные системы, то на месте матрицы А получится единичная матрица l, а на месте единичной матрицы l — матрица Матрицы. Определители. Линейные системы, обратная А. Иными словами, элементарными преобразованиями строк матрица (8) преобразуется в матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

Таким образом, чтобы построить матрицу, обратную заданной квадратной невырожденной матрице А = (aij), следует поступать так: 1. Составить расширенную матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы (А | I) привести матрицу А к треугольному виду

Матрицы. Определители. Линейные системы

(см. описание основного процесса, положенного в основу доказательства теоремы 1).

3. Элементарными преобразованиями строк матрицы (А | В) привести матрицу А к единичной

Матрицы. Определители. Линейные системы

(см. описание сведения матрицы (6) к единичной в теореме 4). 4. Полученная матрица С является обратной к матрице А:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Пример:

Найти матрицу, обратную матрице

Матрицы. Определители. Линейные системы

Составим расширенную матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы


1-й шаг. Вычитаем первую строку из всех последующих строк:

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й шаг. Элемент а22 = 0. Меняем местами вторую и третью строки, затем вычитаем из четвертой строки полученную вторую:

Матрицы. Определители. Линейные системы

3-й шаг. Вычитаем из четвертой строки третью и делим все строки на их диагональные элементы:

Матрицы. Определители. Линейные системы

4-й шаг. Вычитаем последнюю строку из первых трех строк:

Матрицы. Определители. Линейные системы


5-й шаг. Вычитаем третью строку из первой строки:

Матрицы. Определители. Линейные системы


6-й шаг. Вычитаем вторую строку из первой строки:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Отсюда следует, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Ранг матрицы

Выберем в матрице

Матрицы. Определители. Линейные системы

k строк и k столбцов. Пусть

Матрицы. Определители. Линейные системы

— номера выбранных строк и

Матрицы. Определители. Линейные системы

— номера выбранных столбцов. Построим матрицу k -го порядка

Матрицы. Определители. Линейные системы

Определитель Мк этой матрицы называется минором к-го порядка матрицы А. Ясно, что у матрицы размера m х n есть миноры, порядок которых равен 1,2,…, min(m, n).

Матрицы. Определители. Линейные системы

Пример:

Выберем в матрице А размера 11 х 14 7 строк и 7 столбцов:

1, 3, 4, 6, 8, 9, 10 — номера выбранных строк;

2, 5, 6, 7, 10. 12, 13 — номера выбранных столбцов.

Построим матрицу порядка 7 из элементов, располагающихся одновременно и в отобранных строках и в отобранных столбцах, сохранив их взаимное расположение. Получим матрицу, схематически изображенную на рис. 7 справа. Определитель этой матрицы будет минором 7-го порядка исходной матрицы.

Пусть матрица А ненулевая. Тогда найдется число r такое, что

1) некоторый минор r-го порядка матрицы А отличен от нуля;

2) любой минор порядка s (s > r) матрицы А (если таковой существует) равен нулю.

Число rназывается рангом матрицы А. Обозначение: rang А.

Ранг нулевой матрицы считаем равным нулю. Таким образом, для любой матрицы А размера m х n

Матрицы. Определители. Линейные системы


Отличный от нуля минор Mr, порядок которого равен рангу матрицы А, называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы матрицы А, которые содержат элементы базисного минора, называются базисными.

Теорема:

  1. Базисные строки матрицы А линейно независимы.
  2. Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк.

Аналогичное утверждение справедливо и для базисных столбцов.
Предположим для определенности, что базисный минор матрицы А имеет порядок г и расположен в ее левом верхнем углу:

Матрицы. Определители. Линейные системы


Тогда первые r строк a1,…, аr будут базисными.

  1. Покажем, что строки a1,…, аr линейно независимы. Будем рассуждать от противного. Пусть строки a1,…, аr линейно зависимы. Тогда согласно утверждению п. 3 одна из строк является линейной комбинацией остальных. Пусть, например,
Матрицы. Определители. Линейные системы

Это означает, что в базисном миноре Матрицы. Определители. Линейные системы r-я строка является линейной комбинацией остальных строк Мr. Отсюда в силу свойства определителя вытекает равенство Мr = 0, которое противоречит определению базисного минора. Тем самым, наше предположение о линейной зависимости строк a1,…, аr неверно. Значит, они линейно независимы.

2. Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы. Покажем сначала, что для любых i и j (Матрицы. Определители. Линейные системы) выполняется равенство

Матрицы. Определители. Линейные системы

В самом деле, при i ≤ r у определителя ∆ две одинаковых строки, при j ≤ r — два одинаковых столбца, а в остальных случаях (при t > г и j > г) ∆ является минором матрицы А порядка г + 1. Тем самым, он оказывается равным нулю при всех обстоятельствах.

Зафиксируем t (1 ≤ t ≤ m) и разложим определитель ∆ по последнему столбцу. Имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Полученное равенство (3) выполняется для любого j (l ≤ j ≤ n); при этом числа ∆1,…, ∆r от j не зависят. Полагая

Матрицы. Определители. Линейные системы

перепишем равенство (3) в следующем виде

Матрицы. Определители. Линейные системы

или, подробно,

Матрицы. Определители. Линейные системы

На основании полученных соотношений (4) заключаем, чтo

Матрицы. Определители. Линейные системы

Тем самым, i-я строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк а1,…, аr. Ввиду произвольности выбора i (1 ≤ i ≤ m) отсюда заключаем, что каждая строка матрицы является линейной комбинацией базисных.

Утверждение:

Элементарные преобразования матрицы не увеличивают ее ранга.
Пусть матрицаМатрицы. Определители. Линейные системы ранга Матрицы. Определители. Линейные системыполучена из матрицы А ранга r элементарным преобразованием строк 1-го типа. Рассмотрим в матрице Матрицы. Определители. Линейные системы произвольный минор Матрицы. Определители. Линейные системы, порядка s и выберем в матрице А минор Мs того же порядка s по следующему правилу. Элементы минора Мs расположены в матрице А в тех же строках и в столбцах с теми же номерами, что и элементы минора Матрицы. Определители. Линейные системы в матрице Матрицы. Определители. Линейные системы. Так как преобразование 1-го типа, переставляя строки матрицы, не изменяет их, то строки миноров Мs и Матрицы. Определители. Линейные системы могут различаться только порядком расположения в минорах. Отсюда вытекает, что либо Матрицы. Определители. Линейные системы= +Мs либо Матрицы. Определители. Линейные системы= ~Мs.

По определению ранга все миноры матрицы А, порядок которых больше г, равны нулю. Поэтому из полученных равенств вытекает, что любой минор матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы порядка s > r равен нулю: Матрицы. Определители. Линейные системы= 0. Это означает, что ранг матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы не может быть больше ранга матрицы A: Матрицы. Определители. Линейные системы ≤ r.

Похожими рассуждениями можно убедиться в справедливости неравенства

Матрицы. Определители. Линейные системы


и для случая, когда матрица Матрицы. Определители. Линейные системы получена из матрицы А элементарными преобразованиями строк 2-го и 3-го типов.

Для столбцов доказательство проводится аналогично.
Теорема:

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Достаточно вспомнить, что если матрица Матрицы. Определители. Линейные системы получена из матрицы А элементарным преобразованием, то и матрицу А можно получить из матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы элементарным преобразованием (причем того же типа). С учетом доказанного выше утверждения из этого факта можно заключить, что и

Матрицы. Определители. Линейные системы

Сопоставляя неравенства Матрицы. Определители. Линейные системыполучаем требуемое

Матрицы. Определители. Линейные системы


Замечание:

Число ненулевых строк ступенчатой матрицы равно ее рангу.

В самом деле, минор порядка r ступенчатой матрицы, элементы которого расположены в ее первых r

строках и в столбцах с номерами k1, k2,…, kr, отличен от нуля,

Матрицы. Определители. Линейные системы

а любой минор порядка s > r содержит нулевую строку и, значит, равен нулю.

Тем самым, элементарные преобразования матрицы предоставляют простой и эффективный способ отыскания ранга произвольной матрицы.

Пример:

Найти ранг матрицы

Матрицы. Определители. Линейные системы

1-й шаг. Вычитая из второй и третьей строк первую строку, умноженную соответственно на 2 и 1, получим, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й шаг. Вычитаем из третьей строки вторую строку, умноженную на 2. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Система линейных уравнений

Пусть дана матрица

Матрицы. Определители. Линейные системы


первые n столбцов которой ненулевые. Совокупность соотношений
(2)

Матрицы. Определители. Линейные системы

где числа х1,…, хn рассматриваются как величины, подлежащие определению (неизвестные), называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, или, коротко, — линейной системой. Числа аij (i = 1,…, m; j = 1, … , n) называются коэффициентами линейной системы (2), а числа βi (i = 1,…, m) — ее свободными членами.

Решением линейной системы (2) называется упорядоченная совокупность чисел γ1,…γn. которая при подстановке в каждое уравнение системы (2) вместо совокупности неизвестных х1,… ,хn обращает его в тождество. Линейная система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Решения γ1,…γn и γ’ 1,…γ’ n системы (2) называются различными, если нарушено хотя бы одно из равенств

Матрицы. Определители. Линейные системы

Совместная система называется определенной, если она имеет ровно одно решение, и неопределенной, если она имеет не менее двух различных решений.

Линейная система (2) допускает более компактную (матричную) запись: AX = b (3)

где

Матрицы. Определители. Линейные системы


Матрица А называется матрицей системы (2), b — столбцом свободных членов, X — столбцом неизвестных. Исходная матрица

А = (А | b)

называется расширенной матрицей системы (2). Решением матричной системы (3) является столбец Г, элементы которого суть Матрицы. Определители. Линейные системы

Матрицы. Определители. Линейные системы

Теорема Кронекера—Капелли:

Линейная система совместна в том и только в том случае, если ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны.

Пусть линейная система (2) совместна. Это означает, что некоторый упорядоченный набор чисел Матрицы. Определители. Линейные системы обращает каждое из уравнений этой системы в тождество:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Полученные соотношения можно понимать так: столбец свободных членов расширенной матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы = (А | b) является линейной комбинацией ее первых п столбцов, т. е. столбцов матрицы А. Прибавим к последнему столбцу матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы первый столбец, умноженный на — γ1, затем второй столбец, умноженный на — γ2,… , и, наконец, n-й столбец, умноженный на — γn. B результате получим матрицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

Ранг матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы совпадает с рангом матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы, так как проведенные элементарные преобразования столбцов 3-го типа не изменяют ранга матрицы (теорема 7). С другой стороны, ясно, что ранги матриц Матрицы. Определители. Линейные системы и А также равны. Тем самым,

Матрицы. Определители. Линейные системы

Пусть теперь ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Так как Матрицы. Определители. Линейные системы= (А | b), то у матриц А и Матрицы. Определители. Линейные системыесть общий базисный минор. Предположим для определенности, что порядок базисного минора равен r, и он расположен в левом верхнем углу обеих матриц. Этого всегда можно добиться путем перестановки уравнений и (в случае необходимости) перенумерации неизвестных. Согласно теореме 6 любой столбец матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы можно представить в виде линейной комбинации базисных столбцов. В частности, для столбца свободных членов (это последний столбец матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы) имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Или

Матрицы. Определители. Линейные системы

Нетрудно видеть, что упорядоченный набор n чисел

Матрицы. Определители. Линейные системы

обращает каждое из уравнений исходной линейной системы в тождество. Это означает, что система (2) совместна.

Эквивалентные линейные системы

Совокупность всех решений линейной системы будем называть множеством решений системы. Две линейные системы с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений (возможно, пустые) совпадают. Другими словами, всякое решение одной системы является решением другой и, обратно, всякое решение второй системы является решением первой, либо обе системы не имеют решений.

Ясно, что линейная система однозначно задается своей расширенной матрицей. Возьмем две матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы и Матрицы. Определители. Линейные системы одного размера m х (n+ 1) и рассмотрим соответствующие им линейные системы

Матрицы. Определители. Линейные системы

Будем говорить, что система (*‘) получена из системы (*) при помощи элементарных преобразований, если расширенная матрица Матрицы. Определители. Линейные системысистемы (*‘) получается из расширенной матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы системы (*) элементарными преобразованиями строк.
Теорема:

Если линейная система (*’) получена из линейной системы (*) элементарными преобразованиями, то системы (*) и (*’) эквивалентны.

Предположим сначала, что система (*) совместна. Пусть Матрицы. Определители. Линейные системы — ее решение. Покажем, что этот набор при подстановке в каждое из уравнений системы (*’) вместо набора неизвестных х1… ,хn обращает его в тождество. Достаточно рассмотреть только те уравнения, которые подверглись преобразованиям.

Пусть система (*’) получена из системы (*) элементарным преобразованием:

1) первого типа — изменение порядка уравнений в системе не лишает набор Матрицы. Определители. Линейные системы возможности обратить каждое из них в тождество;

2) второго типа — после умножения fc-ro тождества

Матрицы. Определители. Линейные системы

на А ≠ 0 получаем соотношение

Матрицы. Определители. Линейные системы

означающее, что набор Матрицы. Определители. Линейные системы обращает уравнение

Матрицы. Определители. Линейные системы

в тождество;

3) третьего типа ~ выпишем преобразованное уравнение

Матрицы. Определители. Линейные системы

и тождества, полученные из k-то и l-го уравнений системы (*):

Матрицы. Определители. Линейные системы

Умножим первое из этих тождеств на μ и, прибавив ко второму, получим тождество

Матрицы. Определители. Линейные системы

Подстановка набора Матрицы. Определители. Линейные системы в уравнение (5) приводит к тому же результату. Таким образом, в каждом из трех случаев система () оказывается совместной, и набор Матрицы. Определители. Линейные системыявляется ее решением — всякое решение системы (*) является решением системы (*’).

Так как система (*) также может быть получена из системы (*’) путем элементарных преобразований, то, повторяя приведенные выше рассуждения для систем (*’) и (*), убеждаемся в том, что всякое решение системы (*‘) является решением системы (*).

В том случае, когда система (*) несовместна, несовместна также и система (*’). В этом легко убедиться, рассуждая от противного: совместность системы (*‘), согласно доказанному выше, неизбежно влечет совместность системы (*), которая по условию не имеет решений.

Ясно, что если система (*’) получена из системы* () при помощи конечного числа элементарных преобразований, то эти системы эквивалентны.

Метод Гаусса

Решить линейную систему — это значит:

1) выяснить, является ли система совместной или несовместной;

2) если система совместна, то найти множество ее решений.

Укажем способ решения линейной системы, состоящий в следующем: элементарными преобразованиями заданная система приводится к системе простого вида, для которой ответить на поставленные вопросы уже нетрудно.

Так как элементарные преобразования системы напрямую связаны с элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы, будет удобно рассматривать их одновременно:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Как доказано в теореме 1 элементарными преобразованиями строк матрицу Матрицы. Определители. Линейные системы можно привести к ступенчатой

Матрицы. Определители. Линейные системы

Соответственно преобразуется и система (*).

Если свободный член Матрицы. Определители. Линейные системыотличен от нуля, то полученная (а значит, и исходная) система будет несовместна. В самом деле, (r + 1)-е уравнение имеет следующий вид:

Матрицы. Определители. Линейные системы

и никакой набор чисел Матрицы. Определители. Линейные системы не может обратить его в тождество.

Обратимся к случаю, когда Матрицы. Определители. Линейные системы = 0. Тогда только первые г строк матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы будут отличными от нуля. Выпишем соответствующие уравнения. Для простоты записи будем считать, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

(этого можно добиться, временно перенумеровав искомые неизвестные: у1 = х1Матрицы. Определители. Линейные системы). Имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

Возможны два случая:

  1. Число неизвестных n и число уравнений r в системе (*’) равны, r — n. Тогда система (*’) имеет вид:
Матрицы. Определители. Линейные системы
Матрицы. Определители. Линейные системы

Из последнего уравнения однозначно определяется значение неизвестного хn. Подставляя его в предыдущее (n — 1) -е уравнение, находим значение неизвестного xn_1 и т. д. Наконец, подставляя найденные значения неизвестных x2,…, хn в первое уравнение, однозначно определяем значение неизвестного х1.

Таким образом, в рассматриваемом случае (при r = n) система (*‘) имеет единственное решение. Это же верно и для системы (*).

2. Число неизвестных n больше числа уравнений r, n > r. Придадим неизвестным xr+1,… , хn (их называют свободными) произвольные значения Матрицы. Определители. Линейные системы и, перенося соответствующие слагаемые в правые части уравнений системы, получим

Матрицы. Определители. Линейные системы

Как и выше, мы можем последовательно определить значения главных неизвестных Матрицы. Определители. Линейные системы

Поскольку значения Матрицы. Определители. Линейные системы были выбраны произвольно, то в рассматриваемом случае множество решений линейной системы бесконечно.

Пример:

Решить систему

Матрицы. Определители. Линейные системы

Составим расширенную матрицу системы,

Матрицы. Определители. Линейные системы

и приведем ее при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатой матрице.

1-й шаг. Чтобы получить элемент в позиции (1,1) равным 1, вычитаем из второй строки удвоенную первую строку и затем меняем их местами. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Вычитаем из второй и третьей строк первую, умноженную на 3 и 5 соответственно. Получим, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й шаг. Вычитаем из третьей строки вторую:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Система несовместна, так как rang А = 2, a rang Матрицы. Определители. Линейные системы = 3.

Пример:

Решить систему

Матрицы. Определители. Линейные системы

Составим расширенную матрицу системы:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Прямой ход.

1-й шаг. Переставим первую и четвертую строки. Тогда элемент в позиции (1,1) будет равен I. Вычитая затем из всех строк первую строку, умноженную соответственно на 4 , 2 и 2, получаем

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й шаг. Во избежание громоздких вычислений вычитаем из второй строки удвоенную третью строку, а из третьей четвертую. Затем у полученной матрицы вычитаем из второй строки третью:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Вычитая из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 2 и 11 соответственно, получаем, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

3-й шаг. Вычитаем из четвертой строки третью, умноженную на 4. Затем умножаем элементы третьей строки на Матрицы. Определители. Линейные системы:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Система совместна, так как rang А = rang Матрицы. Определители. Линейные системы = 3, и имеет единственное решение, так как ранг матрицы равен числу неизвестных.

Таким образом, исходная система эквивалентна системе

Матрицы. Определители. Линейные системы

Обратный ход.

Из третьего уравнения сразу видим, что x3 = 1. Подставив это значение x3 во второе уравнение, получаем -х2 — 2 = -4, откуда x2 = 2. После подстановки найденных значений для x3 и x2 в первое уравнение получаем х1+ 16 — 7 = 12, откуда х1 = 3.

Система имеет единственное решение:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Пример:

Решить систему

Матрицы. Определители. Линейные системы

Соcтавим расширенную матрицу системы:

Матрицы. Определители. Линейные системы

1-й шаг. Вычитаем из второй и третьей строк первую строку, умноженную на 2 и 3 соответственно:

Матрицы. Определители. Линейные системы

2-й шаг. Вычитаем из третьей строки удвоенную вторую

Матрицы. Определители. Линейные системы

Система совместна (rang А = rangМатрицы. Определители. Линейные системы = 2) и имеет бесконечное число решений (rang А < 4). Исходная система эквивалентна системе следующего вида

Матрицы. Определители. Линейные системы

Найдем общее решение системы. Придадим свободным неизвестным x2 и х4 произвольные значения γ2 и γ4 соответственно и, перенося соответствующие слагаемые в правые части уравнений, получим

Матрицы. Определители. Линейные системы

Из последнего уравнения находим

Матрицы. Определители. Линейные системы

Подставляя выражение для х3 в первое уравнение, получим, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

Общее решение системы имеет вид

Матрицы. Определители. Линейные системы

где γ2 и γ4 — произвольные числа. Частное решение можно получить из общего, если придать свободным неизвестным конкретные значения. Например, положив γ2 = 1, γ4 = -1, получим, что х1 = х3 = 1. Итак, частное решение системы:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Правило Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными — квадратную систему
(6)

Матрицы. Определители. Линейные системы


или, в матричной записи,

АХ = b (7)

Если квадратная матрица А невырождена, то система (6) совместна и имеет единственное решение, так как rang А = n.

Умножая обе части равенства (7) слева на матрицу Матрицы. Определители. Линейные системы, обратную к А, получаем, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

С учетом формулы (2) для обратной матрицы имеем

Матрицы. Определители. Линейные системы

Проведем необходимые вычисления в правой части и получим, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

или, подробнее,

Матрицы. Определители. Линейные системы

В числителе располагается определитель матрицы, полученной из матрицы А линейной системы путем замены j -го столбца на столбец свободных членов, а в знаменателе — определитель матрицы А.

Важное замечание:

Приведенное правило (8) имеет в значительной степени теоретический интерес, и в практических вычислениях (за исключением квадратных систем с двумя или тремя неизвестными) не применяется ввиду громоздкости.

Замечание:

Необходимость вычисления n + 1 определителя n-го порядка сильно увеличивает количество вычислений по сравнению с методом Гаусса: при непосредственном раскрытии определителей решение квадратной системы с п неизвестными требует порядка п!п арифметических операций. Уже при n = 30 такое число операций для современных ЭВМ недоступно.

Общее число арифметических действий в методе Гаусса имеет порядок n3.

Большинство распространенныхточных методов решения линейных систем можно рассматривать как варианты метода Гаусса, различающиеся между собой лишь некоторыми деталями. Количество арифметических операций для всех таких методов примерно одно и тоже.

Чтобы найти решение линейной системы

АХ = b

с квадратной невырожденной матрицей А, следует поступать так:

1. Составить расширенную матрицу системы:

Матрицы. Определители. Линейные системы

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы Матрицы. Определители. Линейные системы привести матрицу системы к треугольному виду:

Матрицы. Определители. Линейные системы

3. Элементарными преобразованиями строк матрицы Матрицы. Определители. Линейные системыпривести матрицу А к единичной:

Матрицы. Определители. Линейные системы

4. Записать линейную систему, соответствующую полученной расширенной матрице (l | с):

Матрицы. Определители. Линейные системы

Набор

Матрицы. Определители. Линейные системы

— решение исходной системы.

Однородные линейные системы

Линейная система называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю: (9)

Матрицы. Определители. Линейные системы

Основные свойства однородной системы:

1.Однородная система всегда совместна.

Набор x1 = 0,…, хn = 0 — нулевое решение, существующее у системы (9) всегда.

2. Если число m уравнений однородной системы меньше числа п неизвестных, то эта система имеет ненулевые решения.

Согласно сформулированному условию ранг г матрицы системы (9) удовлетворяет неравенству r ≤ m< n. Это позволяет утверждать, что исходная система является неопределенной (см. п. 1).

3. Сумма решений однородной системы (9) также является ее решением. Пусть Матрицы. Определители. Линейные системы — решения системы (9). Это означает, что

Матрицы. Определители. Линейные системы

для любого i = 1,…, m. Так как

Матрицы. Определители. Линейные системы

то набор

Матрицы. Определители. Линейные системы

— сумма решений Матрицы. Определители. Линейные системы — решение однородной системы (9).

Произведение решения однородной системы (9) на любое число также является решением этой системы.

Пусть Матрицы. Определители. Линейные системы — решение системы (9):

Матрицы. Определители. Линейные системы

μ — произвольное число. Тогда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Тем самым, набор Матрицы. Определители. Линейные системыпроизведение решения Матрицы. Определители. Линейные системына число μ — решение системы (9).

Часто оказывается удобной матричная запись однородной системы

Матрицы. Определители. Линейные системы


или, короче,

АХ = 0. (10)

Проведем доказательство свойств 3 и 4 в матричной записи.

Доказательство свойства 3.

Пусть столбцы Г’ и Г» — решения системы (10): АГ’ = 0 и АГ» = 0. Тогда столбец Г’ + Г» также является решением системы (10), так как

А(Г’ + Г») = АГ’ + АГ» = 0+0 = 0.

Доказательство свойства 4.

Пусть АГ =’ 0. Вычислим А( μГ), где μ — любое число. Имеем

А(μГ) = μ(АГ) = μ0 = 0.

Свойства 3 и 4 означают, что множество решений однородной системы с естественными правилами сложения решений и умножения решения на число является линейным пространством 2′).

Познакомимся с одним важным свойством линейного пространства решений однородной системы.

Применив к однородной системе (9) метод Гаусса, приведем ее к следующему виду:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Здесь мы считаем для простоты, что неизвестные х1,…,хr — главные (напомним, что этого всегда можно добиться путем временной перенумерации неизвестных).
2) Обшеe понятие линейного пространства будет рассмотрено.

Пусть ранг г матрицы системы (11) меньше числа n неизвестных, r < n. Построим п-г решений системы (11), придавая свободным неизвестным хr+1,… ,хn значения в соответствии со следующей таблицей

Матрицы. Определители. Линейные системы

Каждому набору значений свободных неизвестных соответствует решение системы (11):

Матрицы. Определители. Линейные системы

Построенная совокупность решений Г1 …, Гn-r линейно независима. Покажем это. м Рассмотрим линейную комбинацию

Матрицы. Определители. Линейные системы

Легко заметить, что линейная комбинация (13) равна нулевому столбцу в том и только в том случае, когда

Матрицы. Определители. Линейные системы

Это означает, что нулевому решению системы (11) равна лишь тривиальная линейная комбинация решений Г1 …, Гn-r.

В силу доказанных выше свойств 3 и 4 линейная комбинация (13) является решением системы (11) при любых Матрицы. Определители. Линейные системы

Покажем, что любое решение

Матрицы. Определители. Линейные системы

однородной системы (11) можно представить в виде линейной комбинации вида (13)’.

Умножая решения Г1,…, Гn-r на Матрицы. Определители. Линейные системы соответственно и складывая, получим решение системы (11) в виде (13). Сравнивая формулы (13) и (14), нетрудно убедиться в том, что эти решения имеют одинаковый набор значений свободных неизвестныхМатрицы. Определители. Линейные системы. А так как по заданным значениям свободных неизвестных главные определяются однозначно, то сами решения совпадают:

Матрицы. Определители. Линейные системы

Таким образом, построенная совокупность решений Г1,…, Гn-r однородной системы (9) обладает следующими свойствами:

  1. оналинейно независима;
  2. любое решение системы (9) можно представить в виде линейной комбинации решений Г1…..Гn-r.

Определение:

Любая совокупность из n — r решений однородной системы (9), удовлетворяюшая условиям 1 и 2, называется фундаментальной системой решений однородной системы (9).
Пример:

Решить систему

Матрицы. Определители. Линейные системы

Применив метод Гаусса, получим

Матрицы. Определители. Линейные системы

(см. пример 3 п.З). Свободные неизвестные — х2 и x4. Составим таблицу

Матрицы. Определители. Линейные системы

Фундаментальную систему решений образуют решения

Матрицы. Определители. Линейные системы


Любое решение Г заданной системы можно представить в следующем виде:

Матрицы. Определители. Линейные системы

где μ и v — произвольные постоянные.
Итог. Для того, чтобы описать множество решений однородной системы, достаточно найти ее фундаментальную систему решений (ФСР), так как всевозможные линейные комбинации элементов ФСР и составляют это множество.
Нетрудно заметить, что в таблицу (12) заключена единичная матрица порядка n — r.

Замечание:

Требование (12) на набор свободных неизвестных не является обязательным для построения ФСР. Можно поместить в таблицу (12) любую невырожденную матрицу (n — r).-го порядка.

Замечание:

Любая однородная линейная система, имеющая ненулевые решения, обладает ФСР.

Матрицы в линейной алгебре

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

Матрицы

или, сокращенно, Матрицы, гдеМатрицы) строки, Матрицы — номер столбца

Матрицу А называют матрицей размера m х п и пишут Матрицы ЧислаМатрицы составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

Матрицы

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей п-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример:

Матрицы

— единичная матрица 3-го порядка.

Матрицы

— единичная матрица n-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид

Матрицы

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрицы

Матрица размера 1 x 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. Матрицыесть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается Матрицы

Так, если

Матрицы

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: Матрицы

Матрицы

Действия над матрицами

Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Матрицы называется матрица Матрицы такая, что Матрицы Записывают Матрицы

Пример:

Матрицы

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число:

Произведением матрицы Матрицы на число k называется матрица Матрицы такая, что МатрицыЗаписывают Матрицы

Пример:

Матрицы

Матрица Матрицы называется противоположной матрице А.

Разность матриц А — В можно определить так: А — В = А + (—В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обла-
дают следующими свойствами:

Матрицы

где А, В, С — матрицы, Матрицы — числа.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

  • перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
  • умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
  • прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы A и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

Матрицы

Пример:

Привести к каноническому виду матрицу

Матрицы

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем

Матрицы

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы Матрицына матрицу Матрицыназывается матрица Матрицы такая, что

Матрицы

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Получение элемента Матрицы схематично изображается так:

Матрицы

Если матрицы A и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что Матрицы , где А — квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.

Пример:

Матрицы

Пример:

МатрицыТогда произведение

Матрицы не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение Матрицы, которое считают следующим образом:

Матрицы

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:

Матрицы

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

Матрицы

Определители

Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А (или |A|, или Матрицы), называемое ее определителем, следующим образом:

Матрицы
Матрицы

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Матрицы

Пример:

Найти определители матриц

Матрицы

Решение:

Матрицы

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Матрицы

Пример:

Вычислить определитель матрицы

Матрицы

Решение:

Матрицы

Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами,

Матрицы

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,

Матрицы

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Например,

Матрицы

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Пример:

Доказать, что

Матрицы

Решение:

Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим

Матрицы

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения

Минором некоторого элемента Матрицы определителя n-го порядка называется определитель п — 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается Матрицы

Так, если

Матрицы

Алгебраическим дополнением элемента Матрицыопределителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Матрицы

Так, Матрицы

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

Матрицы

В самом деле, имеем

Матрицы
Матрицы

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример:

Вычислите определитель матрицы

Матрицы

Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Матрицы
Матрицы

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Так, например, Матрицы

Невырожденные матрицы

Пусть А — квадратная матрица n-го порядка

Матрицы

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Матрицы не равен нулю: МатрицыВ противном случае Матрицы матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице A, называется матрица

Матрицы

где Матрицы — алгебраическое дополнение элемента Матрицы данной матрицы А (оно определяется так же, каик и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица Матрицы называется обратной матрице , если выполняется условие

Матрицы

где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица Матрицы имеет те же размеры, что и матрица A.

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Матрицы

Составим союзную матрицу

Матрицы

и найдем произведение матриц Матрицы

Матрицы
Матрицы
Матрицы

т. е.

Матрицы

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Матрицы

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Матрицы

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

Матрицы

Отметим свойства обратной матрицы:

Матрицы

Пример:

Найти Матрицы , если Матрицы

Решение: 1) Находим det A: Матрицы

2) Находим

Матрицы

поэтому Матрицы

Проверка:

Матрицы

Пример:

Определить, при каких значениях Матрицы существует матрица, обратная данной:

Матрицы

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:

Матрицы

Если Матрицы т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

Пример:

Показать, что матрица А является обратной для В,
если

Матрицы

Решение: Найдем произведение матриц А и В:

Матрицы
Матрицы

Аналогично Матрицы. Следовательно, матрица А является обратной для В.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера m х п.

Матрицы

Выделим в ней k строк и k столбцов Матрицы). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -гo порядка. Все такие определители называются ми-норами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить Матрицы штук, где Матрицы — число сочетаний из п элементов по k.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается Матрицы или rang A.

Очевидно, что Матрицы, где Матрицы— меньшее из чисел тип.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Матрицы

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуляМатрицы Значит, r (А) = 2.
Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

  1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
  2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
  3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример:

Найти ранг матрицы

Матрицы

используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что

Матрицы

то есть

Матрицы

Таким образом, ранг матрицы А равен r(A) = 2.

Виды матриц и операции над матрицами

Матрицей А называется таблица чисел. Матрицы обозначаются различными способами:

Матрицы

или сокращенно Матрицы Числа Матрицы составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс указывает номер строки, второй — номер столбца. Если матрица состоит из m строк и n столбцов, то говорят, что размерность матрицы есть m на n. Количество элементов в такой матрице равно произведению Матрицы

Матрица называется прямоугольной, если Матрицы Если Матрицыто матрица называется квадратной и число n — порядком матрицы. Матрица, содержащая один столбец, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки, — матрица-строка. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Для квадратной матрицы порядка п, т. е. Матрицы совокупность элементов Матрицыу которых оба индекса совпадают, образует главную диагональ. Сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы и обозначается

Матрицы

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: Матрицы при МатрицыДиагональная матрица обозначается так:

Матрицы

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается

Матрицы

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:

Матрицы

Каждой, квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое детерминантом или определителем. Обозначается определитель символами Матрицы или Матрицы или Матрицы Определитель квадратной матрицы А представляет собой числовую функцию, аргументы которой есть элементы этой матрицы. Общее выражение определителя матрицы n-го порядка задается в следующем виде:

Матрицы

В правой части выражения (2.21) стоит сумма всех произведений, которые можно образовать из n элементов матрицы по правилу: по одному из каждой ее строки и из каждого столбца, т. е. в каждом произведении среди всех первых и всех вторых индексов не должно быть одинаковых. Первые индексы располагают в возрастающем порядке. Следовательно, каждое произведение в (2.21) образует подстановку n-ой степени:

Матрицы

Поскольку число подстановок из п чисел равно Матрицы то в (2.21) входит Матрицы слагаемых вида Матрицы Число Матрицы равно числу инверсий соответствующей перестановки Матрицы Частные случаи для формулы (2.21)

Матрицы

Пример:

Вычислить определитель матрицы

Матрицы
Матрицы

Очевидно, что определитель единичной матрицы равен единице Матрицы

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если Матрицы и вырожденной (особенной), если Матрицы Легко проверить, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Матрицы
Матрицы

Отсюда следует, что если все диагональные элементы в треугольной матрице отличны от нуля, то матрица невырожденная.

Действия над матрицами

Равенство матриц

Две матрицы Матрицы называются равными, если они одинаковых размеров Матрицы и их соответствующие элементы равны Матрицы

Сложение матриц

Складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц Матрицы называется матрица Матрицы тех же размеров. Элементы матрицы С равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е. Матрицы если Матрицы


Пример:

Матрицы

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы Матрицы на число Матрицы называется матрица Матрицы элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число Матрицы:

Матрицы

Пример:

Матрицы

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матриц на число обладают следующими свойствами:

Матрицы (перестановочный закон);

Матрицы (сочетательный закон); Матрицы (распределительный закон);

где Матрицы матрицы одного размера, Матрицы числа.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями.

Замечание:

Пусть А, В — квадратные матрицы порядка Матрицы Линейные операции над матрицами не переносятся на их определители, т. е. МатрицыМатрицы

Произведение матриц

Произведение матриц А • В определено в том и только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m • k на матрицу В размера k • n называется матрица Матрицы размера Матрицы элементы которой определяются по формуле

Матрицы

Сумма в (2.22) представляет собой скалярное произведение вектора-строки i матрицы А на вектор-столбец j матрицы В (см. главу 2.5). Поэтому говорят, что умножение матриц производится по правилу «строка на столбец», т. е. для получения элемента Матрицы необходимо скалярно умножить строку i матрицы А на столбец j матрицы В.

Пример:

Требуется перемножить матрицы

Матрицы

Поскольку это матрицы квадратные и одного размера, то умножение таких матриц возможно всегда. В соответствии с (2.22) имеем:

Матрицы

Из примера следует важное правило: «Произведение матриц не-перестановочно», т. е. в общем случае Матрицы

Пример:

Найти произведение матриц

Матрицы

В соответствии с правилом умножения матриц произведение Матрицы не существует, а произведение

Матрицы

Можно проверить, что умножение матриц удовлетворяет свойствам:

Матрицы

где Матрицы — число, А, В, С — матрицы, для которых произведения существуют;

5) если А, В — квадратные матрицы одного порядка, то Матрицы

Транспонирование матриц

Рассмотрим произвольную матрицу

Матрицы

полученная из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к А. Например,

Матрицы

Можно доказать, что:

Матрицы

Матрицы где А и В — матрицы, Матрицы — число;

5) Если А — квадратная матрица, то Матрицы

Квадратная матрица называется симметрической, если Матрицыи кососимметрической, если Матрицы У симметрической матрицы Матрицы т. е. все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны соответствующим элементам, расположенным выше диагонали. Пример симметрической матрицы.

Матрицы

У кососимметрической матрицы Матрицы следовательно, Матрицы

Пример кососимметрической матрицы.

Матрицы

Произведение матрицы А на транспонированную матрицу Матрицы есть симметрическая матрица. Для доказательства этого факта проверим, что Матрицы симметрическая матрица. Действительно, Матрицы

Пусть в определителе матрицы А размером Матрицы выделено Матрицы произвольных строк и столько же произвольных столбцов. Элементы, расположенные на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель k-го, порядка называемый минором k-го порядка матрицы А. Например, для матрицы

Матрицы

все ее элементы являются минорами первого порядка: МатрицыМатрицы (здесь знак Матрицы означает минор первого порядка, а не модуль числа -5). Определители

Матрицы

миноры второго порядка, а миноры третьего порядка для этой матрицы следующие:

Матрицы

Число r называется рангом матрицы А (обозначается rgА), если у нее существует хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю. Ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел m, n. Если ранг матрицы равен r, то ее минор порядка r, не равный нулю, называется базисным минором. Базисных миноров у матрицы может быть несколько. Миноры, образованные строками и столбцами с одинаковыми номерами, называются главными.

Пример:

Найти ранг и базисный минор матрицы

Матрицы

Все четыре минора третьего порядка этой матрицы равны нулю. Если же построить определитель из строк 1,3 и столбцов 1,3, то он не равен нулю, т.к. Матрицы следовательно, Матрицы


Элементарными
называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух строк (столбцов);

2) умножение одной из строк (столбцов) на число, не равное нулю;

3) прибавление к одной из строк (столбцов) другой строки (столбца), умноженной предварительно на произвольный не равный нулю множитель.

Все матрицы, полученные из данной путем элементарных преобразований, — разные матрицы. Вместе с тем все они обладают некоторыми одинаковыми свойствами, например, имеют одинаковый ранг. По этой причине матрицы, полученные в результате элементарных преобразований, называют эквивалентными. При переходе к эквивалентной матрице вместо знака Матрицы часто используют знак соответствия Матрицы

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица n-го порядка, а Матрицы — единичная матрица того же порядка. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если выполняются равенства

Матрицы

Матрицу, обратную к матрице А, обозначают символом Матрицы Если у матрицы А существует обратная матрица, то она единственна.

Алгебраическим дополнением элемента Матрицы матрицы А называется определитель, получаемый из определителя исходной матрицы А путем изъятия из него строки i и столбца j и взятый со знаком МатрицыНапример, если матрица А имеет определитель

Матрицы

то алгебраическим дополнением элемента Матрицы этой матрицы, поскольку Матрицы является определитель

Матрицы

Присоединенной (или союзной) к матрице А называется матрица Матрицы элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов исходной матрицы А, расположенные как элементы в транспонированной по отношению к А матрице.

Матрицы

Присоединенная матрица обладает свойством

Матрицы

Критерий существования обратной матрицы

Для того, чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно; чтобы матрица А была невырожденной, т. е. Матрицы Свойства обратной матрицы следуют из ее определения.

Матрицы

Пример:

Найти обратную матрицу для

Матрицы

Определитель матрицы: Матрицы следовательно, обратная матрица Матрицы существует. Построим присоединенную к А матрицу А . Для этого вычислим алгебраические дополнения для всех элементов А:

Матрицы

Присоединенная по отношению к А матрица

Матрицы

Обратная к А матрица

Матрицы

Как найти матрицу — подробная инструкция

Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов выражений, называемых элементами матрицы:

Матрицы

Здесь Матрицы — элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й
строки и j-го столбца, i = 1, 2,…, m , j = 1,2,…, n.

Элементами матрицы являются, как правило, числа, но иногда
и другие математические объекты, например векторы. Матрицу
обозначают следующим образом:

Матрицы

Квадратная матрица порядка n — это матрица размера n х n .

Диагональной называется квадратная матрица, у которой Матрицы
при всех Матрицы

Единичной называется диагональная матрица, у которой
диагональные элементы равны единице. Например,

Матрицы

Диагональ, проходящая из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю квадратной матрицы. Элементы,
стоящие на этой диагонали, называются главными диагональными. Их сумма называется следом и обозначается SpA (SpurA), ТrА (TraceA).

Матрица (вектор)-строка — это матрица размера 1 х n:

Матрицы

Матрица (вектор)-столбец это матрица размера m х 1:

Матрицы

Матрица размера m x n называется нулевой, если все ее элементы
равны нулю. Обозначается 0.

Транспонированной к матрице Матрицы называется матрица Матрицы получаемая расстановкой строк матрицы Матрицы в столбцы матрицы Матрицы а столбцов — в строки.
Например,

Матрицы

Определитель квадратной матрицы

Определителем квадратной матрицы Матрицы порядка n называется число D, которое может быть рассчитано, например, с помощью метода разложения на алгебраические дополнения.

Этот метод рассмотрен в §1.7. Обозначение:

Матрицы

Пример 1.8. Найти определитель матрицы Матрицы

Решение. Определитель второго порядка вычисляем по формуле

Матрицы

Свойства определителей

1.Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно выносить за знак определителя.

Действительно,

Матрицы

Заметим, что за знак матрицы можно выносить только общий
множитель всех элементов.

2.При перестановке двух соседних строк (столбцов) матрицы ее
определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, разложим определитель n-го порядка по первой
строке:

Матрицы

Поменяем местами первую и вторую строки и разложим новый
определитель n-го порядка по второй строке:

Матрицы

Если сравнить это выражение с предыдущим, то легко увидеть,
что все слагаемые разложения определителей имеют
противоположные знаки. Значит, и сами определители имеют
противоположные знаки. Точно так же доказывается данное свойство определителя для других соседних строк и столбцов.

3.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки
(столбца), то ее определитель равен нулю.

Действительно, если эти строки соседние, то переставим их.
Знак новой матрицы изменится на противоположный. Но так как
строки одинаковы, то это две одинаковые матрицы. Такая ситуация
возможна, если исходные матрицы равны нулю.

Если эти строки не являются соседними, то путем
последовательных перестановок строк построим определитель с двумя одинаковыми соседними строками. Такой определитель равен нулю. А исходный определитель отличается от него, по крайней мере,
только знаком. Поэтому он тоже равен нулю.

4.От прибавления (вычитания) к строке (столбцу) элементов
другой строки (столбца) или линейной комбинации элементов
другой строки (столбца) величина определителя не изменится.

Пусть определитель Матрицы разложен по первой строке.

Умножим элементы второй строки на Матрицы и сложим с первой
строкой. Определитель новой матрицы запишем в виде

Матрицы

Сопоставив D с Матрицы видим, что Матрицы где

Матрицы

Определитель Матрицы равен нулю, так как имеет две одинаковые
строки. Таким образом, Матрицы что и требовалось доказать.

5.В предыдущем пункте доказано важное свойство определителей.
Сумма произведений всех элементов некоторого столбца
определителя на алгебраические дополнения соответствующих
элементов другого столбца равна нулю.

6.Определитель не изменит своей величины, если заменить его
строки столбцами.

Пример:

Рассчитать определитель

Матрицы

Решение:

Умножим первую строку на -1, а результат сложим со второй и третьей строками:

Матрицы

В последнем столбце получили четыре нуля и единицу. Поэтому
при разложении определителя по последнему столбцу все слагаемые,
кроме первого, будут равны нулю. После разложения по последнему
столбцу получим

Матрицы

Умножим первую строку на -2 и сложим со второй:

Матрицы

Разложим результат по последнему столбцу:

Матрицы

Умножим первый столбец на —1 и сложим со вторым и третьим
столбцами:

Матрицы

Разложим данный определитель по последней строке:

Матрицы

Алгебра матриц

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый
размер и все элементы, стоящие на одних и тех же местах, равны
между собой.

Суммой двух матриц одинакового размера Матрицы и Матрицы
является матрица Матрицы того же размера с элементами Матрицы для всех i и j.

Матрицы Матрицы размера m х n и Матрицы размера r х s
называются сцепленными, если n = r.

Произведением двух сцепленных матриц Матрицы размера m х n и
Матрицы размера n x s является матрица Матрицы размера m х s, где

Матрицы

т.е. элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце матрицы
произведения, получается в виде скалярного произведения i-го вектора строки матрицы Матрицы и j-го вектора столбца матрицы Матрицы.

Пример:

Вычислить произведение матриц А*В и В*А , где

Матрицы

Размер матрицы произведения равен 2×3. Вычислим элементы
матрицы С, скалярно перемножая i-й вектор строки матрицы А и
соответствующий j-й вектор столбца матрицы В:

Матрицы

Матрица С имеет вид

Матрицы

Матрица В*А не существует, так как количество столбцов матрицы
В не равно количеству строк матрицы А. ►

Многие операции, совершаемые над числами, справедливы и
для матриц. К ним относятся:

А+В=В+А;

Матрицы

Однако Матрицы

Для единичных матриц Е справедливы равенства ЕА = АЕ = А.
Иными словами, произведение любой матрицы на единичную
матрицу не изменяет исходной матрицы.

Обратная матрица

Матрица Матрицы называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при перемножении этих матриц получается единичная матрица Е, т.е.

Матрицы

Вырожденной называется матрица, определитель которой равен нулю. В противном случае матрица называется невырожденной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной
матрицы состоит в следующем: обратная матрица существует и
единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Обратной матрицей Матрицы по отношению к матрице Матрицы
называется матрица

Матрицы

где Матрицы — алгебраическое дополнение элемента Матрицы в определителе Матрицы матрицы Матрицы транспонированной к матрице А. (Напомним, что
алгебраическое дополнение есть умноженный на Матрицы минор, полученный из Матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.)

Пример:

Найти матрицу, обратную данной:

Матрицы

Решение. Определитель матрицы А

Матрицы

Составим определитель матрицы Матрицы транспонированной к матрице А:

Матрицы

Находим алгебраические дополнения определителя матрицы Матрицы

Матрицы

Составляем матрицу Матрицы обратную матрице А:

Матрицы

Проведем проверку, умножив А на Матрицы

Матрицы

Ранг матрицы

Пусть дана матрица

Матрицы

где m — количество строк, n — количество столбцов.

Выбираем в матрице А произвольные k строк и k столбцов,
Матрицы Элементы, стоящие на пересечении данных строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k-го порядка матрицы А . Определитель квадратной матрицы А называется минором. Нас интересуют порядки тех миноров матрицы А, которые отличны от нуля.

Наивысший порядок минора, отличного от нуля, называется рангом матрицы.

Обозначается rang А или r(А).

При отыскании ранга матрицы полезно знать, что если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие минор D. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример:

Найти ранг матрицы

Матрицы

Решение:

Возьмем отличный от нуля минор второго порядка

Матрицы

Минор третьего порядка Матрицы окаймляющий минор
Матрицы отличен от нуля. Два минора четвертого порядка, окаймляющие
минор Матрицы равны нулю. Действительно,

Матрицы

Таким образом, ранг матрицы А равен трем (rang А = 3). ►

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Аналитическая геометрия в пространстве
  125. Функции одной переменной
  126. Высшая алгебра
  127. Векторная алгебра
  128. Векторный анализ
  129. Векторы
  130. Скалярное произведение векторов
  131. Векторное произведение векторов
  132. Смешанное произведение векторов
  133. Операции над векторами
  134. Непрерывность функций
  135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  136. Предел и непрерывность функции одной переменной
  137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат