Иррациональные алгебраические выражения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Рациональные и иррациональные алгебраические выражения: Назовем алгебраическим всякое выражение, получающееся из чисел и некоторых букв с помощью арифметических операций и возведения в степень с рациональным показателем. Мы не включили в число операций извлечение корня, так как оно сводится к возведению в степень (с показателем Иррациональные алгебраические выражения ).

Примерами алгебраических выражений являются:

и т. д. Ясно, что многочлены — частный случай алгебраических выражений.

Говорят, что алгебраическое выражение рационально относительно некоторой буквы а, если никакая содержащая эту букву часть этого выражения не возводится в степень с нецелым показателем. В противном случае говорят, что выражение иррационально относительно буквы а. Например, выражение

рационально относительно буквы а и иррационально относительно буквы х

Одночленные иррациональные выражения

Иррациональное выражение называется одночленным, если оно получается из чисел и букв с помощью операций умножения и возведения в степень с рациональным показателем. Примерами одночленных иррациональных выражений являются:

Иррациональное же выражение Иррациональные алгебраические выражения

не является одночленным.

Некоторые одночленные иррациональные выражения можно упростить. Для этого надо:

а) Раскрыть все скобки, используя формулы

б) Объединить степени с одинаковыми основаниями, используя формулу Иррациональные алгебраические выражения

в) Сократить дроби в показателях отдельных букв.

В результате получается выражение вида

где А —некоторое число (быть может, иррациональное), а Иррациональные алгебраические выражения — несократимые дроби.

Здесь уже отсутствуют скобки и каждая буква входит лишь один раз. Такой вид одночленного иррационального выражения мы будем называть каноническим.

Пример:

Привести к каноническому виду иррациональное выражение

По формулам (1), (2), (3), это выражение равно:

Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю

Так как Иррациональные алгебраические выражения то из каждого свойства степеней с рациональными показателями вытекает соответствующее свойство корней.

Равенство Иррациональные алгебраические выражения (см. формулу (3), п. 2) переписывается так: при а > О имеем

Таким образом, если подкоренное выражение является степенью положительного числа, причем показатель степени имеет общий делитель с показателем корня, то можно сократить эти показатели на общий делитель. Например, Иррациональные алгебраические выражения

Из равенства (1) вытекает, что любые два корня с натуральными показателями можно привести к общему показателю.

Именно пусть даны корни Иррациональные алгебраические выражения Тогда по формуле (1) имеем (разумеется, в качестве общего показателя корней можно выбрать не mn, а наименьшее общее кратное чисел m и n).

Отметим, что формула (1) справедлива лишь при условии а > 0. В случае, когда а < 0, эта формула, вообще говоря, неверна. Например, рассмотрим Иррациональные алгебраические выражения Если а > 0, то по формуле (1) получаем Пусть теперь а < 0 . Тогда — а > 0 и Поэтому при а < 0 имеем:

Например,

Наконец, если а — 0, то Иррациональные алгебраические выражения . Полученные значения для можно выразить одной формулой

В самом деле, как Иррациональные алгебраические выражения так и |а | равны а при (—а) при а < 0.

Вообще, если общий делитель п, на который сокращают показатели корня и подкоренного выражения, четен и рассматриваются любые значения а, формулу (1) следует переписать так:

Пример:

Вычислить

По формуле (2) получаем:

Значит, если Иррациональные алгебраические выражения а если то этот корень равен

Извлечение корня из произведения и степени

Положим в формуле (1), п. 2, Иррациональные алгебраические выражения Мы получим, что при х > 0, у > 0:

Точно так же из формулы (2), п. 2, выводится, что при х > 0, у > 0:

Полученные свойства корней формулируются следующим образом:

а) Корень n-й степени из произведения двух положительных чисел равен произведению корней п-й степени из отдельных сомножителей.

б) Корень n-й степени из отношения двух положительных чисел равен отношению корней n-й степени из этих чисел

Например, Иррациональные алгебраические выражения

Пользуясь свойствами (1) и (2), можно записать произведение нескольких корней с помощью одного знака корня. Если перемножаемые корни имеют один и тот же показатель, то для получения произведения надо перемножить их подкоренные выражения и извлечь из полученного произведения корень той же степени. Например,

Если же перемножаемые корни имеют различные показатели, то и с надо предварительно привести к общему показателю (см. стр. 103). Например,

Совершенно так же выполняется деление корней. Например,

Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень

Из формулы (1), п. 7, вытекает, что при а > 0 и b > 0:

Итак, если часть подкоренного выражения для корня n-й степе ни является n-й степенью некоторого положительного алгебраического выражения, то это выражение можно вынести из-под корня.

Следует иметь в виду, что формула (1) справедлива лишь при условии а >0, b > 0. Если же это условие не выполняется, а n = 2k — четное число, то вместо формулы (1) надо писать:

Возведение корня в степень

Эта операция основана на формуле (6 ). Из нее следует, что Иррациональные алгебраические выражения Это равенство можно записать так:

Таким образом, чтобы возвести корень с положительным под коренным выражением в некоторую степень, надо возвести в эту степень подкоренное выражение. Например,

Извлечение корня из корня

Эта операция также основана на формуле (6 ). Из нее следует, что Иррациональные алгебраические выражения , и потому

Таким образом, при извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остается неизменным. Например,

Подобные корни

Два корня называются подобными, если их можно преобразовать к такому виду, чтобы они отличались лишь рациональным множителем (при этом предполагается, что переменные, от которых зависит подкоренное выражение, положительны). Например, корни

подобны, так как при а > 0 , b > 0 , с > 0 , x> 0 имеем:

Второй корень получается из первого умножением на рациональный множитель.

Корни из одночленов подобны тогда и только тогда, когда в их канонической форме иррациональные множители одинаковы. Поэтому, чтобы убедиться в подобии двух корней из одночленов, надо привести их к канонической форме.

Сложение и вычитание корней

Вообще говоря, сумму не скольких корней не удается записать с помощью лишь одного знака корня. Однако, если среди рассматриваемых корней есть подобные, их можно сгруппировать вместе и вынести за скобки общий множитель.

Пример:

Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числи теле алгебраической дроби

Часто бывает нужно найти численное значение иррационального выражения при заданных значениях входящих в него букв. При этом бывает неудобно делить на иррациональные числа. В таких случаях стараются преобразовать за данное иррациональное выражение так, чтобы его знаменатель не содержал корней.

Посмотрим сначала, как выполняется это преобразование в случае, когда знаменатель дроби — корень из одночлена. Пусть дано иррациональное выражение Иррациональные алгебраические выражения . Если мы хотим освободиться от иррациональности в знаменателе этой дроби, то надо помножить и числитель, и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе извлекся корень. Ясно, что для этого надо умножить подкоренное выражение в знаменателе дроби на Иррациональные алгебраические выражения тогда оно станет равно и корень извлечется. Вспоминая правило умножения корней, видим, что числитель и знаменатель надо умножить на Иррациональные алгебраические выражения Тогда мы получим, что

Вообще, если дано выражение вида Иррациональные алгебраические выражения , причем все показатели меньше n, то надо умножить числитель и знаменатель дроби на один и тот же множитель

Тогда при а >0, b > 0 , …, с > 0 получим:

Этот ответ остается справедливым при нечетном n для любых а, b, …, с. Если же n четно, то в общем случае в знаменателе надо писать Иррациональные алгебраические выражения

Теперь рассмотрим случай, когда знаменатель алгебраической дроби имеет вид Иррациональные алгебраические выражения где A и В — положительные рациональные выражения. В этом случае надо умножить и числитель, и знаменатель на выражение (оно получается из знаменателя изменением знака при Иррациональные алгебраические выражения ). Так как (а +b) (а—b) = то при А > 0 и В > 0

Поскольку (А — В) — рациональное выражение, мы избавляемся от иррациональности в знаменателе дроби. (Точно так же избавляются от иррациональности в знаменателе, если он имеет вид Иррациональные алгебраические выражения ) Например,

Аналогично действуют в случае, когда знаменатель дроби имеет вид Иррациональные алгебраические выражения , где А и В — рациональные выражения. Уничтожение иррациональности в знаменателе основывается здесь на формуле

(см. стр. 32). Именно, положим Иррациональные алгебраические выражения и умножим числитель и знаменатель на одно и то же выражение

(где надо заменить а на Иррациональные алгебраические выражения и b на Тогда знаменатель примет вид:

то есть станет рациональным выражением. Случай, когда знаменатель равен Иррациональные алгебраические выражения , разбирается точно так же. Здесь надо положить

Если знаменатель имеет вид Иррациональные алгебраические выражения то надо положить (соответственно и воспользоваться формулой

Если знаменатель имеет вид Иррациональные алгебраические выражения то корни надо сначала привести к общему показателю. Например,

Случай, когда знаменатель является суммой трех или большего числа корней, сложнее. Однако можно показать, что какой бы сложный вид ни имел знаменатель, всегда можно освободиться от иррациональности в знаменателе. Общие методы таких преобразований изучаются в высшей алгебре.

В некоторых задачах, наоборот, бывает целесообразно уничтожить иррациональность в числителе алгебраической дроби, т. е. преобразовать дробь к такому виду, чтобы ее числитель содержал лишь рациональные выражения. Читателю должно быть ясно, что эта цель достигается теми же способами, как уже в разобранных выше примерах.

Преобразование выражений вид Иррациональные алгебраические выражения

Пусть задано алгебраическое выражение Иррациональные алгебраические выражения где А > 0, В > 0, Мы покажем сейчас, что его можно представить в следующем виде суммы двух корней:

Для доказательства покажем сначала, что квадраты выражений в обеих частях равенства (1) совпадают. В самом деле,

С другой стороны,

Осталось показать, что обе части равенства (1) положительны. Для левой части это очевидно, так как мы рассматриваем лишь арифметические значения корней. Д ля правой это справедливо, поскольку при А >0, В > 0 Иррациональные алгебраические выражения

Формула (1) позволяет упростить выражение Иррациональные алгебраические выражения в случае, когда разность есть полный квадрат. Например, имеем:

Иррациональные уравнения и неравенства

Определение:

Иррациональным уравнением называется уравнение вида R(х)=0, где R(х) — иррациональное выражение от х. К такому виду приводятся уравнения Иррациональные алгебраические выражения и — иррациональные выражения от х. Например,

являются иррациональными уравнениями, а

— рациональное алгебраическое уравнение (так как х не находится под знаком корня).

В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения. Поэтому, если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными. Отсюда ясно, например, что иррациональное уравнение Иррациональные алгебраические выражения не имеет решений — его левая часть неотрицательна при всех допустимых значениях х.

Сведение иррациональных уравнений к рациональным

Для решения иррациональных уравнений стараются свести их к рациональным уравнениям. С этой целью обе части уравнения после соответствующих преобразований возводят в одну и ту же степень. Чтобы показать, что при этом не происходит потери корней, докажем следующую теорему.

Теорема:

Если число а — корень уравнения , то это число удовлетворяет и уравнению

Доказательство:

По условию имеет место равенство Иррациональные алгебраические выражения Возведем обе части этого равенства в n-ю степень. Равенство от этого не нарушится, и мы получим,» что Это показывает, что а — корень уравнения

Итак, при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень мы получаем уравнение, являющееся следствием исходного. Однако это уравнение при четных п неравносильно исходному. Ведь если из равенства Иррациональные алгебраические выражения вытекает то обратное неверно. Именно из следует лишь, что Если при этом имеют одинаковые знаки, то . Если же они имеют различные знаки, то Иррациональные алгебраические выражения . Таким образом, корень уравнения может удовлетворять не только уравнению , но и уравнению Во втором случае он является посторонним для уравнения Иррациональные алгебраические выражения . Если же показатель n нечетен, n=2k+1, то из следует, что Поэтому уравнения и равносильны.

Итак, если при решении уравнения нам пришлось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли получиться посторонние корни. Чтобы выяснить, какие из корней уравнения Иррациональные алгебраические выражения удовлетворяют исходному уравнению надо подставить их в исходное уравнение и посмотреть, удовлетворяют они уравнению или нет.

Примеры:

1) Решить уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение:

Его корнем является Иррациональные алгебраические выражения . Но не удовлетворяет уравнению (1)— после подстановки получается неверное равенство. Следовательно, уравнение (1) решений не имеет.

2) Решить уравнение

Здесь после возведения в квадрат получаем уравнение:

Его корнем является Иррациональные алгебраические выражения . Проверка показывает, что удовлетворяет уравнению (2).

3) Решить уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем квадратное уравнение Иррациональные алгебраические выражения . Его корнями являются . Проверка показывает, что только корень x = 3 удовлетворяет заданному уравнению. Корень же x = —1 удовлетворяет уравнению

Уединение радикала

Мы видели, что при решении иррациональных уравнений приходится возводить обе части уравнения в одну и ту же степень. При этом, разумеется, желательно, чтобы хоть одна из частей уравнения имела вид Иррациональные алгебраические выражения где Р(х) — рациональное выражение. В этом случае после возведения обеих частей уравнения в n-ю степень мы получим в соответствующей части уравнения рациональное выражение. Поэтому при решении иррациональных уравнений обычно поступают так.

Выбирают один из радикалов, входящих в уравнение, оставляют его в одной стороне уравнения, а все остальные члены переносят в другую сторону. После этого возводят обе части получившегося уравнения в степень, показатель которой равен показателю уединенного радикала. Повторяя этот процесс, освобождаются от всех радикалов, входящих в уравнение, и получают рациональное уравнение. При этом, если при решении приходилось хоть раз возводить обе части равенства в степень с четным показателем, полученные корни необходимо проверить. Проверка осуществляется путем подстановки корней в исходное уравнение.

Рассмотрим некоторые примеры.

1) Решить уравнение

Перенесем Иррациональные алгебраические выражения в правую часть уравнения и возведем обе части получившегося равенства в квадрат. Мы получим:

или

Отсюда находим Иррациональные алгебраические выражения . Снова возведем обе части уравнения в квадрат: . Корнями этого уравнения являются

Проверим полученные корни. Подставляя корень Иррациональные алгебраические выражения заданное уравнение, получаем или 8 = 8. Значит, этот корень удовлетворяет заданному уравнению. Корень также удовлетворяет этому уравнению.

2) Решить уравнение

Уединим радикал Иррациональные алгебраические выражения и возведем обе части уравнения в квадрат. Получим

Корнями этого уравнения являются Иррациональные алгебраические выражения Однако из этих корней заданному уравнению удовлетворяет лишь

корень же Иррациональные алгебраические выражения является посторонним. Он удовлетворяет уравнению

Введение нового неизвестного

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается полезным введение нового неизвестного. Рассмотрим уравнение

Если попробовать уединить радикал, то после возведения в квадрат получится уравнение четвертой степени. Поэтому мы будем решать это уравнение иначе. Положим Иррациональные алгебраические выражения Так как то уравнение (1) можно переписать так:

Решая это квадратное уравнение, находим корни Иррациональные алгебраические выражения Таким образом, решение уравнения (1) свелось к решению уравнения

(уравнение Иррациональные алгебраические выражения не имеет решений, так как ради кал понимается в смысле арифметического значения, а потому не может равняться отрицательному числу).

Из уравнения (2) находим, что Иррациональные алгебраические выражения Проверка показывает, что оба корня уравнению (1) удовлетворяют.

Особые случаи решения иррациональных уравнений

В разобранных выше примерах после освобождения от иррациональности получались уравнения, имевшие один или несколько корней. В этом случае удается обнаружить посторонние корни путем подстановки их в первоначальное уравнение. В некоторых примерах, однако, после освобождения от иррациональности получается равенство, тождественно выполняющееся на всей числовой оси или на некотором бесконечном числовом множестве. В этом случае проверка корней путем подстановки становится уже невозможной, поскольку найденное множество корней бесконечно. Для таких уравнений в ходе решения выясняют дополнительные условия на возможные корни, имеющие форму неравенств, и отбирают лишь корни, удовлетворяющие этим условиям.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть дано иррациональное уравнение:

Решим его путем освобождения от иррациональности. Для этого уединим первый радикал и возведем обе части равенства в квадрат. Мы получим, что

то есть

Вновь возводя в квадрат, получаем:

Это равенство тождественно выполняется для всех значений х. Однако, подставляя в уравнение (1), например, х = 4, получаем неверное соотношение: 1 + 9 = 8. Таким образом, первоначальному уравнению удовлетворяют не все значения х. Как мы уже говорили, отобрать корни уравнения (1) методом подстановки невозможно, поскольку множество корней уравнения (2′) бесконечно.

Выясним, откуда появились посторонние корни. Дело в том, что мы рассматриваем здесь лишь арифметические значения радикалов. Из-за этого на х налагаются дополнительные ограничения, имеющие вид неравенств. А при возведении обеих частей уравнения в квадрат эти ограничения были сняты. Таким образом, чтобы найти, при каких же значениях х удовлетворяется первоначальное уравнение, нам надо отобрать числа, удовлетворяющие соответствующим неравенствам.

В первую очередь должны выполняться неравенства Иррациональные алгебраические выражения поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Эти неравенства выполняются для всех значений х:

и не дают нужных нам ограничений на х.

Далее, так как Иррациональные алгебраические выражения то

Это неравенство выполняется лишь в области, где Иррациональные алгебраические выражения то есть Решением этого квадратного неравенства является отрезок— Дальнейшие ограничения на х получаем из равенства (2). Так как левая часть этого равенства заведомо неотрицательна, то должно выполняться условие Иррациональные алгебраические выражения

Итак, мы нашли два дополнительных условия на х:

Решением системы неравенств (3) является отрезок Иррациональные алгебраические выражения Поскольку, кроме неравенств (3), никаких ограничений на х не накладывается, а уравнение, полученное после освобождения от иррациональностей, выполняется тождественно на всей числовой оси, решением уравнения (1) является отрезок Иррациональные алгебраические выражения Иными словами, равенство (1) справедливо для любой точки этого отрезка.

Уравнение (1) можно решить иначе. Для этого заметим, что

Так как Иррациональные алгебраические выражения то уравнение (1) переписывается так:

Точки —5 и 3 разбивают числовую ось на участки Иррациональные алгебраические выражения На каждом из этих участков знаки (х—3) и (х + 5) постоянны. Принимая во внимание эти знаки, получаем, что уравнение можно записать так:

или

Отсюда снова видно, что равенство (1) тождественно выполняется на отрезке Иррациональные алгебраические выражения и не выполняется ни в одной точке, лежащей вне этого отрезка.

Точно так же решается иррациональное уравнение

Здесь мы имеем условие на х вида Иррациональные алгебраические выражения Представим уравнение так:

или

Отсюда получим:

Возможны три случая:

1) Иррациональные алгебраические выражения В этой области уравнение равносильно уравнению

то есть Иррациональные алгебраические выражения а по условию

2) Иррациональные алгебраические выражения Здесь уравнение (4) равносильно уравнению

или 1 = 1. Это значит, что любое значение х, удовлетворяющее неравенству Иррациональные алгебраические выражения удовлетворяет и уравнению а значит, и исходному уравнению.

з ) Иррациональные алгебраические выражения В этом случае уравнение (4′) принимает вид:

Отсюда Иррациональные алгебраические выражения а по условию

Итак, чтобы найти решение уравнения (4), нам осталось решить иррациональное неравенство

Возводя все члены этого неравенства в квадрат, получаем, что Иррациональные алгебраические выражения то есть Значит, решением уравнения (4) является отрезок [5, 10].

Иррациональные неравенства

Рассмотрим теперь иррациональные неравенства, то есть неравенства, содержащие неизвестное под знаком корня. Решение таких неравенств осложняется рядом обстоятельств. Во-первых, для иррациональных неравенств, как и для иррациональных уравнений, рассматриваются лишь арифметические значения корня. Иными словами, если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, равно как и значение корня. Кроме этого, неравенство Иррациональные алгебраические выражения , вообще говоря, неравносильно неравенству . Ведь только для положительных а и b из а <b заведомо вытекает , а из следует а < b.

Пример:

Решить иррациональное неравенство

Сначала найдем область его определения. Ясно, что подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

Решая это неравенство, получаем множество А, состоящее из двух лучей Иррациональные алгебраические выражения Кроме того, корень принимает лишь неотрицательные значения, а потому и правая часть неравенства (1) должна быть неотрицательной: Иррациональные алгебраические выражения Пересекая множество А с лучом получаем луч Итак, мы доказали, что неравенство (1) задано в области В этой области обе части неравенства (1) принимают положительные значения и потому неравенство (1) равносильно неравенству

Наша задача свелась к решению системы неравенств:

Из второго неравенства получаем x > 2. Значит, решением служит пересечение луча Иррациональные алгебраические выражения с лучом x > 2, то есть луч

Пример:

Решить иррациональное неравенство

Это неравенство задано в области, определяемой ограничениями Иррациональные алгебраические выражения Их можно заменить одним неравенством В области обе части неравенства (2) положительны, и потому оно равносильно неравенству Иррациональные алгебраические выражения Итак, мы заменили неравенство (2) равносильной ему системой неравенств: