Оглавление:
Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .
Решение функциональных рядов
Область сходимости
Функциональным рядом называется ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-31970.png)
членами которого являются функции определенные на некотором множестве Е числовой оси. Например, члены ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-31977.png)
определены на интервале а члены ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-31983.png)
определены на отрезке
Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке если сходится числовой ряд
Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества
и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда.
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-31994.png)
В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D,
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-31995.png)
Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Даламбера, признака Коши.
Пример:
Найти область сходимости ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-31997.png)
Так как числовой ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32007.png)
сходится при р > 1 и расходится при р 1, то, полагая р = lg x, получим данный ряд, который будет сходиться при Ig x > 1, т.е. если x > 10, и расходиться при Ig x
1, т.е. при 0 < х
10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32015.png)
Пример:
Найти область сходимости ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32017.png)
Рассмотрим ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32018.png)
Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32020.png)
При т. е. при х < 0, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале
При х > 0 ряд расходится, так как Расходимость ряда при x = 0 очевидна.
Пример:
Найти область сходимости ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32028.png)
Члены данного ряда определены и непрерывны на множестве Применяя признак Коши, найдем
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32034.png)
для любого Следовательно, ряд расходится при всех значениях x.
Обозначим через (x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна S(x), то ее можно представить в виде
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32045.png)
где есть сумма сходящегося на множестве D ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32051.png)
который называется n-м остатком функционального ряда (1). Для всех значений имеет место соотношение
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32056.png)
и поэтому.
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32059.png)
т. е. остаток сходящегося ряда
стремится к нулю при
каково бы ни было
.
Равномерная сходимость
Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды.
Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32082.png)
сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32084.png)
Определение:
Функциональный ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32087.png)
называется равномерно сходящимся на множестве если для любого числа
найдется число N > 0 такое, что неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32094.png)
будет выполняться для всех номеров n > N и для всех х из множества
Замечание:
Здесь число N является одним и тем же для всех т. е. не зависит от х, однако зависит от выбора числа
так что пишут
Равномерную сходимость функционального ряда к функции S(x) на множестве
часто обозначают так:
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32112.png)
Определение равномерной сходимости ряда на множестве
можно записать короче с помощью логических символов:
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32124.png)
Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда. Возьмем в качестве множества отрезок [а, b] и построим графики функций у = S(x),
Неравенство
выполняющееся для номеров n > N и для всех
можно записать в следующем виде
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32137.png)
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32141.png)
Полученные неравенства показывают, что графики всех функций с номерами n > N будут целиком заключены внутри
полосы, ограниченной кривыми
Пример:
Показать, что функциональный ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32155.png)
равномерно сходится на отрезке
Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком и, следовательно, сходится на отрезке
Пусть S(x) — его сумма, a Sn(x) — его n-я частичная сумма. Остаток ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32167.png)
по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своего первого члена:
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32169.png)
а поскольку и для всех n = 1, 2, … . Возьмем любое
Тогда неравенство
будет выполняться, если
Отсюда находим, что
Если взять число
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32183.png)
(Здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенство |S(x) — будет выполняться для всех номеров n > N и для всех
Это означает, что данный ряд равномерно сходится на отрезке [-1,1].
Замечание:
Не всякий сходящийся на множестве D функциональный ряд является равномерно сходящимся на D.
Пример:
Покажем, что ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32197.png)
сходится на отрезке но не равномерно.
Вычислим n-ю частичную сумму Sn(x) ряда. Имеем
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32201.png)
Откуда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32206.png)
Данный ряд сходится на отрезке [0,1] и его сумма
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32207.png)
Абсолютная величина разности (остатка ряда) равна
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32212.png)
Возьмем число Пусть
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32215.png)
Разрешим неравенство относительно n. Имеем
откуда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32224.png)
(так как 0 < х < 1, то In х < 0, и при делении на In х знак неравенства меняется на обратный). Неравенство будет выполняться при
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32228.png)
Поэтому такого не зависящего от х числа N(e), чтобы неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32233.png)
выполнялось для каждого n > N(e) сразу для всех х из отрезка не существует.
Если же заменить отрезок меньшим отрезком
то на последнем данный ряд будет сходиться к функции S(x) = 0 равномерно. В самом деле,
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32250.png)
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32252.png)
и поэтому
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32255.png)
сразу для всех
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32256.png)
Признак Вейерштрасса
Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоремой Вейерштрасса.
Теорема:
Признак Вейерштрасса. Пусть для всех х из множества члены функционального ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32271.png)
по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32281.png)
с положительными членами, т. е.
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32283.png)
для всех Тогда функциональный ряд (1) на множестве
сходится абсолютно и равномерно.
Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве , то по признаку сравнения ряд
сходится при любом
следовательно, ряд (1) сходится на
абсолютно
Докажем равномерную сходимость ряда (1). Пусть
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32922.png)
Обозначим через частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32928.png)
для всех
Возьмем любое (сколь угодно малое) число Тогда из сходимости числового ряда (2) следует существование номера
и, следовательно,
для всех номеров
ряд (1) сходится равномерно на множестве
Замечание:
Числовой ряд (2) часто называют мажорирующим, или мажорантным, для функционального ряда (1).
Пример:
Исследовать на равномерную сходимость ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32944.png)
Неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32948.png)
выполняется для всех n = 1, 2, … и для всех Числовой ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32953.png)
сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей оси.
Пример:
Исследовать на равномерную сходимость ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32955.png)
Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2]. Так как
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32960.png)
на отрезке [-2,2] для любого натурального n, то
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32963.png)
Таким образом, неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32965.png)
выполняется для n = 1, 2, … и для всех Так как числовой ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32971.png)
сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [-2,2].
Замечание:
Функциональный ряд (1) может сходится равномерно на множестве и в том случае, когда не существует числового мажорантного ряда (2), т.е. признак Вейерштрасса является лишь достаточным признаком для равномерной сходимости, но не является необходимым.
Пример:
Как было показано выше (пример 1 в § 2), ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32990.png)
равномерно сходится на отрезке [-1,1 ]. Однако для него мажорантного сходящегося числового ряда (2) не существует. В самом деле, для всех натуральных n и для всех выполняется неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33018.png)
причем равенство достигается при х = — 1 и х = 1. Поэтому члены искомого мажорантного ряда (2) непременно должны удовлетворять условию
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33025.png)
но числовой ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33028.png)
расходится. Значит, будет расходиться и ряд
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают рядом важных свойств.
Теорема:
Если все члены ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33039.png)
равномерно сходящегося на отрезке [а, b], умножить на одну и ту же функцию g(х), ограниченную на [а, b], то полученный функциональный ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33050.png)
будет равномерно сходиться на [а, b].
Пусть на отрезке [а, b] ряд равномерно сходится к функции S(x), а функция g(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33062.png)
По определению равномерной сходимости ряда для любого числа существует номер N такой, что для всех n > N и для всех
[а,b] будет выполняться неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33079.png)
где Sn(x) — частичная сумма рассматриваемого ряда. Поэтому будем иметь
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33093.png)
для n > N и для любого [a,b], т. е. ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33095.png)
равномерно сходится на [а, b] к функции g(x) S(x).
Теорема:
Пусть все члены fn(x) функционального ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33100.png)
непрерывны и ряд сходится равномерно на отрезке [a, b]. Тогда сумма S(x) ряда непрерывна на этом отрезке.
Возьмем на отрезке [a,b] две произвольные точки Так как данный ряд сходится на отрезке [а, b] равномерно, то для любого числа
> 0 найдется номер N = N(
) такой, что для всех n > N будут выполняться неравенства
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33115.png)
где Sn(х) — частичные суммы ряда Эти частичные суммы Sn(x) непрерывны на отрезке [а, b] как суммы конечного числа непрерывных на [a, b] функций fn(х). Поэтому для фиксированного номера
и взятого числа
найдется число
такое, что для приращения
удовлетворяющего условию
будет иметь место неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33137.png)
Приращение можно представить в следующем виде:
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33143.png)
Учитывая неравенства (1) и (2), для приращений удовлетворяющих условию
получим
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33148.png)
Это означает, что непрерывна в точке х. Так как х является произвольной точкой отрезка [а,b], то S(x) непрерывна на [а,b].
Замечание:
Функциональный ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33180.png)
члены которого непрерывны на отрезке [a, b], но который сходится на [а, b] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию.
Пример:
Рассмотрим функциональный ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33183.png)
на отрезке [0,1]. Вычислим его n-ю частичную сумму
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33184.png)
т.е. сумма ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33188.png)
Она разрывна на отрезке [0, 1], хотя члены ряда непрерывны на нем. В силу доказанной теоремы данный ряд не является равномерно сходящимся на отрезке [0,1].
Пример:
Рассмотрим ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33191.png)
Как было показано выше, этот ряд сходится при ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса, так как
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33196.png)
и числовой ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33200.png)
сходится. Следовательно, для любого х > 1 сумма этого ряда непрерывна.
Замечание:
Функция
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33205.png)
называется функцией Римана (эта функция играет большую роль в теории чисел).
Теорема:
О почленном интегрировании функционального ряда. Пусть все члены fn(x) ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33207.png)
непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, b] к функции S(х). Тогда справедливо равенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33211.png)
т. е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от до х при любых х и
[а, b]. Полученный ряд будет сходиться равномерно по х на отрезке [а, b], каково бы ни было
[а, b].
В силу непрерывности функций fn(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, b] его сумма S(x) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [а, b]. Рассмотрим разность
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33247.png)
где
Из равномерной сходимости ряда на [a,b] следует, что для любого > 0 найдется число N(
) > 0 такое, что для всех номеров n > N(
) и для всех
будет выполняться неравенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33275.png)
Но тогда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33277.png)
для любого n > N(). Иными словами,
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33281.png)
Если ряд не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е.
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33289.png)
Теорема:
О почленном дифференцировании функционального ряда. Пусть все клены fn(x) сходящегося ряда
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33292.png)
имеют непрерывные производные и ряд
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33303.png)
составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, b]. Тогда в любой точке справедливо равенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33308.png)
т. е. данный ряд можно почленно дифференцировать.
Положим
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33312.png)
Возьмем две любые точки Тогда в силу теоремы 4 будем иметь
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33319.png)
Функция непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Поэтому, дифференцируя равенство
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33324.png)
т.е.
![Решение функциональных рядов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-33330.png)
Дополнение к функциональным рядам
![функциональные ряды](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_1-455.png)
![функциональные ряды](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_2-440.png)
![Функциональные ряды](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_3-410.png)
![Функциональные ряды](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_4-349.png)
![Функциональные ряды](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_5-261.png)
![Функциональные ряды](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_6-204.png)
Смотрите также:
Тройной интеграл | Степенные ряды |
Числовые ряды | Приложение рядов к приближенным вычислениям |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат