Рациональная функция с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Многочлен (некоторые сведения справочного характера):

Функция вида

где Рациональная функция — натуральное число, — постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число называется степенью многочлена.

Корнем многочлена (31.1) называется такое значение Рациональная функция (вообще говоря, комплексное) переменной , при котором многочлен обращается в нуль, т. е. .

Теорема:

Если Рациональная функция есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на , т. е.

где Рациональная функция — многочлен степени .

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема:

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен Рациональная функция -й степени () имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители.

Теорема:

Всякий многочлен Рациональная функция можно представить в виде

где Рациональная функция — корни многочлена, — коэффициент многочлена при .

Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обозначим его через Рациональная функция . Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как — также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через . Тогда , где — многочлен (-2)-й степени. Следовательно, Рациональная функция .

Продолжая этот процесс, получим в итоге:

Множители Рациональная функция в равенстве (31.3) называются линейными множителями.

Пример:

Разложить многочлен Рациональная функция на множители.

Решение:

Многочлен Рациональная функция обращается в нуль при . Следовательно,

Пример:

Представить выражение Рациональная функция в виде произведения линейных множителей.

Решение:

Легко проверить, что

Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретился Рациональная функция раз, то он называется корнем кратности . В случае (т. е. корень встретился один раз) корень называется простым.

Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде

если корень Рациональная функция имеет кратность , корень — кратность и так далее. При этом , a — число различных корней.

Например, разложение

можно записать так:

Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утверждения.

Теорема:

Если многочлен Рациональная функция тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема:

Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Например, если Рациональная функция , то .

Теорема:

Если многочлен Рациональная функция с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители

получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами Рациональная функция . В самом деле,

где Рациональная функция .

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.

Теорема:

Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. многочлен Рациональная функция можно представить в виде

При этом Рациональная функция , все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.

Примеры разложений (31.5):

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Метод интегрирования подстановкой

Метод интегрирования по частям

Дробно-рациональная функция

Интегрирование рациональных дробей

Рациональная функция одной переменной

Рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов:

где

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя и неправильной — в противном случае. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Пример:

Представить в виде суммы многочлена и правильной
дроби следующую неправильную дробь:

Решение:
Разделив числитель на знаменатель получим в частном Рациональная функция одной переменной в остатке т.е.,

Остаток от деления многочлена Рациональная функция одной переменной на разность можно найти, не выполняя самого процесса деления на основании следующей теоремы.

Теорема Везу:

Остаток от деления многочлена Рациональная функция одной переменной на разность равен значению многочлена при

Пример:

Найти остаток от деления многочлена на двучлен Рациональная функция одной переменной

Решение:
Здесь Рациональная функция одной переменной Поэтому искомый остаток равен:

Некоторые сведения о многочленах

Рассмотрим кратко
некоторые сведения о многочленах, которые понадобятся нам в
дальнейшем.

Корнем многочлена

называется всякое число Рациональная функция одной переменной (действительное или комплексное), которое обращает многочлен в нуль, т.е. такое, что

Пример:

Проверить, что Рациональная функция одной переменной является корнем многочлена

Решение: Действительно: Рациональная функция одной переменной

2. Имеет место следующая теорема, принимаемая без доказательства:

Теорема:

Всякий многочлен степени может быть
представлен в виде произведения множителей вида и множителя при старшей степени Рациональная функция одной переменной т.е

Числа Рациональная функция одной переменной очевидно являются корнями многочлена.

Если в разложении 38.2 раскрыть скобки, то свободный член
многочлена будет равен произведению корней многочлена Рациональная функция одной переменной

Отсюда вытекает следующее правило: Если многочлен имеет
целые корни, то эти корни являются делителями свободного члена.

Так как любое число имеет конечное множество целых делителей, то
это правило позволяет решать алгебраические уравнения степени выше двух при условии, что хотя бы один корень — целое число.

Пример:

Решить уравнение

Решение:
Если у него есть целые корни, то только Рациональная функция одной переменной Подставив в уравнение, например, получим тождество. Следовательно, на основании теоремы Безу многочлен делится на разность Рациональная функция одной переменной без остатка. Выполнив это деление, получим:

Решив квадратное уравнение

найдем корни: -3 и 2. Следовательно, корни уравнения (38.3):

Пример:

Легко проверить, что Рациональная функция одной переменной

Пример:

Многочлен Рациональная функция одной переменной

3. Среди линейных множителей в (38.2) могут быть одинаковые.
Объединяя их, можем записать разложение многочлена на множители в виде:

где все корни Рациональная функция одной переменной различны, и сумма показателей степени равна .

Корни Рациональная функция одной переменной называются кратными корнями многочлена, а именно — корень кратности — корень кратности, — корень кратности

4. Среди корней в разложении (38.2) могут быть комплексное Рациональная функция одной переменной

В алгебре доказывается: если Рациональная функция одной переменной является корнем многочлена кратности то и сопряженное число так же является корнем этого же многочлена той же кратности.

5. Поэтому, если в разложении (38.4) есть множитель Рациональная функция одной переменной то в этом разложении присутствует множитель

Перемножив два множителя, соответствующие комплексным
сопряженным корням, получим (см. 37.7):

Обратите внимание что трехчлен Рациональная функция одной переменной равный сумме двух
квадратов имеет отрицательный дискриминант.

6. Все вышесказанное позволяет сформулировать утверждение:
всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующем виде:

В Рациональная функция одной переменной

В нем линейные множители соответствуют действительным корням,
а квадратные трехчлены, имеющие по два корня — комплексным корням многочлена.

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Определение:

Дроби

называются простейшими дробями первого, второго, третьего и
четвертого типов.

В высшей алгебре доказывается следующая теорема, которую мы
принимаем без доказательства:

Теорема:

Правильную рациональную дробь Рациональная функция одной переменной где можно единственным образом
разложить на сумму простейших дробей:

В формуле (38.6) первое многоточие в разложении многочлена Рациональная функция одной переменной на множители соответствует другим, кроме действительным корням, a второе — комплексным.
Из формулы (38.6) следует, что линейным множителям в разложении знаменателя соответствуют дроби I и II типов, а квадратичным множителям соответствуют простейшие дроби III и IV типов.

При этом число простейших дробей, соответствующих данному
множителю, равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби на множители.
Правило разложения правильной рациональной дроби остается
справедливым при любом числе линейных и квадратичных множителей в разложении знаменателя Рациональная функция одной переменной

Рассмотрим два способа нахождения коэффициентов разложения (38.6).

Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод основан
на следующем утверждении, принимаемом без доказательства: если два многочлена тождественно равны, то равны и коэффициенты при
одинаковых степенях неизвестной в обеих частях тождества.
Поэтому приводя в правой части разложения (38.6) к общему
знаменателю, получаем тождественное равенство двух рациональных дробей с равными знаменателями.
Следовательно, числители тождественно равны. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной, получим систему линейных уравнений, относительно неизвестных коэффициентов Рациональная функция одной переменной Рассмотрим примеры.

Пример:

Разложить на простейшие дроби: Рациональная функция одной переменной

Решение:

Приводим правую часть этого тождества к общему знаменателю:

Приравниваем числители:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Рациональная функция одной переменной

Можно показать, что эта система всегда имеет единственное решение.
Это решение следующее:

Подставив найденные коэффициенты в разложение (38.7),
окончательно получим:

Пример:

Разложить на простейшие дроби:

Решение:

Приведем правую часть к общему знаменателю:

Приравнивая числители, получаем:

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж получаем
систему:

Ее решение: Рациональная функция одной переменной

Следовательно, подставив найденные коэффициенты в (38.8), получим:

Метод произвольных значений

Этот метод основан на
утверждении: если два многочлена тождественно Рациональная функция одной переменной то они равны при любом значении независимой переменной где произвольное число.

Поэтому вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях неизвестной в разложении (38.6) можно подставлять туда вместо Рациональная функция одной переменной несколько произвольных чисел.

Этот метод особенно эффективен когда многочлен Рациональная функция одной переменной стоящий в
знаменателе имеет различные действительные корни и в качестве
произвольных значений берутся числа, равные действительным корням знаменателя.

Пример:

Разложить на простейшие дроби функцию из примера (38.7).

Решение:

Ранее, при использовании метода неопределенных
коэффициентов было получено:

Подставим в это тождество последовательно три значения Рациональная функция одной переменной

Опять получаем соотношение (38.7).
Рассмотрим теперь пример, в котором для разложения знаменателя на множители можно использовать операцию извлечения корня из комплексного числа.

Пример:

Разложить на простейшие дроби Рациональная функция одной переменной

Решение:

Многочлен Рациональная функция одной переменной стоящий в знаменателе имеет лишь
комплексные корни, которые мы нашли в лекции 37:

Таким образом,

Объединив первую скобку с последней, вторую с третьей, получим:

В соответствии с формулой (38.6) и методом неопределенных
коэффициентов, находим:

и, следовательно,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получим систему уравнений для определения неизвестных Рациональная функция одной переменной

Выразив из первого уравнения С через А, а из последнего D через В и подставив Рациональная функция одной переменной и во второе и третье уравнения системы, получим:

Подставляя найденные значения Рациональная функция одной переменной в (38.8) найдем разложение дроби на простейшие:

Замечание:

Разложение (38.9) многочлена на
множители можно было бы получить и методом неопределенных коэффициентов.
Учитывая, что комплексные корни входят в разложение многочлена на множители как корни квадратных трехчленов вида при запишем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа в полученном тождестве, получим уравнения для определения и найдем их так:

Отметим, что так как в этом случае из второго уравнения следовало бы, что что невозможно. Таким образом, мы получили опять разложение (38.9).

Замечание:

Разложить Рациональная функция одной переменной на множители можно еще и так. Прибавим и вычтем и воспользуемся формулой сокращенного умножения: