Неопределенный интеграл в математике с примерами решения и образцами выполнения

Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Что такое неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных этой функции. Давайте рассмотрим это более подробно в материале ниже.

Первообразная и неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции: Одной из основных задач Дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(х), производная которой была бы Равна функции f(х), т. е. F'(х)=f(х).

Восстановление функции по известной производной этой функции — одна из основных задач интегрального исчисления.

Определение:

Функция F(х) называется первообразной для Функции f(х) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(х)=f(х).

Рассмотрим примеры.
1. Функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=сos х на всей числовой прямой, так как при любом значении x(sin х)’=cos х.
2. Функция — первообразная для функции на всей числовой прямой, ибо в каждой точке
3. Функция — первообразная для функции на интервале (—1, +1), так как в любой точке х этого интервала

Задача отыскания по данной функции f(х) ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если F(х) — первообразная для f(x), т. е. F'(x)=f(x), то функция F(x)+C, где С — произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как для любого числа С. Например, для f(х) — cos х первообразной является не только sin x:, но и функция sin х+С, так как (sin х+C)’=cos х.

Теперь покажем, что множество функций F(x)+C, где F (х) — некоторая первообразная для функции f(х), а С — произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции f(x).

Лемма:

Функция, производная которой на некотором промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Доказательство:

Пусть во всех точках промежутка X производная функции f(х) равна нулю, т. е. f'(х)=0. Для любых двух точек по теореме Лагранжа получаем

Так как . Это и означает, что значения функции во всех точках промежутка одинаковы, т. е. f(х)=С, где С — некоторое число. ■

Теорема:

Если F(х) — первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f (х) на том же промежутке может быть представлена в виде F (х)+С, где С — произвольная постоянная.

Доказательство:

Пусть Ф(х) — любая другая первообразная для функции f(х) на промежутке X, т. е. Ф'(x)=f(x). Тогда для любого
а (по лемме 7.1) это означает, что функция Ф(х)—F (х) постоянна, т. е. Ф(х)—F(х)=С, где С — некоторое число. Следовательно, Ф(х)=F(х)+С. ■

Из доказанной теоремы следует, что множество функций F (х)+С, где F(х) — одна из первообразных для функции f(х), а С — произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных для f(х).

Определение неопределенного интеграла

Определение:

Если функция F(х) — первообразная для функции f(х) на промежутке X, то множество функций F(x)+C, где С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(х) на этом промежутке и обозначается символом

При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.

Символ обозначает, таким образом, совокупность всех первообразных для функции f(х). Но иногда будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т. е. как какую-то из первообразных.

Восстановление функции по ее производной, или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

В этой главе не рассматривается вопрос существования первообразных (а значит, и неопределенных интегралов) для широких классов функций. Отметим, что в гл. 8, § 6 будет доказано, что любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную (а следовательно, и неопределенный интеграл).

Примеры:

Основные свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие его свойства.

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой Функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т. е.

В самом деле, так как
3°. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е. если т

Действительно, пусть F(х)— первообразная для функции f (х) т. е. F'(x)=f(x). Тогда kF (х) — первообразная для функции Отсюда следует, что

4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т. е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) — первообразные для функций f(x) и g(x):

Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функций f(x±g(х). Следовательно,
Отметим, что это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

Таблица основных интегралов

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость остальных формул легко проверить дифференцированием.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным итегрированием.

Метод подстановки

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т. е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема:

Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть X — множество значений этой функции, на котором определена функция f (х). Тогда, если на множестве X функция f (х) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Доказательство:

Пусть F(х) — первообразная для f(х) на множестве X. Рассмотрим на множестве Т сложную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции, учитывая, что F'(х)=f(х), получаем

т. е. функция имеет на множестве Т первообразную и, следовательно,

Замечая, что получаем формулу (1). ■
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интервале.

Пример:

Вычислить интеграл
Решение:

Положим х—1=t; тогда x=t+1. Отсюда dx=dt. По формуле (1)

Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем

Замечание:

При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от х.

Пример:

Вычислить интеграл
Решение. Положи тогда

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Пример:

Вычислить интеграл
Решение:

Положим откуда

Таким образом,

Пример:

Вычислить интеграл
Решение:

Положим t=sin х, dt=cos х dх. Тогда

Пример:

Вычислить интеграл
Решение:

Положим тогда

При n=1 аналогично получим

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема:

Пусть функции определены и дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке X функция также имеет первообразную и справедлива формула

Доказательство:

Из равенства

Первообразной функции на промежутке X является функция . Функция имеет первообразную на X по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на промежутке X. Интегрируя последнее равенство, получаем формулу (2). ■

Формула (2) называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Так как то ее можно записать в виде

Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.

Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

Таким образом, интеграл вычислен двухкратным интегрированием по частям.

В заключение вычислим интеграл

(n — целое положительное число), который понадобится в следующем параграфе. При n=1 имеем табличный интеграл


Пусть n>1. Представив 1 в числителе как разность получим

Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:
(см. п. 2, пример 5), тогда

Таким образом, интеграл выражен через Формулы типа (3) называются рекуррентными формулами.

Пример:

Вычислить
Решение:

По рекуррентной формуле (3) имеем
поэтому окончательно имеем

Интегрирование рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, т. е. функции, которые можно представить в виде дроби

где — многочлены.

Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим
где — некоторый многочлен, a R(x) — многочлен степени ниже, чем Q(х).

Примеры:

В высшей алгебре доказывается, что каждый многочлен может быть представлен в виде произведения
где А — коэффициент при старшей степени многочлена Q(х), а — корни уравнения Q(x)=0. Множители называются элементарными множителями. Если среди них имеются совпадающие, то, группируя, получаем представление

где г, s, …, t — целые числа, которые называются соответственно кратностями корней причем r + s + … + t=n степень многочлена Q(x).

Среди корней представления (2) могут быть и комплексные. В алгебре доказывается, что если -кратный комплексный корень многочлена с вещественными коэффициентами, то этот многочлен имеет также сопряженный с r-кратный корень Другими словами, если в представление (2) входит множитель , то оно содержит также и множитель . Перемножив эти два множителя, получим

где — вещественные числа.

Поступая аналогично с остальными комплексными корнями, запишем представление (2) в виде
где — вещественные числа.

В высшей алгебре доказывается следующая теорема. Теорема. Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(х) представлен в виде (3), то эту функцию можно единственным образом представить в виде

— некоторые вещественные числа.

Выражение (4) называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.

Равенство (4) имеет место для всех х, не ‘являющихся вещественными корнями многочлена Q(х).

Чтобы определить числа умножим обе части разложения (4) c неизвестными пока на Q(х). Поскольку равенство между многочленом R(х) и многочленом, который получится в правой части, должно быть справедливо для всех х, то коэффициенты, стоящие при равных степенях х, должны быть равны между собой. Приравнивая их, получаем систему уравнений первой степени, из которой найдем неизвестные числа

Такой метод отыскания коэффициентов разложения рациональной функции называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример:

Разложить рациональную функцию на элементарные дроби.

Решение:

Так как то по формуле (4) имеем

Умножая обе части равенства на получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений первой степени относительно А и В:
откуда А=5, В= — 3. Таким образом

Пример:

Найти разложение рациональной функции на элементарные дроби.
Решение:

Квадратный трехчлен имеет комплексные корни, поэтому по формуле (4) имеем

Умножая обе части равенства на , получаем

Приравнивая коэффициенты при придем к системе уравнени

решая которую найдем и поэтому искомое разложение имеет вид

Из изложенного следует, что задача интегрирования рациональной функции (1) сводится к интегрированию многочлена интеграл от которого является табличным:

и интегрированию рациональной функции что приводит к нахождению интегралов следующих четырех типов:

При этом многочлен не имеет вещественных корней, так что

Вычислим интеграл III типа, который часто встречается на практике. Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат

Это представление «подсказывает» подстановку x+p=t, откуда x=t—p, dx=dt. Положим далее и перейдем к переменной t. В результате интеграл преобразуется к виду

Первый интеграл в правой части берется непосредственно

Второй интеграл вычисляется по формуле XIII таблицы основных интегралов.

Пример:

Вычислить
Решение:

Выделим в знаменателе полный квадрат: Сделаем подстановку х+2=t, откуда x=t—2, dx=dt, поэтому

Возвращаясь к переменной х, получаем

Вычислим теперь интеграл IV типа:

Для этого введем новую переменную z по формуле , откуда Далее, имеем

Таким образом, используя подстановку (5) и принимая во внимание (6), получаем

где M и N — числа, значения которых ясны из предпоследнего равенства.

Ко второму интегралу можно применить рекуррентную формулу [см. § 4, п. 3, формулу (3)]. Положив в первом интеграле получим

Пример:

Вычислить
Решение:

Положим , откуда

Итак, установлено, что интегрирование любой рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и конечного числа элементарных дробей, интегралы от которых выражаются через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иными словами любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций

Предварительно введем обозначение рациональной функции от двух переменных , т. е. функции, получающейся из двух переменных и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления: Такова, например, функция

Если переменные , в свою очередь, являются функциями переменной х: , то функция называется рациональной функцией от Например, функция

является рациональной функцией от х и от а функция

является рациональной функцией от sin х и от cos х: f (х)= R (sin x; cos х).

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций (или, как говорят, рационализируются) и могут быть вычислены методами, рассмотренными в § 5.

1. Интеграл вида — некоторые числа ; m — натуральное число, R — рациональная
функция от х и от Покажем, что такой интеграл рационализируется подстановкой

В самом деле,

так что
где — рациональная функция аргумента t.

Пример:

Вычислить
Решение:

Сделав подстановку получим Далее, имеем

Пример:

Вычислить
Решение:

Имеем

2. Интеграл вида где а, b, с — некоторые числа; R — рациональная функция от х и от

Если трехчлен имеет вещественные корни ,то

т. е. получаем интеграл, рассмотренный в п. 1. Если то т.е. под знаком интеграла находится рациональная функция от х.

Поэтому интересен случай, когда трехчлен не имеет вещественных корней и а>0. Покажем, что в данном случае интеграл рационализируется подстановкой Эйлера:

Возводя обе части равенства в квадрат получаем так что

Если же в трехчлене то для рационализации интеграла можно применить другую подстановку Эйлера:

Пример:

Вычислить
Решение:

Поскольку трехчлен имеет комплексные корни, сделаем подстановку Возводя обе части равенства в квадрат, получаем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t получаем систему уравнений первой степени относительно А, В, D:

откуда А=2, В= -3, D= -3. Следовательно,

и окончательно

Пример:

Вычислить
Решение:

Здесь трехчлен имеет комплексные корни и поэтому воспользуемся подстановкой Возводя обе части равенства в квадрат, получаем

Заметим, что вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.

3. Интеграл вида где R — рациональная Функция от sin х и от cos х. Покажем, что интеграл рационализируется подстановкой

Действительно, где — рациональная функция от t.

Пример:

Вычислить
Решение:

Применяя подстановку t= tg(x/2), получаем
Таким образом,

4. Интеграл вида Покажем, что данный интеграл рационализируется подстановкой

В самом деле, так как то

где R(t) — рациональная функция от t.

Пример:

Вычислить
Решение:

Полагаем Отсюда Следовательно,

В заключение отметим, что рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.

Отметим также, что если дифференцирование не выводит из класса элементарных функций, то при интегрировании дело обстоит иначе. Существуют такие элементарные функции (например и т. д. ), первообразные от которых не являются элементарными функциями. Такие первообразные не только существуют, но и играют большую роль как в самом математическом анализе, так и в его приложениях. Они хорошо изучены, для них составлены таблицы и графики, помогающие их практическому использованию.

Если первообразная не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.

Понятие неопределенного интеграла и его геометрический смысл:

Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция , требуется найти ее производную. При этом, если производная существует в каждой точке некоторого промежутка , то это также некоторая функция на такая, что .

Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция , требуется найти функцию такую, что

Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. При этом функция , удовлетворяющая условию (1), называется первообразной для функции .

Определение 1. Функция , определенная на некотором промежутке , называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для всех или, что то же самое,

Пример:

Найти первообразную для функции

Решение:

Функция является первообразной для , так как

Последний интеграл отличается от табличного интеграла 2 (§ 2) тем, что заменено на . Поэтому

Таким образом,

Докажем еще два свойства неопределенного интеграла, которые значительно расширяют возможности применения табличных интегралов.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если , то

Справедливость равенства (3) вытекает из равенства

В самом деле,

Положив найдем

что и требовалось доказать.
Пример:

Найти

Решение:

Применив свойство 4 и табличный интеграл 1, находим:

5. Интеграл от суммы непрерывных функций равен
сумме интегралов слагаемых:

В самом деле, пусть

Тогда

Поэтому

что и требовалось доказать.

Пример:

Найти

Решение:

Применив свойства 4 и 5 и табличные
интегралы 1 и 5, находим:

Выделение интегральной кривой по заданным начальным условиям

В § 1 было отменено, что неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, определяемых равенством

где — первообразная для функции , а — произвольная постоянная.

Чтобы из множества интегральных кривых (1) выделить одну определенную кривую, должны быть заданы дополнительные (начальные) условия. Начальными условиями обычно являются некоторые частные значения переменных по которым из равенства (1) находят одно вполне определенное значение постоянной , а следовательно, и одну вполне определенную интегральную кривую, удовлетворяющую заданным начальным условиям.

Пример:

Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен абсциссе этой точки.

Решение:

Согласно геометрическому смыслу производной (§ 1 гл. 5) и условию задачи, имеем

Отсюда Таким образом, мы
получили множество кривых

угловой коэффициент касательной в каждой точке которых равен абсциссе этой точки (рис. 77).

Чтобы из этого множества выделить искомую кривую, воспользуемся заданными начальными условиями: (искомая кривая проходит через точку . Подставив эти значения в равенство (2), получим

Итак, уравнение искомой кривой будет

Пример:

Скорость точки задана уравнением

Найти закон движения, если к моменту начала отсчета времени , точка прошла путь .

Решение:

Известно, что , следовательно,

отсюда

Искомый закон движения находим по заданным начальным условиям: . Подставив эти значения в равенство (3), получим . Следовательно, искомый закон движения будет

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств 3—5 § 3 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Заметим, что при вычислении интегралов, кроме формул интегрирования и основных свойств неопределенного интеграла, полезно применять и следующее правило.

Если

то

В справедливости этой формулы легко можно убедиться дифференцированием. Предоставляем читателю сделать это самостоятельно.

Пример:

Найти

Решение:

Применив табличный интеграл 3 и учитывая формулу (1), получим:

Пример:

Найти

Решение:

Применив табличный интеграл 1 и
учитывая формулу (1), получим

Пример:

Найти

Решение:

Преобразуем подынтегральную функцию
следующим образом:

Применив табличный интеграл 1, получим:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Решение:

Разделив числитель на знаменатель, получим:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Рассмотрим этот метод.

Пусть — непрерывная функция и требуется найти , причем непосредственно трудно подобрать такую функцию , или

Сделаем замену переменной интегрирования по формуле

где функция — монотонная и имеет непрерывную производную. Применив к искомой функции формулу дифференцирования сложной функции, получим

Ho , поэтому

Так как функция непрерывна как сложная функция, a непрерывна по условию, то можно проинтегрировать обе части равенства (3):

Так как , то

Формула (4) означает также, что в формуле (1) можно непосредственно производить подстановку . При этом следует подобрать такую подстановку (2), чтобы функция легко интегрировалась.

Замечание:

В полученном после интегрирования по формуле (4) результате следует перейти снова к переменной . Для этого достаточно найти функцию , обратную функции . Это всегда возможно, так как, по предположению, функция монотонна и непрерывна (непрерывность следует из дифференцируемости).

Замечание:

В практике интегрирования часто применяются подстановки в виде , т. е. новая переменная интегрирования вводится как: некоторая функция переменной .

Пример:

Найти

Решение:

Сделаем подстановку Найдем дифференциал обеих частей подстановки: , откуда Следовательно,

Заменив его выражением из подстановки, получим

Пример:

Найти

Решение:

Положим ; тогда ,
или Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим ; тогда , или Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим тогда , или . Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим ; тогда Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим тогда
или . Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим . или Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Положим или Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Пример:

Найти

Решение:

Так как , то, положив . найдем Следовательно,

Перейдем в полученном результате снова к переменной . Имеем: Так как то

Таким образом,

Интегрирование по частям

Пусть функции имеют непрерывные производные на некотором промежутке . Найдем дифференциал произведения этих функций:

Так как, по условию, функции непрерывны, можно проинтегрировать обе части этого равенства:

или

Но следовательно,

В правой части формулы (1) постоянную интегрирования не пишут, так как она фактически присутствует в интеграле Формула (1) называется формулой интегрирования по частям.

Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляется в виде произведения множителей ; при этом обязательно входит в . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем — . Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.

Пример:

Найти

Решение:

Положим ; тогда

По формуле (1) находим:

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители . Общих установок по этому вопросу не имеется. Однако для некоторых типов интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, сделать это возможно.

1. В интегралах вида

где — многочлен относительно — некоторое число, полагают .

Пример:

Найти

Решение:

Положим ; тогда

Следовательно,

2. В интегралах вида

полагают

Пример:

Найти

Решение:

Положим ;

тогда .

Следовательно,

3. В интегралах вида

где — числа, за можно принять любую из функций: или , или .

Пример:

Найти

Решение:

Положим тогда . Следовательно,

Для вычисления интеграла снова применим интегрирование по частям. Положим , ; тогда, Таким образом,

Так как в правой части стоит искомый интеграл, то, перенеся его в левую часть, получим

Отсюда получаем окончательный результат:

Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции

Как мы уже отметили (§1), если функция непрерывна на промежутке , то на этом промежутке существует функция такая, что , т. е. существует первообразная для функции . Следует, однако, заметить, что не всякая элементарная функция имеет в качестве своей первообразной элементарную же функцию . Так, например, интегралы

хотя и существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, т. е. относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

Дополнение к неопределенному интегралу

• Решение задач по высшей математике

Понятие комплексного числа	Таблица основных интегралов
Действия над комплексными числами	Основные методы интегрирования

Неопределенный интеграл — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Неопределенный интеграл» вы изучите основные приемы нахождения первообразных (подведение под
знак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной), научитесь интегрировать основные классы функций (рациональные дроби, тригонометрические и иррациональные выражения).

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

План решения. Пусть g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x) = u(G(x)).
Тогда

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается
табличным или известным образом сводится к табличному.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения
двух функций F(x)g(x), где g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x) = u(G(x)).

В данном случае

2.Тогда

где G = sin x.

3.Последний интеграл не является табличным, но к нему снова
можно применить метод подведения под знак дифференциала:

Ответ.

Интегрирование по частям

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

План решения. Пусть g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная f(x) = F'(x) является более простой функцией, чем F(x). Тогда
применяем формулу интегрирования по частям

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения
двух функций F(x)g(x), где g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная
f(x) = F'(x) является более простой функцией, чем F(x).

В данном случае

2.Применяем формулу интегрирования по частям

3.Последний интеграл не является табличным, но к нему можно
применить метод подведения под знак дифференциала:

Ответ.

Заметим, что если бы мы выбрали g(х) = x, то, дифференцируя
функцию и применяя формулу интегрирования по частям, получили бы более сложный интеграл, чем исходный.

Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

План решения.

1.Введем обозначения:

Сравним степени числителя и знаменателя

Если подынтегральная функция — неправильная рациональная
дробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаменателя m, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен — остаток от деления на причем степень меньше степени

2.Разложим правильную рациональную дробь

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни т.е. то разложение на элементарные дроби имеет вид

3.Для вычисления неопределенных коэффициентов
приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества,
после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа. Получим систему m уравнений с m
неизвестными, которая имеет единственное решение.

4.Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби,
используя табличные интегралы, и записываем ответ

где — многочлен степени n — m + 1.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Подынтегральная функция — неправильная рациональная
дробь, так как n = m = 3. Выделим целую часть:

2.Так как знаменатель последней дроби имеет три различных вещественных корня х = 0, х = —4 и x = 2, то ее разложение на
элементарные дроби имеет вид

3.Чтобы найти коэффициенты приводим к общему
знаменателю дроби в правой части тождества:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Эта система имеет единственное решение
Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид

4.Интегрируем целую часть и элементарные дроби, используя
табличные интегралы:

Ответ.

Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

План решения.

1.Введем обозначения:

Сравним степени числителя и знаменателя

Если подынтегральная функция — неправильная рациональная
дробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаменателя m, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен — остаток от деления на причем степень меньше степени

2.Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет вещественные корни кратности соответственно, т.е.

то разложение на элементарные дроби имеет вид

3.Чтобы найти коэффициенты приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.

4.Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ

где — многочлен степени n — m + 1.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь.

2.Разложим ее на элементарные дроби. Так как знаменатель
имеет два действительных корня: кратности единица и кратности три, разложение на элементарные дроби имеет вид

3.Чтобы найти коэффициенты приводим к общему
знаменателю дроби в правой части тождества:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными

Эта система имеет единственное решение:

Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид

3.Интегрируем сумму элементарных дробей, используя табличные интегралы:

Ответ.

Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

План решения.

1.Введем обозначения:

Сравним степени числителя и знаменателя

Если подынтегральная функция — неправильная рациональная
дробь, т.е. степень числителя n больше или равна степени знаменателя m, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен — остаток от деления на , причем степень меньше степени .

2.Разложим правильную рациональную дробь

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые комплексные корни т.е.

где

то разложение на элементарные дроби имеет вид

3.Для вычисления неопределенных коэффициентов
приводим к общему знаменателю дроби в правой части
тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа. Получим систему 2s уравнений с 2s неизвестными, которая имеет единственное решение.

4.Интегрируем элементарные дроби вида

Выделяем в знаменателе полный квадрат
(поскольку можно обозначить и делаем замену переменной t = х — р/2. Получим

5.Складываем результаты интегрирования целой части (если она
есть) и элементарных дробей и записываем ответ.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь.

2.Разложим ее на элементарные дроби. Знаменатель имеет две
пары комплексно-сопряженных корней: и Следовательно, разложение на элементарные дроби имеет вид

3.Чтобы найти коэффициенты приводим к общему
знаменателю дроби в правой части тождества:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слева и справа, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными

Эта система имеет единственное решение

Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид

4.Интегрируя элементарные дроби, получим

Ответ.

Интегрирование выражений R(sin x, cos)

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

где R — рациональная функция двух переменных.

План решения.

1.С помощью подстановки

интегралы от функций R(sinx, cos x) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t. Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

получаем

Подстановка t = tg (x/2) называется универсальной.

2.Применяем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

3.Вычисляем первообразную рациональной функции t и возвращаемся к переменной x, подставляя t = tg (x/2).

Замечание. Если подынтегральная функция имеет специальный
вид, то лучше применить подстановки, требующие меньше вычислений:

а) если

то применяем подстановку t = sin x. Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

б) если

то применяем подстановку t = cos x. Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

в) если

то применяем подстановку t = tgx. Действительно, подынтегральное
выражение приобретает вид

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Сделаем подстановку t = tg (х/2).

Подставляя в подынтегральное выражение

получим

2.Применяем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

3.Вычисляем первообразную рациональной функции t:

Возвращаемся к переменной x, подставляя t = tg (x/2):

Ответ.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Так как подынтегральная функция имеет вид R(tgx), сделаем
подстановку tgx = t.

Подставляя в подынтегральное выражение

получим

2.Применяем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

3.Вычисляем первообразную рациональной функции t :

Возвращаемся к переменной x, подставляя t = tg х:

Ответ.

Интегрирование выражений

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

где m, n — натуральные числа.

План решения.

Применяем формулы понижения степени

до тех пор, пока не придем к табличным интегралам или к интегралам, которые известным образом сводятся к табличным.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

Применяя формулы понижения степени, имеем

Ответ.

Интегрирование выражений

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

где R— рациональная функция и p,q,… — натуральные числа.

План решения.

1.С помощью подстановки

где n — общий знаменатель дробей 1/р, 1/q,…, приходим к интегралам от рациональных функций.

2.Вычисляем первообразную рациональной функции t и возвращаемся к переменной х, подставляя

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из одного и того же выражения вида

Преобразуем подынтегральное выражение, выделяя

2.Применяем подстановку

Делая замену переменной в неопределенном интеграле, получаем

3.Вычисляем первообразную рациональной функции t:

Возвращаемся к переменной х, подставляя

Ответ

Интегрирование выражений и

Постановка задачи. Найти неопределенные интегралы вида:

где R — рациональная функция.

План решения.

1.Чтобы избавиться от радикала, используем тригонометрические или гиперболические подстановки:

а) х = a sin t или х = a th t;

б) х = a tg t или х = a sh t;

в) или x = acht.

2.Применив формулу замены переменной в неопределенном интеграле, получим интегралы вида

3.Вычисляем последний интеграл с помощью известных подстановок или методом понижения степени.

4.Возвращаемся к переменной х и записываем ответ.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

1.Чтобы избавиться от радикала, воспользуемся подстановкой
х = 3 sin t. Тогда dx = 3 cos t и

2.Сделаем замену переменной в неопределенном интеграле:

3.Применяя формулы понижения степени, получим

4.Возвращаемся к переменной ж, подставляя t = arcsin(x/3):

Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем,
что и sint = x/3:

Ответ

Интегрирование дифференциального бинома

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

где т, п и р — рациональные числа.

План решения. Выражение называется дифференциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементарных функциях получены П. Л. Чебышевым.

Условия Чебышева. Интеграл (1) выражается через конечную
комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:

1) р — целое число; в этом случае подстановка где s —
общий знаменатель дробей тип, приводит к интегралу от рациональной функции.

2) целое число; в этом случае подстановка
где s — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рациональной
функции.

3) — целое число; в этом случае подстановка где s — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рациональной функции.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Решение:

Перепишем интеграл в виде

Подынтегральное выражение имеет вид при

Следовательно, имеет место третий случай интегрируемости.

Применяя подстановку

и учитывая, что

получаем

Ответ

Определение неопределенного интеграла

Первообразная и неопределенный интеграл

Понятия первообразной и неопределенного интеграла:

1°. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке (а; b], если при всех имеет место равенство
F'(x) = f(x) , или, что то же самое, dF(x) = f(x)dx.

Например, первообразной для функции f(x) — cos x, является F(x) = sin x, так как (sin x)’ = cos x, или d(sin x) = cos x dx. Очевидно, что первообразными для f(x) = cos x являются также функции F(x) = sinх + С, где С — любая константа (постоянная):
d ( sinx + С) = cos x dx.

Теорема:

Если F(x) — некоторая первообразная для функции f(x), то множество всех первообразных для f(x) имеет вид
F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

Множество всех первообразных F(x) + С для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается т. е.

При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, или дифференциалом; x — переменная интегрирования, — знак интеграла.

Действие нахождения неопределенного интеграла (первообразной) называется интегрированием; оно является обратным действию дифференцирования. Правильность действия интегрирования проверяется дифференцированием.

2°. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство (множество) «параллельных кривых» у = F(x) = С (каждому значению постоянной С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной называется интегральной кривой (рис. 1.1).

3°. Функция f (x), имеющая неопределенный интеграл, называется интегрируемой.

Теорема:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Примечание:

Теорема 2 гарантирует существование неопределенного интеграла (первообразной) для каждой непрерывной функции, но не обеспечивает его нахождение в явном (формульном) виде. Например, существует, но невозможно указать такую элементарную функцию F(x), чтобы

Свойства неопределенного интеграла

Всюду в дальнейшем функции f(x), g(x) и т. п. считаются непрерывными на некотором отрезке [а; b], а значит, интегрируемыми на нем. Непосредственно из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному дифференциалу:

2.Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Это равенство будет применяться и в обратном направлении: постоянный множитель можно вносить под знак интеграла.

4.Интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов от этих слагаемых; в
частности,

5. Интеграл не зависит от переменной интегрирования, т е. то

Таблица основных неопределенных интегралов

За переменную интегрирования в таблице основных неопределенных интегралов принимаем u, так как это удобно для применения свойства 5.

Здесь и ниже в скобках приведены интегралы от гиперболических функций.

Табличное интегрирование

1°. Для того, чтобы приступить к действию интегрирования, необходимо знать наизусть таблицу производных и интегралов. Критерий правильности интегрирования — это дифференцирование. Запоминанию формул способствует решение задач. Математическая память развивается только через понимание и осознание, а осознание поддерживается только благодаря деятельности.

Специфические приемы развития памяти состоят в том, чтобы понять и уметь применять цепочку действий, приводящих к данному объекту или понятию Например, как запомнить формулу 12?

а) Запомним частный случай с m = 1.

б) Надо знать, что tg y и arctg x — взаимно обратные функции, а значит,

в) произведение их производных равно 1: (tg)'(arctgx)’ = 1.

г) Производная tg у равна т. е

д) С другой стороны,

е) Из б), в), г), д) и знаний обратных функций (в частности, х = tg у) заключаем, что в правой части последнего равенства имеем производную arctg x.

В этом нестрогом рассуждении, где еще не используются теория пределов, нужная для запоминания производных, графики и касательные к ним, интерпретирующие производную, и многое другое, не следует видеть «методику запоминания». Память — это одна из удивительных индивидуальных способностей, которую каждый человек должен развивать так, как позволяют его индивидуальные качества А такие методики может искать только тот, кто не пропустил свое развитие Выход есть для всех: решать задачи (какие можете, но как можно больше!) и стараться запоминать формулы и использованные приемы. Точнее: «С каждым решенным примером надо быть умнее хотя бы на один пример!».

2°. Процесс интегрирования начнем с того, что выделим частный случай свойства 5 из п. 1.2, с u = ах + b, du = adx:
Если

Это свойство позволяет распространить всю таблицу п. 1.3 на случай, когда u = ах + b, т. е. переменная интегрирования — линейная функция. Итак, прежде чем приступить к содержательному интегрированию, предлагаем выучить наизусть основную таблицу и новую таблицу с заменой u = ах + b Это уже дает знание более 40 формул.

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Из формулы 2 таблицы с учетом u = 2х — 5 следует, что

Пример:

Найти

Решение:

Из формулы 4 таблицы при u = 7х — 1/9 получаем

Примечание:

В дальнейшем для обеспечения непрерывности интегрирования вспомогательные преобразования, обозначения, замечания будем заключать в фигурные скобки по ходу решения.

Пример:

Найти

Решение:

В подкоренном выражении выделим полный квадрат, чтобы применить формулу 13 при u=x+1/2

Обратим внимание на совпадение подкоренного выражения в ответе и в исходном интеграле (предпоследнее выражение можно было пропустить).

Примечание:

В тех случаях, когда выражение под знаком логарифма положительно, знак абсолютной величины опускаем.

Пример:

Найти

Решение:

Старший коэффициент (-2) квадратного трехчлена отрицателен. Поэтому, выделяя полный квадрат, необходимо ориентироваться на формулу 11. При этом рекомендуется коэффициент 2 вынести за скобки. Оформим это так:

Еще раз подчеркнем необходимость знания наизусть табличных интегралов и владения формулой (*).

Пример:

Найти

Решение:

Знаменатель подынтегрального выражения не имеет действительных корней. Поэтому ориентируемся на формулу 12, выделяя полный квадрат (при этом рекомендуется вынести старший коэффициент, не вовлекая его в преобразования). Имеем:

Пример:

Найти

Решение:

Вид знаменателя дроби (он имеет два действительных корня) ориентирует на применение формулы 14. Следовательно,

А теперь применим к табличному интегрированию свойства линейности неопределенного интеграла, которое можно записать в виде равенства

Пример:

Найти

Решение:

В подынтегральном выражении возведем в квадрат, раскроем скобки и применим свойство линейности. Последовательно получаем

Пример:

Найти

Решение:

Раскроем скобки и применим свойство линейности, т. е. интегрируем почленно, вынося числовые коэффициенты за знак интеграла. В промежуточных интегралах используем дробные степени, а ответ выразим в корнях (радикалах). Имеем:

Напомним деление на дробь сводится к умножению на обратную дробь.

Дальнейшее интегрирование нетабличных интегралов связано с необходимостью преобразования подынтегральных выражений.

Пример:

Найти

Решение:

После умножения и деления дроби на выражение, сопряженное знаменателю, получаем табличные интегралы

Пример:

Найти

Решение:

К табличным интегралам приходим при помощи формулы преобразования в сумму Используем формулу (*). Имеем.

Пример:

Найти

Решение:

При помощи формулы получаем табличные интегралы:

Пример:

Найти

Решение:

Под интегралом выполняем действия.

Пример:

Найти

Решение:

Можно разложить дробь на две дроби:

Как быть с правой дробью, которая не подпадает под табличные формулы? За счет чего можно получить дробь со знаменателем

За счет сложения или вычитания двух дробей: и

При сложении получается , что не приводит к нужной дроби. Вычитание: Эта попытка удачна, ибо (вот он — прием: дробь разложена на простые дроби, которые имеются в таблице). Реализуем идею

Пример:

Найти

Решение:

После возведения в квадрат получаем нетабличный интеграл который можно свести к табличным по формуле понижения степени:

Итак, имеем:

Пример:

Найти

Решение:

Есть возможность преобразовать неправильную дробь в сумму многочлена и правильной дроби

Следовательно,

Заметим, что необязательно выписывать столько интегралов, сколько имеется слагаемых.

Простейшие методы интегрирования

Интегрирование методом подведения под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала по существу равносильно применению свойства независимости интеграла от переменной интегрирования Суть в том, чтобы в интеграле перейти к другой переменной относительно которой интеграл становится табличным.

Подведение под знак дифференциала предполагает знание табличных интегралов и их обобщений, полученных заменой переменной интегрирования на некоторую основную элементарную функцию.

Например, в равенстве положим Получаем (поскольку или

Запись интеграла в форме и
представляет собой подведение множителя под знак дифференциала в виде

Подчеркнем, что видеть возможность подведения под знак дифференциала (а это самый мощный способ интегрирования) можно только при условии совершенного владения формулами.

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Поскольку то в данном интеграле необходимо сделать переменной интегрирования, т. е. принять В таком случае Поэтому множитель х вносим под знак дифференциала и получаем дифференциал от Тогда

Пример:

Найти

Решение:

Среди табличных интегралов нет формул, содержащих арктангенс в подынтегральном выражении. Попробуем сделать его переменной интегрирования: arctg x = u. Тогда du = d(arctgx) =
Теперь ясно, что арктангенс следует подвести под знак дифференциала:

Переход к новой переменной полезен только на первых порах, а впоследствии этого следует избегать: производительность увеличивается, если экономить на выписывании промежуточных выкладок.

Пример:

Найти

Решение:

Замечаем, что sin xdx есть дифференциал косинуса (с точностью до знака) —

Здесь экономия получена за счет того, что мы не выписывали промежуточный интеграл и его результат

Пример:

Найти

Решение (неэкономное):

Более экономное решение можно получить, заметив равенство

Следовательно,

Здесь использованы те же формулы 2 и (*), но компактнее, эффективнее.

Пример:

Найти

Решение:

Здесь нет множителя, который давал бы дифференциал некоторой функции (новой переменной). Значит, надо его получить.

Способ 1. Наличие в знаменателе интуитивно приводит к желанию использовать соотношение А как эту дробь получить? По-видимому, так:

(вынесли за скобки). Остается выразить через
ctg x. Это возможно, т. к. . Реализуем желаемое так:

Способ 2 основан на аналогичной идее, реализуемой при помощи тангенса (сначала заменим 1 на sin2 х + cos2 х):

Здесь опущен промежуточный интеграл (согласно формуле (*)) Заметим, что способы 1 и 2 равносильны

Пример:

Найти

Решение:

Этот интеграл помещен в таблице только для ее полноты, хотя, в отличие от других табличных интегралов, он не тривиален Прием получения этого результата поучителен, т. к. он связан с получением множителя для внесения под знак дифференциала.

Способ 1 основан на разложении синуса двойного аргумента с последующим преобразованием до получения требуемого множителя. Имеем:

Здесь имеем как бы два уровня сложности функции, вносимой под знак дифференциала: тангенс и половинный аргумент.

Способ 2 основан на использовании тригонометрической единицы:

Возможно, этот способ красивее, хотя и длиннее

Пример:

Найти

Решение:

Нужный для внесения под знак дифференциала множитель получаем расщеплением степени:

Здесь запись стала более экономной благодаря переходу к новой переменной u = cos x.

Метод подстановки

Метод подстановки, или замена переменной в неопределенном интеграле, по существу есть обобщение метода подведения под знак дифференциала. Общий метод подстановки в интеграле состоит в том, чтобы заменить часть подынтегральной функции
u = u(х) с тем, чтобы новый интеграл относительно переменной u имел вид и стал проще, чем исходный. Иногда аргумент х заменяют некоторой функцией: если относительно новой переменной интеграл становится проще исходного.

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Сделаем подстановку

Дифференцируя это равенство, получаем Отсюда Интеграл принимает табличный вид:

Подстановка равносильна подведению под знак дифференциала.

Пример:

Найти

Решение:

Здесь не очевидно, что подвести под знак дифференциала, а потому сделаем подстановку, позволяющую избавиться от иррациональности Обозначим или Из последнего равенства получаем а

Подстановка этих равенств приводит исходный интеграл к новому интегралу, сводящемуся к табличным:

Таким образом, подстановка свелась к введению функции и относительно переменной t новый интеграл стал проще

Пример:

Найти

Решение:

Обозначим arcsin x = u. Непосредственно дифференцируя это равенство, получаем и это выражение будем использовать в исходном интеграле. Приходим к табличному интегралу

Некоторые замены могут быть неожиданны и как бы внешне не оправданы видом подынтегрального выражения. Тем не менее они могут приводить к табличным интегралам.

Пример:

Найти

Решение:

Вынесем из-под знака радикала (соответствующая замена станет очевидной):

Вид подстановки зависит от вида подынтегрального выражения. К некоторым стандартным подстановкам вернемся ниже, а здесь ограничимся отдельными указаниями.

Тригонометрические подстановки позволяют освободиться от квадратных иррациональностей.

1) Если интеграл содержит радикал то может быть эффективной подстановка х = a sin t, dx = a cos tdt,

2) Если интеграл содержит радикал то может быть
эффективной подстановка

3) Если интеграл содержит радикал то может быть
эффективной подстановка х = a tg t ,

Пример:

Найти

Решение:

Положим x = 2 sin t, dx = 2 cos t dt,

Приходим к интегралу

Пример:

Найти

Решение:

Положим x = tg t, Приходим к «почти табличному» интегралу,

Пример:

Найти

Решение:

Этот интеграл можно брать подстановкой, приведенной выше, но мы воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Покажем, что существуют такие числа А и В, что имеет место равенство

Продифференцируем это равенство:

Приводим к общему знаменателю (и опускаем его):

Это равенство возможно только при условии совпадения коэффициентов при и свободных членов в обеих частях равенства, т. е. 1 = А + А (равенство коэффициентов при ) и (равенство свободных членов). Из первого равенства находим

из второго после подстановки находим

Таким образом, установленное интегральное равенство имеет вид

Интеграл справа табличный. Следовательно,

В общем случае вид подстановки зависит от вида подынтегрального выражения.

Интегрирование по частям

Под интегрированием по частям подразумевается применение к данному интегралу следующей формулы:

или через производные:

и последующее взятие интеграла, стоящего в правой части, при условии, что u = u(x), v = v(x) — непрерывно дифференцируемые функции.

Эта формула целесообразна для поиска интеграла в том случае, когда интеграл проще или подобен предыдущему. При этом за u следует принимать тот множитель (ту функцию), который при дифференцировании упрощается, а за dv — оставшуюся часть подынтегрального выражения, интеграл от которой либо известен, либо может быть легко найден.

Так, например, в интегралах вида где P(x) — многочлен, можно брать u = P(x), dv — оставшийся множитель, а в интегралах вида — брать dv = P(x)dx, u — оставшаяся обратная функция.

В интегралах вида

приходится интегрировать по частям дважды, получая уравнение относительно I и принимая за u одно и то же выражение (см. ниже пример 6).

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Здесь — многочлен второй степени, который принимаем за и и дважды интегрируем по частям. Непрерывность решения обеспечим следующим оформлением:

Интегрированием по частям можно брать интегралы от обратных функций.

Пример:

Найти

Решение:

Так как в табличных интегралах подынтегральные функции не содержат аркфункций, то, естественно, принимаем обозначение u = arccos х. Решение оформим через производные Имеем:

Пример:

Найти

Решение:

Дважды интегрируем по частям:

Приведенные примеры убеждают, что необходимо владеть методом подведения под знак дифференциала и другими приемами интегрирования.

Пример:

Найти

Решение:

Обозначим искомый интеграл буквой I и при помощи формулы интегрирования по частям составим уравнение относительно I. Действуем так:

В числителе одной из дробей прибавили и вычли а в последнем равенстве средний член — это I.

Очевидно, уравнение относительно исходного интеграла, о котором шла речь в начале решения, имеет вид I = А — I, где A содержит два слагаемых. Из него получаем значение исходного интеграла:

Обратим внимание на прием прибавления и вычитания некоторой величины (здесь ) для преобразования подынтегрального выражения

Пример:

Найти где — целое число.

Решение:

Обозначим Считая, что займемся интегрированием по частям другого интеграла

Имеем:

В числителе дроби, фигурирующей в предпоследнем равенстве, прибавили и вычли дробь представили в виде разности двух дробей и использовали обозначения соответствующих интегралов. Решая полученное уравнение относительно , выразим через и известное выражение:

С помощью этой формулы (она называется рекуррентной) определим сначала (поскольку интеграл известен. затем и т. д. Перепишем полученный результат в виде

В частности,

Пример:

Найти

Решение:

Обозначим как и выше, после двукратного применения формулы интегрирования по частям составим уравнение для получения I. Имеем:

Из полученного равенства находим

Обратим внимание на правильные, последовательные обозначения (в обоих случаях хотя можно было ) и на то, что после второго интегрирования получили интеграл, подобный искомому.

Интегрированием по частям можно брать интегралы от выражений, содержащих высокие степени переменной или определенные иррациональности.

Пример:

Найти

Решение:

Освободимся постепенно от первого множителя:

Пример:

Найти

Решение:

Имеем

Примечание:

Некоторые интегралы, которые можно брать по частям, на самом деле берутся проще другими способами Один из таких эффективных способов — это метод неопределенных коэффициентов Продемонстрируем это на двух примерах

Пример:

Найти

Решение:

Покажем, что существуют такие числа А, В и С, что

и найдем эти числа (здесь — произвольная постоянная интеграла) Дифференцируем это равенство

Обе части разделим на

Получаем новое равенство которое напишем так (справа налево)

Это равенство может иметь место, если только коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа от знака равенства равны, т е

—2А = 3 (отсюда ), — 2В + 2А = 5 (отсюда с учетом находим В = — 4 ) и —2С + В = — 2 (отсюда С = — 1) Искомые величины найдены Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Здесь ситуация несколько иная, покажем, что

Таким образом в правой части присутствуют и sin 2а:, и cos 2а: После дифференцирования приходим к равенству (которое напишем с неизвестными коэффициентами в левой части)

Равенство может быть обеспечено, если коэффициенты при подобных членах равны. Это приводит к следующей системе уравнений относительно неизвестных коэффициентов

Решая полученную систему уравнений, находим

Остается заменить полученные значения в предполагаемом равенстве

О т в е т

Предлагаем среди примеров, решенных выше, найти такие, которые можно интегрировать этим способом, и решить их.

Интегрирование рациональных функций

Простейшие рациональные дроби

Напомним, что простейшими называются следующие дроби:
(I типа). (II типа, ), (III типа, если (IV типа, )
[ах2 + Ьх + с)К

Интегралы от первых двух дробей «почти табличные» (ограничимся случаем А = а = 1).

III, IV. Интегралы от дробей III и IV типов громоздкие, поэтому нет смысла приводить их в общем виде Ограничимся двумя примерами с описанием схемы их интегрирован

При помощи домножения числителя и знаменателя на 3 выделяем в числителе производную знаменателя

Дробь разложим на две, причем вторая дробь интегрируется известным образом. Получаем

Выполняем те же действия и получаем:

где

К последнему интегралу следует применить схему решения примера.

Примечание:

Интегрирование дробей III и IV типов существенно упрощается, если допустить разложение трехчлена на комплексные множители. Но последующее приведение комплексных выражений к действительным часто «компенсирует» полученную при этом экономию.

Интегрирование произвольных рациональных функций

Каждая рациональная функция единственным образом
представляется в виде суммы многочлена и простейших рациональныx дробей. Тем самым интеграл сводится к линейной комбинации интегралов от соответствующих слагаемых.

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь (n = 3, m = 4), которую представим в виде суммы трех простейших дробей:

В числителе правой части раскроем скобки, приведем подобные члены. Из равенства числителей исходной и искомой дробей, а также из равенства их коэффициентов при одинаковых степенях получаем линейную систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А, В, С и D:

Решая эту систему (например, методом Жордана-Гаусса), получаем
A = 3, B = -5, С = 3, D = — 1.

Возвращаемся к интегралу. Почленное интегрирование приводит к ответу:

Пример:

Найти

Решение:

Под интегралом имеем правильную рациональную функцию:

Из системы

получаем: A = 1, B = 0, С = 3 и

Пример:

Найти интеграл от неправильной рациональной функции

Решение:

Деля числитель на знаменатель (рекомендуется делать это «столбиком»), выделяем целую часть дроби:

Правильную дробь разложим на простейшие с учетом равенств

Имеем

Из соответствующей системы (которую предлагаем составить и решить самостоятельно) получаем вращаемся к интегралам, но предварительно покажем, как справиться с одной из полученных дробей

Аналогично следует интегрировать вторую дробь. Получится

Окончательно получаем ответ.

Примечание:

При необходимости арктангенсы можно объединить.

Пример:

Найти

Решение:

Знаменатель разложим на множители:

Подынтегральная дробь равна сумме четырех дробей типа I.

Коэффициенты A, B, C, D находим по следующему принципу подстановки

1) в числители правой и левой частей полученного равенства подставляем отсюда

2) в те же числители подставляем отсюда С = — 1,

3) подставляем теперь находим

Таких удобных подстановок больше нет, а коэффициент А остался неопределенным Его найдем старым способом, например, приравнивая коэффициенты при старшей степени в числителях правой и левой частей равенства 0 = А + С + D. Отсюда

Следовательно,

Интегрирование тригонометрических функций

1°. К интегралам вида следует применить формулы преобразования произведения в сумму:

2°. К интегралам вида следует применить формулы понижения степени:

3°. Интегралы вида берутся непосредственно подведением под знак дифференциала:

4° В интегралах вида можно использовать:

1) подстановку sin x = u (или cos x = u), если n (или m) — положительное нечетное число;

2) формулы понижения степени (из п. 2°) и если m и n — четные числа.

5°. В интегралах вида где R — обозначение рациональной функции, целесообразна универсальная подстановка При этом используются также формулы

В результате этого подынтегральное выражение становится рациональной функцией переменной t.

Степень подынтегральной функции может быть достаточно высокой. Эту степень можно понизить в следующих случаях:

1) если R (—sinx,cosx) = — R (sinx,cosx), т.е. R — нечетная функция относительно sinx, то целесообразнее подстановка cosx = t,
х = аrccos t, если же
R (sinx, — cosx) = — R (sinx, cosx) , то следует брать sinx = t;

2) если R( — sinx, cosx) = R(sinx, — cosx) = R (sinx, cosx), т.е. R — четная функция относительно обоих аргументов, то следует брать tgx = t,
х = arctg t,

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Имеем-

Пример:

Найти

Решение:
Имеем:

Следовательно,

Пример:
Найти

Решение:

Имеем дело со случаем 1); m = 3 — нечетное число. Положим sinx = u и подводим cosx под знак дифференциала, так как cos x dx = d (sinx). Имеем:

Пример:

Найти

Решение:

Имеем дело со случаем 2). Дважды понижаем степень подынтегрального выражения, затем преобразуем произведение в сумму и приводим подобные члены:

Примечание:

Можно было действовать иначе, начиная со второго знака равенства (коэффициент опускаем):

Пример:

Найти

Решение:

Имеем общий случай. Воспользуемся универсальной подстановкой при этом

Приходим к рациональной функции:

Пример:

Найти

Решение:

Имеем и R (— sin2x,cos2x) = — R (sin2x, cos2x). Имеет место случай 1). Поэтому положим cos2x = t. Эта подстановка равносильна подведению cos2x под знак дифференциала. Поэтому обойдемся без дополнительных формул.

Примечание:

Данный интеграл можно представить также в виде

где u=cos 2х.

Пример:

Найти

Решение:

В данном случае проще перейти к тангенсу. Все преобразования покажем в ходе решения. Имеем:

В некоторых примерах можно экономить за счет тригонометрических преобразовании
Пример:

Найти

Решение:

Казалось бы, теоретически приемлема универсальная

подстановка Попробуем сэкономить на преобразованиях.

Интегрирование гиперболических функций

1° Гиперболическими функциями называются функции, определяемые равенствами-

— гиперболический синус,

-гиперболический косинус,

— гиперболический тангенс,

— гиперболический котангенс

Табличные интегралы, содержащие гиперболические функции, приведены в правом столбце общей таблицы (п 1.3).

2°. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции, может быть выполнено по аналогии с тригонометрическими выражениями ввиду того, что имеют место формулы:

3° Интегралы, содержащие гиперболические функции, можно рассматривать также как интегралы от рациональных функций переменной

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Нетрудно заметить возможность подведения chx под знак дифференциала и применения табличной формулы 13:

Пример:

Найти

Решение:

Расcмотрим данный интеграл как интеграл от рациональной функции переменной

Пример:

Найти

Решение:

Имеем (см. формулу 4) из п.2°)

Пример:

Найти

Решение:

Воспользуемся формулой 1) из п.2° и следствием из нее получаемым почленным делением 1) на

Имеем:

Интегрирование иррациональных функций

Подынтегральные иррациональные выражения (содержащие радикалы) приводятся к рациональным различными подстановками, зависящими от вида иррационального выражения.

Квадратичные иррациональности

1°. Частные случаи интегралов требуют выделения полного квадрата под знаком квадратного корня. Первый интеграл сводится к табличным формулам 11 и 13, второй можно брать по частям, а третий сводится к первому после выделения в числителе дифференциала подкоренного выражения.

2° Более общий интеграл вида где — многочлен степени n, можно брать при помощи равенства

— многочлен степени (n-1) с неизвестными коэффициентами, — также неизвестное число.

Все неизвестные коэффициенты определяются из тождества, получаемого после дифференцирования последнего неравенства.

3° Частные интегралы и можно привести к тригонометрическим интегралам при помощи тригонометрических подстановок х = asin t или , х = a cos t в первом интеграле, или во втором и х = a tg t или х = a ctg t в третьем.

Заметим, что не всегда эти подстановки являются наилучшими

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Сначала в числителе выделим дифференциал ( — 2x + 1) dx трехчлена затем под знаком корня выделим полный квадрат

найти
Решение:

Пусть

После дифференцирования этого равенства получаем

Приведя к общему знаменателю и опустив этот знаменатель, приходим к равенству двух многочленов

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, составляющих правую и левую части этого равенства Приходим к линейной системе

Сначала отдельно найдем

Окончательно

Пример:

Найти

Решение:

Положим x = 3 cos x, dx = -3 sin t dt, Получаем

Примечание:

Подстановки Эйлера

Тремя подстановками можно рационализировать интеграл вида

где R — обозначение рациональной функции

Первая подстановка применяется при а > 0 и имеет вид

Вторая подстановка применяется при с > 0 и имеет вид

Третья подстановка применяется при условии а с < 0 и имеет вид

где — какой-либо корень уравнения

Подстановки Эйлера приводят к громоздким выражениям, поэтому их следует использовать в тех случаях, когда другие подстановки не эффективны.

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Положим

Тогда

Данный интеграл принимает вид

Пример:

Найти

Решение:

Положим Тогда

Данный интеграл принимает вид

Пример:

Найти

Решение:

Имеем

Положим

При этом

Данный интеграл принимает вид

Подстановки Чебышева

Интегралы вида где m, n, p — рациональные числа, называются интегралами от дифференциального бинома. Такие интегралы берутся только в следующих случаях:

1) если р — целое число, то следует положить где k — наименьшее общее кратное знаменателей m и гс;

2) если целое число, то следует положить

где s — знаменатель дроби р,

3) если целое число, то следует брать

где S — знаменатель дроби р.

Все эти подстановки принадлежат П. Л Чебышеву и носят его имя.

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

Представим интеграл в стандартном виде

Поскольку и

— целое число, то выполним третью подстановку Чебышева

Отсюда

Тогда после подстановок в искомый интеграл получаем последовательно:

Пример:

Найти

Решение:

Имеем

Сделаем первую подстаоновку Чебышева или

отсюда

Подставляя в искомый интеграл, получаем:

Пример:

Найти

Решение:

Имеем и — целое число, поэтому делаем вторую подстановку Чебышева

Следовательно,

После подстановок получаем:

Интегрирование различных комбинаций дробно-рациональных функций

Интегралы вида

сводятся к интегралам от рациональной функции подстановкой

где n — наименьшее общее кратное (Н. О. К.) дробей

Примеры с решениями

Пример:

Найти

Решение:

В качестве дроби здесь имеем 2х — 1 (а = 2, b=1, c=0, d = 0). Имеем также а тогда n = 6, т. к. Н. О. К. (3,2) = 6. Следовательно, положим

Отсюда

Получаем последовательно:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Теоретическая (да и из опыта) рекомендация однозначна:

Тогда

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Согласно рекомендациям, положим илиТогда

Переходим к новому интегралу:

Примечание:

Опыт показал, что операция интегрирования существенно сложнее операции дифференцирования Интегрирование часто возможно разными путями, и, чтобы найти наилучший, кратчайший, нужны знания, тренированность и сообразительность Все это — результат индивидуальной работы.

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную, а значит, теоретически интегрируема Однако не каждый интеграл «берется». Под этим словом понимается возможность выражения интеграла посредством конечного числа действий над основными элементарными функциями. В математике и приложениях встречаются так называемые «неберущиеся» интегралы. Для них используется более сложный математический аппарат, например, теория рядов К таким«неберущимся» интегралам относятся, в частности

— интеграл Пуассона (в теории вероятностей),

— интегральный логарифм (в теории чисел),

— интегралы Френеля (в физике),

— интегральные синус и косинус,

— интегральная показательная функция.

Решение неопределенных интегралов

Понятие первообразной

Основной задачей дифференциального исчисления являлось нахождение по заданной функции ее производной В интегральном исчислении основной задачей является обратная задача, которая заключается в нахождении функции по ее известной производной Перейдем к рассмотрению этой задачи.

Определение:

Функция называется первообразной для функции на интервале (a, b), конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого интервала и ее производная или, что то же самое, для всех

Пример:

Функция является первообразной для функции на интервале (1;-1) так как

Пример:

Функция

является первообразной для функции на интервале В самом деле

Если является первообразной для функции на интервале (а, b), то и функция где С — произвольная постоянная, будет первообразной для на интервале (а, b). В самом деле,

для всех Таким образом, если функция имеет на (а, b) первообразную, то она имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных. Между двумя различными первообразными для одной и той же функции существует тесная связь, которая устанавливается следующей теоремой.

Теорема:

Если — две любые первообразные для функции на интервале (а, b), то их разность равна некоторой постоянной

4 Пусть — первообразные для функции т. е.

Рассмотрим функцию Для нее получаем

для всех Возьмем в интервале (а, b) любые две точки и применим теорему Латранжа (о конечных приращениях) к функции на отрезке Тогда получим

Так как значит, т.е. функций постоянна. Таким образом, где для всех

Следствие. Если является одной из первообразных для функции на интервале (a, b), то любая другая первообразная для функции имеет вид

где С — некоторая постоянная. ‘

Неопределенный интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для функции определенных на интервале (a, b), называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом Здесь знак называется знаком интеграла, выражение подынтегральным выражением, Сама функция — подынтегральной функцией, а х называется переменной интегрирования.

Если является какой-либо первообразной для функции на интервале (а, b), то в силу следствия будем иметь

где С -произвольная постоянная. При этом любое равенство,обеих частях которого стоят неопределенные интегралы, является равенством между множествами. Такое равенство означает, что эти множества содержат одни и те же элементы — первообразные.

Иногда будем понимать символ как любой элемент из этой совокупности, т. е. как какую-то из первообразных.

В дальнейшем будет доказана теорема о существовании неопределенного интеграла, а сейчас приведем ее формулировку.

Теорема:

Функция непрерывная на интервале (а,b), имеет на этом интервале первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл.

Операцию нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называют интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла

Будем считать, что все рассматриваемые функции определены и Непрерывны на одном и том же интервале (а, b), следовательно, на этом интервале существуют неопределенные интегралы от этих функций.

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

В самом деле, так как то

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

что следует из свойства 1.

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

4 В самом деле, если то

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

В силу свойства 2 имеем

Таким образом, выражает то же самое множество функций, что и т. е. множество первообразных для функции

5.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций

В силу свойства 2

С другой стороны

Таким образом,

являются первообразными для одних и тех же функций Следовательно, они отличаются друг от друга на некоторую постоянную С.

Следствие:

где

Так как выражение вида

где все — некоторые постоянные, называется линейной комбинацией функций то последнее равенство означает, что

неопределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа функций равен линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций.

Свойства 4 и 5 определяют так называемое линейное свойство неопределенного интеграла.

Табличные интегралы

Каждая формула для производных конкретных функций, т.е. формула вида может быть обращена, т.е. записана в виде Таким путем получается следующая таблица основных интегралов, которые являются обращением основных формул дифференциального исчисления:

В частности при получим

Формулы 8 и 10 являются частными случаями более общих формул

Справедливость всех приведенных выше формул устанавливается с помощью дифференцирования, которое показывает, что производная правой части этих равенств равна подынтегральной функции.

Следует отметить, что если операция дифференцирования элементарных функций всегда приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования элементарных функций может привести к неэлементарным функциям, т. е. к таким функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций. Например, доказано, что

следующие интегралы не выражаются через элементарные функции:

Эти интегралы хотя и существуют в силу непрерывности подынтегральных функций в их областях определения, но они не являются элементарными функциями. Некоторые из этих интегралов играют большую роль как в самом математическом анализе, так и в его разнообразных приложениях.

В некоторых случаях с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции данный интеграл можно свести к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Пример:

Найти неопределенный интеграл

Имеем

Пример:

Найти интеграл

Имеем

Пример 3. Найти интеграл

Имеем

Интегрирование заменой переменной

Одним из основных приемов интегрирования функций является замена переменной.

Одним из основных приемов интегрирования функций является замена переменной. Пусть требуется найти интеграл от непрерывной функции В подынтегральном, выражении положим rде функция имеет непрерывную производную и обратную функцию справедливо равенство

в правой части которого после интегрирования вместо t надо подставить его выражение через x т.е. функцию

Для доказательства равенства (1) находим производные интегралов, стоящих в его левой и правой частях. Производная по х от левого интеграла равна

Производную по х от пpaвогo интервала находим по правилу дифференцирования сложной функции с промежуточным аргументом t. Учитывая, что производная обратной функции равна

получим

Так как производные указанных выше интегралов равны, то эти интегралы определяют одно и то же множество функций, а именно — множество первообразных функций

Равенство (1) выражает собой часто применяемый на практике метод интегрирования, называемый интегрированием заменой переменной или подстановкой. Функцию на практике выбирают так, чтобы интеграл в правой части равенства (1) был более простым, чем первоначальный.

Пример:

Найти интеграл

Положим Тогда и мы будем иметь:

Выразим переменную t через старую переменную х. Для этого разрешим равенство относительно Так как по определению то

или

откуда

Учитывая, что берем корень со знаком « + », так что

откуда находим

Окончательно получаем

Пример:

Найти интеграл

Сделаем замену переменной, положив откуда Тогда

Возвращаясь к переменной х по формуле получим

Замечание:

Если в интеграле подынтегральное выражение можно представить в виде

т. е.

причем функция легко интегрируется, т. е. интеграл

находится легко, то делая в данном интеграле замену будем иметь

Пример:

Найти интеграл

Положим Тогда откуда

Поэтому

Пример:

Найти интеграл

Сделаем замену переменной, положив Тогда Поэтому

Интегрирование пo частям

Пусть функции имеют непрерывные производные Тогда, по правилу дифференцирования произведения, будем иметь

Это равенство показывает, что произведение данных функций является первообразной для суммы следовательно,

Отсюда, используя линейное свойство интеграла, находим

Так как по определению дифференциала

то полученное равенство можно записать короче

или

считая, что постоянная С включена в один из неопределенных интегралов.

Нахождение неопределенного интеграла с помощью этой формулы называется интегрированием по частям. Формула (1) сводит нахождение интеграла к нахождению интеграла который в некоторых случаях можно легко найти. При ее применении к нахождению интеграла приходится разбивать подынтегральное выражение на два множителя из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Выбирать и следует так, чтобы интегрирование дифференциала не представляло трудностей и чтобы замена и на в совокупности приводили к упрощению подынтегрального выражения.

Пример:

Найти интеграл

Здесь

Положим

Тогда

Применю формулу (1), будем иметь

Замечание:

Если взять

или же

и применить формулу (1), то в обоях случаях вес правой части получим более сложные интегралы, чем первоначальный .

Замечание:

При нахождении функции v по ее дифференциалу можно брать любое значение постоянной интегрирования С, так как она в конечный результат не входит (для проверки этого достаточно в формулу (I) подставить вместо v). Поэтому для удобства будем брать

Пример:

Найти интеграл

Так как данном интеграле то здесь имеется единственный выбор, а именно Тогда по формуле (1) получаем

Пример:

Найти интеграл

Применим метод интегрирования пo частям , положив

Отсюда находим

Применяя формулу (1), получим

Добавим и вычтем в числителе подынтегральной функции интеграла в правой части и, произведя деление на будем иметь

Для нахождения денного интеграле мы получили алгебраическое уравнение с одним неизвестным, которым является этот интеграл,

Из этого уравнения находим

Задача:

Показать, что справедливы следующие формулы:

Замечание:

К нахождению интеграла в правой части формулы (1) можно применить снова интегрирование по частям.

Пример:

Найти интеграл

Положим тогда

К интегралу в правой части снова применяем интегрирование по частям, полагая откуда

и, следовательно,

Пример:

Найти интеграл

Интегрируя по частям, положим например,

Тогда

Поэтому

Для нахождения полученного в правой части интеграла снова применим интегрирование по частям:

Подставляя правую часть этого равенства в результат первого интегрирования, будем иметь

Таким образом, посредством двукратного интегрирования по частям мы получим для нахождения данного интеграла алгебраическое уравнение первой степени с одним неизвестным, из которого находим

откуда

Аналогично находим интеграл

С помощью интефирования по частям можно находить, например, следующие интегралы:

где — многочлен n-ой степени.

Положим

Тогда

где — многочлен -ой степени. Поэтому

где — многочлен степени.

Пример:

Найти интеграл

Полагаем

тогда

Формула (1) дает:

где a — действительное число.

Эти интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций. Если, например, в первом интеграле взять

то

и мы получаем

Аналогично поступаем и со вторым интегралом.

Пример:

Найти интеграл

Пусть

тогда

Поэтому

где a — действительное число.

Для нахождения этих интегралов берем

тогда

и формула (1) дает

Полученный в правой части интеграл можно находить различными способами, которые мы приведем в примерах (подробнее этот интеграл будет рассмотрен ниже (см. §8)).

Пример:

Найти интеграл

Берем

откуда

Применяя формулу (1), будем иметь

В полученном в правой части равенства сделаем подстановку Тогда

Окончательно получаем

Используя многократное интегрирование по частям можно найти следующие интегралы:

где — действительное число.

Для нахождения этого интеграла в формуле (1) интегрирования по частям полагаем

откуда

Поэтому

где — многочлен степени. К интегралу в правой части снова применяем формулу (1) и т. д. В результате n-кратного интегрирования по частям придем к табличному интегралу

Пример:

Найти интеграл

Полагая

находим

Тогда

Интеграл в правой части снова берем по частям, принимая откуда

Следовательно

Окончательно получаем

Замечание:

Интегралы этого вида можно находить с помощью метода неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем: ищем интеграл в виде произведения многочлена n-ой степени

с неопределенными коэффициентами на функцию т. е.

Для нахождения неизвестных коэффициентов дифференцируем обе части этого равенства:

Затем, сокращая на будем иметь

В этом равенстве слева и справа стоят многочлены n-ой степени, приравнивая коэффициенты которых при одинаковых степенях х, получим систему из n+1 линейных уравнений, содержащих искомые коэффициенты Эта линейная система имеет единственное решение, так как се определитель отличен от нуля.

Пример:

Найти интеграл

Положим

где — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя это равенство, найдем

Обе части последнего равенства сокращаем на

В правой части равенства собираем все члены с одинаковыми степенями х:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Решая эту систему, находим: Исходный интеграл будет равен

где — действительная постоянная,

Для первого из этих интегралов в формуле интегрирования по частям полагаем

откуда

Следовательно,

Применяя n раз интегрирование по частям, придем к одному из интегралов

Пример:

Найти интеграл

Интегрируем два раза по частям, при этом будем пользоваться более короткой записью. Получаем

Кроме указанных выше интегралов существуют идругие интегралы, которые находятся посредством метода интегрирования по частям.

Пример:

Найти интеграл

Полагая

получим

Поэтому

В интеграле правой части равенства, применяя подстановку найдем

Окончательно имеем

Интегрирование рациональных функций

В этом параграфе будет рассмотрен метод интегрирования рациональных функций.

Краткие сведения о рациональных функциях

Простейшей рациональной функцией является многочлен n-ой степени, т. е. функция вида

где — действительные постоянные, причем Многочлен у которого коэффициент называется приведенным.

Действительное число b называется корнем многочлена если

Известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами единственным образом разлагается на действительные множители вида

где р, q — действительные коэффициенты, причем квадратичные множители не имеют действительных корней и, следовательно, не разложимы на действительные линейные множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются) и полагая, для простоты, многочлен приведенным, можно записать его разложение на множители в виде

где — натуральные числа.

Так как степень многочлена равна n, то сумма всех показателей сложенная с удвоенной суммой всех показателей равна n:

Корень а многочлена называется простым или однократным, если и кратным, если число а называется кратностью корня а. То же самое относится и к другим корням многочлена.

Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов

причем предполагается, что многочлены не имеют общих множителей. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. Если же то рациональная дробь называется неправильной и в этом случае, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде

где — некоторые многочлены, a является правильной рациональной дробью.

Пример:

Рациональная дробь является неправильной дробью. Разделив на «уголком», будем иметь

Следовательно,

Здесь причем есть правильная дробь.

Определение:

Простейшими (или элементарными) дробями называются рациональные дроби следующих четырех типов:

где — действительные числа, к — натуральное число, большее или равное 2, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так что 2 2 его дискриминант или

В алгебре доказывается следующая теорема.

Теорема:

Правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид

разлагается единственным способом на сумму простейших дробей по правилу

В этом разложении — некоторые действительные постоянные, часть которых может быть равна нулю. Дял нахождения этих постоянных правую .часть равенства (1) приводят к общему знаменателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях левой и правой частей. Это дает систему линейных уравнений, из которой находятся искомые постоянные. Этот метод нахождения неизвестных постоянных называется методом неопределенных коэффициентов.

Иногда бывает удобнее применить другой способ нахождения неизвестных постоянных, который состоит в том, что после приравнивания числителей получается тождество относительно х, в котором аргументу х придают некоторые значения, например, значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения постоянных. Особенно он удобен, если знаменатель имеет только действительные простые корни.

Пример:

Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

Данная дробь правильная. Разлагаем знаменатель на множители:

Так как корни знаменателя действительные и различные, то на основании формулы (1) разложение дроби на простейшие будет иметь вид

Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю и приравнивая числители а «го левой и правой частях, получим тождество

или

Неизвестные коэффициенты А, В, С найдем двумя способами,

Первый способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, т. а. при (свободный член), а левой и правой частях тождестве, получим линейную систему уравнений для нахождения неизвестных х коэффициентов

Это система имеет единственное решение

Второй способ. Так как корни знаменателя равны то полагая а тождестве (*):

и искомое разложение имеет вид

Пример:

Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

Разлагаем многочлен, стоящий а знаменателе, на множители:

Знаменатель имеет два различных действительных корня: кратности кратности 3. Поэтому разложение данной дроби на простейшие имеет вид

Приводя правую часть к общему знаменателю, найдем

или

Первый способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего тождества, получим линейную систему уравнений

Эта система имеет единстве нное решение

и искомым разложением будет

Второй способ. В полученном тождестве полагая х = 0, получаем полагая х = -1, получим При подстановке найденных значений коэффициенте а тождество оно примет вид

или

т.е.

Сокращая на будем иметь

Полагая х = 0, а затем х = -1, найдем, что и, значит, Таким образом, опять получаем

Пример:

Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

Знаменатель дроби не имеет действительных корней, так как функция не обращается а нуль ни при каких действительных значениях х. Поэтому разложение на простейшие дроби должно иметь вид

Отсюда получаем

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства, будем иметь

откуда находим

и, следовательно,

Следует отметить, что в некоторых случаях разложения на простейшие дроби можно получить быстрее и проще, действуя каким-либо другим путем, не пользуясь методом неопределенных коэффициентов.

Например, для получения разложения дроби в примере 3, можно прибавить и вычесть в числителе и произвести деление, так как указано ниже:

Интегрирование простейших дробей

Как было сказано выше, любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби (§7), причем это представление единственно. Интегрирование многочлена не представляет трудностей, поэтому рассмотрим вопрос об интегрировании правильной рациональной дроби.

Так как любая правильная рациональная дробь представима в виде суммы простейших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей.

Рассмотрим теперь вопрос об их интегрировании.

III. Для нахождения интеграла от простейшей дроби третьего типа выделим у квадратного трехчлена полный квадрат двучлена:

Так как второе слагаемое то положим его равным

а затем сделаем подстановку Тогда, учитывая линейные свойства интеграла, найдем:

Пример 5. Найти интеграл

Подынтегральная функция является простейшей дробью третьего типа, так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен: а в числителе стоит многочлен первой степени. Поэтому поступаем следующим образом:

1.выделяем полный квадрат в знаменателе

2. сделаем подстановку

(здесь

3. находим интеграл

IV. Для нахождения интеграла от простейшей дроби четвертого типа положим, как и выше,

Тогда получим

Интеграл в правой части обозначим через и преобразуем его следующим образом:

Интеграл в правой части интегрируем по частям, полагая

откуда

и, следовательно,

или

Мы получили так называемую рекуррентную формулу, которая позволяет найти интеграл для любого Действительно, интеграл является табличным:

Полагая в рекуррентной формуле найдем

Зная и полагая k = 3, легко найдем и так далее.

В окончательном результате, подставляя всюду вместо t и a их выражения через х и коэффициенты р и q, получим для первоначального интеграла выражение его через х и заданные числа М, N, p,q.

Пример:

Найти интеграл

Подынтегральная функция есть простейшая дробь четвертого типа, так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, т. е. а значит, знаменатель действительных корней не имеет, и числитель есть многочлен 1-ой степени.

1.Выделяем в знаменателе полный квадрат

2.Делаем подстановку:

Интеграл примет вид:

Полагая в рекуррентной формуле будем иметь

и, следовательно, искомый интеграл равен

Возвращаясь к переменной х, получим окончательно

Общий случай

Из результатов пп. 1 и 2 этого параграфа непосредственно следует важная теорема.

Теорема:

Неопределенный интеграл от любой рациональной функции всегда существует (на интервалах, в которых знаменатель дроби выражается через конечное число элементарных функций, а именно, он является алгебраической суммой, членами которой могут быть лишь многочлены, рациональные дроби, натуральные логарифмы и арктангенсы.

Итак, для нахождения неопределенного интегралаот дробно-рациональной функции следует поступать следующим образом:

1)если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель выделяется целая часть, т. е. данная функция представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;

2) затем знаменатель полученной правильной дроби разлагается на произведение линейных и квадратичных множителей;

3) эта правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей;

4)используя линейность интеграла и формулы п. 2, находятся интегралы от каждого слагаемого в отдельности.

Пример:

Найти интеграл

Так как знаменатель есть многочлен третьей степени, то подынтегральная функция является неправильной дробью. Выделяем в ней целую часть:

Следовательно, будем иметь

где Знаменатель правильной дроби

имеет три различных действительных корня:

и поэтому ее разложение на простейшие дроби имеет вид

Отсюда находим

Придавая аргументу х значения, равные корням знаменателя, найдем из этого тождества, что:

Следовательно

Искомый интеграл будет равен

Пример:

Найти интеграл

Подынтегральная функция является правильной дробью, знаменатель которой имеет два различных действительных корня: кратности 1 и х = 1 кратности 3. Поэтому разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид

Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю и сокращая обе части равенства на этот знаменатель, получим

или

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого тождества:

Отсюда находим Подставляя найденные значения коэффициентов в разложение, будем иметь

Интегрируя, находим:

Пример:

Найти интеграл

Знаменатель дроби не имеет действительных корней. Поэтому разложение на простейшие дроби подынтегральной функции имеет вид

Отсюда

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого тождества, будем иметь

откуда находим

и, следовательно,

Замечание:

В приведенном примере подынтегральную функцию можно представить в виде суммы простейших дробей более простым способом, а именно, в числителе дроби выделяем бином, стоящий в знаменателе, а затем производим почленное деление:

Интегрирование иррациональных функций

Функция вида

где являются многочленами степеней m и n соответственно от переменных называется рациональной функцией от Например, многочлен второй степени от двух переменных и имеет вид

где — некоторые действительные постоянные, причем

Пример:

Функция

является рациональной функцией от переменных х и у, так как она представляет собой отношение многочлена третьей степени и многочлена пятой степени а функция таковой не являете.

В том случае, когда переменные в свою очередь, являются функциями переменной х:

то функция называется рациональной функцией от функций

Пример:

Функция

есть рациональная функция от х и радикала

Пример:

Функция вида

не является рациональной функцией от х и радикала но она является рациональной функцией от функций

Как показывают примеры, интегралы от иррациональных функций не всегда выражаются через элементарные функции. Например, часто встречающиеся в приложениях интегралы

не выражаются через элементарные функции; эти интегралы называются эллиптическими интегралами первого и второго родов соответственно.

Рассмотрим те случаи, когда интегрирование иррациональных функций можно свести с помощью некоторых подстановок к интегрированию раци ональных функций.

1.Пусть требуется найти интеграл

где — рациональная функция своих аргументов натуральное число; а, b, с, d — действительные постоянные, удовлетворяющие условию (при коэффициенты a и b пропорциональны коэффициентам с и d, и по-этому отношение не зависит от х; значит, в этом случае подынтегральная функция будет являться рациональной функцией переменной х, интегрирование которой было рассмотрено ранее).

Сделаем в данном интеграле замену переменной, положив

Отсюда выражаем переменную х через новую переменную t. Имеем

— рациональная функция от t. Далее находим

или, после упрощения,

Поэтому

где — рациональная функция от t, так как рациональная функция от рациональной функции, а также произведение рациональных функций, представляют собой рациональные функции.

Интегрировать рациональные функции мы умеем. Пусть

Тогда искомый интеграл будет равен

Пример:

Найти интеграл

Подынтегральная функция есть рациональная функция от Поэтому полагаем Тогда

Таким образом, получим

Пример:

Найти интеграл

Общий знаменатель дробных показателей степеней х равен 12, поэтом у подынтегральную функцию можно представить в виде

откуда видно, что она является рациональной функцией от Учитывая это, положим Следовательно,

2.Рассмотрим интегралы вида

где подынтегральная функция такова, что заменив в ней радикал через у, получим функцию — рациональную относительно обоих аргументов х и у. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции другой переменной подстановками Эйлера.

Первая подстановка Эйлера

Пусть коэффициент а > 0. Положим

Тогда

или

Отсюда находим х как рациональную функцию от t :

и,значит,

Таким образом, указанная подстановка выражает рационально через t. Поэтому будем иметь:

где

является рациональной функцией от t.

Замечание:

Первую подстановку Эйлера можно брать и в виде

Пример:

Найти интеграл

Так как то применяя подстановку Эйлера найдем

Поэтому будем иметь

Задача. Применяя первую подстановку Эйлера, показать, что

Вторая подстановка Эйлера

Пусть трехчлен имеет различные действительные корни (коэффициента может иметь любой знак). В этом случае полагаем

Так как

то получаем

откуда находим

Так как выражаются рационально через t, то исходный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, т.е.

где

— рациональная функция от t.

Пример:

Найти интеграл

Функция имеет различные действительные корни Поэтому применяем вторую подстановку Эйлера .

Отсюда находим

Подставляя найденные выражения для и dx в данный интеграл получим

Третья подстановка Эйлера

Пусть коэффициент с > 0. Делаем замену переменкой, положив

Заметим, что для приведения интеграла ‘

к интегралу от рациональной функции достаточно первой и второй подстановок Эйлера. В самом деле, если дискриминант то корни квадратного трехчлена действительны, и в этом случае применима вторая подстановка Эйлера. Если же то знак трехчлена совпадает со знаком коэффициента о, и так как трехчлен должен быть положительным, то a> 0. В этом случае применима первая подстановка Эйлера.

Для нахождения интегралов указанного выше вида невсегда ц&лесообразно применять подстановки Эйлера, так как для них можно найти и другие способы интегрирования, приводящие к цели быстрее. Рассмотрим некоторые из таких интегралов.

1.Для нахождения интегралов вида

выделяют полный квадрат из квадратного трехчлена:

где

После этого делают подстановку

и получают

где коэффициенты а и P имеют разные знаки или они оба положительны. При a > 0 и Р > 0, а также при a > 0 и Р < 0 интеграл сведется к логарифму, если же а < 0 и Р > 0 — к арксинусу.

Пример:

Найти интеграл

Так как то, полагая получаем

Пример:

Найти

Интеграл вида Полагая будем иметь

2. Интеграл вида

приводится кинтегралу из п. 1 следующим образом. Учитывая, что производная выделяем ее в числителе:

Пример:

Найти интеграл

Выделяем в числителе производную подкоренного выражения. Так как то будем иметь, учитывая результат примера 9,

3.Интегралы вида

где — многочлен n-ой степени, можно находить методом неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем. Допустим, что имеет место равенство

где —многочлен (n — 1) -ой степени с неопределенными коэффициентами:

Для нахождения неизвестных коэффициентов продифференцируем обе части (1):

Затем правую часть равенства (2) приводим к общему знаменателю, равному знаменателю левой части, т. е. сокращая на который обе части (2), получим тождество

в обеих частях которого стоят многочлены степени n. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях (3), получим n + 1 уравнений, из которых находим искомые коэффициенты Подставляя их значения в правую часть (1) и найдя интеграл

получим ответ для данного интеграла.

Пример:

Найти интеграл

Положим

Дифференцируя обе части равенства, будем иметь

Приведя правую часть к общему знаменателю и сокращая на него обе части, получим тождество

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе уравнений

из которой находим Затем находим интеграл, стоящий в правой части равенства (4):

Следовательно, искомый интеграл будет равен

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл вида

в котором подынтегральная функция является рациональной функцией как от sin х, так и от cos х одновременно. Например, функция

является рациональной функцией одновременно и от sin х и от cos г; функция

является рациональной относительно sin х, но не является рациональной относительно cos х (функции такого типа мы рассматривать не будем).

Интеграл (1) с помощью замены переменной сводится к интегралу от рациональной функции. В самом деле,

поэтому

где — рациональная функция от t.

Пример:

Найти интеграл

Применяя подстановку найдем

Указанная подстановка иногда приводит на практике к громоздким выкладкам, поэтому укажем несколько частных случаев, в которых интеграл может быть найден с помощью более простых подстановок.

A.Пусть интеграл имеет вид

Тогда подстановка приводит интеграл к виду

Пример:

Б. Интеграл имеет вид

Полагая приводим интеграл к виду

Пример:

B. Если подынтегральная функция содержит sin x и cos x только в четных степенях, то удобно применить подстановку Тогда

Функция в этом случае выражаются рационально через tg х, а следовательно, и через t. В самом деле,

В результате этой подстановки интеграл приведется к виду

где — рациональная функция от t.

Пример:

Найти интеграл

Положим Тогда

Поэтому

Г. Рассмотрим интеграл вида

где — действительные числа, и укажем два случая, когда этот интеграл выражается через элементарные функции.

а) Одно из чисел а или B является положительным нечетным числом. Пусть, например, — целое, а второй показатель степени, т. е. а, может быть любым действительным числом. Тогда, используя тождество интеграл можно представить в виде

Положив

будем иметь

Возводя в степень k по формуле бинома Ньютона и умножая все члены полученного многочлена на получим k+ 1 степенных функций, интегрирование которых очевидно.

Пример:

Найти интеграл

Имеем

Пример:

Найти интеграл

Имеем:

Пример:

Найти интеграл

Имеем

б) Числа являются положительными четными числами, т. е. где m и n — натуральные числа. В этом случае иногда удобно преобразовывать подынтегральную функцию, используя известные формулы тригонометрии

В результате применения этих формул при интеграл приведется к виду

Возводя биномы соответственно в степени m и n и раскрывая скобки, получим сумму, члены которой содержат нечетные и четные степени cos2х. Члены с нечетными степенями cos2х интегрируются как указано в п. а). К членам с четными степенями cos 2х снова применяем формулы (1), в результате чего получим степени cos 4х. Продолжая так дальше, дойдем до интегралов вида (где k > 0 — четное число), которые легко находятся.

В случае, когда используется также формула

применение которой дает

Последний интеграл находится так, как указано выше.

Пример:

Пример:

Интегралы вида

легко находятся с помощью тригонометрических формул

Найдем, например, первый интеграл. Имеем

Остальные два интеграла находятся аналогично.

Пример:

Неопределенный интеграл с подробным объяснением и теорией

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F{x), зная ее производную F'(x) = f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а; b), если для любого выполняется равенство

Например, первообразной функции является функция так как

Очевидно, что первообразными будут также любые функции

где С — постоянная, поскольку

Теорема:

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (а; b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой где С — постоянное число.

Функция F(x) + С является первообразной f(х). Действительно,

Пусть Ф(х) — некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции f(х), т. е. Ф'(х) = f(х). Тогда для любого имеем

А это означает (см. следствие 25.1), что

где С — постоянное число. Следовательно,

Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

Таким образом, по определению

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, — знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у= F(x) + С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (а; b) функция имеет на этом промежутке первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Действительно,

и

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство

верно, так как

2.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Действительно,

3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Действительно,

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

Пусть Тогда

где

5.(Инвариантность формулы интегрирования). Если

— произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Пусть х — независимая переменная, f(х) — непрерывная функция и F(x) — ее первообразная. Тогда Положим теперь — непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию В силу инвариантности формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем

Отсюда

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Так, из формулы путем замены х на и получаем В частности,

Пример:

Найти интеграл

Решение:

где

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.

Например, так как

то

Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования и может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).

В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.

Докажем, например, справедливость формулы 2. Функцияопределена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.

Если

Поэтому

Если

Значит,

Итак, формула 2 верна. Аналогично, проверим формулу 15:

Таблица основных интегралов

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

Вообще, эта формула очень часто используется при вычислении интегралов. Примеры:

Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изобретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой подынтегральной функции».

Соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений.

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда

Другими словами, формулу (30.1) можно применять справа налево.

Пример:

Найти
Решение:

Положим х = 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Пусть тогда Поэтому

Пример:

Получить формулу

Обозначим (подстановка Эйлера). Тогда

Отсюда

Стало быть,

Пример:

Найти

Решение:

Пусть х + 2 = t. Тогда х = t — 2, dx = dt. Имеем:

Пример:

Найти

Решение:

Обозначим Тогда Следовательно,

Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов.

Метод интегрирования по частям

Пусть и = и(х) и v = v(x) — функции, имеющие непрерывные производные. Тогда Интегрируя это равенство, получим

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида

где P(x) — многочлен, k — число. Удобно положить и = Р(х), а за dv обозначить все остальные сомножители.

2.Интегралы вида

Удобно положить P(x) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.

3.Интегралы вида — числа. За и можно принять функцию
Пример:

Найти

Решение:

Пусть

(можно положить С = 0). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

Пример:

Найти

Решение:

Пусть Поэтому

Пример:

Найти

Решение:

Пусть Поэтому

Для вычисления интеграла снова применим метод интегрирования по частям: Значит,

Поэтому (см. (30.2))

Пример:

Найти Поэтому
Решение:

Пусть . Поэтому

Интегрирование рациональных функций

Понятия о рациональных функциях:

Многочлен (некоторые сведения справочного характера)

Функция вида

где п — натуральное число, — постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число п называется степенью многочлена.

Корнем многочлена (31.1) называется такое значение (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль, т. е.

Теорема:

Если есть корень многочлена , то многочлен
делится без остатка на , т. е.

где — многочлен степени (п — 1).

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема:

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен п-й степени (п > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Доказательство этой теоремы мы не приводим. Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители.

Теорема:

Всякий многочлен можно представить в виде

где — корни многочлена, — коэффициент многочлена при .

Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обозначим его через . Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как — также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через . Тогда

— многочлен (п-2)-й степени. Следовательно, Продолжая этот процесс, получим в итоге:

Множители в равенстве (31.3) называются линейными множителями.

Пример:

Разложить многочлен на множители.

Решение:

Многочлен обращается в нуль при Следовательно,

Пример:

Представить выражение в виде произведения линейных множителей.

Решение:

Легко проверить, что

Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретился к раз, то он называется корнем кратности k. В случае k = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется простым. Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде

если корень имеет кратность, корень — кратность и так далее. При этом — число различных корней.

Например, разложение

можно записать так:

Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утверждения.

Теорема:

Если многочлен тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема:

Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Например, если

Теорема:

Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители

получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами В самом деле,

где

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами. С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.

Теорема:

Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. многочлен можно представить в виде

При этом все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.

Примеры разложений (31.5):

Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. — многочлен степени — многочлен степени п.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m < n; в противном случае (если ) рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби т.е.

Например, — неправильная рациональная дробь.

Разделим числитель на знаменатель в столбик:

Получим частное и остаток R(x) = 15. Следовательно

Правильные рациональные дроби вида

где А, а, М, N, р, q — действительные числа, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Теорема:

Всякую правильную рациональную дробь знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где — некоторые действительные коэффициенты.

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

Для нахождения неопределенных коэффициентов в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания коэффициентов. Суть метода такова:

1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменателю; в результате получим тождество многочлен с неопределенными коэффициентами.
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. е.

3.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по теореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты

Пример:

Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

Решение:

Согласно теореме 31.8 имеем:

т. е.

Отсюда следует

т. е.

Приравнивая коэффициенты при получаем

Решая систему, находим, что Следовательно,

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод отдельных значений аргумента: после получения тождества (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена ).
Пример:

Представить дробь в виде суммы
простейших дробей.
Решение:

Имеем:

Отсюда следует

Положим x = 0, тогда -4 = -2А, т. е. А = 2; положим х = 2, тогда
2 = 6В, т. е. положим х = -1, тогда -7 = ЗС, т. е.

Следовательно,

Интегрирование простейших рациональных дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.

Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:

причем Сделаем подстановку Тогда Положим Следовательно, используя формулы (2) и (15) таблицы интегралов, получаем

т. e., возвращаясь к переменной x,

Пример:

Найти

Решение:

Сделаем подстановку x + 1 = t. Тогда x = t — 1, dx =dt и

4.Вычисление интеграла вида

Данный интеграл подстановкой сводится к сумме двух интегралов:

Первый интеграл легко вычисляется:

Вычислим второй интеграл:

К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положим

тогда

Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем

т.е.

Полученная формула дает возможность найти интеграл для любого натурального числа k > 1.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Здесь а = 1, k = 3. Так как

то

Интегрирование рациональных дробей

Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.

1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:

Получаем:

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

Отсюда следует, что

Находим: В = 2, А = 0, С = 4, D = 2. Стало быть,

и

Интегрируем полученное равенство:

Обозначим x +1 = t, тогда x = t — 1 и dx = dt. Таким образом,

Следовательно,

Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Интегрирование тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка:

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать — знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Действительно,

Поэтому

где рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:
1) если функция R(sinx; cosx) нечетна относительно sinx;, т. е. то подстановка cosx= t рационализирует интеграл;
2) если функция R(sinx; cosx) нечетна относительно cos x:, т. е. то делается подстановка sin x = t;
3) если функция R(sinx; cosx) четна относительно sin x и cos x: то интеграл рационализируется подстановкой tg x= t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Сделаем универсальную подстановку Тогда dx =

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Так как

то полагаем tg x = t. Отсюда

Поэтому

Интегралы типа

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
1) подстановка sin x = t, если п — целое положительное нечетное число;
2) подстановка cos x = t, если m — целое положительное нечетное число;
3) формулы понижения порядка: если m и n — целые неотрицательные четные числа;
4) подстановка tg x = t, если m + п — есть четное отрицательное целое число.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Применим подстановку sin х = t. Тогда х = arcsin t, и

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Здесь m + n = — 4. Обозначим tgx = t. Тогда x = arctgt,

и

Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа

вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Интегрирование иррациональных функций

Квадратичные иррациональности:

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции. Интегралы типа

называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий — к сумме двух табличных интегралов.

Пример:

Найти интегралы

Решение:

Так как

то

Сделаем подстановку Тогда

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Так как

то подстановка имеет вид х + 1 = t, х = t — 1, dx = dt. Тогда

Интегралы типа многочлен степени п, можно вычислять, пользуясь формулой

где — многочлен степени n — 1 с неопределенными коэффициентами, — также неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

По формуле (33.1) имеем:

Дифференцируя это равенство, получаем:

т. е.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда Следовательно,

Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа где а, b, с, d — действительные числа, — натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки — наименьшее общее кратное знаменателей дробей

Действительно, из подстановки следует, что и т. e. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей есть 6. Поэтому полагаем

Следовательно,

Пример:

Указать подстановку для нахождения интегралов:

Решение:

Для подстановка , для подстановка

Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа

приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: для первого интеграла; для второго интеграла; для третьего интеграла.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Положим Тогда

Интегралы типа

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам типа

Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Так как

Поэтому Положим Тогда

Замечание:

Интеграл типа целесообразно находить с помощью подстановки

Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа (называемые интегралами от дифференциального бинома), где a, b — действительные числа; m , п, р — рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел является целым.

Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:

1) если р — целое число, то подстановка — наименьшее общее кратное знаменателей дробей тип;

2) если целое число, то подстановка —знаменатель дроби р;

3) если — целое число, то подстановка где s — знаменатель дроби р.

Во всех остальных случаях интегралы типа не выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не берутся».

Пример:

Найти интеграл

Решение:

Так как

то Поэтому делаем подстановку

Таким образом,

«Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. Например, можно найти, не используя рекомендуемую подстановку tgx = t, а применив искусственный прием:

Вряд ли стоит вычислять интеграл

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Заметив, что числитель является производной знаменателя легко получить:

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что «берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

Первообразные от функции и других хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента х.

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Первообразной от заданной функции f(x) называется функция F(х) такая, что ее дифференциал равен f(x) dх, т. е.

Например, функция является первообразной от функции З, так как

Площадь F(х) криволинейной трапеции (в соответствии с § 4 гл. IX) является первообразной от функции f(x) , график которой ограничивает эту криволинейную трапецию, так как

Пример:

Покажем, что функция аrctg x есть первообразная от функции . В самом деле, производная аrctg x равна , следовательно, дифференциал равен dх. Поэтому аrctg x есть первообразная от .

Определение первообразной можно дать в другой, эквивалентной форме: первообразной от функции f(х) называется функция Е(х), имеющая своей производной F(x).

Обратим внимание на то, что первообразная от данной функции существует не одна. Например, как было указано, есть первообразная от З, но, взяв функцию + С, где С—любое постоянное число, получим, что d(+ С) =3dх, т. е. + С также является первообразной от 3. Можно было бы доказать, что и обратное предложение верно, т. е. если функции F1(x) и F2(x) являются первообразными от функции f(x), то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Из сказанного следует, что операция нахождения первообразной, во-первых, является операцией, обратной дифференцированию, и, во-вторых, эта операция неоднозначная, т. е. в результате ее применения можно получить различные функции, отличающиеся на постоянные слагаемые.

Определение:

Совокупность всех первообразных от заданной функции называется неопределенным интегралом от этой функции.

Неопределенный интеграл обозначается так: f(x) dx, и читается: неопределенный интеграл от функции f(x). Если F(x)—одна из первообразных функций f(x), то любая другая из первообразных от той же функции будет равна

где С—любое число. Следовательно,

Из определения первообразной и неопределенного интеграла следует, что

В самом деле,

Выпишем формулы, справедливость которых проверяется дифференцированием.

Таблица интегралов

Проверим формулу 10. Возьмем дифференциал от левой части равенства, получим [в силу формулы (Б)]

Таким образом, мы убеждаемся в том, что левая часть есть первообразная от функции . Теперь возьмем дифференциал от правой части равенства 10:

Убеждаемся в том, что правая часть равенства есть первообразная от функции . Значит, левая часть может отличаться от правой только на постоянное слагаемое, но это постоянное у нас и написано в правой части формулы 10. Итак, формула 10 верна.

Преобразования неопределенных интегралов

Подобно тому, как в алгебре даются правила, позволяющие преобразовывать алгебраические выражения с целью их упрощения, так и для неопределенного интеграла существуют правила, позволяющие производить его преобразования.

I. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого члена в отдельности, т. е.

II. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, т. е.

III. Формула интегрирования по частям, а именно:

Докажем формулу (III).

Возьмем дифференциал От правой части равенства (III)

Применяя формулу 4 из таблицы § 2 гл. IX, получим

Член преобразуем по формуле 5 той же таблицы:

а член по формуле (Б) § 1 этой главы равен

Собирая все вместе, будем иметь

т. е. мы получили то, что получается при дифференцировании левой части равенства (III).

Аналогично проверяются формулы (I) и (II).

Пример:

Применяя правило интегрирования I и формулы 1 и 5 из таблицы интегралов, получаем

Пример:

Применяя правило II и формулу 6 из таблицы интегралов, получаем

Пример:
В таблице интегралов, приведенных в § 1, такого интеграла нет. Вычислим его, интегрируя по частям; для этого перепишем данный интеграл следующим образом:

Положив

применим правило интегрирования по частям:

Но так как

то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (n= 0), получим = x. Окончательно получаем

Пример:

Рассмотрим Положим f(x) = x и ‘ (x) = sin х. Тогда (x) = — cos x так как (—cos x )’ = sin x. Применяя интегрирование по частям, будем иметь

Пример:

Рассмотрим Положим f(x) =

и Тогда , так как Применяя интегрирование по частям, будем иметь

Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим

Отсюда

Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно

где C1 = — 2С, так что С1 есть произвольное постоянное интегрирования.

Замена переменного интегрирования (метод подстановки)

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые преобразования интеграла к другому виду, который может оказаться более удобным.

Если дан интеграл где z —функция х : z = ( х ), то верна следующая формула:

которая называется формулой замены переменного интегрирования. Проверим ее при помощи дифференцирования. Применяя формулу (Б) из § 1, будем иметь

Поскольку z = (x), то по определению дифференциала

Подставляя полученное выражение в равенство (*), получим

Если же найдем дифференциал правой части равенства (IV), то получим то же выражение. Следовательно, обе части равенства (IV) могут отличаться только на постоянное слагаемое, а это и значит, что формула (IV) верна.

Пример:

Положим z = sin x, тогда dz = cos х dx. Подставим в данный интеграл

Применяя формулу 1 из таблицы интегралов, будем иметь

Пример:

Положим Тогда

Поэтому

Чтобы возвратиться к старому переменному x, найдем z из равенства

Окончательно получим

Пример:

Прежде чем преобразовывать данный интеграл, рассмотрим интеграл

Применим формулу косинуса половинного угла

и положим в ней а = 2t. Тогда

а интеграл

Нетрудно сообразить, что

это легко проверить дифференцированием. Поэтому

Вернемся к интегралу . Положим x = a sin t (**), тогда

Применяя (*), получим

Возвратимся теперь к переменному х; из равенства (**)

поэтому

где С1 — произвольное постоянное.

Пример:

Положим z = x, тогда

Поэтому

(по формуле 2 таблицы интегралов). Таким образом,

Пример:

Сделаем некоторые преобразования:

Теперь положим тогда

и

По формуле 8 из таблицы интегралов (§ 1) находим

поэтому

В нашем курсе мы ограничимся этими примерами, но заметим, что число примеров можно было бы увеличивать неограниченно и, более того, можно было бы указывать типы интегралов, которые берутся, т. е. вычисляются, определенными методами. Это и делается в более полных курсах.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат