Аналитическая геометрия в пространстве с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Аналитическая геометрия – раздел геометриив котором про-стейшие геометрические образы – линии и поверхности (а также их частные случаи прямые и плоскости) исследуются средствами алгеб-ры на основе метода координат.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей:
Ох, Оу и Oz. Точка О — начало координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось координат, Oz — ось аппликат.
Аналитическая геометрия в пространстве

Пусть М — произвольная точка пространства (рис. 121). Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ох, Оу и Oz.

Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно через Аналитическая геометрия в пространствеПрямоугольными координатами точки М называются числа
Аналитическая геометрия в пространстве
т. е. величины направленных отрезков Аналитическая геометрия в пространстве при этом х называется абсциссой, у — ординатой, a z — аппликатой точки М.

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (х; у; z) — ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой упорядоченной тройке чисел (х; у; z) соответствует, и притом одна, точка М в пространстве.

Итак, прямоугольная система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек чисел.

Плоскости Оху, Oyz, Oxz называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.

Понятие вектора

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами.
Аналитическая геометрия в пространстве
Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой- либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Определение вектора

Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т. е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение:

Направленный отрезок называется вектором.
Будем обозначать вектор символом Аналитическая геометрия в пространстве причем первая буква означает начало вектора, а вторая — его конец. Вектор также обозначают и одной буквой с черточкой наверху, например Аналитическая геометрия в пространстве Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 122).

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается Аналитическая геометрия в пространстве или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается Аналитическая геометрия в пространстве

Векторы Аналитическая геометрия в пространстве называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна нулю, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве
Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение:

Векторы Аналитическая геометрия в пространстве называются равными Аналитическая геометрия в пространстве, если они коллинеарны. одинаково направлены и их длины равны.

На рис 123 изображены слева неравные, а справа — равные векторы Аналитическая геометрия в пространстве. Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось Аналитическая геометрия в пространстве и некоторый вектор Аналитическая геометрия в пространстве Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси и. Обозначим через А’ и В’ точки пересечения этих плоскостей с осью (рис. 124).

Проекцией вектора Аналитическая геометрия в пространстве на ось и называется величина А’В’ направленного отрезка Аналитическая геометрия в пространстве на оси Аналитическая геометрия в пространстве. Напомним, что
Аналитическая геометрия в пространствеАналитическая геометрия в пространствеИмеет место следующая теорема.

Теорема:

Проекция вектора Аналитическая геометрия в пространстве на ось и равна длине вектора Аналитическая геометрия в пространстве, умноженной на косинус угла между вектором Аналитическая геометрия в пространстве и осью и
т. е.
Аналитическая геометрия в пространстве
где Аналитическая геометрия в пространстве — угол между вектором Аналитическая геометрия в пространстве и осью Аналитическая геометрия в пространстве(рис. 125).

Доказательство:

Если Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 125, а), то в силу (1)Аналитическая геометрия в пространстве

Если же Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 125, б), то в силу (1) Аналитическая геометрия в пространстве
Таким образом, для любого угла Аналитическая геометрия в пространстве справедливо равенство (2). ■

Замечание 1. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве и задана какая-то ось Аналитическая геометрия в пространстве. Применяя к каждому из этих векторов формулу (2), получаем Аналитическая геометрия в пространстве
т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор
Аналитическая геометрия в пространстве. Пусть, далее, Аналитическая геометрия в пространстве

Проекции X, У, Z вектора Аналитическая геометрия в пространстве на оси координат называют его координатами. При этом пишут
Аналитическая геометрия в пространстве

Теорема:

Каковы бы ни были две точки Аналитическая геометрия в пространстве координаты вектора Аналитическая геометрия в пространстве определяются следующими формулами:Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси Ох, и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно через А’ и В’. Точки А’ и В’ на оси Ох
Аналитическая геометрия в пространстве
имеют координаты Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 126). По определению, Аналитическая геометрия в пространстве (см. гл. 1, § 3). Поэтому Аналитическая геометрия в пространстве Аналогично устанавливаются и остальные формулы (3).

Замечание 2. Если вектор Аналитическая геометрия в пространстве выходит из начала координат, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве то координаты X, Y, Z вектора АВ равны координатам его конца: Аналитическая геометрия в пространстве

Направляющие косинусы вектора

Пусть дан произвольный вектор Аналитическая геометрия в пространстве; будем считать, что Аналитическая геометрия в пространстве выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям, вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (рис. 127). Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,Аналитическая геометрия в пространстве

Формула (4) выражает длину произвольного вектора через его координаты.

Обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве углы между вектором Аналитическая геометрия в пространстве и осями координат. Из формул (2) и (4) получаем Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве называются направляющими косинусами вектора Аналитическая геометрия в пространстве.
Аналитическая геометрия в пространстве

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из равенств (5) и суммируя полученные результаты, имеем Аналитическая геометрия в пространстве
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

В заключение пункта рассмотрим задачу. Пусть даны две произвольные точки Аналитическая геометрия в пространстве Найдем расстояние d между ними. Используя теорему 9.2 и формулу (4), сразу получаем искомый результатАналитическая геометрия в пространстве

Линейные операции над векторами и их основные свойства

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.

Сложение двух векторов

Пусть даны два вектора Аналитическая геометрия в пространстве. Суммой Аналитическая геометрия в пространстве называется вектор, который идет из начала вектоpa Аналитическая геометрия в пространстве в конец вектора Аналитическая геометрия в пространстве при условии, что вектор Ь приложен к концу вектора а (рис. 128, а).

Замечание:

Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т. е. разностью Аналитическая геометрия в пространстве векторов Аналитическая геометрия в пространстве называется вектор, который в сумме с вектором Аналитическая геометрия в пространстве дает вектор Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 128, б).

Замечание:

Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора Аналитическая геометрия в пространстве Сложила Аналитическая геометрия в пространстве, получим вектор Аналитическая геометрия в пространстве. Прибавив теперь к нему вектор, Аналитическая геометрия в пространстве , получим вектор Аналитическая геометрия в пространстве

Произведение вектора на число

Пусть даны вектор Аналитическая геометрия в пространстве и число Аналитическая геометрия в пространстве Произведением Аналитическая геометрия в пространстве называется вектор, который коллинеарен вектору Аналитическая геометрия в пространстве, имеет длину, равную Аналитическая геометрия в пространстве и направление такое же, как и вектор Аналитическая геометрия в пространстве, если Аналитическая геометрия в пространстве и противоположное, если Аналитическая геометрия в пространстве(рис. 129). Аналитическая геометрия в пространстве

Геометрический смысл операции умножения вектора Аналитическая геометрия в пространстве на число Аналитическая геометрия в пространстве можно выразить следующим образом: если Аналитическая геометрия в пространстве то при умножении вектора Аналитическая геометрия в пространстве на число Аналитическая геометрия в пространстве вектор Аналитическая геометрия в пространстве «растягивается» в Аналитическая геометрия в пространстве раз, а если Аналитическая геометрия в пространстве— «сжимается»Аналитическая геометрия в пространстве раз. При Аналитическая геометрия в пространстве вектор изменяет направление на противоположное. На рис. 129 изображен случай Аналитическая геометрия в пространстве.

Если Аналитическая геометрия в пространстве то произведение Аналитическая геометрия в пространстве считаем равным нулевому вектору.

Замечание:

Используя определение умножения вектора на число, нетрудно доказать, что если векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны и Аналитическая геометрия в пространстве то существует (и притом только одно) число Аналитическая геометрия в пространстве такое, что Аналитическая геометрия в пространстве (докажите это утверждение самостоятельно).

Основные свойства линейных операций

1°. Аналитическая геометрия в пространстве (переместительное свойство сложения).
Доказательство. Приложив векторы Аналитическая геометрия в пространстве к одной точке О, построим на них параллелограмм (рис. 130). Тогда Аналитическая геометрия в пространстве

2°. Аналитическая геометрия в пространстве (сочетательное свойство сложения).

Доказательство:

Расположим рассматриваемые векторы так, чтобы вектор Аналитическая геометрия в пространстве был приложен к концу вектора Аналитическая геометрия в пространстве, а вектор Аналитическая геометрия в пространстве — к концу вектора Аналитическая геометрия в пространстве. Обозначим буквой О начало вектора Аналитическая геометрия в пространстве буквой А — его конец, буквой В — конец вектора Аналитическая геометрия в пространстве и буквой С — конец вектора Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 131). Тогда Аналитическая геометрия в пространстве

Рассмотрим еще три свойства линейных операций, два из которых относятся одновременно к сложению векторов и умножению вектора на число. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве — произвольные числа, Аналитическая геометрия в пространстве — любые векторы. Тогда:Аналитическая геометрия в пространствеАналитическая геометрия в пространстве

Докажем свойство 3°. Если хотя бы одно из чисел Аналитическая геометрия в пространстве или вектор Аналитическая геометрия в пространстве равны нулю, то обе части равенства 3° обращаются в нуль. Если Аналитическая геометрия в пространстве то векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны, одинаково направлены (их направления либо совпадают с направлением вектора Аналитическая геометрия в пространстве, если Аналитическая геометрия в пространстве имеют одинаковый знак, либо противоположны направлению вектора Аналитическая геометрия в пространствеесли Аналитическая геометрия в пространстве разных знаков) и имеют одинаковые длины Аналитическая геометрия в пространствеАналитическая геометрия в пространствеследовательно, они равны. ■

Докажем свойство 4°. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве имеют одинаковые знаки и Аналитическая геометрия в пространстве Тогда векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны и одинаково направлены (при Аналитическая геометрия в пространстве их направления совпадают с направлением вектора Аналитическая геометрия в пространстве, а при Аналитическая геометрия в пространстве противоположны направлению Аналитическая геометрия в пространстве. Таким образом векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины, следовательно, они равны.

Пусть теперь Аналитическая геометрия в пространстве имеют разные знаки и для определенности Аналитическая геометрия в пространстве. В этом случае векторы Аналитическая геометрия в пространстве направлены так же, как вектор Аналитическая геометрия в пространстве. Длина вектора Аналитическая геометрия в пространстве равна Аналитическая геометрия в пространствет. е. длина вектора Аналитическая геометрия в пространстве равна длине вектора Аналитическая геометрия в пространстве■ Следовательно, и в этом случае векторы Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве равны. Если же Аналитическая геометрия в пространстве и знаки Аналитическая геометрия в пространстве. различны, то обе части доказываемого равенства равны нулю.

Равенство 4° очевидно, если хотя бы одно из чисел Аналитическая геометрия в пространстве или вектор Аналитическая геометрия в пространстверавны нулю. ■
Аналитическая геометрия в пространстве

Докажем свойство 5°. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве неколлинеарные векторы и Аналитическая геометрия в пространстве Построим векторы Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 132). Из подобия треугольников Аналитическая геометрия в пространстве и определения операции умножения вектора на число следует, что Аналитическая геометрия в пространстве а из треугольника Аналитическая геометрия в пространстве получаем: Аналитическая геометрия в пространствеТаким образом, Аналитическая геометрия в пространстве т. е. доказываемое равенство справедливо. Случаях Аналитическая геометрия в пространстве рассматривается аналогично.

Если Аналитическая геометрия в пространстве — коллинеарные векторы и Аналитическая геометрия в пространстве то вектор Аналитическая геометрия в пространстве можно представить в виде Аналитическая геометрия в пространстве и искомое равенство следует из равенству 3° и 4°. Действительно. Аналитическая геометрия в пространстве Доказываемое равенство очевидно, если один из векторов Аналитическая геометрия в пространстве или число Аналитическая геометрия в пространстве равны нулю. ■

Замечание:

Доказанные свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4° и 5° можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

Теоремы о проекциях векторов

Теорема:

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.
Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

Пусть точки Аналитическая геометрия в пространстве — соответственно начало и конец вектора Аналитическая геометрия в пространстве точки Аналитическая геометрия в пространстве—начало и конец вектора Аналитическая геометрия в пространстве(рис. 133). Обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве соответственно проекции на ось Аналитическая геометрия в пространстве точек Аналитическая геометрия в пространстве По определению, Аналитическая геометрия в пространстве Согласно основному тождеству (см. гл. 1, § 3) Аналитическая геометрия в пространстве Отсюда Аналитическая геометрия в пространстве

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема:

При умножении вектора Аналитическая геометрия в пространстве на число Аналитическая геометрия в пространстве eго проекция на ось также умножается на это число, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

Пусть Аналитическая геометрия в пространстве—угол между вектором Аналитическая геометрия в пространстве и осью Аналитическая геометрия в пространстве — угол между вектором Аналитическая геометрия в пространстве и осью Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 134). Тогда, если Аналитическая геометрия в пространстве то векторы Аналитическая геометрия в пространстве направлены одинаково иАналитическая геометрия в пространстве Если же Аналитическая геометрия в пространстве то векторы Аналитическая геометрия в пространстве имеют противоположные направления и Аналитическая геометрия в пространстве По теореме 9.1 имеем: при Аналитическая геометрия в пространствеАналитическая геометрия в пространстве

при Аналитическая геометрия в пространстве равенство (1) очевидно. Таким образом, при любом XАналитическая геометрия в пространстве

Из доказанных теорем вытекают два важных следствия.

Следствие:

Из теоремы 9.3 вытекает, что если Аналитическая геометрия в пространствеАналитическая геометрия в пространстве

Следствие:

Из теоремы 9.4 вытекает, что если Аналитическая геометрия в пространстве для любого числа Аналитическая геометрия в пространстве.

Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах. В самом деле, равенство Аналитическая геометрия в пространстве равносильно равенствам Аналитическая геометрия в пространстве или
Аналитическая геометрия в пространстве
т. е. векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.

Разложение вектора по базису

Пусть векторы Аналитическая геометрия в пространстве — единичные векторы осей координат,
т. е. Аналитическая геометрия в пространстве и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (рис. 135). Тройка векторов Аналитическая геометрия в пространстве называется базисом. Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Любой вектор Аналитическая геометрия в пространстве может быть единственным образом разложен по базису Аналитическая геометрия в пространстве т. е. представлен в виде Аналитическая геометрия в пространстве
где Аналитическая геометрия в пространстве — некоторые числа.

Доказательство:

Приложив вектор Аналитическая геометрия в пространстве к началу координат, обозначим его конец через А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве — точки пересечения этих плоскостей с осями координат. По определению сложения векторов имеем
Аналитическая геометрия в пространстве
Из равенств (2) получаем
Аналитическая геометрия в пространстве

Так как векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны, то
Аналитическая геометрия в пространстве
где Аналитическая геометрия в пространстве — некоторые числа.

Из равенства (3) и соотношений (4) получаем Аналитическая геометрия в пространстве

Для доказательства единственности представления (1) установим, чтоАналитическая геометрия в пространстве
где X, У, Z — координаты вектора Аналитическая геометрия в пространстве.

Покажем, например, что Аналитическая геометрия в пространстве Так как Аналитическая геометрия в пространстве, если Аналитическая геометрия в пространстве имеет то же направление, что и вектор Аналитическая геометрия в пространстве если вектор Аналитическая геометрия в пространстве имеет направление, противоположное направлению вектора Аналитическая геометрия в пространстве Сравнивая с равенством Аналитическая геометрия в пространстве получаем Аналитическая геометрия в пространстве.

Аналогично показывается, что Аналитическая геометрия в пространстве

Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства скалярного произведения

Определение:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов Аналитическая геометрия в пространстве называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.

Скалярное произведение векторов Аналитическая геометрия в пространстве обозначают Аналитическая геометрия в пространстве Итак, Аналитическая геометрия в пространстве
где Аналитическая геометрия в пространстве — угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве (рис.136).

Так как Аналитическая геометрия в пространстве то можно записать Аналитическая геометрия в пространстве

Типичным примером скалярного произведения в физике является формула работы
Аналитическая геометрия в пространстве
где вектор Аналитическая геометрия в пространстве — сила, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора Аналитическая геометрия в пространстве(рис.137).
Аналитическая геометрия в пространстве

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
1°. Аналитическая геометрия в пространстве(свойство перестановочности сомножителей).

Доказательство:

По определению скалярного произведения Аналитическая геометрия в пространстве поскольку это произведение чисел. Следовательно, Аналитическая геометрия в пространстве
2°. Аналитическая геометрия в пространстве (свойство сочетательности относительно умножения на число). Доказательство. По формуле (1) имеемАналитическая геометрия в пространстве

Замечание:

Из свойств 1° и 2° следует, что Аналитическая геометрия в пространстве Действительно, Аналитическая геометрия в пространстве

3°. Аналитическая геометрия в пространстве (свойство распределительности суммы векторов).
Доказательство. По формуле (1)Аналитическая геометрия в пространстве

Замечание:

Доказанное свойство дает право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно. В силу свойства 1° можно при этом не заботиться о порядке сомножителей, а свойство 2° позволяет (см. замечание 1) объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей. НапримерАналитическая геометрия в пространстве

4°. Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

По определению скалярного произведения Аналитическая геометрия в пространстве т. е. если Аналитическая геометрия в пространстве Если же Аналитическая геометрия в пространстве то также, по определению, Аналитическая геометрия в пространстве Но в этом случае Аналитическая геометрия в пространстве и, значит, равенство Аналитическая геометрия в пространстве также справедливо. ■

Скалярное произведение Аналитическая геометрия в пространстве называется скалярным квадратом вектора Аналитическая геометрия в пространстве и обозначается Аналитическая геометрия в пространстве. На основании только что доказанного мы имеем: Аналитическая геометрия в пространстве; отсюда, в частности, Аналитическая геометрия в пространстве

5″. Аналитическая геометрия в пространстве если Аналитическая геометрия в пространстве, и, обратно, Аналитическая геометрия в пространстве, если Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

По определению скалярного произведения Аналитическая геометрия в пространстве Если Аналитическая геометрия в пространстве т. e Аналитическая геометрия в пространствеперпендикулярны друг другу, то Аналитическая геометрия в пространстве

Обратно, если Аналитическая геометрия в пространстве т. е. векторы Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярны. ■

Замечание:

Из свойств 4° и 5° для базисных векторов Аналитическая геометрия в пространстве(рис. 138) непосредственно получаем следующие равенства:Аналитическая геометрия в пространстве

Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Теорема:

Если векторы Аналитическая геометрия в пространстве заданы своими координатами: Аналитическая геометрия в пространстве то их скалярное произведение определяется формулой
Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

Разложим векторы Аналитическая геометрия в пространстве по базису Аналитическая геометрия в пространствеИспользуя замечание 2, получаемАналитическая геометрия в пространстве

Откуда, используя равенства (2), находим: Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Из теоремы 9.6 вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов Аналитическая геометрия в пространстве является равенство Аналитическая геометрия в пространстве

Это утверждение непосредственно следует из свойства 5° и теоремы 9.6

Следствие:

Угол между векторами
Аналитическая геометрия в пространстве определяется равенством Аналитическая геометрия в пространстве
Действительно, по определению скалярного произведения Аналитическая геометрия в пространстве откуда Аналитическая геометрия в пространстве

В силу теоремы 9.6 и формулы (4) § 2 из формулы (5) следует формула (4).

Пример:

Даны три точки Аналитическая геометрия в пространстве
Найти угол Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Применяя теорему 9.2, найдем АВ = { 1; 1; 0),Аналитическая геометрия в пространствеАналитическая геометрия в пространстве Отсюда на основании формулы (4) получаем
Аналитическая геометрия в пространстве

Векторное произведение

Определение векторного произведения: Векторы Аналитическая геометрия в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим.
Например, в записи Аналитическая геометрия в пространстве вектор Аналитическая геометрия в пространстве считается первым,
Аналитическая геометрия в пространстве — вторым, Аналитическая геометрия в пространстве —третьим; в записи Аналитическая геометрия в пространстве вектор Аналитическая геометрия в пространстве — первый, Аналитическая геометрия в пространстве — второй, Аналитическая геометрия в пространстве — третий.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
Аналитическая геометрия в пространстве

Определение:

Векторным произведением вектора Аналитическая геометрия в пространстве на вектор Аналитическая геометрия в пространственазывается вектор Аналитическая геометрия в пространстве, который определяется тремя условиями: 1) длина вектора Аналитическая геометрия в пространстве равна Аналитическая геометрия в пространстве — угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве;
2) вектор Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярен каждому из векторов Аналитическая геометрия в пространстве;
3) векторы Аналитическая геометрия в пространстве образуют правую тройку векторов (рис. 139).

Заметим, что условия 2) и 3) относятся к случаю, когда Аналитическая геометрия в пространстве т. е. вектор Аналитическая геометрия в пространстве Если Аналитическая геометрия в пространстве (т. е. либо, по крайней мере, один из векторов Аналитическая геометрия в пространстве нулевой, либо Аналитическая геометрия в пространстве), то векторное произведение Аналитическая геометрия в пространстве определяется только условием 1): в этом случае Аналитическая геометрия в пространстве.
Понятие векторного произведения имеет свой источник в механике.

Пусть в точке М твердого тела приложена сила Аналитическая геометрия в пространстве и О — некоторая точка пространства. Как известно из механики, Моментом силы Аналитическая геометрия в пространстве относительно точки О (точка приложения момента) называется вектор Аналитическая геометрия в пространстве, который: 1) имеет длину, равную Аналитическая геометрия в пространстве, где Аналитическая геометрия в пространстве — угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве;
2) перпендикулярен плоскости Аналитическая геометрия в пространстве, проходящей через точки О, М, К,
3) направлен так, что из конца его сила Аналитическая геометрия в пространстве представляется вращающей плоскость Аналитическая геометрия в пространстве вокруг точки О против часовой стрелки (рис. 140). Из рисунка, на котором Аналитическая геометрия в пространстве, видно, что Аналитическая геометрия в пространствепредставляет собой векторное произведение Аналитическая геометрия в пространстве.

Основные свойства векторного произведения

1°. Аналитическая геометрия в пространстве если Аналитическая геометрия в пространстве — коллинеарные векторы.

Доказательство:

Если векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны, то Аналитическая геометрия в пространстве.
Следовательно, Аналитическая геометрия в пространстве т. е. длина вектора а X b равна нулю, а значит, и сам вектор а X b равен нулю. ■
2°. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов Аналитическая геометрия в пространстве равна площади s параллелограмма, построенного на этих векторах (см. рис. 139).

Доказательство:

Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда Аналитическая геометрия в пространстве т. е. Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

3°. Аналитическая геометрия в пространстве (свойство антиперестановочности сомножителей).

Доказательство:

Если векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны, то свойство очевидно. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве неколлинеарны. Из определения векторного произведения следует, что векторы Аналитическая геометрия в пространстве имеют одинаковые длины (длина векторного произведения не зависит от порядка сомножителей), коллинеарны (они перпендикулярны одной и той же плоскости, в которой лежат векторы Аналитическая геометрия в пространстве),но направлены противоположно (рис. 141), так как векторы Аналитическая геометрия в пространстве образуют правые тройки. Следовательно, Аналитическая геометрия в пространстве

4°. Аналитическая геометрия в пространстве (свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю) Доказательство. Если Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны или Аналитическая геометрия в пространстве то свойство очевидно. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве неколлинеарны и Аналитическая геометрия в пространстве. Из определения векторного произведения следует, что Аналитическая геометрия в пространстве поэтому векторы Аналитическая геометрия в пространстве имеют одинаковую длину. Кроме этого, они перпендикулярны к каждому из векторов Аналитическая геометрия в пространстве и, значит, коллинеарны друг другу. Наконец, они одинаково направлены (рис. 142) (при Аналитическая геометрия в пространстве это очевидно, так как одинаковое направление имеют векторы Аналитическая геометрия в пространстве; при Аналитическая геометрия в пространстве векторы Аналитическая геометрия в пространстве имеют противоположные направления, поэтому вектор Аналитическая геометрия в пространстве направлен противоположно вектору Аналитическая геометрия в пространстве но при этом вектор Аналитическая геометрия в пространстве также направлен противоположно вектору Аналитическая геометрия в пространстве значит, и при Аналитическая геометрия в пространстве векторы Аналитическая геометрия в пространстве имеют одинаковое направление). Следовательно, векторы Аналитическая геометрия в пространстве равны.

Используя свойства 3° и 4°, докажите самостоятельно, что Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве (свойство распределительности относительно суммы векторов).
Доказательство. Если векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны вектору с или хотя бы один из векторов Аналитическая геометрия в пространстве нулевой, то свойство очевидно. В остальных случаях введем для доказательства единичный вектор Аналитическая геометрия в пространстве одинаково направленный с вектором Аналитическая геометрия в пространстве. Проведем через его начало О плоскость Аналитическая геометрия в пространстве, перпендикулярную Аналитическая геометрия в пространстве и рассмотрим треугольник ОАВ такой, что Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 143).
Аналитическая геометрия в пространстве

Спроектируем треугольник ОАВ на плоскость Аналитическая геометрия в пространстве, в результате получим треугольник Аналитическая геометрия в пространстве (если точка Аналитическая геометрия в пространстве лежит на прямой Аналитическая геометрия в пространстве, то треугольник Аналитическая геометрия в пространстве вырождается в отрезок). Повернем треугольник Аналитическая геометрия в пространстве, вокруг Аналитическая геометрия в пространстве на 90° по часовой стрелке, если смотреть из конца Аналитическая геометрия в пространстве, в результате получим треугольник Аналитическая геометрия в пространстве. Обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве. Пусть для определенности Аналитическая геометрия в пространстве (как на рис. 143). Остальные случаи угла Аналитическая геометрия в пространстве рассматриваются аналогично.

Рассмотрим вектор Аналитическая геометрия в пространстве. Длина этого вектора Аналитическая геометрия в пространстве так как Аналитическая геометрия в пространстве. Кроме этого, Аналитическая геометрия в пространстве и векторы Аналитическая геометрия в пространстве образуют правую тройку. Следовательно, по определению векторного произведения
Аналитическая геометрия в пространстве

Проводя аналогичные рассуждения для каждого из векторов Аналитическая геометрия в пространстве получаем
Аналитическая геометрия в пространстве

Но так как Аналитическая геометрия в пространстве то Аналитическая геометрия в пространстве

Вектор Аналитическая геометрия в пространстве направлен так же, как Аналитическая геометрия в пространстве. Поэтому Аналитическая геометрия в пространстве Умножив обе части равенства (1) на число Аналитическая геометрия в пространстве, получим Аналитическая геометрия в пространстве Отсюда согласно свойству 4° Аналитическая геометрия в пространстве Заменяя Аналитическая геометрия в пространстве окончательно имеем Аналитическая геометрия в пространстве

Замечание:

Доказанное свойство дает право при вектор, ном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 4°— объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей. Например,Аналитическая геометрия в пространстве

Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения можно изменить. Аналитическая геометрия в пространстве

Замечание:

Согласно определению и свойствам 1° и 3°
векторного произведения для базисных векторов (рис. 144) получаем следующие равенства: Аналитическая геометрия в пространстве

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Теорема:

Если векторы Аналитическая геометрия в пространстве координатами: Аналитическая геометрия в пространстве, то векторное
произведение вектора Аналитическая геометрия в пространстве на вектор Аналитическая геометрия в пространстве определяется формулой Аналитическая геометрия в пространстве

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

Разложим векторы Аналитическая геометрия в пространстве по базису Аналитическая геометрия в пространстве:Аналитическая геометрия в пространстве

Используя замечание 1, получаемАналитическая геометрия в пространстве
Отсюда, на основании равенств (2), находимАналитическая геометрия в пространстве

Получено разложение вектора Аналитическая геометрия в пространстве по базису Аналитическая геометрия в пространстве; коэффициенты этого разложения представляют собой координаты вектора Аналитическая геометрия в пространстве. Таким образом,Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Даны векторы Аналитическая геометрия в пространстве. Найти координаты векторного произведения Аналитическая геометрия в пространстве.
Решение. По формуле (3) находим Аналитическая геометрия в пространстве

Смешанное произведение трех векторов

Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Определение:

Смешанным произведением трех векторов Аналитическая геометрия в пространстве называется число, равное скалярному произведению вектора Аналитическая геометрия в пространстве на векторное произведение векторов Аналитическая геометрия в пространстве, т.е.
Аналитическая геометрия в пространстве

Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения.

Теорема:

Смешанное произведение Аналитическая геометрия в пространстве равно объему Аналитическая геометрия в пространстве параллелепипеда, построенного на векторах Аналитическая геометрия в пространстве взятому со знаком «+», если тройка Аналитическая геометрия в пространстве — правая, со знаком « —», если тройка Аналитическая геометрия в пространстве — левая. Если же Аналитическая геометрия в пространстве компланарны, то Аналитическая геометрия в пространстве Другими словами:Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

Пусть даны некомпланарные векторы Аналитическая геометрия в пространстве образующие правую тройку. Обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, через s — площадь параллелограмма, построенного на векторах Аналитическая геометрия в пространстве, а через h — высоту параллелепипеда (рис. 145). Тогда по определению скалярного и векторного произведений Аналитическая геометрия в пространстве

где Аналитическая геометрия в пространстве — угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве , а Аналитическая геометрия в пространстве — угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве Так как Аналитическая геометрия в пространстве то Аналитическая геометрия в пространстве Если тройка Аналитическая геометрия в пространстве — левая, то Аналитическая геометрия в пространстве Поэтому Аналитическая геометрия в пространстве Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение. Пусть векторы Аналитическая геометрия в пространстве компланарны. Если Аналитическая геометрия в пространстве, то, очевидно, Аналитическая геометрия в пространстве Пусть Аналитическая геометрия в пространстве. Тогда либо Аналитическая геометрия в пространстве (если векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны), либо Аналитическая геометрия в пространстве (если Аналитическая геометрия в пространстве неколлинеарны). В любом случае Аналитическая геометрия в пространстве

Итак, доказано, что если векторыАналитическая геометрия в пространстве компланарны, то Аналитическая геометрия в пространстве Верно и обратное: если Аналитическая геометрия в пространстве, то векторы Аналитическая геометрия в пространстве компланарны. Действительно, если бы векторы Аналитическая геометрия в пространстве были некомпланарны, то по теореме 9.8 смешанное произведение Аналитическая геометрия в пространстве что противоречит условию.

Аналитическая геометрия в пространстве

Следствие:

Из теоремы легко выводится следующее тождество Аналитическая геометрия в пространстве
т. е. знаки Аналитическая геометрия в пространстве в смешанном произведении можно менять местами.

Действительно, согласно свойству 1° скалярного произведения Аналитическая геометрия в пространстве
Далее, по теореме 9.8 имеем
Аналитическая геометрия в пространстве

Так как тройки Аналитическая геометрия в пространстве имеют одинаковую ориентацию, т. е. либо обе правые, либо обе левые, то, на основании теоремы 9.8 в правых частях равенств (3) нужно брать один и тот же знак. Таким образом, имеем
Аналитическая геометрия в пространстве
и на основании равенства (2)
Аналитическая геометрия в пространстве
т. е. получено тождество (1).

В силу тождества (1) смешанные произведения Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве можно обозначить более простым символом Аналитическая геометрия в пространстве.

Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема:

Если векторы Аналитическая геометрия в пространстве заданы своими координатами
Аналитическая геометрия в пространстве
то смешанное произведение Аналитическая геометрия в пространстве определяется формулой
Аналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

По теореме 9.7
Имеем: Аналитическая геометрия в пространствеАналитическая геометрия в пространстве

Умножая скалярно вектор Аналитическая геометрия в пространстве на вектор Аналитическая геометрия в пространствеиспользуя теорему 9.6, получаем Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

В пространстве даны четыре точки: А(1; 1; 1), В (4; 4; 4), С (3; 5; 5), D (2; 4; 7). Найти объем тетраэдра АВСD.

Решение:

Как известно из элементарной геометрии, объем Аналитическая геометрия в пространстве тетраэдра ABCD равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах Аналитическая геометрия в пространстве отсюда и из теоремы 9.8 заключаем, что Аналитическая геометрия в пространстве равен 1/6 абсолютной величины смешанного произведения Аналитическая геометрия в пространстве Найдем это смешанное произведение. Прежде всего определим координаты векторов Аналитическая геометрия в пространстве По теореме 9.2 имеем:Аналитическая геометрия в пространстве Используя теорему 9.9, получаем
Аналитическая геометрия в пространстве
Отсюда
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения поверхности и линии

Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная поверхность S (рис. 146) и уравнение Аналитическая геометрия в пространстве

Будем говорить, что уравнение (1) является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки Аналитическая геометрия в пространстве и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

С точки зрения данного определения поверхность S есть множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

Пример:

В прямоугольной системе координат уравнение
Аналитическая геометрия в пространстве
определяет поверхность, являющуюся сферой радиуса R с центром в точке О (0; 0; 0) (рис. 147).

В самом деле, если М (х; у, z) — произвольная точка, то по формуле (7) (см. § 2, п. 5)
Аналитическая геометрия в пространстве
Следовательно, заданному уравнению удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые удалены от точки О на расстояние R. Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, есть сфера с центром в начале координат и радиусом R.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т. е. как множество точек, находящихся одновременно на двух поверхностях, и соответственно этому определять линию заданием двух уравнений. Таким образом, два уравненияАналитическая геометрия в пространстве
называются уравнениями линии L, если им удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L.
Аналитическая геометрия в пространстве
Например, уравнения двух сфер
Аналитическая геометрия в пространстве
совместно определяют лежащую в плоскости Оху окружность, радиус которой равен единице с центром в начале координат.

Уравнение цилиндрической поверхности

Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия L (рис. 148). Проведем через каждую точку линии L прямую, параллельную оси Oz. Множество этих прямых образует некоторую поверхность S, которая называется цилиндрической. Указанные прямые называются образующими поверхности S, а линия L — ее направляющей.

Аналогично определяется .цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными осям Ох и Оу.

Для определенности будем рассматривать цилиндрическую поверхность S с образующими, параллельными оси Oz, и докажем, что она определяется уравнением вида Аналитическая геометрия в пространстве

Действительно, пусть (1) — уравнение направляющей L. Возьмем на S любую точку М (х; у; z). Эта точка лежит на какой-то образующей. Если Аналитическая геометрия в пространстве — пересечение этой образующей с плоскостью Оху, то точка Аналитическая геометрия в пространстве и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (1). Но тогда числа х, у, z также удовлетворяют этому уравнению, поскольку F (х; у) от z не зависит. Итак, координаты х, у, z произвольной точки Аналитическая геометрия в пространстве удовлетворяют уравнению (1). Очевидно, если Аналитическая геометрия в пространстве т. е. координаты х и у не удовлетворяют уравнению (1). Это доказывает, что (1) является уравнением поверхности S.

Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, не содержит координаты z и совпадает с уравнением направляющей. Например, если направляющей является эллипс
Аналитическая геометрия в пространстве
то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром, а (2) — ее уравнением.Аналитическая геометрия в пространстве

Заметим, что на плоскости Оху уравнение F (х; у)= 0 определяет линию L, но эта же линия в пространственной системе координат Oxyz задается двумя уравнениями
Аналитическая геометрия в пространстве

Так, например, в пространственной системе координат Oxyz уравнение Аналитическая геометрия в пространстве определяет цилиндрическую поверхность — круговой цилиндр (рис. 149), а направляющая L этого цилиндра (окружность), лежащая в плоскости Оху, определяется двумя уравнениями
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения плоскости

Покажем, что поверхности первого порядка плоскости и только плоскости, и рассмотрим два вида уравнений плоскости.

Общее уравнение плоскости:

Пусть заданы: прямоугольная система координат Oxyz, произвольная плоскость Аналитическая геометрия в пространстве; точка Аналитическая геометрия в пространстве вектор Аналитическая геометрия в пространстве, перпендикулярный плоскости Аналитическая геометрия в пространстве, где А, В, С — его координаты (рис. 150).

Рассмотрим произвольную точку М (х, у, z). Точка М лежит на плоскости Аналитическая геометрия в пространстве тогда и только тогда, когда векторы Аналитическая геометрия в пространстве взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора Аналитическая геометрия в пространстве равны Аналитическая геометрия в пространстве то в силу условия перпендикулярности двух векторов [см. § 6, формулу (3)] получаем, что точка М (х, у, z) лежит на плоскости Аналитическая геометрия в пространстве тогда и только тогда, когда Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Это и есть искомое уравнение плоскости Аналитическая геометрия в пространстве, так как ему удовлетворяют координаты х; у; z любой точки М, лежащей на плоскости Аналитическая геометрия в пространстве, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой плоскости.

Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду Аналитическая геометрия в пространстве
Далее, обозначая число Аналитическая геометрия в пространстве через D, получаем Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как определяется уравнением первой степени.

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.

Действительно, пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и уравнение Аналитическая геометрия в пространстве с произвольными коэффициентами А, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение Аналитическая геометрия в пространстве (если, например, Аналитическая геометрия в пространстве, то, взяв произвольные Аналитическая геометрия в пространстве из уравнения получим: Аналитическая геометрия в пространстве).
Таким образом, существует хотя бы одна точка Аналитическая геометрия в пространствекоординаты которой удовлетворяют уравнению, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве Вычитая это числовое равенство из уравнения Аналитическая геометрия в пространстве получаем уравнение

Аналитическая геометрия в пространстве эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и уравнение Аналитическая геометрия в пространстве) совпадает с уравнением (1) и, значит, определяет плоскость Аналитическая геометрия в пространстве, проходящую через точку Аналитическая геометрия в пространстве и перпендикулярную вектору Аналитическая геометрия в пространстве

Вектор Аналитическая геометрия в пространстве, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярно вектору Аналитическая геометрия в пространстве
Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково:
Аналитическая геометрия в пространствеВ заключение докажем следующую теорему.

Теорема:

Если два уравнения Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны.

Доказательство:

Действительно, векторы Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллинеарны. Но тогда числа Аналитическая геометрия в пространстве пропорциональны числам Аналитическая геометрия в пространстве (см. формулу (2), § 4), т. е.Аналитическая геометрия в пространстве
или Аналитическая геометрия в пространстве (Аналитическая геометрия в пространстве — множитель пропорциональности). Умножая первое из заданных уравнений на ц и вычитая из второго, получаем Аналитическая геометрия в пространстве и, следовательно,
Аналитическая геометрия в пространстве

Угол между двумя плоскостями

Рассмотрим две плоскости Аналитическая геометрия в пространстве заданные соответственно уравнениями Аналитическая геометрия в пространстве
При любом расположении плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве в пространстве один из углов Аналитическая геометрия в пространстве между ними равен углу между их нормальными векторами Аналитическая геометрия в пространстве и вычисляется по следующей формуле:Аналитическая геометрия в пространстве

Второй угол равен 180° — Аналитическая геометрия в пространстве.

Условие параллельности плоскостей

Если плоскости Аналитическая геометрия в пространстве параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы Аналитическая геометрия в пространстве и наоборот. Но тогда
Аналитическая геометрия в пространстве

Условие (4) является условием параллельности плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве

Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости Аналитическая геометрия в пространстве взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы Аналитическая геометрия в пространстве также перпендикулярны друг другуАналитическая геометрия в пространстве, и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве:Аналитическая геометрия в пространстве

Нормальное уравнение плоскости

Расстояние от точки до плоскости. Пусть заданы прямоугольная система координат Охуz и произвольная плоскость Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 151). Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости л. Будем называть ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересекает плоскость Аналитическая геометрия в пространстве.
Аналитическая геометрия в пространстве

На нормали введем направление от точки О к точке Р. Если точки О и Р совпадают, то возьмем любое из двух направлений на нормали. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве — углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат; р — длина отрезка ОР.

Выведем уравнение данной плоскости л, считая известными числа Аналитическая геометрия в пространстве и р. Для этого введем единичный вектор Аналитическая геометрия в пространстве на нормали, направление которого совпадает с положительным направлением нормали.

Так как Аналитическая геометрия в пространстве — единичный вектор, то Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть М (х; у; z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости Аналитическая геометрия в пространстве тогда и только тогда, когда проекция вектора Аналитическая геометрия в пространстве на нормаль равна р, т. е.
Аналитическая геометрия в пространстве

Заметим теперь, что Аналитическая геометрия в пространстве По теореме 9.6, учитывая равенство (5), имеем Аналитическая геометрия в пространстве

Из равенств (6) и (7) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на плоскости Аналитическая геометрия в пространстве тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
Аналитическая геометрия в пространстве
которое и является искомым уравнением данной плоскости. Уравнение плоскости в виде (8) называется нормальным.

Теорема:

Если точка М* имеет координаты х*, у*, z*, а плоскость задана нормальным уравнениемАналитическая геометрия в пространстве

Доказательство:

Пусть Q — проекция точки М* на направленную нормаль (рис. 151); тогда в силу основного тождества (см. гл. 1, § 3) PQ=OQ—ОР, откуда
Аналитическая геометрия в пространстве

Вектор Аналитическая геометрия в пространстве По теореме 9.5, учитывая равенство (5), найдем Аналитическая геометрия в пространстве
Из равенств (9) и (10) окончательно получаем Аналитическая геометрия в пространстве
Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть Аналитическая геометрия в пространстве
— общее уравнение некоторой плоскости, аАналитическая геометрия в пространстве
— ее нормальное уравнение. Так как уравнения (11) и (12) определяют одну и ту же плоскость, то по теореме 9.10 коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что умножая все члены (11) на некоторый множитель Аналитическая геометрия в пространстве, получаем уравнениеАналитическая геометрия в пространстве

совпадающее с уравнением (12), т. е. имеемАналитическая геометрия в пространстве
Чтобы найти множитель Аналитическая геометрия в пространстве, возведем первые три из равенств (13) в квадрат и сложим; тогда получим Аналитическая геометрия в пространстве

Но согласно формуле (6) из § 2 правая часть последнего равенства Равна единице. Следовательно,
Аналитическая геометрия в пространстве

Число Аналитическая геометрия в пространстве, с помощью которого общее уравнение плоскости преобразуется в нормальное, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак Аналитическая геометрия в пространстве определяется равенством Аналитическая геометрия в пространстве, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения (11).

Если в уравнении (11) D=О, то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.

Пример:

Даны плоскость Аналитическая геометрия в пространстве и точка М* (1; 1; 1) Найти расстояние d от точки М* до данной плоскости.

Решение:

Чтобы использовать теорему 9.11, надо прежде всего привести данное уравнение к нормальному виду. Для этого найдем нормирующий множитель
Аналитическая геометрия в пространстве
Умножая данное уравнение на Аналитическая геометрия в пространстве, получаем искомое нормальное уравнение плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М*, имеем
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения прямой

Как уже было отмечено, линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием двух уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определять заданием двух уравнений первой степени.

Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Oxyz и произвольная прямая L. Обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве две различные плоскости, пересекающиеся по прямой L, заданные соответственно уравнениями
Аналитическая геометрия в пространстве

Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую L в том и только в том случае, когда плоскости Аналитическая геометрия в пространстве не параллельны и не совпадают друг с другом, т. е. нормальные векторы этих плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве не коллинеарны (коэффициенты Аналитическая геометрия в пространстве не пропорциональны коэффициентам Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой

Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор Аналитическая геометрия в пространстве, лежащий на данной прямой или параллельный ей (рис. 152). Вектор Аналитическая геометрия в пространстве называется направляющим вектором данной прямой. Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку Аналитическая геометрия в пространстве и имеющей данный направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 152).

Пусть М(х; y; z) — произвольная точка. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарен направляющему вектору Аналитическая геометрия в пространстве, т. е. когда координаты вектора Аналитическая геометрия в пространстве пропорциональны координатам вектора Аналитическая геометрия в пространстве:
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения (2) и являются искомыми. Они называются каноническими уравнениями прямой.

Для того чтобы составить канонические уравнения (2), если прямая L задана уравнениями (1), необходимо:
1) найти какую-нибудь точку Аналитическая геометрия в пространстве; для этого следует задать числовое значение одной из неизвестных координат Аналитическая геометрия в пространстве и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (1), после этого две другие координаты определяются в результате совместного решения уравнении (1);Аналитическая геометрия в пространстве

2) найти направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве. Так как прямая L определена пересечением плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве, то она перпендикулярна каждому из нормальных векторов Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 153). Поэтому в качестве вектора Аналитическая геометрия в пространстве можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам Аналитическая геометрия в пространстве, например их векторное произведение Аналитическая геометрия в пространстве. Так как координаты векторов Аналитическая геометрия в пространстве известны: Аналитическая геометрия в пространстве; Аналитическая геометрия в пространстве, то по теореме 9.7 найдем координаты вектора Аналитическая геометрия в пространстве: Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Найти канонические уравнения прямой
Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Полагая, например, Аналитическая геометрия в пространстве, из системы
Аналитическая геометрия в пространстве

получаем Аналитическая геометрия в пространстве Таким образом, точка Аналитическая геометрия в пространстве прямой найдена. Теперь определим направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве. Имеем: Аналитическая геометрия в пространстве отсюда Аналитическая геометрия в пространстве Аналитическая геометрия в пространствеПодставляя найденные значения Аналитическая геометрия в пространстве в равенства (2), получаем канонические уравнения данной прямой: Аналитическая геометрия в пространстве

Параметрические уравнения прямой

Иногда прямую полезно задавать не в виде канонических уравнений (2), а иначе. Пусть прямая L задана уравнениями (2). Обозначим через t каждое из равных отношений. ТогдаАналитическая геометрия в пространстве
Равенства (3) называются параметрическими уравнениями прямой L, проходящей через точку Аналитическая геометрия в пространстве и имеющей направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр Аналитическая геометрия в пространстве х, у, z — как функции от t. При изменении t величины х, у, z изменяются, так что точка М (x; у; z) движется по данной прямой.

Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом деле, пусть непараллельные плоскость Аналитическая геометрия в пространстве и прямая L заданы соответственно уравнениями
Аналитическая геометрия в пространстве

Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для х, у, z из уравнений L в уравнение Аналитическая геометрия в пространстве. В результате преобразований получаем
Аналитическая геометрия в пространстве
причем знаменатель дроби не равен нулю, так как плоскость не параллельна прямой (см. § 13). Подставляя найденное значение t в уравнения прямой, находим искомую точку М (х; у; z). пересечения прямой L с плоскостью Аналитическая геометрия в пространстве.

Угол между прямыми

Рассмотрим две прямые Аналитическая геометрия в пространстве, заданные соответственно уравнениямиАналитическая геометрия в пространстве
При любом расположении прямых Аналитическая геометрия в пространстве в пространстве один из двух углов между ними равен углу Аналитическая геометрия в пространстве между их направляющими векторами Аналитическая геометрия в пространстве, а второй угол равен Аналитическая геометрия в пространстве Угол Аналитическая геометрия в пространстве вычисляется по следующей формуле:
Аналитическая геометрия в пространстве

Условие параллельности прямых

Прямые Аналитическая геометрия в пространстве параллельны в том и только в том случае, когда их направляющие векторы Аналитическая геометрия в пространстве коллинеарны. Отсюда получаем условие параллельности прямых Аналитическая геометрия в пространстве:
Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Условие перпендикулярности прямых

Прямые Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярны в том и только в том случае, когда их направляющие векторы Аналитическая геометрия в пространствеперпендикулярны. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямых Аналитическая геометрия в пространстве:
Аналитическая геометрия в пространстве

Расстояние от точки до прямой

В заключение рассмотрим задачу: найти расстояние d от данной точки до данной прямой в пространстве.

Пусть дана прямая L:
Аналитическая геометрия в пространстве
и точка Аналитическая геометрия в пространстве. Искомое расстояние d является высотой параллелограмма, построенного на векторах Аналитическая геометрия в пространстве(рис. 154)._

Пусть вектор Аналитическая геометрия в пространстве — векторное произведение векторов Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве Так как Аналитическая геометрия в пространстве равен площади параллелограмма, построенного на векторах Аналитическая геометрия в пространстве гдеАналитическая геометрия в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Условия параллельности и перпендикулярности

Пусть заданы прямая
Аналитическая геометрия в пространстве и плоскость Аналитическая геометрия в пространстве

Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда ее направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярен нормальному вектору Аналитическая геометрия в пространстве плоскости. Отсюда получаем условие параллельности прямой и плоскости:Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Прямая перпендикулярна плоскости в том и только в том случае, когда её направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости:
Аналитическая геометрия в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы плоскостью: Аналитическая геометрия в пространстве
не перпендикулярная плоскости. Под углом Аналитическая геометрия в пространстве между прямой L и плоскостью Аналитическая геометрия в пространстве будем понимать острый угол между L и ее проекцией на Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 155). Обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве Если Аналитическая геометрия в пространстве (как на рис. 155), то Аналитическая геометрия в пространстве Если же Аналитическая геометрия в пространстве В любом случае Аналитическая геометрия в пространствеНо для Аналитическая геометрия в пространстве формула известна [см. §6, формулу (4)], следовательно,
Аналитическая геометрия в пространстве

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка — это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

Геометрическое исследование поверхностей второго порядка проведем по заданным уравнениям с помощью метода параллельных сечений.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h — любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями Аналитическая геометрия в пространстве

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если Аналитическая геометрия в пространстве и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2) Если Аналитическая геометрия в пространстве и линия (2) вырождается в точки Аналитическая геометрия в пространстве (плоскости Аналитическая геометрия в пространстве касаются эллипсоида).
3) Если Аналитическая геометрия в пространстве то уравнения (2) можно представить в виде Аналитическая геометрия в пространстве

откуда следует, что плоскость z—h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями Аналитическая геометрия в пространстве При уменьшении Аналитическая геометрия в пространстве значения а* и b* увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h=0, т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Оху получается самый большой эллипс с полуосями a*=a и b*=b.

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, с называются полуосями эллипсоида. В случае а=Ь=с эллипсоид является сферой.

Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz (у=0) и Oyz (х=0). Получаем соответственно уравнения
Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Оху. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
Аналитическая геометрия в пространстве

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями Аналитическая геометрия в пространстве достигающими своих наименьших значений при h=0, т. е. в сечении данного гиперболоида координатной плоскостью Оху получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании Аналитическая геометрия в пространстве величины а* и Ь* возрастают бесконечно.Аналитическая геометрия в пространстве

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Оху (рис. 157).

Величины а, b, с называются полуосями однополостного гиперболоида, первые две из них изображены на рис. 157, а чтобы изобразить на чертеже полуось с, следует подстроить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол.

Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнениемАналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим ее сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получаем соответственно уравнения Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h параллельными координатной плоскости Оху. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениямиАналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что при Аналитическая геометрия в пространстве плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве При увеличении Аналитическая геометрия в пространстве величины а* и b* также увеличиваются.

При h=±c уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: Аналитическая геометрия в пространстве (плоскости Аналитическая геометрия в пространстве касаются данной поверхности).

При Аналитическая геометрия в пространстве уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей» (отсюда название двуполостный), каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 158).

Величины а, b, с называются полуосями двуполостного гиперболоида. На рис. 158 изображена величина с. Чтобы изобразить на чертеже а и b, нужно построить основные прямоугольники гипербол в плоскостях Oxz и Oyz.

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнениемАналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Исследуем с помощью сечений эту поверхность. Рассмотрим сначала сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получаем соответственно уравнения
Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Оху. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что при Аналитическая геометрия в пространстве плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

При увеличении h величины а* и b* также увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного параболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным параболоидом не существует.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечной выпуклой чаши (рис. 159).

Точка (0; 0; 0) называется вершиной эллиптического параболоида; числа р и q — его параметрами.

В случае p=q уравнения (8) определяют окружность с центром на оси Oz, т. е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси. Такая поверхность называется параболоидом вращения.

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнениемАналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Установим геометрический вид поверхности (9). Рассмотрим сечение параболоида координатной плоскостью Oxz (у=0). Получаем уравнения
Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y = h), получаются также направленные вверх параболы
Аналитическая геометрия в пространстве

Рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0). Получаем уравнения
Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина ее лежит на параболе, определенной уравнениями (10).
Аналитическая геометрия в пространстве
Рассмотрим, наконец, сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Оху. Получим уравнения
Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxz при h<0 — гиперболы, пересекающие плоскость Oyz; при h=0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
Аналитическая геометрия в пространстве

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить гиперболический параболоид в виде седлообразной поверхности

(рис. 160). На рисунке изображено несколько сечений параболоида плоскостями z=h для случаев h>0 и h<0.
Аналитическая геометрия в пространстве

Точка (0; 0; 0) называется вершиной гиперболического параболоида; числа р и q — его параметрами.

Конус второго порядка

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (11) называется каноническим уравнением конуса второго порядка. Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxz (y=0) получаем линию
Аналитическая геометрия в пространстве
распадающуюся на две пересекающиеся прямыеАналитическая геометрия в пространстве

Аналогично, в сечении конуса плоскостью Оуz (х=0) также получаются две пересекающиеся прямые Аналитическая геометрия в пространстве

Рассмотрим теперь сечения данной поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Оху. Получим уравнения Аналитическая геометрия в пространстве
из которых следует, что при h>0 и h<О в сечениях получаются эллипсы с полуосями Аналитическая геометрия в пространстве При увеличении абсолютной величины h полуоси а* и b* также увеличиваются.

При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0; 0; 0). Таким образом, рассмотренные сечения позволяют представить конус в виде поверхности, изображенной на рис. 161.

Аналитическая геометрия в пространстве — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Плоскость в пространстве

1°. Всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно декартовых координат переменной точки плоскости. Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат определяет плоскость.

2°. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярно вектору Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространственазывается нормальным вектором плоскости (рис. 4.1).

3°. Общее уравнение плоскости

Аналитическая геометрия в пространстве

Примечание:

На самом деле в качестве нормального вектора плоскости можно брать любой вектор, коллинеарный Аналитическая геометрия в пространстве, координаты которого наиболее приемлемы для вычислений. Неполные уравнения плоскости:

1) если D = 0, т. е. Ах + By + Cz = 0, то плоскость проходит через начало координат;

2) отсутствие в общем уравнении плоскости коэффициента при какой-либо переменной означает, что нормальный вектор Аналитическая геометрия в пространстве имеет соответствующую нулевую координату, т. е. перпендикулярен к этой оси, а плоскость, следовательно, параллельна этой оси.

Например, если А = 0, то уравнение плоскости имеет вид By + Cz + D = 0, ее нормальный вектор Аналитическая геометрия в пространстве и плоскость параллельна оси Ох (рис. 4.2,а); если В = 0, то Аналитическая геометрия в пространстве и

Аналитическая геометрия в пространстве

плоскость параллельна оси Оу (рис. 4.2,6); если В = С = 0, т.е. Ах + D = 0, то Аналитическая геометрия в пространстве а плоскость параллельна плоскости Oyz, т.е. перпендикулярна оси Ох (рис. 4.2, в).

4°. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Аналитическая геометрия в пространстве получается раскрытием следующего определителя:

Аналитическая геометрия в пространстве

5°. Уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях отрезки а, b, с (рис. 4.3), имеет вид

Аналитическая геометрия в пространстве

и называется уравнением плоскости в отрезках.

Аналитическая геометрия в пространстве

6°. Если |р| есть длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость (рис. 4.4), a Аналитическая геометрия в пространстве — направляющие косинусы этого перпендикуляра, то Аналитическая геометрия в пространстве называется нормальным уравнением плоскости.

Общее уравнение плоскости всегда можно привести к нормальному виду умножением всех его членов на нормирующий множитель

Аналитическая геометрия в пространстве

где знак перед корнем берется противоположным знаку D.

7°. Расстояние d от точки Аналитическая геометрия в пространстве до плоскости с уравнением Ах + By + Cz + D = 0 определяется по формуле

Аналитическая геометрия в пространстве

8°. Угол между плоскостями, заданными уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

есть двугранный угол (рис. 4.5), который измеряется углом Аналитическая геометрия в пространствемежду нормальными векторами этих плоскостей:

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Условие перпендикулярности плоскостей равносильно условию перпендикулярности их нормальных векторов:Аналитическая геометрия в пространстве или Аналитическая геометрия в пространстве Условие параллельности плоскостей совпадает с условием коллинеарности векторов Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве


Примеры с решениями

Пример:

Построить плоскости, заданные уравнениями:

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

а) Данное уравнение приводим к уравнению в отрезках:

Аналитическая геометрия в пространстве

На оси Ох откладываем отрезок Аналитическая геометрия в пространстве (от начала координат), на

Оу — отрезок b = 4, на оси Oz — отрезок с = 2. Остается соединить полученные точки (получаем сечения плоскости координатными плоскостями, рис. 4.6, а).

Аналитическая геометрия в пространстве

б) Данная плоскость содержит ось Oz и пересекает плоскость Оху по прямой х — у = 0, принадлежащей этой плоскости (рис. 4.6, б).

в) Это неполное уравнение плоскости, параллельной оси Oz. Она пересекает плоскость Оху по прямой 2х + Зу — 6 = 0. Добавим, что эта плоскость перпендикулярна вектору Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 4.6, в).

г) Плоскость перпендикулярна вектору Аналитическая геометрия в пространстве т.е. оси Oz, и пересекает эту ось в точке (0,0,2) (рис. 4.6, г).

Пример:

Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Ох отрезок OA = 3 и перпендикулярной вектору Аналитическая геометрия в пространстве= {2, -3, 1}.

Решение:

По условию точка A(3,0,0) принадлежит искомой плоскости. Согласно п. 3° уравнение этой плоскости имеет вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки (1,0,1) и (-2,1,3).

Решение:

Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид Ах + By + D = 0. Подставив сюда координаты заданных точек плоскости, получим систему для определения коэффициентов уравнения:

Аналитическая геометрия в пространстве

т. е. Ах + 3Ay — А = 0, или х + 3у — 1 =0.

Пример:

Установить, что плоскости с уравнениями 2х + 3у —4z + 1= 0 и 5х-2y+ z + 6 = 0 перпендикулярны.

Решение:

Запишем нормальные векторы данных плоскостей:Аналитическая геометрия в пространстве Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение Аналитическая геометрия в пространстве Имеем 2 • 5 + 3 • (-2) + (-4) • 1=0 (см. п. 8°).

Пример:

Найти расстояние от точки А(2,3,-4) до плоскости 2х + 6у — 3z + 16 = 0.

Решение:

По формуле п. 7° имеем

Аналитическая геометрия в пространстве

Ответ,

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Согласно п. 4е уравнение искомой плоскости определяется равенством

Аналитическая геометрия в пространстве

Раскрываем определитель (гл. I) по элементам первой строки:

Аналитическая геометрия в пространстве

Прямая в пространстве

1°. Прямую в пространстве можно определить как линию пересечения двух плоскостей. Система уравнений

Аналитическая геометрия в пространстве

задает общие уравнения прямой.

2°. Канонические уравнения прямой

Аналитическая геометрия в пространстве

определяют прямую, проходящую через точку Аналитическая геометрия в пространствепараллельно вектору Аналитическая геометрия в пространстве который называется направляющим вектором прямой (рис. 4.7)

Аналитическая геометрия в пространстве

3°. Параметрические уравнения прямой имеют вид

Аналитическая геометрия в пространстве

где параметр t изменяется в интервале Аналитическая геометрия в пространстве

4°. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

(если знаменатель какой-либо дроби равен нулю, то ее числитель тоже равен нулю).

5°. Для приведения общих уравнений прямой к каноническому виду следует:

  • взять две точки на прямой, для чего одной переменной нужно придать два числовых значения и решить систему уравнений относительно других переменных (или взять два значения параметра t)
  • написать уравнения прямой, проходящей через две точки (п. 4°).

6°. Направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве прямой, заданной общими уравнениями (рис. 4.8)

Аналитическая геометрия в пространстве

имеет вид: Аналитическая геометрия в пространстве— векторное произведение нормальных
векторов Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

7°. Под углом между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

следует понимать угол Аналитическая геометрия в пространстве (рис. 4.9) между направляющими векторами этих прямых. Этот угол можно определить при помощи косинуса:

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем условие перпендикулярности их направляющих векторов:

Аналитическая геометрия в пространстве

Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарности направляющих векторов:

Аналитическая геометрия в пространстве


Примеры с решениями

Пример:

Привести к каноническому виду общие уравнения
прямой

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Канонические уравнения прямой составим по двум точкам (как в п. 4°). Координаты двух точек прямой найдем по схеме п. 5°.

1) Положим, например, Аналитическая геометрия в пространстве и решим систему

Аналитическая геометрия в пространстве

Точка Аналитическая геометрия в пространствележит на прямой.

2) Аналогично, пусть Аналитическая геометрия в пространствеТогд

Аналитическая геометрия в пространстве

Точка Аналитическая геометрия в пространстве также принадлежит прямой.

3) Запишем уравнения прямой, проходящей через две точки (п. 4°):

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Для направляющего вектора прямой

Г 2х — Зу — 3z + 4 = О, \ x + 2y + z- 5 = 0

Аналитическая геометрия в пространстве

найти направляющие косинусы.

Решение:

Согласно п. 6° найдем направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве данной прямой

Аналитическая геометрия в пространстве

Найдем Аналитическая геометрия в пространстве
Теперь (гл. Ill)

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(-2,3,1) параллельно прямой

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Чтобы записать канонические уравнения прямой (п. 2°), нам недостает направляющего вектора, который определим по п. 6° (см. пример 2):

Аналитическая геометрия в пространстве

Искомые уравнения имеют вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Плоскость и прямая в пространстве

1°. Углом между прямой и плоскостью называется угол Аналитическая геометрия в пространствемежду прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть Аналитическая геометрия в пространстве — направляющий вектор прямой, а Аналитическая геометрия в пространстве —нормальный вектор плоскости. Тогда (рис. 4.10)

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности векторов Аналитическая геометрия в пространстве

Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с условием перпендикулярности векторов Аналитическая геометрия в пространстве

2°. Координаты точки пересечения прямой Аналитическая геометрия в пространстве с плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 определяются подстановкой параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости, нахождением значения параметра t и подстановкой этого значения в параметрические уравнения прямой.

3°. Координаты точки пересечения трех плоскостей определяются решением системы уравнений этих плоскостей:

Аналитическая геометрия в пространстве

Примеры с решениями

Пример:

Даны вершины тетраэдра A(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8). Найти:

  1. длину ребра АВ
  2. угол между ребрами АВ и AD
  3. угол между ребром AD и плоскостью АВС
  4. объем тетраэдра ABCD
  5. уравнение ребра АВ
  6. уравнение плоскости АВС
  7. уравнение высоты, опущенной из D на АВС
  8. проекцию О точки D на основание ABC
  9. высоту DO.
Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Условию задачи удовлетворяет построенный чертеж (рис. 4.11).

1) АВ вычислим по формуле

Аналитическая геометрия в пространстве

2) Угол Аналитическая геометрия в пространстве вычислим по формуле

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

3) Синус угла Аналитическая геометрия в пространстве между ребром AD и плоскостью ABC равен косинусу угла между ребром AD и нормальным вектором Аналитическая геометрия в пространстве плоскости ABC (рис. 4.12). ВекторАналитическая геометрия в пространстве коллинеарен векторному произведению Аналитическая геометрия в пространстве .

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Принимаем Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

4) Объем тетраэдра ABCD равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов Аналитическая геометрия в пространстве .

Имеем:

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Искомый объем равен: Аналитическая геометрия в пространстве

5) Уравнения прямой, проходящей через две точки, имеют вид Аналитическая геометрия в пространстве— направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве прямой.

Принимаем Аналитическая геометрия в пространстве Тогда

Аналитическая геометрия в пространстве

6) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

Аналитическая геометрия в пространстве

Имеем

Аналитическая геометрия в пространстве

или, после раскрытия определителя: Зх + 6у — 2z — 22 = 0.

7) В качестве направляющего вектора Аналитическая геометрия в пространстве прямой DO можно взять вектор Аналитическая геометрия в пространстве ,

Аналитическая геометрия в пространстве

или

Аналитическая геометрия в пространстве

8) Проекция D на AВС — это точка О (точка пересечения DO с ABC). Значения х, у и z, выраженные через параметр t, подставим в уравнение AВС. Найдем значение t и подставим обратно в выражения для х, у и z.

Аналитическая геометрия в пространстве

9) Высоту DO можно вычислить как расстояние между D и О, или как расстояние от D до плоскости, или используя формулу для объема тетраэдра.

В любом случае получим

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Найти координаты точки Q, симметричной точке Р( —6,7,-9) относительно плоскости, проходящей через точки A(1,3,-1), B(6,5,-2) и С(0, -3, -5).

Решение:

Воспользуемся эскизом задачи (рис. 4.13).

Аналитическая геометрия в пространстве

1) Составим уравнение плоскости Аналитическая геометрия в пространстве проходящей через три точки:

Аналитическая геометрия в пространстве

Подробности опускаем, так как подобное действие выполнили в предыдущей зада-Рис. 4.13 че. После раскрытия определителя получаем уравнение (ABC) : 2х — 3у + 4z + 11 =0.
2) Напишем уравнение прямой l, проходящей через точку Р перпендикулярно Аналитическая геометрия в пространстве. Принимаем Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

3) Определим координаты точки О пересечения l и Аналитическая геометрия в пространстве. Имеем: 2(-6 + 2t) — 3(7 — 3t) + 4(-9 + 4t) + 11 = 0, 29t = 58, t = 2. После подстановки t = 2 в параметрические уравнения прямой получаем: х = 4-6 = -2, у = 7-6=1, z = -9 + 8 = -1.

4) Точка 0(—2,1, — 1) делит отрезок PQ пополам, т.е., в частности, Аналитическая геометрия в пространстве или Аналитическая геометрия в пространстве Аналогичные формулы используем для Аналитическая геометрия в пространстве Получаем

Аналитическая геометрия в пространстве

Ответ. Q(2,-5,7).

Пример:

Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(1,3,2) относительно прямой АВ, где А(1, 2, -6), B(7,-7,6).

Решение:

1) Имеем Аналитическая геометрия в пространстве Принимаем Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

или

Аналитическая геометрия в пространстве

2) Уравнение плоскости Аналитическая геометрия в пространстве, проходящей через Р перпендикулярно АВ, имеет вид (рис. 4.14)

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

3) Находим координаты точки О пересечения АВ и Аналитическая геометрия в пространстве: 2(1 + 2t — 1) — 3(2 — 3t — 3) + 4(4t — 6 — 2) = 0, t = 1; х = 3, у = -1, z = -2. Итак, O(3,-1, -2).

4.Координаты Q вычислим по уже использованным ранее формулам: Аналитическая геометрия в пространствеПолучаем Аналитическая геометрия в пространстве

Ответ. Q(5, -5, -6).

Пример:

Определить расстояние от точки Р(—7,-13,10) до прямой

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

1) Через Р проводим плоскость а перпендикулярно Аналитическая геометрия в пространстве, принимая Аналитическая геометрия в пространстве Получаем Аналитическая геометрия в пространстве т. е. 2х — у + 1 = 0.

2) Находим координаты точки О пересечения Аналитическая геометрия в пространстве Выражения х = 1 — 2t, у = -2 + t, z = 0 подставляем в уравнение плоскости: 2(1 — 2t) — (t — 2) + 1 = 0. Находим сначала t = 1, затем х = 1, у = -1, z=0, т.е. O(-1, -1,0)

3) Искомое расстояние равно

Аналитическая геометрия в пространстве

Ответ, Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

При каких значениях В и С прямая Аналитическая геометрия в пространствеи плоскость Зх — 2у + 5z = 0 перпендикулярны?

Решение:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости равносильно условию параллельности их векторов Аналитическая геометрия в пространстве Соответствующие координаты этих векторов должны быть пропорциональными:

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Через прямую с общими уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

и начало координат провести плоскость и составить ее уравнение.

Решение:

Задачу сводим к построению плоскости по трем точкам. Подставляем z = -2 в исходную систему и решаем ее относительно х, у. Получаем одну точку Аналитическая геометрия в пространстве на данной прямой. Другую точку на этой прямой найдем при z = 6: Аналитическая геометрия в пространствеОстается составить уравнение плоскости по трем точкам:

Аналитическая геометрия в пространстве

т.е. 18х — 8у + 23z = 0.

Пример:

Составить уравнение плоскости, содержащей точку Аналитическая геометрия в пространстве и прямую Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Из уравнения прямой известны координаты точки Аналитическая геометрия в пространстве на ней и направляющего вектораАналитическая геометрия в пространстве

Пусть M(x,y,z) — текущая точка плоскости (рис. 4.15). Тогда векторы Аналитическая геометрия в пространстве лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Условие компланарности векторов будет искомым уравнением: Аналитическая геометрия в пространствеИмеем:

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение искомой плоскости имеет вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Раскрывая определитель по элементам первой строки, упрощаем: 5х + 2у — 3z — 17 = 0.

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Найти расстояние от точки Аналитическая геометрия в пространстве до прямой

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Искомое расстояние можно найти как высоту h параллелограмма, построенного на векторах (рис. 4.16)

Аналитическая геометрия в пространстве

Площадь параллелограмма, как известно, равна модулю векторного произведения векторов Аналитическая геометрия в пространстве

Таким образом, Аналитическая геометрия в пространстве

Сравните с примером 4.

Поверхности второго порядка

1°. Если в пространстве Аналитическая геометрия в пространстве ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то каждая поверхность будет задаваться некоторым уравнением F(x,y,z) =0, где (х, у, z) — координаты любой точки поверхности. Если F(x,y,z) — многочлен второй степени относительно совокупности переменных х, у, z, то уравнение F(x,y,z) = 0 называется уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением, называется поверхностью второго порядка. Если поверхность имеет специальное расположение относительно системы координат (например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей), то ее уравнение имеет достаточно простой вид и называется каноническим уравнением.

2°. Для поверхностей второго порядка перечислим канонические уравнения и приведем эскизы.

Аналитическая геометрия в пространстве

1) Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис. 4.17):

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение

Аналитическая геометрия в пространстве

изображает сферу радиуса R с центром в точке Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

2) Эллипсоид с полуосями a, b, с и центром в начале координат (рис. 4.18)

При а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.

Аналитическая геометрия в пространстве

3) Гиперболоид однополостный (рис. 4.19):

Аналитическая геометрия в пространстве

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h являются эллипсами:

Аналитическая геометрия в пространстве

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами:

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

4) Гиперболоид двуполостный (рис. 4.20):

Аналитическая геометрия в пространстве

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями Аналитическая геометрия в пространстве являются эллипсами:

Аналитическая геометрия в пространстве

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами:

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

5) Параболоид эллиптический (рис. 4.21):

Аналитическая геометрия в пространстве

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями Аналитическая геометрия в пространстве суть эллипсы:

Аналитическая геометрия в пространстве

Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами:

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

6) Параболоид гиперболический (рис. 4.22):

Аналитическая геометрия в пространстве

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h суть гиперболы Аналитическая геометрия в пространстве Сечения вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами:

Аналитическая геометрия в пространстве

7) Конус эллиптический с вершиной в начале координат (рис. 4.23):

Аналитическая геометрия в пространстве

Если а = b, то конус круглый или круговой. Сечения конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами:

Аналитическая геометрия в пространстве

(при h = 0 эллипс вырождается в точку). Сечения конуса вертикальными плоскостями х = h и у = h являются гиперболами:

Аналитическая геометрия в пространстве

3°. К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, направляющие которых — линии второго порядка. Мы ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости Оху, а образующие — прямые, параллельные оси Oz, что является следствием отсутствия переменной г в уравнении поверхности F(x,y)= 0.

Аналитическая геометрия в пространстве

Различают следующие цилиндры: 1) Эллиптический (рис. 4.24):

Аналитическая геометрия в пространстве

Если а = b = R, то цилиндр — круговой: Аналитическая геометрия в пространстве

2) Гиперболический (рис. 4.25):

Аналитическая геометрия в пространстве

3) Параболический (рис. 4.26):

Аналитическая геометрия в пространстве

Примеры с решениями

Пример:

Определить тип поверхности и сделать чертеж:

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

а) Запишем данное уравнение в виде Аналитическая геометрия в пространствеСопоставив его с 7), определяем, что это круговой (а = b = с) конус с вершиной в начале координат и осью вращения Ох (ср. рис. 4.23, на котором ось вращения — Oz).

б) Переписав уравнение поверхности в виде Аналитическая геометрия в пространствеопределим, согласно 3), что это однополостный гиперболоид (рис. 4.27).

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

в) Переписав уравнение поверхности в виде Аналитическая геометрия в пространствеопределяем, согласно 4), что это двуполостный гиперболоид (рис. 4.28)

г) Переписав уравнение поверхности в виде Аналитическая геометрия в пространстве определяем, согласно 5), что это эллиптический параболоид (рис. 4.29).

Пример:

Определить тип поверхности и сделать чертеж:

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

а) Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная z, то это цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей — параболой (рис. 4.30) с уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

б) Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная у, то это цилиндр с образующими, параллельными оси Оу, и направляющей — параболой (рис. 4.31) с уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

в) Цилиндр с образующими, параллельными оси Ох, и направляющей — окружностью радиуса 2 с уравнениями (рис. 4.32)

Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Начертить тело, ограниченное данными поверхностями:

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

а) Первая поверхность — эллиптический параболоид Аналитическая геометрия в пространстве вторая — цилиндр с образующими, параллельными оси Оу (рис. 4.33)

б) z = 0 — это координатная плоскость Оху, у + z = 2 — это плоскость, параллельная оси Аналитическая геометрия в пространстве — это параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz (рис. 4.34).

в) Тело ограничено параболоидом и конусом (рис. 4.35).

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке Аналитическая геометрия в пространстве есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки Oi на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение Аналитическая геометрия в пространстве с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка Аналитическая геометрия в пространстве на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки Аналитическая геометрия в пространстве в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке Аналитическая геометрия в пространстве. Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра Аналитическая геометрия в пространстве равно радиусу R, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве, где Аналитическая геометрия в пространстве. Следовательно,

Аналитическая геометрия в пространстве

или

Аналитическая геометрия в пространстве

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы Аналитическая геометрия в пространстве совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид Аналитическая геометрия в пространстве

Если же дано уравнение вида F(x; у; z) = 0, то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; у, z ) = 0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Так, уравнению Аналитическая геометрия в пространстве не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению Аналитическая геометрия в пространствеудовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

  1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
  2. Дано уравнение F(x; у, z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Уравнения линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.

Если Аналитическая геометрия в пространстве— уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например, Аналитическая геометрия в пространстве есть уравнения оси Ох.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

или параметрическими уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

проекций вектора (12.2) на оси координат.

Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Если точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М описывает винтовую линию (см. рис. 68).

Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой Аналитическая геометрия в пространстве и вектором Аналитическая геометрия в пространстве, перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку М(х; у; z) и составим вектор

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

При любом расположении точки М на плоскости Q векторы Аналитическая геометрия в пространстве и
Аналитическая геометрия в пространстве взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: Аналитическая геометрия в пространствет. е.

Аналитическая геометрия в пространстве

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них Аналитическая геометрия в пространстве).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярно вектору Аналитическая геометрия в пространстве. Оно первой степени относительно текущих координат х, у и z. Вектор Аналитическая геометрия в пространстве называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку Аналитическая геометрия в пространстве. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:

Аналитическая геометрия в пространстве

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например Аналитическая геометрия в пространстве, перепишем уравнение (12.4) в виде

Аналитическая геометрия в пространстве

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором Аналитическая геометрия в пространстве, проходящей через точкуАналитическая геометрия в пространстве.
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

  1. Если D = 0, то оно принимает вид Ах + By + Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О(0; 0;0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.
  2. Если С = 0, то имеем уравнение Ах + By + D = 0. Нормальный вектор Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна оси Oz; если В = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.
  3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через О(0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость Ах + By = 0 проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям By + Cz = 0 и Ах + Cz = 0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
  4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид Cz + D = 0, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям Ах + D = 0 и By + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.
  5. Если А = В = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид Cz = 0, т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Oxz; х = 0 — уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки Аналитическая геометрия в пространстве не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим векторы Аналитическая геометрия в пространстве Аналитическая геометрия в пространстве. Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем

Аналитическая геометрия в пространстве

т. е.

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки a, b и с, т. е. проходит через три точки А(а;0;0), В(0;b;0) и С(0;0;c) (см. рис. 70).

Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Аналитическая геометрия в пространстве

Раскрыв определитель, имеем bcx — Аналитическая геометрия в пространствет. е. Аналитическая геометрия в пространстве или

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора Аналитическая геометрия в пространстве, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см. рис. 71).

Пусть Аналитическая геометрия в пространстве — углы, образованные единичным вектором Аналитическая геометрия в пространстве с осями Ох, Оу и Oz. Тогда Аналитическая геометрия в пространстве. Возьмем на плоскости произвольную точку М(х, у, z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор Аналитическая геометрия в пространстве.

При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора Аналитическая геометрия в пространстве на направление вектора Аналитическая геометрия в пространстве всегда равно р: Аналитическая геометрия в пространстве, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве или

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторовАналитическая геометрия в пространстве, уравнение (12.8) перепишем в виде

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель Аналитическая геометрия в пространстве, где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

Плоскость и её основные задачи

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости Аналитическая геометрия в пространстве:

Аналитическая геометрия в пространстве

Под углом между плоскостями Аналитическая геометрия в пространстве понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол Аналитическая геометрия в пространстве между нормальными векторами Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве равен одному из этих углов (см. рис. 72). Поэтому Аналитическая геометрия в пространстве или

Аналитическая геометрия в пространстве

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскостиАналитическая геометрия в пространстве перпендикулярны (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве (и наоборот). Но тогда Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

т. е. Аналитическая геометрия в пространстве Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве.

Если плоскости Аналитическая геометрия в пространстве параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали Аналитическая геометрия в пространстве (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: Аналитическая геометрия в пространстве.

Это и есть условие параллельности двух плоскостей Аналитическая геометрия в пространстве.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка Аналитическая геометрия в пространстве и плоскость Q своим уравнением Ах + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки Аналитическая геометрия в пространстве до плоскости Q находится по формуле

Аналитическая геометрия в пространстве

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки Аналитическая геометрия в пространстве до прямой Ах + By + С = 0 (см. с. 73).

Расстояние d от точки Аналитическая геометрия в пространстве до плоскости Q равно модулю проекции вектора Аналитическая геометрия в пространстве, где Аналитическая геометрия в пространстве — произвольная точка плоскости Q, на направление нормального вектора Аналитическая геометрия в пространстве (см. рис. 74). Следовательно,

Аналитическая геометрия в пространстве

А так как точка Аналитическая геометрия в пространстве принадлежит плоскости Q, то

Аналитическая геометрия в пространстве

Поэтому Аналитическая геометрия в пространстве Отметим, что если плоскость Q задана уравнением Аналитическая геометрия в пространствето расстояние от точки Аналитическая геометрия в пространстве до плоскости Q может быть найдено по формуле

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения прямой в пространстве

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку Аналитическая геометрия в пространстве на прямой и вектор Аналитическая геометрия в пространстве, параллельный этой прямой. Вектор Аналитическая геометрия в пространстве называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой Аналитическая геометрия в пространстве и направляющим вектором Аналитическая геометрия в пространстве. Возьмем на прямой L произвольную точку М(х; у; z). Обозначим радиус-векторы точек Аналитическая геометрия в пространстве и М соответственно через Аналитическая геометрия в пространстве Очевидно, что три вектора Аналитическая геометрия в пространстве связаны соотношением

Аналитическая геометрия в пространстве

Вектор Аналитическая геометрия в пространстве лежащий на прямой L, параллелен направляющему вектору Аналитическая геометрия в пространстве, поэтому Аналитическая геометрия в пространстве, где t — скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки М на прямой (см. рис. 75).

Уравнение (12.10) можно записать в виде

Аналитическая геометрия в пространстве

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

Замечая, что Аналитическая геометрия в пространстве, уравнение (12.11) можно записать в виде

Аналитическая геометрия в пространстве

Отсюда следуют равенства:

Аналитическая геометрия в пространстве

Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой

Пусть Аналитическая геометрия в пространстве — направляющий вектор прямой L и Аналитическая геометрия в пространстве — точка, лежащая на этой прямой. Вектор Аналитическая геометрия в пространстве, соединяющий точку Аналитическая геометрия в пространстве с произвольной точкой М(х; у; z) прямой L, параллелен вектору Аналитическая геометрия в пространстве. Поэтому координаты вектора Аналитическая геометрия в пространстве и вектораАналитическая геометрия в пространствепропорциональны:

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания:

1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t. Из уравнений (12.12) находим

Аналитическая геометрия в пространстве

2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13) означает обращение в нуль соответствующего числителя.

Например, уравнения Аналитическая геометрия в пространстве задают прямую, проходящую через точку Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярно оси Oz (проекция вектора Аналитическая геометрия в пространстве на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости z = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z — 1=0.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки Аналитическая геометрия в пространстве. В качестве направляющего вектора Аналитическая геометрия в пространстве можно взять вектор

Аналитическая геометрия в пространстве

(см. рис. 76). Следовательно,

Аналитическая геометрия в пространстве

Поскольку прямая проходит через точку Аналитическая геометрия в пространстве, то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L имеют вид

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Общие уравнения прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений

Аналитическая геометрия в пространстве

Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов Аналитическая геометрия в пространстве и Аналитическая геометрия в пространстве не пропорциональны), то система (12.15) определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения (12.15) называют общими уравнениями прямой.
От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим уравнениям (12.13). Координаты точки Аналитическая геометрия в пространствена прямой L получаем из системы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0).

Так как прямая L перпендикулярна векторам Аналитическая геометрия в пространстве, то за направляющий вектор Аналитическая геометрия в пространстве прямой L можно принять векторное произведение Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

Замечание:

Канонические уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14).

Пример:

Написать канонические уравнения прямой L, заданной уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Положим z = 0 и решим систему Аналитическая геометрия в пространстве Находим точку Аналитическая геометрия в пространстве Положим у = 0 и решим систему Аналитическая геометрия в пространствеНаходим вторую точку Аналитическая геометрия в пространстве прямой L. Записываем уравнение прямой L,проходящей через точки Аналитическая геометрия в пространстве:

Прямая линия в пространстве

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые Аналитическая геометрия в пространстве заданы уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

и

Аналитическая геометрия в пространстве

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами

Аналитическая геометрия в пространстве

(см. рис. 78).

Аналитическая геометрия в пространстве

Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем Аналитическая геометрия в пространствеили

Аналитическая геометрия в пространстве

Для нахождения острого угла между прямыми Аналитическая геометрия в пространстве числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.

Если прямые Аналитическая геометрия в пространстве перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем Аналитическая геометрия в пространстве. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве

Если прямые Аналитическая геометрия в пространстве параллельны, то параллельны их направляющие векторы Аналитическая геометрия в пространстве. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е. Аналитическая геометрия в пространстве

Пример:

Найти угол между прямыми

Аналитическая геометрия в пространстве

Решение:

Очевидно, Аналитическая геометрия в пространстве где Аналитическая геометрия в пространстве. Отсюда следует, что Аналитическая геометрия в пространстве. Так как Аналитическая геометрия в пространстве.

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

Пусть прямые Аналитическая геометрия в пространстве заданы каноническими уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

Их направляющие векторы соответственно Аналитическая геометрия в пространстве(см. рис. 79).

Прямая Аналитическая геометрия в пространстве проходит через точку Аналитическая геометрия в пространстве, радиус-вектор которой обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве; прямая Аналитическая геометрия в пространстве проходит через точку Аналитическая геометрия в пространстве, радиус-вектор которой обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве. Тогда

Аналитическая геометрия в пространстве

Прямые Аналитическая геометрия в пространстве лежат в одной плоскости, если векторы Аналитическая геометрия в пространстве и
Аналитическая геометрия в пространстве компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения: Аналитическая геометрия в пространстве т.е.

Аналитическая геометрия в пространстве

При выполнении этого условия прямые Аналитическая геометрия в пространстве лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, если Аналитическая геометрия в пространстве, либо параллельны, если Аналитическая геометрия в пространстве.

Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть плоскость Q задана уравнением Ах + By + Cz + D = 0, а прямая L уравнениями Аналитическая геометрия в пространстве.

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через Аналитическая геометрия в пространстве угол между плоскостью Q и прямой L, а через Аналитическая геометрия в пространстве — угол между векторами Аналитическая геометрия в пространстве (см. рис. 80). Тогда Аналитическая геометрия в пространстве. Найдем синус угла Аналитическая геометрия в пространстве, считая Аналитическая геометрия в пространстве: Аналитическая геометрия в пространстве И так как Аналитическая геометрия в пространстве, получаем

Аналитическая геометрия в пространстве

Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы Аналитическая геометрия в пространствеперпендикулярны (см. рис. 81), а потому Аналитическая геометрия в пространстве, т. е.

Аналитическая геометрия в пространстве

является условием параллельности прямой и плоскости.

Аналитическая геометрия в пространстве

Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы Аналитическая геометрия в пространствепараллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства

Аналитическая геометрия в пространстве

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости

Пусть требуется найти точку пересечения прямой

Аналитическая геометрия в пространстве

с плоскостью

Аналитическая геометрия в пространстве

Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде:

Аналитическая геометрия в пространстве

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости (12.19), получаем уравнение Аналитическая геометрия в пространстве или

Аналитическая геометрия в пространстве

Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если Аналитическая геометрия в пространстве то из равенства (12.20) находим значение t:

Аналитическая геометрия в пространстве

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью. Рассмотрим теперь случай, когда Аналитическая геометрия в пространстве

а) если Аналитическая геометрия в пространстве, то прямая L параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид Аналитическая геометрия в пространстве);

б) если Аналитическая геометрия в пространстве, то уравнение (12.20) имеет вид Аналитическая геометрия в пространстве; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств,

Аналитическая геометрия в пространстве

является условием принадлежности прямой плоскости.

Цилиндрические поверхности

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L — его образующей (см. рис. 83).

Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение которой

Аналитическая геометрия в пространстве

Построим цилиндр с образующими параллельными оси Oz и направляющей К.

Теорема:

Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси Oz, имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты z.

Аналитическая геометрия в пространстве

Возьмем на цилиндре любую точку М(х; у; z) (см. рис. 84). Она лежит на какой-то образующей. Пусть N — точка пересечения этой образующей с плоскостью Оху. Следовательно, точка N лежит на кривой K и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).

Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка N. Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки М(х; у; z), так как оно не содержит z. И так как М — это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра.

Теперь ясно, что F(x; z) = 0 есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Оу, a F(y; z) = 0 — с образующими, параллельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс.

Аналитическая геометрия в пространстве

в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).

Аналитическая геометрия в пространстве

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение Аналитическая геометрия в пространствеопределяет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 86). Уравнение

Аналитическая геометрия в пространстве

определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см. рис.87).

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат х, у и z.

Поверхности вращения. Конические поверхности

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишутся в виде

Аналитическая геометрия в пространстве

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности произвольную точку M(x;y;z) (см. рис. 88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответственно через Аналитическая геометрия в пространстве и N. Обозначим координаты точки N через Аналитическая геометрия в пространстве. ОтрезкиАналитическая геометрия в пространстве являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому Аналитическая геометрия в пространстве. Но Аналитическая геометрия в пространстве . Следовательно Аналитическая геометрия в пространстве или Аналитическая геометрия в пространстве Кроме того, очевидно, Аналитическая геометрия в пространстве.

Аналитическая геометрия в пространстве

Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть, Аналитическая геометрия в пространстве. Исключая вспомогательные координаты Аналитическая геометрия в пространстве точки N, приходим к уравнению

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой у на Аналитическая геометрия в пространстве, координата z сохраняется.

Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу, то уравнение поверхности вращения имеет вид

Аналитическая геометрия в пространстве

если кривая лежит в плоскости Оху (z = 0) и ее уравнение F(x;у) = 0, то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси Ох, есть Аналитическая геометрия в пространстве

Так, например, вращая прямую у = z вокруг оси Oz (см. рис. 89), получим поверхность вращения (ее уравнение Аналитическая геометрия в пространстве или Аналитическая геометрия в пространстве). Она называется конусом второго порядка.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р — ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Аналитическая геометрия в пространстве

Пусть направляющая L задана уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

а точка Аналитическая геометрия в пространстве — вершина конуса. Найдем уравнение конуса. Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М(х; у, z) (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет направляющую L в некоторой точке Аналитическая геометрия в пространстве. Координаты точки N удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:

Аналитическая геометрия в пространстве

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N, имеют вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Исключая Аналитическая геометрия в пространстве из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты х, у и z.

Пример:

Составить уравнение конуса с вершиной в точке О(0; 0; 0), если направляющей служит эллипс Аналитическая геометрия в пространстве, лежащий в плоскости Аналитическая геометрия в пространстве.

Решение:

Пусть М(х; у; z) — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки (0; 0; 0) и точку Аналитическая геометрия в пространстве пересечения образующей ОМ с эллипсом будут Аналитическая геометрия в пространстве. Исключим Аналитическая геометрия в пространствеиз этих уравнений и уравнения

Аналитическая геометрия в пространстве

(точка Аналитическая геометрия в пространстве лежит на эллипсе), Аналитическая геометрия в пространстве. Имеем: Аналитическая геометрия в пространстве. Отсюда Аналитическая геометрия в пространстве Подставляя значения Аналитическая геометрия в пространстве в уравнение эллипса (12.27), получим

Аналитическая геометрия в пространстве

Это и есть искомое уравнение конуса.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Эллипсоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

Аналитическая геометрия в пространстве

Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельными плоскости хОу. Уравнения таких плоскостей: z = h, где h — любое число.

Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

Исследуем уравнения (12.29): а) Если Аналитическая геометрия в пространстве, Точек пересечения поверхности (12.28) с плоскостями z = h не существует.

б) Если Аналитическая геометрия в пространстве. Линия пересечения (12.29) вырождается в две точки (0; 0; с) и (0; 0; -с). Плоскости z = с и z = -с касаются данной поверхности.

в) Если Аналитическая геометрия в пространстве, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:

Аналитическая геометрия в пространстве

Как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями (см. рис. 91)

Аналитическая геометрия в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве

При этом чем меньше Аналитическая геометрия в пространстве тем больше полуоси Аналитическая геометрия в пространстве. При Аналитическая геометрия в пространстве они достигают своих наибольших значений: Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнения (12.29) примут вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверхности (12.28) плоскостями х = h и у = h.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверхность (12.28) называется эллипсоидом. Величины а, b и с называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а = b = с, то — в сферу Аналитическая геометрия в пространстве

Однополостный гиперболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

Аналитическая геометрия в пространстве

Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z = h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Как видно, этой линией является эллипс с полуосями

Аналитическая геометрия в пространстве

Полуоси Аналитическая геометрия в пространстведостигают своего наименьшего значения при Аналитическая геометрия в пространстве. При возрастании |h| полуоси эллипса будут увеличиваться.

Аналитическая геометрия в пространстве

Если пересекать поверхность (12.30) плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz, уравнение которой х = 0. Эта линия пересечения описывается уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).

Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность (12.30) называется однополостным гиперболоидом.

Замечание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида (12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.

Двухполостный гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением

Аналитическая геометрия в пространстве

Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пересечения определяется уравнениями

Аналитическая геометрия в пространстве

Отсюда следует, что:

а) если |h| < с, то плоскости z = h не пересекают поверхности;

б) если |h| = с, то плоскости z = ±с касаются данной поверхности соответственное точках (0;0;с) и (0;0; -с).

в) если |h| > с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так

Аналитическая геометрия в пространстве

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz (х = 0) и Oxz (у = 0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид

Аналитическая геометрия в пространстве

У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяемую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31) называется двухполостным гиперболоидом.

Аналитическая геометрия в пространстве

Эллиптический параболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

Аналитическая геометрия в пространстве

где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z = h. В сечении получим линию, уравнения которой есть

Аналитическая геометрия в пространстве

Если h < 0, то плоскости z = h поверхности не пересекают, если h = 0, то плоскость z = 0 касается поверхности в точке (0; 0; 0); если h > 0, то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид

Аналитическая геометрия в пространстве

Его полуоси возрастают с ростом h.

При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями Oxz и Oyz получатся соответственно параболы Аналитическая геометрия в пространствеТаким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверхность (12.33) называется эллиптическим параболоидом.

Гиперболический параболоид

Исследуем поверхность, определяемую уравнением

Аналитическая геометрия в пространстве

где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями z = h. Получим кривую

Аналитическая геометрия в пространстве

которая при всех значениях Аналитическая геометрия в пространстве является гиперболой. При h > 0 ее действительные оси параллельны оси Ох; при h < 0 — параллельны оси Оу , при h = 0 линия пересеченияАналитическая геометрия в пространстве распадается на пару пересекающихся прямых Аналитическая геометрия в пространстве. При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (у = h), будут получаться параболы

Аналитическая геометрия в пространстве

ветви которых направлены вверх. При у=0 в сечении получается парабола

Аналитическая геометрия в пространстве

с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz.

Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х = h, получим параболы Аналитическая геометрия в пространстве ветви которых направлены вниз.

Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности: она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется гиперболическим параболоидом.

Аналитическая геометрия в пространстве

Конус второго порядка

Исследуем уравнение поверхности

Аналитическая геометрия в пространстве

Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения Аналитическая геометрия в пространстве. При h = 0 она вырождается в точку (0;0;0). При Аналитическая геометрия в пространствев сечении будем получать эллипсы

Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании |h|. Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х = 0). Получится
линия

Аналитическая геометрия в пространстве

распадающаяся на две пересекающиеся прямые

Аналитическая геометрия в пространстве

При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у = 0 получим линию

Аналитическая геометрия в пространстве

также распадающуюся на две пересекающиеся прямые

Аналитическая геометрия в пространстве

Поверхность, определяемая уравнением (12.35), называется конусом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке 96. Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат