Оглавление:
До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, т. е. функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной.
При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, температура тела в данный момент времени t может изменяться от точки к точке. Каждая точка тела определяется тремя координатами х, у и z, поэтому температура зависит от трех переменных х, у и z, а если еще учитывать зависимость температуры от времени t, то значения ее будут уже определяться значениями четырех переменных х, у, z и t. Площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны хну, определяется значениями двух переменных х и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z, — значениями трех переменных х, у и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.
Эта часть курса и посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.
Определение функции двух и более переменных
Аналогично функции одной переменной вводится понятие функции двух переменных.
Определение:
Пусть X, Y и Z — некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (х; у; z) таких, что 
и каждая упорядоченная пара чисел (х; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (х; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f(x; у). Число z называется значением функции f в точке (х; у). Переменную z называют зависимой переменной, а переменные х и у — независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} —областью определения функции, а множество Z — множеством значений функции.
Функцию двух переменных обозначают также следующими символами: 
и т. д.
Так как каждой упорядоченной паре чисел (х; у) при фиксированной прямоугольной системе координат соответствует единственная точка М плоскости и, обратно, каждой точке М соответствует единственная упорядоченная пара чисел (х; у), то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки М и вместо z=f(x; у) писать z=f(M). Областью определения функции в этом случае является некоторое множество {M} точек плоскости. В дальнейшем будем использовать эти два обозначения функции двух переменных.
Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.
Примеры функций двух переменных
1. 
. Область определения этой функции — множество {М} всех пар чисел (х; у), т. е. вся плоскость Оху, а множество значений — промежуток 
.
2. 
Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение 
определено, т. е. множество точек, для которых 
Множество всех таких точек образует круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Множество значений функции представляет собой отрезок [0,1].
3. 
Область определения этой функции — множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 
т. е. множество точек, лежащих вне круга с радиусом 1 и центром в начале координат, а множество значений представляет собой промежуток 
Из рассмотренных примеров следует, что областью определения функции двух переменных может быть вся плоскость Оху или ее часть.
Из аналитической геометрии известно, что множество всех упорядоченных троек чисел (х; у; z) образует координатное пространство. При этом каждой тройке (х; у; z) в пространстве соответствует точка М (х; у; z), и наоборот. Если вместо множества (М) точек плоскости взять множество {M} точек пространства, то аналогично можно дать определение функции трех переменных u=f(M) или u=f(x; y; z). Областью определения функции трех переменных является все пространство или его часть. Так, например, функция 
определена во всем пространстве, а функция 
— на множестве точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству xyz>0. В первом случае множеством значений функции является промежуток 
, а во втором — 
.
Аналогично можно дать определение функции четырех переменных u=f(x, у, z, t). В этом случае множество упорядоченных четверок чисел (х; у: z; t) образуют так называемое четырехмерное пространство, а каждая четверка (z; y; z; t) называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырех переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования. Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n переменных 
.
Далее подробно рассмотрены функции двух переменных; следует иметь в виду, что обобщение определений и полученных результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.
Геометрическое изображение функции двух переменных
Как известно, функция одной переменной изображается на плоскости в виде линии, определенной уравнением y=f(x). Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x, у), т. е. сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.
В аналитической геометрии рассматриваются различные поверхности и их уравнения. Так, например, уравнение 
является уравнением плоскости. Данная плоскость есть график функции 
Уравнение 
является уравнением сферы радиуса R с центром в начале координат. С другой стороны, сфера есть объединение графиков двух функций 
Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на сечении поверхности z=f(x, у) плоскостями z=c, где с —любое число, т. е. плоскостями, параллельными плоскости Оху.
Назовем линией уровня функции z=f(x, у) множество точек (х; у) плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же значение с. Очевидно, при различных с получаются различные линии уровня для данной функции.
Если взять числа 
образующие арифметическую прогрессию с разностью h, то получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно получить представление о графике функции, т. е. о форме поверхности. Там, где линии располагаются «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность идет круче), а в тех местах, где линии уровня располагаются реже, функция изменяется медленнее (поверхность более пологая) (рис. 162). Ясно, что чем меньше h, тем полнее представление о графике функции.
Термин «линии уровня» заимствован из картографии. Там линии уровня — это линии, на которых высота точек земной поверхности над уровнем моря постоянна. По ним можно судить не только о высоте над уровнем моря определенной точки местности, но и о характере рельефа, что особенно важно, если местность гористая.
Пример:
Построить линии уровня функции 
Решение:
Линии уровня данной функции определяются уравнением 
Давая с различные значения, получаем семейство линий уровня, представляющих собой концентрические окружности. При с=0 окружность вырождается в точку (0; 0) (рис. 163).
Так как в данном случае линии уровня — окружности с центрами в начале координат, то графиком данной функции должна быть поверхность вращения вокруг оси Oz. Действительно, из аналитической геометрии известно, что уравнение 
определяет параболоид вращения.
Предел функции двух переменных
Введем понятие 
-окрестности данной точки 
и понятие сходящейся последовательности точек плоскости.
Определение:
Множество 
всех точек, координаты х и у которых удовлетворяют неравенству 
или, короче, 
называется -окрестностью точки 
Другими словами, -окрестность точки 
— это все точки, лежащие внутри круга с центром радиуса .
Рассмотрим последовательность точек 
Будем кратко обозначать эту последовательность символом 
.
Определение:
Последовательность точек называется сходящейся к точке 
, если для любого 
существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство 
При этом точка , называется пределом последовательности .
Обозначение: 
Заметим, что понятие сходящейся последовательности точек плоскости является обобщением понятия сходящейся числовой последовательности. Действительно, задание последовательности точек на прямой равносильно заданию числовой последовательности 
и неравенство 
переходит в этом случае в неравенство 
Теперь определим предел функции двух переменных. Его определение аналогично определению предела функции одной переменной.
Пусть функция z=f(M) определена на некотором множестве {М} и точка 
, но обладает тем свойством, что в любой -окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества {М}, отличная от 
.
Определение:
Число А называется пределом функции z=f(М) в точке 
, если для любой сходящейся к последовательности точек 
соответствующая последовательность значений функции 
сходится к А.
Обозначение: 
Так, например, функция 
определена на всей плоскости. Найдем предел этой функции в точке (1; 2). Для любой последовательности точек , сходящейся к точке , имеем 
Приведем пример функции, не имеющей предела в некоторой точке. Функция 
определена всюду, кроме точек прямой х+у=0. Покажем, что она не имеет предела в точке (0; 0). Для этого выберем две сходящиеся к точке (0; 0) последовательности точек 
; тогда 
Таким образом, двум различным последовательностям точек, сходящимся к началу координат, соответствуют две последовательности значений функции, которые имеют разные пределы. Следовательно, по определению 3 данная функция не имеет предела в точке (0; 0).
Приведенное определение предела функции двух переменных дано с помощью понятия предела последовательности. Так же, как для функции одной переменной, можно дать эквивалентное определение, используя 
терминологию.
Определение:
Число А называется пределом функции z=f(AM) в точке если для любого 
существует 
такое, что для всех точек 
, удовлетворяющих условию 
выполняется неравенство
Используя логические символы, данное определение можно записать в виде 
Доказательство эквивалентности определений 3 и 4 проводится точно так же, как и в случае функции одной переменной. Следует только в доказательстве теоремы 4.1 заменить последовательность последовательностью точек , точку 
— точкой разности 
— соответственно расстояниями 
, а числовую последовательность 
— числовой последовательностью 
.
Используя определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функции одной переменной на функции двух переменных. Например, имеет место следующая теорема.
Теорема:
Пусть функции f(М) и g(М) определены на одном и том же множестве {M} и имеют в точке пределы В и С. Тогда функции 
имеют в точке пределы, равные соответственно 
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4.3 и может быть получено из него формальной заменой букв 
буквами 
, только вместо определения 1 предела функции одной переменной следует использовать определение 3 предела функции двух переменных.
Определение:
Функция z=f(M) называется бесконечной малой в точке 
(или при 
), если 
Если функция z=f(M) имеет в точке предел, равный А, то функция 
— A является бесконечно малой в точке . Действительно, 
Отсюда получаем специальное представление для функции, имеющей в точке предел, равный 
При этом говорят, что функция f(M) в окрестности точки 
отличается от числа А на бесконечно малую функцию.
Сравнение бесконечно малых функций двух переменных производится точно так же, как и бесконечно малых функций одной переменной, причем, как и в случае одной переменной, под символом о
будем понимать любую бесконечно малую в данной точке функцию более высокого порядка малости, чем бесконечно малая в точке функция 
Непрерывность функции двух переменных
Понятие непрерывности функции двух переменных вводится на основе понятия предела.
Определение непрерывности функции двух переменных
Пусть на некотором множестве {M} определена функция f(M), точка 
и любая 
-окрестность точки содержит точки множества {M}.
Определение:
Функция z=f(M) называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. 
Согласно определению предела функции в терминах последовательностей данное определение непрерывности функции в точке равносильно тому, что для любой последовательности 
такой, что 
, последовательность 
сходится и 
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Например, функция
разрывна в точке (0; 0), так как предел этой функции при 
, 
не существует; функция 
в точке (1; 2) разрывна, так как 
Сформулируем определение непрерывности функции, используя определение предела функции в терминах 
Определение:
Функция z=f(М) называется непрерывной в точке , если для любого
существует 
такое, что для всех точек 
, удовлетворяющих условию 
выполняется неравенство 
Используя символы, определение 2 можно записать в виде
Так же как для функции одной переменной, используя данные определения непрерывности и соответствующие теоремы о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным функциям.
В дальнейшем используется определение 1 непрерывности функции, записанное в другом виде.
Назовем полным приращением функции z=f(M) в точке функцию 
определяемую формулой 
где М — любая точка из области определения функции. Пусть точки имеют соответственно координаты 
. Обозначим 
Используя эти обозначения, для получаем следующее выражение: 
Определение 3. Функция z f (М) называется непрерывной в точке , если ее полное приращение в этой точке есть бесконечно малая при функция, т. е. 
Это условие, очевидно, равносильно условию 
из определения 1.
Пример:
Функция 
непрерывна в любой точке (x; у)-Действительно, полное приращение данной функции в точке (x; у) имеет вид 
Очевидно, 
т. е. согласно определению 3 функция 
непрерывна в точке (х; у).
Функция z=f(М) называется непрерывной на некотором множестве {М}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Основные свойства непрерывных функций двух переменных
Приведем без доказательства основные свойства непрерывных функций двух переменных, поскольку они в основном аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной. Предварительно введем ряд понятий для множеств {М} точек плоскости.
Определение:
Множество {М} точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек данного множества. Например, круг — связное множество, а множество, состоящее из двух кругов, не имеющих общих точек, не является связным.
Определение:
Точка М называется внутренней точкой множества {М}, если существует -окрестность этой точки, состоящая из точек данного множества.
Определение:
Множество {М}, состоящее лишь из внутренних точек, называется открытым множеством.
Определение:
Связное открытое множество {М} точек называется открытой областью, или короче, областью. Простейшими областями являются: внутренность треугольника, круга, эллипса и т. п.
Определение:
Точка М называется граничной точкой области, если в любой ее -окрестности есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области. Множество всех граничных точек области называется границей этой области.
Например, для области, которая состоит из точек, лежащих внутри круга, границей является окружность.
Определение:
Множество {М} точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.
Определение:
Множество {М} называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.
Отрезок и треугольник — ограниченные множества. Прямая не является ограниченным множеством.
Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.
Теперь сформулируем основные свойства непрерывных функций двух переменных:
1°. Если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области, т. е. существует число k такое, что для всех точек области выполняется неравенство
2°. Если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.
3°. Если функция z=f(M) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т. е. если 
— какие-то значения функции f(М) в данной области, то в этой области существует точка , в которой 
Отсюда, в частности, следует, что если 
— точки данной области и 
, то в области существует точка , в которой
4°. Если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно-непрерывна в этой области, т. е. для любого существует такое, что для любых двух точек М’ и М» области, удовлетворяющих условию
выполняется неравенство 
В заключение отметим, что понятия предела, непрерывности и перечисленные свойства функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных.
Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции и точки разрыва
Смотрите также:
| Приближенные методы вычисления определенных интегралов | Частные производные |
| Функции нескольких переменных | Полный дифференциал функции |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
