Оглавление:
Формулы дифференцирования
Выгодно иметь такие правила, которые позволяли бы находить производные проще, с минимальной затратой времени. Действительно, такие правила имеются, причем они выводятся из основного правила дифференцирования.
Производная постоянной
Пусть С — постоянная величина; тогда равенство
у = С
можно рассматривать как выражение функции, не меняющей своего значения с изменением аргумента. В справедливости этого можно убедиться, представив это равенство графически, т. е. в виде прямой линии АВ, параллельной оси Ох (рис. 85).
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27225.png)
Действительно, с изменением абсциссы точек этой прямой ординаты их остаются постоянными.
Для нахождения производной функции у = С применим основное правило дифференцирования:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27233.png)
т. е. производная постоянной равна нулю.
Не следует производную постоянной смешивать с пределом постоянной, который, как известно, равен самой постоянной.
Производная функции у = х
Применяя основное правило дифференцирования, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27234.png)
т. е. производная функции у = х равна единице, или: производная независимой переменной равна единице.
Производная алгебраической суммы функций
Возьмем функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27235.png)
где — функции от х и имеющие производные по х. Если аргументу х дать приращение
то и функции и, v и w получат приращения, соответственно равные
,
и
, а потому у также получит приращение
. По основному правилу находим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27243.png)
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27244.png)
Слагаемые правой части последнего равенства являются производными функций . Указанное равенство можно переписать:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27245.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27247.png)
т. e. производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных каждой из них.
Производная произведения двух функций
Пусть дана функция
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27249.png)
где и и v — функции от х имеющие производные по x. Дадим аргументу х приращение тогда согласно основному правилу будем иметь:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27251.png)
Но и и v не зависят от , а потому их нужно считать постоянными *)
*) Это можно иллюстрировать на рис. 86. Здесь
при ; согласно следствию 1 теоремы IV можем написать:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27266.png)
Приращение же функции и меняется с изменением
, поэтому согласно теореме IV имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27272.png)
Таким образом,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27273.png)
Но
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27276.png)
Далее, так как и дифференцируема, то она непрерывна, следовательно.
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27278.png)
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27280.png)
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27282.png)
Если то
не меняется.
Поэтому
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27339.png)
Итак,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27340.png)
т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй функции на производную первой.
Производная произведения постоянной на функцию
Возьмем функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27341.png)
где
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27342.png)
причем функция и имеет производную по х. Применяя правило (IV), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27343.png)
т. е. производная произведения постоянной на функцию равна произведению постоянной на производную функции.
Производная степени с целым положительным показателем
Возьмем сначала функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27344.png)
Представив ее в виде произведения и применяя правило (IV), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27345.png)
Найдем производную новой функции:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27346.png)
Заменив ее произведением и опять применяя то же правило (IV), найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27348.png)
Поступив точно так же с функцией
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27349.png)
найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27351.png)
Если продолжать дифференцирование функций и т. д. этим способом, то получим результаты, подчиняющиеся одной и той же формуле:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27354.png)
Таким образом, производная степени , где т— целое положительное число, равна произведению показателя степени на основание х в степени, на единицу меньшей чем данная.
Однако выведенное правило справедливо для любого показателя т, что мы и докажем.
Производная функции . Представив функцию
в виде степени с дробным показателем и применяя правило (VI), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27364.png)
Таким образом,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27366.png)
т. е. производная функции равна единице, деленной на удвоенную функцию.
Производная функции .
Заменив на
и дифференцируя по правилу (VI), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27378.png)
т. е. производная дроби равна отрицательной дроби, равной единице, деленной на квадрат знаменателя.
Производная частного
Возьмем функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27381.png)
где и и v — функции от х, имеющие производные по x, причем при значении х, при котором находится производная. Применим основное правило дифференцирования.
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27852.png)
4-й шаг: применяя теоремы V, III, II и следствие 1 теоремы IV , находим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27853.png)
Здесь, как и при выводе формулы (IV), нужно считать и и v не зависящими от , а
.
Итак,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27857.png)
т. е. производная частного равна дроби, знаменатель которой есть квадрат делителя, л числитель есть разность между произведением делителя на производную делимого и произведением делимого на производную делителя.
Применение формул дифференцирования
Рассмотрим несколько примеров на применение выведенных правил.
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27858.png)
Решение:
По правилу (III) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27860.png)
Применяя к первым трем слагаемым правило (V), а к последнему— правило (I), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27865.png)
Согласно правилам (VI) и (II) будем иметь:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27864.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27867.png)
Решение:
По правилу (IV) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27868.png)
По правилу (III):
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27870.png)
По правилам (V), (II). (I) и (VI):
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27872.png)
Этот пример можно решить иначе: сначала перемножить выражения в скобках, а затем продифференцировать полученную сумму:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27875.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Преобразуем данную функцию следующим образом:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27878.png)
Применяя правила (V) и (VI), будем иметь:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27879.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27880.png)
Решение:
Представим данную функцию в следующем виде:
Применяя правила (III) и (V), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27882.png)
По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27884.png)
По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27885.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27886.png)
Решение:
По правилу (IX) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27887.png)
Дифференцируя сумму по правилу (III), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27889.png)
Наконец, по правилам (VI), (II), (I) и (V) найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27891.png)
Можно иначе продифференцировать данную функцию, разделив в правой части данного уравнения почленно числитель на знаменатель, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27893.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27894.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27896.png)
Функция от функции (сложная функция)
Пусть нам даны две функции:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27899.png)
и
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27900.png)
Если в (1) заменить и его выражением из (2), то получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27901.png)
Из уравнений (1) и (2) видно, что у есть функция от и, но и в свою очередь функция от х\ таким образом, функция у зависит от функции
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27904.png)
Функцию (3) называют функцией от функции или слоэюной функцией.
Всякую сложную функцию можно представить в виде нескольких простых. Разберем примеры.
Пример:
Представить функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27907.png)
в виде двух простых.
Решение:
Положим
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27909.png)
тогда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27911.png)
Мы получили две функции и и у более простого вида, чем данная.
Пример:
То же для функции
Решение:
Положим
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27915.png)
тогда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27916.png)
Производная сложной функции
Возьмем функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27920.png)
причем
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27921.png)
Пусть функция (2) имеет производную при данном х; тогда при и
, Пусть также и функция (1) имеет производную при значении и, соответствующем тому же значению х. Напишем тождество
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27924.png)
Применяя к правой части тождества (3) теорему о пределе произведения, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27925.png)
Но, как известно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27926.png)
Поэтому равенство (4) можно переписать:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27927.png)
Формула (5) служит для дифференцирования сложной функции, составленной из двух простых.
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27928.png)
Решение:
Представим данную функцию в виде следующих двух:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27929.png)
Найдем сначала (т. е. производную функции у по аргументу и), а затем и
(т. е. производную функции и по аргументу х):
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27932.png)
Искомая производная будет:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27933.png)
или, заменяя и его значением,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27934.png)
Как видно из формулы (5), производная сложной функции выражается произведением производных простых функций и, конечно, перестановка сомножителей не изменит результата. Однако удобней находить эти сомножители в одной определенно выбранной последовательности, которую полезно запомнить как правило. Так, например, для разобранного случая степенной функции это правило можно высказать следующим образом:
для дифференцирования сложной степенной функции*) нужно взять производную сначала от степени по основанию (принимая основание за аргумент), а потом от выражения, стоящего в основании, по независимой переменной и результаты перемножить.
*) Под сложной степенной функцией будем разуметь степень, основание которой есть функция от х.
Если — сложная степенная функция, то ее производная согласно этому правилу запишется так:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27936.png)
Пусть, например, требуется найти производную функции
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27937.png)
Положив
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27938.png)
и, применяя правило (6), будем иметь:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27939.png)
В дальнейшем для каждого особого случая будут даваться аналогичные правила, устанавливающие свою последовательность дифференцирования.
Разберем еще пример. Пусть требуется найти производную функции
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27941.png)
Разбив ее на две простые функции, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27942.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27943.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27944.png)
И здесь можно установить последовательность в нахождении производной, которая выразится следующим правилом: для дифференцирования сложной функции нужно сначала взять производную от этой функции по подкоренному выражению и (считая и аргументом), а потом от подкоренного выражения по независимой переменной и результаты перемножить; таким образом, считая и функцией от x получаем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27946.png)
Так, например, производная функции
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27947.png)
но вышеуказанному правилу найдется так:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27948.png)
Если дан корень другой степени, то его нужно предварительно преобразовать в степень с дробным показателем и применить правило для дифференцирования сложной степенной функции. Например,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27949.png)
Производные тригонометрических функций
По общему правилу дифференцирования находим:
1-й шаг:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27951.png)
2-й шаг:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27953.png)
Преобразуя разность синусов, будем иметь:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27955.png)
3-й шаг:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27957.png)
После деления числителя и знаменателя дроби на 2 получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27958.png)
4-й шаг:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27959.png)
Но
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27961.png)
поэтому
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27962.png)
Следовательно
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27963.png)
2.
По формуле приведения можно написать:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27965.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27969.png)
Для дифференцирования сложной функции представим ее в виде двух простых:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27974.png)
Согласно формуле (5) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27976.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27977.png)
3.
Заменив tg x отношением и применяя правило дифференцирования частного, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27983.png)
Итак, имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27984.png)
4.
Как и в случае 3, имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27987.png)
Таким образом,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27988.png)
В п. 2 настоящей лекции мы дифференцировали сложную функцию , пользуясь формулой (5) .
Однако эту операцию можно произвести и по следующему правилу:
для дифференцирования сложной тригонометрической функции *) нужно сначала взять производную от тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого выражения по независимой переменной и результаты перемножить;
*) Под сложной тригонометрической функцией будем понимать тригонометрическую функцию сложного аргумента.
поэтому, считая и функцией от х, получаем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27990.png)
Пользуясь правилом (1), процесс дифференцирования функции sin можно записать таким образом:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27993.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27994.png)
Решение:
Согласно правилу (2) настоящей лекции найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-27996.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Переписав функцию в виде найдем по правилу (6)
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28002.png)
Но сложная тригонометрическая функция, а потому согласно правилу (1) настоящей лекции имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28006.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28008.png)
Процесс дифференцирования данной функции можно записать следующим образом:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28010.png)
Производная логарифмической функции
Пусть дана функция
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28014.png)
Для ее дифференцирования применим общее правило.
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28016.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28018.png)
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28019.png)
Положим
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28021.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28022.png)
Подставив значения и
в равенство (1), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28025.png)
или, после потенцирования
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28027.png)
Из равенства (2) следует, что, если
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28034.png)
4-й шаг. Принимая во внимание условие (3), напишем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28040.png)
Множитель не зависит от n поэтому его можно считать постоянным при
; следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28046.png)
В подробных курсах анализа доказывается теорема: предел логарифма переменной величины равен логарифму предела этой же переменной величины; поэтому
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28047.png)
Но, согласно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28048.png)
Равенство (4) будет иметь вид
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28051.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28053.png)
т. е. производная натурального логарифма равна единице, деленной на аргумент.
Если дан десятичный логарифм, то его нужно предварительно выразить через натуральный. Мы знаем, что
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28057.png)
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28058.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28066.png)
т. е. производная десятинного логарифма равна произведению производной натурального логарифма на постоянный множитель 0,4343.
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28071.png)
Решение:
Данная функция сложная; положим
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28073.png)
тогда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28074.png)
Отсюда согласно формуле (5) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28076.png)
Производную сложной логарифмической функции *) можно найти и по следующему правилу:
для дифференцирования сложной логарифмической функции нужно сначала взять производную от логарифма по выражению, стоящему под знаком логарифма (принимая его за аргумент), а потом от выражения, стоящего под знаком логарифма, по независимой переменной и результаты перемножить;
*) То-есть логарифмической функции сложного аргумента.
поэтому, считая и функцией х получаем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28080.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28082.png)
Решение:
Согласно правилу (5) найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28085.png)
Но cos ( 1—х) — сложная тригонометрическая функция; применяя к ней правило (2) , получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28094.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28154.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28158.png)
Решение:
Преобразуем сначала данную функцию, применив правила логарифмирования корня и дроби:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28160.png)
Продифференцировав полученную функцию [ln х по правилу (XIV), а ln (1 + x) по правилу (5)], найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28156.png)
Производная степени при любом показателе
Мы вывели формулу
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28165.png)
для m целого положительного. Докажем теперь справедливость этой формулы для любого показателя. Положим, что в равенстве
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28166.png)
m имеет любое постоянное значение; логарифмируя это равенство по основанию е, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28167.png)
Приняв во внимание, что ln у — сложная функция ( ln у зависит от у, а у зависит от x), дифференцируем обе части равенства (1) по х:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28169.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28171.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28172.png)
Производная показательной функции
Дана показательная функция
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28174.png)
Прологарифмировав равенство (1) по основанию е, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28175.png)
Дифференцируем это равенство по х, считая )ln у сложной функцией:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28176.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28179.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28180.png)
т. е. производная показательной функции равна произведению самой функции на натуральный логарифм основания.
Если дана показательная функция
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28185.png)
где е — основание натурального логарифма, то производная ее найдется по формуле (XVI):
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28187.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28188.png)
т. е. производная показательной функции равна самой функции.
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Заменив данную сложную функцию двумя простыми, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28196.png)
Согласно формуле (5) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28197.png)
Данную функцию можно дифференцировать и по следующему правилу:
для дифференцирования сложной показательной функции *) нужно сначала взять производную от показательной функции по выражению, стоящему в показателе (считая его аргументом), а потом от выражения, стоящего в показателе, по независимой переменной и результаты перемножить;
*) То-есть показательной функции сложного аргумента.
поэтому, считая и функцией от х, получаем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28199.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
По правилу (3) настоящей лекции
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28205.png)
Но согласно правилу (3)
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28208.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28209.png)
Производные обратных тригонометрических функций
1.
В силу определения арксинуса получаем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28216.png)
Здесь sin у представляет сложную функцию (sin y зависит от у, а у зависит от х; дифференцируя обе части этого равенства по х, напишем):
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28220.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28222.png)
откуда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28225.png)
Приняв во внимание, что
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28226.png)
*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х заключены между и
, а в этом промежутке cos у имеет положительные значения.
а также равенство (1), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28227.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28230.png)
2.
Согласно определению арккосинуса имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28234.png)
Дифференцируя обе части этого равенства по x, считая cos у сложной функцией, найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28236.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28237.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28238.png)
Но
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28241.png)
**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и ; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.
поэтому
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28243.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28246.png)
*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х
К . TZ
заключены между — у и +у,ав этом промежутке cos у имеет
положительные значения.
**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и я; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.
3.
Согласно определению арктангенса имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28421.png)
Дифференцируя обе части этого равенства по х, как и в предыдущих случаях, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28423.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28424.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28425.png)
Но
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28427.png)
Приняв во внимание равенство (2), получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28429.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28432.png)
4.
Для данной функции имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28439.png)
После дифференцирования этого равенства получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28440.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28441.png)
отсюда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28444.png)
Но
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28446.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28448.png)
т. е.
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28450.png)
Пример:
Продифференцировать функцию
Решение:
Заменим данную сложную функцию двумя простыми:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28458.png)
Согласно формуле (5) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28460.png)
Для дифференцирования этой функции можно воспользоваться и следующим правилом:
для дифференцирования сложной обратной тригонометрической функции*) нужно сначала взять производную от обратной тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого же выражения по независимой переменной и результаты перемножить;
*) То-есть обратной тригонометрической функции сложного аргумента.
таким образом, считая и функцией от х, получаем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28462.png)
Пример:
Продифференцировать функцию .
Решение:
Данная функция — обратная тригонометрическая и притом сложная; применяя вышеуказанное правило для производной аrсsin u, найдем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28474.png)
Но тоже сложная функция; согласно правилу (7) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28483.png)
Следовательно,
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28486.png)
Производная неявной функции
Пусть неявная функция у задана уравнением
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28487.png)
Найдем производную у’, полагая, что она существует. Для этого дифференцируем обе части уравнения (1), применяя правило для производной алгебраической суммы, получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28489.png)
Так как ху — произведение переменных величин, то:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28491.png)
Таким образом, равенство (2) примет вид
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28495.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28497.png)
Решая последнее уравнение относительно у’, найдем
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28499.png)
Для дифференцирования данной функции можно было бы сначала выразить у через х, а потом уже найти производную от явной функции. В самом деле, из уравнения (1) имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28501.png)
откуда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28503.png)
По внешнему виду этот результат отличается от найденного ранее, но если мы в равенстве (3) подставим значение у, то получим:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28504.png)
Таким образом, результаты дифференцирования в обоих случаях оказались одинаковыми. Однако переход от неявной к явной функции можно делать только в простейших случаях. Встречаются неявные функции, которые обратить в явные очень трудно и даже невозможно. Например, функцию у, заданную уравнением
ху + х = sin у, явно выразить нельзя. Поэтому приходится дифференцировать такие функции как неявные.
Разберем другой пример. Пусть требуется найти производную неявной функции у, заданной уравнением
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28509.png)
Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы, имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28512.png)
Но сложная функция (
зависит от у, а у зависит от х). По правилу дифференцирования сложной степенной функции имеем:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28519.png)
Следовательно, равенство (4) примет вид
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28521.png)
или
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28522.png)
откуда
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28523.png)
Производная второго порядка
Пусть функция у = f(x) имеет производную у’ = f'(x). Производная от f'(x) по x , если она существует, называется второй производной или производной второго порядка.
Вторую производную функции у = f(x) принято обозначать так:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28529.png)
Пример:
Найти вторую производную функции
Решение:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28531.png)
Механический смысл второй производной
Пусть тело движется прямолинейно по закону
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28565.png)
Мы установили, что скорость v движения тела в данный момент t определяется как производная пути по времени, т. е.
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28567.png)
Если тело движется неравномерно, то скорость v с течением времени изменяется и за промежуток времени ät получает приращение
. В этом случае величина отношения
показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t +
.
Положим, что , тогда
среднее ускорение
стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Обозначив это ускорение через j, будем иметь:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28605.png)
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
Пример:
Точка движется прямолинейно по закону
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28610.png)
Найти скорость и ускорение точки в момент t = 5.
Решение:
Для определения скорости нужно найти первую производную данной функции при t = 5. Таким образом:
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28612.png)
и
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28615.png)
Ускорение j равно второй производной функции при t = 5, т. е.
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28645.png)
Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t, значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.
![Формулы дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28651.png)
Дополнение к формулам дифференцирования
![Основные формулы и правила дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/1-3706.png)
![Основные формулы и правила дифференцирования](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/2-3874.png)
Смотрите также:
Определение дифференциала. | Инвариантность формы дифференциала. |
Связь между дифференцируемостью и существованием производной | Дифференциалы как источник приближенных формул. |
Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат