Оглавление:
Группы основных тригонометрических формул:
Формулы сложения (четвертая группа)
Основными формулами сложения являются следующие:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82141.png)
Первая из этих формул читается так: синус, суммы двух чисел равен синусу первого числа, умноженному на косинус второго, плюс косинус первого на синус второго.
Аналогично читаются и остальные формулы.
Теперь перейдем к выводам и доказательствам.
Вывод формул синуса суммы и косинуса суммы (при ограниченных условиях). Пусть (рис. 170). Проведем
Тогда
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82169.png)
* Углы BMD и ВОС равны между собой как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Аналогично
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82174.png)
Доказательство общности. Пусть требуется доказать общность каждой из двух выведенных формул:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82178.png)
Это значит требуется доказать, что каждая из них справедлива при любых значениях и
, а не только при значениях, удовлетворяющих неравенствам:
Требующееся доказательство мы расчленим на пять последовательных этапов:
1. Пусть
Тогда
Наряду с этим
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82193.png)
Следовательно, при формула
остается в силе, так как ее левая и правая части обращаются в единицу, как это было показано выше.
Подобным же образом можно доказать, что при остается в силе и формула
2. Пусть
Примем
Тогда
Для , как это уже доказано, будет справедливой формула
Заменяя теперь и
их выражениями через
и
, получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82238.png)
или
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82240.png)
Это свидетельствует о справедливости формулы при
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82241.png)
То же самое можно доказать и по отношению к формуле
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82243.png)
3. На третьем этапе мы докажем следующее положение. Если формулы
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82245.png)
справедливы для каких-нибудь значений и
, то они будут справедливы и в том случае, если одно из значений
и
мы увеличим на
.
Рассмотрим выражение в котором
Легко видеть, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82272.png)
Итак, оказалось, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82275.png)
т. е. наша формула осталась в силе.
То же самое можно доказать и по отношению к формуле
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82278.png)
4. На четвертом этапе докажем, что рассматриваемые нами две формулы справедливы для любых положительных значений и
.
Пусть и
—любые положительные числа. Тогда найдутся такие целые числа m и n, что
где будет
По доказанному ранее наши формулы справедливы для и
. По доказанному же в предыдущем этапе они будут оставаться справедливыми, если к
прибавим последовательно m раз, а к
n раз по
. Следовательно, наши формулы останутся в силе и для произвольных положительных чисел
и
.
5. Наконец, докажем, что наши формулы справедливы и для любых отрицательных чисел
Пусть — любые отрицательные числа. Тогда найдутся такие целые числа m и n, что суммы
окажутся числами положительными, которые обозначим соответственно через
.
Для положительных чисел по уже доказанному наши формулы
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82453.png)
справедливы.
В эти формулы подставим вместо
вместо
. Тогда получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82470.png)
Отсюда вследствие периодичности тригонометрических функцгй получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82472.png)
Таким образом, справедливость формул доказана и для отрицательных значений
В тех случаях, когда или
равны
справедливость наших формул можно доказать непосредственной проверкой.
Итак, доказано, что наши две формулы справедливы при любых значениях Этим и доказана общность каждой из этих формул.
Вывод остальных формул сложения. Опираясь на то, что формулы
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82486.png)
верны при любых значениях , можно все остальные формулы сложения вывести очень кратким путем.
Действительно, рассматривая разность как сумму
получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82496.png)
Далее,
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82497.png)
Наконец,
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82500.png)
Аналогично получим, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82501.png)
Формулы сложения позволяют находить тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов через тригонометрические функции самих этих углов.
Например,
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82504.png)
Примеры:
1. Доказать тождество
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82508.png)
Доказательство:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82509.png)
2. Доказать тождество
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82511.png)
Доказательство:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82512.png)
3. Доказать тождество
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82514.png)
Доказательство:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82518.png)
Формулы умножения (пятая группа)
Основными формулами умножения являются следующие:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82521.png)
Первая из этих формул читается так: синус двойного угла равен удвоенному синусу данного угла, умноженному на косинус того же угла.
Полезно эту формулу читать и так: синус любого угла равен удвоенному синусу половины этого угла, умноженному на косинус также половины этого угла.
Например,
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82525.png)
Соответствующим образом читаются и формулы:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82528.png)
Вывод основных формул умножения.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82950.png)
Из основных формул умножения вытекают и такие формулы:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82951.png)
Основные формулы умножения позволяют находить значения тригонометрических функций удвоенного угла по данному значению какой-либо тригонометрической функции самого угла.
Например, если
и
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82952.png)
то
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82953.png)
Последовательное применение формул сложения позволяет выражать тригонометрические функции углов Зх, 4х, 5х и т. д. через тригонометрические функции угла х.
Примеры:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82954.png)
По значениям тригонометрических функций, например 1°, можно при помощи формул сложения найти значения тригонометрических функций углов, содержащих любое целое число градусов.
3. Доказать тождество
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82956.png)
Доказательство:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82958.png)
Формулы деления (шестая группа)
Основными формулами деления являются следующие:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82960.png)
Складывая и вычитая, получим соответственно:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82962.png)
Отсюда легко получаются написанные выше две формулы деления.
Формулы деления позволяют находить значение тригонометрической функции половинного угла по данному значению функции самого угла.
Например, если
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82966.png)
Выведем еще формулы и для :
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82968.png)
Полезно знать формулы для 1+ cos a и 1—cos a. Складывая и вычитая почленно равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82971.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82972.png)
получим соответственно:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82974.png)
Полезность этих двух последних формул заключается, в частности, в том, что они преобразовывают выражения 1 + cos а и 1 — cos а к виду, удобному для логарифмирования. Этими формулами приходится очень часто пользоваться.
Формулы понижения степени для позволяют вторые степени sin а и cos а выражать через первую степень cos 2а.
Действительно, складывая и вычитая почленно равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82984.png)
получим соответственно:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82986.png)
Отсюда
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82990.png)
Формулы, выражающие тригонометрические функции угла через тангенс половинного угла (седьмая группа)
Легко понять следующие последовательные преобразования
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82992.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82994.png)
Итак, мы получили две формулы:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82995.png)
Отсюда сразу вытекает еще и следующая формула:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82998.png)
Рассматривая эти формулы, легко заметить, что все тригонометрические функции угла я выражаются через рационально, т. е. с помощью только одних четырех действий. (Вспомним, что, например, sin a выражается через tg а иррационально:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83001.png)
Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций в произведение (восьмая группа)
Основными формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций являются следующие:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83002.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83004.png)
Первая из этих формул читается так: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
Соответствующим образом читаются и остальные формулы.
Вывод этих формул.
Складывая и вычитая почленно известные нам равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83006.png)
получим соответственно:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83008.png)
Положим,
Тогда
При этих обозначениях получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83014.png)
Складывая и вычитая почленно равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83015.png)
и изменяя обозначения, получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83016.png)
Выведенные формулы справедливы при любых значениях , так как, каковы бы ни были числа
, можно подобрать такие х и у, чтобы соблюдались соотношения
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83018.png)
в чем легко убедиться, разрешив эту систему относительно х и у.
Сумма и разность тангенсов
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83020.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83021.png)
Аналогично
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83022.png)
Формулы преобразования произведений тригонометрических функций (девятая группа)
Такими формулами являются:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83034.png)
Вывод. Складывая почленно равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83036.png)
получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83039.png)
Отсюда
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83042.png)
Складывая и вычитая почленно равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83043.png)
и деля полученные результаты на 2, получим соответственно
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83059.png)
Примеры:
1. Зная, что найти
Пользуясь формулой получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83064.png)
2. Зная, что и что
найти
Пользуясь формулой найдем, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83114.png)
Пользуясь формулой найдем, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83117.png)
3. Преобразовать к виду, удобному для логарифмирования, выражение
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83121.png)
4. Преобразовать к виду, удобному для логарифмирования, выражение
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83123.png)
Применяя формулы понижения степени, получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83125.png)
5. Зная, что tg a = 3, найти sin 2a.
Полагая в формуле что
получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83133.png)
6. Доказать тождество
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83137.png)
7. Разность преобразовать в произведение.
Пользуясь формулой , получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83142.png)
Примеры на доказательство условных тождеств.
1. Доказать, что если то
Доказательство:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83147.png)
Другой способ доказательства.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83157.png)
2. Доказать, что если то
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83160.png)
Доказательство:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83161.png)
Примеры на преобразование выражений к виду, удобному для логарифмирования, путем введения вспомогательного угла.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83172.png)
(здесь вспомогательным углом служит угол 45°).
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83174.png)
(здесь вспомогательным углом служит угол 60°).
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83175.png)
Найдем такой вспомогательный угол чтобы
Теперь получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83183.png)
(вспомогательный угол равен приближенно 54°30′).
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83187.png)
(здесь вспомогательным углом служит угол 60°).
6. Доказать тождество
Доказательство:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83195.png)
Воспользуемся формулой
Теперь получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83213.png)
что и требовалось доказать.
6. Доказать тождество
Доказательство:
Воспользуемся дважды формулой Тогда
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83486.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83487.png)
7. Доказать тождество
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83491.png)
Периодичность тригонометрических функций и их графики
Периодичность тригонометрических функций
Мы знаем, что при всяком значении х
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83510.png)
Это свойство тригонометрических функций характеризует их периодичность.
Дадим общее определение понятию периодичности функции.
Определение:
Функция называется периодической, если существует число, отличное от нуля, прибавление которого к произвольному значению ее аргумента не меняет значения функции. Наименьшее положительное число, прибавление которого к любому значению аргумента не меняет значения функции, называется периодом функции.
Теорема:
Период функций sin х и cos x равен 2, а период функций tg х равен
.
Доказательство:
Нам известно, что при всяком значении х.
Пусть h есть какое угодно положительное число, меньшее, чем 2. Посмотрим, возможно ли равенство
при всяком значении x.
Чтобы равенство
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83519.png)
было справедливо при x = 0, h должно равняться только числу , так как по условию 0 < h < 2
. Но если взять h =
, то равенство
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83524.png)
уже будет неверным (например, при
Следовательно, никакое положительное число, меньшее 2, не может быть периодом функции sin x. Значит, периодом функции x является именно число 2
.
Таким же методом можно доказать, что периодом cos x является 2, а периодом tg x является число
.
Графики тригонометрических функций
А. График функции y = sin х.
При возрастании х от 0 до у возрастает от 0 до 1.
При возрастании х от до
у убывает от 1 до 0.
При возрастании у от до
у убывает от 0 до — 1.
При возрастании х от до 2
у возрастает от — 1 до 0.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83618.png)
График имеет вид, изображенный на рисунке 171. Одна волна кривой, построенная на участке от 0 до 2 будет вследствие периодичности функции sin х повторяться бесконечное множество раз как слева, так и справа.
Отрезок OA принят за единицу длины. Отрезок ОВ равен единицам длины.
Б. График функции у = cos x (рис. 172).
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83622.png)
В. График функции (рис. 173).
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83626.png)
Этот график состоит из бесконечного множества одинаковых отдельных бесконечных ветвей, расположенных, как указано на рисунке 173.
Тригонометрические уравнения
Основные определения и понятия:
Определение:
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную величину только под знаком тригонометрических функций. Например, уравнения
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83631.png)
суть тригонометрические.
Уравнение же, например, х — sin х — cos х = 0,2 не является чисто тригонометрическим, так как неизвестное х содержится в этом уравнении не только под знаками тригонометрических функций. Такие уравнения будем называть смешанными тригонометрическими.
Корнем или решением тригонометрического уравнения (так же, как и всякого другого уравнения) называется такое значение неизвестного, которое удовлетворяет уравнению.
Например, числа и т. д. или
и т. д. являются корнями или решениями уравнения
а число, скажем,
корнем этого уравнения не будет.
Решить тригонометрическое уравнение — значит найти все его корни или убедиться в отсутствии таковых.
Обычно тригонометрическое уравнение имеет бесконечное множество корней. (В противоположность этому алгебраическое уравнение с одним неизвестным может иметь лишь конечное число корней.) Но встречаются и такие уравнения, которые не имеют ни одного действительного корня.
Уравнение sin 2х = 1 имеет бесконечное множество корней, а именно: и т. д., а уравнение sin 2х = 2 не имеет ни одного действительного корня.
Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются следующие:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83654.png)
А. Решение уравнения sin х = а
Если , то уравнение sin х = а не имеет ни одного действительного решения, так как синус никакого действительного числа не может оказаться числом, абсолютная величина которого больше единицы (sin х изменяется лишь в границах от — 1 до +1). Пусть
Возьмем тригонометрический круг с радиусом, равным 1 (рис. 174). Отложим на ОВ от точки 0 отрезок OQ, равный а, и через точку Q проведем прямую, параллельную , до пересечения с окружностью в точках
Пусть острый положительный угол содержит
радианов. . Тогда тупой угол
будет содержать
радианов.
Числа и
будут корнями уравнения sin х = а. Но корнями уравнения sin х = а будут в силу периодичности не только числа
и
, но и все числа, определяемые формулами:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83683.png)
где k — любое целое число.
Перепишем эти две формулы так:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83685.png)
и назовем главным решением уравнения sin х = а. Тогда первую формулу можно прочитать так: произведение числа
на любое четное число плюс главное решение
будет решением уравнения
sin х = а.
Вторую же формулу можно прочитать так: произведение числа на любое нечетное число минус главное решение
будет решением уравнения sin х = а.
Вместо этих двух формул можно написать одну:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83689.png)
где n — целое число.
Эта одна последняя формула содержит в себе как все ранения, содержащиеся в формуле так и все решения, содержащиеся в формуле
Из формулы (3) при четных значениях n получается формула (1), а при нечетных — формула (2). Выражение при четном значении n дает единицу, а при нечетном — минус единицу.
Формула (3) называется общим решением уравнения sin x = а.
Давая в этой формуле букве n произвольные целые значения, можно получить сколько угодно частных решений уравнения sin x = а.
Формула (3) остается в силе и в том случае, когда а удовлетворяет условию — 1 < а < 0. Только в этом случае главное решение будет отрицательным числом в границах от до 0. Убедиться в этом можно с помощью таких же рассуждений, которые были изложены для случая 0 < а < 1.
Б. Решение уравнения cos x = а
Пусть 0 < а < 1. Возьмем тригонометрический круг с радиусом 1 и отложим на OA от точки О отрезок ОР, равный а (рис. 175).
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83720.png)
Через точку Р проведем прямую, параллельную до пересечения с окружностью в точках
. Пусть положительный острый угол АОМ содержит х радианов. Тогда угол
будет содержать —
радианов.
Общим решением уравнения cos x = а будет
Если — 1 < а < 0, то будет числом радианов, содержащихся в угле, оканчивающимся в четверти II.
В. Решение уравнения tg x = a
Уравнение tg x = a имеет решения при всяком значении а. Проведя рассуждения, аналогичные предыдущим, получим общее решение
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83731.png)
Если а>0, то за мoжно брать число радианов соответствующего угла, оканчивающегося в четверти I, а если a < 0, то угла, оканчивающегося в четверти IV.
Примеры:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83735.png)
3. Решение уравнений вида
1. Решить уравнение
Обозначив 3x буквой u, получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83745.png)
Отсюда
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83746.png)
2. Решить уравнение
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83748.png)
В градусном измерении ответ запишется так:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83749.png)
3. Решить уравнение
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83752.png)
4. Решить уравнение tg 5x = 1.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83766.png)
Более сложные тригонометрические уравнения
Уравнение содержит различные тригонометрические функции от одной и той же неизвестной величины х.
В уравнение дважды входит одна и та же функция синус, но величины, стоящие под знаками синусов, различны.
В уравнение же входят и различные функции, и различные выражения, стоящие под их знаками.
Решение более или менее сложных тригонометрических уравнений, подобных приведенным выше, сводится обычно к нахождению значения одной какой-нибудь тригонометрической функции от выражения, содержащего неизвестное.
Ознакомимся с приемами решения тригонометрических уравнений на примерах.
Пусть дано уравнение
Заменив выражением
мы приходим к квадратному уравнению относительно sin x:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83787.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83789.png)
Заменив выражением
мы приходим к уравнению первой степени относительно cos 2x:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83798.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83800.png)
Заменяя cos 7x выражением мы преобразовываем данное уравнение к такому уравнению, в котором правая часть есть нуль, а левая — произведение выражений, содержащих неизвестную величину x:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83803.png)
Это уравнение является однородным первого измерения относительно sin x и cos x. В силу этого уравнения Если бы cos x = 0, то оказалось бы, что sin x = 0. Но sin x и cos x не могут быть нулями одновременно.
Поэтому мы можем все члены уравнения разделить на cos x:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83810.png)
В силу этого уравнения Поэтому мы можем все члены уравнения разделить на
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83822.png)
Воспользуемся формулой
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83824.png)
Воспользуемся формулами, выражающими sin x и cos x через (см. § 4). Благодаря этому задача сведется к решению квадратного уравнения относительно
:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83831.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83833.png)
Воспользуемся формулой
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83837.png)
Еще раз обратившись к формуле получим:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83841.png)
К левой части уравнения прибавим два взаимно уничтожающихся члена
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83847.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83848.png)
Разделим левую и правую части уравнения на
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83853.png)
Условия равенства одноименных тригонометрических функций
А. Условия равенства синусов
Синусы двух чисел х и у равны друг другу (sin х = sin у) тогда и только тогда, когда либо разность х — у равна произведению числа на четное число, либо когда сумма х + у равна произведению числа
на нечетное число.
Доказательство:
Равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83859.png)
и
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83860.png)
равносильны. Но последнее равенство справедливо
либо при либо при
т. е. либо при
либо при
Отсюда следует, что равенство sin х = sin у будет справедливо тогда и только тогда, когда, либо либо х + у =
, где k — любое целое число.
Б. Условия равенства косинусов
Косинусы двух чисел х и у равны между собой (cos х = cos у) тогда и только тогда, когда либо сумма х + у, либо разность х— у равна произведению числа я на четное число.
Доказательство:
Равенства
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83877.png)
равносильны.
Но последнее равенство справедливо либо при либо при
т. е. либо при
либо при
где k-любое целое число.
В. Условие равенства тангенсов
Тангенсы двух чисел х и у равны друг другу (tg х = tg у) тогда и только тогда, когда разность x — у равна произведению числа на любое целое число, т. е. когда разность х— у кратна числу
. (Мы здесь исключаем такие значения х и у, при которых tg х и tg у не существуют.)
Доказательство:
Равенства tg x = tg у,
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83892.png)
равносильны. Но последнее равенство справедливо лишь тогда, когда sin (x — у) = 0, т. е. лишь тогда, когда
Выведенные условия равенства одноименных тригонометрических функций запоминать нет необходимости. Лучше запомнить способ их вывода.
Применение выведенных условий к решению тригонометрических уравнений
1. Решить уравнение sin ах = sin bх.
Решение:
По условиям равенства синусов
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83900.png)
Следовательно, решениями данного уравнения будут:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83901.png)
где k—любое целое число.
2. Решить уравнение
Решение:
По условиям равенства косинусов
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83906.png)
Следовательно, решениями данного уравнения будут:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83908.png)
3. Решить уравнение tg ax = tg bx.
Решение:
По условию равенства тангенсов Отсюда
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83913.png)
4. Решить уравнение sin 3x = cos 2х.
Решение:
Преобразуем уравнение так, чтобы получить равенство одноименных функций:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83914.png)
По условиям равенства синусов
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83915.png)
Отсюда
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83916.png)
5. Решить уравнение
Решение:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83919.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83920.png)
Смешанные тригонометрические уравнения
Смешанными тригонометрическими уравнениями мы называем такие уравнения, в которых неизвестное входит одновременно и под знаком и не под знаком тригонометрической функции. Например, уравнения 5 cos х = х; tg х = х; cos 2 х = 0,4 х; х sin х = 1; х + 2 sin х = 1 суть смешанные тригонометрические уравнения. Корни таких уравнений можно находить, как правило, лишь приближенно. Поясним, как это делается.
Сначала с помощью графического метода можно определить число корней и их первые грубые приближения. Затем, пользуясь таблицей значений тригонометрических функций числового аргумента, можно каждое из найденных грубых приближений путем испытаний уточнять.
Примеры:
1. Решить уравнение cos 2х = 0,4х.
Построим на миллиметровой бумаге графики функций у= cos 2х и
у = 0,4х (рис. 176). Эти графики пересекаются в трех точках Поэтому уравнение cos 2х = 0,4х имеет три различных корня. Этими корнями будут абсциссы точек
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83923.png)
Эти абсциссы, как видно на рисунке 176, близки к числам 0,6; — 0.9 и — 1,9. Последние и являются первыми грубыми приближенными значениями корней.
Чтобы уточнить первый корень, найдем значения разности
cos 2х — 0,4х при х = 0,6 и при других значениях, близких к 0,6, пользуясь таблицами.
Уточнение первого корня
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83925.png)
Из этой таблицы видно, что значения cos 2х и 0,4х становятся довольно близкими друг другу при х = 0,65.
Число 0,65 мы можем считать уже лучшим приближенным значением первого корня, чем значение 0,6.
Уточнение второго корня
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83926.png)
За более точное значение второго корня можно взять число —0,99.
За уточненный третий корень после надлежащих испытаний можем принять число — 1,92.
Если бы нам было необходимо получить корни с еще большей точностью, то мы воспользовались бы более точными таблицами значений тригонометрических функций числового аргумента и совершили бы терпеливо все необходимые испытания.
2. Пусть требуется решить уравнение cos х = х.
Построим графики функций у = cos х и у = х (рис. 177). Эти графики пересекаются лишь в одной точке М. Поэтому уравнение cos х = х имеет лишь один корень. Этим корнем является абсцисса точки М, т. е. длина отрезка ОР. Эта абсцисса, как видно из рисунка, близка к числу 0,7.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83927.png)
Уточним этот корень путем испытаний.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83929.png)
За уточненный корень можно принять число 0,74.
3. Решить уравнение tg х = х.
Построим графики функций у = tg x и у = х (рис. 178).
График функции у = tg х состоит из бесконечного множества отдельных бесконечных ветвей. Поэтому прямая у = х. Имеет бесчисленное множество точек пересечения с графиком у = tg х.
Следовательно, уравнение tg х = х имеет бесконечное множество различных корней.
Число нуль является точным корнем этого уравнения, так как tg 0 = 0. Кроме этого нулевого корня, уравнение tg х = х, как это уже было выяснено, имеет бесконечное множество положительных корней и бесконечное множество отрицательных корней. Ограничимся задачей найти только наименьший положительный корень. Из рисунка 178 видно, что этот корень близок к числу 4,5.
Для уточнения этого корня проведем испытания.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83931.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83932.png)
За уточненный наименьший положительный корень уравнения
tg х = х можно принять число 4,49.
4. Решить уравнение х sin х — 0,5 = 0.
Перепишем это уравнение в виде построим графики функций
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83934.png)
Эти графики пересекаются в бесконечном множестве точек. Поэтому данное уравнение имеет бесконечное множество корней
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83935.png)
(положительных и отрицательных). Из рисунка 179 видно, что наименьший положительный корень близок к числу 0,7. Путем испытаний можем получить уточненное значение этого корня, равное 0,74.
О косекансе, секансе и котангенсе
В курсах тригонометрии, кроме sin х, cos х и tg х, рассматриваются еще три тригонометрические функции с scs (косеканс х), sec (секанс x), ctg (котангенс x).
Изучать функции csc x, sec x и ctg x нет необходимости. Эти функции являются величинами, обратными sin x, cos x, tg x, а именно:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83936.png)
Задачи, в которых фигурируют csc x, sec x, ctg x, можно решать путем замены этих функций их выражениями через sin x, cos x, tg x. Поясним это на примерах.
1. Упростить выражение
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83937.png)
Мы здесь воспользовались формулой
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83938.png)
2. Доказать тождество
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83939.png)
при условии, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83940.png)
Доказательство:
Из условия следует, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83942.png)
Из того, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83943.png)
следует, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83944.png)
Поэтому
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83946.png)
Простое гармоническое колебание
Пусть точка М (рис. 180) движется с постоянной угловой скоростью ч> радианов в секунду по окружности. Тогда проекция точки М на вертикальный диаметр, т. е. точка Р, будет совершать колебательные движения вдоль вертикального диаметра вверх и вниз между точками В и Bv Такое движение точки Р и называется простым гармоническим колебанием.
Чтобы вывести формулу простого гармонического колебания, примем следующие обозначения:
t — время в секундах;
R — радиус окружности; — положение движущейся по окружности точки в начальный момент, т. е. при t = 0 (рис. 181);
М — положение движущейся по окружности точки через t секунд;
у — ордината точки Р (у изменяется в границах от — R до + R); — угол АО
в радианах.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83948.png)
Тогда поворот радиуса-вектора из положения до положения
будет равен wt радианам. Поворот же из положения
до положения
будет равен wt +
радианам.
По определению синуса
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83955.png)
Последнее уравнение и выражает закон простого гармонического колебания. В этом уравнении постоянная R называется амплитудой колебания; постоянная называется начальной фазой колебания, а переменная wt +
— фазой колеблющейся точки.
Время Т, в течение которого точка М совершит один полный оборот по окружности, а точка Р — одно полное колебание, называется периодом гармонического колебания.
Легко понять, что
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83956.png)
Из данного определения следует, что есть период функции
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83962.png)
В этом можно убедиться и непосредственно. Действительно,
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83963.png)
Величина, обратная периоду колебания, т. е.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83964.png)
называется частотой колебания.
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83966.png)
Она показывает, сколько полных колебаний совершает точка Р в единицу времени (в 1 сек.)
В природе протекает много разнообразных процессов колебательного характера, близких к гармоническому колебанию. Однако простое гармоническое колебание обладает еще одной весьма ценной особенностью. Как правило, можно как угодно сложные колебательные движения представлять с любой степенью точности в виде суммы различных простых гармонических колебаний, т. е. сводить анализ сложных процессов движения к анализу простейших.
Разложение сложных колебательных процессов на сумму простых гармонических колебаний является мощным средством исследования разнообразных физических явлений. Подробные сведения обо всем этом излагаются в курсах математического анализа.
График функции называется синусоидальной кривой. Весь график этой функции располагается в полосе, образованной прямыми
(рис. 182).
Чтобы составить представление о графике функции рекомендуется построить последовательно графики следующих более простых функций:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83969.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83970.png)
График функции пересекает ось
при тех значениях х, при которых
равно
, где k — любое целое число, т. е. при значениях х, определяемых формулой
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83974.png)
Таким образом, абсциссами точек пересечения с осью будут числа:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83975.png)
Наибольшее значение R функция принимает при тех значениях х, при которых
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83976.png)
где k — любое целое число, т. е. в тех точках, для которых
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83977.png)
Наименьшее значение R эта функция принимает при таких значениях х, при которых
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83978.png)
т. е. при
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83979.png)
На рисунке 183 изображен сплошной линией график функции а пунктиром — график функции
Охарактеризуем функцию у = 2,5 sin 2х и ее график. Период функции равен . График этой функции пересекает ось
в точках, в которых
или
т. е. в точках
Наибольшее значение 2,5 функция имеет в точках, в которых т. е. в точках
Наименьшее значение, равное —2,5, она имеет в точках, в которых т. е. в точках
Весь график располагается в полосе, образованной прямыми у = 2,5 и
у = — 2,5. Амплитуда колебания равна 2,5, а начальная фаза равна нулю. На рисунке 184 изображен график функции
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83993.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-83994.png)
Период функции равен . График пересекает ось
в точках, в которых
т. е. в точках
Наибольшее значение 2,5 функция имеет в точках, в которых т. е. в точках
Наименьшее значение, равное —2,5, функция имеет в точках, в которых
т. е. в точках
Весь график располагается в полосе, образованной прямыми у = 2,5 и
у = — 2,5.
Амплитуда колебания равна 2,5, а начальная фаза у.
График функции есть не что иное, как график функции у = 2,5 sin 2x, смещенный влево на
Основные тригонометрические формулы
I группа формул
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
(основное тригонометрическое тождество).
II группа. Формулы сложения
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37060.png)
III группа. Формулы кратных аргументов
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37062.png)
IV группа. Формулы преобразования сумм и разностей
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37063.png)
V группа. Формулы преобразования произведений в суммы и разности
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37064.png)
VI группа. Формулы понижения степени
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37065.png)
VII группа. Формулы половинного аргумента
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37066.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37067.png)
В этих формулах знак выбирается в зависимости от того,в какой четверти находится угол .
VIII группа. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37069.png)
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37070.png)
IX группа. Формулы приведения тригонометрических функций для углов
Эти формулы определяются следующими простыми правилами: для и
функция меняется на кофункцию, т.е. синус на косинус, котангенс на тангенс и т.д., для
и
функция не меняется. Знак перед новой функцией ставится в зависимости от того, какой знак имела первая функция в той четверти, куда попадает угол
и т.п., если
.
Например,
Переход от градусной меры угла к радианной осуществляется по формуле:
Если
Значения тригонометрических функций основных углов:
![Тригонометрические формулы](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37083.png)
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Доказать рациональность числа задачи с решением |
Тригонометрия: определение и пример |
Вычисление значений тригонометрических выражений задачи с решением |
Что такое уравнение и как его решать |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат