Квадратный трехчлен в математике с примерами решения, разложения и образцами выполнения

Квадратный трехчлен – это многочлен вида a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ).

Исследование квадратного трёхчлена

Задача:

C аэростата, находящегося на высоте 1000 м, сбросили груз со скоростью 20 м в секунду. На каком расстоянии от земли этот груз будет через 15 сек.? (Сопротивление воздуха в расчёт не принимается.)

Путь, проходимый падающим телом, вычисляется по формуле: (1)
где — начальная скорость, a g=9,8 м/сек²—ускорение силы тяжести.

В данном случае =20 м/сек² , и формула примет вид:
s=20t+4,9t². (2)

Такой путь пройдёт падающий груз за t секунд. Значит, через t секунд он будет находиться на высоте
x=1000-20t— 4,9t² (3)
метров от земли. Чтобы определить х — высоту груза над землёй через 15 сек., очевидно, достаточно в (3) подставить t = 15 и произвести вычисления. Получим:
x = 1000-20∙15-4,9∙15²= —402,5.

Отрицательное значение х здесь не имеет смысла, и, следовательно, наша задача не имеет решения. Почему так получилось? Чтобы ответить на этот вопрос, определим сначала, через сколько секунд сброшенный груз упадёт на землю? Очевидно, это произойдёт в тот момент, когда груз пройдёт путь, равный высоте, с которой он был сброшен, т. е. 1000 м. Значит, мы должны иметь:
20t- 4,9t² =1000,
или
4,9t² +20t-1000= 0. (4)

Решив это уравнение, найдём t =12,4 сек. (с точностью до). Берём только положительный корень. Значит, через 12,4 сек. груз уже упал на землю, а потому вопрос задачи не имеет смысла.

При каких же значениях t задача допускает вполне определённое решение? Очевидно, только для тех значений, при которых путь, пройденный грузом, меньше 1000 м, т. е. при условии, что
4,9t²+20t< 1000,
или, что то же,
4,9t2⅛20∕ — 1000 <0. (5)

Значит, задача имеет решение только при таких (положительных) значениях /, при которых трёхчлен 4,9t²+20t— 1000 является отрицательным числом. Это будет при t<12,4.

Во многих задачах, как в приведённой выше, требуется определить для данного трёхчлена, при каких значениях входящей в него буквы он является положительным и при каких отрицательным. В этом и заключается исследование квадратного трёхчлена.

Квадратный трёхчлен, имеющий действительные различные корни

Пример:

Пусть дан трёхчлен:
y=2x² — 7x+3. (1)

Требуется определить, при каких значениях х этот трёхчлен будет иметь положительные и при каких отрицательные значения.

Мы знаем, что всякий квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения коэффициента при х² и разностей между переменным и корнями трёхчлена.

Найдём корни данного трёхчлена, для чего решим уравнение
2x² — 7x+3=0. (2)

Получим: ; x₂=3 (через x₁ будем в дальнейшем обозначать меньший из действительных корней). Тогда данный трёхчлен можно представить в таком виде:
(3)

Исследуем теперь, при каких значениях х это произведение будет числом положительным и при каких отрицательным. Разберём три случая.

1. Пусть , тогда и подавно x<3. Отсюда, перенеся все члены в левую часть, получим:

Следовательно, произведение , как произведение двух отрицательных чисел, является числом положительным. По умножении его на положительное число 2 получим опять положительное число. Отсюда следует, что при выражение (3), а значит и данный трёхчлен является положительным числом.

2. Пусть
но х <3,
т. е. значения х заключены между корнями данного трёхчлена. Из этих неравенств, после переноса членов в левую часть, получим:
и х — 3<0.

Стало быть, в произведении один сомножитель положителен, другой отрицателен. Значит, произведение будет отрицательно, и по умножении его на положительное число 2 получим отрицательное число. Итак, при

выражение (3), а следовательно, и данный трёхчлен, является отрицательным числом.

3. Пусть х>3, тогда и подавно . Отсюда получаем:
х — 3 >> 0 и х

Произведение , а следовательно, и произведение
будут положительными числами. Значит, при х>3
данный трёхчлен — число положительное. Итак, мы пришли к следующему выводу. Трёхчлен 2x²-7x+3 имеет положительные значения при всех значениях х, меньших , и при всех значениях х, больших 3. Трёхчлен имеет отрицательные значения при всех значениях х, заключённых между и 3.

Проверка сделанных выводов на некоторых числовых значениях х дана в следующей таблице, где в верхней строке даны значения х, а в нижней — соответствующие значения трёхчлена:

x	-5	-3	-1	0	1	2	4	7	10
2x²-7х+3	88	42	12	3	-2	-3	7	52	133

К тем же результатам мы придём, если рассмотрим график трёхчлена 2x²-7х+3. Мы знаем, что этим графиком является парабола, пересекающая ось x-ов в точках, абсциссы которых равны и 3. Из рассмотрения графика (черт. 36) непосредственно видно, что точки параболы, абсциссы которых меньше или больше 3, расположены выше оси х-ов, и значит, их ординаты, т. е. значения y=2x²-7x+3, будут положительны.

Точки же параболы, абсциссы которых заключены между и 3, находятся ниже оси х-ов, и значит, их ординаты отрицательны.

Пример:

Исследуем таким же способом трёхчлен:
y=3x²-x-10.

Решив квадратное уравнение Зх²-х-10=0, найдём корни данного трёхчлена. Они будут равны: и х₂=2. Тогда трёхчлен
можно представить в таком виде:

или

Рассуждая так же, как и в первом примере, найдём:
1) При будет также и x<2. Отсюда:
и х-2<0.
Следовательно, при этих значениях х произведение
т. е. данный трёхчлен имеет положительные значения.

2) При и x<2 будем иметь:
и х-2<0.
Следовательно,

т. е. трёхчлен имеет отрицательные значения.

3) При х>2 будет также и . Тогда будем иметь:
и х — 2 > 0.
Отсюда:

и трёхчлен имеет положительные значения.

Общий вывод будет такой же, как и в первом примере: трёхчлен имеет положительные значения при всех значениях х, меньших , и при всех значениях х, больших 2.

Он имеет отрицательные значения для всех значений х, заключённых между и 2. Этот вывод подтверждается таблицей, а также графиком трёхчлена Зх² — х — 10 (черт. 37).

x	-5	-2	-1	0	1	2	3	5
Зх²-х-10	70	4	-6	-10	-8	0	14	60

Пример:

Рассмотрим теперь такой трёхчлен, у которого первый коэффициент (т. е. коэффициент при х²) является отрицательным
числом. Пусть, например, дан трёхчлен:
y=-2x²+4x+16.

Найдя корни этого трёхчлена: x₁= — 2 и x₂=4, мы можем его переписать так:
y=-2(x+2) (x-4)

Исследуя знак этого произведения в том же порядке, как и в предыдущих примерах, мы найдём:

1. При х < 2 будет также и х<4. Отсюда:
x+2<0 и х-4<0.

Произведение этих множителей (x+2) (х-4) положительно. Но при умножении этого положительного числа на —2 получим, очевидно, отрицательное число, и, значит, данный трёхчлен при х<-2 имеет отрицательные значения.

2. При х>-2 и x<4 имеем:
x+2> 0 и х — 4<0.

Произведение (x+2) (x-4) — число отрицательное, а, значит, по умножении его на отрицательное число — 2 получится положительное число.

Следовательно, при значениях х, заключённых между корнями трёхчлена — 2 и 4, данный трёхчлен имеет положительные значения.

3. Наконец, при х>4 получим:
x+2>0 и х-4>0.

Произведение (x+2) (х-4) — число положительное. По умножении его на — 2 получим отрицательное число, и, значит, трёхчлен при х>4 имеет отрицательные значения.

Мы видим, что в этом случае мы имеем положение, обратное тому, которое наблюдали в первых двух примерах: при значениях х, меньших — 2, и при значениях, больших 4, он имеет отрицательные значения; при значениях х, заключённых между корнями трёхчлена, он имеет положительные значения. Этот вывод подтверждает и таблица для отдельных числовых значений х.

x	-5	-3	-2	-1	0	1	3	4	5	8
-2x²+4x+16	-54	-14	0	10	16	18	10	0	-14	-80

К тому же выводу мы придём, если рассмотрим график трёхчлена -2x²+4x+16. Мы уже знаем, что при a<0 график трёхчлена αx²+bx+c будет обращён вершиной вверх и пересечёт ось х-ов в точках, абсциссы которых равны корням трёхчлена. В данном случае график имеет такой вид (черт. 38). Мы видим, что при х<-2 и при х> 4 ординаты точек кривой, т. е. значения у =- 2x²+4x+16, отрицательны, а при — 2<x< 4 — положительны.

Сопоставляя третий пример с первым и со вторым, мы замечаем, что во всех трёх случаях при значениях х, меньших меньшего корня, а также больших большего корня, трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент при x²; при значениях х, заключённых между корнями, трёхчлен имеет знак, противоположный знаку коэффициента при х².

Убедимся в том, что такой вывод верен для любых значений коэффициентов а, b и с в случае действительных и различных корней. Для этого исследуем квадратный трёхчлен в общем виде.

Общий случай:

Пусть дан трёхчлен:
y=αx²+bx+c,
где а, b и с — любые действительные числа, удовлетворяющие лишь тому условию, что трёхчлен имеет действительные и различные корни (и, конечно, α≠0). Обозначим эти корни через
x₁ и x₂ (x₁<x₂)

Тогда трёхчлен может быть представлен в таком виде:
y=a(x-x₁) (x-x₂).

Исследуем, какие значения имеет этот трёхчлен при различных значениях х.

1. Пусть x<x₁, а значит, x<x₂ (так как x₁<x₂).
Отсюда имеем:
х-x₁<0 и х-x₂<0.

Следовательно, произведение (х-x₁) (х-x₂) будет числом положительным. Отсюда следует, что а (х-x₁) (х-x₂) положительно, если а положительно, и отрицательно, если а отрицательно. Другими словами, при x<x₁ значение трёхчлена ax²+bx+c имеет тот же
знак, что и коэффициент а.

2. Пусть x<x₁ и x<x₂.
Тогда:
x-x₁>0 и x-x₂<0.
Произведение (х — x₁) (х — x₂), как произведение чисел с разными знаками, будет числом отрицательным. Отсюда следует, что произведение а (х — x₁) (х — x₂) отрицательно при положительном а и положительно при отрицательном а.

Значит, в этом случае значения трёхчлена имеют знак, противоположный знаку коэффициента а.

3. Пусть х>х₂, а значит, и x>x₁ (так как x₂ >x₁).
Тогда:
х —x₂>0 и х —x₁>0

Произведение (х — x₁) (х — x₂) будет положительным, а следовательно, произведение а (х — x₁) (х — x₂) положительно при а положительном и отрицательно при а отрицательном. Значит, в этом случае числовое значение трёхчлена имеет тот же знак, что и коэффициент а.

Объединяя все три случая, мы можем теперь сделать такой общий вывод:

Если квадратный трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные различные корни, то при значениях х, меньших меньшего из корней, и при значениях х, больших большего из корней, он имеет тот же знак, что и коэффициент при x². При значениях х, заключённых между корнями трёхчлена, он имеет знак, противоположный знаку коэффициента при х².

Примечание. Если условиться называть значения х<x₁ и х>x₂ значениями х вне промежутка между корнями, а значения x₁<x<x₂ значениями х внутри промежутка между корнями, то этот вывод можно ещё сформулировать так:

Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные различные корни x₁ и x₂, то при значениях х вне промежутка между корнями трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент при х²; при значениях х внутри промежутка между корнями трёхчлен имеет знак, противоположный знаку коэффициента при x².

Квадратный трёхчлен, имеющий равные корни

Пример:

Пусть требуется исследовать трёхчлен:
y=2x²-8х+8.

Найдём корни этого трёхчлена, для чего приравняем его нулю и решим уравнение:
2х² —8x+8=0.

Получим x₁= x₂=2. Значит, данный трёхчлен можно представить в таком виде:
y=2(x-2) (х-2),
или
y=2 (х — 2)².

Очевидно, что при любых действительных значениях x, кроме х=2, выражение (х — 2)² — число положительное. А значит, и по умножении его на положительное число 2 будем иметь положительное число. Следовательно, трёхчлен 2x²-8x+8 имеет положительные значения при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, т. е. при х=2.
(При х=2 трёхчлен равен нулю.)

Построив график трёхчлена 2x²-8x+8, мы замечаем (черт. 39), что при всех значениях х точки кривой расположены выше оси х, т. e. y>0, и только при x= 2 будет y=0. В этой точке кривая касается оси абсцисс.

Пример:

Исследуем трёхчлен:

Найдём корни этого трёхчлена, для чего решим уравнение:

Получим: x₁=x₂=3. Следовательно, данный трёхчлен можем представить в таком виде:

или

Как и в предыдущем примере, заключаем, что выражение (х-3)² при всех значениях х, кроме х=3, является числом положительным.

По умножении его на получим отрицательное число.

Таким образом, в этом случае при всех значениях х, кроме х=3, трёхчлен имеет отрицательные значения.

Построив график трёхчлена , мы видим
(черт. 40), что все точки параболы, кроме точки (3; 0), находятся ниже оси х-ов. Значит, ординаты всех этих точек, т. е. значения , будут отрицательны.

Сопоставляя оба примера, мы замечаем, что в обоих случаях знак численной величины трёхчлена совпадает со знаком коэффициента при x². Чтобы убедиться, что это имеет место при любых коэффициентах (в случае равных корней), рассмотрим трёхчлен в общем виде.

Общий случай: Пусть дан трёхчлен:
y=ax²+bx+c,
причём известно, что он имеет равные корни. Обозначив корень через x₁, представим трёхчлен в таком виде:
y = α(x- x₁) (x-x₁),
или
y = α(x- x₁)²

Отсюда заключаем: какова бы ни была разность x-x₁, если только она не равна нулю, квадрат этой разности является числом положительным. Значит, при положительном а произведение а (x-x₁ )², а следовательно, и у будут числами положительными, а при отрицательном а — отрицательными. Таким образом, мы можем сделать вывод:

Если трёхчлен имеет равные корни, то при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, значения трёхчлена имеют тот же знак, что и коэффициент при х².

Квадратный трёхчлен, имеющий мнимые корни

Пример:\

Исследуем трёхчлен:
y=2x²-3x+3.

Решая уравнение 2x²-3x+3=0, мы получим:

Корни трёхчлена оказались мнимыми. В этом случае разности x-x₁ и x-x₂ будут мнимыми числами. Так как вопрос о знаке мнимых чисел не имеет смысла, то мы проведём исследование данного случая другим способом. Вынесем сначала за скобки первый коэффициент, получим:

Рассматривая теперь второй член , равный , как удвоенное произведение х и дополним выражение

до полного квадрата, прибавив, а затем вычтя

Будем иметь:

Исследуем теперь полученное выражение. Очевидно, что при любых значениях х выражение — число положительное и
только при равно нулю. Второе слагаемое в прямых скобках — тоже положительное число. Значит, и вся сумма в прямых скобках положительна. От умножения её на положительное число 2 получим опять положительное число. Итак, в данном случае трёхчлен имеет положительные значения при всех значениях х.

График трёхчлена y=2x²-3x+3 (черт. 41) показывает, что действительно все точки параболы расположены выше оси х-ов, т. е. их ординаты положительны.

Пример:

Исследуем трёхчлен:
y= — 3x²+2x- 1.

Решив уравнение —3x²+2x—1=0, найдём его корни.
Имеем:

Корни трёхчлена оказались мнимыми. Применим поэтому тот же способ исследования, что и в примере 1. Вынесем за скобки первый коэффициент и в скобках выделим квадрат двучлена:

Выражение равно нулю при и положительно при всех других значениях х. Значит, сумма всегда положительна.

По умножении её на — 3 получим отрицательное число. Отсюда делаем вывод, что трёхчлен — 3x²+2x — 1 имеет отрицательные значения при всех значениях х. График трёхчлена (черт. 42) показывает, что все точки параболы расположены ниже оси х-ов, т. е. их ординаты отрицательны.

Сопоставляя примеры 1 и 2, замечаем, что в обоих случаях знак численной величины трёхчлена совпадал со знаком коэффициента при х² при всех без исключения значениях переменного х. Покажем, что это будет иметь место для всякого трёхчлена, имеющего мнимые корни.

Общий случай: Пусть дан трёхчлен:
y=ax²+bx+c,

причём известно, что он имеет мнимые корни. Мы знаем, что в этом случае должно быть
b² — 4αc < 0.

Преобразуем трёхчлен так же, как мы это делали в примерах 1 и 2:

или

Прибавим и вычтем по получим:

При всех значениях х выражение положительно или
равно нулю . Посмотрим, какой знак имеет второе слагаемое . Мы уже знаем, что в случае мнимых корней выражение b² — 4ас отрицательно. Это значит, что противоположное ему число — (b²— 4ас), т. е. 4ас—b², будет числом положительным. Знаменатель 4α²— тоже число положительное. Следовательно, всё выражение —— является положительным числом. Итак, вся сумма, заключённая в прямые скобки, является положительным числом при всех (действительных) значениях х.

Отсюда следует, что знак численной величины трёхчлена зависит только от знака а; при а положительном и трёхчлен имеет положительные значения, при отрицательном — отрицательные.

Итак, мы можем сделать вывод:

Если трёхчлен имеет мнимые корни, то при всех значениях х его численная величина имеет тот же знак, что и коэффициент при х².

Общий вывод: Мы можем теперь подвести общий итог проведённого исследования квадратного трёхчлена. Но прежде сделаем следующие замечания.

1. Мы разбили исследование трёхчлена на три случая в зависимости от того, какие корни имеет трёхчлен. Но мы знаем что корни квадратного уравнения связаны с его дискриминантом b²—4ас следующей зависимостью:
1) Если b²— 4αc>0, то корни действительны и различны.
2) Если b² — 4αc=0, то корни действительны и равны.
3) Если b² — 4ас<0, то корни мнимы.

Следовательно, вместо того чтобы говорить, например: „если корни трёхчлена действительны и различны’, — мы можем сказать короче: „если дискриминант больше нуля’; аналогично изменяем формулировку и в остальных двух случаях.

2. Мы исследовали, какой знак имеет численная величина трёхчлена при различных численных значениях переменного. В дальнейшем для краткости вместо „знак численной величины трёхчлена’ условимся говорить короче: „знак трёхчлена’, помня, что речь идёт о знаке числа, которое получится, если вместо переменного подставить его численное значение. Точно так же вместо слов „трёхчлен имеет положительные (отрицательные) значения’ будем говорить короче: „трёхчлен положителен (отрицателен)’. Теперь мы можем сформулировать общий вывод так:

1) Если дискриминант трёхчлена ax²+bx+c положителен, то при всех значениях х, заключённых внутри промежутка между корнями, он имеет знак, противоположный знаку коэффициента а; при всех значениях х, содержащихся вне этого промежутка, трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент а.

2) Если дискриминант трёхчлена равен нулю, то трёхчлен при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, имеет тот же знак, что и коэффициент а.

3) Если дискриминант отрицателен, то при всех значениях х трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент а.
Этот вывод можно представить в виде следующей таблицы:

Дискриминант	Значение х	Знак у = ax²+bx+c
		α>0	α<0
b² — 4αc > 0	1) x₁<x<x₂ 2) x<x₁; x>x₂	отрицательный положительный	положительный отрицательный
b² — 4ac = 0	любое, кроме x=x₁=x₂	положительный	отрицательный
b² — 4αc<0	любое	положительный	отрицательный

Примеры:

1. у = x² -7x+10. Дискриминант: b²-4ac=49-40 = 9>0; α=1>0. Корни трёхчлена: x₁ = 2; x₂ = 5. Следовательно, при х<2 и при х>5 трёхчлен положителен, а при 2<x<5 — отрицателен.

2. у =-2x²+6x+80. Дискриминант: 36+640=676>0;
а=-2<0. Корни трёхчлена: x₁ =-5; x₂ =8. Следовательно, при -5<x<8 трёхчлен положителен; при х<-5 и при x>8 — отрицателен.

3. у = —x²+4х-15. Дискриминант: 16- 4·15=-44 <0. Следовательно, при всех значениях х трёхчлен отрицателен.

4. y=5x²-10x-5. Дискриминант: 10²-4∙5∙5=0. Корень трёхчлена: x₁= x₂=1; α=5>0. Следовательно, при всех значениях х, кроме х=1, трёхчлен положителен.

5. Определить, при каких значениях m трёхчлен 2x²-6x+m будет иметь положительные значения при любом значении х. Так как здесь α=2>0, то трёхчлен будет иметь положительные значения при любом х в том случае, если b²— 4αc<0. Подставляя сюда значения: α=2, b=-6, с=m, получим: 36-4∙2m=36- 8m. Значит, должно быть 36 — 8m<0. Отсюда находим: m >. Итак, при m, большем , данный трёхчлен будет иметь положительные значения при любом значении х.

6. Определить, при каких значениях р трёхчлен x²+(p— 2) x+4-2p+l будет иметь положительные значения при любом значении х.

Дискриминант трёхчлена (р — 2)²—4(2p+1) =p²-12p=p(p—12). Следовательно, для того чтобы данный трёхчлен имел положительные значения при любом х, должно быть:
p(p-12)<0.

Решив уравнение:
р (р -12)=0,
найдём:
p₁=0; p₂=12.

Решим неравенство: р(р — 12) < 0. Оно будет верно при условии
I p< 0 и р — 12 >0 или
II р>0 и р—12≤0.

Первая система неравенств несовместна (при р < 0, очевидно, и р-12 < 0). Вторая же система даёт решение:
0<р< 12.

Итак, при всех значениях р от 0 до 12, т. е. при условии 0<p<12, данный трёхчлен имеет положительные значения при любом значении х.

Неравенства второй степени: Неравенствами второй степени с одним неизвестным называются неравенства вида:
ax²+bx+c > 0 (1)
и
ax²+bx+c < 0, (2)
где а, b и с — любые действительные числа, причём α≠0.

Так как неравенство вида (2) всегда может быть приведено к виду (1) путём умножения его на —1, то мы можем в дальнейшем ограничиться рассмотрением неравенств вида (1).

Решить неравенство — значит определить, при каких значениях х это неравенство справедливо. Для неравенства (1) это значит, что мы должны найти те значения х, при которых трёхчлен в левой части-является числом положительным.

После того как было изложено относительно знака квадратного трёхчлена, ответ на этот вопрос не представляет затруднений.

Решим несколько примеров.

Пример:

Пусть требуется решить неравенство:
2х²-13x+15> 0. (1)

Это значит, что нам нужно определить, при каких значениях х трёхчлен 2x²— 13x-f-15 является числом положительным. Решение проведём в таком порядке:

а) Устанавливаем, что первый коэффициент положителен (α=2>0).
б) Устанавливаем, что дискриминант трёхчлена 132 — 4∙2∙15>0.
Отсюда заключаем , что неравенство (1) справедливо при всех значениях х, больших большего, и при всех значениях х, меньших меньшего из корней трёхчлена.
в) Чтобы определить эти значения, решаем уравнение:
2x² — 13x+15=0.

Находим: x₁=; x₂=5.

Следовательно, данное неравенство справедливо при значениях х, меньших, и при значениях х, больших 5.

Пример:

Решить неравенство:
— 4x²+4x-1 <0. (1)

Умножив обе части на —1, получим равносильное неравенство:
4x² — 4x+1 >0. (2)

а) Коэффициент α=4>0.
б) Дискриминант 4²-4·4=0.

Следовательно, трёхчлен имеет равные корни. В этом случае, как мы знаем, трёхчлен (2) имеет положительные значения при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена. Найдём этот корень, решив уравнение:
4x² — 4x+1=0.

Получим . Итак, данное неравенство (1) справедливо при всех значениях х, кроме .

Пример:

Решить неравенство:
3x²- 5x+4 >0.

а) Коэффициент α=3 > 0.
б) Дискриминант 5²-4∙3∙4=-23 <0.
Отсюда сразу заключаем, что неравенство справедливо при любых значениях х.

Пример:

Решить неравенство:
(2х — 1) (x+3) — (x+7) (х-1) — 4х < 0.

Раскрыв скобки и произведя упрощения, получим:
x² -5x+4< 0, (1)
или по умножении на — 1:
— x²+5x-4>0. (2)

а) Коэффициент
а= —1 <0.
б) Дискриминант
5²-4-(— 1).(— 4)=9>0.

Следовательно, неравенство (2), а значит, и (1) справедливо при всех значениях х, заключённых между корнями трёхчлена. Найдём эти корни:
х² —5x+4=0,
отсюда x₁=1, x₂=4. Итак, неравенство (1) справедливо при 1<х<4.

Пример:

Решить неравенство:
-x+ < 0. (1)

Умножив обе части на —6, получим:
— x²+6x- 9 > 0. (2)

а) Коэффициент а=-1<0.
б) Дискриминант 6²- 4·(—1)∙(—9)=0. Отсюда сразу заключаем, что неравенство (1) не имеет решений (при х=3 трёхчлен (2) равен 0, при всех остальных значениях — отрицателен).

Пример:

Решить неравенство:

— 3x²+4x- 10 >0.

Так как а=-3<0 и дискриминант 4²-120<0, то непосредственно заключаем, что неравенство решений не имеет.

Решённые примеры, а также рассмотрение таблицы приводят к следующему общему выводу для неравенства:
ax²+bx+-c>0.

I. Если b²-4αc<0, то:
а) при α > 0 неравенство справедливо при любых значениях х;
б) при α < 0 неравенство не имеет решений.

II. Если b²- 4αc=0, то:
а) при α > 0 неравенство справедливо при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена в левой части;
б) при α < 0 не имеет решений.

III. Если b² — 4ас > 0, то:
а) при α > 0 неравенство справедливо при значениях х, больших большего, и при значениях х, меньших меньшего из корней трёхчлена в левой части (или, как мы условились говорить короче: „при значениях х вне промежутка между корнями трёхчлена»);
б) при α< 0 неравенство справедливо при значениях х, заключённых между корнями трёхчлена в левой части (или при значениях х внутри промежутка между корнями).

Примечание. Во всех приведённых примерах мы проводили решение, полностью основываясь на результатах исследования квадратного трёхчлена. Но, конечно, в каждом случае возможно и вполне самостоятельное исследование. Так, в примере 1, решив уравнение 2x²—13x+15=0 и найдя x₁=, x₂=5, мы могли данное неравенство представить в виде:

Теперь решение данного неравенства привелось к решению двух систем неравенств первой степени:

Первая система даёт х > 5, вторая: х <. Значит, данное неравенство справедливо при значениях х>5 и при значениях х<.
Мы пришли к тому же результату, что и в первом примере, но гораздо более длинным путём.

Решим теперь несколько неравенств более сложного вида.

Пример:

Решить неравенство:

Решение этого неравенства приводится к решению двух систем:

Решим первую систему неравенств. Так как 8²-4 ∙7=36>0, то трёхчлен x²-8x+7 имеет действительные и различные корни. Решив уравнение х²-8x+7=0, найдём: x₁=1; x₂=7. В таком случае, как мы знаем, неравенство (1) будет иметь место при x<1 и при х>7.

Но решив неравенство (2), найдём х>3. Значит, обоим неравенствам удовлетворяют лишь значения х>7.

Решим вторую систему. Неравенство (3) будет справедливо при всех значениях х, заключающихся между 1 и 7, т. е. при 1 < x < 7. Но неравенство (4) даёт x<3. Следовательно, обоим неравенствам вместе удовлетворяют лишь значения х, заключённые между 1 и 3, т. е. при 1 < x < 3. Теперь мы можем сделать общий вывод: данное неравенство справедливо:
при 1< x< 3 и при х > 7.

Проверьте правильность решения подстановкой в данное неравенство значений: x=- 1; 0; 1; 2; 4; 6; 8; 10.

Пример:

Решить неравенство:

Решение приводится к решению систем:

или

Так как 9²-56=25>0 и 5²-16=9>0, то оба трёхчлена имеют действительные и различные корни. Решив соответствующие уравнения, найдём для первого трёхчлена: x₁=2; x₂=7, второго трёхчлена: x₁=1;x₂=4. Отсюда заключаем:

1) Неравенство (1) справедливо при x<2 и х>7, а неравенство (2) — при х<1 и x>4. Следовательно, оба неравенства вместе будут верны лишь при х<4 и х >7.

2) Неравенство (3) верно при 2<x<7, а неравенство (4)—при 1<х<4. Следовательно, оба неравенства одновременно будут иметь место лишь при 2<x<4. Итак, решениями данного неравенства будут следующие значения х: 1) х<1; 2) 2<x<4; 3) x>7.

Замечание:

Найдя корни обоих трёхчленов, мы могли данное неравенство представить в таком виде:

Тогда решение этого неравенства свелось бы к решению двух систем:

или

Решение каждого из этих неравенств мы можем провести подобно тому, как это было сделано в первом примере. Очевидно, что мы пришли бы к тому же результату, как и выше, но ход решения был бы значительно более длинным.

Пример:

Решить неравенство:

Решение сводится к решению систем:

или

Дискриминанты трёхчленов: 3²+4∙ 10=49>0 и 3²-4∙10= =-31<0. Отсюда сразу заключаем, что система I не имеет решений. Действительно, раз дискриминант трёхчлена (2) меньше нуля, то трёхчлен положителен при любых значениях х и, следовательно, неравенство (2) не может иметь места.

Обращаемся к системе II. Мы уже знаем, что неравенство (4) верно при всех значениях х. Значит, остаётся решить неравенство (3). Найдя корни трёхчлена x²-Зх-10, получим: x₁=-2; x₂=5. Следовательно, решениями неравенства (3), а значит, и системы II будут лишь значения х, заключённые между -2 и 5.

Итак, данное неравенство будет верно при —2≤x≤5.

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства

Умение решать квадратные неравенства необходимо каждому учащемуся, готовящемуся к выпускным экзаменам в школе и вступительным экзаменам в вузе. Чтобы успешно решать квадратные неравенства и сводящиеся к ним, следует твердо знать свойства квадратного трехчлена и квадратичной функции.

График квадратичной функции.

Функцию

где а,b,с — действительные числа, причем , называют квадратичной. Область ее определения — множество R действитель-ных чисел.

Применив метод выделения полного квадрата, запишем квадратичную функцию (1) в виде

где

Введем следующие обозначения:

Тогда формула (1) примет вид

Из формулы (4) следует, что графиком квадратичной функции является такая же парабола, как но сдвинутая вдоль оси Ох на |m| единиц и вдоль оси Оу на |l| единиц так, что ее вершина — точка А(m;l).

Знак числа а определяет направление ветвей параболы: при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 — вниз. Ось симметрии параболы — прямая, параллельная оси Оу и проходящая через вершину А параболы.

График функции можно построить, используя следующую схему:

1) найти координаты вершины А(m;l) параболы, пользуясь формулами (3) или применяя метод выделения полного квадрата;

2) построить ось параболы;

3) найти точки пересечения параболы с осью Оу и осью Ох (найти корни уравнения , если

4) нарисовать эскиз графика функции, используя найденные точки и учитывая роль знака числа а.

Для более точного изображения параболы найти координаты нескольких ее точек.

На рис. 20.1 изображен график функции

Теорема:

Квадратичная функция принимает при наименьшее значение, если а > 0, и наибольшее значение, если а < 0.

Для доказательства этой теоремы можно воспользоваться формулой

где

Замечание:

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если а > 0, то самая нижняя точка параболы (рис. 20.2) — ее вершина А(m;l). Ордината l вершины и есть наименьшее значение функции т. е. Значение l функция принимает при Аналогично рассматривается случай а < 0.

Исследование квадратного трехчлена

Теорема:

Если то при всех знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а (рис. 20.3 и 20.4).

Теорема:

Если D = 0, то при всех , кроме знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; при квадратичная функция обращается в нуль (рис. 20.5 и 20.6).

Теорема:

Если D > 0, то знак квадратичной функции

а) совпадает со знаком числа а для всех х, лежащих вне отрезка где — корни уравнения

такие, что (рис. 20.7 и 20.8),

б) противоположен знаку числа а при всех х таких, что (рис. 20.7 и 20.8).

Теоремы 2 и 3 можно доказать с помощью формулы (5), записанной в виде

а теорему 4 — с помощью разложения квадратного трехчлена на множители:

Теорема:

Квадратичная функция принимает положительные значения при всех тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Достаточность следует из теоремы 2. В самом деле, если то по теореме 2 знак у совпадает со знаком числа при и при для всех .

Докажем необходимость, т. е. покажем, что если при всех , то и . Предположим, что условие не выполняется, тогда и поэтому квадратный трехчлен имеет действительные корни и ( при ), т. е.

что противоречит условию ( при всех ). Итак, и в силу теоремы 2 имеем .

Квадратные неравенства.

Пусть где — заданные числа, причем — неизвестное. Тогда неравенства вида

называют квадратными неравенствами или неравенствами второй степени, причем первые два из этих неравенств называют строгими, остальные — нестрогими.

Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Ограничимся рассмотрением строгих неравенств и заметим, что всякое строгое квадратное неравенство можно привести к одному из следующих видов:

Из теорем 2-4 следует:

1) если

то решениями неравенства (1) являются все действительные числа (см. рис. 20.3), а неравенство (2) не имеет решений;

2) если , то решениями неравенства (1) являются все действительные значения , кроме (см. рис. 20.5), а неравенство (2) не имеет решений;

3) если то решениями неравенства (1) являются все числа такие, что или (см. рис. 20.7), где и— корни квадратного уравнения т.е. все значения , лежащие вне отрезка решениями неравенства (2) являются числа такие, что (см. рис. 20.7), т.е. все значения из интервала

Примеры с решениями:

Пример:

Определить знаки чисел если парабола расположена так, как указано на рис. 20.9.

Решение:

Ветви параболы направлены вверх и поэтому . Из рис. 20.9 видно, что абсцисса вершины параболы отрицательна, т. е. , откуда следует, что так как .

Наконец, , поскольку — ордината точки , в которой парабола пересекает ось

Ответ.

Пример:

Квадратичная функция при принимает наибольшее значение равное , а при она обращается в нуль. Найти значение этой функции при

Решение:

Так как — значение функции при , то в формуле (5) и поэтому По условию т. е. откуда Итак, откуда находим

Ответ.

Пример:

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, а его коэффициенты связаны условием Определить знак числа .

Решение:

По условию график квадратичной функции не пересекает ось . Это означает, что либо , либо при всех . Заметим, что и поэтому при всех . В частности,

Ответ. .

Пример:

Квадратичная функция принимает при положительное значение, а при — отрицательное значение. Можно ли утверждать, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?

Решение:

Предположим, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Тогда парабола не пересекает ось и поэтому либо при всех , либо при всех , что противоречит условиям данного примера. Следовательно, квадратный трехчлен имеет действительные корни.

Пример:

Решить неравенство:

Решение:

а) Неравенство равносильно неравенству а его Решениями являются все значения .

б) Неравенство равносильно неравенству и имеет единственное решение

в) Уравнение имеет корни а решения неравенства

все числа , лежащие вне отрезка т.е. все значения такие, что или

г) Уравнение имеет корни а решения неравенства — все числа из отрезка т. е.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Полагая получаем неравенство равносильное неравенству откуда находим Поэтому множество решений исходного неравенства — объединение множеств решений неравенств и которые равносильны неравенствам и соответственно.

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых неравенство

верно для всех .

Решение:

Если , то неравенство (3) справедливо Если то неравенство (3) имеет вид и не является верным для всех (например, число не является решением этого неравенства).

Пусть т. е. и Тогда задачу можно сформулировать так: найти все значения , при которых квадратичная функция

принимает положительные значения для всех .

По теореме 5 это имеет место тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена (4) отрицателен, а коэффициент при положителен, т. е. для всех , удовлетворя-ющих системе неравенств

Неравенство (5) равносильно каждому из неравенств а его решения — значения такие, что или

Неравенство (6) справедливо при и Следовательно, решениями системы (5), (6) являются значения такие, что или

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых неравенство

верно для всех значений .

Решение:

Так как

для всех , то, умножая обе части исходного неравенства на получаем равносильное неравенство

Неравенство

равносильное неравенству (7), не является верным при

Если то неравенство (8) является квадратным и справедливо для всех тогда и только тогда, когда и

Отсюда следует, что , т. е.

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых неравенство

верно для всех значений

Решение:

Пусть неравенство (9) является верным для каждого Тогда оно верно при и Подставляя эти значения в (9), получаем систему неравенств

Первому неравенству системы (10) удовлетворяют значения и , второму — значения и откуда следует, что множество решений системы (10) — совокупность промежутков

Таким образом, условия (11) являются необходимыми (искомыми значениями могут быть только такие значения, которые содержатся в промежутках и ).

Покажем, что условия (11) являются достаточными. Пусть и ; тогда и, значит, неравенство (9) — верное.

Пусть и ; тогда и поэтому неравенство (9) справедливо.

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенств

которая равносильна следующей системе:

Множество решений первого неравенства — интервал второе неравенство является верным при всех

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

На рис. 20.10 изображены графики четных функций и Решив уравнение найдем его положительный корень

График функции лежит выше графика функции вне отрезка Поэтому множество решений данного неравенства— совокупность промежутков и

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

и

Множество решений первого неравенства, равносильного неравенству

представляет собой объединение промежутков и . Множество решений второго неравенства, равносильного неравенству

есть интервал

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Первый способ. Число не является решением данного неравенства, а при неравенство справедливо: его левая часть неотрицательна при всех , а правая отрицательна.

Если , то исходное неравенство равносильно совокупности неравенств

Эти неравенства равносильны неравенствам

соответственно. Решив систему

получаем

Аналогично, из системы

следует, что . Итак, множество решений данного неравенства — объединение промежутков

Ответ.

Второй способ. Построим графики функций и (рис. 20.11).

Эти графики имеют общую точку . Две другие общие точки получим, найдя отрицательные корни уравнений и Такими корнями являются и При и график функции лежит выше графика функции

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Воспользуемся тем, что неравенство равносильно каждому из неравенств Тогда данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств где Отсюда находим множество решений неравенства:

Ответ.

Пример:

Найти множество значений функции , если:

Решение:

а) Число а принадлежит множеству значений функции тогда и только тогда, когда уравнение имеет действительные корни. Функция определена при , а уравнение

можно записать в виде или в виде

Уравнение (12) при имеет корень , а при является квадратным и имеет действительные корни тогда и только тогда, когда , где Отсюда получаем

Ответ.

б) Пусть , тогда и где

График функции на отрезке изображен на рис.20.12.

Из рис. 20.12 видно, что т. е. причем функция принимает все значения из отрезка Следовательно,

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых расстояние между вершинами парабол и меньше .

Решение:

Для нахождения координат вершин парабол воспользуемся методом выделения полного квадрата. Получим

Пусть и — вершины парабол, —расстояние между вершинами. Тогда

Пусть тогда По условию , откуда или

Так как то полученное неравенство равносильно неравенству , откуда

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Алгебраические неравенства с примерами решения

Примеры решения рациональных неравенств

Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси с примерами решения

Квадратный трехчлен и алгоритм решения с примерами

Почти вся теория квадратного трехчлена, а также решение многих задач, связанных с ним, основываются на приеме, называемом «выделение полного квадрата». Применяя этот прием к квадратному трехчлену приходим к равенству

Нет необходимости эту формулу запоминать. Гораздо важнее в каждом конкретном случае уметь проделать соответствующие преобразования и выделить полный квадрат. Например,

Выражение называется дискриминантом квадратного трехчлена Квадратное уравнение имеет соответственно 2, 1 или 0 решений в зависимости от того, будет его дискриминант положительным (D>0), равным нулю (D = 0), или отрицательным ( D <0). (Напомним, что по опреде­лению квадратного уравнения ) Корни квадратного уравнения равны:

Правда, нумерация корней условна. Обычно стараются за­ нумеровать их в порядке возрастания, но это не обязательно.

Дадим два практических совета. Во-первых, если второй коэффициент (b) четный (причем он может быть просто четным числом, а может иметь вид b = 2k), то удобнее пользоваться для нахождения корней формулами

Во-вторых, старайтесь по возможности «работать» с квадратным трехчленом, у которого старший коэффициент (а — коэффициент при ) положительный. Этого всегда можно добиться при решении уравнений, неравенств с числовыми коэффициентами.

Задачи, связанные с квадратным трехчленом, встречающиеся в школьной и конкурсной практике, чрезвычайно разнообразны.
Нередки среди них такие, где основное, что требуется от учащегося,— это внимательность к формулировке. Например:

1.Определить все значения параметра а, при которых уравнение имеет один корень.

Решение:

Здесь главное — не забыть про случай а = 0, поскольку в условии не сказано, что рассматривается квадратное уравнение. При а = 0 имеем линейное уравнение с единственным корнем . Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D = 0, а лучше

Ответ.

К азбуке квадратного трехчлена относится и теорема Виета. Для того чтобы были корнями уравнения необходимо и достаточно выполнения равенств Обратите внимание на то, что здесь сформулировано два утверждения — прямое и обратное. Часто, формулируя теорему Виета, ограничиваются одним прямым утверждением: «Если — корни квадратного уравнения то выполняются равенства…»

Некоторые логические и терминологические проблемы возникают в случае D = 0, но мы их не будем обсуждать. Заметим лишь, что выражения «квадратное уравнение, имеющее одно решение» и «квадратное уравнение с равными корнями» означают одно и то же.

Из теоремы Виета следует следующее разложение на множители квадратного трехчлена:

На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения.

2.Решить уравнение

Решение:

Решение этого уравнения непосредственно по формуле корней квадратного уравнения приводит к большим вычислительным трудностям.

Если же заметить, что 319-1988+1669 = 0, откуда следует, что является корнем уравнения, то по теореме Виета

Ответ.

Сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких арифметических или алгебраических пре­ образований, попытайтесь выяснить, не имеет ли это уравнение «хорошего» целого корня, в частности 1 (в этом случае имеет место равенство а+b + с = 0) или —1 (а —b + с = 0).

3.Пусть — корни уравнения Выразить через р и q.

Решение:

Нам нужно выразить через — и Имеем

Ответ.

4. Разложить на множители выражение

Решение:

Данное выражение можно рассматривать как квадратное относительно любого входящего в него переменного. Сгруппируем его члены и расположим их по степеням х. Получим

Коэффициент при х представляет собой квадратный трехчлен относительно у (можно z) Найдем его корни:

Следовательно,

Таким образом, в каждом из коэффициентов квадратного трех­ члена (1) есть множитель у — 2z. Вынося его за скобки, получим

Квадратный трехчлен имеет корни (проверьте):

Ответ.

Решая эту задачу, мы сознательно не стали использовать некоторые соображения, которые могли бы привести к цели быстрее. Так, например, выделив множитель (у — 2z), учитывая цикличность исходного выражения (оно не меняется при замене х на у, у на z, z на х), можно было сразу получить требуемое разложение на множители. В данном случае мы следовали по­ говоркам: «От добра добра не ищут» и «Тише едешь…» Однако в других, более сложных случаях подобного рода особенности могут сыграть решающую роль. И еще на одно очень важное обстоятельство следует обратить внимание: надо учиться «видеть» квадратный трехчлен в тех случаях, когда он не задан в стандарт­ ной канонической форме; уметь выделять переменное, параметр, алгебраическое выражение, относительно которого данное выражение представляет собой квадратный трехчлен; делать замену переменного, превращающую его в квадратный трехчлен.

Существование корней квадратного уравнения. Знаки корней

Как мы знаем, для того чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо и достаточно выполнения неравенства Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем до­ казать его неотрицательность. Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение имеет два решения, достаточно указать одну точку в которой Чаще всего в качестве берут 0 (дает достаточное условие с<0), 1 (условие а+b+c<0) или—1 (условие а —6 + c<0). Например, чтобы убедиться в том, что уравнение имеет два корня, заметим, что значение левой части при х=1 равно При этом мы избежим хотя и несложных, но громоздких вычислений. Похожая идея «работает» и в следующей задаче.

5. Доказать, что при любом а уравнение

имеет решение.

Решение:

Можно, конечно, попытаться найти дискрими­нант и доказать, что он положителен. Но не будем спешить.
Обозначим левую часть данного уравнения через f (х). Сразу видно, что при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдем для которого Попробуем . (Выбор такого значения выглядит естественным, поскольку в этом случае пропадают члены с ) при любом а. Теперь легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение. Более того, если т. е. данное уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству 0<х< 1.

Мы не будем обсуждать здесь проблему, в какой мере допустимо и законно использование тех или иных графических соображений в условиях конкурсного экзамена. Общими словами здесь не отделаешься — истина конкретна. К сожалению, четких и согласованных критериев, которых бы придерживались комиссии разных вузов (и даже члены одной комиссии), нет. Нам все же кажется, что степень обоснованности решений, аппелирующих к графическому образу квадратного трехчлена, зачастую гораздо выше, чем это считают некоторые чрезмерно педантичные экзаменаторы.

Мы советуем ученикам почаще обращаться в процессе поиска решения к «картинкам», искать соответствующую графическую интерпретацию.

Теорема Виета очевидным образом используется в задачах, в которых требуется определить знаки корней квадратного уравнения.

6. При каких значениях параметра а уравнение

имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение:

Прежде всего, если то уравнение имеет корни разных знаков. (Дискриминант при этом «автоматически» положителен.) В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х — второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было необходимо и достаточно выполнения неравенств

откуда а >5. Точно так же рассматриваются другие случаи.

Ответ. Если а<1 или если а = 1 или а =2, то если то если если то корней нет; если а = 5, то если а>5, то

Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи.

Расположение корней квадратного трехчлена

Выделим прежде всего два наиболее распространенных типа задач, связанных с расположением корней квадратного трех­ члена. Первый тип — задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны три случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше, а другой больше А; оба корня больше А. Задачи первого типа без труда сводятся к проблеме,— определению знаков корней квадратного трехчлена. Это делается при помощи замены t = х —A, х =t+A, в результате которой трехчлен относительно х переходит в трехчлен относительно t. Знаки корней нового квадратного трехчлена очевидным образом определяют расположение корней исходного квадратного трехчлена относительно А. Мож­но и не делать замену.

7. При каком значении параметра а один корень уравнения больше 1, а другой меньше 1?

Решение:

Решение легко получается на основании следующего простого графического соображения. График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок должен содержать внутри себя точку 1 (рис. 7). Следовательно, значение квадратного трехчлена при х = 1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялись неравенства

Ответ. а> —2.

В общем случае для того, чтобы уравнение имело бы один корень меньше A, а другой больше А, не­ обходимо и достаточно выполнения неравенства (Докажите

это самостоятельно.) Не следует последнее условие заучивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах.

8. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
больше 1?

Решение:

Для того чтобы оба корня уравнения

были больше 1, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Необходимость условия 1) очевидна. Неравенство 2) означает, что знак f (х) при х=1 совпадает со знаком старшего коэффициента. Квадратные трехчлены, удовлетворяющие условиям 1) и 2), обладают тем свойством, что все они имеют два корня и оба эти корня либо меньше 1, либо больше 1 (рис. 8). Неравенство 3) выделяет из них те трехчлены, у которых оба корня больше 1. Оно означает, что вершина параболы расположена правее прямой х = 1.

Система неравенств 1) —3) дает нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были больше 1. Неравенство 2) дает А из равенства 3) следует, что Таким образом, нам нет необходимости решать неравенство 1), поскольку уже неравенства 2) и 3) несовместимы.

Ответ. Ни при каких.

В задачах второго типа исследуется расположение корней квадратного трехчлена относительно заданного отрезка [А; В].
Здесь можно выделить 6 возможных случаев расположения корней (оба меньше А, один меньше А, а другой на отрезке [А; В] и т. д.). Если же отдельно рассматривать ситуацию, когда D = 0, то добавится еще 3 случая. Мы вновь не будем заниматься по­ строением общей теории, а рассмотрим конкретные примеры.

9. При каких значениях параметра а все решения уравне­ния удовлетворяют условию 0<х<3?

Решение:

Обозначим Необходимым и достаточным условием для того, чтобы f (х) (если ) имела все свои корни внутри отрезка [0; 3], будет выполнение системы неравенств:

(Проверьте, что если f (х) имеет корни на данном отрезке, то все неравенства выполняются. Проверьте обратное утверждение, что если выполняются все неравенства, то корни f (х) расположены на отрезке [0; 3]. Покажите, что ни одно из не­ равенств нельзя отбросить, т. е. если выполняются все неравенства, кроме одного, то квадратный трехчлен не удовлетворяет условию задачи.)

Оба неравенства 2) и 3) выполняются при или а <0.
Решим неравенство 4): Будем иметь или

Значит, система неравенств 2), 3), 4) имеет решение или Условие дает нам или откуда а поскольку или

Отдельно рассматривается случай а=1.
Ответ.

Заметим, что если бы в условии требовалось, чтобы оба корня располагались на заданном отрезке, т. е. указывалось на наличие двух различных корней, то правое нестрогое неравенство ответа следовало бы заменить на строгое и исключить случай а= 1.

10. Определить, как расположены корни уравнения относительно отрезка [—I; 4].

Решение:

Решим эту задачу несколько иначе, способом, который можно назвать «обобщенным методом интервалов».
Сначала определим, где обращается в ноль дискриминант урав­нения. Имеем

При 1<а<9 корней у данного уравнения нет. Обозначив, как обычно, левую часть уравнения через f (х), найдем f (—1) = 6а+10, f(4) = 6a —5. Как видно, f(— 1) и f (4) меняют знаки соответственно при . Множество значений параметра а точками разбивается на четыре интервала и две полупрямые (рис. 9, а; к найденным ранее значениям параметра а добавлено значение, при котором обращается в 0 старший коэффициент, а = 0).

Рассмотрим эти 6 случаев.

1. Имеем Можно проверить, что при будет Значит, уравнение имеет корни, ветви

параболы направлены вниз, значения f (х) при х= —1 и х=4 отрицательны, вершина параболы расположена между прямыми х=-1 и х = 4 (рис. 9,б). Следовательно, в этом случае оба корня расположены между — 1 и 4.

2) (случай рассматривается отдельно). Имеем А поскольку а<0, то (рис. 9, в) один корень меньше — 1, а другой расположен между — 1 и 4.
Точно так же рассматриваются остальные случаи.

Ответ. При имеем при имеем при имеем при корней нет. Если то если то один корень если то если если

11. Определить, как расположены корни уравнения

относительно отрезка [1; 3].

Решение:

В данном случае приемы, которые мы использовали при решении предыдущего примера, не нужны; все гораздо проще, рассматриваемое уравнение всегда (при ) имеет корни: (Проверьте. Здесь не обязательно ) Теперь закончить решение не составляет труда.

Вывод очевиден — при решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера.

Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов

12. Найти все значения параметра а, при которых уравне­ния имеют хотя бы один общий корень.

Решение:

Решение основывается на следующей простой идее: если два уравнения имеют общий корень то при любых и уравнение имеет тот же корень

Возьмем сначала и так, чтобы в комбинации исчез свободный член: Получим после сокращения на х, поскольку очевидно, что уравнение

Затем выберем и так, чтобы исчез член с

Получим уравнение

Так как х должен удовлетворять обоим полученным линейным уравнениям, для а должно выполняться соотношение

Далее получаем Левая часть разлагается на множители:

Ответ.

Два замечания. 1. Для каждого из найденных значений а необ­ходимо убедиться, что соответствующие уравнения имеют решения, (Достаточно проверить существование корней у одного из них.) 2. Заданную пару квадратных уравнений можно рассматривать как систему из двух уравнений с неизвестными х и а.

13. Расположить корни уравнений

в порядке возрастания.

Решение:

Обозначим — корни уравнения — корни уравнения g(x) = 0. По смыслу задачи следует рассматривать лишь те значения параметра а, для которых оба уравнения имеют решения. Условие неотрицательности обоих дискриминантов дают нам неравенства.

Найдем значения х, при которых Уравнения имеют общий корень, если откуда а=—3.

Таким образом, множество значений параметра а, при которых оба уравнения имеют корни, разбито на три интервала (рис. 10, а). Концы интервалов удобнее рассматривать отдельно. Возникают три случая.

1. Имеем

С точностью до обозначений, какая из двух парабол соответст­вует f(х), а какая g (х), возможны два случая (рис. 10, б, в). Посмотрим, как расположены вершины каждой из парабол по отношению к прямой . Для f (х) имеем . На рассматриваемом интервале изменения а имеем (Докажите.) Вершина второй параболы также левее прямой (Проверьте правильность неравенства ) Следовательно, имеет место случай, изображенный на рисунке 10, б. (На рис. 4, в вершины парабол расположены по разные стороны от прямой ) Осталось выяснить, какая из двух парабол на этом рисунке соответствует f (х), а какая g (х).

Если Значит, при идет выше Если

2) В этом случае Как и в предыдущем пункте, при т. е. графики f (х) и g(х) расположены так, как показано на рисунке 10, г, и Если

3) Имеем Обе вершины — слева от прямой (рис. 10, д). Следовательно, Если

Заметим, что получить правильный ответ в данном примере можно было бы несколько проще, хотя и менее законно. Из соображений непрерывности следует, что на каждом из трех интервалов имеет место один и тот же порядок следования корней (граничными точками такого рода интервалов являются: запрещенные значения параметра, в данном случае а = 0; нули дискриминантов— точки и значения параметра, при которых уравнения имеют один и тот же корень а = — 3; в общем случае сюда надо добавить значения параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при ). Для выявления этого порядка следования достаточно рассмотреть какое-либо значение параметра а из соответствующего интервала. В нашем случае для крайних интервалов можно взять даже их концы: а для среднего, например, а =— 1.

Уравнения, неравенства и системы с параметром

В большинстве задач, рассмотренных в предыдущих пунктах, требовалось узнать «при каких значениях параметра…?». Подобного рода вопрос для уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств с параметром не всегда фигурирует в условии задачи. Однако наличие параметра заранее предполагает специ­альную форму записи ответа, такую, чтобы по ней можно было указать, каков будет ответ для любого допустимого значения параметра.

14. Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда Для у получаем уравнение

которое надо решить при условии Неотрицательность дискриминанта дает нам неравенство . Если корни уравнения, то по теореме Виета Следовательно, оба корня не могут быть отрицательными. При получаем одно решение: при два решения: при — одно решение: Теперь возвращаемся к неизвестному х.

Ответ. Если если если если , то решений нет.

Если решать уравнение 14 более обычным путем, возводя в квадрат обе его части, то приходим к уравнению при условии Технически этот путь несколько сложнее. (Доведите его до конца самостоятельно.)

15. Решить уравнение

Решение:

Возводим обе части уравнения в квадрат (условие ):

Еще раз возводим в квадрат (условие ). Получаем окончательно уравнение

среди решений которого надо найти те, для которых Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного х, но зато является квадратным относительно параметра а. (Умение «видеть» квадратный трехчлен!) Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:

Найдем дискриминант, надеясь, что он окажется полным квадратом:

Итак, наши надежды оправдались. Теперь правая часть уравнения раскладывается на множители Наше уравнение распадается на два: каждое из которых надо решить при условии, что

Начнем с уравнения Поскольку то из того, что следует, что Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых х>0; тогда неравенство будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна —1; следовательно, уравнение может иметь лишь один неотрицательный корень при условии Значит, при будет

Перейдем ко второму уравнению Из этого уравнения Левая часть неположительна, правая неотрицательна. Равенство возможно лишь, если а = 0, х = 0.

Ответ. Если если а = 0, то х = 0; при остальных а решений нет.

16. Для каждого неотрицательного значения параметра а
решить неравенство

Решение:

Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену у = ах, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ . Будем теперь считать, что а>0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену у = ах, получим

Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:

Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим

или

Второй множитель положителен при всех у, если а>0. Приходим к неравенству откуда, если 0<а<2, или если у — любое. Возвращаясь к х, получим ответ.

Ответ. Если а=0, то если любое.

Очень часто уравнения, неравенства, системы с параметром сводятся к задачам о расположении корней одного или двух квадратных трехчленов. Основные методы решения подобных задач мы рассматривали в двух предыдущих пунктах.

17. Решить систему неравенств

Решение:

Поскольку решением первого неравенства является то задача сводится (при ) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена относительно отрезка [1; 2]. Имеем

Область изменения параметра а оказалась разделенной на 4 части (не считая граничных точек).

1) Если а , второе неравенство, а следовательно, и данная система не имеют решения. То же имеет место и при

2) Если Для вершины и
параболы выполняется неравенство (рис. 11, а).
Следовательно, множество решений второго неравенства не содержит

точек отрезка [1; 2] Система не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

3) Если 0<а<5, то f (1)<0, f(2)<0 (рис. 11, б). Значит, на всем отрезке [1; 2] f (х)<0. Система вновь не имеет решения.

4) Если то (рис. 11, в). Решением системы будет где — больший корень уравнения f(x)=O.

Ответ. Если а <5, система не имеет решения; если то

18. Решить систему неравенств

Решение:

Задача, по существу, сводится к выяснению, в каком порядке следуют корни уравнений

Вычисляя их дискриминанты, получим, что первое уравнение имеет корни, если второе — если . Найдем — абсциссу точки пересечения графиков Имеем следующие три случая.

1) a<0 (рис. 12). Если и — корни уравнения — корни уравнения то Это следует из того, что при выполняется равенство f(x), так как g (х) — f (х)= — 2x+6, и f (3) = g (3) = а<0. Значит, при а<0 решением системы будет или

2) 0<а<1. В этом случае порядок следования корней будет (Докажите.) Система не имеет решений.
Если Решений нет.

3) . Второе неравенство, а значит, и система неравенств не имеют решения.

Ответ. Если а<0, то если то решений нет.

Уравнения, неравенства и системы с параметром. Графические интерпретации

Начнем с того, что еще раз решим систему неравенств 18.
Эту систему можно переписать в виде двойного неравенства

Рассмотрим координатную плоскость (х; а). Множество точек, координаты которых удовлетворяют нашей системе неравенств, ограничено графиками двух квадратных трехчленов и состоит из точек, расположенных выше первого графика и ниже второго. Графики этих двух квадратных трехчленов пересекаются в точке (3; 0) На рисунке 13 изображено это множество точек. Сразу «видно», что при система не имеет решений.

Чтобы найти решение системы неравенств при некотором рассмотрим горизонтальную прямую Эта прямая пересекает найденное нами множество по отрезку. Абсциссы концов этого отрезка и будут задавать интервал изменения х, при этом Понятно, что для нахождения этих абсцисс надо решить относительно х уравнения и и взять большие корни этих уравнений. Таким образом, мы получим найденный выше ответ, причем, как нам кажется, с меньшими затратами.

Рассмотрим еще несколько примеров.

19. При каких значениях а уравнение х |х —2а| —За + 2=0 имеет один корень?

Решение:

Рассмотрим функцию у = х|х — 2а| — За + 2. Ее график состоит из частей двух парабол: если то если х<2а, то (рис. 14, а). Если то функция возрастает при х<а и х>2а и убывает на отрезке [а; 2а]. При а<0 эта функция возрастает на участках х<2а и х>а и убывает на отрезке [2а; а].

Нетрудно сделать вывод, что, для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы у (а) и у (2а) были одного знака (у (а) и у (2а) одновременно или выше, или ниже оси х), т. е. у (а) у (2d) > 0.
Получаем неравенство для а:

Найдем, где обращается в ноль первый множитель: а|а| — За + 2 =0. Если Если а<0, то (Другой корень положителен.)

Второй множитель обращается в ноль при Легко видеть, что в каждой из этих четырех точек левая часть неравенства меняет знак. Расставим эти точки на числовой оси (рис. 14,6). При а>2 первый множитель положителен, второй

отрицателен, т. е. (а|а| — За + 2)( — За + 2)<0. При переходе через отмеченные точки знак меняется.
Ответ.

20. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение

Решение:

Изобразим на плоскости (х; а) все точки, удовлетворяющие данному уравнению. Если то если (рис. 15). (Аналитически мы нашли точки А и В — точки пересечения каждой параболы с прямой а = х и вершину первой параболы — точку С, вершина другой параболы совпала с точкой В. Затем от каждой параболы оставили ее часть, расположенную в нужной полу­ плоскости относительно прямой а = х.) Следовательно, если то уравнение имеет два решения. (Горизонтальная прямая, соответствующая этим значениям параметра, пересекает наш график дважды.) Если или а= — 1, решение единственное. Для остальных значений а уравнение не имеет решений.

21. Решить неравенство

Решение:

Напомним, что неравенство эквивалент­ но двойному неравенству В нашем случае после преобразований приходим к системе неравенств

Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе (рис. 16). При конкретном значении параметра а =а, решением нашего неравенства будут абсциссы тех точек горизонтальной прямой а = а, которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А (2; 2), В ( — 2; —2) наших парабол и вершину С ( — 0,5; —4,25) параболы

Далее получаем: если а>2, решений нет; горизонтальная прямая не пересекается с заштрихованной областью.

Если то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абсциссами (больший корень уравнения (больший корень уравнения или

Если то горизонтальная прямая, соответствующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет

Если

Подведем итог этому пункту. Мы рассмотрели здесь задачи, при решении которых использовались наглядно-графические соображения. Подчеркнем два характерных приема.

Первый прием (использовался при решении задачи 19). На плоскости (х; у) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра a: y = f(x; а). Затем в этом семействе выделяется множество кривых, обладающих требуемым свойством. При этом очень часто поступают следующим образом: изучают, как перемещается кривая семейства при изменении параметра, и находят граничные значения параметра, отделяющие множество значений параметра, которым соответствуют кривые, имеющие нужное свойство. (Правда, в задаче 19 путь решения был несколько иной. Нам удалось сразу получить удобное необходимое и достаточное условие, выделяющее искомое множество кривых.)

Второй прием состоит в том, что рассматривается плоскость (х; а), на которой изображается множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению или неравенству (см. решения задач 20 и 21). После этого, проводя прямые, параллельные оси х, находят решение этого уравнения или не­ равенства при соответствующем значении параметра. Значения параметра, при переходе через которые меняется формула, даю­щая решение, естественным образом определяются построенным множеством.

Задачи на максимум-минимум. Доказательство неравенств

Простейший прием нахождения наибольших и наименьших значений, основанный на свойствах квадратичной функции, состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразова­ний или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.

22. Найти наибольшее значение функции

Решение:

Обозначим тогда Отсюда . Переходя к переменной t, получаем, что надо найти
наибольшее значение функции при условии Выделим полный квадрат: Наибольшее значение будет у=1 при t=1. Возвращаясь к х (в данной задаче это не обязательно), найдем, что наибольшее значение у=1 будет при х = 0.

Другой прием иллюстрирует следующая задача.

23. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

Рассмотрим данное равенство как уравнение с неизвестным х и параметром у. (Можно для создания большего психологического комфорта заменить у на а.) После преобразований получим

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

откуда

Слева в неравенстве стоит наименьшее значение у, справа — наибольшее.

Интересно сравнить данное решение задачи с решением, использующим производные.

Идея, на которой основано решение задачи 23, чрезвычайно проста. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) мы, рассматривая данное равенство как уравнение с неизвестным х, решаем задачу, при каких у это уравнение имеет решение.

Рассмотрим еще два примера, в которых работает эта же идея с небольшими вариациями.

24. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
2х— Зу, если

Решение:

Обозначим 2х — 3y = s, тогда Заменим у через х и s в заданном соотношении. После упрощений получим

Для того чтобы это уравнение (относительно х) имело решение, необходимо и достаточно выполнения неравенства

откуда

Как и в предыдущем случае, слева в двойном неравенстве стоит наименьшее значение s = 2x —Зу, справа — наибольшее.

25. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения при условии, что

Решение:

Задача сводится к определению наибольшего и наименьшего значений а, при которых система

имеет решение.

Левые части каждого из уравнений представляют собой однородные многочлены второй степени относительно х и у. Умножим первое уравнение на 4, второе на — а и сложим получившиеся уравнения. Получим

Разделив это уравнение на , будем иметь квадратное относительно уравнение

Нам необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен:

откуда Осталось проверить, для любых ли а из этого отрезка система имеет решение. Подставляя во второе уравнение x = yt, получим уравнение которое имеет решение при любом t. Следовательно, если а таково, что квадратное уравнение, определяющее t, имеет неотрицательный дискриминант, то исходная система имеет решение.

Ответ. Наименьшее значение при условии, что равно а наибольшее равно

Рассмотрим еще две задачи, решение которых основывается на графических соображениях.

26. Пусть М — точка на прямой у = 2х+1, а N — точка на параболе Чему равно наименьшее значение длины отрезка MN?

Решение:

Найдем уравнение прямой, параллельной данной прямой у = 2х+1 и касающейся параболы Для этого, учитывая, что прямая у = 2х+1 не параллельна оси параболы, надо среди прямых вида у = 2х + b найти ту, которая имеет единственную общую точку с параболой. Это означает, что уравнение

имеет дискриминант, равный нулю: Прямая у = 2х+1 и парабола расположены в разных полуплоскостях по отношению к прямой (За исключением одной точки на параболе, которая принадлежит также и прямой рис. 17.)

Теперь очевидно, что наименьшее значение длины отрезка МN равно расстоянию между параллельными прямыми у = 2х+1 и Это расстояние равно Но tga = 2, следовательно, cos

Ответ.

Замечание:

Возможно, более простым будет следующее решение. Найдем наименьшее значение разности где (рис. 17). Поскольку

искомое наименьшее значение равно и достигается при Для нахождения расстояния между данными прямой и параболой надо умножить на .

27. Найти все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции меньше —

Решение:

График данной функции состоит из частей двух парабол, «склеенных» в точке с абсциссой при Наименьшее значение эта функция принимает или при х= — 2 (соответствует вершине первой параболы), или при х= —1 (соответствует вершине второй параболы), или при х = а (абсцисса точки склейки).

Мы перечислили все возможные значения аргумента, которые «подозреваются на минимум». (Не беда, если среди них окажутся лишние. Единственное следствие — некоторое увеличение объема вычислительной работы.) Следовательно» условию задачи удовлетворяют все те значения (и только те) параметра а, для которых выполняется хотя бы одно из трех неравенств

Все три неравенства объединены квадратной скобкой, что означает, что нам надо, решив каждое из них, полученные ответы объединить (а не находить множество значений параметра а, удовлетворяющее всем трем одновременно, как это делается в системах уравнений или неравенств).

Решая неравенства, получим для каждого из них соответ­ственно

Ответ.

Мы не будем здесь подробно рассматривать задачи на дока­зательство неравенств, решения которых основываются на использовании тех или иных свойств квадратного трехчлена. (Выделение полного квадрата, оценка дискриминанта и т. д.) Ограничимся одним известным и полезным неравенством, при доказательстве которого свойства квадратного трехчлена используются весьма нестандартно.

28. Доказать, что для любых справедливо неравенство

(неравенство Коши-Буняковского).

Решение:

Рассмотрим следующую квадратичную функцию от х:

При всех х функция Следовательно, где D — дискриминант:

Значит,

откуда получаем требуемое неравенство. Легко видеть, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского имеет место, если существует х, обращающий в ноль все слагаемые в выражении для иными словами, если наборы пропорциональны.

Доказанное неравенство имеет очевидную геометрическую интерпретацию. Для n = 2; 3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в прост­ранстве не превосходит произведения их длин. Так же можно
интерпретировать неравенство Коши-Буняковского и для произвольных n.

Из полученного неравенства можно получить следствия. На­ пример, возьмем Будем иметь неравенство

Небольшой обзор различных типов и видов задач, относящихся к теме «Квадратный трехчлен», показывает, сколь разно­ образны по тематике, методам решения, уровню сложности за­ дачи, составляющие эту тему. Многие идеи, рассмотренные в нашем обзоре, носят достаточно общий характер и с успехом могут быть использованы при решении задач, относящихся к самым различным разделам алгебры и анализа.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат