Уравнения прямой и плоскости в пространстве с примерами решения

Векторный базис в пространстве:

Пусть Уравнения прямой и плоскости в пространстве — тройка некомпланарных векторов. Тогда, как известно из школьного курса, любой вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве пространства может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации данных векторов:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Определение:

Векторным базисом пространства называется тройка некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке.

Очевидно, что существует бесконечное множество базисов пространства. Пусть Уравнения прямой и плоскости в пространстве — один из них. Тогда любой вектор Уравнения прямой и плоскости в пространствепространства может быть представлен единственным образом в виде

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Это означает, что для любого вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве существует и притом только одна тройка чисел Уравнения прямой и плоскости в пространстве, удовлетворяющая равенству (2). Справедливо и обратное утверждение: тройка чисел Уравнения прямой и плоскости в пространстве в данном базисе Уравнения прямой и плоскости в пространстве определяет единственный вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
Числа Уравнения прямой и плоскости в пространстве называются координатами вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве в базисе
Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Если вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве пространства задан своими координатами Уравнения прямой и плоскости в пространстве, то пишут Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Определение:

Базис Уравнения прямой и плоскости в пространстве пространства называется прямоугольным, если базисные векторы единичны и попарно перпендикулярны^ т. е. если
Уравнения прямой и плоскости в пространствеУравнения прямой и плоскости в пространстве

Базисные векторы прямоугольного базиса обозначают через Уравнения прямой и плоскости в пространствеа разложение вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве по базису Уравнения прямой и плоскости в пространстве имеет вид Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Пример:

Даны векторы:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Найти координаты векторов Уравнения прямой и плоскости в пространстве в базисе Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
Решение. Имеем:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Применив правила действия над векторами, заданными координатами, находим:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Пример:

Найти длину вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве, если Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

Известно, что если Уравнения прямой и плоскости в пространстве, то Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Находим:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

поэтому

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Прямоугольные координаты в пространстве

Определение:

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность фиксированной точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве и векторного базиса Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Точка Уравнения прямой и плоскости в пространстве называется началом координат, прямые Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов Уравнения прямой и плоскости в пространстве (рис. 32), называются осями координат: Уравнения прямой и плоскости в пространстве — ось абсцисс, Уравнения прямой и плоскости в пространствеось ординат, Уравнения прямой и плоскости в пространствеось апликат. При этом систему координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве будем также обозначать Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Пусть Уравнения прямой и плоскости в пространстве — произвольная точка пространства. Тогда вектор Уравнения прямой и плоскости в пространственазывается радиусом-вектором относительно точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Координатами точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве в декартовой системе координат называются координаты радиуса-вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве в базисе Уравнения прямой и плоскости в пространстве; при этом Уравнения прямой и плоскости в пространствеУравнения прямой и плоскости в пространстве где Уравнения прямой и плоскости в пространстве — абсцисса, Уравнения прямой и плоскости в пространстве — ордината, Уравнения прямой и плоскости в пространстве — апликата.

Определение:

Прямоугольной декартовой (или просто прямоугольной) системой координат в пространстве называется совокупность фиксированной точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве и прямоугольного базиса Уравнения прямой и плоскости в пространстве (рис. 33).

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Прямоугольная система координат хорошо известна по школьному курсу, поэтому на ее описании мы здесь останавливаться не будем.

Введение прямоугольной системы координат в пространстве дает возможность решать много геометрических задач так, как это делалось в плоскости.

Например, можно показать, что координаты точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве, делящей отрезок Уравнения прямой и плоскости в пространствеУравнения прямой и плоскости в пространстве в данном отношении Уравнения прямой и плоскости в пространстве, определяются по формулам:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве

Пусть множество решений уравнения

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

не пусто. Тогда каждой тройке чисел Уравнения прямой и плоскости в пространстве, являющейся решением уравнения (2), соответствует точка с координатами Уравнения прямой и плоскости в пространстве в некоторой прямоугольной системе координат. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (2), есть, вообще говоря, некоторая поверхность.

Обратно, пусть в пространстве заданы некоторая поверхность и прямоугольная система координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Определение:

Уравнением данной поверхности в системе координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве называется такое уравнение с переменными Уравнения прямой и плоскости в пространстве которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой поверхности.

Пример:

Найти уравнение сферы радиуса Уравнения прямой и плоскости в пространстве с центром в точке Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Решение:

Пусть Уравнения прямой и плоскости в пространстве — произвольная точка на сфере; тогда

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнение Уравнения прямой и плоскости в пространстве и есть искомое уравнение, так как координаты произвольной точки сферы ему удовлетворяют, и, как легко показать, координаты любой точки, не лежащей на сфере, не удовлетворяют этому уравнению (например, Уравнения прямой и плоскости в пространствеУравнения прямой и плоскости в пространстве

Линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух поверхностей, т. е. как множество точек, общих двум поверхностям. Так, если Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве — уравнения двух поверхностей, пересекающихся по некоторой линии Уравнения прямой и плоскости в пространстве, то координаты точек этой линии удовлетворяют каждому из этих
уравнений. Таким образом, система уравнений

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

определяет рассматриваемую линию Уравнения прямой и плоскости в пространстве в пространстве.

Например, система

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

определяет окружность (как линию пересечения двух сфер).

Отметим, что если известно уравнение поверхности (линии), то относительно любой точки пространства можно решить вопрос: лежит эта точка на данной поверхности (линии) или нет?

Пример:

Лежит ли точка Уравнения прямой и плоскости в пространстве на поверхности Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

Подставив в данное уравнение вместо текущих координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве координаты точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве, получим: 4 + 9 + 36 — 49 = 49 — 49 = 0. Точка Уравнения прямой и плоскости в пространстве лежит на данной поверхности.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором

Пусть в прямоугольной системе координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве задана некоторая точка Уравнения прямой и плоскости в пространстве и ненулевой вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Требуется составить уравнение плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве и
перпендикулярной вектору Уравнения прямой и плоскости в пространстве (рис. 34).

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Определение:

Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве, называется нормальным вектором этой плоскости.
Очевидно, что положение плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве вполне определяется заданием точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве и вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Возьмем на плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве произвольную точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Ясно, что Уравнения прямой и плоскости в пространстве эквивалентно Уравнения прямой и плоскости в пространстве, что в свою очередь эквивалентно

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Учитывая, что Уравнения прямой и плоскости в пространстве, запишем равенство (1) в координатной форме:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнение (2) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве, с заданным нормальным вектором Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Это —уравнение первой степени относительно текущих координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве, поэтому можно сделать вывод: в прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно текущих координат.

Заметим, что если коэффициентам Уравнения прямой и плоскости в пространстве уравнения (2) придавать различные значения, то можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называют связкой плоскостей. Поэтому уравнение (2) называют и уравнением связки плоскостей.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве перпендикулярно вектору Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Решение:

Имеем Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве Подставив эти значения в уравнение
(2), получим

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

или

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости и его частные случаи

В предыдущем параграфе мы показали, что в прямоугольной системе координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно текущих координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Теперь докажем обратное: всякое уравнение первой степени

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

в прямоугольной системе координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве определяет плоскость и притом единственную.

Так как уравнение (1) является уравнением первой степени, то по крайней мере один из коэффициентов Уравнения прямой и плоскости в пространстве, Уравнения прямой и плоскости в пространстве или Уравнения прямой и плоскости в пространстве отличен от нуля. Допустим, для определенности, что Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Тогда уравнение (1) можно представить в виде

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Это уравнение имеет вид уравнения (2) из предыдущего параграфа и, следовательно, оно определяет единственную плоскость, проходящую через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве и перпендикулярную вектору Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Но тогда и уравнение (1), равносильное уравнению (2), определяет
плоскость.

Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (1) (плоскость, определяемую этим уравнением, обозначим через Уравнения прямой и плоскости в пространстве).

1. Свободный член Уравнения прямой и плоскости в пространстве равен 0. Тогда уравнение (1) имеет вид Уравнения прямой и плоскости в пространстве Этому уравнению удовлетворяют координаты точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве, следовательно, плоскость проходит через начало координат.

1. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю. Пусть Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Тогда уравнение (1) примет вид Уравнения прямой и плоскости в пространстве. В этом случае имеем Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Аналогично, Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Таким образом, если в уравнении плоскости отсутствует какой-либо член, содержащий координату Уравнения прямой и плоскости в пространстве или Уравнения прямой и плоскости в пространстве, то плоскость параллельна соответственно оси Уравнения прямой и плоскости в пространстве или Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Например, плоскость, определяемая уравнением Уравнения прямой и плоскости в пространстве, параллельна оси Уравнения прямой и плоскости в пространстве (здесь Уравнения прямой и плоскости в пространстве).

1. Свободный член и один из коэффициентов при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Тогда (1) примет вид Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Имеем: Уравнения прямой и плоскости в пространстве и, кроме того, Уравнения прямой и плоскости в пространстве, т. е. плоскость Уравнения прямой и плоскости в пространстве проходит через начало координат. Следовательно, плоскость проходит через ось Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Аналогично можно показать, что уравнения Уравнения прямой и плоскости в пространстве определяют плоскости, проходящие соответственно через оси Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Так, уравнение Уравнения прямой и плоскости в пространстве определяет плоскость, проходящую через ось Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

4. Два коэффициента при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Тогда уравнение (1) примет вид Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Имеем:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Следовательно, данная плоскость параллельна координатной плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Этот же вывод можно получить иначе. Имеем:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Положив

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

получим

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Это уравнение показывает, что все точки данной плоскости имеют одну и ту же апликату, т. е. данная плоскость параллельна плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Аналогично, уравнения Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве

определяют плоскости, соответственно параллельные координатным плоскостям Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Например, уравнение Уравнения прямой и плоскости в пространстве определяет плоскость, параллельную плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве и расположенную ниже Уравнения прямой и плоскости в пространстве на расстоянии 2,5 ед.
от нее.

5. Свободный член и два коэффициента при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Тогда уравнение (1) имеет вид Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Это уравнение определяет плоскость, все точки которой имеют апликату, т. е. координатную плоскость Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Аналогично, Уравнения прямой и плоскости в пространстве — уравнение плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве уравнение плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Уравнения прямой и плоскости в пространстве и через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
Решение. Так как искомая плоскость проходит через ось Уравнения прямой и плоскости в пространстве, то ее уравнение имеет вид Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Заменив в этом уравнении текущие координаты координатами точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве, получаем Уравнения прямой и плоскости в пространстве, откуда Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Подставив это значение Уравнения прямой и плоскости в пространстве в уравнение
Уравнения прямой и плоскости в пространствеУравнения прямой и плоскости в пространстве, находим Уравнения прямой и плоскости в пространстве, или Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Пример:

Построить плоскость

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

Для построения плоскости достаточно построить три ее точки. Проще всего найти точки пересечения плоскости с осями координат. Положив в данном уравнении Уравнения прямой и плоскости в пространстве, найдем Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Положив Уравнения прямой и плоскости в пространстве, находим Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Наконец, положив Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве, находим Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Таким образом, данная
плоскость пересекает оси Уравнения прямой и плоскости в пространстве соответственно в точках Уравнения прямой и плоскости в пространстве (рис.35).

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Решение:

Пусть искомое уравнение имеет вид (1). Так как каждая из данных точек принадлежит данной плоскости, то координаты этих точек удовлетворяет уравнению (1), т.-е.

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решим эту систему, приняв за неизвестные коэффициенты Уравнения прямой и плоскости в пространстве и считая Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Из второго уравнения имеем

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Подставив это значение Уравнения прямой и плоскости в пространствев остальные два уравнения системы (3), получаем:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

или

Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Отсюда Уравнения прямой и плоскости в пространстве ходим По формуле (4) находим

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Заменив найденными значениями Уравнения прямой и плоскости в пространствесоответствующие коэффициенты в уравнении (1), получаем

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Отсюда

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором

Пусть в прямоугольной системе координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве задана некоторая точка Уравнения прямой и плоскости в пространстве и ненулевой вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Требуется составить уравнение прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве и параллельной вектору Уравнения прямой и плоскости в пространстве (рис. 36).

Определение:

Любой ненулевой вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве, колийеарный прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве, называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве в пространстве вполне определяется заданием точки Уравнения прямой и плоскости в пространствеи вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве, параллельного прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Возьмем на прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве произвольную точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Ясно, что условие принадлежности точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве эквивалентно коллинеарности векторов Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве, т. е. пропорциональности их
соответствующих координат. Следовательно,

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения (1) называются уравнениями прямой, проходящей через данную точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве с заданным направляющим вектором
Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве или каноническими уравнениями прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Пример:

Составить уравнения прямой, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве параллельно вектору,
соединяющему точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

За направляющий вектор искомой прямой примем вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Заменив в уравнениях (1) Уравнения прямой и плоскости в пространствекоординатами точки Уравнения прямой и плоскости в пространствекоординатами вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве получим искомые уравнения

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Отметим, что если прямая Уравнения прямой и плоскости в пространстве перпендикулярна какой-либо из координатных осей, то соответствующая координата направляющего вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве равна нулю. Например, если Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Однако и в этом случае условимся формально записывать уравнения прямой в каноническом виде:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Пример:

Составить уравнения прямой, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве параллельно вектору Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Решение:

Согласно уравнениям (1) имеем

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Другие формы уравнений прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой

В предыдущем параграфе мы показали, что точка Уравнения прямой и плоскости в пространстве принадлежит прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве(рис. 36) в том и только в том случае, когда векторы Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве коллинеарны. А для этого необходимо и достаточно, чтобы

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

где Уравнения прямой и плоскости в пространстве является параметром, принимающим всевозможные действительные значения в зависимости от положения точки на прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Записав равенство (1) в координатной форме, получим

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями прямой.
Пример:

Найти точку пересечения прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве с плоскостью Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

Представим данные уравнения прямой в параметрическом виде, для чего перепишем их следующим образом:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Отсюда

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

или

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Очевидно, что. для нахождения координат искомой точки нужно решить систему

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Заменив в последнем уравнении Уравнения прямой и плоскости в пространствеи Уравнения прямой и плоскости в пространстве их значениями из первых трех уравнений, найдем

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

откуда Уравнения прямой и плоскости в пространстве Подставив найденное значение Уравнения прямой и плоскости в пространстве в параметрические уравнения прямой, получим: Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространствеСледовательно, искомая точка имеет координаты (—2; 0; 3).

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Пусть требуется найти уравнения прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве, проходящей через точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве Так как вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве коллинеарен прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве, то можно принять его за направляющий вектор. Искомые уравнения напишем как уравнения прямой, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространствеи имеющей
направляющий вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Пример:

Дан треугольник с вершинами Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Составить уравнения медианы Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Решение:

Находим координаты точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве как середины отрезка Уравнения прямой и плоскости в пространстве:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Напишем искомые уравнения как уравнения прямой, проходящей через точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

3. Общие уравнения прямой. Рассмотрим систему

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Каждое из уравнений системы (4) в прямоугольной системе координат Уравнения прямой и плоскости в пространстве определяет плоскость Если нормальные векторы Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве этих плоскостей не коллинеарны (т. е. плоскости не параллельны и не совпадают), то система (4) определяет некоторую прямую Уравнения прямой и плоскости в пространстве как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (4) называются общими уравнениями прямой.

Пример:

Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

Исключив сначала Уравнения прямой и плоскости в пространстве, а затем Уравнения прямой и плоскости в пространстве, получим уравнения Уравнения прямой и плоскости в пространстве Разрешим каждое из уравнений относительно Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

и

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

откуда

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

или

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве

Пусть прямая Уравнения прямой и плоскости в пространстве и плоскость Уравнения прямой и плоскости в пространстве заданы соответственно своими уравнениями

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решая задачи на прямую и плоскость, следует помнить, что для прямой (1) основной характеристикой является направляющий вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве, а для плоскости (2) — нормальный вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Мы рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся задач на прямую и плоскость в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Предположим сначала, что прямая Уравнения прямой и плоскости в пространстве не параллельна плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве и не перпендикулярна ей.
Непосредственно из рис. 37

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

нетрудно заметить, что синус угла Уравнения прямой и плоскости в пространстве между прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве и плоскостью Уравнения прямой и плоскости в пространстве равен косинусу острого угла Уравнения прямой и плоскости в пространстве, образованного направляющим вектором Уравнения прямой и плоскости в пространствепрямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве и нормальным вектором Уравнения прямой и плоскости в пространстве плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве, т. е.

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Но

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Следовательно

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Пример:

Найти угол между прямой

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

и плоскостью Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

Имеем: Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве По формуле (3) находим

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

откуда Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Условия параллельности прямой и плоскости

Прямая Уравнения прямой и плоскости в пространстве и плоскость Уравнения прямой и плоскости в пространстве параллельны друг другу в том и только в том случае, когда векторы Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве взаимно перпендикулярны. А для этого необходимо и достаточно, чтобы Уравнения прямой и плоскости в пространстве или, в координатной форме,

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Мы видим, что формула (3) справедлива и в случае Уравнения прямой и плоскости в пространстве — она дает просто Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Пример:

При каком значении Уравнения прямой и плоскости в пространстве прямая

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

параллельна плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

По формуле (4) имеем

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

откуда Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая Уравнения прямой и плоскости в пространстве и плоскость Уравнения прямой и плоскости в пространстве перпендикулярны в том и только в том случае, когда векторы Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве параллельны друг другу. А для этого необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны, т. е.

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Из этих условий, в частности, следует, что формула (3) сохраняет смысл и при Уравнения прямой и плоскости в пространстве, так как (3) и (5) дают Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

Пример:

При каких значениях Уравнения прямой и плоскости в пространствеи Уравнения прямой и плоскости в пространстве прямая

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

перпендикулярна плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Решение:

Из уравнения прямой имеем Уравнения прямой и плоскости в пространстве, а из уравнения плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Подставив эти значения в (5), получаем

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

откуда Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через точку пространства Уравнения прямой и плоскости в пространстве и имеющей нормальный вектор Уравнения прямой и плоскости в пространстве Уравнения прямой и плоскости в пространстве(см. рис. 2.6), записывается в виде

Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Это уравнение вытекает из условия ортогональности (см. п.2.4.) векторов Уравнения прямой и плоскости в пространстве и

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

где Уравнения прямой и плоскости в пространстве — произвольная точка плоскости.

Обозначив

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

получим общее уравнение плоскости в пространстве:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Если прямая параллельна вектору Уравнения прямой и плоскости в пространстве (называемому направляющим вектором) и проходит через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве, то ее уравнения из условия коллинеарности векторов Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространствеУравнения прямой и плоскости в пространстве, (где Уравнения прямой и плоскости в пространстве — произвольная точка прямой) примут вид

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой линии в пространстве.

Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

записывается в виде

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Направляющий вектор этой прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве имеет координаты, равные соответственно

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Интерпретируя координаты точек

Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Уравнения прямой и плоскости в пространстве

как координаты трех радиус-векторов

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

и используя условие компланарности векторов

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

получим запись уравнения плоскости, проходящей через эти точки, в виде определителя третьего порядка

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

где Уравнения прямой и плоскости в пространстве — радиус-вектор текущей точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве, лежащей в искомой плоскости.

Пример:

Даны координаты вершин пирамиды Уравнения прямой и плоскости в пространстве:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Требуется составить: 1) уравнения прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве; 2) уравнение плоскости, проходящей через точки Уравнения прямой и плоскости в пространстве; 3) канонические уравнения прямой, проходящей через точку Уравнения прямой и плоскости в пространстве перпендикулярно плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

► 1. Составим уравнения прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве, используя приведенную в п. 2.6 формулу уравнений прямой, проходящей через две заданные точки пространства

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Подставив координаты точек Уравнения прямой и плоскости в пространстве и Уравнения прямой и плоскости в пространстве, получаем

Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Окончательный вид уравнений прямой Уравнения прямой и плоскости в пространстве:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  • Составим уравнение грани Уравнения прямой и плоскости в пространстве, используя формулу уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки пространства
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  • приведенную в п. 2.6. Подставляя координаты точек Уравнения прямой и плоскости в пространстве получаем
Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Раскладывая последний определитель по первой строке, выводим искомое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки пространства Уравнения прямой и плоскости в пространстве:

Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  • В качестве направляющего вектора Уравнения прямой и плоскости в пространстве искомой прямой возьмем нормальный вектор плоскости Уравнения прямой и плоскости в пространстве, т.е. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Тогда уравнения искомой прямой согласно формуле канонических уравнений прямой, приведенной в п. 2.6 будут иметь вид
Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Линейные операции над векторами в координатной форме в математике
Уравнение прямой на плоскости в математике
Уравнения линий второго порядка на плоскости в математике
Эллипс в математике

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат