Оглавление:
Линейное отображение — обобщение линейной числовой функции, а точнее, функции на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные отображения, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.
Определение линейного отображения. Образ и ядро линейного отображения
Пусть V и W — линейные пространства (либо оба вещественные, либо оба комплексные). Линейным отображением линейного пространства V в линейное пространство W называется правило А, согласно которому каждому элементу х из пространства V ставится в соответствие (единственный) элемент у = Ах из пространства W так, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28107.png)
Эти два требования можно объединить в одно:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28109.png)
Обозначение: A:V → W.
Примеры линейных отображений
- Пусть V = W = Мп, где Мп — пространство многочленов, степень которых не выше п. Правило
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28114.png)
согласно которому каждому многочлену из Мп ставится в соответствие его производная, является линейным отображением (производная суммы равна сумме производных, постоянный сомножитель можно выносить из-под знака производной).
2. Правило, по которому каждому элементу х из V ставится в соответствие элемент λх из V ( λ ≠ 0 и фиксировано), — преобразование подобия — является линейным отображением (рис. 1).
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28127.png)
3. Пусть у = (еi…, еn) — базис пространства V. Поставим произвольному элементу
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28123.png)
в соответствие элемент
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28124.png)
(здесь k < п фиксировано). Правило V : V → V является линейным отображением и называется отображением проектирования (рис. 2).
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28129.png)
4. Cовокупность Т2 тригонометрических многочленов вида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28133.png)
образует линейное пространство. Правило
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28134.png)
является линейным отображением
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28135.png)
5. Пусть — фиксированная матрица, X — произвольный столбец высоты п. Умножение столбца X на матрицу А слева является линейным отображением пространства столбцов высоты п в пространство столбцов высоты m,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28139.png)
Образом линейного отображения А: V → W называется множество im А всех элементов из пространства W, обладающих следующим свойством элемент у лежит в im А, если в пространстве V найдется элемент х, такой, что Ах = у. Примеры.
1′. Образом операции дифференцирования V : Мn — Мп является совокупность многочленов, степень которых не выше п — 1,
2′. Образ отображения подобия совпадает со всем пространством V.
3′. Образ отображения проектирования V : V → V является подпространством
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28142.png)
пространства V.
4′. Образ операции дифференцирования V : T2 → Т2 совпадает со всем пространством Т2
Теорема:
Образ im А линейного отображения А: V → W является линейным подпространством пространства W.
Пусть у1 и у2 — элементы из im А. Это означает, что в пространстве V найдутся элементы x1 и х2, такие, что -Ax1 = y1 и Ах2 = у2. Из формулы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28146.png)
вытекает, что произвольная линейная комбинация элементов y1 и у2 также лежит в im А.
Размерность образа линейного отображения называется рангом этого линейного отображения.
Обозначение: rang А.
Определение:
Линейные отображения А: V → W и В: V W называются равными, если для любого элемента х из пространства V выполняется равенство Ах = Вх.
Обозначение: А = В.
Теорема:
Построение линейного отображения. Пусть V и W — линейные пространства, e = (e1… , еn) — базис пространства V, a f1. . ., fn — произвольные элементы из пространства W. Тогда существует и притом ровно одно линейное отображение
A :V → W,
для которого
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28148.png)
А. Существование. Разложим произвольный элемент х из пространства V по базису с этого пространства,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28150.png)
и построим отображение А: V → W по следующему правилу:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28151.png)
Ясно, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28152.png)
В линейности отображения А убедимся непосредственно. Пусть
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28153.png)
Тогда согласно правилу (2)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28155.png)
Б. Единственность. Покажем, что требованием (1) линейное отображение А определяется однозначно.
Пусть В: V → W — линейное отображение и
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28157.png)
Вычисляя действия А и В на произвольный элемент х из V, убеждаемся в том, что в обоих случаях результат один и тот же —
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28159.png)
Значит, отображения A и В совпадают.
Таким образом, линейное отображение можно задать его действием только на элементы базиса.
Ядром линейного отображения А: V → W называется множество ker А всех элементов из пространства V, каждый из которых отображение А переводит в нулевой элемент θw пространства W.
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28161.png)
Примеры:
1″. Многочлены нулевой степени образуют ядро операции дифференцирования V: Мп -> Мп.
2″. Ядро отображения подобия состоит из нулевого элемента θv пространства V.
3″. Ядром отображения проектирования P: V→V является линейное подпространство L(ek+1,…, еn) (рис. 3).
4″. Ядро операции дифференцирования D:T2→Т2 состоит из нуля.
5″. Ядром отображения
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28168.png)
является множество решений однородной линейной системы
АХ = 0.
Теорема:
Ядро линейного отображения А: V
→W является линейным подпространством пространства V.
Из равенств Ах = θw и Ay = θw вытекает, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28178.png)
Размерность ядра линейного отображения называется дефектом этого отображения.
Обозначение: defect .<4.
Для любого линейного отображения А: V→W справедливо равенство
rang А + defect А = dim V. (*)
Операции над линейными отображениям
Пусть V и W — линейные пространства и A:V W, B:V→W — линейные отображения. Суммой линейных отображений А и В называется отображение С: V→W, определяемое п о следующему правилу:
Сх = Ах + Вх
для любого элемента х из V. Нетрудно убедиться в том, что отображение С является линейным. В самом деле,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28181.png)
Обозначение: С = А + В.
Произведением линейного отображения A:V→W на число а называется отображение В: V —> W, определяемое по правилу:
Вх = аАх
для любого элемента х из V. Отображение В линейно:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28184.png)
Обозначение: В = а А.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линейных операторов — линейных отображений, действующих из пространства V в это же пространство V. Среди рассмотренных выше примеров отображений линейными операторами являются дифференцирование, подобие и проектирование; умножение столбца на квадратную матрицу также является линейным оператором.
Оператор I: V —> V, задаваемый правилом Ix = х для любого элемента х из V, называется тождественным.
Введем операцию умножения линейных операторов. Пусть А: V → V и В: V→V — линейные операторы. Произведением оператора А на оператор В называется отображение С: V → V, определяемое по правилу
Сх = В(Ах),
где х — произвольный элемент из V. Покажем, что С — линейный оператор:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28194.png)
Обозначение: С = В А.
Замечание:
Порядок сомножителей в произведении линейных операторов является существенным, как показывает следующий пример.
Пример:
Пусть V = R2. Отображения
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28298.png)
— линейные операторы, действующие из R2 в R2 (рис. 4). Тогда
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28300.png)
Ясно, что при ξ2 ≠ 0
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28302.png)
Пусть A: V → V — линейный оператор. Линейный оператор В: V → V называется обратным оператору А, если выполнены следующие равенства
ВА = АВ= I,
где I: V —> V — тождественный оператор.
Теорема:
Для того, чтобы у линейного оператора А: V → V был обратный, необходимо и достаточно, чтобы образ оператора А совпадал со всем пространством,
im А = V.
Предположим сначала, что обратный оператор В у заданного оператора А существует и покажем, что произвольно взятый элемент у из пространства V непременно лежит в im А. Подействовав оператором А на элемент х = В у, согласно определению (1), получим
Ах = А(Ву) = (АВ)у = Iу — у.
Значит, элемент у является образом элемента х = By и, следовательно, лежит в im А. Тем самым imA = V.
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28316.png)
Пусть теперь образ оператора А совпадает со всем пространством V:
imA = V.
Тогда
rang А = dim V.
Поэтому оператор А переводит базис пространства V снова в базис:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28318.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28320.png)
Построим линейный оператор В по следующему правилу
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28321.png)
Согласно теореме 1, условием (2) оператор В определяется однозначно.
Пусть х — произвольный элемент пространства V. Вычислим (ВA)х и (АВ)х. Разложим х по базису с. Имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28325.png)
Подействовав на него оператором В А, с учетом формул (2) получаем, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28327.png)
Аналогично, раскладывая элемент х по базису f,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28330.png)
и действуя на него оператором АВ, имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28331.png)
Тем самым,
ВAх = х, АВх = х
для любого элемента х из V и, значит,
В А = АВ = I.
Замечание:
В ходе доказательства этой теоремы мы установили также, что обратный к А оператор В определен однозначно.
Для оператора, обратного к А, принято следующее обозначение: А-1.
Следствие:
Линейный оператор А: V → V обратим (имеет обратный) тогда и только тогда, когда его ядро тривиально,
ker А= { θ v}.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 3 и формулы.
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28335.png)
Пример:
Линейный оператор
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28336.png)
осуществляет равномерное сжатие плоскости к оси ξ 1 (с коэффициентом); обратный оператор
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28341.png)
— равномерное растяжение (с коэффициентом 3/2) (рис. 5).
Матрица линейного оператора
Пусть линейный оператор А: V —> V преобразует элементы базиса e = (e1,…, еn) пространства V по следующему правилу
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28343.png)
Матрица
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28344.png)
столбцами которой являются координаты образов базисных элементов, называется матрицей линейного оператора А в базисе e.
Пример:
Матрица D(с) оператора дифференцирования V: Мз → Mз в базисе ео = l. e1 = t, имеет вид
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28350.png)
Пример:
Матрица D(e) оператора дифференцирования V: T2 → T2 в базисе e1 = cos t, е2 = sin t имеет вид
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28351.png)
так как
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28352.png)
Пусть
У = Ax.
Разложим элементы x и у no базису e:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28354.png)
Координатные столбцы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28355.png)
элементов х и у в базисе с связаны соотношением
у(e) = A(e)х(e). (1)
Сравнивая формулы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28358.png)
в силу единственности разложения элемента у по базису e получаем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28365.png)
Записывая полученные п равенств в матричной форме
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28366.png)
получаем требуемое равенство (1).
Теорема:
Ранг матрицы А(с) линейного оператора А: V —> V не зависит от выбора базиса с и равен рангу rang А оператора А.
Так как
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28368.png)
то rang A равен максимальному числу линейно независимых элементов в системе Ае1,…, Аеn. В силу теоремы 4 главы V, последнее совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов матрицы А(e), т. е. с ее рангом. Таким образом,
rang А(с) = rang A.
Легко убедиться в том, что при сложении линейных операторов их матрицы (вычисленные в одном базисе) складываются, а при умножении линейного оператора на число его матрица умножается на это число.
Матрица произведения С = ВА операторов А и B равна произведению матриц этих операторов (относительно одного и того же базиса e):
С(e) = В(e)А(e). (2)
Пусть
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28370.png)
Тогда
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28371.png)
Положим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28372.png)
Тем самым,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28374.png)
Вследствие того, что из формул (3) и (4) получаем
С (e) = В(e)А(e).
Отсюда, в частности, вытекает, что
матрица оператора A-1 , обратного к A, является обратной к его матрице А.
В самом деле, из соотношений
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28377.png)
определяющих обратный оператор, получаем, что его матрица В удовлетворяет равенствам
ВА = I, АВ = I,
и, значит, является обратной к А:
В = A-1.
Теорема:
Матрицы А = А(е) и А’ = А(е’) линейного оператора А: V → V относительно базисов с и с’ пространства V связаны равенством
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28380.png)
где S — матрица перехода от базиса е к базису е’.
Пусть у = Ах. Координатные столбцы элементов х и у относительно базисов с и с’ связаны равенствами
у(е) = Ах (е), у(е’) = А’х(е’) (6)
соответственно. Согласно свойству 2 матрицы перехода имеем
х(е) = Sx(c’), у(е) = Sy(е’). (7)
Заменяя в первом из равенств (6) столбцы х(е) и у(е) их выражениями (7), получаем
Sy(е’) = ASx(е’).
Пользуясь вторым равенством (6), имеем
SA’x(е’) = ASx(е’).
Отсюда в силу произвольности столбца х(е’) получаем, что
SA’ = AS.
Так как матрица перехода S невырождена и, значит, обратима, то умножая обе части последнего равенства на матрицу S -1 слева приходим к требуемой формуле (5).
Следствие:
Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.
Вычислим определитель матрицы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28386.png)
Имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28388.png)
Последнее равенство выполняется в силу того, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28389.png)
Таким же свойством обладает и определитель матрицы линейного оператора
А — tI,
где I — тождественный оператор, a t — произвольное число. * Рассмотрим матрицы этого оператора в базисах e и e’ соответственно:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28391.png)
Воспользовавшись равенством (5)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28392.png)
и доказанным выше следствием, получаем, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28393.png)
Пусть — матрица линейного оператора A в каком-нибудь базисе. Функция
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28397.png)
является многочленом от t и, согласно только что доказанному, не зависит от выбора базиса. Расписав определитель матрицы А — t1 подробнее, получаем, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28398.png)
Многочлен
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28400.png)
называется характеристическим многочленом линейного оператора А (матрицы А). Его корни называются характеристическими, или собственными, числами линейного оператора А (матрицы А).
Собственные значения и собственные элементы
Ненулевой элемент х ∈ V называется собственным элементом линейного оператора А: V —> V, если найдется такое число λ — собственное значение линейного оператора А, что
Ах = λх.
Пример:
Всякий многочлен нулевой степени является собственным элементом оператора дифференцирования
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-28951.png)
соответствующее собственное значение равно нулю:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29064.png)
Пример:
Оператор дифференцирования собственных элементов не имеет.
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29066.png)
Пусть некоторый тригонометрический многочлен a cos t + β sin t после дифференцирования переходит в пропорциональный:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29068.png)
Это означает, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29070.png)
или, что то же,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29071.png)
Последнее равенство выполняется в том и только в том случае, если
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29074.png)
откуда вытекает, что а = β = 0 и, значит, многочлен может быть только нулевым.
Теорема:
Вещественное число λ является собственным значением линейного оператора А в том и только в том случае, когда это число — корень его характеристического многочлена: х( λ ) = 0.
Необходимость, Пусть λ — собственное значение оператора А. Тогда найдется ненулевой элемент х, для которого Ах = λх.
Пусть е = (е1 …, еп) — базис пространства. Тогда последнее равенство можно переписать в эквивалентном матричном виде
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29080.png)
или, что то же,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29082.png)
Из того, что х — собственный элемент, вытекает, что его координатный столбец х(е) ненулевой. Это означает, что линейная система (1) имеет ненулевое решение. Последнее возможно лишь при условии, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29084.png)
или, что то же,
x (λ) = у.
Достаточность. Способ построения собственного элемента
Пусть λ — корень многочлена т- е-
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29087.png)
Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей А(е) — λ1:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29090.png)
или, подробнее,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29093.png)
В силу условия (2) эта система имеет ненулевое решение .
Построим элемент х по правилу
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29096.png)
Координатный столбец х(е) этого элемента удовлетворяет условию
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29097.png)
или, что то же,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29098.png)
Последнее эквивалентно тому, что
Ах = λх.
Следовательно, х — собственный элемент линейного оператора λ, а А — соответствующее ему собственное значение.
Замечание:
Для нахождения всех собственных элементов, отвечающих заданному собственному значению λ, необходимо построить ФСР системы (3).
Пример:
Найти собственные векторы линейного оператора
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29102.png)
действующего по правилу
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29105.png)
(оператор проектирования) (рис.6).
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29107.png)
Рассмотрим действия линейного оператора Р на базисные векторы. Имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29109.png)
Запишем матрицу оператора:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29113.png)
построим характеристический многочлен
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29116.png)
и найдем его корни. Имеем λ1 = λ2,з = 1. Построим однородные линейные системы с матрицами:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29121.png)
Получим соответственно:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29127.png)
Найдем фундаментальные системы решений для каждой из этих систем. Имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29136.png)
Таким образом, собственными векторами этого оператора проектирования являются: вектор к с собственным значением 0 и любой вектор с собственным значением 1.
Пример:
Найти собственные элементы линейного оператора дифференцирования D, действующего в пространстве M3 многочленов степени не выше двух:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29148.png)
Матрица D заданного оператора в базисе I, t, t 2 имеет вид
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29150.png)
характеристический многочлен — λ 3 имеет ровно один корень λ = 0. Решением системы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29153.png)
является набор 1,0,0, которому соответствует многочлен нулевой степени.
Сопряженный оператор
В евклидовом пространстве над линейными операторами можно ввести еще одно действие — операцию сопряжения.
Пусть V — n-мерное евклидово пространство. С каждым линейным оператором
A: V → V,
действующим в этом пространстве; естественно связан другой линейный оператор, сопряженный данному.
Определение:
Линейный оператор
Л*: V → V
(читается: «а со звездой») называется сопряженным линейному оператору А: V → , если для любых элементов х и у из пространства V выполняется равенство
(Ах, у) = (х, A*у). (1)
Линейный оператор А*, сопряженный данному оператору А, всегда существует.
Пусть e = (e1…..еn) — ортобазис пространства V и А = А(e) = — матрица линейного оператора А в этом базисе, т. е.
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29171.png)
Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что для линейного оператора А*: V —> V, определяемого по правилу
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29173.png)
где
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29175.png)
равенство (1) выполнено при любых х и у. Напомним. что согласно теореме 1, для того, чтобы построить линейный оператор, достаточно задать его действие на базисные элементы.
Пример:
Введем в линейном пространстве М\ многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше первой операцию скалярного умножения по следующему правилу. Пусть
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29179.png)
Положим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29180.png)
Тем самым, М1 — двумерное евклидово пространство.
Пусть D: М1 — М1 — оператор дифференцирования-. D(a + bt) = b. Построим сопряженный оператор D*: М1 → М1.
Многочлены l и t образуют ортобазис пространства Af (, так как согласно правилу (*) (1. 1) = (t, t) = 1. (l, t) = 0. Матрица оператора D в этом базисе имеет вид
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29186.png)
т.к. D(1) = 0, D(t) = 1. Тогда
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29188.png)
— матрица сопряженного оператора D* действующего по правилу:
D*(l)=l, D*(t)=0.
Для произвольного многочлена φ(t) = а +bt получаем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29195.png)
Свойства операции сопряжения
- У каждого линейного оператора существует ровно один сопряженный ему оператор.
Пусть В и С — операторы, сопряженные заданному оператору A. Это означает, что для любых элементов х и у из пространства V выполняются равенства
(Ах, у) = (х, By), (Ах, у) = (х, Су).
Отсюда вытекает, что
(х, Ву)=(х, Су)
и, далее,
(х, By — Су) = 0.
В силу произвольности выбора элемента х заключаем, что элемент Ву-Су ортогонален любому элементу пространства V и, в частности, себе самому. Последнее возможно лишь в случае, когда By — Су = θ и, значит, By = Су. Вследствие того, что у — произвольный элемент, получаем В = С.
2. (аA)* = аA*, где а — произвольное вещественное число.
Пусть A: V —> V н B: V → V — линейные операторы. Тогда
3. (А+ В)* = А* + В*;
4. (АВ)* = В*А*
5. (А*)*=А.
Свойства 2-5 легко вытекают из единственности сопряженного оператора.
6. Пусть e — ортобазис пространства V. Для того, чтобы операторы А: V —> V и В: V —> V были взаимносопряженными, т.е. выполнялись равенства В = А, А= В, необходимо и достаточно, чтобы их матрицы А = А(e) и В = В(e) получались одна из другой транспонированием.
Замечание:
Подчеркнем, что свойство 6 справедливо только для матриц, построенных в ортонормиро-ванном базисе. Для произвольного базиса оно неверно.
7. Если линейный оператор А невырожден, то сопряженный ему оператор А* также невырожден и выполняется равенство
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29228.png)
Симметричный оператор
Линейный оператор А называется самосопряженным (или симметричным), если он совпадает с сопряженным ему оператором А*, т. е.
А* = А.
В силу свойства 6 из предыдущего параграфа матрица самосопряженного оператора в ортобазисе симметрична, т. е. не изменяется при транспонировании. Поэтому самосопряженный оператор называют также симметричным оператором.
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29262.png)
Пример:
Рассмотрим оператор Р ортогонального проектирования трехмерного евклидова пространства Oxyz на координатную плоскость Оху (рис. 7). В ортобазисе i,j,k матрица этого оператора имеет следующий вид
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29261.png)
(так как Рi = i, Рj = j, Pk = θ, т. е. является симметричной. Значит, оператор проектирования P симметричен.
Симметричный оператор обладает рядом замечательных свойств.
Свойства симметричного оператора
Первые два вытекают из его определения.
- Для того, чтобы линейный оператор А: V → V был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов х и у из пространства V выполнялось равенство
(Ах, У) = (х, Aу). (6) - Для того, чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в (каком-нибудь) ортонормированном базисе была симметрична.
- Характеристический многочлен симметричного оператора (и симметричной матрицы) имеет только вещественные корни.
Напомним, что вещественный корень λ характеристического многочлена линейного оператора А является его собственным значением, т.е. существует ненулевой элемент х (собственный вектор оператора А), который оператор А преобразует так: Ах = λх.
4. Собственные элементы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Пусть x1 и х2 — собственные элементы оператора А,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29354.png)
И . В силу симметричности оператора имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29360.png)
С другой стороны,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29362.png)
Из вытекающего отсюда равенства
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29365.png)
получаем, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29370.png)
Отсюда в силу неравенства имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29382.png)
5. Пусть А: V —> V — симметричный оператор. Тогда в пространстве V существует ортонормированный базис е = (е1,… ,еп), состоящий из собственных элементов оператора А:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29393.png)
В приведенном выше примере таким базисом является тройка i, j, к: векторы i и j — собственные векторы оператора проектирования Р с собственными значениями, равными единице, а к — его собственный вектор с нулевым собственным значением.
6. Пусть А: V —» V — невырожденный симметричный оператор. Тогда обратный ему оператор А -1: V —> V также является симметричным.
Замечание:
Все собственные значения невырожденного оператора отличны от нуля. Если λ ≠ 0 — собственное значение оператора А, то — собственное значение обратного оператора А -1 .
Симметричный оператор называется положительным, если для любого ненулевого элемента х из пространства V выполняется неравенство (Ах, х) > 0.
Свойства положительного оператора
- Симметричный оператор А: V —» V является положительным в том и только в том случае, когда все его собственные значения λ1…, λп положительны.
- Положительный оператор невырожден (обратим).
- Оператор, обратный положительному, также положителен.
Квадратичные формы
Пусть А = (aij) — симметричная матрица порядка п, ajj = Выражение
(1)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29430.png)
называется квадратичной формой переменных . Матрица А называется матрицей этой квадратичной формы.
Примером квадратичной формы двух переменных х и у может служить выражение ах2 + 2bху + су2, где а, b и с — некоторые действительные числа; ее матрица
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29747.png)
Набор чисел можно рассматривать как координаты элемента п-мерного евклидова пространства V в некотором фиксированном ортобазисе e = (e1,…, еn) этого пространства,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29754.png)
Тогда выражение (1) будет представлять собой числовую функцию аргумента х, заданную на всем пространстве V. Эту функцию принято обозначать так: A(х, х). О такой квадратичной форме
(2)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29759.png)
говорят, что она задана в n-мерном евклидовом пространстве
Со всякой квадратичной формой A(x, x) естественно связана симметричная билинейная форма
(3)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29762.png)
где — координаты элемента у в ортобазисе e:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29775.png)
Замечание:
Форма (3) называется билинейной, так как она линейна по каждому аргументу — и по х, и по у :
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29779.png)
(здесь a1, a2, β1, β2 — произвольные числа).
Билинейная форма (3) называется симметричной вследствие того, что ее значение не зависит от порядка аргументов,
A(y,x) = A{x,y).
Вычисляя значения билинейной формы A (x, у) на базисных элементах, т. е. полагая х = еk, у = ет, получаем, что (4)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29810.png)
Это означает, что элементы матрицы А квадратичной формы (2) суть значения билинейной формы на элементах базиса с.
Примером билинейной формы может служить скалярное произведение векторов n-мерного координатного пространства Rn
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29815.png)
где Соответствующая квадратичная форма
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29823.png)
определяет квадрат длины вектора ξ.
При переходе к другому базису координаты элемента х изменяются. Меняется и матрица А = А(e) квадратичной формы.
В приложениях часто возникает необходимость приведения квадратичной формы к наиболее простому виду. Таким видом является диагональный, или нормальный вид. Будем говорить, что квадратичная форма в базисе с имеет нормальный вид, если все коэффициенты при произведениях различных координат равны нулю, т.е. аij = 0 при i ≠ j. Тогда
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29834.png)
Матрица квадратичной формы в этом базисе имеет диагональный вид:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29843.png)
Теорема:
Для каждой квадратичной формы, заданной в евклидовом пространстве, можно указать (ортонормированный) базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, воспользуемся свойствами симметричного оператора. Построим линейный оператор А: V → V так, чтобы его матрица в базисе е совпадала с матрицей (aij) квадратичной формы в этом же базисе е, т.е. положим
= aij. В силу симметричности матрицы
оператор А симметричен.’
Вычислим (Aх, х). Замечая, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29869.png)
вследствие ортонормированности базиса e, получаем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-29877.png)
Тем самым, м ы установили важную связь
A(х, х) = (Aх, х) (5)
между квадратичной формой, заданной в евклидовом пространстве V, и действующим в нем симметричным оператором.
В силу симметричности построенного оператора А в евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис f = (f1,… ,fn) состоящий из собственных элементов оператора А:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30062.png)
Заметим, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30067.png)
Разложим элемент х по базису f,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30070.png)
и вновь вычислим (Aх, х). Имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30072.png)
Отсюда в силу равенства (5) получаем, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30076.png)
Тем самым, матрица A(f) исходной квадратичной формы в базисе f является диагональной:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30080.png)
Сам диагональный вид квадратичной формы можно (с точностью до порядка слагаемых) записать и не вычисляя элементов базиса f. Достаточно найти собственные значения линейного оператора А или, что тоже самое, собственные значения матрицы А = (aij) и выписать их с учетом кратности.
Пример:
Привести квадратичную форму
A(х, х) = 2ху + 2yz + 2xz
к диагональному виду.
Запишем матрицу квадратичной формы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30086.png)
и построим ее характеристический многочлен:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30089.png)
Приравняв полученное выражение к нулю, найдем его корни:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30099.png)
Тем самым,
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30104.png)
Построение соответствующего ортобазиxа сложнее.
Собственные векторы симметричного оператора А суть собственные векторы матрицы квадратичной формы. Найдем их.
Пусть λ = 2. Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30108.png)
Все решения системы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30113.png)
пропорциональны набору (1 1 1 ) т.
Пусть λ = — I. Однородная линейная система с матрицей
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30119.png)
сводится к одному уравнению
х + y + z = 0
и имеет два линейно независимых решения. Выберем их так, чтобы они были ортогональны: (1 -2 1 )Т, (1 0 — 1 )Т. Легко убедиться в том, что векторы с найденными координатными столбцами попарно ортогональны. Пронормируем их:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30131.png)
Искомый базис построен:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30134.png)
Замечание:
В качестве пространства V можно взять любое п-мерное евклидово пространство. Однако в задачах наиболее часто встречается координатное пространство Rn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы действительных чисел — ξ = (), стандартный базис состоит из наборов (1,0,…, 0,0), (0,1…..0,0),… , (0,0,….,), 0), (0,0…..0, I), а скалярное произведение наборов ξ = (
) и η = (
) определяется формулой
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30154.png)
Опишем алгоритм, посредством которого для произвольной квадратичной формы, заданной в n-мерном координатном пространстве, строится базис, в котором эта квадратичная форма имеет диагональный вид.
Пусть
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30159.png)
— заданная квадратичная форма.
- Выпишем матрицу квадратичной формы
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30161.png)
2. Построим характеристический многочлен
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30164.png)
и найдем его корни (в силу симметричности матрицы все корни вещественны). Запишем их с учетом кратности:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30173.png)
3. Пусть λ — один из этих корней, кратности k. Однородная линейная система с матрицей
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30178.png)
имеет ровно к линейно независимых решений (образующих фундаментальную систему решений). Ортонормировав ее, получим к попарно ортогональных решений единичной длины.
4. Поступая так с каждым корнем характеристического многочлена, получаем набор ровной попарно ортогональных элементов единичной длины, т. с. ортобазис f1 …, fn пространства Rn.
В построенном ортобазисе f = (f1,…,fn) заданная квадратичная форма имеет диагональный вид:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30182.png)
где
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30184.png)
Определение:
Квадратичная форма
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30187.png)
называется положительно определенной или знакоположительной, если для любого ненулевого элемента х (или, что то же, для любого ненулевого набора , выполняется неравенство
A(х, х) > 0.
Примером знакоположительной квадратичной формы может служить скалярный квадрат произвольного вектора ξ = () координатного пространства:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30194.png)
После приведения знакоположительной квадратичной формы к диагональному виду получаем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30203.png)
где λ1 > 0, …, λn > 0
Критерий Сильвестра (знакоположительное квадратичной формы)
Для того, чтобы квадратичная форма (6) была знакоположительной, необходимо и достаточно, чтобы все миноры ее матрицы, расположенные в левом верхнем углу, были положительны, т. е.
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30208.png)
Метод Лагранжа
Существует еще один (простой) метод приведения квадратичной формы к диагональному виду, удобный, например, при получении ответа на вопрос, является ли квадратичная форма знакоопределенной или нет. Этот метод Лагранжа, или метод выделения полного квадрата, заключается в следующем. Пусть
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30220.png)
— заданная квадратичная форма и a11 ≠ 0. Выпишем сначала все слагаемые, содержащие переменную ξ1 и преобразуем их так:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30225.png)
Полагая
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30232.png)
получаем, что
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30236.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30239.png)
Замечая, что выражение
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30243.png)
также является квадратичной формой, но уже зависящей от меньшего числа переменных, вновь выделяем полный квадрат и т.д.
Если a11 = 0, но отлично от нуля аii(2 < i < п), то применяем тот же прием, но уже к переменной ξi.
Если все коэффициенты при квадратах неизвестных равны нулю, a11 = … = aпп = 0, то тогда следует начинать с преобразования координат вида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30247.png)
В результате проведенного преобразования координат, в частности, получим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30253.png)
И, тем самым, придем к общему случаю.
Пример:
Методом Лагранжа привести к диагональному виду квадратичную форму
A(x, х) = 2ху + 2yz + 2zx.
Введем новые координаты
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30262.png)
Тогда
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30265.png)
Положим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30267.png)
и получим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30269.png)
Замечание:
Недостаток метола Лагранжа состоит в том, что при указанных преобразованиях координат новые координатные оси уже не являются попарно ортогональными.
Существуют и другие способы приведения квадратичной формы к диагональному виду.
Сравнивая результаты описанных выше двух способов приведения квадратичной формы 2ху + 2yz + 2zx к диагональному виду (речь идет о последних двух разобранных примерах), можно заметить, что в них соответственно одинаковы: число отрицательных коэффициентов и число положительных коэффициентов. Это совпадение не случайно, а является важным свойством квадратичных форм, называемым законом инерции:
число положительных, число отрицательных и число нулевых коэффициентов при квадратах неизвестных в диагональном виде квадратичной формы всегда одни и те же и не зависят от способа приведения квадратичной формы к этому виду.
Классификация кривых и поверхностей второго порядка
Применим описанный выше алгоритм приведения квадратичной формы к диагональному виду для классификации кривых и поверхностей второго порядка.
Кривые
Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка на плоскости Оху :
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30272.png)
Построим матрицу квадратичной части ах2 + 2bху+су2:
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30273.png)
Найдем корни λ1 и λ2 характеристического многочлена и соответствующие им собственные векторы i и j (единичные и взаимноортогональные).. Возьмем эти векторы за орты новых осей Ох и Оу (рис. 8).
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30275.png)
Переходя к новым координатам , получим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30276.png)
Возможны два случая: 1) λ1 • λ2 ≠ 0, 2) λ1 (или λ2 ) равно нулю.
В первом случае сдвигом точки начала отсчета
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30277.png)
добиваемся исчезновения линейных членов
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30278.png)
Далее, как это и делалось, рассматриваем всевозможные сочетания знаков у коэффициентов λ1, λ2 и f. В результате получаем: эллипс, гиперболу, пару пересекающихся прямых, точку, пустое множество.
Во втором случае (положим для определенности λ1 = 0, λ2 ≠ 0) сдвигом начала отсчета
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30279.png)
от уравнения
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30280.png)
приходим к уравнению
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30281.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30282.png)
соответственно получим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30283.png)
{парабола).
Если же d= 0,то взяв а = 0, имеем
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30284.png)
В зависимости от знака получаем: пару параллельных прямых, пару совпадающих прямых, пустое множество.
Замечание:
Операция отыскания корней характеристического многочлена квадратичной части уравнения кривой и взаимноортогональных единичных собственных векторов, описанная здесь, заменяет уничтожение произведения разноименных координат путем поворота на подходящий угол. В случае поверхностей второго порядка дело обстоит сложнее (и для того, чтобы разобраться с классификацией до конца, нужны и внимание и терпение).
Поверхности
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30286.png)
Упростим вид квадратичной части этого уравнения (подчеркнута), пользуясь описанным выше алгоритмом. Построим матрицу
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30287.png)
найдем корни λ1, λ2, λз характеристического многочлена
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30288.png)
и соответствующие им собственные векторы i, J, k так, чтобы они образовывали ортонормированную тройку (это всегда возможно). Возьмем векторы i, J и k за орты новых координатных осей Ox, Ox, Oz. Производя замену координат, получим (*)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30289.png)
Возможны три случая:
(I) Все три корня λ1, λ2, λ3 отличны от нуля. Путем сдвига начала
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30290.png)
уравнение (*) поверхности приводится к следующему виду
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30291.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30292.png)
имеют один и тот же знак, противоположный знаку .
Полагая
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30294.png)
получаем уравнение эллипсоида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30295.png)
β ) Знаки λ1 и λ2 противоположны знаку , а знаки A3 и
совпадают. Полагая
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30299.png)
получаем уравнение однополостного гиперболоида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30301.png)
γ ) Знаки λ1 и λ2 совпадают со знаком , а знаки λ3 и
противоположны. Полагая
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30302.png)
получаем уравнение двуполостного гиперболоида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30304.png)
б. = 0.
а) Если λ1, λ2 и λз имеют один и тот же знак, то получаем точку (0, 0, 0).
β) Если одно из λ, имеет знак, противоположный знаку двух других, то получаем уравнение конуса второго порядка
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30860.png)
(II) Ровно один корень равен нулю (для определенности λз = 0). Полагая
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30862.png)
получим
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30867.png)
Тогда сдвигом точки начала отсчета
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30872.png)
получаем уравнение вида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30874.png)
а) Если λ1 и λ2 — одного знака, то, полагая
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30876.png)
(можно считать, что знак противоположен знаку λ1 и λ2; этого всегда можно добиться, поменяв в случае необходимости ориентацию оси z на противоположную), получаем уравнение эллиптического параболоида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30882.png)
β) Если λ1 и λ2 имеют противоположные знаки, то, положив
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30888.png)
получим уравнение гиперболического параболоида
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30891.png)
б. =0. Тогда уравнение поверхности имеет следующий вид
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30892.png)
Классификация поверхностей с уравнениями такого типа приводится в таблице.
Замечание:
Отсутствие третьей координаты (точнее, ее неявное присутствие) приводит к цилиндрическим поверхностям, направляющими которых являются кривые второго порядка, лежащие в плоскости Z = 0 и имеющие уравнения вила
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30894.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30902.png)
(III) Ровно два корня равны нулю (для определенности λ2 = λ3 = 0). Преобразованием координат
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30905.png)
приходим к уравнению
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30909.png)
Покажем, что этот случай всегда можно свести к такому:
,
= 0. Преобразованием координат
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30921.png)
уравнение поверхности приводится к следующему виду
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30925.png)
где
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30926.png)
Замечание:
Преобразование координат, упрощающее вид уравнения, выбирается так, чтобы новая координатная система вновь была прямоугольной декартовой.
Сдвигом начала координат
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30929.png)
получаем уравнение параболического цилиндра
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30932.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30938.png)
Уравнение
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-30940.png)
описывает либо пару параллельных плоскостей ( λ1 • < 0), либо пару совпадающих плоскостей (
= 0), либо пустое множество ( λ1 •
> 0).
Дополнение к линейным отображениям
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/1-2877.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/2-2945.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/3-2363.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/4-1571.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/5-841.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/6-477.png)
![Линейные отображения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/7-322.png)
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
Отображения. | Дифференцируемые отображения. |
Векторные отображения. | Отображения с неравным нулю якобианом. |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат