Оглавление:
Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида в котором обязательно наличие n-ой производной.
Задача Коши
Пусть имеем дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53285.png)
Возникает вопрос: какие надо задать условия, чтобы выделить определенное, частное решение уравнения (1)? Для дифференциального уравнения первого порядка
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53293.png)
достаточно задать значение у0 частного решения при каком-то значении х0 независимой переменной х, т.е. задать точку , через которую должна проходить интегральная кривая этого уравнения. Для уравнений высшего порядка этого уже недостаточно. Например, уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53296.png)
имеет решениями функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53297.png)
где — произвольные постоянные. Уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53300.png)
определяет двухпараметрическое семейство прямых на плоскости хОу, и, чтобы выделить определенную прямую, мало задать точку , через которую прямая должна проходить, — надо еще задать угловой коэффициент прямой
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53304.png)
В общем случае дифференциального уравнения n-го порядка (1) для выделения частного решения надо задать n условий:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53305.png)
где некоторые числа. Совокупность этих условий называется начальными условиями для дифференциального уравнения (1). Задача Коши для этого уравнения ставится так: найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям (2).
Сформулируем теорему существования и единственности решения задачи Коши.
Теорема:
Существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть имеем дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56692.png)
Если правая часть этого уравнения непрерывна как функция n + 1 аргументов в некоторой окрестности
точки
(на рис. 1 для n = 2), то найдется интервал
оси Ох, на котором существует по крайней мере одно решение
уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56717.png)
Если, кроме того, функция имеет ограниченные частные производные
в указанной окрестности
, то такое решение единственно.
Так, для уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56726.png)
правая часть
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56728.png)
рассматриваемая как функция трех независимых переменных х, у, у’, непрерывна всюду и имеет ограниченные всюду производные
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56730.png)
Поэтому, какова бы ни была тройка чисел существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56737.png)
Определение:
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56739.png)
в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши называется n-параметрическое семейство S функций
зависящих от х и n произвольных постоянных
такое, что:
1) при любых допустимых значениях постоянных функция
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56752.png)
является решением дифференциального уравнения (1), т.е.
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56755.png)
2) каковы бы ни были начальные условия
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56767.png)
(лишь бы точка принадлежала области
существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1)), можно так подобрать значения
постоянных, чтобы решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56778.png)
удовлетворяло заданным начальным условиям.
Решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных называется частным решением. Его график — кривую на плоскости хОу — называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения.
Соотношение неявно определяющее общее решение, называют общим интегралом дифференциального уравнения (1).
Задача:
Показать, что функция
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56788.png)
является общим решением уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56790.png)
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- Уравнение вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56791.png)
где f(x) — известная непрерывная функция, интегрируется в квадратурах. Учитывая, что и интегрируя по х левую и правую части уравнения, получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56796.png)
т. е. приходим к уравнению такого же вида, что и исходное; далее находим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56797.png)
Через n шагов получим общее решение уравнения (1):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56798.png)
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56799.png)
Последовательно интегрируя дважды, получаем искомое общее решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56800.png)
Бели уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка к — 1 включительно, т. е. имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56809.png)
то порядок уравнения может быть снижен до порядка n — к заменой После такой замены уравнение принимает вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56814.png)
Пусть удалось проинтегрировать полученное уравнение:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56815.png)
Замечая, что приходим к уравнению
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56820.png)
из которого у(х) находится k-кратным интегрированием.
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56825.png)
Положим тогда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56828.png)
и данное уравнение примет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56830.png)
Разделяя переменные в последнем уравнении, найдем или
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56832.png)
откуда легко получаем общее решение исходного уравнения:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56837.png)
Пусть дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, т. е. имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56838.png)
Порядок этого уравнения можно понизить на единицу подстановкой у’ = р(у), где р = р(у) рассматривается как новая неизвестная функция, а у принимается за независимую переменную. В этом случае все производные надо выразить через производные от функции р по у:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56845.png)
Мы видим, что любая производная выражается через производные от р по у порядка не выше к -1, что приводит к понижению порядка уравнения на единицу.
Пример:
Проинтегрировать уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56853.png)
Положим у’ = р(у), тогда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56855.png)
и данное уравнение принимает вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56859.png)
Сокращая на и разделяя переменные, найдем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56863.png)
откуда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56868.png)
или
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56870.png)
Случай р=0 дает решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56874.png)
содержащееся в (**).
Всегда следует посмотреть, не является ли левая часть данного уравнения полным дифференциалом некоторого выражения. Так, уравнение (*) можно переписать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56876.png)
откуда находим:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56877.png)
Часто встречающееся уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56878.png)
можно легко проинтефировать в квадратурах, если умножить обе его части на у’ (проделайте это!).
Замечание:
Рассмотрим уравнение второго порядка
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56881.png)
линейное относительно искомой функции у(х) и ее производных у’ и у». Положим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56883.png)
где u(х), v(x) — новые функции, из которых одну мы можем выбирать произвольно. Подставляя у(х) в форме (5) в исходное уравнение (4), для функции u(х) получаем уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56886.png)
Если известно одно решение исходного уравнения (4), то можно взять
В уравнении (6) тогда исчезнет слагаемое, содержащее функцию u(х) (если
то
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56892.png)
так как, по предположению, — решение уравнения (4)). Уравнение (6) примет тогда вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56898.png)
и легко интегрируется. В результате мы найдем общее решение исходного уравнения (4). Если положить
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56899.png)
то в уравнении (6) исчезнет слагаемое с первой производной, и уравнение примет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56900.png)
Такое преобразование полезно для качественного анализа уравнения и при использовании приближенных методов решения.
Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение Бесселя
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56907.png)
(его решения — функции Бесселя — играют важную роль во многих задачах физики); представим его в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56909.png)
Здесь так что в силу (7) имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56915.png)
Полагая получаем для u(х) уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56919.png)
весьма удобное для изучения поведения функций Бесселя при больших значениях х.
Замечание:
При решении задачи Коши для уравнений высших порядков бывает целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные
принимают конкретные числовые значения, в то время как при произвольных
интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях.
Рассмотрим, например, следующую задачу Коши:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56930.png)
Полагая у’ = р(у), получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56931.png)
откуда или
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56937.png)
Разделяя переменные, найдем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56938.png)
В правой части последнего равенства имеем интеграл от дифференциального бинома. Здесь m = 0, n = 4, так что этот интеграл не выражается в виде конечной комбинации элементарных функций. Однако если использовать начальные условия, то
Это сразу дает
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56945.png)
откуда, учитывая начальные условия, находим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-56946.png)
Задача:
Найти два решения задачи Коши для уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58524.png)
с начальными условиями у(0) = у'(0) = 0. Не противоречит ли этот факт теореме существования и единственности решения задачи Коши?
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Оно имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58526.png)
где заданные на некотором интервале
функции. Если g(х) = 0 на этом интервале, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным.
Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58530.png)
Если на некотором интервале, то разделив все члены данного уравнения на коэффициент
получим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58535.png)
Если коэффициенты уравнения (1) непрерывны на отрезке [а,b], то правая часть уравнения (2) непрерывна по
для любых значений
кроме того, имеет частные производные по
равные
ограниченные на [а, b]. Поэтому в силу теоремы 1 получаем:
если коэффициенты уравнения (1) непрерывны на [а, b], то, каковы бы ни были начальные условия
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58548.png)
существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее этим начальным условиям.
Напомним следующее понятие. Говорят, что на множестве Е задан оператор A со значениями в множестве F, если каждому элементу по некоторому закону поставлен в соответствие определенный элемент
Множество Е называют областью определения оператора А.
Пусть Е — линейное пространство. Оператор A, заданный на Е, называется линейным, если он аддитивен и однороден, т. е.
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58556.png)
Представим линейное однородное уравнение (1) в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58558.png)
Нетрудно видеть, что есть линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве функций у(х), непрерывных на интервале (а, b), вместе со всеми производными до n-го порядка включительно. Дифференциальный характер оператора очевиден. Покажем его линейность, т. е. что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58561.png)
Имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58563.png)
Как следствие получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58565.png)
Установим некоторые свойства решений линейного однородного уравнения.
Теорема:
Если функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58568.png)
то функция — произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.
По условию,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58573.png)
Надо доказать, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58574.png)
Пользуясь свойством однородности оператора имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58577.png)
Это означает, что функция есть решение уравнения
Теорема:
Если функции являются решениями линейного однородного уравнения
то сумма функций тоже является решением этого уравнения.
По условию, Надо доказать, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58589.png)
Последнее сразу вытекает из свойства аддитивности оператора
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58592.png)
Следствие:
Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58594.png)
решений линейного однородного дифференциального уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58596.png)
является решением того же уравнения.
Линейное однородное дифференциальное уравнение всегда имеет тривиальное решение
Из теорем 2 и З получаем: совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения
образует линейное пространство, нулем которого является функция
Теорема:
Если линейное однородное уравнение
с действительными коэффициентами имеет комплексное решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58604.png)
то действительная часть этого решения u(х) и его мнимая часть v(x) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения.
Дано, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58609.png)
Надо доказать, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58610.png)
Пользуясь свойствами линейности оператора получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58611.png)
Отсюда следует, что так как комплекснозначная функция действительного аргумента обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю.
Линейно зависимые и линейно независимые системы функций
Пусть имеем систему функций определенных на некотором интервале (а,b).
Определение:
Будем говорить, что система функций линейно зависима на интервале а < х < b, если существуют постоянные
такие, что на этом интервале выполняется тождество по х:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58620.png)
причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.
Если это тождество имеет место только при то семейство функций
называется линейно независимым на интервале (а, Ь).
Рассмотрим примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций.
- Функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58627.png)
линейно зависимы на любом интервале (a, b), так как имеет место, например, тождество
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58628.png)
где
2. Функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58630.png)
линейно независимы на любом интервале (а, b), так как тождество
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58632.png)
возможно лишь в случае, если
Если хоть одно из чисел было бы отлично от нуля, то в левой част тождества стоял бы многочлен степени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращается в нуль не более чем в п точках рассматриваемого интервала.
3. Функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58636.png)
где линейно независимы на любом интервале (а,b).
Для простоты ограничимся случаем n = 3. Допустим, что функции являются линейно зависимыми. Тогда имеет место тождество
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58639.png)
причем хотя бы одно из не равно нулю. Пусть для определенности
Разделив тождество на
и продифференцировав, получим тождество
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58648.png)
деля которое на и дифференцируя результат по х, найдем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58653.png)
что невозможно, так как по предположению и
Значит, наше допущение неверно, и рассматриваемые функции являются линейно независимыми.
Замечание:
Линейная зависимость пары функций означает, что одна из функций получается из другой умножением на постоянную:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58656.png)
Вообще, если функции линейно зависимы на (a,b), то по крайней мере одна из них есть линейная комбинация остальных.
Задача:
Показать, что если система функций
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58660.png)
линейно независима на интервале (a, b), то и любая подсистема этой системы функций также линейно независима на (a, b).
Теорема:
Необходимое условие линейной зависимости функций. Если функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58661.png)
имеющие производные до порядка n — 1 включительно, Линейно зависимы на интервале (а, b), то на этом интервале определитель
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58665.png)
называемый определителем Вронского системы функций тождественно равен нулю:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58671.png)
Ограничимся случаем n = 3. Пусть дважды дифференцируемые функции линейно зависимы на интервале (а, b). Значит, на (а, 6) выполняется тождество
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58679.png)
причем не все числа (i = 1, 2, 3) равны нулю. Для определенности будем считать, что
Разрешим тождество относительно
и дважды продифференцируем его:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58683.png)
Составим определитель Вронского системы функций
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58686.png)
или, с учетом формул (1) и (2),
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58688.png)
Первый столбец определителя является линейной комбинацией двух других при любом Такой определитель, как известно, равен нулю; следовательно
Рассуждением от противного легко доказывается следующая теорема.
Теорема:
Если определитель Вронского W(x) системы n функций не равен тождественно нулю в некотором интервале (а, b), то эти функции линейно независимы в этом интервале.
Для произвольной системы n — 1 раз дифференцируемых на (а,b) функций теорема, обратная теореме 5, неверна. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример.
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58701.png)
Для функций (рис. 2)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58695.png)
определитель Вронского на интервале (-1,1) тождественно равен нулю:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58696.png)
Однако, как легко видеть, функции на интервале (-1,1) линейно независимы. Заметим, что в интервалах (-1,0) и (0,1) функции
уже линейно зависимы. Можно несколько обобщить рассмотренный пример, взяв систему функций
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58698.png)
Эти функции линейно независимы в любом интервале, содержащем внутри себя точку х = 0, а вместе с тем их определитель Вронского тождественно равен нулю. При этом, скажем, функция имеет всюду непрерывные производные, до порядка m — 1 включительно, и лишь производная m-го порядка терпит разрыв с конечным скачком в точке х = 0. Выбирая m достаточно большим, получаем систему функций, обладающих непрерывными производными любого нужного порядка.
Задача:
Что можно сказать об определителе Вронского системы функций
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58700.png)
если только известно, что эти функции а) линейно зависимы; б) линейно независимы?
Теорема:
Необходимое условие линейной независимости решений. Если линейно независимые на интервале (а, b) функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58704.png)
с непрерывными на [а, b] коэффициентами то определитель Вронского этой системы решений
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58707.png)
не может обратиться в нуль ни в одной точке интервала (а, b).
Ограничимся рассмотрением случая n = 3. Допустим, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58709.png)
Составим систему трех линейных однородных алгебраических уравнений относительно
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58711.png)
Определитель этой системы в силу допущения равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение
по крайней мере одно из чисел
отлично от нуля.
Рассмотрим функцию
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58715.png)
Она является линейной комбинацией решений уравнения (3), и, значит, сама есть решение этого уравнения. Это решение в силу уравнений (4) удовлетворяет нулевым начальным условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58717.png)
Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение уравнения (3) и, по теореме о единственности решения, только это решение. Следовательно,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-58719.png)
причем хотя бы одно из отлично от нуля. Таким образом, решения
оказываются вопреки условию теоремы линейно зависимыми. Противоречие возникло в связи с допущением, что W(x) обращается в нуль в точке
Значит, наше допущение неверно, и
всюду в интервале (а, b).
Из теорем 5 и 7 как следствие получаем следующую важную теорему.
Теорема:
Для того, чтобы частные решения линейного однородного дифнциального уравнения (3) с непрерывными на отрезке [а, b] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского W(x) системы решений был отличен от нуля.
Необходимость условия прямо следует из теоремы 7.
Достаточность условия вытекает из того, что при линейной зависимости функций согласно теореме 5, имеем
Поэтому если
то функции
не могут быть линейно зависимыми, т. е. они в этом случае линейно независимы.
Задача:
Доказать, что два решения уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59297.png)
с непрерывными коэффициентами, имеющие максимум при одном и том же значении х, линейно зависимы.
Задача:
Доказать, что отношение двух любых линейно независимых решений уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59300.png)
с непрерывными коэффициентами не может иметь точек максимума.
Задача:
Показать, что два линейно независимых решения уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59303.png)
с непрерывными на отрезке [а, b] коэффициентами не могут обращаться в нуль при одном и том же значении
Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
Теорема:
О структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общим решением в области линейного однородного дифференциального уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59314.png)
с непрерывными на отрезке [а, b] коэффициентами является линейная комбинация
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59320.png)
п линейно независимых на интервале (а, b) частных решений этого уравнения
произвольные постоянные).
Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59332.png)
удовлетворяет условиям 1), 2) этого определения.
Функция у(х), определенная формулой (2), является решением дифференциального уравнения (1) при любых значениях постоянных Это следует из того, что, как было установлено выше, любая линейная комбинация частных решений линейного однородного уравнения есть снова решение этого уравнения.
Для уравнения (1) при выполнены условия теоремой 1 существования и единственности решения задачи Коши; поэтому остается показать, что постоянные
всегда можно подобрать так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59339.png)
Ограничимся случаем, когда n = 3. Потребовав, чтобы решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59340.png)
удовлетворяло поставленным начальным условиям, получим систему трех линейных алгебраических уравнений относительно
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59343.png)
Определитель этой системы есть определитель Вронского линейно независимой системы решений однородного уравнения (1), и, следовательно, отличен от нуля при любом
в частности при
Поэтому система уравнений (3) однозначно разрешима относительно
при любом
и при любых правых частях, т. е. при любых
А это и означает возможность выбора таких значений
чтобы частное решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59356.png)
удовлетворяло поставленным начальным условиям, каковы бы они ни были.
Из теоремы 9 следует, что если известно п линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то всякое другое решение этого уравнения представляется в виде линейной комбинации этих частных решений и, значит, линейно зависимо с ними. Отсюда вытекает, что максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку. Таким образом,
совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения.
Введем понятие фундаментальной системы решений.
Определение:
Совокупность любых п линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется его фундаментальной системой решений.
Теорема:
У каждого линейного однородного уравнения (1) с непрерывными коэффициентами существует фундаментальная система решений (и даже бесконечное множество фундаментальных систем решений).
В самом деле, рассмотрим, например, однородное уравнение второго порядка
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59360.png)
с непрерывными на отрезке {а, b] коэффициентами. Пусть По теореме 1 уравнение (4) имеет решения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59362.png)
удовлетворяющие при начальным условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59365.png)
Определитель Вронского в точке системы решений (5) отличен от нуля,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59366.png)
Следовательно, система решений (5) для уравнения (4) фундаментальна. Выбор начальных условий (5′) обеспечил построение одной фундаментальной системы. За начальные данные в точке можно взять любую систему чисел:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59371.png)
лишь бы определитель Вронского
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59372.png)
был отличен от нуля. Очевидно, таких систем чисел можно подобрать бесконечно много и построить бесконечно много фундаментальных систем решений для уравнения (4).
Задача:
Составить общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59373.png)
если известно ненулевое частное решение этого уравнения.
Теорема:
Если два уравнения вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59377.png)
где функции непрерывны на отрезке [a,b], имеют общую фундаментальную систему решений
то эти уравнения совпадают, т. е.
на отрезке [a, b].
Таким образом, фундаментальная система решений вполне определяет линейное однородное уравнение (1), т.е. полностью определяет коэффициенты i = 1, 2,…, n, этого уравнения. Следовательно, можно поставить задачу о нахождении уравнения вида (1), имеющего заданную фундаментальную систему решений Представим дифференциальное уравнение с левой частью в виде определителя:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59391.png)
где у(х) — искомая функция, a — заданная фундаментальная система решений. Уравнение (6) имеет в качестве решений функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59394.png)
так как при подстановке вместо у(х) каждой из этих п функций два столбца определителя становятся тождественно равными и определитель обращается в нуль тождественно по Разлагая определитель по элементам последнего столбца, получаем из (6) уравнение вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59398.png)
где W{х) — определитель Вронского системы функций а
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59403.png)
Определитель Вронского W(x) фундаментальной системы решений
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59401.png)
отличен от нуля во всем интервале (а, b). Разделив все члены уравнения (7) на приведем это уравнение к виду (1):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59410.png)
где, в частности,
Можно показать, что если элементы определителя
n-го порядка есть дифференцируемые функции аргумента х:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59418.png)
то производная определителя равна сумме n определителей:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59425.png)
где — определитель, получающийся из данного заменой элементов его k-ой строки производными от этих элементов. Например, для определителя Вронского системы функций
имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59434.png)
Нетрудно проверить, что следовательно,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59446.png)
Интегрируя последнее равенство по х от X0 до х, получим формулу Остроградского— Лиувилля:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59452.png)
Задача:
Составить линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее решения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59454.png)
Показать, что функции линейно независимы на интервале
Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке х = 0. Почему это не противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Частный случай: уравнение второго порядка
Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59466.png)
где р1, p2 — действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем искать их в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59471.png)
Подставляя эти выражения для у и ее производных в уравнение (1), получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59474.png)
Так как то должно выполняться равенство
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59479.png)
Следовательно, функция будет решением уравнения (1), т. е. будет обращать его в тождество по х, если
будет удовлетворять алгебраическому уравнению
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59488.png)
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1), а его левая часть называется характеристическим многочленом.
Уравнение (3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через они могут быть
1) действительными и разными;
2) комплексными;
3) действительными и равными.
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
- Если корни
характеристического уравнения действительные и разные, то частными решениями уравнения (1) будут функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59511.png)
Эти решения линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения. Общее решение уравнения имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59517.png)
Пример:\
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59519.png)
Составляем характеристическое уравнение:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59521.png)
Оно имеет корни
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59524.png)
Отсюда получаем искомое общее решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59526.png)
2. Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты характеристического уравнения действительные, комплексные корни входят попарно сопряженными. Положим, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59531.png)
Частные решения дифференциального уравнения (1) можно записать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59533.png)
Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем заниматься лишь действительными решениями. С помощью формул Эйлера
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59534.png)
частные решения уравнения (1) можно представить в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59538.png)
Воспользовавшись теоремой 4, получим, что частными решениями уравнения (1) будут также функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59540.png)
Эти решения линейно независимы, так как
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59541.png)
и, значит, составляют фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения (1) в рассматриваемом случае имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59546.png)
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59549.png)
Составляем характеристическое уравнение:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59552.png)
Оно имеет корни
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59554.png)
поэтому искомое общее решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59558.png)
3. Пусть теперь корни характеристического уравнения действительные и равные. Одно частное решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59561.png)
получаем сразу. Второе частное решение, линейно независимое с первым, будем искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59562.png)
где u(х) — новая неизвестная функция. Дифференцируя, находим:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59563.png)
Подставляя полученные выражения в (1), получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59565.png)
Так как — корень характеристического уравнения, то
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59567.png)
а так как — двукратный корень, то и
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59569.png)
Следовательно, соотношение (4) примет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59573.png)
Отсюда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59574.png)
где А и В — постоянные. Можно, в частности, положить А = 1, В = 0; тогда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59576.png)
Таким образом, в качестве второго частного решения уравнения можно взять
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59579.png)
Это решение линейно независимо с первым, так как
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59583.png)
Решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (1), общее решение которого в этом случае имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59591.png)
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59597.png)
Характеристическое уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59601.png)
имеет кратные корни
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59602.png)
Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59605.png)
Замечание:
Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (вообще, с переменными коэффициентами)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59606.png)
Пусть — частное решение уравнения. Введем новую искомую функцию u(х) соотношением
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59610.png)
(разрешимым относительно u(х) в тех интервалах, где не обращается в нуль). Из этого соотношения найдем производные от у :
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59614.png)
и подставим их в уравнение (5):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59616.png)
Для функции u(x) получаем опять уравнение порядка n, но коэффициент при u(х) есть Он тождественно равен нулю, так как
есть решение уравнения (5). Следовательно, в полученном уравнении порядок понизится, если ввести новую искомую функцию z(x) = u'(x). Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на
приведем его к виду
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59626.png)
Итак, если известно частное решение уравнения (5), то задача интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию линейного однородного уравнения порядка n — 1. Можно показать, что если известны два частных линейно независимых решения, то порядок уравнения может быть понижен на две единицы. Вообще, если известно r частных линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения, то порядок этого уравнения может быть понижен на r единиц.
Физические приложения: уравнение колебаний
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Рассмотрим уравнение свободных механических колебаний, причем независимой переменной будем считать время t:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59632.png)
где у — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, m — масса точки, h — коэффициент трения (считаем, что сила трения пропорциональна скорости), к > 0 — коэффициент упругости восстанавливающей силы (считаем, что эта сила пропорциональна отклонению). Характеристическое уравнение для (6)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59639.png)
имеет корни
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59640.png)
Если трение достаточно велико, то эти корни действительные и отрицательные. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59647.png)
Так как то из (7) заключаем, что при большом трении отклонение точки от положения равновесия с возрастанием t стремится к нулю, не совершая колебаний. Если трение мало,
то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни
Общее решение уравнения (6) в этом случае определяется формулой
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59671.png)
Отсюда видно, что в случае малого трения происходят затухающие колебания.
Пусть теперь трение отсутствует, т. е. h = 0. В этом случае характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни
Решение уравнения (6) имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59680.png)
где т. е. в этом случае происходят незатухающие гармонические колебания с частотой
произвольными амплитудой А и начальной фазой
Задача:
При каких
1) все решения уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59699.png)
стремятся к нулю при
2) каждое решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59704.png)
обращается в нуль на бесконечном множестве точек х?
Общий случай: уравнение произвольного порядка
Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение произвольного порядка с постоянными коэффициентами
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59710.png)
где действительные числа. Общее решение дифференциального уравнения (8) находим так же, как и в случае уравнения второго порядка.
- Ищем решение в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59724.png)
Подставляя вместо у величину в уравнение (8), получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59729.png)
что приводит к характеристическому уравнению
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59733.png)
2, Находим корни
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59734.png)
характеристического уравнения.
3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения уравнения (8), руководствуясь тем, что:
а) Каждому действительному однократному корню характеристического уравнения соответствует частное решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59741.png)
уравнения (8).
б) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59745.png)
соответствуют два линейно независимых частных решения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59748.png)
уравнения (8).
в) Каждому действительному корню кратности r соответствует r линейно независимых частных решений
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59758.png)
уравнения (8).
Рассмотрим случай в) подробнее. Пусть число есть корень кратности г характеристического уравнения
Функцию
будем рассматривать как функцию двух аргументов:
Она имеет непрерывные производные по х и по
всех порядков, причем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59782.png)
Поэтому частные производные функции по х и по
не зависят от порядка дифференцирования (операции дифференцирования функции у по x и по
перестановочны), так что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59797.png)
Воспользовавшись этой перестановочностью, а также тем, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59799.png)
получим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59809.png)
Если есть r-кратный корень характеристического уравнения
то
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59826.png)
и, стало быть, правые части (10) и (11) тождественно по х равны нулю:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59828.png)
Это означает, что функции являются в этом случае решениями уравнения (8). Легко проверить, что функции
линейно независимы на любом интервале (а, b) изменения х.
г) Приведенные в пункте в) рассуждения сохраняют силу и для комплексных корней. Поэтому каждой паре комплексно сопряженных корней кратности
отвечает
частных решений уравнения (8):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59860.png)
4. Число построенных таким образом частных решений уравнения (8) равно порядку п этого уравнения. Можно показать, что все эти решения линейно независимы в совокупности. Имея n линейно независимых частных решений уравнения (8), получаем общее решение этого уравнения,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59871.png)
где — произвольные постоянные. Пример 4. Найти общее решение уравнения
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59890.png)
1. Составляем характеристическое уравнение:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59894.png)
2. Находим корни характеристического уравнения:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59897.png)
3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59900.png)
4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59901.png)
Схема решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59902.png)
Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами
Существуют линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, которые с помощью замены переменных преобразуются в уравнения с постоянными коэффициентами. К их числу принадлежит уравнение Эйлера
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59908.png)
где — постоянные числа. Ограничимся рассмотрением уравнения Эйлера 2-го порядка (оно встречается в задачах математической физики):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59921.png)
Положим тогда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59931.png)
Подставляя выражения для в (1), получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59938.png)
Последнее интегрируется обычным приемом: составляем характеристическое уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59942.png)
находим его корни и по характеру корней выписываем общее решение уравнения (2), после чего возвращаемся к старой переменной х.
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59945.png)
Замена переменной приводит к уравнению
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59952.png)
характеристическое уравнение которого
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59954.png)
имеет корни Общее решение преобразованного уравнения равно
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59958.png)
Учитывая, что , для общего решения исходного уравнения получаем выражение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59962.png)
Замечание:
Для преобразованного уравнения (2) в случае действительных и различных корней характеристического уравнения (3) частные решения имеют вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59965.png)
Поэтому можно сразу задаться этим видом частного решения. Подставляя в уравнение (1), получим для к уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59970.png)
совпадающее с (3). Каждому простому действительному корню уравнения (4) отвечает частное решение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59973.png)
уравнения (1); двукратному корню отвечают два решения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59974.png)
уравнения (1). Паре комплексных сопряженных корней уравнения (4) будут соответствовать два решения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59982.png)
уравнения (1).
Замечание:
Уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59983.png)
— постоянные числа) подстановкой
также приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59987.png)
Здесь — заданные на некотором интервале
функции. Если
то после деления на
получим уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-59998.png)
Из теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши получаем:
если на отрезке [а, b] коэффициенты и правая часть f(х) уравнения (2) непрерывны, то это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60002.png)
Уравнение (2) можно записать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60004.png)
где, как и выше,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60006.png)
Теорема:
Если есть решение неоднородного уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60011.png)
а есть решение соответствующего однородного уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60015.png)
то сумма есть решение неоднородного уравнения.
По условию, В силу линейности оператора
имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60032.png)
Это означает, что функция есть решение уравнения
Теорема:
Если есть решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60042.png)
а есть решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60045.png)
та функция есть решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60047.png)
По условию, используя линейность оператора
, получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60051.png)
Последнее означает, что функция есть решение уравнения
Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения).
Теорема:
Если уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60054.png)
где все коэффициенты и функции U(x) и V(x) действительные, имеет решение
то действительная часть решения и(х) и его мнимая часть v(x) являются соответственно решениями уравнений
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60061.png)
По условию имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60062.png)
или
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60065.png)
Отсюда получаем:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60066.png)
Теорема:
О структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Общее решение в области уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60074.png)
с непрерывными на отрезке [а, b] коэффициентами и правой частью f(x) равно сумме общего решения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60081.png)
соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения, т. е.
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60087.png)
Надо доказать, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60106.png)
где — произвольные постоянные, a
линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения
является общим решением неоднородного уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60110.png)
Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций у(х), определяемое формулой (4), удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в этом определении.
В самом деле, функция у(х), определяемая формулой (4), является решением уравнения (2) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо решения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного уравнения есть решение неоднородного уравнения
Так как для уравнения (2) при выполнены условия теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором постоянных
в (4) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60118.png)
где т.е. можно решить любую задачу Коши. Ограничимся случаем, когда n = 3. Потребовав, чтобы решение (4) удовлетворяло начальным условиям (5), приходим к системе уравнений для отыскания
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60125.png)
Эта линейная по отношению к система трех уравнений с тремя неизвестными допускает единственное решение относительно
при произвольных правых частях, так как определитель этой системы есть определитель Вронского W(Xo) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля в любой точке
в частности в точке
Значит, какова бы ни была тройка чисел
найдется решение
системы (6) такое, что функция
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60137.png)
будет решением дифференциального уравнения (2), удовлетворяющим начальным условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60139.png)
Из этой теоремы следует, что задача нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения сводится к отысканию какого-либо частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60141.png)
Нетрудно заметить, что функция
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60142.png)
является частным решением данного неоднородного уравнения. Чтобы найти общее решение этого уравнения, остается отыскать общее решение соответствующего однородного уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60143.png)
Это уравнение есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (*), есть
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60144.png)
корни его Поэтому общее решение уравнения (*) имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60147.png)
Общее решение исходного неоднородного уравнения:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60149.png)
Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных
Частный случай: уравнение второго порядка
Начнем для простоты со случая уравнения второго порядка. Пусть имеем дифференциальное уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60150.png)
(функции непрерывны на [а, b]) и пусть известна фундаментальная система
решений соответствующего однородного уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60156.png)
общее решение уравнения (2).
Заметим, что это предположение является весьма стеснительным, так как общего метода отыскания решений линейных однородных уравнений порядка с переменными коэффициентами не существует.
Для интегрирования неоднородного уравнения (1) применим метод вариации постоянных (метод Лагранжа), который состоит в следующем. Будем искать решение неоднородного уравнения (1) в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-60162.png)
где — новые неизвестные функции от х. Для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Естественно, что функции
должны удовлетворять тому уравнению, которое получится, если в исходное уравнение подставить вместо у(х) выражение
Наложим на функции еще одно дополнительное условие. Продифференцируем (3),
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63886.png)
и в качестве дополнительного условия, налагаемого на С1, С2, возьмем следующее (целесообразность этого будет видна из дальнейшего):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63888.png)
Подставляя выражения для из (3), (5), (6) в исходное уравнение (1), после элементарной группировки слагаемых получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63893.png)
Выражения в квадратных скобках тождественно равны нулю, поскольку есть решения однородного уравнения (2). Следовательно, результат подстановки
в (1) таков:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63897.png)
Значит, функция будет решением неоднородного дифференциального уравнения (1), если функции
будут удовлетворять одновременно уравнениям (4) и (7), т. е. системе
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63901.png)
определитель которой есть определитель Вронского линейно независимых решений уравнения (2) и, следовательно, отличен от нуля всюду в интервале (а, b). Решаем эту систему как линейную алгебраическую систему относительно
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63906.png)
(здесь — известные функции) и интегрируем:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63910.png)
(здесь С1, С2 — постоянные интегрирования). Подставляя эти выражения для в (3), найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63913.png)
(C1, C2 — произвольные постоянные). Итак,
если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения может быть найдено с помощью квадратур.
Пример:
Найти общее решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63917.png)
Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63919.png)
— это есть линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Функции
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63920.png)
образуют его фундаментальную систему решений. Будем искать решение исходного уравнения в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63921.png)
Система (8) для определения в данном случае примет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63924.png)
Решая эту систему относительно получаем:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63927.png)
Подставляя найденные выражения для в (*), найдем общее решение данного уравнения:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63931.png)
Общий случай: уравнение произвольного порядка
Для интегрирования линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63932.png)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63934.png)
поступаем аналогично.
Пусть — известная фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Будем искать решение уравнения (9) в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63938.png)
где новые неизвестные функции.
Чтобы найти п функций надо составить систему из п уравнений, содержащих эти функции. При составлении такой системы уравнений можно n — 1 уравнений взять произвольно и затем составить n-е уравнение, исходя из требования, чтобы функция у(х), определенная формулой (10), удовлетворяла уравнению (9). В качестве первых n — 1 уравнений возьмем следующие:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63942.png)
Тогда, чтобы функция у(х), определенная формулой (10), удовлетворяла уравнению (9), надо на функции наложить условие
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63945.png)
Для определения получаем систему
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63952.png)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля всюду в интервале (а, 6). Поэтому система (11) однозначно разрешима относительно i = 1, 2, …, n. Решая ее, находим
известные функции, откудa
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63968.png)
Подставляя найденные выражения для в (10), получаем общее решение у(х) исходного уравнения (9):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63969.png)
где — произвольные постоянные.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
В предыдущем параграфе был рассмотрен общий метод решения неоднородного линейного дифференциального уравнения — метод вариации постоянных. В случае дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами частное решение неоднородного уравнения иногда бывает возможно найти проще — методом подбора. Рассмотрим некоторые виды уравнений, допускающие применение этого метода:
- Уравнение вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63973.png)
где действительные числа,
данный многочлен m-й степени,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63978.png)
Характеристическое уравнение для соответствующего (1) однородного уравнения имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63980.png)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-63985.png)
-характеристический многочлен.
Если коэффициент отличен от нуля, т. е.
не является корнем характеристического уравнения
то существует частное решение
уравнения (1), имеющее тоже вид многочлена степени m. Действительно, беря
в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64006.png)
неопределенные коэффициенты), подставляя его в уравнение (1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получаем для определения коэффициентов
систему линейных алгебраических уравнений, которая всегда разрешима, если
В самом деле, приравнивая коэффициенты при
имеем:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64018.png)
если не является корнем характеристического уравнения
то существует частное решение
уравнения (1), имеющее вид многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части уравнения (1):
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64022.png)
Предположим теперь, что = 0, причем для большей общности допустим, что и
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64032.png)
т.е. является г-кратным корнем
характеристического уравнения
При этом уравнение (1) имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64037.png)
Полагая приходим к предыдущему случаю; следовательно, существует частное решение уравнения (3), имеющее вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64043.png)
Отсюда получаем, что является многочленом степени m + r, причем члены, содержащие х в степени r — 1 и ниже, будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть, в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное решение примет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64050.png)
Итак,
если есть корень кратности
характеристического уравнения
то частное решение
уравнения (1) надо искать в виде произведения
на многочлен
степени m с неопределенными коэффициентами:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64064.png)
Пример:
Найти частное решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64069.png)
Характеристическое уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64070.png)
имеет корни поэтому
есть простой корень (r = 1) этого уравнения. В правой части многочлен первой степени (m = 1), поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64075.png)
Подставляя в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем, что
поэтому искомое частное решение будет
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64081.png)
2. Уравнение вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64084.png)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64086.png)
где z = z(x) — функция от х, которая должна быть определена из условия
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64088.png)
Тогда имеем:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64091.png)
Умножим функции соответственно на
и сложим полученные результаты, группируя слагаемые по столбцам:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64097.png)
Здесь есть результат подстановки в характеристический многочлен
значения
Отсюда следует, что для получения тождества (5) надо определить функцию z(x) как решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64104.png)
Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, его правая часть — многочлен. Поэтому частное решение уравнения (6) надо искать в виде многочлена степени m, если
когда число а не есть корень характеристического уравнения
Если же число а окажется корнем характеристического уравнения кратности
, то
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-64111.png)
и решение уравнения (6) надо искать в виде Поэтому частное решение
исходного уравнения (4) надо искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68965.png)
если число а не есть корень характеристического уравнения , и в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68967.png)
если число а есть корень характеристического уравнения кратности .
Здесь — многочлен степени m с неопределенными коэффициентами,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68971.png)
Пример:
Найти частное решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68976.png)
Характеристическое уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68977.png)
имеет корни Правая часть уравнения представляет собой произведение
на многочлен нулевой степени (m = 0). Так как число а, равное единице, не является корнем характеристического уравнения, частное решение
уравнения надо искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68984.png)
Подставляя в уравнение, сокращая на
найдем В = 1, откуда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68991.png)
Пример:
Указать вид частного решения уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68994.png)
Характеристическое уравнениe
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-68997.png)
имеет корни В данном случае
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69002.png)
т.е. m = 1 и число а, равное единице, является двукратным корнем (r = 2) характеристического уравнения. Поэтому частное решение следует искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69005.png)
3. Приведенные выше рассуждения остаются справедливыми и при комплексном а. Поэтому, если правая часть линейного дифференциального уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69009.png)
где — многочлены степеней m и s соответственно, то поступим так. Преобразуем тригонометрические функции по формулам Эйлера к показательным:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69012.png)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69016.png)
В квадратных скобках стоят многочлены, имеющие степень, равную наивысшей степени многочленов . Обозначив эти многочлены через М(х) и N(x), получим в правой части дифференциального уравнения выражение вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69021.png)
Для каждого слагаемого правой части можно применить указанное правило: если не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение дифференциального уравнения можно искать в виде (11); если же числа
являются корнями характеристического уравнения кратности
, то частное решение приобретает еще множитель
.
Если опять вернуться к тригонометрическим функциям, то это правило можно сформулировать так:
а) если числа не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение
дифференциального уравнения (9) надо искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69030.png)
где U(х), V(x) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степень каждого из которых равна наивысшей из степеней многочленов .
Чтобы найти коэффициенты этих многочленов, надо подставить функцию в дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левых и правых частях. При этом надо приравнять друг другу соответствующие коэффициенты тех многочленов, которые стоят множителями при cos
, и отдельно — коэффициенты многочленов при sin
;
б) если a±ip являются r -кратными корнями характеристического уравнения (резонансный случай), то частное решение
надо искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69035.png)
Замечание:
Указанные виды частных решений (12) и (13) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения один из многочленов тождественно равен нулю, т.е. когда правая часть имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69038.png)
Пример:
Найти частное решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69040.png)
Характеристическое уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69042.png)
имеет корни В данном случае
поэтому числа
не являются корнями характеристического уравнения;
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69050.png)
значит, частное решение уравнения следует искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69057.png)
Подставляя функцию в уравнение, получаем
и, следовательно,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69060.png)
Пример:
Рассмотрим уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии периодической внешней силы
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69061.png)
(независимой переменной считаем время t).
Общим решением однородного уравнения является функция
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69062.png)
Если т.е. если частота внешней силы не совпадает с частотой w собственных колебаний системы, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69064.png)
Подставляя это выражение в уравнение (*), найдем, что Общее решение уравнения (*) имеет в этом случае вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69066.png)
т. е. результирующее движение слагается из собственных колебаний с частотой w и вынужденных колебаний с частотой
Если т.е. частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний системы, то частное решение неоднородного уравнения (*) надо искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69073.png)
Подставляя в (*), находим, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69076.png)
Общее решение уравнения (*) будет иметь вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69078.png)
Второе слагаемое в правой части (**) показывает, что в этом случае амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t (рис. 3). Это явление, возникающее при совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы, называется резонансом.
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69079.png)
Удобным для отыскания частных решений является следующий прием. Пусть имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с действительными постоянными коэффициентами
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69080.png)
где — заданный многочлен степени m с действительными коэффициентами,
— действительные числа. Составим вспомогательное неоднородное уравнение с той же левой частью, что и у уравнения (14), и правой частью в виде комплекснозначной функции действительного переменного х:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69085.png)
Правая часть уравнения (14) есть действительная часть правой части уравнения (15), и поэтому в силу теоремы 14 действительная часть u(x) решения уравнения (15) будет решением исходного уравнения (14). Таким образом вопрос сводится к отысканию частного решения уравнения (15), которое можно переписать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69090.png)
Из приведенных выше рассмотрений следует:
1) если число не является корнем характеристического уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69094.png)
то частное решение уравнения (16) следует искать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69096.png)
где Qm(x) — многочлен степени т с неопределенными коэффициентами,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69097.png)
2) если является корнем кратности r характеристического уравнения, то частное решение уравнения (16) имеет вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69100.png)
Замена тригонометрических функций показательной упрощает вычисления, так как после подстановки в уравнение (16) обе части уравнения можно сократить на
Комплексные коэффициенты
многочлена Qm(x) определяются путем подстановки решений (17) или (18) в уравнение (16) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного равенства. Отделив действительную часть u(х) решений (17) или (18), найдем частное решение уравнения (14). В случае уравнения вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69108.png)
поступаем аналогично: 1) переходим к вспомогательному уравнению (16); 2) находим частное решение этого уравнения. Мнимая часть v(x) решения будет частным решением уравнения (19).
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69111.png)
Пример 6. Найти частное решение уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69112.png)
Составляем вспомогательное уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69114.png)
Поскольку число не является корнем характеристического уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69116.png)
частное решение уравнения (**) ищем в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69117.png)
Подставляя и
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69120.png)
в уравнение (**) и сокращая на получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69124.png)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства, найдем:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69131.png)
Поэтому для имеем формулу
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69133.png)
Отсюда получаем частное решение данного уравнения:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69134.png)
Применение степенных и обобщенных степенных рядов к интегрированию дифференциальных уравнений
Пусть имеем дифференциальное уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69136.png)
и требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69137.png)
Предположим, что функция f аналитична в окрестности точки т. е. представляется степенным рядом по степеням
Тогда решение у(х) задачи Коши (1), (2) можно получить в виде ряда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69144.png)
В самом деле, зная в силу самого уравнения (1) найдем
Дифференцируем уравнение (1) по х:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69150.png)
Подставляя в правую часть (4) значения и только что найденное значение
найдем
) и т. д.
Если ряд (3) сходится в некотором интервале то он определяет там решение задачи (1), (2).
Пример:
Найти решение задачи Коши
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69167.png)
В силу (*), (**) имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69170.png)
Дифференцируя (*), найдем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69171.png)
откуда у»‘(0) = у'(0) = 1, и вообще
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69178.png)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69179.png)
Теорема:
Об аналитичности решения. Если являются аналитическими функциями в окрестности точки
то решения уравнения (5) также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки х = x0 и, следовательно, эти решения можно искать в виде ряда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69189.png)
Пример:
Найти решение задачи
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69190.png)
Решение будем искать в виде ряда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69192.png)
Подставим у(х) и у»(х) в данное уравнение и приравняем нулю коэффициенты при степенях х:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69193.png)
В силу начальных условий имеем поэтому а2 = 0 и вообще
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69196.png)
Далее имеем и вообще
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69200.png)
Окончательно получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69204.png)
Пусть теперь коэффициент обращается в нуль в точке х0.
Определение:
Точка х0 называется нулем порядка (кратности) m (m — целое положительное число) функции f(x), если f(х) представима в виде где
Теорема:
О разложимости решения в обобщенный стеленной ряд. Если в уравнении
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69227.png)
коэффициенты суть аналитические функции в окрестности точки Xо, причем X = Xo является нулем порядка то функции
нулем порядка m — 1 или выше функции
и нулем порядка m — 2 или выше функции
то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (5) в виде суммы обобщенного степенного ряда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69241.png)
где — некоторое действительное число, вообще говоря, не целое.
Уравнение Бесселя. Функции Бесселя
Дифференциальное уравнение Бесселя
Дифференциальным уравнением Бесселя называется уравнение вида
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69245.png)
где v — действительное число. Это уравнение имеет особую точку х = 0 (коэффициент при старшей производной в (7) обращается в нуль при х = 0). Сравнивая (5) и (7), заключаем, что для уравнения Бесселя
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69246.png)
так что х = 0 является нулем второго порядка (m = 2) функции нулем первого порядка функции p1(x) и не является нулем функции
Поэтому в силу теоремы 17 существует решение уравнения (7) в виде обобщенного степенного ряда
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69253.png)
где — характеристический показатель, подлежащий определению. Перепишем выражение (8) в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69256.png)
и найдем производные:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69257.png)
Подставим эти выражения в уравнение (7),
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69258.png)
и приравнивая нулю коэффициенты при х в степени получим систему уравнений
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69260.png)
Так как то из первого уравнения (9) следует, что
или
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69263.png)
Теперь из второго уравнения (9) будем иметь
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69264.png)
Рассмотрим сначала случай Перепишем
уравнение системы (9) в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69271.png)
откуда получаем рекуррентную формулу для определения через
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69277.png)
Учитывая, что a1 = 0, получаем отсюда а3 = 0 и вообще С другой стороны, каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий по формуле
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69281.png)
или, с учетом
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69285.png)
Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение через
:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69291.png)
Подставим найденные значения коэффициентов в формулу (8),
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69293.png)
Нетрудно проверить, что ряд в правой части (10) сходится на полуоси х > 0 и определяет там функцию у1(х) — частное решение уравнения Бесселя.
Рассмотрим теперь второй случай, когда Если v не равно положительному целому числу, то можно написать второе частное решение, которое получается из выражения (10) заменой v на —v (в уравнение (7) v входит четным образом),
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69300.png)
(Если v равно целому положительному числу, то решение (10′) теряет силу, так как начиная с некоторого числа один из множителей в знаменателе членов разложения (10′) будет равен нулю.) Ряд в правой части (10′) также сходится при всех значениях х > 0. Решения линейно независимы. Действительно, их отношение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69304.png)
не является постоянным.
Г-функция Эйлера и ее свойства
Для дальнейшего нам понадобятся некоторые свойства Г -функции Эйлера. Она определяется следующим образом:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69308.png)
Интегрированием по частям получаем основное функциональное уравнение для Г-функции:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69312.png)
Можно показать еще, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69314.png)
С помощью функционального уравнения (11) можно определить гамма-функцию для отрицательных значений аргумента. Записав уравнение (11) в виде замечаем, что для малых р выполняется соотношение
Аналогично, если m — положительное целое число, то для значений р, близких к числу -m, имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69324.png)
Можно показать, что при всяком р, поэтому функция
будет непрерывной для всех значений р, если положить
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69335.png)
Возвратимся к решению уравнения Бесселя (7). Коэффициент до сих пор оставался произвольным. Если
— целое число, то, полагая
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69384.png)
Подставляя это выражение для коэффициентов в (9), получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69385.png)
Ряд (12) определяет функцию
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69386.png)
которая является решением уравнения Бесселя и называется функцией Бесселя первого рода v-го порядка.
Ряд
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69388.png)
отвечает случаю (v — нецелое) и определяет второе решение уравнения (7), линейно независимое с функцией
Итак, если v не равно целому числу то функции
образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (7) и его общее решение имеет в этом случае вид
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69401.png)
При v целом выполняется линейная зависимость
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69403.png)
В самом деле, имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69405.png)
Первые n членов ряда исчезают, так как
Введя обозначение m = к + n, находим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69431.png)
Выпишем ряды для функций Бесселя первого рода нулевого (n = 0) и первого (n = 1) порядков:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69437.png)
Функции (рис. 4) часто встречаются в приложениях, и для них имеются подробные таблицы.
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69445.png)
Рекуррентные формулы для функций Бесселя
Используя формулу
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69448.png)
непосредственно проверкой убеждаемся в том, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69451.png)
Точно таким же вычислением находим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69456.png)
Раскрывая в левых частях формул (15) и (16) производные произведений, получаем соответственно равенства
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69457.png)
Складывая и вычитая (17) и (18), получим две важные рекуррентные формулы:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69476.png)
Формула (19) показывает, что производные функций Бесселя выражаются через бесселевы же функции. Из формулы (20) вытекает, что, зная , можно найти
. В частности, все функции Бесселя целых номеров выражаются через две функции
Здесь оказывается полезным соотношение (14). При v= 1 из (20) находим, например,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69493.png)
Функции Бесселя полуцелого индекса
Рассмотрим специальный класс бесселевых функций с индексом, равным половине нечетного целого числа. Этот класс встречается в приложениях и замечателен тем, что в рассматриваемом случае бесселевы функции могут быть выражены через элементарные. Так, при путем несложных преобразований находим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69499.png)
Аналогично, при получаем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69506.png)
Обе эти формулы можно записать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69508.png)
По рекуррентной формуле (20) подсчитываем, например,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69510.png)
и т. д.
Нули бесселевых функций
При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей функций Бесселя. Нули функций совпадают с нулями sin х и cos х соответственно. Можно показать, что для больших значений х имеет место асимптотическое представление (сравните с (21))
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69515.png)
Символ означает, что отношение
остается ограниченным при
(см. главу VIII).
справедливое как для целых, так и для дробных v. Формула (22) показывает, как ведет себя функция Бесселя при возрастании аргумента. Это колеблющаяся функция, бесчисленное множество раз обращающаяся в нуль, причем амплитуда колебаний стремится к нулю при
Распределение нулей функции Бесселя с целым положительным индексом, т. е. корней уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69562.png)
устанавливается следующей теоремой.
Теорема:
Функция не имеет комплексных нулей, но имеет бесконечное множество действительных нулей, расположенных симметрично относительно точки х = 0, которая в случае n = 1,2,… принадлежит к их числу. Все нули функции простые за исключением точки х = 0, которая при n = 1,2,… является нулем кратности п соответственно.
Ортогональность и норма функций Бесселя
Ортогональность функций Бесселя:
Рассмотрим дифференциальное уравнение
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69571.png)
где некоторый числовой параметр, отличный от нуля. Нетрудно проверить, что уравнению (23) удовлетворяет функция Бесселя
Перепишем уравнение (23) в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69587.png)
и обозначим какие-либо значения параметра
Тогда будем иметь тождества
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69594.png)
Умножая первое тождество на и вычитая одно из другого, получим
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69602.png)
Умножив все члены последнего тождества на x, замечаем, что его можно записать в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69606.png)
Интегрируя последнее тождество по ж в пределах от 0 до 1, будем иметь
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69607.png)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69621.png)
1. Пусть Тогда из равенства (25) следует, что если
есть нули функции
то левая часть (25), а значит, и правая, равны нулю, так чтo
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69657.png)
Это означает, согласно определению, что функции ортогональны с весом р(х) = х на отрезке [0,1].
Бесселева функция имеет счетное множество нулей
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69674.png)
и, следовательно, система функций
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69677.png)
есть ортогональная на отрезке [0,1] система с весом р(х) = х,
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69678.png)
2. Если являются корнями уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69687.png)
то в этом случае при из (25) также имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69690.png)
Следовательно, система функций корни уравнения
ортогональна на отрезке [0,1] с весом р(х) = х.
3. Пусть являются корнями уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69701.png)
где h — некоторое фиксированное число. Уравнение (28) встречается в математической физике и при v > -1 имеет бесконечное множество положительных корней, но не имеет комплексных корней (исключая случай когда есть два чисто мнимых корня). Записав левую часть равенства (25) в виде
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69705.png)
убеждаемся в ортогональности бесселевых функций по нулям линейной комбинации = 0 функции Бесселя и ее производной:
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69734.png)
где — корни уравнения (28).
Норма функций Бесселя
Величина
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69751.png)
называется нормой функции Бесселя
Пользуясь равенством (25), можно показать, что
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69769.png)
В частности, для — нуль бесселевой функции, имеем
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69779.png)
Функции Неймана (Вебера)
Всякое нетривиальное решение уравнения Бесселя
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69783.png)
называют цилиндрической функцией. При v нецелом функции образуют функциональную систему решений уравнения Бесселя (7). При v = n — целом имеет место линейная зависимость
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69799.png)
Чтобы к решению подыскать такое, которое ему не пропорционально, поступаем так: при нецелом v составляем функцию
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69807.png)
Она является линейной комбинацией решений линейного однородного уравнения (7) и, следовательно, сама есть решение этого уравнения. Переходя в (30) к пределу при и пользуясь правилом Лопиталя, будем иметь
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69820.png)
Характерное свойство функций (функций Бесселя 2-го рода) — наличие особенности в начале координат (рис. 5)
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69834.png)
Найденное решение уравнения Бесселя (7) при v = n вместе с
составляет фундаментальную систему решений уравнения
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69848.png)
Функцию называют также функцией Неймана или функцией Вебера. При достаточно больших х
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69855.png)
Таким образом, на больших расстояниях от начала координат цилиндрические функции 1 -го и 2-го рода относятся друг к другу как косинус и синус, но затухают с ростом ж благодаря множителю Эти функции удобны для представления стоячих цилиндрических волн.
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69869.png)
По аналогии с показательными функциями (формулы Эйлера) можно построить линейную комбинацию функций дающую функции, связанные с бегущими волнами. Так мы приходим к бесселевым функциям 3-го рода или функциям Ханкеля, определяемым соотношениями
![Дифференциальные уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-69871.png)
Дополнение к дифференциальным уравнениям высших порядков
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_1-73.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_2-70.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_3-69.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_4-61.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_5-53.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_6-44.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_7-35.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_8-28.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_9-28.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_10-24.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_11-23.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_12-20.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_13-19.png)
![Уравнения высших порядков](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_14-18.png)
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат