Векторное произведение векторов и его свойства с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Определение векторного произведения:

Три некомпланарных вектора Векторное произведение векторов , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору Векторное произведение векторов виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой

Векторным произведением вектора Векторное произведение векторов на вектор называется вектор , который:

перпендикулярен векторам
имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается Векторное произведение векторов или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18):

Докажем, например, что Векторное произведение векторов .

векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

Свойства векторного произведения

1.При перестановке сомножителей Векторное произведение векторов векторное произведение меняет знак, т. е. (см. рис. 19).

Векторы Векторное произведение векторов коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки противоположной ориентации). Стало быть, Векторное произведение векторов .

2.Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.

Пусть Векторное произведение векторов . Вектор перпендикулярен векторам . Вектор также перпендикулярен векторам (векторы лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому Векторное произведение векторов Аналогично доказывается при

3. Два ненулевых вектора Векторное произведение векторов коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

Если Векторное произведение векторов , то угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда Значит,

Если же Векторное произведение векторов , то . Но тогда , т. е. .

В частности, Векторное произведение векторов

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Примем без доказательства.

Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j и k:

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора Векторное произведение векторов Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

т.е.

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.

Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов

Если Векторное произведение векторов , то (и наоборот), т. е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов Векторное произведение векторов И, значит,

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила Векторное произведение векторов и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом силы Векторное произведение векторов относительно точки О называется вектор , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами Векторное произведение векторов . Стало быть,

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость Векторное произведение векторов точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , где О — некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).