Обратные тригонометрические функции в математике с примерами решения и образцами выполнения

Когда задается какое-либо отвлеченное число х и требуется найти sin х, то, как известно, всякий раз для любого определенного значения х мы находим для sin х единственный ответ, а именно некоторое определенное отвлеченное число, заключенное в границах от — 1 до
+ 1 включительно.

Например,

Это замечание относится и к каждой из остальных тригонометрических функций. Поэтому все тригонометрические функции sin х , cos х , tg х являются функциями однозначными.

Если же нам будет задано какое-либо отвлеченное число х в границах от — 1 до +1 включительно и будет предложено отыскать такое отвлеченное число у, синус которого равен числу х , то всякий раз будет получаться не один, а бесконечное множество ответов.

Например, если где k — любое число (см. стр. 536).

Это замечание относится и к остальным тригонометрическим функциям.

Пусть

Отсюда следует, что у есть такое отвлеченное число, синус которого равен х. Вместо этого словесного утверждения пишут:

(читают: у равен арксинусу х).

Как уже разъяснялось, выражение Arc sin х для всякого данного значения х, заключенного в границах от — 1 до + 1 включительно, имеет бесконечное множество различных значений.

Приставка Arc неотделима от обозначения sin и вместе с ним образует знак нового математического действия над отвлеченным числом х.

Подобным же образом вводятся математические действия

Arc cos х (арккосинус х)

и

Arc tg х (арктангенс х).

Arc cos х обозначает такие всевозможные отвлеченные числа, что косинус каждого из них равен х;

Arc tg x обозначает такие всевозможные отвлеченные числа, что тангенс каждого из них равен х (здесь х может быть любым числом).

Выражения Arc sin x, Arc cos х, Arc tg x называются обратными тригонометрическими функциями аргумента х.

Как мы уже видели, все обратные тригонометрические функции являются функциями многозначными (с бесконечным множеством значений). В отличие от обратных тригонометрических функций функции sin x, cos x, tg x и т. д. называются прямыми тригонометрическими функциями аргумента х.

Как уже отмечалось, все прямые тригонометрические функции являются функциями однозначными.

Пользоваться обратными тригонометрическими функциями при решении задач не всегда удобно вследствие их многозначности. Поэтому наряду с обратными тригонометрическими функциями Arc sin х, Arc cos x и т. д. вводятся и изучаются еще и другие обратные тригонометрические функции, а именно

arc sin x, arc cos x, arc tg x,

которые определяются так, чтобы каждая из них была функцией однозначной.

Свойства однозначных обратных тригонометрических функций

A. arc sin х

arc sin x есть отвлеченное число в границах от — до , равное числу радианов, содержащихся в таком угле, синус которого равен х.

Из этого определения следует, что равенство у = arc sin х равносильно следующим утверждениям:

Если 0 <х < 1, то равенство у = arcsin x равносильно следующим утверждениям:

Если —1 <x<0, то равенство у = arc sin x равносильно следующим утверждениям:

Значение функции arc sin x представляет собой определенное действительное число лишь в том случае, когда

i*i <i.

Из данного определения функции arc sin x следует, что

Чтобы найти, например, мы сперва ищем в границах от 0 до 90° такой угол, синус которого равен Таким углом будет угол 30°. В этом угле содержится радианов. Следовательно, arc sin у равняется отвлеченному числу.

Чтобы найти , мы сперва ищем в границах от —90 до 0° такой угол, синус которого равен — Таким углом будет угол — 30°. В этом угле содержится — радианов. Следовательно,

Очевидно, что

Этот результат легко обобщить и получить, что

Нетрудно убедиться, что, например,

Из определения функции arcsin х следует, что

Если над числом х сначала выполняется действие нахождения арксинуса, а затем над полученным результатом действие нахождения синуса, то в результате получится первоначальное число х.

Выражение принято понимать как выражение Выражение же принято понимать как выражение Например,

Б. arctg x

arctg х есть отвлеченное число в границах от — до , равное числу радианов, содержащихся в таком угле, тангенс которого равен х.

Из этого определения следует, что равенство у = arctg х равносильно следующим утверждениям:

Если то равенство у = arctg х равносильно следующим утверждениям:

Если х <0, то равенство у = arctg х равносильно следующим утверждениям:

Значение функции arctg х представляет собой определенное действительное число при всяком значении х.

Из данного определения функции arctg х следует, что

Поэтому иногда условно пишут:

Очевидно, что

B. arccos x

arccos х есть отвлеченное число в границах от 0 до равное числу радианов, содержащихся в таком угле, косинус которого равен х.

Равенство у = arccos х равносильно следующему:

Значение функции arccos х представляет определенное действительное число тогда и только тогда, когда |х| < 1.

Из данного определения функции arccos х следует, что

Очевидно, что

Выражения многозначных обратных тригонометрических функций

Многозначные обратные тригонометрические функции выражаются формулами:

где k — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Например,

и. т. д.

Функция y = Arcsin х называется функцией, обратной функции у = sinх. Функция же csc х не есть функция, обратная функции sin х, но есть величина, обратная величине sin х, так как csc х =

Из многозначной функции Arcsin х можно выделить сколько угодно однозначных функций. Например, можно выделить однозначную функцию, заключающуюся в границах от , или от и т. д.

Но во всех теоретических и практических вопросах принято пользоваться преимущественно однозначной функцией арксинуса в границах от— до т. е. такой, которая и была введена нами выше. Это замечание относится и к остальным обратным тригонометрическим функциям.

О знаках математических действий

Напишем знаки известных нам математических действий:

— знак квадратного корня;
— знак кубического корня;
— знак логарифма по основанию 10;
— знак логарифма по основанию 2;
— знак логарифма по основанию 3;
sin — знак синуса;
cos — знак косинуса;
arc sin — знак арксинуса (однозначного);
arc tg — знак арктангенса (однозначного);
Arcsin — знак арксинуса (многозначного);
Arc tg — знак арктангенса (многозначного).

Если под каждым из этих знаков поместить какое-либо число, например число 100, то получим:

— корень квадратный из числа 100;
— корень кубический из числа 100;
— логарифм числа 100 по основанию 10;
— логарифм числа 100 по основанию 2;
— логарифм числа 100 по основанию 3;
sin 100 — синус числа 100;
cos 100 — косинус числа 100;
arc sin 100 — арксинус (однозначный) числа 100;
arc tg 100 — арктангенс (однозначный) числа 100;
Arc sin 100—арксинус (многозначный) числа 100;
Arc tg 100 — арктангенс (многозначный) числа 100.

Любое из этих математических действий выполняется над отвлеченным числом и в результате опять получается отвлеченное число. Всякое математическое действие выполняется по своему особому правилу.

Пользуясь тем, что эти правила нам известны, мы получим:

Выражаясь образно, можно сказать, что каждый знак математического действия представляет собой как бы простейшую математическую «машину», принимающую к переработке отвлеченные числа. В то время как некоторые из этих «машин» принимают к переработке любые числа, другие принимают не всякие числа.

Например, «машины» принимают к переработке любые числа. «Машина» принимает лишь положительные числа и нуль. «Машины» принимают лишь положительные числа. «Машины» arc sin, arc cos принимают лишь числа от — 1 до + 1 включительно.

Полученное в результате математических действий число может выражать ту или иную физическую величину в зависимости от той конкретной задачи, которую мы решали с помощью этих математических действий.

Примеры преобразований и вычислений, связанных с однозначными обратными тригонометрическими функциями

1. Упростить выражение sin (arccos х).

Так как то

Поэтому, пользуясь формулой получим, что

2. Упростить выражение cos (arcsin х).

Так как значит,

Поэтому, пользуясь формулой получим, что

3. Упростить выражение tg (arcctgx).

Пользуясь формулой получим, что

4. Упростить выражение tg (arcsin х).

Пользуясь формулой получим, что

5. Упростить выражение sin (arctg х).

Пусть тогда Пользуясь формулой

получим, что

Но из этих двух знаков годным является только знак плюс. Действительно, так как при

Правая же часть будет положительным числом или нулем, если из двух знаков, стоящих перед ней, выбрать только знак плюс (ведь по условию ). Итак, окончательно

Пусть х < 0, тогда

Пользуясь формулой

получим, что

Но из этих двух знаков годным является только знак плюс. Действительно, так как при

Правая же часть будет отрицательным числом лишь тогда, когда мы из двух знаков, стоящих перед ней, выберем только знак плюс (ведь по условию х < 0). Итак, при х < 0 формула имеет тот же вид, как и при , т.е.

Таким образом, равенство

справедливо при всяком значении х.

6. Доказать тождество

Сначала вычислим синус левой части написанного выше равенства:

Из одного того факта, что sin (arcsin х + arccos х) = 1, мы еще не можем заключить, что , так как существует бесконечное множество различных углов, синус которых равен 1.

Чтобы удостовериться в том, что сумма arcsin х + arccos х равняется именно , необходимо найти границы этой суммы.

По определению

Складывая, получим:

Но среди чисел, больших или равных — и меньших или равных имеется лишь одно число , синус которого равен 1.

Поэтому

что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и тождество

7. Показать справедливость равенства

Сначала вычислим тангенс суммы, стоящей в левой части написанного равенства:

Для сокращения записей вычислим предварительно значения тангенсов, стоящих в числителе последней дроби:

Найдем также, что

Теперь

Очевидно, что

Складывая, получим, что

Итак, мы установили два факта:

Из этих двух фактов вытекает, что

что и требовалось доказать.

8. Решить уравнение arccos х = 2arcsin x.

Если два числа равны, то равны и их косинусы. Поэтому из данного уравнения вытекает уравнение cos (arccos х) = cos(2 arcsin x). Но данное уравнение и вновь полученное, вообще говоря, не равносильны. Всякий корень первого уравнения будет корнем второго, но не всякий корень второго уравнения обязательно должен быть корнем первого, так как из равенства косинусов не обязательно следует равенство чисел, стоящих под знаками косинусов. Поэтому каждый из корней второго уравнения надо испытать подстановкой в первое уравнение и отобрать лишь те, которые удовлетворяют первому уравнению.

Второе уравнение после преобразований примет вид:

или

или

Отсюда

Подставляя в первоначально заданное уравнение вместо неизвестного х число , получаем:

или

т.е. тождество.

Подставляя число — 1, получим:

т. е. равенство неверное.

Итак, первоначальное уравнение имеет лишь один корень х =.

9. Решить уравнение

Преобразуем данное уравнение, взяв тангенсы его левой и правой части:

(см. пояснения к примеру 8).’

Применим формулу тангенса суммы и примем во внимание, что

Равенство

справедливо, так как его левая часть заключена между 0 и и имеет своим тангенсом единицу.

Равенство же

несправедливо, так как его левая часть заключена между — и 0, а потому не может равняться .

Следовательно, данное уравнение имеет только один корень

Графики обратных тригонометрических функций

На рисунке 185 изображен график функции у = arcsin х.
На рисунке 186 изображен график функции у = arccos х.

На рисунке 187 изображен график функции у = arctg х.

Дополнение к обратным тригонометрическим функциям

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Элементарные функции.	Суперпозиция функций. Заключительные замечания.
Понятие обратной функции.	Числовая последовательность.

Обратные тригонометрические функции и их графики

Функция y = arcsin x (арксинус).

Рассмотрим функцию y = sin x. Так как область определения этой функции — вся ось Ох (), а область изменения значений — отрезок [—1, 1] оси Оу (по отношению к функции y = sin x) имеет смысл говорить только на отрезке [—1, 1] оси Оу. Пусть, например, известно, что y = sin x = а, где . Сколько значений х можно найти из последнего уравнения? На рис. 127 видно, что существует
бесконечно много значений аргумента , обладающих тем свойством, что , где i = 1, 2, …

Для того чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции у = sin x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший отрезок оси Ох, на котором функция y = sin x или монотонно возрастает, или монотонно убывает (см. п. 35). Функция у = sin х монотонно возрастает от —1 до +1, например, на отрезке и вообще на любом отрезке вида

где k = 0, ±1, ±2,… Она монотонно убывает от +1 до —1 на любом отрезке вида

где k = 0, ±1, ±2, …

На всей оси Ох функция y = sin x обратной (однозначной) функции не имеет. На каждом же из отрезков монотонности функция y = sin x имеет обратную функцию. Остается теперь зафиксировать какой-либо из этих отрезков. В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция у = sin x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок . Итак, рассмотрим функцию y = sin x: на отрезке . На этом отрезке функция y = sin x монотонно возрастает, принимая все значения от —1 до +1. Следовательно, для любого из отрезка [—1, 1] оси Оу найдется, и притом только одно, значение из отрезка оси Ох такое, что , т. е для функции у = sin х на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция которую условились называть арксинусом и обозначать так х = arcsin у. Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать

Пример:

Найти а = arcsin (1/2).

Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от до , синус которого равен 1/2.

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен 1/2, например: , , , и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке . Таким аргументом будет . Итак,

Пример:

Найти .

Решение:

Рассуждая так же, как и в примере 1, получим

По общему правилу (см. п. 35) график обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I—III координатных углов (рис. 21).

Свойства функции у = arcsin х (рис. 128).

1) Область определения: отрезок [—1, 1].

2) Область изменения: отрезок .

3) Функция у = arcsin х нечетная: arcsin (—x) = — arcsin х.

4) Функция y = arcsin х монотонно возрастающая.

5) График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

6)

Перечисленные свойства вытекают из свойств функции у = sin x на отрезке .

Функция y = arccos x (арккосинус)

Функция у = cos x определена на всей оси Ох () и изменяется в отрезке [—1, 1] оси Оу (). Если мы поставим вопрос об определении тех х, при которых y = cos x = a, где — , то увидим, что эта задача решается неоднозначно.

На рис. 129 видно, что существует бесконечно много значений аргумента х (), обладающих тем свойством, что i = 1, 2, … Для того чтобы мы могли ввести функцию, обратную по отношению к функции у = cos x, нам нужно взять наибольший отрезок оси Ох, на котором она или монотонно возрастает, или монотонно убывает (см. п. 35). Функция y = cos x монотонно возрастает от —1 до +1 на любом отрезке вида , где k = 0, ±1, ±2, …; она монотонно убывает от +1 до —1 на любом отрезке вида , где k = 0, ±1, ±2, …

В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция у = cos x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок . На этом отрезке функция у = cos х монотонно убывает, принимая все значения от +1 до —1. Следовательно, для любого из отрезка оси Оу найдется, и притом только одно, значение из отрезка такое, что , т. е. для функции у = cos x на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арккосинусом и обозначать так: x = arccos y. Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать:

Пример:

Найти .

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от 0 до , косинус которого равен .

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен , например: , , , и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в отрезке . Таким аргументом будет . Итак, .

Пример:

Найти .

Решение:

Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим .

График функции у = arccos х симметричен с графиком функции у = cos x относительно биссектрисы I—III координатных углов (см. рис. 21 в п. 35).

Свойства функции у = arccos х вытекают из соответствующих свойств функции у = cos x на отрезке и видны из графика на рис. 130.

Перечислим эти свойства:

1) Область определения: отрезок [-1, 1].

2) Область изменения: отрезок .

3) Функция у = arccos х ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество

4) Функция у = arccos х монотонно убывающая.

5) График пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке .

6) на всем отрезке [—1, 1].

Функция y = arctg x (арктангенс)

Рассмотрим функцию y = tg x. Область определения этой функции — вся ось Ох, за исключением точек вида

и область изменения значений — вся ось Оу. Об обратной функции (по отношению к функции у = tg x) можно уже говорить для всей оси Оу. Задача нахождения х из уравнения tg х = а и здесь имеет бесчисленное множество решений. На рис. 131 видно, что существует бесконечно много значений аргумента таких, что , где i = 1, 2, …

Для того чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = tg x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором она монотонно возрастает. Функция у= tg x монотонно возрастает от до , например, на интервале и вообще на любом интервале вида , где k = 0, ±1, ±2,… В качестве интервала оси Ох, на котором рассматривается функция у = tg x и обратная к ней функция, берут обычно интервал . На этом интервале функция у = tg x монотонно возрастает, принимая все значения от до . Следовательно, для любого , лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение из интервала такое, что , т. е. для функции y = tg x на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арктангенсом и обозначать так: х = arctg у. Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать:

Пример:

Найти .

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от до тангенс которого равен .

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен , например: , , и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале . Таким аргументом будет . Итак,

Пример:

Найти .

Решение:

Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим .

График функции у = arctg х симметричен с графиком функции y = tg x относительно биссектрисы I — III координатных углов (см. рис. 21 в п. 35).

Свойства функции у = arctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = tg x на интервале и видны из графика на рис. 132.

Перечислим эти свойства:

1) Область определения: x — любое действительное число.

2) Область изменения: интервал .

3) Функция y = arctg х нечетная: arctg ( —x) =— arctg x.

4) Функция у = arctg x монотонно возрастающая.

5) График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

6) arctg x < 0 при и arctg x > 0 при .

7) Прямые и — горизонтальные асимптоты графика.

Функция y = arcctg x (арккотангенс)

Функция y = ctg x определена на всей оси Ох, за исключением точек вида , где n = 0, ± 1, ± 2, … Областью изменения се значений является вся ось Оу. Так же как и для функций, рассмотренных в пп. 130—132, существует бесконечно много значений аргумента , для которых , где i = 1, 2, … (рис. 133).

В качестве интервала оси Ох, на котором определяется обратная функция по отношению к функции у = ctg x, берут обычно интервал . На этом интервале функция у = ctg x монотонно убывает, принимая все значения от до . Следовательно, для любого , лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение из интервала такое, что , а это и значит, что на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую называют арккотангенсом и обозначают так: x = arcctg у. Меняя обозначение, будем писать:

Пример:

Найти .

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от 0 до , котангенс которого равен .

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен , например: , , и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале . Таким аргументом будет . Итак,

Пример:

Найти а = arcctg 1.

Решение:

Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим .

График функции у = arcctg x симметричен с графиком функции у = ctg x относительно углов (см. рис. 21 в п. 35). Свойства функции y = arcctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = ctg x на интервале и видны из графика на рис. 134.

Перечислим эти свойства:

1) Область определения: х — любое действительное число.

2) Область изменения: интервал .

3) Функция у = arcctg х ни четная и ни нечетная. Для нее выполняется тождество

4) Функция у = arcctg x монотонно убывающая.

5) График пересекает ось Оу в точке . К оси Ох при он приближается асимптотически (ось Ох является для него горизонтальной асимптотой при ). Прямая также служит асимптотой графика (при ).

6) arcctg x > 0 при любых х.

Пример:

Построим график функции .

1) Область определения: функция определена для х, удовлетворяющих неравенству

Последнее неравенство удовлетворяется при .

2) Область изменения значений функции: , так как .

3) Функция четная, так как .

4) Точки пересечения с осями координат:

а) с осью Оу (х = 0) функция не может иметь точек пересечения, так как она определена только при ;

б) с осыо Ох (у = 0) она пересекается в точках (—1, 0) и (1, 0) (нули функции), так как лишь при х = ±1.

5) Наименьшее и наибольшее значения функции в области определения. В силу четности функции достаточно ее исследовать для . Если х = 1, то y (1) = arccos 1 = 0. Если , то , следовательно, , причем . Итак, при х = 1 (и при x = —1) функция принимает наименьшее значение, равное нулю, а при (и при ) стремится к , оставаясь меньше . Ни при каком х не выполняется равенство , т. е. наибольшего значения наша функция не имеет.

6) Интервалы знакопостоянства: функция всюду в области определения неотрицательна, т. е. .

Для построения графика функции найдем некоторые опорные его точки, а затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции.

Так как функция четная, то достаточно построить ее график для , а затем продолжить его симметрично относительно оси Оу для . Составим таблицу значений функции (с точностью до 0,01) для некоторых «хороших» значений х с непостоянным шагом h.

Соединив полученные опорные точки плавной линией и учтя, что прямая является горизонтальной асимптотой при , мы получим график функции на бесконечном полуинтервале .

Продолжив его четным образом на бесконечный полуинтервал , мы получим график функции во всей области ее определения (рис. 135).

Операции над обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические операции: Рассмотрим некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями (первая группа формул).

1) y= sin (arcsin х). По определению

Пример 1. sin (arcsin 0,93) = 0,93.

2) у = cos (arccos х). По определению

Пример:

cos [arccos (— 0,79)] = — 0,79.

Следует подчеркнуть, что тождества (135.1) и (135.2) справедливы только в области определения (существования) арксинуса и арккосинуса, т. е. при . Например, нельзя писать sin (arcsin 1,2) = 1,2, ибо выражение arcsin 1,2 не имеет смысла.

На основании предыдущего заметим также, что функции

совпадают только в области определения арксинуса и арккосинуса, т. е. на отрезке [—1, 1] оси Ох. Вне этого отрезка последние две функции просто не существуют.

3) y = tg (arctg х). По определению

Пример:

tg (arctg 123) = 123.

4) y = ctg (arcctg x). По определению

Пример:

ctg [arcctg (— 987)] = — 987.

Функции y = x, y =tg (arctg x), у = ctg (arcctg x) совпадают на всей оси Ox.

5) у = sin (arccos x). Положив arccos x = a, получим cos a = x.

На основании формулы (100.3) будем иметь

т. е.

Мы взяли перед корнем знак « + » потому, что а = arccos х удовлетворяет неравенствам .

Пример:

6) у = cos (arcsin x). Положив arcsin x = а, получим sin a = x. На основании формулы (100.1) будем иметь

т. e.

Мы взяли перед корнем знак « + » потому, что угол а = arcsin х удовлетво-ряет неравенствам .

Пример:

7) На основании тождества tg а = 1 /ctg а имеем

Пример:

tg (arcctg (1/9)) = 9.

8) Ha основании тождества ctg a = 1/tg a имеем

Пример:

9) На основании формулы и предыдущих результатов полу чим еще формулу

Пример:

Аналогично предыдущему, можно доказать следующие формулы:

Пример:

Вычислить:

Решение:

На основании формулы (125.5) имеем

Знаменатель этой дроби преобразуем по формуле (123.2):

Окончательно найдем: А = 2b/а.

С помощью формул (135.1)—(135.16) получим ряд новых соотношений (вторая группа формул).

10) у = sin (2 arcsin х).

Обозначив arcsin x через а, будем иметь sin 2а = 2 sin а cos а, откуда

Мы воспользовались формулами (135.1) и (135.6). Итак,

Пример:

11) у = sin (2 arccos x). Имеем

Пример:

12) у = cos (2 arccos x). Аналогично предыдущему, будем иметь

Есть другие возможные случаи, аналогичные случаям 10) —12), можно вывести соответствующие формулы. Например:

Пример:

Проверить равенство

Решение:

Вычислим левую и правую части предполагаемого равенства. Обозначим arctg (1/7) через а, тогда tg a = 1/7. Далее, воспользовавшись формулой (122.2), получим

Обозначим arctg (1/3) через , тогда . Далее, на основании формул (119.1), (122.1) и (122.2) имеем

Следовательно, cos (2 arctg (1/7)) = sin (4 arctg (1/3)). Решая пример 13, мы попутно вывели еще две формулы:

Выведем теперь некоторые формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометрической функции (третья группа формул).

13) . Обозначив arccos x через а, будем иметь .Так как а = arccos x, то , следовательно, а/2 удовлетворяет неравенствам , поэтому перед корнем мы должны брать знак « + », и мы имеем

Пример:

14) . Аналогично предыдущему, можно вывести следующую формулу:

Пример:

Используя формулы сложения и полученные выше формулы, выведем еще ряд соотношений (четвертая группа формул).

15) А = sin (arcsin + arcsin у). На основании формул (116.1), (135.1) и (135.6) будем иметь

Итак,

Пример:

16) А = sin (arccos x + arccos у). На основании формул (116.1), (135.5) и (135.2) будем иметь

Итак,

Пример:

В этой группе формул можно образовать очень много различных соотношений. Запоминать все эти формулы не имеет смысла. В дальнейшем при решении примеров мы в каждом конкретном случае будем выводить ту или иную формулу.

Пример:

Вычислить:

Решение:

В общем виде наш пример можно записать так:

На основании формул (116.2), (135.24), (135.25), (135.21) и (135.22) будем иметь

В нашем конкретном случае x = 3/5 и у = —2. Следовательно,

Пример:

Вычислить:

где a > 0.

Решение:

В общем виде наш пример можно записать так:

На основании формул (117.3) и (135.12) будем иметь

где , и . В нашем случае и . Следовательно,

Окончательно получаем:

Операции сложения (вычитания)

Выведем теперь некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями.

Теорема:

Для всех х из отрезка [—1, 1] имеет место тождество

Доказательство:

По определению , и . Заметим, что . По формуле приведения имеем

Итак, аргументы arcsin x и заключены в отрезке , в котором синус монотонно возрастает от —1 до + 1, и имеют одинаковый синус, равный x. Следовательно, сами аргументы также равны, т. е. , откуда и получаем тождество (136.1).

Теорема:

Для всех имеет место тождество

Тождество (136.2) доказывается так же, как и тождество (136.1). Рекомендуем читателю провести это доказательство самостоятельно.

Аналогично предыдущему могут быть получены формулы для arcsin х + arcsin у, arccos x + arccos у, arctg х + arctg у и т. д. Мы не будем их выводить, а приведем ряд примеров, на которых покажем метод решения таких задач.

Пример:

Проверить, имеет ли место равенство

Решение:

Обозначим и . Заметим, что и , следовательно, . Найдем теперь . Согласно формуле (115.4) и формулам и. 135 имеем

Итак, , причем . Следовательно, . Если бы мы знали только, что , то отсюда еще нельзя было бы заключить, что , ибо, например, и . Здесь существенно то, что аргумент находится в интервале монотонности косинуса, а в интервале монотонности функция не может принимать одинаковые значения в различных точках интервала.

Пример:

Проверить, имеет ли место равенство

Решение:

Обозначим , и . Заметим, что , и . Следовательно, . Поэтому не может равняться . Интересно, что все же и . Проверим неочевидное равенство :

Итак, , но .

Пример:

Проверить, имеет ли место равенство

Решение:

На основании формулы (131.2)

Предполагаемое равенство (*) перейдет в равенство

Воспользовавшись формулой (136.1), получим

Обозначим , . Заметим, что

Если мы докажем теперь, что

то будет доказано равенство (**), а тем самым и предполагаемое равенство ():

Итак,

Следовательно, справедливо и равенство (*).

Пример:

Доказать, что

Решение:

Обозначим , , и . Заметим, что каждое из , заключено в пределах . Следовательно,

Если нам удастся доказать теперь, что , то предполагаемое равенство (*) будет доказано, ибо единственный аргумент в интервале , тангенс которого равен 1, есть . Заметим, что

и

Далее,

Следовательно, равенство (*) имеет место.

Пример:

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение:

Функция определена всюду, кроме х =—1. Обозначим и . Заметим, что и ; следовательно, . Теперь найдем

Итак, мы имеем и , а это возможно, если или . Равенство может иметь место только тогда, когда одновременно и , а эти последние неравенства выполняются, если одновременно и . Система неравенств

удовлетворяется, если . Если же , то . Итак,

График исследуемой функции изображен на рис. 136.

Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями

Функция у = arcsin (sin x)

Исследуем функцию y =arcsin (sin х) и построим ее график.

1) Область определения (существования): функция определена для всех x . Напомним еще раз, что х — число, a sin х — тригонометрическая функция числового аргумента.

2) Область изменения функции: из определения арксинуса следует, что .

3) Сформулируем словесно правило, определяющее у по заданному х: каждому значению аргумента х ставится в соответствие значение функции у из отрезка [], т. е. . такое, что sin y = sin х.

Пример:

Здесь и , ибо .

Пример:

Здесь , а , так как и . Ошибкой являлось бы утверж дение, что , ибо аргумент не попадает в отрезок .

4) Функция нечетна. В самом деле.

Следовательно,

5) Функция периодическая с периодом , так как sin х — периодическая функция с основным периодом

6) График функции y = arcsin (sin х) на отрезке .

а) При имеем

б) При получим

ибо

Итак,

Построив график функции у = arcsin (sin х) на отрезке [], мы его продолжаем симметрично относительно начала координат на отрезок [], учитывая нечетность данной функции. График функции, построенный уже на отрезке [], мы, используя периодичность данной функции, продолжаем на есю числовую ось. График функции у = arcsin (sin х) изображен на рис. 137.

Пример:

Найти а = arcsin (sin 2).

Решение:

Требуется найти угол а, лежащий в пределах от до , синус которого равен sin 2. Заметим, что если угол х удовлетворяет неравенствам , то равенство arcsin (sin х) = х справедливо. В противном же случае последнее равенство не имеет места. В нашем же случае . Применив формулу приведения, получим . Теперь уже угол удовлетворяет неравенствам , и поэтому можно писать:

Следовательно, .

Пример:

Вычислить:

Решение:

Воспользовавшись формулой , будем иметь

После этого получим

138. Функция y = arctg (tg x). Исследуем функцию y = arctg (tg x) и построим ее график.

1) Область определения (существования): функция определена для всех x, за исключением , где n = 0, ±1, ±2, …

2) Область изменения функции: из определения арктангенса следует, что .

3) Каждому значению х из области определения данной функции ставшей в соответствие значение функции и находящееся в интервале (), такое, что tg y = tg х.

Пример:

y= aictg (tg () = . Здесь х = и у = , ибо .

Пример:

Здесь , а , ибо и . Ошибкой являлось бы утверждение, что , так как аргумент не попадает в интервал ().

4) Функция нечетна, так как tg (—x) = — tg x и arctg(—u) = — arctg u. Следовательно, arctg (tg (—x)] = — arctg (tg x).

5) Функция периодична с периодом , так как tg х —периодическая функция с периодом .

6) График функции y = arctg (tg x) на интервале . В левом конце интервала , т. е. при х = 0, функция определена и равна 0, так как y (0) = arctg (tg 0) = arctg 0 = 0. В правом же конце интервала , т.е. при , функция не определена, ибо при не существует tg х. Следовательно, функция у = arctg (tg x) определена на полуоткрытом отрезке , т. е. при . На этом полуоткрытом отрезке y = arctg (tg x) = x. При и . График функции у = arctg (tg x) изображен на рис. 138.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат