Операции над векторами с примерами решения и образцами выполнения

Под операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

1). Сложение векторов

Пусть и — два произвольных вектора.

Сумму векторов можно найти по следующим правилам:

• Правило треугольника

Выберем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (рис. 5.5).

• Правило параллелограмма

Выберем произвольную точку и отложим от нее векторы и . Достроим фигуру до параллелограмма. Тогда вектор , исходящий из вершины в противоположную вершину , является суммой векторов и : (рис. 5.6.).

• Правило многоугольника:

Для нахождения суммы трех и более векторов используют правило многоугольника. Выберем произвольную точку и построим вектор . От конца первого вектора откладываем второй вектор, от конца второго — третий и т.д. Суммой нескольких векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего. Например, на рисунке 5.7. построена сумма трех векторов:

2). Вычитание векторов.

Под разностью векторов и понимается вектор , равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору : (рис. 5.8.).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью (рис. 5.9.).

3). Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число называется вектор (или ), который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .

Например, если дан вектор , то векторы и будут иметь вид (рис. 5.10):

Линейные операции над векторами обладает следующими свойствами:

1. — свойство коммутативности,
2. — свойство ассоциативности,
3. 
4. 
5. 
6. .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Критерий Кронеккера-Капелли совместности систем линейных уравнений.

Понятие вектора. Виды векторов.

Скалярное произведение векторов.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве.

Глава I

Операции над векторами

Величины, значения которых могут быть выражены действительными числами, называются скалярами.

Вектором называется величина, определяемая числовым значением и направлением в пространстве (рис. 1.1).

Обозначается вектор различными способами: и т.д.

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Единичным вектором называется вектор, длина которого
равна единице.

Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен
нулю, а направление не определено.

Два вектора называются равными, если равны их модули и
совпадают направления.

Свободные векторы получаются из данного вектора путем
параллельного переноса.

Скользящие векторы получаются из данного вектора путем
переноса вдоль прямой, на которой лежит вектор .

Связанные векторы — это векторы, которые нельзя переносить,
например, по физическим причинам.

Умножение вектора на скаляр

Если — действительное число и — вектор, то произведение
также является вектором с длиной и направлением, совпадающим с направлением вектора при и противоположным при При произведение является нулевым вектором. На рис. 1.2 показаны векторы, полученные умножением вектора на -1 и 2.

Сложение векторов

Сумма двух векторов и является третьим вектором,
получающимся при параллельном переносе вектора так, что его
начало совпадает с концом вектора , начало суммарного вектора
совпадает с началом вектора , а конец суммарного вектора
совпадает с концом вектора (правило треугольника). На рис. 1.3
приведен пример сложения двух векторов.

Сумма нескольких векторов является некоторым
вектором который замыкает ломаную, состоящую из (рис. 1.4).

Разность векторов представленная на рис. 1.5 рассматривается как сумма векторов и

Справедливы равенства:

1. — переместительный закон.

2. — сочетательный закон.

3. — сочетательный закон.

4. — первый распределительный закон.

5. — второй распределительный закон.

6.

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов с действительными
коэффициентами называют вектор

Коллинеарными называют два вектора и , линейная
комбинация которых с некоторыми действительными числами и принимает вид причем и не равны одновременно нулю. Геометрический смысл: векторы и параллельны одной прямой.

Компланарными называют три вектора и линейная
комбинация которых с некоторыми действительными числами и принимает вид причем и не равны
одновременно нулю. Геометрический смысл: векторы и
параллельны одной плоскости.

Линейно независимыми векторами на плоскости называются два
вектора, если они не коллинеарные, а в трехмерном пространстве —
три вектора, если они не компланарные.

Два или три ортогональных (перпендикулярных) вектора являются линейно независимыми и образуют двойку или тройку
линейно независимых векторов.

Если три единичных взаимно перпендикулярных вектора
и образуют правую тройку векторов, то эти векторы
являются базой прямоугольной декартовой системы координат
(рис. 1.6).

Такие векторы называются ортами координат.

Система координат называется правой потому, что векторы
и имеют такую же ориентацию, как соответственно
большой, указательный и средний пальцы правой руки. Для
определения правого направления системы координат может быть
использовано правило правого винта: если винт вкручивается в ось Oz со стороны нуля, то отвертка вращается от х к у.

Вектор в прямоугольной декартовой системе координат
записывается в виде

где и —- прямоугольные декартовы координаты вектора
или проекции этого вектора на соответствующие оси.

Координаты точки

Дана прямоугольная декартова система координат (рис. 1.7). В этой системе координат каждой точке М однозначно соответствует вектор который называется радиусом-вектором точки
М. Декартовы координаты вектора отнесенные к и ,
называются декартовыми координатами точки М.

Умножение векторов

Скалярное произведение векторов и , обозначаемое есть скаляр где — угол между векторами и .

Пример:

Определить скалярное произведение векторов и
при и

Решение:

Пример:

Определить скалярное произведение между каждой
из орт и прямоугольной декартовой системы координат.

Решение:

Таким образом, скалярное произведение между каждой из орт и прямоугольной декартовой системы
координат равно нулю. ►

Пример:

Определить скалярное произведение любой из орт
и между собой прямоугольной декартовой системы координат.

Решение:

Для примера рассмотрим орту Для остальных орт
результат аналогичен. ►

Векторное произведение векторов и обозначаемое есть вектор имеющий длину (площадь параллелограмма, построенного на и как на сторонах) и направленный перпендикулярно к и , причем так, что векторы образуют правую тройку
векторов (рис. 1.8).

Пример:

Определить векторное произведение между каждой
из орт и прямоугольной декартовой системы координат.

Решение:

Для примера рассмотрим векторное произведение
между векторами и Для остальных сочетаний орт результат
аналогичен, ►

Произведения векторов обладают следующими свойствами:

1. —коммутативность;

— антикоммутативность.

2. —ассоциативность.

3. — дистрибутивность.

4. если и ортогональные; если и
коллинеарные.

5.

6.В общем случае

Смешанное произведение — это скаляр, равный объему
параллелепипеда, построенного на векторах и как на ребрах.

Пример:

Упростить выражения

Решение:

Выражения произведений векторов в прямоугольной декартовой системе координат

Пусть даны векторы:

Используя правила умножения векторов, можно показать
справедливость следующих формул:

■ для скалярного произведения

■ для векторного произведения

■ для смешанного произведения

Для векторного и смешанного произведений результаты
представлены в виде определителей.

Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D,
образованное из чисел (элементов), расположенных в квадратной таблице из n строк и n столбцов следующим образом:

При вычислении определителя n-го порядка его можно
разложить на сумму произведений всех элементов какой-либо
строки (или столбца), умноженных на соответствующие им
алгебраические дополнения, по формуле

где — элемент i-й строки (столбца) j-го столбца (строки);

— минор порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки (столбца) и j-го столбца (строки);

— алгебраическое дополнение.

Таким образом, определитель n-го порядка сводится к определителю (n-1)-го порядка, затем к определителю (n-2)-го порядка и т.д.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Пример:

Найти скалярное и векторное произведения векторов:

Решение:

Скалярное произведение векторов

Векторное произведение векторов находим по формуле

Разложим данный определитель по первой строке и найдем
векторное произведение:

Пример:

Найти смешанное произведение векторов:

Решение:

Смешанное произведение находим по формуле

Разложим данный определитель по первой строке и найдем
векторное произведение:

В n-мерной системе координат вектор может быть представлен в виде

где — проекции вектора на первую координатную
ось, вторую и т.д.;

— орты первой координатной оси, второй и т.д.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат