Преобразование иррациональных выражений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Иррациональными выражениями называют выражения, содержащие операцию извлечения корня. Другими словами, иррациональные выражения – это выражения с радикалами (выражения, содержащие в своей записи знаки корня).

Арифметический корень и его свойства

Определение арифметического корня: Пусть а—действительное число, a n — натуральное число, большее единицы. Поставим перед собой задачу: найти число х, такое, чтобы выполнялось равенство

Сначала рассмотрим конкретные примеры.

тогда равенство (1) принимает вид: откуда

тогда равенство (1) принимает вид: откуда

тогда равенство (1) принимает вид: что не выполняется ни при каком действительном значении х;

тогда равенство (1) принимает вид: откуда

Эти примеры показывают, что поставленная задача при четном имеет два решения, при нечетном n —одно решение, при четном ни одного решения.

Если задача имеет решение, т. е. равенство выполняется при некоторых значениях х, то эти значения x называются корнями n-й степени из числа а итак корень n-й степени из числа а—это такое число, n-я степень которого равна а.

Из рассмотренных выше примеров следует, что существуют два корня второй степени из числа 16 — это числа 4 и -4; существует один корень третьей степени из числа 27 —это число 3; не существует корня четвертой степени из числа —16; существует один корень пятой степени из числа —32—это число —2.

Рассмотрим случай отыскания корня n-й степени из неотрицательного числа. Можно доказать, что если и то существует и только одно неотрицательное число х, такое, что (доказательство проводится в курсе высшей математики; представление об этом доказательстве будет дано в следующей главе).

Арифметическим корнем n-й степени из положительного числа а называется такое положительное число, n-я степень которого равна а.

Для арифметического корня n-й степени из числа а принято обозначение Число а называется подкоренным числом или подкоренным выражением, n- показатель корня. Если то обычно не пишут а пишут просто и называют это выражение квадратным корнем. Часто вместо термина «корень» используется термин «радикал».

Согласно определению запись где означает, во-первых, что и, во-вторых, что т. е. Например,

Полагают также

Обратим внимание читателя на то, что, например,

Свойства арифметических корней

Условимся прежде всего о следующем: все переменные, которые встречаются в формулировках свойств и в примерах, рассматриваемых в настоящем и следующем пунктах, будем считать принимающими только неотрицательные значения. Кроме того, мы рассматриваем только арифметические корни, а потому каждый раз специально подчеркивать это не будем. Значит, мы будем писать: «корень n-й степени из неотрицательного числа», а читатель должен понимать, что речь идет об арифметическом корне.

1°. Корень n-й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, т. е.

Доказательство:

Мы знаем, что это такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает подкоренное выражение ab. Ясно, что — неотрицательное число. Значит, если мы покажем, что то это и будет обозначать, что

Итак, рассмотрим выражение По свойству 1° степени с натуральным показателем (стр. 45) имеем

Так как то получаем

Пример. Вычислить

Решение. По свойству 1° имеем

и далее,

2°. Корень n-й степени из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, т. е.

Пример:

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 1°.

3°. Чтобы возвести корень n-й степени в натуральную степень k, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение и из полученного результата извлечь корень n-й степени, т. е.

Пример:

Доказательство:

По определению корня это такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в n-ю степень, дает Поэтому нам достаточно показать, что

По свойству 3° степени с натуральным показателем (стр. 45) имеем

Так как то получаем т. е.

4°. Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить без изменения, т. е.

Пример:

Доказательство:

значит,

5°. Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т. е.

Пример:

Доказательство:

По определению корня это такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в степень mn дает Значит, достаточно показать, что

По свойству 3° степени с натуральным показателем имеем

Значит,

Примеры:

Извлечь корень из произведения:

Решение:

а) Применив свойство 1° арифметических корней, получим:

Напомним, что мы в начале рассматриваемого пункта условились считать все переменные принимающими только неотрицательные значения. Не будь этого соглашения, мы не имели бы права писать так как при это неверно; то же относится и к равенству

2. Извлечь корень из дроби

Решение:

а) Обратим смешанное число в неправильную дробь: свойству 2° получаем

б) воспользовавшись свойствами 2° и 1°, получим

3.Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

а) Представим подкоренное выражение в виде и применим к полученному произведению свойство 1° арифметических дробей:

Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования —упрощение подкоренного выражения;

В некоторых случаях оказывается полезным преобразование, в определенном смысле обратное только что рассмотренному, а именно: внесение множителя под знак корня. Пусть, например, нужно выяснить, какое из чисел больше: или Рассмотрим число Внесем множитель 2 под знак корня —это достигается с помощью следующего преобразования:

Сделаем аналогичное преобразование числа

Так как

4.Ввести множитель под знак корня:

Решение:

В рассмотренных примерах мы пользовались только определением корня и свойствами 1° и 2°. Рассмотрим теперь примеры использования свойств 3° и 4°.

5.Выполнить действия:

Решение:

а) По свойству 3° имеем

Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак корня. Имеем:

6.Выполнить действия:

Решение:

а) По свойству 4° арифметических корней имеем

б) преобразуем выражение внеся множитель под знак корня:

Далее имеем

Рассмотрим, наконец, примеры, в которых используется свойство 5°.

7.Упростить выражения:

Решение:

а) По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом примере разделить указанные показатели на 3, то получим

8.Упростить выражения:

Решение:

а) Из свойства 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения, из полученного результата извлечь корень той же степени; значит,

в) выше мы видели, как перемножить корни одной и той же степени. В данном же примере требуется перемножить корни с различными показателями. Значит, прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5°, можно показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число; поэтому

Далее имеем

А теперь разделим в полученном результате показатели корня и подкоренного выражения на 3:

г) приведем радикалы к одному показателю. Для этого, очевидно, нужно найти наименьшее общее кратное чисел 10 и 15; Значит, нам нужно показатели корня и степени подкоренного выражения для первого из перемножаемых радикалов умножить на 3, а для второго—на 2; получим

д) НОК чисел 4, 6, 10 равно 60, поэтому приведем все радикалы к показателю 60:

и далее

Тождество

Ответим на такой вопрос: если переменная а принимает как неотрицательные, так и отрицательные значения, то чему равен

Если Но значит можно считать, что при справедливо равенство

Если и речь, следовательно, идет об арифметическом корне второй степени из положительного числа Здесь могут представиться два случая: Если например, Если же то например,

Итак, можно записать, что

Но точно так же определяется модуль действительного числа

Таким образом, Например,

Вообще, если n — четное число, т.е. то

Так, если в рассмотренных примерах 1, а) и б) снять требование неотрицательности значений переменных, то решение примера выглядело бы следующим образом:

• 

Дополнительные замечания о свойствах радикалов

Рассмотренные пять свойств арифметических корней, т. е. пять свойств радикалов безоговорочно верны для неотрицательных подкоренных выражений. Но при решении примеров на действия с радикалами нужно иметь в виду возможность отрицательных значений переменных, содержащихся под знаками радикалов.

Пусть а и b — отрицательные числа, а n — четное число. В этом случае написать нельзя, так как правая часть такого «равенства» не имеет смысла (например, нельзя написать Здесь можно рассуждать так: а и b—отрицательные числа, следовательно, Но тогда значит,

Так как то, применив свойство 1° арифметических корней, получим

Итак, если n —четное число, а числа а и b имеют одинаковые знаки, то

и аналогично

Очень внимательно следует относиться к свойству 5°. Пусть, например, нужно упростить выражение Если разделить показатели корня и подкоренного выражения на 2, то придем к выражению не имеющему смысла, так как под корнем четной степени содержится отрицательное число. Верное равенство в данном случае выглядит так:

В самом деле, и, следовательно,

Обобщение понятия о показателе степени

Постановка задачи: Напомним определение степени с натуральным показателем и ее свойства.

Определение

Основные свойства степени

В последующих пунктах речь пойдет об определениях степени с любым рациональным показателем.

Сначала мы определим степень с положительным дробным показателем, далее степень с нулевым показателем и затем степень с отрицательным рациональным показателем. Ясно, что ни на один из этих случаев не переносится данное выше определение, например нельзя определить как произведение числа а самого на себя 3/5 раза. Поэтому каждый раз придется вводить новое определение. При выборе нового определения мы будем руководствоваться требованием, чтобы на новый случай степени распространялись свойства, аналогичные свойствам 1°—5°, перечисленным выше.

Степень с положительным дробным показателем

Пусть Надо определить так, чтобы выполнялось, например, равенство т. е. чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались. Но это равенство возможно лишь в случае, когда Возникает вполне естественная мысль: определить Но будет ли такое определение удачным, т. е. будут ли при таком определении выполняться свойства, аналогичные свойствам 1°—5°? Проверим это.

Доказательство. Согласно предложенному определению степени с положительным дробным показателем имеем: Значит, Воспользовавшись свойствами радикалов, приведем радикалы к одному показателю и выполним умножение:

Далее имеем значит,

Доказательство:

Воспользуемся свойствами возведения радикала в степень и извлечения корня из корня:

Аналогично можно показать, что будут выполняться свойства:

Итак, при предложенном определении степени с положительным дробным показателем основные свойства степени выполнены. Значит, определение удачно и его можно принять.

Определение:

Если

Например, так как так как

На практике при выполнении действий над радикалами довольно часто переходят к дробным показателям.

Примеры:

Выполнить умножение:

Решение:

2.Разложить на множители

Решение:

Первый способ:

Второй способ:

Степень с нулевым показателем

При выборе определения мы также будем руководствоваться требованием, чтобы на случай степени с нулевым показателем распространялись свойства 1°—5° степени с натуральным показателем (впрочем, теперь мы уже вправе говорить о распространении свойств степени с положительным рациональным показателем). В частности, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели должны складываться, т. е. должно выполняться равенство

так как (n—натуральное число). Это равенство при возможно лишь в случае, когда Поэтому возникает мысль определить как 1. Нетрудно проверить, что при таком определении выполняются свойства, аналогичные свойствам 1° — 5° степени с натуральным показателем, значит, определение можно принять.

Определение:

Если

Например,

Степень с отрицательным рациональным показателем

Пусть положительное рациональное число. Надо определить так, чтобы, например, выполнялось равенство

Так как то равенство (1) возможно лишь, если определить Нетрудно показать , что при таком определении будут выполняться свойства, аналогичные свойствам 1°—5°.

Покажем, например, что

В самом деле,

Остальные свойства проверяются аналогично.

Определение:

Если

Например,

Замечание:

Если r—целое число, то полагают а и в случае, когда а < 0.

Степень с любым рациональным показателем

Мы определили понятие степени с любым рациональным показателем. Эта степень обладает следующими свойствами (мы полагаем а > 0, b > 0, — произвольные рациональные числа):

Заметим, что после введения нулевого и отрицательного показателей мы имеем право в свойстве 2° не делать оговорки, что

Тождественные преобразования иррациональных выражении

Тождественно равные выражения на данном множестве: По определению (стр. 47) тождественно равными выражениями называются такие, у которых все соответственные значения равны. Согласно этому определению выражения и а не являются тождественно равными. Действительно, пусть тогда т. е. равенство не является тождеством.

Однако на множестве всех неотрицательных чисел все соответственные значения выражений и а равны и равенство называют тождеством на этом множестве.

Определение:

Два выражения называются тождественно равными на данном множестве, если на этом множестве они имеют смысл и все их соответственные значения равны.

Например, выражения тождественно равны на множестве Легко видеть, что где TV, — множество, на котором определено выражение множество, на котором определено выражение

Тождественные преобразования иррациональных выражений

Выражение с переменными называется иррациональным, если оно содержит извлечение корня из переменной или возведение переменной в дробную степень.

Тождественные преобразования иррациональных выражений выполняются, как правило, на множестве неотрицательных чисел. Это вытекает из введенных ранее определений. Например, сократим дробь При выражение а — 4 можно представить в виде разности квадратов выражений а затем сократить дробь:

Проделанное нами тождественное преобразование выполнено на множестве неотрицательных чисел, т. е. при В дальнейшем мы будем это подразумевать и специально не оговаривать.

Примеры:

Выполнить действия:

Решение:

Здесь целесообразно применить прием избавления от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на (это выражение называется сопряженным для

Аналогично поступим со второй дробью (теперь выражением, сопряженным для знаменателя, является

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе третьей дроби, умножим числитель и знаменатель этой дроби на

Таким образом, имеем

2.Выполнить действия:

Решение:

Прежде всего подумаем, нельзя ли сократить первую дробь. Выражение, стоящее в числителе, можно преобразовать так:

поэтому:

Далее имеем:

Таким образом, последовательное сокращение дробей при тождественных преобразованиях иррациональных выражений обеспечивает достаточную простоту решения. Проиллюстрируем эту мысль еще на одном примере.

3.Упростить выражение

Решение:

Попытка привести дроби, стоящие в числителе, к общему знаменателю без предварительных сокращений этих дробей приведет решение к неоправданному усложнению. Поэтому в первую очередь надо сократить эти дроби, а затем произвести указанные действия:

Идея сокращения дробей лежит и в основе тождественных преобразований выражений, содержащих степени с рациональными показателями.

4.Доказать тождество

Решение:

Подчеркнем, что проделанные нами в примере 4 тождественные преобразования выполнены на множестве положительных чисел, т. е. при

Иногда множество, на котором выполняются преобразования, имеет более сложную природу. Поясним это на следующем примере.

5.Упростить выражение

Решение:

Рассмотрим выражение Оно преобразуется к виду Замечаем, что Итак, Аналогично

После этих наблюдений мы можем заданное выражение переписать в виде

Выше мы отмечали, что поэтому

По смыслу примера имеем (заданное выражение содержит Значит, а потому Таким образом, мы приходим к выражению

Теперь нужно рассмотреть два случая: В первом случае а во втором

Ответ:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат