Скалярное произведение векторов и его свойства с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Определение скалярного произведения:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов Скалярное произведение векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается Скалярное произведение векторов (или ). Итак, по определению,

где Скалярное произведение векторов

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как Скалярное произведение векторов (см. рис. 14), то получаем:

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения

1.Скалярное произведение обладает переместительным свойством: Скалярное произведение векторов

И так как Скалярное произведение векторов как произведение чисел и

2.Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: Скалярное произведение векторов

3.Скалярное произведение обладает распределительным свойством: Скалярное произведение векторов

4.Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: Скалярное произведение векторов

В частности: Скалярное произведение векторов

Если вектор Скалярное произведение векторов возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т. е.

Пример:

Найти длину вектора

Решение:

5.Если векторы Скалярное произведение векторов (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если Справедливо и обратное утверждение: если

Так как

Следовательно,

Отсюда Скалярное произведение векторов В частности:

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

т. e.

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Пример:

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин A(-4;- 4; 4), В(-3;2;2), С(2;5;1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны.

Решение:

Составим вектора Скалярное произведение векторов лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: Найдем скалярное произведение этих векторов:

Отсюда следует, что Скалярное произведение векторов Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Определение угла ( Скалярное произведение векторов между ненулевыми векторами

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов Скалярное произведение векторов

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора Скалярное произведение векторов на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы Скалярное произведение векторов , образующей угол с перемещением (см. рис. 15).

Из физики известно, что работа силы Скалярное произведение векторов при перемещении равна

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример:

Вычислить работу, произведенную силой Скалярное произведение векторов =(3; 2; 4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения A(2; 4; 6) в положение В (4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена сила Скалярное произведение векторов ?

Решение: Находим Скалярное произведение векторов Стало быть,

(ед. работы).

Угол Скалярное произведение векторов между и находим по формуле т. е.

Скалярное произведение векторов

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Проекции	Векторное произведение
Координаты в пространстве	Переменные векторы. Вектор-функции и их дифференцирование

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: