Оглавление:
Определение скалярного произведения:
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается (или
). Итак, по определению,
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43675.png)
где
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как (см. рис. 14),
то получаем:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43710.png)
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения
1.Скалярное произведение обладает переместительным свойством:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43769.png)
И так как как произведение чисел и
2.Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43802.png)
3.Скалярное произведение обладает распределительным свойством:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43811.png)
4.Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43822.png)
В частности:
Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль
, т. е.
Пример:
Найти длину вектора
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43873.png)
Решение:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43922.png)
5.Если векторы (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если
Справедливо и обратное утверждение: если
Так как
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43952.png)
Следовательно,
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43954.png)
Отсюда В частности:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43965.png)
Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43995.png)
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-43999.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44003.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44005.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44012.png)
т. e.
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44013.png)
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример:
Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин A(-4;- 4; 4), В(-3;2;2), С(2;5;1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны.
Решение:
Составим вектора лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44033.png)
Отсюда следует, что Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла ( между ненулевыми векторами
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44070.png)
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44074.png)
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором
, может осуществляться по формуле
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы , образующей угол
с перемещением
(см. рис. 15).
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44826.png)
Из физики известно, что работа силы при перемещении
равна
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44825.png)
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример:
Вычислить работу, произведенную силой =(3; 2; 4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения A(2; 4; 6) в положение В (4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена сила
?
Решение: Находим Стало быть,
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44829.png)
(ед. работы).
Угол между
и
находим по формуле
т. е.
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-44831.png)
Скалярное произведение векторов
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_1-61.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_2-58.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_3-55.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_4-45.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_5-41.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_6-32.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_7-24.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_8-18.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_9-16.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_10-14.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_11-14.png)
![Скалярное произведение векторов](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_12-11.png)
Смотрите также:
Проекции | Векторное произведение |
Координаты в пространстве | Переменные векторы. Вектор-функции и их дифференцирование |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат