Комплексные числа в высшей математике с примерами решения и образцами выполнения

Число вида a+bi, где а и b — вещественные числа, называется комплексным числом; в нём а называется вещественной частью, bi — мнимой частью. При а=0 оно обращается в чисто мнимое число bi ; при b=0 получим число a+0‧t, которое рассматривается как вещественное число а.

Комплексные числа вида a+bi и а — bi называются сопряжёнными. Комплексные числа вида a+bi и —а— bi называются противоположными.

Определение:

Два комплексных числа a+bi и a’+b’i считаются равными в том и только в том случае, если
а=а’ и b=b’.

Из этого определения вытекает, что комплексное число a+bi равно нулю тогда, и только тогда, если α=0 и b=0.

В самом деле вещественное число 0 может быть представлено в виде комплексного числа так: 0 + i0. На основании предыдущего определения, равенство α + bi =0+i0 будет иметь место только лишь при условии α=0 и b=0.

Замечание:

Относительно комплексных чисел не принято никакого соглашения, какое из них считать больше другого.

Что называют комплексным числом

История возникновения числовых множеств и самым тесным образом связана с необходимостью решения алгебраических уравнений. Например, возникновение множества целых чисел стимулировалось необходимостью решать уравнения первой степени вида где В свою очередь, множества недостаточно для решения уравнений вида где так возникли рациональные числа. Последних недостаточно для решения уравнений степени выше первой, например, уравнения это привело к возникновению иррациональных чисел и, как следствие, к понятию вещественного числа.

Естественен вопрос: достаточно ли множества вещественных чисел для решения произвольных алгебраических уравнений

с вещественными коэффициентами? Ответ: недостаточно. Простой пример — уравнение или любое другое квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Необходимость решения уравнений вида (4.1) привела к возникновению чисел новой природы — так называемых комплексных чисел.

Комплексным числом называют выражение символ называют мнимой единицей и по определению полагают

Числа и — суть вещественная и мнимая части комплексного числа и их обозначают и Комплексные числа и называют комплексно сопряженными. Множество комплексных чисел обозначим через С. Каждое вещественное число можно рассматривать как комплексное число вида ; другими словами число является вещественным, если В этом смысле имеет место включение Комплексное число вида называют чисто мнимым; другими словами, число является чисто мнимым, если

Для пары комплексных чисел и определим понятие равенства и основные арифметические операции:

Эти равенства получаются в результате несложных арифметических преобразований с учетом соотношения

Комплексная плоскость

В геометрической интерпретации комплексные числа удобно представлять как векторы на так называемой комплексной плоскости с началом координат в точке О и ортогональными вещественной и мнимой осями (рис. 5).

Вещественная ось — это обычная числовая ось, а мнимую ось можно трактовать как умноженную на вещественную ось или как множество всех чисто мнимых чисел.

Легко видеть, что соответствие между множеством всех комплексных чисел С и всех точек комплексной плоскости взаимно однозначно и потому С отождествляется с .

Таким образом, комплексное число можно рассматривать как вектор При этом операции сложения и вычитания комплексных чисел совпадут с аналогичными операциями для векторов.

Положение числа на комплексной плоскости можно также определить длиной вектора и углом между положительным направлением вещественной оси и вектором (угол измеряется в радианах и считается положительным, если откладывается против часовой стрелки и отрицательным в противном случае). Число называют модулем и обозначают , а угол — аргументом комплексного числа и обозначают . Ясно, что Поэтому

Зная модуль числа , аргумент несложно найти из равенств:

Отметим следующее:

• Для полагают , а в качестве аргумента можно брать любой угол.

• Аргумент определяется неоднозначно, а именно, если — какой-либо аргумент числа , то все углы вида при также будут его аргументами. В связи с этим условимся через обозначать аргумент числа , удовлетворяющий неравенствам , а через — выражение вида при .

Пример 4.1. Найти модуль и аргумент числа Имеем Далее, так как и , то

Показательная форма записи комплексных чисел

Левую и правую части равенства (4.2) называют, соответственно, алгебраической и тригонометрической формой записи комплексного числа . В приложениях часто более удобна так называемая показательная форма. С целью введения такой формы определим понятие возведения числа (с. 11) в комплексную степень посредством формулы

В последующих разделах выражению (4.3) будет дано строгое обоснование. Сейчас же ограничимся указанием его свойств:

проверка которых сводится к применению известных тригонометрических формул. Таким образом, выражение (4.3) имеет обычные свойства степени.

При формула (4.3) принимает вид

и называется формулой Эйлера. Из (4.5) и (4.2) следует равенство

называемое показательной формой записи комплексного числа .

Пользуясь формой (4.6) получим простые правила произведения, деления и возведения в степень комплексных чисел. Пусть Тогда из (4.4) следуют равенства:

Равенство (4.9) называют формулой Муавра.

Пример:

Вычислить Значения модуля и аргумента найдены в примере 4.1: Тогда из (4.9) получим

Пример:

Найти Иными словами, требуется найти все числа такие, что Пусть искомое будем искать в виде Тогда следовательно, во-первых, во-вторых, Таким образом, Хотя таких значений имеется бесконечно много, однако существенно различных ровно :

остальным целым числам отвечают значения , отличающиеся от одного из значений (4.10) на величину, кратную .

• Мы доказали, что ненулевое комплексное число имеет различных корней степени , записываемых в виде

где определяются равенствами (4.10).

Основная теорема алгебры

Вернемся к рассмотрению уравнения (4.1). Будем считать, что его коэффициенты являются комплексными числами, — переменная, принимающая комплексные значения.

Имеет место основная теорема алгебры, заключающаяся в том, что уравнение (4.1) имеет по меньшей мере один комплексный корень.

Обозначим через левую часть уравнения (4.1). Пусть — корень уравнения (4.1), т. е. Известна теорема Безу, гласящая, что в этом случае имеет место равенство , в котором многочлен имеет степень Но многочлен в силу основной теоремы алгебры также имеет по крайней мере один корень. Продолжая эти рассуждения, придем к равенству

Где Итак, многочлен имеет ровно корней с учетом их кратности.

Если является многочленом с вещественными коэффициентами и — его комплексный корень, то комплексно сопряженное к нему число также является корнем многочлена. Поэтому в (4.11) встретится произведение Нетрудно видеть, что это произведение представимо в виде Таким образом, для многочленов с вещественными коэффициентами формула (4.11) примет вид

где числа вещественные, причем

Мнимые числа

Мы уже говорили раньше, что к мнимым числам приводит извлечение корня чётной степени из отрицательного числа.

Мы будем говорить только о квадратном корне из отрицательного числа.

Принято обозначать мнимое число буквой i (начальная буква французского слова imaginaire, что значит мнимый) и называть мнимой единицей. Естественно допустить, что i²= —1 и . Всякое мнимое число может быть выражено в виде произведения i на некоторое действительное число. Например, . Вообще.

Действия над комплексными числами

Над комплексными числами условимся производить алгебраические действия и преобразования по тем же правилам, по каким они производятся над числами вещественными, принимая всегда

Это положение служит основой при операциях над комплексными числами. Чтобы произвести какое-нибудь действие над комплексными числами вида a +bi, надо произвести действия над двучленами такого вида по тем правилам, которые выведены были для двучленов с вещественными членами, и, наконец, в результате заменить везде i² через —1.

Сложение

(a +bi)+(a₁ +b₁i) = ( a+ a₁)+(b + b₁)i;
(a +bi)+(a₁ +b₁i) + (a₂ +b₂i) = (α+a₁+a₂) + (b+b₁+ b₂)i.

Отсюда легко усмотреть, что сумма комплексных чисел обладает теми же свойствами, какие принадлежат сумме вещественных чисел, т. е. свойствами переместительным и сочетательным.

Вычитание

(a +bi) — (a₁ +b₁i) = (a — a₁)+(b + b₁)i.

Заметим, что сумма или разность двух комплексных чисел может оказаться числом вещественным; например, сумма сопряжённых комплексных чисел (a +bi)+(a — bi)=2a.

Умножение

(a+bi) (a₁+b₁ )= aa₁+ a₁bi +ab₁i + bb₁i²=
=(aa₁ — bb₁ )+(a₁b+ab₁).

Подобным образом можно составить произведение трёх и более комплексных чисел.

Заметим, что произведение двух сопряжённых комплексных, не равных нулю чисел (a+bi)(a-bi) равно положительному вещественному числу а²+b². Действительно:
(a+bi) (a-bi )= а²+abi — abi — b²i²,
но i²= —1; следовательно,
(a+bi) (а — bi)= а²+b².

Деление

Возвышение в степень

Предварительно найдём результаты от возвышения в степень мнимой единицы i, зная, что согласно условию i² должно принимать равным —1.

Мы получаем, таким образом, четыре чередующихся значения:
i; -1; —i; +1.

Заметим ещё, что i° принимается равным 1.

Теперь легко найдём результаты возвышения a+bi в степень с целым положительным показателем; так:
(a+bi )²=α²+2αbi+ b²i² =(α² — b²)+2abi.
(a+bi)³=a³ +3a² (bi)+3a(bi)² +(bi)³=(a³ — 3ab² ) + (3a²b — b³)i.

Извлечение квадратного корня

Положим, что

Тогда:
a + bi=(x² — y²)+2xyi.
Следовательно,

Вопрос приводится к нахождению вещественных корней этой системы. Возвысив оба уравнения в квадрат и затем сложив их, получим:

(Знак минус перед радикалом отброшен, так как при вещественных значениях x и у выражение x²+x² не может быть отрицательным). Возьмём последнее уравнение совместно с первым уравнением системы (1); складывая их и вычитая, получим:
и
и

Из второго уравнения системы (1) усматриваем, что знаки у х и у должны быть одинаковые, если b>0, и разные, если b<0. Поэтому:

Примеры:

1)


2)

3)

Замечание:

Извлечение корней более высокой степени мы не будем рассматривать.

Геометрическое изображение комплексного числа

Всякое комплексное число a+bi может быть изображено геометрически.

Возьмём в плоскости прямоугольную систему координат и, выбрав единицу длины (например, сантиметр), будем изображать вещественные числа по оси х-ов, а мнимые — по оси у-ов. Соответственно с этим ось х-ов называется вещественной осью, а ось у-ов — мнимой. Так, например (черт. 34),

точка N₁ изображает число + 1,75
„ N₂ „ „ -2,25
„ N₃ „ „ + 1,1i
„ N₄ „ „ — 225i

Число a+bi будем изображать точкой плоскости, абсцисса которой равна а, а ордината равна b. Так, например,

точка M₁ изображает число 0,9+1,3i
„ M₂ „ „ 0,9-1,75i
„ M₃ „ „ — 1,4 -1,1i
„ M₄ „ „ -1,8+2,25i
„ О „ „ 0+0i

Очевидно, что при данных координатных осях и при данной единице длины всякой точке плоскости соответствует одно и только одно комплексное число (в частном случае — вещественное или мнимое) и, наоборот, всякому комплексному числу соответствует одна и только одна точка плоскости. Таким образом, подобно тому как всякое вещественное число (как положительное, так и отрицательное, и нуль) может быть геометрически изображено точкой прямой линии (числовой оси), так и всякое комплексное число может быть геометрически представлено точкой плоскости.

Заметим, что отрезок от начала координат до точки, изображающей данное комплексное число a+bi, представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, у которого один катет равен а, а другой b. Значит, это расстояние численно равно эта величина называется модулем комплексного числа a+bi . Модуль числа, не равного нулю, всегда положителен.

Геометрическое представление комплексных чисел играет большую роль в некоторых отделах математики.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Изображение комплексных чисел при помощи точек на плоскости позволяет нам представить число a+bi в другом виде, именно в так называемой тригонометрической форме. Пусть (черт. 35) точка M изображает комплексное число a+bi . Тогда:
OA=a∙, AM=b. (1)

Обозначим расстояние OM точки M от начала координат через r, а угол AOM, образуемый OM с осью х-ов, через φ. Тогда из треугольника OAM имеем:
a=r cos φ; b=r sin φ. (2)

Подставив в комплексное число a+bi вместо а и b найденные выражения, получим:
a+bi =r cos φ+ir sin φ,
или
a+bi =r (cosφ +i sin φ). (3)

Это и есть тригонометрическая форма комплексного числа. Величина OM=r называется модулем комплексного числа, а величина угла AOM= φ —его аргументом.

Заметим, что модуль r, выражающий расстояние точки M от начала координат, является всегда числом положительным (только модуль нуля равен нулю).

Покажем, как комплексное число, данное в обычной алгебраической форме a+bi, представить в тригонометрической форме. Для этого мы должны найти r и φ, когда нам известны а и b. Но из треугольника OAM (черт. 35) имеем:
(4)

Таким образом, зная а и b, мы всегда сможем найти r и φ по формулам (4).

Пример:

Выразить число 5+12i в тригонометрической форме. По формулам (4) находим:

Остаётся по данному тангенсу найти угол φ . Наименьшим углом,
тангенс которого равен буде φ =67°23′. Но мы знаем,
что такую же величину тангенса имеет и угол 180°+ φ=247°23′.

Какой же из этих углов надо взять в данном случае? Чтобы установить это, посмотрим, какие знаки имеют sinφ и cosφ. Из (2) имеем:
(5)

Подставляя сюда значения α=5; b=12; r=13, получим:

т. е. синус и косинус положительны. Это значит, что угол находится в 1-й четверти и, следовательно, cρ = 67°23′. Теперь мы можем написать:
5+12i=13 (cos 67°23′ + i sin 67°23′).

Из тригонометрии известно, что и синус и косинус не изменяются, если к аргументу прибавить или от него отнять целое число раз по 360°. Поэтому полученное выражение мы можем записать в более общем виде:
5+ 12i = 13 [cos (67°23’+360°k)+i sin (67°23’+ 360°k)],
где k — любое целое число (в том числе и нуль).

Примечание:

Так как знаменатель r в выражениях (5) всегда число положительное, то знаки синуса и косинуса зависят только от знаков а и b. Поэтому в данном случае, видя, что а и b оба положительны, мы могли сразу заключить, что будут положительны и синус и косинус.

Пример:

Записать в тригонометрической форме число — 3+2i. По формулам (4) находим:

Тангенс отрицателен, следовательно, значение φ надо искать во 2-й или в 4-й четверти. Обращаясь к формулам (5), замечаем, что при а= — 3 и b=2 синус будет положителен, а косинус отрицателен, что имеет место во 2-й четверти. По таблицам находим φ=146°18′, значит:
.

Пример:

Представить в тригонометрической форме число 1—i.
Имеем:

Так как здесь a=1 >0, а b = — 1 < 0, то косинус положителен, а синус отрицателен, что имеет место в 4-й четверти. Отсюда находим φ=315° и можем написать:

Примечание:

Так как 315° = 360° — 45° и отсюда:
cos315°=cos (— 45°)= cos45°,
sin3150=sin (—45°) = — sin 45°,
то мы могли бы данное число записать и в такой форме:

Примечание:

Конечно, во всех примерах мы могли вместо градусного выражения аргумента пользоваться радианным. Так, полученное в примере 3 выражение мы могли бы записать и в таком виде:

Предлагается учащимся построить точки, заданные в примерах 1 — 3, по их данным координатам а и b и убедиться, что во всех случаях значения r и φ совпадают с вычисленными нами по формулам (4).

Пример:

Представить в тригонометрической форме действительное число m > 0.
Так как
m=m+0∙i,
то здесь α=m, b=0, и мы имеем:

Следовательно, φ=0°, и мы можем написать:
m=m(cos 0°+ sin0°)
или в общем виде:
m= m (cos 360°k+i sin 360°k).

Отсюда заключаем, что модулем положительного числа является само это число, а аргументом 0° (или 360°k).

Пример:

Представить в тригонометрической форме отрицательное число —m(m > 0).
Так как
— m=- m+0∙i ,
то здесь α= — m, b=0, и мы имеем:

Следовательно, φ = 180°, и мы получаем:
— m=m [cos 180° + i sin 180°]
или в более общем виде:
— m=m [cos (180° + 360°k) +i sin (180°+ 360°k)].

Отсюда заключаем, что модулем отрицательного числа является его абсолютная величина, а аргументом 180° (или в более общей форме: 180° + 360°k).

Поставим теперь обратную задачу: комплексное число, заданное в тригонометрической форме, представить в алгебраической форме.
Если число дано в тригонометрической форме, значит, даны значения r и φ. Но тогда по формулам (2) мы можем сразу вычислить а и b.

Пример:

Число 6 (cos 40° + i sin 40°) представить в алгебраической форме.
Имеем:
a=r cos φ=6 cos 40° =6 ∙ 0,766=4,596,
b=r sin φ=6 sin 40° = 6∙0,643=3,858,
и данное число запишется в виде:
4,596+3,858i.

Заметим, что значения φ в первых трёх примерах и значения а и b в последнем примере являются приближёнными, так как при их вычислении мы пользовались таблицами тригонометрических функций.

Пример:

Выразить в алгебраической форме число
4 (cos30°+ i sin30°);
так как , то сразу имеем:

Пример:

Выразить в алгебраической форме число
5 (cos 0° — i sin0°).
Так как
cos 0°=l, sin 0° =0,
то
5 (cos 0° + i sin0°)=5,
т. е. получили действительное число.

Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме

Все алгебраические действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме, совершаются по тем же правилам, как и с комплексными числами, выраженными в алгебраической форме. Это значит, что действия совершаются по правилам действий с многочленами, причём всегда принимается, что в частности

Сложение и вычитание комплексных чисел проще и удобнее производить, когда они даны в алгебраической форме. Совсем иначе обстоит дело с остальными четырьмя алгебраическими действиями.

Умножение

Пусть требуется перемножить числа:
m = R (cos α + i sin a),
n = r (cosβ + i sin β).

Будем иметь:
mn = Rr (cos a+ i sin a) (cos β+ i sin β). (1)

Ho
(cos a + i sin a) (cos β+ i sin β) = cos a cos β + sin a cos β+
+i cos a sin β + i² sin a sin β =
= (cos a cos β — sin a sin β) + i (sin a cos β + cos a sin β),
и равенство (1) примет вид:
mn = Rr [cos(a+β)+i sin(a+β)]. (I)

Таким образом, оказывается:
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Пример:

Пусть
m = 3 (cos 20°+ sin 20°),
m = 2 (cos 35° + sin 35°).
Тогда:
mn = 6 (cos 55° + i sin 55°).

Пример:

Пусть
m = 5 (cos 200° + i sin 200°),
n = cos 240 ° + i sin 240°.

Тогда:
mn = 5 (cos 440°+ i sin 440°) = 5 (cos 80° + i sin 80°).

Пример:

Пусть


Тогда:

Пусть требуется перемножить три числа:
m = r₁ (cos α + i sin a),
n = r₂ (cos β + i sin β),
p = r₃ (cos γ + i sin γ).

Перемножив первые два числа, мы согласно выведенной формуле (I) получим:
mn = r₁r₂ [cos (a+β) + i sin (a + β)]∙

Перемножая теперь числа mn и р, по той же формуле будем иметь:
mnp= r₁r₂r₃ [cos (a+β+γ) + i sin (a+β+γ)].

Пример:

Дано:
m₁ = 2 (cos 150° + i sin 150°),
m₂ = 3 (cos200° + i sin 200°),
m₃ = 5 (cos 10° + i sin 10°).

Тогда:
m₁ m₂ m₃ = 30 (cos 360° + i sin 360° ) = 30.

Совершенно очевидно, что умножение этих чисел в алгебраической форме потребовало бы гораздо больше вычислений и времени.

В общем случае, когда даны n чисел: m₁, m₂, …, mn, имеющих модули r ₁ , r₂ ,…, rn и аргументы φ₁ , φ₂ …, φn, мы получим:

Деление

Пусть требуется число
m = R (cos a+ i sin a)
разделить на число
n = r (cos β + i sin β).
Будем иметь:
(2)

Преобразуем вторую дробь, умножив числитель и знаменатель на cos β — i sin β (число, сопряжённое знаменателю). Получим:

Но так как i² = — 1, то знаменатель будет равен cos²β+sin²β= 1. Числитель мы можем записать так:
(cos a + i sin a) [cos ( — β) + i sin (— β)]
и, применив правило умножения комплексных чисел, получим:
cos (а — β) + i sin (а — β).
Подставив полученное выражение в (2), будем иметь:
(III)

Следовательно, мы можем сказать:
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

Пример:

Пусть
m=12 (cos 55° + i sin 55°),
n = 3 (cos 35° + sin 35°).
Тогда:

Пример:

Пусть

Тогда:

Возвышение в степень

Пусть требуется число
m = r (cos φ + i sin φ)
возвести в квадрат. Применяя выведенную выше формулу (1) для произведения, получим:
m² = [r(cos φ + i sin φ)]² ,
или
m² = r² (cos 2φ + i sin2φ).

Точно так же будем иметь:
m³ = (r(cos φ + i sin φ)]³ = r³ (cos 3φ+i sin 3φ).

Вообще, если имеем n сомножителей, равных
m = r (cos φ + i sin φ),
то, применяя формулу (II), получим:
(IV)

Модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

В частном случае, если r=1, то формула (IV) примет вид:

Эта формула носит название «формулы Муавра* по имени французского математика Муавра (1667—1754).

Пример:

Возвести в куб число
a = 2 (cos 20° + i sin 20°).

Будем иметь:
a³ = 8 (cos 60°+i sin 60°) =

Пример:

Возвести в 20-ю степень число

Представим сначала число т в тригонометрической формуле. Имеем:


(так как синус и косинус положительны, то угол берём в первой четверти).

Таким образом:
m = 1 (cos 60°+i sin 60°).
Отсюда:

Извлечение корня

а) Пусть требуется извлечь квадратный корень из числа
m = r(cos φ + i sin φ).

Обозначим через х и у модуль и аргумент искомого корня. Тогда:
(3)

Отсюда по правилу возведения в квадрат получим:
r (cos φ + i sin φ) = x²(cos 2y + sin 2у).

В таком случае по условию равенства двух комплексных чисел должно быть x² = r откуда .
2y = φ +360°k, откуда

Итак, корень квадратный из данного числа равен

Посмотрим, сколько различных значений корня мы получим, давая k значения 0, ±1, ±2 и т. д.

При k = 0 будем иметь:

При к = 1 получим:

Но

и мы можем корень n₂ записать в таком виде:

Отсюда заключаем, что n₂ = — n₁.
При k = 2 получим:

При k = 3 получим:

Очевидно, давая к значения 4, 5, 6 мы всё время будем получать значения, поочерёдно равные n₁ и n₂. То же будем иметь, давая к отрицательные значения.

Таким образом, квадратный корень из комплексного числа имеет два различных значения, которые по отношению друг к другу являются противоположными числами.

Пример:

Пусть
m = 16 (cos 60° + i sin 60°).
Тогда:
= 4 [cos (30°+180° k)+i sin (30°+180° k)].

При k = 0 получим:
= n₁= 4 (cos 30° + sin 30°) =

При k=1 будем иметь:
= n₂= 4 (cos 210°+ i sin 210°) = 4 (— cos 30° — i sin 30°) =

Пример:

Найти .
Согласно результату, полученному в примере 4 а, можем написать: 25 = 25 (cos 360° k— i sin 360° k).

Тогда:
= 5 (cos 180° k + sin 180° k).

При k = 0:
= 5 (cos 0° + i sin 0°) = 5(1+i∙0) = 5.

При k = 1:
= 5(cos 180° + i sin 180°) = 5 ( — 1 + i • 0) = — 5.

б) Пусть требуется извлечь кубичный корень из числа
m = r (cos φ + i sin φ) .

По предыдущему можно написать:

Отсюда:
r(cos φ + i sin φ) = x³(cos 3y + i sin 3y).

Следовательно, должно быть:
x³ = r; 3y = φ + 360°A.

Отсюда:

и мы получаем:

При k = 0 имеем:

При k = 1:

При k = 2:

Нетрудно убедиться, что при k = 3, 4, 5, 6, … будем получать n₄=n₁; n₅ = n₂ и т. д., т. е. новых значений корня мы уже не получим. Те же значения получим и при отрицательных значениях k.

Таким образом, кубичный корень из комплексного числа имеет три различных значения.

Пример:

Найти кубичный корень из единицы.
Имеем:
1 = 1(cos 360° k + i sin 360° k).

Тогда:
= n= 1(cos 120° k + i sin 120° k).

При k = 0, 1, 2 получим соответственно:
n₁= 1(cos 0°+ i sin 0°) = 1;
n₂ = 1(cos 120°+ i sin 120°) =
n₃ = 1(cos 240°+ i sin 240°) =

Возведя полученные числа в куб, убедимся, что все они дадут в результате единицу.

Пример:

Решить уравнение x³ + 8 = 0.
Имеем:
x³ = —8;

Согласно примеру 5 а можем написать:
—8 = 8 [cos (180° + 360°k) +i sin( 180° + 360°k)].
Отсюда:
=n= 2 [cos (60° +120°k) + i sin(60°+120 °k)].

При k = 0, 1, 2 будем иметь:
n₁ = 2 (cos 60° + i sin 60°) =
n₂ =2 (cos 180° + i sin 180°) = 2(- 1+i‧0)= —2;
n₃ = 2 (cos 300° + i sin 300°) =

Проверкой можно убедиться, что куб всех полученных чисел равен — 8.

в) Перейдём теперь к общему случаю. Пусть требуется извлечь корень n-й степени из числа
m = r (cos φ + i sin φ).

Обозначив через х и у модуль и аргумент корня, будем иметь:
= x (cos у + i sin у).

Отсюда:
r (cos φ + i sin φ) = (cos ny + sin ny).

Следовательно, должно быть:
= r, ny = φ + 360°k ,
откуда:

и значит:

Это равенство можно записать и в таком виде:

(V)

Следовательно, мы можем сказать:
Модуль корня n-й степени из комплексного числа равен корню той же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент равен аргументу подкоренного числа, делённому на показатель корня.

Сколько различных корней мы будем иметь? Нетрудно убедиться, что пока мы будем в формулу (V) подставлять значения k=0,1, 2, …. (n— 1), все получаемые корни будут различны (так как будут различны аргументы). При k = n получим:

и корень будет равен:

т. е. получим тот же корень, что и при k = 0. Точно также при k = n +1, n+2, … будем получать те же корни, что и при k = 1, 2, … .

Таким образом, заключаем, что корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример:

Решить уравнение: x⁵ — 243 = 0.
Имеем:
x⁵ = 243, откуда .
Но
243 = 243 (cos 360°k + i sin 360°k).

Следовательно:
= 3 (cos 72°k + i sin 72°k).

При k = 0, 1, 2, 3, 4 получим:
n₁ = 3 (cos 0 + i sin 0) = 3(1+i∙0)= 3,
n₂ = 3 (cos 72° + i sin 72°),
n₃ = 3 ( cos 144° + i sin 144°),
n₄ = 3 (cos 216° + i sin 216°),
n₅ = 3( cos 288° + i sin 288°).

Найдя синусы и косинусы полученных аргументов, выразим все корни в алгебраической форме.

Дополнительный материал по комплексным числам

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Интегрирование подстановкой (замена переменной).	Формальная теория комплексных чисел.
Интегрирование по частям.	Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел.

Что такое комплексные числа и как их решать

Задачи, приводящие к возникновению выражений вида

Решая, например, уравнение получим:

Решая уравнение

получим:

(Мы приняли, что

Выражения мы не придумывали; они возникли в процессе решения уравнений.

В дальнейшем мы увидим, что в алгебре встречаются и другие действия, приводящие к выражениям вида

где а и b есть действительные числа. Особенность выражения

заключается в том, что в него входит квадратный корень из минус единицы, т. е. символ . Этот символ пока для нас не имеет смысла, так как квадратный корень из отрицательного числа не может равняться ни положительному, ни отрицательному числу, ни нулю, т. е. не может равняться никакому действительному числу.

Отказываться изучать выражения вида лишь потому, что символ не есть действительное число, означало бы допустить очень большое торможение в развитии алгебры, развитии ее методов. Отказываться изучать выражения вида неразумно, подобно тому, как неразумно было бы отказываться изучать символы и другие лишь потому, что они не являются рациональными числами.

Если бы мы отказались пользоваться выражениями вида то многие алгебраические действия остались бы невыполнимыми. Например, нельзя было бы выполнить действие извлечения корня 6-й степени из отрицательного числа.

Если же мы будем искать результат извлечения корня 6-й степеии из отрицательного числа в виде выражения , то это действие окажется выполнимым. (Все это подробно будет изложено ниже.)

Учение о числах вида и теории, развитые на основе этого учения, оказались мощным средством, позволившим успешно решить крупнейшие теоретические и практические проблемы. Например, знаменитый русский ученый Николай Егорович Жуковский блестяще использовал эти теории для расчета крыльев самолета. Эти теории с огромным успехом применяются в электротехнике, гидромеханике, теории упругости и во многих других отделах естествознания и техники.

Алгебраическая форма комплексного числа

По форме выражения

напишем выражение

где а и b — действительные числа.

Какой смысл будет иметь символ i и само выражение выяснится позже. Мы начнем с того, что условимся выполнять действия сложение, вычитание, умножение и деление над выражениями вида по обычным правилам алгебры, принимая всякий раз

Символ i назовем мнимой единицей.

Сначала рассмотрим, что следует понимать под различными целыми степенями мнимой единицы.

По условию,

Далее,

(число 3 есть остаток при делении 739 на 4).

В качестве упражнения найдем значения нескольких выражений, содержащих мнимую единицу:

Основные понятия о комплексных числах

Выражение

где а и b — действительные числа и i —мнимая единица, называется комплексным числом, записанным в алгебраической форме.

Число а называется действительной частью, a bi — мнимой частью комплексного числа а + bi. Действительная часть комплексного числа обозначается символом R(a + bi). Например,

Буква R здесь употребляется как первая буква французского слова «reelle», что означает «действительный».

Коэффициент b, входящий в комплексное число а + bi, называется коэффициентом при мнимой единице и обозначается символом
I(а + bi). Например, I(3 + 5i) = 5, I(3 — 5i) = — 5 .

Буква I здесь употребляется как первая буква французского слова «imaginair», означает «мнимый».

Числа а и b называются первой и второй составляющими комплексного числа а + bi.

Комплексное число по определению считается равным нулю тогда и только тогда, когда оба его составляющих числа равны нулю одновременно.

Из этого определения следует, что комплексные числа а + bi и равны друг другу тогда и только тогда, когда одновременно

В самом деле, если Отсюда по только что приведенному определению следует, что

Комплексные числа вида а + 0i отождествляются с действительными числами, а именно считается, что

Таким образом, любое действительное число можно рассматривать как частный случай комплексного числа. Например,

Комплексное число a + bi, в котором называется мнимым. Число вида 0 + bi называется чисто мнимым и считается, что

Таким образом, произведение действительного числа на мнимую единицу есть чисто мнимое число.

Так как

то квадратный корень из отрицательного числа есть число чисто мнимое.

Понятия «больше» и «меньше» неприменимы к мнимым числам Например, нет смысла говорить, что 3i больше, чем 2i, или, что 3i меньше, чем 2i. Нет смысла говорить, что 3 + 2i больше, чем 2 + 3i, или что 3 + 2i меньше, чем 2 + 3i.

Определение:

Два комплексных числа, имеющие одинаковые первые составляющие и противоположные вторые составляющие, называются сопряженными (взаимно).

Короче, два комплексных числа а + bi и а — bi называются сопряженными. Числа 2 + 3i и 2 — 3i сопряженные. Если данное число то ему сопряженным будет

Если данное число 9i, то ему сопряженным будет — 9i. Если данное число 5 + Oi, то ему сопряженным будет 5— 0i, т. е. если данное число 5, то ему сопряженным также будет 5.

Замечания:

1. Пусть А > 0. Тогда т. е. квадратный корень из отрицательного числа есть число чисто мнимое. Корень же, например, четвертой или шестой степени из отрицательного числа, как мы увидим ниже, уже не будет чисто мнимым числом (см. стр. 591).

2. Пусть А > 0. Тогда равенство

будет справедливым.

Но наряду с этим равенство

уже будет несправедливым. Докажем это. Допустим, что неравенство (2) справедливо. Заменим в нем выражение равным ему выражением (см. равенство 1). Тогда получим:

Но это последнее равенство является неверным, так как оно приводит к нелепому равенству

Итак, доказано, что равенство

где А > 0, является неверным.

Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме

Эти действия, как уже было указано выше, производятся следующим образом:

Сложение

Вычитание

Умножение

Произведение двух сопряженных комплексных чисел есть действительное неотрицательное число.

Деление

(Здесь предполагалось, что так как делить на нуль не-возможно.)

Обратим внимание на то, что деление комплексных чисел начинается с умножения делимого и делителя на число, сопряженное знаменателю.

Заметим, что, выполняя четыре действия над комплексными числами, мы всякий раз получаем в результате опять же комплексное число.

Например, при делении числа а + bi на число с + di мы получили комплексное число, действительная часть которого равна , а мнимая часть

Легко доказать, что сумма и произведение комплексных чисел обладают переместительным, сочетательным и распределительным свойствами. Но на доказательстве этого мы останавливаться не будем.

Комплексные числа как аффиксы точек

Составляющие а и b комплексного числа а + bi примем за абсциссу и ординату точки. Полученная таким образом точка М (рис. 188) называется геометрическим изображением этого комплексного числа.

Комплексное число а + bi называется аффиксом точки М (а, b) («аффикс» происходит от латинского слова «affixus», что означает «прикрепленный»).

Аффиксы точек оси являются действительными числами, тогда как аффиксы точек оси есть чисто мнимые числа.

Аффиксами точек А; В; С; D; Е; F; G; H (рис. 189) являются комплексные числа: 1+3i, — 2 + i, 4 — 2i, — 3 — 3i, 5 + 0i, — 4 + 0i, 0 + 2i и 0 — 3i.

Каждому комплексному числу соответствует одна и только одна точка координатной плоскости, и, наоборот, каждой точке плоскости соответствует одно и только одно комплексное число.

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости имеет место взаимно однозначное соответствие.

Конечно, комплексное число и его изображение в виде точки— это разные понятия, разные вещи. Несмотря на это, с помощью такого изображения удается хорошо иллюстрировать многие положения, связанные с комплексными числами.

Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел

Вектором называется направленный прямолинейный отрезок. Направление вектора задается тем, что одна из его конечных точек считается началом, а вторая — концом. В соответствии с этим считается, что вектор направлен от своего начала к своему концу. Вектор обозначают парой букв с общей стрелкой над ними: . При этом первая буква А обозначает начало вектора, а вторая В — его конец (рис. 190).

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону.

Векторы, изображенные на рисунке 191, различны, хотя все они имеют одинаковую длину, равную радиусу окружности.

В предыдущем параграфе была дана геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде точек координатной плоскости. Теперь мы можем дать комплексным числам еще и другую геометрическую интерпретацию. А именно каждому комплексному числу мы поставим в соответствие вектор, идущий от начала координат к точке, аффиксом которой является это комплексное число.

Таким образом, каждое комплексное число будет изображаться вектором, лежащим в координатной плоскости.

Комплексное число а+ bi изображается вектором (рис. 192). На рисунке 193 векторы изображают комплексные числа:

Действительные числа изображаются векторами, лежащими на оси , а чисто мнимые числа— векторами, лежащими на оси .

Каждому комплексному числу соответствует один и только один вектор, лежащий в координатной плоскости,и, наоборот, каждому вектору, лежащему в координатной плоскости, соответствует одно и только одно комплексное число.

Между множеством комплексных чисел н множеством вектороп, лежащих в координатной плоскости, имеет место взаимно однозначное соответствие.

Конечно, комплексное число и изображающий его вектор — это разные понятия, разные вещи. Но, несмотря на это, с помощью векторов удается хорошо иллюстрировать многие положения, связанные с комплексными числами.

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа

Построим вектор изображающий комплексное число а + bi (рис. 194).

Сам вектор принято обозначать символом а его длину— буквой r.

Очевидно, что

Эта положительная величина называется модулем комплексного числа а + bi и обозначается символом . Таким образом,

Из последних трех равенств видно, что модуль действительного числа равен абсолютному значению этого действительного числа:

Отсюда видно, что модуль чисто мнимого числа равен абсолютному значению коэффициента при i.

Нуль есть единственное комплексное число, модуль которого равен нулю.

Точки, аффиксами которых являются комплексные числа с одним и тем же модулем, лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным их модулю.

Аргумент комплексного числа

Определение. Отвлеченное число в границах равное число радианов*, содержащихся в угле между положительным направлением оси и вектором (рис. 154), называется главным значением аргумента комплексного числа а+bi и обозначается символом arg (а+bi).

* Здесь полезно напомнить, что радиан есть единица для измерения углов. Радиан есть такой центральный угол, которому соответствует дуга, равняя по своей длине радиусу окружности.
Число радианов, содержащихся в центральном угле, равно отношению длины дуги, заключенной между его сторонами, к радиусу.
Угловой градус и угловой радиан являются различными основными единицами измерения углов. Угловой градус содержится в полном обороте 360 раз, а угловой радиан лишь 2п раз (или приблизительно 6,28 раза).
Напомним также, что я есть отвлеченное иррациональное число.

Угол будем отсчитывать следующим образом.

Если вектор лежит в верхней полуплоскости, то угол мы будем отсчитывать от положительного направления оси ОХ против хода часовой стрелки до направления вектора . Если же вектор будет лежать в нижней полуплоскости, то отсчет производится от оси ОХ по ходу часовой стрелки до направления вектора.

В первом случае выражается положительным числом, а во втором — отрицательным.

В том случае, когда вектор, соответствующий комплексному числу, окажется лежащим нa оси и направленным в сторону, противоположную положительному направлению оси , мы будем принимать

Примеры:

Построив векторы, соответствующие комплексным числам: (рис. 195), легко видеть, что

Построив векторы, соответствующие числам (рис. 196), легко видеть, что

Главное значение аргумента действительного положительного числа равно нулю.

Главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно

Главное значение аргумента чисто мнимого числа с положительным коэффициентом при i равно

Главное значение аргумента чисто мнимого числа с отрицательным коэффициентом при i равно —

Главное значение аргумента комплексного числа определяется однозначно из системы двух равенств:

где

В том случае, когда будем считать

Определение:

Аргументом комплексного числа а+ bi называется выражение где есть главное значение аргумента комплексного числа а+ bi , a k есть любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Главное значение аргумента комплексного числа определяется однозначно.

Аргумент же комплексного числа имеет бесконечное множество значений, которые отличаются друг от друга на величину, кратную.

Аргумент комплексного числа а + bi обозначается символом Arg(a+ bi).

По определению

Например:

Ранее термином «аргумент» мы называли независимую переменную. Здесь же этот термин употребляется совсем в другом смысле. Здесь мы употребляем не термин «аргумент», а термин «аргумент комплексного числа».

В заключение найдем модуль и аргумент числа

Сначала выполним деление:

Теперь получим:

Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих и выражение составляющих в зависимости от модуля и аргумента

Как уже известно из предыдущего параграфа,

где определяется однозначно из системы двух равенств (рис. 197):

Замечание:

Число нуль есть единственное комплексное число, аргумент которого неопределенный.

Обратная задача решается так:

Тригонометрическая форма комплексного числа

Поскольку

постольку

Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа в отличие от формы a+bi, называемой алгебраической.

Каждая из этих двух форм имеет свои преимущества. Преимущества тригонометрической формы мы увидим в следующих параграфах.

Примеры преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую

Очевидно, что

Обратим внимание на условия равенства двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Два комплексных наела, заданных в тригонометрической форме, равны друг другу тогда и только тогда, когда ах модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную .

Следовательно, если

то

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Умножение

Этот результат показывает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Короче можно сказать так: при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.

Геометрическое истолкование умножения

Пусть

вектор изображает множимое

вектор изображает множитель

вектор изображает произведение (рис. 198).

Вектор получается путем поворота вектора на угол и умножения его модуля на

Если то происходит растяжение вектора ; если же то — сжатие.

Таким образом, вектор, соответствующий произведению, получается из вектора, соответствующего множимому путем его поворота и растяжения (или сжатия).

Умножение комплексного числа на i геометрически означает поворот вектора, соответствующего множимому, на угол , так как (рис. 199).

Вектор изображает число а + bi.

Вектор изображает произведение (а + bi) • i.

Деление

При делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень

Пусть n — целое положительное число. Тогда

Итак,

Пусть n = — m, где m — целое положительное число. Тогда

Последний результат показывает, что формула (I) верна и для целых отрицательных показателей.

Итак, чтобы возвысить комплексное число в целую (положительную или отрицательную) степень, достаточно возвысить в эту степень модуль, а аргумент умножить на показатель степени.

Переписав формулу (I) в виде

и сократив на , получим:

Эта формула называется формулой Муавра.

Формула Муавра имеет применение как в самой математике, так и в ее приложениях.

Полагая в формуле Муавра n = 2, получим:

или

Приравнивая друг другу в отдельности действительные и мнимые части комплексных чисел, стоящих в левой и правой частях последнего равенства, получим:

Полагая n = 3, получим:

и т. д.

Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа

Определение:

Корнем п-й степени из данного комплексного числа называется всякое комплексное число, п-я степень которого равна данному комплексному числу.

Мы здесь докажем, что корень п-й степени из комплексного числа, отличного от нуля, всегда имеет п и только п различных значений.

Корень n-й степени из комплексного числа а + bi обозначается символом

Данное комплексное число а + bi запишем в тригонометрической форме

Пусть

По определению корня получим:

По условию равенства двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, получим:

Таким образом, результат извлечения корня представится так:

где есть арифметическое значение корня, т. е. определенное положительное число, а k есть любое целое число. ( легко вычислить с помощью таблиц логарифмов.)

Поскольку буква k может принимать любые целые значения, может показаться на первый взгляд, что корень имеет бесконечное множество различных значений. Но мы увидим, что это не так.

Сначала придадим букве k последовательно значения 0;1;2;3;…; (n—1).

Тогда получим следующие п значений корня:

Во-первых, докажем, что среди этих n значений нет двух одинаковых.

Пусть р и q — какие угодно различные числа, взятые из конечной последовательности 0; 1; 2; 3; …; (n—1).

Тогда комплексные числа

будут различными, так как разность их аргументов не является числом, кратным

Действительно,

Но величина не является кратной , так какне есть целое число.

Во-вторых, докажем, что при всяком значении буквы k, не принадлежащем конечной последовательности 0; 1; 2; 3; …; (n— 1), мы получим такое значение корня, которое уже содержится в перечне (А).

Пусть k = N, где N — произвольное целое число, не принадлежащее конечной последовательности 0; 1; 2; ..; (n— 1) .

Пусть при делении N на п получилось целое частное m и целый остаток h. Тогда

где

Теперь получим, что

Но это последнее комплексное число содержится в перечне (А), так как

Корень n-й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю, т. е.

Примеры:

Найти все четыре значения Прежде всего представим подкоренное число в тригонометрической форме. Очевидно, что а угол определяется из двух равенств:

т. е. из равенств:

Отсюда главное значение аргумента комплексного числа равно Но результат извлечения корня из комплексного числа не изменится, если мы вместо главного значения его аргумента возьмем другое его значение. Поэтому примем, например, мы получили, прибавив к главному значениючисло )

где

Найдем все 6 значений корня шестой степени из минус единицы:

Получилось три пары сопряженных мнимых комплексных корней. Из них два корня чисто мнимые.

Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов

Комплексное число х + iy принято обозначать одной буквой, например буквой z или i.

Если число х + iy обозначено буквой z, то под символом понимают число, сопряженное числу z, т. е. комплексное число х + iy. Например, если w = 2 — 3i, то = 2 + 3i.

Мы знаем, что комплексное число z = х + iy можно изображать на плоскости точкой М с координатами х и у, что записывается так: М(x;у).

Мы знаем также, что комплексное число z можно изображать и вектором ОМ, который начинается в начале координат и кончается в точке М. Проекциями вектора на оси ОХ и OY будут соответственно х и у, что записывается так:

Соответствие между комплексным числом z, точкой М и вектором мы будем обозначать знаком и писать:

Ввиду такого соответствия принято говорить вместо слов «комплексно число z» просто «точка z» или «вектор z».

Рассмотрим два комплексных числа:

На рисунке 200 построены точки и векторы с их проекциями на оси координат. Как известно, векторы складываются по правилу параллелограмма. На том же рисунке 200 построен параллелограмм так что вектор Легко видеть, что вектор соответствует комплексному числу, являющемуся суммой комплексных чисел

Таким образом, вектор, соответствующий сумме двух комплексных чисел, есть сумма векторов, соответствующих слагаемым. Короче можно сказать так: при сложении комплексных чисел складываются и соответствующие им векторы.

Геометрические векторы по определению считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены. Поэтому в результате параллельного переноса геометрического вектора получается вектор, равный исходному.

Рассмотрим векторы построенные на рисунке 200. Очевидно, что

Следовательно,

Подставляя в равенство вместо векторов или равные им векторы можно написать:

Пользуясь этими равенствами, можно получить другое правило сложения векторов (конечно, равносильное правилу параллелограмма).

Для того чтобы сложить векторы и , нужно из конца вектора , построить вектор равный вектору (или из конца вектора построить вектор равный вектору ), а затем построить вектор , который начинается в начале первого вектора и кончается в конце второго вектора. Это правило можно назвать правилом замыкания ломаной, так как вектор замыкает ломаную или ломаную

Из рисунка 200 видно, что вектор имеет проекции

Таким образом, сложению векторов и по правилу замыкания ломаной соответствует сложение комплексных величин

Заметим, что сложение векторов по правилу замыкания ломаной точно так же производится и при любом другом расположении точек Теперь рассмотрим действие вычитания.

Перепишем равенства (1) и (2) так:

Из этих равенств и из рисунка 200 следует, что разность двух векторов, начинающихся в одной точке, есть вектор, который начинается в конце вычитаемого вектора и кончается в конце уменьшаемого вектора.

Правило замыкания ломаной особенно полезно при сложении 3 более чем двух векторов. Например, для того чтобы сложить три вектора , , (рис. 201), нужно из конца вектора , построить вектор равный вектору , из конца вектора построить вектор , равный вектору , а затем построить вектор который замыкает ломаную

Величина и направление замыкающего вектора не зависят от того, в каком порядке мы строим ломаную из векторов, равных данным векторам

Сложению нескольких векторов соответствует сложение комплексных чисел, изображаемых этими векторами.

Примеры решения задач с комплексными числами

1. Точки аффиксами которых являются три комплексных числа лежат на одной прямой. Доказать, что есть действительное число.

Доказательство:

Разностям соответствуют векторы (рис. 202).

Векторы лежат на одной прямой и одинаково направлены. Поэтому соответствующие им комплексные числа будут иметь один и тот же аргумент

Следовательно,

где r и p — действительные числа.

Отношение равно отношению , т.е. есть число действительное, что и требовалось доказать.

2. Точки аффиксами которых являются четыре комплексных числа лежат последовательно на одной и той же окружности. Доказать, что двойное отношение

есть действительное число.

Доказательство:

Комплексным числам и соответствуют последовательно векторы (рис. 203). Так как при делении комплексных чисел аргументы вычитаются, то аргумент отношения будет равен Так

же точно аргумент отношения будет равен Следовательно,

Но как углы вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому двойное отношение будет равно , т. е. будет числом действительным, что и требовалось доказать.

Примечание:

При решении этой задачи мы воспользовались тем, что аргументом отношения будет Поясним это.

Перенесем начала векторов в начало координат (рис. 204).

Тогда аргументом комплексного числа , соответствующего вектору будет а аргументом комплексного числа будет Следовательно, аргументом отношения будет

Комплексные числа как изображения физических величин

Еще в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел и считали в этих случаях задачу неразрешимой. Тогда не знали и не предполагали, что можно создать теорию комплексных чисел и пользоваться ею для решения практических задач. Поэтому математики того времени относились к мнимым числам с недоверием и отвергали их. В первой половине XVI века была найдена формула Кардаио (см. стр. 633):

* Эта формула носит имя Кардаио и впервые была им опубликована
в 1545 году. Однако имеется предположение, что он заимствовал ее от Тарталья. Имеется и другое предположение, что формула Кардаио была найдена еще в 1515 году С. Ферро. С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардаио — итальянские математики XVI века.

представляющая решение кубического уравнения

При исследовании этой формулы обнаружилось следующее:

когда — отрицательное число, все три корня уравнения (1) обязательно действительные. Таким образом, оказалось, что для нахождения трех действительных корней уравнения (1) необходимо выполнить извлечение квадратного корня из отрицательного числа и два раза извлечение кубического корня из комплексного числа. Поясним сказанное на числовом примере.

Уравнение имеет три действительных корня: 3; 6; —9.

При нахождении этих корней по формуле Кардано имеем следующее:

Этот факт, свидетельствующий о возможности нахождения действительных корней уравнения с помощью операций над мнимыми числами, произвел на математиков того времени сильнейшее впечатление и содействовал в некоторой мере признанию мнимых чисел.

Несмотря на это, все же многие математики продолжали относиться к мнимым числам с недоверием, как к чему-то сверхъестественному.

Так, немецкий ученый Г. Лейбниц в 1702 году писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

Несостоятельность и вредность таких взглядов на мнимые числа ярко обнаружилась при появлении гениальных творений Л. Эйлера (1707—1783). Эйлер сделал мнимые числа мощным орудием для решения важных и трудных вопросов гидродинамики и других вопросов естествознания.

Пользуясь мнимыми числами, он продвинул далеко вперед и развитие самих математических наук.

Замечательная формула (см. стр. 686), явившаяся первым важным результатом теории комплексных чисел, была найдена Эйлером в 1748 году. Полагая в этой формуле Эйлера х = , получаем удивительную связь между числами е, и i:

Пользуясь теорией комплексных чисел, Софья Ковалевская решила труднейшую проблему о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.

В своей знаменитой работе «О присоединенных вихрях» Н. Е. Жуковский с помощью теории комплексных чисел дал формулу для определения подъемной силы, действующей на самолет.

Таким образом, мнимые числа, казавшиеся когда-то бесполезным, бессмысленным понятием, не только приобрели реальный характер, но и оказались мощным средством, ускоряющим развитие науки и техники,

Введение комплексных . чисел сделало рассмотрение многих вопросов более единообразным и ясным и явилось новым, очень важным этапом в развитии понятия числа (см. раздел «О расширении понятия числа»).

В настоящее время комплексные числа широко употребляются для математического описания и решения очень многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т. д.).

Теперь поясним кратко, как могут комплексные числа являться изображениями физических величин.

Под термином «комплексная величина» мы будем понимать всякую величину, которая может быть изображена геометрически вектором на плоскости.

Пусть точка Q движется произвольным образом в координатной плоскости ХОУ и пусть ее траекторией будет линия АВ (рис. 205).

Как известно, скорость движущейся точки в любой момент имеет направление, совпадающее с направлением касательной к траектории в той ее точке, где находится в этот момент движущаяся точка. Следовательно, в любой момент скорость будет иметь некоторую величину и некоторое направление. Поэтому скорость будет определена лишь тогда, когда мы будем знать не только ее числовое значение, но и ее направление.

Пусть скорость точки в некоторый момент имеет числовое значение v м/сек и направлена по. лучу, составляющему с положительным направлением оси угол

Тогда эту скорость можно изобразить вектором с длиной равной v единицам масштаба, и с углом между ним и осью (рис. 206).

(Начало вектора, изображающего скорость, мы поместили в начале координат. Это можно делать потому, что векторы, параллельные друг другу, одинаково направленные и имеющие равные длины, считаются равными.)

Сам вектор, изображающий скорость, принято обозначать символом , а его длину буквой v. Символы и v имеют совершенно различный смысл, есть изображение скорости, a v есть изображение лишь числового значения скорости. Нельзя писать
= v.

Итак, скорость рассматриваемого нами движения есть такая физическая величина, которую можно изобразить вектором на плоскости. Значит, скорость есть «комплексная величина».

Но вектор определяется комплексным числом

где х и у—координаты конца вектора .

Следовательно, и скорость может быть изображена комплексным числом

где

Таким образом, комплексное число х + yi может представлять собой физическую величину (в данном случае скорость).

Комплексными числами можно изображать и другие физические величины, например ускорение при плоском движении, силы, действующие в одной плоскости, напряжение магнитного поля в различных точках плоскости и др.

С помощью действий над комплексными числами можно решать задачи, связанные с соответствующими физическими величинами.

Пример:

Пусть скорость самолета относительно воздушных масс определяется комплексным числом а скорость ветра комплексным числом

Тогда путевая скорость самолета будет определяться комплексным числом

(Скорости складываются по правилу параллелограмма, рис. 207.) Скорость самолета относительно воздушных масс называется технической скоростью.

Комплексные числа и развитие понятия числа

Понятие числа возникло из потребностей счета и измерения у людей на самых ранних ступенях развития человеческого общества. С тех пор число является постоянным и незаменимым орудием в нашей практической деятельности. Числа мы применяем для изучения окружающего нас материального мира, для изучения изменений, происходящих в окружающей нас действительности.

Натуральные числа и положительные дробные числа были известны уже древним грекам. В древней Греции были известны несоизмеримые отрезки. Задачи, в которых встречались несоизмеримые отрезки древние греки решали геометрически. Но понятие иррационального числа у них еще не сложилось, и потому они не могли рассматривать отношение длин несоизмеримых отрезков как число.

Не знали греки и отрицательных чисел. Отрицательные числа появились впервые у индусов (V век). Полное признание отрицательные числа получили лишь в XVII веке. В средние века индусы пользовались иррациональными выражениями, но строгой теории действительных чисел ими разработано не было.

Построение теории действительных (или вещественных) чисел относится ко второй половине XIX века.

В первой половине XVI века для решения уравнения третьей степени вида

нашли формулу Кардана

По этой формуле корни уравнения находятся так:

Между тем видно, что левая часть уравнения разлагается на множители

и уравнение имеет корни

Таким образом, выходит, что для получения действительных корней уравнения по формуле Кардана надо научиться извлекать квадратный корень из отрицательного числа, т. е. надо научиться производить операцию, невозможную в области действительных чисел.

Это и заставило еще в XVI веке рассматривать квадратные корни из отрицательных чисел. Так как получающийся при этом результат не может быть истолкован как результат непосредственного счета или измерения, числа эти стали называть мнимыми («невозможными», «воображаемыми», «ложными»). Некоторое обоснование эти числа получили во второй половине XVI века. Мнимые и действительные числа представляют собой два частных вида комплексных чисел, изучением которых мы и займемся в этой главе.

Для того чтобы представить себе содержание предстоящей нам работы в связи с новым расширением понятия числа, обратим внимание на некоторые факты, которые связаны с введением дробных, отрицательных и иррациональных чисел.

1. Введение дробных чисел вызвано потребностями измерения величин, допускающих деление на равные части, которые могут быть меньше единицы измерения. В математике возможность деления на равные части отражается в выполнимости деления натуральных чисел, или, что все равно, в решении уравнения mх = n, где m и n— натуральные числа. В области натуральных чисел это действие возможно не всегда, и лишь введение дробных чисел сделало деление натуральных чисел всегда возможным. Это вооружило математику новыми средствами для решения практических задач.

Если внимательно рассмотреть все утверждения о свойствах дробей и о правилах действий с ними, то можно заметить, что утверждения эти распадаются на две группы.

К первой группе относятся:

1) утверждение о равенстве дробей: равно тогда и только

тогда, когда ad = bс

2) правило сложения:

3) правило умножения:

Эти три утверждения не доказываются и все вместе составляют содержание определения положительного рационального числа. Все эти утверждения подсказаны теми практическими задачами, для решения которых и вводились дробные числа.

Ко второй группе относятся:

1) правило вычитания дробей;

2) правило деления дробей.

В отличие от утверждений первой группы, эти правила выводятся, доказываются. Доказательства основаны, с одной стороны, на принятых без доказательства утверждениях первой группы и, с другой стороны, на определениях действий вычитания и деления как действий,, обратных сложению и умножению.

Натуральные числа представляют собой частный вид положительных рациональных чисел (знаменатель n равен 1). Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел можно производить как по «старым» правилам, установленным для натуральных чисел, так и по «новым», установленным для положительных рациональных чисел. Результаты в обоих случаях получаются одинаковые.

Для положительных рациональных чисел сохраняются основные законы арифметических действий над натуральными числами: переместительный закон сложения, сочетательный закон сложения, переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный закон умножения относительно сложения.

2. Введение отрицательных чисел вызвано, кроме потребности измерения величин, могущих изменяться в противоположных направлениях, тем обстоятельством, что в области положительных рациональных чисел не всегда возможно вычитание или, что все равно, не всегда возможно решение уравнения х + r = r₁ где r и r₁ — положительные рациональные числа. Введение отрицательных рациональных чисел сделало вычитание рациональных чисел всегда возможным и вооружило математику новыми средствами для решения практических задач.

Как и в п. 1, в определение рациональных чисел включаются: само собой разумеющееся правило равенства, правило сложения и правило умножения. При этом правила эти и здесь подсказаны теми практическими задачами, для решения которых вводились отрицательные числа.

Правила вычитания и деления выводятся из принятых трех правил и определений действий вычитания и деления.

Положительные числа представляют собой частный вид рациональных чисел. Действия над положительными числами можно производить как по общим правилам, установленным для рациональных чисел, так и по правилам, установленным ранее для положительных рациональных чисел. Результаты в обоих случаях получаются одинаковые.

Для рациональных чисел сохраняются основные законы арифметических действий.

3. Введение иррациональных чисел вызвано тем обстоятельством, что посредством рациональных чисел невозможно выразить отношение двух любых отрезков. Существуют несоизмеримые отрезки, и их отношение не может быть выражено рациональным числом.

Как на одну из простейших задач алгебры, которая не может быть полностью решена в области рациональных чисел, укажем на решение уравнения х² = а, где а — положительное число. Решение этого уравнения или, что все равно, извлечение квадратного корня из положительного числа не. всегда возможно в области рациональных чисел. Введение иррациональных чисел вооружило математику новыми средствами решения практических задач.

В результате введения иррациональных чисел оказалось возможным дать точное числовое выражение для отношения любых отрезков и решить ряд других важных задач: задачу об измерении длины окружности, задачу о существовании логарифма, задачу об извлечении корня любой степени из положительного числа и другие задачи.

Как в пп. 1 и 2, в определение действительного (вещественного) числа входят как составные части его: правило равенства, правило сложения и правило умножения. Правила эти и здесь подсказаны теми практическими задачами, для решения которых вводились иррациональные числа. Правила вычитания и деления выводятся из правил сложения и умножения и определений действий вычитания и деления.

Рациональные числа представляют собой частный вид действительных чисел. Действия над рациональными числами можно производить как по общим правилам, установленным для действительных чисел, так и по правилам, установленным ранее для рациональных чисел. Результаты в обоих случаях получаются одинаковые.

Для действительных чисел сохраняются основные законы арифметических действий.

4. Дальнейшее расширение понятия числа состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа — мнимые. При этом вновь будут иметь место обстоятельства, подобные тем, которые отмечены выше.

Введение мнимых чисел вызвано тем обстоятельством, что в области действительных чисел невозможно извлечение квадратного корня из отрицательного числа или, что все равно, невозможно решение квадратного уравнения с отрицательным Дискриминантом.

Введем следующее определение:

будем числа ai, где а — любое действительное число, называть мнимыми (точнее, чисто мнимыми). «Множитель»i поставлен для того, чтобы подчеркнуть отличие «числа» ai от действительного числа а. Буква i — первая буква латинского слова Imaginarius, что в переводе на русский язык означает «мнимый». Таким образом, ai здесь по смыслу означает «а — мнимое». Например,

и т. д. Этого достаточно, чтобы стало возможным решить любое квадратнoe уравнение с действительными коэффициентами.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Ответ.

На первый взгляд такое «решение» уравнения кажется игрой, лишенной всякого смысла. В самом деле, что означает «число» ? Число не имеет того смысла, какой имеют действительные (вещественные) числа. Таким числом нельзя измерить ни одной величины: ни времени, ни длины, ни площади, ни скорости, ни работы и т. п. Этим и объясняется название «мнимые числа», а также тот факт, что эти числа долго не признавались математиками. Их стали признавать только тогда, когда убедились в том, что они полезны при решении практических задач.

Теперь известно, что введение мнимых чисел оказывается полезным при решении многих вопросов естествознания и техники. Сюда относятся задачи, связанные с распространением звука, света, задачи электротехники, радиотехники и др. Теперь требуется дать определение совокупности чисел, состоящей из действительных и мнимых чисел. Такая совокупность чисел называется совокупностью комплексных чисел.

Так же, как и при ранее произведенных расширениях понятия числа, надо ввести три правила: правило равенства комплексных чисел, правило сложения комплексных чисел, правило умножения комплексных чисел. Так же, как и раньше, эти правила должны быть подсказаны теми задачами, для разрешения которых вводятся мнимые числа.

Будем исходить из задачи решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом.

Уравнение x² + 2x + 10 = 0 имеет корни x₁ = -1 + 3i и x₂ = -1 — 3i. Известно, что в случае, когда корни квадратного уравнения действительны, они удовлетворяют теореме Виета

Потребуем, чтобы и мнимые корни тоже удовлетворяли теореме Виета, т. е. применительно к рассматриваемому примеру потребуем, чтобы

Можно заметить, что если сложение и умножение здесь производить по правилам сложения и умножения многочленов с тем условием, что i² будет заменено числом — 1, мы получим требуемый результат:

Этим подсказываются правила сложения и умножения.

Проведенные рассуждения отнюдь не являются доказательством правил сложения и умножения комплексных чисел. Как уже говорилось, эти правила не могут быть доказаны и принимаются без доказательства. Эти рассуждения имели цель показать, какие соображения подсказывают целесообразность введения именно этих, а не других правил сложения и умножения.

Что касается правила равенства, то оно настолько просто и естественно, что не требует никаких рассуждений, показывающих его целесообразность.

Определение комплексного числа

Определение:

Комплексными называются числа вида a + bi, где а и b — любые действительные числа, если при этом выполняются следующие три правила:

1 Правило равенства. Два комплексных числа a + bi и с + di равны тогда и только тогда, когда а = с и b = d.

2. Правило сложения. Комплексные числа складываются по следующему правилу:

3. Правило умножения. Комплексные числа умножаются по следующему правилу:

Число а называется действительной частью, bi называется мнимой частью комплексного числа a + bi. Число b называется коэффициентом мнимой части. Иногда числа а и b называются первой и второй составляющими комплексного числа a + bi

Правило равенства комплексных чисел может быть выражено так:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей.

Правило сложения может быть выражено так:

Для того чтобы сложить два комплексных числа, достаточно сложить их действительные и мнимые части.

Умножение комплексных чисел производится по правилу умножения многочленов с тем, что i² заменяется числом — 1,

Примеры:

Определение:

Комплексные числа вида а + 0i отождествляются с действительными числами, именно считается, что

a + 0i = а,

в частности 0 + 0i = 0.

Таким образом, действительные числа представляют собой частный вид комплексных чисел. Комплексные числа а + bi, где b не равно нулю, называются мнимыми. Числа вида 0 + bi называются чисто мнимыми и считается, что 0 + bi = bi.

Замечание:

Понятия «больше» и «меньше» в применении к мнимым числам не имеют смысла. Иными словами, мнимые числа по величине не сравниваются.

Свойства комплексных чисел

Теорема:

Каковы бы ни были комплексные числа справедливы следующие равенства:

а) (переместительный закон сложения);

б) (сочетательный закон сложения);

в) (переместительный закон умножения);

г) (сочетательный закон умножения);

д) (распределительный закон умножения относительно сложения).

Доказательство:

а) Пусть Тогда

Так как сложение вещественных чисел подчиняется переместительному закону, то

На основании правила равенства

т. е.

Таким же путем могут быть доказаны и остальные части этой теоремы.

Определение:

Вычесть из комплексного числа а комплексное число

— это значит найти такое комплексное число , чтобы

Теорема:

Каковы бы ни были комплексные числа аир, существует и притом только одно комплексное число, являющееся разностью

Доказательство:

Пусть Предположим, что разность существует и равна Тогда по определению вычитания,

По правилу сложения,

На основании правила равенства

Система (1) имеет единственное решение

Это означает, что если разность существует, то она единственна и вычисляется по формулам (2).

Для того чтобы доказать, что разность на самом деле существует, достаточно произвести сложение

и убедиться, что сумма равна

Определение:

Разделить комплексное число а на комплексное число — это значит найти такое комплексное число , чтобы

Теорема:

Каковы бы ни были комплексные числа а и , существует и притом только одно комплексное число, являющееся частным от деления а на если только

Доказательство:

Пусть Предположим, что частное от деления а на существует и равно Тогда, по определению деления,

По правилу умножения,

На основании правила равенства

Ясно, что иначе (здесь не надо забывать, что с и d — действительные числа; сумма квадратов действительных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю). Система (3) имеет единственное решение

Это означает, что если частное существует, то оно единственно и вычисляется по формулам (4).

Остается доказать, что частное на самом деле существует. Для этого достаточно произвести умножение

и убедиться, ,что произведение равно

Определение:

Числа и , действительные части которых равны, а коэффициенты мнимых частей равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, называются сопряженными.

Деление комплексных чисел обычно производят посредством умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

пример.

Свойства нуля

Известно, что число нуль обладает следующими свойствами:

Свойство 1. При любом вещественном а а + 0 = а.

Свойство 2. При любом вещественном а а• 0 = 0.

Свойство 3. Если произведение двух вещественных чисел равно нулю, то хоть один из сомножителей равен нулю.

Этими же свойствами в совокупности комплексных чисел обладает число 0 = 0 + 0i Действительно, пусть a = a + bi Тогда

Итак, если произведение комплексных чисел равно

то хоть один из сомножителей равен

Геометрическое представление комплексных чисел

Известно, что вещественные числа изображаются точками числовой оси. При этом каждое вещественное число изображается одной точкой числовой оси, и, обратно, каждая точка числовой оси служит изображением одного вещественного числа.

Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему правилу: число изображается точкой М (а, Ь) (рис. 97). При таком представлении комплексных чисел каждое комплексное число изображается одной точкой плоскости, и, обратно, каждая точка плоскости служит изображением одного комплексного числа.

Каждая точка М (а, ‘b) плоскости единственным образом определяет вектор ОМ. Поэтому возможно и другое геометрическое представление комплексных чисел, при котором комплексное число изображается вектором ОМ (см. рис. 97).

Точки оси Ох служат изображением действительных чисел, и потому ось Ох называется осью действительных чисел или действительной осью.

Точки оси Оу служат изображением чисто мнимых чисел, и потому ось Оу называется мнимой осью.

Комплексные числа в тригонометрической форме

Пусть М — точка, изображающая комплексное число а—Ы (рис. 97). Обозначим буквой r длину вектора ОМ, а буквой а угол, образованный вектором ОМ с положительным направлением вещественной оси, отсчитанный от вещественной оси против часовой стрелки. По теореме Пифагора

Из тригонометрии известно, что Отсюда

Правая часть последнего равенства представляет комплексное число в тригонометрической форме.

Арифметическое значение называется модулем, или абсолютной величиной комплексного числа, и изображается знаком ||; а называется аргументом комплексного числа.

Если , то модуль , по определению, — положительной число. Модуль нуля равен нулю.

В силу того, что cos х и sin х являются периодическими функциями с периодом , аргумент комплексного числа имеет бесконечное множество значений. Именно, если а есть аргумент данного комплексного числа, то при любом целом k также является аргументом этого числа.

Пример:

Представить в тригонометрической форме число 1—i.

Решение:

Здесь а = 1; b = —1. Поэтому

Наименьшее положительное значение а равно поэтому

или, в общем виде,

где k — любое целое число.

Этот же результат можно получить проще, если построить вектор, изображающий число 1 — i, и определить длину вектора

и угол , образованный вектором с положительным направлением действительной оси.

Теорема:

Модуль произведения двух или нескольких комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей. Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Доказательство:

Пусть

Тогда

По известным формулам тригонометрии

Методом математической индукции можно доказать, что теорема справедлива для любого числа сомножителей.

Теорема:

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя. Аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Доказательство:

Пусть

Тогда

Пример:

Зная, что

найти cos 15° и sin 15°. Решение.

значит,

Отсюда

Формула Муавра

Теорема:

При любом натуральном n

Это утверждение называется формулой Муавра.

Доказательство:

Доказательство проводится методом математической индукции. При n = 1 утверждение очевидно. Пусть

где k — некоторое натуральное число. Тогда

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа

Извлечь квадратный корень из комплексного числа а — это значит найти такое число, квадрат которого равен а.

В § 2 мы условились, что (1), и затем использовали это соглашение для установления определения комплексного числа. Покажем, что равенство (1) вытекает из принятого определения комплексного числа и определения квадратного корня. Допустим, что существует и равен . Тогда, по определению квадратного корня,

По правилу умножения,

По правилу равенства,

Второе уравнение системы имеет следующие решения: у = 0, х — любое число; х = 0, у — любое число.

При у = 0 первое уравнение принимает вид x² = — а² и не имеет решений, если а ≠ 0 (числа х и а действительные).

При x = 0 первое уравнение принимает вид у² = а²и имеет два решения у = а и у = — а.

Итак, если корень квадратный из —a² существует, то он может быть равен только ai и —ai. Так как (ai)² =- а² и (-ai)² =- а², то имеет два значения ± ai.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Извлечь корень n-й степени из комплексного числа a — значит найти такое комплексное число , что

Теорема:

Корень n-й степени из любого комплексного Числа существует и имеет n значений. Если подкоренное выражение равно нулю, эти значения сливаются в одно.

Доказательство:

Пусть требуется извлечь корень n-й степени из

Предположим, что корень n-й степени из а существует и равен

тогда, по определению,

Если комплексные числа равны, то модули их равны, аргументы или равны или отличаются на целое кратное . Поэтому

где k — некоторое целое число. Отсюда имеем

Из сказанного вытекает, что если корень n-й степени из а существует, то он может быть вычислен по формуле

где k — некоторое целое число.

Для доказательства того, что корень n-й степени из а существует, возведем в степень n. Имеем

при любом целом k. Теперь мы можем сделать следующий вывод.

Корень n-й степени из а существует, может быть вычислен по формуле (1), в которой букве k может быть придано любое целое значение.

Если R равно нулю (т. е. а равно нулю), то все значения совпадают и равны нулю. Если же R ≠ 0, то, в силу периодичности тригонометрических функций, значения корня из а, вычисленные по формуле (1) при разных значениях k, будут повторяться.

Для того чтобы доказать, что корень n-й степени из неравного нулю числа имеет всего n различных значений, покажем, что

во-первых, при k= 0, 1, 2, n—1 получаются n различных значений для

во-вторых, при любом целом k получается опять какое-нибудь из значений

1 Предположим, что , где т. е.

Комплексные числа равны, следовательно, аргументы их или раины или отличаются на целое кратное . Поэтому

где q — некоторое целое число, отсюда имеем

Это равенство невозможно, так как t — s положительно и меньше чем n.

2 Пусть теперь k — любое целое число. Разделим k на n с остатком *). Частное обозначим через q, а остаток через r. Имеем

.
*) Разделить k на целое положительное л с остатком — это значит найти такие целые числа q и r, чтобы k = nq + r и 0 ≤ r < n. В курсах арифметики доказывается, что любое целое число k можно разделить с остатком и притом единственным способом на целое положительное n. Например, пусть надо разделить 31 на 7 с остатком. Частное будет равно 4, а остаток равен 3:

Пусть надо разделить —31 на 7 с остатком. Частное будет равно —5, а остаток равен 4:

Теперь покажем, что

Таким образом, значение совпадает со значением где

т. е. с одним из значений

Пример:

Извлечь корень третьей степени из числа — i.

Решение:

Запишем — i в тригонометрической форме

Предположим, что корень третьей степени из — i существует и равен Тогда

откуда

т. е.

Теперь имеем

где k достаточно положить равным 0, 1, 2.

Придавая числу k указанные значения, получим, что корень третьей степени из числа — i имеет следующие значения:

Некоторые приложения комплексных чисел

Как сказано выше, комплексные числа широко применяются к решению разных задач естествознания и техники. Здесь не представляется возможным показать эти важные приложения комплексных чисел. Ограничимся решением одной задачи тригонометрии и одной задачи арифметики. Эти задачи покажут, что при помощи комплексных чисел можно довольно просто получить результаты, которые без их помощи получаются значительно более сложным путем.

1. Вывод формул для Разложим выражение по формуле Ньютона

или

По формуле Муавра

Два комплексных числа равны, значит, равны их действительные и мнимые части, т. е.

представлены в виде многочленов n-й степени от

При n = 2 имеем

При n = 3 имеем

Теорема:

Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел, есть опять сумма квадратов двух целых чисел.

Это — теорема арифметики.

Доказательство:

Пусть где a, b, с, d — целые числа. Тогда

отсюда

Перегруппируем сомножители

Теорема доказана.

Можно перегруппировать сомножители и так:

Мы получили второе представление произведения mn в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Пример:

Здесь

Значит,

Комплексные числа — основные понятия и определения

Мы проследили, как при постепенном расширении рассматриваемой числовой области натуральные числа — целые числа — рациональные числа — действительные числа достигается возможность выполнения сначала всех рациональных действий над числами, а затем такого, например, действия, как извлечение корня из положительного числа. Тем не менее и в области действительных чисел не все операции осуществимы. Так, например, во множестве действительных чисел невозможно извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Если уравнение решается в области рациональных чисел: , а уравнение — в области действительных чисел: то уравнение не имеет действительных корней.

В самом деле, квадрат любого действительного числа неотрицателен и при любом х имеем . Таким образом, внешне весьма сходные, уравнения второй степени , оказываются весьма различными по своим свойствам: одно из них имеет два решения, другое — ни одного!

Такое положение может быть устранено введением нового вида чисел (комплексных чисел), расширяющих множество действительных чисел (подобно тому как множество рациональных чисел расширило множество целых чисел и т. д.). При этом уже оказывается возможным не только приписать смысл корню квадратному из отрицательных чисел, но и вообще достичь положения, когда бы все алгебраические уравнения имели (в области комплексных чисел) решения.

Для определения комплексных чисел сначала введем некоторый символ i, который назовем мнимой единицей. Этому символу приписывается (постулируется) свойство удовлетворять уравнению :

Теперь рассмотрим множество всех двучленов вида

где а, b — произвольные действительные числа, и условимся производить над такими двучленами действия сложения, вычитания и умножения по обычным правилам алгебры (п. 19) с единственным дополнительным условием:

Так определенное множество выражений a + bi называется множеством комплексных чисел. Само выражение z = a + bi при любых a, b называется комплексным числом.

При этом а называется действительной частью числа a + bi, a b — его мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице ). Иногда мнимой частью числа a+bi называют не коэффициент b, a bi.

Данное определение необходимо дополнить условием равенства двух комплексных чисел:

Два комплексных числа считают равными в том и только в том случае, если порознь равны друг другу их действительные и мнимые части; это означает, что если , то и , и, обратно, если и , то и .

Второе важное дополнительное соглашение состоит в том, что действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных. Именно, если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то вместо пишут просто и не отличают такого комплексного числа от действительного числа а.

В частности, комплексное число равно нулю в том и только в том случае, когда равны нулю его действительная и мнимая части, это означает, что если a + bi = 0, то а = 0 и b = 0 и, обратно, если а = 0 и b = 0 , то и a + bi = 0 .

Комплексное число, у которого равна нулю действительная часть, также записывают коротко в виде z = bi и называют чисто мнимым числом. Выражение «мнимое число» обычно применяют, чтобы указать, что комплексное число z = a + bi не является действительным, т. е. имеет ненулевую мнимую часть: .

Два комплексных числа a + bi и a — bi, действительные части которых равны, а мнимые противоположны по знаку, называют комплексно сопряженными числами; число, комплексно сопряженное с числом z, обозначается через

Очевидно, что .

Термин «мнимое число» свидетельствует о недоверни, с которым вначале воспринималось введение в математику этого вида чисел. В дальнейшем комплексные числа оказались, однако, чрезвычайно полезными как в самой математике, так и, благодаря важным приложениям, во многих инженерных дисциплинах.

Рациональные действия с комплексными числами

Уже в определении комплексных чисел было указано, что действия над ними определяются как действия над алгебраическими двучленами.

Рассмотрим сначала действия сложения и вычитания: под суммой (разностью) комплексных чисел , понимают такое комплексное число, действительная и мнимая части которого представляют собой соответственно суммы (разности) действительных и мнимых частей данных чисел. Обозначаются сумма и разность обычным образом, как и :

(в полном согласии с правилами действий над двучленами). Аналогично находится алгебраическая сумма любого числа слагаемых.

Заметим, что при введении обозначения комплексного числа z = a + bi мы, строго говоря, использовали знак сложения « + » не в своем прямом смысле: ведь складывать а и bi мы в этот момент еще не умели. Сейчас, однако, видно, что можно понимать комплексное число a + bi как сумму действительного числа и чисто мнимого :

Пример:

вычислить

Решение:

Заметим, что сумма двух сопряженных чисел и есть число действительное, а разность — чисто мнимое; в самом деле,

Произведение комплексных чисел и определяется как произведение двучленов (п. 19) с применением обычного правила раскрытия скобок:

Пример:

Вычислить произведение чисел , .

Решение:

Заметим, что произведение двух сопряженных комплексных чисел есть неотрицательное действительное число; в самом деле,

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа a + bi. В частности, когда b = 0, число z = а действительное, то — модуль действительного числа, рассматриваемого как частный случай комплексного числа,— есть то же самое, что модуль действительного числа в прежнем смысле слова (п. 6).

Очевидно, что . Равенство (15.3) означает, что произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля каждого из них.

Произведение нескольких сомножителей может быть найдено последовательным умножением. Натуральная степень комплексного числа, например и вообще , может быть найдена при помощи формул квадрата суммы, куба суммы (п. 20) и вообще формулы бинома Ньютона (п. 21). При этом удобно использовать общее правило для возведения в любую натуральную степень мнимой единицы i. Так как

то при возведении i в любую степень можно, не меняя результата, отбросить от показателя степени слагаемое, кратное четырем. Поэтому для возведения числа i в любую натуральную степень n надо найти остаток при делении n на 4 и возвести i в степень, равную этому остатку.

Пример:

Найти: a) ; б) .

Решение:

а) Имеем ; отсюда ; б) имеем ; отсюда .

Пример:

Вычислить .

Решение:

Пользуемся формулой куба суммы (20.6):

Деление комплексных чисел определим как действие, обратное умножению, результат деления назовем частным. Частное от деления на (предполагается, что ) обозначается, как обычно, через или и, по определению, является таким числом z, что .

Покажем, что при существует вполне определенное комплексное число —частное от деления , на . Будем искать неизвестное z = x+iy из условия

Обозначив , получим

и, пользуясь определением равенства комплексных чисел (п. 14), найдем

Для искомых чисел х, у получилась система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (см. пп. 66, 67). Решая эту систему, найдем (рекомендуется проделать вычисления подробно, пользуясь, например, методом исключения неизвестных или определителями)

т. е.

Так как , то и , т. е. деление выполнимо при любом .

Практически удобней не пользоваться громоздкой формулой (15.4), а выполнять деление следующим приемом: для отыскания частного умножаем числитель и знаменатель дроби на одно и то же число , (сопряженное с числом ). Получаем дробь знаменатель которой равен , т. е. уже является действительным числом.

Пример:

Разделить 2 + 5i на 3 — 4i.

Решение:

В дальнейшем нам окажутся полезными следующие соотношения, показывающие, что результат рациональных действий, выполненных над числами, комплексно сопряженными с данными, сам комплексно сопряжен с результатом тех же действий, выполненных над данными числами:

Выведем, например, вторую из этих формул (доказательство первой и третьей предоставим читателю). Пусть даны

Тогда . Находим

и

Из сравнения этих результатов и следует требуемое соотношение.

В заключение заметим, что над комплексными числами выполнимы все рациональные действия (кроме деления на нуль), причем в результате снова получаются комплексные числа. Комплексные числа образуют числовое поле — поле комплексных чисел.

Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа

Задание комплексного числа z = a + bi равносильно заданию двух действительных чисел a, b — действительной и мнимой частей данного комплексного числа. Но упорядоченная пара чисел ( a, b ) изображается в декартовой прямоугольной системе координат точкой с координатами ( a, b ). Таким образом, эта точка может служить изображением и для комплексного числа z: между комплексными числами и точками координатной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.

При использовании координатной плоскости для изображения комплексных чисел ось Ох обычно называют действительной осью (так как действительная часть числа принимается за абсциссу точки), а ось Оу—мнимой осью (так как мнимая часть числа принимается за ординату точки). Комплексное число z, изображаемое точкой М (a, b), называется аффиксом этой точки. При этом действительные числа изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа bi (при а = 0)—точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой О.

На рис. 8 построены изображения чисел , , , , , , , .

Два комплексно сопряженных числа изображаются точками, симметричными относительно оси Ох (точки и на рис. 8).

Часто с комплексным числом z связывают не только точку М, изображающую это число, но и вектор (см. п. 93), ведущий из О в М; изображение числа z вектором удобно с точки зрения геометрического истолкования действия сложения и вычитания комплексных чисел. На рис. 9, а показано, что вектор, изображающий сумму комплексных чисел , получается как диагональ параллелограмма, построенного на векторах , изображающих слагаемые. Это правило сложения векторов известно как правило параллелограмма (например, для сложения сил или скоростей в курсе физики). Вычитание может быть сведено к сложению с противоположным вектором (рис. 9, б).

Как известно (п. 8), положение точки на плоскости можно задавать также ее полярными координатами . Тем самым и комплексное число — аффикс точки также определится заданием и . Из рис. 10 ясно, что является в то же время модулем комплексного числа z: полярный радиус точки, изображающей число z, равен модулю этого числа.

Полярный угол точки М называют аргументом числа z, изображаемого этой точкой. Аргумент комплексного числа (как и полярный угол точки) определен неоднозначно; если — одно из его значений, то все его значения выражаются формулой

Все значения аргумента в совокупности обозначаются символом Arg z.

Итак, всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел: модуль и аргумент данного числа, причем аргумент определяется неоднозначно. Напротив, заданным модулю |z| = r и аргументу отвечает единственное число z , имеющее данные модуль и аргумент. Особыми свойствами обладает число нуль: его модуль равен нулю, аргументу не приписывается никакого определенного значения.

Для достижения однозначности в определении аргумента комплексного числа можно условиться одно из значений аргумента называть главным. Его обозначают символом . Обычно в качестве главного значения аргумента выбирается значение, удовлетворяющее неравенствам

(в других случаях неравенствам ).

Обратим еще внимание на значения аргумента действительных и чисто мнимых чисел:

Действительная и мнимая части комплексного числа (как декартовы координаты точки) выражаются через его модуль и аргумент (полярные координаты точки) по формулам (8.3):

и комплексное число может быть записано в следующей тригонометрической форме:

(запись числа в виде z = a + bi будем называть записью в алгебраической форме).

Условие равенства двух чисел, заданных в тригонометрической форме, таково: два числа , и равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы равны или отличаются на целое число периодов .

Переход от записи числа в алгебраической форме к его записи в тригонометрической форме и обратно совершается по формулам (8.4):

и формулам (16.1). При определении аргумента (его главного значения) можно пользоваться значением одной из тригонометрических функций или и учитывать знак второй.

Пример:

Записать в тригонометрической форме следующие числа: а) 6 — 6i; б) 3i; в) —10.

Решение:

а) Имеем

откуда , и, следовательно,

Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра

Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть

Получаем

Выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростить с помощью известных формул (115.4), (116.1):

Таким образом,

Доказано правило: для умножения чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули надо перемножить, а аргументы сложить.

Это правило остается верным для любого количества сомножителей.

Пример:

Найти произведение чисел

Решение:

Так как деление — действие, обратное умножению, то легко вывести следующее правило: для выполнения деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует их модули разделить, а аргументы вычесть:

Пример:

Найти частное от деления числа на число .

Решение:

Находим по формуле (17.2):

Используем теперь равенство (17.1) для возведения произвольного комплексного числа в натуральную степень n. Для этого придется модуль r этого числа взять множителем n раз и аргумент взять слагаемым n раз. Это приводит к равенству

Равенство (17.3) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для возвения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Пример:

Вычислить .

Решение:

В соответствии с формулой Муавра (17.3)

Если число z задано в алгебраической форме a + bi, то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.

Извлечение корня из комплексного числа

Рассмотрим задачу извлечения корня натуральной степени n из произвольного комплексного (в частности, действительного) числа z; при этом будем искать все возможные значения корня, действительные и комплексные. Для решения задачи в общем виде используегся представление комплексного числа в тригонометрической форме:

Здесь мы учли, что аргумент комплексного числа определен с точностью до целого числа периодов , так что —одно из значений аргумента (например, ), а при —совокупность всех значений аргумента числа z.

По общему определению понятия корня (п. 11) число называется корнем степени n из r, если . Запишем неизвестное также в тригонометрической форме:

Тогда, применяя формулу Муавра (17.3), перепишем равенство в виде

Обе части равенства (18.3) суть комплексные числа, заданные в тригонометрической форме; условия их равенства, указанные в п. 16, дают два соотношения:

Первое из соотношений (18.4) показывает, что

(так как р > 0 и r > 0, то корень понимается в арифметическом смысле). Второе равенство (18.4) выражает тот факт, что аргумент n0 числа равен одному из значений аргумента числа z. Из этого равенства находим

и оказывается, что при разных значениях k получаются, вообще говоря, разные значения корня . Обозначим значение , соответствующее каждому выбору числа k, через :

Будем давать k значения 0, 1, 2, … , n — 1. При этом получим и вместе с тем п значений корня

Покажем, что все эти значения различны, а при остальных возможных значениях k новых значений корня уже не получится. Для этого заметим, что разность аргументов и , будет равна

Числа и совпадут в том и только в том случае, если k — l делится на n нацело. Для k = 0, 1, 2, …, n — 1 разность любых двух значений на n не разделится. Если же теперь брать k = n, n + 1, … или k = — 1, —2 … ,то значения корней будут повторяться:

Таким образом, все значения корня степени n получаются из формулы (18.6) ири k = 0, 1, 2, … , n—1. Корень степени n из любого числа, отличного от нуля, имеет в комплексной области ровно n различных значений.

В случае z = 0 единственное значение также равно нулю; для достижения общности формулировки можно говорить, что корень степени n из нуля также имеет n значений, которые все совпадают между собой (и равны нулю).

Пример:

Найти все значения корней: a) ; б)

Решение:

а) Записываем —16 в тригонометрической форме:

Теперь

При k = 0, 1, 2, 3 получим

или, вообще,

Пример:

Вычислить: a) ; б)

Решение:

а) Находим

Далее,

Таким образом,

Следовательно,

Отсюда при k = 0, 1, 2, 3 найдем все четыре значения искомого корня:

б) Аналогично находим

и, следовательно,

Значит,

и при k = 0, 1, 2 получим

Всё о комплесных числах их определение и вычисление

При изучении математики мы неоднократно встречались с обобщением понятия числа. Первоначаль­но под числами понимали лишь натуральные числа 1, 2, …n . Этих чисел достаточно для счета отдельных предметов. Кроме того, как мы знаем, множество N натуральных чисел замкнуто относи­тельно операций сложения и умножения — сумма и произведение натуральных чисел снова являются натуральными числами.

Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда натуральное число. Чтобы сделать операцию вычитания неограниченно выполнимой, вводят числа нового вида — отрицательные целые числа, а кроме того, число нуль. В результате получается множество Z целых чисел. Это множество замкнуто относительно операций сло­жения, вычитания и умножения, то есть является числовым кольцом (см. п. 6 § I гл. I).

Следующий шаг в расширении множества чисел связан с желанием сделать выполнимой операцию деления на любое число, от­ личное от нуля. Этот шаг приводит к множеству R всех рациональ­ных чисел. Множество R замкнуто уже относительно всех четырех арифметических операций — сложения, вычитания, умножения и деления (исключая, конечно, операцию деления на нуль). Оно яв­ляется, таким образом, числовым полем.

Необходимость дальнейшего расширения множества чисел диктовалась двумя причинами. Одна связана с практическими прило­жениями математики — рациональных чисел недостаточно, чтобы выразить результаты любых измерений. Вторая причина является чисто алгебраической — в множестве рациональных чисел не имеют решений такие уравнения, как хотя коэффициенты этих уравнений — целые числа. И если введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Уравнения и и в множестве действительных чисел не имеют решения. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расши­рении понятия числа. Этому расширению, приводящему к понятию комплексного числа, и посвящена данная глава.

Выясним сначала, какие общие требования предъявляются при расширении понятия о числе. Предположим, что мы уже имеем не­ которое множество чисел A, в котором определены те или иные ариф­метические операции (например, множество целых чисел с опера­циями сложения, вычитания и умножения). Для того чтобы полу­чить более широкое числовое множество, мы берем некоторое новое множество В. Вообще говоря, оно может не содержать множество А. Но во всяком случае должно быть установлено взаимно-однознач­ное соответствие между элементами множества А и некоторой частью А’ множества В. После установления этого соответствия мы отождест­вляем элементы из A с соответствующими им элементами из A’ и можем рассматривать A как часть В.

Чтобы иметь право называть элементы множества В числами, надо определить в нем арифметические операции. Это определение не может быть произвольным — ведь некоторые элементы множест­ва В соответствуют элементам исходного множества A , для которых арифметические операции уже определены. Ясно, что новое опреде­ление не должно противоречить исходному.

Уточним это требование. Пусть, например, в множестве A определена операция сложения и пусть соответствие между множест­вом A и частью А’ множества В имеет вид Тогда должно иметь место равенство:

Это равенство означает, что безразлично— сначала ли мы складываем а и b а потом берем элемент из В, соответствующий сумме, или сна­чала берем элементы из В, соответствующие а и b, а потом складываем их.

Чтобы сделать эти, несколько абстрактные рассмотрения более понят­ными читателю, напомним, как определяются рациональные числа, исходя из множества целых чисел (см. «Анализ», § I гл. I). Мы сначала вводим выра­жения , где m и n — целые числа, и объединяем в один класс такие выражения что mq = рn. После этого класс, содержащий выражение отождествляется с целым числом пn Арифметические операции теперь вводят­ся по формулам

и т. д. При этом из равенств

видно, что эти определения не противоречат ранее введенным для целых чисел.

Определение комплексных чисел

Мы уже говорили, что понятие комплексного числа вводится из-за того, что некоторые уравнения с действительными коэффициентами не имеют решений в области дейст­вительных чисел. Поэтому мы хотим расширить числовую область так, чтобы в расширенной области такие уравнения, как или имели решения.

Новые «числа», которые мы сейчас определим, называются комплексными. Они не выражают результата какого-либо измерения — мы знаем, что для выражения результатов измерений достаточно действительных чисел. Из-за этого теория комплексных чисел имеет более абстрактный, более формальный характер, чем теория дейст­вительных чисел. Заметим, что, несмотря на кажущуюся абстрак­тность понятия комплексного числа, теория комплексных чисел и функций комплексного переменного имеет в настоящее время мно­гочисленные практические применения.

Теория функций комплексного переменного применяется в настоящее время для решения задач теории упругости, аэромеханики, гидромеханики, электротехники, атомной физики и т. д.

Перейдем к построению множества комплексных чисел.

Как уже говорилось выше, мы сначала определим элементы множества комплексных чисел, потом установим соответствие между действительными числами и некоторыми из этих элементов и, на­ конец, определим арифметические операции для элементов нашего множества. Только после этого можно будет с полным правом на­звать элементы нашего множества числами. Однако, для того чтобы не менять по ходу изложения названия, мы будем с самого начала называть элементы строящегося множества комплексными числами.

Определение:

Комплексным числом z называют пару (a, b) действительных чисел а и b, взятых в определенном порядке.

При этом две пары (a, b) и (с, d) считаются равными тогда и только тогда, когда а = с и b = d. Таким образом, одно равенство (a, b) = (с, d) для комплексных чисел равносильно двум равенствам а = с и b = d для действительных чисел.

Мы уже говорили, что при построении нового числового множества надо отождествить некоторые его элементы с элементами исходного числового множества. В случае комплексных чисел отож­дествляют пары вида (я, 0) с действительными числами а. Этим уста­навливается взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и частью множества комплексных чисел, со­стоящей из пар вида (а, 0).В дальнейшем, определяя действия над комплексными числами, мы будем следить за тем, чтобы для пар вида (а, 0) эти действия превращались в обычные действия над дей­ствительными числами.

Если z = (а, b ) — комплексное число, то а называют его действительной частью, а b — мнимой частью. Приняты обозначения а = Re z, b = Im z (от французских слов гееlе —действительный и imaginaire — мнимый). Числа z = (а, b), для которых на­зывают мнимыми числами, а числа вида z = (0, b) — чисто мнимы­ми числами.

Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа

Определим теперь в множестве комплексных чисел две опе­рации: сложение и умножение на действительные числа. Эти опе­рации определяются «покоординатно», то есть формулами

Так как

то для чисел вида (а, 0), которые мы отождествили с действительными числами а, введенные операции совпадают с обычными операция­ми сложения и умножения действительных чисел.

Кроме того, легко проверить, что сложение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно.

Введенное нами обозначение z =(а, b) для комплексных чисел неудобно тем, что действительные числа приходится обозначать (а, 0). Поэтому обычно пользуются иной записью этих чисел. Обозначим комплексное число (0, 1) через i. Тогда по формулам (1) и (2) имеем:

Так как (а, 0) тождественно с а и (0, 1) обозначено i. то эту запись можно представить в виде:

В дальнейшем мы и будем обозначать комплексные числа в виде r = а + bi (мы не могли пользоваться этой записью с самого нача­ла, так как не были определены действия сложения и умножения на действительное число, а потому запись а + bi не имела смысла).

Сложение комплексных чисел и умножение их на действительные числа записываются теперь следующим образом:

Кроме того, напомним, что равенство а+bi = с + di равносильно двум равенствам: а = с и b = d.

Разностью комплексных чисел а +bi и с + di называют такое комплексное число u + vi, что а + bi = (с+ di) + (u + vi). Из правила сложения комплексных чисел выводим, что

Это равенство равносильно двум равенствам:

из которых получаем: u = а — с, v = b — d. Итак,

Умножение комплексных чисел

Определим теперь для комплексных чисел операцию умножения.

Сначала положим по определению Мы хотим, чтобы операция умножения действительных чисел была коммута­тивной, ассоциативной и дистрибутивной относительно сложения. Для этого необходимо определить умножение комплексных чисел следующим образом:

Иными словами, комплексные числа надо умножать как много­ члены относительно буквы i, заменяя в результате на — 1.

Прямая проверка, которую мы опускаем, показывает, что определенное таким образом умножение комплексных чисел действитель­но обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дист­рибутивности относительно сложения.

Ранее уже было определено умножение комплексных чисел на действительные; поэтому надо еще проверить, что данное нами сей­час определение умножения сводится в случае, когда один из мно­жителей действительный, к данному ранее. По формуле (1) имеем:

Это совпадает с формулой (4), п. 3.

Отметим формулы для степеней числа i. Мы имеем:

Теперь уже легко видеть, что при возведении числа в степени с натуральными показателями имеет место периодичность значений степени: из равенства вытекает, что если то Иными словами, чтобы найти надо возвести i в степень, показатель которой равен остатку отделения n на 4.

Квадратные уравнения с действительными коэффициентами

Из формулы или, иначе, следует разреши­мость уравнения в множестве комплексных чисел. Имен­но одним из его корней является число i. Другой корень — число — i. В самом деле, Можно показать, что уравнение не имеет иных корней в множестве ком­плексных чисел.

Вообще любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами разрешимо в множестве комплекс­ных чисел. Если то, как мы уже знаем, корня­ми уравнения являются числа

(совпадающие друг с другом, если Если же и формула для решения квадратного уравнения дает

Деление комплексных чисел

Мы определили в множестве комплексных чисел операции сложения, вычитания и умножения, причем эти операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над действительными числами. Поэтому множество комплексных чисел образует кольцо. Сейчас мы пока­жем, что это множество является полем, то есть что в нем определе­на операция деления на любое отличное от нуля число.

Пусть — два комплексных числа, причем (напомним: это означает, что хоть одно из чи­сел с и й отлично от нуля). Частным от деления z на w называют комплексное число s = u + vi, такое, что ws = z. Покажем, что такое число существует и единственно.

По формуле (1), п. 4, равенство ws = z, или, что то же,

переписывается так:

Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительная и мнимая части. Поэтому из (1) получаем систему линейных уравнений:

Эта система имеет единственное решение:

(знаменатель дробей отличен от нуля, так как по условию хотя бы одно из чисел с и й отлично от нуля).

Итак, если то существует одно и только одно комплексное число такое, что Это число называется частным от деления z на w и обозначается z/wо. Из формулы (2) сле­дует, что

Замечание:

Правила алгебраических преобразований не изменяются при переходе от действительных чисел к комплексным. В противо­положность этому теория неравенств не может быть распространена на комп­лексные числа. Разумеется, можно (и даже многими различными способами) условиться, какое из двух произвольных комплексных чисел считать большим, а какое меньшим.

Например, можно условиться считать, что когда а < с, а если а = с — когда b < d. Однако для комплексных чисел невозможно определить понятия «больше» и «меньше» так, чтобы сохранились в силе известные ранее связи этих понятий с арифметическими действиями. В самом деле, предположим, что мы каким-нибудь способом определили для комплексных чисел понятие «больше» так, что из двух различных комплексных чисел одно и только одно всегда больше другого. Тогда должно быть или i > 0 , или i < 0. Если i > 0, то, умножая обе части этого неравенства на число i (которое по предположению положительно), мы должны получить, в силу из­вестного свойства неравенств, тогда как в действительности Точно так же если i < 0, то, умножая обе части этого неравенства на число i (которое теперь по предположению отрицательно), мы снова должны прийти к неравенству которое противоречит тому, что

Сопряженные комплексные числа

Определение:

Два комплексных числа, имеющие одну и ту же действительную часть и взаимно противоположные коэффициенты мнимых частей, назы­ваются ( взаимно) сопряженными.

Для любого комплексного числа г существует одно и только одно сопряженное с ним комплексное число, которое обозначается г. Если Очевидно, тогда и только тогда, когда z — действительное число.

Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:

Ранее было выведено правило деления комплексных чисел. Это правило можно проще получить с помощью сопряженных комплексных чисел.

Умножим числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное со знаменателем. Выполнив дей­ствия и отделив действительную часть от мнимой, получаем:

Этот результат совпадает с формулой, полученной в п. 6.

Эту формулу можно не запоминать, а только помнить, что при делении надо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное со знаменателем. Теорема 1. Число, сопряженное с суммой или произведением комплексных чисел, есть сумма или соответственно произведение чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Доказательство. Пусть Тогда Имеем:

Точно так же

Эта теорема показывает, что, поставив в соответствие каждому комплекс­ному числу сопряженное с ним число, мы получили взаимно однозначное отоб­ражение поля комплексных чисел К на это же поле К, при котором сохра­няются операции сложения и умножения.

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее

Следствие:

Число, сопряженное (натуральной) степени комплексного числа, равно той же степени числа, сопряженного данному:

Далее, если нам дан многочлен

коэффициенты которого — комплексные числа, то, заменив каждый коэффициент сопряженным ему комплексным числом мы получим новый многочлен, который обозначим через

Если теперь в полученном многочлене произвольное значение переменной z заменить сопряженным ему значением то в силу до­казанной выше теоремы и следствия I полученное значение много­ члена будет комплексным числом, сопряженным с исходным значением многочлена Р(z):

Если, в частности, все коэффициенты многочлена Р (z) — действительные числа, то — один и тот же многочлен, и формула (3) дает:

Таким образом, мы получили

Следствие:

При замене в многочлене с действительными коэффициентами произвольного значения аргумента сопряженным ему числом значение многочлена также заменяется сопряженным ему числом.

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел

Пусть с — комплексное число. Квадратным корнем из этого числа называют комплексное число z такое, что В этом случае пишут: Най­дем выражение для через а и b. Пусть z = u + iv. Тогда имеем:

или, иначе.

Это равенство равносильно системе уравнений:

Чтобы решить эту систему, найдем из второго уравнения — и подставим в первое уравнение. Мы получим уравнение, содержащее лишь неиз­вестное u:

или

Это биквадратное уравнение. Решая его относительно находим, что

Но u должно быть действительным числом, а потому положительно. Так как то и потому Итак, для мы должны взять лишь первое выражение. А тогда для u находим два значения — одно положительное, а второе отрицательное:

Число u обращается в нуль, лишь если b = 0 и а — отрицательное чис­ло (в этом случае но решение уравнения мы уже рассмотрели в п. 5. Потому можно считать, что Подставляя значение в равенство находим u:

Полученное выражение для v можно преобразовать, умножив числитель и зна­менатель дроби нa

Так как

то

Но — это знак числа b, или, иначе,

Поэтому

Например,

Мы показали, что из любого комплексного числа z = a+ bi можно из­влечь квадратный корень, причем если г Ф 0, то этот корень имеет два зна­чения, отличающиеся друг от друга знаком.

Тригонометрическая форма комплексных чисел

Геометрическое изображение комплексных чисел

Мы знаем, что действительные числа можно изображать точками на числовой оси. Комплексное число z = а + bi задается двумя действитель­ными числами a и b. Поэтому естественно изображать комплексные числа точками на плоскости. Именно, каждому комплексному чис­лу z = а + bi ставится в соответствие точка М(a, b). В частности, числу i ставится в соответствие точка Действительным чис­лам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам — точ­ки оси ординат.

Построенное соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимно-однозначным. Часто вместо точек плоскости рассматривают их радиус-векторы, то есть векторы, иду­щие из начала координат О (0,0) в точку М . Тогда получаем взаимно­однозначное соответствие между комплексными числами и радиус- векторами (см. рис. 35). Разумеется, вместо радиус-векторов можно брать любые равные им векторы.

Изображение комплексных чи­сел с помощью векторов удобно тем, что при этом сложение и вы­читание комплексных чисел полу­чают простое геометрическое истол­кование. Мы знаем, что при сло­жении комплексных чисел отдель­но складываются их действитель­ные и мнимые части:

Точно так же при сложении векторов отдельно складываются их координаты: если и то Поэтому при указанном соответствии между комплексными числами и векторами операции сложе­ния и вычитания комплексных чисел переходят в операции сло­жения и вычитания векторов.

Точнее это означает следующее: если числу z соответствует вектор а числу t — вектор , то числу z+t соответству­ет вектор а числу z -t — вектор

Если одно из слагаемых считать постоянным и равным с=а+bi, а второе переменным и положить w = z + с, то w — функция, определенная для комплексных значений аргумента z и принимающая комплексные зна­чения. Из изложенного выше ясно, что этой функции соответствует геометри­ческое преобразование плоскости, при котором точка М (х, у) переходит в точку Р (х+а, у+b). Это преобразование есть не что иное, как парал­лельный перенос плоскости на вектор с координатами а и b.

Вопрос о геометрическом истолковании умножения и деления комплек­сных чисел будет рассмотрен позже.

Полярная система координат

Мы задавали положение точ­ки на плоскости ее декартовыми координатами — абсциссой и ординатой. Наряду с этой системой координат часто применяют дру­гую, называемую полярной системой координат. Чтобы задать полярную систему координат, выбирают точку О (полюс) и выходящий из этой точки луч l (полярную ось). Положение точки М на плоскости задается двумя числами—длиной r вектора и углом который этот вектор образует с полярной осью. При этом угол измеряется в радианной мере и отсчитывается против часовой стрел­ки (см. рис. 36).

Ясно, что координата r — неотрицательное действительное чис­ло и однозначно определена положением точки М. Координата же определена неоднозначно, так как угол между вектором ОМ и осью l определен лишь с точностью до кратного Для точки 0 координата не определена.

Установим связь между декартовыми координатами (х , у) и полярными координатами (см. рис. 37). Мы будем считать, что полюс совпадает с началом координат 0(0, 0), а полярная ось— с положительным направлением оси абсцисс. В этом случае в силу

определения тригонометрических функций (см. «Математический анализ», п. 1 § 2 главы V) имеем:

Отсюда выводится, что

Соотношения (1) и (2) позволяют находить декартовы координаты точки по ее полярным координатам и обратно.

Пример:

Найти полярные координаты точки Мы имеем

По заданным значениям находим, что Значит, полярные координаты точки М равны

Иногда отыскание полярных координат точки легче делать не­ посредственно исходя из рисунка, чем из формул (2). Возьмем, на­ пример, точку М (— 1, 1). Из рис. 38 очевидно, что для этой точки

Для точек, лежащих на по­ложительном направлении оси абсцисс, угол равен (с точ­ностью до кратного ) нулю, для точек на отрицательном на­правлении оси абсцисс он равен для точек на положительном и отрицательном направлениях оси ординат соответственно и

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексные числа, как мы знаем, изображаются точками плоскости или же векторами, идущими в эти точки из нулевой точки О. Задание ком­плексного числа г в алгебраической форме равносильно заданию абсциссы и ординаты соответствующей точки М или вектора Но вектор на плоскости может быть задан и иначе, а именно, своей длиной и углом, который он образует с каким-нибудь фик­сированным направлением, то есть полярными координатами точ­ки

Определение. Длина вектора, соответствующего ком­плексному числу я, называется модулем числа z, а радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси, — аргументом комплексного числа Модуль комплексного числа z обозначается | z |; аргумент этого числа обо­значается Агg z.

Модуль любого комплексного числа z есть неотрицательное действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда z=0. Аргумент любого комплексного числа имеет бесконечно много значений (поскольку угол, фигурирующий в определении аргумента, определен неоднозначно), отличающихся друг от друга на числа, кратные

В тех случаях, когда хотят иметь однозначно определенное значение аргумента, выбирают значение, лежащее между и обозначают его через Ясно, что на отрицательной действительной по­луоси функция агg z имеет разрыв: когда мы пересекаем эту полуось, зна­чение агg z скачком меняется на — увеличивается, если ось пересекают снизу вверх, и уменьшается, если ось пересекают сверху вниз.

Например, (рис. 39). Наряду с обозначениями | z | и Агg z мы будем обозначать модуль через r, а аргумент через

Если комплексное число z является действительным, то есть если соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, то определенное только что понятие модуля, очевидно, совпадает с известным ранее понятием абсолютной величины числа z. Этим оправдывается употребление для модуля комплексного числа того же обозначения, которое было ранее принято для абсолютной вели­ чины действительного числа. Аргумент же действительного числа z равен если z > 0, и равен , если z < 0.

Можно сказать, что модуль комплексного числа — это расстоя­ние от точки О до точки М. Вспоминая, что число изображается разностью векторов то есть вектором, идущим из получаем важный результат: если числу соответст­вует точка а числу — точка то равно расстоя­нию между этими точками:

Зная модуль и аргумент комплексного числа, нетрудно найти его действительную и мнимую части, то есть представить его в алгебраической форме.

По формулам (1), п. 2, имеем:

Выражение через х и у дается формулами (2), п. 2:

Любое из соотношений (1) позволяет найти угол если учитывать дополнительно, что знаки чисел х и у определяют чет­ верть, которой принадлежит искомое значение аргумента.

Примеры:

1. Представить в тригонометрической форме число

Мы имеем: откуда . . Значит, .

2. Представить в тригонометрической форме число —6. Из рис. 40 мы имеем: r = 6, Значит,

3*. Представить в тригонометрической форме число

Данное выражение не является тригонометрической формой чис­ла г, во-первых, потому, что модуль этого числа не может быть равен —2, а во-вторых, потому, что коэффициент мнимой части выражения в скобках равен а не Представив число z в виде

увидим, что аргументом z является такой угол что Такой угол нетрудно найти: Итак, искомое представление числа z в тригонометрическом форме есть

Умножение и деление ком­плексных чисел в тригонометричес­кой форме

В то время как сложе­ние и вычитание комплексных чи­сел удобнее делать в алгебраичес­кой форме, умножение и деление проще выполнять, используя три­гонометрическую форму комплек­сных чисел.

Возьмем два произвольных ком­плексных числа, заданных в тригонометрической форме:

Перемножая эти числа, получим:

Но по формулам тригонометрии

и потому

Таким образом, при умноже­нии комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы — отдельно, то выполнение умножения в тригономе­трической форме проще, чем в алгебраической.

Из равенства (1) вытекают соотношения:

Поскольку деление — действие, обратное умножению, то при получаем, чтo

или

Иными словами, модуль частного равен отношению модулей дели­мого и делителя, а аргумент частного — разности аргументов де­лимого и делителя.

Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) — (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргу­мента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изме­няя его модуля. Первая из этих опе­раций геометрически означает гомо­тетию относительно точки О с коэф­фициентом , а вторая — поворот относительно точки О на угол, рав­ный Считая здесь один мно­житель постоянным а дру­гой — переменным можем сформулировать результат так: фор­мула

определяет на комплексной плоскос­ти произведение гомотетии относи­тельно точки О (с коэффициентом, равным |с |) и поворота относительно той же точки О (на угол, равный Агg с, см. рис. 42). Отметим, что если

число r представлено в тригонометрической форме то умножение на первый множитель дает указанную здесь гомотетию, а на второй — поворот.

Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра

Из формулы (2), п. 4, вытекает, что если

то

Иными словами, при возведении комплексного числа z в степень с натуральным показателем его мо­дуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножа­ется на показатель степени:

Вычислим, например, Для этого сначала найдем модуль и аргумент числа Мы имеем:

Отсюда , а, значит, тригонометрическая форма числа z имеет вид:

Но тогда по формуле (1) имеем:

Разумеется, возведение в степень по формуле бинома Ньютона было бы здесь гораздо сложнее.

Отметим частный случай формулы (1), называемый формулой Муавра. Положим в равенстве (1) r = 1. Мы получим, что

Этой формулой можно пользоваться для выражения синусов и косинусов кратных углов через синусы и косинусы угла

Например, при n = 3 получаем:

Но из равенства комплексных чисел вытекает равенство действительных и мнимых частей. Поэтому

Извлечение корня из комплексного числа

Как и для действительных чисел, корнем n-й степени из комплексного числа с назы­вается такое комплексное число z, что Корень n-й степени из с обозначают Таким образом, если Мы по­кажем сейчас, что из любого комплексного числа с можно извлечь корень n-й степени, причем если с = 0, то принимает n значе­ний.

Связь между комплексными числами записывается наиболее просто, если эти числа выражены в тригонометрической форме. Поэтому при решении уравнения следует пользоваться имен­но этим представлением комплексных чисел. Обозначим модуль и ар­гумент данного числа с соответственно через r и а (считая а каким- нибудь одним из значений Агg с), а модуль и аргумент искомого числа z — через Тогда

и в силу формулы (1), п. 5, равенство перепишется так:

Чтобы выполнялось равенство (1), нужно, чтобы неизвестные удовлетворяли соотношениям

где k — какое-нибудь целое число. Учитывая, что р должно быть не­ отрицательным действительным числом, находим отсюда:

Итак, для модуля неизвестного числа z мы получили единственное, вполне определенное значение. Что же касается аргумента этого числа, то он может принимать различные значения в зависимости от значений целого числа k. Однако не всегда различ­ным значениям k будут соответствовать различные числа В самом деле, при увеличении k на увеличивается на ; при увеличении k на n единиц увеличивается на а это значит, что Следовательно, формулы (3) опреде­ляют п различных комплексных чисел которые можно получить, придавая k любые n последовательных целых значений, например, беря k = 0, 1, …, n — 1. Попутно мы видим также, что точки, изо­бражающие все получаемые значения лежат на одной окружно­сти (центром которой является точка О, а радиусом — число ) и делят эту окружность на равные части (дуга между любыми двумя соседними точками составляет рад.), то есть являются вершинами правильного n-угольника.

Итак, нами получена следующая

Теорема:

Корень n-й степени из любого комплексного числа име­ет в поле комплексных чисел n значений:

Эти значения изображаются вершинами правильного n-угольника с центром в нулевой точке.

Рассмотрим некоторые частные случаи этой теоремы.

1) Квадратный корень из комплексного числа. При n — 2 формулы (3) определяют два значения корня

Эти значения оказываются (как и следовало ожидать) взаимно противоположными.

2) Кубический корень из комплексного числа. При n = 3 формулы (3) дают три значения корня

Например, если и мы получаем следующие значения

3) Корень n-й степени из положительного дей­ствительного числа. Если а — положительное действительное число, то r = а, а = 0. Формулы (3) дают в этом случае

При k = 0 мы получаем положи­тельное действительное значение

то есть арифметическое значение корня.

Если n — четное число, то при мы получим еще одно действительное (отрицательное) значение корня:

Так, например, для получаем следующие значения:

Если же n — нечетное число, то арифметическое значение корня является единственным действительным его значением.

Так, например, для мы получаем, кроме арифметического значения , еще два мнимых значения:

В заключение остановимся на одном моменте, отличающем извлечение корня в поле комплексных чисел от того же действия в поле действительных чисел. В поле действительных чисел, когда значение корня оказывается единственным, символом обозначают лишь одно из всех значений кор­ня — его арифметическое значение. При этом правила действий над радика­лами относятся именно к арифметическим значениям. В поле же комплекс­ных чисел невозможно выбрать для каждого из выражений какое-ни­будь одно значение в качестве «главного» («арифметического») так, чтобы применительно к этим значениям оставались справедливыми известные нам правила действий над радикалами.

В самом деле, предположим, что для любого n (или даже только для n = 2) и для любого комплексного числа а мы каким-то способом выбрали одно из значении так, что для этих «главных» значении корня справедли­во тождество

Тогда с помощью формулы (5) мы получили бы (обозначая каждый раз символом «главное» значение квадратного корня):

(ибо независимо от того, какое из значений или— принято в качестве «главного»). Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Таким образом, понятие арифметического корня при пере­ходе от действительных чисел к комплексным теряет смысл, и все значения корня оказываются совершенно равноправными между собой. Поэтому сим­вол в применении к комплексным числам означает не одно число, а сово­купность n чисел.

Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости

В анализе мы познакомились с функциями действительного переменного. Совершенно так же определяется, что такое функция комплексного переменного. Именно если каждо­му числу z из некоторого множества А поставлено в соответствие некоторое число w, то говорят, что задана функция w = f (z). С некоторыми функциями мы уже встречались: на стр. 210— с функцией на стр. 217 — с функцией u = сz.

В отличие от функций действительного переменного функции комплексного переменного нельзя изображать с помощью графи­ ка. Ведь для переменной z нужны две координаты х и у, для пере­менной до нужны еще две координаты, а всего 4 координаты. Ясно, что «график» функции комплексного переменного не может быть изображен в трехмерном пространстве.

Для функций комплексного переменного пользуются иной формой описания — с каждой такой функцией связывают преобразо­вание комплексной плоскости. Именно, каждой точке z множества G ставят в соответствие точку w = f(z). Иногда берут два экземп­ляра комплексной плоскости — плоскость z и плоскость w и ста­вят в соответствие точке z на первой плоскости точку w = f(z) на второй плоскости. При этом вместо преобразования плоскости получают отображение плоскости z на плоскость w.

Мы уже рассматривали некоторые геометрические преобразования, связанные с функциями комплексного переменного. Так, функции соответствует параллельный пе­ренос на вектор с координатами а и b, а функции w = сz — пре­образование, сводящееся к гомотетии с коэффициентом |с| и пово­роту на угол Агg с вокруг начала координат.

Задание функции комплексного переменного сводится по сути дела к заданию двух функций, каждая из которых зависит от двух действительных переменных. Возьмем, например, функцию Пусть Тогда эту функцию можно запи­сать так:

Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительная и мнимая части. Поэтому из равенства (1) получаем:

Из формул (2) видно, что, например, точка переходит при этом преобразовании в точку точка — в точку и т. д.

Посмотрим, в какую линию переходит при преобразовании прямая у = с. Для этого положим в равенствах (2) у = с. Мы получим:

Исключим из этих равенств х. Для этого найдем х из второго равенства и подставим в первое равенство. Мы получим уравнение

Оно является уравнением параболы на плоскости (u, v). Ось этой параболы совпадает с осью Ои, а вершина находится в точке Точно так же устанавливается, что прямые х = с переходят в параболы

Таким образом преобразование переводит координатную сетку на плоскости в сетку, состоящую из двух семейств парабол (рис. 45). Через каждую точку плоскости проходит по одной пара­ боле каждого семейства. Эти параболы пересекаются под прямым углом — преобразование меняет вид кривых, но сохраняет углы между ними (исключением является лишь точка z =0, в этой точке при преобразовании все углы удваиваются). Преобразования, сохраняющие углы между кривыми, на­зываются конформными.

Рассмотрим еще преобразование («обратная пропорциональность»). Если

Таким образом, при преобразовании точка с модулем r и аргументом переходит в точку w с модулем и аргументом — . Это преобразование можно разбить на два. Первое из них состоит в том, что модуль числа не меняется, а ар­гумент заменяется на При этом преобразовании точка z переходит в точку, симметричную с ней относительно оси абсцисс. При втором преобразовании аргумент числа остается неизменным, а модуль r заменяется на При этом преобразовании точки ос­таются на том же самом луче, проходящем через начало координат, но их расстояние до начала координат заменяется обратным чис­лом. Второе преобразование называют в геометрии инверсией с центром в точке О (и коэффициентом 1) или, иначе, симметрией относительно единичной окружности. Последнее название связа­но с тем, что при инверсии точки единичной окружности остаются неподвижными.

Некоторые виды алгебраических уравнений

Комплексные корни алгебраических уравнений

В предыдущих главах мы рассматривали лишь уравнения с действитель­ными коэффициентами и лишь действительные корни таких урав­нений.

После введения комплексных чисел круг изучаемых уравнений расширяется. Теперь уже можно рассматривать и уравнения с комплексными коэффициентами, например, такие, как

или

Для этих уравнений, да и для уравнений с действительными коэффициентами, теперь можно рассматривать не только действитель­ные, но и комплексные корни. Например, ранее для уравнения мы имели лишь два корня: Это уравнение можно записать в виде

причем третий множитель для действительных значений х не обращается в нуль. Теперь мы можем решить и уравнение

получающееся приравниванием нулю третьего множителя. Оно дает еще два корня:

Таким образом, над полем комплексных чисел уравнение имеет четыре корня:

Можно показать, что почти все свойства многочленов и уравнений над полем действительных чисел сохраняются после перехо­да к многочленам и уравнениям над полем комплексных чисел. Повторим кратко эти свойства.

Если f(х) — многочлен над полем комплексных чисел и а — любое комплексное число, то остаток от деления f(х) на (х — а) ра­вен f(а). В частности, если а — корень многочлена f(х), то f(х) де­лится на (х — а) без остатка. Если —различные корни многочлена f(х), то f(х) делится без остатка на выражение Поэтому многочлен n-й степени не может иметь больше чем n различных корней.

Мы опускаем доказательство этих свойств в случае многочленов над полем комплексных чисел, поскольку оно проводится точно так же, как в главе II.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых типов уравнений, решение которых тривиально над полем действительных чисел, но представляет большой интерес после расширения этого поля до поля комплексных чисел.

Двучленные уравнения

Двучленными уравнениями назы­вают уравнения вида

Перенесем свободный член уравнения в правую часть и разделим обе части получившегося равенства на а. Мы получим уравнение

Если а и b — действительные числа и если рассматриваются лишь действительные корни уравнения, то дело обстоит следующим образом: при четном n уравнение имеет два корня, если и ни одного корня, если при нечетном n уравнение имеет только один корень.

Будем теперь считать а и b любыми комплексными числами (в частном случае — действительными числами) и поставим задачу отыскания всех комплексных корней уравнения (1),

Ясно, что решениями нашего уравнения являются корни n-й степени из числа Обозначим модуль этого числа через r, а его аргумент через

Тогда по формуле (4) из п. 6 §2 все решения двучленного уравнения даются формулой:

где k пробегает значения 0, 1, . . . , n — 1.

Рассмотрим отдельно уравнения вида Их решения называются корнями n-й степени из единицы. При некоторых значениях n можно вычислить корни n-й степени из единицы, не при­бегая к тригонометрической форме комплексных чисел.

Решим уравнение:

Разлагая левую часть на множители, получаем

Тем самым решение нашего уравнения свелось к решению линейного уравнения х — 1 = 0 и квадратного уравнения Решая их, находим, что корнями третьей степени из единицы являются

Точно так же решается уравнение Разлагая левую часть на множители, получаем

Отсюда следует, что корнями уравнения являются числа:

Уравнение можно записать в виде:

или, иначе,

Поэтому его корнями являются числа:

Далее, решим уравнение Разлагая левую часть на множители, получаем:

Легко найти четыре корня этого уравнения: Чтобы найти остальные корни, надо решить урав­нение Для этого добавим и вычтем Мы получим уравнение

или, иначе,

Разлагая левую часть на множители, получаем:

Теперь задача свелась к решению совокупности двух квадратных уравнений:

Из них находим еще четыре корня уравнения:

Несколько сложнее решение уравнения

Разлагая левую часть на множители, получаем уравнение:

Поэтому . Для отыскания остальных корней надо решить уравнение Это уравнение является воз­вратным. Разделим обе части уравнения на и положим Так как

то уравнение примет вид: Отсюда находим: . Поэтому решение нашего уравнения сводится к решению двух уравнений:

или, что то же, совокупности квадратных уравнений:

Решая эти уравнения, находим, что

Корни из единицы и построение правильных многоугольников

Мы знаем, что точки, изображающие корни n-й степени из единицы, лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат и являют­ся вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность. Од­ ной из вершин этого правильного n-угольника является точка z= 1.

В предыдущем пункте мы получили для n= 2, 3, 4, 5, 6, 8 формулы, выражающие корни n-й степени из единицы. Эти формулы содержат лишь квадратичные иррациональности.

Из геометрии известно, как, зная отрезки а и b, построить циркулем и линейкой их сумму, как построить отрезок длины и как делить отре­зок на равные части. Пользуясь этим, можно, исходя из единичного отрезка, построить циркулем и линейкой вершины правильного n-угольника при n = 2, 3, 4, 5, 6, 8.

Знаменитый немецкий математик Гаусс исследовал в 1797 году вопрос о том, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и ли­нейкой. Оказалось, что если число простое, то n-угольник можно построить циркулем и линейкой. Например, при m = 0 получаем n = 3, при m = 1 имеем n = 5, при m = 2 имеем n = 17, а при m = 3 име­ем n = 257. Числа 3, 5, 17 и 257 — простые. Поэтому правильные треуголь­ник, пятиугольник, 17-угольник и 257-угольник можно построить циркулем и линейкой.

Будем называть простые числа вида гауссовскими. Из резуль­татов Гаусса следует, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда где — различные между собой гауссовские простые числа. Например, правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой.

Трехчленные уравнения

Трехчленными называют уравне­ния вида

Для того чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку Тогда и наше уравнение сводится к квадратному уравнению Это уравнение имеет два корня: Так как решение уравнения (1) сводится к решению совокупности двух двучленных уравнений

которое выполняется так, как было описано в п. 2. Так как каждое двучленное уравнение n-й степени имеет n корней, то трехчленное уравнение (1) имеет 2n корней, то есть столько корней, какова его степень.

Примеры:

Решим уравнение Пола­гая приходим к квадратному уравнению Его корнями являются числа Теперь нам надо решить двучленные уравнения Из них находим, что:

Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия

Мы доказали в п. 3 §2 главы 1, что алгебраический многочлен п-й степени не может иметь больше чем n корней. Возникает вопрос, всегда ли многочлен n-й степени имеет ровно n кор­ней или же число корней может оказать­ся меньше n? Мы покажем ниже, что любой многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами всегда имеет ровно n корней. При этом если среди корней есть кратные, то они считают­ся столько раз, какова их кратность.

Сформулированные сейчас утверждения вытекают из следую­щей теоремы, которую (ввиду ее важности) называют основной теоремой алгебры многочленов.

Теорема:

Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Коэффициенты многочлена могут быть любыми комплексными числами (в частности—действительными числами); нужно лишь, чтобы степень многочлена была отлична от нуля.

Доказательство этой теоремы весьма сложно, и мы не будем его здесь приводить.

Покажем теперь, как из основной теоремы алгебры многочленов вытекает утверждение о числе корней многочлена. Сначала докажем методом математической индукции следующую лемму.

Лемма:

Любой многочлен п-й степени может быть представлен в виде произведения линейных множителей

Доказательство:

При n = 1 утверждение очевидно — многочлен имеет вид ах + b; вынося за скобку а, мы приведем его к виду что и требовалось доказать.

Предположим, что для многочленов (n— 1)-й степени уже доказана возможность представить их в виде произведения n — 1 линейного множителя. Покажем, что тогда и многочлен n-й степе­ ни можно представить в аналогичном виде. В самом деле, пусть

— многочлен n-й степени. По основной теореме алгебры многочленов этот многочлен имеет по крайней мере один комплексный ко­рень Но тогда по теореме Безу многочлен f(х) делится на так что его можно представить в виде

Ясно, что — многочлен (n — 1)-й степени, старший коэффици­ент которого равен Поэтому по предположению индукции его можно представить в виде

Из равенств (2) и (3) следует, что

Значит, и многочлен n-й степени можно представить в виде произведения линейных множителей.

Итак, утверждение доказано для многочленов первой степени и показано, что из его справедливости для многочленов (n — 1)-й степени вытекает, что оно верно и для многочленов n-й степени. Поэтому оно верно для всех многочленов любой ненулевой степени.

Теперь уже легко доказать утверждение о числе корней много­ члена. Возьмем любой многочлен n-й степени и запишем его в виде произведения линейных множителей

Ясно, что числа являются корнями нашего многочле­на — при подстановке вместо x одного из этих чисел хотя бы один из сомножителей в (4) обращается в нуль. В то же время ни одно из чисел, отличных от не является корнем многочлена f(х): если подставить такое число вместо х в разложение (4), то ни одна из скобок не обратится в нуль, а произведение отличных от нуля комплексных чисел само отлично от нуля.

Итак, мы доказали, что многочлен n-й степени имеет ровно п корней . Разумеется, среди этих корней могут оказаться и совпадающие. Тогда соответствующий корень считается столько раз, сколько раз он встречается среди чисел Но если а встре­чается среди чисел ровно k раз, то многочлен f(х) делится на и не делится на . Значит, а является корнем k-й кратности многочлена f(x).

Из приведенных рассуждений вытекает справедливость следующей теоремы:

Теорема:

Каждый многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами имеет n корней, где каждый корень считается столько разу какова его кратность.

Многочлены с действительными коэффициентами

Вернемся теперь к изучению многочленов над полем действительных чисел, то есть будем изучать многочлены

где — действительные числа.

Основное свойство таких многочленов выражается следующей теоремой.

Теорема:

Если комплексное число является кор­нем многочлена

с действительными коэффициентами, то и сопряженное с ним число является корнем того же уравнения.

Доказательство:

По условию при подстановке числа в многочлен f(х) получаем нуль, f() = 0.

Но мы знаем (см. стр.207), что при подстановке в многочлен f (х) с действительными коэффициентами комплексного числа сопряженного с , получается число, сопряженное с f(). Иными словами, Но f() = 0, а = 0 и потому Тем самым доказано, что — тоже корень многочлена f(х).

Докажите сами, что кратность корня такова же, как и кор­ня .

Пример:

Построить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни

Из доказанной теоремы вытекает, что этот многочлен, кроме корня должен иметь и сопряженный с ним корень (для корня наша теорема не дает ничего нового, так как . Поэтому искомый многочлен должен иметь сле­дующий вид:

Раскроем скобки в этом выражении. Это удобнее всего сделать так:

Поэтому дело свелось к перемножению многочленов с действитель­ными коэффициентами:

Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами

Займемся теперь разложением на множители мно­гочленов с действительными коэффициентами. Из результатов п. 1 следует, что их, как и любой многочлен с комплексными коэф­фициентами, можно разложить на линейные множители:

Однако среди этих множителей могут встретиться и множители, для которых не является действительным числом. Если мы хо­тим получить разложение на множители с действительными коэф­фициентами, надо сгруппировать сомножители, соответствующие сопряженным корням многочлена.

Изменим обозначение корней. Через будем обозначать действительные корни многочлена, а через

— его мнимые корни. Общее число корней равно п и потому k+2j=n.

Каждому действительному корню соответствует действительный сомножитель в разложении f(х). Корням же соответствует множитель

Таким образом, паре сопряженных комплексных корней

многочлена f(х) соответствует в разложении этого многочлена дей­ствительный множитель

Этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Заменяя таким образом все множители, соответствующие комплексным корням многочлена f(х), получим разложение вида

Мы доказали следующую теорему.

Теорема:

Любой многочлен f(х) с действительными коэффициентами может быть разложен в произведение действительных мно­жителей 1-й и 2-й степени, причем множители 2-й степени не име­ют действительных корней.

Краткие исторические сведения: При решении квадратных урав­нений математики столкнулись со случаями, когда в ответ входил квадрат­ный корень из отрицательного числа (например, В течение долгого времени считали, что такие уравнения попрос­ту не имеют решений (а еще ранее математики не признавали и отрицательных чисел; лишь истолкование таких чисел, как «долга», «потери» и т. д., сделало их равноправными с положительными; впрочем, еще в X VIII веке некоторые английские ученые отказывались иметь с ними дело).

В конце XVI века было открыто, что в случае, когда кубическое уравне­ние

имеет три действительных корня (как, например, уравнение имеющее корни 1, 3, —4), его решение по формуле Кардано при­водит к извлечению квадратных корней из отрицательных чисел.

Таким образом, создалось положение, когда для получения действитель­ного результата надо было использовать квадратные корни из отрицательных чисел. Кардано доказал, что выражения

удовлетворяют системе уравнений

если произвести с ними действия как с обычными двучленами и положить

В начале X V III века Лейбниц дал разложение на мнимые множители двучлена С этого времени начали постепенно развиваться формаль­ные вычисления с комплексными числами, не сопровождавшиеся, однако, изучением вопроса об их обосновании. Французский математик Муавр (1667— 1754) в начале X VIII века нашел формулу

и применил ее к вычислению корней из комплексных чисел. (Его обозначе­ния отличались от современных. Современный вид придал этой формуле Эй­лер.) Даламбер в 1747 году показал, что всякое алгебраическое выражение, образованное из комплексных чисел, может быть приведено к виду а + bi, где а и b —действительные числа. Он дал также нестрогое доказательство теоремы о том, что всякий многочлен ненулевой степени с комплексными ко­эффициентами имеет по крайней мере один комплексный (в частном случае — действительный) корень. Строгое доказательство этой теоремы было прове­дено в 1799 году великим немецким математиком Гауссом (1777— 1855). Гаусс же в 1831 году дал геометрическое истолкование комплексных чисел (до него такое истолкование предлагали другие математики, но их работы остались незамеченными). Гаусс ввел и название «комплексное число». Он систематически применял обозначение *, введенное в одной работе Эйлером. В 1821 году французский математик О. Коши (1789— 1857) ввел название «модуль» для величины Ему же принадлежит название «сопряженные комплексные числа».

В работах Эйлера и Даламбера были заложены основы теории функций комплексного переменного. Эта теория была развита в работах Коши и не­мецких математиков Б. Римана (1826—1866) и К- Вейерштрасса (1815— 1897). В настоящее время методы теории функций комплексного переменного ши­роко используются в теории упругости, аэро- и гидродинамике, электроста­тике, картографии, электротехнике и других областях физики и техники. Приложения этой теории к задачам упругости ведут свое начало от работ рус­ского ученого Г. В. Колосова (1867— 1936). Н. Е. Ж уковский (1847— 1921) и его ученик С. А. Чаплыгин (1869— 1942) применили методы теории функ­ций комплексного переменного к расчету профиля крыла самолета. Иссле­дования по применениям этих методов к другим задачам аэро- и гидромеха­ники были выполнены советскими учеными М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым.

Комплексные числа в высшей математике и их определение

Как известно, имеются различные числовые системы: натуральных, целых, рациональных, действительных чисел. Каждая из этих числовых систем моделирует определенные; типы количественных отношений действительного мира, другими словами, предназначена для решения определенного вида задач.

Исторически почти одновременно возникли понятия натурального и положительного рационального (дробного) чисел. При помощи натуральных чисел решаются произвольные задачи, связанные с определением количества элементов любого конечного множества,
т. е. решается любая задача счета. В множестве рациональных чисел решаются любые задачи, связанные с операцией деления, которые, как легко видеть, в множестве натуральных чисел не всегда имеют решения. Намного позже люди пришли к понятию отрицательного числа. Необходимость введения этого понятия связана с моделированием процессов, величин, которые меняются в двух
противоположных направлениях. Примерами таких величин являются температура, уровень реки, прибыль, скорость прямолинейного движения некоторого тела и т. д.

Таким образом, на каждом этапе необходимость расширения понятия числа связана с тем, что в имеющемся множестве чисел не всегда решаются отдельные важные задачи, т. е. не всегда выполнимы некоторые операции и новые числа вводятся так, чтобы рассматриваемые операции стали выполнимыми.

Несколько отходя от исторического пути, рассмотрим этапы развития понятия числа с точки зрения выполнимости арифметических и алгебраических операций.

В множестве всех натуральных чисел для любых а, выполняется операция сложения , но не всегда выполняется обратная ей операция— вычитание, т. е. уравнение , где , не всегда имеет решение в . Присоединяя к все решения этого уравнения (нуль и отрицательные числа), получим множество всех целых чисел:

Здесь через обозначено произвольное натуральное число, а через — противоположное ему отрицательное число. В множестве всех целых чисел выполнимы операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления (обратная умножению) на отличные от нуля числа, т. ,е. уравнение ,
, не всегда имеет решение в . Присоединяя к все решения этого уравнения («дробные» числа), получим множество. всех рациональных чисел:

Дальнейшее расширение понятия числа связано с задачей измерения величин. Вспомним, что в математике и ее приложениях широко используется геометрическое изображение чисел точками числовой прямой.

Как известно из курса средней школы, множество всех рациональных чисел не заполняет всю прямую. В частности, так как диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то, например, точке, находящейся от начала координат на расстоянии, равном диагонали
квадрата со стороной 1, не соответствует никакое рациональное число. Таким образом, в множестве рациональных чисел задача точного измерения отрезков не всегда разрешима. Для того чтобы измерение произвольного отрезка при помощи фиксированной единицы длины стало всегда возможным, необходимо дополнить
множество рациональных чисел числами, которые называются иррациональными. Совокупность рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел. Исходя из измерения отрезков при помощи десятичных долей единицы, получаем представление вещественных чисел десятичными бесконечными дробями; при этом рациональные числа представляются конечными или бесконечными периодическими дробями, а иррациональные числа — бесконечными непериодическими дробями.

Например, — примеры рациональных чисел, В школьном курсе доказывается иррациональность числа Иррациональными же являются значения многих других корней, числа
и др.

Основное свойство множества всех действительных чисел состоит в том, что между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Другими словами, действительными числами можно координатизировать прямую, т. е. ввести систему координат на прямой так, чтобы каждой точке прямой соответствовало определенное действительное число — ее координата.

С точками прямой (с «одномерным точечным пространством») тесно связано так называемое одномерное векторное пространство, т. е. множество всех векторов, находящихся на прямой, начало которых
совпадает с началом координат. В силу основного свойства множества действительных чисел каждый такой

вектор прямой полностью определяется одним действительным числом (рис. 103), которое является координатой его конца.

Так как в геометрии и физике большую роль играют векторы, расположенные на плоскости, естественно поставить вопрос о построении системы чисел, при помощи которой можно было бы таким же образом характеризовать геометрическое двумерное точечное пространство, или, что то же самое, двумерное векторное пространство.

Построение множества комплексных чисел

Ставим перед собой задачу построения системы чисел, которые находились бы во взаимно однозначном соответствии с точками плоскости, подобно тому как действительные числа находятся во взаимно однозначном соответствии с точками прямой.

Для этого выберем на плоскости некоторую декартову систему координат. Как известно, положение произвольной точки А на плоскости (рис. 104) полностью определяется своими координатами, т. е. парой действительных чисел , где а — абсцисса,
b — ордината

точки A. Легко видеть также, что любой вектор на плоскости, начало которого совпадает с началом координат (рис. 105), полностью определяется координатами точки А. Таким образом, пару действительных чисел геометрически можно интерпретировать на
плоскости как точку , или как вектор с началом в начале координат и с концом в точке A. В дальнейшем мы в одинаковой степени будем использовать эти изображения.

Определение:

Пару (а; b) действительных чисел назовем комплексным числом. Обозначим множество комплексных чисел через С, т. е.

Плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда , , т. е. когда они представляют одну и ту же точку плоскости.

В частности, тогда и только тогда, когда
, другими словами, когда .

Отсюда тогда и только тогда, когда хотя бы одно, из чисел а, b отлично от нуля, т. е. когда . Для того чтобы множество С стало числовой системой, необходимо определить над его элементами операции сложения и умножения.

Определение:

Суммой комплексных чисел (а; b) и (с; d) называется комплексное число , т. e.

Как видно из рис. 106, сумма комплексных чисел геометрически изображается суммой соответствующих векторов, которая находится по правилу параллелограмма.

Пример:

Найти сумму комплексных чисел

Решение:

Сложение комплексных чисел обладает свойствами:

1) коммутативность:

2) ассоциативность:

Докажем, например, коммутативный закон сложения комплексных чисел. Имеем: . Следовательно, .

Определение:

Произведением комплексных
чисел называется комплексное числа

Пример:

Умножение комплексных чисел обладает свойствами:
1) коммутативность:

2) ассоциативность:

3) дистрибутивность:

Докажем, например, дистрибутивный закон. Имеем:

Аналогично,

Сравнивая полученные результаты, убеждаемся в истинности дистрибутивного закона.

Предлагаем читателю доказать самостоятельно остальные законы сложения и умножения.

Алгебраическая форма комплексного числа

Обозначим через множество комплексных чисел вида .

Каждому комплексному числу ставим в соответствие действительное число . Очевидно, что это соответствие является взаимно однозначным. Больше того, это соответствие сопоставляет сумме комплексных чисел сумму сопоставляемых им действительных чисел и, аналогично, для произведения. В таких случаях говорят, что рассматриваемое соответствие сохраняет операции сложения и умножения. В самом деле, используя формулы (1) и (2) § 2, находим:

Множества с операциями, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее соответствующие операции, называются изоморфными (от греческих слов «изос» — одинаковое и «морфе» —форма, структура). Формулы (1)
показывают, что множество всех комплексных чисел вида (а; 0) и множество всех действительных чисел, рассмотренных относительно операций сложения и умножения, изоморфны. Из изоморфизма, т. е. из формул (1), видно, что любое свойство сложения и умножения действительных- чисел может быть переписано для
комплексных чисел вида (а;-0).

Кроме того, множества R и R’ имеют одинаковые геометрические изображения: каждое действительное число изображает точку числовой прямой; комплексное число изображает ту же точку на оси Ох. В силу сказанного, комплексные числа вида
(а; 0) отождествляем с соответствующими действительными числами, т. е. полагаем

Например, и т, д.

После такого отождествления мы можем сказать, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, именно, это комплексные числа (а; b), для которых , т. е. вида (а; 0).

Из формулы (2) имеем , т. е. число (1; 0) представляется единичным вектором на оси абсцисс. Аналогично, комплексное число (0; 1) изображается единичным вектором на оси ординат. Сокращенно комплексное число (0; 1) обозначается буквой i , т, е.

Комплексное число , по традиции, называется мнимой единицей, а комплексные числа (а; b) у которых называются мнимыми числами. Используя определение умножения комплексных
чисел (2). § 2, находим

т. е

Учитывая (3) и (4), для любого комплексного числа (а; b) имеем:

Итак,

где . Запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Покажем, что . В самом деле,

Множество комплексных чисел отличается по своим алгебраическим свойствам от множества действительных чисел. Из доказанного соотношения следует, что комплексное число i является корнем уравнения , которое в множестве действительных чисел не имеет корней.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Алгебраическая форма комплексного числа существенно упрощает правила выполнения операций над комплексными числами. Так, формулы (1) и (2) § 2 могут быть сейчас переписаны в виде

Из формул (1) и (2) видно, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнить так же, как и в случае обычных многочленов с последующей заменой на -1.

Пример:

Пример:

Заметим, что ось абсцисс .комплексной плоскости называется действительной осью, ось ординат — мнимой осью

Переходим к рассмотрению вопроса о существовании обратных операций — вычитания и деления.

Разностью комплексных чисел называется число которое определяется из равенства

Отсюда получаем

Учитывая определение равенства комплексных чисел, имеем откуда

Таким образом,

Число называется противоположным числу Имеем: Геометрически число изображается точкой, симметричной точке, соответствующей числу , относительно начала координат (рис. 107).

Геометрически вычитание комплексных чисел сводится к вычитанию соответствующих векторов (рис. 108).

Пример 3. Найти сумму и разность комплексных чисел

Решение:

Если то число называется сопряженным к числу . В частности, действительное число сопряжено к самому себе. Точки и симметричны относительно оси абсцисс (рис. 109).

Например, если то

Заметим, что

Частным от деления комплексных чисел и называется комплексное число которое удовлетворяет равенству

Частное чисел и , обозначается, как обычно,

Умножая равенство (6) на , получаем

Умножая последнее равенство на действительное число (здесь так как по условию), получим

откуда следует существование и единственность частного (при ).

В практических вычислениях частное находят, умножая числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя (избавляются от мнимости в знаменателе).

Пример:

Вычислить .

Решение:

Пример:

Вычислить число , обратное к числу;

Решение:

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами

В § 3 мы показали, что комплексное число i является корнем уравнения . Легко также проверить, что тоже является корнем этого уравнения. Более того, если
— любой корень уравнения , то он обязательно является одним из чисел

Действительно, так как

то

Покажем теперь, что любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет два различных комплексных корня (которые, в частности, могут быть и действительными числами) или один действие тельный корень (который в этом случае называется двойным корнем).

Рассмотрим уравнение

где Сделаем замену Тогда

Если откуда

Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет единственный корень , который называется двойным корнем уравнения (1).

Если (здесь обозначает арифметический корень); следовательно, в этом случае уравнение (1) имеет два действительных корня:

Если, наконец, , то

(и здесь знак обозначает арифметический корень), откуда

Пример:

Решить уравнение

Решение:

. По формуле (2) находим:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

следовательно, Уравнение имеет один (двойной) корень.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

. По формуле (3) находим:

или

Пример:

Решить уравнение

Решение:

. По формуле (3) находим:

Замечание:

Если уравнение (1) имеет комплексные коэффициенты, то такими же преобразованиями, как в случае уравнения с действительными коэффициентами, его можно привести к виду где — некоторое комплексное число. Следовательно, для решения уравнения вида (1) с комплексными
коэффициентами надо уметь извлекать квадратный корень из комплексного числа. В п. 4 § 7 мы увидим, что операция извлечения квадратного корня из комплексного числа всегда выполнима и результат ее имеет два значения (за исключением квадратного корня из нуля, который имеет одно значение). Таким образом, любое квадратное уравнение с комплексными коэффициентами имеет, вообще говоря, два комплексных корня. Подобное утверждение, известное под названием «основной теоремы алгебры», имеет место для алгебраических уравнений любой степени с произвольными
комплексными коэффициентами.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Как мы знаем (§ 2, гл. 2), помимо декартовой системы координат, положение точки на плоскости может быть задано полярными координатами . Если точке соответствует комплексное число , то r называется модулем числа и
обозначается . Из рис. 110 легко видеть,
что

Угол называется аргументом числа и
обозначается . Аргумент комплексного числа определяется (см. рис. 110) из формул

c точностью до слагаемого вида , где — любое целое число. Отсюда согласно определению равенства двух комплексных чисел
(§ 2) два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы
отличаются на целое кратное . В случае действительных чисел аргумент принимает лишь два значения: для положительных и для отрицательных чисел.
Из (2) следует:

При помощи формул (3) можно перейти от алгебраической формы комплексного числа к новой записи через полярные
координаты соответствующей точки:

Следовательно,

Полученное выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример:

Найти тригонометрическую форму числа

Решение:

Имеем

Находим :

следовательно, . Итак,

Пример:

Найти тригонометрическую форму числа

Решение:

Имеем Находим :

следовательно, . Итак,

Пример:

Найти модуль и аргумент числа

Решение:

Данная запись не является тригонометрической формой, но может быть к ней легко приведена:

Полученная запись соответствует форме (4). Следовательно, она является тригонометрической формой данного числа . Отсюда

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Умножение

Тригонометрическая запись комплексных чисел удобна для выполнения операции умножения и связанных с нею операций деления, возведения в степень и извлечения корня и для нахождения их геометрических интерпретаций. Докажем, что если
то

т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

В самом деле,

Полученное выражение является тригонометрической
формой произведения , следовательно,

Используя метод математической индукции, формулу (1) можно обобщить на случай любого числа сомножителей: если

то

Умножение комплексных чисел имеет следующий геометрический смысл. Если комплексному числу соответствует вектор комплексному числу — вектор

(рис 111), то произведению соответствует вектор , получающийся из вектора поворотом на угол и растяжением в раз при или сжатием в раз при

Пример:

Умножить числа

Решение:

Рекомендуем учащимся самостоятельно изобразить данные числа а также их произведение геометрически.

2. Возведение в степень. Если , то из формулы (4) получаем

Формула (5) называется формулой Муавра. Она показывает, что для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени.

Пример:

Вычислить

Решение:

Найдем тригонометрическую форму числа

Имеем Тогда

Если модуль числа равен единице, то формула (5) принимает вид

Формула (6) может быть применена к выводу формул для выражения тригонометрических функций кратного аргумента через функции данного аргумента.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

При возведя левую часть формулы (6) в квадрат, имеем: ,
откуда получаем известные формулы:

При имеем

откуда

Деление

Докажем, что если

т. е. модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного — разности аргументов:

В самом деле,

Полученное выражение является тригонометрической формой комплексного числа , следовательно,

Применяя формулу (7) к частному случаю , , найдем тригонометрическую форму обратного числа

Деление комплексных чисел имеет следующий геометрический смысл. Если комплексному числу соответствует вектор комплексному вектор (рис. 112), то частному,

соответствует вектор , получающийся из вектора поворотом на угол в отрицательном направлении и сжатием в раз при или растяжением в раз при .

Пример:

Даны комплексные числа

Найти частное — .

Решение:

Рекомендуем учащимся изобразить геометрически данные числа и полученное частное

Извлечение корня из комплексного числа

Определение:

Корнем п-й степени, , из числа называется любое комплексное число и, для которого

Операция нахождения всех корней n-й степени из комплексного числа называется извлечением корня п-й степени из числа и результат ее обозначается

Теорема:

Для любого извлечение корня п-й степени, , из числа всегда возможно и имеет п различных значений.

Доказательство:

Пусть . Искомый корень n-й степени обозначим где подлежат определению. По формуле (10) имеем

Из равенства комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме (см. § 6), получаем где
—произвольное целое число. Отсюда

В выражении (11) имеется в виду арифметический корень. Покажем, что в (12) достаточно взять В самом деле, если , то, добавляя к аргументу (12) слагаемое , где целое число s таково, что , получим

где уже . А так как от прибавления к аргументу целого кратного комплексное число не изменяется, отсюда следует, что можно ограничиться неотрицательными значениями . Пусть теперь ;

разделив на п, в выражении (12) можно выделить слагаемое, являющееся целым кратным . В самом деле, если

Таким образом,

Пример:

Вычислить

Решение:

Имеем:

Отсюда

где . Тогда получаем

Геометрическая интерпретация корней дана на рис. 113, откуда видно, что эти числа изображаются вершинами правильного шестиугольника,

вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример:

Найти

Решение:

Полагая получим:

Пример:

Найти

Решение:

Полагая получим:

Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

Каждому комплексному числу (с модулем, равным единице) сопоставим показательное выражение , где иррациональное число е есть . Пусть даны два комплексных числа и соответствует выражение и . Легко видеть, что произведению этих чисел соответствует выражение которое естественно рассматривать как произведение соответствующих выражений Отсюда следует, что множество всех выражений вида , и множество всех комплексных чисел вида , рассмотренные вместе с
операцией умножения, являются изоморфными множествами. Следовательно, умножение комплексных чисел вида можно заменить умножением выражений вида. , что намного проще. Поэтому полагаем, по определению,

Формула (1) известна под названием формулы Эйлера. Обоснование этой формулы дается в теории рядов.

Пусть дано комплексное число Заменяя по формуле Эйлера , получим

Полученная форма комплексного числа называется показательной формой комплексного числа. Показательная форма комплексного числа удобна при выполнении ряда операций над комплексными числами.

Выведенные выше формулы умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня записываются следующим образом. Пусть . Тогда

Пусть тогда

где .

Пример:

Найти показательную форму чисел

Решение:

1) Находим следовательно,

2) Находим следовательно,

Пример:

Найти алгебраическую форму чисел

Решение:

1) Имеем

Применение комплексных чисел в расчете физических величин

Так как комплексные числа геометрически представляются векторами на плоскости, то все векторные физические величины могут быть охарактеризованы при помощи комплексных чисел. Представление векторных физических величин комплексными числами облегчает выполнение расчетов этих величин. При этом действия над векторами которые выполняются графическим путем, заменяются соответствующими действиями над комплексными числами, которые выполняются аналитически, что значительно
проще. Кроме того, комплексные числа могут быть взяты в алгебраической, тригонометрической или показательной формах в зависимости от конкретного случая.

Особенно широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при расчете электрических цепей.

Заметим, что в электротехнике мнимая единица i обозначается буквой , так как буквой i традиционно обозначается сила тока в цепи.

Рассмотрим один пример. На рис. 114 дана векторная диаграмма неразветвленной цепи переменного тока. Пусть вектор представляет вектор напряжения , модуль которого , вектор представляет вектор напряжения , модуль которого . Тогда

Также

Если электрическая Цепь составлена из двух последовательно включенных участков с напряжениями и , то на зажимах будем иметь напряжение

Аналогично применяются комплексные числа при выражении других характеристик электрических цепей. Заметим, что в электротехнике модуль вектора напряжения называется просто напряжением и
обозначается через и, а соответствующее этому вектору комплексное число называется комплексом напряжения и обозначается (ставится точка над символом).

Понятие и представления комплексных чисел

Комплексным числом z называется выражение вида , где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица,

Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым, если у = 0, то число x + i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество всех действительных чисел является подмножеством множества всех комплексных чисел, т. е.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается , а у — мнимой частью z, .

Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: частности, комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда х = у = 0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число можно изобразить точкой M(x; y) плоскости Оху такой, что х = Re z, y = Im z. И, наоборот, каждую точку М(х; у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа

Комплексное число можно задавать с помощью радиус-вектора Длина вектора, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается или .

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого где arg z — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку ).

Формы записи комплексных чисел

Запись числа z в виде называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число (см. рис. 161). Тогда получаем Следовательно, комплексное число можно записать в виде или

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Например, Аргумент определяется из формул

Так как

то

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать

Так как то из формулы получаем, что

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то arg z можно найти непосредственно (см. рис. 162). Например, и
Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме — модуль комплексного числа, а угол

В силу формулы Эйлера, функция периодическая с основным периодом . Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать .

Пример:

Записать комплексные числа тригонометрической и показательной формах.

Решение:

Для имеем

т. е.Поэтому

Для имеем

т. е. Поэтому

Действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число, определяемое равенством

Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 163).

Непосредственно из рисунка видно, что Это соотношение называется неравенством треугольника.

Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с , дает число, т. е.

Если то из этого определения легко получить z:

Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что Отметим что

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости. Поэтому, например, равенство определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки , т. е. окружность с центром в и радиусом 1.

Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел называется комплексное число, определяемое равенством

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

Действительно,

Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов

Например,

Заметим, что — действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

В этом легко убедиться, используя определение (28.3).

Найдем произведение комплексных чисел и , заданных в тригонометрической форме:

т. e.

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то

Формула (28.5) называется формулой Муавра.

Пример:

Найти .

Решение:

Запишем сначала число в тригонометрической форме:

По формуле Муавра имеем

Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на , дает число , т. е.

Если положить

то из равенства следует

Решая систему, найдем значения х и у :

Таким образом,

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»)

Пример:

Выполнить деление

Решение:

Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

Извлечение корней из комплексных чисел

Извлечение корня п-й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем п-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству, т. е.

Если положить

то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

Отсюда имеем То есть (арифметический корень)

Поэтому равенство принимает вид

Получим п различных значений корня. При других значениях k, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при k = п имеем

Итак, для любого корень n-й степени из числа r имеет ровно п различных значений.

Пример:

Найти значения

Решение:

а) Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: Стало быть,

При k = 0 имеем

при k = 1 имеем

при k = 2 имеем

б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:

Поэтому

При k = 0 получаем , а при k = 1 получаем
Таким образом,

Понятие о комплексных числах и алгебраическая форма комплексного числа

Определение:

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел называется действительной частью комплексного числа мнимой частью,

Действительная единица мнимая обозначается Таким образом, множество действительных чисел и множество чисто мнимых чисел являются подмножествами комплексных чисел. Для мнимой единицы справедливо равенство:

Определение:

Выражение называется
алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим свойства комплексных чисел и алгебраические действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Для двух комплексных чисел и справедливо:

Комплексные числа и равны, если равны их действительные и мнимые части.

При сложении (вычитании) комплексных чисел отдельно
складываются (вычитаются) действительные и мнимые части.

При сложении (вычитании) комплексных чисел отдельно
складываются (вычитаются) действительные и мнимые части.

Умножение комплексных чисел проводится как умножение
многочленов с учетом равно

Таким образом, сумма квадратов двух действительных чисел
раскладывается на произведение сопряженных комплексных чисел.
Частное от деления комплексных чисел ищется по следующей схеме: числитель и знаменатель дроби умножается на число сопряженное знаменателю, а затем выделяются действительная и мнимая части

Пример:

Сложить, вычесть, умножить и поделить два
комплексных числа и

Решение:

По формуле (37.5):

по формуле (37.6):

по формуле (37.8):

Как известно, квадратное уравнение при дискриминанте не имеет действительных корней. Уравнение

имеет при два комплексных сопряженных корня

где

Таким образом, в комплексной области квадратный трехчлен раскладывается на множители при отрицательном
дискриминанте

Пример:

Найти корни уравнения и разложить квадратный трехчлен на множители.

Решение:

По формуле (37.10) находим:

и

37.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Будем откладывать действительную часть комплексного числа на оси а мнимую на оси декартовой системы координат (рис. 1).

Тогда каждому комплексному числу будет соответствовать одна точка плоскости и наоборот каждой точке плоскости — одно комплексное число . Поэтому вместо комплексного числа можно говорить о точке комплексной плоскости. Назовем эту плоскость комплексной плоскостью и будем обозначать

Замечание:

Отметим, что бесконечность считается одной
точкой обозначается При изображении комплексных чисел на комплексной плоскости это тяжело себе представить. Однако, если воспользоваться сферой для изображения комплексных чисел (рис. 2), расположив ее так, чтобы она касалась плоскости в начале декартовой системы координат и каждой точке (комплексному числу , на сфере, являющуюся точкой
пересечения прямой соединяющей точку на плоскости и точку диаметрально противоположную то бесконечности на плоскости будет соответствовать одна точка на этой сфере.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел

Определение:

Модулем комплексного числа называется
квадратный корень из суммы квадратов его действительной и мнимой частей.

Геометрически модуль комплексного числа равен длине радиуса-вектора точки .

Определение:

Аргументом комплексного числа называется точки и осью (рис. 1).

При вычислении угла (при заданных и ) необходимо учитывать знаки и отдельно.

Пример:

Определить модуль и аргумент комплексных чисел

и к изобразить их на комплексной плоскости.

Решение:

Для и отношение одинаково, однако точка расположена в 1-ом квадранте точка расположена в 3-ем квадранте и Для чисел и расположены соответственно во 2-ом и 4-ом квадрантах и аргументы Модуль всех четырех комплексных чисел Следовательно, все эти числа расположены на
окружности радиуса найденными значениями аргументов (рис. 3).

Все точки комплексной плоскости с модулем, равным удовлетворяют уравнению.

которое таким образом является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом

Множество комплексных точек, расположенных внутри этой
окружности определяется неравенством

вне ее

Очевидно, что если центр этой окружности сместить в точку (рис.
4), ее уравнение будет

Множество всех точек, лежащих внутри этой окружности удовлетворяет неравенству

вне ее

Области, определяемые неравенствами (37.15) и (37.18),
заштрихованы на рис. 4.
Значения аргумента определяемое формулой (37.13) принято
называть главным, что мы отмечаем верхним индексом «о» и прописной буквой а. Очевидно, что комплексное число z не изменится, если его аргумент изменить на Таким образом более общее значение аргумента определяется формулой

которая при определяет главное значение аргумента (37.13).
Из рис. 1 видно, что

и, следовательно, комплексное число может быть определено через и по формуле

следующей из (37.3) с учетом (37.21).

Определение:

Выражение (37.22) называется
тригонометрической формой комплексного числа.
Можно показать, что между показательной и тригонометрической функциями имеется связь, устанавливаемая формулой Эйлера

Определение:

Выражение

следующее из (37.22) с учетом (37.24) называется показательной формой комплексного числа.

Формулы (37.1), (37.3), (37.22) и (37.24) являются различной записью комплексного числа и переход от одной из них к другой не представляет сложности.

Пример:

Представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа заданные в алгебраической форме:

Решение:

1) Главное значение аргумента для любого
положительного действительного числа и, следовательно, по формулам (37.22), (37.24) с учетом (37.12) и (37.20)

2) Для любого отрицательного действительного числа и следовательно,

3) Для любого чисто мнимого числа при и следовательно

4) при

и

5) Для главное значение аргумента

и, следовательно,

Наиболее удобно использование показательной и тригонометрической форме комплексных чисел при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корней.

Пусть тогда

и, следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются а аргументы складываются при делении модули делятся а аргументы вычитаются

Очевидно, при возведении в степень комплексного числа имеем (37.27)

В тригонометрической форме (37.27) носит название формулы Муавра

Поскольку и а следовательно, согласно (37.24) и являются периодическими функциями с периодом формулах (37.21) — (37.26), а при целом и в формулах (37.27), (37.28) следует брать равным своему главному значению

Формулы (37.27) и (37.28) справедливы и при дробном но при этом в этих формулах необходимо учитывать многозначность аргумента комплексного числа и в соответствие с формулой (37.20) положить В частности, при извлечении корня -ой степени и комплексного числа получаем

Придавая последовательно значения 0,1,2,…,— 1, получим различных значений с одинаковым модулем, но различными аргументами. На комплексной плоскости все эти значения расположены на окружности радиуса в вершинах правильного -угольника вписанного в эту окружность. Если принимает значения больше — 1, то эти точки повторяются.

Из сказанного очевидно, что уравнение -ой степени

где — комплексное число, имеет корней по формуле (37.29).

Пример:

Возвести в 6-ую степень и извлечь корень 6-ой
степени из комплексного числа

Решение:

Модуль и главное значение аргумента числа мы нашли на примере 37.4. Они равны соответственно и Следовательно, по формуле (37.27)

а по формуле (37.29)

Придавая значения 0,1,2,3,4,5 получим 6 разных значений

Все эти значения на комплексной плоскости расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса (рис. 5).

Пример:

Найти все корни уравнения

Решение:

Поскольку для любого отрицательного действительного числа

следовательно,

Находим четыре корня, положив равным 0,1,2,3:

На плоскости эти корни расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность единичного радиуса (рис. 6).

Пример:

Определить расположение всех корней уравнения на плоскости .

Решение:

Поскольку корней легко находится и он равен Остальные четыре корня расположены в вершинах
правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса 2 (рис. 7).
Интересно отметить, что из формулы Муавра (37.28) можно получить
тригонометрические формулы, выражающие и через и

Пример:

Выразить и через и

Решение:

Положим в формуле (37.28)

Так как, если комплексные числа равны, то равны их действительные и мнимые части, следовательно,

Решение заданий на тему: Комплексные числа

В начале практического занятия рассмотрим примеры на действия с
комплексными числами, заданными в алгебраической форме (37.3).

Пример:

Найти сумму, разность, произведение и частное двух
комплексных чисел и и изобразить на комплексной плоскости.

Решение:

Согласно формулам (37.5) (37.8)

Проверим последний результат:

Нанесем и на комплексную плоскость (рис. 8).

Пример:

Решить квадратное уравнение

Решение:

По формуле (37.10) находим

Рассмотрим теперь примеры на представлении комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.

Пример:

Найти аргументы и модули сопряженных
комплексных чисел и Записать их в показательной и тригонометрической формах.

Решение:

По формуле (37.13) имеем

По формуле (37.12):

Следовательно, по (37.24) и (37.22):

Пример:

Построить область, которой принадлежит
множество комплексных чисел, модуль и аргумент которых удовлетворяет неравенствам:

Решение:

Неравенству удовлетворяют все
комплексные числа, модуль которых заключен между 2 и 4, т.е. множество точек, расположенных в кольце между окружностями с радиусами и (рис. 9).

Неравенству удовлетворяют все точки, лежащие во 2-ом квадранте. Таким образом искомой областью является область, заключенная между окружностями с радиусами и и расположенными во 2-ом квадранте (заштрихована на рис. 9).

Рассмотрим теперь примеры на возведение комплексных чисел в
степень и извлечение корня из комплексных чисел.

Пример:

Найти Проделать эти действия в
алгебраической, показательной и тригонометрической формах. Сравнить полученные результаты.

Решение:

Возведение двухчлена в целую степень можно
провести по формуле бинома Ньютона (использовать формулу (20.5), в которой

Выражение для в показательной и тригонометрической формах мы нашли в примере 37.3, в котором положим

Согласно формулам (37.27) и (37.28):

что, естественно, совпадает с полученным выше результатом.

Пример:

Найти все различные значения и нанести их на комплексную плоскость.

Решение:

Извлечение корня из комплексного числа, как было
показано в лекции, надо проводить по формуле (37.29)

Откуда, положив равным 0,1,2,3, находим четыре различных значения:

Все эти точки расположены на окружности радиуса в вершинах квадрата (рис. 10).

Пример:

Определить расположение всех корней уравнения на плоскости

Решение:

Из заданного уравнения находим Один из корней известен. Это Точка для которой на комплексной плоскости является одной из
вершин правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 (рис. 11), две другие вершины находятся в точках этой окружности с аргументами и

В заключении нашего занятия выразим и через и

Решение:

По формуле Муавра (37.28) при

Приравнивая действительные и мнимые части в последнем равенстве получим

Комплексные числа простыми словами

Определение комплексного числа:

Мнимой единицей i называют число, дающее в квадрате -1, т.е.

Введение мнимой единицы приводит к обобщению понятия о
числе — к комплексным числам. Комплексное число z записывают
в виде

z = а + b*i,

где а и b — всевозможные действительные числа.

Число а = R(z) называется действительной частью комплексного числа z , число b*i — его мнимой частью, число b = I(z) —
коэффициентом при мнимой части.

При b = 0 имеем действительное число z = a , являющееся
частным случаем комплексного числа; при а = 0 имеем чисто мнимые числа z = b*i.

Под комплексным числом, сопряженным с z = a + b*i, называют
комплексное число которое отличается от z только знаком мнимой части:

5.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Подобно тому, как действительные числа могут быть
изображены точками числовой прямой, комплексные числа изображаются точками плоскости. Поставим в соответствие комплексному числу на плоскости точку А , которая имеет абсциссу и ординату относительно прямоугольной декартовой системы координат (рис. 5.1).

На рис. 5.1 ось абсцисс, обозначенная действительной
единицей (1), называется действительной осью, а ось ординат,
обозначенная мнимой единицей i, мнимой осью. Вся плоскость
называется комплексной плоскостью.

Радиус-вектор точки является геометрической
интерпретацией числа а. Таким образом, множество точек
плоскости, или множество радиус-векторов, соответствующих им, взаимно однозначно соответствует множеству комплексных чисел. Комплексное число сопряженное с а изображено точкой Эта точка изображается зеркальным образом точки относительно действительной оси.

Свойства комплексных чисел

Два комплексных числа и равны
тогда и только тогда, когда и Вычисления над
комплексными числами производят так же, как и над обыкновенными двучленами, полагая

Сумма двух комплексных чисел и
определяется следующим образом:

Произведение двух комплексных чисел и определяется как

Деление двух комплексных чисел и
определяется следующим образом:

Пример:

Упростить выражение:

Решение:

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Аргументом комплексного числа (Arg а) называют угол,
измеренный в радианах, между радиусом-вектором и положительным направлением действительной оси (см. рис. 5.1), определяемый с точностью до слагаемого, кратного

Главное значение аргумента arg причем изменяется в
пределах Аргумент комплексного числа и главное
значение аргумента связаны соотношением где k= 0,±1,±2,…

Пример:

Определить аргумент комплексного числа а = 1 + i.

Решение:

Тангенс угла между радиусом-вектором и
действительной осью равен откуда

Модулем комплексного числа называется длина радиуса-вектора,
вычисляемая по формуле

Пример:

Определить модуль комплексного числа а = 1 + i.

Решение:

Из геометрии рис. 5.1 следует
Отсюда следует тригонометрическая форма комплексного числа:

Тригонометрические и показательные функции связаны формулой
Эйлера: Тогда показательная форма комплексного
числа

Пример:

Комплексное число и откуда В результате получим

Пример:

Представить в показательном виде мнимую единицу.

Решение:

Находим и Отсюда В результате получим

Возведение в степень и извлечение корня

Возведение комплексного числа в n-ю степень производится по формуле Муавра:

Пример:

Возвести в степени 0, 1, 2, 3 и 4 мнимую единицу.

Решение:

Воспользовавшись формулой (5.1), найдем

Возведение комплексного числа а в степень называют извлечением корня m-й степени из а. Вычисление корня также осуществляется по формуле Муавра:

Операция вычисления корня m-й степени из комплексного числа дает m результатов при k = 0, 1, 2,…, m-1. При этом модуль для каждого корня остается постоянным, а аргументы приобретают следующие значения:

— главное значение корня, Значение аргумента корня с точностью до будет соответствовать значению аргумента корня Действительно,

Пример:

Найти корни степени 3 из числа 8i.

Решение:

Так как то

Значения аргументов трех корней:

Пример:

Найти корни степени 3 из числа 1.

Решение:

Запишем действительную единицу в показательном виде

Тогда

Отсюда находим

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Непрерывная дробь (цепная дробь)
17. Алгебраические уравнения
18. Неопределенные уравнения
19. Соединения
20. Бином Ньютона
21. Число е
22. Непрерывные дроби
23. Функция
24. Исследование функций
25. Предел
26. Интеграл
27. Двойной интеграл
28. Тройной интеграл
29. Интегрирование
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат