Оглавление:
Определение пропорции:
Связь между четырьмя алгебраическими выражениями А, В, С и D, имеющая вид
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25726.png)
называется пропорцией.
(Равенство теряет смысл и перестает быть пропорцией как при В = О, так и при D = 0. Оно теряет смысл и перестает быть пропорцией и тогда, когда В и D равны нулю одновременно.)
Примеры пропорции:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25737.png)
В пропорции величины А и D называются крайними, а В и С средними членами. Далее выражение
называется первым отношением, а
вторым; А и С называются предыдущими членами этих отношений, а В и D —последующими.
Главное свойство пропорции
Умножив левую и правую части пропорции
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25900.png)
на произведение bd, получим ad = be, т. е. во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Составление пропорции по данному равенству двух произведений
Пусть pq = ху. Разделив левую и правую части этого равенства на qx, получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25916.png)
Этот результат можно сформулировать следующим образом.
Если произведение двух чисел равно произведению двух других, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию, беря множители одного произведения за крайние, а множители другого произведения за средние члены пропорции. (При этом дополнительно требуется, чтобы оба последующих члена пропорции не оказались равными нулю.)
Перестановка членов пропорции
Пусть ad = be и числа а, b, с, d — все отличны от нуля. Разделив левую и правую части равенства ad = bc первый раз на bd, второй на ab, третий на ас и четвертый на cd, получим соответственно четыре пропорции:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25922.png)
Поменяв местами отношения в этих равенствах, получим еще четыре пропорции:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25926.png)
Этот результат показывает, что в пропорции можно менять местами средние и крайние члены и ставить оба крайних члена на места средних, а оба средних на места крайних.
Производные пропорции
1. Прибавив к левой и правой частям пропорции по единице, получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25939.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25940.png)
т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к своему последующему, как сумма членов второго отношения — к своему последующему.
2. Вычтя из левой и правой частей пропорции по единице, получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25949.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25955.png)
т. е. во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к своему последующему, как разность членов второго отношения — к своему последующему.
3. Разделив левую часть равенства на левую часть равенства
и правую на правую, получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25961.png)
т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к своему предыдущему, как сумма членов второго отношения — к своему предыдущему.
4. Разделив левую часть равенства на левую часть равенства
и правую на правую, получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25970.png)
т. е. во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к своему предыдущему, как разность членов второго отношения —к своему предыдущему.
5. Разделив левую часть равенства на левую часть равенства
и правую на правую, получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-25981.png)
т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения — к их разности.
Из пропорции мы вывели пять производных пропорций. Однако надо иметь в виду, что из пропорции
можно было бы получить сколько угодно производных пропорций.
Например, умножив обе части пропорции на число а, получим
. Прибавив к левой и правой частям последнего равенства число
, будем иметь, что
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26032.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26035.png)
т. е. получим новую производную пропорцию.
Определение неизвестного члена пропорции
Пусть в пропорции числа а, с, d известны, a х изображает число неизвестное. Тогда по свойству пропорции cx = ad, откуда
, т. е. неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов, деленному на известный средний. Аналогично определяется и неизвестный крайний член.
Примеры:
1. Найти неизвестное число х из пропорции , где а, b и с числа известные.
Составим производную пропорцию по правилу: сумма членов первого отношения так относится к своему последующему члену, как сумма членов второго отношения к своему последующему:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26049.png)
т. е.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26052.png)
откуда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26054.png)
2. Найти неизвестное х из пропорции Составим производную пропорцию по правилу: сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения к их разности, т. е.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26067.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26070.png)
отсюда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26073.png)
Ряд равных отношений
Иногда бывает удобно вместо различных букв употреблять для обозначения чисел одну и ту же букву, снабженную дополнительными значками — индексами. Например Эти обозначения читаются так: икс нулевое, икс первое, икс второе, икс третье, … , икс энное.
Основное свойство ряда равных отношений
Пусть имеется ряд равных отношений:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26102.png)
Обозначим общее значение всех этих отношений буквой k. Тогда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26107.png)
Отсюда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26109.png)
Складывая левые и правые части этих равенств, получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26114.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26115.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26118.png)
т.е.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26124.png)
Итак, доказано следующее:
если несколько отношений равны друг другу, то отношение суммы их предыдущих членов к сумме последующих равно каждому из этих отношений.
Пример:
Пусть длины сторон одного многоугольника (рис. 53) пропорциональны длинам
сторон другого многоугольника, т. е.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26142.png)
По свойству ряда равных отношений получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26150.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26154.png)
где Р и Q периметры многоугольников.
Прямая пропорциональность
Сначала рассмотрим несколько примеров.
Пример:
Пусть буква х обозначает в годах возраст сына, а буква у — возраст отца и пусть в данный момент сыну один год, а отцу 25 лет.
Составим таблицу значений х и соответствующих им значений буквы у. В третьей строке этой таблицы выпишем значения отношения :
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26182.png)
В этом примере отношение (отношение возраста отца к возрасту сына) не остается неизменным. Оно с течением времени убывает.
Пример:
Пусть буква х обозначает в сантиметрах длину стороны квадрата, а буква у — площадь квадрата в квадратных сантиметрах.
Составим таблицу, подобную предыдущей.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26199.png)
Отношение и здесь не остается неизменным. Оно возрастает при возрастании х.
Пример:
Пусть буква х обозначает в кубических сантиметрах объем ртути при температуре 0°, а буква у — вес этой ртути в граммах. Известно, что 1 куб. см ртути при температуре 0° весит 13,6 г.
Опять составим таблицу значений х, у и .
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26409.png)
Этот третий пример существенно отличается от двух предыдущих. Здесь отношение сохраняет неизменное значение.
Определение:
Две величины у и х называются прямо пропорциональными (или просто пропорциональными), если при всех их возможных изменениях отношение остается равным одному и тому же числу и если при х = 0 значение у также равно нулю.
Значит, вес ртути и объем ртути при постоянной температура являются величинами пропорциональными.
Возраст отца и возраст сына не пропорциональны.
Также не пропорциональны сторона квадрата и его площадь.
Пусть изменяющиеся величины у и х пропорциональны. Тогда отношение будет равно некоторому постоянному числу.
Обозначая это постоянное число буквой k, получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26414.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26415.png)
Следовательно, если величины у и х пропорциональны и отношение равно k, то у выражается в зависимости от х формулой
Число k называется коэффициентом пропорциональности (величины у по отношению к величине х).
Теперь докажем обратное положение. Пусть
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26426.png)
где k — постоянное число.
Отсюда следует, что при х = 0 и у = 0 и что А это и означает, что величины у и х пропорциональны.
Из того что следует, что
, или что
Отсюда можно сделать следующий вывод:
Если коэффициентом пропорциональности величины у по отношению к величине х служит постоянное число k, то коэффициентом пропорциональности величины х по отношению к величине у будет служить число .
Приведем еще один пример пропорциональных величин. Путь s, пройденный при равномерном движении, пропорционален. времени t, т. е.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26456.png)
Здесь постоянное число v есть коэффициент пропорциональности величины s по отношению к величине t (v есть скорость равномерного движения).
Сделаем еще два замечания.
Замечание:
Если имеется два ряда чисел:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26463.png)
и
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26466.png)
и если
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26467.png)
то числа одного из этих рядов называются пропорциональными числам другого ряда.
Замечание:
Если имеются только два постоянных числа а и b, то бессмысленно говорить о них, что они пропорциональны или не пропорциональны.
В этом случае можно интересоваться либо характером этих чисел, либо их разностью, либо их отношением и т. д.
В заключение решим две простые задачи на пропорциональные величины.
Задача:
На карте в масштабе расстояние между двумя пунктами равно 42,5 см. Определить, чему равно это расстояние на карте в масштабе
Решение:
Длина на карте прямо пропорциональна масштабу. Поэтому.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26523.png)
Задача:
С помощью непосредственного измерения установили, что при повышении температуры рельса на 24°С его длина увеличивается на 1,5 мм. Требуется вычислениями определить изменение длины рельса при понижении его температуры на 40°С. (Считать изменение длины рельса величиной, прямо пропорциональной изменению температуры.)
Решение:
Обозначив искомое изменение (в мм) буквой х, получим:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26525.png)
откуда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26527.png)
т. е. при понижении температуры рельса на 40°С его длина сократится на 2,5 мм.
Обратная пропорциональность
Сначала приведем примеры.
1. Рассмотрим изменяющийся прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием, имеющий неизменный объем, равный 3600 куб. см (рис. 54).
Пусть буква х обозначает в сантиметрах изменяющуюся сторону основания, а буква у — изменяющуюся высоту параллелепипеда.
Рассматривая таблицу:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26531.png)
легко видеть, что произведение ху не остается неизменным при постоянстве объема.
2. Рассмотрим изменяющийся прямоугольник, имеющий неизменную площадь, равную 100 кв. см.
Пусть буква х обозначает одно изменяющееся измерение (например, длину прямоугольника), а буква у — другое изменяющееся измерение (ширину). Пусть х и у выражены в сантиметрах.
Так как произведение измерений прямоугольника равно его площади, то величины х и у при всех своих возможных изменениях будут давать в своем произведении число 100, т. е. произведение изменяющихся величин х и у будет оставаться неизменным.
Существенное отличие второго примера от первого заключается в том, что в нем произведение ху остается неизменным, в то время как в первом оно изменяется.
Определение:
Две величины х и у называются обратно пропорциональными, если при всех их возможных изменениях произведение ху остается равным одному и тому же числу.
Обозначая это число буквой k, получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26576.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26583.png)
Следовательно, если величины х и у обратно пропорциональны, то величина у выражается через величину х по формуле следующего вида:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26584.png)
Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Длина прямоугольника и ширина прямоугольника при заранее заданной площади прямоугольника являются величинами обратно пропорциональными. Коэффициентом обратной пропорциональности служит как раз эта площадь.
Сторона основания прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и высота параллелепипеда при заранее заданном объеме не являются величинами обратно пропорциональными.
Задача:
Зал освещается m лампами по а свечей каждая. Сколькими лампами в b свечей можно получить ту же освещенность зала?
Число ламп и число свечей каждой лампы при данной освещенности зала являются величинами обратно пропорциональными. Поэтому, обозначая число ламп в b свечей буквой x, получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26594.png)
откуда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26597.png)
Пропорциональное деление
Задача:
Число А разделить на n слагаемых прямо пропорционально числам
Обозначим искомые слагаемые буквами Тогда по условию задачи
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26608.png)
Пользуясь свойством ряда равных отношений, получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26612.png)
Но
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26614.png)
Поэтому
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26618.png)
Задача:
Число А разделить на n слагаемых обратно пропорционально числам
Обозначим искомые слагаемые буквами Тогда согласно условию задачи
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26627.png)
или
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26631.png)
По свойству ряда равных отношений получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26634.png)
Но
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26636.png)
Поэтому
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-26641.png)
Пропорции и пропорциональная зависимость
- Отношением числа а к числу b называется частное
, а называется предыдущим, b — последующим членом отношения.
- Пропорцией называется равенство, каждая часть которого является отношением двух чисел. В пропорции
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15609.png)
члены а и d называются крайними, а b и с средними.
При изложении свойств пропорции будем считать, что ни один из членов пропорции не равен нулю.
Пример:
отношение числа 7 к числу 2. Предыдущий член здесь 7, последующей 2.
Пример:
пропорция. Крайние члены здесь 10 и 2, средние— 4 и 5.
Главное свойство пропорции
Теорема:
Во всякой пропорции произведение крайних
членов равно произведению средних.
Доказательство:
Дана пропорция
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15629.png)
Умножим обе части равенства (1) на bd, получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15631.png)
Теорема доказана.
Теорема:
Если произведение двух чисел
равно произведению двух других чисел, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию^ крайними членами которой являются сомножители одного из двух произведений, а средними—сомножители другого.
При этом предполагается, что ни один из сомножителей не равен нулю.
Доказательство:
Пусть
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15635.png)
a, b, с, d все отличны от нуля. Разделим обе части равенства на bd, получим
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15636.png)
Теорема доказана.
Пример:
— пропорция. Произведение крайних ее членов равно 20, произведение средних ее членов также равно 20.
Пример:
8 • 9 = 3 • 24 — равенство двух произведений.
Разделим обе части этого равенства на 9 • 24, получим пропорцию
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15642.png)
Определение неизвестного члена пропорции
Теорема:
Средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний. Крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний.
Пусть
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15646.png)
Покажем, что
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15647.png)
На основании теоремы 1 имеем
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15648.png)
Разделим обе части равенства (4) на с, получим равенство (2). Разделим обе части равенства (4) на d, получим равенство (3). Теорема доказана.
Пример:
Найти х, если
Решение:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15659.png)
Пример:
Найти х, если
Решение:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15666.png)
Перестановка членов пропорции
Теорема:
Во всякой пропорции можно переставить
средние члени, переставить крайние члени, переставить и средние члени и крайние, средние поставить на место крайних, а крайние на место средних.
Иными словами, если
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15669.png)
то
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15671.png)
(переставлены средние члены),
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15673.png)
(в (1) переставлены крайние члены),
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15674.png)
(в (1) переставлены и средние и крайние члены),
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15675.png)
(средние поставлены на место крайних, крайние — на место средних).
Доказательство:
В пропорций (1)
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15677.png)
Разделим обе части равенства (6) на cd, получим равенство (2). Точно так же, разделив обе части равенства (6) на аb, а затем на ас, получим равенства (3) и (4). Равенство (5) получается из равенства (4) посредством перестановки отношений. Теорема доказана.
Следствие:
Переставим отношения в равенствах (I), (2), (3), получим еще три пропорции
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15679.png)
Таким образом, всякую пропорцию посредством перестановки ее членов можно представить в восьми различных видах.
Производные пропорции
Теорема:
1) Во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к последующему члену этого отношения, как сумма членов второго отношения относится к своему последующему.
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к последующему члену этого отношения, как разность членов второго отношения относится к своему последующему.
Иными словами, если
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15690.png)
то
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15692.png)
Доказательство:
Прибавим к каждой части равенства (1)
по 1, получим равенство (2). Вычтем из каждой части равенства (1) по 1, получим равенство (3). Теорема доказана.
Теорема:
1) Во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к предыдущему члену этого отношения, как сумма членов второго отношения относится к своему предыдущему.
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к предыдущему члену этого отношения, как разность членов второго отношения относится к своему предыдущему.
Иными словами, если
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15702.png)
то
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15704.png)
Доказательство:
Разделим равенство (2) почленно на
равенство (1), т. е., левую часть равенства (2) разделим на левую часть равенства (1), а правую часть равенства (2) на правую часть равенства (1). Получим равенство (4). Разделив равенство (3) почленно на равенство (1), получим равенство 5). Теорема доказана.
Теорема:
Во всякой пропорции сумма членов первого
отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения относится к их разности, если только эти разности отличны от нуля.
Иными словами, если
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15708.png)
то
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15709.png)
Доказательство:
Разделив почленно равенство (4) на
равенство (5), получим равенство (6).
Ряд равных отношений
Теорема:
Если даны несколько равных отношений* то
сумма всех предыдущих членов отношений относится к сумме всех последующих как любой из предыдущих к своему последующему.
Доказательство:
Пусть имеется несколько равных отношений
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15896.png)
Обозначим результат деления на
буквой q. Так как все отношения ряда (1) равны между собой, каждое из них также равно q. Таким образом,
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15940.png)
Отсюда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15945.png)
Сложив почленно все равенства (2), имеем
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15956.png)
откуда
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15961.png)
Теорема доказана.
Задача:
Дано, что
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15972.png)
Доказать, что при любых отличных от нуля,
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15977.png)
Решение:
Умножим каждый, член первого отношения на получим пропорцию
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15982.png)
Точно так же
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15985.png)
Значит,
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15987.png)
На основании теоремы 8 имеем
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-15988.png)
Задача:
Решить уравнение
Решение:
Пользуясь теоремой 7 § 5, имеем
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-16008.png)
Пропорциональная зависимость
Мы много раз составляли уравнения, выражающие зависимость между величинами, и могли наблюдать, что. зависимости эти бывают весьма разнообразны.
При решении многих задач мы встречаемся с двумя величинами, зависимость между которыми такова, что при изменении этих величин их отношение остается неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными, а зависимость между ними — пропорциональной зависимостью.
Для примера приведем несколько задач, в которых мы встретимся с величинами, находящимися в пропорциональной зависимости.
Задача:
Скорость течения реки 3 км в час. Плот за t часов прошел вниз по реке S км. Составить уравнение, выражающее зависимость между S и t.
Ответ. S = 3t.
Задача:
С каждого гектара собрано 30 ц ржи и, таким образом, с k га собрано А ц. Составить уравнение, выражающее зависимость между А и k.
Ответ. А = 30k
Задача:
Основание прямоугольника 2 см, высота h см, площадь Q . Составить уравнение, выражающее зависимость между Q и h.
Ответ. Q = 2h.
Задача:
1 м материи стоит 20 руб. За m м этой материи
уплатили N pyб. Составить уравнение, выражающее зависимость между N и m.
Ответ. N=20m.
Мы рассмотрели четыре задачи, которые по своему содержанию относятся к различным областям практической деятельности. Нетрудно убедиться, что в каждой из этих задач мы действительно имеем дело с прямо пропорциональными величинами.
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18323.png)
Так, в первой задаче отношение расстояния (в kм), пройденного плотом, к времени (в часах), в течение которого плот находился в пути, всегда одно и то же и равно 3. Поэтому расстояние, которое проходит плот вниз по реке, пропорционально времени, в течение которого плот находится в пути, при условии, что скорость течения реки повсюду одна и та же.
Точно так же во второй задаче количество ржи, собранной с нескольких гектаров, пропорционально количеству ржи, собранной с одного гектара, при условии, что с каждого гектара собрано по одному и тому же количеству ржи и т. д.
Заметим, что уравнения, к которым мы пришли в рассмотренных задачах, имеют один и тот же вид. В этих уравнениях одна, из величин равна произведению некоторого числового множителя на другую величину. Этот множитель называется коэффициентом пропорциональности. В первой задаче коэффициент
пропорциональности равен 3, во второй задаче он равен 30, в третьей задаче он равен 2, в четвертой задаче он равен 20.
Таким образом, пропорциональная зависимость между величинами всегда выражается уравнением y = kx, где k — коэффициент пропорциональности. Известно, что зависимость между двумя величинами может быть наглядно представлена таблицей, а затем и графиком.
Для примера представим таблицей зависимость, выражаемую уравнением S = 3/ (первая задача):
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18328.png)
Построим график зависимости S = 3t (рис. 19). Обратим внимание на следующие обстоятельства:
- Отношение чисел, находящихся в одном столбце таблицы, повсюду одно и то же и равно коэффициенту пропорциональности:
![пропорции](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18330.png)
и т. д. (для первого столбца это отношение не имеет смысла; так как на нуль делить нельзя).
2, График представляет собой луч, выходящий из начала координат (при t= 0, S = 0). (Доказательство этого утверждения здесь провести нельзя, так как для этого требуются некоторые сведения из геометрии.)
То же самое можно наблюдать и при графическом представлении любой другой пропорциональной зависимости между двумя величинами.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат