Геометрия — примеры с решением и образцами выполнения

Неопределяемые понятия в геометрии:

Геометрия, как и каждая математическая дисциплина, строится на не определяемых понятиях, на аксиомах, из которых на основании логических рассуждений выводятся другие предложения — теоремы. Аксиома — это предложение, принимаемое без доказательства. Теорема — это предложение, истинность которого доказывается.

В моём курсе геометрии к неопределяемым понятиям относятся точка, прямая, плоскость и расстояние.

Точки обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С, X, Y, Z…..

Прямая обозначается так: (AВ); читается: «прямая АВ». Прямую можно обозначать и малыми латинскими буквами а, b, с … .

Плоскости обозначаются греческими буквами

Для расстояния от точки А до точки В принято обозначение

В последующих пунктах мы подробнее остановимся на свойствах этих понятий.

Мы также пользуемся и другими понятиями, определения которым не даем — это понятие множества, числа и величины. О свойствах этих понятий уже известно из курса алгебры.

Расстояние и его свойства

Сформулируем свойства расстояний.

Аксиома:

Расстояние от точки А до точки В положительно, если точки различны, и равно нулю, если точки совпадают, т. е.

Аксиома:

Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А, т. е.

Аксиома:

Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше (меньше или равно) суммы расстояний от А до В и от В до С, т. е.

Перечисленные три основных свойства расстояния являются аксиомами курса геометрии. С помощью аксиом доказываются другие предложения—теоремы.

Теорема:

Для любых трех точек А, В, С расстояние не меньше разности расстояний

Доказательство:

По аксиоме 3 имеем неравенство

Вычтем из обеих частей этого неравенства

В заключение приведем еще одну аксиому.

Аксиома:

Если три точки А, В и С не принадлежат одной прямой, то

Язык теории множеств в геометрии

Принято считать, что любые фигуры в геометрии—это произвольные множества точек. Следовательно, и точка и пустое множество являются фигурами. Плоскость, прямая — тоже геометрические фигуры.

Применяя известные вам определения пересечения и объединения множеств к фигурам, получаем следующие определения.

1.Пересечением двух или нескольких данных фигур называется фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат каждой из этих данных фигур.

На рис. 90 приведены примеры пересечения фигур. Пересечением отрезков АВ и CD является точка О. Пересечением же отрезков ЕН и ТХ является отрезок ТН.

Из рис. 91 видно, что пересечением двух треугольников может быть: а) пустое множество; б) множество, состоящее из одной точки; в) отрезок; г) треугольник; д) четырехугольник; е) пятиугольник; ж) шестиугольник.

Если фигуры не имеют общих точек, то их пересечение есть пустое множество; например, запись означает, что прямые а и b не имеют общих точек.

2.Объединением двух или нескольких данных фигур называется фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат хотя бы одной из этих фигур.

Например, четырехугольник ABCD (рис. 92) можно рассматривать как объединение двух треугольников ABC и ADC.

Таблица (стр. 216), поясняет, как применяется в геометрии язык теории множеств; в ней также приведены соответствующие обозначения.

Следует хорошо научиться применять язык теории множеств и соответствующие обозначения в геометрии.

Понятие «лежать между»

Каждое новое понятие мы будем определять, используя неопределяемые понятия. Например, легко представить, что значит «точка X лежит между точками А и В». А нельзя ли определить это понятие с помощью понятий «точка» и «расстояние»? Ответ на этот вопрос дает следующее определение.

Точка X лежит между точками А и В, если эти три точки различны и

Примеры:

Доказать, что длина ломаной ABC меньше длины ломаной AMNC (рис. 93).

Решение:

Имеем:

следовательно,

или

2.Может ли пересечением двух углов быть четырехугольник, имеющий: а) только один прямой угол; б) два прямых угла?

Решение. а) Такой четырехугольник можно получить в результате пересечения прямого и острого (или тупого) углов; б) такой четырехугольник можно получить в результате пересечения двух прямых углов, острого и тупого углов, прямого и острого углов, прямого и тупого углов.

Геометрические фигуры

Отрезок

Введем теперь понятие отрезка: Множество, состоящее из двух, различных точек А и В и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком АВ. Обозначается отрезок так:

Длиной отрезка называется расстояние между его концами. Обозначается так: т. е. так же, как и расстояние от точки А до точки В.

Луч

Если на прямой АВ взять произвольную точку О, то будут заданы три подмножества прямой (рис. 94). Подмножества I и III называются открытыми лучами. Подмножество II состоит из одной точки О.

Объединение открытого луча с данной точкой О называется лучом с началом в этой точке: обозначается так: [ОВ), читается: «луч ОВ»; точка О— начало луча.

Ответим теперь на следующие вопросы.

Пусть даны два луча, принадлежащие одной прямой.

а) Каким множеством является объединение двух лучей? б) Каким множеством является пересечение двух лучей? в)Каким множеством является объединение двух открытых лучей? г) Каким множеством является пересечение двух открытых лучей?

Чтобы ответить на эти вопросы рассмотрим два случая расположения данных лучей на прямой (рис. 95). В первом случае (рис. 95, а) имеем:

в) объединением открытых лучей с началом в точке О является прямая без этой точки О;

г) пересечение есть

Во втором случае (рис. 95, б) имеет:

а) — прямая АВ без внутренних точек отрезка

в) объединение соответствующих открытых лучей является прямая АВ без точек

г) пересечением открытых лучей, соответствующих лучам OA и будет

Заметьте, что мы рассмотрели лишь лучи OA и и соответствующие им открытые лучи, а ведь здесь есть еще лучи OB, Рассмотрите эти случаи самостоятельно.

Сам факт разбиения прямой точкой на два непустых подмножества ниоткуда не следует. Его мы принимаем в качестве пятой аксиомы геометрии.

Аксиома:

Любая лежащая на прямой точка О разбивает множество всех отличных от О точек прямой р на два непустых множества так, что: а) точка О лежит между любыми двумя точками, принадлежащими разным множествам; б) из двух точек, принадлежащих одному множеству, одна лежит между другой и точкой О.

Полуплоскость

Предварительно дадим следующее определение: две точки А и С разделены прямой а, если отрезок АС имеет с прямой а одну и только одну общую внутреннюю точку (рис. 96, а).

Используя это определение, сформулируем следующую аксиому.

Аксиома:

Любая прямая а разбивает множество не принадлежащих этой прямой точек плоскости на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой а б) любые же две точки, принадлежащие одному множеству, не разделены прямой а, как, например, точки А и N на рис. 96, а.

Множества, о которых идет речь в этой аксиоме, называются открытыми полуплоскостями с границей а. Объединение открытой полуплоскости и ее границы а называется полуплоскостью с границей а. На рис. 96, б одна из таких полуплоскостей Заштрихована.

Ломаная и многоугольник

На рис. 97, а изображена ломаная Она является объединением отрезков Конец каждого отрезка является началом следующего. Но смежные отрезки не лежат на одной прямой.

Ломаной называется объединение отрезков таких, что конец каждого отрезка (кроме последнего) является началом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой.

Точки называются концами ломаной Говорят, что ломаная соединяет точки Каждый из отрезков, составляющих ломаную, называется ее звеном. Сумма длин всех звеньев ломаной называется длиной ломаной.

На рис. 97 приведены примеры ломаных; здесь изображены два вида ломаных: замкнутые (в, г, е) и незамкнутые (а, б, д).

Ломаная называется замкнутой, если конец ее последнего звена совпадает с началом первого.

Несоседние звенья замкнутых ломаных на рис. 97, в, г не пересекаются; такие ломаные называются простыми Замкнутая ломаная е не является простой.

В дальнейшем мы будем рассматривать только простые замкнутые ломаные и слово «простые» будем опускать.

Теорема:

Длина ломаной больше расстояния между ее концами.

Доказательство:

Докажем эту теорему для ломаных, состоящих из трех звеньев. Пусть дана ломаная (рис. 98). Точка по определению ломаной не лежат на одной прямой. Воспользуемся свойством расстояний для трех точек, не лежащих на одной прямой, т. е.

Для точек по свойству расстояний имеем:

При замене суммой левая часть соотношения (2) увеличится, поэтому

Замкнутая ломаная (рис. 99) разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества. Их называют внутренней областью (на рисунке заштрихована) и внешней областью относительно этой ломаной. Любые две точки одной и той же области можно соединить отрезком или ломаной, не пересекающей ломаную Например, точки А и В соединяет ломаная ANMB, а точки С и D—ломаная CKPD. Для точек разных областей этого сделать нельзя. Во внешней области найдется прямая, которая вся расположена в этой области. Во внутренней области такой прямой нет.

Объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области называется многоугольником. Сама ломаная называется границей многоугольника, а ее внутренняя область—внутренней областью многоугольника. Звенья границы многоугольника называются сторонами * многоугольника, а вершины ее — вершинами многоугольника,

отрезок, соединяющий две несмежные вершины, называется его диагональю.

Плоская фигура называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две ее точки, целиком ей принадлежит. На рис. 100 фигуры а, б —выпуклые, в и г не являются выпуклыми.

Во всяком многоугольнике число вершин равно числу сторон. Многоугольники разделяются на виды в зависимости от числа сторон. Например, многоугольник с тремя сторонами называется треугольником. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырехугольником и т. д.

Угол

Два различных луча с общим началом разбивают множество не лежащих на них точек плоскости на два подмножества. При этом две произвольные точки, принадлежащие любому из этих подмножеств, можно соединить ломаной, не пересекающей данные лучи (рис. 101, а). Две точки из разных подмножеств такой ломаной соединить

нельзя. Таким образом, эти лучи ограничивают две части плоскости.

Фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом.

Два луча с общим началом ограничивают два угла с общими сторонами. Тот из углов, который рассматривается, обычно выделяется дугой. Если стороны угла образуют прямую, то такой угол называется развернутым углом.

Угол обозначается так: Каждому углу ставится в соответствие его величина, которая обозначается, например, для угла

Не путайте: —это множество точек плоскости, а величина угла.

Если разделить развернутый угол на 180 частей, то получатся утлы, величина каждого из которых есть один градус. Градус принимается за единицу измерения углов. Следовательно, величина развернутого угла равна 180°.

Если разделить развернутый угол пополам, то получаемые два угла называются прямыми. Следовательно, величина прямого угла равна 90°; ее принято обозначать буквой d. Если при пересечении двух прямых АВ и CD образуются прямые углы, то эти прямые называются взаимно перпендикулярными (рис. 101, б). Каждая из двух взаимно перпендикулярных прямых называется перпендикуляром к другой из них. Если прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то пишут

Введем понятие угла между лучами.

Углом между лучами называется меньшая из величин, образовавшихся углов. Ясно, что угол между лучами принимает значения от 0 до 180°.

Окружность и круг

Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости, называется окружностью. Рассмотрим окружность с центром О радиуса r (рис. 102, а). Она состоит из всех точек X плоскости, для которых расстояние от точки О равно r. Тогда для любой точки X окружности

Теперь представим себе множество таких точек плоскости, расстояние каждой из которых от точки О не больше r, т. е. равно или меньше r. Это множество точек состоит из всех точек окружности с центром О и радиусом r и всех точек, лежащих внутри этой окружности. Иначе говоря, это круг радиуса г с центром О.

Множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых от данной точки этой плоскости не больше данного, называется кругом (рис. 102, б).

Рассмотрим возможные случаи пересечения прямой и окружности.

Если радиус окружности меньше расстояния от ее центра до прямой*, то их пересечение есть пустое множество— окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 103, а).

1.Если радиус окружности равен расстоянию от ее центра до прямой, то их пересечение состоит из одной точки—основания перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой (рис. 103, б).

Если радиус окружности больше расстояния от ее центра до прямой, то их пересечение состоит из двух точек (рис. 103, в).

Рассмотрим теперь пересечение круга прямой. Пусть дан круг радиуса r с центром в точке О и ограничивающая его окружность. Обозначим через h расстояние от центра круга до прямой (рис. 104). Если то прямая пересекается с окружностью в двух точках: А и В. Пересечением прямой и круга будет отрезок, соединяющий точки А и В (рис. 104, а).

Если то прямая имеет с кругом одну общую точку (рис. 104, б). Если то пересечением круга и прямой будет пустое множество (рис. 104, в).

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой этой окружности (он же называется и хордой соответствующего круга).

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом этой окружности.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.

Так же определяется и касательная к кругу.

Замечание:

Обратите внимание на то, что касательная к окружности лежит в одной плоскости с этой окружностью.

Примеры:

Построить касательные к данной окружности: а) параллельные данной хорде; б) перпендикулярные данной прямой; в) параллельные данной прямой, не пересекающей окружность.

Решение:

а) Построим серединный перпендикуляр к данной хорде. Через точки его пересечения с окружностью проведем к нему перпендикуляры. Они и будут искомыми касательными. Эта задача имеет всегда два решения.

б) Построим диаметр, параллельный данной прямой. Через его концы проведем перпендикуляры к нему. Они и будут искомыми касательными. Задача всегда имеет два решения.

в) Через центр окружности проведем перпендикуляр к данной прямой. Через точки пересечения его с окружностью построим перпендикуляры к нему. Они и будут искомыми касательными. Задача имеет всегда два решения.

Из точки А проведены к окружности две касательные. Доказать, что: а) отрезки этих касательных (от А до точки касания) конгруэнтны; б) прямая, проходящая через центр и точку А, делит угол между касательными пополам (рис. 105).

Решение:

а) Проведем прямую через данную точку А и центр окружности О. Эта прямая является осью симметрии окружности.

При осевой симметрии с осью OA точка А останется на месте, касательная АВ отобразится на касательную, проходящую через точку А, т. е. на прямую АС. Точка касания В отобразится на точку касания, т. е. на точку С. Следовательно, отрезки АВ и АС симметричны относительно прямой АО и поэтому конгруэнтны.

б) Так как лучи АВ и АС симметричны относительно оси АО, то углы ВАО и САО тоже симметричны относительно оси АО и, следовательно,

Конгруэнтные фигуры

Отображения фигур: В гл. IV было выяснено, какие соответствия называются отображениями. Напомним, что отображением множества А на множество В называется соответствие, при котором каждой точке множества А соответствует одна и только одна точка множества В.

Геометрические фигуры—это множество точек, а поэтому все, что мы говорим об отображениях, переносится и на геометрические фигуры.

Приведем различные примеры отображения фигур.

1.На рис. 106, а приведены две окружности с общим центром. Проведем произвольный луч ОМ с началом в точке О. Он пересечет обе эти окружности. Обозначим точки пересечения луча с окружностями через Будем считать, что точке принадлежащей первой окружности, соответствует та точка принадлежащая второй окружности, которая лежит на луче ОМ. Таким образом, каждой точке первой окружности соответствует вполне определенная точка второй окружности; точка называется образом точки Каждая точка второй окружности является образом какой-либо точки первой окружности. Мы получим отображение первой окружности на вторую.

На следующих двух рисунках приведены различные способы отображения отрезка АВ иа отрезок CD. На рис. 106, б образом точки А является точка D, а на рис. 106, в—точка С.

3.На рис. 106, г приведено отображение одной стороны треугольника на другую. При этом образом точки В будет являться сама точка В.

4.На рис. 106, д приведено отображение окружности на отрезок АС. Обратите внимание, что в этом случае точка Е, например, является образом двух различных точек окружности, Р и D.

В примерах 1—3 каждая точка второй фигуры была образом только одной точки первой фигуры. Поэтому по точке (образу) можно было найти ту точку , которой она соответствует. Следовательно, отображение в этих примерах обратимо, т. е. если существует отображение то существует обратное отображение которое отображает вторую фигуру на первую.

Отображение в примере 4 необратимо. Зная образ — точку нельзя точно указать точку Следовательно, нет обратного отображения, которое отображало бы отрезок АС на окружность.

Конгруэнтные фигуры: Так как геометрические фигуры — это различные множества точек, то они подчиняются всем операциям с множествами, с которыми вы познакомились ранее. Мы уже знаем, что два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Поэтому не могут быть равными геометрические фигуры, состоящие из различных точек. Исходя из этого мы будем говорить не о равенстве, а о конгруэнтности геометрических фигур.

Две геометрические фигуры конгруэнтны, если одну из них можно отобразить на другую так, что сохранится расстояние между соответственными точками.

Конгруэнтность обозначается знаком

Рассмотрим примеры. 1. Две пары точек конгруэнтны в том и только в том случае, когда

2.Два отрезка конгруэнтны в том и только в том случае, когда их длины равны.

3.Все лучи конгруэнтны.

4.Все прямые конгруэнтны.

5.Две окружности конгруэнтны в том и только в том случае, когда их радиусы равны.

Пример:

Задано отображение круга F на круг Произвольной точке X соответствует точка полученная при параллельном переносе в заданном направлении на заданное расстояние (рис. 107). а) Какая точка соответствует точке A? б) На какую точку
отображается центр круга —точка О? в) На какую фигуру отображается радиус OQ? Дуга AQM? г) Образом какой фигуры будет треугольник д) Будет ли верным равенство где

Решение:

а) Точке А соответствуют точки К и Р.

б) Точка О отображается на точку

отображается на дуга — па дугу KRP.

будет образом треугольника OQM.

д) Да, верно, так как при параллельном переносе сохраняются расстояния.

Перемещения

Отображения плоскости на себя: Перемещения. Рассмотрим примеры различных отображений плоскости на себя, т. е. таких отображений, когда каждая точка плоскости отображается на точку этой же плоскости. Представим, что на плоскость сверху положили прозрачную пленку и перенесли на нее все расположенные на плоскости

фигуры (рис. 108). Затем эту верхнюю пленку повернули, например, вокруг точки А. При этом точка А отобразится сама на себя, а каждая точка плоскости займет какое-то новое положение (рис. 109).

Можно поступить иначе, если, например, сдвинуть верхнюю пленку, то все точки плоскости переместятся в одном направлении и на одно расстояние (рис. 110).

Среди множеств различных отображений точек плоскости на себя выделим те отображения, которые сохраняют расстояния между соответственными точками. В приведенных примерах оба отображения именно такие — это перемещения.

Перемещением называется такое отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между соответствующими точками.

Так как при перемещениях сохраняются расстояния между соответствующими точками, то каждая фигура при перемещении отображается на конгруэнтную ей фигуру.

Заметим, что могут быть отображения плоскости на себя и не сохраняющие расстояния между соответствующими точками.

Такие отображения мы будем рассматривать позднее

Поворот

Рассмотрим частный случай отображения плоскости на себя, называемый поворотом.

Выберем произвольным образом точку О и проведем луч OA. Повернем луч OA вокруг точки О (она называется центром поворота) на произвольный угол а. При повороте вокруг центра О луч OA отображается на луч а луч ОВ на луч (рис. 111, а). При этом

Поворотом вокруг центра О называется такое перемещение плоскости, при котором: 1) точка О отображается сама на себя и 2) угол между любым лучом OX и соответствующим ему лучом имеет одну и ту же величину а. Величина а называтся углом поворота.

Угол поворота всегда заключается в пределах

При повороте на 0° все точки плоскости отображаются на себя. Такой поворот на 0° только один. Это один из примеров тождественного отображения плоскости — отображения, при котором все точки плоскости отображаются сами на себя. Поворотов вокруг заданного центра О на любой угол а два: один по часовой стрелке и второй против часовой стрелки.

Отображение, обратное повороту вокруг центра О, тоже является поворотом вокруг центра О. Например, для поворота против часовой стрелки на 30° обратным является поворот тоже на 30°, но по часовой стрелке (рис. 111, б).

Остановимся на наиболее важных теоремах, которые доказываются с использованием поворота.

Теорема:

Чтобы две дуги окружности были конгруэнтны, необходимо и достаточно, чтобы они соответствовали конгруэнтным центральным углам.

Доказательство достаточности: если два центральных угла окружности конгруэнтны, то конгруэнтны и соответствующие им дуги. Дуга, соответствующая центральному углу (рис. 112), есть множество всех точек этого угла, лежащих на данном расстоянии, равном радиусу, от его вершины. Поэтому при повороте около центра О, отображающем угол АОВ на угол COD, дуга АВ отобразится на дугу CD. Следовательно, и т. д.

Докажем теперь необходимость: если две дуги окружности конгруэнтны, то тогда конгруэнтны и соответствующие им центральные углы. При перемещении, отображающем дугу АВ (рис. 112) на дугу CD, точки Л и В отобразятся на точки С и D*. Поэтому Тогда (по трем сторонам). Следовательно,

Теорема:

В окружности хорды равной длины равноудалены от центра и, обратно, хорды, равноудаленные от центра окружности, имеют равные длины.

Доказательство:

Пусть хорды АВ и CD (рис. 113) имеют равные длины; значит, они конгруэнтны. Тогда поворотом вокруг центра хорду АВ можно отобразить на хорду CD. При этом повороте расстояние хорды от центра не изменится. Значит, конгруэнтные хорды равноудалены от центра.

Обратная теорема доказывается аналогично.

Центральная симметрия

Поворот на 180° вокруг центра О имеет специальное название: центральная симметрия с центром О. При центральной симметрии (как и при любом повороте с центром О) точка О отображается на себя. Любая же точка А, отличная от центра О, отображается на точку лежащую на прямой OA на том же расстоянии от О, как и точка А, но по другую сторону от О. Центр симметрии является серединой отрезка Для задания центральной симметрии достаточно задать ее центр.

Центральная симметрия, как и всякий поворот, является отображением плоскости на себя; так как при этом сохраняются расстояния между соответственными точками

то она является перемещением. Следовательно, центрально симметричные фигуры конгруэнтны.

При центральной симметрии любая прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. Поэтому любой угол при центральной симметрии относительно его вершины отображается на вертикальный ему угол. Отсюда следует теорема о вертикальных углах: вертикальные углы конгруэнтны.

Любая окружность симметрична относительно своего центра. Действительно, точка А, принадлежащая окружности, (рис. 114) имеет симметричную относительно центра О точку принадлежащую той же окружности.

Если фигура отображается сама на себя при центральной симметрии с центром О, то говорят, что фигура центрально симметрична (или имеет центр симметрии О).

Центральная симметрия широко применяется при изучении параллельности. Дадим определение параллельных прямых.

Прямые а и b, принадлежащие одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают.

Теорема:

Центрально симметричные друг другу прямые параллельны.

Доказательство:

При центральной симметрии прямая отображается на прямую. Если прямая а проходит через центр симметрии, то она отображается сама на себя.

Пусть прямая а не проходит через центр симметрии О. Построим прямую симметричную прямой а относительно центра О (рис. 115). Предположим, что (рис. 116). Тогда существует симметричная ей относительно центра О точка Но прямые симметричны

относительно центра О. Следовательно, точка принадлежит этим прямым. Получается, что две различные прямые должны пересекаться в двух точках — С и что неверно. Значит, предположение, что прямые пересекаются, неверно. Следовательно,

Осевая симметрия

Осевую симметрию мы также будем рассматривать как отображение всей плоскости. Пусть ось разбивает плоскость а на две полуплоскости (рис. 117, а). Если повернуть плоскость а в пространстве вокруг оси на 180°, то полуплоскость наложится на полуплоскость полуплоскость — на полуплоскость Каждая фигура, лежащая в плоскости а, при таком повороте займет новое положение в той же плоскости — наложится на фигуру, ей конгруэнтную. Таким образом получается модель отображения плоскости на себя, при этом сохраняются расстояния между соответствующими точками. Точки, лежащие на оси , отображаются сами на себя, а точки полуплоскости отображаются на точки полуплоскости и наоборот. Такое отображение и есть осевая симметрия.

Осевой симметрией с осью I называется такое перемещение, при котором: 1) точки прямой I отображаются сами на себя, 2) полуплоскости с границей I отображаются одна на другую.

Без доказательства примем, что каждая прямая , лежащая на плоскости а, определяет одну и только одну осевую симметрию с осью

Так как осевая симметрия есть перемещение, то при осевой симметрии каждая фигура отображается на конгруэнтную ей фигуру. Отображение, обратное осевой симметрии, есть та же самая осевая симметрия.

Если фигура Ф отображается при осевой симметрии с осью сама на себя, то прямая называется также осью симметрии фигуры Ф.

Фигура Ф при этом называется симметричной относительно оси На рис. 117, б, в приведены фигуры, симметричные относительно оси

Теорема:

Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр.

Доказательство. Пусть прямая р проходит через центр О данной окружности (рис. 118). Возьмем произвольную точку X окружности. Построим симметричную ей точку относительно прямой р. Точка О при этой осевой симметрии отображается на себя, точка X — на точку Поэтому принадлежит этой же окружности. Следовательно, окружность симметрична относительно произвольной прямой р, проходящей через ее центр.

Точки, симметричные оси симметрии, лежат в разных полуплоскостях на перпендикуляре к оси симметрии и на одинаковом расстоянии от этой оси. Это утверждение вытекает из следующих двух теорем (их доказательство не входит в программу).

Теорема:

О перпендикуляре к оси симметрии. Прямая перпендикулярная оси, при осевой симметрии отображается сама на себя.

Теорема:

О единственности перпендикуляра. Через любую точку плоскости можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

Рассмотрим теперь перпендикулярные и наклонные прямые. Пусть точка А лежит вне прямой р. Проведем через точку А перпендикуляр к р. Обозначим через О точку их пересечения (рис. 119). Точка О называется основанием этого перпендикуляра.

Прямая, пересекающая другую прямую под углом, отличным от прямого, называется наклонной к этой прямой.

Теорема:

Длина отрезка перпендикуляра АО короче, чем длина отрезка АВ любой наклонной (рис. 120).

Доказательство:

Возьмем точку симметричную точке А относительно прямой р. По теореме о длине ломаной имеем

Но так как осевая симметрия не изменяет расстояния. Поэтому

Теорема:

Пусть из точки О проведены к прямой а две наклонные OA и ОB и перпендикуляр ОМ; тогда:

Доказательство:

1) Так как то точки А и В принадлежат окружности радиуса с центром О. Эта окружность симметрична относительно прямой ОМ. Так как то точки А и В, окружности симметричны относительно (ОМ). Следовательно, отрезки МА и MB симметричны относительно (ОМ) и поэтому

2) Рассмотрим круги с центром О радиусов Так как то круг с центром О радиуса лежит внутри круга с центром О радиуса Поэтому отрезок высекаемый на прямой а первым кругом, лежит внутри отрезка высекаемого вторым кругом. Значит, откуда следует, что

Теорема:

В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании конгруэнтны; 2) высота, проведенная из вершины, является также биссектрисой и медианой.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник (Рис. 122). Проведем из его вершины В высоту Так как

то треугольники ABD и CBD симметричны относительно оси BD. Из их симметрии следует, что: т. е. углы при основании данного треугольника конгруэнтны; т. е. высота BD — биссектриса угла треугольника при вершине В; т. е. высота BD—медиана, проведенная из вершины В.

Примеры:

Построить центр поворота, при котором данная точка А отображается на другую данную точу В. Сколько решений имеет задача?

Решение:

Чтобы точка А отобразилась на точку В при повороте вокруг точки О, нужно, чтобы Поэтому для построения точки О достаточно построить точку пересечения конгруэнтных окружностей любого радиуса с центрами А и В.

Задача име т бесконечно много решений.

2.Внутри прямого угла BOD взята точка X и построены точки (рис. 123). Доказать, что точки и лежат на одной прямой.

Решение:

Имеем. — по условию; но

Значит, точки лежат на одной прямой.

3. Даны прямая МК и две точки А и В, лежащие по одну сторону от нее (рис. 124). Найдите кратчайший путь из Л в В с заходом на прямую.

Решение Строим точку симметричную точке А относительно прямой МК- Соединяем отрезком точки А и В. Точка X пересечения отрезка с прямой МК является искомой.

Действительно, т. е. сумма расстояний равна длине отрезка

Если же точка Y —другая точка прямой МК, то т. е. сумма расстояний больше суммы расстояний

Параллельный перенос

Аксиома параллельных

Из теоремы о центрально симметричных прямых вытекает, что через любую точку можно провести хотя бы одну прямую, параллельную данной прямой; значит, таких прямых существует не менее одной. Ответ на вопрос «А сколько же их?» дает

Аксиома параллельных. Через данную точку проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Как видим, с одной стороны, можно провести не более одной прямой, а с другой — не менее одной. Это значит, что можно провести только одну прямую.

Опираясь на аксиому параллельных, можно доказать теорему о свойстве транзитивности параллельности прямых.

Теорема:

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Доказательство:

Допустим противное: пусть прямые а и b не параллельны. Это значит, что они различны и имеют общую точку Р (рис. 125). Но тогда через точку Р проходили бы две параллельные к прямой с, что невозможно по аксиоме параллельных. Значит, допущение неверно и потому

Направления. Углы между направлениями

Рассмотрим направленные и противоположно направленные лучи. Отметим, что эти лучи принадлежат параллельным прямым.

Случай 1. Лучи лежат на одной прямой. Если (рис. 126, а), то эти лучи сонаправлены, а если (рис. 126,6), то эти лучи противоположно направленные. Лучи будут противоположно направленными также в случае, если (рис. 126,б) или (рис. 126, г).

Случай 2. Два луча параллельны, но не лежат на одной прямой. Проведем через их начала прямую. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Если рассматриваемые лучи лежат в одной из этих полуплоскостей (рис. 126, д), то они сонаправлены, если же лежат в разных полуплоскостях (рис. 126, е), то они противоположно направлены.

Можно доказать, что если два луча сонаправлены третьему, то все эти лучи будут сонаправлены (свойство транзитивности).

Для противоположно направленных лучей можно доказать такую теорему.

Теорема:

О симметричности противоположно направленных лучей. Два противоположно направленных луча симметричны относительно середины отрезка, соединяющего их начала.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда лучи не лежат на одной прямой (рис. 127). Обозначим буквой а ту полуплоскость с границей (рис 127) в которой лежит луч OA. Другую полуплоскость обозначим через

При центральной симметрии с центром Р точка О отобразится на точку При этом прямая отображается на параллельную прямую, которая согласно аксиоме параллельных единственна, прямая OA отобразится на прямую, проходящую через точку и параллельную (ОА), т. е. на прямую Полуплоскость а отобразится на полуплоскость Поэтому луч OA отобразится на луч лежащий в полуплоскости (рассмотрите это на модели).

Основываясь на свойстве транзитивности сонаправлен-ности лучей, можно дать определение направлению на плоскости.

Множество лучей, сонаправленных данному лучу, называется направлением на плоскости.

Следовательно, для того чтобы задать направление на плоскости, нужно задать какой-нибудь луч. Направления на плоскости задаются лучами, поэтому угол между направлениями совпадает с углом между лучами (угол АОВ на рис. 128).

Докажем теорему об углах между направлениями.

Теорема:

Угол между двумя направлениями не зависит от выбора начальной точки лучей, которые определяют этот угол.

Доказательство:

Пусть лучи сонаправлены и лучи тоже сонаправлены. Что можно сказать об углах (рис. 129)?

Пусть Р — середина отрезка При симметрии с центром Р лучи OA и ОВ перейдут в лучи противоположно направленные лучам Ограниченный лучами OA и ОВ меньший угол перейдет в меньший из углов, ограниченный лучами Эти углы конгруэнтны (так как отображаются друг на друга при центральной симметрии). Значит, они имеют одну величину: Так как и вертикальные, то Если выбранные направления совпадают, то как угол между лучами OA и ОВ, так и угол между лучами равен нулю; если же направления противоположны, то оба эти угла равны 180°. В обоих этих случаях равенство также выполняется. Значит, углы между направлениями равны.

Примеры:

Дан острый угол. Построить отрезок, конгруэнтный и параллельный данному отрезку AB так, чтобы концы его лежали на сторонах угла.

Решение:

Пусть MNL — данный угол и —данный отрезок (рис. 130). Построим прямую, проходящую через N, параллельную (AB), и на ней от точки N отложим в двух направлениях отрезки NР и NQ, конгруэнтные данному. Построим прямую, проходящую через Р и параллельную (ML). Пусть она пересекает (MN) в точке С. Через С проведем прямую, параллельную (PQ). Отрезок CD этой прямой, принадлежащий данному углу, и будет искомым. Если бы мы выполнили аналогичное построение, взяв точку Q, то получили бы тот же самый отрезок CD. (Докажите.)

2.Доказать, что если две прямые параллельны то перпендикуляр к одной из них является перпендикуляром и к другой

Доказательство:

Допустим, что прямая с не перпендикулярна к b. Значит, прямая b является наклонной к прямой с. Но потому что противоречит условию.

Параллельный перенос и вектор

Параллельным переносом называется перемещение плоскости, при котором все точки плоскости отображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Если указать образ одной точки при параллельном переносе, то параллельный перенос будет задан. Действительно, если образом точки А является точка то эти две точки определяют и расстояние и направление от точки А к точке Тогда для любой точки X образ можно получить так: построить луч ХМ, сонаправленный лучу и на нем отложить отрезок конгруэнтный отрезку (рис. 131).

Будем обозначать параллельный перенос буквой Т. Если точка X отображается при параллельном переносе Т на точку Х1( будем писать

Для параллельного переноса в математике есть еще одно название—вектор. Векторы обычно обозначаются латинскими буквами со стрелками сверху Вектор, как и параллельный перенос, является отображением точек плоскости, т. е. наряду с записью возможна запись (читается: вектор отображает точку X на точку

Если пары точек и задают один и записывают так: Вообще, запись означает, что сонаправленные лучи и

Параллельный перенос на расстояние, равное нулю, определяет тождественное отображение плоскости. Такой параллельный перенос называется нулевым вектором и обозначается итак, Нулевой вектор можно обозначить и так:

2.Докажем теперь теоремы с использованием параллельного переноса.

Теорема:

Параллельный перенос отображает прямую на параллельную ей прямую.

Доказательство:

Пусть сонаправлены и (рис. 132). Обозначим через Р середину отрезка Лучи противоположно направлены. Поэтому они симметричны относительно точки Р. Значит, точка О отображается на точку

Отрезки центрально симметричны, поэтому (по теореме с центрально симметричных прямых)

Теорема:

Отрезки двух параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными прямыми, конгруэнтны между собой.

Доказательство:

Пусть (рис. 133). Рассмотрим параллельный перенос, отображающий точку A на точку С. При этом отрезок А В отображается на отрезок CD. Поэтому

Докажем, наконец, одну из классических теорем геометрии—теорему Фалеса.

Теорема:

Если на одной прямой отложить несколько конгруэнтных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой отрезки, конгруэнтные между собой.

Доказательство:

Рассмотрим на прямой р (рис. 134) два отрезка. Пусть и Через точки проведем прямые, параллельные прямой р. Точки их пересечения с прямыми обозначим через X и У. Тогда по теореме об отрезках параллельных, заключенных между параллельными; значит,

По построению Параллельный перенос, отображающий точку на точку отображает отрезок на отрезок прямую на параллельную ей прямую Следовательно, при этом параллельном переносе точка отображается на точку и отрезок — на отрезок поэтому

Треугольники. Виды треугольников. Основные свойства

Если замкнутая ломаная, о которой говорится в определении многоугольника, состоит из трех звеньев, то такая геометрическая фигура называется треугольником. Измерив длины сторон треугольника и величины его углов, мы получим шесть величин, называемых основными элементами треугольника*.

Треугольники разделяются на виды в зависимости от длины сторон и в зависимости от величины углов. В зависимости от длины сторон различают разносторонние и равнобедренные треугольники. Треугольник, у которого все три стороны имеют различные длины, называется разносторонним. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Среди равнобедренных треугольников встречаются и такие, у которых все три стороны равны, эти треугольники называются равносторонними. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного.

В зависимости от величины углов различают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным. Треугольник, в котором имеется прямой угол, называется прямоугольным. Треугольник, в котором имеется тупой угол, называется тупоугольным.

Сформулируем (без доказательства) три признака конгруэнтности треугольников.

Теорема:

Если три стороны треугольника соответственно конгруэнтны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.

Теорема:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно конгруэнтны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.

Теорема:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно конгруэнтны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.

Теорема:

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть дан (рис. 135). Проведем через вершину С прямую MN, параллельную прямой АВ. Продолжим стороны АС и ВС за вершину С.

Лучи AF и CF сонаправлены, лучи АВ и CN сонаправлены, поэтому Лучи ВН и СН сонаправлены, лучи ВА и CМ сонаправлены, поэтому Углы 2 и 5 вертикальные, поэтому Значит, Но углы 6, 5 и 4 в сумме составляют развернутый угол MCN, поэтому

Следствие:

В треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.

Действительно, в противном случае сумма углов треугольника оказалась бы больше 180°, что неверно.

Рассмотрим теперь вопрос о возможности построения треугольников. Из теоремы 1—3 следует, что для построения треугольника достаточно хотя бы трех основных элементов. Треугольник можно построить, если заданы:

а) три его стороны; б) его сторона и прилежащие к ней два угла; в) две его стороны и угол между ними.

Кроме перечисленных случаев логически возможны еще следующие (существенно различные) комбинации трех основных элементов треугольника: г) сторона, прилежащий к ней угол и угол противолежащий его стороне; д) две стороны треугольника и угол противолежащий одной из них и е) три угла треугольника.

Если воспользоваться теоремой 4, то случай г) сводится к случаю б). Действительно, сумма углов треугольника равна 180°, поэтому, зная его два угла, можно высчитать третий угол. Следовательно, станут известными сторона и два прилегающих к ней угла.

Иначе обстоит дело в случае е). Чтобы треугольник с заданными углами существовал, необходимо выполнение равенства Если это равенство соблюдается, то можно выбрать произвольно сторону а и построить треугольник с заданными прилежащими углами При различном выборе стороны получится сколько угодно неконгруэнтных треугольников. Тройка не определяет треугольник.

В случае д) задача требует исследований,— в этом случае можно построить один треугольник, два или вообще не построить его. Это связано с требованиями к данным элементам.

Дадим теперь определение внешнего угла треугольника.

Угол, смежный с внутренним углом треугольника, называется его внешним углом (величина этого угла также называется внешним углом треугольника).

Докажем еще одно следствие из теоремы о сумме углов треугольника.

Теорема:

Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с этим внешним.

Доказательство:

угол BCD—внешний (рис. 136). (смежные углы). (по теореме о сумме углов треугольника). В равных суммах вторые слагаемые одинаковы. Значит, равны и первые слагаемые:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема:

О средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а длина ее равна половине этой стороны.

Доказательство:

Пусть в (рис. 137) Если через точку D провести прямую, параллельную отрезку АС, то она, по теореме Фалеса, разделит отрезок ВС пополам, т. е. пройдет как раз через точку Е, поэтому

Проведем По теореме Фалеса, прямая EF разделит отрезок АС пополам: но следовательно,

Теорема:

Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.

Доказательство:

Пусть Отложим на большей стороне ВС отрезок BD (рис. 138), конгруэнтный отрезку АВ. Соединим точки А и D отрезком. Треугольник ABD — равнобедренный, поэтому Угол BDA больше угла С, как внешний угол треугольника ADC, значит, и

Но угол BAD составляет часть угла А, поэтому угол А и подавно больше угла С.

Теорема:

Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Доказательство:

Пусть Длина отрезка АВ (см. рис. 138) не может быть больше длины отрезка ВС, так как по предыдущей теореме угол С был бы больше угла А, что противоречит условию.

Длина отрезка АВ не может быть и равной длине отрезка ВС, так как треугольник ABC был бы равнобедренным и в нем величины углов Л и С были бы равны.

Итак, длина отрезка АВ не больше и не равна длине отрезка ВС. Значит, она меньше длины отрезка ВС, поэтому

Теорема:

Против равных сторон в треугольнике лежат равные углы, и, наоборот, против равных углов в треугольнике лежат равные стороны.

Доказательство:

Пусть (рис. 139). Сторона не может быть больше так как в этом случае по предыдущей теореме угол С был бы больше угла А, что противоречит условию.

Сторона не может быть и меньше так как в этом случае угол С был бы меньше угла А, что противоречит условию; следовательно,

Признаки параллельности прямых

1.Если две прямые центрально симметричны, то они параллельны.

Рассмотрим еще один признак параллельности двух прямых.

2.Если две прямые плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.

Действительно, в противном случае через их точку пересечения проходили бы два перпендикуляра к одной прямой, а это невозможно (на основании теоремы о единственности перпендикуляра к прямой в данной точке).

Если две прямые пересечены третьей, то углы 1 и 5, 2 и 6,3 и 7,4 и 8 (рис. 140) называются соответственными.

Теорема:

Если какие-либо два соответственных угла при пересечении двух прямых третьей конгруэнтны, то эти две прямые параллельны.

Доказательство:

Имеем: Предположим, что (рис. 141). Тогда образуется В нем —внешний, — внутренний. Значит, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и

Свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы угла

Прямая, перпендикулярная к отрезку и проходящая через его середину, называется серединным перпендикуляром к этому отрезку. Серединный перпендикуляр к отрезку является одной из двух осей симметрии этого отрезка (второй осью симметрии отрезка является прямая, на которой лежит отрезок).

Свойство серединного перпендикуляра определяется следующей теоремой.

Теорема:

О серединном перпендикуляре к отрезку.

Множество всех точек, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Для доказательства этой теоремы нужно доказать два утверждения.

Лемма:

Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.

Доказательство:

Точки А и В симметричны относительно прямой р, а тогда (рис. 142).

Лемма:

Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство:

Пусть точка X равноудалена от концов отрезка АВ. Тогда равнобедренный (см. рис. 142). Проведем его высоту Х0\ она является и медианой. Значит, Следовательно, точка X лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Сформулируем свойство биссектрисы угла.

Теорема:

О точках биссектрисы угла. Множеством всех точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Доказательство этой теоремы основано на двух леммах.

Лемма А:

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Доказательство:

Пусть — биссектриса угла (рис. 143). Проведем перпендикуляр ME к стороне OA. Рассмотрим осевую симметрию с осью ОС. Угол АОС отобразится при этой симметрии на конгруэнтный ему угол, расположенный по другую сторону от оси ОС, т. е. на угол ВОС.

Следовательно, луч OA отобразится на луч OB, а прямоугольный —на прямоугольный же с вершиной К на луче ОВ. Поэтому расстояния от точки М до сторон угла АОВ равны между собой.

Лемма В:

Если точка угла равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство:

Пусть точка М равноудалена от сторон угла АОВ. Проведем через точку М перпендикуляры к сторонам угла АОВ (рис. 144):

По условию теоремы Тогда прямоугольные треугольники МЕО и MDO конгруэнтны по гипотенузе и катету. Поэтому т.е. луч ОМ является биссектрисой угла АОВ.

Примеры:

Доказать, что

Решение:

Имеем: (ED) — ось симметрии Осевая симметрия с осью ED отображает а так как осевая симметрия является перемещением, то

На рис. 145 Найти условие, при котором конгруэнтен

Решение:

Имеем: так как противоположно направлены; противоположно направлены;

так как противоположно направлены, противоположно направлены.

Для того чтобы был конгруэнтен нужно к данным условиям добавить условие

Четырехугольники

Параллелограмм

Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.

Теорема:

Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

Доказательство:

Пусть точка О—середина диагонали АС параллелограмма ABCD (рис. 146). При центральной симметрии с центром О луч AD отобразится на луч СВ. А

Следовательно, точки A, D, С и В отобразятся соответственно на точки С, В, А и D, т. е. параллелограмм ABCD отобразится сам на себя. Поэтому точка О является центром симметрии данного параллелограмма.

Следствие:

Противоположные стороны параллелограмма равны*.

Действительно, они отображаются друг на друга при центральной симметрии с центром О (рис. 146).

Следствие:

Противоположные углы параллелограмма равны.

Действительно, они являются центрально симметричными фигурами относительно точки О (рис. 146).

Следствие:

Каждая диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника.

Действительно, треугольники ABC и CDА (рис. 146) центрально симметричны относительно центра О и поэтому конгруэнтны.

Следствие:

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство:

Так как точка О—центр симметрии параллелограмма (рис. 146), то вершины В и D центрально симметричны относительно О. Значит, точка О делит диагональ BD пополам. Аналогично доказывается, что точка О делит пополам и диагональ АС.

Отрезок перпендикуляра, проведенного к противоположным сторонам параллелограмма, заключенный между этими сторонами (или их продолжениями), называется высотой параллелограмма.

Сформулируем и докажем признаки параллелограмма.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник—параллелограмм.

Доказательство. В четырехугольнике (рис. 147) проведем диагональ АС, тогда (по трем сторонам); отсюда

Из конгруэнтности углов 1 и 3 следует, что Из конгруэнтности углов 2 и 4 следует, что Значит четырехугольник ABCD—параллелограмм.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник— параллелограмм.

Доказательство аналогично доказательству первого признака.

Прямоугольник. Ромб. Квадрат

Параллелограмм, у которого углы прямые, называется прямоугольником. Так как прямоугольник есть параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами. Кроме того, прямоугольник обладает свойствами, указанными в следующей теореме и ее следствиях.

Теорема:

Серединный перпендикуляр к стороне прямоугольника является его осью симметрии.

Доказательство:

Пусть ABCD — прямоугольник (рис. 148). Серединный перпендикуляр MN к отрезку

AD является его осью симметрии. Поэтому точки А и D симметричны относительно оси MN.

Теперь докажем, что точки В и С симметричны относительно оси MN, т.е. что Прямые AD и ВС параллельны, а прямая MN перпендикулярна прямой AD по условию. Значит, прямая MN перпендикулярна и прямой ВС. Прямые АВ, MN, DC параллельны между собой, как перпендикулярны к одной и той же прямой AD. Отрезки AM и MD конгруэнтны по условию. Тогда, по теореме Фалеса, отрезки BN и NC конгруэнтны.

Итак, вершины А и В симметричны относительно оси MN вершины D и С. Поэтому при симметрии с осью MN четверка вершин данного прямоугольника отображается сама на себя: Отрезки AD и ВС отображаются на себя, отрезки же АВ и DC отображаются друг на друга. Составленная из этих отрезков граница прямоугольника отображается сама на себя. Поэтому и весь прямоугольник отображается сам на себя. Значит, прямая MN есть ось симметрии прямоугольника.

Следствие:

Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Следствие:

Диагонали прямоугольника равны.

Как видите, перемещения находят широкое применение при доказательстве стойств прямоугольника. Точно также все характерные свойства ромба и квадрата доказываются с использованием осевой симметрии.

Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом. Так как ромб есть параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами. Кроме того, ромб обладает и другими свойствами.

Теорема:

Прямая, содержащая диагональ ромба, является его осью симметрии, т.е. диагональ ромба является его осью симметрии.

Доказательство:

Пусть точки ромба В и D (рис. 149) равноудалены от концов отрезка АС, тогда

они лежат на его оси симметрии. При симметрии относительно оси BD четверка вершин ромба отображается сама на себя:

Следовательно, отрезки АВ и ВС, AD и DC отображаются друг на друга. Составленная из этих отрезков граница ромба отображается на самое себя. Поэтому н весь ромб отображается сам на себя, т. е. прямая BD является осью симметрии ромба ABCD.

Точки А и С равноудалены от концов отрезка BD, поэтому прямая АС также является осью симметрии ромба ABCD.

Следствие:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Действительно, ось симметрии перпендикулярна прямой, соединяющей симметричные точки, не принадлежащие этой оси; значит, (рис. 149).

Следствие:

Диагонали ромба делят его углы пополам. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Из определений квадрата и ромба следует, что квадрат является ромбом, у которого углы прямые. Так как квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает всеми их свойствами.

Трапеция

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие непараллельны, называется трапецией. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные—боковыми сторонами. Боковые стороны трапеции могут оказаться равными, тогда она называется равнобедренной. Если один из углов трапеции прямой, то она называется прямоугольной. В этом случае у трапеции будет еще один прямой угол.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Теорема:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, длина ее равна полусумме оснований.

Доказательство:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 150). Разобьем трапецию диагональю BD на два треугольника. Проведем через точку Е прямую ЕК, параллельную Тогда, по теореме Фалеса, для угла CDB точка М будет серединой отрезка BD. По этой же теореме для угла DBA прямая ЕК разделит отрезок АВ пополам. Следовательно, средняя линия лежит на прямой ЕК, параллельной Первая часть теоремы доказана.

Отрезок ЕМ является средней линией треугольника BCD, а отрезок МН — средней линией треугольника ADB, поэтому

Примеры:

В прямоугольнике (рис. 151); найти

Решение:

Так как то Треугольник АОВ равнобедренный, так как поэтому значит Теперь имеем:

2.Построить ромб по его стороне b= 4 см и углу а = 65°.

Решение:

Можно предложить различные способы построения. Приводим один из возможных.От руки рисуем ромб, чтобы увидеть, к чему сводится его построение (рис. 152). В имеем пусть

Рассмотрение рисунка показывает, что построение ромба сводится к построению равнобедренного по боковой стороне, равной 4 см, и углу при вершине, величина которого равна 65°.

Выполнять построение нужно с помощью циркуля, угольника и линейки; запись шагов построения может быть краткой:

Доказательство:

Имеем а значит, ABCD — параллелограмм, откуда (по построению), а значит, ABCD — ромб,

Площади многоугольников

Понятие площади: Прежде чем вывести формулы для площадей различных многоугольников, следует разобраться в том, что же такое площадь многоугольника и какими свойствами она обладает.

Площадь это неотрицательная величина, а следовательно, для нее выполняются все свойства величин. Площади можно складывать между собой и умножать на положительные числа. При сложении двух площадей получается площадь, при умножении на числа — площадь. Выбрав площадь V за единицу измерения, любую другую площадь S можно выразить в виде где k — числовой множитель, который называется числовым значением площади S при единице измерения V или отношением площади S и площади V. Если две площади А и В выражены через общую единицу измерения V в виде то отношение А:В равно отношению числовых значений

Обычно за единицу измерения площади принимается площадь квадрата со стороной единичной длины При этом выбранную таким образом единицу измерения площадей 5 обозначают Например, из линейных единиц см (сантиметр) и м (метр) получают единицы измерения (квадратный сантиметр) и (квадратный метр).

При получении формул для площадей многоугольников мы будем пользоваться следующими свойствами площадей.

1.Конгруэнтные многоугольники имеют равные площади.

2.Если многоугольник составляется из неперекрывающихся многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников*.

Площадь четырехугольника

Площадь прямоугольника со сторонами а и b вычисляется по формуле Докажем теорему, дающую формулу для вычисления площади параллелограмма.

Теорема:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство:

Один из двух углов, прилежащих к основанию AD параллелограмма ABCD, острый (рис. 153). Пусть это будет угол А. Проведем через вершины В и С перпендикуляры к прямой AD. Получим прямоугольник BCFE, вершины F и Е которого лежат на луче AD. Точка F при этом всегда лежит вне отрезка AD. В положении точки Е могут встретиться три различных случая (рис. 153, а, б, в). Имеем равенство

Ho (докажите); значит, Поэтому из равенства (1) следует, что Но значит,

Площадь треугольника

Пользуясь формулой, выведенной в п. 2, получим формулу для вычисления площади треугольника.

Теорема:

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство этой теоремы заключается в том, что треугольник достраивается до параллелограмма. Диагональ же параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника.

Аналогично получим и формулу для вычисления площади трапеции.

Теорема:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Чтобы вычислить площадь многоугольника, можно воспользоваться разложением его на треугольники и найти сумму их площадей (используя второе свойство площадей). Такое разложение выпуклого многоугольника можно осуществить, проводя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 154, а). Иногда удобно воспользоваться разложением, показанным на рис. 154, б, в.

Вписанные и описанные многоугольники

Многоугольник, все вершины которого принадлежат окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого многоугольника.

Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность—вписанной в этот многоугольник.

Теорема:

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну окружность.

Значит, окружность определяется заданием трех ее точек, не лежащих на одной прямой.

Следствие:

Через вершины любого треугольника можно провести окружность и притом только одну. Иначе говоря — около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то центр этой окружности лежит на середине гипотенузы (рис. 155).

Это замечание можно сформулировать в виде двух лемм.

Лемма А:

Вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой АВ лежат на окружности с диаметром АВ.

Лемма В:

Все точки окружности с диаметром А В являются вершина-ми прямоугольных треугольников с гипотенузой АВ (см. рис. 78).

Из лемм А и В следует теорема.

Теорема:

Множество всех вершин прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой есть окружность, диаметром которой является эта гипотенуза.

Эта теорема позволяет обосновать простой способ построения касательной, проходящей через данную точку вне окружности. Если прямая РХ касается окружности с центром О в точке X (рис. 156), то точка X является вершиной прямоугольного треугольника с гипотенузой

ОР. Поэтому точка X является точкой пересечения данной окружности и окружности с диаметром ОР.

Через точку Р, лежащую вне окружности, всегда можно провести к ней две касательные (рис. 157). Действительно, окружность с диаметром ОР проходит через центр данной окружности О и через точку Р, лежащую вне этой окружности. Значит, она всегда пересекает данную окружность в двух точках: Прямые и будут двумя искомыми касательными.

Теорема:

Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Центром ее является точка пересечения биссектрис углов треугольника, а радиусом—расстояние от центра до сторон треугольника.

Вписанные и описанные четырехугольники

Сначала дадим определение вписанного угла.

Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.

Теорема:

Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим три возможных случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла.

1.Центр окружности лежит на стороне вписанного угла ABC (рис. 158). Величина центрального угла равна угловой величине соответствующей ему дуги, поэтому рассмотрим образ угла ABC при параллельном переносе Это будет центральный угол ЕОС. Его величина равна угловой величине дуги СЕ. Осталось сравнить дугу СЕ с дугой АС. Для этого заметим прежде всего, что (как образ луча ВА при параллельном переносе Обозначим через D вторую точку пересечения прямой ОЕ с данной окружностью, тогда (как дуги, заключенные между параллельными хордами); (как вертикальные); (как дуги, соответствующие конгруэнтным центральным углам).

Значит, поэтому угловая величина дуги СЕ равна половине угловой величины дуги АС. Следовательно, величина угла ABC равна половине угловой величины дуги АС.

2.Центр окружности лежит внутри вписанного угла ABC (рис. 159). Проведя луч ВО, разобьем данный угол на два угла, для которых справедлив рассмотренный уже случай теоремы:

Величина угла ABD равна половине угловой величины дуги AD. Величина угла DBC равна половине угловой величины дуги DC. Тогда величина угла ABC равна половине угловой величины дуги АС.

3. Центр окружности лежит вне вписанного угла. В этом случае проведите доказательство самостоятельно. Теперь можно доказать следующую теорему.

Теорема:

Для того чтобы четырехугольник можно было вписать в окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов равнялась 2d.

Доказательство:

Докажем сначало, что это условие необходимо, т. е. что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2d. Пусть четырехугольник ABCD (рис. 160) вписан в окружность (О, R), тогда

следовательно, поэтому

Но дуги составляют окружность.

Таким образом, величина суммы углов а к с равна угловой величине половины окружности, т. е.

Докажем теперь достаточность. Предположим, что в четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 2d, и докажем, что около этого четырехугольника можно описать окружность. Пусть в четырехугольнике ABCD имеем

Проведем через точки А, В, С окружность. Как будет расположена точка D относительно этой окружности? Возможно лишь одно из трех положений: точка D лежит: 2) внутри окружности, 2) вне окружности, 3) на окружности.

Допустим, что точка D лежит внутри окружности (рис. 161), тогда (по условию теоремы), (по доказанному). Отсюда что невозможно (внешний угол D треугольника EDC не может быть конгруэнтным его внутреннему углу Е). Значит, допущение неверно. Следовательно, точка D не может занять положение внутри построенной окружности.

Аналогично доказывается, что вершина D не может лежать и вне этой окружности (рис. 162).

Итак, вершина D не может лежать ни внутри построенной окружности, ни вне ее. Следовательно, точка D должна лежать на этой окружности, т.е. около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Следствие:

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Следствие:

Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Необходимое и достаточное условие того, что четырехугольник является описанным, формулируется так.

Теорема:

Для того чтобы четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон равнялись между собой.

Примеры:

От участка земли в форме трапеции нужно отделить треугольный участок так, чтобы площадь его была равна площади оставшейся части. Как это сделать?

Решение:

Пусть участок имеет форму трапеции ABCК (рис. 163) и

Обозначим Тогда

но откуда Следовательно,

Ответ. На большем основании трапеции нужно отложить отрезок МК, длина которого равна длине средней линии трапеции.

Найти высоту ВК треугольника ABC (рис. 164), если

Решение:

Имеем:

3.Дано: (рис. 165) не параллелен

Найти

Решение:

а значит, прямоугольный;

б) откуда следовательно,

в) а значит, а значит,

а тогда

Основные действия с векторами

Сложение векторов

Пусть даны два вектора Произвольную точку X вектор отображает на точку Y (это записывается так: а вектор отображает точку Y на точку Z, т.е. (рис. 166).

Следовательно, в результате последовательного выполнения отображения точка X отображена на точку Z.

Однако можно задать такое одно отображение, которое точку X сразу же отображало бы на точку Z. Можно доказать, что это отображение также есть вектор. Все точки плоскости оно отображает в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Мы принимаем этот вектор за сумму векторов Он обозначается

Суммой двух векторов называется отображение плоскости на себя, являющееся результатом последовательного выполнения отображений

Покажем теперь, как при помощи геометрических построений можно получить вектор если заданы векторы Возьмем произвольную точку А. Вектор отображает ее на точку Отобразим при помощи вектора точку В на точку т.е. Тогда (рис. 167). Действительно, так как Следовательно, для того чтобы сложить два вектора и где точки А, В, X и К произвольно расположены на плоскости, надо вектор отложить от точки В (рис. 168). Получим точку С. Затем соединить точку С с точкой А. Вектор равен сумме векторов Действительно,

такое построение называется «правилом треугольника».

Докажем, что для суммы векторов справедливо пере-местительное свойство.

Теорема:

Для любых векторов выполняется равенство

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда векторы отложены от одной точки О. Пусть и точки А, В, О не лежат на одной прямой (рис. 169).

Отобразим при помощи вектора точку А на точку

Получим параллелограмм ОАСВ. Тогда (объясните почему)

и по правилу треугольника

откуда следует, что

Доказанное свойство позволяет выполнять сложение двух векторов по так называемому «правилу параллелограмма)). Это правило проиллюстрировано на рис. 169, где (Случай, когда точки А, В, О расположены на одной прямой, будет рассмотрен в следующем пункте.)

Используя правило параллелограмма в случае сложения двух векторов можно либо отложить вектор от точки В, либо вектор от точки Y.

Коллинеарные векторы

В зависимости от направлений векторы делятся на коллинеарные и неколлинеарные.

Векторы называются коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны. Геометрически это означает, что направленные отрезки, изображающие вектор, лежат на параллельных прямых. Так, на рис. 170 векторы — коллинеарны, при этом направления векторов совпадают, а направление вектора им противоположно.

Так как любой вектор можно отложить от любой точки плоскости, то коллинеарные векторы могут быть изображены на одной прямой (рис. 171),

Ясно, что изобразить векторы на прямой а можно бесконечным числом способов.

Пусть дан вектор Введем на прямой ОЕ координаты. Примем точку О за нулевую, направление от О к E за положительное и расстояние за единицу длины (рис. 172), т.е. Каждая точка А координатной прямой ОЕ характеризуется абсциссой

Расстояние между точками А и В этой прямой будет равно Два направленных отрезка АВ и CD прямой ОЕ являются изображениями одного и того же вектора, если

имеют одну и ту же длину и одно и то же направление, т. е. если разности равны по абсолютной величине и по знаку. Следовательно, если точки А, В, С, D лежат на прямой ОЕ, равенство равносильно равенству

В пункте 1 доказано свойство переместительности для неколлинеарных векторов. Докажем это свойство для коллинеарных векторов.

Построим на координатной прямой равные векторы (рис. 173).

Будем геометрически складывать два вектора различными способами (рис. 173):

Чтобы установить равенство надо доказать, что точки С и N совпадают, т. е. что

Воспользуемся координатной записью равенства двух векторов; означает, что

Равенство означает, что

Складывая (1) и (2), получаем

а это и означает, что точки С и N совпадают.

Теорема:

Для любых векторов выполняется равенство

Доказательство:

Любые векторы и смогут быть записаны в виде (рис. 174). Из определения сложения векторов вытекает, что

Мы видим, что

т. е. сложение векторов обладает свойством сочетательности.

Противоположный вектор

Мы знаем, что любое перемещение является обратимым отображением. Обратное к нему отображение—тоже перемещение. Производя последовательно перемещение F и обратное перемещение L, получаем тождественное отображение плоскости. Если отображение есть вектор, то обратное к нему отображение называют противоположным вектором. Вектор, противоположный вектору обозначается Вектор противоположен вектору если

Из определения сложения векторов вытекает, что всегда (это равенство называют законом поглощения нулевого вектора). В самом деле, если то

Теперь введем операцию вычитания векторов. Пусть

Рассмотрим вектор и докажем, что он удовлетворяет равенству (1). В самом деле,

Вектор с называется разностью векторов и обозначается

Из сказанного вытекает правило: для построения вектора следует построить вектор Если

векторы отложены от одной и той же точки О (рис. 175), то имеем

Но сумма векторов есть вектор поэтому

Найдем разность векторов изображенных на рис. 176. Возьмем на плоскости произвольную точку А и отложим эти векторы от этой точки. Тогда на основании нашего правила имеем:

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число х называется вектор, имеющие направление вектора если и противоположное направление, если Длина этого вектора равна произведению длины вектора на модуль числа х.

Будем обозначать произведение вектора на число х через (числовой множитель будем писать слева). По определению Отсюда вытекает, что при любом векторе имеем и при любом числе х имеем

Умножением вектора на число мы фактически пользовались уже, когда вводили координаты точек на прямой. Теперь, пользуясь векторным языком, можно сказать,

что, выбрав единичный вектор мы геометрически изображаем число х вектором равным произведению единичного вектора на число х.

Основные законы векторной алгебры

Для операции сложения векторов мы доказали три закона.

1. переместительный закон.

2. сочетательный закон.

3. закон поглощения нулевого вектора.

В случае умножения векторов на число мы будем пользоваться еще четырьмя законами.

4. сочетательный закон.

5. первый распределительный закон.

6. второй распределительный закон.

7. закон поглощения нуля и нулевого вектора.

Обратим внимание на отсутствие переместительного закона умножения вектора на число. Это произошло из-за того, что мы условились писать числовой множитель всегда первым. Докажем теперь остальные законы.

Сочетательный закон. Предположим сначала, что Докажем равенство векторов Достаточно доказать, что они имеют одно и то же направление и одну и ту же длину. Равенство их длин вытекает из следующих выкладок:

Эти векторы имеют одно и то же направление. Это сле-дует из того, что они оба имеют направление вектора

если и направление, противоположное вектору если

Если же

Первый распределительный закон. Будем считать, что Отложим вектор от произвольной точки О и введем на прямой OA координаты (рис. 177), считая начальной—точку О, положительным направлением— направление от О к А и единицей длины—длину Сложим векторы по правилу треугольника:

Найдем координаты точек В и С: (рис. 177). Из последнего равенства вытекает, что

Остается рассмотреть случай В этом случае

Второй распределительный закон. Докажем его для натурального множителя х:

Остается только проверить, какой смысл имеет знак «—» в записи противоположного вектора.

Мы обозначим противоположный вектор через — Но известно, что есть вектор — противоположный вектору Легко проверить (проверьте!), что Отсюда следует, что

Примеры:

Дан пятиугольник ABCDE. Выразить через векторы векторы

Решение:

Имеем:

Векторы выражаются через векторы аналогичными способами.

2. Диагонали параллелограмма ABCD изображают векторы Выразить через векторы и Сколько различных выражений получится? Решение. Имеем:

Mы получили три различных выражения, так как

Подобие в геометрии

Подобные фигуры

Из всевозможных геометрических фигур мы уже умеем выделять конгруэнтные фигуры. Их можно отобразить одну на другую с сохранением расстояний между соответствующими точками. Рассмотрим две фигуры, являющиеся изображениями карты Советского Союза в различных масштабах. Эти фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры. Их можно отобразить одну на другую так, что, во-первых, каждой точке меньшей фигуры соответствует единственная точка большей фигуры, и наоборот, и, во-вторых, отношение расстояний между соответствующими точками фигур постоянно и равно отношению масштабов.

Фигуры, которые можно отобразить одну на другую с сохранением отношения расстояний между соответствующими точками, называются подобными, а число равное отношению этих расстояний, называется коэффициентом подобия.

Если фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия k, то пишут

Рассмотрим свойства подобных фигур.

1.Каждая фигура подобна самой себе с коэффициентом подобия

2.Если фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия k то фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия

Если

3. Если фигура подобна с коэффициентом подобия а фигура подобна фигуре фигуре с коэффициентом подобия то фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия если то

4.Конгруэнтные фигуры подобны с коэффициентом подобия т. е.

если

Из свойства 4 следует, что конгруэнтные фугуры так же обладают перечисленными выше свойствами:

1)

2) если

3) если

Гомотетия и ее свойства

Мы уже знаем, что при перемещениях расстояния между соответствующими точками сохраняются. Однако это выполняется не при любых

отображениях плоскости на себя. Возьмем на плоскости произвольную точку О. Проведем через нее пучок прямых (рис, 178, и, б). Каждой точке X, принадлежащей плоскости, можно поставить в соответствие точку определяемую условием (на рис. 178, a k = 3, а на рис. 178, б k = —3). Из рис. 178 видно, что при этом расстояние между соответствующими точками не сохраняется.

Отображения такого типа имеют специальное название— гомотетия, и точка О называется центром гомотетии.

Гомотетией с центром О и коэффициентом называется отображение плоскости на себя, при котором образом произвольной точки X является точка определяемая из условия

Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают Пользуясь этим обозначением, можно определение гомотетии записать так:

Иногда гомотетию обозначают просто буквой Н.

Отметим два важных частых случая гомотетии. При гомотетии с коэффициентом каждая точка отображается сама на себя. Значит, тождественное отображение можно рассматривать как гомотетию с любым центром и коэффициентом

При гомотетии с центром О и коэффициентом каждая точка X отобразится на точку для которой т. е. на точку, центрально симметричную точке X. Значит, гомотетия с коэффициентом —1 есть центральная симметрия:

Само определение гомотетии подсказывает нам возможность построения фигуры, гомотетичной данной. Так, на рис. 179 пятиугольник гомотетичен пятиугольнику ABCDE с коэффициентом гомотетии

Рассмотрим наиболее важные свойства гомотетии.

1.Центр гомотетии отображается сам на себя.

Действительно, при умножении нулевого вектора на любое число n получится также нулевой вектор

2.Если то точки лежат на прямой ОХ по одну сторону от центра гомотетии.

В этом случае векторы сонаправлены (см. рис. 178, а).

Если то точки лежат на прямой ОХ по разные стороны от центра гомотетии. В этом случае векторы противоположно направлены (см. рис. 178, б).

Теорема:

Если при гомотетии с кооффициентом k точки X и У отображаются на точки

Доказательство:

По определению гомотетии (рис. 180). Найдем разность векторов

Следствие:

При гомотетии с коэффициентом k все расстояния между соответствующими точками умножаются на т. е.

Следствие:

Гомотетичные фигуры подобны. При гомотетии с коэффициентом k из фигуры получается фигура Для доказательства следует вспомнить определение подобных фигур и воспользоваться следствием 1.

Следствие:

При гомотетии с коэффициентом каждый луч отображается на сонаправленный с ним луч (рис. 181). При гомотетии с коэффициентом каждый луч отображается на противоположно направленный с ним луч (рис. 182).

Доказательство. Из равенства следует, что векторы коллинеарны, а это значит, что лучи имеют либо одинаковое, либо противоположное направление в зависимости от знака коэффициента k.

Из следствия 3 вытекает, что гомотетия отображает прямую на параллельную ей прямую, отрезок — на параллельный ему отрезок, угол — на конгруэнтный ему угол (углы между направлениями).

Пропорциональные отрезки

Отрезки называются пропорциональными, если пропорциональны их длины.

Теорема:

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Рассмотрим гомотетию с центром О и парой соответствующих точек (рис. 183). В этой гомотетии лучи OA и ОВ отображаются сами на себя. Точка В отображается на точку так как прямая АВ отображается на параллельную ей прямую (следствие 3).

Но при гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками умножается на значит,

откуда

Следствие:

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, стороны которого пропорциональны сторонам данного треугольника.

Верна и обратная теорема.

Теорема:

Если отрезки пропорциональны отрезкам OA и ОВ и лежат соответственно на лучах OA и ОВ, то прямые и АВ параллельны (см. рис. 183).

Доказательство:

Пусть Так как точки лежат на одном луче с началом О, то векторы сонаправлены. Кроме того, по условию Значит, по определению произведения вектора на число будем иметь Аналогично, Следовательно, точки А и В при гомотетии с центром О и коэффициентом k отражаются на точки откуда

Следствие:

Если прямая DH при пересечении двух сторон треугольника ABC делит их на отрезки так, что то эта прямая параллельная третьей стороне треугольника (рис. 184).

Построение подобных фигур

Мы знаем, что гомотетичные фигуры подобны. Напомним, что для построения гомотетичных точек достаточно задать центр гомотетии и одну пару соответственных точек лежащих на одной прямой с центром О (рис. 185). Тогда для любой точки плоскости можно построить ее образ. Действительно, пусть дана произвольная точка В. Проведем прямые ОВ и АВ. Затем проведем прямую параллельную прямой АВ. Тогда точка будет образом точки В в заданной гомотетии (так как прямая АВ в этой гомотетии должна отобразиться на параллельную ей прямую). Но при построении подобных фигур

не всегда можно воспользоваться гомотетией, так как не все подобные фигуры гомотетичны.

На рис. 185 изображены три треугольника: Треугольники гомотетичны, а треугольники конгруэнтны. Поэтому треугольники подобны. Но они не гомотетичны, так как прямые не проходят через одну точку. Следовательно, две подобные фигуры могут быть и не гомотетичны.

А нельзя ли всегда построение подобных фигур свести к построению гомотетичных фигур?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема:

Если две фигуры подобны, то существует третья фигура, гомотетичная первой и конгруэнтная второй.

Доказательство:

Пусть фигуры подобны с коэффициентом подобия k (рис. 186). Значит, при отображении фигуры Ф на фигуру расстояния между точками фигуры Ф умножаются на k.

Построим фигуру гомотетичную фигуре Ф, с коэффициентом гомотетии, равным коэффициенту подобия k. Тогда при отображении фигуры Ф на фигуру расстояния между точками фигуры тоже умножаются на k. Поэтому фигуры конгруэнтны.

Таким образом, построенная фигура гомотетична фигуре Ф и конгруэнтна фигуре

Следовательно, если две конгруэнтные фигуры можно отобразить одну на другую с помощью перемещения или последовательного выполнения перемещений, то две подобные фигуры можно отобразить одну на другую с помощью последовательного выполнения гомотетии и перемещения. Так, например, на рис. 185 треугольник

получен из треугольника ABC последовательным выполнением гомотетии и поворота вокруг точки

Примеры:

Дана трапеция ABCD (рис. 187). Построить фигуру, гомотетичную данной относительно центра D и с коэффициентом гомотетии

Решение:

Примем точку D за центр юмотетии. Проведем через точку Найдем на луче точку используя свойство гомотетии тогда:

Соединив точки отрезками, мы получим искомую трапецию.

2. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к его основанию, как 5:7. Периметр этого треугольника равен 85 см. Вычислить длины сторон треугольника.

Решение:

Имеем следовательно,

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников

Рассмотрим признаки подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников (по трем сторонам).

Теорема:

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть даны стороны которых пропорциональны. Рассмотрим гомотетию с коэффициентом k, равным коэффициенту пропорциональности сторон данных треугольников. (Центр О этой гомотетии можно выбрать произвольно.) Эта гомотетия отобразит треугольник ABC на треугольник (рис. 188), при этом

Но

по условию; значит, (по трем сторонам).

Следовательно, треугольники —гомотетичны, а треугольники — конгруэнтны. Гомотетичные же фигуры подобны, значит, конгруэнтные фигуры тоже подобны, значит,

Тогда по свойству 3 подобных фигур имеем:

Аналогично доказываются два других признака подобия треугольников. При этом за центр гомотетии можно

принять любую точку плоскости (на рис. 189 центр гомотетии—точка О).

Второй признак подобия треугольников (по двум углам).

Теорема:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Третий признак подоби я треу гольни ков (по двум сторонам и углу).

Теорема:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника

и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Теорема Пифагора:

Пользуясь признаками подобия треугольников, можно доказать одну из центральных теорем планиметрии—теорему Пифагора.

Теорема:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

Доказательство:

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту CD, равную h (рис. 190). Треугольники ADC и АСВ подобны, так как у них общий (по второму признаку); отсюда

Из подобия треугольников — общий) следует, что

Из (1) и (2) соответственно имеем:

Сложив (3) и (4), получим:

т. е.

Величина х называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между величинами m и n, если выполняется равенство

Сформулируем теперь свойства прямоугольных треугольников: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т. е. или

Рассмотрим теперь треугольники ADC и CDB (см.рис. 190). Они подобны, так как (см. второй признак) Из подобия этих треугольников следует, что

Из соотношения (4) и определения среднего пропорционального следует: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Задача:

Дан треугольник ABC (рис. 191). Приняв за центр гомотетии вершину А, построить треугольник

гомотетичный данному, с коэффициентом гомотетии Построить треугольник конгруэнтный треугольник Доказать подобие треугольников

Решение:

Гомотетия отображает а значит, Теперь имеем: так как откуда (по определению подобия).

Длина окружности и площадь круга

Отношение периметров и площадей подобных фигур:

Теорема:

Отношение периметров подобных многоугольников раено отношению их соответствующих сторон (коэффициенту подобия).

Доказательство:

Действительно, по определению подобных фигур имеем (рис. 192):

Сложив почленно эти равенства, находим:

или

где —периметры данных многоугольников. Отсюда

Теорема:

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

Мы докажем эту теорему сначала для треугольников.

Пусть треугольник подобен треугольнику коэффициентом подобия k (рис. 193). Отображение подобия, которое отображает треугольник на треугольник отображает высоту CD на высоту (объясните почему). Поэтому имеем:

2. Пусть многоугольник разбит на треугольники (рис. 194) Многоугольник подобен с коэффициентом подобия k. При отображении подобия, отображающем на треугольники перейдут

в треугольники на которые окажется разбитым многоугольник (рис. 194).

Для полощадей получим:

Итак,

Длина окружности и площадь круга

Выведенные выше теоремы подсказывают нам путь к получению формул для длины окружности и площади круга (доказательство этих формул не входит в программу).

Так как любые две окружности подобны друг другу с коэффициентом подобия, равным отношению их диаметров (в том же отношении находятся и длины окружностей), то, обозначив соответственно длины двух окружностей через а их диаметры через получим

т. е. длины окружностей пропорциональны их диаметрам.

Следовательно, это можно записать в виде где (произносится «пи») — название греческой буквы Буквой принято обозначать отношение длины окружности к диаметру; итак,

Через радиус r длина окружности выражается формулой

Любые два круга подобны. Коэффициент подобия двух кругов равен отношению их диаметров или радиусов. Следовательно, площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. Обозначим площадь круга через S. Отношение площадей двух кругов, радиусы которых записывается так:

Итак, площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов. Оказывается, что коэффициент пропорциональности также равен числу Таким образом,

Через диаметр площадь круга выражается формулой

Применение гомотетии и подобия

Применение «метода подобия» при решении задач на построение: Сущность «метода подобия» состоит в том, что сперва вместо искомой фигуры строится фигура, подобная искомой, а затем, используя данные,— искомая фигура.

Рассмотрим задачу. Построить треугольник по двум данным углам и высоте проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Треугольники, у которых два угла равны, подобны (по трем углам), поэтому мы вначале строим треугольники, подобные данному. Для этого от концов любого отрезка отложим заданные углы (рис. 195)

и получим Все треугольники, стороны которых параллельны стороне ВС, подобны ему. Нам осталось выбрать из этих треугольников тот, у которого высота опущенная из вершины третьего угла, равна Для этого проведем на расстоянии h от АВ прямую, параллельную АВ, и найдем точку ее пересечения с прямой АС. Пусть это будет точка Проведем тогда — искомый.

Определение высоты предмета

Для определения высоты предмета, например дерева, ставят на некотором расстоянии от него шест (по отвесу) с вращающейся

планкой (рис. 196). Планку направляют на верхнюю точку предмета (дерева), как показано на рисунке. Далее отмечают на поверхности земли точку ее пересечения с прямой Пусть это будет точка В. Получаются пары соответственных точек в гомотетии с центром В. Отношение равно коэффициенту гомотетии и Отрезки измеряют, длина отрезка АС известна. Тогда из пропорции находят

Определение расстояния до недоступной точки

Расстояние от точки А до недоступной точки В на местности можно найти, пользуясь признаками конгруэнтности треугольников. Проще это сделать, пользуясь признаками подобия треугольников. Для этого выбирают на местности точку С и измеряют отрезок АС и углы А и С (рис. 197). Затем на листе бумаги строят в каком-нибудь масштабе отрезок получают

По второму признаку подобия поэтому Из этой пропорции находят измерив отрезок

Примеры:

Через точку, данную внутри угла, провести прямую так, чтобы отрезок прямой, отсекаемый сторонами угла, делился этой точкой в данном отношении m:n.

Решение:

Пусть дан угол ABC и D — внутренняя точка его Проведем через D прямую, параллельную прямой ВС. Пусть точка пересечения ее с прямой ВА—Е. От точки Е на стороне ВА (в направлении от В к A) отложим отрезок EF длины Прямая FD — искомая.

2. В данный угол вписать окружность, проходящую через данную внутри угла точку.

Решение:

Сначала впишем в данный угол окружность произвольного радиуса, построим прямую, соединяющую данную точку с вершиной угла, и проведем два радиуса построенной окружности в точки пересечения ее с построенной прямой. Из данной точки проведем лучи, параллельные этим радиусам, до пересечения с биссектрисой угла. Получим два центра искомых окружностей.

Решение упрощается, если данная точка лежит на биссектрисе угла. (В случае развернутого угла задача имеет единственное решение.)

Тригонометрические функции

Задание поворотов: Вы уже знаете, что поворот определен, если заданы его центр О, угол поворота а и направление поворота. Угол поворота а при этом считается заключенным в пределах Поворот на — это тождественное отображение плоскости Для любого центра О повороты на 180° в обоих направлениях совпадают и являются центральной симметрией относительно центра поворота О.

Познакомимся теперь с другой системой задания поворотов.

Выберем какое-либо направление поворота в качестве положительного, а противоположное будем считать отрицательным. Положительным обычно считают направление поворота против часовой стрелки. Например, поворот на 20° против часовой стрелки будем называть просто поворотом на 20°, поворот же на 20° по часовой стрелке — поворотом на минус 20°. При таком соглашении поворот полностью определяется заданием центра О и угла поворота а.

Поворот с центром О на угол а обозначается Например, повороты, указанные в предыдущем примере, обозначаются Введение знака для угла поворота позволяет рассматривать теперь угол поворота в интервале от —180 до 180°, т. е. —

Мы рассматриваем поворот как результат вращения. При этом поворот может происходить и на угол, не лежащий в указанных пределах. Следовательно, нам надо определить поворот на угол

На рис. 198 изображен результат поворота точки на угол 295°. При этом точка займет положение Из рисунка ясно, что то же положение займет точка если осуществить поворот на угол —65°. Следовательно, Но это же положение займет точка если вращать ее на углы — т. е. это положение точка может занять при помощи поворотов бесконечным множеством способов.

Следовательно, если то поворотом на угол называется поворот на Например,

В курсе геометрии угловые величины мы употребляем в нескольких различных смыслах: 1) величина угла (геометрической фигуры) лежит в пределах

2) угол между двумя лучами и угол между двумя направлениями лежит в пределах

3) угол между двумя прямыми лежит в пределах

4) вращательное движение характеризуется любыми углами

5) при задании поворотов тоже пользуются любыми углами хотя любой поворот можно охарактеризовать углом, лежащим в пределах

Рассмотрим результат последовательного выполнения двух поворотов с общим центром.

Рассмотрим повороты с общим центром. В результате их последовательного выполнения получится поворот вокруг того же центра О на 50°. Например, точка X (рис. 199) при повороте отобразится на точку Y, а второй поворот отобразит точку Y на точку Z:

Значит,

Результат последовательного выполнения двух отображений обозначается так: называется композицией отображений В нашем примере композиция поворотов есть поворот

Без доказательства мы принимаем следующую формулу

Из этой формулы следует, что композицией поворотов с общим центром на углы является поворот с тем же центром на угол, равный сумме углов

Покажем, что для композиции поворотов с общим центром справедливо переместительное свойство

Действительно, так как то

Однако для композиции поворотов с различными центрами переместительное свойство не выполняется,

Подробнее о тригонометрических функций

Мы уже знаем, что уравнение окружности радиуса r с центром в начале прямоугольной системы координат запишется так:

Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Будем такую окружность называть единичной окружностью; ее уравнение Возьмем на единичной окружности точку (рис. 200). Поворот вокруг начала координат отображает точку на точку которая, как и точка лежит на единичной окружности. Координаты точки имеют специальные названия: ордината точки называется синусом угла а, а абсцисса точки называется косинусом угла а. Они обозначаются так: Любому углу поворота будет соответствовать одна вполне определенная точка с координатами Каждой точке единичной окружности соответствуют определенные значения Эти соответствия называют тригонометрическими функциями Следовательно, тригонометрические функции являются функциями угла а.

Чтобы наглядно представить себе поведение функций sin а и cos а при изменении угла а, выберем какой-либо масштаб изображения величин углов отрезками прямой. На рис. 201 и 202 один миллиметр соответствует 5°.

Построение графиков функций в пределах — ясно из этих рисунков*.

Построением графиков тригонометрических функций и подробным изучением свойств этих функций занимаются в старших классах. Нам важно усвоить общий принцип построения этих графиков. Отметим, что областью их определения является множество всех углов поворотов.

Мы знаем, что при любом целом n поворот на угол совпадает с поворотом на угол а. Поэтому при любом целом n имеем т.е.

Любой угол можно представить в виде где n —целое число, а а находится в пределах —180°.

Поэтому достаточно изучить поведение функций sin а и cos а на отрезке оси а.

Функция tg a

Отношение называется тангенсом угла а и обозначается tga. Функция tga определена для всех тех углов а, для которых На отрезке имеются два угла, для которых и для них tga не определен. Это углы 90 и —90°.

На рис. 203 показано, как строится график тангенса для углов При a > 0 из подобия треугольников имеем:

Но следовательно,

Значения функций для углов от О до 90° даны в четырехзначных математических таблицах В. М. Брадиса. Подробное описание правил использования таблиц содержится в объяснительном тексте к ним.

Некоторые тригонометрические тождества

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Рассмотрим произвольную точку принадлежащую единичной окружности.

1.Так как при осевой симметрии относительно оси Оу точка отображается на точку (рис. 204), то координаты точки равны:

Отсюда имеем:

2. Так как при осевой симметрии относительно оси Ох точка отображается на точку (рис. 205), то координаты точки равны

Отсюда имеем:

3.Так как при повороте на 90° точка отображается на точку (рис. 206), то

Отсюда следует, что

Примечание:

Из этих формул вытекает, что график и отличается от графика только тем что он сдвинут вдоль оси ОХ на расстояние соответствующее углу 90.

4.Так как при центральной симметрии точка отображается на точку (рис. 208), то

Отсюда имеем:

5. Так как точка лежит на единичной окружности, то при любом a

6. Справедливость тождеств

вытекает из формул (2) и (3) предыдущего пункта:

С помощью этих формул можно найти значение тригонометрической функции для произвольного угла и значение функции угла для интервала от 0 до 90°. Приведем некоторые углы, для которых имеются точные выражения их синусов и косинусов:

Рассмотрим некоторые примеры.

Примеры:

Вычислить если

Решение:

Имеем: угол III четверти, поэтому

2.Сравнить значения выражений

Решение:

Соотношения между элементами в треугольнике

Решение прямоугольных треугольников

Рассмотрим способы вычисления основных элементов треугольника.

Введем понятие «координаты векторов» и выведем формулы, связывающие координаты произвольного и единичного векторов.

Если на координатной плоскости от начала координат откладывать векторы, то каждому вектору будет соответствовать вполне определенная точка

плоскости А, а каждой точке плоскости А — вполне определенный вектор (рис. 209). Координатами вектора называются координаты точки А (рис. 210), которые будем обозначать

Координаты нулевого вектора равны

Если вектор ненулевой, то он имеет определенное направление. Направление вектора определяется направлением луча OA.

Если ограничить угол а условиями то угол а определяется по вектору однозначно.

Говорят, что вектор образует угол а с положительным направлением оси абсцисс. Ненулевой вектор полностью определяется заданием его длины и угла а, который он образует с положительным направлением оси абсцисс.

Вектор единичной длины называется единичным вектором. Конец единичного вектора лежит на единичной окружности. Поэтому единичный вектор, образующий с положительным направлением оси абсцисс угол а, можно записать так: Его координаты равны

Возьмем единичный вектор того же направления, что и вектор (рис. 211). Из подобия треугольников OAN и OEM следует, что при любом угле а отношения будут равны. Знаки ординат одинаковы. Так как то

Аналогично, из подобия треугольников OA N и OEM(рис. 212) следует, что Так как то

Итак, вектор образующий с положительным направлением оси абсцисс угол а, имеет координаты

Перейдем теперь к выводу нужных нам соотношений в прямоугольном треугольнике. Расположим прямоугольный треугольник ЛВС так, как это показано на рис. 213.

В этом случае а и b являются координатами вектора с—его длина, тогда Из формул находим

Из формул находим

Следовательно, в прямоугольном треугольнике

Полученные соотношения позволяют вычислять по известным элементам треугольника его неизвестные элементы.

Треугольник, как мы знаем, определяется тремя основными элементами, из которых по меньшей мере один линейный.

В прямоугольном треугольнике один элемент всегда известен — прямой угол. Поэтому прямоугольный треугольник определяется двумя основными элементами, из которых хотя бы один является линейным.

Метрические соотношения в треугольнике

Пусть дан произвольный треугольник ABC. Рассмотрим соотношения между основными элементами (метрические соотношения) в этом треугольнике.

Теорема:

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство:

Разберем два случая.

Случай 1. Сторона треугольника лежит против острого угла. Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол А острый. Проведем через вершину С перпендикуляр CD к прямой АВ (рис. 214). Получим прямоугольные треугольники ACD и BDC. Из треугольника BDC по теореме Пифагора имеем

Вычислим отдельно Из треугольника ACD находим Найдем теперь Заметим, что при этом могут быть два различных расположения:

Следовательно

Подставляя выражения в равенство (1), получим

Но в треугольнике ACD имеем Окончательно получаем:

Что и требовалось доказать.

Случай 2. Сторона треугольника лежит против тупого угла. Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол А тупей (рис. 214, в). Проведем через вершину С перпендикуляр CD к прямой АВ. Получим прямоугольные треугольники ACD и BCD. Из треугольника BCD

по теореме Пифагора Из треугольника ACD находим

Найдем теперь

Представляя выражения в равенство (1), получаем

Но в треугольнике ACD имеем

Окончательно получаем:

Следствие:

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, не равны, то против большего угла лежит большая сторона.

В самом деле, пусть стороны b и с треугольника ABC соответственно равны сторонам и треугольника а угол а первого треугольника больше угла второго треугольника. Тогда по теореме косинусов имеем:

Произведя почленное вычитание после упрощения, получим

но правая часть равенства всегда положительна, так как следовательно,

Теорема:

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

Доказательство:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 214, а), у которого высота. Следовательно, Так как — высота, то — прямоугольный. Для всех возможных случаев (рис. 214, а, б, в) тогда

Теорема:

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами и углами

Запишем формулы для вычисления площади данного треугольника:

откуда

Тогда

или

Из полученных равенств следует

Теорема синусов позволяет по двум данным сторонам и углу, лежащему против одной из них, или по стороне и двум углам вычислять остальные элементы треугольника.

Примеры:

Дано: Найти: b.

Решение:

(по теореме косинусов),

2. Доказать, что треугольник — равнобедренный, если

Дано: —основание треугольника;

Доказать:

Доказательство:

(по теореме косинусов);

откуда

а значит, равнобедренный.

Правильные многоугольники

Вписанные и описанные правильные многоугольники:

Разделим окружность на n конгруэнтных дуг

Это можно сделать, построив последовательно центральные углы, величина каждого из которых равна (рис. 215). Соединим последовательно точки деления хордами. Получим n-угольник, вписанный в окружность. Поворот вокруг центра окружности на угол отобразит построенный n-угольник на себя. Значит, в таком n-угольнике все 0 стороны равны и все углы равны.

Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называется правильным.

Теорема:

Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность.

Доказательство:

Пусть ABC…L—правильный многоугольник. Построим биссектрисы двух соседних его углов А и В. Они пересекутся, так как Точку пересечения этих биссектрис О соединим отрезками с остальными вершинами данного многоугольника. Так как углы A и В равны, то равны и их половины Значит, и треугольник АОВ равнобедренный. Поэтому Теперь сравним треугольники АОВ и ВОС. В них —общая сторона, по условию, как половины угла В. Следовательно, откуда

Итак,

Продолжая сравнение соседних треугольников, получим:

Отсюда следует, что все вершины данного многоугольника лежат на окружности с центром О.

Теорема:

Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность.

Доказательство:

Проведем через центр О окружности, описанной около правильного n-угольника АВС…М, перпендикуляры к его сторонам (рис. 216). Обозначим их основания через Поворот вокруг центра О на угол отобразит многоугольник

на себя. При этом точка отобразится на точку Точка —на точку и т. д. Точка отобразится на точку Следовательно, и точки будут лежать на одной окружности с центром О. Любая сторона данного многоугольника будет касаться этой окружности.

Центр вписанной и описанной около правильного многоугольника окружности называется также центром правильного многоугольника. Он является центром поворотов на углы такие повороты отображают этот

правильный многоугольник на себя. Отрезок перпендикуляра, проведенного из центра правильного многоугольника к его стороне, называется апофемой этого правильного многоугольника.

Пусть сторона n-угольника, вписанного в окружность радиуса R (рис. 217). Построим апофему ОМ. В прямоугольном треугольнике АОМ имеем:

Но следовательно,

Сторону правильного n-треугольника принято обозначать

Теорема:

Сторона правильного n-угольника выражается через радиус R описанной около него окружности формулой

Следствие:

Действительно,

Следствие:

Действительно,

Следствие:

Действительно,

Площадь правильных многоугольников

Для отыскания площади правильного n-угольника разобьем его на n конгруэнтных треугольников, соединяя отрезками

вершины с центром (рис. 218). Площадь одного такого треугольника будет равна радиус вписанной окружности.

Площадь всего многоугольника будет равна Но —периметр р многоугольника. Следовательно,

Мы доказали теорему: площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Найдем теперь выражение площади правильного многоугольника через радиус R описанной окружности (рис. 219):

Тогда для площади правильного n-угольника имеем:

Дополнение к геометрии

Смотрите также:

• Предмет экономико-математические методы

Прогрессии и комбинаторика	Модели и моделирование
Функции и графики	Какие бывают экономические методы и что они могут

Геометрия — основные понятия и определения

Точка, прямая, плоскость

Некоторые простейшие понятия геометрии, такие, как точка, прямая и плоскость, не могут быть определены с помощью иных, более простых понятий; они являются отправным пунктом при изложении геометрии.

На наших чертежах точки обозначаются прописными, а прямые — строчными буквами латинского алфавита.

Кроме прямых рассматриваются также кривые линии (например, окружность). Линия (прямая или кривая) состоит из бесчисленного множества точек. Понятны выражения: «точка А лежит на линии а» или «линия а проходит через точку А».

Прямая обладает следующими свойствами. Через две различные точки проходит единственная прямая. Как следствие, две прямые могут иметь не более одной общей точки. Две различные прямые, имеющие общую точку, пересекаются в ней. Поскольку две точки определяют прямую, проходящую через них, то прямую также можно обозначать так: прямая АВ, прямая PQ.

Точка М, лежащая на прямой а (рис. 141), разбивает ее на две части. Каждая из этих частей называется полупрямой или лучом. Точка М служит началом каждого из этих лучей. Две точки М и N разбивают прямую на три части: два луча MP и NQ и отрезок MN. Сформулируем определения понятий луча и отрезка. Лучом называется часть прямой, ограниченная одной из ее точек. Отрезком называется часть прямой, заключенная между двумя ее точками. Без доказательства принимается свойство: если на прямой даны три различные точки, то из них одна и только одна лежит между двумя другими, т. е. принадлежит отрезку, ограниченному ими.

Плоскость. Фигуры и тела

Легко представить себе поверхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическая поверхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление неполно. Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим ее в мыльную пену. Если мы ее осторожно извлечем из пены, то увидим, что просвет в проволочном «кольце» затянут тончайшей мыльной пленкой. Правильно представлять себе поверхность именно как такую пленку (но лишенную всякой толщины).

Важнейшая и простейшая поверхность — плоскость. Напомним основные свойства плоскости. Прямая, две точки которой лежат в плоскости, вся лежит в этой плоскости (т. е. все ее точки лежат в плоскости). Следовательно, если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с ней не более одной общей точки (точка пересечения прямой и плоскости). Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость (и притом только одну). Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, и притом единственную. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом единственную. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку (линия пересечения двух плоскостей), либо совпадают целиком.

Прямая m, лежащая в плоскости, разбивает ее на две части — полуплоскости (рис. 142); точки этой прямой и только они являются общими точками обеих полуплоскостей. Если А — точка одной полуплоскости, а В—другой, то отрезок АВ пересекает границу m полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей между А и В.

Плоскости задаются тремя точками и обозначаются часто так: плоскость ABC или PQR и т. д. Иногда бывает удобнее обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита (мы используем строчные буквы второй половины алфавита: , , ,…).

Под фигурой обычно понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей).

Под телом понимают обычно часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус — тело, ограниченное конической поверхностью с боков и плоским круглым основанием снизу. Куб — тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т. д.

Курс геометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметрии рассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников, окружностей), лежащих в одной плоскости. В стереометрии изучаются свойства пространственных фигур и тел.

Угол

Рассмотрим в плоскости два луча OA и ОВ (рис. 143), исходящих из одной точки О. Эти два луча разбивают плоскость на две области — одна из них заштрихована на рис. 143, другая оставлена светлой. Каждая из них называется углом со сторонами OA и ОВ и вершиной О; таким образом, углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Не исключено, что оба луча лежат на одной прямой, продолжая

друг друга (рис. 144) или сливаясь (рис. 145). В первом случае каждый из углов, образуемый ими, совпадает с полуплоскостью и получает название развернутого угла. Во втором случае один из углов исчезает (сводится к лучу) и называется в силу этого нулевым углом, второй же имеет название полного угла — он занимает всю плоскость.

Из двух углов на рис. 143 один (заштрихованный) содержится в развернутом угле, образованном одной из сторон (например, OA) и ее продолжением OA’.

В дальнейшем, если не оговорено противное, под углом между лучами OA и ОВ, обозначенным АОВ или, короче, О, понимают тот из углов, который содержится в развернутом угле, т. е. например, заштрихованный угол на рис. 143. Любой отрезок PQ, соединяющий точки на сторонах угла, целиком принадлежит этому углу.

Луч, исходящий из точки М на границе полуплоскости (рис. 146) и лежащий в этой полуплоскости, разбивает её на два угла: PMN и QMN. Такие два угла называются смежными. Они имеют общую сторону MN, другие же их стороны продолжают друг друга.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и CD (рис. 147). Они разбивают плоскость на четыре области: I, II, III, IV. Каждая из этих областей называется углом, образованным прямыми АВ и CD. Говоря точнее, угол I образован лучами ОВ и OD, угол II —лучами OA и OD, угол III —лучами OA и ОС и угол IV —лучами ОС и ОВ. При этом углы I и III (или II и IV), стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами. Иначе можно сказать, что вертикальные углы — это углы, смежные с одним и тем же углом.

Под углом АОВ между двумя отрезками OA и ОВ с общим началом О понимается угол, образованный лучами ОА и ОВ

с одной и той же вершиной, содержащими данные отрезки (рис, 148). Мы обозначаем углы указанием их сторон: АОВ, LMN и т. д., или, если исключены недоразумения, одной буквой — наименованием вершины угла: О, М и т. д., или специальной буквой (греческой строчной из первой половины алфавита): , , , … , или, наконец, курсивной цифрой: 1,2, …

Ломаная линия. Многоугольник

Рассмотрим несколько отрезков, например АВ, ВС, CD, DE, EF, расположенных так, что начало каждого последующего отрезка помещается в конце предыдущего (рис. 149, а);

фигура, образованная такими отрезками, называется ломаной линией, отрезки же — ее звеньями или сторонами. Обычно подразумевается, что два соседних отрезка не лежат на одной прямой. Если начало первого отрезка совпадает с концом последнего, то ломаная называется замкнутой (рис. 149, б).

Замкнутая ломаная, состоящая из n звеньев, называется n—угольником. На рис. 150 приведены примеры треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника.

Продлим стороны многоугольника. Многоугольник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от любой из прямых, на которых лежат его стороны.

На рис. 150 треугольник и пятиугольник выпуклые, а четырехугольник и шестиугольник нет. Ясно, что всякий треугольник выпуклый. В курсе геометрии мы будем изучать треугольники и некоторые виды четырехугольников и многоугольников; при этом всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, под многоугольником понимается выпуклый многоугольник.

Всякий многоугольник разбивает плоскость на две области: внешнюю и внутреннюю; часто под словом «многоугольник» приходится понимать также часть плоскости, ограниченную данной замкнутой линией, включая и эту границу. Так, треугольником можно назвать и проволочную фигуру (рис. 151, а), и пластинку (рис. 151, б).

Незамкнутую ломаную ABCD мы назовем выпуклой, если при дополнении ее до многоугольника ABCD присоединением замыкающего звена DA получается выпуклый многоугольник, как, например, для ломаной на рис. 152, а. Это определение исключает из числа выпуклых ломаных «спиральную» ломаную на рис. 152, б.

Отдельные отрезки (звенья), образующие многоугольник, называются его сторонами, концы этих отрезков — вершинами многоугольника. Внутренними углами многоугольника называются углы, образованные парами его сторон, исходящими из общей вершины.

Выпуклый многоугольник целиком принадлежит каждому из своих внутренних углов, как показано для угла А на рис. 153. Ясно, что п-угольник имеет n сторон и столько же вершин. Углы, смежные с внутренними углами многоугольника, называются его внешними углами. На рис. 153 показаны внешние углы четырехугольника.

Равенство фигур. Движение

В этом пункте мы не ограничиваемся плоскостью, а рассматриваем пространство. Основные понятия геометрии имеют абстрактный, идеализированный характер: точка не имеет никакой протяженности, линия лишена толщины и т. д. Это не мешает нам понимать, что материальными прообразами абстрактных понятий геометрии могут являться такие осязаемые вещи, как маленький стальной шарик, тонкий стержень, шлифованная поверхность стекла и т. п. Эти предметы материальной природы превращаются в идеализированные понятия геометрии путем отвлечения от физических и химических свойств; но если эти свойства не имеют значения для геометрии, изучающей, хотя и в абстрактном математическом виде, пространственные формы материального мира, то одно из свойств физических тел — их твердость, способность сохранять свои размеры и форму, находит отражение в геометрии, в идее движения.

Твердое физическое тело можно перемещать в пространстве, причем ни размеры, ни форма тела не претерпевают никакого изменения. Эту способность тел двигаться, т. е. занимать в пространстве различные положения, взятую отвлеченно от понятий, относящихся к временнOму течению процесса движения (скорость, ускорение), допускают в отношении геометрических фигур и тел. Поэтому такие выражения, как «переместим отрезок АВ в положение А’В’», «совместим угол с углом » и т. д., следует понимать, представляя себе отрезок как твердый, хотя и не имеющий толщины, стержень, угол — как твердый сектор плоскости и т. д.

Рассмотрим два отрезка АВ и CD (рис. 154). Переместим отрезок АВ так, чтобы его конец А совпал с концом С отрезка CD и чтобы оба отрезка оказались на одном луче с началом в точке С. Отрезок АВ займет положение А’В’. Если при этом он совпадет с отрезком CD, то говорят, что отрезки АВ и CD равны. Итак, равенство отрезков определяется возможностью их совмещения. Очевидный смысл имеют понятия большего и меньшего отрезка.

Так же определяется и проверяется равенство двух углов: чтобы выяснить, равны ли углы DNC и BOA (рис. 155), совместим сторону ND угла DNC со стороной ОВ угла BOA так, чтобы оба угла располагались в одной полуплоскости относительно своей общей стороны. Если при этом вторые стороны углов совпадут, то углы считаются равными.

На рис. 155 DNC оказывается меньше BOA, так как при наложении его на ВОА сторона N’C’ проходит внутри угла BOA.

Две плоские фигуры, например два треугольника (рис. 156), считаются равными, если их можно совместить так, что они совпадут. На рис. 156 показан ряд положений треугольника ABC в процессе его движения с целью совмещения с треугольником А’В’С’.

Два треугольника на рис. 157 расположены так, что один из них как бы является отражением другого в «зеркале» LM: вершины А, А’; В, В’, С, С’ расположены симметрично относительно LM, т. е. так, что прямая LM перпендикулярна к отрезкам АА’, ВВ’, СС’ и делит каждый из них пополам. Треугольники ABC и А’В’С’ также можно совместить; для этого следует перегнуть плоскость по линии LM (как складывают пополам лист бумаги). При этом вершины треугольников попарно совместятся, треугольники ABC и А’В’С’ — равные. Заметим, что их нельзя совместить, пользуясь лишь движением любого из них в самой плоскости чертежа (наподобие того, как это сделано на рис. 156).

Равенство тел

В принципе равенство пространственных фигур и тел определяется так же, как и равенство плоских фигур, т. е. посредством их совмещения, но здесь имеются две особенности. Первая состоит в том, что для совмещения пространственных фигур (тел) приходится их представлять себе проницаемыми. Так, два совершенно одинаковых деревянных кубика на рис. 158 нельзя совместить физически, они не могут «войти» друг в друга. Два геометрических куба мы беспрепятственно совмещаем (рис. 159). Ведь геометрический куб — лишь пространственная форма куба, «место», занимаемое физическим кубом в пространстве.

Вторая особенность связана с симметричным расположением тел. Два симметрично расположенных треугольника на рис. 157 мы совместили, выведя один из них из плоскости, в которой он был расположен; две симметрично расположенные относительно некоторой плоскости пространственные фигуры совместить движением уже не удается, подобно тому как не удается совместить левую и правую перчатки. Так, на рис. 160 изображена фигура, образованная тремя взаимно перпендикулярными отрезками, имеющими длины 1 см, 2 см, 3 см, и фигура, симметричная ей относительно плоскости («зеркала»). Сделав модели таких фигур из проволоки, читатель легко убедится, что совместить их невозможно, несмотря на то что они, в сущности, «одинаковые». Две такие фигуры, которые могут быть получены друг из друга зеркальным отражением, в геометрии также считают равными, даже если их и нельзя совместить.

Измерение геометрических величин

Сложение отрезков. Длина отрезка

Введенное в п. 160 движение фигур позволило нам сравнивать между собой отрезки или углы, установить между данными отрезками отношения =, < , > (равенство или неравенство). Можно также ввести действия сложения и вычитания отрезков. Так, пусть даны отрезки АВ и CD. Приложим CD к АВ так, чтобы CD составил продолжение АВ (рис. 161). Тогда отрезок AD’ или любой отрезок, равный ему, мы назовем суммой отрезков АВ и CD.

Разность отрезков определяется аналогичным образом: на большем отрезке от одного из его концов откладываем меньший отрезок, оставшийся отрезок называется разностью. На рис. 162 отрезок B’D (или любой равный ему) будет разностью отрезков CD и АВ.

Для суммы и разности применяются обычные обозначения:

AB + CD = AD’ (рис. 161), CD — АВ = B’D (рис. 162),

и справедливы обычные законы сложения и вычитания:

АВ + CD = CD + AB, АВ + (CD — EF) = (АВ + CD) — EF;

если AB > CD, то АВ + EF > CD + EF и т. д.

Отрезки можно умножать на целые положительные числа. Так, CF = АВ + АВ + АВ = ЗАВ (рис. 163). Тем самым определяется и деление отрезка на натуральное число: = АВ — это отрезок АВ такой, что ЗАВ = CF. Понятно и обозначение типа AK = . Это отрезок, который получается, если разделить CF на три равные части и взять две из них.

Определение понятия длины отрезка состоит в указании процесса ее измерения; при этом измерение длины отрезка основано

на выборе некоторой единицы длины: какой-либо отрезок ОЕ (рис. 164) принимается за масштаб, т. е. за единицу измерения. Его длина объявляется равной единице. Пусть АВ — любой другой отрезок. Откладываем единичный отрезок на АВ столько раз (может быть, и нуль раз!), сколько он поместится на АВ целиком. На рис. 164 масштабный отрезок уложился в АВ ровно 6 раз. Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD (рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза. Для измерения остатка MD берем отрезок, составляющий ровно одну десятую часть масштабного отрезка (т. е. укладывающийся в нем ровно десять раз без остатка). Этой десятой долей единицы длины измеряем остаток MD; в нашем случае MD составил 7 десятых единицы длины и образовался еще некоторый остаток, который придется уже измерять одной сотой долей масштабного отрезка. Такой процесс измерения продолжается бесконечно, если только на некотором этапе доля масштабного отрезка не уложится в очередном остатке ровно целое число раз. Таким образом, получается некоторая конечная или бесконечная десятичная дробь, т. е. действительное число, которое и принимают за длину отрезка при выбранном масштабном отрезке. На практике, конечно, длины задаются с известной степенью точности.

Обратно, если известна длина отрезка, например АВ = 3,47, то, имея масштабный отрезок, можно построить и отрезок заданной длины: сначала откладываем на некоторой прямой а масштабный отрезок 3 раза, затем его десятую долю 4 раза и т. д. В случае бесконечной десятичной дроби мы можем провести построение с той или иной степенью точности.

Из алгебры нам известно, что все действительные числа подразделяются на рациональные (выражаемые конечными или периодическими дробями) и иррациональные, выражаемые бесконечными непериодическими дробями (п. 6). Соответственно и длина отрезка, представнмая десятичной дробью, может быть (при данной единице длины!) рациональной или иррациональной.

Определенные в геометрической форме действия сложения, вычитания, умножения на число находятся в полном согласии с арифметическими действиями над длинами отрезков. Так,

длина (АВ + CD) = длина АВ + длина CD

и т. д. Слово «длина» в таких случаях в дальнейшем опускается. Действие умножения на число распространяется и на иррациональные множители. Так, — это отрезок, длина которого в раз больше длины отрезка АВ.

Отношением двух отрезков мы назовем отношение их длин. Так как по определению длина ОЕ = 1, то численно

— длина отрезка равна его отношению к единичному отрезку.

Если вместо данной единицы длины ОЕ выбрать новую , то численно длина любого отрезка АВ будет выражаться отношением т. е. изменится в раз. Например, если ОЕ = 1 м, ОЕ’ = 0,01ОЕ = 1 см, то отрезок АВ = 5ОЕ = 5 м будет теперь равен 500ОЕ’ = 500 см.

Отношение двух отрезков не зависит от выбора масштаба.

Общая мера двух отрезков

В арифметике изучаются два вида дробей: десятичные и обыкновенные. Изложенный выше метод измерения длины отрезка приводил к выражению этой длины в виде десятичной дроби. При этом не представляется существенным, выражается ли длина измеряемого отрезка рациональным или иррациональным числом.Другой подход к измерению отрезков основан на понятии общей меры двух отрезков и исторически связан с открытием существования иррациональных чисел. При этом понятие общей меры двух отрезков аналогично понятию н. о. д. двух чисел, а сам процесс отыскания общей меры есть алгоритм Евклида (изложенный в п. 4 применительно к задаче отыскания н. о. д.).

Сформулируем определение: общей мерой двух (или нескольких) отрезков называется наибольший из таких отрезков, которые укладываются в каждом из данных целое число раз.

Пусть, например, даны два отрезка АВ и CD. Если найдется такой отрезок, который уложится m раз в АВ и п раз в CD, то, приняв его за масштабный отрезок, мы выразим длины АВ и CD целыми числами т и п. При любом другом масштабе длины АВ и CD будут находиться в отношении т:п, т. е. отношение их будет рациональным. Обратно, если отношение длин двух отрезков рационально, то оно предсгавимо несократимой дробью . Тогда отрезок, составляющий (1/т)-ю долю АВ (или (1/n)-ю долю CD), будет общей мерой АВ и CD. Итак, отрезки имеют общую меру тогда и только тогда, когда отношение их рационально. Такие отрезки называются соизмеримыми, отрезки же с иррациональным отношением длин — несоизмеримыми.

Процесс отыскания общей меры двух отрезков проводится так: меньший из двух отрезков укладывается на большем столько раз, сколько он в нем поместится; если остатка не образовалось, то меньший отрезок сам служит общей мерой данной пары отрезков. Если имеется остаток KD, то, коль скоро общая мера данных отрезков существует, она будет общей мерой отрезка АВ и этого остатка. Поэтому остаток укладываем в АВ возможно большее число раз, новый остаток — в прежнем и т. д. Если после конечного числа шагов предыдущий остаток разделится на последующий, то этот последний остаток и будет общей мерой АВ и CD.

Пример:

Найти общую меру данных двух отрезков AВ и CD (рис. 166).

Решение:

Отрезок АВ уложился в CD два раза. Остаток MD уложился в АВ ровно пять раз. Таким образом, этот остаток содержится в АВ пять раз, а в CD — одиннадцать.

Данные два отрезка соизмеримы, их общей мерой служит отрезок MD, а длины относятся, как 5:11.

В случае несоизмеримых отрезков процесс отыскания общей меры не может привести к результату и продолжается бесконечно.

Приведем пример пары отрезков, для которых алгоритм Евклида продолжается бесконечно. Рассмотрим для этой цели равнобедренный треугольник ABC (рис. 167) с острым углом при основании, равным 36°, докажем несоизмеримость его основания и боковой стороны. Тупой угол при вершине будет равен 108°, так как сумма углов всякого треугольника равна 180° (см. п. 184). Его основание АС больше боковой стороны АВ, но меньше удвоенной боковой стороны: АВ < АС < 2АВ (любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, п. 184). Поэтому сторона АВ уложится на АС один раз и останется остаток МС. Заметим, что углы АМВ и АВМ равны , и потому угол МВС содержит 108 — 72 =36°. Значит, в треугольнике СМВ углы при вершинах В и С равны 36° и треугольник СМВ равнобедренный, в точности с теми же углами, что и исходный. В соответствии с порядком действий при определении общей меры двух отрезков нам следует теперь отрезок МС откладывать на АВ = ВС. Ввиду того, что к треугольнику СМВ применимы те же рассуждения, что и к исходному, МС уложится на ВС один раз и вновь образуется остаток; так как мы все время будем приходить к треугольникам с теми же углами (подобным данному, см. п. 207), то процесс будет продолжаться бесконечно.

Другим известным примером пары несоизмеримых отрезков служит диагональ квадрата и его сторона.

Сравнительная длина отрезков и ломаных

Пусть даны две точки М и N (рис. 168).

Отрезок MN прямой, соединяющей эти точки, является кратчайшим путем, ведущим из М в N. Всякий иной путь, например представленный ломаной MABN, имеет заведомо бОльшую длину: МА + AB + BN > MN. Свойство прямой быть кратчайшей из линий, соединяющих две точки, мы принимаем без доказательства.

Рассмотрим теперь две различные ломаные, соединяющие точки М и N (рис. 169). Пусть ломаная МABN — выпуклая в том смысле, что она вместе с отрезком NM образует выпуклый многоугольник MABN. Пусть, далее, ломаная MCDN (не обязательно выпуклая) охватывает указанный многоугольник. Ломаную MCDN мы называем по этой причине объемлющей, ломаную MABN — объемлемой. Тогда справедлива

Теорема:

Объемлющая ломаная MCDN длиннее всякой выпуклой объемлемой ломаной.

Доказательство:

Пусть, например, прямая АВ при своем продолжении пересекает объемлющую ломаную в точках К и L. Имеем ряд неравенств, выражающих то положение, что прямолинейный путь короче ломанного: MA < MK + КA, BN < BL + LN, KL = КА + АВ + BL < КС + CD + DL. Складывая их почленно (п. 74) и учитывая, что МК + КС = МС, DL + LN = DN, находим: MA + AB + BN < MC + CD + DN, что и требовалось доказать.

Измерение углов

Мы видели, как можно сравнить по величине два угла, и познакомились с понятием равенства двух углов. В частности, легко заметить, что

1) все полные углы равны между собой;

2) все развернутые углы равны между собой;

3) все нулевые углы равны между собой.

Далее, над углами, так же как и над отрезками, можно производить действия сложения, вычитания, умножения на число.

Так, чтобы сложить два угла (меньших развернутого) ВМА и DNC (рис. 170), следует приложить один угол к другому так, чтебы вершины их совместились и стороны NС и MB совпали, а сами углы расположились по разные стороны от MB. Тогда угол D’MA будет рассматриваться как сумма двух данных углов. Если имеется большее число слагаемых углов (меньших развернутого), то не исключено, что их сумма будет больше полного угла (об углах, больших полного, и об отрицательных углах см. пп. 95, 96).

Действие вычитания углов также имеет очевидный смысл.

На рис. 171 показано умножение угла на число: угол , сложенный с равными ему углами и , дает угол AOD, равный : AOD = . В свою очередь угол можно считать одной третью угла AOD: .

Для таких действий над углами остаются справедливыми законы арифметики: если к равным углам прибавить равные углы, то получатся равные углы; если из равных углов вычесть равные углы, то останутся равные углы, и т. д.

В частности, отсюда вытекает свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Действительно, оба они получаются из развернутого угла вычитанием одного и того же угла, смежного с каждым из них.

Два угла, составляющие в сумме развернутый угол, называются дополнительными. Ясно, что смежные углы являются дополнительными.

Угол, равный смежному с ним, составляет тем самым половину развернутого угла. Такой угол называется прямым углом и обозначается через d (рис. 172).

Все прямые углы равны между собой.

Развернутый угол равен двум прямым, т. е. 2d, а полный — четырем прямым: 4d.

Две прямые, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными прямыми; очевидно, что все четыре угла, образованные такими прямыми, — прямые углы (подробнее о перпендикулярных прямых см. п. 169).

Прямая, перпендикулярная к другой прямой, делит развернутый угол на две равные части. В более общем случае, когда дан некоторый угол СОА (рис. 173), прямая LK, делящая его на две равные части, называется биссектрисой этого угла.

Биссектриса LK делит на две равные части также и угол DOB (углы СОА и DOB — вертикальные).

Задача:

Доказать, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Решение:

Рассмотрим два смежных угла ВОС и СОА (рис. 173) и их биссектрисы ОМ и ОК. Имеем

т. е. угол между биссектрисами прямой, что и требовалось доказать.

Как и измерение отрезков и любых других величин, измерение углов должно начинаться с выбора единицы измерения; имеется несколько принятых способов измерения углов, основанных на том или ином выборе единицы измерения. Наиболее распространен в качестве единицы измерения углов угол в один градус, составляющий одну девяностую долю прямого угла; будучи приложен к себе последовательно девяносто раз, он образует прямой угол. В силу исторически сложившихся обстоятельств принято подразделять градус на шестьдесят минут, одну минуту — на шестьдесят секунд, а уже секунду делить на десятые, сотые и т. д. доли.

Теперь весь процесс измерения угла протекает так. Укладываем угол в один градус в данный угол наибольшее возможное число раз. В остатке, если таковой имеется, укладываем угол в одну минуту; новый остаток измеряем углом в одну секунду и т. д. Если, например, угол а оказался равным 30 градусам, 18 минутам, 23,6 секунды, то пишут а = 30°18’23»,6.

Ясно, что геометрическое сложение и вычитание углов соответствует арифметическому сложению и вычитанию их мер.

Радианная мера угла

Рассмотрим окружность (рис. 174) с центром О и различные углы с вершиной в центре).

Такие углы (по отношению к окружности) называются центральными. Равным центральным углам одной и той же окружности отвечают и равные дуги, и наоборот. Действительно, при вращении вокруг центра О окружность «скользит» сама по себе, и когда, например, углы АОВ и COD (рис. 174) совместятся, то совместятся и дуги, на которые опираются указанные углы. Это позволяет перенести градусную меру углов на дуги и определить понятие дугового градуса, дуговой минуты и т. д., что, например, широко применяется в географии при определении географических координат точки земной поверхности (широта и долгота).

В п. 229 показывается, что длина С окружности пропорциональна ее радиусу и выражается через него по формуле , где — вполне определенное (иррациональное) число, вычисленное довольно точно еще в древности, а теперь известное с несколькими тысячами десятичных знаков: = 3,14159…

Это значит, что если измерить радиус окружности тонким шнуром, а затем накладывать этот шнур на окружность, как на обод колеса, то шнур уместится на окружности обода 6,28318… раза. Та часть окружности, которая имеет длину, равную радиусу, т. е. та, которая покрывается нашим шнуром, наложенным один раз, будет дугой, отвечающей вполне определенному центральному углу, не зависящему от радиуса окружности. Этот угол принимается за единицу измерения углов в радианной мере и называется углом в один радиан.

Таким образом, углом в один радиан называется угол, соответствующий дуге окружности, имеющей длину, равную радиусу.

Так как вся окружность имеет длину , то полный угол содержит радиана, и один градус составляет радиана. На долю одного радиана приходится, в свою очередь, 57°17’44»,8… Между градусной и радианной мерой углов имеется прямая пропорциональность, что позволяет легко производить переход от одной меры к другой. Так, пусть и обозначают соответственно градусную и радианную меру одного и того же угла. Тогда и будут относиться, как градусная и радианная меры развернутого угла, т. е. как 180° и :

откуда

Пример:

Выразить в градусах, минутах и секундах угол . Выразить тот же угол в радианах.

Решение:

Так как d = 90°, то градусное выражение угла содержит

Ввиду того, что d соответствует радиан, находим

Пример:

Выразить угол 14°,3 в радианах.

Решение:

Имеем по формуле перехода (166.1)

Измерение площадей

Длина отрезка служит мерой этого отрезка по отношению к некоторому стандартному масштабному отрезку. Длина отрезка — мера его «линейной» протяженности. Для плоских фигур сходным понятием является понятие площади; площадь фигуры — ее мера по отношению к стандартной фигуре (квадрату со стороной, равной единице), мера ее «плоской» протяженности. Как и в случае длины отрезка, определением площади будет служить процесс ее измерения. Объясним сначала некоторые отличия в подходе к понятию площади фигуры, делающие это понятие более сложным, чем понятие длины отрезка.

Равенство длин двух отрезков означает равенство самих Рис. 175. отрезков; равенство градусных и радианных мер двух углов — равенство углов. С измерением площадей фигур дело обстоит сложней в том смысле, что неравные и непохожие друг на друга фигуры могут иметь равную площадь, или, как говорят, быть равновеликими. Так, на рис. 175 квадрат и треугольник равновелики (проще всего заметить, что они составлены из двух пар одинаковых треугольников, как говорят, «равносоставлены»). Более того, круг может иметь площадь, равную площади квадрата, трапеция —площадь, равную площади прямоугольника, и т. п.

За единицу измерения площадей выбирается квадрат с какой-либо заданной длиной стороны; естественно брать для этой цели квадрат со стороной, равной единичному отрезку. Если при этом длины измеряются в сантиметрах, то площади измеряются площадью квадрата со стороной 1 см (соответствующая единица измерения называется ), и т. п.

Процесс измерения площади (с принципиальной точки зрения) изложен ниже, площади же различных фигур рассматриваются там, где изучаются эти фигуры.

Из наглядного представления о площади вытекают некоторые свойства площадей, принимаемые без доказательства.

1. Равные фигуры имеют равные площади. Обратное не всегда верно: равные площади могут принадлежать неравным фигурам.
2. Если фигура разделена какой-либо линией на две другие фигуры (рис. 176), то площадь всей фигуры равна сумме площадей фигур, ее составляющих.

Следствие:

Если одна фигура составляет часть другой, то она имеет меньшую площадь, чем эта другая фигура.

Во многих случаях эти свойства позволяют легко определять площади фигур, устанавливая, что они равновелики каким-либо простейшим фигурам с известной площадью (ниже, в пп. 200—202, на этом построено вычисление площадей треугольников, четырехугольников и многоугольников). Здесь мы дадим краткое описание общего подхода к определению площади любой фигуры и рассмотрим площадь прямоугольника.

Пусть F (рис. 177) — какая-либо произвольная фигура с данной граннцей (контуром). Разобьем плоскость на квадраты со стороной, равной единице, двумя системами перпендикулярных прямых (единичная решетка). Если внутри данной фигуры поместятся полностью таких квадратов, то ее площадь заведомо будет кв. ед. Затем для более точной оценки мы сделаем разбиение более дробным, а именно, сохраняя и старые линии разбиения, разобьем фигуру прямыми, параллельными ранее проведенным, на квадраты со стороной, равной одной десятой (площадь каждого из них равна, очевидно, одной сотой кв. ед.). Подсчитаем сумму площадей всех квадратов этого второго разбиения, поместившихся внутри нашей фигуры, — она не меньше суммы площадей квадратов первого разбиения. Делая разбиение еще более дробным, получим ряд фигур с неубывающей площадью, образованных квадратами со сторонами 1, 1/10, 1/100 и т. д. Чем мельче разбиение, тем большую площадь имеет совокупность квадратов, уместившихся в фигуре F. В то же время эта площадь никогда не превзойдет площади какого-либо квадрата, содержащего данную фигуру, т. е. будет ограниченной величиной.

Известно (п. 84, теорема Вейерштрасса), что такая монотонная (возрастающая) последовательность стремится к определенному пределу. Этот предел и принимается за площадь фигуры.

Можно доказать (во всяком случае, для всех фигур, рассматриваемых в курсе элементарной геометрии), что величина указанного предела не зависит от конкретных подробностей способа разбиения фигуры, таких, как, например, направление сторон квадратов, на которые мы произвели разбиение.

Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда

Как пример вычисления площади фигуры рассмотрим задачу отыскания площади прямоугольника.

Возьмем прямоугольник со сторонами, равными а и b единиц (рис. 178). Пусть сторона а выражается дробью , сторона (в частности, они могут иметь и длины, выражаемые целыми числами). Будем производить разбиение прямоугольника прямыми, параллельными его сторонам, взяв в числе этих прямых прямые, на которых лежат стороны прямоугольника АВ и CD. Тогда на стороне АВ = а уместится единиц, на стороне ВС = b уместится единиц; число квадратов первого разбиения (целых единичных квадратов), поместившихся в прямоугольнике, будет равно . На рис. 178 , , число квадратов равно 6. При разбиении на десятые доли единичного отрезка (достаточно производить разбиение остатков сторон!) в стороне АВ уместится , в стороне ВС , десятых единицы. Число квадратов второго разбиения (с площадью, равной 1/100 единицы площади) будет равно , а площадь фигуры, занятой ими, выразится одной сотой этого числа:

Продолжая процесс, мы все время получаем для площади прямоугольника приближенное значение по недостатку. (При сторонах прямоугольника, выражаемых конечными десятичными дробями, значение, начиная с некоторого s, будет точным.)

При неограниченном продолжении процесса дробь выражает длину стороны а, дробь —длину стороны b, и площадь окончательно выражается как произведение сторон:

(мы опираемся здесь на теорему о том, что предел произведения равен произведению пределов; п. 85). В частности, площадь квадрата равна квадрату его стороны: .

Процесс вычисления объема тела не отличается существенно от изложенного. За единицу измерения объемов принимается объем куба с ребром, равным единице длины; любое тело, объем которого надлежит найти, разбивают тремя рядами перпендикулярных между собой плоскостей на кубы с ребром, равным единице, затем на кубы с ребром в одну десятую единицы, в одну сотую и т. д.

Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b, с оказывается равным произведению длин его трех взаимно перпендикулярных ребер (измерений):

На рис. 179 это показано на примере параллелепипеда с ребрами, длина которых выражается целым числом единиц:

На систематическом развитии схематически изложенного здесь метода основано вычисление площадей и объемов в курсе высшей математики (интегральное исчисление). В элементарном курсе геометрии, где рассматриваются лишь некоторые простейшие фигуры и тела, для решения этих задач применяются различные частные приемы.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Перпендикуляр и наклонные

Рассмотрим прямую АВ и точку М, не лежащую на ней (рис. 181).

Теорема:

Через точку М можно провести прямую, перпендикулярную к данной, и притом только одну.

Здесь следует различать два отдельных утверждения: 1) перпендикуляр (хотя бы один!) существует; 2) существует не более одного перпендикуляра.

Доказательство:

Существование перпендикуляра. Перегнем рис. 181 по прямой АВ так, чтобы точка М совместилась с точкой М’, лежащей по сравнению с М по другую сторону от прямой АВ. Расположенные так точки М и М’ называются симметричными относительно прямой АВ. Соединим М и симметричную с ней точку М’. Отрезок ММ’ пересечет АВ в некоторой точке . Покажем, что прямая АВ перпендикулярна к ММ’. Действительно, углы и смежные и при наложении «верхней» полуплоскости на «нижнюю» путем сгибания по прямой совпадут по построению и, значит, равны, т. е. каждый из них прямой.

2. Единственность. Теперь докажем единственность перпендикуляра. Двух перпендикуляров к АВ из точки М провести нельзя. Действительно, перпендикуляр к АВ при сгибе плоскости по АВ совместится со своим продолжением ввиду равенства смежных углов; если бы через М проходило два таких перпендикуляра, то они оба прошли бы через М’; но точки М и М’ могут быть соединены только одной прямой. Итак, прямая ММ’ — единственный перпендикуляр, который можно опустить из М на прямую АВ. Точка называется основанием перпендикуляра.

Через точку, лежащую на прямой, также можно провести лишь один перпендикуляр к прямой. Для его построения.достаточно приложить к данной прямой одну сторону прямого угла, тогда вторая его сторона дает искомый перпендикуляр. Таким образом, доказано, что через данную точку плоскости можно провести один и только один перпендикуляр к данной прямой (говорят: «опустить перпендикуляр», если точка не лежит на прямой, и «восставить перпендикуляр», если точка принадлежит прямой).

Пусть АВ — прямая, —основание перпендикуляра, опущенного на нее из точки М (рис. 182); возьмем на АВ произвольную точку С, отличную от и соединим с точкой М. Полученная прямая образует с АВ углы, отличные от прямого, и называется наклонной. Через точку М можно провести бесчисленное множество наклонных к АВ; в более узком смысле наклонной называется отрезок МС; С называется основанием наклонной, а отрезок между основаниями перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки М к прямой АВ,— проекцией наклонной.

Отметим некоторые свойства наклонных.

1 . Если из данной точки М к одной и той же прямой АВ проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная длиннее перпендикуляра.

Доказательство. Перегнем рис. 182 по прямой АВ; тогда точка М займет положение М’, симметричное исходному, наклонная МС перейдет в положение М’С. Теперь ломаная МСМ’ = 2МС длиннее прямолинейного отрезка , откуда , что и требовалось доказать.

2. Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, которая имеет большую проекцию, т. е. основание которой дальше отстоит от основания перпендикуляра.

Доказательство. Пусть МС и МD — две наклонные (рис. 183). Перегибая рис. 183 по прямой АВ, видим, что длина объемлющей ломаной MDM’ больше длины объемлемой выпуклой ломаной МСМ’, т.е. 2MD > 2МС, или MD > МС. Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра (рис. 183), то мы придем к тому же результату, перегнув сначала рис. 183 по линии этого перпендикуляра.

3. Если две различные наклонные, проведенные к прямой АВ из одной и той же точки М, равны, то их основания лежат по разные стороны от основания перпендикуляра, опущенного на АВ из той же точки, на равных расстояниях от него.

Доказательство. По предыдущему при любом ином расположении одна из наклонных (именно та, основание которой удалено больше) была бы длиннее второй. Отсюда следует, что МА = МВ.

4. Пусть две равные наклонные проведены из точки М к АВ. Проведя прямую через М и середину отрезка между основаниями наклонных, получим перпендикуляр к прямой АВ.

Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине

Рассмотрим отрезок АВ и перпендикуляр, восставленный к нему в его середине (рис. 184).

Тогда (п. 169) наклонные, проведенные в концы А и В отрезка из произвольной точки N перпендикуляра , будут равны между собой. Если, обратно, N — некоторая точка плоскости такая, что отрезки NA и NВ равны между собой: NА = NB, то точка N лежит на перпендикуляре к прямой АВ. Действительно, тогда (п. 169, свойство 4) прямая, проведенная из N в середину АВ, перпендикулярна к АВ, т.е. N лежит на .

Таким образом, равенство наклонных NA = NB имеет место для точек перпендикуляра и только для них. Доказана

Теорема:

Перпендикуляр, проведенный к отрезку в его середине, является геометрическим местом точек, равноотстоящих от концов отрезка.

Также можно сказать, что перпендикуляр, проведенный к отрезку в его середине, является осью симметрии отрезка. Действительно, сгибая чертеж по перпендикуляру, мы совместим полуотрезок с .

Параллельные прямые

Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются. Если имеется точка М и не проходящая через нее прямая АВ (рис. 185), то через точку М всегда можно провести прямую, параллельную данной. Для этого опустим из М перпендикуляр на прямую АВ, а затем восставим уже к этому перпендикуляру перпендикуляр МС;

полученная прямая не пересечет данной, так как если бы АВ и МС пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые АВ и МС, перпендикулярные к , что (п. 170) невозможно. Указанное построение доказывает существование параллельных прямых.

В качестве одной из предпосылок, принимаемых без доказательства (аксиом или постулатов), принимается следующая:

Через произвольную точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.

Следствие:

Если две прямые в плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Доказательство:

Если бы эти прямые пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные данной (третьей) прямой. Параллельность прямых обозначается так: .

Верно также следующее предложение:

Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к другой (или к другим).

Доказательство:

Если и N-—точка пересечения с CD (, рис. 185), то прямая, проведенная через N перпендикулярно к , будет параллельна АВ. Но через N проходит лишь одна прямая CD, параллельная АВ; отсюда следует перпендикулярность и CD.

Рассмотрим две параллельные прямые (рис. 186) и перпендикуляр к ним. Убедимся, что этот перпендикуляр является осью симметрии для фигуры, образованной этими прямыми («полосы»).

Действительно, если перегнем рнс. 186 по , то в силу равенства прямых углов между собой луч совместится с лучом и луч NC — с лучом ND.

Далее, пусть и два перпендикуляра к параллельным АВ и CD (рис. 187). Тогда , т. е. длины всех отрезков, перпендикулярных к паре параллельных прямых и заключенных между ними, равны между собой (параллельные прямые равноотстоят друг от друга на всем своем протяжении).

Для доказательства возьмем середину отрезка —точку М и проведем через нее перпендикуляр MN к данным параллельным прямым. Сгибая рис. 187 по линии MN, убедимся, что и совпадут, т.е. .

Рассмотрим еще прямую KL, проведенную параллельно двум данным параллельным прямым (рис. 187) через середину отрезка MN, перпендикулярного к ним.

Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей

Рассмотрим пару параллельных прямых АВ и CD и какую-либо прямую т, не параллельную им (рис. 188).

Прямая т образует с каждой из параллельных прямых 4 угла, обозначенные на рисунке 1, 2, 3, 4 и 1′, 2′, 3′, 4′. При этом парам указанных углов даются следующие наименования.

Углы 1 и 1′, 2 и 2′, 3 и 3′, 4 и 4′ называются соответственными; 1 и 3′, 2 и 4′ — внутренними накрест лежащими; 3 и 1′, 4 и 2′ — внешними накрест лежащими. Углы 1 и 4′, 2 и 3′ называются внутренними односторонними; 4 и 1′, 3 и 2′ — внешними односторонними. Между этими парами углов имеются следующие соотношения:

1. Соответственные углы равны: 1 = 1′, 2 = 2′ и т.д.
2. Внутренние накрест лежащие углы равны: 1 = 3′, 2 = 4′.
3. Внешние накрест лежащие углы равны: 3 = 1′, 4= 2′.
4. Односторонние (внутренние или внешние) углы в сумме составляют два прямых: 1 + 4′ = 2d, 4 + 1′ = 2d и т. д.

Из указанных соотношений достаточно доказать какое-либо одно, так как остальные вытекают из него. Так, например, если 1 = 1′, то легко видеть, что 4 = 4′. Действительно, из l + 4 = 2d, l’ + 4′ = 2d имеем 4 = 4′.

Остановимся на доказательстве одного лишь соотношения 1 = 3′ (равенство внутренних накрест лежащих углов).

Возьмем середину С отрезка АВ секущей т (рис. 189) и проведем через нее перпендикуляр п к нашим параллельным (мы знаем, что перпендикуляр к любой из них будет и перпендикуляром к другой). Через ту же середину С отрезка АВ проведем прямую с, параллельную данным прямым а и b (и, значит, также перпендикулярную к п). Перегнем рис. 189 по перпендикуляру п. Тогда наклонная СВ займет положение СВ’, причем 1 = 3″, так как прямая b, будучи перпендикулярной к линии сгиба, совместится со своим продолжением. Если же мы теперь вновь перегнем чертеж по линии с, то треугольник CLB’ весь совместится с треугольником СКА. Действительно, CL пойдет по СК в силу перпендикулярности сип, СВ’ пойдет по СА в виду равенства углов BCL и АСК, точки В’ и А совместятся вследствие равенства отрезков СВ’ и СА и прямая b совпадает с прямой а, так как обе перпендикулярны к n; таким образом, угол CB’L совместится с углом САК и равенства 1 = 3″ и 3″ = 3′ покажут нам, что 1 = 3′.

Любое из указанных равенств между углами, образованными секущей при двух прямых, в свою очередь повлечет за собой параллельность прямых. Пусть, например, при пересечении двух прямых а и b (на рис. 190 они условно изображены как непараллельные) третьей прямой m углы 1 и 1′ получились равные.

Проведем через точку M пересечения прямых m и а прямую а’, параллельную b. Она должна также образовать с m угол, равный 1, и потому совпадет с а, т. е. прямая а параллельна b.

Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами

Для углов с соответственно параллельными сторонами справедливы следующие предложения:

1. Если стороны а и b одного угла соответственно параллельны сторонам а’ и b’ другого угла и одинаково с ними направлены, то углы равны.
2. Если при том же условии параллельности стороны а и b направлены противоположно сторонам а’ и b’, то углы также равны.
3. Если, наконец, стороны а и а’ параллельны и одинаково направлены, а стороны b и b’ параллельны и противоположно направлены, то углы дополняют друг друга до развернутого.

Доказательство:

Докажем первое из этих предложений. Пусть стороны а и a’, b и b’ углов 1 и 1′ параллельны и одинаково направлены (рис. 191). Соединим вершины углов прямой OO’. При этом возможны два случая: прямая OO’ проходит внутри углов 1 и 1′ (рис. 191, а) или вне этих углов (рис. 191, б). В обоих случаях доказательство очевидно: так, в первом случае

но и , откуда получаем 1 = 1′. Во втором случае имеем

и результат вновь вытекает из равенств и .

Можно сказать, что если стороны углов соответственно параллельны, то углы либо равны, либо дают в сумме развернутый.

Очевидно, они равны, если оба одновременно острые или оба тупые, и сумма их равна 2d, если один из них острый, а другой тупой.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны или дополняют друг друга до развернутого угла.

Доказательство. Пусть — некоторый угол (рис. 192), а О’ — вершина угла, образованного прямыми т’ и n’, соответственно перпендикулярными к m и n (углом m’n’ может быть любой из четырех углов, образованных двумя этими прямыми). Повернем угол m’n’ (т.е. обе его стороны) вокруг своей вершины О’ на прямой угол; получим угол, равный ему, но такой, стороны которого перпендикулярны к сторонам m’ и n’; стороны повернутого угла обозначены на рис. 192 через m» и n». Они параллельны прямым m и n, образующим данный угол . Поэтому углы mn и m»n» (а значит, и углы mn и m’n’) либо равны, либо образуют в сумме развернутый угол.

Геометрические места точек. Окружность

Мы уже употребляли выражение «геометрическое место точек». Напомним, что под словами «геометрическое место точек» понимается всякое множество (совокупность, собрание) точек, обладающих каким-то свойством, общим для них, но неприсущим остальным точкам, не принадлежащим данному собранию. Так, все точки, равноудаленные от двух данных точек А и В, располагаются на перпендикуляре, восставленном в середине отрезка АВ; поэтому мы говорим, что этот перпендикуляр служит геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек. Приведем еще один пример, поясняющий понятие геометрического места точек.

Рассмотрим прямую АВ. Найдем геометрическое место точек, находящихся от этой прямой на расстоянии, равном данному отрезку d (рис. 193).

Ясно, как получить такие точки: d любой точке данной прямой АВ восставим к ней перпендикуляр и отложим на нем в обоих направлениях отрезки, равные d. Проведем через концы этих отрезков прямые, параллельные данной. Множество точек, лежащих на этих двух прямых, и будет искомым геометрическим местом точек.

Итак, геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние d, представляет собой пару прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на расстояние d.

Свойство биссектрисы угла

Рассмотрим угол АОС (рис. 194) и его биссектрису ON; ясно, что биссектриса этого угла также будет и биссектрисой вертикального угла BOD. Если перегнуть рис. 194 по биссектрисе ON, то вследствие равенства углов CON и NOA луч ОС совместится с лучом OA. Итак, биссектриса угла является его осью симметрии (и даже осью симметрии пары вертикальных углов).

Опустим из какой-либо точки К биссектрисы ON перпендикуляры KQ и КР на стороны угла; при указанном выше совмещении ОС и OA эти перпендикуляры совпадут. Таким образом, видно, что KQ = KP: все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.

Точно так же и точки биссектрисы ОМ смежного угла СОВ (и угла AOD) равноудалены от сторон углов. Легко видеть, что точка S, не лежащая ни на одной из биссектрис ON и ОМ, не может быть равноудалена от сторон углов; поэтому геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, образовано двумя биссектрисами углов между этими прямыми. Напомним, что эти биссектрисы взаимно перпендикулярны.

Полезно вернуться к рис. 184, где мы рассматривали пары равных наклонных и перпендикуляр, проведенный к отрезку в его середине, и отметить, что перпендикуляр служит биссектрисой угла между равными наклонными.

Окружность

Пусть дана произвольная точка С и отрезок KL = R (рис. 195).

Геометрическое место точек, находящихся от данной точки С на постоянном расстоянии, равном R, называется окружностью с центром С и радиусом R. Проводя через С любые лучи, мы можем построить точки окружности, откладывая на этих лучах от точки С отрезки СА, СА’, СА», …, равные R. Практически окружность строится с помощью циркуля. Отметим ряд простейших понятий и свойств, относящихся к окружности.

1. Окружность, так же как и прямая, может скользить сама по себе, любая ее часть (дуга АВ) может перемещаться по окружности (вращаясь вокруг ее центра) в произвольные новые положения А’В’, … (рис. 196). Две окружности одинакового радиуса совместятся всеми точками, если совместить их центры.
2. Окружность разбивает плоскость на две области: внутреннюю по отношению к окружности и внешнюю, бесконечную. Внутренняя область (включая и контур, ее ограничивающий, т. е. окружность) называется кругом и состоит из точек, удаленных от центра на расстояние, не большее радиуса окружности.

Внешняя область состоит из точек, удаленных от центра на расстояние, превосходящее радиус.

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая

Пусть на плоскости даны окружность и некоторая прямая. Опустим на эту прямую перпендикуляр из центра окружности С; обозначим через основание этого перпендикуляра. Точка может занимать относительно окружности три возможных положения: а) лежать вне окружности, б) на окружности, в) внутри окружности. В зависимости от этого и прямая будет занимать относительно окружности одно из трех возможных различных положений, описываемых ниже.

а) Пусть основание перпендикуляра , опущенного из центра С окружности на прямую а, лежит вне окружности (рис. 197). Тогда прямая не пересекает окружности, все ее точки лежат во внешней области. Действительно, в указанном случае (точка по условию удалена от центра на расстояние, большее радиуса). Тем более для любой точки М прямой а имеем , т. е. каждая точка данной прямой лежит вне круга.

б) Пусть основание перпендикуляра попадет на окружность (рис. 198). Тогда прямая а имеет с окружностью ровно одну общую точку . Действительно, если М — любая другая точка прямой, то (наклонные длиннее перпендикуляра) и точка М лежит во внешней области. Такая прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности в этой точке. Покажем, что и обратно, если прямая имеет с окружностью единственную общую точку, то радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен к данной прямой. Действительно, опустим нз центра перпендикуляр на данную прямую. Если бы его основание лежало внутри окружности, то прямая имела бы с ней, как показано в в), две общие точки. Если бы оно лежало вне окружности, то в силу а) прямая не имела бы с окружностью общих точек. Поэтому остается допустить, что перпендикуляр попадает в общую точку прямой и окружности — в точку их касания. Доказана важная

Теорема:

Прямая, проходящая через точку окружности, тогда и только тогда касается окружности, когда она перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку.

Заметим, что определение касательной к окружности, данное здесь, не переносится на другие кривые. Более общее определение касательной прямой к кривой линии связано с понятиями теории пределов и рассматривается подробно в курсе высшей математики. Здесь мы дадим о нем только общее понятие. Пусть даны окружность и на ней точка А (рис. 199).

Возьмем еще точку А’ на окружности и соединим обе точки прямой АА’. Пусть точка А’ двигаясь по окружности, занимает последовательно ряд новых положений А», А'», … , приближаясь все больше к точке А. Прямая АА’, вращаясь вокруг А, принимает ряд положений: АА’, АА», АА'», … ; при этом по мере сближения движущейся точки с точкой А прямая стремится к совпадению с касательной AT. Поэтому можно говорить о касательной как о предельном положении секущей, проходящей через данную точку и точку кривой, неограниченно с ней сближающуюся. В такой форме определение касательной применимо к кривым весьма общего вида (рис. 200).

в) Пусть, наконец, точка лежит внутри окружности (рис. 201). Тогда . Будем рассматривать наклонные, проведенные к прямой а из центра С окружности, с основаниями , удаляющимися от точки в любом из двух возможных направлений. Длина наклонной будет монотонно возрастать по мере удаления ее основания от точки ; это возрастание длины наклонной происходит постепенно («непрерывно») от значений, близких к , до значений, сколь угодно больших, поэтому кажется ясным, что при некотором положении оснований наклонных длина их будет точноравна R; соответствующие точки К и L прямой будут лежать на окружности. Прямая в этом случае имеет с окружностью две общие точки и называется секущей.

Наше рассуждение основано на непрерывном, постепенном характере возрастания наклонной по мере удаления ее основания от основания перпендикуляра. Точное определение понятия непрерывности здесь не может быть даио. Вместо этого рассуждения можно применить теорему Пифагора (п. 216). Так, если отложить на прямой а в обе стороны от точки отрезки и , равные , где , то расстояния CL и СК будут равны радиусу окружности R. Поэтому полученные таким путем точки L и К принадлежат окружности.

Хорда и диаметр. Сектор и сегмент

Итак, секущая — это прямая, имеющая с окружностью две общие точки. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется ее хордой. Перпендикуляр, опущенный на хорду из центра окружности, делит эту хорду пополам (по свойству равных наклонных и перпендикуляра). В частности, если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. Все диаметры равны между собой, так как каждый из них равен удвоенному радиусу окружности.

Хорда разбивает круг на две части (I и II на рис. 202), называемые сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги. Напомним еще, что сектором круга называется часть круга, ограниченная двумя его радиусами OA и ОВ и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов; таким образом, можно рассматривать два сектора (I и II на рис. 203), на которые круг разбивается парой радиусов.

Справедливы следующие соотношения между дугами данной окружности, стягивающими их хордами (хорда, имеющая те же концевые точки, что и дуга, называется хордой, стягивающей эту дугу, подобно тому как, например, тетива стягивает лук), расстояниями хорд от центра и т. д.

1. Равные дуги стягиваются равными хордами.
2. Равные хорды стягивают пары соответственно равных дуг.
3. Хорды, равноотстоящие от центра, равны.
4. Равные хорды равноотстоят от центра.
5. Всякий диаметр является осью симметрии круга [окружности). Он делит круг (окружность) на два равных полукруга {полуокружности).

Доказательство каждого из этих свойств основано на возможности вращения круга вокруг своего центра (скольжения окружности по себе) и соображениях симметрии. Докажем, например, свойство 3.

Доказательство:

Пусть хорды АВ и CD равноотстоят от центра О окружности (рис. 204). Пусть ОК и OL — перпендикуляры, проведенные к этим хордам из О. Будем вращать дугу ASB, хорду АВ и перпендикуляр ОК до совмещения последнего с перпендикуляром OL (т. е. на угол KOL). Тогда перпендикуляры совместятся, значит, хорда АВ пойдет по хорде CD и, поскольку окружность при вращении скользит по себе, обе хорды совпадут (последнее также видно из равенства наклонных ОА = ОС = OB = OD, как радиусов одной окружности).

Взаимное расположение двух окружностей

Пусть даны окружность и точка , не совпадающая с ее центром С (рис. 205).

Возможны три случая: точка лежит внутри окружности (рис. 205, а), на окружности (рис. 205, б), вне окружности (рис. 205, в). Проведем прямую она пересечет окружность в точках К и L (в случае б) точка К совпадет с ), из которых одна будет ближайшей к точке (по сравнению со всеми другими точками окружности), а другая — наиболее удаленной.

Так, например, на рис. 205, а точка К окружности — ближайшая к . В самом деле, для любой другой точки окружности К’ ломаная длиннее отрезка СК’: , но , и потому . Напротив, для точки L найдем (снова ломаная длиннее отрезка прямой). Заметим, что наибольшее расстояние равно , наименьшее , т. е. , если , или , если .

Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей (рис. 206).

а) Центры окружностей совпадают (рис. 206, а). Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой. В случае равенства радиусов они совпадают.

б) Пусть теперь центры окружностей различны. Соединим их прямой, она называется линией центров данной пары окружностей. Взаимное расположение окружностей будет зависеть только от соотношения между величиной отрезка d, соединяющего их центры, и величинами радиусов окружностей R, r. Все возможные существенно различные случаи представлены на рис. 206 (считаем ).

1 . Расстояние между центрами меньше разности радиусов:

(рис. 206, б), малая окружность лежит внутри большой. Сюда же можно отнести и случай а) совпадения центров (d = 0).

2. Расстояние между центрами равно разности радиусов:

(рис. 206, в). Малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров (говорят, что имеет место внутреннее касание).

3. Расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы:

(рис. 206, г). Каждая из окружностей лежит частично внутри, частично вне другой. Окружности имеют две точки пересечения К и L, расположенные симметрично относительно линии центров OO’ — Существование двух точек пересечения видно из соображений непрерывности линии; точка любой из двух окружностей, перемещаясь по второй и переходя из внутренней области первой окружности во внешнюю в любом из двух возможных направлений, должна дважды попасть на первую окружность. Более двух общих точек две окружности иметь не могут (см. п. 31)). Отрезок KL — общая хорда двух пересекающихся окружностей. Он перпендикулярен к линии центров.

4. Расстояние между центрами равно сумме радиусов:

(рис. 206, д). Каждая из окружностей лежит вне другой, но они имеют общую точку на линии центров (внешнее касание).

5. Расстояние между центрами больше суммы радиусов: (рис. 206, е). Каждая из окружностей целиком лежит вне другой. Окружности не имеют общих точек.

Приведенная классификация полностью вытекает из разобранного выше вопроса о наибольшем и наименьшем расстоянии от точки до окружности. Следует лишь рассмотреть на одной из окружностей две точки: самую близкую и самую далекую от центра второй окружности. Например, разберем случай 1: OO’ < R — r. По условию R > OO’ + r. Но наиболее отдаленная от О точка малой окружности находится от центра О на расстоянии OO’ + r < R. Поэтому вся малая окружность лежит внутри большой. Так же рассматриваются и остальные случаи.

В частности, если радиусы окружностей равны, то возможны только три последних случая: пересечение, внешнее касание, внешнее расположение.

Задачи на построение в геометрии

Линейка и циркуль: В чертежной практике применяются различные инструменты: линейки (с делениями и без них), циркули разных типов, чертежные треугольники, лекала и т. п. При теоретическом изучении геометрических построений рассматриваются лишь два основных инструмента: линейка без делений и циркуль, которые имеют в геометрии идеальный, абстрактный характер. Так, всякая реальная линейка имеет конечную длину, линейка же в геометрических построениях считается бесконечной; раствор циркуля в геометрии не ограничен.

Предполагается, что линейка и циркуль могут быть применены для выполнения строго определенного набора основных, первичных построений.

Линейка предназначена для проведения прямых линий без ограничения их длины. Если дана точка, то с помощью линейки можно провести через эту точку одну или несколько прямых произвольным образом. Линейка позволяет также провести прямую через любые две заданные точки. Заметим, что в плоскости или на уже проведенной в ней прямой всегда могут быть произвольным образом взяты точки в любом числе. Если построены две пересекающиеся прямые, то считается известной точка их пересечения.

С помощью циркуля считается возможным:

1) провести окружность с любым центром и произвольным радиусом, в том числе окружность, проходящую через заданную точку;

2) отложить на данной прямой от любой ее точки и в любом из двух возможных направлений отрезок (произвольный или равный любому заданному отрезку).

Если изображены окружности и прямые, то и все точки их пересечения, если таковые имеются, считаются известными. В связи с этим понятен смысл часто употребляемых выражений вроде «сделаем на прямой а засечку» тем или иным радиусом, с тем или иным центром. Это значит, что проводится некоторая окружность (часто изображаемая условно лишь небольшой дугой, ей принадлежащей) ради получения точки ее пересечения с данной прямой а.

Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров

Задача:

Дан отрезок АВ. Построить точку С, делящую этот отрезок на две равные части.

Решение:

Пусть дан отрезок АВ (рис. 207). Требуется разделить его пополам, т. е. построить его середину. Мы пользуемся линейкой без делений и потому не можем применять способ, связанный с измерением длины отрезка и делением ее пополам. Вместо этого поступаем так. Из конца А отрезка АВ, как из центра, описываем окружность произвольным радиусом, превышающим половину длины отрезка (проще всего взять радиус, равный самому отрезку АВ). Тем же радиусом описываем окружность с центром В. Эти окружности равного радиуса пересекутся в двух различных точках К и L, так как сумма их радиусов превосходит (по построению) расстояние АВ между их центрами. Соединим эти точки отрезком KL. Он пересечет данный отрезок в его середине, т. е. в искомой точке С. Действительно, каждая из точек K и L равноотстоит от концов А и В данного отрезка и потому (свойство перпендикуляра, построенного в середине отрезка) лежит на перпендикуляре, восставленном из середины отрезка АВ.

Попутно решена

Задача:

Восставить перпендикуляр к отрезку АВ в его середине.

Задача:

Опустить перпендикуляр из данной точки М на прямую а.

Решение:

Из данной точки М, как из центра, опишем достаточно большим радиусом (например, больше МК, где К — какая-либо точка прямой а) так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках А и В («сделаем засечки на а», рис. 208).

Точки А и В по построению равноудалены от М, и потому М лежит на перпендикуляре к а, построенном в середине отрезка АВ. Для завершения построения остается из точек А и В, как из центров, провести дуги окружностей, например, тем же радиусом R до их пересечения в точке М’ (вторая точка пересечения, в данном случае М, нам уже известна), линия ММ’ и будет искомым перпендикуляром.

Задача:

В данной точке М прямой восставить к ней перпендикуляр.

Указание. Из данной точки М, как из центра, сделаем на прямой засечки произвольным радиусом (т. е. отложим от М в обоих направлениях равные отрезки МА и MB). Теперь искомый перпендикуляр будет перпендикуляром в середине отрезка АВ.

Построение углов

Задача:

Построить угол, равный данному углу а, имеющий заданную вершину О и сторону OA.

Решение:

Пусть дан угол а, требуется построить при стороне OA угол с вершиной О, равный данному углу а (рис. 209). Проведем сначала дугу окружности с центром в вершине заданного угла а до пересечения ее со сторонами угла в точках К и L. Дугу того же радиуса опишем из центра О — вершины искомого угла.

Затем из точки К’ пересечения этой дуги с OA, как из центра, сделаем на этой дуге засечку (L’) радиусом KL, взятым из чертежа, изображающего заданный угол ; в действительности можно получить две точки пересечения наших дуг: L’ и L», при этом в обоих случаях получаются равные (но симметрично расположенные) углы. Теперь соединим найденную точку L’ с вершиной О; угол K’OL’ равен углу KCL, т. е. дает решение задачи. Для доказательства наложим данный угол а на построенный так, чтобы вершины их совместились, стороны СК и ОК’ совпали, а стороны CL и OL’ оказались по одну сторону от их общей стороны СK. Тогда окружности, проведенные из центров С и О одним радиусом, совпадут и дуги засечек с центрами К и К’, имеющие общий центр и равные радиусы, также совпадут. Поэтому совпадут и точки пересечения L и L’. Тем самым совместятся и углы, что доказывает их равенство.

Задача:

Построить биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть дан угол АОВ (рис. 210). Требуется построить его биссектрису. Воспользуемся свойством биссектрисы быть осью симметрии угла или, что то же самое, геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла. Проведем дугу окружности с центром О, пересекающую стороны угла в точках К и L; радиус дуги может быть взят произвольно. Если теперь из О опустить перпендикуляр на отрезок KL, то он пройдет через середину отрезка KL, так как наклонные OL и ОК по построению равны. Этот перпендикуляр будет ссью симметрии нашей фигуры и биссектрисой угла АОВ. Поэтому для завершения построения описываем из центров К и L равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке Р, и соединяем О с Р. Прямая ОР по построению будет перпендикуляром к KL в его середине и, значит, искомой биссектрисой.

Задача:

Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.

Решение:

В принципе решение этой задачи дано уже в п. 171 с помощью проведения перпендикуляров — задачи, нам уже известной. Можно решить задачу и иначе. Проведем окружность с центром в данной точке О (рис. 211), пересекающую заданную прямую в двух точках М и N. Соединим эти точки с данной точкой прямыми МО и NO. Биссектриса угла M’ON будет искомой прямой, параллельной данной. Для доказательства правильности построения опустим из О перпендикуляр на MN. Так как он будет одновременно перпендикулярен к ОК (биссектрисы смежных углов), то прямая ОК параллельна данной.

Другие задачи на построение

Задачи на построение, рассмотренные в пп. 181 и 182, мы можем назвать основными. При решении других, более сложных задач на построение их приходится использовать как вспомогательные. При этом мы уже не объясняем каждый раз, как они выполняются, а просто говорим: «опустим из точки перпендикуляр на прямую» или «проведем биссектрису угла» и т. д., считая, что необходимые для этого построения читателю известны. Приведем несколько примеров несложных задач на построение.

Задача:

Дан угол. Внутри угла найти точку, находящуюся на заданных расстояниях от сторон угла.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 212), отрезки , и изображают расстояния искомой точки от сторон OA и ОВ соответственно. В решении этой задачи, как и многих других используется метод геометрических мест. Заметим, что геометрическое место точек, отстоящих от данной прямой OA на расстояние , состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на расстояние .

В нашем случае искомая точка лежит на той из указанных прямых, часть которой расположена внутри угла. Теперь легко указать план решения задачи. В произвольной точке стороны ОА восставим к ней перпендикуляр и отложим на нем отрезок в сторону внутренней области угла. Через конец этого перпендикуляра проведем прямую, параллельную OA. То же проделываем со стороной ОВ, но на этот раз длину перпендикуляра берем равной . Искомой точкой будет точка К пересечения построенных прямых, параллельных сторонам угла.

Читатель должен выполнить здесь и в следующих задачах все необходимые построения циркулем и линейкой.

Задача:

На данной прямой найти точку, равноудаленную от двух данных точек плоскости.

Решение:

Пусть А и В — данные точки, а — прямая (рис. 213). На прямой а мы должны найти точку D, находящуюся на одинаковых расстояниях от точек А и В. Известно, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, служит перпендикуляр к отрезку АВ, восставленный в его середине. Отсюда ясно решение: искомая точка D лежит на пересечении указанного перпендикуляра с прямой а.

Замечание:

Задача будет неразрешимой, если перпендикуляр окажется параллелен а; это получится, если отрезок АВ перпендикулярен к а. Задача станет неопределенной (любая точка прямой а будет решением), если АВ перпендикулярен к а и, кроме того, а проходит через середину АВ.

Задача:

На данной прямой а найти точки, равноотстоящие от данных двух пересекающихся прямых b и с.

Указание. Искомые точки лежат на пересечении данной прямой с любой из биссектрис углов, образованных прямыми b и с (рис. 214).

Треугольники

Стороны и углы треугольника

Длины сторон треугольника (короче, стороны треугольника) не могут быть заданы произвольно. Действительно, для произвольного треугольника ABC сумма двух любых сторон больше третьей стороны: АВ + ВС>АС, так как ломаная длиннее отрезка прямой. Из этого же неравенства находим АС — АВ < ВС, т. е. разность двух любых сторон треугольника меньше его третьей стороны. Например, из отрезков а = 5, b = 8, с = 14 нельзя построить треугольник, так как 14 > 5 + 8. Если же даны три отрезка а, b, с такие, что больший из них меньше суммы двух других, то можно построить треугольник, имеющий данные отрезки своими сторонами (п. 189, задача 1). Итак, условие

(где с — наибольший из трех отрезков) необходимо и достаточно для существования треугольника со сторонами а, b, с.

В зависимости от сравнительной величины сторон треугольники могут быть равносторонними, если все стороны равны, равнобедренными, если две стороны равны, и разносторонними, если все стороны различны. У равнобедренного треугольника его равные стороны обычно называют боковыми сторонами, а третью сторону—основанием.

Углы треугольника также не могут быть заданы произвольно, так как справедлива

Теорема:

Сумма углов любого треугольника равна двум прямым.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 215) и проведем через одну из его вершин, например В, прямую BD, параллельную противоположной стороне АС. Теперь из чертежа ясно, что и (накрест лежащие углы), и так как 1′ + 2′ + 3 = 2d, то 1 + 2 + 3 = 2d, что и требовалось доказать. Продолжая сторону АС, находим как следствие:

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных.

Тем самым, внешний угол треугольника больше каждого из его внутренних углов, с ним не смежных:

Таким образом, зная два угла треугольника, мы можем найти и третий. Ясно также, что если один угол в треугольнике прямой или тупой, то два других его угла острые. Если один угол треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным; если один угол прямой, то прямоугольным, если все три угла острые, то остроугольным.

Из задач на построение треугольников (п. 189) видно, что при любых данных положительных углах , составляющих в сумме два прямых, существуют треугольники, имеющие своими внутренними углами. Итак, условие

необходимо и достаточно для существования треугольника с углами .

Так как внешний угол треугольника дополняет внутренний смежный с ним угол до развернутого угла, то сумма внешних углов треугольника (рис. 216) равна двум развернутым, или четырем прямым, углам: .

Пример:

Внешний угол равен 120°, угол составляет половину угла . Найти углы треугольника.

Решение:

Внутренний угол а = 180°—120° = 60°. Так как , то , , .

Связь между величинами сторон и углов треугольника устанавливает следующая

Теорема:

Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Против равных сторон лежат равные углы.

Обратно: против большего угла лежит большая сторона. Против равных углов лежат равные стороны.

Доказательство:

Применим свойства наклонных. Пусть в треугольнике ABC (рис. 217, а) сторона АС больше стороны ВС. Проведем высоту СМ треугольника. Так как наклонная СВ меньше наклонной СА, то ее основание В лежит ближе к основанию высоты СМ, чем основание А наклонной СА. Поэтому, если перегнуть рис. 217, а по СМ, то угол при вершине В перейдет во внешний угол В’ треугольника АСВ’ и, следовательно, будет больше угла А, как внутреннего, с ним не смежного.

Рис. 217, а построен для случая, когда против данных сторон лежат острые углы. На рис. 217, б показан случай, когда против одной из сторон лежит тупой угол. Итак, если между сторонами треугольника имеются неравенства а < b < с, то соответственно и противолежащие углы удовлетворяют неравенствам . Равенство углов, лежащих против равных сторон, сразу получится, если учесть, что равные наклонные расположены относительно перпендикуляра (т. е. высоты треугольника) симметрично и совмещаются при сгибе плоскости по перпендикуляру. При этом совмещаются и углы, равенство которых должно быть доказано.

Обратное утверждение, говорящее, что против большего угла лежит большая сторона, получается рассуждением от противного. Так, пусть . Если бы мы имели , то должно было бы быть , что противоречит условию. Поэтому а < b, что и требовалось доказать. Так же доказывается, что против равных углов расположены равные стороны. В частности, равносторонний треугольник является и равноугольным. Каждый из его трех углов в этом случае равен 60°.

Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность

Любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника. Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например и (рис. 218). Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена и от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третьей биссектрисе , т. е. в точке Р пересекаются все три биссектрисы.

Точка Р пересечения биссектрис одинаково удалена от сторон треугольника; это значит, что изображенные на рис. 218 три перпендикуляра , , , опущенные из этой точки на стороны треугольника, равны между собой. Опишем радиусом r, равным длине этих перпендикуляров, окружность с центром в точке Р. Тогда эта окружность будет касаться каждой из трех сторон треугольника соответственно в точках , и . Такая окружность называется вписанной в треугольник. Итак, в каждый треугольник можно вписать окружность. Центр ее лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Ясно, что, и обратно, если какая-то окружность лежит внутри треуголы ника, касаясь его сторон, то центр ее одинаково удален от сторон треугольника и потому лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Это означает, что в данный треугольник можно вписать единственную окружность. Существуют, однако еще три окружности, касающиеся всех трех прямых, на которых лежат стороны треугольника.

Так, рассмотрим (рис. 219) треугольник ABC и биссектрисы его внутреннего угла А и двух внешних углов В и С; точка пересечения двух последних биссектрис одинаково удалена от всех трех прямых АВ, ВС и АС и потому лежит на биссектрисе угла А; она является центром окружности, касающейся стороны ВС треугольника и продолжений двух других его сторон. Такая окружность называется внешне вписанной в треугольник.

Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность

Рассмотрим теперь оси симметрии сторон треугольника. Напомним, что осью симметрии отрезка является перпендикуляр, восставленный к отрезку в его середине. Любая точка такого перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка.

Пусть теперь и — перпендикуляры, проведенные через середины сторон ВС и АС треугольника ABC (рис. 220) к этим сторонам, т. е. оси симметрии этих двух сторон. Точка их пересечения Q одинаково удалена от вершин В и С треугольника, так как лежит на оси симметрии стороны ВС; точно гак же она и одинаково удалена от вершин В и С. Следовательно, она одинаково удалена от всех трех вершин треугольника, в том числе от вершин А и В. Значит, она лежит на оси симметрии третьей стороны АВ треугольника. Итак, оси симметрии трех сторон треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка одинаково удалена от вершин треугольника. Следовательно, если провести окружность радиусом, равным расстоянию этой точки от вершин треугольника, с центром в найденной точке, то она пройдет через все три вершины треугольника. Такая окружность (рис. 220) называется описанной окружностью. Обратно, если представить себе окружность, проходящую через три вершины треугольника, то ее центр обязан находиться на равных расстояниях от вершин треугольника и потому принадлежит каждой из осей симметрии сторон треугольника. Поэтому у треугольника имеется только одна описанная окружность: вокруг данного треугольника можно описать окружность, и притом только одну; центр ее лежит в точке пересечения трех перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника в их серединах.

На рис. 221 показаны окружности, описанные вокруг остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников; центр описанной окружности лежит в первом случае внутри треугольника, во втором — на середине гипотенузы треугольника, в третьем — вне треугольника. Это проще всего следует из свойств углов, опирающихся на дугу окружности (см. п. 210).

Так как любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно считать вершинами треугольника, то можно утверждать, что через три любые точки, не принадлежащие прямой, проходит единственная окружность. Поэтому две окружности имеют не более двух общих точек.

Медианы и высоты треугольника

Отрезок (а иногда и вся прямая, на которой он лежит), соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника. Треугольник имеет три медианы, все они пересекаются в одной точке и делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины (доказательство см. в п. 207). Точка пересечения медиан треугольника является его центром тяжести. Это значит, что именно в точке пересечения медиан помещается центр тяжести тонкой однородной пластинки треугольной формы.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на противолежащую сторону (высотой также называется длина этого перпендикуляра).

Треугольник имеет три высоты. В случае остроугольного треугольника высоты располагаются внутри его (рис. 222, а); основания высот , , лежат на сторонах треугольника. У прямоугольного треугольника две высоты совпадают с его катетами (рис. 222, б), третья же высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, лежит внутри треугольника. Наконец, у тупоугольного треугольника (рис. 222, в) две его высоты и , проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника, их основания помещаются на продолжениях сторон.

Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке (доказательство см. в п. 197).

Равенство треугольников

Первый признак (одна пара равных сторон). Пусть в двух треугольниках ABC и KLM стороны АВ и KL и прилежащие к ним углы А, К и В, L соответственно равны. Тогда треугольники равны.

Действительно, наложим треугольник ABC на треугольник КЕМ так, чтобы сторона АВ совпала со стороной КЕ, а сторона АС пошла по стороне КМ, что возможно в силу равенства углов А и К (рис. 223). Тогда и сторона ВС пойдет по стороне LM и тем самым совпадут вершины С и М, как точки пересечения совпавших сторон.

Ясно, что в условии можно предположить равенство другой пары соответствующих углов, так как из равенства двух пар углов следует и равенство третьей пары углов треугольников.

Второй признак (две пары равных сторон). Если стороны АВ, КЕ и АС, КМ в двух треугольниках соответственно равны и углы, заключенные между ними, равны, то треугольники равны.

Третий признак (три пары равных сторон). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого: АВ = КЕ, ВС = ЕМ, АС =КМ, то треугольники равны (рис. 224).

Для доказательства наложим сторону АВ треугольника АВС на сторону KL так, чтоб совпали точки А и К, В и L, а вершины С и М оказались по одну сторону от совмещенных сторон АВ, KL. Остается показать, что и вершины С и М совпадут. Допустим противное, а именно что С и М не совместились. Пусть О — середина отрезка между этими вершинами. Тогда, в силу равенства наклонных КМ и КС’ к прямой МС’, отрезок КО будет перпендикуляром к МС’. Также должен быть перпендикуляром к МС и отрезок LО, т. е. в точке О мы имеем два перпендикуляра к МС’, что невозможно. Итак, допущение что М и С’ не совпадают, ложно.

Для двух прямоугольных треугольников достаточно допустить равенство двух пар сторон: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного равны двум катетам другого или если катет и гипотенуза одного равны соответственно катету и гипотенузе другого.

Рассмотрим второй из указанных случаев: пусть катеты АВ и KL прямоугольных треугольников ABC и КЕМ (рис. 225), а также и их гипотенузы АС и КМ равны. Совместим катеты АВ и KL так, чтобы точка А совпала с К и В с L, а гипотенузы оказались по одну сторону от совпавших катетов. Тогда катеты СВ и ML расположатся по одной прямой. Гипотенузы будут наклонными, проведенными через К к линии вторых катетов, и, будучи равными и расположенными по одну сторону от перпендикуляра, совпадут, откуда следует совмещение треугольников.

Так как у двух прямоугольных треугольников Всегда есть пара равных углов (прямых), то для равенства таких треугольников достаточны также следующие условия: прямоугольные треугольники равны, если они имеют пару равных острых углов и пару равных катетов (или гипотенуз).

Построение треугольников

Три доказанные в п. 188 теоремы о равенстве треугольников показывают, что треугольник вполне определен, если даны три его стороны, две стороны и угол, заключенный между ними, сторона и два прилегающих к ней угла (или вообще два каких-нибудь угла).

Существование треугольника, определенного заданием тех или иных конкретных величин сторон или углов, обнаруживается при решении задачи на построение треугольника по данным элементам: однозначность решения задачи на построение еще раз доказывает признаки равенства из п. 188. Сообразно трем признакам равенства возникают и три основные задачи на построение треугольников.

Задача:

Даны три отрезка а, b, с. Построить треугольник, имеющий эти отрезки своими сторонами.

Решение:

Пусть с — наибольший из трех отрезков: , для того чтобы задача могла иметь решение, необходимо, чтобы выполнялось условие с< а + b. Будем считать, что это условие выполнено. На произвольней прямой (рис. 226) отложим в произвольном месте отрезок АВ = с. Концы его примем за две вершины искомого треугольника. Третья вершина должна лежать на расстоянии b от точки А (или от точки В) и на расстоянии а от В (или А). Для построения недостающей вершины проводим окружность радиуса b с центром А и окружность радиуса а с центром В. Эти две окружности пересекутся, так как по условию расстояние между их центрами меньше суммы радиусов а + b и больше их разности, поскольку с — наибольший отрезок среди данных. Получаются две точки пересечения С и С’, т. е. два возможных положения вершины С; соответственные два треугольника, однако, равны, как симметрично расположенные относительно АВ. На рис. 226 также показано, как получить еще два положения третьей вершины, если поменять местами радиусы окружностей.

При анализе признаков равенства треугольников обращают на себя внимание два обстоятельства:

1) Нет признаков, в которых равенство треугольников обеспечивалось бы только равенством трех углов. Это объясняется тем, что два треугольника, имеющие равные углы, еще не обязательно равны (подобные треугольники, см. подробнее гл. XVI).

2) Признак равенства треугольников по двум сторонам требует равенства не произвольных углов, но непременно заключенных между равными сторонами. Чтобы выяснить причину этого, поставим следующую задачу.

Задача:

Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.

Решение:

Пусть, например, даны стороны а и b и угол , лежащий против а (рис. 227). Для построения треугольника отложим отрезок b на произвольной прямой АС и из одной его вершины, например А, проведем луч AM под углом а к отрезку АС. Неизвестная третья сторона треугольника должна лежать на этом луче; ее конец и есть недостающая вершина треугольника. Известно, однако, что эта третья вершина лежит на расстоянии а от С и, значит, помещается на окружности с центром С радиуса а. Проведем такую окружность. Точки ее пересечения с лучом AM дадут возможные положения третьей вершины. Так как окружность и луч могут не иметь общих точек, иметь одну или две общие точки, то задача может не иметь решений, иметь одно или два решения. На рис. 227 представлен случай, когда угол острый, и четыре варианта для стороны , для которых задача, соответственно, не имеет решений, имеет одно решение, два решения и снова одно решение. Показаны оба решения для . Полный анализ этой задачи дается в п. 223 в связи с задачами на решение треугольников.

Можно ставить и другие разнообразные задачи на построение треугольников по тем или иным данным. Во Есех случаях для возможности построения треугольника должны быть заданы либо три какие-нибудь его линейных элемента (т. е. три отрезка: стороны, медианы, высоты и т. п.), либо два отрезка и один угол, либо один отрезок и два угла.

Задача:

Даны две стороны а, с треугольника и медиана . Построить треугольник.

Решение:

Начнем решение задачи с анализа. Так называется этап решения, когда мы условно допускаем, что задача уже решена, и выясняем такие ее особенности, которые и в самом деле помогут нам ее решить. Итак, допустим, что треугольник ABC (рис. 228, а) — искомый. Тогда в нем ВС = а, , АВ = с. Заметим, что отрезок ВМ по определению медианы составляет половину с, т. е. может считаться известным. Но теперь в треугольнике ВМС известны все три стороны! Здесь ключ к решению задачи, остальное уже просто. Мы строим (рис. 228, б) треугольник ВМС по трем сторонам ВМ = с/2, ВС = а, и продолжаем затем сторону ВМ на расстояние, равное с/2, получая тем самым третью вершину А треугольника. Правильность выполненного построения ясна.

Условие разрешимости задачи состоит в возможности построить «частичный» треугольник по стороне а, медиане и половине другой стороны.

Равнобедренные треугольники

По определению равнобедренным называется всякий треугольник, две стороны которого равны (если и третья сторона равна им, то такой равносторонний треугольник является частным видом равнобедренного треугольника). Две равные стороны мы называем боковыми, третью — основанием.

Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Ввиду равенства боковых сторон — наклонных к основанию — высота разделит основание пополам и будет осью симметрии всей рассматриваемой фигуры (рис. 229). Поэтому высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и осью симметрии основания.

Обратно, можно доказать, что если две из указанных четырех линий совпадут, то треугольник будет равнобедренным (а значит, совпадут и все четыре линии). Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника — все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте (рис. 229).

Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны также и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника содержит радиан, или 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.

В равностороннем треугольнике совпадают все рассмотренные нами замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника). Обратно, если две из указанных четырех точек совпадут, то треугольник будет равносторонним и, как следствие, совпадут все четыре названные точки.

Действительно, такой треугольник окажется, по предыдущему, равнобедренным по отношению к любой паре сторон, т. е. равносторонним.

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами, третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы). Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершину прямого угла треугольника.

Другая особенность прямоугольного треугольника состоит в том, что центр его описанной окружности лежит в середине гипотенузы. Действительно, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (рис. 230) и проведем его медиану ВМ из вершины прямого угла. Покажем, что длина этой медианы равна половине гипотенузы, т. е. ВМ = AM = СМ. Тогда точка М будет одинаково удалена от всех вершин треугольника и потому будет центром описанной окружности. Для доказательства равенства ВМ = АМ достаточно обнаружить равенство углов МАВ и АВМ. Допустим противное, т. е. что углы эти неравны, например, (или ). Тогда соответственно (или ). По свойству «против большего угла лежит большая сторона» имеем в и в (или, наоборот, ВМ < МА и МС < ВМ). В каждом из этих случаев приходим к противоречию: АМ < МС (или AM > МС), в то время как должно быть АМ = МС.

Итак, остается допустить, что , откуда ВМ = МА, что и требовалось доказать. Отсюда и следует, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы.

Отметим еще два специальных вида прямоугольных треугольников: равнобедренный и с углами в 30° и 60°. Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет равные углы при основании (гипотенузе), каждый из этих углов содержит 45°. Такой треугольник получается, если рассечь квадрат его диагональю. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Прямоугольный треугольник с углами 30° и 60° получится, если в равностороннем треугольнике провести одну из его высот и взять какой-либо из двух равных прямоугольных треугольников, на которые она разбивает данный равносторонний треугольник (рис. 231). Обратно, если взять прямоугольный треугольник с углами 60° и 30°, то, приложив к нему еще один такой же треугольник, имеющий с ним общий катет, прилежащий к углу в 30°, получим равносторонний треугольник. Из такого способа получения указанного треугольника видно, что в прямоугольном треугольнике с углами в 60° и 30° катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Рассмотрим 2 задачи на построение равнобедренных и пря-мо гольных треугольников.

Задача:

Построить равнобедренный треугольник по основанию и углу при вершине.

Решение:

Зная угол при вершине, найдем смежный с ним угол; разделив его пополам, получим угол, равный углу при основании искомого треугольника, после чего он строится уже известным способом (по стороне и двум углам).

Задача:

Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Решение:

Построим отрезок АВ, равный данному катету, и в одном из концов его А восставим к нему перпендикуляр; на этом перпендикуляре будет лежать второй катет. Остается сделать на построенном перпендикуляре засечку с центром в вершине В и радиусом, равным данной гипотенузе.

В элементарной геометрии ограничиваются изучением двух важных частных видов четырехугольников: параллелограммов и трапеций.

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 233).

Для произвольного параллелограмма имеют место следующие свойства:

1 . Противоположные стороны параллелограмма равны.

Доказательство:

В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС. Треугольники ACD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов, прилежащих к ней:

(как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, AB = CD и ВС = AD, как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, что и требовалось доказать.

2. Противоположные углы параллелограмма равны: , .

3. Соседние углы параллелограмма, т. е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 2d: и т. д.

Доказательство свойств 2 и 3 сразу получается из свойств углов при параллельных прямых.

4. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам. Иначе говоря, АО = ОС, BO = OD (рис. 233).

Доказательство:

Треугольники AOD и ВОС равны, так как равны их стороны AD и ВС (свойство 1) и углы, к ним прилежащие (как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Отсюда следует и равенство соответствующих сторон этих треугольников: АО = ОС, BO = OD, что и требовалось доказать.

Каждое из названных четырех свойств характеризует параллелограмм, или, как говорят, является его характеристическим свойством, т. е. всякий четырехугольник, обладающий хотя бы одним из этих свойств, является параллелограммом (и, значит, обладает и всеми остальными тремя свойствами).

Проведем доказательство для каждого свойства отдельно.

1′. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.

Доказательство:

Пусть у четырехугольника ABCD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис. 233). Проведем диагональ АС. Треугольники ABC и CDA будут равны, как имеющие три пары равных сторон. Но тогда углы ВАС и DCА равны и . Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

2′. Если у четырехугольника две пары противоположных углов равны, то он является параллелограммом.

Доказательство:

Пусть и . Так как , то и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых).

3′. Если у четырехугольника углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 2d , то он является параллелограммом.

4′. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник —параллелограмм.

Доказательство:

Если АО = ОС, BO = OD (рис. 233), то треугольники AOD и ВОС равны, как имеющие равные углы (вертикальные!) при вершине О, заключенные между парами равных сторон АО и СО, ВО и DO. Из равенства треугольников заключаем, что стороны AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по характеристическому свойству 1′.

Таким образом, для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, достаточно убедиться в справедливости любого из четырех свойств. Читателю предлагается самостоятельно доказать еще одно характеристическое свойство параллелограмма.

5′. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.

Иногда какая-нибудь пара параллельных сторон параллелограмма называется его основаниями, тогда две другие называются боковыми сторонами. Отрезок прямой, перпендикулярной к двум сторонам параллелограмма, заключенный между ними, называется высотой параллелограмма. Параллелограмм на рис. 234 имеет высоту h, проведенную к сторонам AD и ВС; вторая его высота представлена отрезком .

Прямоугольник

Прямоугольником называется такой параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны. Ясно, что параллелограмм будет прямоугольником уже в том случае, когда хотя бы один из его углов прямой, так как тогда будут прямыми и остальные его углы. Если же заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то придется проверить, что три угла его прямые, тогда, конечно, и четвертый угол будет прямой, так как сумма углов любого четырехугольника равна четырем прямым. Важно также следующее отличительное свойство прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и ACD (рис. 235). Эти треугольники прямоугольные, катет AD у них общий и катеты АВ и CD равны, следовательно, равны и гипотенузы: BD = AC, что и требовалось доказать.

Если известно, что данный четырехугольник — параллелограмм, то данное свойство будет для прямоугольника характеристическим:

Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Доказательство:

Из равенства диагоналей BD и АС (рис. 235) в свою очередь следует равенство треугольников ABD и DCА и, значит, равенство углов BAD и ADC; но, составляя в сумме два прямых и будучи равными, эти углы должны быть прямыми; значит, параллелограмм — прямоугольник.

Ромб. Квадрат

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Для того чтобы проверить, что данный параллелограмм является ромбом, достаточно показать, что две его смежные стороны равны; тогда равенство всех сторон будет вытекать из свойства 1 п. 193. Если заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то достаточно проверить равенство всех сторон, чтобы убедиться, что мы имеем ромб:

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

(Заметим, что это уже утверждение, требующее доказательства, а не определение!)

Доказательство:

Если у четырехугольника все стороны равны, то, в частности, попарно равны и противоположные стороны и четырехугольник является параллелограммом (свойство 1 п. 193). Но параллелограмм с равными сторонами будет ромбом (в силу определения ромба). Укажем еще одно свойство ромба:

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и СОВ (рис. 236); они равны в силу того, что катет ОВ у них общий, а катеты АО и СО равны по свойству диагоналей параллелограмма. Значит, АВ = ВС, и потому все четыре стороны параллелограмма равны, т. е. он будет ромбом.

Теорема:

Диагонали любого ромба взаимно перпендикулярны.

Прямоугольник, стороны которого равны, называется квадратом. Таким образом, квадрат является также и ромбом (стороны равны!) с прямыми углами. Можно иначе сказать: квадрат — это четырехугольник, одновременно являющийся ромбом и прямоугольником. Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.

Задача:

Доказать, что диагонали ромба служат биссектрисами его углов.

Решение:

Возвращаясь к рис. 236, напомним, что мы обнаружили равенство треугольников АОВ и СОВ, следовательно, углы АВО и ОВС равны, т. е. диагональ BD — биссектриса угла В. Для второй диагонали применяем те же рассуждения.

Задача:

Высота ромба составляет восьмую часть его периметра. Определить углы ромба.

Решение:

Если высота ромба составляет восьмую часть его периметра, то она равна половине стороны ромба. Таким образом, в треугольнике АВМ (рис. 237), отсеченном от ромба его высотой ВМ, проведенной через вершину тупого угла, катет ВМ равен половине гипотенузы АВ и угол А содержит 30° . Тупой угол будет равен 150°.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого имеется только одна пара параллельных сторон. Так, четырехугольник ABCD, изображенный на рис. 238, — трапеция. Стороны AD и ВС здесь параллельны. Параллельные стороны, трапеции называются ее основаниями, непараллельные стороны — боковыми сторонами. Параллельные стороны не могут быть равными, так как в противном случае мы имели бы параллелограмм (см. свойство 1 п. 193). Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую — малым основанием трапеции. По свойствам параллельных прямых видно, что сумма углов, прилежащих к каждой из боковых сторон, равна двум прямым (у параллелограмма двум прямым равна сумма углов, прилежащих к любой стороне).

Чтобы получить трапецию, можно пересечь треугольник ABC (рис. 239) прямой МN, параллельной одной из его сторон АВ. Эту трапецию можно назвать усеченным треугольником.

Отрезок h прямой, перпендикулярной к основаниям трапеции, заключенный между ними, называется высотой трапеции (рис. 238). На рис. 240 изображена трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна к ее основаниям. Такая трапеция называется прямоугольной. Обратно, всякий четырехугольник, у которого два угла, прилежащие к одной стороне, прямые, является либо прямоугольной трапецией (очевидно, по меньшей мере две стороны параллельны), либо прямоугольником.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобочной трапецией. У такой трапеции есть пара равных сторон и есть пара параллельных сторон, и тем не менее она не является параллелограммом.

Отметим некоторые свойства равнобочной трапеции.

1 . Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобочной трапеции, равны.

Доказательство:

Докажем, например, равенство углов А и D (рис. 241) при большем основании AD равнобочной трапеции ABCD. Для этой цели проведем через вершину С прямую, параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ, отсеченный проведенной прямой от трапеции, является параллелограммом, так как по построению он имеет две пары параллельных сторон.

Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции, равен ее боковой стороне: СМ = АВ. Отсюда ясно, что CM = CD, треугольник CMD — равнобедренный, , и, значит, . Углы, прилежащие к малому основанию, равны, так как каждый из них в сумме с равными углами А и D составляет два прямых.

2. Диагонали равнобочной трапеции равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и ACD (рис. 242). Их равенство сразу следует из второго признака равенства треугольников (сторона AD общая, стороны АВ и CD равны, углы BAD и ADC, заключенные между равными сторонами, равны по свойству 1). Из равенства треугольников заключаем, что AC = BD.

3. Если продолжить стороны равнобочной трапеции до их пересечения, то вместе с большим основанием трапеции они образуют равнобедренный треугольник. Иначе говоря, равнобочная трапеция получается усечением равнобедренного треугольника прямой, параллельной его основанию.

Свойство 3 следует из равенства углов при большом основании. Высота EN построенного равнобедренного треугольника AED (рис. 243) является осью симметрии треугольника и вместе с тем трапеции: линия МN, соединяющая середины оснований ВС и AD равнобочной трапеции, перпендикулярна к ее основаниям и служит осью симметрии трапеции.

Все перечисленные свойства являются характеристическими: каждое из них выделяет равнобочную трапецию среди всех трапеций.

1′. Если углы, прилежащие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобочная.

2′. Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобочная.

3′. Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе с ее большим основанием равнобедренный треугольник (здгсь равны продолженные боковые стороны), то трапеция равнобочная.

Ограничимся указанием, что свойство 1′ доказывается с помощью того же построения, которое приведено на рис. 241.

Задача:

Построить трапецию по двум ее основаниям и диагоналям.

Решение:

Допустим сначала, что искомая трапеция ABCD, имеющая данные основания а, b и диагонали , , уже построена (рис. 244). Продлим сторону AD (большое основание трапеции) до пересечения с прямой CL, проведенной из вершины С параллельно диагонали BD. Тогда в треугольнике ACL основание AL равно сумме оснований трапеции. Поэтому можно начать решение задачи с построения треугольника ACL по трем его известным сторонам.

Задача:

Показать, что трапеция, диагонали которой образуют с большим основанием равные углы, — равнобочная трапеция.

Решение:

Из равенства углов при большом основании вытекает и равенство углов, которые диагонали образуют с малым основанием. В силу этого треугольники, сторонами которых соответственно служат основания и отрезки диагоналей до точки О их пересечения, равнобедренные, откуда уже вытекает равенство диагоналей и по ранее указанным свойствам — равенство боковых сторон трапеции.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Каждый треугольник имеет три средние линии. Сами средние линии треугольника образуют новый треугольник, вершины которого помещаются в серединах сторон данного треугольника (рис. 245).

Каждая из средних линий треугольника, например линия, соединяющая середины сторон АС и ВС, обладает следующими свойствами:

1) параллельна третьей его стороне,

2) равна половине третьей стороны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC (на рис. 246, а изображен остроугольный треугольник; для случая тупоугольного треугольника на рис. 246, б рассуждения изменятся незначительно). Опустим высоту СН на сторону АВ. Она разобьет треугольник на два прямоугольных треугольника АСН и ВСН. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины H прямого угла (п. 191), найдем и также . Теперь точки и , как равноудаленные от точек Н и С, лежат на перпендикуляре, проведенном к высоте в ее середине, а потому отрезок, соединяющий их, параллелен стороне АВ треугольника. Тем самым первое свойство доказано.

Рассмотрим теперь фигуру (рис. 245), на которой проведены все три средние линии треугольника ABC. Треугольник ABC разбит на четыре равных треугольника. В самом деле, равенство углов треугольников обеспечено параллельностью их сторон, каждые два из них имеют либо пару равных по построению сторон (например, CL и LA), либо общую сторону. В частности, из равенства треугольников следует, что , что и доказывает второе свойство.

Задача:

Восстановить треугольник по данным серединам его сторон.

Решение:

Пусть точки К, L, М (рис. 245) — середины сторон треугольника. По свойству средней линии быть параллельной стороне треугольника заключаем, что стороны искомого треугольника можно провести через данные точки параллельно сторонам треугольника KLM, образованного средними линиями.

Решение последней задачи подсказывает нам простое доказательство упомянутой в п. 187 теоремы о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Именно, имея треугольник KLM, построим другой треугольник ABC так, что стороны данного треугольника будут его средними линиями, как это только что показано (рис. 245). Высоты первоначального треугольника являются осями симметрии сторон вновь построенного треугольника и потому все пересекаются в одной точке (центр описанной окружности большого треугольника).

Средняя линия трапеции

Проведем диагональ АС трапеции ABCD (рис. 247) и построим средние линии PL и РМ треугольников ABC и ACD, на которые эта диагональ разбивает трапецию. Эти средние линии будут лежать на одной прямой. Действительно, обе они, по определению средней линии треугольника, проходят через середину стороны АС, общей для треугольников ABC и ACD. Кроме того, каждая из средних линий PL и РМ параллельна одному из оснований трапеции, а значит, обоим основаниям одновременно. Так как через точку Р проходит единственная прямая, параллельная основаниям, то обе средние линии лежат на ней. Они продолжают друг друга и образуют отрезок LM, соединяющий середины боковых сторон трапеции; такой отрезок называется средней линией трапеции и параллелен ее основаниям.

Свойство средней линии трапеции:

Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований.

Доказательство. По свойству средней линии треугольника (рис. 247) имеем

откуда находим

что и требовалось доказать.

Задача:

Большее основание трапеции равно а, меньшее равно b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Решение:

Искомый отрезок PQ (рис. 247) лежит на средней линии трапеции. Находим

откуда .

Деление отрезка на равные части

Теорема:

Если параллельные прямые отсекают на какой-нибудь примой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на произвольной другой прямой, не параллельной им.

Доказательство:

Обратимся к рис. 248. Пусть отрезки , , , равны между собой. Пусть l — некоторая прямая, пересекающая в точках Рассмотрим трапецию , прямая делит боковую сторону пополам и параллельна основаниям и , значит, отрезок является средней линией и потому , такое же рассуждение применимо для каждой тройки последовательно взятых параллельных прямых. На рис. 248 прямые l и m не параллельны между собой, и мы говорим о трапециях. В случае их параллельности для доказательства придется рассматривать параллелограммы.

Доказанное свойство часто формулируют еще так: Если ряд параллельных прямых отсекает на одной из сторон угла равные отрезки, то он отсекает равные отрезки и на другой стороне угла.

На только что доказанной теореме основано решение следующей задачи на построение:

Дан отрезок; разделить его на заданное число равных частей.

Решение:

Пусть дан, например, отрезок АВ (рис. 249) и требуется разделить его на пять равных частей. Через конец A отрезка АВ проводим произвольный луч под некоторым углом к отрезку АВ. На этом луче откладываем последовательно, начиная от точки А, пять равных отрезков: , , , … …, любой длины. Соединяем конец последнего из них с концом В данного отрезка, а через точки , , , проводим прямые, параллельные ; эти прямые и рассекут отрезок АВ на равные части в требуемом числе.

Площади треугольников и четырехугольников

Площадь параллелограмма

Общий метод, с помощью которого мы нашли в п. 168 выражение для площади прямоугольника в виде произведения его сторон, в принципе применим к любой плоской фигуре, но гораздо удобнее воспользоваться уже имеющейся формулой, заменив данную фигуру — в нашем случае параллелограмм — равновеликим ей прямоугольником, если, конечно, мы сумеем это сделать.

Обратимся к рис. 250, где изображен произвольный параллелограмм ABCD. Проведем его высоты ВК и CL из вершин одного из оснований. Образуется некоторый прямоугольник BCLK. Этот прямоугольник равновелик нашему параллелограмму, что видно из равенства прямоугольных треугольников АВК и DCL. Обе фигуры, прямоугольник и параллелограмм, состоят из общей для них части KBCD (трапеции) и равных треугольников (АВК для параллелограмма и DCL для прямоугольника), т. е. они равносоставлены и тем более равновелики. Поскольку высоты и основания у параллелограмма и прямоугольника одинаковы, то получается окончательный результат:

где b — основание параллелограмма, h — его высота.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Пример:

Найти площадь параллелограмма со сторонами 14 и 6 и острым углом 30°.

Решение:

Высота, опущенная из вершины на большую сторону, будет катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой, размой 6, и противолежащим острым углом 30°. Такой катет равен половине гипотенузы, т. е. 3. Отсюда S = bh = 3 * 14 = 42 кв. ед.

В частности, для ромба можно указать и другую формулу для площади. Именно, рассматривая ромб ABCD (рис. 251), мы легко убеждаемся в том, что он равносоставлен с прямоугольником ACKL, построение которого достаточно ясно из рис. 251. Отсюда очевидно, что

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

где , и — диагонали ромба.

Площадь треугольника

Рассмотрим теперь треугольник ABC, изображенный на рис. 252. Проведем его медиану AM и продолжим ее на величину MD, равную самой медиане AM.

Конец D полученного отрезка соединим с вершинами треугольника В и С. Четырехугольник ABDC — параллелограмм, так как его днагонали делятся по построению пополам. Высота и основание данного треугольника служат одновременно высотой и основанием параллелограмма; в то же время треугольник имеет площадь, равную половине площади параллелограмма, так как последний разбивается диагональю ВС на два равных треугольника, с одним из которых совпадает заданный треугольник. Итак, поскольку площадь параллелограмма выражается произведением основания на высоту, то для треугольника имеем следующее правило.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (опущенную на это основание):

В случае прямоугольного треугольника можно найти площадь как половину произведения катетов треугольника:

Задача:

Площадь треугольника ABC равна S. Сторона его АВ разделена точкой Р в отношении АР:РВ = 1/2, сторона ВС разделена точкой Q в отношении BQ:QC = 43. Найти площадь треугольника BPQ, отсеченного от данного треугольника отрезком PQ (рис. 253).

Решение:

Проведем прямую, соединяющую вершину С с точкой Р. Треугольники CAB и СРВ имеют общую высоту СН, и потому площади их относятся, как основания АВ и РВ, т. е. площадь треугольника СРВ составит две трети площади исходного треугольника: . Сравним теперь треугольники PBQ и СРВ. Приняв отрезки BQ и ВС за их основания, мы увидим, что они имеют общую высоту , и потому их площади относятся, как основания; поскольку , то площадь равна 1/4 площади , или 1/6 площади исходного треугольника.

Площадь трапеции

Рассмотрим теперь какую-нибудь трапецию ABCD (рис. 254).

Проведем еще среднюю линию MN и через концы ее — два перпендикуляра К’К и L’L к основаниям трапеции. Очевидно равенство треугольников МК’В и МКА и треугольников NL’C и NLD. Таким образом, трапеция равновелика прямоугольнику с той же высотой и с основанием, равным средней линии трапеции. Итак,

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту:

Мы учли, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, ввиду чего

Площадь трапеции равна половине произведения ее высоты на сумму оснований.

Задача:

Средняя линия трапеции разбивает ее на две трапеции, площади которых относятся, как 2:1. Чему равно отношение оснований трапеции?

Решение:

Пусть основания трапеции а (большее) и b (меньшее). Так как высоты обеих трапеций, на которые средняя линия разбивает данную трапецию, равны, то отношение площадей этих трапеций равно отношению их средних линий. Средняя линия данной трапеции l = (а + b)/2, средняя линия ее меньшей части , большей части ; по условию , т. е. (3a + b)/(a-)-3b) = 2; отсюда легко находим а:b= 5.

Отметим в заключение, что площади других четырехугольников могут быть найдены путем их разбиения на треугольники.

Подобие геометрических фигур

Пропорциональные отрезки

Было показано, что, выбирая определенный масштаб измерения, т. е. единицу длины, мы сможем любому отрезку приписать вполне определенную длину, выражаемую некоторым числом, рациональным или иррациональным. Иначе говоря, длина отрезка по отношению к некоторой единице длины, выбранной за основную, может быть выражена десятичной дробью, конечной или бесконечной, периодической или непериодической. Длина отрезка является вместе с тем выражением отношения этого отрезка к единичному. Отношение двух произвольных отрезков можно определить как отношение их длин. Так, если при измерении одним и тем же масштабным отрезком один из данных отрезков имеет длину а, а другой b, то отношение отрезков равно а/b. При этом отношение отрезков не зависит от выбора масштабного отрезка, оно полностью определяется самими отрезками. Именно, при изменении масштабного отрезка в раз длины данных двух отрезков, выражавшиеся ранее числами а и b, выразятся теперь числами и , отношение же их сохранится: .

В п. 199 мы показали, что ряд параллельных прямых, отсекающих на данной прямой равные отрезки, отсекает равные отрезки и на произвольной другой прямой, не параллельной данной. Обобщим это свойство: рассмотрим ряд параллельных прямых и две произвольные прямые АВ и А’В’, пересекаемые ими (рис. 255).

Теорема:

Отрезки, отсекаемые рядом параллельных прямых на двух произвольных не параллельных им прямых, пропорциональны.

Допуская, что данные прямые образуют угол, это утверждение формулируют так:

Ряд параллельных прямых делит стороны угла на пропорциональные отрезки.

На рис. 255, следовательно, должно быть

Доказательство:

Для доказательства теоремы достаточно показать, что каждое из отношений (203.1) равно одному и тому же числу. Чтобы ввести в рассмотрение это число, отложим на одной из прямых, например на АВ, масштабный отрезок MN и проведем через его концы прямые того же направления, что и наши секущие параллельные прямые. При этом на второй прямой А’В’ будет отсечен некоторый отрезок M’N’. Отношение MN / M’N’ будет некоторым вполне определенным числом, так как величина его не зависит от того, в каком месте на АВ взят масштабный отрезок.

Покажем теперь, что любые отрезки, отсеченные на АВ и А’В’ рядом параллельных прямых, относятся один к другому, как MN к M’N’, например: . С этой целью будем измерять длину отрезка масштабом МN, а длину отрезка — масштабом M’N’. Пусть отрезок МN укладывается на отрезке раз (но не укладывается раз). Проведя через концы уложенных на отрезков, равных MN, прямые, параллельные остальным секущим, убедимся, что отрезок M’N’ уложится на отрезке столько же раз, сколько отрезок MN на отрезке M’N’. Остатки отрезков и будем измерять десятыми долями отрезков MN и M’N’ соответственно и т. д. (этот и последующие шаги на рис. 255 не показаны). Видно, что процесс измерения приведет для и к одному и тому же числу Тогда

и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Доказанная теорема верна как в случае пересекающихся, так и в случае параллельных прямых АВ и А’В’.

Пусть теперь две пересекающиеся прямые рассечены парой параллельных прямых (рис. 256); тогда по нашей теореме . Выясним теперь, как относятся сами отрезки секущих прямых, заключенные между сторонами угла . Для этого проведем прямую , параллельную второй стороне угла . Тогда параллельные прямые и отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки . По свойствам производных пропорций находим, учитывая равенство :

Доказано предложение:

Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, пропорциональны отрезкам, отсекаемым этими прямыми на сторонах угла, считая от его вершины.

Задача:

Разделить данный отрезок на части, пропорциональные нескольким другим данным отрезкам.

Решение:

Пусть АВ — данный отрезок, который мы должны разделить на части, пропорциональные отрезкам а, b, с, d. Проведем построение, сходное с тем, которое исследовалось для решения задачи о делении отрезка на равные части. Именно, через точку А проведем произвольный луч а под некоторым углом к отрезку АВ и отложим на этом луче последовательно отрезки , , , , равные заданным. Соединим конец последнего из этих отрезков с концом В отрезка АВ и через остальные точки деления проведем прямые, параллельные . Эти прямые и рассекут АВ на части, пропорциональные отрезкам а, b, с, d (рис. 257) в силу только что доказанной теоремы.

Задача:

Найти отрезок, образующий с тремя данными отрезками пропорцию.

Решение:

Пусть даны три отрезка а, b, с (рис. 258); требуется найти отрезок х такой, чтобы выполнялось соотношение х:а = b:с. Для отыскания такого отрезка возьмем произвольный угол и отложим на его стороне OA отрезки ОК = с и KL = b; на второй стороне ОВ угла отложим отрезок ОМ = а. Соединим точки М и К, а через L проведем прямую, параллельную этому отрезку МК, до пересечения ее со второй стороной угла в точке N. Отрезок MN, заключенный между проведенными параллельными прямыми, и будет искомым. Длина его выражается формулой x = ab/c.

Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника

Теорема:

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 259) и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М с продолжением стороны АВ. Так как ВК — биссектриса угла ABC, то . Далее, , как соответственные углы при параллельных прямых, и , как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда , и поэтому — равнобедренный, откуда ВС = ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК:КС = АВ:ВМ, а ввиду ВМ = ВС получим AK:KC = АВ:ВС, что и требовалось доказать.

Биссектриса внешнего угла В треугольника ABC (рис. 260) обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершин А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника:

Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рис. 260 проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Читатель сам убедится в равенстве углов ВМС и ВСМ, а значит, и сторон ВМ и ВС треугольника ВМС, после чего требуемая пропорция получится сразу.

Можно говорить, что и биссектриса внешнего угла делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; нужно лишь условиться допускать «внешнее деление» отрезка. Точка L, лежащая вне отрезка АС (на его продолжении), делит его внешним образом в отношении m:n, если AL:CL = m:n. Итак, биссектрисы угла треугольника (внутреннего и внешнего) делят противолежащую сторону (внутренним и внешним образом) на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Задача:

Боковые стороны трапеции равны 12 и 15, основания равны 24 и 15. Найти стороны треугольника, образованного большим основанием трапеции и ее продолженными боковыми сторонами.

Решение:

В обозначениях рис. 261 имеем для отрезка х, служащего продолжением боковой стороны АВ = 15, пропорцию x:(x + 15) = 16:24, откуда легко находим х = 30, AМ = 45. Аналогичным способом определяем вторую боковую сторону треугольника DM = 36. Третья сторона совпадает с большим основанием: AD = 24.

Задача:

Основания трапеции равны 6 и 15. Чему равна длина отрезка, параллельного основаниям и делящего боковые стороны в отношении 1:2, считая от вершин малого основания?

Решение:

Обратимся к рис. 262, изображающему трапецию. Через вершину С малого основания проведем линию, параллельную боковой стороне АВ, отсекающую от трапеции параллелограмм. Так как CL:LD = 1:2, то CL:CD = 1:3 и ML:ND = CL:CD = 1:3, отсюда находим ML = 3. Поэтому весь неизвестный отрезок KL равен 6 + 3 = 9. Заметим, что для решения этой задачи нам не нужно знать боковых сторон трапеции.

3адача:

Биссектриса внутреннего угла В треугольника ABC рассекает сторону АС на отрезки AK = 5, КС = 7, на каком расстоянии от вершин A и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В?

Решение:

Каждая из биссектрис угла В делит АС в одном и том же отношении, но одна внутренним, а другая внешним образом. Обозначим через L точку пересечения продолжения АС и биссектрисы внешнего угла В. Так как AK < KC, то и AL < LC. Обозначим неизвестное расстояние AL через х, тогда LC = AL + АС = х +12, и мы будем иметь пропорцию , решение которой x =30 и дает нам искомое расстояние AL = 30; CL = 42.

Подобное преобразование фигур (гомотетия)

Определение гомотетичных фигур: Для произвольного плана той или иной местности, для фотографии, сделанной с чертежа, для репродукции с картины художника, для модели корабля и т. п. характерно, что они похожи на оригинал в том смысле, что верно передают форму предмета, но с изменением его размеров в определенное число раз. По такому изображению мы легко судим о натуре: подлинные размеры восстанавливаются умножением на некоторый определенный постоянный множитель k (масштаб изображения), углы могут быть измерены непосредственно, они не претерпевают изменения по сравнению с натурой.

В геометрии преобразование фигур такого характера называется преобразованием подобия. Точное определение мы дадим несколько ниже.

Рассмотрим какую-либо фигуру, расположенную в данной плоскости (на рис. 263 взят треугольник ABC с проведенной в нем медианой СМ), и произвольную точку О, лежащую в той же плоскости. Проведем из точки О лучи, соединяющие ее со всеми точками данной фигуры. Выберем затем некоторое положительное число к и каждой точке данной фигуры поставим в соответствие новую точку по следующему методу. Пусть А — одна из точек данной фигуры. На луче OA строим точку А’ такую, что OA’:OA = k, т. е. отстоящую от начала луча в k раз дальше, чем А («дальше» превратится, по существу, в «ближе», если k < 1). На рис. 263 мы взяли k = 2. Проделав эту операцию с каждой точкой, получим новую фигуру. Пока мы изобразили ряд ее точек, отвечающих вершинам треугольника и середине стороны АВ. Строго говоря, мы еще не знаем, будут ли точки, лежащие до преобразования на одной прямой (например, В, М, А), лежать на одной прямой после преобразования. На этот и другие сходные вопросы мы вскоре дадим ответ, а пока введем необходимые определения.

Определение:

Преобразование фигуры, при котором каждой ее точке А ставится в соответствие точка А’, лежащая на луче, соединяющем А с некоторой выбранной фиксированной точкой О, и такая, что OA’ и OA находятся в заданном постоянном отношении k:

называется преобразованием подобия (гомотетией) первого рода с центром О и коэффициентом подобия k.

Если k < 1, то точки фигуры приближаются к центру; если k > 1, то удаляются от него. Если k = 1, то фигура совершенно не изменяется, все ее точки остаются на месте: формально можно считать, что она претерпевает тождественное преобразование.

Можно также строить точки преобразованной фигуры не на лучах, ведущих в них из О, а на продолжениях этих лучей (рис. 264). Такое преобразование, в отличие от описанного ранее, называют преобразованием подобия второго рода. Удобно считать, что в этом случае коэффициент подобия равен отрицательному числу: k < 0; такое условие выглядит естественно, так как мы привыкли, что изменение знака связано с изменением направления на прямой, и позволяет не различать преобразований подобия первого и второго рода, говоря просто о преобразованиях подобия с коэффициентом k (положительным или отрицательным). Не исключается случай, когда центр подобия сам принадлежит данной фигуре, как одна из ее точек (рис. 265); в этом случае по определению полагают, что образ О’ точки О совпадает с О.

Свойства преобразования подобия

Пусть рассматривается некоторая фигура и фигура, полученная из нее преобразованием подобия (центр О, коэффициент k, см. рис. 263). Установим основные свойства преобразования подобия.

1 . Преобразование подобия устанавливает между точками фигур взаимно однозначное соответствие.

Это значит, что при заданном центре О и коэффициенте подобия k всякой точке первой фигуры отвечает единственным образом определенная точка второй фигуры и что, обратно, всякая точка второй фигуры получена преобразованием единственной точки первой фигуры.

Доказательство. То, что любой точке А исходной фигуры отвечает определенная точка А’ преобразованной фигуры, следует из определения, указывающего точный способ преобразования. Легко видеть, что, и обратно, преобразованная точка А’ определяет исходную точку А однозначно: обе точки должны лежать на одном луче при k > 0 и на противоположных лучах при k < 0, и отношение их расстояний до начала луча О известно: OA’ :ОА = k (ОА’:ОА = |k| при k < 0). Поэтому точка А, лежащая на известном нам расстоянии от начала О, определена единственным образом.

Следующее свойство можно назвать свойством взаимности.

2. Если некоторая фигура получена из другой фигуры преобразованием подобия с центром О и коэффициентом подобия k, то, и обратно, исходная фигура может быть получена преобразованием подобия из второй фигуры с тем же центром подобия и коэффициентом подобия .

Это свойство, очевидно, следует хотя бы из рассуждений, приведенных при доказательстве свойства 1. Cоотношение верно для обоих случаев: k < 0 и k > 0.

Фигуры, получаемые одна из другой преобразованием подобия, называют гомотетичными или подобно расположенными.

3. Любые точки, лежащие на одной прямой, преобразуются при гомотетии в точки, лежащие на одной прямой, параллельной исходной (совпадающей с ней, если она проходит через О).

Доказательство:

Случай, когда прямая проходит через О, ясен; любые точки этой прямой переходят в точки этой же прямой. Рассмотрим общий случай: пусть (рис. 266) А, В, С —три точки основной фигуры, лежащие на одной прямой; пусть А’ — образ точки А при преобразовании подобия. Проведем ; покажем, что образы В и С также лежат на А’К. Действительно, проведенная прямая и прямая АС отсекают на OA, OB, ОС пропорциональные части: . Таким образом, видно, что точки В’, С’, лежащие на лучах ОВ и ОС и на прямой А’К (аналогично получится и при k < 0), являются соответственными для В и С. Можно сказать, что при преобразовании подобия всякая прямая, не проходящая через центр подобия, преобразуется в прямую, параллельную себе.

Из сказанного уже видно, что всякий отрезок преобразуется также в отрезок.

4. При преобразовании подобия отношение любой пары соответствующих отрезков равно одному и тому же числу — коэффициенту подобия.

Доказательство:

Следует различать два случая.

1) Пусть данный отрезок АВ не лежит на луче, проходящем через центр подобия (рис. 266). В этом случае данные два отрезка — исходный АВ и ему подобно соответствующий А’В’ — суть отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла АОВ. Применяя свойство п. 203, находим , что и требовалось доказать.

2) Пусть данный отрезок, а значит, и ему подобно соответствующий лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия (отрезки АВ и А’В’ на рис. 267). Из определения подобного преобразования имеем , откуда, образуя производную пропорцию, находим , что и требовалось доказать.

5. Углы между соответствующими прямыми (отрезками) подобно расположенных фигур равны.

Доказательство:

Пусть — данный угол и — угол, соответствующий ему при преобразовании подобия с центром О и некоторым коэффициентом k. На рис. 263, 264 представлены два варианта: k > 0 и k < 0. В любом из этих случаев по свойству 3 стороны углов попарно параллельны. При этом в одном случае обе пары сторон одинаково направлены, во втором — обе противоположно направлены. Таким образом, по свойству углов с параллельными сторонами углы равны.

Итак, доказана

Теорема:

У подобно расположенных фигур любые соответствующие пары отрезков находятся в одном и том же постоянном отношении, равном коэффициенту подобия; любые пары соответствующих углов равны.

Таким образом, из двух подобно расположенных фигур любая может считаться изображением другой в некотором выбранном масштабе.

Пример:

Построить фигуру, подобно расположенную с квадратом ABCD (рис. 268) при данном центре подобия O и коэффициенте подобия k = 1/3.

Решение:

Соединяем одну из вершин квадрата (например, А) с центром О и строим точку А’ такую, что OA’:OA = 2/3. Эта точка и будет соответствовать A в преобразовании подобия. Дальнейшее построение удобно провести так: соединим остальные вершины квадрата с О и через А’ проведем прямые, параллельные соответствующим сторонам АВ и AD. В точках их пересечения с ОВ и OD и будут помещаться вершины В’ и D’. Так же проводим В’С’ параллельно ВС и находим четвертую вершину С. A’B’C’D’ также является квадратом.

Пример:

На рис. 269 показана пара подобно расположенных треугольных пластинок. На одной из них изображена точка К. Построить соответствующую точку на второй.

Решение:

Соединим К с одной из вершин треугольника, например с А. Полученная прямая пересечет сторону ВС в точке L. Находим соответствующую точку L’ как пересечение OL и В’С’ и строим искомую точку К’ на отрезке A’L’, пересекая его прямой ОK.

Теорема:

Фигура, гомотетичная окружности (кругу), есть снова окруокность (круг). Центры кругов подобно соответствуют.

Доказательство:

Пусть С — центр окружности Ф радиуса R (рис. 270), О — центр подобия. Коэффициент подобия обозначим через k. Пусть С’ — точка, подобно соответствующая центру С окружности Ф. (Мы еще не знаем, будет ли она сохранять роль центра!) Рассмотрим всевозможные радиусы окружности Ф: СА, СВ, …; все они при преобразовании подобия перейдут в отрезки, параллельные себе и имеющие равные длины R’ = kR. Таким образом, все концы преобразованных радиусов разместятся вновь на одной окружности Ф’ с центром С’ и радиусом R’, что и требовалось доказать.

Обратно, любые две окружности находятся в гомотетичном соответствии (в общем случае даже двояком, с двумя разными центрами).

Действительно, проведем любой радиус первой окружности (радиус СМ на рис. 271) и оба параллельных ему радиуса второй окружности. Точки пересечения линии центров СС’ и прямых, соединяющих конец радиуса СМ с концами радиусов, параллельных ему, т. е. точки О’ и О» на рис. 271, могут быть приняты за центры гомотетии (первого и второго рода). В случае концентрических окружностей имеется единственный центр гомотетии — общий центр окружностей; равные окружности находятся в соответствии гомотетии с центром в середине отрезка СС’, k = —1.

Общее подобное соответствие фигур

Подобные фигуры. Рассмотрим две фигуры (ломаные линии) ABCD и A’B’C’D’ (рис. 272), полученные одна из другой преобразованием подобия (гомотетии) с центром преобразования О и коэффициентом подобия k. В п. 206 мы отметили основные свойства таких фигур: соответствующие отрезки у них находятся в постоянном отношении k, а соответственные углы равны.

Представим себе теперь, что мы поместили одну из наших фигур, например A’B’C’D’, в новое положение А»В»С»В». Можно по-прежнему рассматривать соответствие между точками (отрезками, углами) этой фигуры и фигуры ABCD, оставшейся в исходном положении. Так как при перемещении размеры фигуры не изменяются, то и теперь отрезки А»В» и АВ, »ѻ и ВС и т. д. пропорциональны:

а соответственные углы равны:

Однако другие свойства, такие, как принадлежность соответственных точек лучам, проходящим через центр подобия, имеют места; они нарушены перемещением A’B’C’D’ в новое положение. Если, однако, вернуть фигуру A»B»C»D» в ее исходное положение A’B’C’D’, то все эти свойства вновь будут верны; это подводит нас к следующему определению.

Определение:

Две фигуры называются подобно соответствующими, если между их точками (и, следовательно, отрезками, углами) установлено такое взаимно однозначное соответствие, которое при надлежащем перемещении одной из фигур превратится в соответствие гомотетии.

Оказывается, что свойства подобных фигур, выделенные нами как основные, определяют понятие подобия; они могут быть приняты за определение подобия, равносильное данному, как это принято в некоторых учебниках. Именно, справедлива

Теорема:

Если между точками двух фигур установлено соответствие, при котором отрезки, соединяющие соответственные точки, находятся в постоянном отношении и соответственные углы равны, то такие фигуры подобны.

Доказательство:

Достаточно переместить одну фигуру в положение, гомотетичное другой. Пусть, например, у четырехугольников ABCD и A’B’C’D’ (рис. 273) сходно обозначенные стороны пропорциональны:

и соответственные углы равны.

Переместим четырехугольник A’B’C’D’ в новое положение А»В»CD» так, чтобы вершина его А» совместилась с А, сторона А’В» была направлена вдоль стороны АВ и сторона A»D» — вдоль стороны AD, что возможно в силу равенства соответственных углов.

Мы утверждаем, что данные четырехугольники находятся теперь в соответствии гомотетии. В самом деле, для вершин В, В» и D, D» их гомотетичное соответствие очевидно. Рассмотрим пару вершин С и С» и покажем, что они лежат на одном луче АС и притом так, что AC» / АС = k. В самом деле, если провести луч АС, то он пересечет прямую D»C» в некоторой точке М (на самом деле в С»!), причем будем иметь D»M/DC = k; так как в силу пропорциональности сторон D»C»/DC = k, то точки М и С» совпадают, что и требовалось доказать.

Признаки подобия треугольников

1 . Если две пары сторон треугольников пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть стороны a, b треугольника ABC пропорциональны сторонам а’, b’ треугольника А’В’С’. Преобразуем треугольник ABC подобно с коэффициентом подобия k =а’/а = b’/b. Тогда у вновь полученного треугольника А»В»С и треугольника А’В’С’ будут две пары равных сторон и равные углы, заключенные между равными сторонами. Треугольники А’В’С’ и А»В»С» равны по признаку равенства треугольников, исходные же треугольники подобны.

2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Доказательство:

Один из треугольников преобразуем подобно так, чтобы одна из его сторон стала равна соответствующей стороне другого данного треугольника. Тогда уравниваются все три пары сторон, и второй треугольник будет равен преобразованному; исходные же треугольники подобны.

3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны (конечно, при этом окажутся равными и третьи углы треугольников).

Доказательство:

Преобразуем один из треугольников подобно так, чтобы одна его сторона стала равна соответствующей стороне второго треугольника. Далее рассуждаем аналогично предыдущему.

Замечание:

Для прямоугольных треугольников достаточно уже любого из следующих условий: 1) равенства одной пары острых углов, 2) пропорциональности катетов, 3) пропорциональности одной пары катетов и гипотенуз.

Рассмотрим некоторые приложения понятия подобия. Ранее указывалось (п. 187), что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим рис. 274, где изображены две медианы и треугольника ABC и средняя линия , соединяющая концы этих медиан. Треугольники АОС и подобны, так как имеют равные углы. Коэффициент подобия . Поэтому ; , т. е. медианы действительно делятся в отношении 2:1. Отсюда следует, что и третья медиана, которая должна делить две другие медианы в том же отношении, проходит через ту же точку О.

Задача:

В треугольнике ABC угол В больше угла С. Линия BD проведена от вершины В к стороне АС так, что образует со стороной АВ угол, равный . Найти отрезок BD, зная стороны треугольника а, b, с (рис. 275).

Решение:

Весь треугольник ABC подобен треугольнику ABD, отсеченному от него прямой BD, так как угол А у них общий, а углы АСВ и ABD равны по построению. Теперь пишем пропорцию х:с = а:b, откуда х = ас/b.

Задача:

В треугольник вписан ромб так, как показано на рис. 276. Даны стороны треугольника АВ = с и ВС = а, найти сторону ромба.

Решение:

Из подобия треугольников ABC и MLC находим х:с = (а—х):а, откуда неизвестная сторона х ромба определяется по формуле х = ас/(а + с).

Периметры и площади подобных треугольников

Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то стороны их находятся в отношении k, т.е. . Отсюда получается , т.е. периметры подобных треугольников относятся, как соответствующие стороны.

При подобном преобразовании фигуры все углы сохраняются, отрезки изменяются в одно и то же число раз. Поэтому высота треугольника при преобразовании гомотетии с коэффициентом k перейдет в высоту треугольника . Для площади этого треугольника будем иметь

т. е. при преобразовании подобия площадь умножается на квадрат коэффициента подобия. Иначе говоря:

Площади подобных треугольников (и вообще любых фигур) относятся, как квадраты их линейных размеров.

Этот факт можно было бы предвидеть с более общей точки зрения. Именно, единица измерения площадей — квадрат со стороной единица — переходит в квадрат со стороной k и площадью ; в конечном счете площадь любой фигуры (это верно даже и для фигур с криволинейным контуром) измеряется с помощью разложения ее на квадраты (первого и последующих разбиений), и так как все эти квадраты меняют величину площади в раз, то это же верно и для фигуры произвольного вида.

Применение подобия к решению задач нa построение

Задача:

Построить треугольник, зная два его угла и периметр.

Решение:

Знание углов треугольника уже определяет его с точностью до преобразования подобия. Поэтому для решения задачи строим любой треугольник с данными углами (рис. 277). Остается подобно преобразовать труегольник так, чтобы периметр его стал равен данной величине. Для этого отложим стороны его и на продолжениях стороны , отрезок будет равен периметру треугольника . Возьмем любой отрезок KL, параллельный отрезку , но равный заданному периметру. Соединим концы обоих параллельных отрезков и примем точку О пересечения линий и за центр подобия. Построение вершин А и С искомого треугольника видно из рис. 277, стороны его АВ и СВ параллельны соответствующим сторонам треугольника .

В случае треугольник — уже искомый.

Задача:

Дан угол, образованный лучами OA и ОВ, и точка N внутри этого угла. Построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку N (рис. 278).

Решение:

Окружность, касающаяся сторон угла, должна иметь центр на биссектрисе этого угла. Возьмем на этой биссектрисе произвольную точку и построим окружность с центром в , касающуюся сторон угла (ее радиус просто равен расстоянию точки от сторон угла). Если теперь преобразовать эту окружность подобно с центром подобия в вершине угла О, то вновь получится окружность с центром на биссектрисе; такая окружность снова будет касаться сторон угла, так как ее радиус, ведущий в точку касания, перейдет в силу сохранения углов в радиус, перпендикулярный к стороне угла. Остается обеспечить выполнение второго условия: преобразованная окружность должна пройти через точку N. Отсюда вытекает решение задачи. Проведем луч ON до пересечения с окружностью в точках и и построим ее радиусы , и , ведущие в эти точки. Через данную точку N проведем прямые NC и NC’, параллельные этим радиусам; точки их пересечения С, С’ с биссектрисой и дают возможные положения центра искомой окружности. Задача имеет два решения. Как изменится решение, если точка N лежит на биссектрисе угла?

Метрические соотношения в треугольнике и круге

Углы и пропорциональные отрезки в круге. Углы с вершиной на окружности

Рассмотрим угол, вписанный в окружность, т. е. угол, образованный двумя ее хордами, исходящими из одной точки окружности (рис. 279).

О таком угле АМВ с вершиной М на окружности говорят, что он опирается на дугу (не содержащую вершины угла!). Справедлива следующая

Теорема:

Угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство удобно провести отдельно для следующих трех случаев:

1) Одна из хорд — сторона угла — проходит через центр окружности (рис. 279, а). Проведя радиус ОВ, увидим, что центральный угол АОВ, опирающийся на ту же дугу , что и заданный, является внешним углом равнобедренного треугольника ВОМ и потому равен удвоенному углу АМВ: ; отсюда видно, что измеряется половиной дуги .

2) Пусть теперь центр окружности лежит внутри заданного угла, как на рис. 279, б. Диаметр, проведенный через вершинуданного угла, разобьет его на две части. Для каждой из них в отдельности находим (см. случай 1)): измеряется половиной дуги , угол NMB — половиной дуги . Данный угол, равный их сумме, будет измеряться половиной всей дуги .

3) Пусть, наконец, центр окружности лежит вне угла АМВ (рис. 279, в). В этом случае также проводим диаметр через вершину угла; отличие от случая 2) состоит лишь в том, что данный угол придется рассматривать не как сумму, а как разность двух углов.

Особо важный случай доказанной теоремы:

Угол с вершиной на окружности, опирающийся на диаметр, — прямой.

Действительно, он опирается на полуокружность и измеряется ее половиной, т. е. равен 90°.

Рассмотрим еще угол между касательной к окружности в некоторой ее точке и секущей, проведенной через ту же точку (рис. 280). Здесь справедливо подобное же утверждение:

Угол между касательной и секущей, проходящей через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, лежащей внутри измеряемого угла.

Углы с вершиной внутри и вне круга

Пусть теперь угол образован двумя хордами, пересекающимися внутри круга (угол АМВ на рис. 281).

Тогда справедливо утверждение:

Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг и , лежащих соответственно внутри данного угла и угла, с ним вертикального.

Доказательство:

Соединим точки А и B’ хордой AB’; угол AB’B будет измеряться половиной дуги , угол A’AB’ — половиной дуги , а данный угол, равный, как внешний угол треугольника АМВ’, сумме внутренних, с ним не смежных углов АВ’В и А’АВ’, будет измеряться полусуммой дуг и , что и требовалось доказать.

Докажем, наконец, что

Угол, образованный двумя секущими, проведенными из внешней точки (угол A’MB’ на рис. 282), измеряется полуразностью дуг и , лежащих внутри его.

Для этого проведем хорду АВ’ и рассмотрим данный угол как разность углов А’АВ’ и АВ’В (снова применяем свойство внешнего угла треугольника). Остальное очевидно.

Можно допустить также, что одна или обе секущие превращаются в касательные (рис. 283). Теорема остается в силе и в этом случае.

Угол, под которым виден данный отрезок

Пусть АВ — некоторый отрезок, лежащий на прямой m, точка М — произвольная точка, не принадлежащая прямой m (рис. 284). Угол а при вершине М треугольника АМВ называется углом, под которым отрезок АВ виден из точки M. Найдем геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под одним и тем же постоянным углом а. Для этого опишем вокруг треугольника АМВ окружность и рассмотрим ее дугу , содержащую точку М. По предыдущему из любой точки построенной дуги отрезок АВ будет виден под одним и тем же углом, измеряемым половиной дуги (на рис. 284 она показана пунктирной линией). Кроме того, под тем же углом будет виден отрезок и из точек дуги , расположенной симметрично с относительно прямой АВ. Ни из какой другой точки плоскости, не лежащей на одной из найденных дуг, отрезок не может быть виден под тем же углом а.

В самом деле, из точки Р, лежащей внутри фигуры, ограниченной дугами и , отрезок будет виден иод углом АРВ большим, чем а, поскольку угол АРВ будет измеряться полусуммой дуги и еще некоторой дуги , т. е. будет заведомо больше угла а. Также видно, что для угла с вершиной Q вне этой фигуры будем иметь . Поэтому точки дуг и и только они обладают требуемым свойством:

Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под постоянным углом, состоит из двух дуг окружностей, симметрично расположенных относительно данного отрезка.

Задача:

Дан отрезок АВ и угол . Построить сегмент, вмещающий данный угол и опирающийся на отрезок АВ. Здесь под сегментом, вмещающим данный угол, понимают сегмент, ограниченный данным отрезком и любой из двух дуг окружностей, из точек которых отрезок виден под углом .

Решение:

Проведем перпендикуляр к отрезку АВ в его середине (рис. 285). На этом перпендикуляре будет помещаться центр окружности, сегмент которой требуется построить. Из конца В отрезка АВ проведем луч, образующий с ним угол ; он пересечет перпендикуляр в центре искомой дуги О.

Задача:

Построить треугольник по углу А, стороне ВС = а и медиане .

Решение:

На произвольной прямой откладываем отрезок ВС, равный стороне а треугольника (рис. 286). Вершина треугольника должна помещаться на дуге сегмента, из точек которой данный отрезок виден под углом (процесс построения на рис. 286 не показан). Затем из середины М стороны ВС, как из центра, проведем окружность радиусом, равным . Точки ее пересечения с дугой сегмента и дадут возможные положения вершины А искомого треугольника. Исследовать число решений!

Задача:

Из внешней точки проведены касательные к окружности. Точки касания делят окружность на части, отношение которых равно 1:7. Найти угол между касательными.

Решение:

Деля полную дугу окружности на части, пропорциональные указанным, находим обе дуги между точками касания: , . Искомый угол измеряется их полуразностью:

Задача:

На одной из сторон равностороннего треугольника, как на диаметре, построена окружность. Сколько градусов содержит ее дуга, лежащая внутри треугольника?

Решение:

Угол в 60° при вершине треугольника, лежащий вне круга, измеряется полуразностью полуокружности и искомой дуги: . Отсюда находим .

Четырехугольники, вписанные в окружность

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, иначе говоря, всякий треугольник может считаться вписанным в некоторую окружность. Иначе обстоит дело с четырехугольником: описать окружность вокруг четырехугольника можно, лишь если он удовлетворяет некоторому дополнительному условию, которое мы сейчас и найдем.

Пусть ABCD — некоторый четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 287). Тогда его противоположные углы, например и , опираются на дуги, составляющие в сумме всю окружность. Значит, сумма этих углов измеряется половиной окружности, и потому эти два угла составляют в сумме два прямых. Столько же приходится и на долю второй пары противоположных углов и . Итак,

У любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны двум прямым.

Докажем, что и обратно, вокруг четырехугольника, обладающего этим свойством, можно описать окружность. Пусть дан четырехугольник ABCD (рис. 287), у которого (а значит, и ). Проведем окружность через какие-либо три вершины четырехугольника, например А, В, D. Тогда и четвертая вершина должна поместиться на той же окружности. Так, если бы четвертая вершина (точка С’ на рис. 287) оказалась внутри окружности, проведенной через три остальные вершины, то угол в ней имел бы меру, бOльшую половины дуги , и сумма его с углом, измеряемым дугой , превзошла бы два прямых, что противоречит условию. Так же опровергается и предположение, будто точка С может лежать вне окружности, проведенной через вершины А, В, D. Остается лишь возможность, что точка С лежит на самой окружности, что мы и хотели установить.

Применим этот признак к решению вопроса: при каких условиях вокруг данного параллелограмма или данной трапеции можно описать окружность? Если дан параллелограмм, то противолежащие углы его равны и потому могут составлять в сумме два прямых лишь тогда, когда каждый из них прямой. Итак,

Из всех параллелограммов прямоугольники и только они обладают тем свойством, что вокруг них можно описать окружность.

Можно доказать, что центр описанной окружности прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей. Если окружность описана около трапеции, то снова сумма противоположных углов должна равняться двум прямым. Но у трапеции равна двум прямым сумма углов, образуемых боковой стороной с двумя ее основаниями. Отсюда видно, что должны быть равны углы, прилежащие к одному основанию. Такая трапеция будет равнобочной трапецией:

Из всех трапеций вписанной в окружность может быть только равнобочная трапеция.

Пропорциональные отрезки в круге

Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288).

Из той же точки проведем касательную AT. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения — просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива

Теорема:

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Доказательство:

Соединим точку Т с В и С. Треугольники ACT и ВТА подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и ВТА равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги . Следовательно, АС:АТ = АТ:АВ. Отсюда получаем требуемый результат:

Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.

Следствие:

Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:

Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).

Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем . Иначе говоря,

Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.

Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим

или

что и требовалось доказать.

Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно . Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.

Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:

Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезкос, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.

Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.

Задачи на построение с решением

Задача:

Провести касательную к окружности из данной точки, лежащей вне ее.

Решение:

Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, прямой. Этот прямой угол опирается на отрезок, соединяющий данную точку и центр О окружности (рис. 290). Отсюда виден способ построения: на отрезке ОМ, как на диаметре, строим окружность; точки и ее пересечения с данной окружностью и будут точками касания искомых касательных с окружностью. Соединяя точки и с данной точкой М, получим обе касательные, проведенные из М.

Это решение простейшее, но можно решить задачу и по-другому. Например, провести любую секущую через М и найти среднее геометрическое между секущей и ее внешней частью. Это будет длина касательной. Радиусом, равным ей, сделаем на данной окружности засечки, проведя дугу из М, как из центра, и снова найдем точки и .

Задача:

Построить общие касательные двух окружностей.

Решение:

Рассмотрим две окружности на рис. 291. В данном случае они расположены одна вне другой и не имеют точек
пересечения. Это — случай, когда к ним можно провести наибольшее число общих касательных — две «внешних» и две «внутренних». Точки пересечения этих двух пар касательных лежат на линии центров и могут быть найдены, как центры гомотетии данных двух окружностей. Проводим, например, любой из радиусов OA одной окружности (рис. 291) и параллельные ему радиусы и второй. Соединим концевые точки радиусов и с концом радиуса OA. Линии и (последняя не параллельна , если ) пересекут линию центроз в искомых центрах гомотетии и . Касательные, проведенные из и к любой из двух окружностей, будут касаться другой.

Напомним и другой способ решения этой задачи. Построим две окружности с центром в центре большей из двух данных окружностей и радиусами, равными сумме и разности радиусов данных окружностей. Проведем к ним касательные из центра малой окружности (рис. 292). Искомые касательные будут соответственно параллельны: внешние — касательным к малой, внутренние — касательным к большой, вспомогательной окружности.

Метрические соотношения в треугольнике

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник ABC (рис. 293) и проведем высоту из вершины С его прямого угла. Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСН и ВСН; каждый из этих треугольников имеет с треугольником ABC общий острый угол и потому подобен треугольнику ABC. Все три треугольника ABC, АСН, ВСН подобны между собой.

Из подобия треугольников ABC и АСН имеем , или , откуда , т. е. высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков и , на которые она разбивает гипотенузу:

утверждения доказана. С помощью формулы (217.3) легко доказывается следующая

Теорема:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырех его сторон.

Доказательство:

Обозначим стороны параллелограмма через а и b, диагонали — через и , один из углов параллелограмма — через (рис. 299). Диагонали можно рассматривать как стороны BD и АС треугольников ABD и ABC, лежащие против углов и ; по теореме косинусов находим

откуда

Теорема синусов. Формула Герона

Рассмотрим треугольник ABC с высотой , опущенной из вершины С (рис. 300). Площадь треугольника равна (п. 201) половине произведения высоты на основание: . Высоту можно выразить из прямоугольного треугольника АНС как в случае острого угла (рис. 300, а) или как в случае тупого

угла (рис. 300,6). В силу равенства (п. 106) в обоих случаях имеем . Формула для площади треугольника примет вид

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат