Оглавление:
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей»
площади которых обозначим через
а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через
(см. рис. 214).
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95491.png)
В каждой области выберем произвольную точку
умножим значение
функции в этой точке на
и составим сумму всех таких произведений:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95497.png)
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95500.png)
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95502.png)
В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D — область интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.
Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.
Теорема:
Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.
Замечания:
- Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
- Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом
равенство (53.2) можно записать в виде
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95542.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95553.png)
Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей
, площади которых равны A
Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием
через
, получим
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95939.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95947.png)
Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием
и высотой
Объем этого цилиндра приближенно равен объему
цилиндрического столбика, т. е.
Тогда получаем:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95944.png)
Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» ,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок
неограниченно увеличивается
а каждая площадка стягивается в точку
за объем V цилиндрического тела, т. е.
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95948.png)
или, согласно равенству (53.2),
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95951.png)
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей
площади которых обозначим через
. В каждой области
возьмем произвольную точку
и вычислим плотность в ней:
Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке мало отличается от значения
Считая приближенно плотность в каждой точке области
постоянной, равной
, можно найти ее массу
Так как масса m всей пластинки D равна
Для ее вычисления имеем приближенное равенство
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95960.png)
Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95962.png)
или, согласно равенству (53.2),
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95963.png)
Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию
считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.
Основные свойства двойного интеграла
Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95979.png)
3.Если область D разбить линией на две области такие, что
а пересечение
состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95982.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95983.png)
4.Если в области D имеет место неравенство то и
Если в области D функции f(x;y) и
удовлетворяют неравенству
то и
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95990.png)
6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.
7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка, что
Величину
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95995.png)
называют средним значением функции f(x; у) в области D.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл где функция
непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95998.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-95996.png)
где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми, причем функции
непрерывны и таковы, что
для всех
(см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96009.png)
В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96010.png)
(см. рис. 219).
Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96012.png)
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96013.png)
С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области D. Следовательно,
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96014.png)
Это равенство обычно записывается в виде
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96015.png)
Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом называется внутренним интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.
Если же область D ограничена прямыми кривыми
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96020.png)
для всех т. е. область D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96023.png)
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.
Замечания:
- Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда
- Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
- Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
- Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Пример:
Вычислить где область D ограничена линиями у
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96031.png)
Решение:
На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96032.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96034.png)
Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: . Получаем:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96037.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96038.png)
Ответ, разумеется, один и тот же.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.
Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96040.png)
Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96043.png)
а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96044.png)
Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.
Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами
В качестве инь возьмем полярные координаты Они связаны с декартовыми координатами формулами
(см. п. 9.1).
Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96047.png)
Формула замены переменных (53.11) принимает вид:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96049.png)
где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если
область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами и кривыми
где
т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96061.png)
Внутренний интеграл берется при постоянном
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96064.png)
Замечания:
- Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид
область D есть круг, кольцо или часть таковых.
- На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены
уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по
(исследуя закон изменения
точки
при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).
Пример:
Вычислить где область D — круг
Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96080.png)
Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Заметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96086.png)
Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
Объем тела
Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96087.png)
где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96089.png)
или, в полярных координатах,
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96090.png)
Масса плоской фигуры
Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью находится по формуле
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96091.png)
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96093.png)
а координаты центра масс фигуры по формулам
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96095.png)
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96098.png)
Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле
Замечание:
Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).
Пример:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96104.png)
Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96106.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96107.png)
находим уравнение линии их пересечения:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96108.png)
Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями
Используя формулу (53.4), имеем
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96113.png)
Переходя к полярным координатам, находим:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96312.png)
Пример:
Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом
и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96319.png)
Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, — коэффициент пропорциональности.
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96321.png)
Находим статические моменты пластинки:
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96322.png)
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-96323.png)
Двойной интеграл
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_1-107.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_2-102.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_3-95.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_4-76.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_5-61.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_6-49.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_7-37.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_8-30.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_9-30.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_10-26.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_11-24.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_12-22.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_13-20.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_14-19.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_15-15.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_16-14.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_17-13.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_18-11.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_19-9.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_20-10.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_21-8.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_22-7.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_23-4.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_24-4.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_25-4.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_26-2.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_27-2.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_28-2.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_30-2.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_31-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_32-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_33-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_34-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_35-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_36-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_37-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_38.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_39.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_40-1.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_41.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_42.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_43.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_44.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_45.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_46.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_47.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_48.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_49.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_50.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_51.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_52.png)
![Двойной интеграл](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/12/Screenshot_53.png)
Смотрите также:
Полный дифференциал | Тройной интеграл |
Понятие о системах дифференциальных уравнений | Криволинейные интегралы |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат