Гармонический анализ в математике с примерами решения и образцами выполнения

Графики функций вида Гармонический анализ.

В дальнейшем изложении нам придется использовать функции вида Гармонический анализ, а также их графики. Покажем на примерах, как строятся графики таких функций.

Пример:

Построить график функции у = sin Зx

Решение:

Данная функция — периодическая; областью ее существования служат все действительные числа. Построим график этой функции для значений аргумента от х = 0 до х = 2Гармонический анализ, составив предварительно следующую таблицу значений x и у.

Гармонический анализ

Рассматривая каждую пару значений х и у как координаты точек графика данной функции, построим эти точки и, проведя через них плавную линию, получим график функции у = sin Зx , представленный на рисеже 132 в виде сплошной линии — синусоиды с наименьшим периодом Гармонический анализ.

Как видно из рисежа, этот график можно получить из графика функции у = sin x , изображенного на том же рисеже пунктирной линией, уменьшив масштаб по оси Ох в три раза.

Пример:

Построить график функции у = 3 sin 2x .

Решение:

Составим таблицу значений х и у.

Гармонический анализ

График, построенный по точкам с вычисленными координатами, представляет синусоиду с наименьшим периодом

Гармонический анализ

Гармонический анализ (на рисеже 133 эта синусоида изображена сплошной линией).

График функции у = 3 sin 2x можно получить и из графика функции у = sin х, представленного на том же рисеже пунктирной линией, уменьшив масштаб по оси Ох вдвое и увеличив его по оси Оу втрое.

Гармонические колебания

1. Простые гармонические колебания. В естествознании и технике часто наблюдаются периодические процессы, т. е. такие явления, которые повторяются через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.

Простейшее периодическое явление — гармоническое колебание, совершаемое по закону

Гармонический анализ

В равенстве (1) постоянный множитель А, представляющий наибольшую величину, которую может иметь у, называется амплитудой колебания, Гармонический анализ — фазой колебания, аГармонический анализчастотой колебания.

Функция (1) — периодическая с наименьшим-периодом Гармонический анализот прибавления которого к аргументу t функция не меняет своего значения. В самом деле,

Гармонический анализ

Величина Гармонический анализопределяет время, в течение которого происходит одно колебательное движение, поэтому ее называют периодом колебания. Обозначив ее буквой T, можно написать:

Гармонический анализ

откуда

Гармонический анализ

Так как Т—время одного колебания, то Гармонический анализ — число колебаний за время 2Гармонический анализ. Таким образом, величина Гармонический анализ определяет частоту колебаний. Преобразуем равенство (1), применяя формулу для синуса суммы двух углов:

Гармонический анализ

Решение:

Составим таблицу значений х и у.

Гармонический анализ

График, построенный по точкам с вычисленными координатами, представляет синусоиду с наименьшим периодом

Гармонический анализ

Гармонический анализ (на рисеже 133 эта синусоида изображена сплошной линией).

График функции у = 3 sin 2x можно получить и из графика функции у = sin х, представленного на том же рисеже пунктирной линией, уменьшив масштаб по оси Ох вдвое и увеличив его по оси Оу втрое.

Гармонические колебания. I. Простые гармонические колебания. В естествознании и технике часто наблюдаются периодические процессы, т. е. такие явления, которые повторяются через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.

Простейшее периодическое явление — гармоническое колебание, совершаемое по закону

Гармонический анализ

В равенстве (1) постоянный множитель А, представляющий наибольшую величину, которую может иметь у, называется амплитудой колебания, Гармонический анализ — фазой колебания, а Гармонический анализчастотой колебания.

Функция (1) — периодическая с наименьшим-периодом Гармонический анализ,от прибавления которого к аргументу t функция не меняет своего значения. В самом деле,

Гармонический анализ

Величина Гармонический анализопределяет время, в течение которого происходит одно колебательное движение, поэтому ее называют периодом колебания. Обозначив ее буквой Т можно написать:

Гармонический анализ

откуда

Гармонический анализ

Так как Т—время одного колебания, Гармонический анализ — число колебаний за время 2Гармонический анализ. Таким образом, величина Гармонический анализ определяет частоту колебаний. Преобразуем равенство (1), применяя формулу для синуса суммы двух углов:

Гармонический анализ

Обозначив

Гармонический анализ

получим:

Гармонический анализ

Колебательное движение, происходящее по закону функции (1) или, что то же, по закону функции (2), называется простым гармоническим колебанием, а график его — простой гармоникой.

ІІ. Сложные гармонические колебания. Не всякий периодический процесс можно рассматривать как простое гармоническое колебание. Очень часты случаи,

Гармонический анализ

когда периодическое явление есть результат сложения нескольких простых гармонических колебаний. Полученное результирующее движение называется сложным гармоническим колебанием, а график его — сложной гармоникой.

Итак, сложная гармоника есть результат сложения нескольких простых гармоник или иначе — результат наложения простых гармоник друг на друга.

Рассмотрим пример. Пусть даны две простые гармоники, определяемые уравнениями:

Гармонический анализ

и

Гармонический анализ

На рисеже 134 эти гармоники изображены пунктирными линиями, сложная же гармоника, являющаяся графиком функции

Гармонический анализ

представлена сплошной линией. Любая точка сложной гармоники имеет ординату, равную сумме ординат точек, лежащих на простых гармониках и имеющих одну и ту же абсциссу. Так, например,

Гармонический анализ

Как видно из рисежа, результирующая гармоника будет повторяться через каждый промежуток Гармонический анализбудет периодической, но по своей форме она уже теряет характер синусоиды.

Можно доказать, что вообще при сложении простых гармоник с разными частотами получается сложная гармоника не синусоидального вида, а при сложении гармоник с одинаковыми частотами — гармоника того же вида, что и простые.

Тригонометрические ряды

Как было указано, наблюдаются периодические процессы, которые нельзя рассматривать как простые колебательные явления. Положим, что какое-либо периодическое движение задано при помощи некоторой периодической функции, отличной от (1). Чтобы иметь представление о характере этого движения, данную функцию разлагают в ряд простых гармоник, имеющий следующий вид:

Гармонический анализ

Ряд (1) называется тригонометрическим рядом, а числа

Гармонический анализ

коэффициентами ряда.

Положим для простоты

Гармонический анализ

и будем считать, что ряд (1) сходится при всех действительных значениях х к данной функции [т. е. сумма ряда равна функции f(х)], тогда можно написать:

Гармонический анализ

или короче

Гармонический анализ

Как видно, функция f(x) — периодическая с периодом Гармонический анализтак как прибавляя к х (или вычитая из x) Гармонический анализ целое число раз, мы не изменим величины каждого члена ряда (2), а, следовательно, не изменим и величины суммы (2).

Отсюда следует, что тригонометрический ряд достаточно рассматривать только для значений x от 0 доГармонический анализ(или от —Гармонический анализ до + Гармонический анализ), так как за пределами указанного промежутка значений аргумента величина каждого члена ряда будет периодически повторяться.

Чем больше простых гармоник ряда (2) мы сложим, тем точнее результирующая гармоника будет представлять периодическое движение, заданное функцией f(x). Поэтому вопрос о разложении функции в тригонометрический ряд приобретает очень важное значение в прикладных науках.

Процесс разложения функции, представляющей сложное периодическое движение, в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом.

Коэффициенты Фурье

Ряд Фурье. Чтобы разложить периодическую функцию f(x) с периодом Гармонический анализ в тригонометрический ряд, нужно найти коэффициенты этого ряда. Мы приводим здесь без вывода формулы, по которым производится вычисление этих коэффициентов:

Гармонический анализ

где n = 1, 2, 3, 4, ……….

Числа, полученные по формулам (1), называются коэффициентами Фурье *), а тригонометрический ряд с этими коэффициентами — рядом Фурье.

*) Формулы (1) были даны еще Эйлером (1707—1783), но широко использовал их французский математик Ж. Фурье (1768—1830).

Определение:

Ряд

Гармонический анализ

где

Гармонический анализ

называется рядом Фурье функции f(x).

Если ряд Фурье сходится к функции f(x), то можно записать:

Гармонический анализ

Следует заметить, что величина интегралов в формулах (1) не изменится, если пределами их взять 0 и Гармонический анализ. В этом случае формулы для определения коэффициентов Фурье можно написать в следующем виде:

Гармонический анализ

где п = 1, 2, 3, 4 …

Формулы (3) представляют иногда большие удобства, чем формулы (1).

Возможность разложения непериодической функции в ряд Фурье

Периодическая функция, как мы уже знаем, определяет колебательное движение. Однако бывают колебательные явления, которые совершаются по закону непериодической функции. Поэтому для изучения колебательного движения, подчиняющегося непериодической функции, выгодно разложить эту функцию в ряд Фурье, что оказывается возможным при некоторых условиях.

Пусть, например, задана функция

Гармонический анализ

график которой изображен на рисеже 135 отрезком прямой АВ. Покажем, что для разложения данной функции в ряд Фурье

Гармонический анализ

можно и к ней применить правила. Для этого введем вспомогательную периодическую функцию Гармонический анализ с периодом Гармонический анализ при условии:

Гармонический анализв промежутке значений х от —Гармонический анализдо +Гармонический анализ, (2)

за пределами же указанного промежутка Гармонический анализ

К функции Гармонический анализ, как к периодической, можно применить формулы. Но мы знаем, что тригонометрический ряд достаточно рассматривать для промежутка значений аргумента от —Гармонический анализ до + Гармонический анализ), поэтому формулы имеем право применить не только к функции Гармонический анализ, но, согласно условию (2), и к заданной.

Величина суммы ряда Фурье, полученного для функции (1), вследствие периодичности его членов будет повторяться через каждый промежуток, равный 2Гармонический анализ, и принимать значения данной функции (1). Поясним это геометрически. С этой целью перенесем отрезок АВ (рис. 135), сохраняя его направление, вдоль оси Ох на расстояния, равные 2Гармонический анализ, 4Гармонический анализ и т. д., вправо и влево от начала координат или, как говорят, продолжим периодически график функции (1). Возьмем значение х внутри промежутка от —Гармонический анализ до +Гармонический анализ, например,

Гармонический анализ

тогда ордината

Гармонический анализ

даст величину суммы ряда Фурье функции (1) при х = 2. Ясно, что при

Гармонический анализ

или

Гармонический анализ

величина ординат D2С2 и D1С1, а следовательно, и сумма ряда при тех же значениях х не изменится и будет равна по-прежнему единице.

Обратим внимание, что для значений х вне промежутка от —Гармонический анализ до + Гармонический анализ сумма ряда Фурье функции (1) и значения этой функции не равны между собой. Действительно, сумма этого ряда при х = 2 + 2Гармонический анализ, как мы узнали, равна 1, а значение функции

Гармонический анализ

Все сказанное выше подтверждает мысль, что ряд Фурье функции имеет смысл рассматривать только в промежутке

Гармонический анализ

Условия Дирихле

Теорема Дирихле:

Как было уже сказано, функция f(х) с областью существования Гармонический анализ может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к данной функции f(х) при определенных условиях. Эти условия, называемые условиями Дирихле, заключаются в следующем:

1) функция должна быть непрерывной в промежутке значений х от —Гармонический анализ до + Гармонический анализ или может иметь в указанном промежутке разрывы первого рода, но только в конечном числе;

2) функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов ила не иметь их совсем.

Одной из основных теорем, применяемых при исследовании рядов Фурье, является теорема Дирихле.

Теорема Дирихле:

Если функция f(х) с областью существования —Гармонический анализ удовлетворяет условиям Дирихле, то

1) ряд Фурье функции f(x) сходится в указанном промежутке значений х;

2) сумма этого ряда сходится к функции f(x) во всех точках ее непрерывности;

3) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна половине скачка функции;

4) при х = Гармонический анализи х = — Гармонический анализ сумма ряда одинакова и равна

Гармонический анализ

Примем указанную теорему без доказательства.

Заметим, что в дальнейшем изложении мы будем пользоваться только функциями, удовлетворяющими условиям Дирихле, а потому в каждом разбираемом примере не будем останавливаться на этих условиях.

Прежде чем перейти к разложению функций в ряды Фурье мы должны познакомиться с методом интегрирования по частям, без которого нельзя определять коэффициенты Фурье.

Интегрирование по частям

Пусть и и Гармонический анализ— дифференцируемые функции х, тогда по правилу IV имеем:

Гармонический анализ

и

Гармонический анализ

откуда

Гармонический анализ

Взяв интеграл от обеих частей равенства (1), получим:

Гармонический анализ

или

Гармонический анализ

Равенство (2) служит формулой интегрирования по частям.

Пример:

Найти Гармонический анализ

Решение:

Положим

Гармонический анализ

(произвольное постоянное интегрирования напишем в окончательном результате).

Подставив (3) во (2), получим:

Гармонический анализ

Пример:

НайтиГармонический анализ

Решение:

Положим

Гармонический анализ

тогда

Гармонический анализ

Применяя метод подстановки

Гармонический анализ

получим:

Гармонический анализ

Согласно формуле (2) имеем:

Гармонический анализ

Аналогично можно найти:

Гармонический анализ

Пример:

Найти Гармонический анализ

Решение:

Положим

Гармонический анализ

Подставив (6) во (2), получим:

Гармонический анализ

Приняв во внимание равенство (5), будем иметь:

Гармонический анализ

Таким же образом найдем:

Гармонический анализ

*) Применяется подстановка

Гармонический анализ

Примеры разложения функций в ряд Фурье

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию:

Гармонический анализ

Решение:

По формулам (1) найдем коэффициенты Фурье

Гармонический анализ

Но

Гармонический анализ

кроме того,

Гармонический анализ

Поэтому

Гармонический анализ

Приняв во внимание равенство (4) получим:

Гармонический анализ

Отсюда

Гармонический анализ

и т.д.

Как видно, при четном значении n коэффициенты Гармонический анализ равны нулю.

Гармонический анализ

Согласно равенству (5) получим:

Гармонический анализ

Отсюда

Гармонический анализ

Искомый ряд напишется так:

Гармонический анализ

Согласно теореме Дирихле этот ряд сходится к данной функции во всех точках промежутка значений x от — Гармонический анализ до + Гармонический анализкроме x = — Гармонический анализ и х = Гармонический анализ. В самом деле, при х = — Гармонический анализи x = Гармонический анализ сумма ряда равна

Гармонический анализ

между тем как значения функции при х = — Гармонический анализ и x = Гармонический анализсоответственно равны —Гармонический анализ и 0, т. е. не совпадают с суммой ряда.

Таким образом, можно написать:

Гармонический анализ

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию

Гармонический анализ

Решение:

Здесь для определения коэффициентов Фурье используем формулы (3) .

Гармонический анализ

*) Гармонический анализ находится подстановкой: nx — z и Гармонический анализ

Приняв во внимание равенство (4) , будем иметь:

Гармонический анализ

Таким образом, все коэффициенты

Гармонический анализ

равны нулю.

Гармонический анализ

Применяя к Гармонический анализ формулу (5) , получим:

Гармонический анализ

Итак,

Гармонический анализ

откуда

Гармонический анализ

Искомое разложение будет:

Гармонический анализ

Полученный ряд сходится к функции Гармонический анализ при всех

значениях х в промежутке от 0 до 2Гармонический анализ, кроме х = 0 и х = 2Гармонический анализ как это и следует из теоремы Дирихле. Таким образом,

Гармонический анализ

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Функция f(x) называется четной, если при подстановке вместо х величины —х знак функции не меняется, т. е. f(—x) = f(x). Например, Гармонический анализ, cos x — четные функции, так как Гармонический анализ, cos(—x) = cos x.

Функция f(x) называется нечетной, если при подстановке вместо х величины —х знак функции меняется на противоположный, т. е. f(—х) = — f(х). Например, Гармонический анализ, sin х— нечетные функции, так как Гармонический анализ, sin (—x) = — sin x.

Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть четная функция, а произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.

В самом деле,

Гармонический анализ

—произведение двух четных функций,

Гармонический анализ
Гармонический анализ

— произведение четной функции на нечетную.

График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Примеры таких графиков даны на рисеже 136 для четной функции, на рисеже 137 — для нечетной. Если f(x)—четная функция, то

Гармонический анализ

если f(x)—нечетная функция, то

Гармонический анализ

Эти равенства можно подтвердить геометрическими соображениями. Пусть Гармонический анализвыражает площадь фигуры, заключенной между графиком функции f(x), двумя прямыми х = — а и х = а и осью Ох, тогда в случае четной функции f(x) эта площадь равна удвоенной площади фигуры,

Гармонический анализ

образованной тем же графиком, осью Ох и прямыми x = 0 и х = а (рис. 136); в случае нечетной функции площадь равна нулю, так как она состоит из двух равных площадей с противоположными знаками (рис. 137).

Приняв во внимание сказанное, можно упростить формулы (1) , написав их в следующем виде: для случая четной функции

Гармонический анализ

для случая нечетной функции

Гармонический анализ

Как видно, ряд Фурье (2) для четной функции будет состоять только из косинусов, т. е.

Гармонический анализ

а для нечетной функции — только из синусов, т. е.

Гармонический анализ

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию

Гармонический анализ

Решение:

Функция у = | х | — четная (см. рис. 73), а потому согласно формулам (1) имеем:

Гармонический анализ

Приняв во внимание равенство (4), найдем:

Гармонический анализ

Отсюда

Гармонический анализ

Искомое разложение будет:

Гармонический анализ

Применяя теорему Дирихле, можно показать, что полученный ряд сходится к данной функции при всех значениях х от —Гармонический анализ до + Гармонический анализ

Следовательно, можно написать:

Гармонический анализ

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию

Гармонический анализ

Решение:

Данная функция четная; применяя формулы (1), получим:

Гармонический анализ

Положив п = 1 в формуле для Гармонический анализ, будем иметь:

Гармонический анализ

Для n = 2, 3, 4 … получим:

Гармонический анализ

Представим произведение 2 sin x cos nx в следующем виде:

Гармонический анализ

*) Это равенство легко проверить, применив к правой части его формулу для разности синусов двух углов.

тогда

Гармонический анализ

**) Гармонический анализ находится подстановкой: (n + 1) х = z и Гармонический анализ . Аналогичную подстановку применяем и кГармонический анализ

Отсюда

Гармонический анализ

Искомое разложение напишется так:

Гармонический анализ

Согласно теореме Дирихле полученный ряд сходится к данной функции при Гармонический анализпоэтому

Гармонический анализ

при всех значениях х указанного промежутка.

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x) = x при Гармонический анализ

Решение:

Применим формулы (2), так как функция f(x) = x нечетная.

Гармонический анализ

Согласно равенству (5) найдем:

Гармонический анализ

Отсюда

Гармонический анализ

Искомое разложение таково:

Гармонический анализ

Этот-ряд представляет функцию f(х) = х при всех значениях х промежутка от —Гармонический анализ до + Гармонический анализ кроме Гармонический анализ. Действительно, по теореме Дирихле при Гармонический анализ сумма ряда равна

Гармонический анализ

значения же функции при х = — Гармонический анализ и x = Гармонический анализ соответственно равны —Гармонический анализ и Гармонический анализ, т. е. не совпадают с суммой ряда. Таким образом,

Гармонический анализ

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию

Гармонический анализ

Решение:

Данная функция — нечетная, а потому, применяя формулу (2), получим:

Гармонический анализ

Отсюда

Гармонический анализ

Разложение напишется следующим образам:

Гармонический анализ

При х = — Гармонический анализ, x = 0 и х = Гармонический анализ сумма полученного ряда не совпадает со значениями данной функции, поэтому указанный ряд сходится к функции f(x) при Гармонический анализ и Гармонический анализ

Следовательно,

Гармонический анализ

Покажем на примере разложения в ряд этой функции, что по мере увеличения числа слагаемых (простых гармоник) частичная сумма ряда (результирующая гармоника) все лучше и лучше представляет данную функцию.

На рисеже 138 I показана первая гармоника (sin х) ряда. На рисеже 138 II изображены первые две гармоники ряда (sin х и Гармонический анализ — пунктирные линии) и их сумма (sin х + Гармонический анализ — сплошная линия)

Гармонический анализ

На рисеже 138 III показаны найденная сумма двух первых гармоник (sin х + Гармонический анализпунктирная линия) и третья гармоника (Гармонический анализ — пунктирная линия), а также сумма трех первых гармоник

Гармонический анализ

— сплошная линия).

На рисеже 138 IV — найденная сумма трех первых гармоник

Гармонический анализ

— пунктирная линия), четвертая гармоника ( Гармонический анализ — пунктирная линия) и сумма первых четырех гармоник (

Гармонический анализ

— сплошная линия).

Продолжая операцию сложения простых гармоник и дальше, мы будем получать результирующую гармонику (частичную сумму ряда), все больше и больше приближающуюся к двум параллельным отрезкам, изображающим данную функцию.

Вследствие периодичности ряда Фурье данной функции результирующая гармоника будет точно повторяться через каждый промежуток значений x, равный 2Гармонический анализ.

Периодические величины и гармонический анализ

Периодические величины и гармонический анализ
Периодические величины и гармонический анализ
Периодические величины и гармонический анализ
Периодические величины и гармонический анализ

Смотрите также:

Геометрическая интерпретация Механические приложения
Полнота множества вещественных чисел Некоторые конкретные множества вещественных чисел

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат