Оглавление:
Одним из мощных средств исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований.
Пусть функция f(x) задана на интервале (а, 6), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции f(х) называется функция (*)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75862.png)
где К(х, w) — фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существует в собственном или несобственном смысле).
Интеграл Фурье
Всякая функция f(x), которая на отрезке [— l, l] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом (1)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75872.png)
Коэффициенты аn и bn ряда (1) определяются по формулам Эйлера—Фурье:
(2)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75876.png)
Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме. С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов аn и bn, подведем под знаки интегралов cos х и sin
х (что возможно, поскольку переменной интегрирования является τ) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь
(3)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75890.png)
Если функция f(x) первоначально была определена на интервале числовой оси, большем, чем отрезок [-l, l] (например, на всей оси), то разложение (3) воспроизведет значения этой функции только на отрезке [-l, l] и продолжит ее на всю числовую ось как периодическую функцию с периодом 2l (рис. 1).
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75901.png)
Поэтому, если функция f(x) (вообще говоря, непериодическая) определена на всей числовой оси, в формуле (3) можно попытаться перейти к пределу при l → +∞. При этом естественно потребовать выполнения следующих условий:
1, f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси Ох;
2. функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75913.png)
При выполнении условия 2 первое слагаемое правой части равенства (3) при l → +∞ стремится к нулю. В самом деле,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75923.png)
Попытаемся установить, во что перейдет в пределе при l → +∞ сумма в правой части (3). Положим
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75932.png)
так, что . Тогда сумма в правой части (3) примет вид
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75941.png)
В силу абсолютной сходимости интеграла эта сумма при больших l мало отличается от выражения
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75945.png)
которое напоминает интегральную сумму для функции переменного ξ
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-75976.png)
составленную для интервала (0, + ∞) изменения Поэтому естественно ожидать, что при l → +∞ ( → 0) сумма (5) перейдет в интеграл
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76016.png)
С другой стороны, при l → +∞ (х фиксировано) из формулы (3) вытекает, что
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76019.png)
и мы получаем равенство
(7)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76021.png)
Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой.
Теорема:
Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси — ∞ < х < + ∞ и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке [а, b], то справедливо равенство
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76030.png)
При этом во всякой точке xq, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции f(x), значение интеграла в правой части (7) равно
j [/(^о — 0) + f(xo + 0)].
Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл — интегралам Фурье.
Если воспользоваться формулой для косинуса разности, то формулу (7) можно записать в виде (8)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76034.png)
где
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76048.png)
Функции а( ξ ), b( ξ ) являются аналогами соответствующих коэффициентов Фурье an и bn 2π-периодической функции, но последние определены для дискретных значений п, в то время как а( ξ ), b( ξ ) определены для непрерывных значений ξ ∈ (— ∞, + ∞).
Комплексная форма интеграла Фурье
Предполагая f(x) абсолютно интегрируемой на всей оси Ох, рассмотрим интеграл
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76069.png)
Этот интеграл равномерно сходится для — ∞ < ξ < + ∞, так как
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76073.png)
и потому представляет собой непрерывную и, очевидно, нечетную функцию от ξ. Но тогда
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76078.png)
С другой стороны, интеграл
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76081.png)
есть четная функция переменной так что
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76083.png)
Поэтому интегральную формулу Фурье можно записать так:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76084.png)
Умножим равенство
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76087.png)
на мнимую единицу i и прибавим к равенству (10). Получим
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76089.png)
откуда, в силу формулы Эйлера (= cos φ + i sin φ), будем иметь
(11)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76118.png)
Это — комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее интегрирование по ξ понимается в смысле главного значения по Коши:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76122.png)
Преобразование Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье
Пусть функция f(x) является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема на всей оси.
Определение:
Функция
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76131.png)
называется преобразованием Фурье функции f(x) (спектральной функцией).
Это — интегральное преобразование функции f(x) на интервале (- ∞ ,+ ∞) с ядром
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76139.png)
Используя интегральную формулу Фурье
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76144.png)
получаем
(2)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76148.png)
Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от F( ξ ) к f(x). Иногда прямое преобразование Фурье задают так:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76151.png)
Тогда обратное преобразование Фурье определится формулой
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76165.png)
Преобразование Фурье F( ξ ) функции f(х) определяют также следующим образом:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76169.png)
Тогда, в свою очередь,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76173.png)
При этом положение множителя достаточно произвольно: он может входить либо в формулу (1″), либо в формулу (2″).
Пример:
Найти преобразование Фурье функции
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76181.png)
Имеем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76184.png)
Это равенство допускает дифференцирование по ξ под знаком интеграла (получающийся после дифференцирования интеграл равномерно сходится, когда ξ принадлежит любому конечному отрезку):
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76187.png)
Интегрируя по частям, будем иметь
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76189.png)
Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, и мы получаем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76191.png)
откуда
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76195.png)
(С — постоянная интегрирования). Полагая в (4) ξ = 0, найдем С —F(0). В силу (3) имеем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76199.png)
Таким образом,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76210.png)
В частности, для
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76212.png)
получаем, что
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76216.png)
Пример:
Разряд конденсатора через сопротивление. Рассмотрим функцию
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76219.png)
Для спектральной функции F( ξ ) получаем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76224.png)
(рис. 2).
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76229.png)
Условие абсолютной интегрируемости функции f(x) на всей числовой оси является весьма жестким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как f(x) = 1. f(x) = x3, f(х) = cosx, f(х) = ех, для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует.
Фурье-образ имеют только те функции, которые достаточно быстро стремятся к нулю при |х| → + ∞ (как в примерах 1 и 2).
Косинус- и синус-преобразования Фурье
Используя формулу косинуса, разности, перепишем интегральную формулу Фурье
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76881.png)
в следующем виде:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76884.png)
Пусть f(x) — четная функция. Тогда
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76885.png)
так что из равенства (5) имеем
(6)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76890.png)
В случае нечетной f(x) аналогично получаем
(7)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76893.png)
Если f(х) задана лишь на (0, + ∞), то формула (6) продолжает f(x) на всю ось Ох четным образом, а формула (7) — нечетным.
Определение:
Функция
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76898.png)
называется косинус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (6) следует, что для четной функции f(x)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76902.png)
Это означает, что f(x), в свою очередь, является косинус-преобразованием для Fc( ξ ). Иными словами, функции f и Fc являются взаимными косинус-преобразованиями.
Определение:
Функция
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76909.png)
называется синус-преобразованием Фурье функции f(x).
Из (7) получаем, что для нечетной функции f(х)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76915.png)
т.е. f и Fs являются взаимными синус-преобразованиями.
Пример:
Прямоугольный импульс. Пусть f(t) — четнaя функция, определенная следующим образом:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76924.png)
Воспользуемся полученным результатом для вычисления интеграла
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76926.png)
В силу формулы (9) имеем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76930.png)
В точке t = 0 функция f(t) непрерывна и равна единице.
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76932.png)
Поэтому из (12′) получим
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76936.png)
Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье
Пусть периодическая с периодом 2π функция f(х) разлагается в ряд Фурье
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76940.png)
Это равенство можно записать в виде
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76945.png)
где Cn = — амплитуда колебания с частотой п, φn — фаза. На этом пути мы приходим к понятиям амплитудного и фазового спектров периодической функции.
Для непериодической функции f(x), заданной на (- ∞, + ∞), при определенных условиях оказывается возможным представить ее интегралом Фурье
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76953.png)
осуществляющим разложение этой функции по всем частотам 0 < ξ < + ∞ (разложение по непрерывному спектру частот).
Определение:
Спектральной функцией, или спектральной плотностью интеграла Фурье, называется выражение
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76961.png)
(прямое преобразование Фурье функции f(х)).
Функция
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76966.png)
называется амплитудным спектром, а функция
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76970.png)
(0 — фазовым спектром функции f(x).
Амплитудный спектр A (ξ) служит мерой вклада частоты ξ в функцию f(х).
Пример:
Найти амплитудный и фазовый спектры функции
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76976.png)
Находим спектральную функцию
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76978.png)
Отсюда
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76983.png)
Графики этих функций изображены на рис. 4.
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-76985.png)
Свойства преобразования Фурье
1, Линейность. Если F( ξ ) и G( ξ ) — преобразования Фурье функций f(х) и g(х) соответственно, то при любых постоянных а и β преобразованием Фурье функции а f(х) + β g(х) будет функция a F( ξ ) + βG( ξ ).
Пользуясь свойством линейности интеграла, имеем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77005.png)
Таким образом, преобразование Фурье есть линейный оператор. Обозначая его через будем писать
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77009.png)
Если F( ξ ) есть преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции f(х), то F( ξ ) ограничена при всех ξ ∈ (— ∞, + ∞).
Пусть функция f(х) абсолютно интегрируема на всей оси — ∞ < х < + ∞,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77062.png)
— преобразование Фурье функции f(х). Тогда
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77065.png)
Задача:
Пусть f(x) — функция, допускающая преобразование Фурье, h — действительное число. Функция fh(x) = f(x-h) называется сдвигом функции f(x). Пользуясь определением преобразования Фурье, показать, что
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77070.png)
Задача:
Пусть функция f(x) имеет преобразование Фурье F( ξ ), h — действительное число. Показать, что
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77073.png)
3. Преобразование Фурье и операция дифференцирования. Пусть абсолютно интегрируемая функция f(х) имеет производную f'(х), также абсолютно интегрируемую на всей оси Ох, так что f(х) стремится к нулю при |х| —► + ∞. Считая f'(х) гладкой функцией, запишем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77085.png)
Интегрируя по частям, будем иметь
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77088.png)
Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль (так как f(х) → 0 при |х| → + ∞), и мы получаем (1)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77104.png)
Таким образом, дифференцированию функции f(х) отвечает умножение ее образа Фурье [f] на множитель iξ.
Если функция f(х) имеет гладкие абсолютно интегрируемые производные до порядка m включительно и все они, как и сама функция f(х), стремятся к нулю при |x| → + ∞, то, интегрируя по частям нужное число раз, получим
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77115.png)
Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину iξ и тем самым упрощает задачу интегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений.
Так как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции
есть ограниченная функция от ξ (свойство 2), то из соотношения (2) получаем для
[f] следующую оценку:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77138.png)
Из этой оценки следует: чем больше функция f(х) имеет абсолютно интегрируемых производных, тем быстрее ее преобразование Фурье стремится к нулю при | ξ | → + ∞.
Замечание:
Условие является достаточно естественным, поскольку обычная теория интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и конец, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью.
4. Связь между скоростью убывания функции f(x) при |х| → + ∞ и гладкостью ее преобразования Фурье. Предположим, что не только f(x), но и ее произведение хf(х) является абсолютно интегрируемой функцией на всей оси Ох. Тогда преобразование Фурье
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77221.png)
функции f(x) будет дифференцируемой функцией.
Действительно, формальное дифференцирование по параметру ξ подынтегральной функции приводит к интегралу
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77224.png)
который является абсолютно и равномерно сходящимся относительно параметра Следовательно, дифференцирование возможно, и
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77230.png)
Таким образом,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77235.png)
т. е. операция умножения f(х) на аргумент х переходит после преобразования Фурье в операцию
Если вместе с функцией f(х) абсолютно интегрируемыми на всей оси Ох являются функции хf(х)…..хmf(х), то процесс дифференцирования можно продолжить.
Получим, что функция F( ξ ) = [f(х)] имеет производные до порядка m включительно, причем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77253.png)
Таким образом, чем быстрее функция f(х) убывает при |х| → + ∞, тем более гладкой получается функция F( ξ ) = [f(х)].
Теорема:
О свертке. Пусть F1( ξ ) и F2( ξ ) — преобразования Фурье функций f1(x) и f2(x) соответственно. Тогда
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77272.png)
причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно.
Положим х + у = т, так что у = т — х. Тогда будем иметь
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77275.png)
или, меняя порядок интегрирования,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77277.png)
называется сверткой функций f(x) и f2(x) и обозначается символом . Формула (1) может быть теперь записана так:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77287.png)
Отсюда видно, что преобразование Фурье свертки функций f1(x) и f2(x) равно умноженному на произведению преобразований Фурье свертываемых функций,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77292.png)
Замечание:
Нетрудно установить следующие свойства свертки:
1) линейность:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77295.png)
2) коммутативность:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77297.png)
Приложения преобразования Фурье
1, Пусть — линейный дифференциальный оператор порядка m с постоянными коэффициентами,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77303.png)
(аo, a1,… ,ат = const). Используя формулу для преобразования Фурье производных функции у(х), находим
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77315.png)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77316.png)
где — введенный выше дифференциальный оператор.
Предположим, что искомое решение у(х) имеет преобразование Фурье y(ξ), а функция f(x) имеет преобразование f( ξ ). Применяя преобразование Фурье к уравнению (1), получим вместо дифференциального алгебраическое уравнение на оси Oξ относительно y(ξ)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77326.png)
так что формально
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77332.png)
где символ обозначает обратное преобразование Фурье.
Основное ограничение применимости этого метода связано со следующим фактом. Решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами содержит функции вида
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77338.png)
Они не являются абсолютно интегрируемыми на оси — ∞ < х < + ∞, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применять данный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме.
Пример:
Найти решение u = u(x,t) уравнения
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77344.png)
(а = const), при начальных условиях
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77350.png)
Это — задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение φ(х) точек струны, а начальные скорости отсутствуют.
Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от — ∞ до + ∞, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что
1) функции u(z, t) и φ(x) — достаточно гладкие и стремятся к нулю при \х\ → + ∞ и ∀t ≥ О настолько быстро, что существуют преобразования Фурье
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77366.png)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77373.png)
2) допустимы операции дифференцирования, так что
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77378.png)
Умножая обе части (2) на и интегрируя по x от — ∞ до + ∞, получим
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77394.png)
а из начальных условий (3) найдем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77398.png)
Таким образом, применяя к задаче (2)-(3) преобразование Фурье, приходим к задаче Коши (8)—(10) для обыкновенного дифференциального уравнения, где ξ — параметр. Решением уравнения (8) является функция
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77402.png)
Из условий (9) и (10) находим, что С1( ξ ) = φ( ξ ). C2( ξ ) = 0, так что v( ξ, t) = φ( ξ )cos aξt. Применяя обратное преобразование Фурье, получим
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77427.png)
Это частный случай формулы Даламбера решения задачи (2)-(3).
2. Преобразование Фурье может быть использовано при решении некоторых интегральных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла.
Рассмотрим, например, уравнение
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77435.png)
где φ(х) — искомая функция. Записав (1) в виде
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77439.png)
замечаем, что левую часть (2) можно рассматривать как преобразование Фурье функции φ(х), так что (2) равносильно следующему равенству:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77442.png)
Тогда по формуле обращения
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77447.png)
Функция есть решение уравнения (1).
Понятие о многомерном преобразовании Фурье
Преобразование Фурье:
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77454.png)
Пусть
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77458.png)
Многомерным преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции f(х1, х2,…, хb) называется функция
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77460.png)
или, короче,
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77464.png)
где
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77467.png)
символ обозначает интегрирование по всему пространству Rn.
Свойства многомерного преобразования аналогичны соответствующим свойствам преобразования Фурье функции одной переменной. В специальном случае, когда
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77472.png)
имеем
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77475.png)
Дополнение к преобразованию Фурье
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/1-3226.png)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/2-3364.png)
![Преобразование Фурье](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/3-2709.png)
Смотрите также:
Главное значение интеграла. | Интегралы Лапласа. |
Комплексная-запись-интеграла-Фурье. | Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций. |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат