Преобразование Фурье с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Одним из мощных средств исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований.

Пусть функция f(x) задана на интервале (а, 6), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции f(х) называется функция (*)

где К(х, w) — фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существует в собственном или несобственном смысле).

Интеграл Фурье

Всякая функция f(x), которая на отрезке [— l, l] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом (1)

Коэффициенты аn и bn ряда (1) определяются по формулам Эйлера—Фурье:
(2)

Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме. С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов аn и bn, подведем под знаки интегралов cos Преобразование Фурье х и sin х (что возможно, поскольку переменной интегрирования является τ) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь
(3)

Если функция f(x) первоначально была определена на интервале числовой оси, большем, чем отрезок [-l, l] (например, на всей оси), то разложение (3) воспроизведет значения этой функции только на отрезке [-l, l] и продолжит ее на всю числовую ось как периодическую функцию с периодом 2l (рис. 1).

Поэтому, если функция f(x) (вообще говоря, непериодическая) определена на всей числовой оси, в формуле (3) можно попытаться перейти к пределу при l → +∞. При этом естественно потребовать выполнения следующих условий:

1, f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси Ох;

2. функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси,

При выполнении условия 2 первое слагаемое правой части равенства (3) при l → +∞ стремится к нулю. В самом деле,

Попытаемся установить, во что перейдет в пределе при l → +∞ сумма в правой части (3). Положим

так, что Преобразование Фурье . Тогда сумма в правой части (3) примет вид

В силу абсолютной сходимости интеграла эта сумма при больших l мало отличается от выражения

которое напоминает интегральную сумму для функции переменного ξ

составленную для интервала (0, + ∞) изменения Поэтому естественно ожидать, что при l → +∞ ( Преобразование Фурье → 0) сумма (5) перейдет в интеграл

С другой стороны, при l → +∞ (х фиксировано) из формулы (3) вытекает, что

и мы получаем равенство
(7)

Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой.

Теорема:

Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси — ∞ < х < + ∞ и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке [а, b], то справедливо равенство

При этом во всякой точке xq, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции f(x), значение интеграла в правой части (7) равно

j [/(^о — 0) + f(xo + 0)].

Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл — интегралам Фурье.

Если воспользоваться формулой для косинуса разности, то формулу (7) можно записать в виде (8)

где

Функции а( ξ ), b( ξ ) являются аналогами соответствующих коэффициентов Фурье an и bn 2π-периодической функции, но последние определены для дискретных значений п, в то время как а( ξ ), b( ξ ) определены для непрерывных значений ξ ∈ (— ∞, + ∞).

Комплексная форма интеграла Фурье

Предполагая f(x) абсолютно интегрируемой на всей оси Ох, рассмотрим интеграл

Этот интеграл равномерно сходится для — ∞ < ξ < + ∞, так как

и потому представляет собой непрерывную и, очевидно, нечетную функцию от ξ. Но тогда

С другой стороны, интеграл

есть четная функция переменной так что

Поэтому интегральную формулу Фурье можно записать так:

Умножим равенство

на мнимую единицу i и прибавим к равенству (10). Получим

откуда, в силу формулы Эйлера ( Преобразование Фурье = cos φ + i sin φ), будем иметь
(11)

Это — комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее интегрирование по ξ понимается в смысле главного значения по Коши:

Преобразование Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье

Пусть функция f(x) является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема на всей оси.

Определение:

Функция

называется преобразованием Фурье функции f(x) (спектральной функцией).

Это — интегральное преобразование функции f(x) на интервале (- ∞ ,+ ∞) с ядром

Используя интегральную формулу Фурье

получаем
(2)

Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от F( ξ ) к f(x). Иногда прямое преобразование Фурье задают так:

Тогда обратное преобразование Фурье определится формулой

Преобразование Фурье F( ξ ) функции f(х) определяют также следующим образом:

Тогда, в свою очередь,

При этом положение множителя Преобразование Фурье достаточно произвольно: он может входить либо в формулу (1″), либо в формулу (2″).

Пример:

Найти преобразование Фурье функции

Имеем

Это равенство допускает дифференцирование по ξ под знаком интеграла (получающийся после дифференцирования интеграл равномерно сходится, когда ξ принадлежит любому конечному отрезку):

Интегрируя по частям, будем иметь

Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, и мы получаем

откуда

(С — постоянная интегрирования). Полагая в (4) ξ = 0, найдем С —F(0). В силу (3) имеем

Таким образом,

В частности, для

получаем, что

Пример:

Разряд конденсатора через сопротивление. Рассмотрим функцию

Для спектральной функции F( ξ ) получаем

(рис. 2).

Условие абсолютной интегрируемости функции f(x) на всей числовой оси является весьма жестким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как f(x) = 1. f(x) = x³, f(х) = cosx, f(х) = е^х, для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует.

Фурье-образ имеют только те функции, которые достаточно быстро стремятся к нулю при |х| → + ∞ (как в примерах 1 и 2).

Косинус- и синус-преобразования Фурье

Используя формулу косинуса, разности, перепишем интегральную формулу Фурье

в следующем виде:

Пусть f(x) — четная функция. Тогда

так что из равенства (5) имеем
(6)

В случае нечетной f(x) аналогично получаем
(7)

Если f(х) задана лишь на (0, + ∞), то формула (6) продолжает f(x) на всю ось Ох четным образом, а формула (7) — нечетным.

Определение:

Функция

называется косинус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (6) следует, что для четной функции f(x)

Это означает, что f(x), в свою очередь, является косинус-преобразованием для Fc( ξ ). Иными словами, функции f и Fc являются взаимными косинус-преобразованиями.

Определение:

Функция

называется синус-преобразованием Фурье функции f(x).
Из (7) получаем, что для нечетной функции f(х)

т.е. f и Fs являются взаимными синус-преобразованиями.

Пример:

Прямоугольный импульс. Пусть f(t) — четнaя функция, определенная следующим образом:

Воспользуемся полученным результатом для вычисления интеграла

В силу формулы (9) имеем

В точке t = 0 функция f(t) непрерывна и равна единице.

Поэтому из (12′) получим

Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье

Пусть периодическая с периодом 2π функция f(х) разлагается в ряд Фурье

Это равенство можно записать в виде

где Cn = Преобразование Фурье — амплитуда колебания с частотой п, φn — фаза. На этом пути мы приходим к понятиям амплитудного и фазового спектров периодической функции.

Для непериодической функции f(x), заданной на (- ∞, + ∞), при определенных условиях оказывается возможным представить ее интегралом Фурье

осуществляющим разложение этой функции по всем частотам 0 < ξ < + ∞ (разложение по непрерывному спектру частот).

Определение:

Спектральной функцией, или спектральной плотностью интеграла Фурье, называется выражение

(прямое преобразование Фурье функции f(х)).

Функция

называется амплитудным спектром, а функция

(0 — фазовым спектром функции f(x).

Амплитудный спектр A (ξ) служит мерой вклада частоты ξ в функцию f(х).

Пример:

Найти амплитудный и фазовый спектры функции

Находим спектральную функцию

Отсюда

Графики этих функций изображены на рис. 4.

Свойства преобразования Фурье

1, Линейность. Если F( ξ ) и G( ξ ) — преобразования Фурье функций f(х) и g(х) соответственно, то при любых постоянных а и β преобразованием Фурье функции а f(х) + β g(х) будет функция a F( ξ ) + βG( ξ ).

Пользуясь свойством линейности интеграла, имеем

Таким образом, преобразование Фурье есть линейный оператор. Обозначая его через будем писать

Если F( ξ ) есть преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции f(х), то F( ξ ) ограничена при всех ξ ∈ (— ∞, + ∞).

Пусть функция f(х) абсолютно интегрируема на всей оси — ∞ < х < + ∞,

— преобразование Фурье функции f(х). Тогда

Задача:

Пусть f(x) — функция, допускающая преобразование Фурье, h — действительное число. Функция fh(x) = f(x-h) называется сдвигом функции f(x). Пользуясь определением преобразования Фурье, показать, что

Задача:

Пусть функция f(x) имеет преобразование Фурье F( ξ ), h — действительное число. Показать, что

3. Преобразование Фурье и операция дифференцирования. Пусть абсолютно интегрируемая функция f(х) имеет производную f'(х), также абсолютно интегрируемую на всей оси Ох, так что f(х) стремится к нулю при |х| —► + ∞. Считая f'(х) гладкой функцией, запишем

Интегрируя по частям, будем иметь

Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль (так как f(х) → 0 при |х| → + ∞), и мы получаем (1)

Таким образом, дифференцированию функции f(х) отвечает умножение ее образа Фурье Преобразование Фурье [f] на множитель iξ.

Если функция f(х) имеет гладкие абсолютно интегрируемые производные до порядка m включительно и все они, как и сама функция f(х), стремятся к нулю при |x| → + ∞, то, интегрируя по частям нужное число раз, получим

Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину iξ и тем самым упрощает задачу интегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений.

Так как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции есть ограниченная функция от ξ (свойство 2), то из соотношения (2) получаем для [f] следующую оценку:

Из этой оценки следует: чем больше функция f(х) имеет абсолютно интегрируемых производных, тем быстрее ее преобразование Фурье стремится к нулю при | ξ | → + ∞.

Замечание:

Условие Преобразование Фурье является достаточно естественным, поскольку обычная теория интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и конец, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью.

4. Связь между скоростью убывания функции f(x) при |х| → + ∞ и гладкостью ее преобразования Фурье. Предположим, что не только f(x), но и ее произведение хf(х) является абсолютно интегрируемой функцией на всей оси Ох. Тогда преобразование Фурье

функции f(x) будет дифференцируемой функцией.

Действительно, формальное дифференцирование по параметру ξ подынтегральной функции приводит к интегралу

который является абсолютно и равномерно сходящимся относительно параметра Следовательно, дифференцирование возможно, и

Таким образом,

т. е. операция умножения f(х) на аргумент х переходит после преобразования Фурье в операцию Преобразование Фурье

Если вместе с функцией f(х) абсолютно интегрируемыми на всей оси Ох являются функции хf(х)…..х^mf(х), то процесс дифференцирования можно продолжить.

Получим, что функция F( ξ ) = Преобразование Фурье [f(х)] имеет производные до порядка m включительно, причем

Таким образом, чем быстрее функция f(х) убывает при |х| → + ∞, тем более гладкой получается функция F( ξ ) = Преобразование Фурье [f(х)].

Теорема:

О свертке. Пусть F1( ξ ) и F2( ξ ) — преобразования Фурье функций f1(x) и f2(x) соответственно. Тогда

причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно.

Положим х + у = т, так что у = т — х. Тогда будем иметь

или, меняя порядок интегрирования,

называется сверткой функций f(x) и f2(x) и обозначается символом Преобразование Фурье . Формула (1) может быть теперь записана так:

Отсюда видно, что преобразование Фурье свертки функций f1(x) и f2(x) равно умноженному на произведению преобразований Фурье свертываемых функций,

Замечание:

Нетрудно установить следующие свойства свертки:

1) линейность:

2) коммутативность:

Приложения преобразования Фурье

1, Пусть Преобразование Фурье — линейный дифференциальный оператор порядка m с постоянными коэффициентами,

(аo, a1,… ,ат = const). Используя формулу для преобразования Фурье производных функции у(х), находим

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где Преобразование Фурье — введенный выше дифференциальный оператор.

Предположим, что искомое решение у(х) имеет преобразование Фурье y(ξ), а функция f(x) имеет преобразование f( ξ ). Применяя преобразование Фурье к уравнению (1), получим вместо дифференциального алгебраическое уравнение на оси Oξ относительно y(ξ)

так что формально

где символ обозначает обратное преобразование Фурье.

Основное ограничение применимости этого метода связано со следующим фактом. Решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами содержит функции вида

Они не являются абсолютно интегрируемыми на оси — ∞ < х < + ∞, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применять данный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме.

Пример:

Найти решение u = u(x,t) уравнения

(а = const), при начальных условиях

Это — задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение φ(х) точек струны, а начальные скорости отсутствуют.

Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от — ∞ до + ∞, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что

1) функции u(z, t) и φ(x) — достаточно гладкие и стремятся к нулю при \х\ → + ∞ и ∀t ≥ О настолько быстро, что существуют преобразования Фурье

2) допустимы операции дифференцирования, так что

Умножая обе части (2) на Преобразование Фурье и интегрируя по x от — ∞ до + ∞, получим

а из начальных условий (3) найдем

Таким образом, применяя к задаче (2)-(3) преобразование Фурье, приходим к задаче Коши (8)—(10) для обыкновенного дифференциального уравнения, где ξ — параметр. Решением уравнения (8) является функция

Из условий (9) и (10) находим, что С1( ξ ) = φ( ξ ). C2( ξ ) = 0, так что v( ξ, t) = φ( ξ )cos aξt. Применяя обратное преобразование Фурье, получим

Это частный случай формулы Даламбера решения задачи (2)-(3).

2. Преобразование Фурье может быть использовано при решении некоторых интегральных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла.

Рассмотрим, например, уравнение

где φ(х) — искомая функция. Записав (1) в виде

замечаем, что левую часть (2) можно рассматривать как преобразование Фурье функции φ(х), так что (2) равносильно следующему равенству:

Тогда по формуле обращения

Функция Преобразование Фурье есть решение уравнения (1).

Понятие о многомерном преобразовании Фурье

Преобразование Фурье:

Пусть

Многомерным преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции f(х1, х2,…, хb) называется функция

или, короче,

где

символ Преобразование Фурье обозначает интегрирование по всему пространству Rⁿ.

Свойства многомерного преобразования аналогичны соответствующим свойствам преобразования Фурье функции одной переменной. В специальном случае, когда

имеем

Дополнение к преобразованию Фурье

Смотрите также:

Главное значение интеграла.	Интегралы Лапласа.
Комплексная-запись-интеграла-Фурье.	Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: