Множество действительных чисел в математике: обозначение и примеры с решением и образцами

Одно из основных понятий математики — понятие множества. Оно является простейшим неопределяемым понятием, его нельзя свести к более простым понятиям. Множество можно лишь описать или пояснить примерами. Например, можно говорить о множестве учеников данного класса, о множестве всех предметов, находящихся в классе, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех точек, лежащих на прямой, о множестве всех теорем, входящих в данный курс, и т. д. Гозоря о множестве каких-либо объектов, мы объединяем их в одно целое и рассматриваем свойства этого объединения, а не свойства отдельных входящих в него элементов. Не случайно основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845—1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Множества

Множества принято обозначать прописными (заглавными) латинскими буквами, а элементы, образующие эти множества, маленькими (строчными) буквами. Если элемент а принадлежит множеству А, то это записывают так: —знак принадлежности). Если элемент b не принадлежит множеству А, то это записывают так: или Так, если множество А состоит из чисел 1 и 2, то

Элементами множества могут быть как реально существующие предметы (люди, стулья, деревья и т. д.), так и абстрактные предметы (точки, числа, теоремы и т. д.). Могут быть и такие случаи, когда элементами одного множества являются какие-то другие множества. Можно, например, говорить о множестве М всех классов данной школы, в то время как каждый класс, в свою очередь, является множеством учеников. Но при этом надо помнить, что в множество М входят в качестве элементов не отдельные ученики, а множества учеников, объединенных в классы.

Множества могут быть конечными и бесконечными. Конечным называется множество, состоящее из конечного числа элементов (например, множество учеников данного класса — конечное множество). Примером бесконечного множества может служить множество всех натуральных чисел.

Пусть множество А состоит из конечного числа элементов Такое множество принято записывать следующим образом:

т. е. перечисляются все элементы данного множества, а фигурные скобки показывают, что все эти элементы объединены в одно множество. Если множество бесконечно или число элементов множества очень велико, то указанная запись множества становится неудобной или невозможной. В этих случаях применяется другой способ задания множества. Он состоит в том, что указывается характеристическое свойство, присущее всем элементам данного множества.

Под характеристическим свойством понимается свойство, которым обладают все элементы данного множества и которым не обладает ни один элемент, не входящий в данное множество.

Например, свойство «быть квадратом натурального числа» определяет бесконечное множество

Этим характеристическим свойством множество А полностью определено. Ясно, что элемент 144 принадлежит множеству А, так как В то же время элемент 145 не принадлежит множеству А, так как не существует натурального числа, квадрат которого равен 145. Не принадлежат множеству А и элементы другой природы (не числа), такие, как «дом», «точка», «теорема».

Приведем еще два примера задания множества с помощью характеристического свойства. Характеристическое свойство «быть однозначным нечетным числом» определяет конечное множество Характеристическое свойство «быть столицей государства» определяет конечное множество, состоящее из столиц всех государств земного шара. В это множество входят такие элементы, как Москва, Рим, Париж, Монтевидео, и не входят такие города, как Ленинград, Милан, Катовице.

Если характеристическое свойство обозначить символом то множество, определяющееся этим свойством, записывают так:

Например, множество корней квадратного уравнения запишется так:

Может случиться так, что характеристическому свойству не удовлетворяет ни один элемент. Если, например, в данном классе все ученики успевают, то характеристическому свойству «быть неуспевающим учеником данного класса» не удовлетворяет ни один элемент. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Примеры пустых множеств: множество натуральных корней уравнения множество всех нечетных чисел, делящихся без остатка на 2, множество людей Земли, побывавших на Марсе и т. д.

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества А является в то же в емя элементом множества В а каждый элемент множества В является и элементом множества А. Если А и В — равные множества, то пишут А —В. Например, т. е. порядок написания элементов множества не имеет значения.

Подмножество

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время и элементом множества А, т. е. из условия вытекает условие Если В — подмножество множества А, то пишут —знак включения) или

Из этого определения следует, что каждое множество является своим подмножеством: Кроме того, принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества Множества называются несобственными подмножествами множества А. Остальные подмножества, если они существуют, называют собственными подмножествами множества А.

Примеры:

Пусть задано множество Тогда его собственными подмножествами будут множества а несобственными подмножествами —множества и

Пусть А —множество всех точек круга а В — множество всех точек квадрата, вписанного в этот круг (рис. 1). Тогда множество В есть подмножество множества А. Множество А имеет еще целый ряд подмножеств. Так, множество всех точек радиуса ON, множество всех точек окружности MNDK, множества всех точек хорд MN, DK, ND, КМ будут собственными подмножествами множества А.

Свойства подмножеств

На рис. 2 изображены три множества А, В и С, причем Из рисунка видно, что в таком случае т. е. если фигура С

является частью фигуры В, а фигура В, в свою очередь, является частью фигуры Л, то и фигура С является частью фигуры А. Значит, можно утверждать, что выполняется следующее свойство:

1°. Если

2°. Если

В самом деле, условие означает, что каждый элемент множества А принадлежит множеству В; условие означает, что каждый элемент множества В принадлежит А. Следовательно, множества Л и В состоят из одних и тех же элементов, т. е.

Понятие логического следования. Равносильность. Необходимость и достаточность

Любое предложение, относительно которого можно сказать, является оно истинным или ложным, называется высказыванием. Приведем примеры высказываний: а) дуб есть лиственное дерево; б) кит—растение; в) сумма углов треугольника равна 180°. Здесь высказывания а) и в) истинны, а б)—ложно.

Любое числовое равенство является высказыванием. Например, 3=2+ 1 —истинное высказывание, а 2 + 3=7— ложное.

Пусть даны два высказывания а и Ь. Если из истинности а следует истинность b, то пишут Знак называется знаком логического следования. В таком случае говорят также, что b есть необходимое условие для а, а о есть достаточное условие для b.

Рассмотрим для примера два высказывания: а—данное число делится на 4; b—данное число четное. Ясно, что если число делится на 4, то оно четное. Значит, можно написать Четность числа является необходимым условием делимости его на 4; делимость числа на 4 является достаточным условием четности числа.

С помощью знака логического следования может быть записано первое свойство подмножеств, полученное в предыдущем пункте:

В дальнейшем мы будем пользоваться знаком логического следования.

Пусть снова даны два высказывания a и b. Если и то говорят, что высказывания а и b равносильны и пишут

С помощью знака равносильности может быть записано доказанное в предыдущем пункте второе свойство подмножеств:

Заметим, что во многих случаях вместо термина «равносильность» используется термин «необходимость и достаточность». Так, записанное выше предложение (1) можно прочитать следующим образом: для того чтобы два множества А и В были равны, необходимо и достаточно, чтобы А было подмножеством В и В было подмножеством А.

Операции над множествами

Рассмотрим две операции над множествами.

Пересечение множеств. Под пересечением множеств А и В понимается множество С, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В. Пишут

Примеры:

Пусть Тогда

Пусть А — множество всех нечетных натуральных чисел, Тогда

Пусть А — множество всех ромбов, а В — множество всех прямоугольников. Тогда — множество всех прямоугольников с равными сторонами, т. е. множество всех квадратов.

Этот пример показывает, что если множество А задается с помощью характеристического свойства а множество В задается с помощью характеристического свойства то множество С состоит из всех таких элементов, которые одновременно обладают и свойством и свойством

4.Пусть А— множество всех точек квадрата, а В — множество всех точек круга (рис. 3). Тогда множество состоит из всех точек заштрихованной области,

5.Пусть А — множество всех четных натуральных чисел, а В — множество всех нечетных натуральных чисел. Тогда

Отметим некоторые свойства операции пересечения множеств:

Объединение множеств. Объединением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из

тех и только из тех элементов, каждый из которых принадлежит, по крайней мере, одному из данных множеств А и В (или А, или В, или и А, и В). Пишут

Если один и тот же элемент входит и в множество А, и в множество В, то в множество D он входит лишь один раз.

Примеры:

Пусть Тогда

2.Пусть А—множество точек прямоугольника, а В — множество точек круга (рис. 4). Тогда множество состоит из всех точек заштрихованной области.

Отметим некоторые свойства операции объединения:

Операции пересечения и объединения могут применяться не только к двум множествам, но и к трем, четырем, ста и даже к бесконечной совокупности множеств.

Например, множество натуральных чисел является объединением множеств однозначных, двузначных, трехзначных….. n-значных, … чисел. Множество всех плоских многоугольников—объединение множеств треугольников, четырехугольников, …, n-угольников,…

Множество натуральных чисел

Свойства натуральных чисел: Множество всех натуральных чисел N бесконечно. Оно имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента. Для каждого натурального числа можно указать следующее за ним (за числом 7 следует число 8, за числом 124 следует число 125, вообще за числом k следует число

Пусть М — некоторое подмножество множества N, В М обязательно есть наименьший элемент; если же М—конечное множество натуральных чисел, то в М есть и наибольший элемент. Например, множество М всех четных натуральных чисел

бесконечно, в нем есть наименьший элемент 2, но нет наибольшего. Множество Р всех нечетных двузначных чисел конечно, в нем есть и наименьший элемент (число 11), и наибольший элемент (число 99).

На множестве N всех натуральных чисел определены операции сложения и умножения, причем для любых натуральных чисел m, n, k справедливы следующие равенства:

Первое и третье равенства выражают переместительный закон соответственно сложения и умножения; второе и четвертое — сочетательный закон сложения и умножения; пятое равенство носит название распределительного закона умножения относительно сложения, получим

Пример:

Найти сумму натуральных чисел от 1 до 99.

Решение:

Имеем: Воспользовавшись переместительным и сочетательным законами сложения, получим:

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя: так из числа 3 нельзя вычесть число 7 (в множестве натуральных чисел); число 15 нельзя разделить на 4 (нацело).

Если натуральное число m делится нацело на натуральное число k, то m называется кратным числа k. Если m — кратное числа k, то существует натуральное число m такое, что

Запишем множество Р всех кратных числа 3:

Множество Р можно записать и по-другому:

Аналогично множество M кратных числа 7 имеет вид

Если натуральное число m не делится нацело на натуральное число k, т. е. не существует такого натурального числа n, что то рассматривают деление с остатком. Например, при делении числа 37 на число 15 в частном получается 2 (неполное частное) и в остатке 7, т.е. В общем случае, если m —делимое, k—делитель, р — частное и r—остаток, то

Здесь — натуральные числа. Исключение составляет случай, когда m делится на n нацело; в этом случае

Примеры:

Выполнить действия:

Решение:

2.Пусть А — множество двузначных чисел, кратных 6, В—множество двузначных чисел, кратных 9. Составить множества и указать наименьший и наибольший элементы в каждом из этих множеств.

Решение:

тогда

Здесь 18—наименьший, а 90 — наибольший элемент.

Составим обьединение множеств А и В, расположив натуральные числа в порядке возрастания:

здесь наименьшим элементом является число 12, а наибольшим — 99.

3.Найти частное и остаток от деления числа 274018 на число 342.

Решение:

Выполним «деление углом»:

Итак, частное 801, а остаток 76. Воспользовавшись равенством (1), можем записать, что

Признаки делимости

В некоторых случаях, не производя деления натурального числа m на натуральное число k, можно ответить на вопрос, выполнимо ли деление m на n без остатка или нет. Ответ на этот вопрос получается с помощью различных признаков делимости. Рассмотрим некоторые из них.

Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Пусть а и b делятся нацело на с, докажем, что и а + b делится на с.

Так как а кратно с, то существует такое натуральное число n, что Аналогично, существует такое натуральное число k, что Тогда можно записать, что

Воспользовавшись распределительным законом, получим равенство Получим тогда

Но это и означает, что делится нацело на число с.

Например, не выполняя сложения, можно установить, что сумма 48 + 64 + 96 делится на 16 — ведь каждое слагаемое этой суммы делится на 16.

Не следует, однако, думать, что, если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37+19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4.

Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Пусть дано произведение ab натуральных чисел а и b, а делится на с; докажем, что и ab кратно с.

Так как а кратно с, то существует натуральное число п, такое, что Тогда имеем

(мы воспользовались переместительным и сочетательным законами умножения). Положив получим

Это и означает, что ab делится на с без остатка.

Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение делится на 5—ведь 105 делится на 5.

Признак делимости на 2. Если последняя цифра натурального числа делится на 2, то число делится на 2.

Иными словами, число будет четным, если оно оканчивается одной из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Пусть, например, дано трехзначное число abc, где с кратно числу 2 (запись означает, что а—цифра сотен, b—цифра десятков, с—цифра единиц), тогда

Числа 10 и 100 делятся на 2, поэтому и делятся на 2. По условию и с делится на 2, поэтому сумма делится на 2, что и требовалось доказать.

Верное и обратное: если число делится на 2, то его последняя цифра делится на 2. Значит, можно утверждать следующее: для того чтобы число было четным, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была четной.

Аналогичные рассуждения позволяют получить признаки делимости на 5, на 10 и на 4.

Признак делимости на 5. Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была либо 0, либо 5.

Признак делимости на 10. Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Признак делимости на 4. Для того чтобы натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Например, число 15436 делится на 4 без остатка, так как число 36 делится на 4. Число 372514 не делится на 4, так как 14 не делится на 4.

Отметим еще признаки делимости на 3 и на 9.

Признак делимости на 3. Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Рассмотрим для примера четырехзначное число

Имеем

Числа 9, 99, 999 делятся на 3, поэтому (999а+ 99b+9с) делится на 3 и сумма (999а + 99b + 9с) + (a+b+c+d) будет делиться на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма цифр (a + b + c + d).

Например, число 2742 делится на 3, так как делится на 3 число 2 + 7 + 4 + 2=15. Число 17941 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 22, а 22 не делится на 3.

Признак делимости на 9. Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Этот признак получается аналогично признаку делимости на 3.

Примеры:

Доказать, что сумма делится на 6, если b — четное, а а и с—любые натуральные числа.

Решение. Если Ь — четнее число, то b имеет вид где n —натуральное число. Тогда а заданную сумму можно переписать так:

Числа 12, 6 и 18 делятся на 6, значит 12а, 6b и 18с делятся на 6 (по признаку делимости произведения). В таком случае и сумма делится на 6 (по признаку делимости суммы).

2.Не производя деления, найти остаток от деления числа 8378 на 5.

Решение:

Число 8375 оканчивается цифрой 5, значит делится на 5. Но 8378 = 8375 + 3. Таким образом, остаток от деления числа 8378 на 5 равен 3.

Примечание. Число 8370 тоже делится на 5. Можно записать 8378 = 8370 + 8, но из такого равенства нельзя сделать вывод о том, что остаток от деления числа 8378 на число 5 равен 8—ведь остаток должен быть меньше делителя. Поэтому мы подобрали ближайшее к 8378 число, кратное 5 и меньшее чем 8378.

3.Какой цифрой должно оканчиваться натуральнее число 1743с, чтобы оно делилось без остатка на 9.

Решение:

Имеем: Заданное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Значит, на месте должна стоять цифра 3, так как 15 + 3=18, а 18 кратно 9.

Разложение чисел на простые множители

Делителем данного числа называется такое число, на которое данное число делится нацело. Например, 6 является делителем числа 24.

Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым, если число имеет более двух делителей, то оно называется составным. Так, число 19 —простое, ибо оно имеет только два делителя: 1 и 19; число 35—составное, оно имеет четыре делителя: 1, 5, 7, 35. Простое число 19 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только одним способом: составное число 35 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел более чем одним способом:

Множество простых чисел и множество составных чисел— бесконечные множества. Заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Пусть дано составное число 360. Его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел Число 6 — составное: число 60 — составное: Значит, Из полученных множителей лишь множитель 30 вновь представляет собой составное число: Число 10 — составное: Значит, а для числа 360 получаем:

Нам удалось представить составное число 360 в виде произведения простых множителей. Здесь множитель 2 встречается 3 раза — в таком случае произведение записывается в виде степени: Число 3 называется показателем степени. Аналогично, вместо запишем Множитель 5 встречается 1 раз—в таком случае пишут или просто 5.

Итак, это — разложение числа на простые множители.

Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым. Так, для числа 360 эта запись будет выглядеть следующим образом:

Примеры:

Разложить на простые множители число 911250. Решение. Используя признаки делимости, заключаем, что заданное число делится на 2; 3; 5; имеем

или

Выполнить деление (792:132), разложив делимое и делитель на простые множители.
Решение:

Имеем:

Значит,

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел

Пусть даны числа 72 и 96. Составим множество А делителей числа 72:

Составим множество В делителей числа 96:

Составим пересечение множеств А и В

Все элементы этого множества называются общими делителями чисел 72 и 96, а наибольший элемент — наибольшим общим делителем. Его обозначают

Итак,

Так как множество делителей данного числа всегда конечно, то и множество общих делителей нескольких данных чисел конечно. А во всяком конечном множестве натуральных чисел, как мы отмечали выше, есть наибольший элемент. Значит, для любых заданных натуральных чисел можно найти наибольший общий делитель.

Если числа а и b таковы, что то числа а и b называются взаимно простыми. Так, взаимно простыми будут числа 72 и 35 (хотя каждое из них — составное число). В самом деле, множество А делителей числа 72 таково:

а множество В делителей числа 35 таково:

Тогда значит,

Если числа разложены на простые множители, то легко найти их наибольший общий делитель. Найдем, например,

Составим разложение числа Д(3780, 7056) на простые множители. В него должны войти простые множители, которые содержатся как в разложении числа 3780, так и в разложении числа 7056. Если они входят в эти разложения с разными показателями, то берем множитель с меньшим показателем. Число 2 входит в оба разложения: в одно — с показателем 2, а в другое — с показателем 4. Поэтому мы возьмем Аналогично возьмем и 7, а множитель 5 не берем, так как он отсутствует в разложении числа 7056; итак,

Введем теперь понятия общего и наименьшего общего кратного. Пусть А—множество чисел, кратных 12:

а В— множество чисел, кратных 18:

Составим пересечение множеств А и В:

Элементы множества называют общими кратными чисел 12, 18. Это множество бесконечно, оно не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший элемент — число 36. Это число называется наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 и обозначается К (12, 18).

Заметим, что всякое общее кратное чисел 12 и 18 делится без остатка на их наименьшее общее кратное. Вообще, кратное чисел а и b делится на К (а, b). Иными словами, если число m делится нацело на а и на b, то оно делится и на К (а, b). Это замечание часто используется при исследовании вопроса делимости. Так, число 2340 делится на 2, 3, 4, 5, 9, 10. Значит, это число делится и на наименьшее общее кратное указанных чисел, то есть на число 180.

Если числа разложены на простые множители, то легко найти их наименьшее общее кратное. Найдем, например, К (3780, 7056). Выше мы видели, что Составим разложение числа К (3780, 7056). В него должны войти все простые множители, которые входят хотя бы в одно из чисел 3780 и 7056. Если какой-то простой множитель входит в оба разложения, то он берется с наибольшим показателем; имеем

Воспользовавшись рассмотренным примером, обратим внимание читателя на следующее обстоятельство:

Можно доказать, что аналогичное равенство справедливо для любых натуральных чисел а и b:

Если, в частности, числа а и b взаимно простые, т. е.

Это значит, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Множество рациональных чисел

Обыкновенные дроби

Напомним основные сведения об обыкновенных дробях, т. е. о числах вида где m и n — натуральные числа.

Пусть дана обыкновенная дробь Число m называется числителем дроби, n—знаменателем. В частности, n может быть равным 1. В этом случае обычно не пишут а пишут просто m, т. е. всякое натуральное число

можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Отсюда следует, что множество N всех натуральных чисел и множество Р всех обыкновенных дробей связаны отношением включения

Две дроби считаются равными, если

Например, равными будут дроби так как

Из определения равенства дроби следует, что равными будут дроби так как Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Это свойство называется основным свойством дроби.

Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой — равной данной, но с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

В общем случае, сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не взаимно простые числа. Если числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

Основная цель сокращения дроби — замена данной дроби равной ей несократимой дробью. Заменим, например, дробь равной ей несократимой дробью. Для этого найдем наибольший общий делитель чисел 36 и 48: Д (36, 48) = 12. Разделив числитель и знаменатель дроби на 12, получим Дробь несократимая.

Пусть теперь даны две дроби Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причем такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Такое преобразование, называемое приведением дробей к общему знаменателю, часто оказывается полезным. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

Заметим, что это не единственное решение поставленной задачи: например, дроби можно было привести к общему знаменателю 70:

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и на 7.

Рассмотрим еще один пример: приведем к общему знаменателю дроби

Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: Имеем поэтому, чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5; это число называется дополнительным множителем; итак,

Далее, имеем 120:30 = 4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим

Дроби приведены к общему знаменателю.

Ясно, что наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей является наименьшим возможным общим знаменателем. В дальнейшем нам часто придется приводить дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Перейдем к операциям над обыкновенными дробями. Сложение определяется следующим образом:

Например,

Если, в частности, то имеем

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к НОЗ, а потом складываются числители. Например,

Вычитание обыкновенных дробей производится аналогично.

Умножение определяется так:

Например,

Деление определяется так:

Например,

Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя (заметим, что если числитель и знаменатель дроби равны, т. е. то в этом случае дробь не относят ни к правильным, ни к неправильным).

Рассмотрим неправильную дробь и предположим, что m не кратно n (если m кратно n, то дробь можно заменить натуральным числом) Так как m больше n, то будем делить m на n. Пусть k—неполное частное, а r —остаток, тогда и

Так как остаток всегда меньше делителя, то правильная дробь. Значит, нам удалось представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа k и правильной дроби эта операция называется выделением целой части. Например, Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо пишут Такая запись называется смешанным числом.

Итак, мы показали, что всякую неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа. Верно и обратное, всякое смешанное число можно записать в виде неправильной дроби. Например,

или

Примеры:

Сократить дробь

Решение:

Первый способ. Найдем

Значит, тогда

Второй способ. Имеем:

2.Выполнить действия:

Решение:

Имеем:

3.Выполнить действия:
Решение. Приведем дроби к НОЗ, для чего найдем наименьшее общее кратное чисел 48, 72 и 90. Имеем Значит, Найдем дополнительные множители для каждой из данных дробей. Так как то дополнительным множителем для первой дроби будет число 15. Аналогично находим, что дополнительным множителем для второй дроби будет а для третьей дроби

Теперь имеем:

Число 679 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Значит, дробь несократима.

4.Выполнить действия:

Решение:

а) Первый способ. Обратим каждое из данных смешанных чисел в неправильную дробь, а затем выполним сложение:

Для сложения дробей приведем их к НОЗ. Имеем Дополнительным множителем для первой дроби будет число 3, для второй —7. Тогда

Превратим теперь неправильную дробь в смешанное число:

Второй способ. Имеем:

б) В случае умножения и деления смешанных чисел всегда переходят к неправильным дробям. Имеем: тогда

5.Выполнить действия:

Решение:

Перепишем данное числовое выражение, определив порядок действий:

Теперь будем проводить вычисления в указанном порядке:

Здесь удобно представить число 2 в виде тогда

Приведем дроби

Целесообразно представить смешанное число в виде имеем Так как то

Десятичные дроби

В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой 10,
100, 1000 и т.д. Например,

Таким же образом можно записывать и смешанные числа. Например, в этих случаях целую часть смешанного числа отделяют запятой от числителя дробной части.
В виде десятичной дроби можно представить не только обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10, некоторые другие обыкновенные дроби, например , В самом деле, имеем:

Некоторые обыкновенные дроби нельзя представить в виде десятичных. Например, дробь нельзя записать в виде десятичной, так как ее нельзя привести ни к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. Дробь тоже нельзя привести ни к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. и тем не менее эту дробь можно представить в виде десятичной дроби: сократив дробь получим а

Общий вывод о представлении обыкновенной дроби в виде десятичной таков: если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только двойки и пятерки, то эту дробь можно записать в виде десятичной. Если же дробь несократима и в разложение ее знаменателя входят кроме двоек и пятерок другие простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

Рассмотрим десятичную дробь 7,234. Имеем

Значит, в дроби 7,234 содержится 7 единиц, 2 десятых, 3 сотых и 4 тысячных. Вообще в десятичной дроби после запятой может быть сколько угодно разрядов: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и т. д. Дробь 7,234 можно записать так:

но

Значит, Таким образом, если к некоторой десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить — получится равная ей дробь.

Сложение и вычитание. При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая под запятой, и сложить числа так, как складывают натуральные числа. Сложим, например, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая—три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь к виду, когда после запятой имеется 3 цифры: 12,7 = 12,700, тогда

Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Вычтем для примера из 13,1 десятичную дробь 0,37:

Умножение. Пусть нужно перемножить десятичные дроби 1,12 и 2,3. Имеем:

Но можно было выполнить умножение и не переходя к обыкновенным дробям: достаточно выполнить умножение заданных чисел, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем Запятой отделим справа две цифры, ибо у сомножителей после запятой по одной цифре. В итоге получаем

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут несколько нулей. Например,

Рассмотрим еще умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем Отделив справа запятой три цифры, получимНо 127,330= 127,33. Значит,

Таким образом, умножение десятичной дроби на 10 сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.

Вообще, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 цифры.

Деление. Пусть нужно разделить дробь 22,1 на 13. Деление выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное. Запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части:

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается ноль целых, например:

Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Умножим делимое и делитель на 100—от этого частное не изменится. Тогда нужно будет разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т.е. задача сводится к уже рассмотренному случаю

Как в множестве натуральных чисел деление не всегда выполнимо, так оно не всегда выполнимо и в множестве десятичных дробей. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям. Разделим для примера 2,8 на 0,09:

В результате получается так называемая бесконечная десятичная дробь. Выполним деление, перейдя к обыкновенным дробям:

Может оказаться так, что одни числа записаны в виде обыкновенных дробей, другие в виде смешанных чисел, третьи — в виде десятичных дробей. При выполнении действий над такими числами можно поступать по-разному: 1) обратить десятичные дроби в обыкновенные и применить правила действий над обыкновенными дробями; 2) обратить обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби (если это возможно) и применить правила действий над десятичными дробями.

Пример:

Найти значение выражения

Решение:

Здесь удобнее записать в виде десятичной дроби: Тогда

В случае деления чаще переходят к обыкновенным дробям, где деление всегда выполнимо:

Числовая прямая. Отрицательные числа. Модуль числа

Проведем прямую, отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета, выберем единичный отрезок OI и зададим направление В этом случае говорят, что задана числовая прямая. Каждому из чисел, соответствует одна точка числовой прямой. Пусть, например, дано число 3. Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок три раза, получим точку А — эта точка и соответствует числу 3. Возьмем еще число Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок четыре раза, а затем еще у часть отрезка, получим точку В — она и соответствует числу

Если точка М числовой прямой соответствует некоторому числу r, то это число называется координатой точки; в таком случае пишут Так, для точек I, А, В (рис. 5) можно указать их координаты Координатой точки О считается число ноль.

Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки О в направлении, противоположном заданному. Получим точку симметричную точке А относительно начала отсчета О. Координатой точки А является число 3, координату точки записывают так: и читают «минус 3». Аналогично, координатой точки симметричной точке В на рис. 5, считается число Числа 3 и называют противоположными. Числа, расположенные на числовой прямой в заданном направлении, называют положительными; так, положительные числа. Положительные числа пишут иногда со знаком «плюс»: Числа, расположенные на прямой, в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными, так, отрицательные числа. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным, оно отделяет на числовой прямой положительные числа от отрицательных.

Заданное направление на числовой прямой называют положительным (обычно оно идет вправо), а направление, противоположное заданному,— отрицательным.

Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки, которая соответствует этому числу. Так, числу 3 соответствует точка А (рис. 5). Она удалена от точки О на расстояние, равное трем. Значит, модуль числа 3 (он обозначается равен 3, т. е. Аналогично Числу — 3 соответствует точка Она удалена от точки О на расстояние, равное трем. Значит, Аналогично,

Модуль любого положительного числа равен самому этому числу, модуль любого отрицательного числа равен числу, ему противоположному, модуль числа 0 равен 0.

Правила действий над положительными и отрицательными числами. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное. Чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых. Найдем для примера значение суммы Так как

Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Сложим для примера числа 12 и —7. Имеем: значит, модуль суммы равен 5. Так как 12 больше 7, то сумма чисел 12 и —7 будет положительна:

Найдем еще значение суммы Здесь значит,

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например:

Произведение (частное) двух отрицательных чисел есть число положительное, произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить) модули этих чисел.

Например:

Множество рациональных чисел

Мы рассмотрели множество N всех натуральных чисел. Обозначим через множество всех чисел, противоположных натуральным:

Если объединить множества и одноэлементное множество то получим множество Z всех целых чисел:

Целые числа—это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют вместе множество Q рациональных чисел.

Множество N натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел, а множество Z, в свою очередь, является подмножеством множества Q всех рациональных чисел, т. е. Это можно проиллюстрировать с помощью так называемых «кругов Эйлера» (рис. 6): внутренний круг изображает множество натуральных чисел, средний—целых, а больший — множество рациональных чисел.

Заметим, что любое рациональное число может быть представлено в виде отношения где m — целое число, а n — натуральное число, причем одно и то же число можно записать таким образом многими способами. Например,

Среди дробей, изображающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь Для целых чисел — это дробь со знаменателем 1.

На множестве рациональных чисел определены операции сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на ноль), причем для любых рациональных чисел справедливы следующие равенства:

Для каждого рационального числа а, отличного от нуля, существует и только одно рациональное число х, такое, что Это число х называется обратным числу а и обозначается Например, число, обратное числу 3, а —число, обратное числу Справедливо равенство:

Пример:

Дано множество

Найти

Решение:

В множестве А нет ни одного элемента, являющегося натуральным числом. Значит, пересечение множества А с множеством N всех натуральных чисел пусто: В множестве А имеются три элемента, являющиеся целыми отрицательными числами: это Значит,

Аналогично получаем

Найдем, наконец, множество Множество А состоит из рациональных чисел значит,

Множество действительных чисел

Иррациональные числа

Было введено понятие числовой прямой. Мы говорили о том, что каждому рациональному числу r соответствует единственная точка М числовой прямой: в таком случае мы писали и называли число г координатой точки М. Естественно, возникает вопрос: верно ли обратное, т. е. любой ли точке числовой прямой соответствует единственное рациональное число—координата этой точки. Ответ на этот вопрос отрицателен: сейчас мы приведем пример точки числовой прямой, которая не имеет рациональной координаты.

Построим на единичном отрезке квадрат и отложим в положительном направлении отрезок ОМ, длина которого равна длине диагонали ОB, т. е. (рис. 7). Утверждаем, что точка М не соответствует никакому рациональному числу.

Предположим противное, что существует рациональное число r, являющееся координатой точки М. Тогда Но значит, По теореме Пифагора значит, Так как r — положительное рациональное число, то r можно представить в виде несократимой дроби, где m, n—взаимно простые натуральные числа. Теперь имеем Последнее равенство означает, что —четное число. Но тогда и m — четное число, т. е. Подставим выражение 2k вместо m в равенство

Последнее равенство означает, что —четное число, тогда и n —четное число.

Итак, m.n — четные числа, а это противоречит предположению, что m и n взаимно простые числа. Полученное противоречие означает, что не существует рационального числа r, квадрат которого равен 2, и что построенная точка М не имеет рациональной координаты.

И все-таки естественно считать, что и точка М имеет какую-то координату. Эта координата, как мы видим, не есть рациональное число, это число новой природы — иррациональное, оно обозначается Аналогично можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 5,7, 10, соответствующие иррациональные числа обозначаются Противоположные числа также иррациональны — они обозначаются

Следует подчеркнуть, что к иррациональным числам приводит не только задача отыскания числа, квадрат которого равен заданному положительному числу. Например, число выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби — это иррациональное число.

Множество действительных чисел

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Таким образом, введя в рассмотрение множество действительных чисел, мы можем каждой точке числовой прямой поставить в соответствие координату точки. Для краткости обычно уславливаются вместо фразы «точка числовой прямой, соответствующая действительному числу а» писать и говорить «точка а». Условимся также, употребляя термин «число а», иметь в виду «действительное число а». Как и для рациональных чисел, вводится понятие модуля действительного числа а—это расстояние точки а от начала отсчета.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой R. Так как каждое рациональное число является действительным, то множество Q всех рациональных чисел есть подмножество множества R, т. е. Если обозначить буквой J множество всех иррациональных чисел, то можем записать, что

Из двух чисел а и b меньшим считается то, которое расположено левее на числовой прямой, а большим то, которое расположено правее. Если а меньше b, то пишут если а больше b, то пишут Согласно этому определению, любое положительное число больше нуля, любое отрицательное число меньше нуля, любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Основываясь на приведенном определении, можно получить следующее утверждение: тогда и только тогда, когда разность а — b—положительное число тогда и только тогда, когда разность а — b—отрицательное число.

Для любых заданных чисел а и b верно одно и только одно из отношений:

Знаки называются знаками строгих неравенств. Иногда используются знаки знаки нестрогих неравенств; запись означает, что верно одно из двух: или число а меньше числа b, или число а равно числу b.

Пример:

Сравнить числа и 0,67.

Решение:

Составим разность и найдем значение этой разности:

Так как разность отрицательна, то

Для действительных чисел справедливы девять основных законов алгебры, которые сформулированы выше для рациональных чисел.

Числовые промежутки

Возьмем два числа а и b (пусть и отметим их точками на числовой прямой

(рис. 8). Возьмем произвольную точку х прямой, лежащую между а и b тогда Обычно вместо двух написанных неравенств используют запись в виде двойного неравенства: Рассмотрим множество

т. е. множество всех таких действительных чисел х, каждое из которых удовлетворяет двойному неравенству Это множество обозначается и называется интервалом. На рис. 9 дано геометрическое изображение интервала

Рассмотрим теперь множество Оно отличается от множества тем, что числа а и b принадлежат множеству но не принадлежат множеству Множество обозначается так: и называется отрезком. На рис. 10 дано геометрическое изображение отрезка

Обратите внимание на то, что концы отрезка изображены закрашенными кружками, тогда как концы интервала—светлыми кружками (см. рис. 9 и 10).

Отрезок и интервал — это числовые промежутки. Кроме них, рассматривают такие множества:

Это множество обозначают и называют полуинтервалом (рис. 11).

На рис. 12 изображен полуинтервал вида соответствующий двойному неравенству

Это множество обозначают интервал от а до плюс бесконечности, или открытый луч, геометрическое изображение дано на рис. 13.

Множество вида обозначают — полуинтервал от минус бесконечности до b, или луч геометрическое изображение дано на рис. 14.

Примеры:

Даны множества

Найти.

Решение:

Изобразим данные числовые промежутки на числовой прямой, используя для множества А верхнюю штриховку, а для

множества В нижнюю штриховку (рис. 15). Пересечением множествА и В будет промежуток от до 8 — на нем обе штриховки совпали,

Объединением множеств А и В будет промежуток от —1 до 9 — каждая точка этого промежутка принадлежит, по крайней мере, одному из данных множеств:

2.Представить в виде числового промежутка или в виде объединения двух числовых промежутков множество М, состоящее из таких действительных чисел что

Решение:

а) Известно, что — это расстояние точки x от начала отсчета. Значит, множество М состоит из всех таких чисел х, которые удалены от начала отсчета на расстояние, меньшее 3. Отметим на числовой прямой точки, которые удалены от начала отсчета на расстояние, равное 3; это точки -3 и 3. Тогда множество М — это интервал от —3 до 3 (рис. 16);

б) Имеем (рис. 17):

в) Множество М состоит из всех таких чисел х, которые удалены от начала отсчета на расстояние, большее 2,7. Отметим на числовой прямой точки, которые удалены от начала отсчета на расстояние,

равное 2,7: это точки -2,7 и 2,7. Тогда множество М состоит из двух промежутков: от (рис 18);

г) Имеем (рис. 19):

Множества. Действительные числа

Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс:, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения , о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита , а их элементы — малыми буквами

Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись или означает, что элемент не принадлежит множеству .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать или .

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение (произведение) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать и —

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

— означает «из предложения следует предложение »;

— «предложения и равносильны», т. е. из следует и из следует ;

— означает «для любого», «для всякого»;
— «существует», «найдется»;
— «имеет место», «такое что»;
— «соответствие».

Например: 1) запись означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;

2) или ; эта запись определяет объединение множеств и .

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Цилиндрические поверхности

Поверхности вращения

Числовые множества

Числовые промежутки

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат