Функции комплексного переменного с примерами решения и образцами выполнения

Рассмотрены функции комплексного переменного и операционное исчисление в объеме, необходимом при изучении предмета высшая математика. Изложение теоретического материала сопровождается решением примеров.

Понятие функции комплексного переменного. Производная. Условия Коши—Римана

Множества на комплексной плоскости

Пусть ε > 0 —произвольное положительное число, а zо — произвольное комплексное число. Множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству

является открытым кругом радиуса ε с центром в точке zo (рис. 1).

В самом деле, полагая zo = хo + iyo, z = х + iy, получим

или, возводя в квадрат,

Совокупность точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству

\z — z0| < е,

будем называть ε -окрестностью точки zo.

Точка z называется внутренней точкой множества на комплексной плоскости, если существует ε -окрестность этой точки, целиком принадлежащая данному множеству.

Областью на комплексной плоскости называется множество D точек, обладающих следующими свойствами:

1) каждая точка множества D является внутренней точкой этого множества (открытость);

2) любые две точки множества D можно соединить ломаной, состоящей из точек этого множества (связность).

Граничной точкой области D называется всякая точка z, в любой ε -окрестности которой содержатся как точки, принадлежащие области D, так и точки, не принадлежащие области D. Совокупность граничных точек называется границей области D. Обозначение: 3D.

Область D с присоединенной к ней границей дD называется замкнутой областью и обозначается символом .

Пример:

Множество точек z, удовлетворяющих неравенствам

1 < |z| < 2,

является (открытой) областью, а неравенствам

1 ≤ |z| ≤ 2,

— замкнутой областью. Граница состоит из двух окружностей |z| = 1 и |z| = 2 (рис. 2).

Замкнутую кривую без самопересечений будем называть контуром. Всякий контур разбивает плоскость на две различные области и является границей каждой из них. Одна из этих областей — внутренность контура — ограничена, а другая — внешность контура — неограничена.

Область D будем называть односвязной, если внутренность любого контура, принадлежащего D, также принадлежит D. Область, не являющуюся односвязной, назовем многосвязной.

Пример:

Множество комплексных чисел z = x + iy, подчиненных условию

0 < х < 1, -1 < у < 1,

— односвязная область (рис. 3).

Пример:

Множество комплексных чисел z, подчиненных условию

0 < |z| < 1,

— многосвязная (двусвязная) область (рис. 4): точка z = 0, лежащая внутри контура γ, не принадлежит рассматриваемому множеству.

Рассмотрим последовательность {zn} комплексных чисел

Если для любого сколь угодно большого числа М > 0 существует натуральное число N такое, что все члены zn последовательности {zn} с номерами п > N удовлетворяют неравенству |zn| > М, то говорят, что последовательность {zn} сходится к бесконечно удаленной точке, или просто к бесконечности, и пишут

Пополняя плоскость комплексного переменного так введенной бесконечно удаленной точкой z = ∞, получаем расширенную плоскость комплексного переменного.

Окрестностью бесконечно удаленной точки (R — окрестностью) называется совокупность всех точек z, удовлетворяющих неравенству |z| > R (с присоединением бесконечно удаленной точки), т.е. совокупность всех точек г, лежащих вне круга достаточно большого радиуса R с центром в начале координат (рис. 5).

Функция комплексного переменного

Будем говорить, что на множестве S комплексной плоскости z определена функция

w = f(z),

если указано правило, по которому каждому комплексному числу z из S ставится в соответствие комплексное число w.

Таким образом, функция w = f(z) осуществляет отображение точек комплексной плоскости z на соответствующие точки комплексной плоскости w (рис. 6) Положим

z = х + iy, w = и + iv.

Тогда задание функции комплексного переменного w = f(z) будет равносильно заданию двух действительных функций двух действительных переменных

и = и(х,у), v = v(x,y),

где

w = f(z) = и(х, у) + iv(x, у).

Функция и(x, у) называется действительной частью функции w = f(z) (Re w), а v(x, у) — ее мнимой частью (Im w).

Пример:

Пусть w = z2. Полагая z = х + iy, w= u + iv, получим

Следовательно, равенство w = z2 равносильно двум равенствам

Функция w = f(z) называется однолистной функцией на множестве S, если в разных точках этого множества она принимает разные значения. Функция, не являющаяся однолистной, называется многолистной.

Пример:

Функция w = z2 однолистна в верхней полуплоскости Im z > 0 и многолистна на всей плоскости. Например,

Часто рассматривают многозначные функции комплексного переменного, когда каждому значению z из S ставится в соответствие несколько комплексных чисел.

Пример:

Функция w = двузначна на всей плоскости z, исключая нулевую точку (и бесконечно удаленную).

Предел функции

Пусть функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки zo = хо + iуо кроме, может быть, самой точки zo.

Комплексное число А называется пределом функции f(z) при z, стремящейся к zo, если для любого положительного числа е можно указать в-окрестность точки zo такую, что для всех точек z из этой δ -окрестности, исключая, может быть, саму точку zo, соответствующие точки w = f(t) лежат в ε -окрестности точки А (рис.7). Обозначение: .

Если zo и А — конечные точки комплексной плоскости, то определение предела можно сформулировать и по-другому:

если для любого ε > 0 можно указать δ = δ ( ε ) > 0 такое, что для всех z, удовлетворяющих условию 0 < |z — zo| < δ, выполняется неравенство |f(z) — А| < ε.

Подчеркнем, что согласно данному определению функция f(z) стремится к своему пределу А независимо от способа приближения точки z к точке zo.

Существование предела (1) равносильно одновременному существованию пределов действительных функций и(х, у) и v(x, у):

где А = В + iC.

Ввиду того, что данное определение предела (1) сводится к определению предела для действительных функций двух действительных переменных, для функции комплексного переменного остаются справедливыми основные предельные соотношения:

Непрерывность

Функция w = f(z), заданная на множестве S, называется непрерывной в точке zo ∈ S, если

Иными словами, функция f(z) непрерывна в точке zo, если для любого ε > 0 можно указать δ = δ( ε ) > 0 такое, что дня всех точек z ∈ S, удовлетворяющих условию |z — zo| < δ, выполняется неравенство |f(z) — f(z0)| < ε. Для непрерывности функции комплексного переменного

f(z)=u(x, y) + iv(x,y)

в точке to = хо+ iyo необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части — функции и(x, у) и v(x, у) — были непрерывны в точке (хo, yо) по совокупности переменных х и у.

Это позволяет перенести на функции комплексного переменного основные свойства непрерывных функцийдвухдействительных переменных: непрерывность суммы, произведения и частного двух функций, непрерывность сложной функции.

Если функция f(z) непрерывна в каждой точке множества S, то говорят, что функция f(z) непрерывна на множестве S.

Дифференцируемость и аналитичность функции комплексного переменного

Пусть функция f(z) определена в некоторой окрестности точки z.

Говорят, что функция f(z) дифференцируема в точке z, если существует предел

Этот предел называют производной функции f(z) в точке zo и обозначают символом f`(z) или

Из определения производной (3) и свойств пределов (2) вытекает, что для функций комплексного переменного сохраняются основные правиладифференцирования суммы, произведения и частного двух функций, сложной функции и обратной функции:

Пример:

Покажем, что функция w = f(z) = Re z не дифференцируема ни в одной точке.

Пусть z = х + ху. Тогда w = х. Напомним, что по определению дифференцируемое функции w = f(z) в точке z предел разностного отношения

не должен зависеть от способа приближения к точке z. Рассмотрим два случая. Пусть h = s — действительно. Тогда

Положим h = it, где t — действительно. Тогда

Таким образом, способ приближения к точке z существенно влияет на предельное значение разностного отношения. Значит, функция to = Re z не дифференцируема ни в одной точке комплексной плоскости.

Требование дифференцируемости функции f(z) в точке z = х + iy накладывает определенные условия на поведение действительной и мнимой частей этой функции в окрестности точки (х, у).

Теорема:

Пусть функция f(z) = и(х, у) + iv(x, у) дифференцируема в точке z = х + iy. Тогда в точке (х, у) существуют частные производные функций и(х, у) и v(x, у) по переменным х и у, причем

Соотношения (4) называют условиями Коши—Римана.

По условию теоремы существует

не зависящий от способа приближения к точке z.

Предположим сначала, что h стремится к нулю, оставаясь действительным (h = s) (рис.8).

В этом случае

Последнее преобразование возможно вследствие того, что существование предела функции равносильно одновременному существованию пределов ее действительной и мнимой частей. Тем самым,

Полагая теперь в формуле (5) h = it, где t — действительно, получим

Правые части в последних двух выражениях для f'(z) равны,

Отсюда вытекают равенства (4).

Налагая определенныеусловия на действительную и мнимую части функции комплексного переменного, можно гарантировать ее дифференцируемость.

Теорема:

Пусть функции и(х, у) и v(x, у) дифференцируемы в точке (x, у) как функции действительных переменных и в этой точке выполнены условия (4). Тогда функция комплексного переменного

f{z) = и(х, у) + iv( х, у)

дифференцируема в точке z = х + iy.

По определению дифференцируемости действительных функций и(х, у) и v(x, у) попеременным х и у их приращения в точке (х, у) можно записать в следующем виде:

(здесь а и β стремятся к нулю вместе с |h| = ).

Умножая второе из равенств на t и складывая с первым, получим

где γ = a + iβ стремится к нулю при |Лh| —> 0. Исключим из этой формулы Uy и Vy, пользуясь соотношениями (4), Тогда приращение функции можно будет записать в следующем виде:

Поделив обе части последнего равенства на h = s + it, убеждаемся втом, что предел

существует и равен

Пример:

Функция w = z = х — iy не дифференцируема ни в одной точке, т. к.

Функция w = f(z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой ее окрестности. Функция w = f(z), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области.

Для любой аналитической функции f(z) выполняются равенства (6)

Пример:

Является ли функция

аналитической хотя бы в одной точке? Имеем:

так что

Условия Коши—Римана в этом случае имеют вид

2х = 0, 2y = 0

и выполняются только в точке (0,0).

Следовательно, функция дифференцируема только в точке z = 0 и нигде не аналитична.

Пример:

Показать, что функция

является аналитической на всей комплексной плоcкости z.

Функции

как функции действительных переменных х и у дифференцируемы в любой точке (х, у). Нетрудно проверить, что их первые производные удовлетворяют условиям (4). Пользуясь формулой (6), f'(z) = , вычислим производную данной функции f(z). Имеем

При помощи условий Коши—Римана аналитическую функцию можно восстановить с точностью до постоянной, если известна ее действительная часть и(х, у) или ее мнимая часть v(x, у).

Пример:

Найти аналитическую функцию

w = f(z)

по ее действительной части

при дополнительном условии f(0) = 1.

1-йспособ. Так как и_x = е^x cos y, то в силу равенства и_x = v_y, получаем, что v_y = е^x cos у. Отсюда

где функция φ(х) пока неизвестна. Дифференцируя v no х и используя равенство v_x = — u_y, получим, что

откуда φ'(х) = 0, и значит, φ(х) = С, где С= const. Итак, v(g,y) = е^x sin у + С, и следовательно,

Из условия f(0) = 1, полагая в последнем равенстве х = 0 и у = 0, получаем, что 1 = 1+ iC, и значит, С = 0.

2-й способ. Отыскание мнимой части проще провести при помощи криволинейного интеграла. Имеем

Поэтому

Так как v(0,0) = 0, то окончательно получаем

Функция φ(х, у) называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

Если функция f(z) = и + iv аналитична в некоторой области D,тои ее действительная часть и(х, у), и ее мнимая часть v(x, у) являются гармоническими функциями в соответствующей области плоскости хОу.

В самом деле, дифференцируя первое из равенств (4) по х, а второе — по у, получим

откуда в силу равенства v_xy = v_yx приходим к соотношению u_xx + y_yy = 0. Аналогичное соотношение получаем и для мнимой части: v_xx + v_yy = 0.

Замечание:

Возможность проведения указа иных дифференцирований нуждается н обосновании. Далее, в § 3, будет доказано, что функция, аналитическая в некоторой области, имеет в ней производные всех порядков. Разумеется, это относится и к ее действительной и мнимой частям.

Геометрический смысл производной функции комплексного переменного

Пусть w = f(z) — функция, аналитическая в области D. Зафиксируем в области D точку г0 и проведем через zq гладкую кривую γ.

Пусть функция w = f(z) отображает область D комплексной плоскости z = x + iy на некоторую область G комплексной плоскости w = и + iv, при этом точка z0 переходит в точку wo, а кривая γ в кривую Г. По условию в каждой точке области D существует производная f'(z). Предположим, что f'(zo) ≠ 0, и представим комплексное число f'(zо) в показательной форме

Если точка z = zo + ∆z лежит на кривой γ, то соответствующая ей точка w = wo + ∆w лежит на кривой Г (рис. 9).

Угол, который вектор ∆z (вектор ∆w) секущей кривой γ (кривой Г) образует с положительным направлением действительной оси х (оси u), равен arg ∆z (arg ∆w). Так как в пределе при ∆ z —► 0 и ∆wo секущие переходят в касательные к соответствующим кривым, то

где φ (соответственно Ф) — угол, образуемый касательной к кривой γ (кривой Г) в точке zo (точке Wo) с осью х (осью и).

При делении комплексных чисел аргументы вычитаются

Поэтому

Так как величина производной не зависит от того, по какому закону ∆z стремится к нулю, то полученная разность будет той же самой и для любой другой гладкой кривой, проходящей через точку (при этом сами углы Ф и φ могут, конечно, измениться). Отсюда вытекает, что при отображении посредством аналитической функции w = f(z), у которой производная f'(zо) ≠ 0, угол

между любыми гладкими кривыми γ и , исходящими из точки zо, равен углу между их образами Г и , исходящими из точки wo:

При этом сохраняются как абсолютные величины углов, так и их направления. Это свойство называется свойством сохранения углов. Так как

то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка имеет место равенство

не зависящее от выбора кривой γ.

Геометрический смысл этого равенства состоите том, что бесконечно малые окружности с центром в точке zo с точностью до бесконечно малых высших порядков преобразуются в бесконечно малые окружности с центром в точке wo (рис. 10). Это свойство называется свойством постоянства растяжений.

Взаимно однозначное отображение w = f(z) области D плоскости z на область G плоскости w называется конформным, если это отображение в каждой точке области D обладает свойством сохранения углов и свойством постоянства растяжений.

Таким образом, приведенные выше рассуждения показывают, что отображение посредством аналитической функции с отличной от нуля производной конформно.

Справедливо следующее утверждение.
Критерий конформности. Для того, чтобы отображение w = f(z) было конформно в области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области функция f(z) была однолистной и аналитической, причем f'(z) ≠ 0 для всех z из D.

Элементарные функции комплексного переменного

Дробно-рациональные функции

Линейной функцией комплексного переменного z называется функция вида

w= az + b, (1)

где а и b — заданные комплексные числа, причем а ≠ 0. Линейная функция определена для всех значений независимого переменного z, однозначна и, т. к. обратная функция

также однозначна, однолистна во всей плоскости z. Линейная функция аналитична во всей комплексной плоскости, и ее производная

поэтому осуществляемое ей отображение конформно во всей плоскости.

Дробно-линейной функцией называется функция вида
(3)

где а, b, с и d — заданные комплексные числа, причем

Дробно-линейная функция определена для всех значений независимого переменного z, кроме z = , однозначна и, т. к. обратная функция

однозначна, однолистна во всей комплексной плоскости, исключая точку z = . В этой области функция (3) аналитична и ее производная

поэтому осуществляемое ею отображение конформно.

Доопределим функцию (3) в точке z = положив w() = ∞, а бесконечно удаленной точке w = ∞ поставим в соответствие точку z( ∞) = Тогда дробно-линейная функция будет однолистна в расширенной комплексной плоскости z.

Пример:

Рассмотрим дробно-линейную функцию

Из равенства

wz = 1

вытекает, что модули комплексных чисел z и w связаны соотношением

а сами эти числа располагаются на лучах, выходящих из точки О и симметричных относительно действительной оси.

В частности, точки единичной окружное |z| = 1 переходят в точки единичной окружности |w| = 1. При этом комплексному числу

ставится в соответствие сопряженное число

(рис. 11). Заметим также , что функция отображает бесконечно удаленную точку z = ∞ в нулевую to = 0.

Степенная функция

Степенная функция (4)

где п ~ натуральное число, аналитична во всей комплексной плоскости; ее производная при п > 1 отлична от нуля во всех точках, кроме z = 0. Записывая в формуле (4) w и z в показательной форме

получаем, что

Из формулы (5) видно, что комплексные числа z1 и z2 такие, что

где k — целое, переходят в одну точку w. Значит, при п > 1 отображение (4) не является однолистным на плоскости z.

Простейшим примером области, в которой отображение однолистно, является сектор

где а — любое вещественное число. В области (7) отображение (4) конформно.

Пример:

Отображение, n > I, переводит сектор 0 < argz <

плоскости z в верхнюю полуплоскость плоскости w (рис. 12). При этом угол раствора сектора увеличивается в п раз. Поэтому в точке z = 0 конформность отображения нарушается.

Обратная функция — корень п-й степени

— многозначна, т. к. для каждого комплексного числа можно указать п различных комплексных чисел

таких, что их n-я степень равна z:

Отметим, что

Многочленом степени п комплексного переменного z называется функция

где а₀, а₁,…, а_n — заданные комплексные числа, причем а₀ ≠ 0. Многочлен любой степени является аналитической функцией на всей комплексной плоскости.

Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной функцией называется функция вида

где P(z) и Q(z) — многочлены комплексного переменного z. Дробно-рациональная функция аналитична во всей плоскости, кроме тех точек, в которых знаменатель Q(z) обращается в нуль.

Пример:

Функция Жуковского
(8)

аналитична во всей плоскости z, исключая точку z = 0.

Выясним условия на область комплексной плоскости, при которых функция Жуковского, рассматриваемая в этой области, будет однолистна.

Пусть точки z1 и z2 функция (8) переводит в одну точку. Тогда

при z1 ≠ z2 мы получаем, что Z1Z2 = 1.

Значит, для однолистности функции Жуковского необходимо и достаточно выполнение условия

Примером области, удовлетворяющей условию однолистности (9), является внешность круга |z| > 1. Так как производная функции Жуковского

отлична от нуля всюду, кроме точек z = ±1, то отображение области |z| > 1 осуществляемое этой функцией, будет конформным (рис. 13).

Заметим, что внутренность единичного круга |z| < I также является областью однолистности функции Жуковского.

Показательная функция

Показательную функцию е^z определим для любого комплексного числа z = х + iу следующим соотношением:
(10)

При x = 0 получаем формулу Эйлера:
(11)

Опишем основные свойства показательной функции:

1, Для действительных z данное определение совпадает с обычным.

В этом можно убедиться непосредственно, положив в формуле (10) у = 0.

2. Функция е^z аналитична на всей комплексной плоскости, и для нее сохраняется обычная формула дифференцирования

3. Для функции е^z сохраняется теорема сложения:

Положим . Тогда

4. Функция е^z — периодическая с мнимым основным периодом 2 πi. В самом деле, для любого целого к

ибо

С другой стороны, если

из определения (10) вытекает, что

Откуда следует, что

или

где п — целое.

Полоса 0 < у < 2π не содержит ни одной пары точек, связанных соотношением (12), поэтому из проведенного исследования вытекает, что отображение однолистно в полосе 0 < у < 2π (рис. 14). Атак как производная , то это отображение конформно.

Замечание:

Функция е^z однолистна в любой полосе а < у < а + 2π.

Логарифмическая функция

Из уравнения

где z ≠ 0 задано, a w = и + iv — неизвестное, получаем

Отсюда

Тем самым функция, обратная функции

определена для любого z ≠ 0 и представляется формулой

w = In |z| + i Arg z = In \z\ + »(arg z + 2*k),

где к = 0, ±1, ±2,…. Эта многозначная функция называется логарифмической и обозначается следующим образом

Ln z = In |z| + i Arg z.

Величину In |z| + i arg z называют главным значением логарифма и обозначают через

lnz = In |z| + i argz. (13)

Тогда для Ln z получается формула

Ln z = ln z + i2πk, k = 0, ±1, ±2,.. (14)

Тригонометрические и гиперболические функции

Из формулы Эйлера (11) для действительных у получаем

Откуда

Определим тригонометрические функции sin z и cos z для любого комплексного числа z посредством следующих формул:
(15)

Синус и косинус комплексного аргумента обладают интересными свойствами. Перечислим основные из них. Функции sin z и cos z:

1) для действительных z = х совпадают с обычными синусами и косинусами;

2) аналитичны на всей комплексной плоскости;

3) подчиняются обычным формулам дифференцирования:

(sin z)’ = cos z, (cos z)’ = — sin z;

4) периодичны с периодом 2π;

5) sin z — нечетная функция, a cos z — четная;

6) сохраняются обычные тригонометрические соотношения.

Все перечисленные свойства без труда получаются из формул (15). Функции tgz и ctgz в комплексной области определяются формулами
(16)

а гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z — формулами
(17)

Гиперболические функции тесно связаны с тригонометрическими функциями. Эта связь выражается следующими равенствами: (18)

Синус и косинус комплексного аргумента обладают еще одним важным свойством: на комплексной плоскости |sin z| и |cos z| принимают сколь угодно большие положительные значения. Покажем это.

Пользуясь свойствами 6 и формулами (18) получаем, что

Откуда

Полагая x = 0, имеем

| sin z| = |sh y|, |cos z|=ch y.

Пример 4. Нетрудно проверить, что

В самом деле,

Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши

Интеграл от функции комплексного переменного

Рассмотрим на комплексной плоскости z кусочно-гладкую ориентированную кривую γ и предположим, что на этой кривой определена функция f(z) комплексного переменного z. Разобьем кривую γ на п частичных дуг последовательными точками деления

где а и b — концы кривой γ (рис. 15). Положив

составим сумму

(здесь ζk — произвольно взятая точка k-й частичной дуги ), называемую комплексной интегральной суммой вдоль кривой γ.

Если при —> 0 существует предел суммы (1), не зависящий от способа разбиения кривой на частичные дуги и от выбора точек ζk на них, то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой γ:
(2)

Положим

Тогда интегральную сумму (1) можно записать в следующем виде:

Из этого соотношения видно, что действительная и мнимая части суммы (1) представляют собой интегральные суммы криволинейных интегралов второго рода —

соответственно.

Таким образом, вопрос о существовании интеграла (2) сводится к вопросу о существовании обычных криволинейных интегралов от функций действительных переменных. Для существования этих интегралов достаточно кусочной непрерывности функций и и v действительных переменных х и у.

Таким образом, если γ — кусочно-гладкая кривая, a f(z) — кусочно непрерывная и ограниченная на γ функция, то интеграл (2) всегда существует и справедлива формула (5)

Формулу (5) легко запомнить, если записать ее в следующем виде:

Из формулы (5) вытекает, что для интегралов от функции комплексного переменного сохраняются основные свойства криволинейных интегралов второго рода:

с — комплексная постоянная

(здесь кривые γ ~ и γ + имеют противоположную ориентацию (рис. 16 а).

Доказательство формулы (6) вытекает непосредственно из определения интеграла: переходя в соотношении

к пределу при шах —► 0 и учитывая, что

— длина ломаной, вписанной в кривую γ, получим требуемое.

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного

Пусть

— параметрическое представление гладкой кривой γ. Тогда справедлива следующая формула:
(7)

В самом деле, при помощи формулы (5) вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов (4) от действительны х функций. Эти интегралы можно вычислить сведением к обыкновенным,

Подставляя полученные выражения в правую часть формулы (5), получим требуемое:

Пример 1. Покажем, что

где γr — окружность радиуса г с центром а точке zo, обходимая против часовой стрелки. Окружность γ , имеет следующее параметрическое представление:

Отсюда вытекает, что и

Заметим, что значение интеграла (9) не зависит ни от r, ни от zo.

Рассуждая аналогично, убеждаемся в том, что

где п — целое число, п ≠ I. В самом деле,

Теорема Коши

Теорема:

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D, у — произвольная замкнутая спрямляемая кривая, лежащая в области D. Тогда

Доказательство этой теоремы проведем при двух дополнительных предположениях:
1) γ — кусочно-гладкий контур;
2) производная f'(z) — непрерывна.

В силу соотношения

достаточно показать, что интегралы

равны нулю.

Обозначим внутренность контура γ через G. Так как функция f(z) непрерывна всюду в области G, то функции и(х, у) и v(x, у) в этой области имеют непрерывные частные производные первого порядка. Ввиду кусочной гладкости контура γ выполнены все условия, позволяющие применить к интегралам (12) формулу Грина. Имеем

В силу условий Коши—Римана подынтегральные выражения в каждом из двойных интегралов (13) тождественно равны нулю.

Замечание:

Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то значение интеграла

взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой кривой γ, принадлежащей области D, не зависит от выбора кривой γ, а определяется лишь положением начальной и конечной точек этой кривой. Чтобы подчеркнуть независимость интеграла от пути интегрирования, будем обозначать его следующим образом:

где zо и z1 — соответственно начальная и конечная точки кривой γ.

Теорема:

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D; точки zo и z принадлежат D. Тогда функция

аналитична в области D, и

В силу свойств интегралов от функции комплексного переменного и предыдущего замечания, разностное отношение

можно представить в следующем виде:

Будем считать, что интеграл в равенстве (14) вычисляется вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и z + h (рис. 17).

Замечая, что

оценим разность

В силу непрерывности функции f( ζ ) в точке z, для любого ε > 0 найдется 6 > 0 такое, что при |ζ — z| < δ выполняется неравенство |f( ζ ) — f(z)| < ε. Пусть |h| < δ. Тогда

Полученная оценка означает, что существует

Замечание:

Нетрудно заметить, что приведенное выше доказательство основано на двух свойствах функции f[z):

1) f(z) непрерывна в области D;

2) , взятый вдоль любого замкнутого контура γ, лежащего в области D, равен нулю, или, что то же, интеграл не зависит от пути интегрирования.

При этих условиях

есть функция, аналитическая в области D, причем F'(z) = f(z). Этим замечанием мы воспользуемся в следующем параграфе.

Функция Ф(z) называется первообразной функции f(z) в области D, если в каждой точке этой области выполняется неравенство (15)

Покажем, что любая первообразная Ф(г) функции f(z) выражается формулой
(16)

где с — постоянная, zo, z ∈ D.

Положим

Тогда

Отсюда вытекает, что

и значит, и(х, у) = с1, v(x, у) = с2, где C1 и с2 — постоянные. Следовательно,

Полагая в формуле (17) z = zо, получим, что Ф(zо) = с.

Заметим, что формулу (16) с учетом равенства Ф(го) = с можно записать в следующем виде:
(18)

Тем самым, если функция f(z) аналитична в односвязной области D, содержащей точки zo и z, то, как и в действительном случае, имеет место формула Ньютона-Лейбница (18), где Ф(z) — какая-либо первообразная функции f(z).

Пример:

Вычислить интеграл

Подынтегральная функция f(z) = 3z2 + 2z аналитична всюду, Ф(z) = z3 + z2 — ее первообразная. Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получим, что

Пример:

Для вычисления интеграла

где z = ≠ 0, выберем в качестве пути интегрирования кусочно-гладкую кривую ABC, состоящую из отрезка АВ действительной оси с концами в точках 1 и г = |z| и меньшей дуги ВС окружности | ζ | = r с концами в точках r = |z| и z (рис. 18).

Тогда

Так как на отрезке АВ ζ = х, то первый из интегралов

Для вычисления второго интеграла заметим, что на дуге ВС. Поэтому

Таким образом,

и, значит,

На основании доказанной теоремы заключаем , что главное значение логарифма — In z — аналитическая функция при z ≠ 0 и

Интегрирование многозначных функций

Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, отображает D на область G и такова, что обратная функция z = g(w) многозначна в области G. Если существуют однозначные аналитические в области G функции z = g1(w), z = g2(w) каждой из которых данная функция w = f(z) является обратной, то эти функции g1(w), g2(w),… называются однозначными ветвями функции g(w), определенными в области G.

Пример:

Функция каждой точке z ставит в соответствие единственную точку w; но одной и той же точке w [w ≠ 0, w ≠ ∞) функция z = ставит в соответствие п различных точек z. При этом вони w = , то эти п значений z находятся по формулам

Пусть односвязная облает G содержит точку wo, но не содержит точек 0 и ∞. Тогда при одном и том же выборе числа φо (например, φо = arg wо) различным значениям к (к = 0,1,…, п — 1) соответствуют различные ветви функции z = .

Тонкой разветвления многозначной функции называется точка, обход вокруг которой в достаточно малой ее окрестности влечет за собой переход с одной ветви многозначной функции на другую.

Точками разветвления функции являются точки w = 0 и w = ∞. После n-кратного обхода, например, вокруг точки w = 0 мы вернемся к первоначальной ветви функции . Точки разветвления, обладающие таким свойством, называются алгебраическими точками разветвления (порядка п — 1). В каждой из этих точек функция имеет только одно значение:

т. е. различные ветви функции в этих точках совпадают.

Для логарифмической функции w=Lnz точками разветвления являются точки z = 0 и z = ∞, причем Ln 0 = — ∞ и Ln ∞ = ∞. Любое конечное число обходов (в одном и том же направлении) вокруг точки z = 0 не приведет к первоначальной ветви функции Ln z. Такие точки разветвления называются логарифмическими.

При интегрировании многозначной функции необходимо выделять ее однозначную ветвь. Это достигается заданием значения функции в некоторой точке кривой, по которой ведется интегрирование.

Пример:

Вычислить интеграл

где

— верхняя полуокружность |z| = I. Для берется ветвь, для которой = -1 (рис. 19).

Положим z = , где r = 1, а θ изменяется от 0 до π. Из условия = -1 следует, что .

Toгдa

Пример:

Вычислить интеграл

по меньшей дуге окружности |z| = I. (In z — главное значение логарифма, In I = 0). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем, что

Теорема Коши для многосвязной области

В теореме Коши речь идет о контуре, целиком лежащем внутри области аналитичности функции. Однако утверждение теоремы остается в силе и дня контура, который является границей области аналитичности заданной функции, при дополнительном условии ее непрерывности в замыкании этой области. Сформулируем это важное для практических применений обобщение теоремы Коши.

Теорема:

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в замкнутой области D. Тoгда интеграл от функции f(z), взятый вдоль границы дD этой области, равен нулю:

Рассмотрим на комплексной плоскости п замкнутых кусочно-гладких контуров Гo, Г1,…, Гn-1 таких, что каждый из контуров Г1,…, Гn-1 лежит во внешности остальных и все они располагаются во внутренности контура Го (рис. 20).

Множество точек плоскости, лежащих внутри контура Го и вне контуров Г1,…, Гn-1 представляет собой п-связную область D.

Полная граница Г области D представляет собой сложный контур, который состоит из кривых Гo, Г1,…, Гn-1.

Ориентируем полную границу Г области D следующим образом. Положительным направлением обхода границы многосвязной области будем называть такое направление движения, при котором область!) все время остается слева. При этом внешний контур Го проходится против часовой стрелки, а Г1,…, Гn-1 — почасовой стрелке.

Теорема:

Пусть функция f{z) аполитична в многосвязной области D и непрерывна в замкнутой области Тогда

где Г — полная граница области D, состоящая из контуров Гo, Г1,…, Гn-1 и проходимая в положительном направлении.

Соединим внешний контур Гo с контурами Г1,…, Гn-1 гладкими кривыми , т.е. произведем разрезы, и рассмотрим область D, граница Г которой слагается из кривых Гo, Г1,…, Гn-1 и кривых . При этом вспомогательные кривые проходятся дважды в противоположных направлениях (отмечены стрелками на рис. 21); кривые всегда можно построить так, чтобы область D* была односвязной.

В силу теоремы Коши интеграл на границе Г* области D* равен нулю. Так как интегралы вдоль γk взаимно уничтожаются, то

(верхние индексы Гk указывают направление обхода). Полученное равенство означает, что

Замечание:

Доказанное соотношение (22) можно записать в следующем виде:

Интегральная формула Коши

Теорема:

Пусть функция f(z) аполитична в области D и непрерывна в замкнутой области . Тогда для любой внутренней точки z области D имеет место формула

где Г — граница области D, проходимая в положительном направлении.

Таким образом, значение функции f(z) в произвольной точке области D определяется ее значениями только на границе.

Для вывода формулы (24) исключим из области D круг малого радиуса г с центром в точке z (рис. 22). В полученной при этом области D* и числитель и знаменатель подынтегральной функции

аналитичны относительно переменного причем знаменатель отличен от нуля. Поэтому эта функция аналитична в области D* и непрерывна в замкнутой области*. По предыдущей теореме интеграл вдоль границы области D равен нулю,

где γr — окружность |ζ— z| = r. Меняя направление интегрирования во втором слагаемом, получаем, что

Воспользовавшись доказанным ранее равенством (9) из примера 1

запишем f(z) так:

Поделив обе части соотношения (26) на 2 πi, вычтем из них f(z). Тогда с учетом равенства (27) получим, что

Заметим, что левая часть равенства (28) не зависит от радиуса r выброшенного круга. Оценим правую часть последнего соотношения. Имеем

Функция f(z) аналитична, а значит, и непрерывна в области D. Поэтому для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0,что |f (ζ) -f(z)| < ε для всех С, удовлетворяющих условию |ζ — z| < δ.

Это обстоятельство и оценка (29) означают, что за счет выбора ради year интеграл в правой части формулы (28) может быть сделан сколь угодно малым. С другой стороны, левая часть равенства (28) от r не зависит. Следовательно, рассматриваемая разность равна нулю.

Если, в частности, Г — окружность

то, полагая в формуле Коши ζ — z = , имеем (30)

Формула (30) называется формулой среднего значения. Сформулируем полученный результат.

Теорема:

Пусть функция f(z) непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга. Значение функции f(z) в центре круга равно среднему ее граничных значений на ограничивающей его окружности.

Существование производных всех порядков у аналитической функции

Теорема 9. Пусть функция f(z) аналитична в области D а непрерывна в замкнутой области D. Тогда в каждой внутренней точке z области D у функции f(z) существуют производные всех порядков и имеют место формулы

где Г — граница области D, п= 1,2,… .

Убедимся сначала в справедливости формулы (31) при n = 1. Рассмотрим разностное отношение

Применяя формулу Коши для значений функции f(z) в точках z и z + h области D, запишем его в следующем виде:

Как можно показать при h →0 функция равномерно для всех точек ζ на кривой Г. Поэтому существует предел

Отсюда и из соотношения (32) вытекает существование производной функции f(z) и формула

Предполагая формулу (31) верной для некоторого k = п, точно такими же рассуждениями можно доказать ее справедливость для n = k + 1.

Замечание:

Формулу (31) можно доказать также путем n-кратного дифференцирования равенства

по параметру z . При этом дифференцирование в правой части равенства (34) должно проводиться под знаком интеграла.

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Общие сведения о рядах:

Напомним простейшие понятия, связанные с рядами. Ряд из комплексных чисел
(1)

где называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

имеет конечный предел σ. Этот предел называется суммой ряда (1).

Ясно, что ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся ряды

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей

Ряды

являются рядами с действительными членами, и вопрос об их сходимости решается при помощи известных признаков сходимости радов с действительными членами.

Функциональный ряд
(2)

где функции fn(z), п = 0,1,2,… , определены на некатором множестве S комплексной плоскости, называется сходящимся в точке z этого множества, если для любого ε > 0 найдется номер N такой, что для всех п ≥ N выполняется неравенство

где

Функциональный рад (2) называется равномерно сходящимся на множестве S, если

1) он сходится в каждой точке множества S и

2) для всякого ε > 0 найдется Honfep N = N( ε ), не зависящий от z и такой, что для всех п ≥ N и для всех z из S остатки этого ряда удовлетворяют неравенству

Точно так же, как и в случае одного действительного переменного, доказывается важный для практических вычислений достаточный признак равномерной сходимости.
Признак Вейерштрасса. Пусть всюду на множестве S ряд (2) мажорируется абсолютно сходящимся числовым рядам,

Тогда ряд (2) сходится на множестве S абсолютно и равномерно.

Наряды функций комплексного переменного без изменений переносятся доказательства непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами, теоремы о том, что равномерная сходимость функционального ряда не нарушится, если все его члены умножить на ограниченную функцию, а также доказательство того, что равномерно сходящийся на кусочно-гладкой кривой ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать вдоль этой кривой,

Степенные ряды

Степенным рядом называют ряд вида
(4)

где z — независимая комплексная переменная, коэффициенты сn — заданные комплексные числа, zo — фиксировано.

Ясно, что всякий степенной ряд сходится в точке z = zо.

Пример:

Ряд

сходится только в точке z = 0.
Это вытекает из того, что при z ≠ 0 его общий член

не стремится к нулю: для левого z ≠ 0 можно найти номер, начиная с которого |nz| > 2, и следовательно, || не стремится к нулю при п → ∞.

Пример:

Ряд

сходится в каждой точке комплексной плоcкости: для любого z можно указать номер, начиная с которого . Отсюда вытекает, что и, значит, данный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом.

Теорема Абеля:

Пусть степенной ряд

сходится в некоторой точке z1 ≠ zo. Тогда этот ряд

1) абсолютно сходится в круге

2) равномерно сходится в круге

(рис.23).

По условию числовой ряд

сходится. В силу необходимого признака сходимости общий член ряда (6) стремится к нулю при п → ∞. Из того, что всякая сходящаяся последовательность ограничена, вытекает существование постоянной К такой, что

для любого п = 0,1,2,… . Возьмем точку z, такую что

Из условия (8) вытекает, что

Тем самым, справедлива следующая оценка:

Неравенство (10) означает, что для любой точки из круга (8) рад (4) мажорируется сходящейся геометрической прогрессией .

Следовательно, рад (4) сходится абсолютно и равномерное круге

Свойства степенных рядов

1. Пусть степенной ряд (4) расходится в некоторой точке z1. Тогда этот рад расходится в каждой точке z, удовлетворяющей неравенству

Предположим противное: в некоторой точке z2, удовлетворяющей неравенству |z1 — zo| < |z2 — zo|, ряд (4) сходится. Тогда по теореме Абеля он должен сходиться и в точке Z1. Это противоречит условию. Значит, наше предположение о существовании точки z2 с указанным свойством неверно.

2. Для любого степенного ряда (4) найдется число R такое, что в круге |z — zo| < R ряд (4) сходится, а вне этого круга, при |z — zo| > R, расходится.

Обозначим через S множество точек, в которых ряд (4) сходится. Множество S непусто: при z = zo ряд вида (4) с любыми коэффициентами сходится (R = 0).

Если множество S неограничено, то рад (4) сходится в каждой точке комплексной плоскости (R = ∞).

Пусть множество S точек сходимости ряда (4) ограничено. Положим

Ясно, что во всех точках z’, удовлетворяющих неравенству |z’ — zo| > R, ряд (4) расходится.

Если R > 0, то наибольшей областью сходимости данного ряда является круг |z-zo|<R.

В точках границы |z — zo| = R ряд (4) может как сходиться, так и расходиться. Область

называется кругом сходимости степенного ряда (4); число R, определяемое формулой {12), называется радиусом сходимости ряда (4).

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формулам (14)

или

если указанные пределы существуют (конечные или бесконечные).

Пример:

Найти радиусы сходимости рядов:

б) Здесь Рассмотрим

Таким образом, кругом сходимости обоих рядов является единичный круг |z| < 1. Однако множества точек сходимости рядов различны:

ряд а) расходится во всех точках окружности |z| = 1, т.к. общий член этого ряда при |z| = 1 не стремится к нулю;

ряд б) при 0 < а ≤ 1 в некоторых точках окружности |z| = 1 сходится (например, при z = — 1), а в некоторых — расходится (например, при z = +1);

при а > 1 ряд б) сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом

Пример:

Доказать, что ряд

сходится во всей плоскости комплексного переменного z. Согласно формуле (14) получаем, что

Укажем еще один способ. Рассмотрим очевидное равенство

Каждая скобка в его правой част не меньше п, т.к. при k = 1,2,…

Следовательно,

откуда

Последнее неравенство означает, что для данного ряда

Аналогичным образом можно показать, что ряды

сходятся во всей комплексной плоскости. Замечание. Ряд

сходятся в единичном круге |z| < 1. Однако его радиус сходимости нельзя вычислить ни по формуле (14) (сn = 0, если п не является квадратом целого числа), ни по формуле (15) (члены последовательное попеременно равны I или 0, и значит, эта последовательность не имеет предела).

Для вычисления радиуса сходимости в общем случае используется формула Коши— Адамара: (16)

или

Число l называется верхним пределом последовательности действительных чисел {ап}. если:

1) для всякого l’ > l найдется номер, начиная с которого все аn ≤ l’

2) существует подпоследовательность {аnk}, сходящаяся к l. Обозначение:

Каждая последовательность имеет конечный или бесконечный верхний предел. Если последовательность {аn} сходится, то

Отравляясь от коэффициентов степенного ряда

построим последовательность неотрицательных чисел

Обозначим через l верхний предел этой последовательности,

Тогда радиус сходимости R степенного ряда (А) определяется по формуле Коши— Адамара

При l = 0 ряд (А) абсолютно сходится во всей плоскости. При l = + ∞ он сходится только в точке Zo и расходится при z ≠ zo. В случае если 0 < l < + ∞, ряд (А) абсолютно сходится в круге |z — zo| <и расходится во внешности этого круга |z — Zo| > .

Рассмотрим отдельно все три случая.

1 ) l = 0. В этом случае

Следовательно, для любого z выполняется соотношение

В силу признака Коши отсюда следует сходимость ряда

т. е. абсолютная сходимость ряда (А).

2) l = + ∞. Существует подпоследовательность номеров {nk} такая, что

Поэтому для любого z ≠ zo

Это означает, что

Таким образом, для ряда (А) не выполнен необходимый признак сходимости (общий член ряда не стремится к нулю).

3) 0 < l < + ∞.

Если z = zo, то все члены ряда (А), начиная со второго, обращаются в нуль, и следовательно, ряд абсолютно сходится.

Пусть z ≠ zo и z лежит внутри круга |z — zo| < R. Положим

Так как , то, в силу определения верхнего предела, начиная с некоторого номера все .

Тогда

Отсюда по признаку Коши вытекает абсолютная сходимость ряда (А).

Если z лежит вне круга |z — zo| > R, то |z — zo| = , 0 < θ < 1. В силу определения верхнего предела, существует последовательность номеров {nk} такая, что

Поэтому

Значит, , и ряд (А) расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Теорема Тейлора

Пусть функция f(z) аполитична в круге |z — zo| < R. Тогда в этом круге функция f(z) может быть представлена в виде суммы сходящегося степенного ряда:

Пусть z — произвольная точка круга |z — zo| < R (рис. 24)

Построим круг радиуса r < R с центром в точке zo, содержащий точку z. Обозначим через γr, ограничивающую его окружность |ζ — zo| = r. По интегральной формуле Коши имеем

Для любой точки ζ на окружности γr выполняется соотношение

Геометрическая прогрессия

на окружности γr мажорируется сходящимся числовым рядом

и, следовательно, сходится абсолютно и равномерно по ζ.

Умножим обе части соотношения (19) на величину .

Получим

Это не нарушит равномерной сходимости ряда, так как функция непрерывна и, следовательно, ограничена на γr. Поэтому возможно почленное интегрирование полученного ряда вдоль γr. Выполним его:

Полагая здесь

и учитывая формулу Коши (18), получим

Так как z — произвольная точка круга |z — zo| < R, то из формулы (21) вытекает, что построенный степенной ряд сходится к f(z) всюду внутри этого круга.

Отметим, что коэффициенты с„ не зависятот радиуса r окружности γr (0 < r < R). Степенной ряд (21), коэффициенты которого определяются равенствами (20), называется рядом Тейлора функции f(z) с центром в точке zo. На основании формул для производных аналитической функции коэффициенты тейлоровского разложения имеют следующий вид:

и, следовательно, определены однозначно (напомним, что по определению 0! = 1).

Теорема:

Сумма f(z) степенного ряда

аполитична в круге его сходимости, причем производная f'(z) может быть получена путем почленного дифференцирования

Естественно считать, что радиус сходимости R > 0. Степенные ряды

сходятся или расходятся одновременно. Так как

то радиус сходимости рядов (24) также равен R.

В каждом круге U, |z-zo| ≤ r < R, эти ряды сходятся равномерно. Следовательно, функция g(z) непрерывна в круге U, и ряд, суммой которого она является, можно интегрировать почленно. Пусть γ — произвольный контур, лежащий в кругe U. Тогда

В силу замечания к теореме 4, функция

в каждой точке z ∈ U имеет производную, равную g(z). Тогда и функция

в каждой точке z £U имеет производную f'(z) = g(z).

Следствие:

Внутри круга сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать произвольное число раз; при этом радиус сходимости получаемых рядов равен радиусу сходимости исходного ряда.

Теорема:

Если функция f(z) представима в круге |z — zо| < R в виде суммы степенного ряда

то коэффициенты этого ряда определяются однозначно по формулам

Полагая в формуле (22) z = z0, получаем, что

Продифференцируем ряд (22) почленно. Имеем

Полагая в формуле (26) z = z0, получаем, что

Продифференцируем ряд (22) почленно п раз. Имеем

Полагая здесь z = zo, получаем, что

Таким образом, всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Формулы (25) показывают, что вычисление коэффициентов ряда Тейлора можно проводить так же, как и в действительном случае.

Пример:

Найдем, например, разложение в ряд Тейлора с центром в точке zо = 0 функций е^z, sin z и cos z.

Так как

то имеет место разложение

В силу того, что производные тригонометрических функций вычисляются по тем же формулам, что и в действительном случае, справедливы разложения:

Как показано выше, эти ряды сходятся во всей плоскости.

Пример:

Найдем разложение в ряд Тейлора с центром в точке zo = 1 функции

Вычисляя коэффициенты еn по формулам (25), получим

откуда

Кругом сходимости полученного ряда является круг |z — 1| < l (рис.25).

Аналогичные разложения можно получить и по-иному. Так как

Интегрируя почленно, получим

Полагая здесь l + z = ζ, получим

Неравенства Коши. Пусть функция f(z) аналитична в круге |z-zо| < R и на окружности γr, |z — zo| = r < R, ее модуль не превосходит постоянной М. Тогда коэффициенты сп ряда Тейлора функции f(z) с центром в точке zо удовлетворяют неравенствам

По условию

для всех точек ζ окружности γr. Поэтому из формул (20) вытекают оценки:

Теорема Луивилля:

Пусть функция f(z) аполитична на всей плоскости, а ее модуль ограничен. Тогда функция f(z) постоянна.

По теореме Тейлора в любом замкнутом круге |z| ≤ r функцию f(z) можно представить в виде ряда Тейлора с центром в нуле

Так как модуль функции f(z) ограничен,

то коэффициенты сn этого ряда подчиняются неравенствам Коши (27). Радиус r может быть сколь угодно большим. Поэтому для n = 1,… правые части соотношения (27) стремятся к нулю при r —» ∞. Левые же части — |сn| — не зависят от г. Поэтому cп = 0 для п = 1, . . . и f(z) = co.

Следствие (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени

имеет хотя бы один комплексный корень.

Доказательство проведем от противного. Пусть P(z) не имеет ни одного корня. Тогда

— аналитическая функция, удовлетворяющая условию

Функция f(z) ограничена по модулю на всей плоскости. (В самом деле, из (28) вытекает существование R > 0 такого, что для всех z, |z| > R, выполняется неравенство |f(z)| < 1; если mах |f(z)| = M, то |f(z)| < М + 1 для всех z.) Поэтому в силу теоремы Лиувилля f(z) = const = 0, что противоречит определению функции f(z).

Нули аналитической функции

Пусть f(z) — аналитическая функция в области D. Точка zo из D называется нулем функции f(z), если f(zo) = 0. Разложение функции f(z) в окрестности ее нуля z0 в степенной ряд имеет вид

т. е. со = 0. Если наряду с со равны нулю и коэффициенты c₁, с₂ ,…, c_k=1 , а коэффициент с_k отличен от нуля, то точка zо называется нулем k-го порядка. Из формулы (25) вытекает, что нуль k-ro порядка характеризуется соотношения

В окрестности нуля k-ro порядка разложение функции f(z) в степенной ряд имеет вид
(29)

(здесь функция

обладает следующими свойствами: она аналитична в окрестности точки zo, g(zo) ≠ 0 и круги сходимости рядов (29) и (30) совпадают). Пример:

Найти нули функции

и определить их порядки.

Приравнивая f(z) нулю, найдем нули функции: zn = 2πni, n = 0, ± 1,… — Далее

Итак, f( 2πni ) = 0, f'( 2πni ) ≠ 0. Следовательно, точки zn = 2πni (п = 0, ±1,… ) — простые нули функции.

Пример:

Найти порядок нуля zo = 0 функции

Используя разложение функции sin z в ряд Тейлора с центром в точке zo = 0, получим, что

Так как q(0) = 6 ≠ 0, то точка zо = 0 является для данной функции нулем пятого порядка.

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Тейлора служат эффективным средством для изучения функций, аналитических в круге |z — zo| < R. Для исследования функций, аналитических в кольцевой области,

оказывается возможным построение разложений по положительным и отрицательным степеням (z — zo) вида (I)

обобщающим тейлоровские разложения.

Ряд (1), понимаемый как сумма двух рядов (2)

называется рядом Лорана.

Ясно, что областью сходимости ряда (1) является общая часть областей сходимости каждого из рядов (2). Найдем ее.

Областью сходимости первого ряда

является круг \z — zo\ < R, радиус которого определяется по формуле Коши—Адамара

Внутри круга сходимости ряд (3) сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса |z — zo| < R’, R’ < R, он сходится абсолютно и равномерно. Второй ряд

представляет собой степенной ряд относительно переменного :

Ряд (5) сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного ζ

причем в любом круге меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно. Это означает, что областью сходимости ряда (4) является внешность круга —

Если r < R, то существует общая область сходимости рядов (3) и (4) — круговое кольцо

в котором ряд (1) сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце

где г < г’ ≤ R’ < R, он сходится абсолютно и равномерно.

Пример:

Определить область сходимости ряда

Область сходи моста первого ряда —внешность круга |z| > 1. а область сходимости второго ряда — внутренность круга |z| < 2. Тем самым, данный ряд сходится в кольце

1<|z|< 2.

Теорема:

Любую функцию f(z), однозначную и аполитичную в круговом кольце

можно представить в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда

коэффициенты сn которого определены однозначно и вычисляются по формулам

где γr — окружность радиуса р:

Зафиксируем внутри кольца г < |z — zo| < R произвольную точку z. Построим окружности γ, неравенствам окружности с центрами в точке zo, радиусы r’ и R’ которых удовлетворяют неравенствам

и рассмотрим новое кольцо

(рис. 26).

По интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем

Преобразуем отдельно каждый из интегралов в сумме (8). Для всех точек ζ по окружности выполняется соотношение

Поэтому дробь можно представить в виде суммы равномерно сходящегося ряда

Умножая обе части на непрерывную функцию и проводя почленное интегрирование вдоль окружности , получим, что

Преобразование второго интеграла проведем несколько по-иному. Для всех точек ζ на окружности выполнено соотношение

Поэтому дробь можно представить в виде суммы равномерно сходящегося ряда

Умножая обе части на непрерывную функцию и интегрируя почленно вдоль окружности , получим, что

Заметим, что подынтегральные функции в формулах (10) и (12) являются аналитическими функциями в круговом кольце r < |z — zo| < R. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся, если заменить окружности любой окружностью γp, |z — zo| = р, где r < р < R. Это позволяет объединить формулы (10) и (12),

Заменяя интегралы в правой части формулы (8) их выражениями (9) и (11) соответственно, получим нужное разложение

Так как z — произвольная точка кольца г < |z — zo| < R, то отсюда следует, что ряд (14) сходится к функции f(z) всюду в этом кольце, причем в любом кольце г < r’ ≤ |г — zo| ≤ R’ < R ряд сходится к этой функции абсолютно и равномерно.

Докажем теперь, что разложение вида (6) единственно. Предположим, что имеет место еще одно разложение

Тогда всюду внутри кольца r < |z — zo| < R будем иметь

На окружности γp: |z -z0| = р, r < р < R, ряды (15) сходятся равномерно. Умножим обе части равенства (15) на , где m — фиксированное целое число, и проинтегрируем оба ряда почленно. В результате получим в левой части а в правой — Сm. Таким образом, Так как т — произвольное число, то последнее равенство доказывает единственность разложения.

Ряд (6), коэффициенты которого вычисляются по формулам (7), называется рядом Лорана функции f(z) в кольце r < |z — zo| < R. Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями (z — zo) называется правильной частью ряда Лорана, а с отрицательными — его главной частью.

Формулы (7) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются редко, ибо, как правило, требуют громоздких вычислений. Обычно, если это возможно, используются готовые тейлоровские разложения элементарных функций. На основании единственности разложения любой законный прием приводит к одному и тому же результату.

Пример:

Рассмотреть разложения в ряд Лорана функции

г2 + г — 2 в различных областях, приняв го — 0.

Функция f(z) имеет две особые точки: z1 = -2 и z2 = 1 (См. 5.1).

Следовательно, имеется три кольцевых области, с центром в точке zо = 0, в каждой из которых функция f(z) является аналитической:

а) круг |z| < 1; б) кольцо 1 < |z| < 2 и в) внешность круга |z| > 2 (рис.27).

Найдем лорановские разложения функции f(z) в каждой из этих областей.

Представим f(z) в виде суммы элементарных дробей

а) Круг |z| < 1. Преобразуем соотношение (16) следующим образом

Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим

Это разложение является рядом Тейлора функции f(z).

б) Кольцо 1 < |z| < 2. Ряд (18) для функции остается сходящимся в этом кольце, так как |z| < 2. Ряд (19) для функции при |z| > 1 расходится. Поэтому преобразуем функцию f(z) следующим образом:

Вновь применяя формулу (19), получим, что

Этот ряд сходится для < 1, т.е. при |z| > 1. Подставляя разложения (18) и (21) в соотношение (20), получим

в) Внешность круга |z| > 2. Ряд (18) для функции при |z| > 2 расходится, а ряд (21) для функции сходится.

Представим функцию f(z) в следующем виде:

Используя формулы (18) и (19), получим

Этот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) лорановское разложение, вообще говоря, имеет различный вид для разных колец.

Пример:

Найти разложение в ряд Лорана функции

а кольцевой области 0 < |z — 1| < 3 (рис. 28).

Воспользуемся представлением функции f(z) в следующем виде:

и преобразуем второе слагаемое

Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим

Подставляя найденные выражения в формулу (22), имеем

Пример:

Разложить в ряд Лорана функцию

в окрестности точки zo=0.

Для любого комплексного ζ имеем

Положим . Тогда

Это разложение справедливо для любой точки z ≠ 0. В данном случае кольцевая область представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z = 0. Эту область можно определить следующим соотношением:

0 < |z — 0| < ∞

(здесь r = 0, R = ∞, zо = 0).

Данная функция является аналитической в области |z| > 0.

Из формул (13) для коэффициентов ряда Лорана такими же рассуждениями, что и в предыдущем параграфе, можно получить неравенства Коши: если функция f(z) ограничена на окружности |z — 0| = р (|f(z)| ≤ M, где М — постоянная), то

Изолированные особые точки

Точка zo называется изолированной особой точкой функции f(z) .если существует кольцевая окрестность точки zо —

(это множество иногда называют также проколотой окрестностью точки zo), в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке zo функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции f(z) при приближении к точке zo различаются три типа особых точек. Изолированная особая точка называется:

1) устранимой, если существует конечный ;

2) полюсам, если = ∞;

3) существенно особой точкой, если функция /(z) не имеет предела при z —» zo. Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции f(z) в круге 0 < |z — zo| < ε с выколотым Центром zo.

Теорема:

Изолированная особая точка zo функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в том случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки zo не содержит главной части, т. е. имеет вид

Пусть zo — устранимая особая точка. Тогда существует конечный и, следовательно, функция f(z) ограничена в проколотой окрестности точки zo, 0 < |z — zo| < ε. Положим |f(z)| ≤ М.

В силу неравенств Коши

Так как р можно выбрать сколь угодно малым, то все коэффициенты при отрицательных степенях (z — zo) равны нулю: сn = 0, n = -1, -2,….

Обратно, пусть лорановское разложение функции /(z) в окрестности точки z0 содержит только правильную часть, т. е. имеет вид (23) и, следовательно, является тейлоровским. Нетрудно видеть, что при z —» z0 у функции /(z) существует предельное значение:

Теорема:

Изолированная особая точка zo функции /(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция f(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки zo, 0 < |z — zo| < ε.
Замечание:

Пусть zo — устранимая особая точка функции f(г). Полагая

мы получим, что функция f(z) аналитична в некотором круге с центром в точке zо. Это определяет название точки — устранимая.

Теорема:

Изолированная особая точка zo функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) число отличных от нуля членов, т. е. имеет вид

Пусть zo — полюс. Так как

то существует проколотая окрестность точки zo, в которой функция /(г) аналитична и отлична от нуля. Тогда в этой окрестности определена аналитическая функция

причем

Следовательно, точка zo является устранимой особой точкой (нулем) функции g(z) и

где h(z) — аналитическая функция, h(zo) ≠ 0. Тогда

Так как h(z) аналитична и h(zo) ≠ 0, то функция аналитична в окрестности точки zo, и следовательно,

откуда получаем, что

Предположим теперь, что функция f(z) имеет в проколотой окрестности точки zo разложение вида (24). Это означает, что в этой окрестности функция f(z) аналитична вместе с функцией

Для функции g(z) справедливо разложение

из которого видно, что Zo — устранимая особая точка функции g(z) и существует

Тогда функция

при z → zo стремится к ∞, т. е. zo — полюс функции f(z). Имеет место еще один простой факт.

Точка Zo — полюс функции f(z) в том и только в том случае, когда функцию g(z) = можно доопределить до аналитической функции в окрестности точки z0, положив g(zo) = 0.

Порядком полюса функции f(z) называется порядок нуля функции . Из теорем 16 и 18 вытекает следующее утверждение.

Теорема:

Изолированная особая точка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Пример:

Особой точкой функции

является zo = 0. Имеем

Следовательно, zo = 0 — устранимая особая точка. Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности нулевой точки содержит только правильную часть:

Пример:

Особая точка функции f(z) есть Zo = 0. Имеем

Следовательно, zо = 0 — полюс. Разложим cos г в ряд Тейлора по степеням z. Тогда получим лорановское разложение функции f(z) в окрести ости нуля:

Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки zo = 0 содержит конечное число членов с отрицательными степенями z — три. Так как наибольший из показателей степени у z, содержащихся в знаменателях членов главной части ряда Лорана, равен пяти, то точка zо = 0 — полюс пятого порядка.

Поведение функции в окрестности существенно особой точки характеризуется следующим предложением.

Теорема Сохоцкого:

Если zo — существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа А (конечного или бесконечного) существует последовательность точек Zk —» Zo такая, что

Пример:

f(z) = .

Особая точка функции f(z) есть zo = 0.

Рассмотрим поведение этой функции на действительной и мнимой осях: на действительной оси z = х и f(x) = —> + ∞ при х → 0, на мнимой оси z = iy и f(iу) = → 0 при у → 0.

Следовательно, ни конечного, ни бесконечного предела f(z) при z → 0 не существует. Значит, точка zо = 0 — существенно особая точка функции f(z).

Найдем лорановское разложение функции f(z) в окрестности нулевой точки. Для любого комплексного ζ имеем

Положим . Тогда

Лорановское разложение содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z.

Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z0 называется число
(1)

где γ — достаточно малая окружность |z — z0| = r: в круге |z — zo| < r нет других особых точек функции f(z).

Из формулы для коэффициентов ряда Лорана непосредственно вытекает, что
(2)

Таким образом, вычет функции f(z) в изолированной особой точке z0 равен коэффициенту при (z — z0)^-1 в лорановском разложении этой функции в точке z0. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в устранимой особой точке равен нулю.

Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции f(z).

1, zo — полюс первого порядка:

Умножим обе части этого равенства на z — zo и, переходя к пределу при z получим, что
(3)

Если функцию f(z) можно представить в виде дроби

где φ(z) и ψ(z) — аналитические функции, причем φ(zo) ≠ 0, ψ(zo) = 0 ψ'(zo) ≠ О, т. е. zo — простой полюс, то из формулы (3) вытекает, что

Пример:

Пусть f(z) =

Особые тонки z = ±i функции f(z) = , где φ(z) = r. ψ(z) = z2 + 1, являются простыми полюсами. Поэтому

2. zo — полюс порядка т

Для устранения отрицательных степеней z — zo умножим обе части этого равенства на (z-zo)^m,

Продифференцируем полученное соотношение m — 1 раз и, переходя к пределу при z → zo, получим, что

Пример:

Пусть

Особыми точками этой функции являются точки z = ±i. Это — полюсы второго порядка. Вычислим, например, res f(i’). Имеем

Теорема:

Пусть функция f(z) аналитична всюду в области D за исключением конечного числа изолированных особых точек z1 … ,zn. Тогда для любой замкнутой области , лежащей в D и содержащей точки z1,… ,zn внутри, справедливо равенство

Теорема вытекает из теоремы Коши для многосвязной области. Построим окружности

столь малого радиуса r, что ограниченные ими круги —содержатся в области G и не пересекаются друг с другом (рис. 29).

Обозначим через G* область, которая получается из области G путем удаления кругов U1,…,Un. Функция f(z) аналитична в области G* и непрерывна в ее замыкании *. Поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем

Из этой формулы, пользуясь определением вычета

получаем требуемое равенство (5).

Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки

Говорят, что функция f(z) является аналитической в бесконечно удаленной точке z = ∞, если функция

аналитична в точке ζ = 0. Это следует понимать так: функцию g( ζ ) = 1/ζ можно доопределить до аналитической, положив

Например, функция

аналитична в точке z = ∞, поскольку функция

аналитична в точке ζ = 0.

Пусть функция f(z) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z = ∞). Точка z = ∞ называется изолированной особой точкой функции f(z), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции f(z). Функция

имеет в бесконечности неизолированную особенность: полюсы zk — kπ этой функции накапливаются в бесконечности, если k —► ∞.

Говорят, что z = ∞ является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции f(z) в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует

Критерии типа бесконечно удаленной точки, связанные с разложением Лорана, изменяются по сравнению с критериями для конечных особых точек.

Теорема:

Если z = ∞ является устранимой особой точкой функции f(z), то лорановское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит положительных степеней z; если z = ∞ — полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности — бесконечное число положительных степеней z.

При этом лорановским разложением функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение в ряд Лорана, сходящийся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z = 0 (кроме, быть может, самой точки z = ∞).

Пусть функция f(z) — аналитична в некоторой окрестности точки z = ∞ (кроме, быть может, самой этой точки). Вычетом функции f(z) в бесконечности называют величину
(6)

где γ ^—— достаточно большая окружность \z\ = р, проходимая по часовой стрелке (так, что окрестность точки z = ∞ остается слева, как и в случае конечной точки z = Zo).

Из этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z^-1 в лорановском разложении f(z) в окрестности точки z = ∞, взятому с противоположным знаком:

Пример:

Для функции f(z) = имеем f(z) =1 + 1/z. Это выражение можно рассматривать как ее лорановское разложение в окрестности точки z = ∞. Легко видеть, что

так что точка z = ∞ является устранимой особой точкой, и мы полагаем, как обычно, f( ∞ ) = 1. Здесь С-1 = 1 и, следовательно,

res f( ∞ ) = -1.

Из этого примера следует, что вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки (в отличие от конечной устранимой особой точки) может оказаться отличным от нуля.

Известные тейлоровские разложения функций е^z, cos z, sin z, ch z, sh z можно рассматривать также и как лорановские разложения в окрестности точки z = ∞. Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеют в точке z = ∞ существенную особенность.

Теорема:

Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.
Так что, если z1,…, xn — конечные особые точки функции f(z), то
(8)

или
(9)

Последнее соотношение бывает удобно использовать при вычислении некоторых интегралов.

Пример:

Вычислить интеграл

Полюсами (конечными) подынтегральной функции

являются корни Zk уравнения z⁸ = — 1, которые все лежат внутри окружности |z| = 2. В окрестности точки r = ∞ функция f(z) имеет следующее разложение:

из которого видно, что res f( ∞ ) = -е_1 = 0. В силу теоремы 23

Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Интегралы от рациональных функций

Теорема:

Пусть f(x) — рациональная функция, т. е.

где Рп(х) и Qm(x) — многочлены степеней пит соответственно. Если функция f(x) непрерывна на всей действительной оси (Qm(x) ≠ 0) и т ≥ п + 2, т.е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то

где σ — сумма вычетов функции

во всех полюсах, расположенных в верхней полуплоскости (существенно особых точек у рациональной функции нет).

Рассмотрим замкнутый контур γ, состоящий из отрезка действительной оси -R ≤ х < R и верхней полуокружности γR: |z| = R, Im z > 0. Можно считать, что R выбрано большим настолько, что внутренность области, ограниченной контуром γ, содержит все полюсы z1 … ,zl функции f(z), расположенные в верхней полуплоскости (рис. 30).

В силу основной теоремы о вычетах

Оценим . В силу условия на степени многочленов Pn(z) и Qm(z) найдутся положительные числа Ro и М такие, что при |z| > Rо

По свойству 6 интегралов от функции комплексного переменного для R > Ro имеем:

при R —» ∞. Перейдем в равенстве

к пределу при R → ∞. Заметим, что правая часть от R не зависит, а второе слагаемое в левой части стремится к нулю. Отсюда следует, что предел первого слагаемого существует и равен

где z1…,zl — все полюсы функции f(z), расположенные в верхней полуплоскости.

Пример:

Вычислить интеграл

Так как подынтегральная функция

— четная, то

Рассмотрим функцию

которая на действительной оси, т.е. при z = х, совпадает с f(z). Функция f(z) имеет в верхней полуплоскости одну изолированную особую точку z = ai — полюс второго порядка. Вычет f(z) в точке z = ai равен

Пользуясь формулой (10), получаем, что

Интеграл вида

где R( u, v) — рациональная функция аргументов и и v.

Введем комплексное переменное z = е^ix. Тогда

Ясно, что в данном случае \z\ = 1, 0 ≤ х ≤ 2π. Таким образом, исходный интеграл переходит в интеграл от функции комплексного переменного по замкнутому контуру:

где γ — окружность единичного радиуса с центром в начале координат: \z\ = 1.

Согласно основной теореме о вычетах, полученный интеграл равен 2πiσ, где σ — сумма вычетов подынтегральной функции F{z) в полюсах, расположенных внутри окружности γ.

Пример:

Вычислить интеграл

Применяя подстановку z = е^ix, после простых преобразований (см. формулы (II)) получим, что

Внутри единичного круга при условии а > b > 0 находится только один полюс (второго порядка)

Вычет функции

в точке z1 равен

Итак.

Интегралы вида

где R(х) — правильная рациональная дробь, а > 0 — вещественное число.

При вычислении таких интегралов часто бывает полезной следующая лемма.
Лемма Жордана:

Пусть функция f(z) аполитична в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и при \z\→∞ стремится к нулю равномерно относительно arg z. Тогда для любого положительного а

где γR — верхняя полуокружность \z\ = R, Im z > 0.

Условие равномерного стремления f(z) к нулю означает, что на полуокружности γR

где MR → 0 при R → ∞.

Оценим исследуемый интеграл. Замечая, что на γR

и

а значит,

получим

В силу известного неравенства (см. рис. 31)

справедливого при (для доказательства 1 достаточно заметить, что

и, значит, функция убывает на полуинтервале

Сопоставляя формулы (13) и (14), заключаем, что

при -R → ∞.

Пример:

Вычислить интеграл

Введем вспомогательную функцию

Нетрудно видеть, что если z = х, то Im h{z) совпадает с подынтегральной функцией

Рассмотрим контур, указанный на рис. 32.

При достаточно большом R на дуге γR функция

вследствие соотношения удовлетворяет условию

при R → ∞. Значит, по лемме Жордана

По основной теореме о вычетах для любого R > k имеем

Переходя к пределу в равенстве (16) и учитывая соотношение (15), получим, что

Разделяя слева и справа вещественные и мнимые части, будем иметь

В силу того что подынтегральная функция f(х) — четная, окончательно получим

В рассматриваемом примере функция f(z) не имеет особых точек на действительной оси. Однако небольшое изменение описанного метода позволяет применять его и в том случае, когда функция f(z) имеет на действительной оси особые точки (простые полюсы). Покажем, как это делается.

Пример:

Вычислить интеграл

функция

обладает следующими свойствами:

1) Im h(z) при z = х совпадает с подынтегральной функцией;

2) имеет особенность на действительной оси — простой полюс в точке z = 0.

Рассмотрим в верхней полуплоскости Im z ≥ 0 замкнутый контур Г, состоящий из отрезков действительной оси [-R,-r), [r, R) и дуг полуокружностей γr, |z| = г, и γR, |z| = R (рис. 33).

Внутри этого контура находится лишь один полюс функции h(z) — точка z = bi.

Согласно основной теореме о вычетах,

Преобразуем сначала сумму интегралов по отрезкам [-R, -r) и [r, R] действительной оси. Заменяя х на -х в первом слагаемом правой части равенства (18) и объединяя его с третьим слагаемым, получим

Обратимся ко второму слагаемому в формуле (18). Так как

где = 0, то подынтегральная функция h(z) представима в следующем виде:

Полагая z = , получим, что

Четвертое слагаемое в равенстве (18) при R → ∞ стремится к нулю согласно лемме Жордана, ибо функция f(z) = стремится к нулю при |z| → ∞,

Таким образом, при R → ∞ и r → ∞ равенство (18) принимает вид

Вычисление интегралов Френеля

Интегралы Френеля:

Рассмотрим вспомогательную функцию f(z) = и контур Г, указанный на рис. 34 (OA = OB = r, ∠AOB = π/4).

Внутри контура Г функция f(z) — аналитическая, и по теореме Коши

Покажем, что

Полагая , получим dz =

где Гr2 — полуокружность радиуса r.

Функция удовлетворяет условиям леммы Жордана, и, значит,

На отрезке BO:

Отсюда

Переходя в формуле (20) к пределу при r → ∞, получим, что

Дополнение к функциям комплексного переменного

Смотрите также:

• Примеры решения задач по высшей математике

Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций	Действительные и комплексные криволинейные интегралы
Аналитическая теория тригонометрических функций	Определение LnC

Теория функции комплексного переменного с подробным объснением и примерами

Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются комплексные числа (см. гл. VI). Числа z = х + iy множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа w = и + iv множества Е — точками комплексной плоскости w.

Если каждому числу (точке) по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) , то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного w = f(z), отображающая множество D в множество Е (см. рис. 282).

Если каждому соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.

Множество D называется областью определения функции w = f(z); множество всех значений w, которые f(z) принимает на Е, называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества Е является значением функции, то Е — область значений функции; в этом случае функция f отображает D на Е).

Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f(z), для которых множества D и являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности (см. § 43).

Функцию w = f(z) можно записать в виде

т. е.

где

Функцию u(x; у) при этом называют действительной частью функции f(z), a v(x;y) — мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример:

Найти действительную и мнимую части функции

Решение:

Функцию можно записать в виде т.е.

Отсюда следует:

Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки , исключая, может быть, саму точку . Под —окрестностью точки комплексной плоскости понимают внутренность круга радиуса S с центром в точке .

Число называется пределом функции w = f(z) в точке (или при z), если для любого положительного е найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Записывают: Это определение коротко можно записать так:

Из определения следует, что если предел существует, то существуют и пределы

Верно и обратное утверждение.

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции одного (или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции имеют пределы в точке , то

где — постоянные;

и

если

Пусть функция w = f(z) определена в точке и в некоторой ее окрестности. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке , если l

Определение непрерывности можно сформулировать и так: функция f(х) непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Непрерывная в замкнутой области функция комплексного переменного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция действительного переменного (см. теорема 43.1).

Основные элементарные функции комплексного переменного

Определим основные элементарные функции комплексного переменного z = х + iy.

Показательная функция

Показательная функция определяется формулой

Положив в этом равенстве у = 0, устанавливаем, что для действительных значений z = х показательная функция совпадает с показательной функцией действительного переменного:

Показательная функция обладает «известным» свойством: Действительно, по правилу умножения комплексных чисел («модули перемножаются, а аргументы складываются», п. 28.3), имеем:

Аналогично можно убедиться в справедливости свойств:

Учитывая, что утверждаем, что показательная функция ez нигде в нуль не обращается, т. е. . Исходя из определения (74.1), легко убедиться, что

выражениепри не имеет смысла.

Положив в равенстве (74.1) х = 0, получим классическую формулу Эйлера С ее помощью, в частности, можно представить тригонометрическую форму комплексного числа в более компактной форме называемой показательной формой комплексного числа (см. п. 27.3) Показательная функция комплексного переменного обладает и специфическим свойством: она является периодической с мнимым основным периодом .

Действительно,

т. е. Отметим, что не всегда больше нуля. Например,

Логарифмическая функция

Эта функция определяется как функция, обратная показательной: число w называется логарифмом числа , если обозначается w = Lnz. Так как значения показательной функции всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция w = Lnz определена на всей плоскости z, кроме точки z = 0 (стало быть, имеет смысл и выражение Ln(-2)).

Положив получим, согласно определению логарифмической функции, Отсюда имеем:

Следовательно,

Формула (74.2) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е. w = Ln z — многозначная функция.

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (74.2) определенное значение k. Положив k = 0, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма Lnz и обозначают символом ln z:

Если z — действительное положительное число, то , т.е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.

Формулу (74.2) можно переписать так: Из формулы (74.2) следует, что логарифмическая функция w = Lnz обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Докажем, например, первое свойство:

Пример:

Вычислить

Решение:

Для числа z = — 1 имеем |z| = 1, . Следовательно,

Степенная функция

Если п — натуральное число, то степенная функция определяется равенством Функция — однозначная. Если то в этом случае

Здесь функция есть многозначная (q-значная) функция. Однозначную ветвь этой функции можно получить, придав k определенное значение, например k = 0.

Если то степенная функция определяется равенством

Функция — многозначная.

Степенная функция с произвольным комплексным показателем определяется равенством

Функция определена для всех , является многозначной функцией. Так,

При k = 0 имеем:

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются равенствами

При действительных z эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного. Так, при z = х (у = 0)

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. В частности,

и т.д. Докажем, например, первое свойство:

Отметим, что тригонометрические функции sin z и cos z в комплексной плоскости z неограничены:

Так, например,

Гиперболические функции

Эти функции определяются равенствами

Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Заменяя в указанных функциях z на iz, получим:

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле тригонометрические функции гиперболическими, получим

или Так как здесь z — любое комплексное число, то iz можно заменить на z; получим формулу Приведем еще ряд формул:

и т.д.

Из определения гиперболических функций следует, что функции shz и chz периодические с периодом функции thz и cthz имеют период

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Число w называется арксинусом числа z, если sin w = z, и обозначается w = Arcsin z.

Используя определение синуса, имеем или Отсюда

(перед корнем можно не писать знак ±, так как имеет два значения). Тогда

Таким образом,

Функция w = Arcsin z многозначна (бесконечнозначна). Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции. Можно показать, что

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно

Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения:

Все эти функции бесконечнозначны.

Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера

Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки z, включая и саму точку. Тогда предел

если он существует, называется производной функции f(z) в точке z, а функция f(z) называется дифференцируемой в точке z.

Подчеркнем, что в равенстве (74.4) любым образом стремится к нулю, т. е. точка может приближаться к точке z по любому из бесконечного множества различных направлений (см. рис. 283) (в аналогичной ситуации для функции одного действительного переменного точка ; приближается к Рис. 283 точке х лишь по двум направлениям: слева и справа).

Из дифференцируемости функции f(z) в некоторой точке z следует ее непрерывность в этой точке (отношение может стремиться к конечному пределу f'(z) лишь при условии, что и ). Обратное утверждение не имеет места.

При каких условиях функция w = f(z) будет дифференцируемой в данной точке?

Теорема:

Если функция w = и(х; у) + iv(x; y) определена в некоторой окрестности точки z = х + iy, причем в этой точке действительные функции и(х; у) и v(x;y) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции w = f(z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства

Равенства (74.5) называются условиями Эйлера Даламбера (или условиями Koшu-Римана).

Необходимость

Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z, тогда предел (74.4) существует и не зависит от пути, по которому Можно считать, что точка приближается к точке z по прямой, параллельной действительной оси (оси Ох), т. е. (рис. 284).

Тогда

Если же точка приближается к точке z по прямой, параллельной мнимой оси (оси Оу), то В этом случае

Сравнив найденные пределы, получим

Отсюда следует:

Достаточность:

Пусть теперь условия (74.5) выполняются. Докажем, что функция f(z) дифференцируема.

Так как функции и(х;у) и v(x; у) дифференцируемы в точке z = х + iy, то их полные приращения можно представить (см. (44.4)) в виде

где — бесконечно малые более высокого порядка, чем Тогда

Заменяя в числителе правой части согласно условиям (74.5), получаем:

где

т. е.

а — бесконечно малая высшего порядка относительно Отсюда следует, что существует. При этом

С учетом условий Эйлера-Даламбера (74.5) производную дифференцируемой функции f(z) можно находить по формулам

Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке z. Это означает, что если дифференцируемы в некоторой точке z комплексной плоскости, то верно следующее:

4. Если дифференцируема в точке z, а f(w) дифференцируема в точке

5. Если в некоторой точке z функция f(z) дифференцируема и существует функция , дифференцируемая в точке w = f(z), причем

где — функция, обратная функции f(z).

Приведем без доказательства теорему о дифференцируемости основных элементарных функций комплексного переменного: функции

дифференцируемы в любой точке комплексной плоскости; функции также дифференцируемы в любой точке плоскости, кроме точек

соответственно; для функций в окрестности каждой точки можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой в точке z функцией.

Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции. £5] Однозначная функция f(z) называется аналитической (голоморфной) в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция /(2) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке

Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное).

Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) аналитична, называются правильными точками f(z). Точки, в которых функция f(z) не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z. Тогда .Отсюда следует, что

Тогда приращение функции можно записать так: Если , то первое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и ; второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции w = f(z).

Дифференциалом dw аналитической функции w = f(z) в точке z называется главная часть ее приращения, т. е. или (так как при w = z будет . Отсюда следует, что т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание:

Если функция f(z) = и(х; у) + iv(x;y) аналитична в некоторой области D, то функции и(х; у) и v(х; у) удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа см. п. 72.2).

Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по у, а второе по х, получаем:

откуда

Функции и(х; у) и v(x;у) являются гармоническими функциями.

Пример:

Проверить, является ли функция аналитической. Найти ее производную.

Решение:

Находим действительную Re w = и и мнимую Imw = v части функции:

Таким образом, Проверяем условия Эйлера-Даламбера (74.5):

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (74.6), например по первой:

т. е.

Заметим, что производную функции можно найти, воспользовавшись определением производной (74.4):

Пример:

Найти аналитическую функцию w = и + iv по ее заданной действительной части

Решение:

Отметим, что функция и является гармонической функцией (следовательно,).

Для определения мнимой части v воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера (74.5). Так как

то, согласно первому условию, Отсюда, интегрируя по у, находим:

Для определения функции воспользуемся вторым условием Эйлера-Даламбера. Так как

а

то Отсюда Поэтому Находим функцию w = u + iv:

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении

Пусть функция w = f(z) аналитична в точке и Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Функция w = f(z) отображает точку плоскости z в точку плоскости w.

Пусть произвольная точка из окрестности точки zo перемещается к точке по некоторой непрерывной кривой l. Тогда в плоскости w соответствующая точка будет перемещаться к точке по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости w (рис. 285).

По определению производной Отсюда следует,

что

Величина представляет собой расстояние между точками — расстояние между точками и Следовательно, есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между точками и . Этот предел не зависит (f(z) аналитична в точке ) от выбора кривой l, проходящей через точку . Следовательно, предел в точке постоянен, т. е. одинаков во всех направлениях.

Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: величина определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке при отображении w = f(z). Величину |/'(z0)| называют коэффициентном растяжения, если > 1, или коэффициентом сжатия, если < 1-

Пример:

Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции в точке

Решение:

Функция аналитична в точке , при этом w’ = z. Следовательно, Коэффициент растяжения для функции в точке равен 5 (плоскость растягивается).

Для аргумента производной в точке имеем:

где — углы, которые образуют касательные к кривым l и L соответственно в точках , и с положительными направлениями действительных осей на плоскостях z и w (см. рис. 285).

Отсюда Это означает, что — это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке wq. Другими словами, — это угол между отображенным и первоначальным направлениями касательных к кривым l и L в точках и соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента производной .

В силу аналитичности функции f(z) в точке (мы предположили, что угол один и тот же для всех кривых, проходящих через точку . Для другой пары кривых в тех же точках и будем иметь arg/'(zo) = а’2 — а[ = </?. Таким образом, , т. е. если кривые образуют в точке на плоскости z угол , то такой же угол будут образовывать в точке кривые , являющиеся отображениями кривых на плоскости w (см. рис. 286).

Это свойство отображения w = f(z) называется свойством сохранения (консерватизма) углов в точке .

Отображение w = f(z), обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке , называется конформным (т. е. отображением, сохраняющим форму). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то такое отображение называется конформным отображением 1-го рода; если направление отсчета углов изменяется на противоположное — конформным отображением 2-го рода.

Таким образом, если функция f(z) является аналитической в некоторой точке комплексной плоскости z и в этой точке ее производная отлична от нуля, то отображение w = f(z) конформно в этой точке.

Отображение cназывается конформным в области D, если оно конформно в каждой точке этой области.

Справедливо следующее утверждение: если функция w = f(z) ана-литична в области D, причем во всех точках области , то отображение конформно в D; если отображение w = f(z) конформно в области D, то функция w = f(z) аналитична в D и во всех точках этой области .

Пример:

Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией w = 2z .

Решение:

Отображение w = 2z конформно во всех точках плоскости z, т. к.

Коэффициент растяжения в любой точке плоскости z равен 2. Так как argw’ = arg2 = 0, то направление при отображении не меняется. Таким образом, отображение w = 2z есть преобразование гомотетии с центром в нулевой точке (w = 0 при z = 0) и коэффициентом гомотетии, равным 2.

Интегрирование функции комплексного переменного

Определение, свойства и правила вычисления интеграла:

Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с начатом в точке и концом в точке Z определена непрерывная функция f(z).

Разобьем кривую L на п частей (элементарных дуг) в направлении от к z точками (см. рис. 287).

В каждой «элементарной дуге» выберем п произвольную точку и составим интегральную сумму , где

Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется

интегралом от функции f(z) по кривой (по контуру) L и обозначается символом

Таким образом,

Покажем, что если L — гладкая кривая, a f(z) — непрерывная и однозначная функция, то интеграл (75.1) существует.

Действительно, пусть

Тогда

Поэтому

Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов (см. п. 56.1).

При сделанных предположениях о кривой L и функции f(z) пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в последнем равенстве) при получим:

Формула (75.2) показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных. Формулу (75.2) можно записать в удобном для запоминания виде:

Если x = x(t),y = y(t), где — параметрические уравнения кривой L, то z = z (t) = x(t) + iy(t) называют комплексным параметрическим уравнением кривой L; формула (75.3) преобразуется в формулу

Действительно, считая z(t) непрерывной и дифференцируемой функцией, получаем

Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного переменного.

при перемене направления пути интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в других обозначениях кривой:

т. е. интеграл по всему пути L равен сумме интегралов по его частям .

6.Оценка модуля интеграла. Если во всех точках кривой L, то где l — длина кривой L.

Действительно,

где — длина ломаной вписанной в кривую L.

Все приведенные свойства интеграла функции комплексного переменного непосредственно вытекают из его определения (75.1) и представления (75.2).

Пример:

Вычислить

где L — полуокружность (см. рис. 288).

Решение:

Используя формулу (75.3), имеем:

Используя формулу (75.4), имеем

Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема Коши:

Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю, т. е.

Докажем теорему, предполагая непрерывность производной f'(z) (это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем:

В силу аналитичности f(z) = и + iv и непрерывности f'(z) в одно-связной области D, функции и = и(х; у) и v = v(x;y) непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера: Условия означают равенство нулю интегралов (см. теорему 56.3). Следовательно,

Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.

Рассмотрим для определенности трехсвязную область D, ограниченную внешним контуром L и внутренними контурами Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область D остается слева (см. рис. 289).

Пусть функция f(z) аналитична в области D и на контурах (т. е. в замкнутой области ; функция называется аналитической в замкнутой области , если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область D и ее границу L).

Проведя два разреза (две дуги) области D (см. рис. 289), получим новую односвязную область , ограниченную замкнутым ориентированным контуром Г, состоящим из контуров и разрезов

По теореме Коши для односвязной области , но

т. к. каждый из разрезов (дуг) при интегрировании проходится дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:

т. е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области D функции f(z) по границе области D, проходимой в положительном направлении, равен нулю.

Замечание:

Изменив направление обхода внутренних контуров , будем иметь

где все контуры () обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если f(z) аналитична в двусвязной области, ограниченной контурами L и l и на самих этих контурах (см. рис. 290), то т. е. «интеграл от функции f(z) по внешнему контуру L равен интегралу от функции f(z) по внутреннему контуру l» (контуры L и l обходят в одном направлении).

Следствие:

Если f(z) — аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки z пути интегрирования.

Действительно, пусть две кривые в области D, соединяющие точки и z (рис. 291).

По теореме Коши

В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением Если здесь зафиксировать точку , а точку г изменять, то будет функцией от z. Обозначим эту функцию через

Можно доказать, что если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то функция F(z) также аналитична в D, причем

Функция F(z) называется первообразной для функции f(z) в области D, если F'(z) = f(z).

Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для f(z), то совокупность всех первообразных f(z) определяется формулой F(z) + С, где С = const.

Совокупность всех первообразных функций f(z) называется неопределенным интегралом от функции f(z) и обозначается символом ,т. е.

Пусть функция есть первообразная функция для f(z). Следовательно, Положив здесь , получим (контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда, а значит,

Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе.

и т.д.

Пример:

Вычислить интегралы:

где L есть окружность радиуса R с центром в точке , обходимая против часовой стрелки (см. рис. 292).

Решение:

а) Теорема Коши неприменима, т.к. функция
не аналитична в точке . Параметрические уравнения окружности L есть

Следовательно,

Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое уравнение данной окружности есть Поэтому по формуле (75.4) получим:

б) При имеем:

Итак,

Интеграл Коши. Интегральная формула Коши

Теорема:

Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой одно-связной области и L — граница области D. Тогда имеет место формула

где — любая точка внутри области D, а интегрирование по контуру L производится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки).

Интеграл, находящийся в правой части равенства (75.5), называется интегралом Коши, а сама эта формула называется интегральной формулой Коши.

Формула Коши (75.5) является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитической функции f(z) в любой точке , лежащей внутри области D через ее значения на границе этой области.

Построим окружность с центром в точке , взяв радиус r столь малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области (чтобы не пересекала L).

Получим двусвязную область (заштрихованную на рис. 293), ограниченную контурами L и , в которой функция аналитична. Тогда, согласно замечанию к теореме Коши (с. 545), имеем:

Отсюда следует:

lr lr

Но (см. пример 75.2). Следовательно,

т.е.

Оценим разность в левой части равенства (75.6). Так как аналитическая функция f(z) непрерывна в точке , то для любого числа найдется число r > 0 такое, что при (на окружности имеем ) справедливо неравенство

Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (п. 75.1), имеем:

Так как может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть последнего неравенства не зависит от , то она равна нулю:

откуда следует формула (75.5).

Отметим, что интегральная формула Коши (75.5) справедлива и для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область D оставалась слева.

Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать следующие теоремы-следствия.

Теорема:

Для всякой дифференцируемой в точке функции f(z) существуют производные всех порядков, причем п-я производная имеет вид:

Теорема 75.4. В окрестности каждой точки , где существует производная , функция f(z) может быть представлена сходящимся рядом:

Таким образом, производная аналитической функции также является аналитической функцией.

Напомним, что из дифференцируемое действительной функции не следует даже существования второй производной (функция имеет производную в точке x= 0, а производная этой функции при х = 0 не существует).

Ряд (75.8) называется рядом Тейлора функции f(z) в точке .

Ряд Тейлора дифференцируемой в точке функции существует и сходится к самой функции. Ряд же Тейлора для действительной функции f(x) может сходиться к другой функции или быть расходящимся.

Замечание. Формула n-й производной функции f(z) может быть получена из формулы Коши

(в формуле (75.5) заменено z на , на z) путем последовательного дифференцирования равенства (75.9) по z:

Формулы (75.5) и (75.7) можно использовать для вычисления интегралов по замкнутым контурам.

Пример:

Вычислить где a) L — окружность б) L — окружность
Решение: а) функция является аналитической в области В силу теоремы Коши имеем

б) На рисунке 294 представлена область, ограниченная контуром интегрирования.

В этой области находится точка z = 2i, в которой знаменатель подынтегральной функции равен нулю. Перепишем интеграл в виде

Функция является аналитической в данной области. Применяя интегральную формулу Коши (75.5), находим:

Пример:

Вычислить

Решение: Внутри круга и на его границе функция f(z) = cos z аналитична. Поэтому, в силу формулы (75.7), имеем

Ряды в комплексной плоскости

Числовые ряды:

Ряд

членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (76.1) с комплексными членами можно записать в виде

где — действительные числа.

Сумма

первых п членов ряда (76.1) называется п-й частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм ряда:

то ряд (76.1) называется сходящимся, a S — суммой ряда; если не существует, то ряд (76.1) называется расходящимся.

Очевидно, что ряд (76.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов

и

При этом — сумма ряда (76.2), а — сумма ряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2) и (76.3) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами. Приведем некоторые из них.

Остатком ряда (76.1) называется разность

Теорема:

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (76.1) сходится, то его общий член при стремится к нулю:

Ряд (76.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

По условию ряд с общим членом сходится. Тогда в силу очевидных неравенств и на основании признака сравнения (теорема 60.1) сходятся ряды

Отсюда следует сходимость рядов (76.2) и (76.3), а значит, и абсолютная сходимость ряда (76.1).

Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: если существует ряд (76.4) абсолютно сходится, а при l > 1 — расходится.

Степенные ряды

Степенным рядом в комплексной области называют ряд вида

где — комплексные числа (коэффициенты ряда), z = х + iy — комплексная переменная.

Рассматривают также и степенной ряд вида

который называют рядом по степеням разности — комплексное число. Подстановкой ряд (76.6) сводится к ряду (76.5).

Ряд (76.5) при одних значениях аргумента z может сходиться, при других — расходиться.

Совокупность всех значений z, при которых ряд (76.5) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля, устанавливающая область сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля:

Если степенной ряд (76.5) сходится при (в точке). то он абсолютно сходится при всех значениях z, удовлетворяющих условию .

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абеля в действительном анализе (теорема 63.1).

Следствие:

Если ряд (76.5) расходится при , то он расходится при всех значениях z, удовлетворяющих условию (т. е. вне круга радиуса || с центром в начале координат).
Из теоремы Абеля следует существование числа такого, что при всех значениях z, удовлетворяющих неравенству |z| < R, степенной ряд (76.5) абсолютно сходится. Неравенству|z| < R удовлетворяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса R с центром в точке z = 0.

Величина R называется радиусом сходимости ряда (76.5), а круг |z| < R — кругом сходимости ряда. В круге |z| < R ряд (76.5) сходится, вне этого круга — расходится; на окружности |z| = R могут располагаться как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.

Принято считать, что R = 0, когда ряд (76.5) сходится в одной точке z = 0; , когда ряд сходится на всей комплексной плоскости. Кругом сходимости ряда (76.6) является круг с центром в точке .

Радиус сходимости ряда (76.5) можно вычислить по формуле

получаемой после примене-ния признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов исходного ряда.

Приведем (без доказательств) некоторые свойства степенного ряда.

1. Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция.
2. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз. Полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Здесь

т. е. . Следовательно, областью сходимости является вся плоскость z.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Здесь

Данный ряд сходится в области | z — i| < 2.

Пример:

Определить радиус сходимости ряда

и исследовать сходимость ряда в точках

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь

Ряд сходится при всех z, удовлетворяющих неравенству, т. е. |z|< 1. Кругом сходимости является круг с центром в точке z = 0 и радиусом 1.

Точка лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка лежит на границе круга сходимости, в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) и расходиться. Подставляя значение в выражение общего члена ряда, получим

Числовой ряд с общим членом расходится согласно интегральному признаку Коши (теорема 60.5). Следовательно, в точке степенной ряд расходится.

Точка лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке расходится.

Ряд Тейлора

Теорема:

Всякая аналитическая в круге функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

коэффициенты которого определяются формулами

где — произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри круга.

Степенной ряд (76.7) называется рядом Тейлора для функции f(z) в рассматриваемом круге.

Возьмем произвольную точку z внутри данного круга и проведем окружность с центром в точке и радиусом r < R так, чтобы точка z находилась внутри круга (см. рис. 295).

Так как функция f(z) аналитична в круге и на его границе , то ее значение в точке z можно найти по формуле Коши (75.9):

где — точка на окружности . Имеем:

Так как следовательно, выражение можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем Таким образом,

Умножим обе части этого равенства на величину и проинтегрируем его почленно по контуру . Получим:

где

Используя формулу (75.10), получим представление коэффициентов ряда через п-е производные функции f(z) в точке :

Таким образом, мы получили разложение функции f(z) в степенной ряд (76.7), коэффициенты которого определяются по формулам (76.8).

Докажем единственность этого разложения.

Допустим, что функция f(z) в круге представлена другим степенным рядом

Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число раз, будем иметь:

Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде , полу-чаем:

Сравнивал найденные коэффициенты ряда с коэффициентами ряда (76.7), устанавливаем, что , а это означает, что указанные ряды совпадают.

Функция f(z) разлагается в степенной ряд единственным образом. В

Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена):

Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два — в круге |z| < 1.

Заменив z на iz в разложении функции , получим:

т. е. формулу Эйлера

Нули аналитической функции

Как показано выше, всякая функция f(z), аналитическая в окрестности точки , разлагается в этой окрестности в степенной ряд (76.7): коэффициенты которого определяются по формулам (76.8).

Точка называется нулем функции f(z), если В этом случае разложение функции f(z) в окрестности точки в степенной ряд не содержит нулевого члена, т. к. Если не только

то разложение функции f(z) в окрестности точки имеет вид

а точка называется нулем кратности m (или нулем m-ro порядка). Если m = 1, то называется простым нулем.

Из формул (76.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует, что если является нулем кратности m функции f(z), то

В этом случае представление функции степенным рядом (76.9) можно переписать в виде где

Для функции точка уже не является нулем, так как

Справедливо и обратное утверждение: если функция f(z) имеет вид (76.10), где m — натуральное число, a аналитична в точке , причем , то точка есть нуль кратности т функции f(z).

Ряд Лорана

Теорема:

Всякая аналитическая в кольце функция f(z) может быть разложена в этом кольце в РЯД

коэффициенты которого определяются формулой

где L — произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри данного кольца.

Ряд (76.11) называется рядом Лорана для функции f(z) в рассматриваемом кольце.

Возьмем произвольную точку z внутри кольца и проведем две окружности с центрами в точке так, чтобы точка z была между ними и каждая окружность находилась внутри данного кольца (см. рис. 296)

Функция f(z) аналитична в кольце между окружностями и на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для многосвязной области имеем:

где обе окружности обходятся против часовой стрелки.

Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства (76.13), рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора.

На окружности выполняется неравенство или Поэтому дробь можно представить в виде

Тогда

Проинтегрируем это равенство по контуру

(здесь так как функция f(z), возможно, не аналитична в точке).

На окружности имеем Тогда

Значит,

Проинтегрируем это равенство почленно по контуру

Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13), получим

Формулы для коэффициентов можно объединить, взяв вместо контура любую окружность L с центром в точке , лежащую в кольце между (следует из теоремы Коши для многосвязной области):

Можно доказать, что функция f(z), аналитическая в данном кольце , разлагается в ряд Лорана (76.11) единственным образом.

Ряд Лорана для функции

состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд

называется правильной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции внутри круга Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд

называется главной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции вне круга

Внутри кольца ряд сходится к аналитической функции

В частности, если функция /(z) не имеет особых точек внутри круга , то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.

Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций; дробь вида разлагается в ряд, являющийся рядом геометрической прогрессии; дробь вида целое, разлагается в ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии последовательным дифференцированием (k — 1) раз; сложная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

Пример:

Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности точки

Решение:

Воспользуемся известным разложением

справедливым на всей комплексной плоскости. Положив получим

Пример:

Разложить в ряд Лорана функцию

в окрестности точки .

Решение:

Функция имеет две особые точки: Она аналитична в областях:

Представим функцию f(z) в виде

а) В круге |z| < 2 (рис. 297) имеем:

Следовательно,

ряд Лорана функции f(z) обращается в ряд Тейлора.

б) В кольце 2 < |z| < 3 (рис. 298) имеем:

Следовательно,

в) В области |z| > 3 (рис. 299) имеем:

Следовательно,

Классификация особых точек

Связь между нулем и полюсом функции:

Как уже знаем, особой точкой функции f(z) называется точка, в которой функция не является аналитической.

Особая точка функции f(z) называется изолированной, если в некоторой окрестности ее функция f(z) не имеет других особых точек.

Если — изолированная особая точка функции f(z) , то существует такое число R > 0, что в кольце функция f(z) будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лopaна (76.11):

При этом возможны следующие случаи:

1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется устранимой особой точкой функции f(z) .

2) Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное число членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется полюсом функции f(z).

3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов, т. е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется существенно особой точкой функции f(z).

Укажем особенности поведения аналитической функции f(z) в окрестности особой точки каждого типа.

Устранимые особые точки:

Если — устранимая особая точка, то в окрестности точки разложение (76.11) имеет вид Это разложение справедливо во всех точках круга , кроме точки .Если положить (т. е. определить функцию f(z) в точке ), то функция f(z) станет аналитической во всем круге (включая его центр ); особенность точки устраняется, точка становится правильной точкой функции f(z)).

Из равенства следует, что в достаточно малой окрестности устраняемой особой точки функция f(z) является ограниченной.

Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая точка является устранимой, если существует конечный предел

Полюсы

Если — полюс, то в окрестности точки разложение (76.11) имеет вид

В этом случае полюс zo называется полюсом m-го порядка функции f(z); если m = 1, то полюс называется простым.

Запишем последнее равенство в виде

или

где g(z) — аналитическая функция, причем Отсюда следует, что , т. е. в достаточно малой окрестности полюса функция f(z) бесконечно велика.

Справедливо и обратное утверждение: изолироаанная особая точка является полюсом, если

Из равенства (76.16) имеем Отсюда получаем удобный способ определения порядка полюса : если

то точка есть полюс m-го порядка.

Имеется связь между нулем и полюсом функции.
Теорема 76.6. Если точка — нуль m-го порядка функции f(z), то является полюсом m-ro порядка функции если точка — полюс m-го порядка функции f(z), то является нулем m-го порядка функции .

Докажем первую часть теоремы. Пусть есть нуль m-го порядка для функции f(z). Тогда имеет место равенство аналитична в точке причем Тогда

Это означает (см. (76.17)), что для функции точка является полюсом m-го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывается аналогично.

Существенно особая точка:

Если — существенно особая точка, то, как доказывается (теорема Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точки функция f(z) становится неопределенной. В такой точке аналитическая функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Выбирая различные последовательности точек , сходящихся к существенно особой точке , можно получать различные последовательности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным пределам.

Пример:

Определить тип особенности функции в точке z = 0.

Решение:

Функция в окрестности точки z = 0 имеет следующее лорановское разложение: (см. пример 76.4). Точка z = 0 является существенно особой точкой. Если вдоль положи тельной части действительной оси, то если вдоль отрицательной части действительной оси, то

Замечание:

Классификацию изолированных особых точек можно распространить на случай, когда особой точкой функции f(z) является бесконечно удаленная точка, .

Окрестностью точки называют внешность какого-либо круга с центром в точке z = 0 и достаточно большим радиусом R (чем больше R , тем меньше окрестность точки ).

Точку называют изолированной особой точкой, если в некоторой окрестности ее нет других особых точек функции f(z).

Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказаться устранимой особой точкой, полюсом порядка m или существенно особой точкой. В первом случае лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки не имеет членов с положительными показателями, во втором — имеет их лишь конечное число, в третьем случае в разложении имеется бесконечно много членов с положительными показателями.

Изучение функции f(z) в окрестности точки можно свести путем подстановки к изучению функции в окрестности точки z = 0.

Пример:

Найти особые точки функции

Решение:

Особой точкой функции f(z) является z = 0. Найдем предел функции при :

Следовательно, точка z = 0 является полюсом. Можно убедиться, что

Следовательно (см. (76.17)), точка z = 0 — полюс третьего порядка.

Пример:

Исследовать особенности функции

Решение:

Для данной функции точки — простые полюсы, — полюс второго порядка.

Пример:

Выяснить поведение функций в окрестности точки .

Решение:

Сделаем подстановку . Тогда функция примет вид При условии имеет место разложение Возвращаясь к старой переменной, имеем

Поэтому точка является устранимой особой точкой (см. последнее замечание).

Можно убедиться, что для функции j является правильной точкой.

Вычет функции

Понятие вычета и основная теорема о вычетах:

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке называется комплексное число, равное значению интеграла взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке , лежащей в области аналитичности функции f(z) (т. е. в кольце

Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке символом Таким образом,

Если в формуле (76.12) положить п = — 1, то получим

т. е. вычет функции f(z) относительно особой точки равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции f(z) в ряд Лорана (76.11).

Теорема Коши:

Если функция f(z) является аналитической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри области D, то

Вокруг каждой особой точки опишем окружность так, чтобы она целиком содержалась в области D, не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих точек (см. рис. 300).

Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см. замечание на с. 545) имеем:

где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки. Но, согласно формуле (77.1), имеем:

Следовательно,

Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов

Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, если есть правильная или устранимая особая точка функции f(z), то (в разложении Лорана (76.11) в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому ).

Полюс. Пусть точка является простым полюсом функции f(z) . Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки имеет вид

Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

Замечание:

Формуле (77.3) для вычисления вычета функции f(z) в простом полюсе можно придать другой вид, если функция f(z) является частным двух функций, аналитических в окрестностях точки .

Пусть имеет простой нуль при (т.е. ). Тогда, применяя формулу (77.3), имеем:

т. е.

Пусть точка является полюсом m-ro порядка функции f(z). Тогда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки имеет вид

Дифференцируя последнее равенство (m — 1) раз, получим:

Переходя здесь к пределу при , получаем

Существенно особая точка. Если точка — существенно особая точка функции f(z) , то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно определяют коэффициент в разложении функции в ряд Лорана.

Пример:

Найти вычеты функции в ее особых точках.

Решение:

Особыми точками функции f(z) являются: — простой полюс, — полюс третьего порядка (m = 3). Следовательно, по формуле (77.4) имеем

Используя формулу (77.5), находим:

Пример:

Найти вычет функции в особой точке z = 0.

Решение:

Лорановское разложение данной функции в окрестности точки z = 0 было найдено в примере 76.4. Из него находим т.е.

Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.
Пример:

Вычислить где L — окружность

Решение:

Функция имеет
в круге (см. рис. 301) простой полюс и полюс второго порядка . Применяя формулы (77.2), (77.3) и (77.5), получаем:

Определенный интеграл вида с помощью замены в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру|z|= 1 от функции комплексного переменного, к которому уже применима основная теорема о вычетах.

Пример:

Вычислить с помощью вычетов интеграл

Решение:

Произведем замену переменного, положив . Тогда

При изменении точка z опишет в положительном направлении окружность |z| = 1. Следовательно,

В круге |z|< 1 функция имеет полюс второго порядка По формуле (77.5) находим

Следовательно,

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат