Показательная функция в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер

Свойства показательной функции и её график

В курсе алгебры рассматривалась степень с действительным показателем. Напомним основные свойства степени. Пусть a>0, b>0, х, Показательная функция и — любые действительные числа. Тогда

Эйлер Леонард (1707—1783) — математик, механик, физик и астроном, академик Петербургской Академии Наук. Научные труды Л. Эйлера относились ко всем областям естествознания, к которым можно применить математические методы.

Кроме того, в курсе алгебры рассматривались функции Показательная функция и т. д., т. е. степенные функции , где r — заданное число, а х — переменная.

В практике используются также функции Показательная функция т. е. Функция вида

где а — заданное число, а х — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основание степени — заданное число.

Показательной функцией называется функция Показательная функция , где а — заданное число,

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения показательной функции — множество R всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень Показательная функция , где а > 0, определена для всех

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение Показательная функция , где
а > 0, , не имеет корней, если , и имеет корень при любом b > 0. По свойству степени (6) это уравнение не имеет корней, если

То, что это уравнение имеет корень при любом b > 0, доказывается в курсе высшей математики. Это означает, что любая прямая у = b, где
b > 0, пересекается с графиком показательной функции.

3) Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а> 1, и убывающей, если 0<а<1.

Пусть а> 1 и Показательная функция . Покажем, что , т. е.

Так как Показательная функция , то и по свойству степени (7) имеем т. е.

Отсюда, учитывая, что Показательная функция получаем

Пусть 0<а<1 и Показательная функция Покажем, что , т. е.

Так как 0<а<1, то Показательная функция и поэтому

т. е. Показательная функция откуда

Построим графики функций Показательная функция и используя
рассмотренные свойства, по нескольким точкам, принадлежащим
графику (рис. 1 и 2 ).
Отметим, что график функции проходит через точку
(0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х < 0 и убывает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает ее); если х > 0
и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же
вид имеет график любой функции Показательная функция , если а > 1 (рис. 3).
График функции также проходит через точку (0; 1)
и расположен выше оси Ох. Если x > 0 и возрастает, то график
быстро приближается к оси Ох (не пересекая ее); если х < 0 и
убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид
имеет график любой функции Показательная функция , если 0 < а < 1

Показательная функции часто используется при описании
различных физических процессов. Как радиоактивный распад
вписывается формулой

Показательная функция

где m (t) и Показательная функция — масса радиоактивного вещества соответственно в момент момент времени t и в начальный момент t=0. T —
период полураспада (промежуток примени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
С помощью показательной функции выражается давление
воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции
в катушке после включения постоянного напряжения и т. д.

Задача:

Решить уравнение Показательная функция
По свойству показательной функции данное уравнение
имеет корень, так как 27 > 0 . Одним из корней является число
х = 3, так как

Других корней нет, так как функция Показательная функция возрастает на всей числовой прямой, и поэтому при х > 3 и при
х < 3 и (рис. 5). ▲

Задача:

Период полураспада плутония равен 140 суткам.
Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная
масса равна 8 г?

Воспользуемся формулой (8). В данной задаче t = 10*365
(считаем, что в году 365 дней), T = 140. Показательная функция

Вычисления проведем на микрокалькуляторе МК-54 по программе

Ответ. Через 10 лет плутония останется примерно Показательная функция

Показательные уравнения и неравенства

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений
и неравенств, т. е. уравнений и неравенств, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Уравнения
Решение показательных уравнений часто сводится к решению
уравнения

где Показательная функция , х — неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:
Теорема. Если а > 0 , то

О Предположим, что равенство Показательная функция не выполняется, т. е.
или

Пусть, например, Показательная функция . Тогда если а > 1, то показательная функция возрастает и поэтому должно выполняться неравенство если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство Показательная функция

В обоих случаях получилось противоречие с условием Показательная функция

Задача:

Решить уравнение Показательная функция

Запишем уравнение в виде Показательная функция откуда x+2 = 0.
Ответ. x = — 2.

Задача:

Решить уравнение Показательная функция

Так как Показательная функция то уравнение можно записать в виде или в виде Отсюда х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача:

Решить уравнение Показательная функция

Вынося в левой части за скобки общий множитель Показательная функция

получаем Показательная функция откуда
х — 2 = 0, х=2.
Ответ. х = 2.

Задача:

Решить уравнение Показательная функция
Так как то уравнение можно записать в виде откуда х = 0.
Ответ. x = 0.

Задача:

Решить уравнение Показательная функция

Запишем уравнение в виде Показательная функция

откуда Показательная функция
Ответ. х = 2.

Задача:

Решить уравнение Показательная функция

Заменой Показательная функция данное уравнение сводится к квадратному
уравнению

Решая это уравнение, находим его корни: Показательная функция откуда

Уравнение Показательная функция имеет корень х = 2, а уравнение не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
О т в е т. х = 2

Неравенства

Решение показательных неравенств часто сводится к решению
неравенств Показательная функция или . Эти неравенства решаются с
помощью свойства возрастания или убывания показательной
функции.

Задача:

Решить неравенство Показательная функция

Запишем неравенство в виде Показательная функция Так как 3 > 1 , то
функция является возрастающей. Следовательно, при x>4 выполняется неравенство , а при выполняется неравенство . Таким образом, при х < 4 неравенство Показательная функция является верным, а при — неверным, т. е.
неравенство выполняется тогда и только тогда, когда
х < 4 .
Ответ. х < 4

Задача:

Решить неравенство Показательная функция

Запишем неравенство в виде или

Так как Показательная функция — убывающая функция, то

Ответ. Показательная функция

Задача:

Решить неравенство Показательная функция

Обозначим Показательная функция тогда получим квадратное неравенство Это неравенство выполняется при t < — 2 и при
t > 1 . Так как , то получим два неравенства
Первое неравенство не имеет решений, так как Показательная функция при всех
Второе неравенство можно записать в виде , откуда x >0.
Ответ. x > 0.

Задача:

Решить графически уравнение Показательная функция

Построим графики функций Показательная функция и (рис- 6 )
Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой . Проверка показывает, что x = 1 — корень данного уравнения:

Покажем, что других корней нет. Функция Показательная функция
убывающая, а функция — возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше , а второй — больше ; при x < 1, наоборот, значения первой функции больше Показательная функция , а второй — меньше . Геометрически
(рис. 6) это означает, что графики этих функций при x > 1 и x < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при Показательная функция

Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство Показательная функция выполняется при х < 1, а неравенство при х > 1.

Системы уравнений

Задача:

Решить систему уравнений

Решим эту систему способом подстановки:

откуда Показательная функция

Найдем значения х:
Показательная функция
Ответ. ( — 7 ; 3), (1; — 1 ) .

Задача:

Решить систему уравнений

Обозначим Показательная функция

Тогда система запишется так:

Решим эту систему способом подстановки
Показательная функция

Найдем значения u: Показательная функция

Возвратимся к принятым обозначениям:
1) Показательная функция Так как первое из этих уравнений корней не имеет, то решений системы в этом случае нет.
2) откуда х = 2, у = 1.
О т в е т. (2; 1 ).

Показательная функция

Показательной функцией называется функция, заданная формулой y=a ^x , где a > 0 и a ≠ 1

Порядок роста и убывания функции

Функция — это основной математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.

Вслед за линейными мы подробно изучали квадратичные зависимости. Так, путь при равноускоренном движении квадратично зависит от времени; энергия падающего тела квадратично зависит от его скорости; количество теплоты, выделяемой током, текущим по проводнику, квадратично зависит от силы тока и т. п.

Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике. Например, по закону Стефана — Больц-мана излучательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Масса шара является кубической функцией его радиуса.

Если мы изобразим на одном чертеже (схема IX) графики степенных функций вида Показательная функция при положительных значениях k, то увидим, что, чем больше k, тем быстрее при больших значениях х растут эти функции. Степенные функции образуют естественную шкалу, позволяющую сравнивать рост различных функций со стандартными, степенными функциями.

Аналогичная картина наблюдается и с убывающими функциями. Простейшая убывающая функция задается обратно пропорциональной зависимостью Показательная функция Изображая на одном чертеже (рис. 104) графики функций видим, что, чем больше k, тем быстрее убывают эти функции при больших значениях х.

Гильберт Давид (1862—1943) —

немецкий математик, основатель Геттин-генской математической школы. Гильберт завершил начатое Евклидом. Ему принадлежит глубокое обобщение евклидовой геометрии (гильбертовы пространства), он получил важнейшие результаты в математической логике.

«Арифметические знаки — это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы».

Д. Гильберт

В естествознании и технике встречаются процессы, рост или затухание которых происходит быстрее, чем у любой степенной функции. С примерами быстро растущих функций человек столкнулся очень давно. В древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую — вдвое больше, чем за предыдущую. Человеку трудно представить себе порядок величины Показательная функция (общее число зерен, плату за изобретение шахмат). Если грубо заменить

Показательная функция

Достаточно сказать, что расстояние от Земли до Солнца в миллиметрах приблизительно равно Показательная функция , так что, считая диаметр зерна за 1 мм, можно этим зерном 100 тысяч раз уложить путь до Солнца.

Поразительное явление быстрого роста членов геометрической прогрессии, т. е. чисел вида cqn, отражено во многих старинных задачах. Однако лишь с конца XVII в. стали систематически рассматриваться зависимости типа y = cqx, в которых переменная х принимает не только целые значения. Такие функции называются показательными.

Показательные функции, к изучению которых мы переходим в этой главе, обладают замечательным свойством: скорость их роста пропорциональна значению самой функции. Они как костер, который, чем больше разгорается, тем больше в него надо подкладывать дров.

Мы знаем, что скорость роста линейной функции постоянна, квадратичной функции линейна и вообще производная степенной функции, являясь меньшей степенью, растет медленнее, чем сама функция. Необходимость изучения функций, у которых производная пропорциональна самой функции, возникла с обнаружением различных законов естествознания, таких, как законы размножения, законы радиоактивного излучения, законы движения в тормозящей среде и т. д. Как эти законы связаны с показательными функциями, мы обсудим в главе, посвященной интегралу.

Определение степени с произвольным показателем

В основе определения показательной функции лежит понятие степени. Как надо понимать выражение Показательная функция ? Его определение строится постепенно. Сначала надо вспомнить, что такое степень с натуральным показателем, т. е. рассмотреть случай, когда t — натуральное число. Запись Показательная функция мы понимаем как произведение 10 одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. В общем виде если t = n — натуральное число, то запись означает произведение п множителей, каждый из которых равен а.

Если t — отрицательное целое число, то его можно записать в виде t= — n, где n — натуральное число. Тогда Показательная функция определяется так: Например, по определению равно .

Если t=0, то Показательная функция принимается равным единице, т. е. а°=1. Заметим, что при t ≤ 0 не определено при а—0. Тем самым мы определили степень с произвольным целым показателем. Дальнейшее обобщение понятия степени требует положительности основания а. Рассмотрим случай, когда t — рациональное число. Его можно записать в виде дроби Показательная функция , где m — целое число, n — натуральное число. По определению = В частности,

Степень с произвольным вещественным показателем t определяется следующим образом. Для числа t выбирается последовательность рациональных чисел t1, t2…, tn,…. задающая приближение числа t с любой степенью точности. Строится последовательность степеней с рациональными показателями Показательная функция …, . Оказывается, что эта последовательность задает приближение некоторого числа с с любой степенью точности. Это число и называется степенью Показательная функция .

Таким образом, мы определили степень Показательная функция для положительного основания а и любого показателя t. Замечания.

Степень числа с натуральным показателем имеет смысл не только для положительного, но и для любого основания, так как эта степень определяется с помощью операции умножения, а умножать можно любые числа. Поэтому имеют смысл равенства

Показательная функция = 0 и т. п. Степень с целым отрицательным показателем может быть определена для любого числа, кроме нуля, так как ее вычисление сводится к операциям умножения и деления. Определение же степени с рациональным показателем требует операции извлечения корня, которая выполнима, как правило, только для положительных чисел. Поэтому мы с самого начала считаем основание степени положительным числом.

2. Степень с иррациональным показателем вычисляется приближенно. Сначала мы задаем приближения к числу t с помощью рациональных чисел, затем вычисляем степени с рациональным показателем. У нас остался невыясненным вопрос: как, зная погрешность приближения числа t с помощью рационального числа tn, оценить погрешность приближения Показательная функция к числу ?

Свойства степени

Операция возведения в натуральную степень имеет хорошо известные свойства. Перечислим их.

, т. е. при умножении степеней с одинаковым основаниями показатели складываются.

2. Показательная функция т. е. при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

3. Показательная функция т. е. при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Для натуральных показателей эти свойства выводятся из определения степени и свойств умножения. Аналогичные свойства сохраняются для степеней с произвольными вещественными показателями:

Доказательство свойств степени с произвольным вещественным показателем проводится, начиная со случая натурального показателя и переходя последовательно к целым, рациональным и любым показателям.

В приведенных выше свойствах основание степени было одним и тем же, а менялись показатели степени. Можно сформулировать свойства степеней с одинаковыми показателями, но разными основаниями:

Исследование показательной функции

Определение:

Показательной функцией называется функция вида у = Показательная функция , где а — фиксированное положительное число.

При исследовании показательной функции будем считать, что основание а ≠ 1, так как при а= 1 функция получается постоянной.

Перечислим основные свойства показательной функции.

Область определения: множество всех вещественных чисел R.
Монотонность: при а>1 функция у = строго возрастает, при 0<а<1 функция у = строго убывает (схема X).
Положительность: значения функции у = положительны (при любом основании а>0) .
Область значений: множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0; + ∞).

Свойство 1 подчеркивает, что степень Показательная функция определена при любом вещественном показателе х. Доказательство свойств 2 и 3 показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на произвольные вещественные показатели.

Свойства показательной функции позволяют построить ее график. Графики показательных функций при различных основаниях показаны на рисунке 105.

Рассмотрим показательную функцию у = Показательная функция . С ростом х значения этой функции возрастают очень быстро. Так, и т. д. Если же брать отрицательные значения х, то будет быстро приближаться к нулю: Показательная функция и т. д. Это свойство показательной функции быстро увеличиваться, с одной стороны, и быстро приближаться к нулю, с другой, хорошо видно на графике.

Вместе с функцией у = Показательная функция показательной функцией считают и функцию вида у = с, где с — постоянная. К такому виду можно привести, например, функцию у=, сделав преобразование:

Производная показательной функции

Вычислим среднюю скорость роста показательной функции у= Показательная функция на отрезке [х; х+ ∆х]:

Мы видим, что средняя скорость роста показательной функции на отрезке [х; x + ∆х] равна значению этой функции в точке х, умноженному на число Показательная функция . Исследуем, как ведет себя это число при маленьких значениях ∆х. Так как а°=1, то значение при маленьких значениях ∆х близко к 1. Если на графике функции проведем секущую, проходящую через точки (0; 1) и ( ∆х; Показательная функция ), то ее угловой коэффициент будет равен числу =tg a (рис. 106).

При Показательная функция секущая будет приближаться к касательной к

графику функции в точке (0; 1). Это означает, что Показательная функция будет

приближаться к произведению Показательная функция на значение производной при х=0. Итак, для нахождения производной функции у= надо знать только значение этой производной в нуле. Если мы его обозначим через k, то получим формулу

т. е. производная показательной функции пропорциональна самой функции.

Как же найти коэффициент пропорциональности k? Мы знаем, что он равен угловому коэффициенту касательной, проведенной в точке (0; 1). Можно приближенно по графику вычислить этот коэффициент. Так, известно, что для а=10 значение k ≈2,3, поэтому Показательная функция

С помощью знака предела коэффициент k можно записать так:

3. Число е

Посмотрим на графики показательных функций при различных а (рис. 105). Все они проходят через точку М (0; 1). Проведем в этой точке касательные к графикам. Мы видим, что, чем больше основание а, тем «круче» касательная. Так, при а = 2 угловой коэффициент касательной равен 0,693, а при а=10 угловой коэффициент касательной равен 2,303. Ясно, что при непрерывном изменении а от 2 до 10 угловой коэффициент касательной в точке М будет непрерывно меняться и найдется такое значение а, для которого этот коэффициент будет равен единице. Такое основание а обозначается буквой е. Число е иррационально. Его приближенное значение таково: е ≈ 2,718.

Итак, е — это такое число, что угловой коэффициент касательной к графику функции у= Показательная функция в точке х = 0 равен единице, т. е. касательная в этой точке образует с осью абсцисс угол 45° (рис. 107).

Можно сказать иначе. Мы уже знаем, что производная любой показательной функции пропорциональна самой этой функции. Число е — это основание, для которого коэффициент пропорциональности равен единице, т. е. е — это такое число, что производная функции у = равна самой этой функции:

Функцию у = Показательная функция часто обозначают у = ехр х (читается: «Эксп от х») и называют экспонентой. Экспонентами называют и функции более общего вида: у = . Подумайте, понятен ли вам смысл таких распространенных выражений: «Численность бактерий растет по экспоненте», «Сила тока затухает по экспоненте», «Его успехи растут по экспоненте».

Аксиоматическое определение показательной функции

Показательная функция y = f(x), где f(x) = , обладает замечательным свойством:

Это свойство может быть положено в основу определения показательной функции.

Пусть функция f задана на всей числовой оси R и для любых чисел x₁,x₂ удовлетворяет соотношению

Написанное соотношение называют функциональным уравнением. Вопрос можно поставить так: каковы функции f с областью определения R, удовлетворяющие функциональному уравнению

Прежде всего функция f {х) = 0 удовлетворяет этому уравнению. Будем считать, что f не является тождественным нулем. Из функционального уравнения следует цепочка свойств функции /, которые мы перечислим в виде серии нетрудных задач с указаниями на то, как их надо решать.

1)f(0)=1 (рассмотреть f(x+O), где х — какое-либо число, для которого f(x) ≠ 0).

2) f(х) ≠ 0 для любого х (рассмотреть f (x + ( — x))).

3) f(x)>0 для любых х (рассмотреть Показательная функция )

4) Показательная функция (рассмотреть f (x + ( —x))).

Обозначим f(1) через а.

5) Показательная функция где n ∈ N (рассмотреть f (1 + 1+ …-+-1)).

6) Показательная функция , где n ∈ N (воспользоваться 4) и 5)).

7) Показательная функция где n ∈ N (рассмотреть .

8) f(r) = ar, где r — рациональное число.

Таким образом, мы видим, что значения всякой, не равной тождественно нулю функции, определенной на всей числовой оси и удовлетворяющей функциональному уравнению f( x₁)-f( x₂) = f(x₁+x₂), для рациональных значений аргумента г совпадают со значениями а’ при некотором а. Для того чтобы сделать вывод о том, что f (х) совпадает с Показательная функция при любом вещественном х, одного функционального уравнения мало. Надо добавить еще какое-либо свойство — монотонность или непрерывность. Вот почему, стараясь избежать трудоемкого описания значений показательной функции с помощью рациональных приближений, часто дают следующее определение показательной функции:

Показательная функция y = f (х) — это строго монотонная функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая функциональному уравнению

В одном мгновеньи видеть вечность, Огромный мир — в зерне песка, В единой горсти — бесконечность И небо — в чашечке цветка.

У. Блейк, пер. С. Маршака

Дополнение к показательной функции

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Исследование функции у = ах1 + Ьх + с	Логарифмическая функция
Тригонометрические функции. Радианная мера угла	Некоторые простые неявные функции

Показательная функция

Определение:

Показательной функцией называется функция вида где основание а—произвольное положительное число, отличное от единицы. От отрицательных значений а отказываются по той причине, что при этом для некоторых значений переменной х значения степени Показательная функция не существуют. Например, при и при значение не определено. Легко сообразить, что значение не определено и при в соответствии с определением степени с рациональным показателем.

В случае Показательная функция значение степени при любом х равно единице. Случай не рассматривают потому, что он не интересен.

Данное выше определение показательной функции позволяет находить значение у для всякого значения х.

Рассмотрим в качестве примера показательную функцию Показательная функция Эта функция определена на множестве всех целых значений х. Действительно,

и, вообще,

Показательная функция (по определению).

При отрицательных целых значениях х имеем

Эта функция определена также при любом рациональном х, например:

Наконец, функция определена и при любом иррациональном х (здесь мы этот случай не рассматриваем).

Итак, показательная функция определена на всем множестве действительных чисел.

Найденные значения показательной функции Показательная функция запишем в виде таблицы

Предлагаем читателю убедиться самостоятельно в том, что функция Показательная функция принимает следующие значения:

Свойства показательной функции

Рассмотрим приведенные в п. 1 таблицы. Мы замечаем следующие свойства:

1.Показательные функции принимают только положительные значения, это вытекает из свойства степени с рациональным показателем. Любая показательная функция обладает этим свойством.

2. Показательная функция является монотонно возрастающей.

Докажем, что показательная функция при любом является монотонно возрастающей. Действительно, выберем два произвольных значения причем пусть Составим для них разность соответствующих значений показательной функции Показательная функция вынесем за скобку:

Заметим, что число Показательная функция положительно, тогда (положительная степень числа, большего единицы, сама больше единицы). Следовательно, разность положительна и, так как

Тем самым можно считать доказанным тот факт, что показательная функция при является монотонно возрастающей.

3.Показательная функция является монотонно убывающей.

Предоставляем читателю доказать, что показательная функция всегда является монотонно убывающей.

График показательной функции

Воспользовавшись составленными в п. 1 таблицами, построим в координатной

плоскости точки с соответствующими координатами для функции Показательная функция на рис. 82 и для функции на рис. 83. Эти точки намечают в каждом случае некоторую линию, расположенную выше оси абсцисс. Уменьшая шаг таблицы, можно доказать, что мы будем получать точки, попадающие на те же линии. Соединяя эти точки плавной кривой, получим графики функций Показательная функция и

На рис. 85 изображены графики показательной функции Показательная функция при различных основаниях

Рассматривая эти графики, мы видим, что показательная функция при а > 1 растет тем быстрее, чем больше а, а при основании 0 < а < 1 убывает тем быстрее, чем меньше а.

В заключение еще раз перечислим основные свойства показательной функции (в справедливости этих свойств советуем читателю убедиться, рассматривая рис. 85).

1°. Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел.

2°. Показательная функция принимает только положительные значения, т. е. областью ее значений является множество положительных чисел.

3°. Если а> 1, то при Показательная функция а при Если же то, наоборот, при

4°. Если Показательная функция (график показательной функции пересекает ось ординат в точке у= 1).

5°. При а> 1 показательная функция является монотонно возрастающей, а при —монотонно убывающей.

Из этого свойства показательной функции вытекает важное следствие. Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от единицы, равны, то равны и их показатели, т. е. если Показательная функция то

Другими словами: показательная функция принимает каждое свое значение один раз.

6°. Если а> 1, то при неограниченном возрастании Показательная функция значения функции также неограниченно растут При неограниченном убывании аргумента значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными Показательная функция Если 0<а<1, то при неограниченном возрастании аргумента значения функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными При неограниченном убывании аргумента Показательная функция значения этой функции неограниченно растут

Примеры:

1. При помощи графика функции Показательная функция найти: а) значение у, соответствующее значению х = 0,5; б) при каком значении х значение у равно 4.

Решение:

а) Через точку Показательная функция проведем прямую, параллельную оси ординат до пересечения с графиком функции (рис. 86). Эта прямая пересечет график функции в точке ордината которой Показательная функция откуда

б) Через точку Показательная функция проведем прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет график функции в точке абсцисса которой 2, откуда х = 2 (см. рис. 86).

Рис. 86 2. Сравнить значения выражений:

Решение:

Как известно, при а > 1 показательная функция является монотонно возрастающей, а при 0 <а< 1—монотонно убывающей. На этом и основано сравнение значений выше приведенных выражений:

но Показательная функция поэтому

Рекомендуем читателю убедиться в справедливости выше перечисленных неравенств, рассматривая графики функций Показательная функция (см- Рис- 85)

3.Решить уравнения и неравенства Показательная функция

Решение:

Уравнение можно переписать в виде (уравняв основания). Так как показательная функция принимает каждое свое значение один раз (в силу монотонности), то х = 3.

Переписав неравенство в виде и учитывая, что показательная функция является монотонно возрастающей, получим x > 3.

Уравнение не имеет корней, так как показательная функция может принимать только положительные значения. 4. Решить следующие уравнения и неравенства:

Решение:

Показательная функция поэтому уравнение примет вид: Используя свойство монотонности показательной функции, получаем уравнение

Показательная функция поэтому уравнение примет вид: откуда

Показательная функция уравнение примет вид: откуда

Показательная функция уравнение примет вид Значит, откуда

д) Показательная фуннция с основанием а= 13 является монотонно возрастающей, поэтому Показательная функция

е) Показательная функция с основанием является монотонно убывающей, поэтому

Целая и дробная части числа

Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом Показательная функция Для любого х имеем

Пример:

Дробной частью числа х называется разность между х и его целой частью. Дробная часть числа х обозначается символом Показательная функция Значит,

Так как Показательная функция то можно записать, что т. е. дробная часть числа — это неотрицательное число, меньшее единицы.

Например:

Из равенства Показательная функция следует, что т. е. любое число х можно записать в виде суммы его целой и дробной части. Например,

Функция Показательная функция

В практике вычислений особую роль играет функция Показательная функция Покажем, что, зная значения выражения для легко вычислить значения этого выражения для любого х.

Пусть нужно найти приближенное значение выражения Показательная функция Представим показатель степени 3,78 в виде суммы целой и дробной части: тогда

Таким образом, для отыскания приближенного значения осталось найти значение выражения Показательная функция где

Рассмотрим еще один пример —найти приближенное значение выражения Показательная функция Представим показатель степени —2,85 в виде суммы целой и дробной части: тогда

Для решения задачи осталось найти значение выражения Показательная функция где

Итак, зная значения выражения Показательная функция легко вычислить значения этого выражения для любого x. Значения выражения где можно приближенно найти, построив график функции на отрезке [0; 1]. Для этого составим таблицу ее значений с шагом 1/8:

(Все вычисления выполнены по таблицам В. М. Брадиса «Четырехзначные математические таблицы», М., «Просвещение», 1969, таблица IV и затем округлены до сотых).

Далее имеем:

Найденные значения выражения Показательная функция занесем в таблицу

Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице (причем по оси абсцисс в качестве единицы масштаба возьмем 10 см, а по оси ординат—1 см), и соединим эти точки плавной кривой (рис. 87).

Построенный график позволяет находить приближенные значения функции Показательная функция для любого х. По- ^ кажем на примерах, как находить приближенные значения функции

Примеры. 1. Пусть х = 3,56, тогда Показательная функция По графику находим откуда

Пусть х =-1,3, тогда Показательная функция По графику находим откуда

Если требуется большая степень точности для вычисления значений выражения Показательная функция пользуются таблицами, например четырехзначными математическими таблицами В. М. Брадиса.

Приведенная ниже таблица содержит значения функции Показательная функция для значений переменной х от 0,0000 до 0,9999. Рассмотрим начало этой таблицы.

Найдем, например, значение выражения Показательная функция Прежде всего преобразуем это выражение Для решения задачи надо найти значение функции при х =0,024. Возьмем строку «02» и столбец «4». В их пересечении стоит число 1057. Чтобы найти значение выражения Показательная функция заметим, что т. е. Значит, и окончательно

Если бы требовалось найти значение Показательная функция то к найденному в таблице числу 1057 нужно было бы прибавить 1 —поправку, помещенную в таблице справа на пересечении строки 02 и столбца «6». Таким образом, Показательная функция Аналогично можно найти Значение выражения находим по таблице откуда

С помощью таблицы значений функции Показательная функция можно представить в виде степени с основанием 10 любое положительное число. Возьмем для примера число 11,09. Найдем это число в таблице. Оно находится на пересечении строки «04» и столбца «5», т. е. Показательная функция Значит,

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: