Уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Уравнение как математическое выражение условия задачи:

Покажем, как возникают уравнения в процессе решения практических задач.

Задача:

Имеется прямоугольный железный лист (рис. 55). Длина листа 80 см, а ширина 70 см. По углам этого листа надо вырезать одинаковые квадраты и образовавшиеся края загнуть так, чтобы получилась открытая сверху коробка (рис. 56).

Спешивается, какова должна быть сторона каждого вырезанного квадрата, чтобы объем коробки оказался равным 30 000 куб. см?

Решение:

Обозначим длину стороны каждого вырезанного квадрата, выраженную в сантиметрах, буквой х. Тогда длина дна коробки будет (80 — 2х) см, а ширина (70—2х) см. Высота коробки будет х см. Следовательно, объем коробки будет равен

По условию задачи требуется, чтобы объем коробки оказался равным 30 000 куб. см.

Значит, математическим выражением условия данной задачи будет следующее равенство:

Это равенство верно не при всяком значении буквы х. Например, при х = 5 левая часть этого равенства будет равна 21 000, в то время как правая равна 30 000.

Отсюда видно, что для решения поставленной задачи надо найти такие значения буквы х, при которых равенство

становится верным. Это равенство является примером уравнения.

Если бы мы умели решить это уравнение, то получили бы, что либо х=10, либо х=15, либо же х=50.

Таким образом, требуемую коробку можно сделать, если сторону вырезаемых квадратов взять равной 10 см или 15 см. Вырезать же по всем углам данного листа квадраты со стороной 50 см невозможно.

На этом примере мы убеждаемся в следующем. Всякое решение задачи будет обязательно корнем уравнения, составленного по условиям этой задачи. Но не всякий корень уравнения будет являться обязательно решением задачи.

Что такое уравнение

1. Мы уже знаем, что равенство, составленное из двух тождественно равных выражений, называется тождеством (см. гл. V).

Что же называется уравнением?

Определение:

Уравнением называется равенство, не являющееся тождеством и содержащее по крайней мере одну букву, обозначающую неизвестное.

Примеры:

Равенство 2а + 1 = а + 7 есть уравнение; оно обращается в верное равенство не при всяком значении буквы а, а лишь при а = 6.

Равенство уравнение обращается в верное равенство только

Равенство уравнение , не обращается в верное равенство ни при х=0, ни при значениях х, равных какому-либо положительному или отрицательному числу.

Равенство а+b = 10 обращается в верное равенство, например, при а=2 и b = 8 или при а = 3 и b = 7 и т. д.

Равенство x+y+z = 10 обращается в верное равенство, например, при x=1, у = 1, z = 8 или при уравнение и т.д.

Все приведенные выше равенства являются уравнениями.

Однако не всегда можно по первому взгляду определить, является ли данное равенство тождеством или уравнением? Например, трудно определить с первого взгляда, является ли каждое из следующих равенств тождеством или уравнением:

Преобразуем левую и правую части первого равенства. Левая часть равна уравнение

Правая часть равна

После этих преобразований становится ясным, что первое равенство является тождеством.

Теперь решим вопрос о втором равенстве.
Преобразуем левую и правую части второго равенства.
Левая часть равна уравнение
Правая часть равна

Но равенство

не является тождеством хотя бы потому, что оно не будет верным, например, при х = 1.

Следовательно, второе равенство есть уравнение. Убедитесь в том, что равенство

является тождеством, а равенство

уравнением.

2. Те буквы, которые входят в уравнение и значения которых требуется найти так, чтобы уравнение обратилось в верное равенство, называются неизвестными.

Уравнение 2а + 1= a + 7 содержит одно неизвестное а;

Определение:

Решением или корнем уравнения с одним неизвестным называется такое число, при подстановке которого вместо неизвестного уравнение обращается в верное равенство.

Например, число 6 является решением или корнем уравнения 2а + 1= a + 7 . Числа 0 и — 2 являются решениями или корнями уравнения уравнение .

Числа 10, 15 и 50 являются корнями уравнения

Выражение b — а есть корень уравнения х + а = b. Уравнение не имеет ни одного корня. Уравнение имеет бесконечное множество корней. Корнями этого уравнения являются все положительные числа и нуль.

Из этих примеров видно, что уравнение с одним неизвестным может иметь либо один корень, либо несколько корней, либо ни одного корня, либо, наконец, бесконечное множество корней.

Замечание:

Неизвестное в уравнении может быть обозначено любой буквой. Но в уравнениях с одним неизвестным неизвестное чаще всего обозначается буквой x.

3. Мы только что дали определение тому, что называется решением (или корнем) уравнения с одним неизвестным. Теперь объясним, как надо понимать термин «решить уравнение».

Определение:

Решить уравнение с одним неизвестным—значит найти все его корни (или убедиться в их отсутствии).

Таким образом, слово «решение» употребляется в двух различных смыслах: в одном случае под термином «решение уравнения с одним неизвестным» мы понимаем какой-нибудь корень этого уравнения; в другом же случае под термином «решение уравнения с одним неизвестным» мы понимаем все вычисления, преобразования и рассуждения, с помощью которых отыскиваются корни этого уравнения.

О корнях уравнения принято говорить, что они удовлетворяют уравнению. Например, число 6 удовлетворяет уравнению 2а+1 = а+7, а число, скажем, 5 этому уравнению не удовлетворяет.

4. Отыскание корней уравнения является одной из важнейших задач алгебры. Имеется много разнообразных уравнений, которые решаются легко. Такие уравнения изучаются в курсе элементарной алгебры. Более же сложные уравнения и более общие вопросы теории уравнений изучаются в курсе высшей алгебры и в других разделах высшей математики.

Классификация уравнений

Классификация уравнений по числу неизвестных

В уравнение может входить одна, две, три или больше различных букв, обозначающих собой различные неизвестные величины. Например, уравнение содержит одно неизвестное х и называется уравнением с одним неизвестным; уравнение содержит три неизвестных х, у, z и называется уравнением с тремя неизвестными и т. д.

Уравнения с числовыми и буквенными коэффициентами

Если в уравнение не входят никакие другие буквы, кроме неизвестных, то такое уравнение называется уравнением c числовыми коэффициентами.

Например, уравнения

суть уравнения с числовыми коэффициентами.

Если в уравнение входит одиа или несколько других букв, кроме букв, обозначающих неизвестные, то такое уравнение называется уравнением с буквенными коэффициентами.

Например, уравнение х + а = b, в котором х считается неизвестным, а буквы а и b — известные числа, есть уравнение с буквенными коэффициентами (с одним неизвестным).

Уравнение в котором х — неизвестное, а буквы а, b, с — известные числа, есть опять же уравнение с буквенными коэффициентами (с одним неизвестным).

Уравнение есть уравнение с буквенными коэффициентами (с двумя неизвестными x и у), если считать, что буквы а и b обозначают числа известные и т. д.

Рациональные уравнения

Если левая и правая части уравнения рациональны относительно неизвестных, то уравнение называется рациональным.

Например, уравнения

суть рациональные уравнения. Если в уравнение входит степень с неизвестным показателем, то такое уравнение не является рациональным. Например, уравнение не рациональное,

Целые уравнения

Если в левой и правой частях рационального уравнения ии одно неизвестное не входит в качестве делителя или ие входит какое-либо выражение, являющееся делителем, то уравнение называется целым.

Например, уравнения

(здесь неизвестные х и у);

(здесь неизвестные х, у, z) суть целые уравнения.

Дробные уравнения

Если в уравнении хотя бы один раз встречается деление на неизвестное или на выражение, содержащее неизвестное, то уравнение называется дробным.

Например, уравнения

(здесь х и у неизвестные) суть дробные уравнения.

Классификация целых уравнений с одним неизвестным по степеням

Если наивысшая степень неизвестного, входящая в целое уравнение с одним неизвестным, имеет показатель степени n, то уравнение называется уравнением n-й степени.

Например, уравнения 2а+1 = а+7;

(здесь неизвестным считать х)
суть уравнения с одним неизвестным первой степени;

уравнения

суть уравнения с одним неизвестным второй степени;

уравнения

суть уравнения с одним неизвестным третьей степени;

уравнение есть уравнение пятой степени и т. д.

Общий вид уравнений с одним неизвестным

Уравнение с одним неизвестным можно записать в общем виде следующим образом:

1-й степени: уравнение
2-й степени:
3-й степени:
4-й степени:
5-й степени: и т. д.

Во всех последних пяти уравнениях предполагается, что уравнение .

Равносильные уравнения

Определение:

Если каждый корень одного уравнения с одним неизвестным является корнем другого уравнения с одним неизвестным, и наоборот, то такие уравнения называются равносильными.

Примеры:

Уравнение 2х+1 =х+7 имеет только один корень, равный числу 6.

Уравнение также имеет только один корень, равный числу 6.

Поэтому уравнения уравнение равносильны.

Уравнения

также равносильны, так как корнями каждого из них служат одни и те же числа 3 и 5.

Напротив, уравнения и не равносильны. Уравнение имеет только один корень, равный числу 2; уравнение же имеет два корня, один из которых равен 2, а другой —2.

Уравнения

также не равносильны, так как число 3 является корнем только второго уравнения.

Две основные теоремы о равносильности уравнений

Теорема:

Если к обеим частям уравнения прибавим одно и то же выражение, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Примечание:

Утверждение, сделанное в этой теореме, теряет силу, если прибавляемое выражение становится бессмысленным при таком значении буквы, обозначающей неизвестное, которое является корнем данного уравнения.

Примеры:

Уравнения

равносильны. Уравнения

также равносильны. (Выражение уравнение ни при каком числовом значении буквы х бессмысленным не становится.)

Уравнения

опять же равносильны. (Выражение уравнение становится бессмысленным только при х = 5; но число 5 не является корнем уравнения .)

Уравнения

уже не равносильны. (Выражение уравнение становится бессмысленным при х = 6, т. е. при таком значении неизвестного, которое как раз является корнем уравнения 2х +1 = х+7.)

Правильность сделанного в теореме 1 утверждения проиллюстрируем на приведенных выше трех примерах.

Если при каком-нибудь значении буквы х будет верным равенство 2х +1 = х+7 , то при этом значении буквы х окажется верным и равенство 2х + 1 + 279 = х + 7 + 279, так как от прибавления равных чисел к равным числам получаются результаты, также равные между собой.

Отсюда следует, что всякий корень уравнения

является также корнем и уравнения

Совершенно аналогичными рассуждениями можно показать, что всякий корень уравнения 2х + 1 + 279 = х + 7 + 279 будет являться также корнем уравнения 2х + 1 = х + 7. А из всего этого будет вытекать, что уравнения

равносильны.

Все сказанное легко повторить и для пары уравнений

Теперь объясним равносильность уравнений

Уравнение 2х + 1 = х + 7 имеет только один корень 6; легко убедиться, что число 6 является также корнем уравнения

С другой стороны, уравнение

также имеет только один корень 6, который является корнем уравнения

Из всего этого следует, что уравнения

равносильны.

Остается объяснить, что уравнения

не равносильны. Уравнение 2х+1 = х+7 удовлетворяется при х = 6; уравнение же при х = 6, не удовлетворяется, так как при х = 6 левая и правая части этого уравнения становятся бессмысленными. Поэтому рассматриваемые уравнения не равносильны.

Теперь дадим теореме 1 более точную формулировку.

Если к обеим частям уравнения прибавим одно и то же выражение, не теряющее смысла ни при каком значении буквы, обозначающей неизвестное, либо теряющее смысл лишь при таких значениях этой буквы, которые не являются корнями данного уравнения, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Теорема:

Если обе части уравнения умножим (или разделим) на одно и то же выражение, отличное от нуля и независящее от неизвестного, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Уравнения

равносильны. Здесь второе уравнение получилось умножением левой и правой частей первого уравнения на 7.

Уравнения

также равносильны. Здесь второе уравнение получилось умножением левой и правой частей первого уравнения иа 15.

Уравнения

равносильны. Здесь второе уравнение получилось делением левой и правой частей первого уравнения на 7.

Уравнения

равносильны. Второе уравнение получилось умножением левой и правой частей первого уравнения на 10.

Но уравнения

уже не равносильны. Второе уравнение получилось умножением левой и правой частей первого уравнения на (х — 4). (Первое уравнение имеет лишь два корня: х = 2 и х = 3; второе же уравнение имеет три корня: х = 2, х = 3 и х = 4.)

Умножение левой и правой частей уравнения на нуль

Если обе части уравнения умножить на нуль, то получится тождество, а не уравнение, равносильное данному. Например, уравнение 5х = 15 имеет только один корень х = 3, равенство же является верным при любом значении х.

Умножение левой и правой частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на выражение, содержащее неизвестное, то может получиться новое уравнение, не равносильное данному.

Умножив обе части уравнения х = 2 на выражение (х — 5), получим новое уравнение

Уравнения х = 2 и х (х — 5) = 2 (х — 5) не равносильны, так как первое из них имеет своим корнем только число 2, а второе уравнение имеет два корня: х = 2 и х = 5.

Разделив обе части уравнения х (х — 10) = 2 (х — 10) на выражение
х—10, получим: х= 2.

Уравнения х (х — 10) = 2 (х — 10) и х = 2 не равносильны, так как первое из них имеет своими корнями числа 2 и 10, а корнем второго уравнения служит только число 2.

Разделив обе части уравнения уравнение на выражение х—1, получим

Уравнения уравнение и не равносильны, так как первое из них имеет своими корнями числа 0 и 1, а корнем второго уравнения служит только число нуль.

Эти примеры показывают следующее:

Если обе части уравнения умножить на целое выражение, зависящее от неизвестного, то новое уравнение будет иметь своими корнями не только корни первоначального уравнения, но возможно и некоторые новые корни.
Если обе часта уравнения разделить на целое выражение, зависящее от неизвестного, то может оказаться, что не все корни первоначального уравнения будут корнями вновь полученного уравнения.

Рассмотрим еще два примера.

Пример:

Умножим обе части уравнения

на выражение (х — 1). Тогда получим

Легко убедиться, что число 6 является корнем и первоначального уравнения.

Этот пример показывает, что умножение левой и правой частей уравнения на выражение, зависящее от неизвестного, может в некоторых случаях и не приводить к появлению таких корней, которые не были бы корнями первоначального уравнения.

Пример:

Умножим обе части уравнения

на выражение 2 (х — 3). Тогда получим

Число 3 не является корнем первоначального уравнения, так как левая и правая части этого уравнения теряют смысл при х = 3.

Этот пример показывает; что при умножении левой и правой частей первоначального уравнения на выражение, зависящее от неизвестного, может получиться уравнение, единственный корень которого не будет корнем первоначального уравнения.

Это будет означать, что первоначальное уравнение корней не имеет.

Из всего изложенного надо сделать такой общий вывод.

Если для решения уравнений нам придется умножать или делить его обе части на выражение, зависящее от неизвестного, то в каждом отдельном случае необходимо производить дополнительные исследования для окончательного решения вопроса о корнях данного уравнения.

Решение уравнений первой степени с одним неизвестным

Процесс решения уравнения первой степени с одним неизвестным заключается в следующем.

Опираясь на теоремы о равносильных уравнениях, мы последовательно приводим данное уравнение к новому уравнению, более простому, но ему равносильному. Покажем этот процесс на примерах.

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

Прибавим к обеим частям этого уравнения выражение — 8х. Тогда получим

(Это уравнение можно было получить проще, а именно путем переноса члена 8х данного уравнения из правой части в левую с противоположным знаком.)

Теперь прибавим к обеим частям уравнения

по — 19. Тогда получим:

(Это уравнение также можно было получить путем переноса члена +19 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком.)

После приведения подобных членов уравнение

примет вид:

Разделив обе части этого уравнения на число 2, найдем, что х = 7.

Итак, единственным корнем данного уравнения является число 7.

Правило. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив знак у этого члена на противоположный. Это замечание вытекает как следствие из первой теоремы равносильности уравнений.

Пример:

Решить уравнение:

Раскрыв скобки, получим

или

Перенеся с противоположными знаками член 7х из правой части в левую, а член 42 из левой части в правую, получим

Отсюда

Пример:

Решить уравнение:

Умножив обе части уравнения на 6, получим

После переноса членов получаем, что

Следовательно,

Пример 4. Решить уравнение:

Умножив обе части уравнения на число 88 (наименьшее общее кратное всех знаменателей), получим

Раскрыв скобки, получим

После переноса членов имеем

Отсюда

Пример:

Определить x из уравнения

Перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а известные члены — в правую: ах — tx = d — b.

Теперь преобразуем левую часть уравнения путем вынесения за скобки множителя x:

Разделим обе части последнего уравнения на а — с, предполагая, что уравнение Тогда получим, что

Итак, данное уравнение имеет один корень, если Если же то уравнение ах + b = сх + d не имеет ни одного корня. Если, наконец, а = с и b = d, то оно удовлетворяется при любом значении х.

Пример:

Определить х из уравнения

Умножив левую и правую части уравнения на произведение уравнение , получим:

Откуда

(предполагается, что уравнение ).

При b = 0 данное уравнение принимает вид:

Это уравнение, очевидно, корней не имеет.

Замечание:

Рассмотренные нами выше уравнения

и им подобные называются уравнениями с целыми коэффициентами.

Уравнения же

и им подобные называются уравнениями с дробными коэффициентами.

Правило решения уравнений первой степени с одним неизвестным

Уравнения первой степени с одним неизвестным можно решать следующим образом.

Если дано уравнение с дробными коэффициентами, то прежде всего следует преобразовать его в уравнение с целыми коэффициентами.
Если имеются скобки, затрудняющие решение уравнения, то их надо раскрыть.
Перенести члены, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения , а известные — в другую. (Члены, содержащие неизвестное, как правило, переносятся в левую часть уравнения.)
Сделать приведение подобных членов. (При наличии буквенных коэффициентов неизвестное выносится за скобки.)
Если в результате этих преобразований получится уравнение вида Ах = В, в котором , то разделить обе части этого уравнения на А.

Замечание:

При решении, например, уравнения

раскрывать скобок не следует.

Замечание:

Два одинаковых члена, стоящих в разных частях уравнения, можно просто опустить.

Например, из уравнения

следует уравнение

Замечание:

Можно переменить знаки одновременно у всех членов уравнения.

Например, из уравнения

следует уравнение

Это преобразование можно рассматривать как преобразование, полученное умножением левой и правой частей данного уравнения на — 1.

Особые случаи уравнений с числовыми коэффициентами

1. Решая, например, уравнение

получим последовательно:

Получилось невозможное равенство. Это значит, что данное уравнение не имеет ни одного корня. Это заключение вытекает еще в более отчетливой форме из уравнения 8х+31 = 8x + 42, предшествующего невозможному равенству 31 = 42.

2. Решая, например, уравнение

получим последовательно:

Это значит, что данное нам равенство, названное уравнением, в действительности является тождеством.

Это заключение можно было бы сделать н ранее, обратив внимание на полученное нами равенство

равносильное данному уравнению.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод.

Могут встречаться такие уравнения, которые не имеют ни одного корня, и такие, которые имеют своим корнем любое число. Если окажется, что уравнение имеет своим корнем любое число, то это будет означать, что это равенство, считавшееся нами уравнением, на самом деле представляет собой тождество.

Дробные уравнения

Правила решения дробных уравнений поясним на двух примерах.

Пример:

Решить уравнение:

(Это уравнение в дальнейшем будем именовать первоначальным.)

Дадим два способа решения этого уравнения.

Первый способ. Умножив обе части уравнения на произведение уравнение , получим

Число уравнение есть корень уравнения т. е. того уравнения, которое мы получили после умножения левой и правой частей первоначального уравнения на выражение, содержащее неизвестное. Поэтому мы еще не можем быть уверенными в том, что число уравнение является и корнем первоначального уравнения (см. стр. 189, 190). Необходима проверка.

При уравнение левая и правая части первоначального уравнения теряют смысл. Следовательно, число не является корнем первоначального уравнения.

Таким образом, доказано, что первоначальное уравнение не имеет нн одного корня.

Второй способ. Перенесем все члены первоначального уравнения в левую часть:

Теперь преобразуем левую часть уравнения путем приведения всех дробей к общему знаменателю:

После раскрытия соответствующих скобок и приведения подобных членов получим уравнение равносильное первоначальному уравнению. Но последнее уравнение не имеет ни одного корня, так как при его левая часть теряет смысл, а при всех прочих значениях х она обращается в единицу. Следовательно, и первоначальное уравнение не имеет ни одного корня. (Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Число мы получили, решив уравнение 4х — 6 = 0.)

Пример:

Решить уравнение:

(Это уравнение в дальнейшем будем именовать первоначальным.) И это уравнение решим также двумя способами.

Первый способ. Умножив обе части уравнения на произведение уравнение получим

Число 10 есть корень уравнения уравнение т. е. того уравнения, которое мы получили после умножения левой и правой частей первоначального уравнения на выражение, содержащее неизвестное. Поэтому мы еще не можем быть уверенными в том, что число 10 является корнем и первоначального уравнения. Необходима проверка. При х = 10 левая и правая части первоначального уравнения принимают одно и то же значение т. е. уравнение обращается в тождество

Следовательно, число 10 является единственным корнем первоначального уравнения.

Второй способ. Перенесем все члены первоначального уравнения в левую часть:

Теперь преобразуем левую часть уравнения путем приведения всех дробей к общему знаменателю:

После преобразования числителя дроби получим уравнение

равносильное первоначальному уравнению.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравнивая нулю числитель, получим — Зх + 30 = 0. Отсюда х = 10.

Теперь необходимо посмотреть, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х = 10.

Выражение 2(х — 8) при х = 10 не обращается в нуль. Следовательно, число 10 есть единственный корень уравнения

Но последнее уравнение равносильно первоначальному. Значит, и первоначальное уравнение имеет своим единственным корнем число 10.

Изложенные два способа решения дробных уравнений по существу идентичны. Различие заключается лишь в том, что при первом способе мы делаем проверку корней, обращаясь к первоначальному уравнению. При втором же способе мы исследуем обратимость или необратимость в нуль знаменателя той дроби, которая получается после приведения всех членов первоначального уравнения к общему знаменателю.

Уравнения, у которых правая часть есть нуль, а левая — произведение выражений, зависящих от неизвестного

Пример:

Решить уравнение:

Это уравнение будет удовлетворяться тогда и только тогда, когда либо х — 3 = 0, либо х — 5 = 0.

Следовательно, корнями данного уравнения будут только числа 3 и 5.

Пример:

Корнями уравнения

будут только

Уравнения, у которых левая и правая части представляют собой произведения, имеющие общий множитель, зависящий от неизвестного

Пример:

Решить уравнение:

Сразу видно, что это уравнение будет удовлетворяться при х = 5. Действительно, при х = 5 его левая и правая части оказываются равными друг другу, так как каждая из них обращается в нуль.

Чтобы найти указанный выше корень 5, достаточно было приравнять нулю общий множитель х — 5 и решить полученное уравнение

После того как мы установили, что число 5 является корнем данного уравнения, можно, считая , разделить обе его части на х — 5 и решать уравнение

Корнем последнего уравнения будет число 9, являющееся вторым корнем первоначального уравнения.

Следовательно, первоначальное уравнение имеет только два корня: 5 и 9.

Пример:

Корнями уравнения

будут только числа

Пример:

Корнями уравнения

будут только числа

Пример:

Корнями уравнения

будут только

где уравнение

Системы линейных уравнений

Система уравнений как математическое выражение нескольких условий задачи

Задача:

Каковы должны быть длина и ширина прямоугольника, чтобы при увеличении длины на 1 л и ширины на 2 л его площадь увеличилась на 77 кв. м, а при увеличении ширины на 1 м и длины на 2 м площадь увеличилась бы лишь на 68 кв. м.

В этой задаче требуется найти два неизвестных числа, а именно длину и ширину прямоугольника.

Длину прямоугольника, выраженную в метрах, обозначим буквой х, а ширину буквой у. Тогда площадь первоначального прямоугольника будет равна (ху) кв.м, а площади прямоугольников с измененными сторонами будут соответственно

На рисунке 57 дана схема этих трех прямоугольников

Из условий задачи следует, что

Каждое из этих равенств является не тождеством, а уравнением с двумя неизвестными х и у.

В этих обоих уравнениях х обозначает одно и то же число, а именно длину прямоугольника. Точно так же буква у в обоих уравнениях обозначает одно и то же число, а именно ширину прямоугольника.

Если одноименные неизвестные в нескольких уравнениях обозначают одну и ту же величину, то такая группа уравнений называется системой уравнений.

Для того чтобы указать, что данная группа уравнений рассматривается как система, поступают так: записывают в первой строке первое уравнение, во второй — второе, в третьей — третье и т. д., а затем ставят фигурную скобку с левой стороны так, чтобы она охватила все написанные уравнения. Полученная нами выше система уравнений

возникла как математическое выражение двух условий задачи.

Примеры систем уравнений

Система двух уравнений с двумя неизвестными х и у.

Система трех уравнений с тремя неизвестными х, у, z.

Система трех уравнений с двумя неизвестными.

Система двух уравнений с тремя неизвестными.

Система двух уравнений с двумя неизвестными.

Система трех уравнений с тремя неизвестными.

и т. д.

Всякая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у, которая может быть преобразована к виду

называется линейной системой двух уравнений с тремя неизвестными.

Всякая система трех уравнений с тремя неизвестными х, у и z, которая может быть преобразована к виду

называется линейной системой трех уравнений с тремя неизвестными.

4. Теперь вернемся к вопросу о решении задачи, сформулированной в начале данного параграфа.

Решить нашу задачу — это значит найти такие два. числа, чтобы при подстановке их в оба уравнения системы

(первого числа вместо буквы х, а второго вместо буквы у) оба уравнения системы были удовлетворены, т. е. превратились бы в верные равенства.

Если положить, например,

то ни одно из двух уравнений системы не удовлетворится. Если положить

то первое уравнение удовлетворится, а второе иет.

Попробуем теперь найти такую пару чисел, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям системы одновременно.

Упрощая нашу систему уравнений раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим сначала

систему уравнение

а затем систему уравнение

Предположим, что число х нам уже известно. Выразив неизвестное у в зависимости от х из первого уравнения нашей системы,

Найденное выражение для у подставим во второе уравнение нашей системы

Получилось уравнение, содержащее только одно неизвестное х. Решив это уравнение, найдем, что х = 28.

Зная, что х = 28, мы можем, пользуясь уравнением

обнаружить, что у = 19.

Итак, оказалось, что длина и ширина прямоугольника равны 28 и 19 м.

Мы видели, что могут встречаться системы уравнений, состоящие из двух илн нескольких уравнений с двумя или несколькими неизвестными. Однако до изучения таких систем полезно ознакомиться сначала с некоторыми особенностями одного уравнения с двумя илн несколькими неизвестными.

Одно уравнение с двумя неизвестными

Пусть имеется одно уравнение с двумя неизвестными, например уравнение

Прежде всего поставим такой вопрос: что считать решением одного уравнения с двумя неизвестными?

Определение:

Решением уравнения первой степени с двумя неизвестными называется такая пара чисел, подстановка которых в данное уравнение (первого вместо буквы х, а второго вместо буквы у) превращает данное уравнение в верное равенство. Например, пара чисел (3; 4) есть решение уравнения

пара же чисел (5; 1) его решением не будет.

Легко видеть, что уравнение 2х + у = 10 имеет бесконечное множество решений.

В самом деле, уравнение

выражает только некоторую зависимость между значениями х и у. Поэтому значения одной из букв х или у мы можем задавать произвольно. Но как только мы зададим какое-нибудь значение, например букве х, то значение буквы у будем обязаны определять уже в зависимости от взятого значения буквы х.

Для удобства перепишем наше уравнение в следующем виде:

Теперь легко видеть, что при х = 0 получим у = 10; при х = 1; у = 8; при х = 10; у = — 10; при уравнение и т. д.

Пары чисел уравнение и т. д. будут решениями уравнения

Эти пары чисел, являющиеся решениями уравнения, можно было бы записывать и так:

Итак, одно уравнение с двумя неизвестными имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений.

Мы употребили выражение «вообще говоря» потому, что могут встретиться и исключения. Например, уравнение имеет только одно решение:

а уравнение

совсем не имеет решений.

Одно уравнение с тремя неизвестными

Пусть имеется, например, одно уравнение с тремя неизвестными

Решением уравнения первой степени с тремя неизвестными называется такая тройка чисел, подстановка которых в данное уравнение (первого вместо х, второго вместо у и третьего вместо z) превращает это уравнение в верное равенство. Например, тройка чисел (1, 2; 4) есть решение этого уравнения, а тройка чисел (1; 2; 5) его решением не будет.

Легко видеть, что уравнение

имеет бесконечное множество решений.

В самом деле, это уравнение выражает только некоторую зависимость между х, у и z. Поэтому мы можем задавать по произволу значения каким-либо двум из этих букв, например буквам х и у. Значения же буквы z мы обязаны уже определять в зависимости от взятых значений букв х и у.

Для удобства перепишем наше уравнение в виде

Теперь легко видеть, что при х = 0 и у = 0 получим z = 12; при х= 1, у = 2 получим z = 4; при х= — 1, у = — 2 получим, что z = 20 и т. д.

Тройки чисел (0; 0; 12); (1; 2; 4); (—1; —2; 20) и т. д. будут решениями уравнения

Эти тройки чисел, являющиеся решениями уравнения, можно записывать и следующим образом.

Итак, одно уравнение с тремя неизвестными, так же как и одно уравнение с двумя неизвестными, имеет бесконечное множество решений.

Способы решения линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными, заданной в нормальной форме

Система уравнение

называется нормальной формой линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными х и у, записанной в общем виде.

Изложим простейшие способы решения такой системы.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнение

выразим, например, из уравнения уравнение неизвестное у в зависимости от неизвестного х.

(Предполагается, что Если бы мы решили бы уравнение относительно х.)

Полученное выражение для величины у подставим в другое уравнение системы

Из последнего уравнения первой степени с одним неизвестным найдем, что

Теперь, подставляя полученное выражение для величины x в формулу

Итак, решением данной линейной системы будет пара выражений

Предполагается, как уже отмечалось, что

Способ сложения

Чтобы решить систему

способом сложения, умножим обе части первого уравнения на уравнение а второго на —

После этого получим

Складывая отдельно левые и правые части этих двух уравнений, получим

Теперь, возвращаясь к первоначальной системе

умножим обе части первого уравнения на — уравнение а второго —на После этого получим

Складывая, получим

При решении линейной системы способом сложения полезно преобразования выполнять по возможности в уме и записи оформлять следующим образом:

Способ сравнения

Чтобы решить систему

способом сравнения, выразим какую-либо одну из неизвестных через другую как из первого уравнения, так и из второго.

Выражая, например у, получим: из 1-го уравнения

а из второго

Полученные различные выражения одной и той же величины у приравняем друг другу.

Получим одно уравнение с одним неизвестным х:

Решив это уравнение, найдем неизвестное х. Теперь уже легко найти и неизвестное у.

Примеры:

Преобразуем эту систему к нормальной форме:

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, заданной в нормальной форме

Чтобы решить систему

возьмем систему двух уравнений:

Умножив обе части первого уравнения на , а второго — на — , получим в результате сложения одно уравнение с двумя неизвестными х и у.

Теперь возьмем систему

Умножив обе части первого уравнения на , а второго — на — получим в результате сложения еще одно уравнение с теми же двумя неизвестными х и у:

После всего этого нахождение х и у сведется к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Найдя из этой системы значения х и у и подставив эти значения в одно из уравнений данной системы, например в уравнение , найдем значение и третьего неизвестного z.

Пример. Решить систему:

Итак, тройка чисел (4; 5; 6) есть решение данной системы.

Изложенный способ сложения применим и к системам четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными, пяти уравнений с пятью неизвестными и т. д.

Системы уравнений, решение которых удобно выполнять с помощью искусственных приемов

Пример:

Решить систему:

Первый способ. Умножим обе части первого уравнения на уравнение , а второго —на — . Тогда получим

Сложив почленно последние два уравнения, получим уравнение с одним неизвестным х:

Аналогично можно найти значение и неизвестного у.

Второй способ. Положив уравнение получим

Пример:

Решить систему

Обозначив

получим новую систему уравнений

откуда

Значит,

или

Отсюда

Пример:

Решить систему:

Сложив отдельно левые части всех пяти уравнений и отдельно правые части, получим

или

Сопоставляя это уравнение последовательно с каждым уравнением системы в отдельности, получим соответственно

Итак, данная система пяти уравнений с пятью неизвестными имеет единственное решение.

Пример:

Решить следующую систему n уравнений с n неизвестными:

Неизвестные здесь обозначены символами уравнение

Чтобы легче понять, что данная система содержит n уравнений, перепишем ее в таком виде:

Решение:

Применяя к ряду равных отношений

известное свойство (см. стр. 170), получим, что

Если теперь принять во внимание, что сумма уравнение в силу последнего уравнения системы равна числу А, то получим n следующих уравнений:

Отсюда

Пример:

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными х, у и z

Обозначив равные между собой отношения уравнение буквой t, получим

или

Найденные выражения для х, у и z подставим в первое уравнение:

Получилось одно уравнение с одним неизвестным t. Решив его, получим, что

(предполагается, что уравнение ). Значит,

Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей

Условимся под символом

понимать выражение

Примеры:

Символ

называется определителем 2-го порядка.

Числа называются элементами определителя.

Решение системы

как известно (см. стр. 209), выражается формулами:

Эти формулы можно теперь записать с помощью определителей так:

Знаменатель каждой из написанных дробей есть определитель уравнение , составленный из коэффициентов при неизвестных х и у. Этот определитель называется главным определителем системы уравнений.

Определитель же

получается из главного определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестном х столбцом свободных членов, стоящих в правых частях уравнений.

Определитель

получается из главного определителя заменой столбца уравнение столбцом

Пример:

Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей

Символ

называется определителем 3-го порядка.

Числа называются элементами определителя.

Под этим определителем понимается результат, полученный следующим образом. К имеющимся трем строкам подписываются снизу еще раз первые две строки так, как показано на рисунке 58. Затем перемножаются элементы по трем перечеркнутым одной линией диагоналям сверху вниз. После этого перемножаются элементы по перечеркнутым двумя линиями диагоналям снизу вверх и каждое из полученных последних трех произведений берется с противоположным знаком. Все складываются и получается выражение:

Пусть требуется вычислить определитель

Пользуясь схемой на рисунке 59, находим, что

Если решить систему

то можно убедиться в справедливости следующих формул:

Определитель, стоящий в знаменателях, называется главным определителем системы. Имея систему

получим

После этого дело сведется к решению такой, например, системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив эту последнюю систему, найдем единственное решение данной системы с тремя неизвестными в следующем виде:

Определители очень полезны не только для решения систем линейных уравнений, но и при изучении очень многих других вопросов. Более подробно теория определителей излагается в курсах высшей алгебры.

Решение задач при помощи уравнений

Существуют задачи, решить которые без помощи уравнений либо трудно, либо чрезвычайно трудно, между тем как решать такие задачи с помощью уравнений бывает сравнительно легко.

Поясним сказанное, например, на следующей задаче.

Задача. Самолет должен был пролететь некоторое расстояние по расписанию со средней скоростью 400 км в час. Но по некоторым причинам он летел первую часть пути со скоростью 360 км в час, а вторую часть со скоростью 500 км в час и прибыл на место точно в назначенное время. Сколько всего километров пролетел самолет, если известно, что первая часть пути превышала вторую на 640 км?

Эту задачу можно решить без помощи уравнений несколькими различными арифметическими способами. Но каждый из этих арифметических способов будет довольно трудным, так как в каждом из них цепь рассуждений и действий, необходимых для решения задачи, придется придумывать путем значительно напряженных размышлений. Между тем алгебраический способ решения этой задачи, как мы увидим ниже, свободен от этих трудностей.

Для того чтобы учащийся мог сравнить арифметический способ с алгебраическим, мы приведем здесь одни из арифметических способов решения поставленной выше задачи, а затем изложим и алгебраический способ.

Изучать арифметический способ нет необходимости. Достаточно убедиться лишь в том, что он труден и даже трудно понимаем.

Арифметический способ решения

1. Узнаем, сколько лишнего времени затрачивал самолет на каждом километре пути, пролетая его не по 400, а по 360 км в час?

2. Определим, на сколько меньше времени затрачивал самолет на каждом километре пути, пролетая его не по 400, а по 500 км в час?

3. Подсчитаем, сколько лишнего времени затратил самолет на расстоянии 640 км, пролетев его не по 400, а по 360 км в час?

4. Выясним, на сколько меньше времени затрачивал самолет на двух километрах пути, пролетая его не со скоростью 400 км в час, а так, что один километр со скоростью 360 км в час, а другой со скоростью 500 км в час.

5. Узнаем величину второй части пути. (Время, потерянное на 640 км пути, должно быть компенсировано временем, выигранным на остальной части пути.)

Значит, все расстояние будет равно

т. е. 2240 км.

Алгебраический способ решения

Допустим, что наша задача имеет решение, т. е. имеет определенный ответ, имеющий смысл. Обозначим расстояние (в километрах), пройденное самолетом со скоростью 360 км в час, буквой х. Тогда расстояние, пройденное со скоростью 500 км в час, будет равно
(х—640) км.

Весь путь будет равен (2х — 640) км. Время, затраченное на прохождение первой части пути, будет равно уравнение часа. Время, затраченное на прохождение второй части пути, будет равно часа. Время, затраченное на весь путь, будет равно часа.

С другой стороны, то же самое время мы получим, деля путь (2х—640) км на данную среднюю скорость 400 км в час. Таким образом, дробь уравнение выражает так же время в часах, затраченное на весь путь.

Приравнивая друг другу два различных выражения одного и того же времени в часах, получим уравнение с неизвестным числом х:

На этом заканчивается первая часть решения задачи. Эта первая часть называется составлением уравнения по условиям задачи.

Вторая часть заключается в решении составленного уравнения.

После сокращения дроби, стоящей в левой части составленного уравнения, получим

Умножив обе части этого уравнения на 9000, т. е. на общее наименьшее кратное всех знаменателей, получим

Отсюда х = 1440.

Значит, первая часть пути равна 1440 км, вторая 800 км, а весь путь 2240 км.

Этими изложенными двумя частями ие исчерпывается процесс решения задачи. Необходима еще и третья часть. В третьей части производится исследование того, удовлетворяет ли найденное решение уравнения всем условиям задачи. Сделаем проверку.

На первую часть пути самолет потратил уравнение часа, т. е. 4 часа. На вторую часа, т. е. 1,6 часа. На весь путь самолет потратил 5,6 часа. Средняя скорость получается равной км в час, т. е. 400 км в час, что совпадает с условием задачи. Следовательно, корень уравнения, составленного по условиям задачи, оказался в данном случае вместе с тем и решением самой задачи.

На первый взгляд может показаться излишним подобная проверка. В действительности же она необходима. В самом деле, обратимся, например, к задаче о железном листе, помещенной в самом начале главы XII. Там мы, исходя из условий задачи, составили уравнение

Оказалось, что это уравнение имеет три корня: 10, 15 и 50. Обращаясь к условиям задачи, мы видели, что последний корень, равный 50, условиям задачи совершенно не удовлетворяет и поэтому не является решением самой задачи. Действительно, из листа 70 см х 80 см никак нельзя вырезать четыре квадрата со сторонами 50 см.

На этом примере с железным листом показано, что решение уравнения, составленного по условиям задачи, не всегда является решением и самой задачи. Итак, можно сделать следующий общий вывод:

Всякое решение задача будет обязательно корнем уравнения, составленного по условиям этой задачи, но не всякий корень составленного уравнения обязательно должен оказываться решением самой задачи.

Теперь сравним между собой изложенные выше арифметический и алгебраический способы решения задачи о движении самолета.

Арифметический способ нельзя не признать трудным, так как т^м цепь рассуждений и действий, необходимых для решения задачи, приходится придумывать действительно довольно искусственно» Алгебраический же способ, как мы видели, свободен от таких трудностей; уравнение составляется совершенно естественным ходом рассуждений и решается без каких-либо искусственных комбинаций.

В начале параграфа было сказано, что существуют и такие задачи, которые решить без помощи уравнений чрезвычайно трудно. Примером таких задач может служить, скажем, следующая задача.

Имеется квадратный железный лист со стороной 60 см. По углам этого листа надо вырезать одинаковые квадраты и образовавшиеся края загнуть так, чтобы получилась открытая сверху коробка. Спрашивается, какова должна быть сторона каждого вырезанного квадрата, чтобы объем коробки оказался равным 10 000 куб. см?

Точное решение этой задачи без помощи уравнения найти нельзя.

Решение задач при помощи одного уравнения с одним неизвестным

Чтобы решить задачу при помощи одного уравнения с одним неизвестным, надо:

Выбрав одно из неизвестных (искомых) чисел задачи и обозначив его, например буквой х, составить по условиям задачи уравнение с выбранным неизвестным.
Решить это уравнение.
Исследовать, удовлетворяет ли каждое из полученных решений уравнения всем условиям данной задачи.

Поясним сказанное на двух следующих задачах.

Задача:

Веревку длиной в 25 м надо разрезать на 4 части так, чтобы вторая часть оказалась вдвое длиннее первой, третья на 1 м короче первой и четвертая на 1 м короче второй. Каковы должны быть длины каждой из четырех частей?

Обозначим длину первой части в метрах буквой х. Тогда длина второй части будет 2х м, третьей (х — 1) м и четвертой (2х — 1) м. Значит, сумма длин всех четырех частей в метрах будет

По условию задачи эта сумма равна 25 м. Поэтому

Уравнение составлено. Решим его.

т. е. длина первой части равна уравнение м. Значит, длина второй части равна 9 м, третьей м. и четвертой 8 м. Сумма чисел и 8 действительно равна 25. Найденное решение удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача:

В четырех квартирах живет 25 человек. Во второй квартире людей вдвое больше, чем в первой, в третьей на одного человека меньше, чем в первой, а в четвертой на одного человека меньше, чем во второй. Сколько человек живет в каждой квартире?

Обозначим буквой х число жильцов первой квартиры. Тогда число жильцов второй квартиры будет 2х, третьей х — 1 и четвертой 2х—1.

По условию задачи

Решив это уравнение, получим

В данном случае решение уравнения не является решением самой задачи, так как бессмысленно сказать, что в квартире живет уравнение человека. Данная задача не имеет решения. Отсутствие решения этой задачи обнаруживает то, что такого размещения людей по квартирам, которое указано в условии задачи, в действительности быть не может.

Примечание:

Эту задачу, так же как и предыдущую, можно было решать и иначе, приняв за неизвестное, скажем, в первой задаче — длину третьей части веревки, а во второй — число жильцов третьей квартиры.

Решение задач при помощи систем уравнении

Встречаются задачи, в которых требуется определить несколько неизвестных величии. Такие задачи в одних случаях могут решаться при помощи одного Уравнения с одним неизвестным (как мы это уже видели на задачах, решенных в предыдущем параграфе). В других же случаях подобные задачи решать с помощью только одного уравнения невыгодно (затруднительно). В таких случаях прибегают к составлению двух уравнений с двумя или трех уравнений с тремя неизвестными и т. д. Поясним, сказанное на примере.

Задача. Расстояние между пунктами А и В равно 408 км. Из пункта А движется пароход по направлению к В, а из пункта В яхта по направлению к А. Когда пароход начинает свое движение на 2 часа раньше, чем яхта, то их встреча происходит через 7 часов после начала движения яхты. Когда же яхта начинает свое движение на 2 часа раньше, чем пароход, то встреча происходит через 8 часов после начала движения парохода. Найти скорости парохода и яхты, считая эти скорости постоянными.

Эту задачу удобнее решать при помощи системы двух уравнений с двумя неизвестными. Обозначим скорость парохода, выраженную в километрах в час, буквой х, а скорость яхты, также в километрах в час, буквой у. Тогда согласно условиям задачи получим следующую систему уравнений:

Решив эту систему, получим

т. е. скорость парохода 36 км в час и скорость яхты 12 км в час.

Легко убедиться, что найденное решение системы уравнений удовлетворяет всем условиям задачи. Эту задачу можно было бы решить и при помощи только одного уравнения. Однако такой путь содержал бы в себе излишние трудности.

Дополнительные задачи на составление уравнений

Задача:

Сплав из золота и серебра весом 13,85 кг при погружении в воду весит на 0,9 кг меньше. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если известно, что удельный вес золота равен 19,3 а серебра — 10,5.

Составим по условиям этой задачи одно уравнение с одним неизвестным. Обозначим вес (в килограммах) золота, содержащегося в сплаве, буквой х. Тогда вес серебра, содержащегося в сплаве, будет равен (13,85 — х) кг. При погружении твердого тела в воду его вес уменьшается на столько, сколько весит вытесненная им вода. Удельный вес золота равен 19,3. Поэтому при погружении в воду кусок золота «потеряет» уравнение часть своего веса, а следовательно 1 кг золота «потеряет» в воде кг, а х «потеряют» кг.

Аналогично (13,85 — х) кг серебра «потеряют» уравнение . Значит, вес сплава «уменьшится» на

Но по условию задачи сплав «теряет» уравнение кг. Поэтому

Уравнение составлено. Решим его.

Значит, в сплаве содержится 9,65 кг золота. Вычтя из веса сплава вес золота, найдем вес серебра (4,2 кг).

Легко убедиться, что найденное решение уравнения удовлетворяет всем условиям задачи.

Эту же задачу можно было бы решить несколько изящнее путем составления системы двух уравнений с двумя неизвестными. Примем вес золота, содержащегося в сплаве, равным х кг, а вес серебра — у кг. Тогда согласно условиям задачи получим

Задача:

Если колхоз увеличит численность наличия лошадей на 20 голов, то запаса сена на прокормление лошадей хватит на 40 дней меньше, а если уменьшится на 20 голов, то этого запаса хватит на 60 дней больше предусмотренного срока. Oпределить, сколько было в колхозе лошадей и на сколько дней был рассчитан запас сена. (Ежедневная норма выдачи сена каждой лошади предполагается неизменной.)

Пусть в колхозе было х лошадей, а запас сена на прокормление этих лошадей был рассчитан на у дней. Тогда каждое из следующих трех произведений:

будет выражать запас сена в нормах.

Имея эти три произведения, выражающие собой одну и ту же величину в одной и той же единице измерения, можно составить систему двух уравнений:

которая после упрощения принимает вид:

Складывая, получим

откуда

Зная, что х = 100, из уравнения — 40х + 20у = 800 получим у = 240.

Итак, сено было запасено для 100 лошадей на 240 дней.
Решение системы удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача:

Трехтонка и пятитонка, работая одновременно, могли бы перевезти имеющийся груз в назначенное место за 24 часа. После того как они вместе проработали 15 час., трехтонка стала на ремонт, а весь оставшийся груз перевезла одна пятитонка, проработав еще 15 час. Узнать, за сколько часов могла бы каждая машина в отдельности перевезти весь этот груз?

Пусть трехтонка могла бы перевезти весь груз за х час., а пятитонка — за у час. Введем в рассмотрение производительность каждой машины, приняв весь груз за единицу.

За 1 час трехтонка может перевезти уравнение часть всего груза, а пятитонка часть. Таким образом, за один час совместной работы обе машины могут перевезти часть всего груза.

С другой стороны, из условия задачи следует, что обе машины за 1 час могут перевезти часть всего груза. Поэтому получается первое уравнение:

Обе машины за 15 час. перевезли уравнение или всего груза. По условию задачи оставшиеся груза пятитонка перевезла за 15 час. Поэтому

Получилось второе уравнение. Итак, получилась система:

Из второго уравнения сразу находим, что

Неизвестно х найдем из уравнения уравнение

откуда

Итак, одна трехтонка могла бы перевезти весь груз за 60 час., а пятитонка — за 40 час.

Приведем еще одну задачу на составление системы трех уравнений с тремя нензвестными.

Задача:

Дорога из города А в город В сначала подымается в гору на протяжении 3 км, потом идет по ровному месту на протяжении 5 км, после спускается под гору на протяжении 6 км (рис. 60).

Посыльный, уйдя из А в В и пройдя полпути, обнаружил, что забыл взять один пакет. Он вернулся обратно, потеряв напрасно 3 часа 36 мин. Выйдя из А вторично, он прошел весь путь до В за 3 часа 27 мин. и обратный путь из В в А — за 3 часа 51 мин. С какой скоростью шел посыльный в гору, по ровному месту и под гору, если считать каждую из этих скоростей постоянной.

Пусть скорость при движении в гору х км в час, по ровному месту — у км в час и под гору — z км в час.

По условиям задачи получим следующую систему:

Примечание:

Левые части уравнений выражают время в часах; поэтому и в правых частях время выражено также в часах.

Чтобы решить эту систему, сначала, исходя из нее, образуем систему двух уравнений с двумя неизвестными.

1. Вычтем из левой части первого уравнения левую часть второго и из правой части правую. Тогда получим

Умножим левую и правую части второго уравнения на 2, а левую и правую части третьего уравнения на — 1. Тогда получим

Складывая, найдем, что

Итак, получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив эту систему, получим у = 4 и z = 5.

Теперь, воспользовавшись одним из уравнений первоначальной системы, например уравнением

найдем, что

Составление буквенных уравнений

Задача:

Сплав из двух различных металлов весом q кг при погружении в воду потерял в весе А кг. Определить количество каждого металла в этом сплаве, если известно, что удельный вес первого металла равен уравнение , а второго .

Поступая так же, как и в задаче 1, получим либо одно уравнение

либо систему уравнений

Задача:

Если колхоз увеличит количество имеющихся лошадей на а голов, то запаса сена на прокормление лошадей хватит на m дней меньше, а если уменьшит на b голов, то хватит на n дней больше планового срока. Определить, сколько было в колхозе лошадей и на сколько дней был рассчитан запас сена. (Ежедневная норма выдачи сена каждой лошади предполагается неизменной.)

Поступая так же, как и в задаче 2, получим систему:

Эта система приводился к виду

Задача:

Трехтонка и пятитонка, работая одновременно, могли бы перевезти имеющийся груз в назначенное место за h час. После того как они вместе проработали а час., трехтонка стала на ремонт, а весь оставшийся груз перевезла одна пятитонка, проработав еще b час. Узнать, за сколько часов могла бы каждая машина в отдельности перевезти весь этот груз.

Поступая так же, как и в задаче 3, получим систему:

Некоторые указания к вопросу о составлении уравнений

1. При равномерном движении пройденный путь s, скорость v и время t связаны соотношением

Вес q какого-либо тела, его объем v и удельный вес d связаны соотношением

Стоимость р товара, его количество m и цена с связаны соотношением

Разумеется, что все указанные выше соотношения будут верными лишь в том случае, когда величины, входящие в каждое соотношение, выражены в единицах, надлежащим образом согласованных. Например, если объем v выражен в кубических сантиметрах, то вес q следует считать выраженным в граммах. Если же объем выражен в кубических дециметрах, то вес следует считать выраженным в килограммах. Если объем в кубических метрах, то вес в тоннах. Если цена c выражена в рублях за метр, а количество товара m в метрах, то стоимость товара р следует считать в рублях.

При составлении уравнения необходимо, чтобы левая и правая части уравнения выражали величину в одних и тех же единицах. При этом в самом написанном уравнении единицы измерения никогда указывать не следует.

2. Обратим внимание еще и на то, что процесс составления уравнения имеет некоторое сходство с процессом проверки ответа задачи. Поясним сказанное на примере.

Задача:

В первом и втором домах всего 1654 окна. Во втором доме на 138 окон больше, чем в первом. Сколько окон в первом доме?

Пусть нам сообщили, что ответом этой задачи является число 758, и предложили проверить этот ответ, не решая самой задачи. Сопоставим эту проверку с процессом составления уравнения.

Процесс проверки ответа

Процесс составления уравнения

Пусть в первом доме 758 окон. Тогда во втором доме должно быть (758+ 138) окон. ,
По условию задачи в обоих домах всего 1654 окна. Поэтому должно быть 738 + (758 + 138) = 1654.
Если последнее равенство окажется верным, то данный нам ответ 758 следует считать верным. Если же последнее равенство окажется неверным, то данный ответ следует считать неправильным.

Пусть в первом доме х окон. Тогда во втором доме должно быть
(х+138) окон.
По условию задачи в обоих домах всего 1654 окна. Поэтому должно
быть х + (х + 138) = 1654.
Ответом задачи должно быть такое значение буквы х, при котором последнее равенство становится верным. Те же значения буквы х, при которых последнее равенство показывается неверным, не могут быть ответом задачи.

При составлении уравнения под буквой х мы всегда подразумевали как бы известное число, как бы уже известный ответ задачи.

После же того, как уравнение оказалось составленным, буква х превращалась в неизвестное, подлежащее определению из этого уравнения.

Дополнение к уравнениям

Смотрите также:

Предмет экономико-математические методы

Дроби, доли, пропорции и основные действия арифметики и алгебры	Прогрессии и комбинаторика
Простые и сложные проценты	Функции и графики

Алгебраический способ решения систем уравнений выше первой степени

Как нам уже известно, системой уравнений называется совокупность двух или нескольких уравнений, в которых одноименные неизвестные обозначают одну и ту же величину.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными, например системы

называется пара чисел, подстановка которых в каждое уравнение системы (первого вместо х, а второго вместо у) превращает каждое уравнение системы в тождество.

Например, пара чисел (1; 2) есть одно решение системы:

Пара чисел (— 2; — 1) будет представлять собой еще одно решение этой же системы. Пара же чисел, скажем (3; 2), ее решением уже не будет.

Решение системы можно записывать и в другой форме. Например, вместо записи (1; 2) или (— 2; —1) можно написать так:

Что значит решить систему двух уравнений с двумя неизвестными?

Решить систему двух уравнений с двумя неизвестными — это значит найти все решения этой системы или же убедиться в отсутствии таковых.

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если всякое решение первой системы является решением второй и, наоборот, всякое решение второй системы представляет собой решение первой.

В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением решений лишь простейших систем. Более сложные системы и с большей полнотой будут рассмотрены в части II учебника.

Система двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое второй

Пример:

Из уравнения 1-й степени выразим одну неизвестную через другую. Удобно взять у = 1 + х Заменив в уравнении второй степени у через 1+х, получим уравнение

Решив это квадратное уравнение, имеем, что

Теперь, пользуясь уравнением у = 1 + х находим, что при а при

Итак, найдены два решения данной системы: (1; 2) и (—2; — 1). Система двух уравнений, из которых одно 1-й степени, а другое 2-й степени, имеет, как правило, два решения.

Изложенный способ решения называется способом подстановки. Этим же способом решим еще несколько примеров.

Пример:

При уравнение т. е. получим первое решение

При х = 1 у = 4 — 1=3. Теперь мы получили второе решение (1; 3).

Пример:

Прежде чем решать эту систему, сделаем некоторые пояснения.

Уравнение ху = 8 считается уравнением 2-й степени, так как сумма показателей степеней неизвестных х и у в выражении ху равиа 2.

Уравнение = 8 есть уравнение 3-й степени.

Уравнение

есть уравнение 4-й степени и т. д.

Если же в уравнении

букву у рассматривать как величину известную, то тогда это уравнение относительно только одного неизвестного х будет уравнением 2-й степени, т. е. квадратным.

Уравнение

ху = 8

относительно только одного неизвестного х будет уравнением 1-й степени и т. д.

Теперь решим предложенную систему

Решение:

Откуда

При уравнение Получили первое решение (4; 2).
При Получили второе решение (-2; -4).

Пример:

Оказалось, что данная система имеет только одно решение. Но поскольку система, в которой одно уравнение 1-й степени, а другое 2-й степени, имеет, как правило, два решения, мы скажем, что и в данном случае получилось два решения, только эти два решения оказались одинаковыми.

Однако встречаются и такие случаи, когда система двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое второй, никакого действительного решения не имеет. Например, ни одного решения не имеет система.

Замечание:

Система, содержащая одно уравнение 1-й степени и одно уравнение 2-й степени, всегда может быть решай способом подстановки.

Действительно, общий вид уравнения 1-й степени с двумя неизвестными х и у таков:

где а, b и с — известные числа.

Общий же вид уравнения 2-й степени с теми же неизвестными таков:

где А, В, С, D, Е, F — тоже известные числа.

Систему же

легко решить способом подстановки. Именно из уравнения 1-й степени можно выразить одно неизвестное через другое и затем подставить во второе уравнение. В результате второе уравнение превращается в уравнение с одним неизвестным, вообще говоря, квадратное. Решив его, мы сможем затем определить и значения другого неизвестного.

Вычисления расположатся так:

Система двух уравнений, в которой оба уравнения второй степени

Общий вид системы двух уравнений с двумя неизвестными х и у, в которой оба уравнения 2-й степени, таков:

Решение такой системы представляет большие трудности и не входит в курс элементарной алгебры. Поэтому мы здесь рассмотрим лишь некоторые частные случаи таких систем, решаемые искусственным путем.

Некоторые системы, решаемые искусственным способом

Пример:

Сложив левые и правые части этих уравнений, падучим квадратное уравнение с одним неизвестным:

Отсюда

Подставляя сначала в одно из данных уравнении, например в уравнение вместо буквы х найденное число 3, получим:

Отсюда

что дает два следующих решения системы: (3; 2); (3; — 3), или в другой форме записи:

Теперь сделаем то же самое, приняв х = — 4:

Отсюда

что дает еще два следующих решения системы:

Итак, данная система имеет четыре решения:

Пример:

Умножим обе части первого уравнения на 11, а второго — на — 5. Тогда система примет вид:

Сложив левые и правые части уравнений последней системы, получим:

Докажем, что у не может равняться нулю. В самом деле, если бы у = 0, то из уравнения уравнение мы получили бы = 5, а из уравнения получили бы т. е. результат, противоречащий предыдущему равенству

Значит, уравнение Поэтому мы можем разделить все члены уравнения на После этого будем иметь:

Решая полученное квадратное уравнение относительнополучим:

т. е.

Подставляя это найденное значение неизвестного х в одно из уравнений данной системы, например в уравнение

получим

откуда

Этим двум значениям неизвестного у будут соответствовать из уравнения х = 13у два значения неизвестного х, а именно:

Таким образом, мы нашли пока два решения данной системы:

Теперь примем во внимание второй ответ для неизвестного уравнение а именно то, что

Поступая так же, как и в предыдущем случае, мы найдем еще два решения данной системы: (3; 1) и (— 3; —1).

Итак, данная система имеет четыре решения:

Пример:

Неизвестные х и у мы можем рассматривать как корни такого приведенного квадратного уравнения, свободный член которого 209, а коэффициент при неизвестном 1-й степени —30, т. е. уравнения

Решая это уравнение, найдем два его корня: 19 и 11. Одни из этих корней мы должны принять за значение одного неизвестного, а другой — за значение второго неизвестного. Но так как это можно сделать двумя способами, мы получим два решения данной системы:

Этот прием рекомендуется применять к любой системе вида:

Пример:

Умножив обе части второго уравнения на два и произведя соответствующее сложение с первым уравнением, получим:

или

Отсюда либо х + у = 4, либо х + у = — 4. Решив систему

найдем два решения первоначальной системы: (1; 3) и (3; 1). Затем, решив систему

найдем еще два решения:

Итак, первоначальная система имеет четыре решения:

Пример:

Очевидно, что

Но так как уравнение

Также очевидно, что

Но так как уравнение следовательно

После этих преобразований первоначальная система примет вид:

или

Примем произведение ху за новую неизвестную z. Тогда первое уравнение системы примет вид:

Отсюда уравнение

Теперь остается решить в отдельности каждую из двух систем:

Первая система действительных решений не имеет. Вторая дает два решения. Следовательно, первоначальная система имеет только два действительных решения:

Решение систем со многими неизвестными рассмотрено в § 4 настоящей главы.

Графический способ решения систем уравнений с двумя неизвестными

Если система легко разрешима аналитически, то нет смысла решать ее графически. Однако встречаются такие системы, решить которые аналитически крайне трудно. Между тем для практических целей важно находить решения таких систем хотя бы приближенно. В этих случаях графический метод оказывается очень полезным средством. Поясним сказанное на примерах.

Пример:

Решить систему:

Посмотрим, к чему приведет нас попытка решить эту систему аналитически.

Подставляя в первое уравнение выражение неизвестного у, взятое из второго, получим:

или

Решение этого уравнения представляет значительные трудности и выходит за рамки элементарной алгебры. Поэтому обратимся к графическому методу.

Геометрическим образом первого уравнения системы, т. е. уравнения уравнение как нам известно, является окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным 3. Построим эту окружность на миллиметровой бумаге (рис. 119). На этой же координатной плоскости построим геометрический образ второго уравнения системы, т. е. уравнения

Как известно, геометрическим образом этого уравнения является парабола с осью, параллельной оси уравнение . Эта парабола простирается неограниченно «вниз». Ее вершиной служит точка (см. стр. 341).

Чтобы построить эту параболу, составим таблицу значений у, соответствующих значениям х.

Для удобства вычислений уравнение

запишем в виде

Теперь легко получить следующую таблицу:

Пользуясь этой таблицей, построим кривую, являющуюся изображением параболы:

Полученные линии (окружность и парабола) пересекаются в четырех точках.

Следовательно, данная система имеет четыре решения:

Недостатком графического метода является то, что решения системы получаются, как правило, приближенные, с весьма ограниченной степенью точности. Повысить же эту точность путем увеличения масштаба, принимаемого для построения графика, неудобно. Например, чтобы определить еще один десятичный знак, кроме найденных, пришлось бы масштаб увеличить в 10 раз. В таком увеличении масштаба нет необходимости, так как существуют алгебраические способы, позволяющие из найденных графически решений получать решения с любой степенью точности. Эти способы здесь не излагаются.

Приведем еще один пример графического решения системы.

Пример:

Решить систему:

Подставляя в первое уравнение выражение неизвестного у, взятое из второго, получим:

или

Это уравнение алгебраически трудно решить. Поэтому опять обратимся к графическому методу.

Для удобства вычислений перепишем уравнение

в виде

Чтобы построить график функции уравнение составим следующую таблицу:

Пользуясь этой таблицей, построим на миллиметровой бумаге график функции уравнение (рис. 120). Как видно из этого же графика, геометрическим образом уравнения будет прямая, проходящая через точки (—3; 0) и . Последние две точки мы получили следующим образом. Полагая х = — 3, из уравнения уравнение нашли, что у = 0; полагая х = 0, нашли, что .

Полученные две линии; кривая и прямая — пересекаются в двух точках (—1,4; 0,8) и (1,6; 2,3).

Следовательно, данная система имеет два решения:

Отыскание точек пересечения простейших линий алгебраическим способом

В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров нахождения точек пересечения двух линий, заданных своими уравнениями.

Найти точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, — это значит найти координаты этих точек.

Так как точка пересечения двух линий является общей точкой этих линий, то ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям этих линий одновременно.

Следовательно, чтобы найти точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, достаточно решить систему, составленную из этих уравнений.

Поясним сказанное на простом примере.

Пусть требуется найти точку пересечения двух прямых:

Решив систему

получим:

Следовательно, данные прямые пересекаются в точке (3; 2).

Прямая и парабола

Пример:

Найти точки пересечения прямой х — 2у — 2 = 0 и параболы уравнение

Для решения этой задачи достаточно решить систему:

или

Приравнивая друг другу два выражения, обозначающие одну и ту же величину 2у, получим:

Отсюда

Подставляя в уравнение 2у = х—2 вместо буквы х число 4, найдем первое решение данной системы:

Подставляя х = 1, найдем второе решение системы:

Следовательно, данная парабола и данная прямая пересекаются в двух точках: (4; 1) и уравнение . Геометрическая иллюстрация полученного результата дана на рисунке 121.

Пример:

Найти точки пересечения прямой 2х — у — 7 = 0 и параболы уравнение

Для решения этой задачи достаточно решить систему:

или

Приравнивая друг другу два выражения, обозначающие одну и ту же величину у, получим:

Последнее уравнение имеет один двукратный корень, равный 4. Зная, что х =4, найдем из уравнения у = 2х — 7, что у= 1. Таким образом, данная система имеет два совпадающих решения:

Следовательно, в данном случае обе точки пересечения прямой и параболы сливаются в одну, т. е. прямая касается параболы в точке (4;1) (см. рис. 122).

Прямая и гипербола

Пример:

Найти точки пересечения прямой 4х + 3у + 8 = 0 и гиперболы ху = 1.

Решив систему

получим два решения

Следовательно, данная прямая и гипербола пересекаются в двух точках:

Иллюстрация дана на рисунке 123.

Пример:

Найти точки пересечения прямой х + у — 2 = 0 и гиперболы ху = 1.
Решив систему

найдем два совпадающих решения:

Следовательно, обе точки пересечения сливаются в одну, т. е. прямая касается гиперболы в точке (1; 1) (см. рис. 124).

Пересечение двух парабол

Пример:

Найти точки пересечения параболы

уравнение с параболой

Решив соответствующую систему, найдем две точки пересечения:

Геометрическую иллюстрацию рекомендуется учащемуся привести самостоятельно.

Пример:

Найти точки пересечения параболы

уравнение с параболой

Решив систему

обнаружим, что она действительных решений не имеет. Следовательно, данные параболы не пересекаются.

Рекомендуется учащемуся построить обе параболы и наглядно убедиться в том, что они действительно не пересекаются.

Итак, для отыскания точек пересечения двух линий, заданных уравнениями, достаточно решить систему, составленную из этих уравнений. Если же эту систему решить алгебраически трудно, то тогда точки пересечения надо находить графическим способом.

Системы трех уравнений с тремя неизвестными

Все системы, разобранные в предыдущих параграфах, состояли из двух уравнений с двумя неизвестными.

Теперь рассмотрим несколько систем трех уравнений с тремя неизвестными степени выше первой, решаемых искусственно.

1. Решить систему:

Раскрыв скобки, получим:

Складывая левые и правые части всех трех уравнений, получим:

или

Сопоставляя по очереди это уравнение с каждым из уравнений системы, получим:

Перемножив левые и правые части уравнений последней системы, получим:

или

Сопоставляя уравнение хуz = 10 с каждым из уравнений системы (А), получим, что

Сопоставляя уравнение хуz = — 10 с каждым уравнением системы (А), получим:

Итак, данная система имеет два решения:

которые можно записать кратко так:

Проверкой легко убедиться, что эти тройки чисел удовлетворяют каждому уравнению системы.

2. Решить систему:

Разложив левые части уравнений на множители, получим:

Перемножив левые и правые части уравнений системы, получим:

или

Сопоставляя равенство (1) с каждым из уравнений системы (А), получим систему:

Решив эту систему, получим:

Сопоставляя равенство (II) с каждым уравнением системы (А), получим систему:

Решив эту систему, получим:

Итак, данная система имеет два решения:

или в краткой записи:

Решим еще одну задачу, представляющую некоторый особый интерес.

Задача:

На участке реки от A до B течение так слабо, что им можно пренебречь; на участке от В до С течение уже достаточно сильное. Лодка покрывает расстояние вниз по течению от A до С за 6 час., от С до А, вверх по течению, за 7 час. Если бы на участке от А до В течение было таким же, как на участке от В до С, то весь путь от A до С занял бы 5,5 часа. Сколько времени в этом случае понадобилось бы на то, чтобы подняться вверх от С до A?

Решение:

Примем расстояние AВ равным х км, а расстояние АС у км. Примем собственную скорость лодки равной v км в час, а скорость течения на участке АС равной h км в час.

Из условий задачи вытекает следующая система трех уравнений с четырьмя неизвестными х, у, v и h:

В задаче требуется найти значение дроби уравнение

Разделив числитель и знаменатель этой дроби на v, придадим ей следующий вид:

Отсюда видно, что для решения задачи нам нет необходимости знать значения неизвестных х, у, v и h. Нам достаточно знать лишь значения трех отношений:

Для нахождения этих трех отношений мы преобразуем систему (А) к следующему виду:

Эту систему мы получили из системы (А) путем деления числителей и знаменателей соответствующих дробей на v.

Для краткости обозначим дроби уравнение соответственно буквами a, b и с.

После этого система (А) превратится в следующую систему трех уравнений с тремя неизвестными a, b и с:

Из системы (В) получим:

Складывая почленно первые два уравнения, получим:

Сопоставляя это уравнение с третьим уравнением системы, найдем, что

или

Из уравнения уравнение принимая, что найдем, что

Чтобы получить ответ задачи, надо найти значение дроби уравнение т.е. дроби

Мы знаем, что

Значит, ответом задачи будет

т. е. 7,7.

Итак, лодке понадобилось бы 7 час. 42 мин., чтобы подняться вверх от С до А при условиях, указанных в задаче.

Введение буквенных обозначений при решение задач и заданий с уравнениями

Задача:

Сколько времени требуется пароходу, чтобы пройти вверх по реке 900 км, если скорость парохода в стоячей воде 16 км/час, а скорость течения реки 4 час?

При решении задачи мы не будем производить вычисления, а будем только намечать необходимые действия.

Решение:

1) Сколько километров проходит пароход за 1 час? (16 — 4) км.
2) Во сколько часов пройдет пароход 900 км?
уравнение

Выражение — уравнение называется формулой решения задачи. В формуле указано, какие действия и в каком порядке достаточно произвести над данными числами, чтобы получить искомое. Когда формула решения задачи составлена, окончательный ответ получить нетрудно. Нужно лишь произвести указанные в формуле вычисления. Ответ. 75 час.

Рассмотрим теперь еще две задачи такого же типа.

Задача:

Сколько времени требуется пароходу, чтобы пройти вверх по реке 300 км, если скорость парохода в стоячей воде 15 км/час, а скорость течения реки 3 км/час?

Решение:

Эта задача отличается от предыдущей только
числовыми данными и потому решается так же, как и предыдущая. Вот формула ее решения: уравнение Ответ. 25 час.

Рассмотрим теперь еще две задачи такого же типа.

Задача:

Сколько времени требуется пароходу, чтобы пройти вверх по реке 350 км, если скорость парохода в стоячей воде 14 км/час, а скорость течения реки 3,5 км/час?

Решение:

Эта задача того же типа, что и две предыдущие. Вот формула ее решения: уравнение

Ответ. уравнение

Мы рассмотрели три задачи и для каждой из них составили формулу решения. Сравнение этих формул показывает, что они имеют один и тот же вид и отличаются одна от другой только числовыми данными.

Задачи, имеющие одинаковые условия и отличающиеся только числовыми данными, имеют одинаковые по своему строению формулы решения.

Рассмотренные задачи решаются по такому правилу:

Для того чтобы узнать, во сколько часов пройдет пароход данное расстояние против течения реки, достаточно из скорости парохода в стоячей воде (в км/час) вычесть скорость течения реки (в км/час), а затем расстояние (в км) разделить на полученную разность.

Для того чтобы упростить правило и выразить его в более наглядной форме, можно поступить так: составить формулу решения задачи, но вместо чисел, данных в условии, писать словами то, что эти числа обозначают. Правило решения рассматриваемых задач можно записать так:

А еще лучше обозначить расстояние, которое проходит пароход(в км), буквой S, скорость парохода в стоячей воде (в км/час).— буквой V, скорость течения реки (в км/час) — буквой v. Буквенное выражение уравнение
представляет собой общую формулу решения задач указанного типа и служит кратким и наглядным выражением общего правила их решения.

Когда общая формула решения задач данного типа составлена, легко решить и любую частную задачу этого типа (т. е. такую, где в условии даны не буквы, а числа). Для этого достаточно в общую формулу подставить вместо букв соответствующие числа и произвести вычисления.

Каждый раз, когда хотят получить общее правило решения задач некоторого типа, задачу дают сразу в общем виде, т. е. в условии пишут не числа, а буквы. Например, рассмотренная нами задача в общем виде выглядит так:

Задача:

Сколько времени требуется пароходу, чтобы пройти вверх по «реке S км, если скорость парохода в стоячей воде V км/час, а скорость течения реки v км/час?

Решение:

Так как буквы у нас обозначают числа, решение задачи, поставленной в общем виде, ведется точно так же, как и решение задачи в частном виде.

1) Сколько километров проходит пароход в 1 час?

уравнение

2) Во сколько часов пройдет пароход S км?

уравнение

Ответ. уравнение

Обозначение чисел буквами дает возможность получать решения задач в общем виде.

Определение:

Выражение, в котором указано, какие действия и в каком порядке надо произвести над данными числами, называется алгебраическим выражением. Числа при этом могут быть с обозначены буквами или при помощи цифр. Например, уравнение 11 — 5 — алгебраические выражения. Для обозначения действий в алгебре пользуются теми же знаками, что и в арифметике: сложении обозначается знаком +; вычитание обозначается знаком —; умножение обозначается знаком уравнение точкой или, наконец, знак умножения не пишут совсем; деление обозначается знаком : или горизонтальной чертой. Так а+b означает сумму чисел одинаково означают произведения чисел уравнение одинаково означают частное от деления числа а на число b.

Численное значение буквенного выражения зависит от того, какие значения имеют входящие в него буквы.

Понятие об уравнении. Составление уравнения, выражающего зависимость между данными величинами

Задача:

На одной полке находится m книг, на другойполке n книг, на обеих полках вместе р книг.

1) Чему равно р, если m=10; n = 12?

2) Заполнить таблицу: уравнение

Ответ. 1) Если m =10, п = 12, то p = 22. 2) В первую строку таблицы нужно вписать 11, во вторую 15, в третью 19.

Задача:

Площадь класса Q м2. Длина класса а м ширина b м.

1) Чему равно Q, если а = 8; b=6?

2) Заполнить таблицу: уравнение

Ответ. 1) Если а = 8, 6 = 6, то Q = 48.
2) В первую строку таблицы надо вписать 10,
во вторую 6, в третью 80.

Задача:

На одной полке m книг. Площадь класса Q м2. Чему равно Q,если m =10?
Ответ. Эту задачу решить нельзя.

Почему же третью задачу решить нельзя, а первую и вторую задачи решить можно? Объясняется это тем, что величины m и Q в задаче 3 между собой не связаны, они независимы. Величины же m, n, р в первой задаче связаны самим условием задачи так, что, зная
две из них, мы можем определить третью. Иными словами, между величинами m, n, р в первой задаче существует зависимость. То же самое мы имеем и во второй задаче. Здесь тоже величины Q, а, b так связаны условием задачи, что, зная две из них, мы можем определить третью. Между величинами Q, а, b во второй задаче также имеется зависимость.

В чем же заключается зависимость между m,n, р в первой задаче? Зависимость между m,n,р заключается в том, что р равно сумме m и n, т. е.

уравнение

В чем заключается зависимость между Q, a, b во второй задаче? Зависимость между Q, a, b заключается в том, что Q равно произведению а и b, т. е.

уравнение

Если хотят высказать утверждение, что два алгебраических выражения равны, эти выражения соединяют знаком равенства: =.

Определение:

Выражение, полученное посредством соединения знаком = двух алгебраических выражений, называется равенством.

В равенстве две части: левая и правая. Левая записана слева от знака равенства, а правая записана справа от этого знака. Выражение (1) — равенство. Посредством равенства (1) мы выразили зависимость между р, m и n. Выражение (2) — тоже равенство. Оно выражает зависимость между Q, а и b.

Равенства, выражающие зависимость между величинами, называются уравнениями. Так, равенства (1) и (2) являются уравнениями.

Замечание:

Зависимость между m, n и р мы выразили уравнением (1).
Уравнения
m=p — n, (3)
n=р — m (4)
выражают ту же зависимость, что и уравнение (1), но в несколько ином виде.

Уравнения (1), (3) и (4) так тесно связаны друг с другом, что из любого из них легко получить остальные.

В самом деле, в уравнении (1) р — сумма, m и n — слагаемые. Из арифметики известно, что слагаемое равно сумме без другого слагаемого. Значит, m=р — n; n=р — m. Так из уравнения (1) получаются уравнения (3) и (4).

Пусть теперь дано уравнение (3). В нем р — уменьшаемое, n — вычитаемое, m — разность. Из арифметики известно, что уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности. Значит, р = m+n. Из уравнения (3) получается уравнение (1)

Точно так же из уравнения (4) можно получить уравнение (1).
Зависимость между Q, a и b мы выразили уравнением (2). Уравнения

выражают ту же зависимость, что и уравнение (1). Можно показать, что уравнения (2), (5), (6) настолько тесно связаны друг с другом, что из любого из них вытекает любое другое. Мы этого делать не будем, так как это подробно излагается немного позже.

Мы будем часто решать задачи на составление уравнений, выражающих зависимость между величинами. Условимся считать задачу решенной, когда получено хоть одно такое уравнение.

Рассмотрим для примера две задачи.

Задача:

Пароход за t часов прошел против течения реки S км. Скорость парохода в стоячей воде V км/час, скорость течения реки v км/час. Составить уравнение, выражающее зависимость между S, t, V и v.

Решение:

Мы знаем, что число часов, которое требуется пароходу, чтобы при данных условиях пройти S км против течения реки, определяется выражением уравнение Значит,

Уравнение составлено.
Ответ.

Задача:

Через один кран ванна наполняется в а мин, через другой кран — в b мин. Если открыть оба крана, то ванна наполнится, в t мин. Составить уравнение, выражающее зависимость между a, b и t.

Решение:

Через первый кран в 1 минуту наполняется уравнение часть ванны, а через второй кран часть. Через оба крана в 1 минуту наполняется часть ванны. Но, с другой стороны, при двух открытых кранах в 1 минуту наполняется уравнение часть ванны. Значит,

Порядок действий

В алгебре принят тот же порядок действий, что и в
арифметике. Именно:

Правило 1. Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести два действия, то порядок действий указывается скобками. При этом сначала выполняется действие, указанное в скобках.

Например, выражение :
(а+b)с означает, что сначала надо к числу а прибавить число b, а потом полученную сумму умножить на число с.

Выражение :
а: (bc) означает, что сначала надо число b умножить на число с, а потом число а разделить на полученное произведение.

Правило 2. Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести более двух действий, то порядок действий указывается несколькими различными скобками. При этом одни скобки заключают внутри других и сначала выполняют действие, указанное во внутренних скобках.

Например, выражение :
[(a + b)c] — d означает, что сначала надо к числу а прибавить число b, затем полученную сумму умножить на число с и, наконец» из полученного произведения вычесть число d.

Выражение:
(a + b).(с —d)
означает, что сначала производятся сложение и вычитание и последним производится умножение суммы на разность.

Для того чтобы упростить запись алгебраических выражений и реже употреблять скобки, допускаются следующие исключения из правил 1 и 2:

1.Для того чтобы записать сумму нескольких слагаемых, достаточно написать их в том порядке, в котором надо производить сложение, и поставить между ними знак +, т. е. вместо выражения
(а + b) + с
можно писать
a + b + с;

вместо выражения
[(a + b) + c]+d
можно писать
a+b+c+d вместо выражения

можно писать

и т. д.

2.Если требуется произвести последовательно несколько действий сложения и вычитания, то числа и знаки пишутся в том порядке, в котором должны выполняться действия. Например, вместо

пишут

3.Для того чтобы записать произведение нескольких сомножителей, достаточно приписать их друг к другу в том порядке, в котором надо производить умножение, т. е» вместо выражения

можно писать

вместо выражения

можно писать

и т. д.

4.Сложение и вычитание называются действиями первой ступени, а умножение и деление — действиями второй ступени.

Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести сначала действие второй ступени, а потом действие первой ступени, скобки можно не писать. Например, выражение

а — (b: с) т. е. что сначала надо b разделить на с и затем из а вычесть полученное частное. Выражение

а+(bс)

можно без скобок писать так:

а+bс.

означает то же, что и выражение

а — b: с,

5.Если деление указано чертой, то сначала вычисляются отдельно числитель и знаменатель и последним действием выполняется деление числителя на знаменатель. Например, выражение

означает, что сначала производятся сложение и вычитание и последним— деление суммы на разность. Это же выражение можно записать и при помощи другого знака деления (:), но тогда надо ставить скобки, т. е. писать так:

(а + Ь):(с — d).

Пример:

Вычислить выражение

при а = 4; b = 2; с=1.

Решение:

Задача:

На заготовительный пункт в первый день поступило а m картофеля, во второй день на b m больше, чем в первый, а в третий на с т меньше, чем в первые два дня вместе. Сколько тонн картофеля поступило на заготовительный пункт за три дня?

Рассмотреть частный случай: а=100; b = 50; c = 75.

Решение:

Во второй день поступило (а + (a+b) m. В первый и второй день вместе поступило [a + (a + b)] m. В третий день поступило {[a + (a+b)- с} m. За три дня поступило

Частный случай:

Задача:

Из двух пунктов, расстояние между которыми S км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда со скоростями, соответственно равными v1 км/час и v2 км/час. Через сколько часов после выхода поездов расстояние между ними будет равно 5 км?

Рассмотреть частный случай: S = 520; v1= 39; v2 = 41; s=100.

Решение:

Расстояние между поездами каждый час сокращается на (v1+v2) км. Для того чтобы расстояние между поездами стало равным s км, необходимо, чтобы оно уменьшилось на S — s км. Это произойдет через уравнение часов после выхода поездов.

Ответ. уравнение час.

Частный случай:

Задача:

Пионеры одной школы собрали А кг семян дуба,
клена, белой акации и желтой акации. Семян желтой акации собрали а кг, семян белой акации собрали на b кг меньше, чем семян желтой акации. Семян клена собрали на с кг больше, чем семян белой и желтой акации вместе. Семян дуба собрали и d раз больше, чем семян клена.

Составить уравнение, выражающее зависимость между A, a,b, с, d.

Решение:

Семян белой акации собрано (а — b) кг. Семян белой и желтой акации вместе собрано [а+(а— b)] кг. Семян клена собрано уравнение Семян дуба собрано
Всего семян собрано

Но, по условиям задачи, всего собрано А кг семян. Значит,

Задача:

Основание прямоугольника а м, высота b м. Если основание этого прямоугольника увеличить в с раз, а высоту уменьшить в d раз, то получится новый прямоугольник, площадь которого на меньше площади данного прямоугольника. Составить уравнение, выражающее зависимость между

Решение:

Основание нового прямоугольника ас м. Высота нового прямоугольника уравнение Площадь нового прямоугольника Площадь данного прямоугольникаНо при другом способе подсчета площадь данного прямоугольника равна Значит
Ответ.

Задача:

Числитель дроби а, знаменатель на b больше
числителя. Если от числителя и знаменателя дроби отнять по х, то новая дробь будет составлятьисходной. Составить уравнение, выражающее зависимость между a, b и х.

Решение:

Знаменатель дроби уравнение Исходная дробьНовая, дробьили, в силу последнего условия, значит, ответ.

Коэффициент

Определение:

Числовой множитель буквенного выражения называется числовым коэффициентом, а чаще просто коэффициентом.

Например, в выражении уравнение коэффициент равен 3; в выражении 2,5 аbс коэффициент равен 2,5; в выражении у каждой из букв коэффициент равен 1, так как Коэффициент 1 писать не нужно.

Из арифметики известно, что для вычисления суммы нескольких одинаковых слагаемых достаточно одно из слагаемых умножить на их число. Например,

Пользуясь буквами для обозначения чисел, это свойство суммы, можно формулировать так: каково бы ни было число а, уравнение

вообще

Известно, что сомножители можно писать в любом порядке, а потому уравнение Коэффициент обычно пишут впереди.

Таким образом, целые коэффициенты 2, 3, 4 и т. д. возникают при сложении двух, трех, четырех. и т. д. одинаковых слагаемых. Пользуясь целым коэффициентом, мы сумму нескольких одинаковых слагаемых заменяем произведением двух чисел. Один из сомножителей этого произведения — коэффициент. Он равен числу слагаемых в рассматриваемой сумме. Другой из сомножителей представляет собой одно из слагаемых этой суммы.

Сказанное относится только к целым коэффициентам. Например, выражение 2,7а нельзя толковать как сумму 2,7 слагаемых, каждое из которых есть а, так как число слагаемых в сумме всегда целое.

При решении некоторых задач коэффициентами считают буквенные выражения. Так, например, иногда считают, что в выражении ах буква х имеет коэффициент а; в выражении

буквы х, у, z имеют коэффициенты 2а,b +с, d — а.

Задача:

За 3 м материи стоимостью а руб. каждый и m м сукна стоимостью b руб. каждый заплачено S руб. Составить уравнение, выражающее зависимость между a, b, m и S.

Решение:

3 м материи стоят 3а руб. , m м сукна стоят mb руб. Сукно и материя вместе стоят уравнение руб. или S руб. Значит, Ответ.

Задача:

25% числа а на b больше, чем 10% числа с. Составить уравнение, выражающее зависимость между а, b, с.

Решение:

25% числа а составляют уравнение ; 10%числа c,т.е. равно по условию задачи

Ответ, уравнение

Степень. Возведение в степень

Часто приходится рассматривать произведения нескольких одинаковых сомножителей. Например, число 1024 разлагается на простые сомножители так:
1024 = 2.2.2.2.2.2.2.2-2.2;
нам пришлось написать десять раз множитель 2.

Чтобы упростить запись произведения нескольких одинаковых сомножителей, условились писать сомножитель только один раз, а сверху справа писать число, показывающее, сколько раз этот сомножитель должен быть написан. Например,

Произведение n сомножителей, каждый из которых есть а, записывается так: уравнение (читается: «а в степени n»). Выражение называется n-й степенью числа а, а называется основанием степени, n — показателем степени.

Выражение уравнение читается так: «а во второй степени», или «а в квадрате», или «а квадрат». Выражение читается так: «а в третьей степени;», или «a в кубе», или «a куб».

Выражения «а квадрат» и a куб» объясняются тем, что площадь квадрата со стороной а см равна уравнение а объем куба с ребром а см равен

Выражение уравнение (а в первой степени) означает само число а, т. е. Показатель степени 1 обычно не пишется.

В выражении уравнение а может быть любым числом, n — только натуральным (натуральными числами называются числа, которые получаются при счете предметов, т. е. 1, 2, 3, 4 и т. д,).

Действие нахождения степени данного числа называется возведением в степень.

Таким образом, возвести какое-либо число в степень значит составить произведение, в котором это число взято сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Или, используя буквенные обозначения, возвести число а в степень n — это значит составить произведение n сомножителей, каждый из которых есть а. Например, возведем 2 в десятую степень:

Возведение в степень — пятое действие алгебры и считается действием третьей ступени.

Если в алгебраическом выражении требуется произвести сначала возведение в степень, а потом действие первой или второй ступени, то скобки можно не писать. Например, уравнение одинаково означают, что сначала а возводится в третью степень, b— во вторую и последним действием выполняется деление. Это же выражение можно записать и так : уравнение

Пример:

Вычислить уравнение

Решение:

Ответ. 2.

Задача:

Полная поверхность куба, ребро которого а м на 25 больше, чем полная поверхность прямоугольного параллелепипеда, длина которого а м ширина b м, высота h м. Составить уравнение, выражающее зависимость между a, b, h.

Решение:

Полная поверхность куба уравнение Полная поверхность параллелепипедaили, при другом способе подсчета,

Значит, уравнение

Ответ. уравнение

Законы арифметических действий

Из арифметики известно, что сложение подчиняется двум законам, переместительному и сочетательному.

Переместительный закон сложения. Сумма двух
слагаемых не зависит от порядка расположения слагаемых.

Например, 5 + 7 = 12 и 7 + 5 = 12. Пользуясь буквами для
обозначения чисел, этот закон можно формулировать еще так:
Каковы бы ни были числа а и b,

a+b = b+a.

Сочетательный закон сложения. Сумма трех слагаемых не зависит от того, какие два из них сложены вначале — первые пли последние.

Например, (3 +5) + 7 = 3 + (5 +7). Пользуясь буквами для
обозначения чисел, этот закон можно формулировать так: Каковы бы ни были числа а, b, с,

(a + b) + c = a + (b + c).

Из этих двух законов сложения вытекает, что при’ сложении нескольких чисел можно слагаемые располагать в любом порядке и соединять их в любые группы. Например,

Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести несколько раз сложение и других действий производить не нужно, то

1) все скобки можно опустить,
2) слагаемые можно переписать в любом порядке,
3) можно скобки вновь расставить любым образом.
Например,

Из арифметики известно, что умножение также подчиняется двум законам: переместительному и сочетательному.

Переместительный закон умножения. Произведение двух сомножителей не зависит от порядка расположения сомножителей, т. е. каковы бы ни были числа а и b,

аb = bа.

Например, уравнение

Сочетательный закон умножения. Произведение трех
сомножителей не зависит от того, какие два из них
перемножены вначале — первые или последние, т. е. каковы бы ни были числа а, b, с,

(ab)c = a(bc).

Из переместительного и сочетательного законов умножения вытекает, что при умножении нескольких чисел можно сомножители располагать в любом порядке и соединять их в любые группы. Например,

Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести несколько раз умножение и других действий прозводить не нужно, то

1) все скобки можно опустить,
2) сомножители можно переписать в любом порядке,
3) можно скобки вновь расставить любым образом. Например,

Часто приходится умножать однозначное число на двузначное. Например, уравнение Мы можем считать так: 30+21= 51; значит

Или то же самое в другой записи:

Прием, которым мы пользовались, основан на распределительном законе умножения относительно сложения.

Распределительный закон умножения относительно сложения. Для того чтобы какое-нибудь число умножить на сумму двух или нескольких чисел, достаточно это число умножить на каждое слагаемое в отдельности и полученные произведения сложить, т. е. каковы бы ни были числа a, b, c,d и m,

Распределительный закон умножения относительно сложения можно очень наглядно объяснить геометрически. Пусть имеется три прямоугольника с одинаковым основанием а см и высотами уравнение (рис. 1) и требуется вычислить сумму S их площадей.

Мы можем решить эту задачу так: площадь первого прямоугольника уравнение площадь второго прямоугольника площадь третьего прямоугольника сумма площадей трех прямоугольников

Мы можем, однако, поступить и следующим образом. Приложим прямоугольники друг к другу основаниями и составим из них один прямоугольник (рис. 2). У этого прямоугольника основание а, а высота равна сумме высот данных прямоугольников, т. е. высота равна

Очевидно, что площадь прямоугольника, составленного из трех данных прямоугольников, равна сумме площадей данных прямоугольников, т. е.

Сравнивая оба выражения для S, имеем:

Эта формула и выражает распределительный закон умножения относительно сложения. Рассмотрим некоторые применения распределительного закона.

Задача:

Умножить уравнение нане превращая смешанных чисел в неправильные дроби.

Решение:

Задача:

Пользуясь распределительным законом умножения относительно сложения, показать, a что 20a+17а = 37а, где а — любое число.

Решение:

20а+ 17a = (20+17) • а = 37а. Ответ. 37а.

Об обратных действиях

Мы рассмотрели свойства двух основных арифметических действий— сложения и умножения. Сейчас мы займемся обратными действиями —вычитанием и делением.

Вычитание — действие, обратное сложению. Деление — действие, обратное умножению. Внимательное изучение обратных действий показывает, что они обладают одной особенностью: они не всегда выполнимы, в то время как прямые действия (сложение и умножение) выполнимы всегда.

В самом деле, какие бы два числа нам ни задали, мы всегда можем их сложить или перемножить. Иначе обстоит дело с вычитанием и делением.

Вычитание можно производить .во всех случаях, когда
уменьшаемое не меньше вычитаемого (т. е. больше его или равно ему). Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, вычитание производить нельзя.
Другими словами: выражение а — b имеет смысл, если а не меньшее; если же а меньше b, выражение а — b не имеет смысла.

Рассмотрим теперь деление. Если бы мы не знали дробей, мы во многих случаях не могли бы производить деление,и должны были бы говорить, что выражение уравнение не всегда имеет смысл. В самом деле, что может сказать о выражении 7:15 илитот, кто не знает дробей (например, ученик младшего класса школы)? Он должен сказать: деление здесь выполнить нельзя, выражение это не имеет смысла. Мы же знаем дроби, и поэтому для нас выражение уравнение имеет смысл при любом а как целом, так и дробном и при любом b, кроме одного
случая. Именно, выражение не имеет смысла, если b=0. Другими словами: деление всегда возможно, кроме деления на нуль. На нуль делить нельзя!

Возникает вопрос: чем вызвано запрещение делить на нуль?

Попробуем разделить какое-нибудь число на нуль, например 2. Чтобы выполнить деление, мы должны отыскать такое число, которое при умножении на нуль дало бы в произведении 2. Но такого числа нет, так как произведение любого числа на нуль равно нулю. По той
же причине нельзя разделить на нуль и всякое другое число, отличное от нуля, например уравнение т. п.

Остается рассмотреть деление нуля на нуль. Чтобы выполнить деление в этом случае, мы должны найти такое число, которое при умножении на нуль даст в произведении нуль. Этим свойством обладает любое число, так как произведение любого числа и нуля равно
нулю:

Таким образом, в качестве частного от деления нуля на нуль с одинаковым правом можно было бы взять любое число. По этой причине действие деления нуля на нуль не имеет смысла, так как у нас все равно нет никаких оснований для выбора определенного ответа. Более того, при неосторожном обращении с делением можно, выполнив незаметно для себя деление на нуль, получить неверные результаты. Вот почему в математике принято правило: На нуль делить нельзя.

Выражение уравнение при любом а не имеет смысла. На нуль делить нельзя.

В гл. II будет показано, что вычитание из меньшего числа большего становится возможным, если к известным нам числам присоединить так называемые отрицательные числа. Таким образом, будет показано, что выражение а — b имеет смысл также и при а меньшем b. Иначе обстоит дело с делением на нуль. Деление на нуль остается невозможным и при дальнейших присоединениях к известным нам целым и дробным числам еще и других, пока не известных нам, чисел.

Свойства арифметических действий

Из курса арифметики известны следующие свойства арифметических действий.

Свойство 1. Если сумма составлена из двух слагаемых, то каждое слагаемое равно сумме без другого слагаемого, т. е. если а = b+с, то b= а -с; с = а — b.

Этим свойством пользуются при проверке сложения вычитанием. Пользуясь этим свойством, легко решить следующую задачу.

Задача:

При каком значении х справедливо 15+x = 35?

Решение:

Здесь х — слагаемое, 15 — другое слагаемое, 35 — сумма. Значит, x = 35 — 15; x = 20.
Ответ. При x=20.

Свойство 2. Уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности т. е. если а — b = с, то а = b+с. Этим свойством пользуются при проверке вычитания сложением.

Задача:

При каком значении х справедливо х — 3 = 20?

Решение:

Здесь х — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 20 — разность. Значит, х = 3+20; х = 23.
Ответ. При x = 23.

Свойство 3. Вычитаемое равно уменьшаемому минус разность, т. е. если а — b = c, mo b = a — с.

Задача:

При каком значении х справедливо 25 — x=17?

Решение:

Здесь х — вычитаемое, 25 — уменьшаемое, 17 —
разность. Значит, x = 25—17; x=8.
Ответ. При х = 8.

Свойство 4. Если произведение составлено из двух
сомножителей, то каждый сомножитель равен произведению, деленному на другой сомножитель, при условии, что этот другой сомножитель не равен нулю; т. е. если уравнение (знак читается: не равно), то Этим свойством пользуются при проверке
умножения делением.

Замечание. Обратим внимание на оговорку: «при условии, что этот другой сомножитель не равен нулю». Эта оговорка вызвана тем, что на нуль делить нельзя. При использовании свойства 4 эту оговорку забывать нельзя, иначе можно прийти к ошибочным выводам.

Задача:

При каком значении х справедливо 27x=135?

Решение:

Здесь х — сомножитель, 135 — произведение, 27 — другой сомножитель. Значит, уравнение Ответ, При x = 5.

Свойство 5. Делимое равно произведению делителя на
частное, т. е. если уравнение Этим свойством пользуются при проверке деления умножением.

Задача:

При каком значении х справедливо уравнение

Решение:

Здесь х — делимое, 3 — делитель, 7 — частное.
Значит, уравнение Ответ. При x= 21.

Свойство 6. Делитель равен делимому, деленному на
частное, если только это частное не равно нулю, т. е. если уравнение

Задача:

При каком значений х справедливо уравнение

Решение:

Здесь х — делитель, 42 — делимое, 14 — частное. Значит, уравнение Ответ. При x= 3.

Уравнения с одним неизвестным

Рассмотрим еще раз задачу, которую мы уже решили в § 2.

Задача:

На одной полке m книг, на другой полке n книг,
на обеих полках вместе р книг. Составить уравнение, выражающее зависимость между m,n,p. Чему равно n, если m = 5, p=20?
Решение состоит из двух частей. В первой части решения составляется требуемое уравнение

Во второй части решения дадим ответ на вопрос, поставленный в задаче. Сделать это можно так. В уравнении (1) заменяем m числом 5, р — числом 20. Получаем уравнение

В уравнении (2) содержится одна буква n, значение которой надо определить. Иными словами, уравнение (2) есть уравнение с одним неизвестным.

Теперь из уравнения (2) нужно узнать, чему равно n, или, как говорят, нужно решить уравнение (2). С такой задачей мы уже встречались в предыдущем параграфе.

При каком значении n справедливо 5+n = 20? Здесь n —
слагаемое, 20 — сумма, 5 — другое слагаемое. Значит, n = 20 — 5; n =15.

Мы узнали из уравнения (2), что n=15. Тем самым мы решили уравнение (2); оказалось, что значение n = 15 есть решение уравнения (2). Или, как говорят, значение n = 15 удовлетворяет уравнению (2).
Ответ, n= 15.

Определение:

Равенство, содержащее одну букву, значение которой надо найти, называется уравнением с одним неизвестным. Решить уравнение с одним неизвестным, это значит узнать, при, каком значении неизвестного обе части уравнения имеют одинаковые
числовые значения. Значение неизвестного, при котором обе части уравнения имеют одинаковые числовые значения, называется решением уравнения (или его корнем).

При решении задачи 1 можно было поступить и так. В
уравнении (1) n — слагаемое, р — сумма, m — другое слагаемое. Значит,

Посредством уравнения (3) мы выразили n через р и m или, как говорят, решили уравнение (1) относительно n. В уравнении (3) заменим р и m их значениями, получим n=20 — 5; n=15.

Решить уравнение относительно какой-нибудь буквы — это значит узнать, как эта буква выражается через остальные величины, входящие в данное уравнение.

Замечание:

Не всякое уравнение имеет решение. Так, например, уравнение 1+x=10+x не имеет решения. (При любом значении х правая часть на 9 больше левой.)

Понятие о тождестве

Существуют уравнения, которым удовлетворяет любое число. Так, например, уравнению 1 +x = 1 +х удовлетворяет любое число. Такие уравнения называются тождествами. Вообще тождествами
называются равенства, справедливые при любых (допустимых) значениях входящих в них букв. Тождествами называются также справедливые равенства, не содержащие букв (числовые тождества).

Эти равенства справедливы при любых значениях входящих в них букв. Равенство

также является тождеством, так как оно справедливо при всех значениях х, кроме x=1; значение х=1 здесь недопустимо. Равенство уравнение — числовое тождество.

Для того чтобы доказать, что уравнение решено правильно (а проверка решения желательна всегда, так как в вычислениях могла быть сделана ошибка), достаточно подставить в уравнение вместо неизвестного найденное решение и убедиться, что в результате этого уравнение превращается в числовое тождество.

Задача:

Является ли x=2 решением уравнения

Решение:

Подставим в уравнение вместо х число 2. В левой части получим В правой части получим Уравнение превратилось в тождество Значит, x= 2 есть решение данного уравнения.
Ответ. Да.

Задача:

Является ли х=3 решением уравнения
5х— 1 = 7х + 3?

Решение:

Подставим вместо х число 3. В левой части
получим 14, в правой 24. Уравнение не обратилось в тождество, следовательно, х=3 не является его решением.
Ответ. Нет.

Понятие о решении задач при помощи уравнений

Вернемся еще раз к задаче, которую мы рассмотрели в
предыдущем параграфе, для того чтобы сделать весьма важный вывод.

«На одной полке m книг, на другой n книг, на обеих полках вместе р книг. Составить уравнение, выражающее зависимость между m,n,p. Чему равно n, если m=5; p = 20?»

Мы получили такой ответ: m+n=p; если m = 5, р = 20, то n= 15.

Вторая часть ответа («если m= 5, р = 20, то n =15») означает, что мы решили такую задачу: «На одной полке 5 книг. Сколько книг на другой полке, если на обеих полках вместе 20 книг?»

Каким же путем решена эта задача? Решение состояло из двух частей: в первой части решения было составлено уравнение, выражающее зависимость между числом книг на одной полке (m), числом книг на другой полке (n) и числом книг на обеих полках вместе (р); во второй части решения полученное уравнение было решено относительно n при условии, что m = 5; р = 20.

Обратим на это внимание и перейдем к рассмотрению другой задачи.

Задача:

Какое расстояние проходит пароход вверх по реке за 10 часов, если скорость парохода в стоячей воде 14 км/час, а скорость течения реки 3 км/час.

Решение:

Это довольно простая задача, и она легко решается арифметически. Действительно, за каждый час пароход продвигается на 11 км (14 — 3 = 11). Значит, за 10 часов пароход проходит 110 км. Но нам сейчас интересно решить эту задачу не арифметическим путем, а алгебраическим, при помощи уравнений.

С этой целью используем уравнение, выражающее зависимость между величинами S, V, v и t, где S — путь (в км), пройденный пароходом против течения реки за t час., если скорость парохода в стоячей воде V км/час, а скорость течения реки v км/час» Вот это уравнение (см. § 2):

Способ 1. По условию задачи t=10; V=14; v = 3. Подставив
эти данные в уравнение (1), получим уравнение

Решив уравнение (2), имеем S = 110. Задача решена.

Способ 2. Решим уравнение (1) относительно S. Имеем S = t (V — v). По условию, S=10(14 — 3), т.е. S= 110.
Ответ. 110 км.

Заметим, что и здесь решение задачи состоит из двух частей.

В первой части было составлено уравнение, выражающее зависимость между величинами, входящими в условие задачи. Во второй части решения это уравнение было решено относительно S при условии, что t = 10; V=14; v = 3. Обратим внимание на это и рассмотрим еще задачу.

Задача:

Через один кран ванна наполняется за 10 мин. Если открыть оба крана, ванна наполнится за 4 мин. За сколько времени наполнится ванна, если открыть только второй кран?

Решение:

Мы используем уравнение :

которое нами было составлено раньше (см. §2,последняя задача).

Способ 1. По условию задачи здесь а =10;t = 4; b неизвестно. Подставив эти данные в уравнение (3), получим

Так как слагаемое равно сумме без другого слагаемого, то

Так как делитель равен делимому, деленному на частное, то

Способ 2. Решим уравнение (3) относительно b. Получим

Теперь положим t= 4; а= 10. Получим

Рассмотренные задачи позволяют сделать вывод, что решение задачи при помощи уравнений состоит из двух частей:

1) сначала составляется уравнение, выражающее зависимость между величинами, входящими в условие задачи (как известными по условию, так и неизвестной);

2) затем составленное уравнение решается относительно неизвестной величины.

Решение задач при помощи уравнений

До сих пор мы решали такие задачи, которые позволяли
использовать уравнения, составленные ранее. А как поступать в том случае, когда уравнение, выражающее зависимость между величинами, входящими в условие задачи, не было ранее составлено? Как составить это уравнение?

Рассмотрим еще раз задачу, которую мы решили в предыдущем параграфе.

Задача:

Решение:
1) Ранее было составлено уравнение

2) По условию задачи а =10; t = 4. Поэтому имеем

3) Решив уравнение (2), получаем

Главное здесь заключается в составлении уравнения (2). Это уравнение выражает зависимость между величинами, рассматриваемыми в задаче, как известными (10 и 4), так и неизвестной (b).

Для того чтобы сразу из условия задачи получить уравнение (2), достаточно неизвестную величину (количество минут, в течение которых ванна наполняется через второй кран) обозначить какой-нибудь буквой и составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, входящими в условие задачи. При этом мы рассуждаем точно так же, как мы рассуждали бы, решая такую задачу:

«Через один кран ванна наполняется за 10 мин., через другой кран за b мин. Если открыть оба крана, то ванна наполнится за 4 мин. Составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, входящими в условие задачи».

Разберем подробно еще одну задачу.

Задача:

Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них шел со скоростью 40 км/час. С какой скоростью шел второй поезд, если поезда встретились через 7 часов после их выхода?

Решение:

В условие задачи входят четыре величины:
1) расстояние между городами (500 км),
2) скорость одного поезда (40 км/час),
3) время пребывания поездов в пути до их встречи (7 час),
4).скорость второго поезда.

Три из этих величин известны, а четвертая (скорость второго поезда) неизвестна и ее нужно найти. Обозначим эту величину буквой v, т. е. будем считать, что скорость второго поезда v км/час.

Составим уравнение, выражающее зависимость между всеми четырьмя величинами, входящими в условие задачи. При этом мы будем рассуждать так, как мы рассуждали бы, решая такую задачу:

«Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них шел со скоростью 40 км/час, другой со скоростью v км/час. Поезда встретились через 7 часов после их выхода. Составить уравнение, выражающее зависимость между, величинами, входящими в условие
задачи».

Составим уравнение.

Первый поезд до встречи прошел 280 км (40*7 = 280), второй поезд до встречи прошел 7v км. Вместе оба поезда прошли все расстояние между городами 500 км. Значит,

Уравнение составлено. Решаем его:

Проверка. Первый поезд до встречи прошел 280 км, второй поезд прошел 220 км уравнение Оба поезда прошли 500 км (280 + 220 = 500). Задача решена правильно.
Ответ. Второй поезд шел со скоростью

Рассмотрим еще несколько задач.

Задача:

Два пионерских отряда посадили вместе 50 деревьев Первый отряд посадил 26 деревьев. Сколько деревьев посадил второй отряд?

Решение:

Обозначим число деревьев, посаженных вторым отрядом, буквой х, Тогда оба отряда посадили вместе (26 + x) деревьев. Но, по условию, оба отряда посадили вместе 50 деревьев. Значит,26 + x = 50.
Решив это уравнение, получим x = 24.
Проверка. 26 + 24 = 50. Задача решена верно.
Ответ. 24 дерева.

Задача:

За несколько одинаковых книг, каждая из которых стоит 2 руб. 65 коп., уплачено 39 руб. 75 коп. Сколько куплено книг?

Решение:

Обозначим число купленных книг буквой x Тогда все купленные книги стоят 2,65x руб.
По условию задачи, за книги уплатили 39 руб. 75 коп. Значит 2,65x = 39,75. Уравнение составлено. Решив его, получаем x=15. Проверка. 15 книг по 2 руб. 65 коп. каждая стоят 39 руб. 75 коп. Задача решена верно.
Ответ. 15 книг.

Задача:

За 5 одинаковых тетрадей и блокнот заплачено 2 руб. Сколько стоит одна тетрадь, если блокнот стоит 1 руб.?

Решение:

Обозначим буквой х стоимость тетради (в рублях). Тогда 5 тетрадей стоят 5х руб., 5 тетрадей и блокнот стоят (5x+1) руб. Значит, 5x+1= 2; 5x:=1; x = 0,2 руб. Проверка. 5 тетрадей стоят 1 руб., 5 тетрадей и блокнот стоят 2 руб. Задача решена правильно.
Ответ. Тетрадь стоит 20 коп.

Задача:

Токарь должен был выполнить заказ, рассчитанный по норме на 29 рабочих дней. Проработав 5 дней и выполняя каждый день установленную норму, он начал работать новым способом и досрочно закончил выполнение заказа. Во сколько дней токарь выполнил весь заказ, если новый способ повысил производительность его труда в 4 раза.

Решение:

Предположим, что новым способом токарь работал х дней. Тогда за эти х дней он выполнил 4х дневных нормы. Кроме того, он старым способом выполнил 5 дневных норм. По условию задачи весь заказ был рассчитан на 29 дневных норм. Значит,

4x + 5 = 29.

Уравнение составлено. Решая его, имеем

4x = 24; x = 6.

Выходит, что новым способом токарь работал 6 дней, а весь эаказ он выполнил за 11 дней.

Проверка. За 5 дней работы старым способом выполнено 5 дневных норм, за 6 дней работы новым способом выполнено 24 нормы. Всего за 11 дней выполнено 29 норм. Задача решена верно.
Ответ. Весь заказ выполнен за 11 дней.

Сравнивая решение последней задачи с решениями трех предыдущих задач, можно обнаружить следующее различие. В каждой из трех предыдущих задач мы буквой х обозначали искомое число. Так, в первой из них спрашивалось, сколько деревьев посадил второй отряд, и мы буквой х и обозначили число деревьев,
посаженных вторым отрядом. Во второй из них спрашивалось, сколько куплено книг, и мы буквой х как раз и обозначили число купленных книг. В третьей задаче спрашивалось, сколько стоит одна тетрадь, и мы и здесь буквой х обозначили искомое число.

Совсем иначе поступили мы при решении последней задачи.- В условии задачи спрашивалось: «Во сколько дней токарь выполнил весь заказ?» Мы же буквой х обозначили число только тех дней, в течение которых токарь заканчивал работу новым способом. Почему же мы так поступили? Мы заметили, что так проще составляется уравнение и что, зная число дней, в течение которых токарь заканчивал выполнение заказа, нетрудно будет прибавить 5 дней, использованных на выполнение первой части заказа.

Впрочем, вот и другое решение, где буквой х обозначено искомое число.

Второе решение последней задачи. Предположим, что весь заказ токарь выполнил в х дней. Тогда он новым способом работал (х — 5) дней. За (х — 5) дней он выполнил 4 (x — 5) норм. За х дней он выполнил [5+4(x — 5)] норм. Значит,
5+4(x — 5) = 29.
Уравнение составлено. Решая его, имеем
4(х— 5) = 24; х — 5 = 6; x=11.
Ответ. Весь заказ выполнен в 11 дней.

Теперь мы можем сделать следующий вывод:
Вывод. Решение задачи при помощи уравнений состоит из следующих частей: а) составления уравнения, б) решения уравнения, в) проверки решения.

Уравнения с буквенными коэффициентами

Мы знаем, что задачи могут быть предложены как в частном, так и в общем виде. Если все данные в условии задачи величины выражены числами, то задача дана в частном виде. Если же хоть одна из величин, данных в условии задачи, выражена буквой, задача дана в общем виде.

Когда задача дана в частном виде, решение ее приводит к уравнению с числовыми коэффициентами. Когда же задача дана в общем виде, решение ее приводит к уравнению с буквенными коэффициентами.

Так как буквы обозначают у нас числа, решение уравнений с буквенными коэффициентами производится по тем же правилам, что и решение уравнений с числовыми коэффициентами. Здесь только нужно следить, чтобы при решении не вкралось деления на нуль.

Для примера рассмотрим опять известную уже нам задачу.

Задача:

Сколько времени потребуется пловцу, чтобы пройти вверх по реке 0,2 км, если пловец в стоячей воде проходит 3 км/час, а скорость течения реки 2 км/час?

Решение:

Предположим, что пловец пройдет указанное расстояние в х час. Тогда 0,2 = (3— 2)x; x = 0,2.
Ответ. 12 мин.

Теперь рассмотрим ту же задачу в несколько более общем виде.

Задача:

Сколько времени потребуется пловцу, чтобы пройти вверх по реке 0,2 км, если пловец в стоячей воде проходит V км/час, а скорость течения реки v км/час, причем V не меньше v;?

Решение:

Предположим, что пловец пройдет указанное расстояние в х часов. Тогда уравнение откуда

Но здесь нужно быть осторожным. Равенство (2) можно писать только тогда, когда мы уверены, что уравнение т. е. V больше v. Между тем из условия задачи этого не видно. Разве не может V — v= 0? Иными словами, разве не может скорость пловца в стоячей воде численно равняться скорости течения реки? Конечно, может. Но в этом случае пловец будет находиться на одном месте и никогда не пройдет указанного расстояния. Значит, задача в этом случае решения не имеет. Таким образом, не случайно равенство (2) при V=v теряет смысл.

Теперь ясно, что при решении нашей задачи необходимо рассмотреть два случая:

Итак, имеем уравнение 0,2 = (V — v)x.

Случай 1. 1. уравнение Тогда Это равенство дает общее решение задачи.

Случай 2. V—v = 0. В этом случае равенством (2) пользоваться нельзя.

Как же поступать в таких случаях, когда равенством, дающим общее решение задачи, пользоваться нельзя?

В случае, когда равенством, дающим общее решение задачи, пользоваться нельзя, надо внимательно учесть особенности задачи и, опираясь на них, дать решение. Мы так и поступили. Именно, мы заметили, что в случае, когда V = v, пловец будет находиться на месте и никогда не пройдет 0,2 км против течения реки.

Если бы задача была более сложной, условие ее следовало бы переписать специально для рассматриваемого случая и вновь ее решить. Поясним это на нашей задаче. Если V = v, условие задачи запишется так:

Задача:

Сколько времени потребуется пловцу, чтобы пройти вверх по реке 0,2 км, если пловец в стоячей воде проходит V км/час и скорость течения реки также V км/час?

Решение:

Предположим, что пловец пройдет указанное расстояние в х часов. Тогда

Уравнение (3) решения не имеет.

Замечание. Уравнение (3) мы могли бы получить сразу из уравнения (1), положив в нем v = V.

Линейные уравнения

Определения: Выше мы говорили, что любое предложение, относительно которого можно сказать, является оно истинным или ложным, называется высказыванием. Многие равенства с переменными являются высказываниями. Например, предложение «при любых а и b справедливо равенство Уравнение истинное высказывание, а предложение «при любых а и b справедливо равенство ложное высказывание.

Но существуют равенства с переменными, которые нельзя считать высказываниями. Например, Уравнение не есть высказывание. Если же в этом равенстве переменной х дать конкретное значение, то получится высказывание, истинное (при или ложное (при Относительно любого равенства с переменными могут быть поставлены две задачи:

Доказать, что на некотором заданном множестве, т. е. для всех элементов множества, это равенство с переменными обращается в истинное высказывание. В этом случае говорят, что требуется доказать тождество. Например, можно доказать, что следующие равенства являются тождествами:

Уравнение на множестве всех действительных чисел;

Уравнение на множестве

Уравнение на одноэлементном множестве

2.Найти такое множество, на котором это равенство с переменными обращается в истинное высказывание. В этом случае говорят, что требуется решить уравнение.

Равенство с переменными называется уравнением, если ставится задача найти все те значения переменных, при которых получается истинное высказывание.

Пусть дано уравнение с одной переменной. Значение переменной, при котором получается верное равенство, называется корнем или решением уравнения.

Примеры:

1. Уравнение имеет единственный корень (при этом и только при этом значении х равенство с переменной превращается в истинное высказывание 3 + 4 = 7).

Множество корней данного уравнения состоит из одного элемента 4. Записывается это так: {4}.

2.Уравнение имеет два корня х=1 и x=2

Таким образом, множество решений имеет вид Уравнение

3. Уравнение имеет бесконечное множество корней (любое неотрицательное число является корнем этого уравнения)-

4. Уравнение не имеет корней. В этом случае ответ записывается так:

Решить уравнение—значит найти множество его корней.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Например, уравнения являются равносильными, так как у первого уравнения один корень х = 3 и второе уравнение имеет также один корень х = 3.

В процессе решения уравнения стараются заменить его более простым но равносильным данному. Поэтому важно знать, какие преобразования не связаны с нарушением равносильности.

Теорема:

Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другию с переменой знака, то получится новое уравнение, равносильное данному.

Доказательство:

Пусть дано уравнение

Перенесем слагаемое Уравнение в левую часть уравнения (с переменой знака):

Докажем, что уравнения (1) и (2) равносильны. Пусть Уравнение корень уравнения (1), т. е. справедливо числовое равенство Тогда a это означает, что —корень уравнения (2).

Итак, мы доказали, что всякий корень уравнения (1) является в то же время корнем уравнения (2).

Докажем теперь, что верно и обратное, т. е. всякий корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1). Пусть Уравнение —корень уравнения (2), т. е. верно числовое равенство Тогда а это означает, что —корень уравнения (1).

Теорема:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Линейные уравнения

Уравнения вида Уравнение где х—переменная, а а и b—действительные числа, причем называются линейными. Числа а и b называются коэффициентами уравнения. Решение линейных уравнений основано из двух сформулированных выше теоремах.

Примеры:

1. Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение линейное, здесь Решение проведем двумя способами.

Первый способ. По теореме 1 уравнение равносильное данному.

Разделим обе части этого уравнения на коэффициент при х, что, по теореме 2, приводит к равносильному уравнению; тогда

Уравнение корень уравнения.

Второй способ. Умножим обе части заданного уравнения на 15 (такое преобразование называется освобождением от знаменателя)

Полученное уравнение равносильно данному по теореме 2. Далее имеем:

2.Решить уравнение

Решение:

Освободимся от знаменателя, для чего умножим обе части уравнения на 21:

и далее:

3.Решить уравнение

Решение:

Имеем последовательно:

Перенесем все члены уравнения из правой части уравнения в левую, меняя при этом знаки:

После приведения подобных членов получим

Уравнение с переменной в знаменателе

Рассмотрим уравнения вида

где х—переменная, а и b—действительные числа, Р (х) — многочлен, а также уравнения, сводимые к указанному виду.

Решение уравнения вида (3) основано на следующем утверждении: дробь m/n равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на ноль делить нельзя!). Записывают это так:

Таким образом, чтобы решить уравнение вида (3), нужно сначала найти корень линейного уравнения а затем выяснить, является ли при найденном значении переменной х истинным высказывание Если это высказывание истинно, то найденный корень линейного уравнения является и корнем уравнения (3); если же это высказывание ложно (истинно высказывание то уравнение (3) не имеет решений.

Примеры:

1. Решить уравнение

Решение:

Воспользовавшись указанным выше условием равенства дроби нулю, получим систему

Из уравнения Уравнение находим

Так как высказывание Уравнение истинно, то — корень заданного уравнения.

2.Решить уравнение

Решение:

Имеем

Из уравнения Уравнение находим х = 2.

Высказывание — ложно, значит, заданное уравнение не имеет решений

3.Решить уравнение

Решение:

Имеем:

откуда Уравнение

Из уравнения Уравнение находим x=8

Высказывание Уравнение истинно, значит х = 8 — корень заданного уравнения.

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

Напомним, что модуль числа а определяется следующим образом (см. стр. 33):

Примеры:

1. Решить уравнение

Решение:

В силу определения модуля можно написать, что

Это значит, что заданное уравнение распадается на два уравнения: Из уравнения находим x=7/3 Из уравнения находим х=1.

2.Решить уравнение

Решение:

Если и уравнение (4) примет вид: Это можно записать так:

Из.уравнения Уравнение находим Но при этом значении переменной высказывание является ложным, значит, найденное значение не может быть корнем уравнения (4).

Если и уравнение (4) принимает вид

Это можно записать так:

Из уравнения Уравнение находим х = 7/5. Высказывание —истинно, значит х — 7/5— корень уравнения (4).

Решение многих уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, значительно упрощается, если вспомнить, что Уравнение — расстояние от действительного числа а до нуля.

Например, Уравнение (рис. 60).

Аналогично, под Уравнение можно понимать расстояние между действительными числами

Например, Уравнение (рис. 61).

Примеры:

Решить следующие уравнения:

Решение:

Надо найти такие точки х, расстояние которых до точки 2 равно 3. Как видно из рис. 62, Уравнение или

Ответ. Уравнение

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения следующим образом

откуда

Окончательно имеем

Решение:

Уравнение откуда

Квадратные уравнения

Определение:

Уравнение вида где а, b, с—действительные числа, причем а х—переменная, называется квадратным уравнением.

Условились множитель а при называть первым (или старшим) коэффициентом, множитель b при х—вторым коэффициентом, а слагаемое с—свободным членом. Если то квадратное уравнение называется приведенным, если то неприведенным.

В определении квадратного уравнения отмечено условие Что же касается чисел b и с, то одно из них или оба могут обратиться в ноль — в этом случае квадратное уравнение называется неполным. Неполные квадратные уравнения решаются с помощью разложения левой части уравнения на линейные множители; если же такое разложение невозможно, то уравнение не имеет решений.

Примеры:

1. Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Если произведение равно нулю, то равен нулю либо первый, либо второй множитель, т. е. либо Уравнение откуда

Заданное уравнение имеет два корня: 0; 2,5.

2.Решить уравнение

Решение:

Имеем:

Уравнение имеет два корня:

Решить уравнение

Решение:

Это уравнение нельзя назвать квадратным, но как мы сейчас увидим, оно преобразуется в неполное квадратное уравнение.

Освободимся от знаменателей, для чего обе части уравнения умножим на 15:

Далее имеем:

Полученное неполное квадратнее уравнение не имеет решенийс так как его левая часть положительна при любом значении переменной а значит, отлична от нуля.

Формула корней квадратного уравнения

В предыдущем пункте мы говорили о том, как решаются неполные квадратные уравнения. А как быть в случае, когда дано полное квадратное уравнение

где Уравнение

Выше мы с помощью приема выделения полного квадрата преобразовали квадратный трехчлен к виду:

Значит, нам нужно решить уравнение

Положим и разделим обе части уравнения (2) на число Получим уравнение

равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1). Поэтому, отыскивая корни уравнения (3), мы тем самым находим и корни уравнения (1).

Итак, рассмотрим уравнение (3). Если то при любых х левая часть уравнения (3) положительна, а значит, уравнение (3) не имеет действительных решений.

Если то уравнение (3) имеет вид:

откуда находим Уравнение единственный корень уравнения (3).

Пусть, наконец, Тогда дробь можно представить в виде а уравнение (3) переписать следующим образом:

Разложив разность квадратов на множители, получим

что, в свою очередь, приводит к совокупности уравнений:

Из первого уравнения находим Уравнение из второго получаем Обычно используют следующую краткую запись:

Если в формуле (4) положить Уравнение то получим Это означает, что формула (4) может применяться не только в случае но и в случае

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения (1). Мы видели, что если то уравнение (1) не имеет корней, если то уравнение имеет один корень, если то уравнение имеет два корня.

Формулу (4) иногда записывают в несколько ином виде:

Здесь Уравнение

Если положить Уравнение то формула (5) примет вид:

Формулой (5) целесообразно пользоваться в тех слу-чаях, когда Уравнение — целое число, т. е. когда коэффициент b есть четное число.

Примеры:

1. Решить уравнение

Решение:

Здесь Так как то уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле (4)

откуда Уравнение

Ответ: Уравнение

2.Решить уравнение

Решение:

Здесь Уравнение

По формуле (4) находим:

Замечание:

Уравнение можно решить и без использования формулы (4). Так как то уравнение можно переписать в виде откуда находим

3.Решить уравнение

Решение:

Имеем Уравнение Так как b — четное число, то удобнее находить не

Так как то уравнение не имеет действительных корней.

4.Решить уравнение

Решение:

Здесь Уравнение тогда значит,

Уравнение имеет два корня:

В заключение заметим, что неполные квадратные уравнения тоже можно решать по формулам (4) и (5). Рассмотрим для примера уравнение Здесь Значит, получаем два корня: 2,5; 0. Выше (пример 1 в п. 1) это уравнение было решено разложением на множители.

Теперь рассмотрим различные уравнения, решение которых сводится к решению квадратных уравнений.

5. Решить уравнение

Решение:

Раскроем скобки в левой части уравнения, а затем приведем подобные члены:

Умножив обе части последнего уравнения на (— 1), получим

Уравнение имеет два корня: 6; 4. 6.

6. Решить уравнение

Решение:

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части уравнения на 24 (наименьшее общее кратное (К) чисел 4, 6, 8). Это преобразование, согласно теореме 2, приводит к уравнению, равносильному данному. Получим:

далее имеем:

Ответ: Уравнение

7. Решить уравнение

Решение:

Это уравнение содержит переменную в знаменателе. Для решения таких уравнений применяются рассуждения, подобные тем, что были проведены выше. Перенесем все члены уравнения в левую часть и преобразуем полученное таким образом выражение в левой части уравнения в дробь:

Воспользовавшись отмеченным выше условием равенства дроби нулю, получим:

Из уравнения Уравнение находим

Высказывание Уравнение ложно, значит, 2 не является корнем заданного уравнения (при знаменатель обращается в ноль).

Высказывание Уравнение истинно, значит, 4 —корень заданного уравнения.

Ответ: Уравнение

8. Решить уравнение

Решение:

Положим Тогда уравнение примет вид откуда находим Но Решив уравнения получаем четырехэлементное множество корней заданного уравнения

Замечание:

Уравнение вида называется биквадратным. В только что рассмотренном примере мы решили биквадратное уравнение методом введения новой переменной Этот метод, как будет показано в следующих примерах, может с успехом применяться для решения многих уравнений.

9.Решить уравнение

Решение:

Положим Уравнение получим

откуда находим Уравнение Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Рассмотрим первое уравнение совокупности. Имеем Здесь значит, уравнение не имеет действительных решений.

Рассмотрим второе уравнение совокупности. Имеем откуда Значит, множество корней заданного уравнения таково:

10. Решить уравнение

Решение:

Имеем:

Заданное уравнение можно переписать в виде

Введем новую переменную, положив Уравнение заметим при этом, что Получим

Теперь остается решить совокупность уравнений

Первое уравнение не имеет решений (проверьте), а из второго находим

Ответ: Уравнение

11. Решить уравнение

Решение:

Положим тогда и уравнение примет вид:

Далее имеем:

Из уравнения находим

Находим :

Значит, уравнение (8) имеет два корня: 12,5; —3.

Будут ли найденные решения уравнений (8) корнями уравнения (7)? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним, будет ли при найденных значениях переменной у истинным высказывание Уравнение

При Уравнение высказывание истинно. При высказывание истинно. Значит, — корни уравнения (7).

Вспомним теперь, что Уравнение Значит, теперь нам нужно решить совокупность уравнений

Из первого уравнения находим Уравнение из второго уравнения получаем

Итак, множество корней заданного уравнения (6) имеет вид:

Рассмотрим еще пример решения уравнения, содержащего переменную под знаком модуля.

12. Решить уравнение

Решение:

Нужно рассмотреть два случая: Если и уравнение (9) примет вид:

Это можно записать так:

Рассмотрим уравнение

Поскольку уравнение не имеет действительных решений (проверьте), то уравнение (10) не имеет корней, а значит, не имеет корней и уравнение (9) в рассматриваемом случае

Пусть теперь Тогда и уравнение (9) примет вил:

Это можно записать так:

Рассмотрим уравнение

Из уравнения Уравнение находим Высказывание ложно, значит, x=3 не является корнем уравнения (II). Высказывание истинно, значит х = 4 — корень уравнения (II).

Осталось выяснить, является ли число 4 корнем уравнения (9). Для этого нужно ответить на вопрос, будет ли при найденном значении переменной х истинным высказывание х < 0 (ведь уравнение (II) получено в случае х < 0). Поскольку высказывание 4 <0 ложно, то х = 4 не является корнем уравнения (9). Таким образом, уравнение (9) не имеет корней.

Теорема Виета

Пусть дискриминант квадратного уравнения положителен. Тогда, как известно, уравнение имеет два корня:

Найдем сумму и произведение корней:

итак, Уравнение

Замечание. При квадратное уравнение имеет один корень: Обычно считают, что при уравнение имеет два равных корня Тогда

Значит, формулы для суммы и произведения корней квадратного уравнения справедливы для любого уравнения, имеющего корни. Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема:

Если квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна а произведение равно

Следствие. Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни то

т. е. сумма корней приведенного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Выведем еще некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения Уравнение

Имеем:

Воспользовавшись формулами (13), получим

Рассмотрим еще сумму кубов корней:

Воспользовавшись формулами (13) и (14), получим

Теорема Виета имеет разнообразные применения. Так, пользуясь этой теоремой (а точнее, ее следствием), можно во многих случаях устно находить корни приведенного квадратного уравнения.

Примеры:

1. Решить уравнение

Решение:

Пусть Уравнение — корни уравнения (мы предположим, что они есть). Тогда — числа одного знака. Далее, значит, —положительные числа. Таким образом, нам нужно найти два положительных числа, сумма которых равна 7, а произведение 12. Легко сообразить, что этими числами являются 3 и 4. Итак, Уравнение корни данного уравнения.

2.Решить уравнение

Решение:

Имеем Уравнение значит, — числа одного знака. Далее, значит, и отрицательные числа. Какие два отрицательных числа дают в сумме —11, а в произведении 30? Это числа —5 и —6.

Итак, Уравнение корни уравнения.

3.Решить уравнение

Решение:

Здесь Уравнение значит, числа разных знаков. Далее, значит, модуль отрицательного корня на 2 больше положительного корня. Нетрудно сообразить, что корни нашего уравнения.

Рассмотрим еще некоторые примеры применения теоремы Виета.

4.Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы заданные числа

Решение:

Будем искать квадратное уравнение в виде где р и q—пока неопределенные коэффициенты. Если а и b — корни записанного уравнения, то

Естественно, возникает мысль выбрать коэффициенты р и q следующим образом: Уравнение

Покажем, что уравнение

на самом деле имеет корни Уравнение

Имеем:

Значит, уравнение (16) можно переписать следующим образом:

Очевидно, что полученное уравнение имеет корни что и требовалось доказать.

Итак, искомое квадратное уравнение имеет вид. где т. е.

Рассмотрим некоторые конкретные случаи. Составим квадратное уравнение с корнями 7 и —3. Будем искать уравнение в виде Имеем получаем

Составим квадратное уравнение с корнями Будем искать уравнение в виде Имеем:

получаем:

5.Пусть — корни уравнения Не вычисляя составить квадратное уравнение с корнями

Решение:

Будем искать требуемое уравнение в виде

По условию Уравнение —корни уравнения или тогда Воспользовавшись формулой (14), получим

Значит: Уравнение

Итак, коэффициенты р и q искомого квадратного уравнения найдены. Уравнение имеет вид

Разложение квадратного трехчлена на множители

Корнем многочлена Р (х) называется такое значение переменной х, при котором Уравнение

Пусть дан квадратный трехчлен Уравнение его корни. Значит, — корни уравнения Тогда по теореме Виета

Воспользовавшись этим, выполним следующие преобразования:

итак,

где Уравнение — корни трехчлена

Полученное тождество (17) называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Примеры разложения на множители. Уравнение

Решение:

Из уравнения Уравнение находим значит,

Решение:

Из уравнения Уравнение находим

поэтому

Решение:

Из уравнения Уравнение находим (устно!) тогда

Решение Уравнение не имеет действительных корней поэтому трехчлен не разлагается на линейные множители.

Системы уравнений

Рассмотрим уравнения с двумя переменными. Пусть дано уравнение При каких значениях переменных х, у получится верное равенство? Если верное равенство, если верное равенство; если же неверное равенство; если верное равенство.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Если дано уравнение с двумя переменными х, у, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной х, а на второе—значение у. Так, решениями уравнения согласно вышеизложенному, будут пары Уравнение а пара решением уравнения не является.

Ясно, что это уравнение имеет и другие решения; более того, уравнение имеет бесконечное множество решений. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например х через у. Выбрав произвольное значение у, вычислим соответствующее значение х. Например, если Уравнение т. е. пара (31; 7) тоже является решением нашего уравнения. Вообще, множество решений заданного уравнения можно записать так:

Впрочем, можно было у выразить через х: Уравнение Тогда множество решений заданного уравнения запишется следующим образом:

Рассмотрим еще одно уравнение с двумя переменными

Выразив у через х, получим Уравнение Тогда множество В решений уравнения можно записать следующим образом:

Выпишем некоторые решения: (0; —25/6), (10; 0), (—1,-33/8), (—2;—4). Замечаем, что среди решений рассмотренного ранее уравнения Уравнение и уравнения есть общие — (10; 0) и (—2; 4). Эти пары принадлежат пересечению множеств А и В.

Если ставится задача найти все общие решения двух или нескольких уравнений, то говорят, что надо решить систему уравнений.

Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящее в систему, называется решением системы уравнений.

Решить систему—значит найти множество ее решений. Если А — множество решений первого уравнения, а В— множество решений второго уравнения, то множество С решений системы этих уравнений есть пересечение множеств Уравнение

Так, система уравнений

имеет следующие решения: (10; 0) и (—2; —4). Правда, пока мы не можем утверждать, что указанная система решена — ведь она может иметь и другие решения, кроме двух найденных (позднее мы увидим, что на самом деле других решений эта система не имеет).

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если, в частности, обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными.

Мы говорили уже о том, что при решении уравнения с одной переменной заменяют одно уравнение другим, более простым, но равносильным данному. При решении систем уравнений обычно поступают аналогично: заменяют одну систему другой, более простой или по каким-либо причинам более «удобной» для нас, но равносильной первоначальной. Возможность такой замены обусловлена следующими двумя теоремами, которые мы приводим без доказательства.

Теорема:

Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

Так, системы

равносильны: мы заменили уравнение равносильным уравнением а уравнение оставили без изменения.

Аналогично, равносильными будут системы

Здесь первое уравнение системы оставлено без изменения, а второе заменено равносильным (обе части второго уравнения мы разделили на 8).

Следствие:

Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.

Так, равносильными будут системы

Теорема:

Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Так, системы

равносильны: мы заменили уравнение суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение оставили неизменным.

Аналогично, равносильными будут системы

Здесь первое уравнение неизменно, а второе уравнение первой системы заменено разностью второго и первого ее уравнений.

Остановимся на основных методах решения систем.

Метод подстановки

Пусть дана система

Первое уравнение этой системы можно считать уравнением с двумя переменными х и у, для этого достаточно переписать уравнение в виде Решением этого уравнения является любая пара вида (4, у), где у—любое действительное число. Ясно, что не всякая пара (4, у) является решением второго уравнения заданной системы: если х = 4, то уравнение обращается в уравнение откуда находим у = 3. Итак, если х=4, то только пара (4; 3) является решением уравнения Поскольку эта пара, как всякая пара вида (4; у), является в то же время и решением первого уравнения системы (1), то (4; 3) — решение системы (1) и притом единственное.

Фактически система (1) решена следующим образом: значение переменной х, определяемое первым уравнением, подставлено вместо х во второе уравнение. Из полученного таким образом уравнения с переменной у найдено соответствующее значение у.

Такой метод решения системы носит название метода подстановки и используется довольно часто, но, как правило, несколько более общим образом: одно из уравнений системы преобразуют к виду, разрешенному относительно одной переменной, например, у выражают через х. Далее, полученное выражение подставляют вместо у во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной х. Находят корни этого уравнения, а затем, воспользовавшись выражением у через х, находят соответствующие значения у.

Примеры:

1. Решить систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения находим Подставим выражение вместо х во второе уравнение системы, тогда

и далее

Соответствующие значения х найдем из уравнения Уравнение Если

Итак, система имеет два решения: Уравнение т. е. множество решений системы таково:

2.Решить систему уравнений

Решение:

Из второго уравнения системы находим Подставив выражение вместо у в первое уравнение системы, получим:

Полученное высказывание является ложным при любом х. Это значит, что заданная система уравнений не имеет решений (множество ее решений пусто).

Метод сложения

Суть этого метода поясним на примерах.

Примеры:

1. Решить систему уравнений

Решение:

Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

равносильную данной по теореме 1

Сложим теперь оба уравнения полученной системы. По теореме 2 система

будет равносильна системе (3). Система (4) преобразуется к виду:

Из уравнения находим х = 5. Подставив это значение в уравнение находим у = -1.

Итак, (5; -1)—решение системы (4), а значит, и решение равносильной ей системы (2).

2.Решить систему уравнений

Решение:

Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожаются члены, содержащие переменные во второй степени:

Мы приходим к более простой системе

которую нетрудно решить методом подстановки:

Из второго уравнения последней системы имеем.

Так как Уравнение то при у=2 получаем х= 1, при у = 117/146 получаем

Итак, заданная система имеет два решения: (1; 2); (—239/146; 117/146).

3.Решить систему уравнений

Решение:

Умножим обе части второго уравнения системы па 20 и вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы:

Второе уравнение системы (6) преобразуется к виду:

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно х. Применив формулу корней квадратного уравнения, получим:

Итак, уравнение (7) распадается на два уравнения: и в соответствии с этим система (6) распадается на две системы (получается совокупность двух систем):

Каждая из этих систем решается методом подстановки (сделайте это!). Ответ: Уравнение

Метод введения новых переменных

Этот метод мы также рассмотрим на примерах.

1.Решить систему уравнений

Решение:

Положим тогда первое уравнение системы (8) примет вид: откуда находим: Значит, первое уравнение системы (8) равносильно совокупности двух уравнений:

Соответственно система (8) распадается на две системы:

Каждая из систем решается методом подстановки, при этом вторая система не имеет действительных решений.

Ответ: Уравнение

2. Решить систему уравнений

Решение:

Положим Уравнение Тогда система (9) примет вид:

откуда находим

Возвращаясь к переменным х и у, получим

Последняя система, а с нею и заданная система (9), имеет единственное решение (1; 0).

Графическое решение уравнений и систем уравнений

Графическое решение уравнений с одной переменной

На практике довольно часто оказывается, что решение уравнения Уравнение сопряжено с громоздкими выкладками. В таких случаях прибегают к тому или иному методу приближенного решения уравнения. Здесь мы рассмотрим графический метод, который, хотя и не обеспечивает хорошей точности, но является одним из наиболее простых. Он заключается в следующем: строят график функции Уравнение и находят абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. Так, для решения уравнения достаточно построить график функции и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох.

Однако во многих случаях указанный выше метод графического решения уравнения не очень удобен. Так, для нахождения корней уравнения потребовалось бы построить график функции а это достаточно трудная задача. В подобных случаях уравнение преобразуют к виду затем строят графики функций (если, разумеется, это проще, чем построение графика функции и находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.

Так, для решения уравнения можно преобразовать уравнение к виду затем построить графики функций и найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Ясно, что уравнение может быть преобразовано к виду разными способами. Например, уравнение можно преобразовать в одно из следующих уравнений:

В первом случае надо строить графики функций Уравнение во втором — в третьем—

Примеры:

1. Решить графически уравнение

Решение:

Заданное уравнение целесообразно переписать в виде Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций На рис. 63 построены в одной системе координат графики функций Уравнение Определяем абсциссы точек А и В пересечения этих графиков

Таким образом, заданное уравнение имеет два корня. -1; 2.

2.Решить графически уравнение

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций (рис. 64). Они пересекаются в точке А, абсцисса которой примерно равна 1,3. Значит, заданное уравнение имеет единственное решение

График уравнения с двумя переменными

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек плоскости, координаты которых служат решениями этого уравнения.

Пусть, например, дано уравнение Преобразуем его к виду и построим график линейной

функции (рис. 65). Это и есть график уравнения Рассмотрим теперь произвольное линейное уравнение действительные числа, причем хотя бы одно из чисел a, b отлично от нуля.

Пусть Тогда уравнение можно преобразовать к виду:

Графиком линейной функции Уравнение является прямая. Она и будет графиком уравнения в случае

Пусть теперь Тогда уравнение принимает вид: (если то из условия следует,

что Уравнение Множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению есть прямая, параллельная оси ординат (рис. 66).

Итак, графиком любого линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.

Построим график уравнения Преобразуем уравнение к виду и построим график функции (рис. 67). Построенная гипербола и служит графиком уравнения

Рассмотрим еще уравнение Докажем, что его графиком является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4 (рис. 68).

Пусть точка Уравнение — произвольная точка окружности, не принадлежащая ни одной из осей координат. Тогда из прямоугольного треугольника ОАМ по теореме Пифагора получаем: значит, Уравнение

Очевидно, что координаты каждой из четырех точек пересечения окружности с осями координат: (4; 0), (0; 4), (—4; 0) и (0; —4) также удовлетворяют уравнению Уравнение

Итак, уравнению Уравнение удовлетворяют координаты любой точки рассматриваемой окружности.

Покажем теперь, что если точка не лежит на окружности, то ее координаты не удовлетворяют рассматриваемому уравнению. В самом деле, если точка В (х, у) лежит внутри окружности, то Уравнение а если точка С(х, у) лежит вне окружности, то (рис. 68). Итак, окружность с центром в начале координат и радиусом 4 является графиком уравнения

Вообще, окружность с центром в начале координат и радиусом, равным г, является графиком уравнения Уравнение где х и у—переменные, r —положительное число.

Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Пример:

Решить графически систему уравнений

Решение:

Графиком уравнения Уравнение является окружность с центром вначале координат и радиусом, равным 5. Графиком уравнения является гипербола Построив эти графики в одной системе координат (рис. 69), найдем координаты точек А, В, С, D пересечения окружности и гиперболы: А (4; 3), В (3; 4), С(—4; —3), D(—3; —4). Значит, множество решений заданной системы таково: {(4;3);(3;4); (—4;—3); (—3;—4)}.

Графическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от взаимного расположения на координатной плоскости прямых, служащих графиками этих уравнений. Но две прямые на плоскости могут пересекаться — в этом случае система будет иметь единственное решение, могут быть параллельны — в этом случае система не будет иметь решений, и, наконец, прямые могут совпасть — в этом случае система будет иметь бесконечное множество решений.

Примеры:

1. Решить графически систему уравнений

Решение:

Из уравнения Уравнение находим из уравнения находим Построим в одной системе

координат прямые Уравнение (рис. 70) Они пересекаются в точке А (1,5; 2)’ Значит, система имеет единственное решение (1,5; 2).

2.Решить графически систему уравнений

Решение:

Из уравнения Уравнение находим из уравнения находим Прямые и параллельны (рис.71), значит, система не имеет решений.

3.Решить графически систему уравнений

Решение:

Из уравнения Уравнение находим из уравнения находим Значит, графиком каждого из уравнений системы является одна и та же прямая прямые совпадают (рис. 72). Координаты любой точки прямой являются решением системы. Значит, в этом случае система имеет бесконечное множество решений.Итак, система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь ни одного решения, иметь бесконечное множество решений.

Решение задач с помощью составления уравнений и систем уравнений

С помощью уравнений легко решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений: 1) буквами х, у, z обозначаются неизвестные, которые требуется определить в задаче, 2) с помощью введенных переменных и данных в задаче чисел составляется система уравнений (или одно уравнение), 3) решается полученная система уравнений (или уравнение).

Рассмотрим некоторые примеры решения задач с помощью составления уравнений.

1.Два автомобиля выезжают из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго и поэтому первый автомобиль приезжает на место на один час раньше второго. Определить скорость того и другого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 560 км.

Решение:

Обозначим скорость первого автомобиля через х км/ч, а второго— y км/ч. По условию задачи Уравнение Время, затраченное первым автомобилем на весь путь, Время, затраченное вторым автомобилем на весь путь, По условию задачи-

Таким образом, мы получили систему

Решим эту систему. Из первого уравнения имеем Подставляя это значение во второе уравнение, получаем

откуда Уравнение Тогда

Ответ. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, второго 70 км/ч. Замечание. При решении этой задачи и вообще задач, связанных с равномерным прямолинейным движением, важно помнить, что Уравнение где s — путь, v—скорость, a t — время.

2.Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч большей, чем полагается по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?

Решение:

Обозначим скорость поезда по расписанию через х км/ч. Тогда скорость поезда после остановки будет Уравнение

По расписанию на перегон в 80 км поезд должен был затратить Уравнение а в действительности этот перегон он прошел за и так как по условию задачи он ликвидировал опоздание, то

откуда находим Уравнение

Ответ: 50 км/ч.

Замечание:

Обратите внимание, что время, данное в минутах (16 мин), мы перевели на время в часах Уравнение так как в левой части уравнения время было записано в часах. При решении задач следите за размерностью!

3.Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде Уравнение где х—число десятков, а (/ — число единиц. Из условия задачи имеем систему

Решая эту систему, получим две пары: (2; 4) и Уравнение Ясно, что вторая пара не подходит по условию задачи, значит, искомое число равно 24.

4.Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если этот последний будет работать отдельно. Во сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Прежде чем решать эту задачу (или другие аналогичные задачи «на работу»), заметим следующее- производительность труда (т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени, — обозначим ее через А) и время, необходимее для выполнения всей работы (обозначим его через /), есть взаимно обратные величины, т. е. Уравнение

Поэтому, если обозначить через х ч —время, необходимее для выполнения всей работы первому рабочему, а через у ч —второму, то часть работы выполняемая первым рабочим в 1 ч будет 1/x, а часть

работы выполняемая вторым рабочим в 1 ч будет Уравнение По условию задачи, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Часть работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, будет а часть работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, будет Уравнение

Таким образом, имеем уравнение

Кроме того, по условию задачи Уравнение Решая систему

получаем Уравнение

При поступлении в техникум 12% абитуриентов не сдали письменный экзамен по математике, 32% сдали на «3» и «4», остальные 140 человек сдали экзамен на «5». Сколько абитуриентов поступало в техникум и сколько среди них не сдало экзамен по математике?

Решение:

Обозначим количество всех поступавших абитуриентов через я. По условию 12% абитуриентов не сдало экзамен — это будет 0,12* человек, а 32% сдали на «3» и «4» —это будет 0,32л: человек. Остальные 140 человек сдали экзамен на «5». Таким образом, получаем уравнение

откуда Уравнение Итак, в техникум поступало 250 человек.

Теперь можно определить число абитуриентов, не сдавших экзамен по математике: Уравнение

Уравнения — основные понятия и определения

Корни уравнения

Многие задачи приводятся к решению следующего вопроса: Дано равенство

левая и правая части которого являются алгебраическими выражениями, содержащими неизвестную величину х (или функциями от х). Требуется найти все те значения х, которые удовлетворяют равенству (53.1) (т. е. значения х, подстановка которых в равенство (53.1) обращает его в верное числовое равенство). Равенство (53.1) называют в этом случае уравнением с одной неизвестной х. Множество значений х, при которых определены обе части уравнения (53.1), называют областью допустимых значений (о. д. з.). Каждое значение х, удовлетворяющее уравнению (53.1), называется его решением или корнем. Ясно, что всякий корень уравнения принадлежит о. д. з., множество корней уравнения составляет часть о. д. з. (уравнение может и не иметь корней, тогда говорят, что множество его решений пусто). Основная задача состоит в том, чтобы найти все корни данного уравнения, т. е. множество его решений.

Для придания точного смысла задаче решения уравнения следует еще указать, в какой числовой области (числовом поле) ищутся его решения. Как правило, подразумевается, что требуется найти все действительные решения уравнения, но для важнейшего класса уравнений, называемых алгебраическими (п. 55), ставится задача отыскания всех их комплексных решений, в том числе, конечно, и действительных.

Приведем несколько примеров, поясняющих сказанное.

Пример:

Уравнение Уравнения имеет в качестве о. д. з. всю числовую ось, множество его решений состоит из двух корней и .

Пример:

Уравнение Уравнения в действительной области не имеет решений. В комплексной области оно имеет два решения: , .

Пример:

Уравнение Уравнения удовлетворяется при всех допустимых значениях х, т. е. при .

Пример:

Уравнение Уравнения не удовлетворяется ни при каком значении х. Множество его решений пусто.

Равносильные уравнения

Пусть даны два уравнения:

Уравнение (54.2) назовем следствием уравнения (54.1), если каждый корень уравнения (54.1) является также корнем уравнения (54.2), иначе говоря, если множество корней уравнения (54.1) входит во множество корней уравнения (54.2).

Пример:

Рассмотрим два уравнения:

(второе, как легко заметить, получено возведением обеих частей первого уравнения в квадрат).

Второе уравнение является следствием первого; в самом деле, число 2 есть единственный корень первого уравнения и, как легко проверить, является корнем также и второго уравнения; между тем число (—4) служит корнем второго уравнения, но не является корнем первого уравнения. Итак, по определению, второе уравнение есть следствие первого уравнения.

Переход от одного уравнения к другому, являющемуся его следствием, удобен, если это новое уравнение проще решить. В этом случае, найдя все его корни, мы подстановкой этих корней в исходное уравнение проверим, какие из них ему удовлетворяют, и тем самым найдем все его решения. На этом приеме основано, например, решение некоторых иррациональных уравнений (п. 70).

Еще более существенным является понятие равносильности двух уравнений.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если каждое из них является следствием другого. Иными словами, уравнения называются равносильными, если множества их корней в точности совпадают. Ясно, что два уравнения, порознь равносильные третьему, равносильны друг другу.

Если два уравнения не имеют корней (множества их решений пусты), то их также естественно считать равносильными: все уравнения, не имеющие решений, равносильны между собой.

В процессе решения уравнений часто производятся действия, в результате которых данное уравнение заменяется другим (обычно более простым), ему равносильным. Такой переход от одного уравнения к другому может выполняться на основе следующих утверждений.

Теорема:

Если к обеим частям уравнения прибавить выражение (функцию), имеющее смысл во всей о. д. з. данного уравнения, то получится уравнение, равносильное данному.

Иначе говоря, если дано уравнение

то уравнение

где имеет смысл в о. д. з. уравнения (54.3), равносильно уравнению (54.3).

Доказательство:

При каждом числовом значении Уравнения из о. д. з. равенство

будет иметь место в том и только в том случае, когда имеет место равенство

множества решений для обоих уравнений совпадают, уравнения равносильны. В частности, если не имеет решений одно из них, то не имеет решений и другое.

Из теоремы 1 вытекает правило о возможности переносить члены уравнения из одной части в другую (с надлежащей переменой знака). Так, уравнение (54.3) всегда можно записать в равносильной ему форме:

Равносильность уравнений (54.3) и (54.5) следует из теоремы 1 (достаточно к обеим частям уравнения (54.3) прибавить — ), но можно обосновать ее и прямо, исходя из определения равносильности уравнений. Если —некоторое значение х, входящее в о. д. з. обоих выражений Уравнения и , то равенство будет выполняться тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство (два числа равны, если их разность равна нулю, и обратно).

Если обозначить Уравнения через f (х), то уравнение (54.5) сведется к виду

В дальнейшем, как правило, мы будем уже рассматривать уравнение в этой форме, т. е. с нулевой правой частью.

В порядке предостережения против необдуманного применения теоремы 1 приведем один простой пример. Уравнение

может быть (перенос членов из одной части в другую) записано в равносильной форме:

Однако уже «естественное» упрощение, состоящее в приведении подобных членов 1/х и — l/х, дает уравнение

не равносильное исходному: оно имеет корень х = 0, который не принадлежит о. д. з. уравнения (54.7) и не является его корнем. Конечно, незаконным здесь был не перенос члена из правой части в левую, а приведение подобных членов, в результате которого изменилась о. д. з. уравнения.

Теорема:

От умножения обеих частей уравнения на отличное от нуля число а или на выражение , которое при всех допустимых значениях х имеет смысл и не обращается в нуль, образуются уравнения, равносильные данному уравнению.

Так, умножив обе части уравнения (54.3) на а или на , получим уравнения

каждое из которых равносильно уравнению (54.3).

Доказательство этой теоремы сходно с доказательством теоремы 1 и предоставляется читателю. Следует также заметить, что при проведении преобразований частей уравнения после умножения на множитель часто происходит изменение о. д. з. и может нарушиться равносильность уравнений.

Практически в процессе решения уравнений иногда приходится производить и умножение на выражения Уравнения , могущие обращаться в нуль при некоторых значениях х. Тогда уравнение

будет иметь нули функции своими корнями (хотя исходное уравнение (54.3) могло и не иметь таких корней). Корни уравнения (54.8), не являющиеся корнями уравнения (54.3), называют посторонними корнями, и при записи ответа они должны быть отброшены.

Появление посторонних корней возможно и при возведении частей уравнения в одну и ту же степень, как это случилось с рассмотренным выше уравнением х + 1 = 3: по возведении его в квадрат образовалось уравнение , корень (—4) которого оказался посторонним для исходного уравнения.

Вообще, в процессе решения уравнения часто трудно соблюсти требование равносильности; наиболее важно не терять корней уравнения, т. е. от данного уравнения переходить к таким уравнениям, которые являются его следствиями. Возможные посторонние корни могут быть отброшены пссле проверки их подстановкой в исходное уравнение.

В связи с этим обратим внимание на прием решения уравнений путем разложения их левой части на множители. Пусть в уравнении f(х) = 0 левая часть представляется в виде произведения Уравнения и уравнение принимает вид

Множество корней этого уравнения является объединением множеств корней двух отдельных уравнений:

(действительно, произведение будет обращаться в нуль при тех и только тех значениях х, при которых обращается в нуль хотя бы один из сомножителей . Поэтому исключительно грубой (хотя часто допускаемой учащимися) ошибкой является «сокращение» обеих частей уравнения на их общий мне* житель. В записи

ни в коем случае нельзя отбрасывать , а следует рассуждать так: переносим члены в левую часть уравнения и выносим за скобки:

Теперь видно, что решениями нашего уравнения (54.8) будут как корни уравнения , так и корни уравнения .

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Разложим обе части уравнения на множители:

Перенесем все члены в левую часть уравнения и вынесем за скобки общий множитель:

или

Ясно, что корнями служат значения Уравнения и .

Системы уравнений

Рассмотрим пару равенств

левые части которых являются алгебраическими выражениями (функциями) относительно двух переменных х, у. Мы скажем, что они составляют систему двух уравнений с двумя неизвестными х, у, и будем решать задачу об отыскании всех таких пар значений х, у, которые обращают (одновременно) оба уравнения системы в верные числовые равенства. Каждая такая пара значений х, у называется решением системы. Решить систему — значит найти все ее решения. Так как пара чисел (х, у) изображается точкой на координатной плоскости, то точку с координатами (х, у) также называют решением системы (55.1).

Аналогично, можно систему трех уравнений с тремя неизвестными записывать в виде

(в большинстве задач число уравнений бывает равно числу входящих в них неизвестных, хотя в принципе это не обязательно). Ее решениями служат уже тройки чисел (х, у, z).

Уравнения, составляющие систему, обычно объединяют фигурной скобкой; этим выражается, что они рассматриваются совместно.

Некоторое уравнение F (x,y) = 0 называется следствием системы (55.1), если оно удовлетворяется всеми решениями системы (55.1). При решении систем из них, как правило, приходится выводить уравнения, являющиеся их следствиями. Например, если даны уравнения (55.1), то и уравнения, полученные их сложением:

или вычитанием:

будут их следствиями. На этом основан, в частности, наиболее распространенный метод решения систем уравнений — метод исключения неизвестных. Он состоит в том, чтобы получить уравнение, являющееся следствием системы (55.1), но уже не содержащее одной из неизвестных, т. е. уравнение с одной неизвестной х (или у). Поясним сущность процесса исключения неизвестной примером.

Пусть дана система

с двумя неизвестными. Если первое уравнение умножить на 3, а второе на 2 и сложить полученные уравнения, то получим уравнение

не содержащее у. Оно будет следствием системы (55.2); действительно, если точка () удовлетворяет обоим уравнениям (55.2), то она удовлетворит и уравнению (55.3). Фактически это означает, что абсцисса этой точки удовлетворяет уравнению (55.3) (так как ординаты у уравнение не содержит).

В данном простом примере видно, что уравнение (55.3) имеет два решения: и . При х = 0 оба уравнения (55.2) дают у = 1, а при х = — 2/3 получаем y = 7/9. Решения системы (55.2) — точки (0, 1) и (—2/3, 7/9).

56. Графическое решение уравнений. Если уравнение дано в форме

где f (x) — функция от х, то корни уравнения будут абсциссами точек пересечения графика функции с осью Ох (нулями функции f (x)). Если изображен график функции f (x), то корни уравнения находятся из чертежа (с известной степенью точности). Поэтому в случае, если уравнение (56.1) решить алгебраическими методами трудно, можно приблизительно определить его корни, построив график функции y = f (х). Обычно удобней, однако, представить уравнение (56.1) в виде

где Уравнения — функции, графики которых проще графика f (x).

Значения действительных корней уравнения (56.2) приближенно можно получить, взяв абсциссы точек пересечения графиков функций и .

В самом деле, если графики функций Уравнения и пересекаются в точке с абсциссой , то ординаты и точки пересечения будут также равны, т. е. будет иметь место равенство . Это и означает, что число удовлетворяет уравнению (56.2).

Если графики функций Уравнения и не пересекаются, то это означает, что уравнение (55.2) действительных корней не имеет.

Пример:

Решить графически уравнение Уравнения .

Решение:

Можно было бы строить график функции Уравнения и искать его точки пересечения с осью абсцисс.

Значительно проще, однако, представить уравнение в виде

и построить графики двух функций: Уравнения и (рис. 59). Графики пересекаются только в одной точке, данное уравнение имеет единственный действительный корень .

Графический метод используется также и при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными. Для этого по каждому из уравнений системы строят соответствующую ему линию и находят по чертежу абсциссы и ординаты точек пересечения этих линий.

Пример:

Решить графически систему уравнений

Решение:

Уравнения системы перепишем так:

Первое из них является уравнением параболы, ось которой параллельна оси ординат (п. 45). Можно сообразить, что и второе уравнение определяет параболу, но такую, у которой ось параллельна оси абсцисс (рис. 60).

Эти параболы пересекаются в двух точках: А и В. Отсюда следует, что данная система имеет два действительных решения. Одно из них можно найти, отыскав координаты Уравнения и точки А. Из чертежа находим, что , . Это решение (1, —2) найдено точно. Найдя координаты и точки В, читатель отыщет приближенно еще и решение данной системы.

Алгебраические уравнения с одной неизвестной

Число и кратность корней

Алгебраическим уравнением степени п с одной неизвестной х называется уравнение вида

(т. е. уравнение f (х) = 0, в левой части которого стоит ц. р. ф степени п от х).

Для алгебраических уравнений принято ставить задачу отыскания всех (вообще говоря, комплексных) корней уравнения. Так как корнями уравнения (57.1) являются нули (корни) многочлена в его левой части, то можно использовать сведения о целых рациональных функциях и их корнях (п. 52). Утверждения, приведенные в п. 52, формулируются применительно к уравнению (57.1) следующим образом:

1) Каждое уравнение степени п имеет по меньшей мере один корень в комплексной области. Если каждый корень учитывать с его кратностью, т. е. считать за столько корней, какова его кратность, то число корней уравнения равно его степени n. При этом говорят, что х = а — корень кратности k, если левая часть уравнения делится на нацело, но не делится нацело на .

2) Если уравнение (57.1) имеет комплексный (мнимый) корень , то и комплексно сопряженное число является корнем уравнения (кратности обоих сопряженных корней одинаковы).

На протяжении столетий главной задачей алгебры было указание правил решения алгебраических уравнений. С древности известны формулы для решения уравнений первой и второй степени. Итальянскими математиками эпохи Возрождения (Кардано, Тарталья, Феррари) были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени (они громоздки и не имеют большого практического значения). Попытки решения «в радикалах» (т. е. с применением действия извлечения корня) уравнений степени выше четвертой были в обшем случае безуспешны. Уже в XIX веке в работах Руффини, Абеля и Галуа было установлено, что не только для корней общего уравнения степени выше четвертой не может быть дано формул, выражающих их в радикалах, но и что корни многих конкретных уравнений с числовыми (например, целыми) коэффициентами не могут быть выражены через радикалы из рациональных чисел.

Мы изучаем ниже уравнения первой и второй степени и некоторые частные виды уравнений степени выше второй.

Уравнения первой степени (линейные уравнения)

Уравнение первой степени (линейное уравнение) с одной неизвестной х имеет вид

Оно получается из общего уравнения (57.1) в случае, когда степень п — 1; а называют старшим коэффициентом уравнения, b — его свободным членом.

Для решения уравнения (58.1) перенесем свободный член уравнения в его правую часть с противоположным знаком и получим уравнение

равносильное исходному. Разделив на коэффициент , получим единственный корень уравнения (58.1):

Корень положителен, если а и b имеют разные знаки, отрицателен, если а и b одного знака, и равен нулю при b = 0.

В случае, когда коэффициенты уравнения (58.1) не просто заданные числа, а являются алгебраическими выражениями, зависящими от одного или нескольких буквенных параметров, уравнение решается тем же путем, но при этом исключенными оказываются те значения параметров, при которых а обращается в нуль. Если при этом b не обращается в нуль, то уравнение не имеет решения; если же а и b обращаются в нуль одновременно, то уравнение для таких значений параметров превращается в тождество и удовлетворяется при любых значениях х.

Пример:

Исследовать и решить уравнение

Решение:

Если Уравнения , то уравнение имеет единственное решение

(это имеет место при Уравнения ). Если , то имеем две возможности: р = 1 или р = —1. Если р = 1, то уравнение принимает вид 2 = 0 и не может удовлетворяться ни при каком х. Наконец, если р = —1, то уравнение сводится к равенству 0 = 0 и удовлетворяется при любом значении х. Ответ следует дать в такой форме:

1) При Уравнения .

2) При р = 1 решений нет.

3) При р = —1 решением является любое х.

Приведем еще пример уравнения с комплексными коэффициентами.

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Уравнения .

Уравнения второй степени (квадратные уравнения)

Алгебраическое уравнение второй степени записывается в общем виде так:

и обычно называется квадратным уравнением. Коэффициенты уравнения называют: а — первым или старшим коэффициентом, b — вторым или средним коэффициентом, с — свободным членом (или третьим коэффициентом).

Так как число корней алгебраического уравнения в комплексной области равно степени уравнения, то следует ожидать, что квадратное уравнение (59.1) будет иметь два корня. Поскольку мнимые корни всегда появляются парами (комплексно сопряженные корни), то имеется три возможности:

1) уравнение (59.1) имеет два действительных (различных) корня;

2) уравнение (59.1) имеет кратный (двойной) действительный корень;

3) уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней.

Эти предварительные заключения подтвердятся в процессе отыскания корней уравнения.

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения (59.1) на и получим равносильное уравнение вида

(здесь р = b/а, q = c/a). Уравнение (59.2) со старшим коэффициентом, равным единице, называют приведенным квадратным уравнением.

Для того чтобы решить его, прибавим к обеим его частям число Уравнения (с тем, чтобы члены образовали точный квадрат двучлена ) и получим равносильное уравнение

откуда

Имеется существенное различие между случаями, когда число Уравнения , входящее в левую часть равенства (59.3), положительно, равно нулю или отрицательно. Если , то можно написать

имея в виду, что Уравнения — арифметическое значение корня квадратного из . Если , то также можно написать

Если же Уравнения , то можно представить как . Будем и в этом, принципиально отличном, случае писать , подразумевая под чисто мнимое число . Теперь во всех случаях имеем

Разложим левую часть равенства (59.4) с помощью формулы для разности квадратов:

откуда

либо

Равенства (59.6), (59.7) и дают нам значения двух корней X! и хг уравнения (59.4), а следовательно, и приведенного квадратного уравнения (59.2):

Обычно эти две формулы объединяют в одну:

Здесь, как указано в процессе вывода, в случае Уравнения под понимают .

Если вернуться к исходному уравнению (59.1) (будем его называть неприведенным квадратным уравнением), то в формуле (59.8) придется заменить р через b/а и q через с/а; после несложных преобразований получим формулу для корней неприведенного квадратного уравнения (59.1):

Если коэффициент b в уравнении (59.1) обозначен через 2k, т. е. уравнение записано в виде

то формула (59.9) принимает более простой вид:

Пример:

Решить квадратные уравнения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение:

а) Применим формулу (59.8) для приведенного квадратного уравнения:

Корни действительные и различные: Уравнения

б) Применим формулу (59.11) (используя, что Уравнения ):

Корни: Уравнения .

в) Имеем по формуле (59.11)

откуда , ; корни данного уравнения оказались иррациональными числами.

г) С помощью формулы (59.11) найдем

Корни уравнения комплексно сопряженные: , .

д) По формуле (59.11) имеем

Уравнение имеет равные корни: (иначе говорят, что оно имеет корень х = 9 кратности два). Это можно было бы заметить сразу, записав левую часть уравнения как полный квадрат: .

Формулы (59.8), (59.9) и (59.11) пригодны, разумеется, и для решения квадратных уравнений с буквенными коэффициентами.

Пример:

Решить следующие уравнения: а) ; б) .

Решение:

а) По формуле (59.11) имеем

Отсюда

б) Пользуясь формулой (59.9), найдем

Таким образом,

Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители

Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы (59.8) для корней приведенного уравнения, получим

(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, которое читатель проведет самостоятельно; удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).

Доказана следующая

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.

В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (60.1) подставить выражения p = b/a, q — c/a, формулы (60.1) примут вид

Пример:

Составить квадратное уравнение по его корням: а) Уравнения ; б) ; в) .

Решение:

а) Находим Уравнения , ; уравнение имеет вид ; б) ; в) .

Пример:

Найти сумму квадратов корней уравнения , не решая самого уравнения.

Решение:

Известны сумма Уравнения и произведение корней. Представим сумму квадратов корней в виде

и получим Уравнения .

Из формул Виета легко получить формулу

выражающую правило разложения квадратного трехчлена на множители.

В самом деле, напишем формулы (60.2) в виде

Теперь имеем

что и требовалось получить.

Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вывод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители (пп. 51, 52).

Пусть — корни уравнения ; тогда по общему правилу (52.2) трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:

Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим

и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях х даст нам формулы Виета (60.1).

Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!). Например, если корни приведенного кубического уравнения

суть Уравнения , то согласно равенству (52.2) находим

(в нашем случае Уравнения и ). Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях х, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства (60.5), находим

Пример:

Ребра а, b, с прямоугольного параллелепипеда являются корнями кубического уравнения

Найти объем и полную поверхность параллелепипеда.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его ребер: V = abc, и в силу формул Виета (60.6)

Полная поверхность равна Уравнения , и по формулам (60.6) имеем .

Исследование квадратного уравнения

В зависимости от коэффициентов квадратного уравнения (59.1) его корни представляют собой числа действительные или мнимые, различные или равные, положительные или отрицательные. Исследование уравнения состоит в установлении характера корней уравнения в зависимости от его коэффициентов.

Дискриминант

квадратного трехчлена, использованный при построении его графика и исследовании свойств трехчлена (п. 45), будем также называть дискриминантом квадратного уравнения (59.1). От его знака существенно зависит характер корней уравнения, так как он стоит под знаком радикала в формуле (59.9).

I. d > 0; корни уравнения действительные, различные.

В самом деле, под знаком радикала в формуле (59.9) имеем положительное число и находим два различных действительных корня Уравнения . Тот же результат следует из рис. 45, в, г, показывающих, что график квадратного трехчлена при d > 0 пересекает oсь Ох в двух точках.

Полагая d > 0, исследуем знак корней. Для этого воспользуемся формулами Виета (60.2). Будем для удобства считать, что а > 0.

Ia. d > 0, а > 0, с > 0. Корни одного знака, так как их произведение положительно. Если b < 0, то они оба положительны; если b > 0 то они оба отрицательны.

I б. d > 0, а > 0, с < 0. Корни разного знака, один из них положителен, другой отрицателен.

I в. d > 0, а > 0, с = 0 (уравнение «неполное» вида ). Один из Уравнения корней равен нулю, знак другого противоположен знаку b.

II. d = 0. Корни квадратного уравнения действительные и совпадающие (графически эта ситуация выражается в том, что парабола касается оси Ох, рис. 45, д, е) знак корней при а > 0 противоположен знаку b.

III. d < 0. Корни комплексно сопряженные (парабола не пересекает оси Ох, рис. 45, а, б).

Пример:

Исследовать уравнения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Решение:

а) Вычисляем дискриминант d уравнения по формуле (61.1):

Дискриминант уравнения положителен. Имеет место случай I: корни данного уравнения — числа действительные и различные. Из того, что с = —10 < 0, следует, что корни имеют разные знаки. Можно исследование провести и дальше: здесь b = —3 < 0, и поэтому положительный корень Уравнения больше модуля отрицательного корня , т. е. .

б) Корни комплексные сопряженные;

в) корни равные положительные;

г) корни действительные, различные, отрицательные;

д) корни равные отрицательные;

е) корни действительные, различные, положительные;

ж) корни действительные, различные, разных знаков, причем модуль отрицательного корня больше положительного корня.

Сложней решается задача исследования квадратного уравнения с буквенными коэффициентами. Ограничимся одним примером такого рода (см. также пример 4 п. 80).

Пример:

Исследовать уравнение Уравнения (а — действительное).

1 . В случае а = 0 уравнение превращается в линейное 2х = 0 и имеет корень x = 0.

2 . Пусть Уравнения . Находим дискриминант

Приходится различать три случая: а < 1, а = 1 и а > 1.

1) Уравнения . В этом случае уравнение имеет два действительных корня, так как d > 0; если 0 < а < 1, то корни отрицательные: их произведение , сумма . Если а < 0, то корни разных знаков (их произведение отрицательно).

2) Уравнения . Уравнение имеет двойной корень .

3) . Корни уравнения комплексно сопряженные.

Уравнения высших степеней. Целые кoрни

Алгебраические уравнения выше второй степени мы называем уравнениями высших степеней. Изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. В нашем курсе рассматриваются лишь некоторые частные вопросы, относящиеся к уравнениям высших степеней. Здесь мы покажем, как можно находить целые корни уравнения с целочисленными коэффициентами (если такие корни имеются).

Пусть старший коэффициент уравнения равен единице (приведенное уравнение), а остальные коэффициенты — целые числа. Пусть такое уравнение

кмеет корнем целое число х = k; подставляя х = к в уравнение, получим

откуда

где оба сомножителя в правой части равенства — целые; таким образом, свободный член уравнения должен делиться на k. Все целые корни приведенного алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. Отсюда следует, что в качестве целых корней надлежит испытывать не какие-либо произвольные целые числа, а лишь делители свободного члена уравнения, которых имеется лишь конечное множество.

Можно доказать, что приведенное уравнение с целыми коэффициентами не имеет других рациональных корней, кроме целых; поэтому наш метод дает все рациональные решения уравнения (62.1).

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Выписываем (положительные и отрицательные) делители свободного члена 90: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±9, …

Подставляя эти числа в уравнение, находим, что корнем данного уравнения служит число , поскольку

Многочлен, расположенный в левой части уравнения, по теореме Безу (п. 51) должен без остатка делиться на двучлен, х — 3. Проделав деление, найдем в частном квадратный трехчлен . Его два корня присоединим к ранее найденному корню и, таким образом, найдем все три корня данного уравнения: , , .

Пример:

Имеет ли уравнение Уравнения целые корни?

Решение:

Целыми корнями могут быть лишь делители свободного члена 2, т. е. числа ±1, ±2. Непосредственной подстановкой этих чисел в уравнение убеждаемся, что ни одно из них ему не удовлетворяет. Данное уравнение целых и вообще рациональных корней не имеет.

Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами

отличен от единицы, то можно ввести новую неизвестную у с помощью формулы Уравнения ; тогда для у получится уравнение

или

которое уже имеет; старший коэффициент, равный единице, и к которому применим способ отыскания целых корней, указанный выше. Целые корни для у дадут рациональные, вообще говоря, дробные корни для х.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Делаем подстановку х = y/2. После очевидных преобразований имеем

Подбираем целый корень для у; находим

Делим левую часть уравнения на у — 1 и получаем уравнение

с корнями . Окончательно выписываем решения исходного уравнения:

Двучленные уравнения

Алгебраическое уравнение вида

называется двучленным уравнением. Решение такого уравнения просто сводится к извлечению корня степени n из числа —b/а:

(при этом подразумевается, что следует найти все значения корня по правилу извлечения корня из комплексных чисел, п. 18).

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Перепишем уравнение в виде Уравнения ; будем рассматривать —32 как комплексное число и приведем его в тригонометрическую форму: . Теперь по правилу извлечения корня из комплексного числа найдем

где k следует придать значения 0, 1, 2, 3, 4. Получим пять корней нашего уравнения:

Уравнение имеет один действительный корень и четыре мнимых. При некоторых значениях n, например при n = 3, 4, 6, вместо указанного общего метода проще использовать разложение левой части на множители (применяя, в частности, формулы сокращенного умножения, п. 20).

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Запишем уравнение в виде

и используем формулу для разности кубов (20.12); получим

Таким образом Уравнения , а найдем, решая квадратное уравнение

Имеем

или

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Разлагаем левую часть уравнения на множители приемом, с которым мы уже встречались (п. 22):

Таким образом, задача сводится к решению двух квадратных уравнений:

Их корни

и являются корнями данного уравнения.

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Для удобства введем новую неизвестную по формуле Уравнения для у получим уравнение

Разложим левую часть на множители:

и сведем решение данного уравнения к решению двух линейных и двух квадратных уравнений. Читателю рекомендуется закончить решение примера самостоятельно.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнение вида

называется биквадратным уравнением и после введения новой неизвестной Уравнения сводится к квадратному уравнению

Аналогично, вообще, уравнение вида

сводится к квадратному уравнению относительно . Найдя его корни , мы затем получим корни уравнения (64.3) путем решения двучленных уравнений , .

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Положим Уравнения . Тогда для z получим уравнение

Из него найдем Уравнения . Отсюда

и, следовательно, четыре корня данного уравнения таковы:

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Положим Уравнения ; для z получим уравнение

Из него находим

Это приведет к следующим двум двучленным уравнениям третьей степени:

Решив эти двучленные уравнения (см. п. 63), найдем все шесть корней данного уравнения:

Остановимся несколько подробней на случае биквадратного уравнения (64.1). При указанном выше способе его решения в случае, когда соответствующее квадратное уравнение (64.2) имеет мнимые корни, отыскание значений х из равенств потребует извлечения корня квадратного из мнимых чисел. Оказывается, что этого можно избежать, решая уравнение другим приемом. Пусть (корни уравнения (64.2) мнимые). Тогда преобразуем левую часть уравнения (64.1) следующим способом (считаем а > 0; тогда и с > 0):

Здесь Уравнения ; обозначив через ; получим

Левая часть уравнения разложится на действительные квадратичные множители, и задача сведется к решению двух квадратных уравнений.

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Так как здесь Уравнения , то применяем второй способ решения:

Задача свелась к решению пары квадратных уравнений:

Искомые решения:

Возвратные уравнения

Биквадратные уравнения —частный вид уравнений четвертой степени, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Другой случай, когда такое сведение также возможно, дают возвратные уравнения четвертой степени:

Такое уравнение называется возвратным потому, что у него коэффициенты при членах, расположенных симметрично относительно среднего члена, одинаковы (строка коэффициентов а, b, с, b, а читается одинаково слева направо и справа налево). Разделим уравнение почленно на Уравнения и сгруппируем члены, как указано ниже:

Введем неизвестную у с помощью равенства

Тогда Уравнения . Для у получаем из (65.2) квадратное уравнение

Пусть его корни Уравнения ; тогда х находится из уравнений

которые также записываются как уравнения второй степени:

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Делим уравнение на Уравнения и группируем члены:

Полагая у = х + 1/х, получим

Корни этого уравнения: . Находим х из уравнений

или Уравнения , .

Решения уравнения таковы: , (х = 1 —двойной корень).

Системы алгебраических уравнений

Линейные системы

Система уравнений вида

называется системой алгебраических уравнений, если левые части уравнений являются целыми рациональными выражениями относительно неизвестных х, у, z. Если все левые части линейны относительно неизвестных, то система называется линейной системой уравнений. Обычно линейную систему уравнений с двумя или тремя неизвестными записывают, соответственно, в виде

оставляя в левых частях члены, содержащие неизвестные, а в правых — свободные члены системы.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными (66.2) и будем решать ее методом исключения; исключить неизвестную у — это значит найти такое следствие нашей системы, которое уже не содержало бы у. Для получения такого уравнения умножим первое уравнение системы (66.2) на , а второе на , получим

Вычтем теперь второе уравнение этой системы из первого. При этом члены, содержащие у, уничтожатся, и мы получим

В этом уравнении исключена неизвестная у.

Обратимся снова к системе (66.2) и умножим ее первое уравнение на Уравнения , а второе на ,; получим

Вычтем из второго уравнения этой системы первое:

Таким образом, мы из системы (66.2) исключили х.

Заметим, что в уравнении (66.4) коэффициент при х такой же, как и коэффициент при у в уравнении (66.5). Для сокращения записей введем следующие обозначения:

(греческая буква читается «дельта»). Уравнения (66.4) и (66.5) при этом перепишутся так:

Предположим теперь, что Уравнения . Тогда из уравнений (66.9) и (66.10) делением на найдем

Уравнения (66.9) и (66.10) являются следствиями основной системы (66.2). Так как каждое решение системы (66.2) должно удовлетворять и уравнениям (66.9), (66.10), то система не может иметь никаких других решений, кроме решения, определяемого равенствами (66.11). Это рассуждение еще не доказывает, что (66.11) действительно является решением системы.

Чтобы в этом убедиться, следует выражения х, у, заданные равенствами (66.11), подставить в уравнения системы (66.2) и проверить, что они обращаются в тождества. Произведем эту проверку, например, для первого уравнения системы (для второго читатель повторит аналогичные вычисления самостоятельно). Подставляем , в левую часть первого из уравнений (66.2) и производим тождественные преобразования:

Результат подстановки х и у в уравнение дал нам, как и требовалось, правую часть Уравнения уравнение удовлетворено.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Умножим первое уравнение на 7, а второе на ( — 2):

Вычтем из первого уравнения второе; получим

55х = 55,

откуда х = 1.

Теперь проще всего подставить найденное значение x = 1 в одно из уравнений системы. Тогда найдем значение второй неизвестной у = —1. Система имеет решение х = 1, y = — 1, которое коротко записывается так: (1, —1).

Для исключения неизвестной из уравнений системы применяют также прием, называемый методом подстановки. Он состоит в том, что с помощью одного из уравнении системы одну неизвестную выражают через другую и найденное выражение подставляют в оставшееся уравнение системы. Так, в примере 1 из второго уравнения находим

Подставляя это выражение в первое уравнение системы, найдем

откуда легко получить у = —1; далее находим x:

и снова получаем решение (1, —1) системы (66.12).

Для решения системы трех уравнений с тремя неизвестными (66.3) применим тот же прием: можно из одного уравнения выразить, например, неизвестную х через две остальные неизвестные и подставить в два других уравнения системы. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Можно поступить и по-другому: из двух уравнений системы выразить две неизвестные через третью и подставить эти выражения в последнее уравнение системы, которое превратится в уравнение с одной неизвестной. Покажем пример решения системы вторым из указанных приемов.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Первые два уравнения перепишем так:

Исключим из этой системы неизвестную у. Для этого первое уравнение умножим на 5, второе на 3 сложим полученные равенства:

аналогично исключаем х:

Подставим найденные выражения х и у через z в третье уравнение данной системы:

Получилось уравнение первой степени относительно z. Из него находим z = 2. В таком случае

Итак, данная система имеет следующее единственное решение:

Короче это решение запишем так: (1, —1, 2).

Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными

В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта. Рассмотрим какую-либо четверку чисел

записанных в виде квадратной таблицы (матрицы) по два в строках и по два в столбцах. Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число ad—bc, обозначаемое так:

Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами, при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и с — его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях.

Пример:

Вычислить следующие определители второго порядка:

Решение:

а) По определению имеем

б) 20; в) —28; г) 0;

д) имеем

С помощью определителей можно равенства (66.6), (66.7) и (66.8) переписать, поменяв местами их части, так:

Заметим, что определители Уравнения , и весьма просто составляются по коэффициентам системы (66.2). Действительно, определитель составляется из коэффициентов при неизвестных в этой системе. Он называется главным определителем системы (66.2). Назовем Уравнения и определителями для неизвестных х и у соответственно.

Можно сформулировать следующее правило их составления: определитель для каждой из неизвестных получается из главного определителя, если в нем столбец коэффициентов при этой неизвестной заменить столбцом свободных членов (взятых из правых частей уравнений системы).

Пример:

Систему (66.12) решить с помощью определителей.

Решение:

Составляем и вычисляем главный определитель данной системы:

Теперь в нем заменим столбец коэффициентов при х (первый столбец) свободными членами. Получим определитель для х:

Подобным же образом найдем

Отсюда по формулам (66.11) получаем

Мы пришли к уже известному нам решению (1, —1).

Проведем теперь исследование системы линейных уравнений (66.2). Для этого вернемся к равенствам (66.9) и (66.10) и будем различать два случая: Уравнения и .

1) Пусть Уравнения . Тогда, как уже отмечалось, формулы (66.11) дают единственное решение системы (66.2). Итак, если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое формулами (66.11); такая система называется определенной.

2) Пусть теперь Уравнения . В зависимости от значений , будем различать два случая.

а) Хотя бы один из определителей Уравнения , отличен от нуля; тогда система (66.2) не имеет решений. Действительно, пусть, например, . Равенство (66.9) не может удовлетворяться ни при каком значении х; так как это равенство получено как следствие системы (66.2), то система не имеет решений. Такая система называется несовместной.

б) Оба определителя Уравнения , равны нулю; равенства (66.9) и (66.10) удовлетворяются тождественно и для исследования системы (66.2) использованы быть не могут. Докажем, что если , и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в системе (66.2) отличен от нуля, то система имеет бесконечнее множество решений. Чтобы убедиться в этом, допустим, например, что Уравнения . Из соотношений

получим

и из записи второго уравнения системы (66.2), подставляя в него выражения коэффициентов ,

или

найдем, что оно отличается от первого уравнения лишь множителем , т. е., по существу, совпадает с ним (равносильно ему). Система (66.2) сводится к одному лишь первому уравнению и определяет бесчисленное множество решений (такая система называется неопределенной). Возможен, в принципе, и такой крайний случай, как равенство нулю всех коэффициентов при неизвестных (он может встретиться при исследовании систем с буквенными коэффициентами). У такой системы

все определители равны нулю: Уравнения , однако, она является несовместной при или .

Подведем итоги исследования системы линейных уравнений (66.2). Имеется три вида таких систем:

1) Если Уравнения , то система определенная, имеет единственное решение (66.11).

2) Если Уравнения , но (или ), то система несовместна, решений не имеет.

3) Если Уравнения (но хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля), то система неопределенная, имеет бесконечное множество решений (сводится к одному уравнению).

Равенство нулю определителя,

означает пропорциональность элементов, стоящих в его строках (и обратно):

В силу этого признаки, отличающие линейные системы разных типов (определенные, неопределенные, несовместные), могут быть сформулированы в терминах пропорций между коэффициентами системы (без привлечения определителей).

Условие Уравнения () заменяется поэтому требованием пропорциональности (непропорциональности) коэффициентов при неизвестных:

В случае Уравнения оказываются пропорциональными не только коэффициенты при неизвестных, но и свободные члены:

(эти пропорции получаются, например, из (67.6)). Если же, например, Уравнения , то из (66.6) видим, что — свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных. Итак:

1) Если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:

то система определенная.

2) Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны:

тс система несовместная.

3) Если пропорциональны коэффициенты при неизвестных и свободные члены:

то система неопределенная.

Проведенное исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными допускает простое геометрическое истолкование. Всякое линейное уравнение вида (38.4) определяет на координатной плоскости прямую линию. Уравнения системы (66.2) можно поэтому истолковать как уравнения двух прямых на плоскости, а задачу решения системы — как задачу об отыскании точки пересечения этих прямых. Ясно, что возможны три случая: 1) данные две прямые пересекаются (рис. 61, а); этот случай отвечает определенной системе; 2) данные две прямые параллельны (рис. 61, б); этот случай соответствует несовместной системе;

3) данные прямые совпадают (рис. 61, в); этот случай соответствует неопределенной системе: каждая точка «дважды заданной» прямой будет решением системы.

Пример:

Исследовать линейные системы:

Решение:

а) Составим и вычислим главный определитель данной системы:

Далее вычисляем Уравнения :

Система не имеет решений; она несовместна.

Этот же вывод можно сделать не прибегая к определителям. Замечаем, что в данной системе коэффициенты при х и у пропорциональны, а свободные члены не находятся в том же отношении, что и коэффициенты при неизвестных:

б) Имеем

Далее,

Система имеет бесконечно много решений.

Можно прийти к этому выводу и без определителей, если заметить, что все коэффициенты системы пропорциональны; умножением на 5 первое уравнение приводится ко второму — система фактически состоит из одного уравнения.

Пример:

Исследовать систему

Решение:

Коэффициенты системы зависят от параметра а; исследовать систему — это значит указать, при каких значениях a система будет, соответственно, определенной, неопределенной, несовместной.

Начинаем с вычисления главного определителя:

Главный определитель Уравнения (3 — а) отличен от нуля при Есех значениях а, не равных 0 и 3. Следовательно, система будет определенной (т. е. иметь единственное решение) при и .

Исследуем теперь особые значения а; пусть сначала ; система при этом принимает вид (мы подставляем в уравнения (67.7))

и оказывается несовместной.

Остается еще рассмотреть случай а = 3; при а = 3 система (67.7) принимает вид

и сводится, по существу, к одному уравнению. Система неопределенная, ей удовлетворяют все точки прямой 2х + Зу = 5. Выразив отсюда у через х: у = (5—2х)/3, запишем все множество решений в виде (x, (5—2х)/3), где х может принимать произвольное значение.

Формулируем ответ: при а = 0 система несовместная, при а = 3 — неопределенная, при всех остальных значениях —определенная.

Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения

В общем случае система двух уравнений с двумя неизвестными при условии, что одно из уравнений — второй степени, а второе—линейное, имеет следующий вид:

Для отыскания решений системы (68.1) можно из второго ее уравнения выразить одну неизвестную через другую (например, х через у) и это выражение подставить в первое уравнение, которое после этого сведется к квадратному уравнению (в отмеченном случае относительно у). Решив его, найдем два значения этой неизвестной ( Уравнения и ) и по ним определим два соответствующих значения ( и ) второй неизвестной.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Из второго уравнения данной системы находим . Подставим вместо х это выражение в первое уравнение:

Пссле простых преобразований получится уравнение

из которого найдем

По найденным значениям у определим соответствующие значения х:

Решения системы запишем в виде

или, короче, в виде Уравнения , .

Указанный метод решения является общим. В некоторых частных случаях удобней применять более специальные приемы решения рассматриваемых систем уравнений (хотя общий метод и остается применимым).

Рассмотрим систему вида

Здесь требуется найти неизвестные по заданным их сумме и произведению. Станем искать эти неизвестные как корни одного квадратного уравнения. В силу теоремы Виета (п. 60) такое квадратное уравнение составляется в

(сумма его корней равна а, произведение равно b). Если теперь обозначим корни уравнения (68.3) через , то решения системы (68.2) получим в виде

К этому же случаю сводятся и системы вида

Действительно, примем за новые неизвестные u = ах и v = by. Ясно, что система (68.4) равносильна системе вида

и сводится к системе типа (68.2)

для u = ах, v = by.

Пример:

Решить следующие системы уравнений:

Решение:

а) Введем вспомогательную неизвестную z и для нее составим квадратное уравнение

Корни этого уравнения:

Таким образом,

б) Записываем нашу систему в виде

Отсюда

Корни этого уравнения:

Таким образом,

в) Перепишем данную систему так:

Отсюда

Найдя из этого уравнения

получим

Решения данной системы:

Пример:

Решить систему

Решение:

Удобно возвести второе уравнение системы в квадрат и вычесть из него почленно первое уравнение:

Теперь используем второе уравнение системы (68.5) и полученное уравнение, выражающее ху:

Эту систему уже решаем, как предыдущие, с помощью теоремы Виета:

имеем Уравнения . Решения системы (68.5):

(оба они удовлетворяют и первоначальной системе (68.5)).

Совсем просто решается система вида

Действительно, при Уравнения разделим второе уравнение на первое почленно:

и придем к системе уравнений первой степени

Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней

В элементарной математике рассматривают только некоторые простые частные случаи систем уравнений второй или высшей степени. Такова в частности, система вида

Система (69.1) решается, например, таким способом: второе уравнение умножаем на 2 и складываем с первым уравнением; получим уравнение

и сведем решение системы (59.1) к решению пары систем: |

решаемых с применением теоремы Виета.

Иначе можно решить систему (69.1), выразив из второго уравнения у через х: y = b/х. После подстановки этого выражения в первое уравнение получится биквадратное уравнение для х:

Уравнения , или .

Таким же путем приводится к биквадратному уравнению система вида

и некоторые другие системы уравнений второй степени.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Находим, складывая удвоенное второе уравнение с первым:

Получаем две системы:

решениями которых будут следующие пары значений х и у.

(5, — 3); ( — 3, 5); (3, — 5); ( — 5, 3).

Покажем теперь, как эту систему можно решить сведением ее к биквадратному уравнению. Для этого из второго уравнения найдем

у = —15/х.

Тогда первое уравнение системы запишем так:

Отсюда

Мы получили биквадратное уравнение относительно х, из которого найдем Уравнения и , значит, соответственно,

x = ±5 и х = ±3.

Разделив число (—15) на каждое из найденных значений х, получим соответствующие значения у.

Пример:

Решить систему

Решение:

Выражаем у из второго уравнения системы и подставляем в первое:

откуда

Находим два значения Уравнения : 49 и —25. Имеем четыре значения: х = ±7, х = ±5i. Соответствующие у определяем из равенства у = З5/х. Окончательно решения системы таковы:

(7, 5); ( — 7, — 5); (5i, — 7i); ( — 5i, 7i).

К системе типа (69.2) приводит задача извлечения корня квадратного из комплексного числа, если решать ее чисто алгебраическим методом, не прибегая к тригонометрической форме записи комплексных чисел. Пусть требуется извлечь корень квадратный из числа a + bi. Обозначим неизвестный корень через z = x + iy и по определению квадратного корня запишем

или

В силу условия равенства двух комплексных чисел приравниваем отдельно действительные и мнимые члены в обеих частях равенства:

При решении этой системы следует учитывать, что по смыслу задачи х и у — действительные числа (мнимые решения надо отбросить).

Пример:

Найти Уравнения .

Решение:

Обозначим Уравнения . Тогда

откуда

Находим

Используем только положительный корень для Уравнения :

Итак, искомый корень имеет значения Уравнения .

Приведем еще примеры систем уравнений высших степеней; при этом ограничимся задачей отыскания их действительных решений.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Первое уравнение системы (69.3) записывается в виде

и дальнейшее решение системы распадается на два случая в зависимости от того, будет ли х + у равно нулю или нет.

1) ; . Из второго уравнения системы (69.3) находим , . Получили два решения системы:

2) Уравнения ; тогда

или

Заменяя Уравнения через 10 (по второму уравнению системы (69.3)), придем к системе уравнений

которую решаем уже известным способом. Получим еще решения

Всего данная система имеет шесть решений, все они действительные.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Перемножив почленно уравнения системы, найдем , откуда ху = 2 (мы берем только действительный корень этого уравнения). Разделим поочередно каждое из уравнений данной системы на :

Итак, данная система имеет следующее действительное решение:

х = 1, у = 2.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Возведем второе уравнение в квадрат:

Подставим в это уравнение вместо выражение этой суммы, взятое из первого уравнения системы. Получим

откуда

Получилось квадратное уравнение относительно ху. Из него имеем ху — 2 или ху = 1. Второе уравнение данной системы соответственно можно переписать так: Уравнения или . Это приводит к двум следующим системам типа (69.1):

Первая из этих систем дает следующие четыре решения: (2, 1), (1, 2), (—1, —2), (—2, —1). Проверка показывает, что все они удовлетворяют исходной системе.

Вторая система решается аналогично. Ее решения иррациональны, читатель найдет их самостоятельно.

Иррациональные уравнения

Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком корня. Таковы, например, уравнения

Во многих случаях, применяя однократно или многократно возведение в степень обеих частей уравнения, удается свести иррациональное уравнение к алгебраическому уравнению той или иной степени (являющемуся следствием исходного уравнения). Так как при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние решения, то, решив алгебраическое уравнение, к которому мы привели данное иррациональное уравнение, следует найденные корни проверить подстановкой в исходное уравнение и сохранить лишь те, которые ему удовлетворяют, а остальные — посторонние — отбросить.

При решении иррациональных уравнений мы ограничиваемся только их действительными корнями; все корни четной степени в записи уравнений понимаются в арифметическом смысле.

Рассмотрим некоторые типичные примеры иррациональных уравнений.

А. Уравнения, содержащие неизвестную под знаком квадратного корня. Если данное уравнение содержит только один квадратный корень, под знаком которого имеется неизвестная х, то следует этот корень уединить, т. е. поместить в одной части уравнения, а все другие члены перенести в другую часть. После возведения в квадрат обеих частей уравнения мы уже освободимся от иррациональности и получим алгебраическое уравнение для х.

Пример:

Решить уравнение Уравнения

Решение:

Уединяем корень в левой части уравнения;

Возводим полученное равенство в квадрат:

Находим корни этого уравнения:

Проверка показывает, что лишь Уравнения удовлетворяет исходному уравнению.

Если в уравнение входит два и более корня, содержащих х, то возведение в квадрат приходится повторять несколько раз.

Пример:

Решить следующие уравнения:

Решение:

а) Возводим обе части уравнения в квадрат:

Уединяем корень:

Полученное уравнение снова возводим в квадрат:

После преобразований получаем для х следующее квадратное уравнение:

решаем его:

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся в том, что Уравнения есть его корень, а является для него посторонним корнем.

б) Пример можно решить тем же методом, каким был решен пример а). Однако, воспользовавшись тем, что правая часть данного уравнения не содержит неизвестной величины, поступим иначе. Умножим уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью; получим

Справа стоит произведение суммы на разность, т. е. разность квадратов. Отсюда

или

В левой части данного уравнения стояла сумма квадратных корней; в левой части полученного теперь уравнения стоит разность тех же корней. Запишем данное и полученное уравнения:

Взяв сумму этих уравнений, получаем

или

Возведем в квадрат последнее уравнение и после упрощений получим

Отсюда находим . Проверкой убеждаемся в том, что корнем данного уравнения служит только число х = 4.

Пример:

Решить уравнение

Здесь уже под знаком радикала мы имеем квадратные трехчлены.

Решение:

Умножаем уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью:

отсюда

Вычтем последнее уравнение из данного:

Отсюда

или

Возводим это уравнение в квадрат:

Отсюда

Из последнего уравнения находим . Проверкой убеждаемся, что корнем данного уравнения служит только число х = 1.

Б. Уравнения, содержащие корни третьей степени. Системы иррациональных уравнений. Ограничимся отдельными примерами таких уравнений и систем.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Покажем два способа решения уравнения (70.1). Первый способ. Возведем обе части данного уравнения в куб (см. формулу (20.8)):

(здесь мы заменили сумму кубических корней числом 4, пользуясь уравнением (70.1)). Итак, имеем

или

т. е., после упрощений,

откуда Уравнения . Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Второй способ. Положим

Уравнение (70.1) запишется в виде . Кроме того, видно что . От уравнения (70.1) мы перешли к системе

Разделив первое уравнение системы почленно на второе, найдем

и уже легко решим систему вида

Ее решения: Уравнения ; .

Из равенства Уравнения находим при u = 3 и u = 1.

Рассмотрим теперь примеры решения систем уравнений с двумя неизвестными, из которых по крайней мере одно уравнение иррациональное.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Обозначим Уравнения . Это позволит первое уравнение системы записать в виде

откуда Уравнения . Взяв z = 2, найдем

Теперь из второго уравнения системы находим . Из корней этого неполного квадратного уравнения берем только (корень у = 0 отбрасываем; почему?). Отсюда .

Если взять z = 1/2, то получим Уравнения , (читатель проведет все необходимые для этого выкладки самостоятельно). Итак, данная система имеет следующие решения: (3, 3/2); (24/23, 24).

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Возведя в квадрат первое уравнение, получим

С помощью второго уравнения системы найдем

Последнее уравнение является квадратным относительно Уравнения . Из него находим только положительное значение , откуда ху = 1, и данную систему тем самым сводим к системе

Решив эту систему, найдем, что пара чисел (1, 1) служит единственным решением и ее, и исходной системы.

Показательные уравнения

Показательными называют уравнения в случае, если неизвестная величина находится в показателе степени (основание которой не содержит неизвестной величины); к показательным можно отнести уравнения

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Оно решается с помощью логарифмирования:

Во многих случаях решение показательного уравнения после надлежащих преобразований сводится к решению уравнений простейшего вида (71.1). Кроме того, при решении показательных уравнений часто используется следующее известное положение.

Если равны степени с одним и тем же основанием, то равны показатели степени (либо основание равно единице): из равенства

вытекает u = v (или а = 1).

Разберем примеры решения показательных уравнений.

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

Удобно представить обе части уравнения как степени одного и того же числа, например 9:

Теперь приравниваем показатели степени и получаем уравнение

из которого находим решения данного уравнения: , .

Пример:

Решить уравнение Уравнения .

Решение:

И здесь удобно свести показательные функции к одному основанию 2:

Получили крадратное уравнение для неизвестной Уравнения :

его корни . Так как не может иметь отрк цательных значений, то имеет смысл только решение находим единственный корень х = 2 уравнения из равенств .

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Преобразуем обе части уравнения:

или, наконец

Отсюда Уравнения и .

Итак, х = 2 — единственный корень уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что числа Уравнения и обратны по величине:

Поэтому, обозначив Уравнения через u, перепишем

уравнение (71.2) в виде

Имеем для u корни Уравнения . Равенства

приводят к двум квадратным уравнениям относительно х:

Первое из них имеет мнимые корни, второе же дает решения уравнения (71.2): .

Логарифмические уравнения

Логарифмическими называются уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма (или и то, и другое одновременно). Например, логарифмическими будут уравнения

Следует заметить, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать о. д. з.: под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основании логарифмов — только положительные величины, отличные от единицы.

Простейшим логарифмическим уравнением назовем уравнение вида

Оно решается потенцированием:

Решение других логарифмических уравнений иногда удается свести к решению уравнений простейшего вида (72.1).

При решении логарифмических уравнений используются свойства логарифмов и действие потенцирования. Приведем примеры решения логарифмических уравнений.

Пример:

Решить уравнения: a) ; б) ; в) .

Решение:

а) По определению логарифма имеем Уравнения . Отсюда

б) Уравнения . Отсюда . Берем только действительное значение , равное 3. Таким образом,

в) . Отсюда ; из двух корней и полученного квадратного уравнения берем только положительный. Итак, единственный корень данного уравнения x = 3.

Обратим внимание, что, решая уравнения из примера 1, мы не стали заранее определять о. д. з. Вместо этого мы всякий раз проверяем, удовлетворяют ли найденные значения х уравнению (это иногда занимает меньше времени, чем отыскание о. д. з.).

В следующем примере мы встречаемся с логарифмами по различным основаниям.

Пример:

Решить уравнения: а) ; б) .

Решение:

а) В соответствии со следствием из свойства 8 п. 27 имеем

Это дает возможность записать данное уравнение в виде

Здесь логарифмы берутся уже по одному и тому же основанию 4 (это же можно было получить и с помощью модуля перехода). Заменяя сумму логарифмов, расположенную в левой части последнего уравнения, логарифмом произведения, получим . Отсюда находим

Для определения х имеем уравнение третьей степени (п. 62). Испытав делители свободного члена (—16), находим, что одним из корней этого кубического уравнения служит . Делением его левой части на двучлен х — 2 получаем квадратное уравнение с корнями , которые для исходного логарифмического уравнения не имеют смысла и по этой причине должны быть отброшены.

Итак, корнем данного уравнения служит число х = 2.

б) И здесь логарифмы берутся по разным основаниям. В качестве их общего основания выберем, например, число 2. Используя модуль перехода, перепишем данное уравнение так:

Преобразуя это уравнение, найдем

Имеем, потенцируя,

В таком случае Уравнения . Более просто этот ответ можно записать, заметив, что

Отсюда

Если требуется записать приближенное значение этого корня в форме десятичной дроби, то это можно сделать с помощью таблиц логарифмов так: сначала найти

а потом no Ig x найти Уравнения .

Разные уравнения и системы уравнений

Здесь мы приведем примеры уравнений «смешанного типа», в которых неизвестная может одновременно входить и под знак корня, и под знак логарифма, и в показатель степени, а также примеры систем уравнений рассматриваемых типов.

Пример:

Решить уравнения: a) ; б) ; в) .

Решение:

а) По определению логарифма получаем

Отсюда . Но . Поэтому , и, следовательно, , откуда , . Оба эти числа служат решениями данного уравнения.

б) По свойству 8 п. 27 имеем

Следовательно, данное уравнение можно переписать так:

Обозначим и получим для z квадратное уравнение с корнями и . Для определения х получим два уравнения:

Из первого находим Уравнения , , а из второго , . Итак, данное уравнение имеет два корня: и .

в) Если равны степени с одинаковыми показателями, то отсюда можно заключить, что основания равны друг другу или показатели равны нулю. Из первого предположения находим ; а из второго. Решая эти два уравнения, определяем следующие три корня данного уравнения:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Уравнение можно переписать в виде

Оно будет удовлетворяться в двух случаях: при равенстве показателей степени:

и при равенстве основания степени единице:

Первая из этих возможностей приводит к уравнению относительно неизвестной Уравнения :

имеющему решения Уравнения , и . Для х это дает два корня: , .

Вторая возможность осуществляется при или . Значение не входит в о.д.з. данного уравнения, значение же удовлетворяет уравнению. Итак, уравнение (73.1) имеет три корня: , , .

Пример:

Решить следующие системы уравнений:

Решение:

а) Имеем Уравнения . Потенцируя первое уравнение системы, найдем

Второе уравнение системы запишется как квадратное уравнение относительно у:

Его положительный корень у = 4 (отрицательный корень не входит в о.д.з. данной системы). Для х получаем два значения: Уравнения , из которых отрицательное отбрасываем. Единственное решение системы: (2, 4).

б) Второе уравнение системы может быть записано в виде

и дает у = х + 3.

Рассмотрение первого уравнения системы распадается на два случая:

В первом случае приходим к решению системы (1, 4). Во втором имеем, с учетом равенства у = х + 3, уравнение для х:

Второе решение системы есть (4, 7).

в) Заметим, что Уравнения . Поэтому, положив , приведем первое уравнение системы к уравнению , которое сводится к квадратному относительно z. Из него получим и . Значит, или , откуда или Уравнения . Второе уравнение данной системы теперь можно записать так: или . Первое уравнение имеет единственный действительный корень ; по нему находим . Второе уравнение возведем в квадрат и получим уравнение Уравнения с единственным действительным корнем , откуда . Итак, данная система имеет два решения: (4, 2) и (2, 4).

г) Перепишем уравнения системы в виде

и прологарифмируем каждое из них по основанию 10:

Из первого уравнения выразим lg у:

Подставим это выражение в правую часть второго из уравнений (73.2) и после несложных преобразований получим

Отсюда

и так как второй сомножитель левой части, очевидно, отличен от нуля, то Уравнения , откуда x = 1/3; для у имеем

Единственное решение системы — точка (1/3, 1/5).

Уравнения с одной переменной

Целое уравнение и его корни:

В каждом из уравнений

левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми уравнениями.

В уравнении (1) раскроем скобки, перенесем все члены в левую часть и приведем подобные члены. Получим:

Проведем аналогичные преобразования в уравнении (2), умножив предварительно обе его части на 4:

В каждом из рассмотренных примеров мы выполняли такие преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному данному. В результате получали уравнение, имеющее вид Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида. Вообще всякое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая — нуль.

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Например, уравнение уравнение примеры решения является уравнением третьей степени.

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида. Например, для уравнения

имеем:

Степень полученного уравнения равна пяти. Значит, степень равносильного ему уравнения (3) также равна пяти.

Уравнение первой степени можно привести к виду уравнение примеры решения где х — переменная, а и b — некоторые числа, причем Из уравнения получаем, что

Число уравнение примеры решения корень уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.

Уравнение второй степени можно привести к виду уравнение примеры решения bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем

Число корней такого уравнения зависит от дискриминанта уравнение примеры решения Если D > 0, то уравнение имеет два корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень; если D < 0, то уравнение не имеет корней. Любое уравнение второй степени имеет не более двух корней. Для нахождения корней при уравнение примеры решения используется, как известно, формула корней квадратного уравнения

Уравнение третьей степени можно привести к виду

уравнение примеры решения ах3 + + bx + сх + d = 0, уравнение четвертой степени — к виду и т. д., где а, Ь, с,… — некоторые числа, причем Можно доказать, что уравнение третьей степени имеет не более трех корней, уравнение четвертой степени — не более четырех корней. Вообще уравнение n-й степени имеет не более n корней.

Для уравнений третьей и четвертой степеней известны формулы корней, но эти формулы очень сложны. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул корней не существует.

Заметим, что иногда удается решить уравнение третьей или более высокой степени, применяя какой-либо специальный прием. Например, некоторые уравнения нетрудно решить с помощью разложения многочлена на множители.

Пример:

Решим уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители:

Отсюда найдем, что уравнение (4) имеет три корня:

Для некоторых целых уравнений приближенные значения корней нетрудно найти, используя графический способ решения.

Пример:

Решим уравнение

Представим данное уравнение в виде уравнение примеры решения

Построим в одной системе координат графики функций уравнение примеры решения (рис. 43). Они пересекаются в одной точке, абсцисса которой приближенно равна 1,4. Значит, уравнение (5) имеет единственный корень

Графический способ не обеспечивает высокую точность результата. Поэтому если требуется найти значение корня с большей точностью, то полученное при графическом решении приближенное значение корня уточняют путем вычислений.

Для уточнения значений корней целого уравнения можно воспользоваться тем, что график функции y = f(х), где f(х) — некоторый многочлен, представляет собой непрерывную линию. Отсюда следует, что если на концах какого-либо промежутка [а; b] функция принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка находится корень уравнения f(х) = 0 (рис. 44).

Уточним найденное значение yj корня уравнения (5). Из рисунка 43 видно, что корень уравнения принадлежит промежутку [1; 2]. В этом можно убедиться, вычисляя значения функции уравнение примеры решения при х = 1 и х = 2. Получим, что

Разделим отрезок координатной прямой с концами 1 и 2 на 10 равных частей точками

Будем вычислять значения функции при указанных значениях х, пока не обнаружим промежуток длиной 0,1, на концах которого функция принимает значения разных знаков. При этом удобно воспользоваться микрокалькулятором, выполняя вычисления по следующей программе:

В результате найдем, что уравнение примеры решения Значит, корень уравнения принадлежит промежутку [1,3; 1,4]. В качестве десятичного приближения с точностью до 0,1 можно взять любое из чисел 1,3 и 1,4.

Чтобы найти значение корня с большей точностью, разделим далее отрезок координатной прямой, ограниченный точками 1,3 и 1,4, на 10 равных частей и будем вычислять значения функции при х, равном

Получим, что уравнение примеры решения Следовательно, корень уравнения принадлежит промежутку [1,37; 1,38]. В качестве десятичного приближения с точностью до 0,01 можно взять число 1,37 или число 1,38.

Аналогично можно найти десятичные приближения корня уравнения (5) с точностью до 0,001, 0,0001 и т. д.

Уравнения, приводимые к квадратным

Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается решить, введя новую переменную.

Рассмотрим примеры решения уравнений этим методом.

Пример:

Решим уравнение

Если перенести все члены уравнения в левую часть и преобразовать получившееся выражение в многочлен стандартного вида, то получится уравнение

для которого трудно найти способ решения.

Однако можно воспользоваться следующей особенностью уравнения (1): в его левой части переменная х входит только в выражение уравнение примеры решения которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной. Обозначим через у:

Тогда уравнение (1) сведется к уравнению с переменной у:

которое после упрощения примет вид:

Решив уравнение (2), найдем его корни:

Отсюда

Решая уравнение уравнение примеры решения найдем, что оно не имеет корней.

Решая уравнение уравнение примеры решения найдем, что оно имеет два корня:

Значит, уравнение (1) имеет два корня:

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, имеющие вид уравнение примеры решения Уравнения вида являющиеся квадратными относительно х2, называют биквадратными уравнениями.

Пример:

Решим биквадратное уравнение

Для этого введем новую переменную, обозначив уравнение примеры решения через у:

Получим квадратное уравнение с переменной у:

Решив его, найдем, что

Значит,

Из уравнения уравнение примеры решения находим, что

Итак, уравнение (3) имеет четыре корня:

Системы уравнении с двумя переменными

Графический способ решения систем уравнении

Каждое из уравнений

является уравнением с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными называется, как вы знаете, множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х + Зу = 15 является прямая, уравнения уравнение примеры решения парабола, уравнения 4 — окружность, уравнения а значит, и равносильного ему уравнения ху = 1 — гипербола. На рисунке 45 построены графики некоторых других уравнений.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая — число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая — нуль. Например, уравнение уравнение примеры решения равносильно уравнению и, значит, является уравнением четвертой степени.

Ранее мы рассматривали системы уравнений первой степени с двумя переменными. Теперь займемся решением систем, составленных из двух уравнений второй степени или из одного уравнения первой, а другого второй степени.

Начнем с графического способа решения таких систем.

Пусть требуется решить систему уравнений

Построим в одной системе координат графики уравнений

(рис. 46). Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения уравнение примеры решения а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2х + 5. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т. е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближенные значения координат точек пересечения графиков: А ( — 2,2; — 4,5), В (0; 5), С (2,2; 4,5), D (4;-3). Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвертое из этих решений являются точными, а первое и третье — приближенными.

Решение систем уравнении второй степени

Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя переменными, составленные из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Такую систему всегда можно решить способом подстановки. Для этого поступают следующим образом:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной, степень которого не выше двух;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример:

Решим систему уравнений

Выразим из второго уравнения переменную х через у:

Подставим в первое уравнение вместо х выражение 1 — 2у, получим уравнение с переменной у:

После упрощения получим равносильное уравнение

Решив его, найдем, что

Соответствующие значения х можно найти, подставив найденные значения у в одно из уравнений системы, например во второе уравнение. Удобнее, однако, воспользоваться формулой х = 1 — 2у.

Подставив в формулу х = 1 — 2у значение уравнение примеры решения получим:

Итак, система имеет два решения:

Ответ можно записать в виде пар: уравнение примеры решения или так:

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения.

Пример:

Решим систему уравнений

Воспользовавшись тем, что уравнение примеры решения выразим из второго уравнения переменную у через х:

Подставим в первое уравнение вместо у выражение уравнение примеры решения Получим уравнение

Решив его, найдем, что

По формуле уравнение примеры решения находим соответствующие значения у:

Значит, система имеет два решения:

Решение задач с помощью систем уравнении второй степени

Задача:

Периметр прямоугольника равен 80 см. Если основание прямоугольника увеличить на 8 см, а высоту — на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится в полтора раза. Каковы стороны прямоугольника?

Решение:

Пусть основание прямоугольника равно х см, а высота равна у см.

Периметр прямоугольника равен 80 см, т. е.

Площадь прямоугольника равна уравнение примеры решения После увеличения сторон основание прямоугольника будет равно (х + 8) см, высота (у + 2) см, а площадь будет равна По условию задачи площадь прямоугольника увеличится в полтора раза, т. е.

Итак, имеем систему уравнений

Решив ее, найдем, что

Задача имеет два решения. Стороны прямоугольника равны 28 см и 12 см или они равны 24 см и 16 см.

Решение линейных уравнений

Мы уже видели что равенства могут быть связаны между собой так, что если верно одно, то непременно верно и другое, другими словами, второе равенство следует или вытекает из первого, или, еще иначе, первое влечет за собой второе. Так, например, если верно, что Решение уравнений , то верно, что . Или: если верны сразу оба равенства и , то верно неравенство . Сюда же относятся следующие важные свойства неравенств :

I. Если Решение уравнений , то .

II. >> Решение уравнений , то .

III. >> Решение уравнений , то .

IV. >> Решение уравнений и притом , то.

Более подробно свойство 1 означает следующее: предположим что Решение уравнений , и — какие угодно числа буквы или буквенные выражения. Если только верно равенство , то верно также и равенство .

В самом деле: ведь равенство Решение уравнений говорит о том, что буквы и обозначают одно и то же число (записанное, может быть, различными способами); в таком случае, каково бы ни было число, обозначенное буквой, суммы Решение уравнений и несомненно, обозначают также одно и то же число.

Представим себе содержание свойства I наглядно.

Пусть два брата, Иван и Петр, одного и того же роста, и пусть Решение уравнений обозначает рост Ивана, а — рост Петра; предположим дальше, что за год каждый из братьев вырос на одно и то же число сантиметров, которое обозначим буквой Решение уравнений ; тогда по прошествии года Иван в Петр по-прежнему будут одного и того же роста.

Вот другой пример. На весах с чашками уравновешены (без гирь) два камня, например, булыжник н кирпич, причем через Решение уравнений пусть обозначен вес булыжника, а через — вес кирпича; если на каждую из чашек положим по гире одного и того же наименования ( кг), то равновесие не нарушится.

Продумайте и объясните по этому образцу свойства II, Ш и IV; приведите также подходящие примеры.

По поводу свойства П следует заметить, что оно только по форме отличается от свойства I, так как «вычесть Решение уравнений » означает то же, что «прибавить > .

Точно так же свойство IV только по форме отличается от свойства III, так как «разделить на Решение уравнений » при условии означает то же, что «умножить на »

Оговорка Решение уравнений в формулировке свойства IV необходима по той причине, что разделить на нуль, как нам известно.

Напротив, в формулировке свойства (Ш ) делать оговорку излишне, так как равенство Решение уравнений справедливо и при . Следует, однако, заметить, что если , то равенство справедливо при .

Свойства равенств I—IV легко сформулировать словесно;

Равенство не нарушится, если:

(I) к обеим его частям мы прибавим одно и то же число,

или (II) от обеих его частей отнимем одно и то же число,

или (III) обе его части умножим на одно и то же число,

или (IV) обе его части разделим на одно и то же число, отличное от нуля.

Основной прием решения уравнений (применение свойств равенств)

Пример:

Решение уравнений .

Предположим, что корень Решение уравнений нашего уравнения существует.

При подстановке этого корня написанное выше равенство является верным. Воспользуемся свойством Решение уравнений (здесь ,, ): раз верно равенство , то верно и равенство , т.е. .

Теперь применим свойство Решение уравнений (здесь , , ): раз верно равенство , то верно и равенство , т.е. или .

Подведем итоги. Мы допустили, что корень Решение уравнений существует и пришли к заключению, что .

Остается проверить, справедливо ли было наше допущение. Это можно сделать посредством подстановки.

Проверка «сходится»: Решение уравнений .

Итак, Решение уравнений есть единственный корень уравнения.

Очень важно при решении многочисленных примеров говорить и писать покороче, например, следующим образом:

Дано уравнение: Решение уравнений .

Отнимем от обеих частей по 17 ( Решение уравнений ): .

Разделим обе части на 13 ( Решение уравнений ): , или .

Проверка. Решение уравнений .

Пример:

Решение уравнений

Решение:

Разделим на 10 ( Решение уравнений ): .

Прибавим по З ( Решение уравнений ):.

Умножим на 2 ( Решение уравнений ): .

Вычтем по 1 ( Решение уравнений ):

Разделим на 5 ( Решение уравнений ): .

Проверка. Решение уравнений .

Пример:

Решение уравнений .

Решение:

Отнимем по 4 ( Решение уравнений ): .

Разделим на 5 ( Решение уравнений ):

Умножим на Решение уравнений ():

Прибавим по Решение уравнений ():

Еще прибавим по 1 ( Решение уравнений ):

Разделим на 2 ( Решение уравнений ):

Проверка: Решение уравнений

Решая уравнение прежним способом («с применением свойств арифметических действий») или новым способом (<с применением свойств равенств»), нам приходилось выполнять одни и те же вычисления: только «объяснения» были различны.

В дальнейшем вы убедитесь, что решать уравнение новым способом гораздо легче.

Пример:

Решение уравнений

Решение:

Отнимем по Решение уравнений ():

Разделим на 2 ( Решение уравнений ): .
Проверка: .

Пример:

Решение уравнений .

Решение:

Прибавим по 2 ( Решение уравнений ): .

Отнимем по Решение уравнений (): .

Проверка: Решение уравнений .

Пример:

Решение уравнений .

Решение:

Умножим на 24 ( Решение уравнений ): .

Отнимем по Решение уравнений (): , или .

Разделим на З ( Решение уравнений ):

Проверка: Решение уравнений .

Вернемся к теории решения уравнений.

Прибавляя к обеим частям равенства Решение уравнений по (свойство ), мы получаем: .

Вычитая из обеих частей равенства Решение уравнений по (свойство ), мы получаем: .

Так как указанные операции приходится выполнять чрезвычайно часто, то в дальнейшем мы можем избавить себя от труда всякий раз ссылаться на свойства равенств Решение уравнений и ; достаточно заметить, что выполняется следующее правило: Допустим, что какая-нибудь из частей данного равенства представляет собой алгебраическую сумму двух или большего числа членов. Тогда можно перенести один из этих членов (или несколько, или даже все) в другую часть равенства, с изменением знака на противоположный.

Слово «можно» означает: вновь получаемое равенство есть следствие данного, т. е., если верно данное равенство, то верно и вновь полученное.

Постепенно вырабатывается привычка, в случае, если нужно перенести несколько членов, переносить их не последовательно (один за другим), а одновременно. Например, желая в равенстве Решение уравнений все члены, содержащие буквы , , , «собрать» в левой части, а прочие члены — в правой части, мы напишем сразу: .

В заключение приведем общий план решения уравнения, которому большей частью удобно бывает следовать.

При решении уравнения:

1) прежде всего освобождаются от дробей;

2) затем производят упрощения: раскрывают скобки и делают приведение подобных членов.

Если в результате упрощений останутся лишь члены, содержащие неизвестную букву в первой степени, и члены, ее вовсе не содержащие, то дальше,

3) члены, содержащие неизвестную букву, переносят в левую часть уравнения, а остальные члены, не содержащие этой буквы, — в правую;

4) устанавливают, какой множитель стоит при не известной букве в левой части

Если окажется, что упомянутый множитель отличен от нуля, то

5) останется лишь разделить на него обе части уравнения

И, наконец, как мы видели, нужно делать проверку.

Решение задач посредством уравнений

Пример:

Я задумал число. Отнял от него Решение уравнений , остаток раз делил на , потом прибавил и полученную сумму умножил на . Получился результат . Какое число я задумал?

Составление уравнения

Допустим, что я задумал число Решение уравнений . Отнял от него , получил . Разделив этот остаток на , получил . Прибавив , получил . Умножив на , получил . Но в условии задачи сказано, что я получил результат Решение уравнений . Итак, можно написать уравнение: .

Решение уравнения

Разделим на Решение уравнений ():.

Вычтем Решение уравнений ():.

Умножим на Решение уравнений ():

Прибавим Решение уравнений ():

Проверка по уравнению

Решение уравнений

Проверка по условию задачи

Я задумал число Решение уравнений . Отняв , получил . Разделив на , получил . Прибавив , получил . Умножив на , получил в результате .

Пример:

Велосипедист едет из одного города в другой со скоростью Решение уравнений км в час. Если бы он ехал со скоростью км в час, то приехал бы на часа раньше. Каково расстояние между городами?

Составление уравнения

Пусть расстояние между городами равно Решение уравнений км, При скорости км в час на весь переезд потребуется часов, при скорости км в час потребуется часов. По условию задачи второе число на меньше, чем первое. Итак, Решение уравнений .

Решение уравнения

Умножим на Решение уравнений ():

Делаем приведение подобных членов: Решение уравнений .

Проверка по уравнению

Решение уравнений

Проверка по условию задачи

Расстояние в Решение уравнений км со скоростью км в час можно проехать за часа, со скоростью км в час — за часов. Разность как раз равна .

Уравнения, имеющие вид пропорции

Уравнения, в частности, нередко имеют вид «пропорции», т. е. и левая и правая части уравнения представляют собою отношения некоторых выражений. Из пропорции Решение уравнений в результате умножения обеих ее частей на немедленно следует равенство: .

Это — «основное свойство пропорции» : в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Решая, например, уравнение Решение уравнений не стоит подробно объяснять, что станет с уравнением, если (по свойству ) сначала умножим обе части на , потом на или сразу на ; достаточно сказать кратко: «по основному свойству пропорции» мы получаем: Решение уравнений .

Уравнения и методы решения систем уравнений с примерами

С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача. Тем не менее дать точное определение понятия «уравнение», точно определить, что значит «решить уравнение», не выходя далеко за рамки курса элементарной математики, мы не можем. Для этого необходимо привлекать весьма серьезные логические и даже философские категории. Нам вполне достаточно знакомства с этими понятиями на уровне «здравого смысла».

Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же неизвестным.
Мы будем говорить, что уравнение В является следствием уравнения А, если любой корень уравнения А является корнем уравнения В.

Уравнения называются эквивалентными, если любой корень одного из них является корнем другого и наоборот. Таким образом, уравнения эквивалентны, если каждое из них является следствием другого.

Из данных определений следует, например, что два уравнения, не имеющие решений, эквивалентны. Если А не имеет решения, то В является следствием Л, каково бы ни было уравнение В.

Наиболее распространенный (стандартный) путь решения уравнений состоит в том, что с помощью стандартных приемов решение данного уравнения сводится к решению нескольких элементарных уравнений с последующим анализом найденных корней.

Стандартными мы будем называть приемы и методы решения уравнений, в которых используются преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение в натуральную степень обеих частей уравнения и т. д.), разложение на множители (формально этот прием или метод относится к преобразованиям, но мы его выделяем, так как в ряде случаев он выступает самостоятельно и специфически), введение вспомогательных неизвестных.

Элементарными являются уравнения двух видов: двучленные Решение уравнений , в частности линейные , и квадратные

Мы будем рассматривать уравнения трех типов: целые алгебраические уравнения, т. е. уравнения вида Решение уравнений есть многочлен степени и); дробные алгебраические уравнения, т. е. уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби (дроби вида ,

где Р и Q — многочлены); иррациональные уравнения, т. е. уравнения, содержащие радикалы, под которыми располагаются многочлены или алгебраические дроби. Аналогично классифицируются рассматриваемые в этой главе системы уравнений.

Обращаем внимание на то, что основные принципы и методы решения уравнений, которые будут здесь изложены, носят достаточно общий характер. Меняются в основном лишь начальная и конечная стадии. В частности, иным будет список элементарных уравнений, расширяется набор преобразований, типы замен. Очень часто решение соответствующего алгебраического уравнения (рационального, иррационального) является составной частью решения уравнения логарифмического, тригонометрического.

Все сказанное здесь относится с некоторыми уточнениями к системам уравнений.

Во всех примерах мы ограничиваемся нахождением действительных корней.

Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, сделаем одно замечание. В некоторых местах мы, объясняя решение, для крат кости будем использовать не совсем аккуратные, но вполне понятные обороты, как, например, «умножим уравнение на…», «сложим два уравнения», «перемножим два уравнения» и т. д. Понятно, что соответствующая операция производится с каждой частью (частями) уравнения (уравнений), в результате чего получается новое уравнение.

Рациональные уравнения, приводящиеся с помощью преобразований к линейным и квадратным

Умение решать линейные и квадратные уравнения — алгебраические уравнения 1-й и 2-й степени — относится к списку умений, которыми, вне всяких сомнений, должен обладать каждый выпускник средней школы, входит в его «прожиточный минимум». Однако и здесь уравнение уравнению рознь. Одно дело — уравнение Решение уравнений и совсем другое— или Правда, трудности, возникающие при решении двух последних уравнений, не имеют непосредственного отношения к теме «Квадратные уравнения», а носят «арифметический» характер. Так, в первом из этих двух уравнений надо вычислить Решение уравнений , во втором «увидеть», что

Рассмотрим теперь несколько примеров, в которых за счет достаточно простых приемов можно избежать громоздких преобразований и вычислений.

Решить уравнение

Решение. Можно, как говорится, не мудрствуя лукаво, попросту освободиться в этом уравнении от знаменателя, раскрыть скобки, привести подобные члены и получить квадратное уравнение. Но можно попробовать облегчить себе жизнь: объединить дроби в пары и произвести сначала действия внутри пар. Удачная группировка, как это видно из приводимого решения, существенно упрощает вычисления (приводим его без комментариев):

Грубой ошибкой было бы сокращение обеих частей на 5х — 12, так как при этом теряется корень Решение уравнений . Запомните: если левая и правая части уравнения имеют общий множитель, то сокращение на него может привести к потере корней. (Иное дело — сокращение на общий множитель числителя и знаменателя алгебраической дроби. В этом случае корни не теряются.) Уравнение Решение уравнений распадается на два: В нашем случае полу чаем два уравнения:

Ответ. 1,2; 2,4.

2. Решить уравнение

Решение. Этот пример посложнее. Решение этого уравнения «в лоб» приводит к непомерным, не для всех преодолимым вычислительным трудностям. Однако можно эти трудности обойти. Преобразуем каждую из входящих в наше уравнение дробь:

(Это достаточно стандартный прием. Можно провести аналогию с выделением целой части в неправильной арифметической дроби.) Остальное понятно без комментариев:

(Как видите, в конце концов все свелось к линейному уравнению.
Это уравнение должно было получиться, если бы мы обычным путем стали освобождаться от знаменателя в исходном уравнении.)

Ответ.— 2,5.

Иррациональные уравнения. Появление лишних корней

При стандартном способе решения уравнения возникает цепочка уравнений той или иной длины, соединяющая исходное уравнение с уравнением (или уравнениями), которое мы умеем решать, элементарным. Конечно, было бы очень хорошо, если бы каждое уравнение цепочки было эквивалентно предыдущему, а следовательно, и исходному. Но этого не всегда легко добиться, тем более что получающаяся цепочка может и разветвляться.
Легче следить за тем, чтобы каждое следующее уравнение было следствием предыдущего, чтобы корни «по дороге» не терялись.
Если мы сумеем организовать решение уравнения указанным образом, то нам необходимо после решения последнего уравнения (уравнений) найти способ отсеять лишние корни, отобрать правильные. В частности, это можно сделать при помощи проверки.
В этом случае (и только в этом!) проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться.
С другой стороны, иногда нам легче сделать проверку, чем обосновывать то, что в ней нет необходимости. В этом случае она, по существу, также является элементом решения, заменяя необходимое обоснование. И наконец, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений (делается «для себя»).

Рассмотрим несколько примеров.

3. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Решение уравнений

Проверка показывает, что Решение уравнений — лишний корень , а удовлетворяет уравнению

Ответ. 1.
4. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Решение уравнений

Найденные значения удовлетворяют уравнению.

Ответ. 0; —2.

5. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Решение уравнений Найденное значение — лишний корень.

Ответ. Уравнение не имеет решений.

Однако не всегда проверку легко осуществить. Лишние корни, которые могли появиться вследствие того что в процессе решения уравнение возводилось в квадрат (или в любую четную степень), могут быть отброшены на основании следующего простого и очевидного утверждения (настолько простого и очевидного, что оно не заслуживает звания теоремы).

Если Решение уравнений удовлетворяет уравнению (2), полученному из уравнения (1) возведением в квадрат его правой и левой частей, то, для того чтобы хо являлся также и корнем уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы при подстановке Решение уравнений в уравнение (1) левая и правая части были бы числами одного знака (безусловно, предполагается, что при этом обе части имеют смысл).

6. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Решение уравнений — лишний корень, так как в то время как удовлетворяет уравнению

Ответ. Решение уравнений

Возведение в квадрат — один из стандартных способов избавления в уравнении от квадратных радикалов, но не единственный. Если таких радикалов несколько, то уравнение приходится возводить в квадрат неоднократно. (Обычно всякий раз один радикал уединяется, т. е. его располагают в одной из частей уравнения, а все остальное переносится в другую часть. Кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, находящееся под знаком уединенного радикала, было бы’ неотрицательно). В этом случае корнями исходного уравнения будут лишь те корни первого уравнения без радикалов, которые будут давать числа одного знака в обеих частях всех тех промежуточных уравнений, которые возводились в квадрат.

7. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Решение уравнений

Значение Решение уравнений должно удовлетворить ограничениям , так как уравнения (*) и (**) возводились в квадрат. Очевидно, что не удовлетворяет второму ограничению.
Проверьте, что Решение уравнений удовлетворяет обоим условиям (некоторые трудности могут возникнуть при проверке первого).

Ответ. Решение уравнений

Приведем пример, показывающий, как иногда можно избавляться от квадратных радикалов, не возводя уравнения в квадрат (или почти не возводя).

8. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Умножим обе части на сумму корней, получим Решение уравнений

Можно во втором уравнении, как обычно, уединить один радикал, возвести обе части в квадрат и т. д. А можно поступить иначе. Поскольку мы ищем лишь те корни этого уравнения, которые являются одновременно и корнями исходного, то эти корни должны удовлетворять уравнению, являющемуся их суммой, т. е. уравнению

Проверка показывает, что оба корня подходят:
Ответ. Решение уравнений

(Проверка здесь необходима, поскольку ни из чего не следует, что при найденных значениях подкоренные выражения не будут отрицательными.)

О понятии области допустимых значений неизвестного

Областью определения уравнения или областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения называется множество тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части.

Во введении понятия ОДЗ особой необходимости нет, поскольку, как это следует из самого его определения, при решении любого уравнения мы не имеем права рассматривать значения неизвестного, не входящие в ОДЗ. Тем удивительнее, что сплошь и рядом приходится наблюдать «решения», в которых большая часть посвящена нахождению тех значений неизвестного, которые оно не может принимать, и откуда очень трудно понять, а чему же оно все-таки равно.

Уравнение может быть правильно решено, если в решении отсутствует даже упоминание об ОДЗ. И наоборот, верно найденная ОДЗ и последующий отбор корней по нему не гарантируют от ошибок. Универсальных рецептов здесь нет и быть не может. Более того, любая, даже в принципе полезная рекомендация, которая может быть истолкована как универсальная, превратившись в догму, принесет лишь вред, о чем, в частности, свидетельствует короткая, но поучительная история возникновения и рас пространения понятия ОДЗ. (Посмотрите с точки зрения полезности нахождения ОДЗ примеры 1—8. Обратите внимание на то, что в уравнениях 3—7 даже лишние корни входят в ОДЗ.)

Разберем еще два примера, показывающих, что в одних случаях нахождение ОДЗ полезно при решении уравнения, в других задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно не нужной. (При нахождении ОДЗ надо уметь решать неравенства и системы неравенств. Несмотря на то что тема «Неравенства» следует позже, мы предполагаем здесь наличие некоторых основных умений и навыков в решении неравенств.

9. Решить уравнение

Решение. Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную (проверьте) и совершенно ненужную задачу. Возведем уравнение в квадрат:

Решение уравнений — лишний корень (проверка).

Ответ. 1.

10. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. В этом уравнении нахождение ОДЗ приносит несомненную пользу, поскольку оно состоит из двух значений: х=1 и х=0 (докажите). Проверка показывает, что корнем уравнения является лишь значение х=1.

Ответ. 1.

Конечно, уравнения 9 и 10 специально подобраны и отражают две крайние ситуации. Истина, как всегда, находится посередине.

Замена неизвестного

Введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой, легко приводимый к стандартному вид или даже просто упрощающее вид уравнения — важнейший метод решения уравнений любых видов и типов.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся замены.

а) Замена Решение уравнений В частности, с помощью замены решаются так называемые биквадратные уравнения, т. е. уравнения вида

б) Замена Решение уравнений или где — многочлен.
Чаще всего встречаются задачи, в которых делается замена

в) Замена Решение уравнений , где — многочлены (например, . В частности, с помощью замены решаются возвратные уравнения 4-й степени, т. е. уравнения вида Делается это следующим образом. Разделим уравнение на Решение уравнений почленно, получим

Поскольку

то относительно Решение уравнений будем иметь уравнение

Прежде чем рассмотреть примеры, дадим два совета. Пер вый: новое неизвестное следует вводить сразу, при первой возможности.

Второй: после введения нового неизвестного получившееся уравнение следует полностью решить с этим неизвестным, от бросить, если таковые появились, лишние корни и лишь затем вернуться к первоначальному неизвестному.

11. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Сделаем замену Решение уравнений (Можно за но вое неизвестное принять но в этом случае решение будет несколько более сложным.) Тогда Получим относительно у уравнение

Решение уравнений не удовлетворяет условию Возвращаемся к х:

Ответ. 1; 2.

12. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Можно в этом уравнении освободиться от знаменателя, проделать все необходимые преобразования и убедиться, что получившееся уравнение 4-й степени является возвратным.
Но лучше это сделать быстрее. Поделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части, на Решение уравнений Получим

Решение уравнений Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ. Решение уравнений

13. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Поскольку в левой части стоит сумма двух квадратов, естественно попытаться дополнить ее до квадрата суммы или разности. Во втором случае получим

Решение уравнений Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ. Решение уравнений

14. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Обозначим Решение уравнений

Получилось кубическое уравнение, которое мы решать не умеем. Однако существует метод нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами, после чего можно свести решение данного уравнения к решению уравнения меньшей степени. Об этом мы расскажем в следующем пункте, где и окончим решение этого уравнения.

Рассмотрим еще несколько полезных примеров.

15. Решить уравнение (х +1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 120.

Решение. Группируя в левой части первый множитель с последним, а второй с третьим, получим

Обозначим Решение уравнений Для у имеем уравнение

Решение уравнений Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ. 1; —6.

16. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Перенесем Решение уравнений в левую часть и разделим почленно на Получим

Теперь естественным образом вводится новое неизвестное Решение уравнений , тогда

Решение уравнений — лишний корень, так как должно быть

Решение уравнений лишний корень так как должно быть

Ответ . Решение уравнений

Рассмотренный в этом примере метод применим всегда, когда уравнение имеет вид Решение уравнений где зависят от (Это уравнение называется однородным относительно и и v второй степени, поскольку все его члены имеют одну и ту же суммарную степень, равную 2.) Делением на Решение уравнений оно приводится к квадратному уравнению относительно

Подводя итог этому пункту, заметим, что в рассмотренных примерах были показаны лишь некоторые достаточно распространенные виды и способы замены неизвестного. В одних случаях такую замену можно сделать сразу, в других — после ряда целенаправленных преобразований. Главное здесь — сделать за мену вовремя, не тянуть с нею до конца, не прозевать нужный момент.

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Разложение на множители

Разложение левой части уравнения на множители (правая часть равна нулю) — достаточно распространенный прием решения самых различных уравнений. Здесь нет общих рецептов. Многое зависит от вашего умения, сообразительности, наблюдательности и опыта. Есть, правда, исключения. Об одном общем методе разложения на множители некоторых алгебраических уравнений мы расскажем в этом пункте.

В одних случаях нужное разложение естественным образом определяется самим уравнением.

17. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Группируя попарно члены, сразу получаем нужное разложение:

В других случаях надо быть чрезвычайно изощренным человеком, чтобы разложить данное уравнение на множители, даже если известно, что такое разложение возможно. Такое уравнение очень легко составить, но очень трудно решить. Например, возьмем очень простое уравнение Решение уравнений Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим Как из этого уравнения получить исходное, трудно сказать. Возможно, кто-нибудь сообразит и сумеет представить левую часть в виде разности квадратов Решение уравнений Безусловно, это не самый лучший способ придумывания трудных задач.

Нахождение рациональных (в частности, целых) корней алгебраических уравнений с целыми коэффициентами основано на следующей теореме.

Пусть Решение уравнений — уравнение с целыми коэффициентами. Если число , где р и q — целые числа и дробь несократима, является корнем уравнения, то р есть делитель свободного члена Решение уравнений — делитель коэффициента при старшем члене (Докажите эту теорему самостоятельно.)

Зная один корень многочлена, можно его разложить на множители, т.е. если Решение уравнений — корень многочлена то

Нам нет необходимости доказывать это утверждение в общем виде. Достаточно уметь разложить на множители многочлен в каждом конкретном случае.

Доведем теперь до конца решение уравнения 14. Мы имеем Решение уравнений Поскольку старший коэффициент равен 1, q=l (см. теорему). Свободный член имеет делители 1, 2, 4, 8, 16. Таким образом, если это уравнение имеет рациональный корень, то этот корень непременно целый и находится среди чисел ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. Подставляя их в левую часть, найдем Решение уравнений Следовательно, левая часть разлагается на множители, один из которых (у — 2).

Произвести это разложение можно с помощью метода, который назовем методом группировки. Суть его в том, чтобы представить многочлен в виде суммы пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить множитель (у — 2). Поскольку первый член равен Решение уравнений , то в качестве второго слагаемого следует взять — в результате чего образуется пара , в которой можно вынести множитель Таким образом, от второго члена мы «заняли» — Решение уравнений остается — . Прибавляем получим пару и т. д. В результате будем иметь

Таким образом, для нахождения остальных корней надо решить уравнение Решение уравнений Его корни: но поэтому не подходит. Возвращаясь к х, найдем ответ.

Ответ. Решение уравнений

18. Решить уравнение Решение уравнений
Решение. Рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что удовлетворяют уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения.

Ответ. Решение уравнений

Системы уравнений

Наиболее простым и, вероятно, самым распространенным методом, применяемым при решении системы уравнений, является метод последовательного исключения неизвестных. Любая система линейных уравнений может быть решена этим методом. Суть его в следующем.

Выражаем одно неизвестное из одного уравнения через остальные и подставляем в оставшиеся. Получаем новую систему, в кото рой число уравнений и неизвестных уменьшилось на 1. С новой системой поступаем таким же образом и так до тех пор, пока это возможно.

Если в системе некоторые уравнения не линейны, то этот метод можно применить не всегда. Однако он может быть использован как прием, за счет которого можно решение данной системы свести к решению системы, состоящей из меньшего числа уравнений и неизвестных.

19. Решить систему уравнений Решение уравнений

Решение. Выражаем z из второго уравнения Решение уравнений и подставляем в первое и третье:

Ответ. Решение уравнений

Однако не всегда удается так легко выразить одно неизвестное через другие.

20. Решить систему уравнении Решение уравнений

Решение. Первое уравнение этой системы является одно родным относительно х и у (см. уравнение 16 и замечание к нему). Разделив его на Решение уравнений (очевидно, ), получим квадратное уравнение относительно и найдем . Таким образом, имеются две возможности:

Подставляя найденные выражения х через у во второе уравнение, получим соответственно два квадратных уравнения:

Ответ. Решение уравнений

Этот метод применим во всех случаях, когда одно уравнение является однородным относительно двух неизвестных.

21. Решить систему уравнений Решение уравнений

Решение. Умножив первое уравнение на 3, а второе — на ( — 4) и сложив их, мы получим однородное уравнение Решение уравнений С этим уравнением поступим, как в предыдущем примере: разделим на и получим квадратное уравнение относительно

(Доведите решение системы до конца самостоятельно.)

Ответ. (± 1; ± 1 ).

22. Решить систему уравнений Решение уравнений

Решение. Предложенная система является (и называется) симметричной: замена х на у, а у на х не меняет каждого из уравнений системы. В такого рода системах очень часто к цели приводит следующая замена неизвестных: Решение уравнений Поскольку относительно и получим систему

Исключая Решение уравнений получим для и квадратное уравнение

Для х и у соответственно будем иметь две системы:

Вторая система не имеет действительных корней.

Ответ. (1; 2); (2; 1).

Сведение к системе алгебраических уравнений, в частности к симметричной системе, достаточно распространенный метод решения иррациональных уравнений с одним неизвестным.

23. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Обозначим Решение уравнений Из определения у и z следует, что Таким образом, для у и z имеем симметричную систему

«По стандарту» обозначим Решение уравнений тогда

Таким образом, Решение уравнений

Возвращаясь к у и z, найдем Решение уравнений Соответственно имеем два значения х: 2 и —5.

Ответ. 2; —5.

Рассмотрим еще одну симметричную систему.

24. Решить систему уравнений Решение уравнений

Решение. Попробуем нашу замену: Решение уравнений Поскольку для получим кубическое уравнение не имеющее рациональных корней (проверьте). Тем не менее данная система достаточно просто решается. Возведем второе уравнение в куб.
Получим

т. е. Решение уравнений и — корни квадратного уравнения

Ответ. Решение уравнений

Заметим, что «попутно» мы решили кубическое уравнение Решение уравнений Вернее, нашли его корень: (Если же мы умеем находить все три комплексные решения уравнения то мы сможем найти выражение для всех трех корней уравнения Решение уравнений

Достаточно часто встречаются системы, в которых одно уравнение является квадратным относительно какого-либо неизвестного или комбинации неизвестных.

25. Решить систему уравнений Решение уравнений

Решение. Обозначим Решение уравнений тогда Первое уравнение относительно t имеет вид откуда Система разветвляется на две:

(0; 0) — лишнее решение.

Ответ Решение уравнений

26. Решить систему уравнений

Решение. Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно х (можно относительно у):

Таким образом, имеем две возможности:

Заменяя во втором уравнении х через у и решая получившиеся для у уравнения, найдем для каждого случая:

2) нет действительных решений.

Ответ. (8;3).

Рассмотрим еще несколько систем, в которых к цели приводят другие достаточно распространенные приемы решений.

27. Решить систему уравнений Решение уравнений

Решение. Обозначим Решение уравнений (с подобным способом избавления от радикалов
мы уже встречались). Имеем Можно проверить, что Таким образом, для u, v и w получаем систему

Из первых двух уравнений находим Решение уравнений

Подставляя эти выражения в третье уравнение, получим для v квадратное уравнение

По условию Решение уравнений Значит, Из последней системы находим х и у.

Ответ. (3; 1).

В предыдущей системе мы составляли комбинацию из Решение уравнений , не зависящую от х и у. Вообще, составление комбинаций из данных уравнений, в результате которых получаются более простые уравнения, достаточно распространенный прием при решении систем. (С этим приемом мы уже встречались при решении системы 21.)

28. Решить систему уравнений

Решение. Умножим уравнения соответственно на 2, 3 и 1 и сложим получившиеся уравнения. (Выбор множителей 2 и 3 обусловлен естественным желанием избавиться от констант. После того как мы найдем комбинацию из первых двух уравнений, не трудно заметить, что сложение получившегося уравнения с треть им уравнением дает возможность избавиться от у.) Получим

Возникают два случая: Решение уравнений Выражаем в каждом случае г через х и подставляем в первые два уравнения системы (они на вид проще), третье уравнение можно не рассматривать. Получим соответственно две системы:

В первой системе сложим первое уравнение с удвоенным вторым, получим Решение уравнений откуда Подставив эти значения в уравнения системы 1), убедимся, что найденные значения удовлетворяют этой системе.

Во второй системе первое уравнение перепишем в виде Решение уравнений откуда Заменяя у через х во втором уравнении, в случае получим квадратное уравнение, не имеющее действительных корней, а в случае найдем

Ответ. Решение уравнений

Уравнения, содержащие абсолютные величины

Наиболее распространенным методом решения уравнений и систем уравнений, содержащих абсолютные величины, является метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании ее определения:

29. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Выражения, стоящие под знаком абсолютных величин, обращаются в ноль при Решение уравнений Соответственно нам нужно рассмотреть три случая:

Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение.

1) Решение уравнений В этом случае Следовательно, Получаем не удовлетворяет условию

Во втором и третьем случаях соответствующие значения х удовлетворяют нужным ограничениям.

Ответ. Решение уравнений

Можно действовать и иначе, исходя из того, что равенство Решение уравнений означает, что

30. Решить уравнение Решение уравнений

Решение. Этому уравнению соответствуют два уравнения:

среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию Решение уравнений Первое имеет корни подходит пер вый корень. Корни второго Вновь остается первый корень.

Ответ. Решение уравнений

Можно, наконец, вовсе не решать неравенств, а, рассмотрев весь набор уравнений, который может получиться при раскрытии знака абсолютной величины и среди решений которых содер жатся все решения исходного уравнения, решить их и отобрать (например, с помощью проверки) корни, удовлетворяющие исход ному уравнению.

31. Решить уравнение

Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений:

которые можно переписать в виде

Каждое из этих уравнений, в свою очередь, распадается на два.
Таким образом, мы приходим к четырем уравнениям:

среди корней которых содержатся все корни исходного уравнения.
Имеем четыре корня: Решение уравнений

Первый корень проверяется легко. Он удовлетворяет уравнению.

Второй и третий корни не подходят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна Решение уравнений потому, что

Четвертый корень также является лишним, поскольку этот корень должен удовлетворять уравнению Решение уравнений а правая часть этого уравнения отрицательна при

Ответ. 3.

Заключение. Были рассмотрены виды уравнений и методы решения, которые условно можно назвать стандартными.

Мы не рассматривали здесь уравнения с параметрами, уравнения, в которых необходимо найти целочисленные решения, и другие виды уравнений с «нестандартными» условиями. Точно так же нерассмотренными оказались многие интересные методы решений: использование монотонности, экстремальных свойств, входящих в уравнение функций, логические методы и т. д. Все эти виды уравнений и методы их решения мы «объявляем». Не следует думать, что любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем стандартное. Легко привести примеры очень простых уравнений, решаемых, однако, формально «нестандартными» методами. И наоборот, уже можно найти много примеров достаточно трудных стандартных уравнений и систем уравнений.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: