Преобразование рациональных выражений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Преобразование рационального выражения – это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).

Тождественные преобразования целых выражений

Степень с натуральным показателем

Если а— действительное число, а n — натуральное число, отличное от единицы, то произведение n сомножителей, каждый из которых равен а, называется n-й степенью числа а и обозначается если то полагают Число а называется основанием степени, число n — показателем степени.

Например, Преобразование рациональных выражений

Свойства степени с натуральным показателем

Например, Преобразование рациональных выражений

Докажем эти свойства.

Преобразование рациональных выражений из свойства вытекает, что значит,

Операции над одночленами

Одночленом называется такое выражение, которое содержит числа, переменные, степени чисел и переменных и их произведения.

Например, одночленами являются выражения Преобразование рациональных выражений Приведем также примеры выражении, не являющихся одночленами:

Основные законы алгебры и свойства степени с натуральным показателем позволяют нам привести одночлен к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда одночлен имеет единственный числовой множитель, стоящий на первом месте (коэффициент), а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Приведем для примера к стандартному виду данные выше одночлены. Рассмотрим первый одночлен. Воспользовавшись переместительным и сочетательным законами умножения, получим Преобразование рациональных выражений Так как то в итоге получаем Аналогично,

Пусть даны два одночлена. Если поставить между ними знак умножения, то получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. При возведении одночлена в натуральную степень также получается одночлен. Результат обычно приводят к стандартному виду.

Примеры:

Выполнить умножение одночленов Преобразование рациональных выражений и

Решение. Имеем: Преобразование рациональных выражений

2.Возвести одночлен Преобразование рациональных выражений в четвертую степень.

Решение:

Преобразование рациональных выражений

Одночлены, приведенные к стандартному виду, называются подобными, если они отличаются только коэффициентами либо совсем не отличаются.

Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным. Сложение и вычитание подобных одночленов, называется приведением подобных членов.

Пример:

Выполнить сложение одночленов Преобразование рациональных выражений

Решение:

Воспользовавшись распределительным законом, получим:

Понятие тождественного преобразования выражения

Сравним значения выражений Преобразование рациональных выражений при различных значениях х. При получим и Числа 0 и 3 называются соответственными значениями выражений

Найдем соответственные значения выражений Преобразование рациональных выражений и при и при Результат запишем в виде таблицы

Как видно из таблицы, соответственные значения могут иногда совпадать.

Два выражения, зависящие от одних и тех же переменных, называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны. Так, тождественно равными будут выражения Преобразование рациональных выражений

Равенство, в котором левая и правая части—тождественно равные выражения, называется тождеством. Тождествами будут, во-первых, все равенства, выражающие основные законы алгебры:

Тождествами являются и равенства Преобразование рациональных выражений

Верные числовые равенства также называются тождествами.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения. Мы уже имели некоторые примеры тождественных преобразований. Так, приведение одночлена к стандартному виду есть тождественное преобразование, выполняемое на основании определения степени или свойств степени с натуральным показателем и перемес-тительного и сочетательного законов умножения. Тождественными преобразованиями являются также умножение одночленов и их возведение в натуральную степень, приведение подобных членов. Другие примеры тождественных преобразований выражений будут рассмотрены ниже.

Многочлены. Приведение многочлена к стандартному виду

Многочленом называется сумма одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида. Например, выражение Преобразование рациональных выражений является многочленом. Для приведения его к стандартному виду нужно сначала привести к стандартному виду члены многочлена: а затем привести подобные члены; тогда получим Преобразование рациональных выражений

Одночлены, многочлены, а также их сумма, разность, произведение и степень составляют множество целых алгебраических выражений.

Основная задача тождественных преобразований целых выражений состоит в приведении их к стандартному виду многочлена (или одночлена). Такое преобразование всегда выполнимо.

Примеры:

Упростить (привести к стандартному виду) многочлены:

Решение:

Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим

и далее

Решение:

Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим

Решение:

Воспользовавшись распределительным законом Преобразование рациональных выражений

получим

Таким образом, произведение одночлена на многочлен равно сумме произведений этого одночлена на каждый член многочлена. Преобразование рациональных выражений

Решение:

Обозначим выражение Преобразование рациональных выражений буквой x тогда выражение примет вид Раскрыв скобки, получим тождество

или (так как Преобразование рациональных выражений

Снова раскрывая скобки, получим окончательно:

Таким образом, произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого.

Разложение многочлена на множители

Представление многочлена в виде произведения ряда многочленов, среди которых могут быть и одночлены, называется разложением многочлена на множители. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные методы разложения многочленов на множители.

Вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим пример. В многочлене Преобразование рациональных выражений члены имеют общий множитель Чтобы разложить этот многочлен на множители, представим каждый член многочлена в виде произведения двух множителей, один из которых Преобразование рациональных выражений а затем применим распределительный закон:

В рассмотренном примере мы вынесли за скобки Преобразование рациональных выражений но можно было бы выполнить разложение на множители, вынося за скобки и т. д. Например, если вынести за скобки получим:

Обычно, если все коэффициенты многочлена целые числа, выносят за скобки множитель с коэффициентом, равным наибольшему общему делителю модуля всех коэффициентов многочлена. Одинаковые переменные, входящие во все члены, выносят с наименьшим показателем, который они имеют в данном многочлене.

Примеры:

Преобразование рациональных выражений

Метод группировки. Пусть дан многочлен Преобразование рациональных выражений

Представим его в виде суммы двух многочленов:

Вынося в первом двучлене за скобки Преобразование рациональных выражений а во втором получим

В результате проделанной группировки нам удалось представить многочлен в виде суммы двух слагаемых, имеющих общий множитель Преобразование рациональных выражений Вынося этот общий множитель за скобки, получаем

Примеры:

Применение тождеств сокращенного умножения. В некоторых случаях приведение многочлена к стандартному виду, а также разложение на множители производится с помощью тождеств сокращенного умножения.

А. Преобразуем выражение Преобразование рациональных выражений в многочлен стандартного вида. Имеем

Таким образом, мы получили следующее тождество:

т. е. произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений.

Примеры:

Упростить, т. е. преобразовать выражение в многочлен стандартного вида:

Поменяем в тождестве (1) левую и правую части местами:

В таком виде это тождество удобно применять для разложения на множители разности квадратов двух выражений.

Примеры:

Разложить на множители:

Б. Преобразуем теперь в многочлен стандартного вида выражение Преобразование рациональных выражений Имеем

Таким образом, получено тождество

т. е. квадрат двучлена равен сумме трех выражений: квадрата первого члена, удвоенного произведения первого члена на второй и квадрата второго члена. Поменяв в тождестве (2) b на -b получим

Примеры:

Упростить выражения:

Решение:

Конечно, это выражение можно преобразовать к стандартному виду многочлена, представив его в виде Преобразование рациональных выражений и раскрыв скобки по правилу умножения многочленов. Однако использование тождества (2) позволяет выполнить преобразования быстрее: Преобразование рациональных выражений

Решение:

Можно было бы возвести в квадрат каждое слагаемое, а затем результаты перемножить. Однако рациональнее сделать так:

2.Доказать тождества:

Решение:

Выполним преобразования левой части тождества:

Так как в результате мы получили правую часть тождества, то тождество доказано;

Решение:

Поменяем в тождестве (2) правую и левую части местами:

В таком виде тождество удобно применять для разложения на множители.

Примеры:

Разложить на множители:

Заметим, что заданное выражение можно разложить на множители и другим способом:

Замечание:

Мы показали, что Преобразование рациональных выражений В таком случае говорят, что многочлен делится на (тогда в частном получается или на (в частном получается

В. Рассмотрим теперь выражение Преобразование рациональных выражений и преобразуем его в многочлен стандартного вида:

Таким образом,

т. е. куб двучлена равен сумме четырех выражений: куба первого члена, утроенного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и куба второго члена.

Поменяв в равенстве (3) b на -b, получим

Примеры:

Преобразовать выражения в многочлен стандартного вида:

Г. Преобразуем теперь в многочлен стандартного вида выражение Преобразование рациональных выражений Имеем

Таким образом, получено тождество

Поменяв в тождестве (4) левую и правую части, получим формулу для разложения на множители суммы кубов:

Поменяв в тождестве (4а) b на -b, получим

Примеры:

Упростить выражение

Решение:

Разложить на множители Преобразование рациональных выражений

Решение:

Тождественные преобразования дробных выражений

Числовые выражения, а также выражения с переменными, в которых используются операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень, называются рациональными. Если рациональное выражение не содержит операции деления на выражение с переменными, то оно называется целым. Если же при составлении рационального выражения используется операция деления на выражение с переменными, то это рациональное выражение называется дробным.

Примеры дробных выражений:

Выражение Преобразование рациональных выражений не является дробным, хотя в записи выражения и используется черта дроби. Это—целое выражение, которое можно привести к стандартному виду многочлена Преобразование рациональных выражений

Во множестве рациональных выражений выделим еще одно подмножество выражений—подмножество дробей. Дробь — это выражение вида Преобразование рациональных выражений где буквами обозначены числовые выражения или выражения с переменными; а—числитель дроби, b — знаменатель. Согласно этому определению, из рассмотренных выше примеров дробями будут следующие:

Дробное выражение Преобразование рациональных выражений не является дробью.

Обращаем внимание читателя на следующее обстоятельство: не всякая дробь является дробным выражением. Так, рассмотренное выше выражение Преобразование рациональных выражений является дробью, но не является дробным выражением (нет деления на выражение с переменными).

Одна из основных задач тождественных преобразований дробных выражений состоит в том, чтобы данное выражение представить в виде дроби, числитель и знаменатель которой—целые выражения. Чтобы выделить такие дроби из множества всех дробей, условимся называть их алгебраическими. Такое преобразование, как мы увидим, всегда выполнимо.

Областью определения выражения с одной переменной называется множество значений переменной, при которых это выражение имеет смысл. Так, область определения выражения Преобразование рациональных выражений (обозначим ее Y) состоит из всех чисел, за исключением —2 и 2. Это можно записать так:

Это множество можно изобразить графически в виде числовой прямой с двумя проколотыми точками (рис. 20).

Если дано выражение с двумя переменными х и у, то областью его определения будет множество числовых пар вида Преобразование рациональных выражений при которых выражение имеет смысл. Так, выражение определено на множестве всех пар за исключением пар вида Это—множество точек координатной плоскости Преобразование рациональных выражений за исключением точек, лежащих на осях

Целые выражения с переменными определены при любых значениях переменных. Если дана алгебраическая дробь, причем знаменатель содержит переменные, то чтобы найти область определения дроби, нужно найти значения переменных, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить такие значения.

Основное свойство дроби

Как известно, числитель и знаменатель обыкновенной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Например,

Естественным обобщением этого факта является основное свойство дроби, выражаемое тождеством

Основное свойство дроби имеет разнообразные применения. Так, если числитель и знаменатель дроби являются многочленами с дробными коэффициентами, то для упрощения записи целесообразно умножить числитель и знаменатель дроби на наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов. Это умножение является законным в силу основного свойства дроби.

Пример:

Упростить дробь Преобразование рациональных выражений

Решение:

Наименьшим общим кратным знаменателей всех коэффициентов будет в данном случае число 12. Умножив и числитель, и знаменатель дроби на 12, получим

Основное свойство дроби используется для перемены знаков у членов дроби. Пусть дана дробь Преобразование рациональных выражений Умножив и числитель, и знаменатель дроби на (- 1), получим

Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

Если в последних тождествах изменить знаки левой и правой частей, то получим

т. е. если надо изменить знак только числителя или только знаменателя дроби,то нужно изменить знак и перед самой дробью. Например,

Сокращение алгебраической дроби

Сократить дробь—это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Для того чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то их можно сократить. Если общих множителей нет, то упрощение дроби посредством сокращения невозможно. Сокращение дроби есть тождественное преобразование.

Примеры:

Сократить дробь Преобразование рациональных выражений

Решение:

Замечаем, что числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель Преобразование рациональных выражений Значит надо сократить на этот общий множитель. Запись имеет такой вид:

Заметим, что области определения дробей Преобразование рациональных выражений различны. Дробь определена при а дробь определена при любых значениях х.

Значит, в результате сокращения получилась дробь, область определения которой (обозначим ее Преобразование рациональных выражений шире, чем область определения исходной дроби (обозначим ее Это можно записать так:

2.Сократить дробь Преобразование рациональных выражений

Для разложения числителя на множители применим способ группировки, представив предварительно одночлен Преобразование рациональных выражений в виде суммы тогда

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов: Преобразование рациональных выражений

Теперь имеем:

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Общим знаменателем нескольких алгебраических дробей называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби. Например, общим знаменателем дробей Преобразование рациональных выражений служит многочлен так как он делится и на Следует, однако, заметить, что это не единственное решение поставленной задачи: общим знаменателем данных дробей будет и многочлен Преобразование рациональных выражений и многочлен и многочлен и т. д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем (НОЗ). В рассмотренном выше примере НОЗ равен Преобразование рациональных выражений

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю— это значит преобразовать каждую из дробей к такому виду, чтобы знаменателем служил НОЗ. Возможность такого преобразования вытекает из основного свойства дроби, позволяющего умножать числитель и знаменатель дроби на один и тот же многочлен. Так, для рассмотренных выше дробей имеем

Нам удалось привести дроби к НОЗ. Это достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на Преобразование рациональных выражений а числителя и знаменателя второй дроби на Многочлены называются дополнительными множителями соответственно для первой и для второй дроби. Нетрудно понять, что дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления НОЗ на знаменатель данной дроби.

Заметим, что области определения дробей Преобразование рациональных выражений и Различны. Дробь определена при а дробь определена при значениях х, отличных от -2 и 2.

Значит, в результате умножения числителя и знаменателя дроби Преобразование рациональных выражений на дополнительный множитель получилась дробь, область определения которой уже, чем область определения исходной дроби. Это можно записать так:

Пример:

Привести к НОЗ дроби Преобразование рациональных выражений

Решение:

В данном случае НОЗ равен Преобразование рациональных выражений Чтобы переписать данные дроби со знаменателем надо найти дополнительные множители. Для первой дроби дополнительным множителем будет Преобразование рациональных выражений Что касается второй дроби, то ее знаменатель совпадает с НОЗ. В таком случае говорят, что дополнительный множитель равен 1. Итак,

Вторую дробь оставим без изменения.

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю.

В общем случае, чтобы привести дроби к НОЗ, нужно все знаменатели разложить на множители, из первого знаменателя взять все множители, а из остальных добавить те, которых нет в первом. Покажем на примерах, как это делается.

Пример:

Привести к НОЗ дроби

Решение:

Разложим каждый из знаменателей на множители:

Составим НОЗ. Для зтого возьмем первый знаменатель Преобразование рациональных выражений Из второго знаменателя возьмем множитель 3, ибо его нет в первом знаменателе, а из третьего знаменателя возьмем множитель В итоге НОЗ равен Преобразование рациональных выражений

Теперь найдем дополнительные множители. Разделив НОЗ на знаменатель первой дроби, получим дополнительный множитель для первой дроби: Преобразование рациональных выражений Разделив НОЗ на знаменатель второй дроби, получим дополнительный множитель для второй дроби: Разделив НОЗ на знаменатель третьей дроби, получим дополнительный множитель для третьей дроби: 3. Теперь имеем:

Рекомендуем придерживаться следующей схемы отыскания НОЗ и дополнительных множителей (приводим ее на базе рассмотренного примера).

Пример:

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

Решение:

Прежде всего разложим знаменатели на множители:

Применим схему отыскания НОЗ и дополнительных множителей.

Если мы теперь числитель и знаменатель первой из данных дробей умножим на первый дополнительный множитель, а числитель и знаменатель второй дроби —на второй дополнительный множитель, то получим дроби с общим знаменателем:

Умножение и деление алгебраических дробей

Обыкновенные дроби перемножаются следующим образом:

Обобщением этого равенства является тождество

где Преобразование рациональных выражений — целые алгебраические выражения. Итак, произведение двух (и вообще любого числа) алгебраических дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель— произведению знаменателей перемножаемых дробей.

Деление обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

Обобщением этого равенства является тождество

Значит, частное от деления двух алгебраических дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.

Примеры:

Преобразовать в дробь произведение

Решение:

Применяем правило умножения, затем выполняем необходимые сокращения:

Преобразовать в дробь частное

Решение:

Используем правило деления и выполняем сокращения:

Замечания:

Учитывая возможность сокращения алгебраической дроби, получаемой в результате умножения или деления алгебраических дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

2.Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен, достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем 1.

Возведение алгебраической дроби в натуральную степень

Рассмотрим выражение Преобразование рациональных выражений Имеем

поэтому

Значит, степень дроби тождественно равна дроби, у которой числитель есть степень числителя, а знаменатель —степень знаменателя.

Пример:

Преобразовать в дробь степень Преобразование рациональных выражений

Решение:

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Для обыкновенных дробей справедливо равенство

Обобщением этого равенства является тождество

Оно означает, что сумма двух (и вообще любого числа) алгебраических дробей с одинаковым знаменателем тождественно равна алгебраической дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей.

Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковым знаменателем. В самом деле,

Пример:

Преобразовать сумму Преобразование рациональных выражений в дробь.

Решение:

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковым знаменателем.

Примеры:

Упростить, т. е. преобразовать в дробь, выражение

Перепишем теперь заданную алгебраическую сумму дробей с указанием дополнительных множителей, при помощи которых дроби приводятся к общему знаменателю:

Обычно, соответствующие умножения на дополнительные множители опускают и сразу выписывают дробь, знаменателем которой является НОЗ, а числитель представляет собой сумму произведений числителей исходных дробей на соответствующие дополнительные множители, т. е.

и далее,

Упростить выражение Преобразование рациональных выражений

Решение:

Примеры на все действия с алгебраическими дробями

1.Упростить выражение

Решение:

При выполнении операций над алгебраическими дробями придерживаются того же порядка, который принят для упрощения числовых выражений, а именно: умножение, деление и возведение в степень предшествуют сложению и вычитанию; при наличии скобок прежде всего выполняют действия в скобках. В данном примере порядок действий таков:

2.Упростить выражение

Решение:

Первым по счету действием является здесь умножение. Мы уже говорили, что умножению (и делению) обычно предшествует разложение числителей и знаменателей на множители. Имеем:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: