Оглавление:
Тригонометрические функции любого угла и определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 64). Радиус OA будем называть начальным радиусом.
Повернем начальный радиус около точки О на 70° против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70°. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70° по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен —70°. Углы поворота в 70° и —70° показаны стрелками на рисунке 64.
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18127.png)
Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке — отрицательным.
Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от Так, если начальный
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18128.png)
радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360°; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и т. д. На рисунке 65 стрелками показаны углы поворота в 405° и -200°.
Рассмотрим радиусы OA и ОВ (рис. 66). Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. Так, если то соответствующие углы поворота будут равны 130° + 360°n, где n — любое целое число. Например, при n = 0, 1, —1, 2, —2 получаем углы поворота 130°, 490°, —230°, 850°, —590°.
Пусть при повороте на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют углом этой четверти. Так, если 0° < а < 90°, то а — угол I четверти; если 90° < а <180°, то а — угол II четверти; если 180° < а < 270°, то а — угол III четверти; если 270° < а < 360°, то а — угол IV четверти. Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти. Например, угол в 430° является углом I четверти, так как 430° = 360°+ 70° и 0°<70°<90°; угол в 920° является углом III четверти, так как 200° < 270°.
Углы не относятся ни к какой четверти.
В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла а при Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла а. Кроме того, определим еще котангенс угла а, который обозначают ctg а.
Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ (рис. 67).
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18147.png)
Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.
Косинусом утла а называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.
Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.
Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.
Если координаты точки В равны х и у, а длина начального радиуса равна R, то
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18150.png)
В курсе геометрии было показано, что значения синуса, косинуса и тангенса угла а, где зависят только от а и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае sin а, cos a, tg а, а также ctg а зависят только от угла а.
Покажем, например, что sin а не зависит от R.
Пусть при повороте луча около точки О на угол а (рис. 68) радиусы
займут положения
Обозначим координаты точки
а координаты точки
Опустим перпендикуляры из точек на ось х. Прямоугольные треугольники
подобны. Отсюда
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-18167.png)
Так как точки принадлежат одной и той же координатной четверти, то их ординаты
имеют одинаковые знаки. Поэтому
Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки попадают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла а отношение
не зависит от длины радиуса R.
Выражения sin а и cos а определены при любом а, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей Выражение tg а имеет смысл при любом а, кроме углов поворота
так как для этих углов не имеет смысла дробь
Для выражения ctg а исключаются углы 0°, ±180°, ±360°, для которых не имеет смысла дробь
Каждому допустимому значению а соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а и ctg а. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла а. Их называют тригонометрическими функциями.
Можно доказать, что областью значений синуса и косинуса является промежуток [—1; 1], а областью значений тангенса и котангенса — множество всех действительных чисел.
Приведем примеры вычисления значений тригонометрических функций.
Пример:
Найдем с помощью чертежа приближенные значения sin 110°, cos 110°, tg 110° и ctg 110°.
Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом OA = R = 3 (рис. 69). Повернем радиус OA на 110°. Получим радиус ОВ. Найдем по рисунку координаты х и у точки В: Отсюда
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21170.png)
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21172.png)
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21177.png)
В таблице приведены известные из курса геометрии значения синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Прочерк сделан в том случае, когда выражение не имеет смысла.
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21183.png)
Значения котангенса могут быть получены из значений тангенса, так как котангенс угла является числом, обратным тангенсу этого же угла. Поэтому, например,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21187.png)
Пример:
Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 180° и 270°.
При повороте на 180° около точки О радиус OA, равный 1, (рис. 70) переходит в радиус ОВ, а при повороте на 270° — в радиус ОС.
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21192.png)
Так как точка В имеет координаты х = — 1 и у = 0, то
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21191.png)
Так как точка С имеет координаты х = 0 и у = —1, то
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21197.png)
Напомним, что выражения ctg 180° и tg 270° не имеют смысла.
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.
Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.
Пусть при повороте радиуса OA, равного R, на угол а точка А перешла в точку В с координатами х и у (см. рис. 67).
Так как то знак sin а зависит от знака у.
В I и II четвертях у > 0, а в III и IV четвертях у < 0. Значит, sin a > 0, если а является углом I или II четверти, и sin a < 0, если а является углом III или IV четверти.
Знак cos а зависит от знака х, так как В I и IV четвертях х > 0, а во II и III четвертях х < 0. Поэтому cos a > 0, если а является углом I или IV четверти, и cos a<0, если a является углом II или III четверти.
Так как то знаки tg а и ctg а зависят от знаков х и у. В I и III четвертях хну имеют одинаковые знаки, а во II и IV — разные. Значит, tg a > 0 и ctg a > 0, если а является углом I или III четверти; tg a < 0 и ctg a < 0, если а является углом II или IV четверти.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей показаны на рисунке 73.
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21253.png)
Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.
Пусть при повороте на угол а радиус OA переходит в радиус ОВ, а при повороте на угол — а в радиус ОС х (рис. 74). Соединив отрезком точки В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС. Луч OA является биссектрисой угла ВОС. Значит, отрезок ОК является медианой и высотой треугольника ВОС. Отсюда следует, что точки В и С симметричны относительно оси абсцисс.
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21263.png)
Пусть координаты точки В равны х и у, тогда координаты точки С равны х и -у. Пользуясь этим, найдем, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21272.png)
Мы получили формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21280.png)
Например:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21288.png)
Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.
Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функций.
Если при повороте радиуса OA на угол а получен радиус ОВ (см. рис. 67), то тот же радиус получится и при повороте OA на угол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.
Например:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21292.png)
Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360°.
Пример:
Найдем sin 765° и cos ( — 1170°). Имеем:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21298.png)
Радианная мера угла. Вычисление значении тригонометрических функции с помощью микрокалькулятора
Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Эти единицы измерения связаны между собой соотношениями
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21312.png)
Кроме указанных, используется также единица измерения углов, называемая радианом.
Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.
Угол, равный 1 рад, изображен на рисунке 75.
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21318.png)
Радианная мера угла, т. е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит О А от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла, подобны между собой (рис. 76).
Установим связь между радиан-ным и градусным измерениями углов.
Углу, равному 180°, соответствует полуокружность, т. е. дуга, длина l которой равна
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21328.png)
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21331.png)
Чтобы найти радианную меру этого угла, надо длину дуги l разделить на длину радиуса R. Получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21335.png)
Следовательно, радианная мера угла в 180° равна
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21343.png)
Отсюда получаем, что радианная мера угла в 1° равна
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21349.png)
Приближенно 1° равен 0,017 рад.
Из равенства рад также следует, что градусная мера угла в 1 рад равна
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21358.png)
Приближенно 1 рад равен 57°.
Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.
Пример:
Выразим в градусах 4,5 рад.
Так как
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21365.png)
Пример:
Найдем радианную меру угла в 72°.
Так как
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21378.png)
При записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, вместо равенства рад обычно пишут:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21381.png)
Выразим в радианной мере углы 30°, 45°, 60°, 90°, 270° и 360°. Получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21386.png)
Радианная мера угла часто используется в тригонометрических выражениях. Так, запись sirfl означает синус угла в 1 радиан, запись sin ( — 2,5) означает синус угла в —2,5 радиана, запись означает синус угла в
радиан. Вообще запись sin х, где х — произвольное действительное число, означает синус угла, равного х радианам.
Значения тригонометрических функций для углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, можно находить, используя микрокалькулятор. Так, с помощью микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» значения синуса, косинуса и тангенса вычисляют следующим образом. Переводят переключатель «ГРАД — РАД», находящийся в нижней части корпуса, в положение «ГРАД», если угол задан в градусах, или в положение «РАД», если угол задан в радианах. Вводят угол, нажимают клавишу а затем клавишу, над которой написано название соответствующей функции.
Пример:
Найдем с помощью микрокалькулятора значение выражения с точностью до 0,001:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21477.png)
а) Установим переключатель в положение «ГРАД», затем выразим 28°17′ в градусах и нажмем «последовательно клавиши Так как
то программа вычислений выглядит так:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21487.png)
Получаем, что
б) Устанавливаем переключатель в положение «РАД» и находим значение cos 3,9 по программе:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21497.png)
Получаем, что cos
в) Переключатель устанавливаем в положение «РАД». При нахождении значения выражения воспользуемся тем, что на панели микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» имеется специальная клавиша
при нажатии которой высвечивается число 3,1415926 — приближенное значение числа
с точностью до
Вычисления проводим по программе:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21518.png)
Получаем, что
Отметим, что для вычисления котангенса угла надо сначала найти значение тангенса этого угла, а потом обратное число, нажав клавиши
Основные тригонометрические формулы
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла:
Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.
Пусть при повороте радиуса OA вокруг точки О на угол а получен радиус ОВ (рис. 77). По определению
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21586.png)
где х — абсцисса точки В, у — ее ордината, a R — длина радиуса OA. Отсюда
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21591.png)
Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен R, то ее координаты удовлетворяют уравнению
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21594.png)
Подставив в это уравнение вместо х и у выражения R cos а и R sin а, получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21602.png)
Разделив обе части последнего равенства на найдем, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21613.png)
Равенство (1) верно при любых значениях а. Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.
По определению Так как y = R sin a, x = R cos a,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21621.png)
Таким образом,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21625.png)
Аналогично
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21626.png)
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21628.png)
Равенство (2) верно при всех значениях а, при которых cos , а равенство (3) верно при всех значениях а, при которых sin
С помощью формул (1) — (3) можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Из равенств (2) и (3) получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21635.png)
Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс угла а. Оно верно при всех значениях а, при которых tg а и ctg а имеют смысл.
Заметим, что формулу (4) можно получить и непосредственно из определения тангенса и котангенса.
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же угла.
Разделив обе части равенства (1) на получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21642.png)
Если обе части равенства (1) разделить на то будем иметь:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21648.png)
т. е.
Равенство (5) верно, когда cos а равенство (6), когда sin
Равенства (1) — (6) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример:
Найдем cos a, tg а и ctg а, если известно, что sin
Найдем сначала cos а. Из формулы получаем, что
Так как а является углом II четверти, то его косинус отрицателен. Значит,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21665.png)
Зная синус и косинус угла а, можно найти его тангенс:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21667.png)
Для отыскания котангенса угла а удобно воспользоваться формулой tg a • ctg a = 1. Имеем:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21669.png)
Пример:
Известно, что Найдем sin a, cos a и ctg a.
Воспользовавшись формулой найдем cos a. Имеем:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21675.png)
По условию угол a является углом I четверти, поэтому его косинус положителен. Значит,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21678.png)
Зная cos а и tg а, можно найти sin а. Из формулы получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21680.png)
По известному tg а легко найти ctga:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21681.png)
Итак,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21683.png)
Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражении
Мы уже встречались с некоторыми простейшими преобразованиями тригонометрических выражений. Рассмотрим более сложные примеры.
Пример:
Упростим выражение
Воспользовавшись формулами получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21705.png)
Пример:
Упростим выражение
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21709.png)
Пример:
Докажем тождество
Преобразуем левую часть данного равенства:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21716.png)
Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, тождество доказано.
Формулы приведения
Тригонометрические функции углов вида
могут быть выражены через функции угла а с помощью формул, которые называют формулами приведения.
Выведем сначала формулы приведения для синуса и косинуса.
Докажем, что для любого а
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21730.png)
Повернем радиус OA, длина которого равна R, на угол а и на угол При этом радиус OA перейдет соответственно в радиусы ОВ1 и ОВ2 (рис. 78).
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21735.png)
Опустим из точки В1 перпендикуляры на оси координат. Получим прямоугольник
Повернем прямоугольник около точки О на угол
Тогда точка В1 перейдет в точку В2, точка С1 перейдет в точку С2 на оси у, точка D1 — в точку D2 на оси х, а прямоугольник
перейдет в равный ему прямоугольник
Отсюда следует, что ордината точки В2 равна абсциссе точки В1, а абсцисса точки В2 равна числу, противоположному ординате точки В1. Обозначим координаты точки B1 через а координаты точки В2 через
Тогда
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21754.png)
Значит,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21755.png)
Из формул (1) следует, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21757.png)
Действительно, представим разность в виде суммы
Тогда
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21763.png)
Формулы приведения для синуса и косинуса угла выглядят так:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21767.png)
Для доказательства достаточно представить в виде
и дважды воспользоваться формулами (1). Например :
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21770.png)
Заметим, что к формулам (2) легко прийти и из геометрических соображений (рис. 79). При повороте радиуса OA на угол а и на угол точка А перейдет соответственно в точки В1 и В2, которые симметричны относительно начала координат. Абсциссы, а также ординаты симметричных относительно
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21772.png)
начала координат точек равны по модулю и противоположны по знаку. Отсюда следует, что а также
— противоположные числа.
Из формул (2) следует, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21778.png)
Для доказательства достаточно представить в виде суммы
и применить формулы (2).
Формулы приведения для синуса и косинуса угла имеют вид:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21784.png)
Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить и применить последовательно формулы (1) и (2).
Из формул (3) нетрудно получить, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21787.png)
Наконец, формулы приведения для синуса и косинуса угла следуют из того, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса и косинуса не изменяются:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21791.png)
Справедливы также формулы
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21792.png)
Например, для
Формулы приведения для тангенса и котангенса можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса. Например:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-21797.png)
Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в первой из них формулы для углов а во второй — для углов
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23693.png)
Цо таблицам легко проследить закономерности, имеющие место для формул приведения. Эти закономерности позволяют сформулировать правило, с помощью которого можно записать любую формулу приведения, не прибегая к таблице:
Функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол а является углом 1 четверти;
для углов название исходной функции сохраняется; для углов
название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
Пример:
Выразим через тригонометрическую функцию угла а.
Если считать, что a — угол I четверти, то будет углом II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен, значит, в правой части равенства следует поставить знак «минус». Для угла
название исходной функции «тангенс» сохраняется. Поэтому
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23703.png)
С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от .
Пример:
Найдем значение
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23707.png)
Пример:
Найдем значение sin (— 585°).
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23708.png)
Формулы сложения и их следствия
Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.
Повернем радиус OA, равный R, около точки О на угол а и на угол (рис. 80). Получим радиусы ОВ и ОС.
Найдем скалярное произведение векторов Пусть координаты точки В равны
координаты точки С равны
Эти же координаты имеют соответственно и векторы
По определению скалярного произведения векторов:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23719.png)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов а и
. Из определения косинуса и синуса следует, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23723.png)
Подставив значения в правую часть равенства
получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23734.png)
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23738.png)
Угол ВОС между векторами может быть равен а —
(см. рис. 80),
(рис. 81) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
Поэтому
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23749.png)
Так как равно также
то
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23755.png)
Формулу (1) называют формулой косинуса разности.
Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.
С помощью формулы (1) легко получить формулу косинуса суммы:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23758.png)
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23801.png)
Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.
Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности. Используя формулы приведения и формулу (1), получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23807.png)
Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.
Для синуса разности имеем:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23810.png)
Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.
Формулы (1) — (4) называют формулами сложения для синуса и косинуса.
Приведем примеры использования формул сложения.
Пример:
Вычислим cos 15° и sin 15°. Представим 15° в виде разности 45° — 30°. Тогда
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23819.png)
Пример:
Упростим выражение Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса разности, получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23825.png)
Используя формулы (1) — (4), можно вывести формулы сложения для тангенса и котангенса. Выведем, например, формулу тангенса суммы:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23830.png)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на произведение cos a cos , предполагая, что
Получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23836.png)
Значит,
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23837.png)
Аналогично можно доказать, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23839.png)
Формулы двойного угла
Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и tg 2a через тригонометрические функции угла a. Положим в формулах
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23846.png)
равным a. Получим тождества:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23848.png)
Эти тождества называют формулами двойного угла.
Приведем примеры применения формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.
Пример:
Найдем значение sin 2а, зная, что cosa = — 0,8 и a — угол III четверти.
Сначала вычислим sin а. Так как a — угол III четверти, то sin а < 0. Поэтому
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23858.png)
По формуле синуса двойного угла
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23861.png)
Пример:
Упростим выражение
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23863.png)
Вынесем за скобки sin a cos a и воспользуемся формулами двойного угла:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23877.png)
Из формулы (2) следует, что
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23881.png)
Действительно, выразив cos 2a через sin a, получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23883.png)
Отсюда
Аналогично, выразив cos 2a через cos a, получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23888.png)
Формулы (4) и (5) используются в вычислениях и преобразованиях.
Пример:
Упростим выражение
Применим формулы (4) и (5) к выражениям 1 — cos а и 1 + cos а, представив а в виде произведения Получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23894.png)
Формулы суммы и разности тригонометрических функции
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin , положим
и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23942.png)
Из равенств a = x + y и = x — y находим, что
и
Поэтому
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23955.png)
Мы получили формулу суммы синусов двух углов.
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.
Формула разности синусов:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23963.png)
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
Формула суммы косинусов:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23971.png)
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы, этих углов на косинус их полуразности.
Формула разности косинусов:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23976.png)
Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком *минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
Учитывая, что формулу разности косинусов можно записать в другом виде:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23985.png)
Приведем примеры применения полученных формул.
Пример:
Упростим сумму sin 10° + sin 50°.
Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23989.png)
Пример:
Представим в виде произведения разность
Воспользовавшись формулой приведения, представим данное выражение в виде разности косинусов и преобразуем ее в произведение. Тогда
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-23997.png)
Пример:
Представим в виде произведения выражение 1 — sin а.
Так как то данное выражение можно представить в виде разности синусов. Поэтому
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-24004.png)
Эту задачу можно решить иначе:
![Тригонометрические выражения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-24007.png)
С помощью формул приведения первое из полученных выражений можно преобразовать во второе и наоборот.
Вычисление значений тригонометрических выражений
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37084.png)
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37085.png)
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37086.png)
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37087.png)
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37090.png)
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37089.png)
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37091.png)
![Вычисление значений тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-37094.png)
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Тригонометрия: определение и пример |
Основные тригонометрические формулы |
Что такое уравнение и как его решать |
Квадратные уравнения задачи с решением |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат