Для связи в whatsapp +905441085890

Определенный интеграл в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм). [⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции.

Определение определенного интеграла:

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками: Определённый интеграл
Обозначим это разбиение через Определённый интеграл а точки Определённый интеграл будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку Определённый интеграл. Через Определённый интеграл обозначим разность Определённый интеграл которую условимся называть длиной частичного отрезка Определённый интеграл

Образуем сумму: Определённый интеграл

которую назовем интегральной суммой для функции f(х) на [а, b], соответствующей данному разбиению [a, b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек Определённый интеграл Геометрический смысл суммы Определённый интеграл очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Определённый интеграл и высотами Определённый интеграл.

Обозначим через Определённый интеграл длину наибольшего частичного отрезка разбиения Определённый интеграл

Определение:

Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при Определённый интеграл то этот предел называется определенным интегралом от функции f(х) по отрезку [а, b] и обозначается следующим образом:
Определённый интеграл

В этом случае функция f(х) называется интегрируемой на [а, b]. Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(х) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Определённый интеграл

Сделаем ряд пояснений, так как имеет место не совсем обычный предельный переход. В самом деле, интегральная сумма зависит от точек разбиения Определённый интеграл и промежуточных точек Определённый интеграл Число тех и других точек стремится к бесконечности при Определённый интеграл Поэтому само понятие предела интегральной суммы требует уточнения. Сначала дадим соответствующее определение на «языке последовательностей». Пусть отрезок [а, b] последовательно разбивается на части сначала одним способом, затем — вторым, третьим и т. д., причем длина Определённый интеграл наибольшего частичного отрезка k-ro разбиения стремится к нулю, когда k стремится к бесконечности.

В каждом разбиении выберем произвольно промежуточные точки Определённый интеграл Таким образом, получаем последовательность разбиения Определённый интеграл, у которой Определённый интеграл и можно дать определение определенного интеграла на «языке последовательностей»: функция f(х) называется интегрируемой на [a, b], если для любой последовательности разбиений Определённый интеграл, у которой Определённый интеграл соответствующая последовательность интегральных сумм Определённый интеграл стремится к одному и тому же числу I.

Можно дать определение определенного интеграла и «на языке Определённый интеграл»: число I называется определенным интегралом от функции f(х) по отрезку [a, b], если для любого Определённый интеграл существует Определённый интеграл такое, что при Определённый интеграл (т. е. если отрезок разбит на части с длинами Определённый интеграл) независимо от выбора точек Определённый интеграл выполняется неравенство Определённый интеграл

Доказательство эквивалентности обоих определений можно провести аналогично доказательству эквивалентности двух определений предела функции. Определение «на языке последовательностей» дает возможность перенести основные понятия теории пределов и на этот новый вид предела.

Из определения определенного интеграла следует, что величина интеграла (2) зависит только от вида функций f(х) и от чисел a и b. Следовательно, если заданы f(х) и пределы интегрирования, то интеграл (2) определяется однозначно и представляет собой некоторое число. Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегрирования:
Определённый интеграл

Условия существования определенного интеграла

Ограниченность интегрируемой функции

Теорема:

Необходимое условие интегрируемости функции. Если функция f(х) интегрируема на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство:

Предположим обратное, т. е. допустим, что f(х) не ограничена на [а, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму Определённый интеграл можно за счет выбора точек Определённый интеграл сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка [а, b].

Действительно, так как f(х) не ограничена на [а, b], то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на Определённый интеграл. Выберем на остальных частичных отрезках точки Определённый интеграл произвольно и обозначим Определённый интеграл

Зададим произвольное число M>0 и возьмем такое Определённый интеграл на Определённый интеграл, чтобы
Определённый интеграл

Это можно сделать в силу неограниченности функции f(х) на Определённый интеграл Тогда Определённый интегралт. е. интегральная сумма а по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма о не имеет конечного предела при Определённый интеграл Это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует. ■

Замечание. Обратная теорема неверна, т. е. условие ограниченности функции f(х) необходимое, но не достаточное условие интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0, 1]:Определённый интеграл

Функция Дирихле, очевидно, ограничена. Однако она не интегрируема на [0, 1]. Покажем это. Если при любом разбиении отрезка [0, 1] выбрать рациональные точки Определённый интеграл

то получим
Определённый интеграл
а если взять Определённый интеграл иррациональными, то получим Определённый интеграл

Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное 0, так и значение, равное 1. Поэтому интегральная сумма Определённый интеграл при Определённый интеграл предела не имеет.

Таким образом, для существования определенного интеграла от некоторой функции f(х) последняя, помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо ввести понятия нижних и верхних сумм.

Суммы Дарбу

Пусть функция f (х) ограничена на отрезке [a, b] и Определённый интеграл — разбиение этого отрезка точками: Определённый интеграл Обозначим через Определённый интеграл соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции на отрезке Определённый интеграл и составим следующие суммы:
Определённый интеграл

Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами или верхней и нижней суммами Дарбу функции f(х) для данного разбиения Определённый интеграл отрезка [а, b].

Из определения нижней и верхней граней следует, что Определённый интеграл Отсюдa Определённый интеграл

т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного разбиения связаны неравенствами Определённый интеграл

Суммы Дарбу имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f(х) на [а, b] и криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функции f(х), двумя вертикальными прямыми, проведенными через точки а и b оси Ох, и осью Ох (рис. 94 и 95). Поскольку функция f(х) непрерывна на [а, b], она непрерывна и на Определённый интеграл. По второй теореме Вейерштрасса функция f(х) достигает на Определённый интеграл своих точных граней, и, следовательно, Определённый интеграл — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Поэтому сумма S равна площади заштрихованной на рис. 94 ступенчатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции, а сумма s равна площади заштрихованной на рис. 95 ступенчатой фигуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию.

Следует особо отметить, что суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка [а, b], в то время как интегральная сумма а зависит еще и от выбора точек Определённый интеграл, на частичных отрезках Определённый интеграл. При фиксированном разбиении отрезка [a, b] суммы s и S — некоторые числа, а сумма Определённый интеграл — переменная величина, так как точки Определённый интегралпроизвольны.

Свойства сумм Дарбу

1°. Для любого фиксированного разбиения х и для любого Определённый интеграл точки Определённый интеграл на отрезках Определённый интеграл можно выбрать так, что интегральная сумма а будет удовлетворять неравенствам Определённый интеграл Точки Определённый интеграл можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам Определённый интеграл

Определённый интеграл

Доказательство:

Пусть Определённый интеграл— некоторое фиксированное разбиение отрезка [а, b]. Докажем, например, неравенства Определённый интегралСогласно свойству точной верхней грани Определённый интеграл для данного Определённый интеграл можно указать такую точку Определённый интеграл что Определённый интеграл

Умножая эти неравенства на Определённый интеграл и затем складывая, получаем Определённый интеграл Аналогично устанавливаются неравенства Определённый интеграл

2°. От добавления к данному разбиению Определённый интеграл отрезка [а, b] новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя — не увеличивается.

Доказательство:

Для доказательства достаточно ограничиться добавлением к данному разбиению Определённый интеграл еще одной точки разбиения х’, так как добавление нескольких точек разбиения можно провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая точка х» попала на отрезок Определённый интеграл (рис. 96). Обозначим соответственно через s и s’ — нижние, а через S и S’ — верхние суммы Дарбу для данного разбиения Определённый интеграл и полученного из него добавлением точки х’ разбиения Определённый интеграл‘.

Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу s и s’. Обозначим через Определённый интеграл, точные нижние грани функции f(х) соответственно на отрезках Определённый интеграл. В сумму s входит слагаемое Определённый интеграл а в сумму s’ вместо него слагаемые Определённый интеграл. Остальные слагаемые в суммах s и s’ одинаковы. Так как Определённый интеграл.

Отсюда следует, что Определённый интеграл
Аналогично доказывается, что Определённый интеграл
3°. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения Определённый интеграл‘ не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения Определённый интеграл«.

Доказательство:

Пусть s’ и S’, s» и S» — нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений Определённый интеграл‘ и Определённый интеграл«. Рассмотрим разбиение Определённый интеграл, состоящее из всех точек, входящих в разбиения Определённый интеграл‘ и Определённый интеграл«.

Определённый интеграл

Обозначим его суммы Дарбу через s и S. Так как разбиение Определённый интеграл может быть получено из разбиения Определённый интеграл‘ добавлением к нему точек разбиения Определённый интеграл«, то согласно свойству 2°, учитывая очевидное неравенство Определённый интеграл, получаем
Определённый интеграл

Но разбиение Определённый интеграл может быть также получено из разбиения Определённый интеграл» добавлением точек разбиения Определённый интеграл‘. Поэтому
Определённый интеграл

Сравнивая установленные неравенства, получаем Определённый интеграл

4°. Множество [S] верхних сумм Дарбу данной функции f(x) для, всевозможных разбиений отрезка [а, b] ограничено снизу, а множество (s) нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная верхняя грань множества (s) не превосходит точную нижнюю грань множества (S).

Доказательство:

Это Свойство непосредственно следует из свойства 3°. Действительно, множество всех верхних сумм Дарбу {S} ограничено снизу, например, любой нижней суммой Дарбу [s], а множество всех нижних сумм Дарбу (s) ограничено сверху-например, любой верхней суммой Дарбу S. Поэтому по теореме множества (S) и (s) имеют точные грани. Обозначим через Определённый интеграл точную нижнюю грань множества (S), а через Определённый интеграл — точную верхнюю грань множества {s}: Определённый интеграл

Покажем что Определённый интегралПусть Определённый интеграл Обозначим их разность через Определённый интеграл, так что Определённый интеграл

Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Имеет место следующая основная теорема.

Теорема:

Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, b] функция f(х) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы
Определённый интеграл

Условие (2) означает, что для любого Определённый интеграл существует Определённый интеграл такое, что при Определённый интеграл выполняется неравенство Определённый интеграл Так как Определённый интегралто последнее неравенство равносильно неравенству Определённый интеграл

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция f(х) интегрируема на отрезке [а, b], т. е. существует определенный интеграл
Определённый интеграл.
Это означает, что для любого Определённый интеграл существует Определённый интеграл такое, что для любого разбиения Определённый интеграл, удовлетворяющего yсловию Определённый интеграл, независимо от выбора точек Определённый интеграл выполняется неравенство Определённый интеграл

Зафиксируем любое такое разбиение Определённый интеграл. Для него согласно свойству 1° можно указать такие интегральные суммы Определённый интеграл, что

Определённый интеграл

Отметим, что обе интегральные суммы Определённый интеграл удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения

Определённый интеграл
и неравенств (4) и (5) следует, что

Определённый интеграл
а это и означает выполнение условия (3).

Достаточность. Пусть выполнено условие (3). Согласно свойству 4° Определённый интеграл для любых нижних и верхних сумм Дарбу, поэтому Определённый интеграл.

Если же интегральная сумма Определённый интеграл и суммы Дарбу s и S отвечают одному и тому же разбиению Определённый интеграл, то, как известно [см. формулу (1)] Определённый интеграл

Из неравенств (6) и (7) следует, что Определённый интеграл

По условию для любого Определённый интеграл существует Определённый интеграл такое, что при Определённый интегралвыполняется неравенство (3): Определённый интеграл Но тогда из неравенства (8) следует, что и
Определённый интеграл

а это означает, что число I является пределом интегральной суммы Определённый интеграл при Определённый интеграл, т. е. функция f(х) интегрируема на отрезке [а, b].

В дальнейшем понадобится другая форма записи необходимого и достаточного условия интегрируемости. Обозначая колебанием Определённый интеграл функции f(х) на отрезке Определённый интеграл через Определённый интеграл имеем

Определённый интеграл

Так как Определённый интеграл то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, и условие существования определенного интеграла можно переписать так: для любого Определённый интеграл существует Определённый интеграл такое, что

Определённый интеграл

В таком виде его обычно и применяют.

Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций

Теорема:

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

Доказательство:

Так как функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то по теореме Кантора она и равномерно-непрерывна на нем. Пусть дано любое Определённый интеграл. Согласно следствию из теорему Кантора для положительного числа Определённый интеграл найдется Определённый интеграл такое, что при разбиении отрезка [а, b] на частичные отрезки Определённый интеграл, длина которых Определённый интеграл все колебания Определённый интеграл меньше Определённый интеграл

Отсюда
Определённый интеграл

Следовательно, для непрерывной на отрезке [а, b] функции f(х) заполнено достаточное условие интегрируемости, а из него вытечет существование определенного интеграла■

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва. Докажем это.

Теорема:

Если функция f(х) ограничена на отрезке [а, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

Определённый интеграл

Доказательство:

Достаточно рассмотреть случай, когда между а и b имеется лишь одна точка разрыва х’. Пусть М и m — точные грани функции f(х) на [a, b], Определённый интеграл — ее колебание на данном отрезке. Возьмем любое достаточно малое Определённый интеграл и рассмотрим отрезки Определённый интеграл (рис. 97). На каждом из этих отрезков f(х) непрерывна, и, следовательно, найдется Определённый интеграл такое, что при разбиении их на частичные отрезки Определённый интеграл с длинами Определённый интеграл все колебания Определённый интеграл меньше Определённый интеграл

Пусть Определённый интеграл Рассмотрим теперь произвольное pазбиение [а, b] на частичные отрезки, длина которых Определённый интеграл(рис. 97). Для этого разбиения сумму Определённый интеграл разобьем на слагаемые Определённый интеграл где в первую сумму входят частичные отрезки, лежащие целиком вне Определённый интеграл-окрестности точки х’, а во Вторую — частичные отрезки, либо заключенные целиком внутри Определённый интеграл-окрестности точки х’, либо имеющие с ней общие точки.

Для первой суммы, как и при доказательстве предыдущей Теоремы, имеем

Определённый интеграл

что касается второй суммы, то заметим, что длины отрезков, целиком попавших внутрь Определённый интеграл-окрестности точки х’ в сумме меньше или равны Определённый интеграл; число отрезков, лишь частично попавших в эту окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше Определённый интеграл Следовательно, Определённый интеграл

Таким образом, окончательно имеемОпределённый интеграл

Это и доказывает интегрируемость функции f(х) на [а, b].
Следствие. Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла


1°. Интеграл Определённый интеграл был введен для случая a<b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего. По определению полагаем
Определённый интеграл
рассматривая эту формулу как естественное распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.

Также по определению полагаем Определённый интеграл
рассматривая формулу (2) как естественное распространение понятия определенного интеграла на случай, когда отрезок [а, b] при а<b пробегается в направлении от b к а. В этом случае точки разбиения Определённый интеграл отрезка [а, b] занумерованы в порядке следования от b к а и в интегральной сумме все разности Определённый интеграл имеют отрицательный знак.

2°. Каковы бы ни были числа а, b, с, имеет место равенств Определённый интеграл

(Здесь и в § 4 и 5 предполагается, что интегралы, входящие в докaзываемые формулы, существуют).

Доказательство:

Допустим сначала, что а<c<b Так как предел интегральной суммы а не зависит от способа разбиения отрезка [а, b], то будем разбивать [а, b] так, чтобы точка была точкой разбиения. Если, например, Определённый интеграл то Определённый интеграл можно разбить на две суммы:Определённый интеграл

Переходя в этом равенстве к пределу при Определённый интеграл, получаем равенство (3).

Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство для другого расположения точек а, b, с легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, Определённый интеграл; тогда по доказанному имеемОпределённый интегралт. е. опять пришли к равенству (3). ■

3°. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е. Определённый интеграл

Доказательство:

Действительно, для любого разбиения отрезка [а, b] и любого выбора точек Определённый интеграл
Определённый интеграл
Переходя к пределу при Определённый интеграл имеем

Определённый интеграл

т.е. получено равенство (4). ■

4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций Равен алгебраической сумме их интегралов, т. е Определённый интеграл

Доказательство:

Действительно, для любого разбиения отрезка [а, b] и любого выбора точек Определённый интеграл,Определённый интеграл
Замечание. Свойство 4° имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Оценки интегралов и формула среднего значения

Оценки интегралов (всюду в этом параграфе считаем, что а<b). 1°. Если всюду на отрезке [а, b] функция Определённый интеграл, тo
Определённый интеграл

Доказательство:

В самом деле, любая интегральная сумма Определённый интеграл для функции f(х) на [а, b] неотрицательна, так как Определённый интеграл

Переходя к пределу при Определённый интеграл в неравенстве
Определённый интеграл получаем
Определённый интеграл

2°. Если всюду на отрезке Определённый интеграл то Определённый интеграл

Доказательство:

Применяя оценку 1° к функции Определённый интеграл имеем
Определённый интеграл

Нo согласно свойству 4° Определённый интеграл
имеет место неравенство (1).

Доказательство:

Применяя оценку 2° к очевидным неравенствам — Определённый интеграл получаем Определённый интеграл
а это равносильно неравенству (2). ■

Следствие:

Если всюду на отрезке Определённый интеграл то
Определённый интеграл
Действительно, из неравенства Определённый интеграл и оценок 2° и 3° следует,
что
Определённый интеграл

Отсюда, замечая, чтоОпределённый интеграл получаем соотношение (3).

4°. Если m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(х) на отрезке [а, b], то Определённый интеграл

Доказательство:

По условию для любого Определённый интеграл имеем Определённый интеграл

Применяя оценку 2° к этим неравенствам, имеемОпределённый интеграл
откуда с учетом (4) получаем неравенства (5). ■

Формула среднего значения: Теорема 8.5 (теорема о среднем). Если функция f(х) непрерывна на отрезке то на этом отрезке существует точка с такая, что Определённый интеграл

Доказательство:

Так как (х) непрерывна на [а, b], то по второй теореме Вейерштрасса существуют числа m и М такие, что Определённый интеграл

Определённый интеграл

Отсюда в силу оценки 4° получаем Определённый интеграл и, следовательно, Определённый интеграл

Положим
Определённый интеграл

Так как число Определённый интеграл заключено между наименьшими и наибольшими значениями непрерывной функции f(х) на [а, b] (рис. 98), то по теореме 4.10 о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение существует точка Определённый интеграл такая, что Определённый интеграл Поэтому
Определённый интеграл

а это равносильно равенству (6). ■

Равенство (6) называется формулой среднего значения, а величина f(с) — средним значением функции f(х) на отрезке [а, b].
Замечание. Теорема о среднем имеет геометрический смысл: величина определенного интеграла при Определённый интеграл равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(с) и основание b — а.

Интеграл с переменным верхним пределом

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и b. Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка
[а, b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела.

Рассмотрим интеграл Определённый интеграл с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом х. Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х. Обозначим эту функцию через Ф(х), т. е. положим
Определённый интеграл
и назовем ее интегралом с переменным верхним пределом. Геометрически функция Ф(х) представляет собой площадь заштрихованной на рис. 99 криволинейной трапеции, если f(х)>0.

Определённый интеграл

Значение интеграла с переменным верхним пределом раскрывает следующая теорема.

Теорема:

Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.
Определённый интеграл

Доказательство:

Возьмем любое значение Определённый интеграл и придадим ему приращение Определённый интеграл такое, чтобы Определённый интеграл т. е. Определённый интеграл. Тогда функция Ф(х), определенная выражением (1), получит новое значение:

Определённый интеграл

Согласно свойству 2° определенного интеграла (см. § 4) имеем

Определённый интеграл

Отсюда находим приращение функции Ф(х):
Определённый интеграл

Применяя теорему 8.5, получаем
Определённый интеграл
где с — число, заключенное между числами х и Определённый интеграл. Разделим обе части равенства на Определённый интеграл:

Определённый интеграл

Если теперь Определённый интеграл и тогда, в силу непрерывности функции f (х) на [a, b], f(c)->f(x). Поэтому, переходя к пределу при Определённый интеграл в последнем равенстве, получаем

Определённый интеграл

Таким образом, установлено, что любая непрерывная на отрезке [а, b] функция f(х) имеет на этом отрезке первообразную, причем функция Ф(х) — интеграл с переменным верхним пределом — является первообразной для f(х). А так как всякая другая первообразная для функции f(x) может отличаться от Ф(x) только на постоянную (см. теорему 7.1), то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в вид
Определённый интеграл
где С — произвольная постоянная.

Формула Ньютона—Лейбница

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который, как будет показано, основан на установленной в § 6 связи между неопределенным и определенным интегралами.

Выше установлено, что функция f(х), непрерывная на отрезке [а, b], имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них является функция
Определённый интеграл

Пусть F(х) — любая другая первообразная для функции f(х) на том же отрезке [а, b]. Так как первообразные Ф(х) и F(х) отличаются на постоянную, то имеет место равенств Определённый интеграл

где С — некоторое число. Подставляя в это равенство значение х=а и используя формулу (1) из § 4, имеемОпределённый интеграл
т. е. для любого Определённый интеграл
Определённый интеграл

Полагая х=b, получаем основную формулу интегрального исчисленияОпределённый интеграл
которая называется формулой Ньютона—Лейбница.

Разность F(b)—F(а) принято условно записывать так: Определённый интеграл
и поэтому формула (1) принимает вид
Определённый интеграл

Подчеркнем, что в формуле (1) в качестве F(х) можно взять любую первообразную для f(х) на отрезке [а, b].

Формула (1) дает простой метод вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Эта формула открывает Широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно изучена.
Рассмотрим примеры.Определённый интегралОпределённый интеграл

Замечание:

Формула Ньютона—Лейбница была выведена в предположении, что подынтегральная функция f(х) непрерывна. При некоторых условиях формула Ньютона—Лейбница имеет место и для разрывных функций.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема:

Пусть f(х) — непрерывная функция на отрезке [a, b]. Тогда, если: 1) функция Определённый интеграл дифференцируема на Определённый интеграл непрерывна на Определённый интеграл; 2) множеством значений функции Определённый интеграл является отрезок [а, b]; 3) Определённый интеграл (рис. 100), то справедлива формула Определённый интеграл

Определённый интеграл

Доказательство:

По формуле Ньютона—Лейбница
Определённый интеграл
где F (х) — какая-нибудь первообразная для функции f(х) на [а, b]. С другой стороны, рассмотрим на отрезке Определённый интеграл сложную функцию от переменной Определённый интеграл. Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим

Определённый интеграл

Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции Определённый интеграл непрерывной на Определённый интеграл, и поэтому, согласно формуле Ньютона—Лейбница, получаем

Определённый интеграл

Формула (1) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Замечание:

Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной от новой переменной t следует возвращаться к старой переменной х, то при вычислении определенного интеграла этого делать не нужно, так как теперь следует найти число, которое согласно доказанной формуле равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.

Пример:

Вычислить
Определённый интеграл
Решение:

Рассмотрим подстановку Определённый интеграл Проверим законность такой подстановки.

Во-первых, функция Определённый интеграл непрерывна на [О, 1]; во-вторых, функция x=sin t дифференцируема на Определённый интеграл непрерывна на Определённый интеграл и, в-третьих, при изменении Определённый интеграл функция х=sin t изменяется от 0 до 1, причем Определённый интеграл Таким образом, данная подстановка удовлетворяет всем условиям теоремы 8.7. Применяя формулу (1), получаем

Определённый интеграл

Замечание:

При использовании формулы (1) необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример:

Вычислить Определённый интеграл
Решение:

Имеем
Определённый интеграл

С другой стороны
Определённый интеграл

Подстановка tg x=t формально приводит к следующему результату:
Определённый интеграл

Получен неверный результат, так как Определённый интеграл. Это произошло потому, что функция t=tg х разрывна при Определённый интеграл и не удовлетворяет условиям теоремы 8.7.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема:

Если функции Определённый интеграл имеют непрерывные производные на отрезке [а, b], то справедлива формул Определённый интеграл

Доказательство:

Так как функция Определённый интеграл является первообразной для функции Определённый интеграл то по формуле Ньютона—Лейбницa
Определённый интеграл

Отсюда, используя свойство 4° определенных интегралов (см. § 4), получаем Определённый интеграл
откуда и следует формула (1). ■

Формула (1) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример:

Вычислить
Определённый интеграл
Решение:

Положим Определённый интеграл отсюда Определённый интеграл и по формуле (1) находим Определённый интеграл

Пример:

Вычислить
Определённый интеграл
Решение:

эПоложим Определённый интеграл отсюда Определённый интеграл и по формуле (1) имеем Определённый интеграл

Пример:

Вычислить
Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интеграл отсюда Определённый интеграл и по формуле (1) находим
Определённый интеграл

Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком [а, b] оси Ох, прямыми
Определённый интеграл

x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [а, b]. Это криволинейная трапеция, площадь s* которой может быть вычислена по формулеОпределённый интеграл

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок [а, b] нa n частей точками Определённый интеграл выберем на каждом частичном отрезке Определённый интеграл произвольно точку Определённый интеграл и рассмотрим ступенчатую фигуру (рис. 101). Площадь s криволинейной трапеции приближенно Равна площади ступенчатой фигуры:
Определённый интеграл, где Определённый интеграл Естественно
считать, что при Определённый интеграл, площадь ступенчатой фигуры стремится площади криволинейной трапеции. С другой стороны, площадь ступенчатой фигуры является интегральной суммой для интеграла (1). Так как функция f(х) непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при Определённый интеграл существует и равен интегралу от функции f(х) по [а, b]. Следовательно, и площадь s криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции f(x) по [a, b]:
Определённый интеграл

Итак, определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(х) по [а, b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [а, b], ограниченной сверху графиком функции y=f(x). В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Определённый интеграл

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции Определённый интеграл прямой х= 1 и осью Ох (рис. 102).

Решение:

По формуле (1) имеем
Определённый интеграл

Если Определённый интеграл

Пусть фигура ограничена снизу и сверху графиками функции Определённый интеграл (рис. 103), где Определённый интеграл — две непрерывные функции. Если обе функции неотрицательны, то площадь s данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций Определённый интеграл Следовательно, Определённый интеграл

Заметим, что формула (2) справедлива и тогда, когда Определённый интеграл не являются неотрицательными. В самом деле, в силу их ограниченности существует число h>0 такое, что функции Определённый интеграл являются неотрицательными, и имеет место очевидное равенство Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций Определённый интеграл (рис. 104).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой у=х с параболой Определённый интеграл Решая систему уравнений
Определённый интеграл
получаем Определённый интеграл Это и есть пределы интегрирования. Искомая площадь фигуры согласно формуле (2) такова:Определённый интеграл

Замечание:

Для вычисления площади криволинейной трапеции в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями Определённый интеграл

Определённый интеграл

Определённый интеграл в формуле (1) надо сделать замену переменной, положив Определённый интеграл Тогда получим
Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсомОпределённый интеграл

Решение:

Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, Находящейся в I четверти (рис. 105). Следовательно, искомая площадь равнаОпределённый интеграл

В частности, если a=b=R, то получаем известную формулу площади круга Определённый интеграл

Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением Определённый интеграл причем функция Определённый интеграл непрерывна и неотрицательна на отрезке Определённый интеграл. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы Определённый интеграл будем называть криволинейным сектором (рис. 106). Площадь s криволинейного сектора
Определённый интеграл

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок Определённый интеграл на n частей точками Определённый интеграл выберем на каждом частичном отрезке Определённый интеграл произвольно точку Определённый интеграл и построим круговые секторы с радиусами Определённый интеграл В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади s криволинейного сектора: Определённый интеграл
где Определённый интеграл С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (3). Так как функция Определённый интеграл непрерывна на отрезке Определённый интеграл, то предел этой суммы при Определённый интеграл существует и равен интегралу (3).

Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу: Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной поляр-ной осью и первым витком спирали Архимеда: Определённый интеграл где a положительное число (рис. 107).

Решение:

При изменении Определённый интеграл от Определённый интеграл полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому по формуле (3) имеемОпределённый интеграл

Расстояние от точки С до полюса равно Определённый интеграл Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь Определённый интегралт. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна Определённый интеграл площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед. Определённый интеграл

Длина дуги кривой

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением Определённый интеграл где (х)— непрерывная функция на отрезке
[а, b]. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками Определённый интеграл в направлении от A к В. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую АВ ломаную, длину которой обозначим через Р (рис. 108). Через Определённый интеграл обозначим длину одного звена Определённый интеграл ломаной, а через Определённый интеграл — длину наибольшего из ее звеньев:
Определённый интеграл

Определение:

Число L называется пределом длин ломаных Р при Определённый интеграл если для любого Определённый интеграл существует Определённый интеграл такое, что для всякой ломаной, у которой Определённый интеграл, выполняется неравенство Определённый интеграл

Если существует предел L длин Р вписанных в кривую ломаных при Определённый интеграл, то этот предел называется длиной дуги АВ.

Если функция f(х) непрерывна вместе с f'(х) на отрезке [а, b], то длина L дуги АВ выражается формулой Определённый интеграл

Доказательство:

Обозначим через Определённый интеграл координаты точки Определённый интеграл так что для абсцисс этих точек получим: Определённый интеграл Тогда длина Определённый интеграл одного звена ломаной равнаОпределённый интеграл

Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму для интеграла (4). Функция Определённый интеграл непрерывна на [а, b],
Определённый интеграл
поэтому предел этой суммы при Определённый интеграл существует и равен определенному интегралу (4). Так как Определённый интеграл то Определённый интеграл при Определённый интеграл Следовательно,Определённый интеграл

Пример:

Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы Определённый интеграл, если Определённый интеграл (рис. 109).
Решение:

Из уравнения Определённый интеграл находим: Определённый интеграл
Следовательно, по формуле (4) получимОпределённый интеграл

Замечание:

Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая АВ задана параметрическими уравнениями Определённый интеграл где Определённый интеграл — значения параметра t, соответствующие значениям Определённый интеграл в формуле Определённый интеграл надо сделать замену переменной, положив Определённый интеграл Тогда получим Определённый интеграл

Пример:

Вычислить длину дуги одной арки циклоиды: Определённый интеграл (рис. 110).

Решение:

Из уравнений циклоиды находим: Определённый интеграл Когда x пробегает отрезок Определённый интеграл, параметр t пробегает отрезок Определённый интеграл. Следовательно, искомая длина дугиОпределённый интеграл

Замечание:

Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая АВ задана в полярных координатах уравнением Определённый интеграл Определённый интеграл имеет непрерывную производную Определённый интеграл на отрезке Определённый интеграл, и точкам А к В соответствуют значения Определённый интеграл, равные Определённый интеграл, нужно перейти от полярных координат [см. гл. 3, § 3, формулу (1)] к прямоугольным. Тогда получим параметрическое задание кривой АВ уравнениями Определённый интеграл (Определённый интеграл—параметр). Так как Определённый интеграл

то формула (5) принимает вид Определённый интеграл

Пример:

Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: Определённый интеграл (см. рис. 107).
Решение:

Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла Определённый интеграл Поэтому по формуле (6) искомая длина дуги равна
Определённый интеграл

Объем тела вращения

Пусть функция f(х) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а, b]. Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=f(x), имеет объем Определённый интеграл

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками Определённый интеграл На каждом частичном отрезке Определённый интеграл построим прямоугольник (рис. 111).

Определённый интеграл

При вращении вокруг оси Ох каждый прямоугольник опишет цилиндр. Найдем объем i-го цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ Определённый интеграл

Сумма объемов всех n цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:
Определённый интеграл

С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для интеграла (7). Так как функция Определённый интеграл непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при Определённый интеграл существует и равен определенному интегралу (7). Таким образом, Определённый интеграл

Пример:

Вычислить объем тора. (Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса а вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга Определённый интеграл. Форму тора имеет, например, баранка.)

Решение:

Пусть круг вращается вокруг оси Ох (рис. 112). Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ох.

Уравнение окружности LBCD имеет видОпределённый интеграл

Площадь поверхности вращения

Пусть функция f(х) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ох, имеет площадь Р, которая может быть вычислена по формуле
Определённый интеграл

Определённый интеграл

Доказательство:

Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками Определённый интеграл

Пусть Определённый интеграл — соответствующие точки графика функции f (х). Построим ломаную Определённый интеграл (рис. 113). При вращении этой ломаной вокруг оси Ох получим поверхность, составленную из боковых поверхностей усеченных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением i-го звена ломаной, равна Определённый интеграл где Определённый интеграл —длина хорды Определённый интеграл т. е
Определённый интеграл

По формуле Лагранжа Определённый интеграл

Полагая Определённый интеграл получаем
Определённый интеграл

Итак, площадь Р поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, полученной от вращения ломаной Определённый интеграл

Представим эту сумму в виде двух суммОпределённый интеграл

Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой для интеграла (8), и при Определённый интеграл

в силу непрерывности функции Определённый интеграл имеет своим пределом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных скобках в правой части равенства (9) имеет при Определённый интеграл предел, равный нулю. Действительно, так как функция f(х) равномерно-непрерывна на [а, b], то по теореме Кантора для любого Определённый интеграл существует Определённый интеграл такое, что при Определённый интеграл выполняются неравенства Определённый интеграл Если обозначить через М максимальное значение функции Определённый интеграл на отрезке
[а, b], то выражение в фигурных скобках при Определённый интеграл оценивается следующим образом Определённый интеграл

Так как Определённый интеграл произвольно мало, то отсюда следует, что предел указанного выражения равен нулю при Определённый интеграл.

Таким образом, переходя в равенстве (9) к пределу при Определённый интеграл,
имеем
Определённый интеграл
т. е. получена искомая формула (8). ■

Замечание:

Если поверхность получается вращением вокруг оси Ох кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями Определённый интеграл изменяется от а до b при изменении t от Определённый интеграл то, производя в интеграле (8) замену переменной Определённый интеграл получаем
Определённый интеграл

Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: Определённый интеграл имеет непрерывную производную на Определённый интеграл, то этот случай, как уже отмечалось в п. 3, сводится к параметрическому заданию кривой Определённый интеграл и формула (10) принимает вид
Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь Р поверхности шарового пояса, образованного вращением полуокружности Определённый интеграл, вокруг оси Ох.

Решение:

По формуле (8) получаем Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь Р поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды Определённый интеграл вокруг оси Ох.
Решение:

По формуле (10) имеем Определённый интеграл

Работа переменной силы

Из рассмотренных выше задач, связанных с геометрическим приложением определенного интеграла, следует, что для их решения применяется один и тот же вычислительный метод: приближенное значение искомой величины представляется в виде интегральной суммы, а затем предельным

Переходом получается точное значение в виде интеграла. С помощью этого же метода решается целый ряд других задач механики, физики и техники. В качестве примера вычислим работу переменной силы.

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину, зависящую от х. Требуется определить работу А, совершаемую силой F по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки х=а в точку Определённый интеграл. Функция F(х) предполагается непрерывной на отрезке [а, b] (рис. 114).Определённый интеграл

Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками Определённый интеграл Выберем на каждом частичном отрезке Определённый интеграл точку Определённый интегралСила, действующая на материальную точку на отрезке Определённый интеграл, изменяется от точки к точке. Но если длина отрезка мала, то значение силы в точках отрезка Определённый интеграл мало отличается от ее значения в любой точке Определённый интеграл, так как F (х) непрерывна. Поэтому работу Определённый интеграл совершаемую силой F на Определённый интеграл, можно считать приближенно равной работе, совершаемой на том же отрезке постоянной силой Определённый интеграл, т.е.

Определённый интеграл

Проводя аналогичные рассуждения для каждого отрезка разбиения, получаем приближенное значение работы А силы F на всем отрезке: Определённый интеграл

С другой стороны, сумма в правой части равенства является интегральной суммой для функции F(x). Так как функция F(х) непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при Определённый интегралсуществует и равен определенному интегралу от функции F(х) по отрезку [а, b]. Таким образом, Определённый интеграл

Пример:

Определить работу A, необходимую для запуска тела массой m с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h (рис. 115).
Решение:

Обозначим через F силу притяжения тела Землей. Пусть Определённый интеграл — масса Земли. Согласно закону Ньютона
Определённый интеграл
где х — расстояние от тела до центра Земли.

Полагая Определённый интеграл, получаем F(x) — Определённый интеграл где R— радиус Земли. При x=R сила F(R) равна весу тела P=mg, т. е. Определённый интеграл, откуда Определённый интеграл Таким образом, по формуле (11) получаем Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования нельзя разбить отрезок на п частей конечной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и на эти случаи можно обобщить понятие определенного интеграла. В результате такого обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Определение:

Пусть функция f(х) определена на промежутке Определённый интеграл и интегрируема по любому отрезку [а, R], т. е. существует определенный интеграл Определённый интеграл при любом R>a. Тогда, если существует конечный пределОпределённый интеграл
то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают
Определённый интеграл

Таким образом, по определению,
Определённый интеграл

В этом случае говорят, что интеграл (2) существует или сходится. Если же предел (1) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (2) не существует или расходится.

Аналогично интегралу (2) вводится несобственный интеграл по промежутку Определённый интеграл:Определённый интеграл

Наконец, как сумму интегралов вида (2) и (3) можно определить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами, т. е. Определённый интеграл
где с — любое число, при условии существования обоих интегралов справа.

Определённый интеграл

Установим геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. Пусть Определённый интеграл Тогда определенный интеграл Определённый интеграл выражает площадь области, ограниченной сверху графиком функции f(х), снизу — осью Ох, слева — прямой х=а, справа — прямой x=R. Естественно считать, что несобственный интеграл Определённый интеграл выражает конечную площадь бесконечной области, ограниченной сверху графиком функции f(x), снизу осью Ох, слева прямой х=а (рис. 116). Аналогичная интерпретация имеет место для интегралов (3) и (4).

Рассмотрим несколько примеров вычисления несобственных интегралов первого рода.

Пример:Определённый интеграл
т. е. данный интеграл сходится.

Пример:Определённый интегрално предел функции sin R при Определённый интеграл не существует, следовательно, интеграл расходится.

Пример:
Определённый интеграл
интеграл расходится, так какОпределённый интеграл

Пример:
Определённый интеграл —некоторое число.Определённый интеграл
Таким образом, данный интеграл сходится при Определённый интеграл и расходится при Определённый интеграл
Заметим, что в рассмотренных примерах вычисление несобственного интеграла было основано на его определении.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение:

Пусть функция f(х) определена на промежутке [а, b). Точку х=b будем называть особой, если функция f(х) неограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке Определённый интеграл, заключенном в [а, b) (рис.117). Пусть на любом отрезке Определённый интеграл функция f(х) интегрируема, т. е. существует определенный интеграл Определённый интеграл при любом Определённый интеграл таком, что Определённый интеграл Тогда, если существует конечный предел
Определённый интеграл

Определённый интеграл

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Определённый интеграл
В этом случае говорят, что интеграл (6) существует или сходится. Если же предел (5) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (6) не существует или расходится.

Аналогично, если х = а — особая точка, то несобственный интеграл определяется так:
Определённый интеграл

Если функция f(x) не ограничена в окрестности какой-нибудь внутренней точки Определённый интеграл, то при условии существования обоих интегралов справа по определению полагаютОпределённый интеграл

Наконец, если а и b — особые точки, то если оба интеграла справа существуют, несобственный интеграл определяется как сумма Определённый интеграл
где с — любая точка из (а, b).

Пример?

Определённый интеграл — некоторое число.Определённый интеграл

Таким образом, данный интеграл сходится при Определённый интеграл и расходится при Определённый интеграл

Признак сходимости несобственных интегралов

Рассмотрим вопрос о сходимости несобственных интегралов вида Определённый интеграл

Теорема:

Признак сравнения несобственных интегралов. Если функции f(х) и g(х) непрерывны на промежутке Определённый интеграл и удовлетворяют на нем условию Определённый интеграл, то из сходимости интеграла Определённый интеграла из расходимости интеграла (8) следует расходимость интеграла (7).

Доказательство:

Введем обозначения Определённый интеграл
Так как Определённый интеграл то в силу оценок 1° и 2° (см. § 5) справедливы неравенства Определённый интеграл
и, кроме того, функция F(R) [а также G(R)] является неубывающей на промежутке Определённый интеграл. В самом деле, если Определённый интеграл то Определённый интеграл и, следовательно, Определённый интеграл

Пусть интеграл (7) сходится, т. е. функция G(R) имеет конечный предел при Определённый интеграл Отсюда в силу неубывания G(R) следует, что функция G(R) ограничена на Определённый интеграл. Но тогда согласно равенству (9) и функция F(R) ограничена на Определённый интеграл и, следовательно, имеет на Определённый интеграл, точную верхнюю грань. Пусть Определённый интеграл По определению точной верхней грани для любого Определённый интеграл найдется такое Определённый интеграл Так как функция F(R) не убывает на Определённый интеграл, то для любого Определённый интеграл, выполняется неравенство Определённый интеграл и, значит, Определённый интеграл

Таким образом,
Определённый интеграл

Это означает, что Определённый интеграл т. е. интеграл (8) сходится.

Пусть теперь интеграл (8) расходится. Тогда, если предположить, что интеграл (7) сходится, то в силу доказанного выше интеграл (8) сходится, что противоречит условию. Следовательно, интеграл (7) также расходится. ■

Замечание:

Аналогичный признак сравнения для несобственных интегралов второго рода можно сформулировать следующим образом: если функции f(х) и g(x) непрерывны на полуинтервале (а, b] для всех точек х в некотором интервале Определённый интеграл выполняются условия Определённый интеграл, следует сходимости интеграла Определённый интеграл, следует сходимость интеграла Определённый интеграл следует расходимости интеграла Определённый интеграл

Пример:

Исследовать сходимость Определённый интеграл
Решение:

Сравним подынтегральную функцию Определённый интеграл с функцией Определённый интеграл на промежутке Определённый интеграл Очевидно, чтоОпределённый интеграл

Но интегралОпределённый интеграл— сходится, так как Определённый интеграл (см. пример 4).
Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный интеграл.

Пример:

Исследовать сходимость Определённый интеграл
Решение:

Сравнивая подынтегральную функцию Определённый интеграл с функцией Определённый интеграл на промежутке Определённый интеграл имеем Определённый интеграл

Но интеграл Определённый интеграл расходится, так как Определённый интеграл (см. пример 4). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл расходится.

Пример использования несобственного интеграла

Вычислим вторую космическую скорость тела, т. е. начальную скорость, при которой оно способно выйти из поля притяжения Земли в межпланетное пространство.

Ранее (см. § 10, п. 6, пример 11) с помощью определенного интеграла была вычислена работа, необходимая для запуска тела массой m с поверхности Земли на высоту h:
Определённый интеграл

Выход тела в межпланетное пространство означает запуск его на бесконечную высоту Определённый интеграл. Вычислим необходимую для этого работу: Определённый интегралгде m — масса тела; g — ускорение свободного падения у поверхности Земли (трение и притяжение других планет при этом не учитываются). Эта работа совершается за счет изменения кинетической энергии тела. Поэтому кинетическая энергия тела в начальный момент должна быть не меньше этой работы, т. е. начальная скорость тела Определённый интеграл должна быть такая, чтобыОпределённый интеграл

Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траектория движения представляет собой параболу. При начальной скорости, большей 11,2 км/с, траектория будет представлять собой гиперболу, а при начальной скорости, меньшей 11,2 км/с, тело будет двигаться по эллиптической траектории, при этом либо упадет на Землю, либо станет искусственным спутником Земли.

Приближенное вычисление определенных интегралов

При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол.
Определённый интеграл

Формула трапеций

Пусть требуется вычислить интеграл Определённый интеграл — непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда Определённый интеграл Разобьем отрезок [а, b] нa n равных отрезков точками Определённый интеграл и с помощью прямых Определённый интеграл построим п прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 118). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т. е.Определённый интеграл

где Определённый интеграл — соответственно основания трапеций; Определённый интеграл — их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула Определённый интеграл
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Рассмотрим в качестве примера интеграл Определённый интеграл Точное значение этого интеграла находится просто:Определённый интеграл

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: Определённый интегралОпределённый интеграл
Следовательно, Определённый интеграл

Точное значение интеграла равно 0,3333…, поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задачах эта точность достаточна.

Если увеличить число п, то точность будет большей. Так, например, при n=10
Определённый интеграл
т. е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(х) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем Определённый интегралгде k — наибольшее значение Определённый интеграл на отрезке [а, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.

Вычислим по формуле трапеции интеграл Определённый интеграл при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками Определённый интегралОпределённый интеграл Вычислим приближенно значения функции Определённый интеграл в этих точках: Определённый интеграл

По формуле трапеций получаем Определённый интеграл
Оценим погрешность полученного результата. Так как Определённый интегралНа отрезке [0, 1] имеем Определённый интеграл Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины Определённый интеграл

Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона—Лейбница:
Определённый интеграл

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления, определенного интеграла.

Формула парабол

Докажем предварительно две леммы.

Лемма:

Через любые три точки Определённый интеграл с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида Определённый интеграл

Доказательство:

Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек Определённый интеграл получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:
Определённый интеграл

Так как числа Определённый интеграл различны, то определитель этой системы (гл. 10, § 3) отличен от нуля: Определённый интеграл

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т. е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. ■

Отметим, что если Определённый интеграл то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.
Определённый интеграл

Лемма:

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой Определённый интеграл проходящей через точки Определённый интеграл(рис. 119), выражается формулой Определённый интеграл

Доказательство:

Подставляя в уравнение Определённый интеграл координаты точек Определённый интеграл получаем Определённый интеграл откуда следует, что Определённый интеграл

Учитывая соотношения (3), имеем Определённый интеграл

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой у=f(х). Разобьем отрезок [а, b] на 2n равных отрезков точками Определённый интеграл а кривую y=f(x) с помощью прямых Определённый интеграл на 2n соответствующих частей точками Определённый интеграл(рис. 120).

Через каждую тройку точек Определённый интеграл
проведем кривую вида Определённый интеграл (см. лемму 8.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 120). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку Определённый интеграл, приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае Определённый интеграл]Определённый интеграл

где Определённый интеграл Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу Определённый интеграл
или в развернутом видеОпределённый интеграл

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле парабол значение функции f(х) в нечетных точка разбиения Определённый интеграл имеет коэффициент 4, в четных точках Определённый интеграл — коэффициент 2 и в двух граничных точках Определённый интеграл — коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(х) на отрезке [а, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(х) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем
Определённый интеграл
где М — наибольшее значение Определённый интеграл на отрезке [а, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом Определённый интеграл

Так как Определённый интеграл растет быстрее, чем Определённый интеграл, то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл Определённый интеграл но теперь по формуле Симпсона при n=4.

Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками Определённый интеграл и вычислим приближенно значения функции Определённый интеграл в этих точках Определённый интеграл

По формуле Симпсона получаем Определённый интеграл

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции Определённый интеграл имеем: Определённый интеграл, откуда следует, что на отрезке Определённый интеграл Следовательно, можно взять M=24, и погрешность результата не превосходит величины Определённый интеграл Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл Определённый интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем Определённый интеграл. Последовательно дифференцируя функцию Определённый интеграл получаем Определённый интеграл

Так как на отрезке [0, 1] Определённый интеграл то Определённый интеграл Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем Определённый интеграл откуда Определённый интеграл Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т. е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками Определённый интеграл и вычислим приближенно значения функции Определённый интеграл в этих точках: Определённый интеграл Применяя формулу Симпсона, получаем Определённый интеграл

Таким образом, Определённый интеграл с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключение отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы — эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Определенный интеграл и его геометрический смысл:

Пусть функция Определённый интеграл является первообразной для функции Определённый интеграл на некотором промежутке Определённый интеграл, а числа Определённый интеграл принадлежат этому промежутку.

Определение:

Приращение Определённый интеграл любой из первообразных функций Определённый интеграл при изменении аргумента от Определённый интегралназывается определенным интегралом, от Определённый интеграл до Определённый интеграл функции Определённый интеграл и обозначается Определённый интеграл (читается: «интеграл от Определённый интеграл до Определённый интеграл эф от икс де икс»). Числа Определённый интеграл называются пределами интегрирования, Определённый интеграл — нижним, Определённый интеграл — верхним. Отрезок Определённый интеграл называется отрезком интегрирования. Функция Определённый интеграл называется подынтегральной функцией, а переменная Определённый интегралпеременной интегрирования.

Таким образом, по определению,

Определённый интеграл

Равенство (1) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Существует и другой подход к введению понятия определенного интеграла, основанный на применении теории пределов. Рассмотрим его. Пусть дана непрерывная функция Определённый интеграл. Допустим, для простоты, что функция Определённый интеграл в указанном промежутке неотрицательна и Определённый интеграл. Выполним следующие операции:

1) разобьем отрезок Определённый интеграл на Определённый интеграл частей так, что

Определённый интеграл

2) обозначим: Определённый интеграл; величину Определённый интеграл назовем шагом разбиения;
3) в каждом из отрезков Определённый интеграл зафиксируем произвольную точку Определённый интеграл;
4) составим сумму Определённый интеграл всех произведений Определённый интеграл,

Определённый интеграл

или, в сокращенном виде,

Определённый интеграл

Суммы вида (2) называются интегральными суммами функции Определённый интеграл. Геометрически (рис. 78) каждое слагаемое интегральной суммы (2) равно площади прямоугольника с основанием длины Определённый интеграл с высотой Определённый интеграл. А вся сумма Определённый интеграл равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся, объединением всех указанных выше прямоугольников.

Определённый интеграл

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка Рис 78. Определённый интегрална части получим различные интегральные суммы вида (2), а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры». Таким образом, для данной функции Определённый интеграл и данного отрезка Определённый интеграл можно составить бесконечное множество интегральных сумм вида (2), которые зависят от выбора точек деления Определённый интеграл и точек Определённый интеграл.

Определение:

Если при любой последовательности разбиений отрезка Определённый интеграл таких, что Определённый интеграл и при любом выборе точек Определённый интеграл интегральная сумма Определённый интегралстремится к одному и тому же конечному пределу Определённый интеграл, т. е

Определённый интеграл

то число Определённый интеграл называется определенным интегралом от функции Определённый интегрална отрезке Определённый интеграл и обозначается

Определённый интеграл

Итак, по определению,

Определённый интеграл

Функция Определённый интеграл, для которой существует определенный интеграл (3), называется интегрируемой на отрезке Определённый интеграл.

Заметим без доказательства, что всякая (не обязательно неотрицательная) непрерывная на отрезке Определённый интеграл функция Определённый интеграл интегрируема на этом отрезке. Если интегрируемая на отрезке Определённый интеграл функция Определённый интеграл не отрицательна, то определенный интеграл Определённый интегралчисленно равен площади Определённый интеграл криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Определённый интеграл, осью абсцисс и прямыми Определённый интеграл (см. рис. 78), т. е.

Определённый интеграл

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

При введении понятия определенного интеграла как предел интегральных суммы допустили, что Определённый интеграл. В случае Определённый интеграл примем, по определению,

Определённый интеграл

При Определённый интеграл, так же по определению, полагаем

Определённый интеграл

Следует заметить, что определенный интеграл зависит только от интегрируемой функции Определённый интеграл и пределов интегрирования Определённый интеграл, но не от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования. Поэтому

Определённый интеграл

Итак, возможны два различных определения определенного интеграла.

Согласно определению 2 определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

Из школьного курса известно, что решение ряда задач: вычисление площади, работа переменной силы (ниже будут рассмотрены и другие) сводится к вычислению пределов интегральных сумм вида (2). Если учесть, что непосредственное вычисление таких пределов гораздо труднее, чем вычисление интегралов, им соответствующих, то необходимость введения определения 2 становится очевидной.

Итак, мы будем исходить из определения 2 определенного интеграла. При таком подходе к понятию определенного интеграла формула Ньютона — Лейбница не вводится по определению, а строго доказывается. Нами это будет сделано ниже, а до этого при вычислении простейших интегралов (в рамках школьного курса)
мы будем пользоваться ею.

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Так как для функции Определённый интеграл одной из первообразных является функция Определённый интеграл, то по формуле Ньютона — Лейбница получим

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Заметим, что этот результат легко получить и без использования формулы Ньютона — Лейбница — непосредственно из определения 2. Действительно, при Определённый интеграл любая интегральная сумма Определённый интеграл есть просто Определённый интеграл. Следовательно, и Определённый интеграл

Основные свойства определенного интеграла

При изложении основных свойств определенного интеграла будем рассматривать лишь непрерывные, а следовательно, и интегрируемые на отрезке Определённый интеграл функции. Кроме этого, при пояснении геометрического смысла различных свойств будем предполагать, что рассматриваемые функции неотрицательны. Еще раз напомним, что мы условились исходить из определения 2 § 1 определенного интеграла и лишь в конкретных примерах использовать пока формулу Ньютона — Лейбница, которая ниже будет доказана.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т, е. если Определённый интеграл, то

Определённый интеграл

Доказательство:

Согласно определению 2 § 1
имеем

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

Определённый интеграл

2. Предлагаем читателю доказать это свойство
самостоятельно.

Пример:

Вычислить Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Если Определённый интеграл, то

Определённый интеграл

Не доказывая это свойство, поясним лишь его геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл равна сумме площадей трапеций Определённый интеграл (рис. 79).

Если функция Определённый интеграл неотрицательна на отрезке Определённый интеграл,
то

Определённый интеграл

Доказательство:

Так как при любом разбиении отрезка Определённый интеграл на отрезки Определённый интеграл и любом выборе точек Определённый интеграл, то Определённый интеграл Но тогда и Определённый интеграл

5. Если

Определённый интеграл
Определённый интеграл

Доказательство:
Согласно условию Определённый интеграл. Тогда по свойству 4

Определённый интеграл

Применяя свойства 2 и 1, имеем

Определённый интеграл

Геометрический смысл этого свойства понятен из рис. 80.

Если Определённый интеграл — наименьшее и наибольшее значения функции Определённый интеграл на отрезке Определённый интеграл, где Определённый интеграл, то

Определённый интеграл

Доказательство:

Согласно свойству 5

Определённый интеграл

Применяя теперь свойство 1, а также учитывая, что Определённый интеграл(см. пример 3 § 1), получаем требуемые неравенства.

С геометрической точки зрения это свойство означает, что площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл

Определённый интеграл

заключена между площадями прямоугольников Определённый интеграл(рис. 81).

Теорема о среднем

Теорема. Если функция Определённый интеграл непрерывна на отрезке Определённый интеграл, то существует точка Определённый интеграл такая, что

Определённый интеграл

Доказательство:

Пусть Определённый интеграл — наименьшее, а Определённый интеграл — наибольшее значения функции Определённый интеграл на отрезке Определённый интеграл. Тогда, согласно свойству 6 § 2, имеем

Определённый интеграл

откуда

Определённый интеграл

Известно, что функция Определённый интеграл, непрерывная на отрезке Определённый интеграл, принимает все промежуточные значения между своими наименьшим значением Определённый интеграл и наибольшим значением Определённый интеграл, а поэтому найдется точка Определённый интеграл такая, что

Определённый интеграл

Отсюда

Определённый интеграл
Определённый интеграл

что и требовалось доказать.

Если Определённый интеграл, то теорема о среднем имеет простой геометрический смысл: на отрезке Определённый интеграл существует точка Определённый интеграл такая, что площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл равна площади прямоугольникаОпределённый интеграл с основанием Определённый интеграл и высотой Определённый интеграл (рис.82).

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция Определённый интеграл непрерывна на отрезке Определённый интеграл, тогда определенный интеграл

Определённый интеграл

существует и равен некоторому числу (см. § 1). Если в интеграле (1) нижний предел Определённый интеграл зафиксировать, а верхний предел Определённый интеграл заменить переменной Определённый интеграл то получим интеграл

Определённый интеграл

Очевидно, что с изменением переменной Определённый интеграл изменяется и значение интеграла (2), т. е. интеграл (2) есть некоторая функция своего верхнего предела. Положим

Определённый интеграл

Геометрически функция (3) определяет переменную площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл (рис. 83).

Определённый интеграл

Теорема:

Если функция Определённый интеграл непрерывна на отрезке Определённый интеграл

Определённый интеграл

Доказательство:

Пусть Определённый интеграл — произвольная точка, принадлежащая отрезку Определённый интеграл Докажем, Определённый интеграл.

По определению производной,

Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл

Применив к первому интегралу свойство 3 § 2, получим

Определённый интеграл

На основании теоремы о среднем найдется такая точка Определённый интеграл что

Определённый интеграл

Таким образом,

Определённый интеграл

Очевидно, что Определённый интеграл

Так как функция Определённый интеграл непрерывна на отрезке Определённый интеграл, то она непрерывна и в точке Определённый интеграл, поэтому

Определённый интеграл

Итак,

Определённый интеграл

или

Определённый интеграл

Таким образом, производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом. Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Формула Ньютона — Лейбница

Теперь мы можем доказать введенную в § 1 по определению формулу Ньютона — Лейбница.

Теорема:

Если функция Определённый интеграл непрерывна на отрезке Определённый интеграл, а Определённый интегралявляется какой-либо ее первообразной на этом отрезке, то

Определённый интеграл

Доказательство:

Из теоремы, доказанной предыдущем параграфе, следует, что функция

Определённый интеграл

тоже является первообразной для функции Определённый интеграл на отрезке Определённый интеграл.

Так как Определённый интеграл — две первообразные для одной и той же функции Определённый интеграл, то

Определённый интеграл

или

Определённый интеграл

При Определённый интеграл имеем

Определённый интеграл

Но по определению (см. (Q) из § 1)Определённый интеграл поэтому

Определённый интеграл

откуда Определённый интеграл. Подставив найденное значение Определённый интеграл в равенство (3),
получим

Определённый интеграл

Полагая здесь Определённый интеграл, будем иметь

Определённый интеграл

или, обозначив переменную интегрирования буквой Определённый интеграл, получим формулу Ньютона — Лейбница:

Определённый интеграл

Применяя обозначение Определённый интеграл, формулу Ньютона — Лейбница запишем в виде

Определённый интеграл

Таким образом, известное нам ранее, а теперь выведенное из определения 2 § 1 правило можно словами сформулировать так: чтобы вычислить определенный интеграл Определённый интеграл, нужно:

1) найти какую-нибудь первообразную Определённый интеграл для функции Определённый интеграл (найти неопределенный интеграл от функции Определённый интеграл, в котором принять Определённый интеграл);

2) в полученном выражении подставить вместо Определённый интеграл сначала верхний предел Определённый интеграл, а затем нижний предел Определённый интеграл и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Определённый интеграл

Вычисление определенного интеграла способом подстановки (с помощью замены переменной)

Теорема:

Пусть Определённый интеграл — непрерывная функция на отрезке Определённый интеграл, Определённый интеграл — монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на отрезке Определённый интеграл, причем Определённый интеграл, тогда

Определённый интеграл

Доказательство:

Пусть Определённый интеграл — какая-либо первообразная для функции Определённый интеграл на отрезке Определённый интеграл т. е, Определённый интеграл. Так как, по условию, Определённый интеграл монотонна, то область значений функции Определённый интеграл совпадает с Определённый интеграл. Следовательно, сложная функция Определённый интеграл определена для всех Определённый интеграл и является первообразной для функции Определённый интеграл. (так как Определённый интеграл).

Применив к каждой из непрерывных функций Определённый интегралформулу Ньютона — Лейбница, получим

Определённый интеграл

И

Определённый интеграл

Из равенств (2) и (З) следует равенство (1),

Отметим, что при вычислении определенного интеграла способом подстановки новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Однако, в отличие от неопределенного интеграла, где в полученном результате мы снова возвращались к
прежнему переменному, здесь этого делать не надо. Это объясняется тем, что при вычислении интеграла Определённый интеграл получается число, равное Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интеграл тогда Определённый интеграл или Определённый интегралНовые пределы интегрирования Определённый интеграл определяются из подстановки заменой аргумента Определённый интеграл его пределами Определённый интеграл. В нашем случае Определённый интеграл, поэтому Определённый интеграл. Итак,

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интегралОпределённый интеграл Следовательно,

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интеграл; тогда Определённый интеграл,

Определённый интеграл

Следовательно,

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интеграл тогда

Определённый интеграл Следовательно,

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интеграл; тогда Определённый интеграл, Определённый интеграл Следовательно,

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интеграл тогда Определённый интеграл Очевидно, что если Определённый интеграл и если Определённый интеграл ,
поэтому Определённый интеграл Итак,

Определённый интеграл

Интегрирование по частям

Пусть функции Определённый интеграл имеют непрерывные производные на отрезке Определённый интеграл. Тогда

Определённый интеграл

Интегрируя обе части этого тождества в пределах от Определённый интеграл получим

Определённый интеграл

Все эти интегралы существуют, ибо подынтегральные функции непрерывны.

По формуле Ньютона — Лейбница имеем

Определённый интеграл

Из равенств (1) и (2) следует

Определённый интеграл

Эта формула называется формулой интегрирования частям для определенного интеграла.

Пример:

Вычислить

Определённый интеграл

Решение:

Положим Определённый интеграл тогда Определённый интеграл Следовательно,

Определённый интеграл

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Мы уже отмечали, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла
по формуле Ньютона — Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования. В основе приближенных методов интегрирования лежит геометрический смысл определенного интеграла, а именно; определенный интеграл

Определённый интеграл

на Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой Определённый интеграл осью Определённый интеграл и прямыми Определённый интеграл.

Пусть на отрезке Определённый интеграл, задана непрерывная функция Определённый интеграл; требуется вычислитьОпределённый интеграл Для наглядности будем считать, что Определённый интеграл на отрезке Определённый интеграл. Разобьем отрезок Определённый интеграл на Определённый интеграл равных частей точками Определённый интеграл

Определённый интеграл

Длина каждого из полученных отрезков Определённый интеграл равна

Определённый интеграл

Обозначим через Определённый интеграл значения функции Определённый интеграл в точках Определённый интеграл

Определённый интеграл

В зависимости от того, какой функцией мы заменяем данную функцию Определённый интеграл на каждом из отрезков Определённый интеграл получаются различные формулы для приближенного вычисления интеграла Определённый интеграл Мы рассмотрим наиболее простые формулы приближенного интегрирования: формулы прямоугольников и формулу трапеций.

Определённый интеграл

1. Формулы прямоугольников. При вычислении интеграла Определённый интегралпо формулам прямоугольников подынтегральная функция Определённый интегралзаменяется «ступенчатой функцией», которая на каждом из отрезков Определённый интеграл постоянное значение, равное значению функции Определённый интеграл на одном из концов этого отрезка (рис. 84).

Пусть, например, на каждом из отрезков Определённый интеграл ступенчатая функция принимает значения, равные значению функции Определённый интеграл на левом конце этого отрезка, т. е. равные Определённый интеграл. Тогда площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл, а следовательно, и значение искомого интеграла, приближенно равна сумме площадей
прямоугольников с высотами Определённый интеграл и основаниями Определённый интеграл

Определённый интеграл

Итак,

Определённый интеграл

Очевидно, что если значения ступенчатой функции на каждом из отрезков Определённый интеграл совпадают со значениями функции Определённый интеграл на правых концах этих отрезков, то получим формулу

Определённый интеграл

Формулы (1) и (2) называются формулами прямоугольников.

Формула трапеций

При вычислении интеграла Определённый интеграл
с помощью формулы трапеций подынтегральная функция Определённый интеграл заменяется функцией, график которой представляет собой ломаную линию, звенья которой соединяют концы ординат Определённый интеграл (рис. 85).

В этом случае площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл
(а следовательно, и значение искомого интеграла)

приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями Определённый интеграли высотой Определённый интеграл

Определённый интеграл

Итак,

Определённый интеграл

Формула (3) называется формулой трапеций. Очевидно, что с увеличением числа Определённый интеграл точек деления отрезка Определённый интеграл увеличивается точность значения искомого интеграла, вычисленного по любой из формул

Определённый интеграл

Однако при одном и том же значении Определённый интеграл формула трапеций дает лучшее приближение, чем формулы прямоугольников.

Пример:

Вычислить Определённый интеграл по формулам прямоугольников и трапеций.

Решение:

Разделим отрезок Определённый интеграл частей. Тогда Определённый интеграл. Составляем таблицу значений подынтегральной функции (табл. 5).

Таблица 5

Определённый интеграл

По формуле прямоугольников (1) получим:

Определённый интеграл
Определённый интеграл

По формуле прямоугольников (2) получим:

Определённый интеграл

По формуле трапеций (3) получим:

Определённый интеграл

Вычисление площадей плоских фигур

При вычислении площадей плоских фигур с применением определенного интеграла мы рассмотрим следующие случаи.

1. Фигура ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке Определённый интеграл функции Определённый интеграл осью Определённый интеграл и прямыми Определённый интеграл

Определённый интеграл

В этом случае согласно геометрическому смыслу определенного интеграла площадь Определённый интеграл численно равна Определённый интеграл

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями Определённый интеграл(рис. 86).

Решение:

Применив формулу (1), найдем:

Определённый интеграл

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и не положительной на отрезке Определённый интеграл функции Определённый интеграл, осью Определённый интеграл и прямыми Определённый интеграл (рис. 87).

Рассмотрим функцию — Определённый интеграл. Фигура Определённый интеграл симметрична фигуре Определённый интеграл относительно оси Определённый интеграл (см. рис. 87), а следовательно, их площади Определённый интеграл и Определённый интеграл равны. Но

Определённый интеграл

поэтому

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл (рис. 88)

Решение:

По формуле (2) находим:

Определённый интеграл

3. Фигура ограничена осью Определённый интеграл, прямыми Определённый интеграл, Определённый интеграл и графиком функции Определённый интеграл, которая непрерывна на отрезке Определённый интеграл и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке (рис. 89). В этом случае разбивают отрезок Определённый интеграл на такие частичные отрезки, на которых
функция Определённый интеграл знакопостоянна (на рис. 89 имеется три таких отрезка: Определённый интеграл . Очевидно, что искомая площадь Определённый интеграл численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции Определённый интеграл на соответствующих отрезках.

Определённый интеграл

Так, например, площадь фигуры, изображенной на
рис. 89. вычисляется по формуле

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл (рис. 90).

Определённый интеграл

Решение:

Очевидно, что Определённый интеграл для всех Определённый интеграл Поэтому

Определённый интеграл

Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке Определённый интеграл функций Определённый интеграл и прямыми Определённый интеграл (рис. 91).

В этом случае искомая площадь Определённый интеграл вычисляется по
формуле

Определённый интеграл

Для. доказательства этой формулы достаточно разбить отрезок Определённый интегрална такие отрезки, на каждом из которых обе функции Определённый интегралзнакопостоянны.

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл (рис. 92).

Решение:

Пределы интегрирования Определённый интеграл находим из системы уравнений

Определённый интеграл

Отсюда Определённый интеграл и Определённый интеграл

Следовательно, Определённый интеграл Очевидно, что на отрезке Определённый интеграл, Определённый интеграл имеем Определённый интеграл
По формуле (3) находим:

Определённый интеграл

Вычисление объема тела по известным площадям поперечного сечения

Пусть требуется вычислить объем Определённый интеграл тела Определённый интеграл, заключенного между двумя перпендикулярными к оси Определённый интеграл плоскостями Определённый интеграл(рис. 93).

Предположим, что известна площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Определённый интеграл. Эта площадь зависим от положения секущей плоскости, т.. е.

Определённый интеграл

является функцией от Определённый интеграл. Обозначим ее через Определённый интеграл и допустим, что она непрерывна на отрезке Определённый интеграл.

Разобьем отрезок Определённый интеграл на Определённый интеграл частей точками

Определённый интеграл

и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси Определённый интеграл. Эти плоскости разобьют тело на Определённый интеграл слоев. Обозначим через Определённый интеграл объем слоя, заключенного между плоскостями Определённый интеграл Тогда Определённый интеграл приближенно равен объему цилиндра, высота которого равна Определённый интеграл основание совпадает с поперечным сечением, образованным пересечением
тела Определённый интегралкакой-либо плоскостью Определённый интеграл Определённый интеграл а объем всего тела

Определённый интеграл

По определению принимаем

Определённый интеграл

или

Определённый интеграл

Объем тела вращения

Пусть функция Определённый интеграл, непрерывна на отрезке Определённый интеграл. Требуется вычислить объем Определённый интеграл тела Определённый интеграл, образованного вращением вокруг оси Определённый интеграл фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл (рис. 94). Так как любое поперечное сечение тела Определённый интеграл есть круг радиуса Определённый интеграл, то площадь сечения будет Определённый интеграл

Определённый интеграл

Применив формулу (1) из предыдущего параграфа, найдем:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Определённый интеграл фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл (рис. 95).

Решение:

Такое тело называется параболоидом вращения. Применив формулу (1), получим:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением эллипса Определённый интеграл вокруг оси Определённый интеграл (рис. 96).

Решение:

Рассматриваемое тело называется эллипсоидом вращения. Эллипс пересекает ось Определённый интеграл в точках Определённый интеграл Из уравнения эллипса находим Определённый интеграл. Ввиду симметричности эллипса относительно оси Определённый интеграл вычислим объем в пределах от 0 до Определённый интеграл и полученный результат удвоим:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Определённый интеграл фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл
(рис. 97).

Решение:

Решая систему

Определённый интеграл

находим точки пересечения данных линий: Определённый интеграл и Определённый интеграл5(1; 2). Ввиду симметричности вращающейся фигуры вычислим объем в пределах от 0 до 1 и результат удвоим.

Определённый интеграл

Из рис. 97 видно, что искомый объем равен разности объемов тел, образованных при вращении вокруг оси Определённый интеграл фигур Определённый интеграл. Таким образом,

Определённый интеграл

Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги

Пусть задана плоская дуга Определённый интеграл (рис. 98). Введем понятие длины дуги. Для этого разобьем ее на Определённый интеграл частей точками

Определённый интеграл

Соединив соседние точки хордами, получим ломаную, вписанную в дугу Определённый интеграл. Обозначим через Определённый интеграл периметр

Определённый интеграл

этой ломаной, а через Определённый интеграл — наибольшую из длин ее звеньев.

Определение:

Длиной Определённый интеграл дуги Определённый интеграл называется предел, к которому стремится периметр Определённый интеграл вписанной в эту дугу ломаной, когда число Определённый интегралее звеньев неограниченно возрастает, а наибольшая из длин Определённый интеграл ее звеньев стремится к нулю:

Определённый интеграл

При этом предполагается, что рассматриваемый предел существует и не зависит от выбора точек деления Определённый интеграл
Кривые, имеющие конечную длину, называются спрямляемыми.
Пусть плоская дуга Определённый интеграл является графиком функции Определённый интеграл имеет непрерывную производную на отрезке Определённый интеграл. Допустим, что дуга Определённый интеграл спрямляема на отрезке Определённый интеграл и ее длина равна Определённый интеграл. Если дуга спрямляема на отрезке Определённый интеграл, то она спрямляема и на любом отрезке Определённый интеграл , где Определённый интеграл При этом каждому значению Определённый интеграл будет соответствовать на кривой Определённый интеграл точка Определённый интеграл (рис. 99). Очевидно, что длина.

Определённый интеграл

дуги Определённый интеграл является функцией от Определённый интеграл; обозначим ее через Определённый интеграл. В подробных курсах математического анализа доказывается, что производная функции Определённый интеграл вычисляется по формуле

Определённый интеграл

Из формулы (1) получаем выражение для дифференциала дуги:

Определённый интеграл

или

Определённый интеграл

Так как функция Определённый интеграл определена и непрерывна на отрезке Определённый интеграл, то она интегрируема на этом отрезке.

Из равенства (2) имеем

Определённый интеграл

По формуле Ньютона — Лейбница находим

Определённый интеграл

Но Определённый интеграл поэтому

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить длину дуги параболы Определённый интеграл между точками Определённый интеграл.

Решение:

Находим Определённый интеграл. Применив формулу (4), получим:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить длину дуги кривой Определённый интеграл между точками Определённый интеграл.

Решение:

Из уравнения кривой находим Определённый интеграл откуда Определённый интеграл. Применив
формулу (4), получим:

Определённый интеграл

Площадь поверхности вращения

Пусть дуга Определённый интеграл является графиком функции Определённый интеграл, где Определённый интеграл а Определённый интеграл имеет непрерывную производную на отрезке Определённый интеграл(рис. 100).

Определённый интеграл

Найдем площадь поверхности, образованной вращением дуги Определённый интеграл вокруг оси Определённый интеграл.

Разобьем отрезок Определённый интеграл на Определённый интеграл частей точками

Определённый интеграл

в каждой точке деления восставим перпендикуляр к оси Определённый интеграл до пересечения с дугой Определённый интеграл и точки пересечения перпендикуляров с дугой Определённый интеграл обозначим через Определённый интеграл. Соединив соседние точки хордами, получим ломаную, вписанную в дугу Определённый интеграл.

Определение. Площадью Определённый интеграл поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Определённый интеграл дуги Определённый интеграл, называется предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной,
вписанной в дугу Определённый интеграл когда число Определённый интеграл ее звеньев неограниченно возрастает, а наибольшая из длин ее звеньев стремится к нулю.

Площадь Определённый интеграл поверхности вращения вычисляется по формуле, которую мы приводим без доказательства:

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Определённый интеграл дуги кубической параболы Определённый интеграл, ограниченной точками Определённый интеграл и Определённый интеграл.

Решение:

Находим Определённый интеграл. По формуле (1) имеем

Определённый интеграл

Положим Определённый интегралОпределённый интеграл Следовательно,

Определённый интеграл

Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач

Работа переменной силы

Определенный интеграл широко применяется не только при вычислении различных геометрических величин, но и при решении ряда физических и технических задач. Так, например, из школьного курса известно, что работа Определённый интеграл, совершаемая переменной силой Определённый интеграл на пути от точки с абсциссой
Определённый интеграл до точки с абсциссой Определённый интеграл, вычисляется по формуле

Определённый интеграл

Пример:

Вычислить работу, необходимую для запуска ракеты весом Определённый интеграл с поверхности земли на высоту Определённый интеграл км.

Решение.

Сила Определённый интеграл притяжения тела землей есть функция от его расстояния Определённый интеграл до центра земли: Определённый интеграл где Определённый интеграл — постоянная. На поверхности земли эта функция равна весу тела Определённый интеграл, а Определённый интеграл равно радиусу земли Определённый интеграл, поэтому Определённый интеграл Отсюда Определённый интеграл, и, следовательно,

Определённый интеграл

При подъеме ракеты с поверхности земли на высоту Определённый интеграл переменная Определённый интеграл изменяется от Определённый интеграл. Искомую работу находим по формуле (1):

Определённый интеграл

При Определённый интегралполучим:

Определённый интеграл

Давление жидкости

Известно, что величина силы Определённый интеграл давления жидкости в ньютонах на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

Определённый интеграл

где Определённый интеграл — плотность жидкости в Определённый интеграл — площадь площадки в Определённый интеграл, Определённый интеграл — глубина погружения площадки в М.

Если же площадка погружена в жидкость не горизонтально, то формула (1) неприменима, так как в этом случае сила Определённый интеграл давления жидкости изменяется с глубиной.

Рассмотрим задачу определения давления жидкости на вертикальную площадку.

Пример:

Треугольная пластинка с основанием 0,3 м и высотой 0,6 м погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку (рис. 101).

Решение:

Разобьем пластинку на Определённый интеграл тонких полосок. На глубине Определённый интеграл выделим одну из них (на рис. 101 она заштрихована) и обозначим через Определённый интеграл ее ширину.

Определённый интеграл

Приняв (с некоторой погрешностью) полоску за прямоугольник найдем ее площадь Определённый интеграл:

Определённый интеграл

Из подобия треугольников Определённый интегралимеем:

Определённый интеграл

откуда Определённый интеграл Следовательно,

Определённый интеграл

Предположим (также с некоторой погрешностью), что давление
Рис. 101. во всех точках рассматриваемой полоски одинаково и равно давлению на глубине Определённый интеграл. Тогда сила Определённый интеграл давления жидкости на полоску площади Определённый интеграл можно определить по формуле (2)

Определённый интеграл

или, учитывая равенство (4),

Определённый интеграл

Суммируя элементарные давления Определённый интеграл на каждую из Определённый интеграл полосок, найдем приближенное значение силы Определённый интеграл давления жидкости на всю пластинку:

Определённый интеграл

При неограниченном увеличении числа Определённый интеграл делений данной пластинки Определённый интеграл, поэтому, по определению, полагаем

Определённый интеграл

Таким образом,

Определённый интеграл

Вычисление статических моментов и центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Определённый интеграл задана материальная точка Определённый интеграл с массой Определённый интеграл.

Определение:

Статическим моментом Определённый интеграл точки Определённый интеграл относительно оси Определённый интеграл называется произведение Определённый интеграл:

Определённый интеграл

Аналогично определяется статический момент точки Определённый интеграл
относительно оси Определённый интеграл:

Определённый интеграл

Пусть материальная плоская кривая Определённый интеграл массы Определённый интеграл и длины Определённый интеграл является графиком функции Определённый интеграл, где Определённый интеграл .

Допустим, что кривая Определённый интеграл однородна, т. е. ее линейная плотность Определённый интеграл распределения массы есть величина постоянная. Положим для простоты Определённый интеграл, тогда масса кривой численно равна ее длине, т. е.

Определённый интеграл

а статические моменты вычисляются по формулам:

Определённый интеграл

Определение:

Центром тяжести материальной плоской кривой Определённый интеграл, называется точка плоскости Определённый интеграл такая, что если в ней сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент точки С относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой Определённый интегралотносительно той же оси.

Таким образом, Определённый интеграл откуда

Определённый интеграл

или

Определённый интеграл

Пример:

Найти центр тяжести однородной дуги окружности Определённый интеграл, расположенной в первой координатной четверги (т. е. при Определённый интеграл ).

Решение:

Из уравнения окружности имеем

Определённый интеграл

Дифференцируя это равенство, получим

Определённый интеграл

Длина дуги одной четверти заданной окружности
равна Определённый интеграл а следовательно, и ее масса Определённый интеграл

По формуле (8) находим статический момент заданной дуги относительно оси Определённый интеграл:

Определённый интеграл

По формуле (10) имеем:

Определённый интеграл

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то

Определённый интеграл

Вычисление статических моментов и центра тяжести плоских фигур

Пусть дана материальная плоская фигура, ограниченная кривой Определённый интеграл осью Определённый интеграл и прямыми Определённый интеграл.

Будем считать, что поверхностная плотность Определённый интеграл данной фигуры постоянна и равна единице Определённый интеграл. Тогда масса криволинейной трапеции численно равна ее
площади Определённый интеграл:

Определённый интеграл

Можно показать, что статические моменты Определённый интеграл заданной фигуры вычисляются по формулами

Определённый интеграл

Определение центра тяжести плоской фигуры аналогично определению центра тяжести плоской кривой, а его координаты вычисляются по формулам:

Определённый интеграл

Пример:

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл (рис. 102).

Определённый интеграл

Решение:

Из уравнения Определённый интеграл имеем Определённый интеграл

По формулам (17) и (18) находим:

Определённый интеграл

Дополнение к определенному интегралу

Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Замена переменного интегрирования (метод подстановки) Вычисление определенного интеграла при помощи первообразной функции
Приближенное вычисление площадей криволинейных трапеций Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл  — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Определенный интеграл» вы познакомитесь с формулой Ньютона-Лейбница и научитесь применять ее для
вычисления определенных интегралов, используя технику нахождения первообразных. Вы научитесь применять определенные интегралы для решения геометрических задач (вычисление площадей плоских фигур, длин дуг кривых и объемов тел).

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

План решения. Пусть g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x) = u(G(x)).

Тогда

Определенный интеграл

где Определенный интеграл

Такого рода преобразование называется подведением под знак
дифференциала.

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается
табличным или известным образом сводится к табличному, после
чего применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

Решение:

1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения
двух функций F(x)g(x), где g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x) = u(G(x)).

В данном случае

Определенный интеграл

2.Тогда

Определенный интеграл

где Определенный интеграл и G(0) = 0, G(1) = 1.

3.Последний интеграл является табличным. Применяем формулу
Ньютона-Лейбница:

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Интегрирование по частям

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

План решения. Пусть на отрезке [а, b] функция g(х) имеет очевидную первообразную G(x), a F(x) — дифференцируемая функция,
причем ее производная f(x) = F'(x) является более простой функцией, чем F(x). Тогда применяем формулу интегрирования по частям

Определенный интеграл

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например повторным интегрированием по частям.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

Решение:

1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения
двух функций F(x)g(x), где g(х) имеет очевидную первообразную
G(x), a F(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная
f(x) = F'(x) является более простой функцией, чем F(x).
В данном случае

Определенный интеграл

2.Применяем формулу интегрирования по частям

Определенный интеграл

3.Последний интеграл не является табличным, но к нему можно
повторно применить формулу интегрирования по частям:

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Интегрирование выражений R(sinx, cosx)

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

где R — рациональная функция двух переменных.

План решения.

1.Если а и b таковы, что функция tg (х/2) определена на [а, b], то
с помощью подстановки

Определенный интеграл

интегралы от функций R(sinx, cosx) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t. Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

Определенный интеграл

получаем

Определенный интеграл

Подстановка t = tg (x/2) называется универсальной.

2.Находим новые пределы интегрирования

Определенный интеграл

3.Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл

4.Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание:

Если подынтегральная функция имеет специальный
вид, то лучше применить подстановки, требующие меньших вычислений:

а) если Определенный интеграл то применяем подстановку t = sin x. Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

Определенный интеграл

б) если Определенный интеграл то применяем подстановку t = cos x. Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

Определенный интеграл

в) если Определенный интеграл то применяем подстановку
t = tgx (при условии, что функция tgx определена на [а, b]). Действительно, подынтегральное выражение приобретает вид

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

Решение:

1.Поскольку функция tg (х/2) определена на Определенный интеграл сделаем подстановку

Определенный интеграл

Подставляя в подынтегральное выражение

Определенный интеграл

получим

Определенный интеграл

2.Находим новые пределы интегрирования

Определенный интеграл

3.Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл

4.Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона—Лейбница

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

Решение:

1.Так как подынтегральная функция имеет вид R(tg x) и функция tg x
определена на Определенный интеграл сделаем подстановку tgx = t.

Подставляя в подынтегральное выражение

Определенный интеграл

получаем рациональную функцию t:

Определенный интеграл

2.Находим новые пределы интегрирования:

Определенный интеграл

3.Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле:

Определенный интеграл

4.Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона—Лейбница:

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Интегрирование выражений Определенный интеграл

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

где т и п — натуральные числа.

План решения. Применяем формулы понижения степени

Определенный интеграл

до тех пор, пока не придем к табличным интегралам или к интегралам, которые известным образом сводятся к табличным.

Замечание. Полезно иметь в виду, что

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

Решение:

Применяя формулы понижения степени, имеем

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Интегрирование выражений Определенный интеграл

Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

где R — рациональная функция и p,q,… — натуральные числа.

План решения. С помощью подстановки

Определенный интеграл

где n — общий знаменатель дробей 1/р, 1/q,…, приходим к интегралам от рациональных функций.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

Решение:

1.Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из одного и того же выражения вида Определенный интеграл Поэтому преобразуем подынтегральное выражение, выделяя Определенный интеграл

Определенный интеграл

2.Применяем подстановку Определенный интеграл

Определенный интеграл

Делая замену переменной в определенном интеграле, получаем

Определенный интеграл

Вычисляем первообразную рациональной функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Интегрирование выражений Определенный интеграл и Определенный интеграл

Постановка задачи. Вычислить определенные интегралы вида:

Определенный интеграл

где R — рациональная функция.

План решения.

1.Чтобы избавиться от радикала, используем тригонометрические или гиперболические подстановки:

а) х = a sin t или х = a th t;

б) х = a tg t или х = a sh t;

в) Определенный интеграл или х = a ch t.

2.Применив формулу замены переменной в определенном интеграле, получим интегралы вида Определенный интеграл или Определенный интеграл

3.Вычисляем полученные интегралы с помощью известных подстановок или методом понижения степени.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл

Решение:

1.Чтобы избавиться от радикала, используем подстановку х = 3 sin t. Тогда

Определенный интеграл

и Определенный интеграл поскольку cos t > 0 при Определенный интеграл

2.Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

Определенный интеграл

3.Применяя формулы понижения степени, получим

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Вычисление площадей в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить площадь области, ограниченной графиками функций Определенный интеграл и Определенный интеграл или Определенный интеграл для всех точек области) и, возможно, прямыми х = а
и х = b.

План решения. Если область D задана системой неравенств

Определенный интеграл

то площадь области D вычисляется по формуле

Определенный интеграл

Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. неизвестны а и b и неизвестно, какая из функций Определенный интеграл больше другой на (а,b), то выполняем следующие операции.

1.Находим а и b как абсциссы точек пересечения графиков функций Определенный интеграл, т.е. решаем уравнение

Определенный интеграл

2.Исследуем знак разности Определенный интеграл на [а, b]. Для этого достаточно вычислить значение Определенный интеграл в какой-нибудь точке из (а, b). Если оно положительно, то Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл и Определенный интеграл Если оно отрицательно, то Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл и Определенный интеграл

3.Применяем формулу (1) и находим Определенный интеграл

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить площадь области, ограниченной графиками
функций

Определенный интеграл

Решение:

1.Находим абсциссы а и b точек пересечения графиков. Для этого
решаем уравнение

\Определенный интеграл

Получаем а = 0, b = 3.

2.Исследуем знак функции Определенный интеграл на
отрезке [а, b] = [0, 3]. Для этого придадим х любое значение из (0, 3),
например х = 1. Получаем, что Определенный интеграл = —4. Следовательно, Определенный интеграл < 0 при
Определенный интеграл Поэтому Определенный интеграл при Определенный интеграл и область
D определяется системой неравенств

Определенный интеграл

3.Применяем формулу (1) при Определенный интеграл

Определенный интеграл а = 0 и b = 3:

Определенный интеграл

Ответ. S = 9 (ед. длиныОпределенный интеграл

Вычисление длин дуг у = f(x)

Постановка задачи. Вычислить длину кривой, заданной уравнением

y = f(x)

и ограниченной точками с абсциссами х = а и х = b.

План решения. Длина l кусочно гладкой кривой у = f(x), ограниченной точками с абсциссами х = а и х = b, равна

Определенный интеграл

1.Находим Определенный интеграл

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

Определенный интеграл

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить длину дуги кривой

Определенный интеграл

Решение:

1.Дифференцируя уравнение кривой, получим

Определенный интеграл

2.Вычисляем дифференциал длины дуги:

Определенный интеграл

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

Определенный интеграл

Ответ. l = sh 3 ед. длины.

Вычисление длин дуг х = x(t), у = y(t)

Постановка задачи. Вычислить длину дуги кривой, заданной
параметрически

Определенный интеграл

План решения. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме

где x = x(t) и y = y(t) — кусочно-гладкие функции, то длина l дуги
кривой определяется формулой

Определенный интеграл

где Определенный интеграл и Определенный интеграл — значения параметра, соответствующие граничным точкам дуги.

1.Находим Определенный интеграл

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

Определенный интеграл

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически

Определенный интеграл

Решение:

1.Находим Определенный интеграл

Определенный интеграл

2.Вычисляем дифференциал длины дуги:

Определенный интеграл

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

Определенный интеграл

Ответ.Определенный интеграл ед. длины.

Вычисление длин дуг Определенный интеграл

Постановка задачи. Вычислить длину дуги кривой, заданной
уравнением в полярных координатах

Определенный интеграл

План решения.

Если кусочно гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах Определенный интеграл то длины дуги равна

Определенный интеграл

где Определенный интеграл и Определенный интеграл — значения Определенный интеграл соответствующие граничным точкам дуги.

1.Находим Определенный интеграл

2.Вычисляем дифференциал длины дуги

Определенный интеграл

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
полярных координатах

Определенный интеграл

Решение:

1.Находим Определенный интеграл

Определенный интеграл

2.Вычисляем дифференциал длины дуги:

Определенный интеграл

3.Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл ед. длины.

Вычисление объемов по площадям поперечных сечений

Постановка задачи. Вычислить объем тела, если известны
площади его поперечных сечений.

План решения. Если S = S(x) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и пересекающей ее в точке с абсциссой х, то объем части тела, заключенной между плоскостями
Определенный интеграл и Определенный интеграл определяется формулой

Определенный интеграл

1.Находим S(х).

2.Подставляем S(x) в формулу (1) и вычисляем определенный
интеграл.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Замечание:

Аналогично решается задача, если известны площади сечений плоскостями, перпендикулярными оси OY (S(y)) или
оси OZ (S(z)).

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Определенный интеграл

Решение:

Если S = S(z) — площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к оси OZ и пересекающей ее в точке с аппликатой z, то объем части тела, заключенной между плоскостями Определенный интеграл и Определенный интеграл определяется формулой

Определенный интеграл

1.Сечение заданного тела плоскостью z = const определяется неравенством

Определенный интеграл

т.е. при Определенный интеграл является эллипсом

Определенный интеграл

с полуосями

Определенный интеграл

Площадь этого эллипса равна

Определенный интеграл

Таким образом, при Определенный интеграл

Определенный интеграл

2.Подставляем S(z) в формулу (2) и вычисляем определенный
интеграл:

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл (ед. длиныОпределенный интеграл

Вычисление объемов тел вращения

Постановка задачи. Вычислить объем тела, образованного
вращением области, ограниченной графиками функций
Определенный интеграл и Определенный интеграл и, возможно, прямыми х = а и х = b, вокруг оси ОХ.

План решения. Объем тела, образованного вращением области,
ограниченной кривыми у = u(х) и у = v(x) и прямыми х = а, х = b,
где Определенный интеграл т.е. области, определяемой системой неравенств

Определенный интеграл

вычисляется по формуле

Определенный интеграл

1.Определяем область D. Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. неизвестны а и b и/или неизвестно, какая из функций Определенный интеграл и Определенный интеграл больше другой на отрезке [а, b], то выполняем следующие операции.

а) находим а и b как абсциссы точек пересечения графиков функций Определенный интеграл и Определенный интеграл, т.е. решаем уравнение

Определенный интеграл

б) исследуем знак разности Определенный интеграл на [а, b]. Для этого достаточно вычислить значение Определенный интеграл в какой-нибудь точке из (а, b). Если оно положительно, то Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл Определенный интеграл и Определенный интеграл Если оно отрицательно, то Определенный интеграл и, следовательно, г/(ж) = /i(#) и v(x) = /2B?). Определенный интеграл

2.Вычисляем объем по формуле (1).

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Замечание:

Аналогично решается задача, если тело образовано
вращением области вокруг оси OY или оси OZ.

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением области, ограниченной графиками функций

Определенный интеграл

вокруг оси ОХ.

Решение:

1.Определяем область D :

а) находим абсциссы а и b точек пересечения графиков. Для этого
решаем уравнение

Определенный интеграл

Получаем

а = 0, b=1;

б) на отрезке [0,1] Определенный интеграл Следовательно, Определенный интеграл Определенный интеграл

2.Вычисляем объем по формуле (1):

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл (ед. длиныОпределенный интеграл

Определенный интеграл и его применение

Определение, свойства, вычисление и применения определенного интеграла

Построение определенного интеграла

Для непрерывной на отрезке [а; b] функции f(x) выполним следующие действия.

1) На отрезке [а, b] произвольным образом возьмем систему из (n+1) различных точек, включая его концы а и b:

Определенный интеграл

2) На каждом элементарном (частичном) отрезке Определенный интеграл

i = 1,2,…,n, произвольным образом выберем по одной точке Определенный интеграл т.е. Определенный интегралобозначим Определенный интеграл

3) Составим сумму

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Выражение (число) Определенный интеграл называется интегральной суммой функции f(х) на отрезке [а; b] (Определенный интеграл — знак суммы).

4) Обозначим через Определенный интегралОпределенный интегралнаибольшую из длин отрезков Определенный интеграл

Находим предел Определенный интеграл и при условии, что Определенный интегралЕсли этот предел существует (является конечным числом), то его обозначим

так: Определенный интеграл и назовем определенным интегралом функции f(x) на

отрезке (а; b]. Таким образом,

Определенный интеграл

При этом а — нижний, b — верхний пределы интегрирования, f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральный дифференциал, х — переменная интегрирования.

Функция, имеющая определенный интеграл на отрезке [а; b], называется интегрируемой на нем.

Теорема:

Если f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический и физический смыслы определенного интеграла

1°. Предположим, что f(x) — непрерывная неотрицательная функция на отрезке [а, b].

Фигура D, ограниченная сверху графиком Г функции у = f(x). снизу осью Ох, а сбоку отрезками прямых х = а, х = b, называется криволинейной трапецией (рис. 2 1а).

Определенный интеграл

Слагаемое Определенный интеграл, интегральной суммы Определенный интеграл геометрически

выражает площадь Определенный интеграл элементарного прямоугольника с основанием Определенный интегралвысотой Определенный интегралОпределенный интеграл — площадь ступенчатой фигуры, полученной суммированием площадей элементарных прямоугольников (рис. 2.16). С увеличением n и уменьшением Определенный интеграл площадь Определенный интеграл ступенчатой фигуры почти совпадает с площадью S = S(D) криволинейной трапеции S, т. е Определенный интеграл

Таким образом, если f(x) — непрерывная неотрицательная функция на отрезке [а;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции D существует и равна

Определенный интеграл

3°. Неотрицательная непрерывная функция у = f(x) на отрезке [а; b] может изображать некоторую силу, действующую на материальную точку М(х). В результате этого точка М переместится из точки А в точку В, а сила f(x) осуществит работу, равную

Определенный интеграл

Основные свойства определенного интеграла

1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

Определенный интеграл

2.Свойства 1 и 2 составляют общее свойство линейности определенного интеграла, записываемое в виде

Определенный интеграл

3.При перемене пределов интегрирования пределов интегрирования меняется знак определённого интеграла т.е.

Определенный интеграл

B частности, если b = a, то Определенный интеграл

4. Свойство аддитивности интеграла, если а < с < b, то

Определенный интеграл
  1. Свойство интегрального среднего.

Теорема:

Если f(х) непрерывна на отрезке [а;b], то на этом отрезке существует хотя бы одна тонка с, такая, что Определенный интеграл

Величина Определенный интеграл называется интегральным средним функции f(x) на отрезке [а; b].

6 Интегрирование неравенств.

1) Если Определенный интеграл то Определенный интеграл

2) Если Определенный интеграл х € [а,b], то Определенный интегралОпределенный интеграл

3) Если Определенный интеграл х € [а,b] , то

Определенный интеграл

7.Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, т. е.

Определенный интеграл

Если f(х) — четная функция на отрезке [-а; а], то, а если f(x) — нечетная функция, то Определенный интегралОпределенный интеграла если f(x) — нечётная функция, то Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла

1° . Предположим, что f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда, как известно из гл. I, f(х) имеет первообразную F(x).

Теорема:

Если f(х) непрерывна на отрезке [а; b], то имеет место формула

Определенный интеграл

Таким образом, для непрерывной функции f(х) на отрезке [a; b] ее определенный интеграл равен приращению любой ее первообразной на этом отрезке.

Теорема:

Соответствующая формула носит имена Ньютона— Лейбница (средний член формулы есть обозначение приращения F(x) на [а; b]).

Связь определенного интеграла с неопределенным (или
первообразной) основана на следующей теореме, в которой Определенный интеграл обозначает определенный интеграл с переменным верхним пределом Определенный интеграл t — переменная интегрирования на отрезке [а;х]).

Теорема:

Если f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то функция Определенный интеграл представляет собой одну из первообразных функции f(x) на этом отрезке, т. е.

Определенный интеграл

При этом F(x) есть та первообразная функции f(x) (та интегральная кривая), которая обращается в нуль при х = a, т. е. F(a) = 0.

2°. Методы нахождения первообразных автоматически переносятся на вычисление определенного интеграла с учетом пределов интегрирования.

возвращаться к прежней переменной интегрирования. Предположим, что Определенный интегралвычисляется подстановкой Определенный интеграл

где Определенный интеграл— дифференцируемая функция на некотором отрезке Определенный интеграл

и Определенный интегралОпределенный интеграл

Теорема:

Если Определенный интеграл— монотонная функция на отрезке Определенный интеграл, то

Определенный интеграл

Примеры с решениями

Пример:

Определить знак интеграла Определенный интегралне
вычисляя его.

Решение:

Так как в интервале Определенный интеграл функция у = sinх отрицательна, то данный интеграл отрицателен. Ответ. I < 0.

Пример:

Сравнить интегралы Определенный интеграли Определенный интегралне вычисляя их.

Решение:

Так как в интервале (0; 1) имеем Определенный интегралто Определенный интегралОпределенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Пример:

Оценить интеграл Определенный интеграл

Решение:

Если Определенный интеграл то -1 < cos2x <1, а тогда
4 < 7 < 3cos 2x < 10 Следовательно, Определенный интегралПрименяя свойство 6.3) определенного интеграла при Определенный интегралОпределенный интеграл получаем оценку Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Пример:

Вычислить определенный интеграл Определенный интеграл
Решение:

Имеем дело с табличной первообразной 1

Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Пример:

Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение:

Интегрируем по частям два раза.

Определенный интеграл
Определенный интеграл

О т в е т. 2(3e-5)

Пример:

Вычислить интеграл Определенный интеграл и найти
интегральное среднее значение подынтегральной функции Определенный интегрална отрезке интегрирования (5; 12].

Решение:

Интегрируем подстановкой. При этом переходим к другому определенному интегралу с другой подынтегральной функцией и другими пределами.

Положим Определенный интеграл

Тогда Определенный интеграл Определенный интегралОпределенный интеграл

Поэтому если x = 5, то u = 3, а если х = 12, то и = 4. Получаем

Определенный интеграл

Длина отрезка интегрирования равна 12 — 5 = 7, а интегральное сред нее значение функции равно Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Пример:

Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение:

Положим cosх = u, Определенный интегралОпределенный интеграл

Тогда если х = 0, то u = 1, а если Определенный интеграл то u = 0. Получаем

Определенный интеграл

Поскольку новый интеграл получили с верхним пределом, меньшим нижнего предела, то поменяли направление интегрирования и знак интеграла (см. свойство 3).

Последний интеграл представим в виде

Определенный интеграл

Ответ Определенный интеграл

Пример:

Не вычисляя интеграл Определенный интегралнайти интегральное среднее значение подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Решение:

Подынтегральная функция Определенный интегралопределена на симметричном относительно начала координат отрезке Определенный интеграли является нечетной: f(—х) = —f(x). Согласно свойству 8 определенного интеграла Определенный интеграл

Среднее значение f(x) на отрезке [а; b] равно Определенный интегралСледовательно, в нашем случае среднее значение f(x) равно нулю.

О т в е т. 0

Применения определенного интеграла к вычислению геометрических величин

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь фигуры в прямоугольных координатах Пусть D — фигура (часть плоскости), ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу графиком функции у = g(х), сбоку — отрезками прямых х = а и
х = b (один или оба эти отрезка могут вырождаться в точку), тогда площадь S = S(D) этой фигуры вычисляется по формуле (рис 2, 2а)

Определенный интеграл

2°. Площадь фигуры в полярных координатах. Пусть D — фигура, ограниченная двумя лучами, исходящими из начала координат, Определенный интеграли Определенный интеграла также двумя кривыми, заданными в полярных координатах: Определенный интеграли Определенный интегралпричем Определенный интегралТогда площадь такой фигуры вычисляется по формуле (рис. 2.26)

Определенный интеграл

Вычисление длины дуги кривой

1°. Прямоугольные координаты. Если у = f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [a; b], то длина L = L(Г) ее графика Г (дуги кривой) вычисляется по формуле

Определенный интеграл

2°. Если кривая Г задана параметрически функциями х = x(t), у = y(t), где x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на некотором отрезке Определенный интеграл то ее длина вычисляется по формуле

Определенный интеграл

3°. Полярные координаты. Если кривая Г задана в полярных координатах функцией Определенный интеграл а Определенный интеграл непрерывны на отрезке Определенный интеграл то длина такой кривой вычисляется по формуле

Определенный интеграл

Примечание:

Подынтегральные выражения всех трех полученных выше формул выражают так называемый дифференциал длины дуги кривой, который обозначают dl. Таким образом, длина дуги кривой вычисляется по единой формуле: Определенный интеграл или Определенный интегралгде dl — дифференциал длины дуги.

Вычисление объема тела

Дано некоторое тело W, отнесенное к прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве Определенный интеграл(рис. 2.3). Предположим, что сечение тела W плоскостью, параллельной координатной плоскости Оуz, есть некоторая фигура D с известной площадью S. Если проекция тела W на ось Ох есть отрезок [а; b], а площадь S(x) сечения W плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку
(х, 0,0), является непрерывной функцией от х, то объем такого тела вычисляется по формуле

Определенный интеграл
Определенный интеграл

В частности, если W — тело вращения, полученное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, которая ограничена графиком непрерывной функции Определенный интеграл на отрезке [а; b] (рис. 2.4), то Определенный интеграл а объем такого тела равен

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Если W — тело, полученное вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, которая ограничена графиком непрерывной функции
х = g(у) на отрезке [с; d], то объем такого тела вычисляется по формуле

Определенный интеграл

Вычисление площади поверхности

Предположим, что график (кривая) Г функции f(x) вращается вокруг оси Ох, Определенный интеграл— получаемая при этом поверхность вращения, Определенный интеграл — ее площадь Если f(х) непрерывно дифференцируема на отрезке (а, b], то

Определенный интеграл

Примеры с решениями

В примерах 1-3 вычислить площадь фигуры, ограниченной данными кривыми

Пример:

Определенный интеграл

Решение:

Для наглядности вычислений построим символический чертеж (рис 2 5) Функции Определенный интеграл и Определенный интегрализображаются двумя параболами, которые пересекаются в двух точках, абсциссы которых вычислим так

Определенный интеграл

Согласно формуле (1) имеем

Определенный интеграл

О т в е т Определенный интеграл

Пример:

у = cos2х, у = 0, Определенный интеграл

Решение:

Область D площадь которой мы должны определить, разобьем на три части Определенный интеграл (рис 2 б) ограничена сверху отрезком Определенный интеграл а снизу графиком функции у = cos2x, и потому ее площадь равна Определенный интегралОпределенный интегралОпределенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интеграл ограничена сверху графиком у = cos2x, а снизу отрезком Определенный интеграл и Определенный интегралОпределенный интеграл

Площадь Определенный интеграл области Определенный интеграл равна Определенный интегралОпределенный интеграл

Окончательно Определенный интеграл

Ответ Определенный интеграл

Пример:

Определенный интеграл

Решение:

Кривая, заданная в полярных координатах функцией Определенный интегралпредставлена на рис 27 Используем соответствующую формулу

Определенный интеграл

Область — D состоит из двух равновеликих овалов. Поэтому достаточно найти площадь одного из них и результат удвоить

Определенный интеграл

Имеем

Определенный интеграл

Ответ Определенный интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой Определенный интеграл Определенный интеграл

Решение:

Ввиду симметрии астроиды относительно координатных осей (рис. 2.8) достаточно вычислить четверть площади и результат умножить на 4.

Используем формулу Определенный интеграл (см. п 2.1) с Определенный интегралОпределенный интеграл( x = 0 Определенный интегралx = 4 Определенный интегралt = 0 ) ,

Определенный интеграл

Получаем S =

Определенный интеграл
Определенный интеграл

О т в е т Определенный интеграл

Пример:

Найти длину дуги кривой Определенный интегралзаключенной между точками с абсциссами х = 1 и х = е. Решение. Используем формулу (3). Имеем

Определенный интеграл
Определенный интеграл

О т в е т. Определенный интеграл

Пример:

Найти длину дуги кривой

Определенный интеграл

от Определенный интеграл до Определенный интеграл

Решение:

Имеем

Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл

О т в е т. L = 2.

Пример:

Найти длину эллипса Определенный интеграл

Решение:

Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса и соответствующей формулой (4) длины х = a cos t, у = b sin t ,

Определенный интеграл

Определенный интеграл — эксцентриситет эллипса, a

Следовательно, Определенный интегралОпределенный интеграл

Это один из «неберущихся» интегралов, т.е. он не выражается через элементарные функции. Соответствующая неэлементарная функция, зависящая от е, называется эллиптической. Она табулирована и применяется в теории функций комплексной переменной, теории аппроксимации и других разделах математики.

Пример:

Найти длину дуги кривой Определенный интеграл

Решение:

Поскольку Определенный интеграл то Определенный интеграл а значит, Определенный интегралОпределенный интеграл или Определенный интеграл Функция косинус — четная функция, поэтому ограничимся вычислением длины, соответствующей отрезку Определенный интеграл, и результат удвоим.

Воспользуемся формулой (5):

Определенный интеграл

Имеем:

Определенный интеграл

О т в е т Определенный интеграл

Пример:

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями Определенный интеграли 2х + 2у = 3

Решение:

Искомый объем V равен разности Определенный интеграл объемов двух тел. Первое получается вращением вокруг оси Ох отрезка АВ, второе — вращением дуги параболы АОВ (рис. 2.9). Пределами интегрирования являются проекции точек Л и В на ось Ох. Находим их:

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Таким образом,

Определенный интеграл

Окончательно Определенный интеграл

Ответ. Определенный интеграл

Пример:

Вычислить объем тела, образованного вращением астроиды Определенный интегралОпределенный интеграл вокруг прямой у = — а, где а > 0.

Решение:

Воспользуемся симметрией астроиды относительно координатных осей (рис. 2.10). Искомый объем V равен разности объемов Определенный интегралдвух тел. Первое получается вращением дуги ABC астроиды, второе — вращением дуги ADC вокруг прямой у = — а. При этом

Определенный интеграл

Таким образом, задача сводится к вычислению двух интегралов. Первый из них можно представить в виде

Определенный интеграл

Второй интеграл, ввиду четности косинуса и нечетности синуса, можно привести к виду

Определенный интеграл

Выше было замечено, что искомый объем выражается через разности этих интегралов: Определенный интеграл

После возведения в квадрат в подынтегральных выражениях несложно получить для разности Определенный интегралследующее выражение:

Определенный интеграл

Таким образом

Определенный интеграл
Определенный интеграл

т.к. интегралы от косинусов дают нуль. Тем самым

Определенный интеграл

О т в е т. Определенный интеграл

Пример:

Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрами

Определенный интеграл

Решение:

На рис. 2.11 изображена восьмая часть тела, расположенного в первом октанте Определенный интеграл

Поперечное сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ох, представляет собой квадрат. Если сечение проведено через точку с абсциссой (х, 0,0), то сторона квадрата равна а = у = z = Определенный интеграл а его площадь равна

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Используя соответствующую формулу (6), получаем: R

Определенный интеграл

О т в е т. Определенный интеграл

Пример:

Дуга кубической пораболы Определенный интегралзаключенная между точками 0(0,0) и А(1,1/3), вращается вокруг оси Ох. Найти площадь поверхности вращения.

Решение:

Согласно формуле (9) получаем:

Определенный интеграл

О т в е т. Определенный интеграл

Применения определенного интеграла к вычислению физических величин

Работа переменной силы

Предположим, что материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы f(x), направленной вдоль этой оси. Тогда работа, произведенная этой силой при перемещении М из точки х = а в точку х = 6 (a < b) вычисляется по формуле (в предположении, что f(х) непрерывна на [а; b])

Определенный интеграл

Путь, пройденный материальной точкой

Предположим, что материальная точка М перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t), где t — время перемещения. Тогда путь S, пройденный точкой М за промежуток времени от Определенный интеграл до Определенный интегралвычисляется по формуле

Определенный интеграл

Масса плоской материальной кривой

Предположим, что кривая Г, график функции у = f(х), представляет собой материальную кривую массой m. Если элемент кривой достаточно малой длины Определенный интеграл, содержащий точку М ( х, у ), имеет массу Определенный интеграл то отношение представляет собой плотность такого элемента, а Определенный интеграл называется линейной плотностью материальной кривой Г в точке М (х,у).

А теперь предположим, что материальная кривая Г имеет известную линейную плотность р(х). Требуется найти массу такой кривой. Масса Определенный интеграл элемента длины Определенный интеграл, содержащего точку М (х,у), равна Определенный интеграл

Если уравнение Г имеет вид у = f (х), где f(х) — дифференцируемая функция, то Определенный интеграл а Определенный интегралОпределенный интеграл

Полная масса m кривой Г вычисляется по формуле

Определенный интеграл

Если материальная кривая Г имеет постоянную плотность р, то можно считать р = 1, а ее масса равна

Определенный интеграл

Если Г задана параметрически, то

Определенный интеграл

а в полярных координатах —

Определенный интеграл

Статические моменты и координаты центра тяжести материальной кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек Определенный интегралОпределенный интегралОпределенный интегралсоответственно

Статическим моментом Определенный интегралэтой системы точек относительно оси Ох называется величина, равная сумме произведений масс этих точек на их расстояния до оси Ох, т.е.

Определенный интеграл

Аналогично определяется статический момент этих масс относительно оси Оу.

Определенный интеграл

Предположим, что материальная кривая Г задается уравнением у = f(x), где f(x) — дифференцируемая функция на отрезке [а; b], имеющая линейную плотность р(х). Заменяя Г системой из п элементарных дуг Определенный интеграл и считая элементарную дугу материальной точкой, приходим к приближенным формулам для статических моментов кривой Г.

Определенный интеграл

А после перехода к пределу при Определенный интеграл и Определенный интеграл получаем точные формулы

Определенный интеграл

Если Г задана параметрически, то

Определенный интеграл

а в полярных координатах —

Определенный интеграл

Центром тяжести (центром масс) материальной плоской кривой Г называется точка Определенный интеграл плоскости, обладающая следующим свойством: если в Определенный интеграл сосредоточить всю массу m кривой Г, то ее статический момент относительно любой прямой равен статическому моменту всей кривой относительно этой прямой, таким образом, Определенный интегралОпределенный интеграл Отсюда Определенный интеграл где Определенный интеграл вычисляются по формулам, приведенным выше

Момент инерции материальной кривой

Момент инерции материальной кривой Г с линейной плотностью р(х), заданной функцией у = f(х), имеющей непрерывную производную у’ = f'(х) на отрезке [а,b], относительно начала координат вычисляется по формуле

Определенный интеграл

При этом

Определенный интеграл

— моменты инерции Г относительно координатных осей Ох и Оу соответственно и

Определенный интеграл

Если кривая Г задана параметрически функциями х = x(t), y=y(t), Определенный интеграл то Определенный интегралследует заменить выражением

Определенный интеграл

вместо р(х) записывается p(t), а интеграл следует брать по отрезку Определенный интеграл

Соответствующие замены необходимо производить и в случае, если Г задана в полярных координатах.

Примеры с решениями

Пример:

Скорость тела изменяется по закону Определенный интеграл Какой путь пройдет тело за 12 с? Чему равна скорость движения?

Решение:

Путь равен интегралу от скорости:

Определенный интеграл

Средняя скорость равна Определенный интегралОпределенный интеграл

Ответ. S = 288 м; Определенный интеграл

Пример:

Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 18 см, если сила в 24 Н растягивает пружину на 3 см?

Решение:

Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению, т.е. F(x) = kх. Согласно условию: F(0,03 м) = 24 Н. Из равенства 24 = 0,03k находим k = 800, а значит, F(x) = 800x есть сила, растягивающая пружину. Работа, выполняемая этой силой, равна

Определенный интеграл

О т в е т. 25,92 Дж.

Пример:

Вычислить массу m и момент инерции плоского однородного стержня длины l относительно его конца (плотность равна р )

Решение:

Совместим стержень с отрезком [0; l] оси Ох
(стержень задается графиком функции у = 0, Определенный интеграл Тогда Определенный интеграл

Определенный интеграл

Момент инерции стержня относительно его конца равен

Определенный интеграл

О т в е т. Определенный интеграл

Пример:

Для однородной материальной кривой, состоящей из одной половины арки циклоиды х = a(t — sin t), у = а(1 — cos t), Определенный интеграл найти (полагая p = 1 )

1) массу кривой;

2) статические моменты относительно координатных осей;

3) координаты центра тяжести (масс);

4) моменты инерции относительно координатных осей Ох и Оу. Решение:

Воспользуемся формулами вычисления искомых величин в параметрической форме. Находим сначала элемент длины дуги кривой. Имеем

Определенный интеграл

Далее вычисляем искомые величины

Определенный интеграл

2) Статистические моменты

Определенный интеграл

Первое слагаемое интегрировали по частям, второе — преобразованием произведения в сумму.

3) Координаты центра тяжести

Определенный интеграл

4) Моменты инерции.

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Каждый из трех интегралов берется своим приемом, поэтому вычислим их отдельно.

Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл

Окончательно

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами (первого рода)

Определенный интеграл не может быть построен в том случае, когда промежуток интегрирования неограничен. В таком случае необходимо использовать предел определенного интеграла при условии, что предел интегрирования стремится к бесконечности.

По определению положим

Определенный интеграл

Такие интегралы называют несобственными интегралами первого рода. Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

Интеграл Определенный интегралназывается абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Определенный интеграл. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Интегралы от неограниченных функций (второго рода)

Если функция f(x) непрерывна в промежутке [а,b) (или (а, b]) и имеет при х = b (или х = а) разрыв второго рода, то несобственный интеграл от неограниченной функции определяется при помощи предела определенного интеграла:

Определенный интеграл

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв во внутренней точке с интервала (а;b) и непрерывна при а < х < с и с < х < b, то по определению полагают

Определенный интеграл

Несобственный интеграл Определенный интегралв этом случае называется
сходящимся, если соответствующие пределы существуют, и расходящимся в противном случае.

Признаки сравнения для несобственных интегралов

Теорема:

Если функции f(x) и g(х) непрерывны на промежутке Определенный интеграли удовлетворяют на нем условию Определенный интеграл то из сходимости интеграла Определенный интегралследует сходимость интеграла Определенный интеграла из расходимости интеграла Определенный интегралследует
расходимость
Определенный интеграл

Теорема:

Если для неотрицательных непрерывных функций f(х) и g(х) существует конечный и отличный от нуля предел Определенный интеграл

то несобственные интегралы Определенный интеграл и Определенный интегралсходятся либо расходятся одновременно.

Теоремы 7 и 8 распространяются на случай интегралов второго рода В этом случае предел, фигурирующий в теореме 8, следует заменить следующим Определенный интегралили Определенный интеграл

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать сходимость интеграла Определенный интеграл(интеграл Дирихле)

Решение:

По определению

Определенный интеграл

О т в е т Интеграл Определенный интегралсходится при p > 1 и расходится при Определенный интеграл

Пример:

Исследовать сходимость или вычислить значение интеграла

Решение:

Имеем

Определенный интеграл

О т в е т Интеграл сходится и равен Определенный интеграл

Пример:

Вычислить значение интеграла Определенный интеграл

Решение:

Подынтегральная функция Определенный интеграл в точке
х = 1 имеет разрыв второго рода (стремится к бесконечности при x стремящемся к 1 слева), поэтому обычный определенный интеграл от этой функции не имеет смысла. Имеем

Определенный интеграл

О т в е т Определенный интеграл

Пример:

Найти значение интеграла Определенный интеграл

Решение:

Подынтегральная функция Определенный интегралв точке х = 0 неограничена значит Определенный интеграл

Определенный интеграл

т е интеграл расходится

О т в е т Интеграл расходится

Пример:

Исследовать на сходимость несобственный интеграл Определенный интеграл

Решение:

Очевидно, что если Определенный интеграл то

Определенный интеграл

Но Определенный интеграл сходится, так как (см пример 2) р = 2 > 1, следовательно,
согласно теореме 7, сходится и данный интеграл
Ответ: Интеграл сходится

Пример:

Исследовать сходимость интеграла Определенный интеграл

Решение:

В промежутке Определенный интегралсправедливо неравенство Определенный интеграл но Определенный интегралсходится как интеграл Дирихле при
р > 1 (пример 1), значит, сходится и данный интеграл.

Ответ: Интеграл сходится абсолютно

Пример:

Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

Определенный интеграл

Решение:

Обе подынтегральные функции непрерывны на любом отрезке [1; а] , где a > 1 — произвольное число. Поскольку на отрезке [1;2] данные интегралы являются определенными интегралами, то достаточно исследовать их на сходимость на полупрямой Определенный интеграл

В качестве функций для сравнения берем функции Определенный интегралдля первого интеграла и Определенный интегралдля второго. При этом заметим, что Определенный интеграл расходится, а Определенный интегралсходится (убедитесь в этом).


а) Подынтегральную функцию этого интеграла обозначим черезОпределенный интеграл Предел отношения Определенный интеграл при Определенный интеграл равен 1, а тогда, согласно теореме 8, данный интеграл расходится.

б) Подынтегральную функцию этого интеграла обозначим через Определенный интеграл. Предел отношения Определенный интеграл при Определенный интеграл равен 1, а потому, согласно теореме 8, данный интеграл сходится.

Ответ: а) Расходится; б) сходится.

Примечание:

Несобственный интеграл первого рода может быть преобразован в несобственный интеграл второго рода и наоборот. Например,

Определенный интеграл

Решение определенных интегралов

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Геометрия: площадь плоской фигуры:

Рассмотрим плоскую фигуру Решение определенных интегралов ограниченную кривой АВ, являющейся графиком положительной непрерывной функции Решение определенных интегралов отрезком Решение определенных интегралов оси Ох и прямыми Решение определенных интегралов которую будем называть криволинейной трапецией (рис. 1).

Решение определенных интегралов

Установим понятие площади криволинейной трапеции Решение определенных интегралов и укажем способ вычисления этой площади. Разобьем отрезок Решение определенных интеграловна n частей точками

Решение определенных интегралов

На каждом частичном отрезке Решение определенных интегралов возьмем по одной произвольной точке Решение определенных интегралов Решение определенных интегралов и построим прямоугольник с основанием Решение определенных интегралов и высотой, равной Решение определенных интегралов Площадь Решение определенных интегралов этого прямоугольника будет равна

Решение определенных интегралов

где длина основания прямоугольника равна Решение определенных интегралов В результате такого построения получим «ступенчатую» фигуру, состоящую из n прямоугольников, площадь Решение определенных интегралов которой будет равна сумме площадей этих прямоугольников:

Решение определенных интегралов

Будем теперь делить отрезок Решение определенных интегралов на все более и более мелкие части так, чтобы число частичных отрезков увеличивалось, а их длины уменьшались. Тогда «ступенчатая» фигура будет все меньше и меньше отклоняться от криволинейной трапеции Решение определенных интегралов Пусть

Решение определенных интегралов

является длиной наибольшего из частичных отрезков Решение определенных интегралов При Решение определенных интегралов число частичных отрезков будет не ограничено увеличиваться, а длины Решение определенных интегралов всех этих отрезков будут стремиться к нулю, так как Решение определенных интегралов для всех Решение определенных интегралов Если существует конечный предел Q площади «ступенчатой» фигуры при

Решение определенных интегралов

то он принимается за площадь криволинейной трапеции Решение определенных интегралов т. е.

Решение определенных интегралов

Этот предел, если он существует, не должен зависеть от способа разбиения отрезка Решение определенных интегралов на частичные отрезки Решение определенных интегралов и от выбора точек Решение определенных интегралов на них. Таким образом, задача о площади криволинейной трапеции Решение определенных интегралов привела нас к вычислению предела вида

Решение определенных интегралов

Физика: путь материальной точки

Рассмотрим следующую физическую зада чу: найти путь S, пройденный материальной точкой за промежуток времени от Решение определенных интегралов если известна скорость v движения этой точки какфункция времени t т. е. Решение определенных интегралов Для ее решения разобьем промежуток времени Решение определенных интегралов на n малых временных интервалов, ограниченных моментами времени

Решение определенных интегралов

Допустим, что скорость Решение определенных интегралов мало меняется на каждом промежутке Решение определенных интегралов и поэтому ее можно приближенно считать постоянной на нем и равной значению v в некоторый момент времени Решение определенных интегралов Тогда путь Решение определенных интегралов пройденный точкой за время Решение определенных интегралов будет приближенно равен Решение определенных интегралов и, следовательно, путь Решение определенных интегралов пройденный точкой за время от Решение определенных интеграловприближенно равен

Решение определенных интегралов

Обозначим через Решение определенных интегралов наибольший из частичных промежутков времени Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

При Решение определенных интегралов число частичных промежутков времени будет неограниченно увеличиваться, а сами промежутки будут неограниченно уменьшаться. При переходе к пределу при Решение определенных интегралов в сумме Решение определенных интегралов получим точное значение пути S, пройденного точкой за промежуток времени от Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

Мы пришли к вычислению предела, имеющего тот же вид, что и предел (1), только роль переменной х играет время t.

Таким образом, рассмотренные выше две задачи привадят нас к вычислению однотипных пределов (1) и (2) специального вида. Эти пределы, в случае их существования, называются определенными интегралами от функции f(х) (или f(t)) и обозначаются символом Решение определенных интегралов

Перейдем теперь к изучению этих пределов, отвлекаясь от их геометрического и физического смыслов.

Понятие определенного интеграла

Пусть функция Решение определенных интегралов определена на отрезке Решение определенных интегралов Разобьем этот отрезок на n частей произвольными точками

Решение определенных интегралов

и пусть Решение определенных интегралов — длины полученных частичных отрезков Решение определенных интегралов В каждом частичном отрезке Решение определенных интегралов возьмем произвольную точку вычислим значения Решение определенных интегралов функции Решение определенных интегралов в этих точках и составим сумму

Решение определенных интегралов

Эта сумма называется интегральной суммой функции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов Величина интегральной суммы Решение определенных интегралов зависит как от способа разбиения отрезка Решение определенных интегралов на частичные отрезки Решение определенных интеграловтак и от выбора точек Решение определенных интегралов на них.

Обозначим через Решение определенных интегралов длину наибольшего из отрезков Решение определенных интегралов т. е.

Решение определенных интегралов

Определение:

Число J называется пределом интегральных сумм Решение определенных интеграловфункции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов если для любого числа Решение определенных интегралов найдется число Решение определенных интегралов такое, что для любого разбиения отрезка Решение определенных интегралов на части с длинами Решение определенных интегралов для всех Решение определенных интегралов неравенство

Решение определенных интегралов

будет выполняться при любом выборе точек Решение определенных интегралов

Для обозначения предела интегральных сумм употребляется запись

Решение определенных интегралов

Здесь число Решение определенных интегралов зависит от выбора числа Решение определенных интегралов и поэтому иногда пишут Решение определенных интегралов

Определение:

Если при любых разбиениях Отрезка Решение определенных интегралов на частичные отрезки Решение определенных интегралов и при любом выборе точек Решение определенных интегралов в них, интегральные суммы Решение определенных интегралов при Решение определенных интегралов имеют один и тот же конечный предел J, то этот предел называют определенным интегралом в смысле Римана от функции Решение определенных интегралов по отрезку Решение определенных интегралов и его обозначают символом Решение определенных интегралов

Итак, по определению

Решение определенных интегралов

Числа Решение определенных интегралов называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла, х называется переменной интегрирования, Решение определенных интегралов— подынтегральной функцией, Решение определенных интегралов — подынтегральным выражением.

Заметим, что из самой конструкции определенного интеграла вытекает, что его величина не меняется, если функцию Решение определенных интегралов видоизменить в любой точке с отрезка Решение определенных интегралов Иначе говоря, если вместо функции Решение определенных интегралов взять функцию

Решение определенных интегралов

где число Решение определенных интегралов то

Решение определенных интегралов

Это справедливо и в случае изменения значений функции Решение определенных интегралов в конечном числе точек отрезка Решение определенных интегралов

Так как определенный интеграл определен нами при условии, что Решение определенных интегралов то дополним его определение, заметив, что:

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить Решение определенных интегралов

По определению определенного интеграла получаем

Решение определенных интегралов

Условия интегрируемости функций

Определение:

Функция Решение определенных интегралов определенная на отрезке Решение определенных интегралов называется интегрируемой по Риману на этом отрезке, если для нее существует определенный интеграл

Решение определенных интегралов

Теорема:

Если функция Решение определенных интегралов интегрируема по Риману на отрезке Решение определенных интегралов то она ограничена на этом отрезке.

Пусть функция Решение определенных интегралов не ограничена на отрезке Решение определенных интегралов Разобьем отрезок Решение определенных интегралов на частичные отрезки Решение определенных интегралов Так как Решение определенных интеграловне ограничена на Решение определенных интегралов то найдется частичный отрезок, на котором она не ограничена. Пусть, например, таким отрезком будет отрезок Решение определенных интегралов Выберем точки Решение определенных интегралов и составим интегральную сумму

Решение определенных интегралов

Зафиксируем точки Решение определенных интегралов и будем менять только точку Решение определенных интегралов Тогда сумма Решение определенных интегралов будет иметь определенное значение, а первое слагаемое Решение определенных интегралов будет изменяться, и надлежащим выбором точки Решение определенных интегралов его можно сделать как угодно большим по абсолютной величине и, значит, Решение определенных интегралов может быть сделана как угодно большой. Это означает, что интегральная сумма Решение определенных интегралов при Решение определенных интегралов не имеет конечного предела, т. е. Решение определенных интегралов не интегрируема по Риману на Решение определенных интегралов Отсюда следует, что если функция Решение определенных интегралов интегрируема на Решение определенных интегралов то она ограничена на Решение определенных интегралов

Замечание:

Ограниченность функции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов не является достаточным условием для ее интегрируемости, т.е. функция Решение определенных интегралов может быть ограниченной на Решение определенных интегралов и в тоже время не интегрируемой на Решение определенных интегралов В качестве примера, доказывающего это утверждение, приведем функцию Дирихле:

Решение определенных интегралов

которую рассмотрим, например, на отрезке [0, 1]. Эта функция ограничена: Решение определенных интегралов но она не интегрируема на нем.

В самом деле, составив для нее интегральную сумму Решение определенных интегралов будем иметь:

Решение определенных интегралов

Итак, при любом как угодно малом Решение определенных интегралов интегральная сумма Решение определенных интегралов может принимать как значение, равное 1, так и значение, равное нулю. Следовательно, Решение определенных интегралов при Решение определенных интегралов предела не имеет, т. е. функция Дирихлене интегрируема на отрезке [0,1].

Приведем без доказательства теорему, даюшую достаточное условие интегрируемости функции.

Теорема:

Функция Решение определенных интегралов непрерывная на отрезке Решение определенных интегралов интегрируема на этом отрезке.

Пример:

Функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов где а — любое число, и поэтому она интегрируема на этом отрезке, т. е. для нее существует определенный интеграл

Решение определенных интегралов

Приведем формулирован еще двух теорем, даюших достаточные признаки интегрируемости функции.

Теорема:

Функция Решение определенных интегралов определенная и монотонная на отрезке Решение определенных интегралов интегрируема на этом отрезке.

Здесь следует отметить, что если функция Решение определенных интегралов монотонна на отрезке Решение определенных интегралов то ее значения заключены между числами Решение определенных интегралов Поэтому определенная на Решение определенных интегралов монотонная функция Решение определенных интегралов ограничена на этом отрезке.

Теорема:

Функция Решение определенных интегралов ограниченная на отрезке Решение определенных интегралов и имеющая на нем конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке.

Пример:

Функция

Решение определенных интегралов

интегрируема на отрезке Решение определенных интегралов потому что она ограничена, Решение определенных интегралов и имеет на этом отрезке одну точку разрыва х = 0 (точка разрыва второго рода).

Свойства определенного интеграла

Установим некоторые свойства определенного интеграла. При этом будем считать, что все рассматриваемые функции непрерывны,а следовательно, интегрируемы на отрезке Решение определенных интегралов

1.Определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов интегрирования, т. е. от чисел Решение определенных интегралов и от вида подынтегральной функции Решение определенных интегралов но он не зависит от переменной интегрирования. Поэтому величина определенного интеграла не изменится, если букву х, обозначающую переменную интегрирования, заменить любой другой буквой:

Решение определенных интегралов

2.Постоянный множитель можно выносить за знак (вносить под знак) определенного интеграла:

Решение определенных интегралов

По определению имеем

Решение определенных интегралов

3.Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Решение определенных интегралов

Следствие:

Имеет место соотношение

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов — произвольные постоянные, которое выражает свойство линейности определенного интеграла.

Для любых чисел Решение определенных интегралов имеет место равенство

Решение определенных интегралов

при условии существования обоих интегралов в правой части. Это равенство выражает свойство аддитивности определенного интеграла.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть Решение определенных интегралов

По определению имеем

Решение определенных интегралов

Так как интеграл не зависит от способа разбиения отрезка Решение определенных интеграловна части, то точку с можно включить в число точек деления этого отрезка. Пусть, например, разбиение имеет вид (рис. 2)

Решение определенных интегралов

Тогда интегральную сумму Решение определенных интегралов соответствующую отрезку Решение определенных интеграловможно разбить на две суммы: одну, соответствующую отрезку Решение определенных интегралов и другую, соответствующую отрезку Решение определенных интегралов т. е.

Решение определенных интегралов

Переходя в этом равенстве к переделу при Решение определенных интеграловполучим

Решение определенных интегралов

2) Пусть а < b < с. В силу доказанного имеем

Решение определенных интегралов

откуда находим, что

Решение определенных интегралов

Для случая, когда Решение определенных интегралов свойство аддитивности определенного интеграла означает, что площадь криволинейной трапеции Решение определенных интегралов равна сумме площадей криволинейных трапеций Решение определенных интегралов (рис.2).

5. Если функции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов удовлетворяют условию Решение определенных интегралов то

Решение определенных интегралов

т. е. неравенство можно интегрировать.

Так как Решение определенных интегралов в каждой точке Решение определенных интегралов то при любом разбиении отрезка Решение определенных интегралов на части Решение определенных интегралов и при любом выборе точек Решение определенных интегралов будет справедливо неравенство

Решение определенных интегралов

Переходя в этом неравенстве к пределу при Решение определенных интегралов получим при Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

Замечание:

В случае, когда Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов это свойство геометрически означает, что площадь криволинейной трапеции Решение определенных интегралов не больше площади криволинейной трапеции Решение определенных интегралов (рис. 3). Из этого свойства, в частности, следует, что если Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов то

Решение определенных интегралов

6. Если Решение определенных интегралов то имеет место неравенство

Решение определенных интегралов

Интегрируя в пределах от а до b очевидное двойное неравенство

Решение определенных интегралов

получим

Решение определенных интегралов

т.е.

Решение определенных интегралов

Если числа m и M являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов то

Решение определенных интегралов

Так как Решение определенных интегралов для всех Решение определенных интегралов то в силу свойства 5 получаем

Решение определенных интегралов

Но так как

Решение определенных интегралов

то

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

Замечаем:

Для функции Решение определенных интегралов это свойство геометрически означает, что площадь Q криволинейной трапеции Решение определенных интегралов заключена между площадями Решение определенных интегралов прямоугольников Решение определенных интегралов (рис. 4);

Решение определенных интегралов

Пример:

Оценить интеграл

Решение определенных интегралов

Так как

Решение определенных интегралов

то согласно свойству 7 будем иметь

Решение определенных интегралов

т.е.

Решение определенных интегралов

Пример:

Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:

Решение определенных интегралов

На отрезке Решение определенных интегралов имеем Решение определенных интегралов откуда Решение определенных интегралов и так как число Решение определенных интегралов и по свойству 5 получаем

Решение определенных интегралов

Теорема о среднем

Теорема:

Пусть функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов Тогда на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка Решение определенных интегралов такая, что имеет место равенство:

Решение определенных интегралов

Так как Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов то она на этом отрезке имеет наименьшее значение m и наибольшее значение М, и по свойству 7 получим

Решение определенных интегралов

Учитывая, что Решение определенных интегралов находим

Решение определенных интегралов

Положим

Решение определенных интегралов

В силу непрерывности функция Решение определенных интегралов принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Поэтому найдется значение Решение определенных интегралов такое, что Решение определенных интегралов т.е. .

Решение определенных интегралов

Замечание:

При a < b будем иметь

Решение определенных интегралов

Положив

Решение определенных интегралов

находим отсюда Решение определенных интегралов Доказанное выше равенство можно записать теперь в виде

Решение определенных интегралов

Геометрический смысл теоремы о среднем состоит в следующем. Пусть функция Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов

Тогда

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов— площадь криволинейной трапеции Решение определенных интегралов — площадь прямоугольника Решение определенных интегралов основанием которого является отрезок Решение определенных интегралов а высотой ордината точки Решение определенных интегралов Теорема о среднем утверждает, что на кривой АВ (рис.5) найдется по крайней мере одна точка Решение определенных интегралов такая, что Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

Определение:

Число

Решение определенных интегралов

называется средним значением функции f(x) на отрезке Решение определенных интегралов

Если функция Решение определенных интегралов непрерывна на Решение определенных интегралов то найдется точка Решение определенных интегралов такая, что Решение определенных интегралов

Пример:

Найти среднее значение функции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов

По определению получаем:

Решение определенных интегралов

Здесь мы воспользовались формулой Ньютона—Лейбница, которая будет доказана ниже в § 7.

Производная интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов Возьмем на этом отрезке произвольную точку х и рассмотрим определенный интеграл

Решение определенных интегралов

Этот интеграл существует для любого Решение определенных интегралов в силу непрерывности Решение определенных интегралов и является функцией своего верхнего предела х. Обозначим ее через F(x), т. е. положим

Решение определенных интегралов

Теорема:

Пусть функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов Тогда функция

Решение определенных интегралов

имеет производную в любой точке Решение определенных интегралов причем

Решение определенных интегралов

Другими словами, производная от определенного интеграла по его верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.

Дадим аргументу х приращение Решение определенных интегралов такое, что Решение определенных интегралов Тогда функция F(x) получит приращение Решение определенных интегралов равное в силу аддитивности определенного интеграла

Решение определенных интегралов

Применяя теорему о среднем значении, получим

Решение определенных интегралов

откуда

Решение определенных интегралов

Переходя в этом равенстве к пределу при Решение определенных интегралов и учитывая непрерывность функции Решение определенных интегралов в любой точке Решение определенных интегралов получим

Решение определенных интегралов

т. е.

Решение определенных интегралов

Замечание:

Если функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов то для любого Решение определенных интегралов будем иметь

Решение определенных интегралов

Пример:

Решение определенных интегралов

Теорема:

Если функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов то она на этом отрезке имеет первообразную, означит и неопределенный интеграл.

Пусть Решение определенных интегралов непрерывна на Решение определенных интегралов Тогда для любого х из этого отрезка существует определенный интеграл Решение определенных интегралов т. е. существует функция

Решение определенных интегралов

такая, что

Решение определенных интегралов

Это означает по определению, что Решение определенных интегралов является первообразной для Решение определенных интегралов Отсюда следует, что неопределенный интеграл от функции Решение определенных интегралов непрерывной на Решение определенных интегралов можно представить в виде

Решение определенных интегралов

где С — произвольная постоянная.

Формула Ньютона—Лейбница

Теорема:

Пусть функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов а функция Решение определенных интегралов является ее первообразной на этом отрезке, тогда

Решение определенных интегралов

Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.

Возьмем функцию

Решение определенных интегралов

Эта функция является первообразной для функции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов а любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е. существует постоянная С такая, что

Решение определенных интегралов

для всех Решение определенных интегралов При Решение определенных интегралов имеем

Решение определенных интегралов

и так как Решение определенных интегралов откуда

Решение определенных интегралов

Следовательно,

Решение определенных интегралов

Положив x = b, получим

Решение определенных интегралов

или, обозначая переменную t интегрирования через х,

Решение определенных интегралов

Замечание:

Если обозначить Решение определенных интегралов то формулу Ньютона—Лейбница можно записать в виде

Решение определенных интегралов

Доказанная формула является основной в интегральном исчислении. Она сводит вычисление определенного интеграла от функции Решение определенных интегралов к нахождению ее первообразной Решение определенных интегралов

Примеры:

1.Найти

Решение определенных интегралов

Известно, что

Решение определенных интегралов

Поэтому

Решение определенных интегралов

2.Найти

Решение определенных интегралов

Имеем

Решение определенных интегралов

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема:

Пусть дан интеграл

Решение определенных интегралов

где функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов Положим Решение определенных интегралов и пусть функция Решение определенных интегралов удовлетворяет условиям:

1)при изменении t от Решение определенных интегралов функция Решение определенных интегралов непрерывно меняется от а до b так, что Решение определенных интегралов а все остальные значения Решение определенных интеграловсодержатся в области, где функция Решение определенных интегралов определена и непрерывна;

2) производная Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов

Тогда будет справедлива формула

Решение определенных интегралов

По формуле Ньютона—Лейбница

Решение определенных интегралов

где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов т.е. Решение определенных интегралов Возьмем сложную функцию от t, а именно Решение определенных интегралов определенную на отрезке Решение определенных интегралов По правилу дифференцирования сложной функции ее производная равна

Решение определенных интегралов

Таким образом, функция Решение определенных интегралов есть первообразная для функции Решение определенных интегралов непрерывной на Решение определенных интегралов и по формуле Ньютона—Лейбница получим

Решение определенных интегралов

Замечание:

Функцию Решение определенных интегралов выбирают так, чтобы новый интеграл

Решение определенных интегралов

был более простым, чем первоначальный интеграл

Решение определенных интегралов

При вычислении определенного интеграла по доказанной формуле к старой переменной интегрирования не возвращаются.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение определенных интегралов

Положим, например, Решение определенных интегралов Тогда

Решение определенных интегралов

Полагая в равенстве Решение определенных интегралов сначала х = 0, а затем x=a, получим два уравнения Решение определенных интеграловРешение определенных интегралов из которых находим нижний предел интегрирования t = 0 и верхний предел Решение определенных интегралов Поэтому будем иметь

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить интеграл

Решение определенных интегралов

Положим Решение определенных интегралов Так как Решение определенных интегралов то

Решение определенных интегралов

Замечание:

В некоторых случаях а интеграле удобнее применять замену переменной не в виде Решение определенных интегралов а в виде Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить интеграл

Решение определенных интегралов

Положим Решение определенных интегралов Тогда Решение определенных интегралов При х = 0 получаем t=0, в при Решение определенных интегралов получаем t=1. Следовательно,

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить интеграл

Решение определенных интегралов

Положим Решение определенных интегралов В данном случае выражать x через t, т.е. находить функцию Решение определенных интегралов не нужно! Дифференцируя ето равенство, получим Решение определенных интегралов откуда Решение определенных интегралов Поэтому будем иметь

Решение определенных интегралов

Приведем теорему, которая в некоторых случаях упрощает вычисление определенного интеграла.

Теорема:

Пусть функция Решение определенных интегралов интегрируема на симметричном относительно точки О отрезке Решение определенных интегралов Тогда

Решение определенных интегралов

Согласно свойству аддитивности определенного интеграла имеем

Решение определенных интегралов

Сделаем в первом интеграле замену переменной: Решение определенных интегралов Тогда

Решение определенных интегралов

и, следовательно,

Решение определенных интегралов

Полагая в этом равенстве Решение определенных интегралов (четная функция), а затем Решение определенных интегралов (нечетная функция), получим требуемые равенства

Пример:

Интеграл

Решение определенных интегралов

так как подынтегральная функция на отрезке Решение определенных интегралов является нечетной.

В самом деле,

Решение определенных интегралов

Интегрирование по частям

Теорема:

Пусть функции Решение определенных интегралов имеют на отрезке Решение определенных интегралов непрерывные производные Решение определенных интегралов Тогда имеет место равенство

Решение определенных интегралов

В силу условия теоремы произведение Решение определенных интеграловданных функций имеет на Решение определенных интегралов производную, равную

Решение определенных интегралов

т. е, Решение определенных интегралов является первообразной на Решение определенных интегралов для функции Решение определенных интегралов Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получим

Решение определенных интегралов

По правилу интегрирования суммы это равенство можно представить в виде

Решение определенных интегралов

откуда находим

Решение определенных интегралов

Так как по определению дифференциала функции Решение определенных интегралов то окончательно будем иметь

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить интеграл

Решение определенных интегралов

В данном интеграле имеем Решение определенных интегралов Возьмем Решение определенных интегралов тогда Решение определенных интегралов Применяя формулу интегрирования no частям, получим

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить интеграл

Решение определенных интегралов

Имеем:

Решение определенных интегралов

Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах

1.Пусть функция Решение определенных интегралов непрерывна и неотрицательна на отрезке Решение определенных интегралов Тогда площадь Q криволинейной трапеции Решение определенных интегралов будет равна (рис. 6)

Решение определенных интегралов

Пример:

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой Решение определенных интегралов прямой Решение определенных интегралов и осью Ох (рис.7).

Имеем

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

2.Пусть функция Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов Тогда кривая Решение определенных интегралов расположена под осью Ох и интеграл

Решение определенных интегралов

Площадь Q криволинейной трапеции Решение определенных интегралов (рис. 8) будет равна

Решение определенных интегралов

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой Решение определенных интегралов и осью Ох (рис.9).

Данная фигура расположена под осью Ох на отрезке [0, 2] на котором Решение определенных интегралов Поэтому искомая площадь Q будет равна

Решение определенных интегралов

Пусть функция Решение определенных интегралов меняет свой знак при переходе х через точку Решение определенных интегралов т. е. часть криволинейной трапеции Решение определенных интегралов расположена над осью Ох, а другая часть под осью Ох (рис. 10). Тогда площадь Q всей заштрихованной фигуры будет равна сумме двух площадей

Решение определенных интегралов

или

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой прямой х = 2 и осями Ох и Оу (см. рис.11).

Имеем

Решение определенных интегралов

4. Пусть функции Решение определенных интегралов непрерывны и Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов причем кривые Решение определенных интегралов пересекаются в точках А и В. Тогда площадь Q фигуры, ограниченной этими линиями (рис. 12), будет равна разности площадей Решение определенных интеграловкриволинейных трапеций Решение определенных интегралов соответственно. Таким образом,

Решение определенных интегралов

или

Решение определенных интегралов

Для нахождения пределов интегрирования а и b надо из системы уравнений Решение определенных интеграловРешение определенных интегралов исключить у и решить уравнение Решение определенных интегралов действительные корни которого дадут искомые пределы.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами Решение определенных интегралов (рис. 13).

Находим абциссы точек А и В пересечения денных парабол. Для этого решаем уравнение Решение определенных интегралов Его корни Решение определенных интегралов являются пределами интегрирования: а= 1, b= 3. Искомая площадь Q равна

Решение определенных интегралов

5.Пусть кривая АВ задана в параметрической форме уравнениями

Решение определенных интегралов

где функции Решение определенных интегралов Решение определенных интеграловнепрерывны, причем Решение определенных интегралов имеет непрерывную производную Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов Площадь Q криволинейной трапеции Решение определенных интегралов (рис. 14) описывается формулой

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив Решение определенных интегралов Тогда площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями, будет равна

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение определенных интегралов

В силу симметрии эллипса относительно координатных осей достаточно вычислить площадь той части фигуры, которая расположена в первой четверти, а затем ее учетверить, т. е. искомая площадь Q равна

Решение определенных интегралов

В этом интеграле делаем замену переменной:

Решение определенных интегралов

Для нахождения новых пределов интегрирования положим х = 0, тогда получим уравнение Решение определенных интегралов из которого находим Решение определенных интегралов затем, полагая x=a, получим Решение определенных интегралов откуда Решение определенных интегралов Таким образом, когда х изменяется от 0 до a, то t изменяется от Решение определенных интегралов до 0. Поэтому

Решение определенных интегралов

6. В некоторых случаях для вычисления площадей плоских фигур удобнее пользоваться формулами, в которых интегрирование ведется по переменной у. В этом случае переменная х считается функцией от у: Решение определенных интегралов где функция Решение определенных интегралов однозначна и непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов оси Оу. Пределы с и d интегрирования по переменной у, являющиеся точками пересечения данной кривой с осью Оу,находятся из уравнения Решение определенных интегралов получаемого из уравнения Решение определенных интегралов если в нем положить Решение определенных интегралов Тогда площадь Q, ограниченная кривой Решение определенных интегралов и осью ординат (рис. 15), будет равна

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную кривой Решение определенных интегралов (парабола) и осью ординат (рис. 16).

Пределы интегрирования находим как ординаты точек пересечения параболы с осью ординат: при x= 0 получаем уравнение Решение определенных интегралов из которого находим Решение определенных интегралов

Следовательно,

Решение определенных интегралов

искомая площадь будет равна

Решение определенных интегралов

Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением Решение определенных интегралов где функция Решение определенных интегралов непрерывна и неотрицательна на отрезке Решение определенных интегралов Плоская фигура, ограниченная этой кривой и двумя лучами, образующими с полярной осью углы Решение определенных интегралов называется криволинейным сектором (рис. 17).

Для определения площади криволинейного сектора ОАВО разобьем его на n произвольных частей лучами Решение определенных интегралов Обозначим углы между этими лучами через Решение определенных интегралов Возьмем произвольный луч Решение определенных интегралов заключенный между Решение определенных интегралов и обозначим через Решение определенных интегралов длину радиуса-вектора, соответствующего этому лучу. Возьмем круговой сектор с радиусом, равным Решение определенных интегралов и центральным углом Решение определенных интегралов(рис. 18). Его площадь Решение определенных интегралов будет равна Решение определенных интегралов или, так как Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

Проделав подобное построение во всех n частях сектора ОАВО, получим фигуру, состоящую из n круговых секторов, площадь Решение определенных интегралов которой будет равна

Решение определенных интегралов

Обозначим наибольшее Решение определенных интегралов через Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

Будем делить угол АОВ на все более и более мелкие части так, чтобы Решение определенных интегралов Тогда полученная фигура будет все меньше и меньше отклоняться от сектора ОАВО, и поэтому естественно считать площадью Q криволинейного сектора ОАВО предел
площади Решение определенных интегралов построенной фигуры, когда Решение определенных интегралов при условии что этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка Решение определенных интегралов на частичные отрезки и от выбора точек Решение определенных интегралов на них. Таким образом, по определению имеем

Решение определенных интегралов

Сумма Решение определенных интегралов является интегральной суммой для функции Решение определенных интегралов которая непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов в силу непрерывности функции Решение определенных интегралов Следовательно, эта сумма при Решение определенных интегралов имеет предел, равный определенному интегралу

Решение определенных интегралов

Итак, площадь криволинейного сектора ОАВО равна

Решение определенных интегралов

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Решение определенных интегралов

(рис. 19).

Искомая площадь равна

Решение определенных интегралов

Вычисление объемов тел

Рассмотрим тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью. Пусть известна площадь Q любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 20). Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, т.е. она будет функцией от х:

Решение определенных интегралов

Будем считать, что функция Q(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Для определения объема данного тела проводим плоскости Решение определенных интегралов которые разобьют тело на n слоев. В каждом отрезке Решение определенных интегралов возьмем по одной произвольной точке Решение определенных интегралов и заменим каждый слой тела цилиндром с образующими, параллельными оси Ох, направляющей которого является контур сечения тела плоскостью Решение определенных интегралов (рис. 20). Объем Решение определенных интегралов такого цилиндра равен произведению площади Решение определенных интегралов его основания на его высоту Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

а объемом Решение определенных интегралов всех n цилиндров будет сумма

Решение определенных интегралов

Если эта сумма имеет предел при Решение определенных интегралов то его естественно принять за объем V данного тела:

Решение определенных интегралов

В нашем случае сумма Решение определенных интегралов является интегральной суммой для функции Решение определенных интегралов непрерывной на отрезке Решение определенных интегралов и поэтому указанный предел существует и равен определенному интегралу

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом

Решение определенных интегралов

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и соответствующей абсциссе х, получается эллипс (рис. 21)

Решение определенных интегралов

или

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

полуоси которого равны

Решение определенных интегралов

Поэтому площадь Q(x) сечения будет равна

Решение определенных интегралов

Применяя формулу (1), получим

Решение определенных интегралов

в частности, при b=с=а, эллипсоид обращается в сферу Решение определенных интегралов а объем шара Решение определенных интегралов будет равен Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аЬВА (рис. 22), ограниченной кривой Решение определенных интегралов прямыми Решение определенных интегралов и осью Ох. Это тело называют телом вращения. Сечением тела вращения плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и соответствующей абсциссе х, является круг площади Решение определенных интегралов и, следовательно, объем тела вращения

Решение определенных интегралов

Пример:

Найти объем тела вращения, полученного вращением дуги OA параболы Решение определенных интегралов вокруг оси Ох (рис. 23).
Уравнение дуги OA параболы будет Решение определенных интегралов Искомый объем равен

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

Вычисление длины кривой

Рассмотрим кривую Решение определенных интегралов имеющую концы в точках А и В, и возьмем на ней произвольные точки Решение определенных интегралов следующие вдоль кривой одна за другой (рис. 24). Соединим эти точки хордами Решение определенных интегралов длины которых обозначим соответственно через Решение определенных интегралов Тогда длина Решение определенных интегралов ломаной Решение определенных интегралов вписанной в кривую Решение определенных интегралов будет равна

Решение определенных интегралов

Определение:

Длиной S кривой Решение определенных интегралов называется предел, к которому стремится длина Решение определенных интегралов вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

Решение определенных интегралов

если этот предел существует и не зависит от выбора точек Решение определенных интегралов на кривой Решение определенных интегралов В этом случае кривая Решение определенных интеграловназывается спрямляемой.

Решение определенных интегралов

Длина кривой в прямоугольных координатах

Пусть кривая Решение определенных интегралов задана уравнением Решение определенных интегралов где функция Решение определенных интеграловимеет непрерывную производную Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов Разобьем отрезок Решение определенных интегралов произвольными точками

Решение определенных интегралов

на п элементарных отрезков Решение определенных интегралов и построим вписанную ломаную, вершинами которой являются точки кривой Решение определенных интегралов

Решение определенных интегралов

Обозначим длины звеньев ломаной через Решение определенных интегралов и положим

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

Тогда длина k-го звена ломаной равна (рис. 25)

Решение определенных интегралов

Применяя теорему Лагранжа, получим

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов — некоторая точка отрезка Решение определенных интегралов Поэтому

Решение определенных интегралов

и длина вписанной ломаной будет равна

Решение определенных интегралов

Так как по условию Решение определенных интегралов непрерывна на Решение определенных интегралов то и функция Решение определенных интегралов будет непрерывна на этом отрезке, и, следовательно, интегральная сумма (1) имеет предел S при Решение определенных интегралов который является определенным интегралом:

Решение определенных интегралов

или, короче,

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить длину S цепной линии

Решение определенных интегралов

от точки A(0, 1) до точки Решение определенных интегралов (рис. 26).

Из уравнения цепной линии находим

Решение определенных интегралов

Учитывая тождество Решение определенных интегралов получим

Решение определенных интегралов

Поэтому

Решение определенных интегралов

Длина кривой, заданной в параметрической форме

Пусть кривая Решение определенных интегралов задана в параметрической форме уравнениями

Решение определенных интегралов

где функции Решение определенных интегралов имеют непрерывные производные Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов причем Решение определенных интегралов на этом отрезке. В этом случае уравнения (3) определяют функцию Решение определенных интегралов имеющую непрерывную производную Решение определенных интегралов Тогда

Решение определенных интегралов

и, согласно формуйе (2),

Решение определенных интегралов

или

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить длину окружности радиуса R (рис. 27)

Решение определенных интегралов

Окружность в параметрической форме задается уравнениями

Решение определенных интегралов

Согласно формуле (4) получим

Решение определенных интегралов

Пример: Найти длину эллипса.

Решение определенных интегралов

Так как Решение определенных интегралов то, применяя формулу (4) и учитывая симметричность эллипса относительно координатных осей, найдем

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов эксцентриситет эллипса, Решение определенных интегралов Мы получил так называемый эллиптический интеграл? который не вычисляется с помощью непосредственного применения формулы Ньютона— Лейбница, поскольку первообразная не является элементарной функцией.

Замечание:

Если положить Решение определенных интегралов то получим

Решение определенных интегралов

именно а этой последней записи интересующий нас интеграл обычно и рассматривают.

Пример:

Найти длину одной -арки» циклоиды

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

Применяя формулу (4), найдем

Решение определенных интегралов

Длина кривой в полярных координатах

Пусть кривая Решение определенных интегралов задана уравнением в полярных координатах Решение определенных интегралов где функция Решение определенных интегралов имеет непрерывную производную Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов Для нахождения длины кривой составим ее параметрические уравнения. С этой целью воспользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым: Решение определенных интегралов Подставляя сюда вместо р функцию Решение определенных интегралов получим уравнения Решение определенных интегралов которые являются параметрическими уравнениями кривой. Здесь параметром является полярный угол Решение определенных интегралов Дифференцируя последние уравнения, найдем

Решение определенных интегралов

Возводя в квадрат обе части каждого равенства и складывая, будем иметь

Решение определенных интегралов

Согласно формуле (4), получим

Решение определенных интегралов

или, что то же,

Решение определенных интегралов

Пример:

Вычислить длину кардиоиды Решение определенных интегралов Из уравнения кардиоиды находим Решение определенных интегралов Применяя формулу (6), получаем, что

Решение определенных интегралов

Дифференциал длины дуги кривой

Пусть дана кривая Решение определенных интегралов где функция Решение определенных интеграловимеет на отрезке Решение определенных интегралов непрерывную производную Решение определенных интегралов Рассмотрим дугу Решение определенных интегралов этой кривой от точки Решение определенных интегралов до переменной точки Решение определенных интегралов(рис. 29). Тогда длина S дуги Решение определенных интегралов этой кривой будет функцией от х и выразится формулой

Решение определенных интегралов

Так как подынтегральная функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов то будем иметь

Решение определенных интегралов

или

Решение определенных интегралов

Отсюда для дифференциала длины дуги Решение определенных интегралов получаем формулу

Решение определенных интегралов

Геометрический смысл дифференциала длины дуги кривой заключается в том, что он равен длине отрезка MN касательной МТ, ограниченного точкой касания Решение определенных интегралов и точкой Решение определенных интегралов(рис. 29). При достаточно малом Решение определенных интегралов длина Решение определенных интегралов дуги Решение определенных интегралов кривой Решение определенных интегралов отвечающей приращению Решение определенных интегралов может считаться приближенно равной длине отрезка MN касательной МТ, проведенной в точке М к этой кривой, т. е.

Решение определенных интегралов

Для случая задания кривой параметрическими уравнениями

Решение определенных интегралов

где функции Решение определенных интегралов имеют непрерывные производные на отрезке Решение определенных интегралов получим

Решение определенных интегралов

или

Решение определенных интегралов

Из этой формулы, в частности, следует, что если за параметр t взять длину S переменной дуги, т. е. положить

Решение определенных интегралов

то

Решение определенных интегралов

Если кривая задана уравнением в полярных координатах: Решение определенных интегралов где функция Решение определенных интегралов имеет непрерывную производную Решение определенных интегралов на отрезке Решение определенных интегралов то

Решение определенных интегралов

Физические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Определим работу, которую произведет сила F при перемещении ею материальной точки М по прямой Ох из точки а в точку Решение определенных интегралов Из физики известно, что если сила F постоянна, то работа А равна произведению величины F силы F на длину пути Решение определенных интегралов при условии, что сила направлена по прямой Ох.

Пусть величина силы F, действующей на материальную точку М по прямой Ох, является непрерывной функцией от х;

Решение определенных интегралов

на отрезке Решение определенных интегралов прямой Ох. Разобьем отрезок Решение определенных интегралов точками Решение определенных интегралов на n частей с длинами Решение определенных интегралов На каждом частичном отрезке Решение определенных интегралов возьмем произвольную точку Решение определенных интегралов и будем считать, что величина силы F на этом отрезке постоянна и равна Решение определенных интегралов Тогда при достаточно малом Решение определенных интегралов работа Решение определенных интегралов будет приближенно равна

Решение определенных интегралов

а сумма

Решение определенных интегралов

даст приближенное значение работы А силы F на отрезке Решение определенных интегралов Но так как Решение определенных интегралов является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке Решение определенных интегралов то за работу А силы F на отрезке Решение определенных интегралов естественно принять предел этой суммы при Решение определенных интеграловкоторый существует в силу непрерывности Решение определенных интегралов Таким образом, искомая работа А будет равна

Решение определенных интегралов

Пример:

Найти работу А, которая совершается при перемещении заряда Решение определенных интегралов из точки Решение определенных интегралов отстоящей от заряда Решение определенных интегралов на расстоянии Решение определенных интегралова точку Решение определенных интегралов отстоящую от заряда Решение определенных интегралов на расстоянии Решение определенных интегралов считая, что заряд Решение определенных интегралов помещен в точке Решение определенных интегралов принятой за начало отсчета.

Пусть электрические заряды Решение определенных интегралов имеют одинаковые знаки, например, Решение определенных интегралов Поэтому заряд Решение определенных интегралов будет отталкивать заряд Решение определенных интегралов По закону Кулона величина F силы F электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов, находящихся в вакууме, равна

Решение определенных интегралов

где r — расстояние между зарядами, k — коэффициент пропорциональности. Применяя формулу (1), найдем

Решение определенных интегралов

Масса и центр тяжести неоднородного стержня

Пусть дан неоднородный стержень, расположенный на отрезке [а, b] оси Oar, линейная плотность Решение определенных интегралов которого известна. Разобьем отрезок [a, b] точками

Решение определенных интегралов

на частичные отрезки Решение определенных интегралов на каждом из которых возьмем по одной произвольной точке Решение определенных интегралов и составим сумму

Решение определенных интегралов

Так как каждое слагаемое этой суммы является приближенным значением массы части стержня на отрезке Решение определенных интегралов то указанную сумму естественно принять за приближенное значение массы всего стержня. Поэтому массу m всего стержня определим как предел сумм Решение определенных интегралов при стремлении к нулю Решение определенных интегралов т.е. как интеграл

Решение определенных интегралов

Таким образом, масса m стержня равна

Решение определенных интегралов

Для определения центра тяжести неоднородного стержня используем формулу для координаты центра системы материальных точек Решение определенных интегралов имеющих массы Решение определенных интегралов и расположенных в точках Решение определенных интегралов Координата Решение определенных интегралов центра тяжести этой системы находится по формуле

Решение определенных интегралов

Разобьем отрезок Решение определенных интегралов точками Решение определенных интегралов на частичные отрезки Решение определенных интегралов и вычислим массу Решение определенных интегралов части стержня, расположенной на этом отрезке. По формуле (2) имеем Решение определенных интеграловПрименив формулу среднего значения к этому интегралу, получим, что

Решение определенных интегралов

Допуская, что масса Решение определенных интегралов сосредоточена в точке Решение определенных интегралов отрезка Решение определенных интегралов неоднородный стержень можно рассматривать как систему материальных точек с массами Решение определенных интегралов расположенных в точках Решение определенных интегралов отрезка [а, b]. Так как

Решение определенных интегралов

то по формуле (3) найдем приближенное выражение для координаты Решение определенных интегралов центра тяжести неоднородного стержня:

Решение определенных интегралов

Выражение, стоящее в числителе правой части (4), является интегральной суммой для функции Решение определенных интегралов на отрезке [а, b]. Поэтому координату Решение определенных интегралов центра тяжести неоднородного стержня определим по формуле

Решение определенных интегралов

Пример:

Найти координату Решение определенных интегралов центра тяжести неоднородного стержня, линейная плотность которого р=х, а длина Решение определенных интегралов

Находим массу данного стержня

Решение определенных интегралов

Искомая координата центра тяжести равна

Решение определенных интегралов

Приближенное вычисление определенных интегралов

При решении физических задач приходатся иметь дело с определенными интегралами от непрерывных функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это приводит к необходимости получения приближенных формул для вычисления Определенных интегралов. Приведем две из них, а именно, формулу трапеций и формулу парабол.

Формула трапеций

Пусть требуется вычислить интеграл

Решение определенных интегралов

где функция Решение определенных интегралов непрерывна на отрезке Решение определенных интегралов Для упрощения рассуждений будем считать, что Решение определенных интегралов

Разобьем отрезок Решение определенных интегралов на n равных частей точками

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

и с помощью прямых Решение определенных интегралов построим n прямолинейных трапеций (рис. 30). Сумма площадей этих трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции Решение определенных интегралов т. е.

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов — соответственно основания трапеций, Решение определенных интегралов— их высоты. Таким образом, получена приближенная формула

Решение определенных интегралов

которая называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Замечание:

Если функция Решение определенных интегралов имеет на Решение определенных интегралов непрерывную производную второго порядка Решение определенных интегралов то абсолютная величина погрешности не превосходит числа

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов

Пример:

Пользуясь формулой трапеций, вычислить приближенно интеграл Решение определенных интегралов

Разобьем отрезок Решение определенных интегралов на 10 равных частей точками Решение определенных интегралов и вычислим приближенно значения функции Решение определенных интегралов в этих точках:

Решение определенных интегралов

Применяя формулу трапеции получим

Решение определенных интегралов

Оценим погрешность полученного результата. Так как

Решение определенных интегралов

На отрезке [0,1] имеем Решение определенных интегралов а значит Решение определенных интегралов Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Решение определенных интегралов

Точное значение данного интеграла легко находим по формуле Ньютона—Лейбница:

Решение определенных интегралов

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007, что находится в соответствии с приведенной выше оценкой погрешности.

Формула парабол

Вычислим сначала площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной дугой Решение определенных интегралов параболы Решение определенных интегралов проходящей через точки Решение определенных интегралов (рис.31). Площадь Q будет равна

Решение определенных интегралов
Решение определенных интегралов

Выразим площадь Q через ординаты точек Решение определенных интегралов Подставляя координаты этих точек в уравнение параболы, получим

Решение определенных интегралов

Отсюда находим, что

Решение определенных интегралов

и поэтому

Решение определенных интегралов

Рассмотрим теперь определенный интеграл

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов — произвольная функция, непрерывная и неотрицательная на отрезке Решение определенных интегралов

Разобьем отрезок Решение определенных интегралов на 2n (четное число) равных отрезков точками

Решение определенных интегралов

и представим интеграл в виде суммы

Решение определенных интегралов

Проведем через точки Решение определенных интегралов прямые, параллельные оси Оу и обозначим через Решение определенных интегралов Решение определенных интегралов В точки пересечения этих прямых с кривой Решение определенных интегралов а их ординаты обозначим через Решение определенных интегралов Через каждые три точки Решение определенных интеграловРешение определенных интегралов проведем параболу с вертикальной осью симметрии. В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами (рис. 32). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, отвечающей отрезку Решение определенных интегралов приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то, учитывая, что длина h отрезка Решение определенных интегралов равна Решение определенных интегралов по формуле (1) имеем

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов Подставляя в правую часть равенства (2) вместо интегралов их приближенные значения, получаем приближенную формулу

Решение определенных интегралов

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

Решение определенных интегралов

Замечание:

Если функция Решение определенных интегралов имеет на отрезке Решение определенных интегралов непрерывную производную четвертого порядка Решение определенных интегралов то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

Решение определенных интегралов

где Решение определенных интегралов

Погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Поэтому формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Пример:

Вычислить приближенно интеграл

Решение определенных интегралов

по формуле Симпсона при Решение определенных интегралов

Разобьем отрезок Решение определенных интегралов на четыре равных части точками

Решение определенных интегралов

и вычислим приближенно значения функции Решение определенных интегралов в этих точках:

Решение определенных интегралов

По формуле Симпсона находим

Решение определенных интегралов

Оценим погрешность полученного результата. Подынтегральная функция Решение определенных интегралов имеет производную четвертого порядка Решение определенных интегралов для которой получаем

Решение определенных интегралов

Погрешность результата не превосходит величины Решение определенных интегралов Сравнивая приближенное значение интеграла с точным, приходим к выводу, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,0001, что соответствует полученной выше оценке погрешности.

Эти примеры показывают, что формула Симпсона дает более точные приближенные значения определенных интегралов, чем формула трапеций.

Определенный интеграл с подробным объяснением и теорией

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1.С помощью точек

Определенный интеграл

разобьем oтрезок [a, b] на п частичных отрезков Определенный интеграл (см. рис. 166).

Определенный интеграл

2.В каждом частичном отрезке Определенный интеграл выберем произвольную точку Определенный интеграл и вычислим значение функции в ней, т. е. величину Определенный интеграл.

3.Умножим найденное значение функции Определенный интеграл на длину Определенный интеграл соответствующего частичного отрезка: Определенный интеграл

4.Составим сумму Определенный интеграл всех таких произведений:

Определенный интеграл

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = f(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через Определенный интеграл длину наибольшего частичного отрезка: Определенный интеграл

5.Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда Определенный интеграл так, что Определенный интеграл

Если при этом интегральная сумма Определенный интеграл имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(х) на отрезке [а; b] и обозначается Определенный интеграл. Таким образом,

Определенный интеграл

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.

Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл Определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.
Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл Определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).

1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Определенный интеграл

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Определенный интеграл

3.Для любого действительного числа с: Определенный интеграл

Геометрическим и физическии смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция Определенный интеграл

Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Определенный интеграл

Для этого отрезок [а; b] точками Определенный интегралразобьем на п частичных отрезков Определенный интеграл (см. рис. 167). В каждом частичном отрезке Определенный интеграл возьмем произвольную точку Cj и вычислим значение функции в ней, т. е. Определенный интеграл.

Умножим значением функции Определенный интеграл на длину Определенный интегралсоответствующего частичного отрезка. ПроизведениеОпределенный интеграл равно площади прямоугольника с основанием Определенный интеграл и высотой Определенный интеграл. Сумма всех таких произведений

Определенный интеграл

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

Определенный интеграл

С уменьшением всех величин Определенный интеграл точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Определенный интеграл когда п неограниченно возрастает так, что Определенный интеграл

Определенный интеграл

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы Определенный интеграл, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силыОпределенный интеграл по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точкамиОпределенный интеграл разобьем на п частичных отрезков Определенный интеграл Сила, действующая на отрезке Определенный интеграл, меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Определенный интегралдостаточно мала, то сила Определенный интеграл на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке Определенный интеграл.Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке Определенный интеграл, равна произведению Определенный интеграл. (Как работа постоянной силы Определенный интегрална участке Определенный интеграл.)

Приближенное значение работы А силы Определенный интеграл на всем отрезке [а; b]

Определенный интеграл

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Определенный интеграл. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина Определенный интеграл частичных отрезков стремится к нулю:

Определенный интеграл

Итак, работа переменной силыОпределенный интеграл, величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла. Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = а до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

Определенный интеграл

масса m неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция у = f(х) интегрируема на отрезке [а; b].

Теорема:

Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и F(x) — какая-либо ее первообразная наОпределенный интеграл, то имеет место формула

Определенный интеграл

Разобьем отрезок [а; b] точками Определенный интеграл на n частичных отрезков Определенный интеграл как это показано на рис. 168.

Определенный интеграл

Рассмотрим тождество

Определенный интеграл

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

Определенный интеграл

Получим

Определенный интеграл

т. e.

Определенный интеграл

где Определенный интеграл есть некоторая точка интервала Определенный интеграл. Так как функция у = f(x) непрерывна на [а; b], то она интегрируема на [а; b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(х) на [а; b].

Переходя в равенстве (37.2) к пределу при Определенный интеграл, получаем

Определенный интеграл

т.е.

Определенный интеграл

Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если ввести обозначение Определенный интеграл, то формулу Ньютона-Лейбница (37.1) можно переписать так:

Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке [a; b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b) — F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [а; b]. Например,

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить интеграл

Определенный интеграл

Решение:

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение:

Определенный интеграл

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [а; b]. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.

1.Если спостоянное число и функция f(x) интегрируема на [а; b], то

Определенный интеграл

т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

Составим интегральную сумму для функции с • f(x). Имеем:

Определенный интеграл

Тогда

Определенный интеграл

Отсюда вытекает, что функция Определенный интеграл интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).

2. Если функции Определенный интеграл интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [ a;b ] их сумма и

Определенный интеграл

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Определенный интеграл

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

Определенный интеграл

Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл

4.Если функция f(x) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

Определенный интеграл

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

Q При разбиении отрезка [а; b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если Определенный интеграл то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

Определенный интеграл

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [a; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при Определенный интеграл, получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек a, b, с (считаем, что функция f (x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если а < b < с, то

Определенный интеграл

Отсюда

Определенный интеграл

(использованы свойства 4 и 3).

5.«Теорема о среднем». Если функция fix) непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка Определенный интеграл такая, что

Определенный интеграл

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Определенный интеграл

где F'(x) — f (х). Применяя к разности F(b) — F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

Определенный интеграл

Свойство 5 («теорема о среднем») у при Определенный интеграл имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором Определенный интеграл, площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b — а (см. рис. 169). Число

Определенный интеграл
Определенный интеграл

называется средним значением, функции f(x) на отрезке [а; b].

6.Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где а < b, то интеграл Определенный интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если Определенный интеграл на отрезке [а; b], то Определенный интеграл

По «теореме о среднем» (свойство 5)

Определенный интеграл

где Определенный интеграл. А так как Определенный интегралдля всех Определенный интеграл, то и

Определенный интеграл

Поэтому

Определенный интеграл

7.Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a; b], (а < b) можно интегрировать. Так, если Определенный интеграл то Определенный интеграл

Так как Определенный интеграл то при а < b, согласно свойству 6, имеем

Определенный интеграл

Или, согласно свойству 2,

Определенный интеграл

Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8.Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а; b], (а < b), то

Определенный интеграл

Так как для любого Определенный интеграл имеем Определенный интеграл, то, согласно свойству 7, имеем

Определенный интеграл

Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем

Определенный интеграл

Если Определенный интеграл то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [а; b], а высоты равны m и М (см. рис. 170).

Определенный интеграл

9.Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

Определенный интеграл

Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам — Определенный интеграл получаем

Определенный интеграл

Отсюда следует, что

Определенный интеграл

10.Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.

Определенный интеграл

По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Определенный интеграл

Следовательно,

Определенный интеграл

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Вычисления определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла Определенный интегралот непрерывной функции является формула Ньютона-
Лейбница:

Определенный интеграл

Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(х).

Определенный интеграл

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Пусть для вычисления интеграла Определенный интегралот непрерывной функции сделана подстановка Определенный интеграл.

Теорема:

Если:
1) функция Определенный интеграли ее производная Определенный интегралнепрерывны при Определенный интеграл;
2) множеством значений функции Определенный интеграл при Определенный интеграл является отрезок [а; b];
3) Определенный интеграл
то

Определенный интеграл

Пусть F(x) есть первообразная для f(х) на отрезке [а; b]. Тогда по
формуле Ньютона-Лейбница Определенный интеграл. Так как
Определенный интеграл является первообразной для функции Определенный интеграл. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Определенный интеграл

Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки Определенный интеграл применяют подстановку Определенный интеграл;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить Определенный интеграл

Решение:

Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cost dt. Если x =0, то t = 0; если х = 2, тоОпределенный интеграл. Поэтому

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Интегрирование по частям

Теорема:

Если функции и = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула

Определенный интеграл

На отрезке [a; b] имеет место равенство (uv)’ = u’v + uv’. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u’v + uv’. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Определенный интеграл

Следовательно,

Определенный интеграл

Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример:

Вычислить Определенный интеграл

Решение:

Положим

Определенный интеграл

Применяя формулу (39.2), получаем

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение:

Интегрируем по частям. Положим

Определенный интеграл

Поэтому

Определенный интеграл

Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [-a; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что

Определенный интеграл

Разобьем отрезок интегрирования [—а; а] на части [—a;0] и [0;a]. Тогда по свойству аддитивности

Определенный интеграл

В первом интеграле сделаем подстановку х = —t. Тогда

Определенный интеграл

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим

Определенный интеграл

Если функция f(x) четная Определенный интегралесли функция f(x) нечетнаяОпределенный интеграл Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).

Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

Определенный интеграл

Несобственные интегралы

Определенный интеграл Определенный интеграл, где промежуток интегрирования [a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке Определенный интеграл. Если существует конечный предел Определенный интеграл, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают Определенный интеграл.

Таким образом, по определению

Определенный интеграл

В этом случае говорят, что несобственный интеграл Определенный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл Определенный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке Определенный интеграл

Определенный интеграл

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

Определенный интеграл

где с — произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция Определенный интегрална промежутке Определенный интеграли интеграл Определенный интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 171).

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

Определенный интеграл

Решение:

Определенный интеграл

интеграл сходится;

Определенный интеграл

интеграл расходится, так как при Определенный интеграл предел Определенный интеграл не существует.

Определенный интеграл

интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

Теорема:

Если на промежутке Определенный интеграл непрерывные функции Определенный интеграл удовлетворяют условию Определенный интеграл, то из сходимости интеграла Определенный интеграл следует сходимость интеграла Определенный интеграл, а из расходимости интеграла Определенный интегралследует расходимость интеграла Определенный интеграл.

Пример:

Сходится ли интеграл Определенный интеграл

Решение: При Определенный интеграл имеем Определенный интеграл Но интеграл Определенный интеграл сходится. Следовательно, интеграл Определенный интегралтакже сходится (и его значение меньше 1).

Теорема:

Если существует предел

Определенный интеграл

то интегралы Определенный интеграл одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример:

Исследовать сходимость интеграла Определенный интеграл

Решение:

Интеграл Определенный интеграл сходится, так как интеграл Определенный интегралсходится и

Определенный интеграл

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел Определенный интегралто его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают Определенный интеграл

Таким образом, по определению,

Определенный интеграл

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл Определенный интегралсходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интегралОпределенный интеграл расходится.

Аналогично, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

Определенный интеграл

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

Определенный интеграл

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода Определенный интеграл(разрыв в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить Определенный интеграл

Решение:

При х = 0 функция Определенный интегралтерпит бесконечный разрыв;

Определенный интеграл

интеграл расходится.

Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

Теорема:

Пусть на промежутке [а; b) функции Определенный интегралнепрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию Определенный интеграл. l/ta сходимости интеграла Определенный интегралвытекает сходимость интеграла Определенный интеграл, а из расходимости интеграла Определенный интегралвытекает расходимость интеграла Определенный интеграл.

Теорема:

Пусть функции Определенный интеграл непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует предел Определенный интеграл то интегралы Определенный интеграл одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример:

Сходится ли интеграл Определенный интеграл

Решение:

Функция Определенный интегралимеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию Определенный интеграл. Интеграл

Определенный интеграл

расходится. И так как

Определенный интеграл

то интеграл Определенный интеграл также расходится.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Схемы применения определенного интеграла:

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.д.), связанной с отрезком [а;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой Определенный интеграл) на части [a; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [a; b], равно сумме ее значений, соответствующих [a; с] и [с; b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1.Точками Определенный интеграл разбить отрезок [а; b] на п частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п «элементарных слагаемых»

Определенный интеграл

2.Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: Определенный интеграл

При нахождении приближенного значения Определенный интеграл; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

Определенный интеграл

3.Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

Определенный интеграл

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке [а; b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х) , где Определенный интеграл — один из параметров величины А;

2) находим главную часть приращения Определенный интеграл при изменении х на малую величину Определенный интеграл, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA = f(x)dx, где f(x) , определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что Определенный интеграл при Определенный интеграл, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты:

Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (Определенный интеграл), равна соответствующему определенному интегралу:

Определенный интеграл

Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями Определенный интеграл (см. рис. 173).

Определенный интеграл

Для нахождения площади 5 этой трапеции проделаем следующие операции:

  1. Возьмем произвольное Определенный интеграл и будем считать, что S = S(x).
  2. Дадим аргументу х приращение Определенный интеграл). Функция S = S(x) получит приращение Определенный интеграл, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения Определенный интеграл при Определенный интеграл, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: Определенный интеграл

3,Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,
получаем Определенный интеграл

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Определенный интеграл, то ее площадь может быть найдена по формуле

Определенный интеграл

Формулы (41.1) и (41.2) можно объединить в одну:

Определенный интеграл

Площадь фигуры, ограниченной кривыми Определенный интеграл, прямыми х = а и х = b (при условии Определенный интеграл) (см. рис. 174),

Определенный интеграл

можно найти по формуле

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой Определенный интеграл (см. рис. 176), то ее площадь находится по формуле Определенный интеграл

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

Определенный интеграл

прямыми х = а и x = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

Определенный интеграл

где Определенный интеграл определяются из равенств Определенный интеграл

Определенный интеграл


Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции Определенный интеграл

Решение:

Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Находим ее площадь S:

Определенный интеграл

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Определенный интеграл

Решение: Найдем сначала Определенный интеграл площади S. Здесь х изменяется от 0 до a, следовательно, t изменяется от Определенный интеграл до 0 (см. рис. 178). Находим:

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Таким образом, Определенный интеграл. Значит, Определенный интеграл

Полярные координаты:

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией Определенный интеграл и двумя лучами Определенный интеграл и Определенный интеграл где Определенный интеграл? — полярные координаты (см. рис. 179). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.

1.Будем считать часть искомой площади S как функцию угла уз, т. е. Определенный интеграл (если Определенный интеграл) .

2.Если текущий полярный угол Определенный интеграл получит приращение Определенный интеграл, то приращение площади Определенный интеграл равно площади «элементарного криволинейного сектора» ОАВ.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения Определенный интеграл при Определенный интеграл и равен площади кругового сектора ОАС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом Определенный интеграл. Поэтому Определенный интеграл

3.Интегрируя полученное равенство в пределах от Определенный интегралполучим искомую площадь

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» Определенный интеграл (см. рис. 180).

Решение:

Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. Определенный интегралчасть всей площади фигуры:

Определенный интеграл

т. е. Определенный интеграл Следовательно, Определенный интеграл

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке 181, имеем:

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты:

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(x), где Определенный интеграл

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Покажем, что если функция у = f (x) и ее производная у’ = f'(x) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Определенный интеграл

Применим схему I (метод сумм).

1.Точками

Определенный интеграл

разобьем отрезок [а; b] на п частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответствуют точки Определенный интеграл на кривой АВ. Проведем хорды Определенный интеграл длины которых обозначим соответственно через Определенный интеграл. Получим ломаную Определенный интегралдлина которой равна

Определенный интеграл
Определенный интеграл

2.Длину хорды (или звена ломаной) Определенный интеграл можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Определенный интеграл

Определенный интеграл

где Определенный интеграл По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Определенный интеграл, где Определенный интеграл Поэтому

Определенный интеграл

а длина всей ломаной Определенный интеграл равна

Определенный интеграл

3.Длина l кривой AB, по определению, равна

Определенный интеграл

Заметим, что при Определенный интеграл также и Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл). Функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке [a; b], так как, по условию, непрерывна функция f'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда Определенный интеграл

Определенный интеграл

Таким образом, Определенный интеграл, или в сокращенной записи Определенный интеграл

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

Определенный интеграл

где х(t) и y(t) — непрерывные функции с непрерывными производными и Определенный интеграл то длина l кривой АВ находится по формуле

Определенный интеграл

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой

Определенный интеграл

Пример:

Найти длину окружности радиуса R.

Решение:

Найдем Определенный интегралчасть ее длины от точки (0; R) до точки (0; R) (см. рис. 183). Так как Определенный интеграл то

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Значит,Определенный интеграл Если уравнение окружности записать в параметрическом видеОпределенный интеграл то

Определенный интеграл

Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему II (метод дифференциала).

  1. Возьмем произвольное значение Определенный интеграл и рассмотрим переменный отрезок [a; x]. На нем величина I становится функцией от x, т. е. Определенный интеграл
  2. Находим дифференциал dl функции l = l(х) при изменении x на малую величину Определенный интегралНайдем l'(x), заменяя бесконечно малую дугу MN хордой Определенный интеграл, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):
Определенный интеграл

Стало быть, Определенный интеграл

3.Интегрируя dl в пределах от а до b, получаем Определенный интеграл

РавенствоОпределенный интеграл называется формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.
Так как Определенный интеграл,то

Определенный интеграл

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МСТ (см. рис. 185).

Определенный интеграл

Полярные координаты:

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах Определенный интеграл Предположим, чтоОпределенный интеграл непрерывны на отрезке Определенный интеграл.

Если в равенствах Определенный интеграл связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол Определенный интеграл, то кривую АВ можно задать параметрически Определенный интеграл Тогда

Определенный интеграл

Поэтому

Определенный интеграл

Применяя формулу (41.5), получаем

Определенный интеграл

Пример:

Найти длину кардиоиды Определенный интеграл

Решение:

Кардиоида Определенный интегралимеет вид, изображенный на рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Определенный интеграл

Таким образом, Определенный интеграл Значит, Определенный интеграл

Определенный интеграл

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений:

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: Определенный интеграл

Применим схему II (метод дифференциала).

  1. Через произвольную точку Определенный интегралпроведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от х, т. е. Определенный интеграл
  2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и Определенный интеграл, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
  3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до b:
Определенный интеграл

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример:

Найти объем эллипсоида

Определенный интеграл

Решение:

Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее Определенный интеграл, получим эллипс (см. рис. 188):

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Площадь этого эллипса равна Определенный интеграл — Поэтому, по формуле (41.6), имеем

Определенный интеграл

Объем тела вращения:

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией Определенный интеграл отрезком Определенный интеграл и прямыми х = а и х = b (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси ОхОпределенный интеграл, есть круг с радиусом у = f(x). Следовательно, Определенный интеграл

Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Определенный интеграл

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции Определенный интеграл и прямыми х = 0, у = с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Пример:

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями Определенный интеграл вокруг оси Оу (см. рис. 190).

Решение:

По формуле (41.8) находим:

Определенный интеграл

Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции Определенный интеграл где Определенный интеграл, а функция у = f(x) и ее производная у’ = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку Определенный интеграл проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у = f(х) (см. рис. 191). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е.

Определенный интеграл

2.Дадим аргументу х приращение Определенный интеграл Через точку Определенный интеграл также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение Определенный интеграл , изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности равна Определенный интеграл Отбрасывая произведение dydl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем Определенный интеграл или, так как

Определенный интеграл

3.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями Определенный интеграл то формула (41.9) для площади поверхности вращения принимает вид

Определенный интеграл

Пример:

Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение:

Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности Определенный интеграл вокруг оси Ох. По формуле (41.9) находим

Определенный интеграл

Пример:

Дана циклоида

Определенный интеграл

Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох.

Решение:

При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл

Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а < b), находится по формуле

Определенный интеграл

(см. п. 36).

Пример:

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение:

По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, Определенный интеграл, откуда k= 10000; следовательно, F = 10000x.

Искомая работа на основании формулы (41.10) равна

Определенный интеграл

Пример:

Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.

Решение:

Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна Определенный интеграл. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) раз-
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат так, как указано на рисунке 192.

Определенный интеграл

1.Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной Определенный интеграл, есть функция от х, т.е. А = А(х), где Определенный интеграл

2.Находим главную часть приращенияОпределенный интеграл при изменении х на величину Определенный интеграл т. е. находим дифференциал dA функции A(х).
личных слоев не одинакова.

Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 192). Тогда Определенный интеграл, где dp — вес этого слоя; он равен Определенный интеграл, где g — ускорение свободного падения, Определенный интеграл — плотность жидкости, dv — объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = Определенный интеграл Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равенОпределенный интеграл— высота цилиндра (слоя), Определенный интеграл — площадь его основания, т. е. Определенный интеграл.

Таким образом,

Определенный интеграл

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н,
находим

Определенный интеграл

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от Определенный интеграл.

Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного дви-жения равна производной от пути по времени», т. е. Определенный интегралОтсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах Определенный интеграл, получаем Определенный интеграл

Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.

Пример:

Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от
начала движения, если скорость тела Определенный интеграл

Решение:

Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

Определенный интеграл

Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Определенный интеграл, где g — ускорение свободного падения, Определенный интеграл — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, Определенный интеграл); система координат выбрана так, как указано на рисунке 193. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

1.Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т.е. р = р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; x] значений переменной х, где Определенный интеграл.

Дадим аргументу х приращение Определенный интеграл. Функция р(х) получит приращение Определенный интеграл (на рисунке — полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля

Определенный интеграл

3.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Пример:

Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 194).

Решение:

Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями Определенный интеграл х = R. Поэтому

Определенный интеграл

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек Определенный интеграл соответственно с массами Определенный интеграл

Статическим моментом Определенный интеграл системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на п их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ox):

Определенный интеграл

Аналогично определяется статический момент Определенный интегралэтой системы п
относительно оси Оу:

Определенный интеграл

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.
Пусть у = f(x) Определенный интеграл — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью Определенный интеграл.

Для произвольного Определенный интеграл на кривой АВ найдется точка с координатами (x; y). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х; у). Тогда масса этого участка равна Определенный интеграл. Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента Определенный интеграл («элементарный момент») будет равен Определенный интеграл (см. рис. 195).

Отсюда следует, что статический момент Определенный интеграл кривой АВ относительно оси Ох равен

Определенный интеграл

Аналогично находим Определенный интеграл:

Определенный интеграл

Статические моменты Определенный интеграл и Определенный интеграл кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой Определенный интеграл называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(x) относительно той же оси. Обозначим через Определенный интеграл центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства

Определенный интеграл

Отсюда Определенный интеграл или

Определенный интеграл

Пример:

Найти центр тяжести однородной дуги окружности Определенный интеграл, расположенной в первой координатной четверти (см. рис. 196).

Определенный интеграл

Решение:

Очевидно, длина указанной дуги окружности равна Определенный интеграл
т. е. Определенный интеграл. Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть

Определенный интеграл
Определенный интеграл

Стало быть,

Определенный интеграл

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то Определенный интеграл Итак, центр тяжести имеет
координаты Определенный интеграл

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой Определенный интеграли прямыми Определенный интеграл (см. рис. 197).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна
Определенный интегралТогда масса всей пластинки равна Определенный интеграл, т. е. Определенный интеграл
Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна Определенный интегралЦентр тяжести Определенный интеграл прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка Определенный интегралотстоит от оси Ох на а от оси Оу на х (приближенно; точнее на расстоянии Определенный интеграл). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполн