Преобразования графиков функций с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Параллельный перенос, сжатие и растяжение графиков. Построение графиков с модулями.

Графики многих функций можно получить из ранее рассмотренных с помощью элементарных геометрических преобразований: параллельного переноса, сжатия, растяжения, симметричного отображения. Рассмотрим некоторые из этих преобразований. Для каждого из элементарных преобразований предлагается два способа построения графика: с помощью преобразования графика и с помощью преобразования системы координат. Обучающийся должен выбрать тот, который кажется ему проще и овладеть им. В каждом случае считается известным график функции у = f(х).

Параллельный перенос графиков

График функции у = /(x) + Ь получается из графика функции у = f(х) с помощью его переноса на вектор b = (0; b). Действительно, в этом случае ко всем ординатам графика у = f(х) прибавляется величина b, что означает сдвиг графика вдоль оси Оу. Если b > 0, то график функции у = f(х) переносится вверх параллельно оси Oy на b, если b < 0, то график функции у = f(x) переносится вниз параллельно оси Oy на |b| (рис. 49). Заметим, что вместо переноса графика, можно перенести в противоположном направлении ось Ox (если b > 0 — вниз, если b < 0 — вверх), прибавив ко всем значениям по оси Oy величину b.

Преобразования графиков функций — Рис. 49. Построение графика функции у = f(x) + b

Пример:

График функции у = x² — 1 (рис. 50) смещен на 1 вниз параллельно оси Oy относительно графика функции у = х².

График функции у = f(x+a) получается с помощью переноса графика функции у = f(x) на вектор а = (—а;0). Действительно, перейдя к новым координатам X = х + α, Y = у параллельным переносом вдоль оси Ox на —а, заметим, что относительно новых координат получится исходный график функции Y = f(X). Если а > 0, то старые координаты получаются из новых сдвигом направо вдоль оси Ox на α, т.к. х = X — а. Если же сдвигать график, а не систему координат, то его нужно двигать в противоположном направлении — налево. Итак, если а > 0, то график функции у = f(x) переносится налево параллельно оси Ox на а, если а < 0, то график функции у = f(x) переносится направо вдоль оси Ox на ∣α∣ (рис. 51). Вместо переноса графика можно перенести в противоположном направлении ось Oy (если α > 0 — вправо, если α < 0 — влево), отняв от всех значений по оси Ox величину а.

Пример:

График функции у = (x- 2)² смещен на 2 ед. вправо параллельно оси Ox относительно графика функции у = х². (рис. 52).

Сжатие и растяжение графиков

График функции у = kf(x), где к ∈ R, получается с помощью ’’растяжения” графика функции у = f(x) в к раз в направлении от оси Ох. ’’Растяжение” здесь понимается как умножение на к ординат всех точек графика у = f(x)∙ При k > 1 это будет действительно растяжение в к раз от оси Ox вдоль оси Оу. При 0 < k < 1 это будет сжатие в Преобразования графиков функций раз к оси Ox вдоль оси Оу. При k ≤ -1 это будет растяжение в ∣k∣ раз с последующим симметричным отображением относительно оси Ox (перевернуть сверху вниз); при -1 ≤ k < 0 это будет сжатие в Преобразования графиков функций раз и симметрия относительно оси Ox ( рис. 53). В частности, график функции у = —f(x) получается симметричным отображением относительно оси Ox графика функции у = f(x).

Вместо преобразования графика при k > 0 можно исправить значения по оси Оу, умножив их на k. При k < 0 в этом случае пришлось бы менять направление оси, что неудобно; лучше перевернуть график сверху вниз.

График функции у = f(kx), где k ∈ R, получается с помощью ’’сжатия” графика у = f(x) в к раз в направлении к оси Оу. ’’Сжатие” здесь понимается как деление на к абсцисс всех точек графика у = f(x). Действительно, если, например, f(1) =0, то, сделав замену X = kх, Y = у, получим, что функция у = f(kx) обращается в нуль при kх = 1, т.е. при Преобразования графиков функций

При k > 1 график функции у = f(x) сжимается в k раз к оси Oy вдоль оси Ох; при 0 < k < 1 график функции у = f(x) растягивается в Преобразования графиков функций раз от оси Oy вдоль оси Ох; при k ≤ — 1 исходньй график сжимается в |k| раз и симметрично отражается относительно оси Oy (слева направо); при -1 ≤ k < 0 исходный график растягивается в Преобразования графиков функций раз с последующей симметрией относительно оси Оу.

В частности, график функции у = f(-x) получается из графика функции у = f(-x) симметрией относительно оси Оу.

Вместо преобразования графика при k > 0 можно исправить значения по оси Ох, поделив их на k. При k < 0 в этом случае следует предварительно перевернуть график слева направо.

Пример:

График функции у = cos 2х получается из графика у = cos х сжатием в 2 раза к оси Оу; график функции у = ln(—х) получается из графика у = ln х симметрией относительно оси Oy ( рис. 54).

Пользуясь изложенными методами, приведем последовательность преобразований при построении графика функции у = f(kx + b), если дан график функции у = f(x):

нарисовать график функции у = f(x);
получить график функции у = f(x + b), сдвинув исходный на вектор b = (-b; 0), как описано в п. 5.1;
получить график функции у = f(kx + b), “сжав” предыдущий в к раз к оси Оу, как описано выше.

Пример:

Написать последовательность преобразований и построить график функции у = Преобразования графиков функций .

Решение:

нарисуем график функции у = √х;
о получим график функции у = , сдвинув исходный на 4 единицы влево вдоль оси Ох;
о получим график функции у = , сжав предыдущий в 5 раз к оси Oy и затем отобразив симметрично относительно оси Оу.

Построение графика показано на рис. 55

Замечание:

Теперь понятно, что если функция у = f(x) периодическая с периодом Т, то функция у = К ∙ f(kx + b) + а тоже периодическая с периодом T₁ = Преобразования графиков функций . (п. 3.5 лекции 3). Действительно, график последней функции получается из исходного сдвигом вдоль оси Ох, что не меняет период, последующим “сжатием“ вдоль оси Ох, что “уменьшает» период в |k| раз (период T делится на |k|), и окончательным умножением всех ординат на К с последующим прибавлением а, что также не изменяет получившийся период T₁ = Преобразования графиков функций

Построение графиков с модулями

График функции у = ∣f(x)∣ получается из графика функции у = f(x) следующим образом (рис. 56)

все части графика функции у = f(x), лежащие ниже оси Ох, следует отобразить вверх симметрично относительно этой оси;
оставшиеся внизу части исходного графика следует стереть.

Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.1) Преобразования графиков функций

Таким образом, те участки исходного графика, которые лежат не ниже оси Ox (f(x) ≥ 0), менять не нужно, а для тех участков, которые лежат ниже оси Ох, нужно построить функцию у = —f(x). В соответствии с п. 5.2 это получается симметричным отображением исходного графика относительно оси Ох. Заметим, что полученный график лежит не ниже оси Ох, что естественно, т.к. |f(x)| ≥ 0 для ∀x ∈ D(f).

Пример:

Построение графика функции у = |х² — 1| показано на рис. 57.

График функции у = f (|x|) получается из графика функции у = f(х) следующим образом (рис. 58):

все части графика функции у = f(x), лежащие слева от оси Оу, следует стереть;
о оставшуюся часть графика следует отобразить налево симметрично относительно оси Оу.

Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.2) Преобразования графиков функций

Таким образом, не нужно изменять те участки исходного графика, для которых х ≥ 0, а для х<0 (слева от оси Оу) следует построить график функции у = f(—х). В соответствии с п. 5.2 это получается симметричным отображением исходного графика относительно оси Оу. Заметим, что полученный график симметричен относительно оси Оу, что естественно, т.к. функция у = f(|x|) четная (докажите самостоятельно).

Пример:

Построение графика функции у = (|x| — 2)² показано на рис. 59

Элементарными методами можно строить эскизы графиков более сложных функций.

Пример:

Построить эскиз графика у = Преобразования графиков функций

Решение:

Построение графика показано на рис. 60. Заметим, что график отсутствует там, где sin х < О, так как D(x) = {x| sin х ≥ 0}

Кроме того, так как √u > и при 0 < u < 1, то график у = Преобразования графиков функций (сплошная линия) будет лежать не ниже графика у = sin x (пунктирная линия), если их нарисовать в одних осях.

Построение графиков функций с примерами

Пример:

C помощью элементарных преобразований постройте график функции: у = x² — х — 2.

Решение:

Выделим полный квадрат из правой части уравнения функции: у = x² — х — 2 ⇔ y = x²-x+ Преобразования графиков функций ⇔ у = . График этой функции получается следующей последовательностью элементарных преобразований (рис. 61):
1) y =x²
2) у =. Сдвиг вправо вдоль Ox на Преобразования графиков функций .
3) у = . Сдвиг вниз вдоль Oy на .

Пример:

Используя сложение, деление функций, постройте график функции: у = х + Преобразования графиков функций .

Решение:

В одних осях координат нарисуем графики следующих функций (рис. 62):
1) у = х,
2) y= Преобразования графиков функций ,
3) y = x + .

Пример:

Постройте график сложной функции у = sin² х.

Решение:

В одних осях координат нарисуем графики функций:

1) y = sin x,
2) y = sin² х.

Учитывая, что квадрат числа меньшего единицы, меньше исходного числа, получим график (рис. 63)

Пример:

Постройте график функции в полярной системе координат: r = Преобразования графиков функций (прямая линия).

Решение:

Вычислим значения г для некоторых значений Преобразования графиков функций ∈ (0; π) — см. таблицу.

	0
r	∞	2			∞

Соединив плавной линией найденные точки, получим линию вдоль оси Ох, проходящую через точку (0;1). Докажем что эта линия — прямая (рис. 64). Действительно: из Δ ОAВ ⇒ cos Преобразования графиков функций = = ⇒ r = .

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением, у = Преобразования графиков функций

Решение:

Сначала построим график функции у = Преобразования графиков функций (рис. 65). Затем, пользуясь определением |x| (2.1), строим график (рис. 66) функции у =

Наконец, строим линию описываемую уравнением у = (рис. 67):

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением у = Преобразования графиков функций

Решение:

Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у = Преобразования графиков функций . Затем, в соответствии с определением |х|, сотрите ту часть графика, которая расположена слева от оси Оу, а оставшуюся справа часть, отразите симметрично оси Оу.

Ответ: рис. 68.

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением у = |х² — х -2|.

Решение:

Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у = х² — х — 2. Затем отразите симметрично оси Ox ту часть графика, которая осталась снизу от оси Ох. Затем сотрите ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости.

Ответ: рис. 69.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: