Обобщенная степень в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Обобщенная степень

Выражение Обобщенная степень при первом его появлении имело смысл лишь при целом положительном значении буквы n. Например, под мы понимали произведение Все действия над выражениями вида Обобщенная степень были выведены в предположении, что показатели степеней — целые положительные числа (см. стр. 67 и 71). Далее в § 8 гл. IX мы приняли следующие определения:

Если , то
Если и q — целое положительное число, то

Там же было показано, что все действия над выражениями вида

где q — целое положительное число, можно выполнять по тем же правилам, какие были установлены для выражения вида

Обобщенная степень ,

где n — целое положительное число.

Таким образом, выражение Обобщенная степень стало иметь смысл степени и тогда, когда n — нуль или целое отрицательное число. Теперь примем еще одно определение.

Под выражением Обобщенная степень , где а > 0 и числа р и q натуральные, условимся понимать арифметическое значение следующего корня .

Например, Обобщенная степень

Таким образом, выражение Обобщенная степень стало иметь смысл и тогда, когда n есть дробное положительное число.

Легко убедиться в том, что действия над выражениями вида Обобщенная степень можно производить также по тем правилам, которые были установлены для степеней, имеющих целые показатели. Действительно,

т. е. при умножении степеней с дробными показателями можно применять то же правило, что и для умножения степеней, имеющих целые показатели.

Также можно убедиться в том, что

Примем по определению, что

Теперь рассмотрим выражение Обобщенная степень , где а > 0 и есть число иррациональное.

Чтобы сделать изложение более наглядным, примем а = 2 и Обобщенная степень .

Составим последовательность

которую можно записать так:

Эта возрастающая последовательность ограничена сверху (например, числом Обобщенная степень По признаку Вейерштрасса (см. стр. 408) она имеет предел, который мы и принимаем за значение выражения

Итак, мы можем сделать следующие заключения.

Выражение Обобщенная степень , где а > 0, имеет смысл степени при всяком действительном значении n.

Выражение Обобщенная степень при всяком действительном значении n будем называть обобщенной степенью.

Для обобщенных степеней справедливы правила, установленные ранее для степеней с натуральными показателями.

Примеры:

Обобщенная степень (напоминаем, что выражение 0° смысла не имеет).

Измерение одночлена

Пусть имеется произведение степеней каких-либо букв с числовым коэффициентом, который может быть и единицей, но не нулем.

Тогда измерением такого произведения (или одночлена) называется сумма показателей степеней всех входящих в это произведение букв.

Примеры:

Обобщенная степень есть одночлен 5-го измерения,

Обобщенная степень есть одночлен 3-го измерения,

Обобщенная степень есть одночлен 6-го измерения,

а есть одночлен 1-го измерения,

abxy есть одночлен 4-го измерения,

Обобщенная степень есть одночлен 1-го измерения.

Одночлен Обобщенная степень имеет измерение, равное есть одночлен 1-го измерения, так как

Одночлен Обобщенная степень имеет измерение, равное , так как

Но иногда приходится рассматривать измерение одночлена не по отношению ко всем входящим в него буквам, а лишь по отношению к некоторым избранным.

Примеры:

Обобщенная степень есть одночлен 3-го измерения относительно х и у,
axby есть одночлен 2-го измерения относительно х и у,
ax есть одночлен 1-го измерения относительно х.

Однородные многочлены

Определение. Многочлен называется однородным относительно каких-либо букв, если все его члены имеют одинаковое измерение относительно этих букв.

Примеры:

§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Выражение Обобщенная степень есть функция независимой переменной х, так как каждому значению х соответствует определенное значение выражения .

Составим таблицу значении функции Обобщенная степень при некоторых значениях х.

Если Обобщенная степень то . Если , то , никогда не достигая нуля.

Ни при каком значении х функция Обобщенная степень не может принять отрицательного значения или значение, равное нулю, т. е. всегда

Если x>0, то Обобщенная степень . Если x = 0, то .
Если х<0, то . Если то .

График функции Обобщенная степень изображен на рисунке 144.

Составим таблицу значений функции Обобщенная степень

Если Обобщенная степень , никогда не достигая нуля.
Если

Ни при каком значении х функция Обобщенная степень не может принять отрицательного значения или обратиться в нуль, т. е. всегда

Если Обобщенная степень если же

График функции Обобщенная степень изображен на рисунке 145.

Выражение , где а есть данное положительное число, а х — независимая переменная, называется пока-зательной функцией (простейшей).

Показательными функциями являются и такие функции, как Обобщенная степень и т. д.

Определение:

Показательной функцией называется такая степень, основанием которой служит данное положительное число, а показателем — величина, зависящая от какого-либо аргумента, например от х.

Примечание:

Если же основание степени зависит от какого-либо аргумента, например от х, а показатель степени —данное число, то такая степень не называется показательной функцией, а называется степенной функцией.

Например, Обобщенная степень суть функции степенные, а не показательные.

Свойства показательной функции при а > 1

При всяком действительном значении х, > О,
Если х < 0, то <1.
Если х = 0, то = 1.
Если х > 0, то > 1.
Если то .
Если , то .
Если то .

Все эти свойства легко усмотреть из таблицы (А), в которой были приведены значения показательной функции Обобщенная степень .

Не останавливаясь на доказательстве всех свойств показательной функции Обобщенная степень при a> 1, мы докажем в качестве иллюстрации, например, 4-е и 7-е свойства (свойство 5-е уже доказано на стр. 419).

Теорема:

Если а > 1 и х > 0, то > 1.

Мы ограничимся доказательством этой теоремы лишь для рациональных значений х.

Доказательство:

Пусть

где р и q — натуральные числа.

Тогда

Так как Обобщенная степень т. е.

а*> 1,

что и требовалось доказать.

Теорема:

Если а>1 и то .

Доказательство:

Вынося за скобки множитель Обобщенная степень , получим, что

Так как а > 1 и Обобщенная степень , то по предыдущей теореме , а потому разность будет числом положительным. Кроме того, также есть чисто положительное. Отсюда следует, что , т. е. что Обобщенная степень , что и требовалось доказать.

График функции Обобщенная степень при а > 1 изображен на рисунке 146.

Описание графика функции при
а > 1

1.Весь график лежит в верхней полуплоскости и состоит из одной ветви, простирающейся бесконечно вверх и вправо.

2.Слева график неограниченно приближается к оси Обобщенная степень , никогда ее не достигая, а справа круто поднимается вверх.

3. При всяком значении буквы а график проходит через точку (0, 1).

4. Всякая прямая, параллельная оси OY, пересекает график, и притом только в одной точке.

5. Всякая прямая, параллельная оси Обобщенная степень , расположенная в верхней полуплоскости, пересекает график, и притом только в одной точке.

6. Из двух точек графика выше расположена та, которая лежит правее.

Свойства показательной функции при 0 < a < 1

Выражение Обобщенная степень является положительным числом при всяком действительном значении х. Если х > 0, то < 1. Если же х = 0, то
= 1.

Если х<0, то >1. Если Обобщенная степень