Оглавление:
Понятие интеграла, зависящего от параметра, и его непрерывность:
Пусть в прямоугольнике
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66291.png)
определена функция двух переменных f(x,y) (рис. 1).
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66294.png)
Предположим, что при любом фиксированном значении у ∈ [с, d] существует интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66434.png)
Ясно, что этот интеграл является функцией переменного у,
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66438.png)
Интеграл (1) называется интегралом, зависящим от параметра у.
Имеет место следующая теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра.
Теорема:
Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П, то функция I(у), определенная соотношением (1), непрерывна на отрезке [с, d].
Из формулы (1) вытекает, что приращение ∆I = I(у + ∆у) — I(у) функции I(у), соответствующее приращению аргумента ∆у, можно оценить так:
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66460.png)
По условию теоремы функция f(x, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, а значит, f(x,y) равномерно непрерывна в этом прямоугольнике. Следовательно, для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что при всех х из [а, b] и всех у и у + ∆у из [с, d] таких, что | ∆у| < δ, будет выполняться неравенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66469.png)
Отсюда и из оценки (2) получаем, что
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66485.png)
при |∆у| < δ.
Это означает, что функция I(у) непрерывна в каждой точке отрезка [c, d].
Следствие (переход к пределу под знаком интеграла). Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П, то
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66499.png)
где уо — любое фиксированное число, принадлежащее отрезку [с, d],
Так как функция I(у) непрерывна на [с, d], то имеют место равенства
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66511.png)
равносильные равенствам (3).
Пример:
Вычислить предeл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66515.png)
Функция
f(x, у) = (2x — 1) cos(xy)
непрерывна в любом прямоугольнике
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66521.png)
где с < 0 < d. Отсюда по формуле (3) получаем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66524.png)
Дифференцирование интеграла no параметру
Теорема:
Если функция f(x, у) и ее частная производная непрерывны в прямоугольнике П = {а ≤ х ≤ b, с ≤ у ≤ d}, то для любого у ∈ [с, d] справедлива формула Лейбница дифференцирования по параметру под знаком интеграла
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66538.png)
Предполагая, что у + ∆у ∈ [с, d], составим разностное отношение
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66547.png)
Переходя в этом равенстве к пределу при ∆у —> 0 и пользуясь непрерывностью частной производной и формулой (3), получим
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66556.png)
Замечание:
Пусть пределы интегрирования зависят от параметра у. Тогда
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66561.png)
где а(у) ≤ х ≤ b(у) и функции а(у) и b(у) дифференцируемы на отрезке с ≤ у ≤ d. При условии, что функции f(x, у) и f`y(x, у) непрерывны в области D = {а(у) ≤ х ≤ b(у), c ≤ y ≤ d} (рис. 2), получаем, что функция F(y) дифференцируема на [с, d], причем
(6)
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66574.png)
Формула (6) доказывается с помощью дифференцирования сложной функции.
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66598.png)
Так как F(у) = F(у, а(у), b(у)), то полная производная
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66584.png)
где
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66590.png)
Подставляя выражения для производных и в формулу (7), получим требуемую формулу (6).
Пример:
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66611.png)
где |a| < 1.
Функция
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66620.png)
а также ее производная по параметру
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66624.png)
непрерывны в прямоугольнике
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66630.png)
Поэтому применима теорема 2 о дифференцировании интеграла по параметру при |а| ≤ 1 — ε < 1. Имеем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66641.png)
Положим tg x = t, тогда
Интегрируя no t от 0 до + ∞, получим
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66656.png)
Отсюда I(a) = π arcsin a + С. Устремляя a к нулю и замечая, что I(0) = 0, имеем С = 0. Следовательно, I(a) = π arcsin а.
Пример:
Найти производную F'(y) для функции
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66669.png)
Здесь f(x,у) =, а(у) = у, b(у) = у2. Применяя формулу (6), получим:
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66688.png)
Интегрирование интеграла по параметру
Теорема:
Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П = {а ≤ x ≤ b, с ≤ у ≤ d}, то функция
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66695.png)
интегрируема на отрезке [с, d], причем справедливы равенства
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66705.png)
Другими словами, если f(x, у) непрерывна в П, то интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интеграла.
Согласно теореме 1, функция I(у) непрерывна на отрезке [с, d] и поэтому интегрируема на нем. Справедливость формулы (8) следует из равенства повторных интегралов,
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66715.png)
Пример:
Проинтегрировать по параметру у интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66719.png)
в пределах от 0 до 1.
Так как функция f(х, у) = уx непрерывна в прямоугольнике
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66726.png)
то применима теорема 3 об интегрировании интеграла по параметру. Имеем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66731.png)
Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра:
Пусть функция двух переменных f(х, у) определена в полуполосе
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66735.png)
(рис.3) и при каждом фиксированном у ∈ [с, d] существует несобственный интеграл f(x,y)dx, являющийся функцией от у.
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66753.png)
Тогда функция
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66750.png)
называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра у. Интервал (с, d) может быть и бесконечным.
Определение:
Несобственный интеграл (1) называется сходящимся в точке у ∈ [с, d], если существует конечный предел
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66757.png)
т.е. если для любого ε > 0 существует число Во такое, что для всех В ≥ Вo выполняется неравенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66770.png)
Если несобственный интеграл (1) сходится в каждой точке у отрезка [с, d], то он называется сходящимся на этом отрезке. Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся на отрезке [с, d], если сходится интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66889.png)
Равномерная сходимость несобственного интеграла. Критерий Коши
Определение:
Несобственный интеграл (1) называется равномерно сходящимся по параметру у на отрезке (с, d), если он сходится на этом отрезке и для любого ε > 0 можно указать такое А ≥ а, зависящее только от ε, что для всех В > А и для всех у из отрезка [с, d] выполняется неравенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66898.png)
Имеет место следующий критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Теорема:
Для того, чтобы несобственный интеграл (1) равномерно сходился по параметру у на отрезке [с, d], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 можно было указать число А ≥ а, зависящее только от ε и такое, что для любых В и С, больших А, и для всех у из отрезка [с, d] выполнялось неравенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66904.png)
Справедливость этого критерия вытекает непосредственно из определения равномерной сходимости.
Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Теорема:
Признак Вейерштрасса. Пусть функция f(x,y) определена в полуполосе и для каждого у ∈ [с, d] интегрируема по х на любо мот резке [а, А]. Пусть, кроме того, для всех точек полуполосы
выполняется неравенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66914.png)
Тогда из сходимости интеграла g(x) dx вытекает равномерная сходимость по у на отрезке [с, d] несобственного интеграла I(y) =
f(x, у) dx.
В силу критерия Коши сходимости интеграла от функции g(х), для любого ε > О можно указать число А ≥ а такое, что при всех С > В ≥ А выполняется неравенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66961.png)
Используя неравенство (4), отсюда получим, что
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66963.png)
для всех у из отрезка [с, d). Тем самым, критерий Коши равномерной сходимости интеграла
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66972.png)
выполнен.
Пример:
Исследовать на равномерную сходимость несобственный интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66975.png)
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66977.png)
Так как при любом s ∈ [а, β], где а и β — произвольные вещественные числа, выполняется неравенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66986.png)
и интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66988.png)
сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (5) равномерно сходится для всех s ∈ [а, β].
Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра
Свойство:
Непрерывность несобственного интеграла по параметру. Если функция f(х, у) непрерывна в области и интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66992.png)
сходится равномерно по у на отрезке [с,d], то функция I(у) непрерывна на [с, d].
Свойство:
Интегрируемость несобственного интеграла по параметру. Если функция f(x, у) непрерывна в области и интеграл (6) сходится равномерно по у на [с, d], то
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-66997.png)
Свойство:
Дифференцируемого несобственного интеграла по параметру. Пусть функция f(x,y) и ее частная производная непрерывны в области
несобственный интеграл (6) сходится, а интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67013.png)
сходится равномерно по у на [с, d]. Тогда
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67016.png)
Пример:
Вычислить интеграл, зависящий от параметра s,
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67018.png)
В примере 1 мы доказали равномерную сходимость интеграла
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67020.png)
по параметру s на любом отрезке [a, β]. Покажем, что интеграл (9) также равномерно сходится по параметру s на любом отрезке [а, β]. В самом деле,
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67021.png)
при любом s, и
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67022.png)
откуда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость интеграла (9). Обозначая подынтегральную функцию интеграла (5) через f(x, s),
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67025.png)
замечаем, что
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67030.png)
— подынтегральная функция равномерно сходящегося интеграла (9). Используя свойство дифференцируемости несобственного интеграла по параметру, получим
K(s)=I'(s).
Так как I(s) = этом легко убедиться путем интегрирования по частям), то
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67035.png)
Отсюда
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67037.png)
Пример:
Интегрируя равенство
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67040.png)
по у, у > 0, найти интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67041.png)
Покажем сначала, что несобственный интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67045.png)
зависящий от параметра у, сходится равномерно на отрезке [a, b]. Это вытекает из признака Вейер-штрасса, так как
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67048.png)
Проинтегрируем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67049.png)
по параметру у в пределах от а до b. Имеем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67054.png)
Замечание:
До сих пор мы рассматривали несобственные интегралы вида
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67056.png)
Эго несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра у. Несобственным интегралам второго рода, зависящим от параметра у, называется интеграл вида
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67057.png)
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67058.png)
Теория несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, аналогична рассмотренной нами теории для несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра.
Интегралы Эйлера. Гамма-функция и ее свойства
Гамма-функцией называется интеграл
(1)
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67059.png)
Область определения гамма-функции Г(х)
В интеграле (1) имеются особенности двух типов: ^интегрированиепо полупрямой 0 ≤ t < + ∞;
2) в точке 4 = 0 подынтегральная функция обращается в бесконечность (при х< 1).
Чтобы разделить эти особенности, представим функцию Г(х) в виде суммы двух интегралов
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67060.png)
и рассмотрим каждый из них отдельно.
Так как при t > 0, то интеграл I1(x) сходится при х > 0 (по признаку сравнения).
Интеграл I2(x) сходится при любом х. В самом деле, взяв произвольное λ > 1, получим, что при любом х
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67065.png)
При λ > 1 интеграл сходится, следовательно, интеграл
сходится при любом х.
Тем самым, сходится при х > 0, и мы доказали, что областью определения гамма-функции Г(x) является полупрямая х > 0
Покажем, что интеграл (1) сходится равномерно по х на любом отрезке [с, d], где 0 < с < d < + ∞. Пусть с ≤ х ≤ d. Тогда при 0 ≤ t ≤ 1 имеем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67075.png)
Интегралы в правых частях формул (2) и (3) сходятся, а по признаку Вейерштрасса равномерно сходятся интегралы, стоящие в левых частях неравенств (2) и (3). Следовательно, в силу равенства
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67076.png)
получаем равномерную сходимость Г(x) на любом отрезке [с, d], где 0 < с < d < + ∞. Из равномерной сходимости Г(х) вытекает непрерывность этой функции при х > 0.
Некоторые свойства гамма-функции
1, Г(х) > 0 при х > О (гамма-функция при х > 0 не имеет нулей).
2. При любом х > 0 имеет место формула приведения для гамма-функции
Г(х + 1) = хГ(x). (4)
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67083.png)
3. При x = n имеет место формула
Г(n + 1) = n! (5)
При х = 1 имеем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67087.png)
Пользуясь формулой (4), получим
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67089.png)
Применяя формулу (4) п раз, при х > 0 получаем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67090.png)
4. Кривая у = Г(х) выпукла вниз. В самом деле,
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67091.png)
Отсюда следует, что производная Г'(х) на полупрямой (0, + ∞) может иметь только один нуль. А так как Г(1) = Г(2) = 1, то по теореме Ролля этот нуль х0 производной Г'(х) существует и лежит в интервале (1,2). Поскольку Г»(х) > 0, то в точке х0 функция Г(х) имеет минимум.
Можно показать, что на (0, + ∞) функция Г(х) дифференцируема любое число раз.
5. Из формулы Г(х + 1) = хГ(х) следует, что
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67096.png)
(ибо Г(х) непрерывна и Г(х+1) → Г(1) = 1 при х → +0).
6. Формула дополнения.
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67183.png)
График гамма-функции имеет вид, изображенный на рис. 4.
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67184.png)
Бета-функция и ее свойства
Бета-функцией называется интеграл
(7)
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67185.png)
зависящий от параметров х и у.
Область определения бета-функции В (x)
Подынтегральная функция при х < 1 и у < 1 имеет две особые точки t = 0 и t = 1.
Для отыскания области определения В(х, у) представим интеграл (7) в виде суммы двух интегралов
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67189.png)
первый из которых (при х < 1) имеет особую точку t = 0, а второй (при у < 1) — особую точку t = 1. Интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67190.png)
— несобственный интеграл 2-го рода. Он сходится при условии, что 1-х < 1, т. е. при х > 0, а интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67191.png)
сходится при у > 0. Тем самым, бета-функция В(х, у) определена для всех положительных значений х и у.
Можно доказать, что интеграл (7) равномерно сходится в каждой области x≥ а > 0, у ≥ b > 0, так что бета-функция непрерывна при х > 0, у > 0.
Некоторые свойства бета-функции
1, При х > 0 и у > 0 справедлива формула
(9)
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67199.png)
2. Бета-функция является симметричной относительно х и у, т. е.
В(х, у) = В(у, х).
Это следует из формулы (9).
Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов
Рассмотрим несколько примеров.
Пример:
Вычислить интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67203.png)
Введем замену
Тогда при х1 =0 имеем t1 = + ∞, а при x2 = 1 получаем t2 = 0. Поэтому
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67218.png)
Пример 2. Вычислить интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67220.png)
Положим хm = t, тогда пределы интегрирования остаются прежними, так что заданный интеграл сводится к бета-функции:
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67232.png)
Пример:
Исходя из равенства
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67234.png)
вычислить интеграл
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67236.png)
Имеем
![Интегралы, зависящие от параметра](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-67240.png)
Здесь мы воспользовались определением бета-функции и формулами (9), (4), (5) и (10).
Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру
![Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/1-3167.png)
![Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/2-3300.png)
![Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/3-2674.png)
Смотрите также:
Соленоидальные векторные поля. | Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. |
Потенциальные векторные поля. | Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат