Математическая индукция в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Дедукцией называется переход от общего утверждения к частному. Приведем пример.

Площадь всякого треугольника равна

это утверждение общее.

От этого общего утверждения можно сделать переход к частному утверждению, например такому:

площадь равностороннего треугольника равна

т. е. равна математическая индукция , где а — длина стороны равностороннего треугольника.

Дедукция есть одна из форм умозаключения. (Дедукция происходит от латинского слова «deductio» — выведение.)

Индукцией называется переход от частного утверждения к общему. Индукция есть также одна из форм умозаключения, применяя которую от знания отдельного факта идут к обобщению, к общему положению. (Индукция происходит от латинского слова «inductio» — наведение, побуждение.)

Все формы умозаключения связаны между собой, а потому связаны между собой дедукция и индукция. Одна дедукция (или одна индукция) никогда не может обеспечить познания объективной действительности.

Легкомысленное применение индукции может привести к неправильным выводам. Приведем пример.

Рассмотрим выражение

Подставив в это выражение вместо п нуль, получим простое число 41. Подставив вместо п единицу, получим 43, т. е. опять простое число. Продолжая подставлять вместо п последовательно 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11, получим соответственно 47, 53; 61; 71; 83; 97; 113; 131 151; 173, т. е. опять же числа простые. Можем ли мы теперь быть уверенными в справедливости такого утверждения:

«Выражение математическая индукция принимает значение, равное простому числу при любом целом положительном значении буквы п»?

Быть уверенными в справедливости этого утверждения мы не можем, так как полученные выше результаты не являются достаточным основанием для такого утверждения. Они являются лишь основанием для предположения о верности этого утверждения. В действительности более полное исследование выражения математическая индукция показывает, что значение этого выражения не при всяком целом значении п является простым числом. Например, при п= 40 получается число 1681, которое уже не является простым. (Число 1681 делится на 41.)

Этот пример показывает, что утверждение может быть верным при одних значениях натурального числа п и неверным при других.

Математическая индукция есть весьма общий метод, позволяющий во многих случаях исследовать законность перехода от частного утверждения к утверждению общему.

Принцип математической индукции можно сформулировать следующим образом.

Теорема о математической индукции

Пусть S(n)—некоторое утверждение, в формулировку которого входнт натуральное число п. Пусть, во-первых, утверждение математическая индукция справедливо и пусть, во-вторых, из справедливости утверждения S(k), где k есть тоже любое натуральное число, не меньшее следует справедливость утверждения S(k + 1). Тогда утверждение S(n) справедливо при любом математическая индукция

Доказательство:

Допустим, что утверждение S(n) не справедливо при некотором математическая индукция т. е. что утверждение S(N) ложно. Тогда должно быть ложным и утверждение S(N — 1), так как в противном случае из справедливости S(N — 1) по второму условию теоремы следовала бы справедливость и утверждения S(N). Точно так же убеждаемся, что из ложности S(N— 1) следует ложность S(N — 2), а из этого ложность
S(N —3) и т. д.

Таким образом (каким бы большим ни было число N), мы рано или поздно, отнимая от этого числа по единице, дойдем до числа математическая индукция и получим, что утверждение ложно, что противоречит первому условию теоремы. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.

Приведенное доказательство теоремы о математической индукции может показаться некоторым читателям труднопонимаемым. Поэтому ниже приводится несколько упрощенная схема метода математической индукции.

Если в утверждении некоторой теоремы фигурирует целое положительное число п и если из справедливости этой теоремы для какого угодно частного значения п = k следует справедливость ее для значения k + 1, то, коль скоро это утверждение справедливо для п — 1, оно будет справедливо для любого целого положительного числа п.

Здесь дело обстоит так. Сначала мы убеждаемся в том, что теорема верна при п = 1. Затем, предполагая, что она верна для какого угодно частного значения п = k, доказываем ее справедливость для п = k + 1.

После этого рассуждаем так: поскольку теорема верна для п = 1, значит, она будет верной и для п — 1 + 1, т. е. для п = 2. Поскольку она верна для п = 2, она будет верной и для п = 2 + 1, т. е. для п = 3 и т. д.

Применение метода математической индукции

Примеры:

1. Доказать, что математическая индукция

Этой формулой утверждается следующее: для того чтобы найти сумму кубов нескольких первых натуральных чисел, надо последнее из них умножить на число, большее его на единицу, полученное произведение разделить на 2 и возвести в квадрат.

Доказательство:

1. При п = 1 утверждение справедливо,

так как математическая индукция

2. Допустим, что утверждение справедливо при п = k, т. е

Тогда

Утверждение оказалось верным и для п =k+1. Следовательно, теорема верна при всяком целом положительном значении п.

Доказать, что

Доказательство:

1. При п = 1 утверждение справедливо, так как

2. Допустим, что утверждение справедливо при п = k, т. е.

Тогда

Утверждение оказалось верным и для п = k + 1. Следовательно, формула верна при всяком целом положительном значении п.

3. Доказать, что при п > 1

Доказательство:

При п = 2 утверждение справедливо.
Действительно,

Итак, оказалось, что

Но математическая индукция а потому

Следовательно,

Пусть

Докажем, что тогда будет справедливым и неравенство:

К обеим частям неравенства (I) прибавим по математическая индукция . Тогда получим:

или

Но математическая индукция Поэтому и подавно

что и требовалось доказать,

Теперь мы видим, что утверждение (А) оказалось верным и для n=k+1. Следовательно, это утверждение справедливо при всяком целом положительном значении n, большем двух.

Существует очень много и других теорем, которые успешно доказываются с помощью метода математической индукции. Некоторые из таких теорем встретятся нам в последующих главах.

Доказательство неравенства

Иногда приходится применять метод математической индукции в несколько усложненной форме. Покажем это на примере. Пусть требуется доказать следующее неравенство:

где математическая индукция — положительные числа.

(Выражение математическая индукция называется средним геометрическим чисел , выражение — их средним арифметическим.)

Во-первых, покажем справедливость неравенства (А) при n = 2.

Очевидно,что

Отсюда

Значит, при n = 2 неравенство (А) справедливо. Теперь докажем следующую лемму.

Лемма:

Если неравенство (А) верно при п = k, то оно будет верно при n=2k.

Доказательство:

Пользуясь свойствами арифметических корней, получим:

Но

(Мы здесь воспользовались доказанным выше неравенством:

Следовательно,

Поскольку мы предположили неравенство (А) верным при n = k, постольку

Учитывая эти два последних неравенства и неравенство (В), получим:

Итак, предполагая, что неравенство (А) справедливо при п = 2k, мы доказали, что оно будет справедливым и при п = 2k. Но ранее было доказано, что неравенство (А) справедливо при п = 2. Следовательно, оно будет справедливым и при п = 4,8,16, 32,…, т. е. при математическая индукция где m — любое натуральное число.

Теперь перейдем к доказательству неравенства (А) для любого натурального числа п.

Пусть п есть любое натуральное число. Если окажется, что п есть целая степень числа 2, то для такого п, как это уже было доказано, неравенство (А) справедливо. Если же п не есть целая степень числа 2, то к n всегда можно прибавить такое число q, что п+ q станет целой степенью числа 2. Итак, положим, что

Тогда получим неравенство:

справедливое при любых положительных математическая индукция где

Это следует из того, что число п + q есть целая степень числа 2. Положим, что

Тогда получим последовательно:

или

и, наконец,

что и требовалось доказать.

Значит, неравенство (А) справедливо при всяком натуральном п.

Метод математической индукции

Метод доказательства, называемый методом математической индукции, основан на следующем принципе, который является одной из аксиом арифметики натуральных чисел.

Предложение Метод математической индукции , зависящее от натуральной переменной , считается истинным для всех , если выполнены следующие два условия:

а) предложение Метод математической индукции истинно для ;

б) из предположения, что Метод математической индукции истинно для (где — любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения, т.е. для .

Этот принцип называется принципом математической индукции.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: во-первых, проверяют истинность высказывания Метод математической индукции , и, во-вторых, предположив истинность высказывания , пытаются доказать, что истинно высказывание . Если это удается доказать (при любом натуральном Метод математической индукции ), то предложение считается истинным для всех значений .

Пример:

Методом математической индукции доказать равенство

Доказательство:

При Метод математической индукции равенство (1) является верным . Нужно доказать, что из предположения о том, что является верным равенство (1), следует справедливость равенства

полученного из (1) заменой Метод математической индукции на

Прибавляя к обеим частям (1) слагаемое Метод математической индукции , имеем

Преобразуя правую часть (3), получаем

Таким образом, равенство (2) является верным, и поэтому формула (1) доказана для любого Метод математической индукции

Дадим другое доказательство формулы (1), используя символ Метод математической индукции которым обозначается сумма т.е. Воспользуемся тождеством

Полагая в (4) Метод математической индукции и складывая получаемые равенства, находим

Левая часть (5) равна Метод математической индукции а Поэтому из (5) получаем

откуда следует равенство (1).

Пример:

Доказать, что для любых Метод математической индукции и при любом справедлива формула бинома Ньютона

где

Правую часть формулы (6) называют разложением бинома, числа Метод математической индукции — биномиальными коэффициентами, слагаемое членом разложения бинома.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. При Метод математической индукции формула (6) верна, так как ее правая часть равна левой: