Логарифм в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент, т.е. функция от двух переменных.

Общие свойства логарифмов

  • Свойство 1 Если два числа (при данной основе) имеют один и тот же логарифм, то эти числа равны.
  • Свойство 2 Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей.
  • Свойство 3 Логарифм доли положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
  • Свойство 4 Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм данного числа.

Два действия, обратные возвышению в степень

Возьмём равенство:
2³=2∙2∙2=8.

Это равенство выражает действие, называемое возвышением в степень. В этом действии даются основание степени (число 2) и показатель степени (число 3), а отыскивается самая степень (8). Посмотрим, какие действия обратны возвышению в степень. Таких действий можно указать следующие два:

1. Пусть требуется узнать, какое число надо возвысить в степень с показателем 3, чтобы получить число 12. Обозначив искомое число буквой х, мы можем написать уравнение x³=12. Действие, посредством которого находится основание х по данной степени и данному показателю её, называется извлечением корня; оно обозначается, как мы знаем, так:
Логарифмы

2. Положим, надо узнать, какой показатель должен быть у степени, в которую надо возвысить основание 4, чтобы получить 16. Обозначив искомый показатель буквой х, мы можем написать уравнение: Логарифмы=16. Действие, посредством которого находится показатель степени по данной степени и данному основанию, называется нахождением логарифма данного числа (16) по данному основанию (4). В нашем примере х=2, так как 4²=16.

Итак, возвышение в степень имеет два обратных действия. Поставим вопрос: различны ли эти действия? Ведь и для умножения можно рассмотреть два обратных действия: первое—нахождение множимого по данным произведению и множителю, второе—нахождение множителя по данным произведению и множимому. Однако действия эти рассматриваются не как различные, а как одно и то же действие, называемое делением. Причина слияния этих двух обратных действий в одно заключается в переместительном свойстве умножения, по которому произведение не меняется от перемены мест множимого и множителя. В таком же положении находится и сложение (двух слагаемых); этому действию так же можно указать два обратных действия—нахождение неизвестного числа (первого слагаемого), к которому надо прибавить данное число (второе слагаемое), чтобы получить данную сумму; другое—нахождение неизвестного числа (второго слагаемого), которое надо прибавить к данному числу (к первому слагаемому), чтобы получить данную сумму. Однако эти два действия рассматриваются как одно, называемое вычитанием, вследствие того, что сложение обладает переместительным свойством, по которому сумма не зависит от порядка слагаемых. Если бы это свойство принадлежало также и возвышению в степень, то тогда и два указанных выше обратных действия составляли бы, в сущности, одно. Но возвышение в степень не обладает свойством переместительности, например 2³ не равно 3², 10² не равно 2¹ и т. д. Вследствие этого нахождение основания по данным показателю и степени (извлечение корня) существенно отличается от нахождения показателя по данным основанию и степени (нахождение логарифма).

Определение:

Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвысить это основание, чтобы получить данное число.
Если, например, основание будет 4, то:
Логарифмы

Если возьмём за основание 10, то
Логарифмы

Вместо того чтобы писать: „логарифм числа 16 по основанию 4″, пишут сокращённо так: Iog₄ 16, помещая внизу знака log то число, которое служит основанием. Впрочем, если заранее известно, какое число взято за основание, то его принято не писать. Вместо знака log (сокращения слова „логарифм») пишут lg, если основанием служит число 10.

Прежде чем говорить о применениях логарифмов, мы предварительно рассмотрим некоторые свойства так называемой логарифмической функции.

Логарифмическая функция и её график

Если в равенстве y=Логарифмымы рассматриваем показатель х как независимое переменное, то тогда у будет функцией от х, которую мы назвали раньше показательной. Но если в этом равенстве за независимое переменное мы будем считать у, то тогда х будет некоторая функция от у, а именно: х есть логарифм числа у по основанию а, что можно записать так:
Логарифмы

Обозначая по принятому независимое переменное буквой х, а функцию от этого переменного буквой у (т. е. заменяя х на у, и наоборот), мы ту же самую функцию можем выразить так:
Логарифмы

Такая функция называется логарифмической (она обратна показательной функции).

Построим графики следующих трёх логарифмических функций:
Логарифмы Логарифмы Логарифмы

Для этого составим таблицы значений этих функций. Всего проще их можно составить из таблиц соответственных показательных функций:
Логарифмы
поменяв в этих таблицах значения абсциссы х на значения ординаты у, и наоборот. Сделав это, мы получим такие три таблицы:

Логарифмы

x=ЛогарифмыЛогарифмыЛогарифмы1248
y=-3-2-10123

Логарифмы

x=8421ЛогарифмыЛогарифмыЛогарифмы
y=-3-2-10123

Логарифмы

x= 0,10,170,320,5611,783,165,6210
y= -1ЛогарифмыЛогарифмыЛогарифмы0ЛогарифмыЛогарифмыЛогарифмы1

Нанеся все эти значения на чертёж и соединив точки кривыми линиями, получим (черт. 30) три графика взятых функций.

Имея график логарифмической функции, мы можем при помощи его найти приближённое значение логарифма данного числа. Возьмём, например, график функции Логарифмы и найдём при его помощиЛогарифмы. Для этого возьмём на чертеже абсциссу, равную 6, и построим соответствующую ей ординату. Измерив эту ординату, найдём приблизительно 2,6; это и будет Логарифмы.

Основные свойства логарифмов

Возьмём логарифмическую функцию
Логарифмы

Согласно определению, имеем:
Логарифмы

Выведем некоторые свойства логарифмов.

1. При положительном основании отрицательные числа не имеют логарифмов.

При рассмотрении показательной функции мы видели, что при α>0 функция Логарифмы>0 при всяком у. Это значит, что каковы бы ни были (положительное) основание а и показатель (логарифм) у, функция Логарифмы, т. е. х, всегда является положительным числом.

Логарифмы
Черт. 30.

2. При всяком основании (не равном единице) логарифм единицы есть нуль.

Действительно, мы знаем, что при всяком а (не равном нулю)
a⁰=l.

3. При основании, большем единицы, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны.

Относительно показательной функции Логарифмы мы знаем, что при α > 1, если у > 0, то Логарифмы=x > 1, и если у < 0, то Логарифмы= x<1.

Но, согласно определению, у есть логарифм числа х. Значит, когда число х > 1, то логарифм его y > 0, т. е. положителен. Когда же число х< 1, то логарифм его y < 0, т. е. отрицателен.

Если a < 1, то у < 0 для значений х > 1, и у > 0, если х < 1.

4. Логарифм самого основания равен единице.

В самом деле:
а¹=а, отсюда: logₐa = l.

5. При основании, большем единицы, большему числу соответствует больший логарифм.

Мы видели, что при a> 1 функция Логарифмы возрастает вместе с возрастанием у. Если обозначим два различных значения у через y₁, у₂, соответствующие значения Логарифмы через x₁, х₂, то будем иметь:
Логарифмы >, если y₂>y₁,
или
x₂> x₁, если y₂> y₁.

Но y₁ и y₂ являются соответственно логарифмами чисел x₁ и х₂.

Значит:
x₂> x₁ , если logx₂ > logx₁.

Все указанные свойства логарифмов можно иллюстрировать, рассматривая график логарифмической функции. Так, первое свойство означает, что график функции у=logx лежит весь вправо от оси у-ов. Второе свойство говорит о том, что график функции y= logx проходит через точку (1,0). Третье свойство означает, что если a > 1, то при x > 1 ординаты кривой положительны, а при x < 4 -отрицательны и т. д.

Практическое значение логарифмических таблиц

Различные числа можно выражать как степени одного и того же числа, например, как степени числа 10. Такие числа, как 10; 100; 1000;… или 0,1; 0,01; 0,001 и т. п., выражаются как степени 10 очень просто: 10=10¹; 100 = 10²; 1000= 10³;. ..; 0,1 =10⁻¹; 0,01 = 10⁻² ; 0,001 = 10⁻³ и т. п. Другие числа выразить степенью числа 10 труднее. Так, если требуется найти показатель степени, в которую нужно возвысить 10, чтобы получить число 5, то мы можем только сказать, что искомый показатель больше 0, но меньше 1, так как 10⁰=1, что меньше 5, а 10¹=10, что больше 5; значит, показателем степени, в которую надо возвысить 10 для получения 5, должно быть некоторое положительное число, меньшее 1. Мы можем даже сказать, что это число больше Логарифмы , но меньше Логарифмы , так как Логарифмы, что меньше 5, а ЛогарифмыЛогарифмы, что больше 5. Есть отделы математики, в которых указываются способы, как можно для всякого данного числа N найти такой показатель х, при котором степень 10 или в точности равняется N, или отличается от этого числа как угодно мало. Пользуясь этими способами, составлены так называемые логарифмические таблицы, в которых помещены различные числа и около каждого из этих чисел указан показатель степени (логарифм), в которую надо возвысить 10, чтобы получить это число. Разъясним, для какой цели могут служить такие таблицы.

Пусть требуется вычислить число х по формуле: Логарифмы

Извлекать корень пятой степени мы не умеем. В подобных случаях могут помочь логарифмические таблицы. Находим в этих таблицах число 40 и около него соответствующий логарифм. Пусть это будет 1,6… Это значит, что
Логарифмы
и, следовательно,
Логарифмы

Так как при извлечении корня из степени показатель подкоренного числа (какой бы он ни был) делится на показатель корня, то
Логарифмы

Теперь в тех же таблицах, в столбце логарифмов, находим 0,32 и около него соответствующее число; пусть это будет, положим, 2,09… Это и будет приближённое значение Логарифмы.

Мы вскоре увидим, что логарифмические таблицы во многих случаях позволяют производить такие действия над числами, которые без таблиц были крайне затруднительны (как в примере, только что указанном) или на выполнение которых потребовалось бы очень много времени.

Теперь нам предстоит ознакомиться, во-первых, с тем, как при совершении какого-либо действия над данными числами можно найти логарифм искомого числа при помощи логарифмов данных чисел (взятых из таблиц) и, во-вторых, как, найдя такой логарифм, отыскать по нему в таблицах искомое число.

Логарифм произведения, частного, степени и корня

а) Пусть требуется произвести умножение:
378 ‧ 45,2.

Попробуем выполнить это действие посредством логарифмов. Найдём в таблицах логарифмы чисел 378 и 45,2. Пусть они будут: 2,5775 и 1,6551 (по основанию 10). Это значит, что
Логарифмы
и, следовательно,
Логарифмы

Так как при умножении степеней одного и того же числа показатели этих степеней складываются (какие бы ни были эти показатели), то:
Логарифмы

Значит, логарифм произведения 378 ‧ 45,2 есть число 4,2326, получившееся от сложения логарифмов данных сомножителей (по этому логарифму в таблицах найдём и само произведение).

Положим вообще, что N₁ и N₂ будут два числа, произведение которых требуется вычислить. Пусть мы нашли в таблицах логарифмы этих чисел: x₁ и х₂ . Основанием логарифмов может быть число 10, но может быть и какое-нибудь другое положительное число, которое мы обозначим через а. Тогда мы будем иметь равенства:
Логарифмы, следовательно, Логарифмы.

Отсюда видно, что log( NN₂)= x₁+ х₂. Но x₁ — это logN₁, а x₂ — это logN₂; значит:
log( NN₂)= logN₁ + logN

Логарифм произведения (по какому угодно основанию) равен сумме логарифмов сомножителей (взятых по тому же основанию).

Заключение это остаётся верным и тогда, когда сомножителей будет более двух, так как при умножении степеней одного и того же числа показатели степеней складываются и при любом числе сомножителей.

б) Положим, надо произвести деление:
5637 : 26,3.

Найдём в таблицах логарифмы этих чисел (например, по основанию 10). Пусть log5637 = 3,751 и log 26,3=1,42. Тогда:
Логарифмы и Логарифмы
Следовательно,
Логарифмы

Отсюда видно, что логарифм частного 5637 : 26,3 есть число 2,331, получившееся от вычитания логарифма делителя из логарифма делимого. Вообще, если
Логарифмы
Следовательно,
Логарифмы

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Так как всякая дробь есть частное от деления числителя на знаменатель, то:

Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
Например:
Логарифмы
Логарифмы

в) Если Логарифмы, тo Логарифмы
следовательно,
Логарифмы

Логарифм степени равен показателю этой степени, умноженному на логарифм числа, возвышаемого в степень.

Например, log(15,3)²=2 log 15,3; log3⁻²=-2 log 3.

Так как Логарифмы, то, применяя правило о логарифме степени, получим:
Логарифмы

Логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на показатель корня.

Логарифмирование алгебраического выражения

Логарифмировать алгебраическое выражение—значит выразить логарифм его посредством логарифмов отдельных чисел, составляющих это выражение. Выводы позволяют это сделать в применении к произведению, частному, степени и дроби. Например:
Логарифмы
Логарифмы
Логарифмы
Логарифмы
Логарифмы

Замечания:

а) Если в выражении, которое требуется вычислить, встречается сумма или разность чисел, то их надо находить без помощи таблиц, обыкновенным сложением или вычитанием. Например:
log (35+7,24)⁵=5 log (35+7,24) = 5 log 42,24.

б) Умея логарифмировать выражения, мы можем, обратно, по данному результату логарифмирования найти то выражение, от которого получился этот результат; так, если
log х = log α+ log b — 3 log с,
то легко сообразить, что
Логарифмы
Эту операцию называют потенцированием.

в) Прежде чем перейти к рассмотрению устройства логарифмических таблиц, мы укажем некоторые свойства десятичных логарифмов, т. е. таких, в которых за основание принято число 10.

Свойства десятичных логарифмов

Свойства десятичных логарифмов: а) Так как 10¹=10; 10² = 100; 10³=1000; 10⁴ = 10000 и т. д., то Ig10=1; Ig 100=2; Ig 1000 =3; Ig10000= 4 и т. д.

Логарифм целого числа, изображаемого единицей с последующими нулями, есть целое положительное число, содержащее столько единиц, сколько нулей в изображении числа.

Таким образом, Ig 100000=5, Ig1 000000=6 и т. д.
б) Так как
Логарифмы
Логарифмы
Логарифмы

Логарифм десятичной дроби, изображаемой единицей с предшествующими нулями, есть целое отрицательное число, содержащее столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении дроби, считая в том числе и 0 целых.

Таким образом, lg 0,00001 =-5, lg 0,000001 = -6 и т. д.
в) Возьмём целое число, не изображаемое единицей с нулями, например 35, или целое число с дробью, например 10,7. Логарифм такого числа не может быть целым числом, так как, возвысив 10 в степень с целым показателем (положительным или отрицательным), мы получим единицу с нулями (следующими за единицей или ей предшествующими). Предположим теперь, что логарифм такого числа есть какая-нибудь дробь Логарифмы. Тогда мы имели бы равенства:

для числа 35: Логарифмы
для числа 10,7: Логарифмы

Но эти равенства невозможны, так как Логарифмы есть единица с нулями, тогда как степени Логарифмы и Логарифмы ни при каком показателе b не могут дать единицы с нулями. Логарифм числа, не являющегося степенью десяти, есть число иррациональное, он (т. е. логарифм) не может быть выражен точно каким бы то ни было рациональным числом. Обыкновенно иррациональные логарифмы выражают приближённо в виде десятичной дроби с несколькими десятичными знаками. Целая часть этой дроби называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой логарифма. Если, например, логарифм есть 1,5441, то характеристика его равна 1, а мантисса есть 0,5441.

г) Возьмём какое-нибудь целое или смешанное число, например 623 или 623,57. Логарифм такого числа состоит из характеристики и мантиссы. Оказывается, что десятичные логарифмы обладают тем удобством, что характеристику их мы всегда можем найти по одному виду данного числа. Для этого сосчитаем, сколько цифр в данном целом числе или в целой части смешанного числа. В наших примерах этих цифр три. Поэтому каждое из чисел 623 и 623,57 больше 100, но меньше 1000; значит, и логарифм каждого из них больше Ig100, т. е. двух, но меньше Ig1000, т. е. трёх (вспомним, что большее число имеет и больший логарифм). Следовательно, lg623=2, …и lg623,57=2, … (точки заменяют собой неизвестные мантиссы).
Подобно этому найдём:
Логарифмы
Следовательно:
Логарифмы

Пусть вообще в данном целом числе N или в его целой части содержится m цифр. Так как самое малое целое число, содержащее m цифр, есть 1 с m — 1 нулями, то можем написать неравенство:
Логарифмы
и, следовательно,
Логарифмы
а потому
Логарифмы

Значит, характеристика IgN равна m — 1.
Мы видим, таким образом, что:

Характеристика логарифма целого или смешанного числа содержит столько положительных единиц, сколько цифр в целой части числа без одной.

Заметив это, мы можем прямо писать: lg7,205 = 0, Ig83=1, lg720,4=2, … и т. п.

д) Возьмём несколько десятичных дробей, меньших 1 (т. е. имеющих 0 целых): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 и т. п.

Очевидно, что
0,1 <0,35 <1;
0,01 <0,07 <0,1;
0,001 <0,0056 <0,01;
0,0001 <0,0008 <0,001.
Следовательно:
— 1< lg 0,35 < 0;
— 2 < lg 0,07 <—1;
— 3 < lg 0,0056 < — 2;
— 4 < lg 0,0008 <— 3.

Таким образом, каждый из этих логарифмов заключён между двумя целыми отрицательными числами, различающимися на одну единицу, поэтому каждый из них равен меньшему из этих отрицательных чисел, увеличенному на некоторое положительное число, меньшее единицы. Например, lg 0,0056=-3+0, …. Предположим, что второе слагаемое будет 0,7482. Тогда
lg 0,0056= — 3+0,7482= -2,2518.

Такие суммы, как — 3+0,7482, состоящие из целого отрицательного числа и положительной десятичной дроби, условились при логарифмических вычислениях писать сокращённо так: 3,7482, т. е. ставить знак минус над характеристикой с целью показать, что он относится только к характеристике, а не к мантиссе, которая остаётся положительной. Таким образом, из приведённой выше таблички видно, что
Логарифмы

Пусть вообще Логарифмы есть десятичная дробь, у которой перед первой значащей цифрой а стоит m нулей, считая в том числе и 0 целых. Тогда очевидно, что
Логарифмы
Следовательно:
Логарифмы
т. е.
m < Ig А < — (m— 1).

Так как из двух чисел: — m и —( m — 1) меньшее есть — m , то
lg А= —m + 0, …
и поэтому характеристика lg А равна — m (при положительной мантиссе).

Характеристика логарифма десятичной дроби, меньшей 1, содержит в себе столько отрицательных единиц сколько нулей в данной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая и 0 целых; мантисса же такого логарифма положительна.

е) Умножим какое-нибудь число N (целое или дробное—всё равно) на 10, на 100, на 1000,…, вообще на единицу с нулями. Посмотрим, как от этого изменится lg N. Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, то:

lg(N‧10) = lgN+ lg10=lgN +1;
lg (N‧100) = lgN+ lgl100= lgN +2;
lg (N‧1000) = lgN+Ig1000= lgN +3 и т. д.

Когда к lgN мы прибавляем какое-нибудь целое число, то это число увеличивает лишь характеристику, а не мантиссу. Так, если lgN = =2,7804, то 2,7804+2=3,7804; 2,7804+2=4,7804 и т. п.; или если lgN =3,5649, то 3,5649 + 1=2,5649; 3,5649+2=1,5649 и т. п. Поэтому:

От умножения числа на 10, 100, 1000, …, вообще на единицу с нулями, мантисса логарифма не изменяется, а характеристика увеличивается на столько единиц, сколько нулей во множителе.

Подобно этому, приняв во внимание, что логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя, мы получим:
Логарифмы
Логарифмы
Логарифмы

Если условимся при вычитании целого числа из логарифма вычитать это целое число всегда из характеристики, а мантиссу оставлять без изменения, то можно сказать, что

от деления числа на единицу с нулями мантисса логарифма не изменяется, а характеристика уменьшается на столько единиц, сколько нулей в делителе.

Следствия, а) Мантисса логарифма десятичного числа не изменяется от перенесения в числе запятой, потому что перенесение запятой равносильно умножению или делению числа на 10, 100, 1000 и т. д. Таким образом, логарифмы чисел: 0,00423; 0,0423; 4,23; 423 отличаются только характеристиками, но не мантиссами (при условии, что все мантиссы положительны).

б) Мантиссы логарифмов чисел, имеющих одну и ту же значащую часть, одинаковы; так, логарифмы чисел: 23; 230; 2300; 23000 отличаются только характеристиками.

Замечание. Из указанных свойств десятичных логарифмов видно, что характеристику логарифма любого данного числа мы можем находить без помощи таблиц (в этом заключается большое удобство десятичных логарифмов); вследствие этого в логарифмических таблицах помещаются только одни мантиссы; кроме того, так как нахождение логарифмов дробей сводится к нахождению логарифмов целых чисел (логарифм дроби равняется логарифму числителя без логарифма знаменателя), то в таблицах помещаются мантиссы логарифмов только целых чисел.

Устройство и употребление таблиц

До появления компьютеров и калькуляторов люди считали логарифмы с помощью логарифмических таблиц. Эти таблицы по-прежнему могут использовать для быстрого вычисления логарифмов или умножения больших чисел.

Система логарифмов

Системой логарифмов называется совокупность логарифмов, вычисленных для ряда последовательных целых чисел по одному и тому же основанию. Употребительны две системы: система обыкновенных, или десятичных, логарифмов, в которых за основание взято число 10, и система так называемых натуральных логарифмов, в которых за основание (по причинам, которые уясняются в высшей математике) взято иррациональное число 2,7182818. . . Для вычислений употребляются десятичные логарифмы вследствие тех удобств.

Натуральные логарифмы называются также неперовыми, по имени изобретателя логарифмов шотландского математика Непера (1550— 1617), а десятичные логарифмы — бригговыми, по имени профессора Бригга (современника и друга Непера), впервые составившего таблицы этих логарифмов.

Преобразование отрицательного логарифма

Мы видели, что логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны. Значит, они могут быть представлены при помощи отрицательных десятичных дробей. Такие логарифмы всегда можно преобразовать так, что у них мантисса будет положительная, а характеристика останется отрицательной. Для этого достаточно прибавить к мантиссе положительную единицу, а к характеристике — отрицательную (отчего, конечно, величина логарифма не изменится). Если, например, мы имеем логарифм— 2,0873, то можно его преобразовать так:
-2,0873=- 2-1+1-0,0873= -(2 + 1) + (1 -0,0873) = -3+0,9127,
или сокращённо:
Логарифмы

Обратно, всякий логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно представить при помощи отрицательной десятичной дроби. Для этого достаточно к положительной мантиссе прибавить отрицательную единицу, а к отрицательной характеристике— положительную1); так, можно написать:
Логарифмы

Описание четырёхзначных таблиц и пользование ими

Для решения большинства практических задач вполне достаточны четырёхзначные таблицы, обращение с которыми весьма просто. Небольшая часть их (для объяснения расположения) напечатана на следующей странице. В них содержатся мантиссы логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 включительно, вычисленные с четырьмя десятичными знаками, причём последний из этих знаков увеличен на 1 во всех тех случаях, когда 5-й десятичный знак должен был бы оказаться 5 или более 5; следовательно, четырёхзначные таблицы дают приближённые мантиссы с точностью до Логарифмыдесятитысячной доли (с недостатком или с избытком).

и

N0123456789123456789
506990699870077016702470337033705070597067123345678
517076708470937101711071187126713571437152123345678
527160716871777185719372027210721872267235122345677
537243725172597267727572847292730073087316122345677
547324733273407348735673647372738073887396122345667
55

Так как характеристику логарифма целого числа или десятичной дроби мы можем на основании свойств десятичных логарифмов проставить непосредственно, то в таблицах помещены только мантиссы; при этом надо помнить, что положение запятой в десятичном числе, а также число нулей, стоящих в конце числа, не имеет влияния на величину мантиссы. Поэтому при нахождении мантиссы по данному числу мы отбрасываем в этом числе запятую, а также и нули на конце его, если таковые есть, и находим мантиссу логарифма целого числа, образовавшегося после этого. При этом могут представиться следующие случаи:

1) Целое число состоит из трёх цифр. Например, пусть надо найти мантиссу логарифма числа 536. Первые две цифры этого числа, т. е. 53, находим в таблицах в первом слева вертикальном столбце (см. таблицу, напечатанную на этой странице). Найдя число 53, продвигаемся от него по горизонтальной строке вправо до пересечения этой строки с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр О, 1, 2, 3,…, 9, поставленных наверху (и внизу) таблицы, которая представляет собой третью цифру данного числа, т. е. в нашем примере цифру 6. В пересечении получим мантиссу 7292 (т. е. 0,7292), принадлежащую логарифму числа 536. Подобно этому, для логарифма числа 508 найдём мантиссу 0,7059, для логарифма числа 500 найдём 0,6990 и т. п.

2) Целое число состоит из двух или из одной цифры. Тогда мысленно приписываем к этому числу один или два нуля и находим мантиссу для логарифма образовавшегося таким образом трёхзначного числа. Например, к числу 51 приписываем один нуль, отчего получаем 510, и находим мантиссу 7076; к числу 5 приписываем два нуля и находим мантиссу 6990 и т. д.

3) Целое число выражается четырьмя цифрами. Например, надо найти мантиссу lg 5436. Тогда сначала находим в таблицах, как было сейчас указано, мантиссу для логарифма числа, изображённого первыми тремя цифрами данного числа, т. е. для 543 (эта мантисса будет 0,7348); затем продвигаемся от найденной мантиссы по горизонтальной строке направо (в правую часть таблицы, расположенную за жирной вертикальной чертой) до пересечения с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр; 1, 2, 3,…, 9, стоящих наверху (и внизу) этой части таблицы, которая представляет собой четвёртую цифру данного числа, т. е. в нашем примере цифру 6. В пересечении находим поправку (число 5), которую надо приложить в уме к мантиссе 7348, чтобы получить мантиссу логарифма числа 5436; мы получим, таким образом, мантиссу 0,7353.

4) Целое число выражается пятью или более цифрами. Тогда отбрасываем все цифры, кроме первых четырёх, и берём приближённое значение в виде четырёхзначного числа, причём последнюю цифру этого числа увеличиваем на 1 в том случае, когда отбрасываемая пятая цифра числа есть 5 или больше 5. Так, вместо 57842 мы берём 5784, вместо 30257 берём 3026, вместо 583263 берём 5833 и т. п. Для логарифма этого округлённого четырёхзначного числа находим мантиссу так, как было сейчас объяснено.

Руководствуясь этими указаниями, найдём для примера логарифмы следующих чисел:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,86.

Прежде всего, не обращаясь пока к таблицам, проставим одни характеристики, оставляя место для мантисс, которые выпишем после:
lg 36,5=1, … ; lg 0,00345=3, .. . ;
lg 804,7=2, … ; lg 7,2634 =0, . . . ;
lg 0,26=1, … ; lg 3456,86=3, … .

Далее по таблицам выставляем прямо мантиссы:

lg 36,5=1,5623; lg 0,00345=3,5378;
lg 804,7 = 2,9056; lg 7,2634 = 0,8611;
lg 0,26=1,4150; lg 3456,86=3,5387.

Интерполирование

В некоторых четырёхзначных таблицах поправки на четвёртую цифру данного числа не помещены. Имея дело с такими таблицами, приходится поправки эти находить при помощи простого вычисления, которые можно выполнять на основании следующего положения: если числа превосходят 100, а разности между ними меньше 1, то без чувствительной погрешности можно принять, что

разности между логарифмами пропорциональны разности между соответствующими числами.

Рассматривая график логарифмической функции y=logt0x, мы
замечаем, что даже для чисел небольших (например, для чисел от 3 до 10) график очень мало отличается от прямой линии. Если бы этот график продолжить направо для чисел от 10 до 100 (т. е. на 90 единиц длины вдоль оси х-ов), то ординаты возросли бы только от 1 до 2, так как lg 10=1 a lg 100=2; при дальнейшем его продолжении для чисел от 100 до 1000 (т. е. на 900 единиц длины) ординаты увеличились бы снова только на 1 единицу. Значит, для чисел, больших 100, без чувствительной ошибки можно принять, что график функции y= Iog10X совпадает с прямой. Но допустить это — значит
принять, что для таких чисел приращения ординат пропорциональны приращениям абсцисс, т. е., другими словами, что разности между логарифмами пропорциональны разности между числами.

Пусть, например, надо найти мантиссу логарифма числа 5367. Мантисса эта, конечно, та же самая, что и для логарифма числа 536,7. Находим в таблицах для логарифма числа 536 мантиссу 7292. Сравнивая эту мантиссу с соседней вправо мантиссой 7300, соответствующей числу 537, мы замечаем, что если число 536 увеличится на 1, то мантисса увеличится на 8 десятитысячных (8 есть так называемая табличная разность между двумя соседними мантиссами); если же число 536 увеличится на 0,7, то мантисса увеличится не на 8 десятитысячных, а на некоторое меньшее число: х десятитысячных, которое согласно допущенной пропорциональности должно удовлетворять пропорции х :8=0,7:1, откуда x=8∙0,7=5,6, что по округлении составляет 6 десятитысячных. Значит, мантисса для логарифма числа 536,7 (и, следовательно, для числа 5367) будет: 7292+6=7298, т. е. 0,7298.

Заметим, что нахождение по двум рядом стоящим в таблицах числам промежуточного числа называется интерполированием. Интерполирование, описанное здесь, называется пропорциональным, так как оно основано на допущении, что изменение логарифма пропорционально изменению числа. Оно называется также линейным, так как предполагает, что графически изменение логарифмической функции изображается прямой линией.

Таблицы антилогарифмов

Для нахождения числа по данному логарифму могут служить те же таблицы, по которым отыскиваются мантиссы логарифмов данных чисел, но удобнее пользоваться другими таблицами, в которых помещены так называемые антилогарифмы, т. е. числа, соответствующие данным мантиссам. Небольшая часть их помещена на странице 121 (для объяснения).

Пусть дана четырёхзначная мантисса 2863 (на характеристику не обращаем внимания) и требуется найти соответствующее целое число. Тогда, имея таблицы антилогарифмов, надо пользоваться ими совершенно так же, как было раньше объяснено для нахождения мантисс по данному числу, а именно: первые две цифры мантиссы мы находим в первом слева столбце (точка, стоящая перед цифрами, заменяет собой запятую, отделяющую целое число логарифма от мантиссы). Затем подвигаемся от этих цифр по горизонтальной строке вправо до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от третьей цифры мантиссы, которую надо искать в верхней строке (или в нижней). В пересечении находим четырёхзначное число 1932, соответствующее мантиссе 286. Затем от этого числа продвигаемся дальше по горизонтальной строке направо, до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от четвёртой цифры мантиссы. Эту цифру надо найти наверху (или внизу) среди поставленных там цифр 1, 2, 3, … , 9. В пересечении мы находим поправку 1, которую надо приложить (в уме) к найденному раньше числу 1932, чтобы получить число, соответствующее мантиссе 2863.

Антилогарифмы

m0123456789123456789
.251778178217861791179517991803180718111116011222334
.261820182418281832183718411845184918541854011223334
.271862186618711875187918841888189218971901011223334
.281905191019141919192319281932193619411945011223344
.291950195419591963196819721977198219861991011223344
.30

Таким образом, число это будет 1933. После этого, обращая внимание на характеристику, надо в числе 1933 поставить запятую на надлежащем месте.

Приведем несколько примеров:
Если lg x=3,2863, то x= 1933;
„ lg x =1,2863, „ x = 19,33;
„ lg x =0,2863, „ x = 1,933;
„ lg x =2,2863, „ x =0,0193;
„ lg x =O,2287, „ x =1,693;
„ lg x = 1,7635, „ x =0,5801;
„ lg x =3,5029, „ x =3184;
„ lg x =2,0436, „ x =0,01106 и т. п.

Если в мантиссе указано 5 или более цифр, то берём только первые 4 цифры, отбрасывая остальные (и увеличивая четвёртую цифру на 1, если пятая цифра есть 5 или более). Например, вместо мантиссы 35478 берём 3548, вместо 47562 берём 4756.

Замечание об интерполировании: Поправку на четвёртую и следующие цифры мантиссы можно находить и посредством интерполирования. Так, если мантисса будет 84357, то, найдя число 6966, соответствующее мантиссе 843, мы можем рассуждать далее так: если мантисса увеличится (на 1 тысячную), т. е. сделается 844, то число, как видно из таблиц, увеличится на 16 единиц; если же мантисса увеличится не на 1 (тысячную), а на 0,57 (тысячных), то число увеличится на x единиц, причём х должно удовлетворять пропорции:
х : 16=0,57 : 1, откуда x = 16∙0,57=9,12.

Значит, искомое число будет 6966+9,12= 6975,12, или (ограничиваясь только четырьмя цифрами) 6975.

Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками

Сложение и вычитание логарифмов не представляют никаких затруднений, как это видно из следующих примеров:
Логарифмы Логарифмы Логарифмы Логарифмы

Не представляет никаких затруднений также и умножение логарифма на положительное число, например:
Логарифмы Логарифмы

В последнем примере отдельно умножена положительная мантисса на 34, затем отрицательная характеристика на 34.

Если логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой умножается на отрицательное число, то поступают двояко: или предварительно данный логарифм обращают в отрицательный, или же умножают отдельно мантиссу и характеристику и результаты соединяют вместе, например:
3,5632 • (-4) = -2,4368 • (-4) = 9,7472;
3,5632 • (-4) = +12-2,2528=9,7472.

При делении могут представиться два случая: во-первых, отрицательная характеристика делится на делитель; во-вторых, отрицательная характеристика не делится на делитель. В первом случае отдельно делят характеристику и мантиссу:
10,3784 : 5 = 2,0757.

Во втором случае прибавляют к характеристике столько отрицательных единиц, чтобы образовавшееся число делилось на делитель, к мантиссе прибавляют столько же положительных единиц:
3,7608 :8 = (-8+5,7608) : 8=1,7201.

Это преобразование надо совершать в уме, так что действие располагается так:
3,7608: 8 = 1,7201, или Логарифмы

Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми

При вычислении какого-нибудь сложного выражения с помощью логарифмов приходится некоторые логарифмы складывать, другие вычитать; в таком случае при обыкновенном способе совершения действий находят отдельно суммы слагаемых логарифмов, потом сумму вычитаемых и из первой суммы вычитают вторую. Например, если имеем:
lgx = 2,7305 — 2,0740+3,5464 — 8,3589,

то обыкновенно выполнение действий расположится так:
Логарифмы Логарифмы Логарифмы

Есть, однако, возможность заменить вычитание сложением. Так:
Логарифмы
Логарифмы

Теперь можно расположить вычисление так:
Логарифмы

Примеры вычислений с помощью логарифмов

Пример:

Вычислить выражение:
Логарифмы
если А=0,8216, В=0,04826, С=0,005127 и D=7,246.

Логарифмируем данное выражение:
Логарифмы

Теперь для избежания излишней потери времени и для уменьшения возможности ошибок прежде всего расположим все вычисления, не исполняя пока их и не обращаясь, следовательно, к таблицам:
Логарифмы


После этого берём таблицы и проставляем логарифмы на оставленных свободных местах:
Логарифмы

Пример:

Вычислить: Логарифмы.
Так как отрицательные числа не имеют логарифмов, то предварительно находим Логарифмы

После вычисления окажется: x’=28,99, следовательно, x =-28,99.

Пример:

Вычислить: Логарифмы

Сплошного логарифмирования здесь применить нельзя, так как под знаком корня стоит сумма. В подобных случаях вычисляют формулу по частям. Сначала находим Логарифмы, потом Логарифмы; далее простым сложением определяем N + N₁ и, наконец, вычисляем Логарифмы; окажется:
N =1,516; N₁ = 1,316; N + N₁ = 2,832;
Логарифмы

Употребление пятизначных таблиц

Для более точных вычислений употребляются пятизначные таблицы логарифмов. В этих таблицах логарифмы чисел вычислены с точностью до 0,00001 (вернее, с точностью до 0,000005). Наиболее употребительными являются таблицы, составленные Е. Пржевальским. Дадим краткие указания к пользованию ими.

1. Первая страница таблиц содержит мантиссы логарифмов чисел до 100. Но этой страницей можно не пользоваться, а искать мантиссу среди мантисс логарифмов трёхзначных чисел. Так, чтобы найти мантиссу логарифмов чисел 67; 6,7; 0,0067 и т. д., пишут соответствующую характеристику и ищут мантиссу логарифма числа 670.

2. Пусть число имеет три значащие цифры. (Напомним, что нуль, стоящий между значащими цифрами, принимается тоже за значащую цифру.) Ищут это число на соответствующей странице в левом крайнем столбце (он обозначен буквой N). В столбце, стоящем рядом, под значком 0 находят соответствующую мантиссу.

3. Пусть число имеет четыре значащие цифры. Ищут в столбце N число, составленное первыми тремя цифрами данного.

Пример:

Найти lg 84,37. Характеристика равна 1.
Ищем в столбце N число 843. Идём от этого числа вправо. В столбце под цифрой 7 находим соответствующую мантиссу 92619. Итак, lg 84,37 = 1,92619.

4. Число содержит более четырёх значащих цифр. Берём число, составленное первыми четырьмя цифрами, и ищем его мантиссу. Дальше поступаем так же, как и в четырёхзначных таблицах, т. е. или составляем пропорцию, или пользуемся табличками, помещёнными в крайнем правом столбце под знаком P. P. (partes proportionates).

Пример:

Ig 187,367.
Ищем число 187 и в столбце 3 находим мантиссу 27254. Находим разность между следующей мантиссой и найденной (табличную разность). Она равна 23. В крайнем правом столбце под числом 23 для цифры 6 находим 13,8 стотысячных долей, для 7 находим 16,1. Вычисления располагаем так
Логарифмы
Итак, lg 187,367 =2,27269.

Показательные и логарифмические уравнения

Примеры уравнений:

Показательными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестное входит в показатель степени, а логарифмическими—такие, в которых неизвестное находится под знаком логарифма. Такие уравнения могут быть разрешаемы элементарными приёмами только в частных случаях, причём приходится основываться на свойствах логарифмов и на том положении, что если числа равны, то равны и их логарифмы и, обратно, если логарифмы равны, то равны и соответствующие им числа.

Пример:

Решить уравнение:Логарифмы= 1024.
Логарифмируем обе части уравнения:
ЛогарифмыЛогарифмы

Пример:

Решить уравнение: Логарифмы
Положив Логарифмы, получим квадратное уравнение: у² — у—1=0,
откуда:
Логарифмы и Логарифмы
Следовательно,
Логарифмы и Логарифмы

Так как Логарифмы,-τo последнее уравнение не имеет решений
(если а — положительное число), а первое дает:
Логарифмы

Пример:

Решить уравнение: lg(α+ x)+ lg(b+x)=lg (c+x). Уравнение можно написать так:
lg[(α+ x ) (b+x )]=lg (c+x ).

Из равенства логарифмов заключаем о равенстве чисел при равных основаниях:
(α+ x) (b+x ) = c+x,
это есть квадратное уравнение, которое легко решается.

Формула сложных процентов

Задача:

В какую сумму обратится в течение t лет вклад а рублей, если он ежегодно приносит р сложных процентов?

Говорят, что на вклад начисляются сложные проценты, если принимаются во внимание так называемые „проценты на проценты», т. е. если причитающиеся на вклад процентные деньги присоединяются в конце каждого года к вкладу для наращения их процентами в следующие годы.

Каждый рубль вклада, отданного по р процентов, в течение одного года принесёт дохода Логарифмы рубля, и, следовательно, каждый рубль вклада через 1 год обратится в Логарифмы рубля (например, если вклад сделан по 5%, то каждый рубль его через год обратится в Логарифмы, т. e. в 1,05 рубля). Обозначив для краткости дробь Логарифмы одной буквой, например r, можем сказать, что каждый рубль вклада через год обратится в 1+r рублей, следовательно, а рублей обратятся через 1 год в α(1+r) рублей. Ещё через год, т. е. через 2 года от начала роста, каждый рубль из этих a(1+r) рублей обратится снова в l+r рублей; значит, весь вклад обратится в α(1+r)² рублей. Таким же образом найдём, что через 3 года вклад будет α (1+r)³, через 4 года будет a(1+r)⁴,…, вообще через t лет, если t — целое число, он обратится в Логарифмы рублей. Таким образом, обозначив через А сумму денег, в которую обратится вклад через t лет, будем иметь следующую формулу сложных процентов:
Логарифмы

Из этой формулы легко найти любое из четырёх чисел: А, а, r (или р) и t, если остальные три заданы.

Пример:

Пусть a=2300 руб., p=4, t=20 лет; тогда:
Логарифмы
lgA=lg2300+20 lg 1,04=3,3617+20-0,0170=3,3617+0,3400= =3,7017.

А=5031 рубль.

p1+rlg(1+r)
31,030,0128372
Логарифмы1,03250,0138901
Логарифмы1,0350,0149403
Логарифмы1,03750,0159881
41,040,0170333
Логарифмы1,04250,0180761
Логарифмы1,0450,0191163
Логарифмы1,04750,0201540
51,050,0211893

Замечания:

1) В этом примере нам пришлось lg 1,04 умножить на 20. Так как число 0,0170 есть приближённое значение Ig 1,04 с точностью до Логарифмыдесятитысячной доли, то произведение этого числа на 20 будет точно только доЛогарифмы ‧20, т. е. до 10 десятитысячных, или до одной тысячной. Поэтому в сумме 3,7017 мы не можем ручаться не только за цифру десятитысячных, но и за цифру тысячных. Чтобы в подобных случаях можно было получить большую точность, лучше для числа 1-+r брать логарифмы не четырёхзначные, а с большим числом цифр, например семизначные. Для этой цели мы приводим здесь небольшую табличку, в которой выписаны семизначные логарифмы для некоторых значений р.

2) Формулой сложных процентов приходится пользоваться не только в финансовых вопросах, но иногда и при решении задач, взя
тых из естественных процессов, например при вычислении численности населения какой-нибудь страны, прироста числа деревьев в лесу и т. п.

Дополнительный материал по логарифмам в математике

Логарифмы

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Существование корня. Степень с рациональным показателем. Измерение отрезков.
Степень с любым вещественным показателем. Переменная величина.

Что такое логарифм в математике

Пользуясь равенством, например логарифм мы можем сказать, что число 3 есть тот показатель степени, в который надо возвысить 10, чтобы получить 1000.

Из равенства логарифм следует, что число — 2 есть показатель степени, в который надо возвысить число логарифм чтобы получить 16.

5°= 1. Значит, нуль есть тот показатель степени, в который надо возвысить число 5, чтобы получить единицу.

Подобных примеров можно привести сколько угодно.

Обобщая изложенное, можно сказать так: если логарифм, то число q есть тот показатель степени, в которую надо возвысить основание а, чтобы получить число N.

Вот этот показатель степени q и принято называть логарифмом числа N при основании а (или по основанию а).

Определение:

Логарифмом числа N при основании а называется показатель степени q, в которую надо возвысить основание а, чтобы получить число N.

Логарифм числа N при основании а обозначается символом

логарифм
логарифм

Символлогарифм называется знаком логарифма при основании а.
Символ логарифм есть знак логарифма при основании 10.
Выражение же логарифм есть логарифм числа N при основании а. Выражение логарифм есть логарифм 1000 при основании 10.

По определению логарифма из равенства

логарифм

следует, что логарифм или логарифм

Например, если

логарифм

то логарифм или х = 49,5.

Убедитесь в справедливости равенств:

логарифм

Отыщем логарифмы в некоторых простых случаях.

1. Сразу трудно узнать значение логарифм Поэтому напишем:

логарифм

Отсюда логарифм или логарифм или х = 2,5. Следовательно, логарифм

2. логарифм

Отсюда логарифм или логарифм или логарифм. Следовательно,логарифм.

Изучать логарифмы при отрицательном основании или при основании, равном нулю или единице, не имеет смысла. Поэтому мы всегда будем брать за основания логарифмов числа положительные, отличные от единицы, т. е. в выражениях вида

логарифм

мы всегда будем предполагать, что а>0 и логарифм

Для практических целей употребляются логарифмы при основании 10, которые называются десятичными.

Например:

логарифм

Последние два логарифма взяты из напечатанных таблиц десятичных логарифмов.

Для теоретических целей употребляются логарифмы при основании е, которые называются натуральными логарифмами.

Например:

логарифм
логарифм

Эти логарифмы взяты из напечатанных таблиц натуральных логарифмов.

Приближенные значения логарифмов вычисляются удобно и сравнительно легко с помощью методов, излагаемых в высшей математике. Еще проще и быстрее эти вычисления можно сделать на современных электронных машинах.

Не касаясь этих способов,, мы покажем принципиальную возможность вычисления логарифмов с помощью только элементарных средств.

Идею элементарного способа вычисления логарифмов мы изложим на примере.

Пусть требуется найти приближенное значение логарифм

Обозначим, искомый логарифм буквой х, т е. положим, что

логарифм

Отсюда логарифм

Так как логарифм

Положим, что логарифм

Тогда логарифм

Так как логарифм значит, логарифм

Положим, что логарифм

Теперь

логарифм

Так как логарифм

Положим, что логарифм

Теперь

логарифм

Так как логарифм

Остановившись на этом и пользуясь тем, что

логарифм

найдем, что х, т. е. логарифм заключается между числами

логарифм

т. е. между числами 0,3009 и 0,3017. По более точным вычислениям

логарифм

О десятичных логарифмах положительных чисел

Десятичные логарифмы положительных чисел, отличных от логарифм, где k — рациональное число, являются иррациональными числами.

Докажем, например, что логарифм не является ни целым, ни дробным числом, т. е. не является рациональным числом.

Доказательство:

Легко видеть, что

логарифм

Отсюда следует, что никакая целая степень числа 10 не может оказаться равной числу 2. Следовательно, логарифм не может равняться никакому целому числу. Теперь допустим, что

логарифм где р и q — целые положительные числа. Тогда

логарифм

Но равенство логарифм невозможно. Число логарифм изображается единицей с р нулями. Последняя же цифра в изображении числа логарифм отлична от нуля.

Существование единственного действительного числа, равного логарифм, вытекает из того, что уравнение логарифм имеет единственный действительный корень (см. стр. 456, 457). Теперь из всего изложенного следует, что логарифм есть число иррациональное.

Иррациональными числами будут также, например, логарифмлогарифм и им подобные.

Приближенно логарифм и т. д.

Существуют логарифмы, являющиеся рациональными числами.

Например,

логарифм

Общие свойства логарифмов

Общие свойства логарифмов
(а > 0 и логарифм)

1. Очевидно, что логарифм т. е. логарифм единицы равен нулю.

2. Очевидно, что

логарифм

т. е. логарифм основания логарифмов равен единице.

3. Пусть логарифм Тогда должно быть:

логарифм

Но последнее равенство невозможно ни при каком значении буквы х, так как всегда

логарифм

Следовательно, логарифмы отрицательных чисел не являются действительными числами.

4. Рассматривая равенства

логарифм

легко заметить, что существуют числа, логарифмы которых выражаются отрицательными числами.

Теорема. Еслилогарифм и а> 1, то

логарифм

Доказательство:

Пусть логарифм
Тогда логарифм
Но так как логарифм то

логарифм

Отсюда при а>1 следует, что логарифм, т. е. что

логарифм

что и требовалось доказать.

Основные теоремы

Прежде чем формулировать и доказывать основные теоремы о логарифмах, рассмотрим несколько частных примеров.

1. Проверить, справедливо ли равенство

логарифм

В этом равенстве левая часть представляет собой логарифм числа 1100 при основании 10. Так как 1000 < 1100 < 10000, то логарифм будет представлять собой число,4 заключенное между 3 и 4. Правая же часть равна сумме чисел 3 и 2, т. е. равна 5.

Следовательно, логарифм суммы не равен сумме логарифмов слагаемых, т. е.

логарифм

2. Убедитесь в том, что

логарифм

3. Убедитесь в справедливости следующих равенств:

логарифм

Теперь перейдем к формулировке и доказательству основных теорем.

Теорема:

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, т. е.

логарифм

Доказательство:

Пусть

логарифм

Тогда

логарифм

или

логарифм

Здесь логарифм есть показатель степени, в который возводится а для получения числа, равного произведению логарифм Следовательно,

логарифм

т. е.

логарифм

что и требовалось доказать.

Теорема:

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов делимого и делителя, т. е.

логарифм

Доказательство:

логарифм

Тогда

логарифм

или

логарифм


Отсюда логарифм

логарифм

что и требовалось доказать.

Теорема:

Логарифм степени равен показатели степени, умноженному на логарифм основания этой степени, т. е.

логарифм

(здесь логарифм — любое число, не обязательно натуральное).

Пусть

логарифм

Возведя обе части этого равенства в степень логарифм, получим:

логарифм

Отсюда

логарифм

т. е.

логарифм

что и требовалось доказать.

Следствие:

Логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

Действительно,

логарифм

Логарифмирование произведения, частного, степени и корня

На основании теорем, доказанных в предыдущем параграфе, можно выразить логарифм любого одночленного выражения через логарифмы составляющих его чисел. Например, пусть

логарифм

Тогда

логарифм

Другой пример. Пусть

логарифм

Тогда

логарифм

Практическое значение логарифмов

Пусть мы имеем таблицу, например; десятичных логарифмов. Пусть мы научились находить с помощью такой таблицы десятичные логарифмы любых положительных чисел и пусть мы научились находить также неизвестное число по известному его десятичному логарифму. Тогда с помощью такой таблицы можно производить многие сложные вычисления однообразно и при том с большой легкостью.

Поясним это на примере.

Пусть требуется вычислить значение выражения

логарифм

Обозначим значение этого выражения буквой х. Тогда получим:

логарифм

или

логарифм

С помощью таблицы найдем, что

логарифм

Значит,

логарифм

т. е.

логарифм

С помощью таблиц найдем, что

логарифм

Свойства десятичных логарифмов

1. Десятичный логарифм числа, изображенного единицей с последующими нулями, равен стольким единицам, сколько нулей в изображении числа.

логарифм

2. Логарифм правильной десятичной дроби, изображенной единицей с предшествующими нулями, равен стольким отрицательным единицам, сколько нулей предшествует единице, считая и нуль целых.

логарифм

3. Десятичный логарифм всякого числа, не являющегося рациональной степенью числа 10, представляет собой число иррациональное.

Например, число 2 не является рациональной степенью числа 10. Поэтому lg2 есть число иррациональное.

4. Логарифм целого числа, изображенного п цифрами, заключается между числами (n—1) и n.

Например,

логарифм

Значит,

логарифм

т. е.

логарифм

Логарифм десятичной дроби, целая часть которой содержит n цифр, заключается также между (n—1) и n.

Например,

логарифм

Легко убедиться, что

логарифм

5. Логарифм правильной десятичной дроби, содержащей до первой значащей цифры n нулей, считая и нуль целых, заключается между числами —n и —(n—1).

Например,

логарифм

Значит,

логарифм

Легко убедиться, что

логарифм

и т. д.

Характеристика и мантисса десятичного логарифма

Мы видели, например, что

логарифм

Следовательно,

логарифм

Число 2 называют характеристикой логарифма, а логарифммантиссой.

При пользовании таблицей логарифмов за логарифм принимается соответствующая правильная десятичная дробь, изображающая значение логарифм с той или иной степенью точности.

Определение:

Целая часть логарифма называется характеристикой, а дробная часть—мантиссой.

Например, lg 300 = 2,47712. Здесь число 2 есть характеристика логарифма, а 0,47712 — его мантисса.

Характеристика логарифма числа, большего единицы, содержит столько единиц, сколько цифр в целой части числа без одной.

Например,
характеристика lg 7568,24 равна 3;
характеристика lg 2,568 равна нулю.

Мы видели, например, что

логарифм

Следовательно,

логарифм

либо

логарифм

Из этих двух форм изображения логарифма принято пользоваться формой:

логарифм

т. е. такой, при которой та часть логарифма, которая называется мантиссой, положительна.

При этих условиях можно высказать следующее: Характеристика логарифма правильной десятичной дроби содержит столько отрицательных единиц, сколько нулей предшествует первой значащей цифре, считая в том числе и нуль целых. (Мантисса при этом положительна.)

Например,

lg 0,0037 = — 3 + 0,5682.

Здесь —3 — характеристика, а 0,5682 — мантисса.

логарифм

Приведенные здесь мантиссы взяты из таблицы логарифмов. Такую сумму, состоящую из целого отрицательного числа и положительной правильной дроби, условились записывать так:

логарифм

В дальнейшем будем записывать логарифмы правильных десятичных дробей в следующей искусственной форме:

логарифм

Действия над логарифмами, записанными в искусственной форме

Сложение.

логарифм

Вычитание.

логарифм

Умножение на целое положительное число.

логарифм

Пояснение. логарифмлогарифм

Деление на целое положительное число.

логарифм

(Мы здесь прибавили —2 к отрицательной характеристике и +2 к мантиссе.)

Пояснение. логарифмлогарифм

Умножение чисел, изображенных в искусственной форме:

логарифм

Далее умножаем по обычным правилам.

Деление чисел, изображенных в искусственной форме:

логарифм

Далее делим по обычным правилам.

Покажем еще, как преобразовать отрицательное число к искусственной форме:

логарифм

Правило. Чтобы преобразовать отрицательное наело в искусственную форму, надо к целой, части числа прибавить отрицательную единицу и поставить над результатом знак (—) сверху; одновременно с этим вычесть следующие после запятой цифры из 9, а последнюю цифру — из 10. Например,

логарифм

Неизменяемость мантиссы от умножения числа на целую степень десяти

Пусть

логарифм

где k — характеристика, a логарифм — мантисса.

Пусть n — натуральное число. Тогда

логарифм

При умножении числа N на логарифм характеристика логарифма увеличивается на n единиц, а мантисса остается без изменения.

логарифм

При делении числа на логарифм характеристика логарифма уменьшается на n единиц, а мантисса остается неизменной.

Примеры:

логарифм

Таким образом, мантисса не зависит от положения запятой, а зависит лишь от цифр, изображающих число, и от их расположения. Например, мантиссы логарифмов чисел 372; 37,2; 3,72; 0,372; 3720 будут одинаковыми. Также будут одинаковыми между собой и мантиссы логарифмов чисел 327; 3,27; 0,327.

Характеристика логарифма зависит только от числа цифр в целой части числа и нисколько не зависит от самих цифр, изображающих это число.

Например, логарифмы чисел 356; 783,4; 101,75 имеют одну и ту же характеристику, равную 2.

Таблица четырехзначных десятичных логарифмов Брадиса

В таблицах Брадиса даются приближенные значения мантисс логарифмов целых чисел от 1 до 9999 с четырьмя десятичными знаками, но по этим же таблицам можно находить мантиссы логарифмов и десятичных дробей, так как мантисса логарифма не зависит от положения запятой. Для определения характеристики логарифма никакой таблицы не требуется, она определяется по правилам, изложенным в предыдущем параграфе.

Пусть требуется найти lg502. Характеристика этого логарифма равна 2.

Чтобы найти мантиссу, воспользуемся приведенной ниже частью таблицы логарифмов.

Берем из первого столбца, помеченного сверху и снизу буквой N, число, образованное первыми двумя цифрами числа 502, т. е. берем число 50; затем продвигаемся от числа 50 по горизонтали до пересечения с вертикальным столбцом, помеченным сверху и снизу третьей значащей цифрой числа 502, т. е. цифрой 2. В пересечении прочитываем мантиссу 7007, что означает 0,7007.

Следовательно,

логарифм

Из ранее изложенного следует, что

логарифм

Мантисса логарифмов

логарифм

Мантисса логарифма двузначного числа или трехзначного числа, оканчивающегося нулем, а также и мантисса четырехзначного числа, оканчивающегося двумя нулями, берется из столбца, помеченного сверху и снизу числом нуль. Например, мантисса логарифма числа 53, или 530, или 5300 будет 0,7243.

Чтобы найти мантиссу lg 5, достаточно взять мантиссу

lg 50.

Мантисса lg 3 будет та же, что и мантисса lg30. Мантисса lg0,006 будет та же, что и мантисса lg60. Теперь изложим правило нахождения мантисс логарифмов многозначных чисел.

Чтобы найти мантиссу логарифма четырехзначного числа, например 52,48, достаточно найти мантиссу

lg 5248.

Для нахождения этой мантиссы надо поступать так.

Сначала надо найти мантиссу логарифма трехзначного числа 524, т. е. числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа.. Этой мантиссой окажется число 0,7193. После этого надо от этой мантиссы передвинуться вправо по горизонтальной строке до вертикального столбца, расположенного за двойной вертикальной чертой и помеченного сверху и снизу цифрой 8, т. е. последней цифрой данного четырехзначного числа. На пересечении с этой вертикалью находим число 7 (т. е. 7 десятитысячных). Эту поправку на четвертую значащую цифру прибавляем к найденной раньше мантиссе 0,7193 и получаем, что

lg 5248 = 3,7200.

Таким же способом находится мантисса логарифма и всякого другого четырехзначного числа.

Зная, что lg 5248 = 3,7200, можем записать:

логарифм

За мантиссу логарифма пятизначного числа или числа с большим количеством цифр принимают мантиссу четырехзначного числа, полученного после округления данного многозначного числа.

Например,

логарифм

Антилогарифмы

логарифм

Таблица четырехзначных антилогарифмов

С помощью таблицы антилогарифмов можно находить неизвестное чисто но данному его логарифму. Это неизвестное число и называют антилогарифмом. Пусть, например,

логарифм

Чтобы найти неизвестное число х, воспользуемся приведенной частью таблицы антилогарифмов.

Не обращая внимание на характеристику, берем число, изображенное первыми двумя цифрами мантиссы, т. е. число 94. Это число находим в столбце, помеченном сверху и снизу буквой т (мантисса), и продвигаемся по этой горизонтали до пересечения со столбцом, помеченным сверху и снизу третьей цифрой мантиссы 8; на этом пересечении находим число 8872. Далее ищем поправку на 4-ю цифру мантиссы (эта цифра в данном случае равна 8).

Для этого по той же горизонтали продвигаемся вправо до вертикального столбца, расположенного за двойной вертикальной чертой и помеченного сверху и снизу цифрой 8, т. е. последней цифрой данной мантиссы; на пересечении находим поправку 16. Эту поправку прибавляем к найденному уже числу 8872 и получаем

8888.

Поскольку характеристика данного логарифма была равна 3, то х=8888.

логарифм

Существуют таблицы логарифмов, в которых мантиссы даны с более высокой степенью точности, например пятизначные таблицы Пржевальского.

Примеры вычислений с помощью таблиц логарифмов

логарифм

Вычисление Ig х

логарифм

Нахождение значения х

логарифм

Сумму логарифмировать нельзя. Поэтому вычислим отдельно

логарифм

Следовательно,

логарифм

Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратный переход

Натуральный логарифм числа N, т. е. логарифм принято обозначать ради краткости логарифм

Пусть InN = q. Тогда логарифм, или логарифм или, наконец, логарифм

Но

логарифм

Поэтому, чтобы получить десятичный логарифм какого-нибудь числа, достаточно его натуральный логарифм умножить на число 0,43429…

Число логарифм называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Из равенства

логарифм

следует, что

логарифм

Но

логарифм

Поэтому, чтобы получить натуральный логарифм какого-нибудь числа, достаточно его десятичный логарифм умножить на число 2,30258.

Число логарифм называется модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

Некоторые употребительные формулы

1. Легко убедиться, что

логарифм

Обобщая это, заметим, что по определению логарифма

логарифм

Справедливость этой формулы поясним еще и так:

Пусть логарифм тогда логарифм Подставляя в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение логарифм, получим логарифм

Итак, если имеется степень, показателем которой является логарифм числа N при основании таком же, как и основание этой степени, то вся степень равна N.

Примеры:

логарифм

2. Справедлива и следующая формула:

логарифм

Доказательство:

Пусть логарифм Тогда логарифм или логарифм Отсюда

логарифм

что и требовалось доказать.

Значит, любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

Примеры:

логарифм

Положив в формуле

логарифм

получим, что

логарифм

3. Выведем еще одну формулу

логарифм

Доказательство:

Пусть логарифм Тогда логарифм или логарифм

Здесь q есть показатель степени, в которую надо возвысить выражение логарифм, чтобы получить число логарифм. Следовательно, q есть логарифм числа логарифм при основании логарифм, т. е.

логарифм

Итак, если возвысить число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень, то величина логарифма не изменится.

Примеры.

логарифм

Потенцирование

Из основных теорем, доказанных в § 3, следует:

1. Сумма логарифмов равна логарифму произведения:

логарифм

2. Разность логарифмов равна логарифму дроби:

логарифм

3. Произведение числа на логарифм равно логарифму степени:

логарифм

Потенцированием называется действие, с помощью которого отыскивается число по данному его логарифму.

Пример:

Пусть логарифм
Тогда логарифм

Пример:

Пусть логарифм
Тогда логарифм

Пример:

Пусть

логарифм

Тогда

логарифм

Пример:

Пусть

логарифм

Тогда

логарифм

Логарифмические уравнения

Уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Покажем на примерах, как решаются логарифмические уравнения.

логарифм

Решение:

логарифм

Корень, равный 1, должен быть отброшен, так как его подстановка в данное уравнение приводит к логарифму отрицательного числа, между тем как нами определены логарифмы лишь положительных чисел.

Уже из этого примера видно, что при решении логарифмических уравнений полученные корни нуждаются, вообще говоря, в проверке.

логарифм

логарифмОтсюда логарифм

Окончательно логарифм Второй корень должен быть отброшен, так как логарифм отрицательного числа не является действительным числом.

логарифм

Под знаком логарифма при основании 3 стоит число логарифм По определению логарифма это число должно равняться З2, т. е. 9. Значит,

логарифм

Отсюда

логарифм

Здесь под знаком логарифма при основании 3 стоит число логарифм По определению логарифма это число должно равняться 3°, т. е. единице. Поэтому

логарифм

Отсюда

логарифм

Из уравнения логарифм находим, что х — 4 = 2, т. е. х = 6.

Из уравнения логарифм находим, что логарифм или логарифм т. е. логарифм

Оба полученных корня удовлетворяют данному уравнению.

логарифм

Оба полученных корня удовлетворяют данному уравнению.

логарифм

Положим, что логарифм

логарифм

Отсюда

логарифм

Следовательно,

логарифм

Окончательно, х = 0,1.

Второй корень должен быть отброшен.

10. Доказать тождество

логарифм

Воспользуемся формулой

логарифм

11. Решить систему:

логарифм

В силу первого уравнения логарифм так как log 0 не существует.

Поэтому второе уравнение можно записать в виде:

логарифм

Подставив в первое уравнение вместо х + у выражение логарифм получим:

логарифм

Это уравнение удовлетворяется лишь тогда, когда

логарифм

т.е. когда

логарифм

Присоединяя это уравнение к уравнению логарифм получим систему:

логарифм

Решив эту систему, получим:

логарифм

Примем за новое неизвестное логарифм Тогда

логарифм

или

логарифм

Отсюда

х = 2.

логарифм

Применим формулу

логарифм

приняв m = 2.

логарифм

Приняв за новую неизвестную логарифм получим:

логарифм

Приняв логарифм получим х=8.
Приняв логарифм получим х =4.

Оба полученных корня удовлетворяют данному уравнению.

14. Решить неравенство

логарифм

Решение:

Обозначив lg х буквой у, сведем дело к решению неравенства

логарифм

Преобразуем это, неравенство в другое, ему равносильное:

логарифм

или

логарифм

Последнее неравенство удовлетворяется в том случае, когда

логарифм

а также и тогда, когда

логарифм

Решив систему неравенств (1), получим, что она удовлетворяется лишь при всех значениях у, меньших, чем —3.

Решив систему неравенств (2), получим, что она удовлетворяется лишь при всех значениях у, заключенных между числами 0 и 2.

Итак, неравенство (Б), а следовательно, и неравенство (А) удовлетворяются как при всех значениях у, меньших, чем число — 3, так и при всех значениях у, заключенных между 0 и 2, т. е. у< — 3 и 0<у<2.

На рисунке 149 представлено решение неравенства (А) в наглядной форме.

логарифм

Теперь перейдем к нахождению значений х, учитывая, что у означает log х. Из неравенств

логарифм

следует, что

логарифм

Из неравенства

логарифм

следует, что

х< 0,001.

Итак, первоначальное неравенство удовлетворяется как при всех значениях х, заключенных между 1 и 100, так и при всех значениях х, заключенных между 0 и 0,001.

При значениях х, меньших или равных нулю, данное неравенство не удовлетворяется, так как при этих значениях х выражение lg x не равняется никакому действительному числу.

логарифм

На рисунке 150 представлено решение первоначального неравенства в наглядной форме.

Графики логарифмических функций

Выражение lg x есть функция аргумента х, определенная нами лишь для положительных значений х. Составим таблицу значений этой функции для нескольких значений х.

логарифм

На рисунке 151 изображен график функции логарифм

логарифм

Если логарифмто логарифм
Если логарифм то логарифм

Составим таблицу значений функции логарифм

логарифм

На рисунке 152 изображен график функции

логарифм

График функции логарифм при а>1 сходен с графиком на рисунке 151, а при а < 1 сходен с графиком на рисунке 152.

Логарифмы были изобретены в начале XVII века. Их открытие было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии. Для обработки астрономических наблюдений требовалось производить большие по объему и сложности вычисления. Появление логарифмов облегчило эту работу.

Некоторые замечания:

В настоящее время необычайно большие по объему и сложности вычисления производятся сказочно быстро на математических вычислительных и счетнорешающих электронных машинах.

Широко распространенным среди инженеров, техников и многих других работников счетным прибором является логарифмическая линейка. Однако ею можно пользоваться лишь для таких вычислений, в которых не требуется высокая степень точности.

Логарифмическая линейка дает приближенные результаты с точностью лишь до трех цифр.

Научиться пользоваться логарифмической линейкой можно, например, по краткому руководству К. А. Семендяева «Счетная линейка».

Примеры зависимостей, выражающихся с помощью логарифмических функций.

Первый пример.

логарифм

где логарифм — атмосферное давление на уровне моря;
k — некоторая известная постоянная;
логарифм
h —высота над уровнем моря;
р — атмосферное давление на высоте h над уровнем моря.

Здесь р есть независимая переменная, или аргумент, а h есть зависимая переменная, или функция.

По этой формуле можно определять высоту h над уровнем моря по данному атмосферному давлению р на этой высоте. Эту формулу можно получить, решив относительно h уравнение

логарифм

Второй пример. логарифм

Буква а обозначает первоначальный вклад;
Р — число годовых процентов;
А — сумма, образовавшаяся при органическом росте вклада через t лет.

Здесь А можно рассматривать как независимую переменную, а t как зависимую. По этой формуле можно определять t по данному значению А .

Эту формулу можно получить, решив относительно t уравнение

логарифм

Логарифмическая функция, например у = log х, относится к классу так называемых элементарных функций. К классу элементарных функций относятся и следующие функции:

1. Целая рациональная функция

логарифм

2. Дробная рациональная функция.

логарифм

3. Иррациональная функция, например,

логарифм

4. Показательная функция

логарифм

5. Степенная функция

логарифм

где а —любое действительное число.

Во всех этих функциях аргумент обозначен буквой х. В следующих двух главах мы ознакомимся еще с двумя другими типами элементарных функций,называемых тригонометрическими и обратными тригонометрическими.

Более сложные функции, не принадлежащие к числу элементарных, изучаются в курсе высшей математики.

Логарифм — основные понятия и определения

Логарифмы по произвольному основанию. Определение и свойства логарифмов

В соотношении

Логарифм

может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел a, N, х по двум другим, заданным. Если даны а и х, то N находят действием возведения в степень. Если даны N и х, то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень 1/х). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.

Пусть число N положительно: Логарифм, число а положительно и не равно единице: Логарифм.

Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через Логарифм:

Логарифм

Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени х находят как логарифм N по основанию а. Записи

Логарифм

имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы, логарифмируемое число N положительно.

Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число Логарифм при данном основании а Логарифм имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство Логарифм влечет за собой Логарифм. Заметим, что здесь существенно условие Логарифм, в противном случае вывод Логарифм был бы не обоснован, так как равенство Логарифм верно при любых значениях х и у.

Пример:

Найти Логарифм.

Решение:

Для получения числа 1/8 следует возвести основание 2 в степень —3: Логарифм. Поэтому Логарифм.

Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:

Логарифм

Пример:

Найти Логарифм.

Решение:

Имеем

Логарифм

В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для Логарифм и т.д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.

Свойство:

Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.

Доказательство:

Пусть N = a. По определению логарифма имеем Логарифм, откуда

Логарифм

Обратно, пусть Логарифм. Тогда по определению Логарифм

Свойство:

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Доказательство:

По определению логарифма Логарифм (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда

Логарифм

что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если Логарифм, то N = 1. Действительно, имеем Логарифм.

Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.

Свойство:

Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.

Доказательство:

Доказательство свойства 3 основано на том, что степень Логарифм больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.

Требуется рассмотреть четыре случая:

Логарифм

Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.

Пусть Логарифм; тогда в равенстве Логарифм показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. Логарифм, что и требовалось доказать.

Пример:

Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны: а) Логарифм б) Логарифм; в) Логарифм; г) Логарифм; д) Логарифм.

Решение:

а) Логарифм, так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;

б) Логарифм , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;

в) Логарифм, так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;

г) Логарифм; так как 2/3 и 2/7 расположены по одну сторону от единицы

д) Логарифм; так как 0,3 и 2,1 расположены по одну сторону от единицы

Следующие свойства 4—6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.

Свойство:

Правило логарифмирования произведения. Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.

Доказательство:

Пусть даны положительные числа Логарифм. Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):

Логарифм

Отсюда найдем

Логарифм

Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:

Логарифм

Заметим, что условие Логарифм существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел Логарифм имеет смысл, но в этом случае получим

Логарифм

В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство:

Правило логарифмирования частного. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию.

Доказательство:

Последовательно находим

Логарифм

откуда

Логарифм

что и требовалось доказать.

Свойство:

Правило логарифмирования степени. Логарифм степени какого-либо положительного кисла равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.

Доказательство:

Запишем снова основное тождество (26.1) для числа Логарифм:

Логарифм

отсюда

Логарифм

что и требовалось доказать.

Следствие:

Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:

Логарифм

Доказать справедливость этого следствия можно, представив Логарифм как Логарифм и воспользовавшись свойством 6.

Пример:

Прологарифмировать по основанию а:

а) Логарифм(предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);

б) Логарифм (предполагается, что Логарифм и Логарифм.

Решение:

а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:

Логарифм

На основании равенств (26.5)—(26.7) теперь можно записать:

Логарифм

б) Имеем

Логарифм

Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении —вычитаются и т. д.

Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».

При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов — логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.

Пример:

Найти N, если известно, что

Логарифм

Решение:

В связи столько что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим

Логарифм

Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:

Логарифм

отсюда

Логарифм

для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).

Свойство:

Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее — меньший)-, если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм (а меньшее — больший).

Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:

При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).

Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Логарифм. Если Логарифм, то Логарифм

и, логарифмируя, получим

Логарифм

(а и N/M лежат по одну сторону от единицы). Отсюда

Логарифм

Случай Логарифм, в котором из Логарифм следует Логарифм, читатель разберет самостоятельно.

Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода

Здесь мы установим некоторые свойства, относящиеся к логарифмам по различным основаниям. Для удобства продолжим нумерацию свойств п. 26.

Свойство:

При вождении основания в некоторую (ненулевую) степень логарифм делится на этот показатель степени:

Логарифм

Доказательство:

Пользуясь оснозным тождеством (26.1), находим последовательно

Логарифм

откуда

Логарифм

т.е. Логарифм, что и требовалось получить.

Следствие:

При возведении основания и числа в одну и ту же (ненулевую) степень логарифм не изменяется.

Доказательство:

Последовательно применяя свойства 8 и 6, находим

Логарифм

Пример:

Выразить через логарифм по основанию 3:

Логарифм

Решение:

Имеем l

Логарифм

Пример:

Вычислить Логарифм.

Решение:

Перепишем данное выражение, сведя основания логарифмов к 5:

Логарифм

Свойство:

Если а, N положительны и оба не равны единице, то

Логарифм

Доказательство:

Напишем основное тождество

Логарифм

и прологарифмируем обе его части по основанию N (это возможно, так как Логарифм), применив свойства 4 и 1:

Логарифм

Свойство 9 доказано.

Следующее важнейшее свойство дает общее правило перехода от логарифмов с основанием а к логарифмам с другим основанием b:

Свойство:

Имеет место следующее равенство:

Логарифм

которое также в силу свойства 9 пишут в виде

Логарифм

Коэффициент Логарифм в формуле (27.3) называют модулем перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b.

Доказательство:

Напишем снова основное тождество

Логарифм

и прологарифмируем обе его части по основанию а:

Логарифм

Отсюда прямо вытекает требуемое равенство (27.3).

Пример:

Упростить выражение Логарифм.

Решение:

В силу (27.4) и (27.2) имеем

Логарифм

Десятичные логарифмы

Характеристика и мантисса десятичного логарифма

Десятичным логарифмом числа называется его логарифм по основанию 10. Кроме общего обозначения Логарифм для десятичных логарифмов обычно применяют сокращенное обозначение lg N.

Десятичные логарифмы широко применяются в приближенных вычислениях; в связи с этим имеются подробные и весьма точные таблицы десятичных логарифмов. Читателю известны четырехзначные таблицы В. М. Брадиса, применяемые при изучении логарифмов в школьном курсе математики. Об использовании таблиц функций вообще говорится специально в п. 220.

Для пользования таблицами десятичных логарифмов и для их применения к приближенным вычислениям нам потребуются некоторые свойства и понятия, относящиеся к десятичным логарифмам.

Рассмотрим все числа вида Логарифм, где n — целое число:

Логарифм

Будем говорить, что эти числа представляются единицей с нулями (с последующими нулями, если n > 0, и с предшествующими нулями, если n < 0). Из определения логарифма видно, что эти числа имеют целые десятичные логарифмы: Логарифм. Удобно сформулировать следующее правило:

Десятичный логарифм числа, представляемого единицей с нулями, равен числу нулей в этом числе, если оно есть единица с последующими нулями, и числу нулей с противоположным знаком, если оно есть единица с предшествующими нулями.

Например:

lg 0,0001= —4, Ig 0,01= — 2, lg 1000 = 3, lg 1000000 = 6.

Десятичный логарифм любого числа, не равного целой степени десяти, является числом дробным (вообще говори, иррациональным).

Напомним, что всякое число (рациональное или иррациональное) однозначно разлагается на сумму своей целой части и дробней части (см. пп. 4, 6). При этом целой частью данного числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного; дробная часть любого числа заключена между нулем и единицей:

Логарифм

Введем теперь следующее.

Определение:

Для любого положительного числа целая часть десятичного логарифма называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой этого логарифма.

Характеристику логарифма любого положительного числа можно найти точно, и делается это с помощью простого правила. Действительно, пусть дано число N > 0; тогда можно указать такие две степени числа 10 с последовательными целыми показателями n и n + 1, между которыми находится данное число N:

Логарифм

Прологарифмируем эти неравенства по основанию 10:

Логарифм

в соответствии со свойством 5 логарифмов (п. 26). Отсюда следует, что целая часть, т. е. характеристика lg N, равна n: lg N = n, … Многоточием обозначены неизвестные десятичные знаки мантиссы, т.е. дробной части lg N. При этом в случае n < 0 применяется искусственная форма записи lg N (п. 4).

Для формулировки соответствующего правила рассмотрим два случая: N > 1 и N < 1.

Пусть N > 1 (десятичный логарифм lg N в этом случае положителен). Обозначим через k число цифр в записи целой части N. Ясно, что в этом случае

Логарифм

Например, для N = 378,6 (трехзначная целая часть)

Логарифм

Логарифмируя неравенства (28.1), получаем

Логарифм

и видим, что характеристика lg N равна k — 1 (например, характеристика логарифма 378,6 равна 2).

Итак, характеристика десятичного логарифма числа, больишго единицы, на единицу меньше количества цифр его целой части. Например:

lg 3,524 — 0, …; lg 47,01 — 1; …, Ig 936,3 — 2, …

Пусть теперь положительное число N меньше единицы: 0 < N < 1. Тогда lg N по свойству 4 из п. 26 будет отрицательным числом: числа N и 10 в рассматриваемом случае лежат по разные стороны от единицы.

Запись числа N начинается в этом случае с нуля целых; за этим нулем может следовать еще несколько нулей перед первой отличной от нуля цифрой числа. Если число нулей перед первой ненулевой цифрой (включая и нуль целых) равно l, то

Логарифм

Например:

Логарифм

Неравенства (28.3) показывают, что

Логарифм

т.е. характеристика логарифма lg N равна —l.

Итак, характеристика десятичного логарифма положительного числа, меньшего единицы, равна взятому со знаком минус числу нулей в данном числе, предшествующих первой значащей цифре, включая и нуль целых.

Например:

Логарифм

Мы выяснили, что характеристика десятичного логарифма числа определяется непосредственно по виду самого числа, если оно целое или представлено в виде десятичной дроби. Для определения характеристики, таким образом, не нужны никакие вычисления (и таблицы). Что же касается мантиссы, то она, как правило, берется из таблиц (например, из таблиц Брадиса). При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится (изменится только характеристика логарифма). В самом деле, перенести в числе запятую — это значит умножить его на некоторую целую (положительную или отрицательную) степень числа 10. Например, при переносе запятой на 2 знака вправо число умножится на Логарифм, а при переносе запятой на 2 знака влево оно умножится на Логарифм. Пусть

Логарифм

где n — характеристика, а m — мантисса этого логарифма. После переноса запятой в числе N на k знаков получится число Логарифм (верхний знак относится к случаю переноса запятой вправо, а нижний — к случаю переноса запятой влево). На основании правил логарифмирования (п. 25) имеем

Логарифм

Но k — целое число, так что прибавление ± k к lg N может отразиться лишь на его характеристике:

Логарифм

Из рассмотренного можно заключить, что если числа записаны с помощью одних и тех же и одинаково расположенных цифр и отличаются одно от другого только местоположением в них запятой, то десятичные логарифмы таких чисел имеют одну и ту же мантиссу (но, конечно, разные характеристики!). Таковы, например, числа 42,59, 4,259, 0,4259, 0,04259 и т. д.

В качестве примера найдем без таблиц разность lg 28,76 — lg 0,002876 .

Логарифмы, из которых составлена данная разность, отличаются лишь характеристиками, а мантиссы у них одинаковы и при вычитании взаимно уничтожаются. Поэтому искомая разность логарифмов равна разности их характеристик: lg 28,76 — lg 0,002876 = 1 — ( — 3) = 1 + 3 = 4. . Этот пример можно решить и так:

Логарифм

Применение десятичных логарифмов к вычислениям

Как уже было указано выше, над логарифмами чисел производятся более простые действия, чем над самими числами: умножение заменяется сложением, деление —вычитанием, возведение в степень — умножением на показатель степени и т. д. В сочетании с наличием удобных таблиц десятичных логарифмов это позволяет широко использовать десятичные логарифмы для упрощения вычислений.

Пример:

Вычислить с помощью таблиц: а) Логарифм; б) Логарифм.

Решение:

а) Обозначим искомое число через х. С помощью правила логарифмирования произведения (26.5) найдем

Логарифм

Логарифмы в правой части равенства найдем по таблицам, запишем в столбец и сложим:

Логарифм

Дадим пояснение к тому, как получена характеристика: в конце действия сложения мантисс получаются две целых и одна десятая. Ясно, что одну десятую мы оставляем мантиссе — так определяется ее первая цифра, а две единицы отдаем характеристике: Логарифм. Теперь по найденному lg x из таблиц получаем х = 15,03. Характеристика lg x оказалась равной 1, а она, как известно, на единицу меньше числа цифр в целой части логарифмируемого числа. Поэтому в числе 1503, взятом из таблиц, мы и отделили два знака целой части.

б) Используя правила логарифмирования степени и корня (п. 26), найдем

Логарифм

Мы получили Логарифм. Характеристика Логарифм найдена так: в промежуточном результате характеристика Логарифм получилась от сложения Логарифм (которая «набежала» от умножения первой цифры 5 мантиссы на 3); далее, число Логарифм на 5 не делится без остатка; поэтому к Логарифм мы прибавили Логарифм, а чтобы не изменить логарифма, тут же прибавили 3 к мантиссе.

Далее,

Логарифм

откуда x = 1,911.

Пользуясь десятичными логарифмами, можно также находить логарифмы чисел по произвольному основанию. Рассматривая свойства логарифмов, мы ввели в п. 26 понятие модуля перехода. Именно, модулем перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам но основанию b названо число Логарифм, являющееся множителем пропорциональности между логарифмами с основаниями а и Ь:

Логарифм

Если теперь положить здесь а = 10, то логарифм числа N по основанию b выразится через десятичные логарифмы чисел N и b:

Логарифм

Итак, мы получили следующее правило: для вычисления недесятичного логарифма по таблице десятичных логарифмов нужно десятичный логарифм данного числа разделить на десятичный логарифм данного основания.

Число 1 / lg a является модулем перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию 10 (к десятичным логарифмам).

Пример:

Найти a) Логарифм; б) Логарифм.

Решение:

а) В соответствии с формулой (29.1) запишем:

Логарифм

Найдем lg 5,2 и lg 3 из таблиц Брадиса и получим

Логарифм

Разделить у этой дроби числитель на знаменатель (чтобы получить ответ в виде десятичной дроби) можно «вручную», а можно опять-таки с помощью таблиц. Обозначим для этого

Логарифм

Далее найдем

Логарифм

Отсюда Логарифм.

б) Имеем

Логарифм

Представим знаменатель этой дроби в естественной форме:

1,9969 = — 1 + 0,9969 = —0,0031,

и, таким образом, найдем

Логарифм

(отрицательность логарифма объясняется тем, что число 7,98 и основание 0,993 лежат по разные стороны от единицы (свойство 4 п.26)). Чтобы выполнить деление с помощью таблиц логарифмов, положим

Логарифм

Отсюда

Логарифм

Найдем теперь, что В = 290,9 и, следовательно.

Логарифм

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Исследование уравнений
  13. Уравнения высших степеней
  14. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  15. Комплексные числа
  16. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  17. Алгебраические уравнения
  18. Неопределенные уравнения
  19. Соединения
  20. Бином Ньютона
  21. Число е
  22. Непрерывные дроби
  23. Функция
  24. Исследование функций
  25. Предел
  26. Интеграл
  27. Двойной интеграл
  28. Тройной интеграл
  29. Интегрирование
  30. Неопределённый интеграл
  31. Определенный интеграл
  32. Криволинейные интегралы
  33. Поверхностные интегралы
  34. Несобственные интегралы
  35. Кратные интегралы
  36. Интегралы, зависящие от параметра
  37. Квадратный трехчлен
  38. Производная
  39. Применение производной к исследованию функций
  40. Приложения производной
  41. Дифференциал функции
  42. Дифференцирование в математике
  43. Формулы и правила дифференцирования
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат