Вещественные числа и их свойства в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Вещественные или действительные числа — это математическая абстракция, используемая для представления и сравнения значений физических величин. Чаще всего такое число представляют как описывающее положение точки или прямой. Множество вещественных чисел обозначается буквой R, которую нередко называют вещественной прямой.

Множества и обозначения. Логические символы

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к так называемым первичным, неопределяемым понятиям. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор» и т. п. — синонимы слова «множество». Примерами множеств могут служить множество студентов данной аудитории; совокупность тех из них, кто сдал вступительные экзамены без троек; семейство звезд Большой Медведицы; система трех уравнений с тремя неизвестными; множество всех целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное число произвольных объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Множества часто обозначают большими, а их элементы — малыми буквами. Если х — элемент множества X, то пишут Вещественные числа (х принадлежит X). Если х не является элементом множества X, то пишут (х не принадлежит X). Если — некоторые элементы, то запись означает, что множество X состоит из элементов Вещественные числа Аналогичный смысл имеет запись

Пусть X и У — два множества. Если X и У состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут X=Y. Если в X нет элементов, не принадлежащих У, то говорят что X содержится в У или что X — подмножество множества У. В этом случае пишут Вещественные числа или (Y содержит X). Если X не содержится в У, то пишут В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом Вещественные числа Пустое множество является подмножеством любого множества.

В дальнейшем нам придется иметь дело с различными множествами вещественных чисел*. Всюду, где это не может привести к неточности, для краткости вещественные числа будем называть просто числами.

* Вместо термина «вещественные числа» часто используют термин «действительные числа».

Пусть Р (х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись Вещественные числа
означает множество всех таких чисел, которые обладают свойством
Р(х). Например, множество есть совокупность
корней уравнения т. е. это множество состоит из
двух элементов: Вещественные числа — множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам т. е. это пустое множество.

Если Вещественные числа — произвольные числа, то запись означает, что число х максимальное (минимальное) из чисел

В математических предложениях (формулировках определений, теорем и т. д.) часто повторяются отдельные слова и целые выражения. Поэтому при их записи полезно использовать экономную логическую символику.

Здесь мы укажем лишь несколько самых простых и употребительных логических символов. Вместо слова «существует» или «найдется» используют символ Вещественные числа [перевернутую латинскую букву Е (от английского слова Existence — существование)], а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» — символ [перевернутое латинское А (от английского слова Any — любой)]. Например, запись Вещественные числа означает: «существует число х из множества X, такое, что …». Запись означает: «для любого числа х из множества X», а запись означает: «для любого числа х из множества X выполняется (или имеет место) утверждение Вещественные числа ».

Для облегчения понимания и чтения утверждений, записанных с помощью логических символов, все, что относится только к каж- каждому из них, заключают в круглые скобки. Так, например, запись Вещественные числа
читается так: «для любого существует такое, что для
всех х, не равных хо и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Символ Вещественные числа в тексте означает конец доказательства.

Вещественные числа и их основные свойства

В курсе элементарной математики дается некоторое представление о вещественных числах. Из этого курса известно, что множество
вещественных чисел состоит из рациональных и иррациональных
чисел. Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем Вещественные числа Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным. Всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или периодической бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа 3/4 и 1/3 можно представить в виде следующих десятичных дробей: Вещественные числа иррациональные числа — в виде непериодических бесконечных десятичных дробей:

Систематизируем сведения о вещественных числах, перечислим основные свойства вещественных чисел, а затем выведем из них некоторые следствия.

Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары а и b вещественных чисел определены и притом единственным образом два вещественных числа Вещественные числа называемые соответственно их суммой и произведением, причем имеют место следующие свойства. Каковы бы ни были числа а, b и с:
1°. (переместительное свойство).
2°. Вещественные числа (сочетательное свойство).
3°. (переместительное свойство).
4°. (сочетательное свойство).
5°. (распределительное свойство).
6°. Существует единственное число 0 такое, что а + 0=а для любого числа а.
7°. Для любого числа а существует такое число (—а), что а+(-а) = 0.
8°. Существует единственное число Вещественные числа такое, что для любого числа а имеет место равенство а • 1 = а.
9°. Для любого числа существует такое число что число обозначают также символом

Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b (а равно b), а>b (а больше b) или b>а. Отношение = обладает свойством: если а=b и b=с, то а=с.

Отношение > обладает следующими свойствами. Каковы бы ни были числа а, b и с:
10°. Если Вещественные числа
11°. Если
12°. Если

Непрерывность вещественных чисел

13°. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел Вещественные числа выполняется неравенство то существует хотя бы одно число с такое, что для всех таких х и у выполняются неравенства

Отметим, что свойством непрерывности обладает множество всех
вещественных чисел, но не обладает множество только рациональных чисел. Действительно, пусть множество X состоит из рациональных чисел х, для которых выполняется неравенство Вещественные числа
а множество У состоит из рациональных чисел у, для которых выполняется неравенство Тогда, очевидно, для любого
и любого выполняется неравенство Вещественные числа однако
не существует рационального числа с такого, чтобы для всех таких
х и у выполнялись неравенства В самом деле, таким чис-
числом могло бы быть только Вещественные числа но оно, как известно, не является
рациональным.

Из свойств I, II, III вытекают все остальные свойства вещественных чисел. Познакомимся лишь с некоторыми из них, но в дальнейшем будем использовать и другие, не проводя их формального доказательства.

Каковы бы ни были числа а, b, с и d:
14°. Число Вещественные числа является решением уравнения а+х=b.
Действительно, согласно свойствам 1°, 2°, 6°, 7° имеем: а+b+(-a)=b.

Число b+(-a) называется разностью чисел b и а и обозначается b — а. Отметим, что если а<b (или, что то же, b>а), то
разность b — а>0. В самом деле, из неравенства b>а в силу 11°
получаем: Вещественные числа

15°. Число Вещественные числа является решением уравнения ах = b, если

Действительно, согласно свойствам 3°, 4°, 8°, 9° имеем: Вещественные числа

Число Вещественные числа называется частным чисел b и а и обозначается
или b:а.
16°. Если a<b, то -а>-b.

В самом деле, так как а<b, то b—а>0. Следовательно, на
основании свойства 11° b-а+(-b)>0 + (-b), откуда полу-
получаем: Вещественные числа

В частности, если а>0, то -a<0, а если а<0, то -а>0 (здесь использован тот факт, что -0 = 0, действительно, согласно свойству 6° (-0)+0=- 0, а на основании свойства 7° (-0)+0=0, откуда следует, что -0=0).

17°. Если а>b и с>d, то a+c>b+d.
В самом деле, если а>b и c>d, то в силу свойства 11° а+c>b+c и c+b>d+b. Поэтому согласно свойству 10° а+с>b+d. Вещественные числа

18°. Если a<b и c>d, то a-c<b-d.
В самом деле, так как c>d, то согласно свойству 16° -с<- d. Cкладывая почленно неравенства а<b и -с<-d (это можно делать в силу свойства 17°), получаем: a-c<b-d. Вещественные числа

19°. Вещественные числа
В самом деле,

20°. Вещественные числа
В самом деле,

21°. Вещественные числа
В самом деле,

22°. Вещественные числа
В самом деле,

Отметим, что при замене суммы произведением использовано свойство 5°. Из свойства 22°, в частности, получаем:

23°. Если Вещественные числа
В самом деле, так как а<0, то -а>0, поэтому в силу свойства 12°. Следовательно, и, значит,

24°. Если Вещественные числа
В самом деле, так как Поэтому в силу свойства 23° Следовательно, и, значит,

25°. Если Вещественные числа
Справедливость данного утверждения следует из свойств 12° и 24°. В частности,

26°. Если Вещественные числа
В самом деле, согласно свойствам 9° и 25° а если предположить, что то в силу свойств 20° и 23° имеем: т. е. получено противоречие. Следовательно,

Итак, мы видим, что из основных свойств I—III вещественных чисел вытекают остальные их свойства. Поэтому можно сказать, что вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.

В заключение отметим, что, исходя из свойств I—III, любое вещественное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Однако останавливаться на рассмотрении этого вопроса не будем.

Геометрическое изображение вещественных чисел

Изображение вещественных чисел точками на координатной прямой

Введем ряд предварительных понятий. Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два взаимно противоположных направления. Выберем одно из них и на рисунке будем обозначать его стрелкой (рис. 1). Пусть, кроме того, выбрана масштабная единица для измерения длин отрезков. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим на оси две произвольные точки Л и В. Отрезок с граничными точками Л и В будем называть направленным, если указано, какая из точек Л и В считается началом, а какая — кон-
концом отрезка. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим Вещественные числа и будем считать, что он направлен от начала к концу. Отметим, что в записи буква, обозначающая начало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначающая его конец, — второй. Длина направленного отрезка Вещественные числа обозначается так:

Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллель-
параллельных оси), вводится понятие величины направленного отрезка. Величиной АВ направленного отрезка Вещественные числа называется число, равное , если направления отрезка и оси совпадают, и равное — , если эти направления противоположны. Для отрезков изображенных на рис. 2, Вещественные числа

Заметим, что величины направленных отрезков Вещественные числа при
любом направлении оси отличаются знаками:

Если точки А и В совпадают, то величину направленного отрезка будем считать равной нулю.

Для любых трех точек А, В и С на оси справедливо равенство
АВ + ВС = АС,
которое назовем основным тождеством (в дальнейшем оно неоднократно используется).

Справедливость основного тождества легко устанавливается из
рисунка, но при этом нужно рассмотреть различные случаи взаимного расположения точек А, В и С на оси. Если все три точки А,
В и С различны, то таких случаев шесть (рис. 3). В каждом из этих
случаев основное тождество проверяется элементарно.

Перейдем теперь к геометрическому изображению вещественных
чисел. Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку О (начало
координат). Прямую с выбранным направлением и началом координат назовем координатной прямой (считаем, что масштабная единица выбрана). Пусть М — произвольная точка на прямой (рис. 4, а).

Поставим в соответствие точке М число х, равное величине ОМ
направленного отрезка Вещественные числа Число х называется координатой
точки М. Тем самым каждой точке координатной прямой будет
соответствовать определенное вещественное число — ее координата. Справедливо и обратное: каждому вещественному числу х
соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно
такая точка М, координата которой равна х.

Таким образом, вещественные числа можно изображать точками
на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной
прямой часто указывают число —ее координату (рис. 4, б).

Пусть точка Вещественные числа имеет координату , а точка — координату
(рис. 5.). Выразим величину направленного отрезка через координаты точек и . Согласно основному тождеству
Вещественные числа
откуда поэтому

Эту формулу будем часто использовать в аналитической геометрии.

Вещественные числа

Некоторые наиболее употребительные числовые множества

Пусть а и b — два числа, причем а<b. Будем пользоваться cледующими обозначениями:
Вещественные числа Множество всех вещественных чисел будем обозначать так:

Все эти множества называются промежутками, причем [а, b] —
отрезок (сегмент), Вещественные числа —полуинтервалы, а — интервалы. Промежутки называются конечными; а и b называются их концами. Остальные промежутки называются бесконечными.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной прямой. Например, сегмент Вещественные числа изображается на координатной прямой отрезком таким, что точка имеет rоординату , а точка —координату (рис. 5). Изображением
множества всех чисел служит вся координатная пря-
прямая. Поэтому множество Вещественные числа называется также числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть а —произвольная точка числовой прямой и — положительное число. Интервал Вещественные числа называется -окрестностью точки а.

Грани числовых множеств

Говорят, что. множество X ограничено сверху (снизу), если существует число с такое, что для любого Вещественные числа выполнено неравенство Число с в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X.

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

Так, например, любой конечный промежуток Вещественные числа ограничен. Интервал есть множество, ограниченное снизу, но не ограниченное сверху; а вся числовая прямая есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество X имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. В самом деле, если число с является верхней (нижней) гранью множества X, то любое число с’, большее (меньшее) числа с, — также верхняя (нижняя) грань множества X, так как из справедливости неравенства Вещественные числа следует, что

Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.

Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества X называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом sup X, а наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества X называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом inf X*.

Примеры:

Пусть Вещественные числа Тогда число b является точной верхней гранью множества X, а число а — его точной нижней гранью, т. е. Пусть Тогда а верхних граней и в том числе точной верхней грани данное множество не имеет.

Точная верхняя грань (sup X) обладает следующим важным свойством. Как бы мало ни было число Вещественные числа найдется такое, что В самом деле, если бы такого числа х не нашлось, то число было бы также верхней гранью множества X и тогда число sup X не было бы точной (т. е. наименьшей) верхней гранью. Другими словами, данное свойство выражает тот факт, что число sup X является наименьшим среди чисел, ограничивающих множество X сверху, и не может быть уменьшено.

Отмеченное свойство точной верхней грани можно переформулировать следующим образом: если с = sup X, то для любого числа с’ < с существует число Вещественные числа такое, что Чтобы убедиться в равносильности данных формулировок, достаточно взять с’ и е, связанные равенством из которого следует, что условие Вещественные числа эквивалентно условию

Аналогичным свойством обладает и точная нижняя грань — как бы мало ни было число е>0, найдется Вещественные числа такое, что (Сформулируйте данное свойство в другом виде самостоятельно.)

Возникает вопрос, всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Ответ на этот вопрос дает следующая важная теорема.

Теорема:

Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство:

Пусть X — непустое множество, ограниченное сверху. Тогда множество У чисел, ограничивающих X сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого Вещественные числа и любого имеет место неравенство В силу свойства непрерывности вещественных чисел существует такое число с, что для любых х и у выполняются неравенства
Вещественные числа

Из первого из неравенств (1) следует, что число с ограничивает множество X сверху, т..е. является верхней гранью, а из второго, — что оно наименьшее из таких чисел, т. е. является точной верхней гранью.

Случай существования точной нижней грани у не пустого ограниченного снизу множества рассматривается аналогично. Вещественные числа

Если множество X не ограничено сверху (снизу), то условимся писать: Вещественные числа

Абсолютная величина числа

Понятие абсолютной величины числа и неравенства, связанные с абсолютными величинами, в дальнейшем часто используются.

Определение:

Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число х, если Вещественные числа число —х, если

Абсолютная величина числа х обозначается символом |х|. Таким образом,
Вещественные числа

Из определения вытекает ряд свойств абсолютной величины числа. Вещественные числа Из 1) и 2) получаем, что

Поскольку следующие три свойства очень важны, докажем их в виде теорем.

Теорема:

Пусть Вещественные числа — положительное число. Тогда неравенства равносильны*
Доказательство:

Пусть Вещественные числа Тогда:
1) если и, значит,
2) если значит, — откуда — Объединяя 1) и 2), при любом х получаем:

Пусть справедливы неравенства Вещественные числа Это означает, что одновременно выполняются неравенства Из последнего неравенства имеем: Так как, по определению, |х| есть либо х, либо — х, то

Теорема:

Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. Вещественные числа

Доказательство:

Пусть х и у — любые числа. Согласно свойству 3° для них справедливы неравенства
Вещественные числа
Складывая их почленно, получаем

По теореме 1.2 это двойное неравенство равносильно неравенству Вещественные числа
Заметим, что

Теорема:

Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. Вещественные числа

Доказательство:

Для любых чисел х и у имеем
Вещественные числа

По теореме 1.3 справедливо неравенство Вещественные числа

Откуда получаем: Вещественные числа
Заметим, что

В заключение отметим, что каковы бы ни были два числа х и у, имеют место легко проверяемые соотношения:
Вещественные числа

Свойства вещественных чисел

Смотрите также:

Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве	Тройной интеграл и условие его существования
Задача о вычислении массы тела	Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: