Линейная алгебра — задачи с решением и примерами

Оглавление:

Линейная алгебра задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткую теорию по предмету «линейная алгебра», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «линейная алгебра».

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!
Людмила Фирмаль

Линейная алгебра

Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений. Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения.

Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространствам функций.

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

Матрицы

Прямоугольная таблица из чисел вида

Решение задач по линейной алгебре

состоящая из Решение задач по линейной алгебре строк и Решение задач по линейной алгебре столбцов, называется матрицей размеров
Решение задач по линейной алгебре
Матрица Решение задач по линейной алгебре называется обратной к квадратной матрице Решение задач по линейной алгебре, если Решение задач по линейной алгебре где Решение задач по линейной алгебре — единичная матрица. Для невырожденной матрицы Решение задач по линейной алгебре — определитель матрицы Решение задач по линейной алгебре, существует единственная обратная матрица

Решение задач по линейной алгебре

где Решение задач по линейной алгебре — алгебраические дополнения элементов Решение задач по линейной алгебре матрицы Решение задач по линейной алгебре. Если матрица Решение задач по линейной алгебре — вырожденная Решение задач по линейной алгебре то обратной к пей не существует.

Задача №4.1.

Найти матрицу Решение задач по линейной алгебре, обратную к матрице

Решение задач по линейной алгебре

Так как Решение задач по линейной алгебре то Решение задач по линейной алгебре — невырожденная и Решение задач по линейной алгебре существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы Решение задач по линейной алгебре:

Решение задач по линейной алгебре

Следовательно,

Решение задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса

Пусть задана система Решение задач по линейной алгебре линейных уравнений с Решение задач по линейной алгебре неизвестными вида.

Решение задач по линейной алгебре
(4.1)

или, в матричной форме
Решение задач по линейной алгебре
где

Решение задач по линейной алгебре

Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1).
Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

Решение задач по линейной алгебре

где Решение задач по линейной алгебре — определитель, получаемый из определителя Решение задач по линейной алгебре заменой его Решение задач по линейной алгебре столбца на столбец В свободных членов.

Матричный метод

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле

Решение задач по линейной алгебре
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система Решение задач по линейной алгебре линейных уравнений с Решение задач по линейной алгебре неизвестными может быть приведена к виду

Решение задач по линейной алгебре
(4.2)

где Решение задач по линейной алгебре

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел Решение задач по линейной алгебре отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же Решение задач по линейной алгебреРешение задач по линейной алгебре то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные Решение задач по линейной алгебре через Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.2.

Методом Гаусса решить систему

Решение задач по линейной алгебре

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид

Решение задач по линейной алгебре

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

Решение задач по линейной алгебре

где цифрами [1] , [2] , [3] обозначены следующие операции:
[1] — первую и вторую строки поменяли местами; [2] — ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2): к третьей прибавили первую, умноженную на (-3); [3] — к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (-1).

Этой матрице соответствует система

Решение задач по линейной алгебре

Отсюда последовательно находим

Решение задач по линейной алгебре

Ответ: Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.3.

Решить систему уравнений

Решение задач по линейной алгебре

используя формулы Крамера.

Решение:

Так как определитель данной системы

Решение задач по линейной алгебре

то матрица Решение задач по линейной алгебре невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители Решение задач по линейной алгебре

Решение задач по линейной алгебре

По формулам Крамера находим решение системы:

Решение задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь с линейной алгеброй

Скалярное произведение векторов в R3

Скалярным произведением векторов Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре называется число, обозначаемое Решение задач по линейной алгебре или Решение задач по линейной алгебре и равное Решение задач по линейной алгебре где Решение задач по линейной алгебре — угол между Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре .
Свойства скалярного произведения:

Решение задач по линейной алгебре

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.
Если векторы Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре представлены своими координатами в ортонормированном базисе Решение задач по линейной алгебре, то скалярное произведение равно Решение задач по линейной алгебре
Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

Решение задач по линейной алгебре

Учитывая, что Решение задач по линейной алгебре где Решение задач по линейной алгебре — проекция вектора Решение задач по линейной алгебре па вектор Решение задач по линейной алгебре, а Решение задач по линейной алгебре скалярное произведение векторов
Решение задач по линейной алгебре можно записать в виде

Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.4.

Даны векторы Решение задач по линейной алгебре

Найти Решение задач по линейной алгебре

Решение:


Поскольку Решение задач по линейной алгебре


а векторы Решение задач по линейной алгебре заданы координатами в ортонормированном базисе, то

Решение задач по линейной алгебре


Поэтому

Решение задач по линейной алгебре

Механический смысл скалярного произведения: работал Решение задач по линейной алгебре, производимая силой Решение задач по линейной алгебре, точка приложения которой перемещается из точки Решение задач по линейной алгебре в точку Решение задач по линейной алгебре, вычисляется по формуле Решение задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов Решение задач по линейной алгебре называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

Решение задач по линейной алгебре

Рис. 4.1: а — тройка Решение задач по линейной алгебре правая; б — тройка Решение задач по линейной алгебре левая

Векторным произведением вектора Решение задач по линейной алгебре на вектор Решение задач по линейной алгебре называется вектор с, удовлетворяющий условиям:
1) Решение задач по линейной алгебре — угол между векторами Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре;
2) Решение задач по линейной алгебре
3) Упорядоченная тройка Решение задач по линейной алгебре — правая.

Обозначение: Решение задач по линейной алгебре
Свойства векторного произведения

Решение задач по линейной алгебре

4) Решение задач по линейной алгебре — условие коллинеарности векторов.

Если векторы Решение задач по линейной алгебре заданы своими координатами в ортонормированном базисе Решение задач по линейной алгебре то

Решение задач по линейной алгебре

Площадь параллелограмма, построенного на векторах Решение задач по линейной алгебре, можно определить по формуле

Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.5.

Найти площадь и длину высоты Решение задач по линейной алгебре треугольника с вершинами в точках Решение задач по линейной алгебре

Решение:

Поскольку площадь Решение задач по линейной алгебре треугольника Решение задач по линейной алгебре равна

Решение задач по линейной алгебре
Решение задач по линейной алгебре
Рис. 4.2
  1. Находим координаты векторов Решение задач по линейной алгебре и длину Решение задач по линейной алгебре вектора Решение задач по линейной алгебре
Решение задач по линейной алгебре

2. Находим Решение задач по линейной алгебре:

Решение задач по линейной алгебре

3. Решение задач по линейной алгебре

Механический смысл векторного произведения. Пусть точка Решение задач по линейной алгебре твердого тела закреплена, а в его точке Решение задач по линейной алгебре приложена сила Решение задач по линейной алгебре.

Тогда возникает вращательный момент Линейная алгебра задачи с решением (момент силы). По определению момент силы относительно точки Линейная алгебра задачи с решением находится по формуле Линейная алгебра задачи с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов Линейная алгебра задачи с решением называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение Линейная алгебра задачи с решением умножается скалярно на вектор Линейная алгебра задачи с решением. Смешанное произведение векторов Линейная алгебра задачи с решением обозначается Линейная алгебра задачи с решением Таким образом, Линейная алгебра задачи с решением Если векторы Линейная алгебра задачи с решением заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то

Линейная алгебра задачи с решением

Объем параллелепипеда Линейная алгебра задачи с решением, построенного на векторах Линейная алгебра задачи с решением, можно вычислить по формуле Линейная алгебра задачи с решением Для того чтобы три вектора Линейная алгебра задачи с решением были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы Линейная алгебра задачи с решением

Задача №4.6.

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Рассмотрим три вектора

Линейная алгебра задачи с решением

(рис. 4.3).
Можно показать, что объем пирамиды Линейная алгебра задачи с решением равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах Линейная алгебра задачи с решением

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.3

Тогда Линейная алгебра задачи с решением а так

Линейная алгебра задачи с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Прямая на плоскости

1. Прямая на плоскости

В декартовой прямоугольной системе координат Линейная алгебра задачи с решением прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

  • общее уравнение прямой
    Линейная алгебра задачи с решением (4.3)
  • уравнение прямой, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением перпендикулярно нормальному вектору Линейная алгебра задачи с решением
    Линейная алгебра задачи с решением
  • уравнение прямой, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением параллельно направляющему вектору Линейная алгебра задачи с решением (каноническое уравнение
    прямой):
Линейная алгебра задачи с решением
  • параметрические уравнения прямой
Линейная алгебра задачи с решением
  • уравнение прямой в отрезках
Линейная алгебра задачи с решением

Здесь Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением — величины отрезков, отсекаемых на осях координат Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

  • уравнение прямой, проходящей через две данные точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением
Линейная алгебра задачи с решением
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом Линейная алгебра задачи с решением, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением
Линейная алгебра задачи с решением

Расстояние Линейная алгебра задачи с решением от точки Линейная алгебра задачи с решением до прямой Линейная алгебра задачи с решением, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

Линейная алгебра задачи с решением
(4.4)

Две прямые, заданные уравнениями Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением параллельны, если

Линейная алгебра задачи с решением

и перпендикулярны, если Линейная алгебра задачи с решением

Задача №4.7.

Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением перпендикулярно вектору, проходящему через точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением Найти расстояние от точки Линейная алгебра задачи с решением до прямой, проходящей через точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Уравнение прямой запишем в виде:

Линейная алгебра задачи с решением

где Линейная алгебра задачи с решением — координаты точки Линейная алгебра задачи с решением, а Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением — координаты нормального вектора.
Так как Линейная алгебра задачи с решением то уравнение имеет вид Линейная алгебра задачи с решениемЛинейная алгебра задачи с решением или Линейная алгебра задачи с решением
Для нахождения расстояния от точки Линейная алгебра задачи с решением до прямой Линейная алгебра задачи с решением запишем уравнение этой прямой в виде

Линейная алгебра задачи с решением

или Линейная алгебра задачи с решением
Подставляя в формулу (4.4) координаты Линейная алгебра задачи с решением точки Линейная алгебра задачи с решением,
получаем

Линейная алгебра задачи с решением

2. Плоскость

Плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнениями:
Линейная алгебра задачи с решением — общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член Линейная алгебра задачи с решением то плоскость проходит через начало координат.

Если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение.

Линейная алгебра задачи с решением

уравнение плоскости, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением перпендикулярно нормальному вектору Линейная алгебра задачи с решением Линейная алгебра задачи с решением — уравнение плоскости в отрезках,
где Линейная алгебра задачи с решением — величина отрезков, отсекаемых плоскостью па координатных осях;

  • уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Линейная алгебра задачи с решением
Линейная алгебра задачи с решением
(4.6)

Величина угла Линейная алгебра задачи с решением между двумя плоскостями Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением вычисляется по формуле

Линейная алгебра задачи с решением

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

Линейная алгебра задачи с решением

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

Линейная алгебра задачи с решением

Расстояние Линейная алгебра задачи с решением от точки Линейная алгебра задачи с решением до плоскости Линейная алгебра задачи с решением, заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

Линейная алгебра задачи с решением

Задача №4.8.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Воспользуемся формулой (4.6):

Линейная алгебра задачи с решением

Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:

Линейная алгебра задачи с решением

Линии второго порядка

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты Линейная алгебра задачи с решением которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

Линейная алгебра задачи с решением
(4.7)

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (Линейная алгебра задачи с решением не равны нулю одновременно).
При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

Линейная алгебра задачи с решением
(4.8)
Линейная алгебра задачи с решением
(4.9)
Линейная алгебра задачи с решением
(4.10)

где Линейная алгебра задачи с решением — положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением Линейная алгебра задачи с решением

Линейная алгебра задачи с решением

имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.4

Точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением где Линейная алгебра задачи с решением называются фокусами эллипса.
Числа Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением Линейная алгебра задачи с решением
имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.5

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках Линейная алгебра задачи с решениемЛинейная алгебра задачи с решением называемых вершинами гиперболы. Числа Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением — полуоси гиперболы: Линейная алгебра задачи с решением — действительная полуось, Линейная алгебра задачи с решением — мнимая. Точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением где Линейная алгебра задачи с решением, называются фокусами гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением Линейная алгебра задачи с решением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.6

Число Линейная алгебра задачи с решениемназывается параметром параболы, точка Линейная алгебра задачи с решением — ее вершиной, а ось Линейная алгебра задачи с решением — осью параболы, вектор Линейная алгебра задачи с решением — фокальный радиус-вектор точки Линейная алгебра задачи с решением Прямая Линейная алгебра задачи с решением называется директрисой параболы.

Задача №4.9.

Упростить уравнение Линейная алгебра задачи с решением пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.

Решение:

Выделим полные квадраты по переменным Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением соответственно.

Линейная алгебра задачи с решением

Обозначая Линейная алгебра задачи с решением получим каноническое уравнение эллипса Линейная алгебра задачи с решением Начало новой системы координат — точка Линейная алгебра задачи с решением оси Линейная алгебра задачи с решением параллельны осям Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением соответственно. Большая полуось эллипса Линейная алгебра задачи с решением, малая полуось Линейная алгебра задачи с решением Изобразим кривую на рис. 4.7.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.7

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты Линейная алгебра задачи с решением которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

Линейная алгебра задачи с решением
(4.11)

Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты Линейная алгебра задачи с решением не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

Линейная алгебра задачи с решением — эллипсоид; (4.12)

Линейная алгебра задачи с решением — однополостный гиперболоид; (4.13)

Линейная алгебра задачи с решением — двухполостный гиперболоид; (4.14)

Линейная алгебра задачи с решением — конус: (4.15)
Линейная алгебра задачи с решением — эллиптический параболоид; (4.16)
Линейная алгебра задачи с решением — гиперболический параболоид: (4.17)
Линейная алгебра задачи с решением — эллиптический цилиндр; (4.18)
Линейная алгебра задачи с решением — гиперболический цилиндр; (4.19)
Линейная алгебра задачи с решением — параболический цилиндр. (4.20)

В уравнениях (4.12)-(4.20) Линейная алгебра задачи с решением положительны.

Задача №4.10.

Построить тело, ограниченное поверхностями Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: Линейная алгебра задачи с решением, а сверху — поверхностью сферы Линейная алгебра задачи с решением
Тело изображено на рис. 4.8.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.8

Задача №4.11.

Построить тело, ограниченное поверхностями.

Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Поверхность Линейная алгебра задачи с решением — эллиптический цилиндр.
Он пересечен плоскостями Линейная алгебра задачи с решением (координатные плоскости Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением). По оси Линейная алгебра задачи с решением тело ограничено плоскостями Линейная алгебра задачи с решением (рис. 4.9).

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Дополнительный материал по линейной алгебре

Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений. Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения.

Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространствам функций.

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

Матрицы. Операции над матрицами

Определение 1. Матрицей размерности Примеры решения задач по линейной алгебре называется прямоугольная таблица из Примеры решения задач по линейной алгебре чисел, записанных в виде

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

Если Примеры решения задач по линейной алгебре, то матрица называется квадратной порядка Примеры решения задач по линейной алгебре.
Замечание. Первый индекс в обозначении элемента — номер строки, второй — номер столбца.

Определение 2. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре две матрицы, размерности Примеры решения задач по линейной алгебре. Суммой матриц Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть матрицу вида Примеры решения задач по линейной алгебре (складываются элементы, стоящие на одинаковых местах).

Произведением матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре на число с будем называть матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре (каждый элемент матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре умножается на число Примеры решения задач по линейной алгебре).

Пример задачи №1.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Найти Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 3. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица размерности Примеры решения задач по линейной алгебре вида (1). Транспонированной матрицей к матрице Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре размерности Примеры решения задач по линейной алгебре вида

Примеры решения задач по линейной алгебре
(2)

Пример задачи №2.

Примеры решения задач по линейной алгебре Найти Примеры решения задач по линейной алгебре.

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Свойства операций сложения матриц и умножения матрицы на число

Для любых матриц Примеры решения задач по линейной алгебре размерности Примеры решения задач по линейной алгебре и любых действительных чисел Примеры решения задач по линейной алгебре выполняются следующие 8 свойств:

  1. Примеры решения задач по линейной алгебре — коммутативность сложения.

2. Примеры решения задач по линейной алгебре — ассоциативность сложения.

3. Существование нулевого элемента 0, обладающего свойством: Примеры решения задач по линейной алгебре В качестве 0 берется матрица, все элементы которой равны 0.

4. Существование противоположного элемента: Примеры решения задач по линейной алгебре матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре матрица Примеры решения задач по линейной алгебре такая, что Примеры решения задач по линейной алгебре В качестве Примеры решения задач по линейной алгебре берется матрица, элементы которой противоположны по знаку соответствующим элементам матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 4. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре две матрицы размерности Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре (число столбцов 1-ой матрицы равно числу строк 2-ой). Произведением матриц Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре называется матрица Примеры решения задач по линейной алгебре размерности Примеры решения задач по линейной алгебре,

элементы которой находятся по формуле

Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Пример задачи №3.

Примеры решения задач по линейной алгебре Найти Примеры решения задач по линейной алгебре.

Решение:

По формуле (3):

Примеры решения задач по линейной алгебре

Замечание. Примеры решения задач по линейной алгебре

Определители матриц


Определение 5. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — квадратная матрица размерности Примеры решения задач по линейной алгебре. Определителем (детерминантом) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть число

Примеры решения задач по линейной алгебре

Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — квадратная матрица размерности

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определителем (детерминантом) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть число Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре
(5)

Пример задачи №4.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Свойства определителей

  1. Если какую-либо строку (столбец) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре умножить на число Примеры решения задач по линейной алгебре то и определитель умножится на число Примеры решения задач по линейной алгебре то есть определитель полученной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будет равен: Примеры решения задач по линейной алгебре
  2. Если переставить местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель поменяет знак, то есть определитель полученной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будет равен: Примеры решения задач по линейной алгебре
  3. Если к какой-нибудь строке (столбцу) матрицы А прибавить любую другую строку (столбец) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре умноженной на любое число Примеры решения задач по линейной алгебре то определитель не изменится, то есть определитель полученной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будет равен: Примеры решения задач по линейной алгебре
  4. Примеры решения задач по линейной алгебре
  5. Определитель единичной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре равен 1. (единичная матрица — это матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0).
  6. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
    Замечание. Из свойств 1-5 следуют другие полезные свойства.

Следствие 1. Если строка (столбец) матрицы равны 0, то ее определитель равен 0.
Следствие 2. Если у матрицы две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Пример задачи №5.

Найдем определитель из примера 4, предварительно преобразовав матрицу

  1. Ко второй строке матрицы прибавим первую, и к третьей строке матрицы прибавим первую, умноженную на -2, получим:
Примеры решения задач по линейной алгебре

2. Переставим местами вторую и третью строки, затем к третьей прибавим вторую, умноженную на -5, получим:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 6. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре квадратная матрица порядка Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре — фиксированный элемент в этой матрице. Мысленно вычеркнем Примеры решения задач по линейной алгебре строку и Примеры решения задач по линейной алгебре столбец из матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре и обозначим определитель матрицы, составленной из оставшихся элементов, через Примеры решения задач по линейной алгебре Тогда Примеры решения задач по линейной алгебре называется алгебраическим дополнением к элементу Примеры решения задач по линейной алгебре.

Теорема 1. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — квадратная матрица порядка Примеры решения задач по линейной алгебре Примеры решения задач по линейной алгебре Тогда

Примеры решения задач по линейной алгебре
(6)

Формула (6) называется формулой разложения определителя по элементам Примеры решения задач по линейной алгебре строки.

Замечание. Аналогичная формула верна для любого столбца.

Формула (6) сводит вычисления определителя Примеры решения задач по линейной алгебре-ого порядка к вычислению определителя Примеры решения задач по линейной алгебре-1 порядка.

Пример задачи №6.

Вычислим определитель из примера 4. разложенного по элементам первой строки.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Разложим определитель по элементам 2-ого столбца.

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Методы вычисления определителя n — ого порядка

  1. Разложение по элементам строки (столбца).
    В этом случае используют теорему 1 и сводят вычисление определителя порядка Примеры решения задач по линейной алгебре к вычислению определителя порядка Примеры решения задач по линейной алгебре (см. пример 6).
  2. Приведение определителя к треугольному виду.
    С помощью свойств определителя приводят матрицу к треугольному виду. Определитель полученной матрицы равен произведению элементов, стоящих на диагонали (следует из теоремы 1).

Пример задачи №7.

Вычислить определитель порядка Примеры решения задач по линейной алгебре: Примеры решения задач по линейной алгебре

  1. Прибавим к 1-ой строке все остальные строки, получим:
Примеры решения задач по линейной алгебре

2. Вычтем 1 -ую строку из всех остальных строк, получим:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 1.1. Найти матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре, где

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 1.2. Даны следующие матрицы:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Обратная матрица

Определение 1. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре квадратная матрица размерностью Примеры решения задач по линейной алгебре. Матрица Примеры решения задач по линейной алгебре называется обратной матрицей к матрице Примеры решения задач по линейной алгебре, если
Примеры решения задач по линейной алгебре, (1)
где Примеры решения задач по линейной алгебре — единичная матрица.

При этом матрица Примеры решения задач по линейной алгебре обозначается как Примеры решения задач по линейной алгебре и тогда равенство (1) переписывается в следующем виде:
Примеры решения задач по линейной алгебре. (2)

Теорема 1. Если обратная матрица существует. То она единственна.

Доказательство. От противного. Предположим, что для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует две неравные друг другу матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре, такие, что
Примеры решения задач по линейной алгебре
Тогда рассмотрим равенства
Примеры решения задач по линейной алгебре
Так как левые части равенств равны, то равны и правые, то есть Примеры решения задач по линейной алгебре — противоречие, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная матрица Примеры решения задач по линейной алгебре тогда и только тогда, когда определитель матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре не равен 0.

Доказательство.

  1. Необходимость. Докажем, что если для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная матрица Примеры решения задач по линейной алгебре, то Примеры решения задач по линейной алгебре. По свойству (2): Примеры решения задач по линейной алгебре. Тогда Примеры решения задач по линейной алгебре поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре, ч.т.д.
  2. Достаточность. Пусть определитель Примеры решения задач по линейной алгебре не равен 0. Докажем, что для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная.
    Рассмотрим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре, составленную так, что алгебраические дополнения к строкам пишутся в соответствующие столбцы:
Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Непосредственно проверяем, что для этой матрицы выполняется равенство (2):

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Действительно, по формуле (3) элемент Примеры решения задач по линейной алгебре равен

Примеры решения задач по линейной алгебре

элемент Примеры решения задач по линейной алгебре равен

Примеры решения задач по линейной алгебре

и т.д. Теорема доказана.

Пример задачи №8.

Примеры решения задач по линейной алгебре Проверить, что для матрицы существует обратная и найти ее.

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре (см. пример 4), поэтому по теореме 2 матрица Примеры решения задач по линейной алгебре существует.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Тогда по формуле (3):

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 2. Система уравнений вида

Примеры решения задач по линейной алгебре
(4)

называется системой Примеры решения задач по линейной алгебре линейных уравнений с Примеры решения задач по линейной алгебре неизвестными.

Матрица Примеры решения задач по линейной алгебре, составленная из коэффициентов при неизвестных,

Примеры решения задач по линейной алгебре

называется матрицей системы, столбец Примеры решения задач по линейной алгебре — столбцом свободных членов. При этом систему можно переписать в матричном виде:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(5)

Совокупность чисел Примеры решения задач по линейной алгебре — называется решением системы (4), если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

Если система (4) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае — несовместной.

Теорема 3. Рассмотрим систему Примеры решения задач по линейной алгебре линейных уравнений с Примеры решения задач по линейной алгебре неизвестными.

Примеры решения задач по линейной алгебре
(6)

где Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица системы. Предположим, что для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная матрица. Тогда система (6) имеет единственное решение

Примеры решения задач по линейной алгебре
(7)

Доказательство. Умножим обе части равенства (6) на Примеры решения задач по линейной алгебре:

Примеры решения задач по линейной алгебре

поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре ч.т.д.

Замечание. Решение системы по формуле (7) называется матричным методом решения системы. Из формул (7) и (3) следует:

Примеры решения задач по линейной алгебре

тогда

Примеры решения задач по линейной алгебре

где через Примеры решения задач по линейной алгебре обозначен определитель матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре системы, а Примеры решения задач по линейной алгебре — определитель матрицы, полученной из матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре заменой первого столбца столбцом свободных членов. Аналогично, Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре — определитель матрицы, Примеры решения задач по линейной алгебре полученной из матрицы А заменой второго столбца столбцом свободных членов и т.д.
Полученные формулы называются формулами Крамера.

Пример задачи №9.

Решить систему уравнений Примеры решения задач по линейной алгебре

1) матричным способом; 2) по формулам Крамера.

Решение:

1) Матричный способ. Перепишем систему в матричном виде:

Примеры решения задач по линейной алгебре

(см. пример 4), поэтому обратная матрица существует и решение системы единственно.

Примеры решения задач по линейной алгебре (см пример 1), тогда по формуле (7)

Примеры решения задач по линейной алгебре

то есть Примеры решения задач по линейной алгебре

2) Формулы Крамера. Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре

Замечание. Если рассмотреть матричное уравнение Примеры решения задач по линейной алгебре (8) где Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре данные матрицы, а Примеры решения задач по линейной алгебре — неизвестная матрица, то, рассуждая аналогично теореме 3, получим формулу:
Примеры решения задач по линейной алгебре (9)
Аналогично, для матричного уравнения
Примеры решения задач по линейной алгебре (10)
получим формулу:
Примеры решения задач по линейной алгебре (11)

Пример задачи №10.

Решить матричное уравнение Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

(см. пример 1), тогда по формуле (9):

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 2.1. Найдите обратные матрицы для заданных матриц:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 2.2. Выяснить при каких значениях Примеры решения задач по линейной алгебре существует матрица, обратная данной.

Ранг матрицы

Определение 1. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре произвольная матрица размерности Примеры решения задач по линейной алгебре. Выберем в матрице Примеры решения задач по линейной алгебре строк Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре столбцов Примеры решения задач по линейной алгебре и обозначим через
Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре определитель матрицы размерности Примеры решения задач по линейной алгебре, составленный из элементов матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов.
Примеры решения задач по линейной алгебре называется минором порядка Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи №11.

Примеры решения задач по линейной алгебре Найдем миноры Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров, отличных от нуля. Ранг будем обозначать через Примеры решения задач по линейной алгебре или Примеры решения задач по линейной алгебре Не равный нулю минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором.

Замечание. Не обязательно перебирать все миноры матрицы, чтобы найти ее ранг.

Оказывается, для этого достаточно рассматривать вложенные друг в друга миноры. На этом основывается, так называемый, метод окаймляющих миноров.

Для нахождения ранга матрицы проводят настолько долго, насколько это возможно следующие операции.

  1. Рассматривают миноры 1-ого порядка. Если все они равны 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и конец алгоритма.
    Если хотя бы одни из них не равен 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и переходят на п.2.
  2. Рассматривают все миноры 2-ого порядка, окаймляющие фиксированный ненулевой минор 1-ого порядка. Если все они равны 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и конец алгоритма.
    Если хотя бы один из них не равен 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и переходят па рассмотрение миноров 3-ого порядка, окаймляющих фиксированный ненулевой минор 2-ого порядка, и т.д., пока есть что окаймлять.

Пример задачи №12.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Найти ранг Примеры решения задач по линейной алгебре методом окаймляющих миноров.

  1. Примеры решения задач по линейной алгебре поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре. Рассмотрим минор Примеры решения задач по линейной алгебре, окаймляющий Примеры решения задач по линейной алгебре.
  2. Примеры решения задач по линейной алгебре поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре
  3. Минор Примеры решения задач по линейной алгебре окаймляют два минора третьего порядка Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре.
Примеры решения задач по линейной алгебре

поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре.

Определение 3. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка любых 2-х строк (столбцов) матрицы;
2) умножение любой строки (столбца) матрицы на отличное от нуля число;
3) прибавление к любой строке (столбцу) матрицы любой другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число.

Теорема 1. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. С помощью элементарных преобразований любую матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре можно привести к трапециевидному виду:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

Где все строки, начиная с Примеры решения задач по линейной алгебре — ой равны 0, а элементы стоящие на диагонали Примеры решения задач по линейной алгебре не равны 0. И тогда ранг матрицы равен Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи №13.

С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре и базисный минор,

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

1- й шаг. Меняем местами 1-й и 4-й столбцы.
2- й шаг. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую, умноженную соответственно на -4, -2, -6.
3- й шаг. К третьей и четвертой строкам прибавляем вторую, умноженную соответственно на -1,-2.
4- й шаг. Меняем местами 3-й и 4-й столбцы.
5- й шаг. К четвертому столбцу прибавляем третий, умноженный на -1.

В результате получаем матрицу трапециевидного вида из теоремы 1. Тогда Примеры решения задач по линейной алгебре, базисный минор в первоначальной матрице: Примеры решения задач по линейной алгебре, так как в результате двух перестановок столбцов первый столбец оказался па третьем месте, а четвертый — на первом.

Упражнение 3.1. Найти миноры Примеры решения задач по линейной алгебреПримеры решения задач по линейной алгебре указанных матрицах:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 3.2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы: а) 3; в) 3; с) 2.
Упражнение 3.3. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы: а) 4; в) 4; с) 4; d) 3.
Упражнение 3.4. Найти ранг матрицы в зависимости от значений параметра Примеры решения задач по линейной алгебре;

Примеры решения задач по линейной алгебре

При каких значениях Примеры решения задач по линейной алгебре матрица имеет обратную?

Решение произвольных систем линейных уравнений

Рассмотрим систему Примеры решения задач по линейной алгебре линейных уравнений с Примеры решения задач по линейной алгебре неизвестными вида:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

или в матричном виде

Примеры решения задач по линейной алгебре
(2)

где Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица системы. При этом матрица Примеры решения задач по линейной алгебре вида Примеры решения задач по линейной алгебре которая получается, если к матрице Примеры решения задач по линейной алгебре справа добавить столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Теорема (Кронекера-Капелли)

Для того, чтобы система уравнений (1) имела решение необходимо и
достаточно, чтобы Примеры решения задач по линейной алгебре
Докажем необходимость. Дано: система имеет решение. Докажем, что Примеры решения задач по линейной алгебре Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — решение системы. Тогда при подстановке этих чисел в систему получим верные равенства. Запишем эти равенства в векторном виде:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Рассмотрим матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре. Вычтем из последнего столбца первый, умноженный на Примеры решения задач по линейной алгебре, второй — умноженный на Примеры решения задач по линейной алгебре — умноженный на Примеры решения задач по линейной алгебре. Из (3) следует, что в результате такого преобразования получим:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре

Замечание. Теорема 1 дает конкретный алгоритм решения произвольных систем:

  1. Находят Примеры решения задач по линейной алгебре Если они не равны, то система не имеет решений.
  2. Если они равны, рассматриваем базисный минор матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре. Все уравнения, нс входящие в базисный минор отбрасывают. Неизвестные в оставшихся уравнениях, не входящие в базисный минор, переносят направо и полученную систему решают по правилам Крамера или матричным методом.
    При этом Примеры решения задач по линейной алгебре можно находить одновременно методом элементарных преобразований, если последний столбец матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре не прибавлять к другим столбцам и не переставлять его с другими.

Пример задачи №14.

Решить систему: Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Найдем Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре

1 — й шаг. Переставляем местами 1-й и 2-й столбцы матрицы.
2 — й шаг. Ко второй и третьей строке прибавляем первую, умноженную на -2 и -4 соответственно.
3 — й шаг. От третьей строки отнимаем вторую, Примеры решения задач по линейной алгебре система совместна.
Базисный минор находится в 1, 2 столбце и 1, 2 строке. Отбрасываем 3-е уравнение. Переменные Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре в оставшихся уравнениях переносим направо (Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре — свободные неизвестные).

В результате получим систему: Примеры решения задач по линейной алгебре

Решим ее по Правилу Крамера:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Таким образом: Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре

Метод Гаусса

Если при нахождении ранга матриц Примеры решения задач по линейной алгебре использовать только элементарные преобразования строк или перестановку столбцов, не переставляя столбец свободных членов с другими, то нет необходимости возвращаться к первичной матрице.

Алгоритм метода Гаусса

  1. Прямой ход метода Гаусса. Элементарными преобразованиями матрица Примеры решения задач по линейной алгебре приводится к виду:
Примеры решения задач по линейной алгебре

где Примеры решения задач по линейной алгебре Если хотя бы один из элементов Примеры решения задач по линейной алгебре то система не имеет решений. Если же Примеры решения задач по линейной алгебре то система имеет решение и начинают обратный ход.

Обратный ход метода Гаусса

Рассмотрим последнее Примеры решения задач по линейной алгебре уравнение и из него выражаем Примеры решения задач по линейной алгебре через все остальные неизвестные. Подставляем найденные Примеры решения задач по линейной алгебре во все остальные уравнения и из Примеры решения задач по линейной алгебре — ого уравнения выражают переменную Примеры решения задач по линейной алгебре через остальные и т.д., пока не дойдем до первого уравнения.

Пример задачи №15.

Решить систему по методу Гаусса.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Прямой ход метода Гаусса:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

система совместна. Обратный ход метода Гаусса:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Из первого уравнения

Примеры решения задач по линейной алгебре

Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре тогда Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 4.1. Исследовать данную систему и в случае совместности решить её.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы: Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре

Линейные векторные пространства

Определение 1. Произвольное множество Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть линейным векторным пространством, если на Примеры решения задач по линейной алгебре определена операция сложения его элементов (векторов), а именно: Примеры решения задач по линейной алгебре и операция умножения
вектора на действительное число Примеры решения задач по линейной алгебре При этом необходимо, чтобы выполнялись следующие 8 аксиом:

  1. Примеры решения задач по линейной алгебре коммутативность сложения векторов.
  2. Примеры решения задач по линейной алгебре — ассоциативность сложения векторов.
  3. Существование нулевого элемента Примеры решения задач по линейной алгебре: Примеры решения задач по линейной алгебре.
  4. Существование противоположного элемента:
    Примеры решения задач по линейной алгебре.
  5. Примеры решения задач по линейной алгебре.
  6. Примеры решения задач по линейной алгебре.
  7. Примеры решения задач по линейной алгебре.
  8. Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи 1. Множество действительных чисел Примеры решения задач по линейной алгебре с обычными операциями сложения и умножения чисел будет линейным векторным пространством (все 8 аксиом выполняются).
Пример задачи 2. Множество Примеры решения задач по линейной алгебре всех матриц размерности Примеры решения задач по линейной алгебре с обычными операциями сложения и умножения матрицы на число будет линейным векторным пространством (все 8 аксиом выполняются).
Пример задачи 3. Множество матриц вида:

Примеры решения задач по линейной алгебре — не будет линейным векторным пространством, так как это множество не замкнуто относительно операции сложения и умножения (сумма двух элементов данного вида не будет элементом данного вида).
Пример задачи 4. Множество матриц вида

Примеры решения задач по линейной алгебре будет линейным векторным пространством.

Пример задачи 5. Арифметическое пространство Примеры решения задач по линейной алгебре будет линейным векторным пространством, если задать операции сложения его элементов Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре:Примеры решения задач по линейной алгебре и операцию умножения на число Примеры решения задач по линейной алгебре: Примеры решения задач по линейной алгебре (все 8 аксиом выполняются).

Определение 2. Векторы Примеры решения задач по линейной алгебре называются линейно-зависимыми, если Примеры решения задач по линейной алгебре такие числа Примеры решения задач по линейной алгебре не все равные нулю, что

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

Если же равенство (1) выполняется только при нулевых значениях Примеры решения задач по линейной алгебреПримеры решения задач по линейной алгебре то векторы называются линейно-независимыми.
Базисом пространства Примеры решения задач по линейной алгебре называется совокупность векторов Примеры решения задач по линейной алгебре, если : 1) они линейно-независимы; 2) любой вектор Примеры решения задач по линейной алгебре выражается через базис с какими-то координатами:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(2)

При этом числа Примеры решения задач по линейной алгебре в (2) называются координатами вектора Примеры решения задач по линейной алгебре в базисе Примеры решения задач по линейной алгебре. Число Примеры решения задач по линейной алгебре векторов базиса называется размерностью пространства Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи 6. Для линейного пространства Примеры решения задач по линейной алгебре всех матриц размерности Примеры решения задач по линейной алгебре (см.пример 2) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре являются базисом, при этом любая матрица

Для линейного пространства Примеры решения задач по линейной алгебре всех матриц размерности Примеры решения задач по линейной алгебре (см.пример 2) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре являются базисом, при этом любая матрица

Примеры решения задач по линейной алгебре

то есть координатами Примеры решения задач по линейной алгебре в данном базисе будут числа Примеры решения задач по линейной алгебре.

Теорема 1. Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство. От противного. Предположим, что Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре — два различных выражения вектора Примеры решения задач по линейной алгебре через базис. Тогда

Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Векторы образующие базис, линейно-независимы, поэтому из (3) следует: Примеры решения задач по линейной алгебре, то есть Примеры решения задач по линейной алгебре. Противоречие, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Система векторов
Примеры решения задач по линейной алгебре заданных своими координатами в некотором базисе, будет линейно независимой тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленный из координат векторов равна Примеры решения задач по линейной алгебре — числу векторов.

Доказательство. Достаточность. Дано: ранг матрицы равен Примеры решения задач по линейной алгебре. Докажем, что векторы линейно-независимы. От противного. Предположим, что векторы линейно-зависимы. Тогда один из них линейно выражается через остальные. Например Примеры решения задач по линейной алгебре и если от последней строки отнять первую, умноженную на Примеры решения задач по линейной алгебре, вторую — умноженную на Примеры решения задач по линейной алгебре — ю умноженную Примеры решения задач по линейной алгебре, то получим нулевую строку, то есть ранг Примеры решения задач по линейной алгебре. Противоречие, ч. т. д.

Пример задачи №16.

Даны векторы Примеры решения задач по линейной алгебре. Доказать, что они образуют базис в пространстве Примеры решения задач по линейной алгебре и найти в этом базисе координаты вектора Примеры решения задач по линейной алгебре.

Решение:

Применим теорему 2. Найдем ранг матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре, составленной из координат векторов: Примеры решения задач по линейной алгебре Координаты векторов выпишем в столбцы.

Примеры решения задач по линейной алгебре

1- й шаг. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную третьей строке прибавляем первую.
2- й шаг. Переставляем местами 2-ю и 3-ю строки.
3- й шаг. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на -2. Примеры решения задач по линейной алгебре векторы линейно-независимы.
Три линейно-независимых вектора трехмерного пространства образуют базис. Найдем координаты вектора Примеры решения задач по линейной алгебре в базисе Примеры решения задач по линейной алгебре:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решая систему, получим Примеры решения задач по линейной алгебре.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(4)

или в матричном виде Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица системы.

Теорема 3. Система (4) всегда совместна. Множество решений системы (4) образует линейное пространство.
Доказательство. Примеры решения задач по линейной алгебре является решением системы, поэтому она совместна. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — решения системы, тогда Примеры решения задач по линейной алгебре Рассмотрим вектор Примеры решения задач по линейной алгебре тогда Примеры решения задач по линейной алгебре то есть вектор Примеры решения задач по линейной алгебре также является решением системы (4) (множество всех решений замкнуто относительно операции сложения).
Аналогично доказывается, что Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре — решение системы (4). Значит множество всех решений системы замкнуто относительно операции умножения решений на число. Все 8 аксиом линейного пространства проверяются непосредственно, ч.т.д.

Определение . Базис пространства всех решений системы (4) называется фундаментальной системой решений.

Пример задачи №17.

Найти фундаментальную систему решений:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Решим систему по методу Гаусса.

Примеры решения задач по линейной алгебре

1- й шаг. Ко второй и третьей строкам прибавляем первую умноженную соответственно на -1 и -2.
2- й шаг. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на -1. Вторую строку сокращаем на 2.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре. Из последнего уравнения Примеры решения задач по линейной алгебре.

Из второго уравнения Примеры решения задач по линейной алгебре. Из первого уравнения Примеры решения задач по линейной алгебре.

Примеры решения задач по линейной алгебре — общее решение. Количество свободных неизвестных задает размерность пространства решений.

Для того, чтобы получить фундаментальную систему решений, одно из свободных неизвестных приравнивают к 1 остальные берут равными 0.

И так поступают со всеми свободными неизвестными по очереди.

В результате получают векторы фундаментальной системы решений.

Примеры решения задач по линейной алгебре — фундаментальная система решений. При этом общее решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 5.1. Даны векторы Примеры решения задач по линейной алгебре. Доказать, что они образуют базис в пространстве Примеры решения задач по линейной алгебре и найти в этом базисе координаты вектора Примеры решения задач по линейной алгебре.

Метод Жордана — Гаусса

Рассмотрим систему уравнений. Решение систем по методу Жордана-Гаусса аналогично решению системы по методу Гаусса. При решении систем проводят элементарные преобразования строк в расширенной матрице системы. При этом, выбрав разрешающий элемент Примеры решения задач по линейной алгебре в Примеры решения задач по линейной алгебре — ой строке, обнуляют, с помощью элементарных преобразований, все остальные элементы в Примеры решения задач по линейной алгебре — ом столбце.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса.

  1. Выписываем расширенную матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре системы и в первой строке среди первых Примеры решения задач по линейной алгебре элементов находим ненулевой элемент ( например Примеры решения задач по линейной алгебре). Делим 1-ю строку на Примеры решения задач по линейной алгебре. Проведя элементарные преобразования строк, обнуляем остальные элементы Примеры решения задач по линейной алгебре -ого столбца.
  2. Во второй строке полученной матрицы находим среди первых Примеры решения задач по линейной алгебре элементов ненулевой элемент Примеры решения задач по линейной алгебре. Проводя элементарные преобразования строк, обнуляем все остальные элементы Примеры решения задач по линейной алгебре — ого столбца и т. д.

Если по ходу алгоритма получаем строки содержащие нули в первых Примеры решения задач по линейной алгебре столбцах, опускаем их в конец матрицы. В результате преобразований матрица Примеры решения задач по линейной алгебре сведется к виду:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Если хотя бы одно из чисел Примеры решения задач по линейной алгебре не равно нулю, то система не имеет решений. Если Примеры решения задач по линейной алгебре, то система имеет решение. При этом Примеры решения задач по линейной алгебре объявляют свободными неизвестными и переменные Примеры решения задач по линейной алгебре выражают через свободные неизвестные. Свободные неизвестные в системе часто будут равными пулю.

В результате получают частное (базисное решение) Примеры решения задач по линейной алгебре.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Пример задачи №18.

Найти все базисные решения системы

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Линейная алгебра — задания и задачи с примерами решения

При изучении линейной алгебры вы познакомитесь на
примерах с понятиями линейного (векторного) пространства, линейного оператора, его матрицы, образа, ядра, ранга, дефекта, собственных векторов и собственных значений. Вы научитесь выполнять различные операции с операторами и матрицами, исследовать и решать системы линейных уравнений, получать всю информацию об операторе (матрицу, образ, ядро, ранг и дефект, собственные векторы и собственные значения) по его матрице, преобразовывать векторы и матрицы при изменениях базисов.

Правило Крамера

Постановка задачи. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейная алгебра

по правилу Крамера.

План решения. Если определитель матрицы системы

Линейная алгебра

отличен от нуля, то система имеет решение и притом только одно.
Это решение определяется формулами

Линейная алгебра

где Линейная алгебра— определитель матрицы, получаемой из матрицы системы
заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

1.Вычисляем определитель матрицы системы

Линейная алгебра

и убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно система уравнений имеет единственное решение.

2.Вычисляем определители

Линейная алгебра

3.По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений

Линейная алгебра

Пример. Решить систему уравнений

Линейная алгебра

по правилу Крамера.

Решение.

1. Вычисляем определитель матрицы системы, разлагая его по
первой строке:

Линейная алгебра

Так как он не равен нулю, то система уравнений имеет единственное
решение.

2.Вычисляем определители

Линейная алгебра

3.По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений

Линейная алгебра

Ответ. Линейная алгебра

Обратная матрица

Постановка задачи. Задана квадратная матрица третьего
порядка

Линейная алгебра

Установить существование и найти обратную матрицу Линейная алгебра

План решения. Матрица Линейная алгебра называется обратной квадратной
матрице С, если

Линейная алгебра

где Е — единичная матрица.

Если Линейная алгебра (матрица С — невырожденная), то матрица С
имеет обратную, если det С = 0, то матрица С не имеет обратной.

1.Вычисляем определитель матрицы det С. Если Линейная алгебра, то
матрица С имеет обратную.

2.Составляем матрицу из алгебраических дополнений

Линейная алгебра

3.Транспонируем матрицу Линейная алгебра

Линейная алгебра

4.Разделив матрицу Линейная алгебра на определитель, получаем искомую обратную матрицу

Линейная алгебра

5.Проверяем, что Линейная алгебраи записываем ответ.

Пример. Задана квадратная матрица третьего порядка

Линейная алгебра

Установить существование и найти обратную матрицу Линейная алгебра

Решение.

1.Вычисляем определитель матрицы detC:

Линейная алгебра

Так как Линейная алгебра, то матрица С имеет обратную.

2.Составляем матрицу из алгебраических дополнений

Линейная алгебра

3.Транспонируем матрицу Линейная алгебра

Линейная алгебра

4.Разделив матрицу Линейная алгебра на определитель, получаем искомую обратную матрицу

Линейная алгебра

5.Проверяем

Линейная алгебра

Ответ. Матрица, обратная матрице С, есть

Линейная алгебра

Понятие линейного пространства

Постановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество X, в котором определены «сумма» а Линейная алгебра b любых
двух элементов а и b и «произведение»
Линейная алгебра любого элемента а на
любое число
Линейная алгебра

План решения. Исходя из определения линейного пространства,
проверяем следующие условия.

1.Являются ли введенные операции сложения и умножения на
число замкнутыми в X, т.е. верно ли, что Линейная алгебра и Линейная алгебра

Линейная алгебра

Если нет, то множество X не является линейным пространством, если
да, то продолжаем проверку.

2.Находим нулевой элемент Линейная алгебра такой, что Линейная алгебра

Линейная алгебра

Если такого элемента не существует, то множество X не является
линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3.Для каждого элемента Линейная алгебра определяем противоположный элемент Линейная алгебратакой, что

Линейная алгебра

Если такого элемента не существует, то множество X не является
линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4.Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. Линейная алгебра

Линейная алгебра

Если хотя бы одна из аксиом нарушается, то множество X не
является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то
множество X — линейное пространство.

Пример. Образует ли линейное пространство множество положительных чисел Линейная алгебра в котором операции «сложения» и «умножения на число» определены следующим образом: Линейная алгебра

Линейная алгебра

Решение.

1.Введенные таким образом операции являются замкнутыми в
данном множестве, так как если Линейная алгебра то

Линейная алгебра

т.е. Линейная алгебра

2.В качестве нулевого элемента нужно взять единицу Линейная алгебра так
как
а • 1 = а,
иными словами,

Линейная алгебра

3.В качестве элемента —а, противоположного элементу а, нужно
взять 1/а, так как

Линейная алгебра

иными словами,

Линейная алгебра

4.Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. Линейная алгебра

Линейная алгебра

Все аксиомы выполнены.

Системы линейных уравнений

Задача 1. Однородные системы уравнений

Постановка задачи. Найти размерность d пространства решений, его базис (фундаментальную систему решении) и общее решение однородной системы линейных уравнений

Линейная алгебра

План решения.

1.Записываем матрицу системы:

Линейная алгебра

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу А так, чтобы в максимальном числе столбцов оказалось по одной единице (в разных строках у разных столбцов), а остальные элементы столбцов были нулями. Очевидно, что такие столбцы линейно независимы. Они называются базисными.

Полученную матрицу будем называть редуцированной и обозначать Линейная алгебра Отметим, что редуцированная матрица эквивалентна исходной Линейная алгебра и система уравнений с матрицей Линейная алгебра эквивалентна исходной системе уравнений.

2. Так как Линейная алгебра то вычисляем ранг А как количество базис-
базисных столбцов матрицы Линейная алгебра:

Линейная алгебра

Следовательно, размерность пространства решений есть d = n — r.
Если n = r, то однородная система имеет единственное (нулевое)
решение, если n > r, то фундаментальная система состоит из n — r
линейно независимых решений.

3.Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, называются базисными, остальные — свободными (или параметрическими).

Запишем систему уравнений с матрицей Линейная алгебра и перенесем n — r
свободных неизвестных в правые части уравнений системы. Придавая свободным неизвестным n — r наборов значений (по одной единице, остальные — нули), для каждого такого набора решаем систему уравнений и находим соответствующие значения базисных
неизвестных. Убедимся, что полученные решения Линейная алгебралинейно независимы, составив матрицу из столбцов Линейная алгебра и вычислив ее ранг.

Записываем фундаментальную систему решений Линейная алгебра и общее решение однородной системы линейных уравнений

Линейная алгебра

где Линейная алгебра— фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и Линейная алгебра— произвольные постоянные.

Пример 1. Найти размерность d пространства решений, его базис
(фундаментальную систему решений) и общее решение однородной
системы линейных уравнений

Линейная алгебра

Решение.

1.Записываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:

Линейная алгебра

Очевидно, что первый и второй столбцы матрицы Линейная алгебра (и исходной
матрицы А) линейно независимы, а остальные столбцы являются их
линейными комбинациями. Поэтому первый и второй столбцы —
базисные.

2.Так как количество линейно независимых столбцов матрицы
Линейная алгебра равно двум, то

Линейная алгебра

Следовательно, размерность пространства решений
d=n-r=5-2=3
и фундаментальная система решений состоит из трех линейно
независимых решений.

3. Неизвестные Линейная алгебра соответствующие базисным столбцам,
являются базисными, неизвестные Линейная алгебра — свободными.

Запишем систему уравнений с матрицей Линейная алгебра (эта система
эквивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы:

Линейная алгебра

Для первого набора свободных неизвестных Линейная алгебра
получаем Линейная алгебра т.е. первое решение имеет вид системы

Линейная алгебра

Для второго набора свободных неизвестных Линейная алгебра
получаем Линейная алгебра т.е. второе решение имеет вид системы

Линейная алгебра

Для третьего набора свободных неизвестных Линейная алгебра
получаем Линейная алгебра т.е. третье решение системы имеет вид

Линейная алгебра

Сделаем проверку, подставив эти решения в исходную систему
уравнений, а также убедимся, что решения линейно независимы (ранг матрицы, составленной из столбцов Линейная алгебра равен 3).

Следовательно, решения Линейная алгебра образуют базис в пространстве решений (фундаментальную систему решений).

Ответ. Размерность пространства решений есть d = 3. Фундаментальная система решений есть

Линейная алгебра

и общее решение однородной системы имеет вид

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — произвольные постоянные.

Задача 2. Неоднородные системы уравнений
Постановка задачи. Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Линейная алгебра

План решения.

1.Записываем расширенную матрицу системы

Линейная алгебра

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу Линейная алгебра к редуцированному виду.

2.Вычисляем ранги основной матрицы системы А и расширенной
матрицы Линейная алгебра. Если Линейная алгебра то система совместна, если
Линейная алгебра то система несовместна (решений не имеет).

3.Пусть Линейная алгебра Тогда общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой

Линейная алгебра

где Линейная алгебра— какое-либо частное решение неоднородной системы,
Линейная алгебра — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и Линейная алгебра — произвольные постоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной сис-
системы уравнений Линейная алгебра, повторим операции, изложенные в задаче 1.

4.Столбец свободных членов В расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы А. Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем разложение столбца свободных членов по всем столбцам матрицы А. Коэффициенты этого разложения образуют частное решение неоднородной системы Линейная алгебра.

5.Записываем общее решение неоднородной системы линейных
уравнений:

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — какое-нибудь частное решение неоднородной системы,
Линейная алгебра — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений и Линейная алгебра — произвольные постоянные.

Пример 2. Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Линейная алгебра

Решение.

1.Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу Линейная алгебра к
редуцированному виду:

Линейная алгебра

2.Так как Линейная алгебра то система совместна. Так как
n — r = 5 — 2 = 3, то общее решение неоднородной системы линейных
уравнений определяется формулой

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — какое-нибудь частное решение неоднородной системы,
Линейная алгебра — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и Линейная алгебра — произвольные постоянные.

3.Запишем соответствующую однородную систему уравнений

Линейная алгебра

Она совпадает с системой, приведенной в примере 1. (Если однородная система уравнений не совпадает с системой, приведенной в примере 1, то для нахождения фундаментальной системы решений повторим операции, использованные при решении примера 1.)

При решении примера 1 была найдена фундаментальная система
решений однородной системы уравнений:

Линейная алгебра

4.Найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы.
Столбец свободных членов В расширенной матрицы есть линейная
комбинация базисных столбцов матрицы А, т.е. столбцов Линейная алгебра

Линейная алгебра

Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получим

Линейная алгебра

Коэффициенты в этом разложении образуют частное решение неоднородной системы

Линейная алгебра

Сделаем проверку, подставив Линейная алгебра в исходную систему уравнений.

Ответ. Общее решение системы имеет вид

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — произвольные постоянные.

Линейные операторы

Постановка задачи. Пусть в некотором базисе линейного пространства Линейная алгебра задан произвольный вектор Линейная алгебраЯвляется ли линейным оператор Линейная алгебра такой, что

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — некоторые функции п переменных?

План решения. Если Линейная алгебра и Линейная алгебра
произвольные векторы пространства Линейная алгебра, то Линейная алгебраЛинейная алгебраи Линейная алгебра

Проверяем условия линейности оператора:

Линейная алгебра

Если условия линейности выполнены, т.е.

Линейная алгебра

при i = 1, 2,…, n, то оператор Линейная алгебра линеен, в противном случае
оператор Линейная алгебра нелинеен.

Пример. Пусть в некотором базисе линейного пространства Линейная алгебра
задан произвольный вектор Линейная алгебра Является ли линейным оператор Линейная алгебра такой, что

Линейная алгебра

Решение. Пусть Линейная алгебра и Линейная алгебра — произвольные векторы пространства Линейная алгебра. Тогда Линейная алгебра и
Линейная алгебра

Проверяем условия линейности оператора:

Линейная алгебра

Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор Линейная алгебра линеен.

Ответ. Оператор Линейная алгебра линеен.

Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора

Постановка задачи. Задан оператор Линейная алгебра, осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов Линейная алгебра
Доказать линейность, найти матрицу (в базисе
Линейная алгебра образ, ядро,
ранг и дефект оператора
Линейная алгебра.

План решения.

1.По определению доказываем линейность оператора Линейная алгебра, используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что Линейная алгебра и Линейная алгебра

Линейная алгебра

2.Строим по определению матрицу оператора Линейная алгебра. Для этого находим образы базисных векторов Линейная алгебра и записываем их координаты
в базисе Линейная алгебра. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат
образов базисных векторов.

3.Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора Линейная алгебра, исходя из их
определений.

Пример. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе Линейная алгебра),
образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства
геометрических векторов Линейная алгебра на плоскость XOY.

Решение.

1.Докажем по определению линейность оператора проецирования. Пусть в базисе Линейная алгебра имеем произвольный вектор Линейная алгебра
Тогда его образ (проекция) есть Линейная алгебра

По правилам операций с геометрическими векторами в координатной форме Линейная алгебра имеем

Линейная алгебра

2.Так как по определению матрицы оператора ее столбцы —
это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы
базисных векторов Линейная алгебра и запишем их координаты в базисе Линейная алгебра:

Линейная алгебра

Таким образом, матрица оператора проецирования Линейная алгебра есть

Линейная алгебра

3.Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора Линейная алгебра, исходя из
определений.

Образ оператора проецирования Линейная алгебра— это множество векторов,
лежащих в плоскости XOY, следовательно, в базисе Линейная алгебра

Линейная алгебра

Отсюда Линейная алгебра

Линейная алгебра — это множество векторов, коллинеарных оси OZ, следовательно, в базисе Линейная алгебра

Линейная алгебра

Отсюда Линейная алгебра

Заметим, что Линейная алгебра

Ответ. Оператор Линейная алгебра линеен. Его матрица в базисе Линейная алгебра есть

Линейная алгебра

Линейная алгебра

Действия с операторами и их матрицами

Постановка задачи. В некотором базисе трехмерного линейного пространства Линейная алгебра заданы отображения

Линейная алгебра

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — произвольный вектор пространства Линейная алгебра.

Найти координаты вектора Линейная алгебра (в том же базисе), где
Линейная алгебра — многочлен относительно операторов Линейная алгебра

План решения. Так как при сложении операторов их матрицы
складываются, при умножении на число — умножаются на это число,
а матрица композиции операторов равна произведению их матриц,
то нужно найти матрицу Р(А, В), где А и В — матрицы операторов
Линейная алгебра Затем столбец координат вектора Линейная алгебра находим по формуле Р(А, В) • X, где X — столбец координат вектора х.

1.Построим матрицы операторов Линейная алгебра

Линейная алгебра

2.По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и
умножения матриц находим матрицу Р(А,В):

Линейная алгебра

3.Находим столбец координат образа вектора х:

Линейная алгебра

Записываем ответ в виде Линейная алгебра

Пример. В некотором базисе трехмерного линейного пространства Линейная алгебра заданы отображения

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — произвольный вектор пространства Линейная алгебра. Найти координаты вектора Линейная алгебра в том же базисе.

Решение.

1.Построим матрицы операторов Линейная алгебра

Линейная алгебра

2.По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и
умножения матриц вычисляем матрицу 2А + А • В:

Линейная алгебра

3.Находим столбец координат образа вектора х:

Линейная алгебра

Ответ. Линейная алгебра

Преобразование координат вектора

Постановка задачи. Вектор х в базисе Линейная алгебра имеет координаты Линейная алгебра Найти координаты вектора х в базисе
Линейная алгебра где

Линейная алгебра

План решения. Координаты вектора при переходе от базиса
Линейная алгебра к базису Линейная алгебра преобразуются по формуле

Линейная алгебра

где Линейная алгебра — столбцы координат вектора х в базисах Линейная алгебра и Линейная алгебра, G — матрица перехода от базиса Линейная алгебра к базису Линейная алгебра.

1.Находим матрицу перехода С. Так как столбцы матрицы перехода от базиса Линейная алгебра к базису Линейная алгебра — это столбцы
координат векторов Линейная алгебра в базисе Линейная алгебра, то матрица перехода имеет вид

Линейная алгебра

2.Находим обратную матрицу Линейная алгебра и проверяем, что Линейная алгебра

3.По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе
Линейная алгебра:

Линейная алгебра

Записываем ответ в виде Линейная алгебра

Пример. Вектор х в базисе Линейная алгебра имеет координаты {1,2,3}.
Найти координаты вектора х в базисе Линейная алгебра где

Линейная алгебра

Решение.

1.Находим матрицу перехода

Линейная алгебра

2.Находим обратную матрицу Линейная алгебра методом Гаусса:

Линейная алгебра

Таким образом,

Линейная алгебра

Проверяем, что Линейная алгебра

3.По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе
Линейная алгебра

Линейная алгебра

Ответ. Линейная алгебра

Преобразование матрицы оператора

Постановка задачи. Найти матрицу некоторого оператора Линейная алгебра в базисе Линейная алгебрагде

Линейная алгебра

если в базисе Линейная алгебра его матрица имеет вид

Линейная алгебра

План решения. При переходе от базиса Линейная алгебра к базису
Линейная алгебра матрица оператора преобразуется по формуле

Линейная алгебра

где С — матрица перехода от базиса Линейная алгебра к базису Линейная алгебра

1.Находим матрицу перехода С. Так как столбцы матрицы пе-
перехода от базиса Линейная алгебра к базису Линейная алгебра — это столбцы координат векторов Линейная алгебра в базисе Линейная алгебра, то

Линейная алгебра

2.Находим обратную матрицу Линейная алгебра и проверяем, что Линейная алгебра

3.Находим матрицу оператора Линейная алгебра в базисе Линейная алгебра по формуле (1)

Линейная алгебра

Пример. Найти матрицу оператора Линейная алгебра в базисе Линейная алгебра где

Линейная алгебра

если в базисе Линейная алгебра его матрица имеет вид

Линейная алгебра

Решение.

1.Находим матрицу перехода

Линейная алгебра

2.Находим обратную матрицу Линейная алгебра методом Гаусса:

Линейная алгебра

Таким образом,

Линейная алгебра

Убеждаемся, что Линейная алгебра

Линейная алгебра

3.Находим матрицу оператора Линейная алгебра в базисе Линейная алгебрапо формуле (1)

Линейная алгебра

Ответ. Линейная алгебра

Собственные значения и собственные векторы оператора

Постановка задачи. Найти собственные значения и собственные векторы оператора Линейная алгебра заданного в некотором
базисе матрицей

Линейная алгебра

План решения. Собственные значения оператора Линейная алгебра являются
корнями его характеристического уравнения Линейная алгебра

1.Составляем характеристическое уравнение и находим все его
вещественные корни (среди них могут быть и кратные).

2.Для каждого собственного значения Линейная алгебра найдем собственные векторы. Для этого записываем однородную систему уравнений

Линейная алгебра

и находим фундаментальную систему решений Линейная алгебра где
Линейная алгебра — ранг матрицы системы Линейная алгебра (Заметим, что Линейная алгебра так как Линейная алгебра

3.Столбцы Линейная алгебра являются столбцами координат искомых собственных векторов Линейная алгебра Окончательно для Линейная алгебра записываем ответ в виде

Линейная алгебра

Замечание. Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению Линейная алгебра можно записать в виде

Линейная алгебра

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы оператора Линейная алгебра заданного в некотором базисе матрицей

Линейная алгебра

Решение.

1.Составляем характеристическое уравнение:

Линейная алгебра

Поэтому Линейная алгебра

2.Для собственного значения Линейная алгебра найдем собственные векторы. Запишем однородную систему уравнений (А — 3 • Е)Х = О:

Линейная алгебра

Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1 (n — r = 2 — размерность пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее фундаментальная система решений имеет вид

Линейная алгебра

Итак, двукратному собственному значению Линейная алгебра соответствуют
два линейно независимых собственных вектора Линейная алгебра = {1,1,0} и Линейная алгебра =
= {1,0,1}. Множество всех собственных векторов Линейная алгебра
соответствующих собственному значению Линейная алгебра, имеет вид

Линейная алгебра

Аналогично находим собственный вектор, соответствующий
собственному значению Линейная алгебра Получим Линейная алгебра = {0,1,1}. Поэтому множество всех собственных векторов Линейная алгебра соответствующих
собственному значению Линейная алгебра имеет вид

Линейная алгебра

Ответ.
Линейная алгебра где Линейная алгебра и Линейная алгебраЛинейная алгебра где Линейная алгебра

Дополнительные лекции:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Аналитическая геометрия в пространстве
  125. Функции одной переменной
  126. Высшая алгебра
  127. Векторная алгебра
  128. Векторный анализ
  129. Векторы
  130. Скалярное произведение векторов
  131. Векторное произведение векторов
  132. Смешанное произведение векторов
  133. Операции над векторами
  134. Непрерывность функций
  135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  136. Предел и непрерывность функции одной переменной
  137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  140. Матрицы
  141. Линейные и евклидовы пространства
  142. Линейные отображения
  143. Дифференциальные теоремы о среднем
  144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  145. Функции комплексного переменного
  146. Преобразование Лапласа
  147. Теории поля
  148. Операционное исчисление
  149. Системы координат
  150. Рациональная функция
  151. Интегральное исчисление
  152. Интегральное исчисление функций одной переменной
  153. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  154. Отношение в математике
  155. Математическая логика
  156. Графы в математике
  157. Линейные пространства
  158. Первообразная и неопределенный интеграл
  159. Линейная функция
  160. Выпуклые множества точек
  161. Система координат
Людмила Фирмаль