Уравнения высших степеней в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Уравнение n-й степени с одним неизвестным:

Определение:

Уравнением n-й степени с одним неизвестным х называется уравнение

где Уравнения высших степеней — любые комплексные числа, а₀ ≠ 0, n— натуральное.

Изучение уравнения (1) в общем виде выходит за рамки школьного курса алгебры. В этой главе рассматриваются лишь некоторые свойства уравнения (1) и, кроме того, изучаются некоторые его частные виды.

Деление многочлена относительно х на х—а

Теорема:

Остаток от деления многочлена относительно х на двучлен х — а равен значению этого многочлена при х, равном а.

Доказательство:

Разделим многочлен n-й степени

на двучлен х — а. Как известно, частным (неполным) в этом случае будет многочлен n— 1 степени

а остатком — некоторое число r. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток, то

Равенство (3) есть тождество, оно справедливо при любых значениях х. В частности, оно справедливо и при х = а. При х = а. первое слагаемое правой части равенства (3) обращается в нуль, а потому

Следствие:

Для того чтобы многочлен относительно х делился на двучлен х — а, необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем этого многочлена, т. е. чтобы при х = а многочлен обращался в нуль.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть многочлен (1) делится на х — а, т. е. остаток r равен нулю. Тогда на основании равенства (4)

т. е. а — корень многочлена (1).

Достаточность:

Пусть а — корень многочлена (1), т. е. имеет место равенство (5). Тогда на основании равенства (4) r = 0, т. е. многочлен (1) делится на двучлен х — а.

Рассмотрим вновь тождество (3). Если в правой части его раскрыть скобки и сделать приведение подобных членов, в результате должен получиться тот же многочлен, что и в левой части. На этом основании, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

Перепишем эти равенства так:

Полученные равенства показывают, что коэффициенты частного и остаток, т. е. Уравнения высших степеней , удобно вычислять последовательно одно за другим. Эти вычисления обычно располагают следующим образом:

Пример:

Разделить многочлен

Решение:

Первый коэффициент 2 второй строки просто сносится (b₀ = а₀). Второй коэффициент 3 получен так:

Третий коэффициент 10 получен так:

и т. д. Неполное частное равно

Остаток 74.

Пример:

Найти значение многочлена

Решение:

Искомое значение многочлена равно остатку от деления многочлена на x + 2

В двух местах первой строки потребовалось вписать 0. Объясняется это тем, что делимое имеет следующий вид:

Обычно члены, коэффициенты которых равны нулю, пропускаются. Здесь их пропускать нельзя.

Ответ. —87.

Составление уравнения n-й степени по его корням

Теорема:

Каковы бы ни были числа Уравнения высших степеней можно составить уравнение n-й степени, корнями которого будут эти числа и только они. Доказательство. Составим произведение

где a₀ — любое число, отличное от нуля. При x = x₁ двучлен x — x₁ обращается в нуль, значит, при этом значении х обращается в нуль и произведение (1). При х = х₂ обращается в нуль двучлен х — x₂, и опять произведение (1) обращается в нуль. То же самое происходит при х =x₃; х = хₙ.

Пусть теперь х = а, где a — число, отличное от x₁ x₂ , …., хₙ . Ни одна из разностей а— x₁ а— x₂ ,…..о— хₙ „ не равна нулю. Число а₀ тоже отлично от нуля. Значит, и произведение

отлично от нуля.

Таким образом, уравнение

имеет корнями x₁ x₂ , …., хₙ и только эти числа.

Раскрыв скобки и выполнив приведение подобных членов, получим в левой части уравнения многочлен n-й степени относительно х, т. е.

Корнями уравнения (2) являются числа x₁ x₂ , …., хₙ и только эти числа.

Возможно, что корни x₁ x₂ , …., хₙ уравнения (2) не все различны между собой. В этих случаях говорят, что уравнение (2) имеет кратные корни. Так, например, если x₁ = x₂ и отлично от других корней уравнения (2), число является корнем второй кратности уравнения (2). Левая часть уравнения (2) делится в этом случае на (x — x₁ )³ и не делится на (х — x₁)³. Если x₁ = x₂ = x₃ и отлично от других корней уравнения (2), число x₁ является корнем третьей кратности уравнения (2). Левая часть уравнения (2) делится в этом случае на (х — x₁ )³ и не делится на (х— x₁ )⁴.

Вообще корнем кратности k уравнения (2) называется такое число а, что левая часть уравнения (2) делится на (х — а)ᵏ и не делится на Уравнения высших степеней

Пример:

Составить уравнение второй степени, корни которого

Решение:

Уравнения высших степеней . Положим а₀ = 3. Имеем

Пример:

Составить уравнение второй степени, корни которого x₁ = 1; х₂ =i.

Решение:

Уравнения высших степеней Положим

Пример:

Составить уравнение четвертой степени, корни которого i; —i; 1+i; 1-i

Решение:

Имеем

Положим а₀ = 1.

Пример:

Составить уравнение третьей степени, корни которого x₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = — 1.

Решение:

Уравнения высших степеней . Положим а₀ = 1.

Число единица является здесь корнем второй кратности,

Основная теорема алгебры и некоторые следствия из нее

Мы видели, что, выбрав произвольные п комплексных чисел, можно составить уравнение п-й степени, корнями которого будут выбранные числа. Коэффициенты этого уравнения могут при -этом оказаться как вещественными, так и мнимыми. Возникает следующий весьма важный вопрос.

Дано уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами

Можно ли утверждать, что среди комплексных чисел найдется хоть одно число, являющееся корнем этого уравнения?

В свое время мы видели, что среди целых чисел нет числа, являющегося корнем уравнения 2х— 3 = 0 с целыми коэффициентами. Среди положительных чисел нет числа, являющегося корнем уравнения x+ 1 = 0 с положительными коэффициентами.

Среди рациональных чисел нет числа, являющегося корнем уравнения x² — 2 = 0 с рациональными коэффициентами. Среди действительных чисел нет числа, являющегося корнем уравнения x²+ 1 = 0 с действительными коэффициентами.

Понятно поэтому, сколь важное значение имеет поставленный вопрос. Ответ на него дает основная теорема алгебры.

Всякое уравнение n-й степени с любыми комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьной программы.

Теорема:

Всякий многочлен n-й степени с любыми комплексными коэффициентами может быть представлен и притом единственным образом в виде произведения п двучленов первой степени, т. е.

где a ≠ 0, n ≥ 1. (Два таких разложения, отличающиеся только порядком расположения множителей, не считаются различными.)

Доказательство:

Доказательство разбивается на две части. В первой части доказывается возможность представления многочлена n-й степени в виде произведения п двучленов первой степени, во второй—единственность такого представления.

Для n = 1 теорема верна, так как

Предположим, что теорема справедлива для многочленов степени n—1.

Согласно основной теореме алгебры многочлен Уравнения высших степеней имеет по крайней мере один корень x₁ и, следовательно, делится на х — х₁ т. е.

Здесь b₀ = a₀ (см. § 2).

Для многочлена Уравнения высших степеней теорема справедлива. Значит,

Следовательно,

Допустим, что имеется два таких разложения:

Так как коэффициенты при хⁿ в правой и левой частях равенств (2) и (3) должны быть равны, то

Приравниваем правые части равенств (2) и (3). После сокращения на а₀ имеем

Методом математической индукции докажем, что правая и левая части равенства (4) состоят из соответственно равных множителей, но, быть может, записанных в другом порядке.

Для n= 1 утверждение, очевидно, справедливо.

Пусть утверждение справедливо для произведений, состоящих из n—1 множителей. Докажем, что утверждение справедливо и для произведений, состоящих из n множителей.

Левая часть равенства (4) при x = x₁ обращается в нуль. Значит, при x = x₁ обращается в нуль и правая часть этого равенства, т. е.

Произведение равно нулю. Значит, хоть один из сомножителей равен нулю. Допустим, что Уравнения высших степеней В случае необходимости мы можем изменить нумерацию сомножителей так, чтобы первым был множитель, равный нулю. Тогда

Сократим равенство (4) на х— x₁ получим

По допущению правая и левая части равенства (5) состоят из соответственно равных множителей, но, быть может, записанных в другом порядке. Приписав в каждую часть равенства (5) по одинаковому множителю х— x₁ получим, что правая и левая части равенства (4) состоят из соответственно равных сомножителей.

Теорема доказана полностью.

В разложении

некоторые из сомножителей правой части могут быть одинаковы. Обозначив Уравнения высших степеней различные из них, а буквами кратность их вхождения, получим

где Уравнения высших степеней все различны между собой

Представление левой части уравнения в виде (6) называется представлением левой части уравнения в канонической форме.

Теорема:

Всякое уравнение п-й степени с любыми комплексными коэффициентами имеет ровно п корней, среди которых могут быть и равные друг другу.

Доказательство:

Дано уравнение

где a₀ ≠ 0, n ≥ 0 Как доказано, левая часть может быть представлена в виде произведения n множителей первой степени. Таким образом, имеем

При x=x₁; х = х₂; х=хₙ левая часть уравнения превращается в нуль и, следовательно, х₁, х₂, …,xₙ— корни уравнения. Покажем, что никакое число а, отличное от х₁ х₂,…..хₙ, не может быть корнем этого уравнения.

Действительно, произведение а₀ (а — x₁) (а — х ₂ ,)… (а — x ₙ )не равно нулю, так как ни один из множителей его не равен нулю. Таким образом, корнями рассматриваемого уравнения являются числа x₁; х ₂ ;…; x ₙ и других корней нет.

Следствие:

Уравнение n-й степени имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема:

Если уравнение n-й степени имеет действительные коэффициенты и мнимое число а + bi является корнем этого уравнения, то и сопряженное число а — bi является также корнем этого уравнения.

Доказательство:

Пусть мнимое число а + bi является корнем уравнения

с действительными коэффициентами. Требуется доказать, что сопряженное число а — bi также является корнем уравнения (7). Составим многочлен

Этот многочлен имеет действительные коэффициенты. Разделим левую часть уравнения (7) на многочлен (8). В частном получим многочлен n— 2 степени с действительными коэффициентами, в остатке многочлен степени не выше первой и тоже с действительными коэффициентами.

Так как делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток, то

Положим в этом равенстве х = а + bi . Получим

так как и левая часть равенства и трехчлен Уравнения высших степеней при х = а + bi обращаются в нуль. Имеем

следовательно,

Так как b ≠ 0, то A = 0. Из первого уравнения системы (9) имеем В = 0. Выходит, что остаток Ах + В равен нулю, т. е.

При х = а — bi первый сомножитель правой части равенства (10) превращается в нуль, значит, и левая часть равенства тоже обращается в нуль. Значит, число а — bi является корнем уравнения (7).

Теорема:

Всякий многочлен n-й степени с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой или второй степени с действительными коэффициентами.

Доказательство этой теоремы проводится методом математической индукции. Теорема, очевидно, справедлива для многочленов первой и второй степени. При этом многочлен второй степени либо имеет действительные корни и тогда разлагается на множители первой степени с действительными коэффициентами, либо он имеет два мнимых сопряженных корня, и тогда он на множители с действительными коэффициентами не разлагается.

Допустим, что теорема справедлива для многочленов n— 2 степени и многочленов n—1 степени. Докажем, что тогда она справедлива и для многочленов n-й степени.

Пусть Уравнения высших степеней — многочлен n-й степени с действительными коэффициентами.

Если этот многочлен имеет действительный корень x₁ то он представляется в виде произведения многочлена первой степени на многочлен n—1 степени с действительными коэффициентами, т. е.

Если же многочлен действительных корней не имеет, то он имеет мнимый корень а + bi и сопряженный с ним корень а — bi. В этом случае многочлен представляется в виде произведения трехчлена второй степени на многочлен n— 2 степени с действительными коэффициентами, т. е.

Так как теорема для многочленов п—1 степени и многочленов n— 2 степени справедлива, то она справедлива и для многочленов степени n.

Теорема Виета

Из равенства

легко получить теорему Виета для уравнений любой степени. Перепишем это равенство так:

К правой части этого равенства применим правило умножения двучленов, первые члены которых одинаковы (см. гл. VIII, § 5). Получаем

где Уравнения высших степеней имеют тот же смысл, что и в гл. VIII. Обозначим знаком f₁ сумму корней уравнения (1), т. е.

Знаком f₂ обозначим сумму всевозможных произведений корней, взятых по два. Подобный же смысл имеют знаки f₃, f₄, …, f ₙ . Тогда

Равенство (1) теперь можно переписать так:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства (2), получим

Теперь имеем

Последние равенства и выражают теорему Виета для уравнения любой степени. При n= 2, т. е. для уравнения Уравнения высших степеней получаем известный результат:

Пример:

Не решая уравнения Уравнения высших степеней , определить сумму квадратов его корней.

Решение:

Пусть х₁ x₂, х₃, — корни данного уравнения. Рассмотрим равенство

По теореме Виета

Значит,

Полученный результат означает, что среди чисел х₁ x₂, х₃, имеются мнимые, иначе сумма квадратов их не могла бы быть отрицательной.

Предложенное уравнение нетрудно решить и подсчитать сумму квадратов корней непосредственно:

О решении уравнений высших степеней

Прежде всего возникает такой вопрос: можно ли для уравнений любой степени составить формулы для выражения корней уравнения через его коэффициенты, подобно известной формуле для квадратного уравнения? Оказывается, что это можно сделать для уравнений 3-й и 4-й степени, при этом формулы эти содержат столь сложные радикалы, что на практике ими предпочитают не пользоваться.

Что же касается уравнений выше 4-й степени, то доказано, что для них при помощи радикалов такие формулы составить нельзя.

В математике разработан ряд способов, дающих возможность вычислить любой корень любого уравнения с любой точностью. Один из таких способов разработан великим русским математиком, творцом неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским.

Ограничимся рассмотрением графического способа. Этот способ может применяться для вычисления действительных корней уравнений с действительными коэффициентами.

Пример:

Вычислить вещественные корни уравнения

Решение:

Построим график функции у = х³ — 2х— 5 (рис. 107). Имеем

Нетрудно видеть, что при x > 2,5 первое слагаемое х³ будет столь большим сравнительно с остальными, что у будет положительным числом.

По мере продвижения направо от х = 2,5 график будет подниматься кверху и, следовательно, больше пересекать ось Ох не будет.

Точно так же при х < — 2 первое слагаемое х³ будет столь большим по абсолютной величине, что у будет отрицательным числом. По мере продвижения влево от х = — 2 график будет опускаться книзу и больше пересекать ось Ох не будет.

График пересекает ось Ох в одной точке, и это означает, что уравнение имеет один действительный корень два других корня уравнения — мнимые сопряженные).

Как видно из таблицы, действительный корень заключен между 2 и 2,5. По графику видно, что он ближе к 2, чем к 2,5. Определим знак у при x = 2,1. Имеем

Это означает, что точка 2,1 лежит правее корня, так как соответствующая ордината положительна (см. график).

Таким образом, 2 < x < 2,1. Корень вычислен с точностью до 0,1. Для получения более точного результата можно воспользоваться приемом, указанным в гл. IV, § 7. Можно показать, что с точностью до 0,000001 x = 2,094551.

Вычисление рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Теорема:

Для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения

с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы р было делителем свободного члена аₙ, a q было делителем старшего коэффициента а₀.

Доказательство:

Пусть Уравнения высших степеней —корень уравнения (1), т. е. имеет место тождество

Умножим обе части тождества на qⁿ, получим

Из тождества (2) имеем

Правая часть равенства — целое число. Значит, Уравнения высших степеней целое.

По условию, дробь Уравнения высших степеней несократима, значит, ни одно простое число, входящее в р, в число q не входит. По этой причине ни одно простое число, входящее в р, не может входить и в qⁿ. Выходит, что аₙ делится на р.

Из тождества (2) имеем

Так как ни одно простое число, входящее в q, не входит в р, число Уравнения высших степеней может быть целым только тогда, когда а₀ делится на q.

Следствие:

Если уравнение имеет целые коэффициенты и старший из них равен единице, то рациональными корнями такого уравнения могут быть только целые числа.

Действительно, а₀ = 1, a q — делитель а₀ . Значит, q = ± 1, а тогда Уравнения высших степеней целое.

Следствие:

Целые корни уравнения с целыми коэффициент тами являются делителями свободного члена.

Пример:

Вычислить рациональные корни уравнения

Решение:

Свободный член равен 2. Поэтому для р возможны только следующие значения: 1, —1, 2 и —2.

Старший коэффициент равен 2. Поэтому для q возможны только следующие значения: 1, —1, 2, —2.

Составляя всевозможными способами несократимые дроби Уравнения высших степеней найдем, что рациональные корни данного уравнения, если они имеются, содержатся среди следующих чисел:

Подстановкой в уравнение легко выяснить, что из этих шести

чисел удовлетворяют уравнению 2, Уравнения высших степеней ,— 1.

Таким образом, уравнение имеет три рациональных корня:

Для испытания, является ли данное число корнем уравнения, удобно пользоваться правилом сокращенного деления многочлена на двучлен х — а. Для данного примера эти испытания проводятся так:

1 не является корнем уравнения, так как при делении левой части уравнения на х — 1 в остатке получилось — 2.

Испытываем число 2

2 — корень уравнения. В результате деления оказалось, что

Поэтому для отыскания остальных корней данного уравнения достаточно решить уравнение

Ответ. Уравнения высших степеней

Пример:

Найти рациональные корни уравнения

Решение:

Старший коэффициент уравнения равен единице, поэтому рациональными корнями уравнения могут быть только целые числа.

Делители свободного члена суть: 1,2, — 1, — 2. Сразу видно,-что никакое положительное число не может быть корнем данного уравнения, так как при любом положительном значении х левая часть уравнения положительна. Остается испытать — 1 и — 2:

Ответ. Уравнение рациональных корней не имеет.

Полученный в последнем примере результат означает, что корни рассматриваемого уравнения иррациональные или мнимые.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Выясним прежде всего, не имеет ли уравнение рациональных корней. Испытанию подлежат два числа 1 и — 1:

x₁² = 1. Остальные корни данного уравнения являются корнями уравнения третьей степени х³ — х² + х —1=0:

x₂ = 1. Остальные корни данного уравнения являются корнями квадратного уравнения х² + 1 = 0.

Ответ. x₁ = x₂ = 1; х₃ = i; x₄= — 1.

Решение двучленных уравнений 3-й, 4-й и 6-й степени

Определение. Двучленным уравнением n-й степени называется уравнение вида Уравнения высших степеней Очевидно, что делением на a₀ такое уравнение сводится к уравнению Если коэффициенты уравнения действительны, то двучленное уравнение можно представить в виде хⁿ — аⁿ = 0 или хⁿ + aⁿ= 0 где а — положительное число.

В этом параграфе излагается решение двучленных уравнений с действительными коэффициентами при n= 3, 4 и 6.

а) n = 3.

Уравнение имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня.

б) n = 4.

Уравнение имеет два действительных и два мнимых сопряженных корня.

Уравнение имеет две пары мнимых сопряженных корней.

в) n = 6.

Уравнение распадается на два кубических двучленных уравнения. На основании рассмотренного в п. а)

Уравнение имеет два действительных и две пары мнимых сопряженных корней

Уравнение распадается на три квадратных уравнения. Решая их, получаем

Уравнение имеет три пары мнимых сопряженных корней.

Замечание. Пользуясь извлечением корня n-й степени из комплексного числа, можно решить двучленное уравнение хⁿ = а любой степени n при любой правой части а.

Корнями уравнения хⁿ = а являются все значения корня n-й степени из а.

Пример:

Решить уравнение