Оглавление:
Ранее мы рассмотрели интегральное преобразование Фурье
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77478.png)
с ядром K(t, ξ) = .
Преобразование Фурье неудобно тем, что должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости функции f(t) на всей оси t,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77485.png)
Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого ограничения.
Определение:
Функцией-оригиналом будем называть всякую комплекснозначную функцию f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:
- f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) имеет разрыв 1-го рода, причем на каждом конечном интервале оси t таких точек может быть лишь конечное число;
- функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t, f(t) = 0 при t < 0;
- при возрастании t модуль f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют числа М > 0 и з такие, что для всех t
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77494.png)
Ясно, что если неравенство (1) выполняется при некотором s = s1, то оно будет выполнятся при всяком s2 > s1.
Точная нижняя грань sо всех чисел s, so = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t).
Замечание:
В общем случае неравенство
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77504.png)
не имеет места, но справедлива оценка
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77507.png)
где ε > 0 — любое. Так, функция f(t) = t, t ≥ 0, имеет показатель роста so =0. Для нее неравенство |t| ≤ М ∀t ≥ 0 не выполняется, но ∀ε > О, ∀t > 0 верно неравенство
Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*).
Пример:
Функция
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77530.png)
не удовлетворяет условию (*), но условие (1) выполнено при любом s ≥ 1 и М ≥ 1; показатель роста so = 1. Так что f(t) является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77532.png)
не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, sо = +∞. Простейшей функцией-оригиналом является
так называемая единичная функция
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77541.png)
Если некоторая функция φ(t) удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение f(t) = φ(t) η(t) уже является функцией-оригиналом.
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77549.png)
Для простоты записи мы будем, как правило, множитель η(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t) например, о sin t, cos t, et и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2):
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77556.png)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77564.png)
Определение:
Пусть f(t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного р = s + iσ, определяемая формулой
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77571.png)
где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции f(t); ядро преобразования K(t, р) = e-pt.
Тот факт, что функция f(x) имеет своим изображением F(p), будем записывать так:
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77580.png)
Пример:
Найти изображение единичной функции η(t).
Функция является функцией-оригиналом с показателем роста s0 = 0. В силу формулы (2) изображением функции η(t) будет функция
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77592.png)
Если р = s + iσ, то при s > 0 интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77595.png)
так что изображением функции η(t) будет функция 1/p. Как мы условились, будем писать, что η(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так:
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77600.png)
Теорема:
Для всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста sо изображение F(p) определено в полуплоскости Re p = s > So и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3).
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77604.png)
Пусть
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77606.png)
Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при s > so. Используя (3), получаем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77608.png)
что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Re р = s > so
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77610.png)
Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77614.png)
Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2).
Применяя для F'(p) интегрирование по частям, получаем оценку
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77617.png)
откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое — при t → + ∞ имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Re р ≥ S1 > So интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77625.png)
не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо.
Поскольку производная F'(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Re p = s > sо является аналитической функцией.
Из неравенства (4) вытекает
Следствие:
Если точка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77629.png)
Пример:
Найдем еще изображение функции f(t) =, где а = а + iβ — любое комплексное число.
Показатель роста sо функции f(t) равен а.
Считая Rep = s> а, получим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77639.png)
Таким образом,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77641.png)
При а = 0 вновь получаем формулу
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77642.png)
Обратим внимание на то, что изображение функции является аналитической функцией аргумента р не только в полуплоскости Re p > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Re p > So функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Re p = So, или на самой этой прямой.
Замечание:
В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции f(t) по Хевисайду, определяемым равенством
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77652.png)
и отличаюикмся от шоСражения по Лапласу множителем р.
Свойства преобразования Лапласа
В дальнейшем через f(t), φ(t), … будем обозначать функции-оригиналы, а через F(p), Ф(р), … — их изображения по Лапласу,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77663.png)
Из определения изображения следует, что если f(t) = 9 ∀t, то F(p) = 0.
Теорема единственности:
Если две непрерывные функции f(t) и φ{t) имеют одно и тоже изображение F(p), то они тождественно равны.
Теорема:
Линейность преобразования Лапласа. Если f{t) и φ{t) — функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных а и β
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77669.png)
Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение:
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77680.png)
— показатели роста функций f(t) и φ(t) соответственно).
На основании этого свойства получаем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77682.png)
т. е. (3)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77691.png)
Аналогично находим, что
(4)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77692.png)
и, далее,
(5) (6)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77698.png)
Теорема подобия:
Если f(t) — функция-оригинал и F(p) — ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > 0
Полагая at = т, имеем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77701.png)
Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77704.png)
Теорема:
О дифференцировании оригинала. Пусть f(t) является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть — также функции-оригиналы,
— показатель роста функции
(k = 0, 1,…, п). Тогда
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77713.png)
Здесь под fk(0) (k = 0,1,… , п — 1) понимается правое предельное значение .
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77719.png)
Пусть f(t) = F(p). Найдем изображение f'(t). Имеем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77723.png)
Интегрируя по частям, получаем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-77724.png)
Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при t → + ∞, т. к. при Re р = s > имеем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78458.png)
подстановка t = 0 дает -f(0).
Второе слагаемое справа в (10) равно pF(p). Таким образом, соотношение (10) принимаетвид
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78462.png)
и формула (8) доказана. В частности, если f(0) = 0, то f'(t) = pF(p). Для отыскания изображения запишем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78463.png)
откуда, интегрируя п раз по частям, получим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78468.png)
Пример:
Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin2t.
Пусть f(t) = F(p). Тогда
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78471.png)
Но f(0) = О, а f'(0) = 2 sin t cos t = sin 2t = . Следовательно,
= pF(p), откуда F(p) =
Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р.
Формула включения. Если f(t) и f'(t) являются функциями-оригиналами, то (11)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78494.png)
В самом деле, f'(<) = р F(p) — f(0). В силу следствия из теоремы 1, всякое изображение стремится к нулю при Rе р = s → + ∞. Значит, [pF(p) — f(0)] = 0, откуда вытекает формула включения (11).
Теорема:
О дифференцировании изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (—t) оригинала,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78516.png)
Так как функция F(p) в полуплоскости Rep = s > so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78521.png)
Последнее как раз и означает, что
Пример:
Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции .
Как известно, 1 = 1/p. Здесь f(t) = 1, F(p) = 1/p. Отсюда (1/p)’= (-t) • 1, или = t. Вновь применяя теорему 6, найдем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78540.png)
Теорема:
Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р: если f(t) = F(p), то
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78544.png)
Положим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78547.png)
Нетрудно проверить, что если f(t) есть функция-оригинал, то и φ(t) будет функцией-оригиналом, причем φ(0) = 0. Пусть φ(t) = Ф(р). В силу (14)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78551.png)
С другой стороны, f(t) =’ F(p), откуда F(p) = рФ(р), т.е. Ф(р) =.
Последнее равносильно доказываемому соотношению (13).
Пример:
Найти изображение функции
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78557.png)
В данном случае f(t) = cos t, так что F(p) = . Поэтому
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78561.png)
Теорема:
Интегрирование изображения. Если f(t) = F(p) и интеграл сходится, то он служит изображением функции
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78663.png)
Действительно,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78667.png)
Предполагая, что путь интегрирования (р, ∞) лежит в полуплоскости Re p ≥ а> so, мы можем изменить порядок интегрирования (t > 0):
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78674.png)
Последнее равенство означает, что является изображением функции
.
Пример:
Найти изображение функции .
Как известно, sin t = .
Поэтому
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78687.png)
Теорема запаздывания:
Если f{t) = F(p), то для любого положительного τ («запаздывания»)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78692.png)
Так как
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78696.png)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78697.png)
Положим ξ = t- τ. Тогда dt = d ξ. При t = τ получаем ξ = 0, при t = + ∞ имеем ξ = + ∞.
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78690.png)
Поэтому соотношение (16) принимает вид
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78701.png)
Пример:
Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис. 5).
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78714.png)
Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде:
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78706.png)
Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию f1(t) = η(t) для t ≥ 0 (рис. 6 а) и вычтем из нее функцию
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78709.png)
Разность f(t) — h(t) будет равна единице для t ∈ [0,1) и -1 для t ≥ 1 (рис. 6 b). К полученной разности прибавим функцию
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78722.png)
В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78730.png)
Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78734.png)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78738.png)
Теорема смещения:
Если f{t) = F(p) для любого комплексного числа ро
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78747.png)
В самом деле,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78751.png)
Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию , например,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78758.png)
так что
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78762.png)
Свертка функций. Теорема умножения
Пусть функции f(t) и φ(t) определены и непрерывны для всех t. Сверткой (f *φ)(t) этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78768.png)
(если этот интеграл существует).
Для функций-оригиналов f(t) и φ(t) операция свертки всегда выполнима, причем
(17)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78771.png)
В самом деле, произведение функций-оригиналов f( τ ) φ(t — τ), как функция от τ, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка 0 ≤ τ ≤ t). Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу (17).
Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78782.png)
Теорема умножения:
Если f(t) = F(p), <p(t) =’Ф(р), то свертка (f * φ)(t) имеет изображение F(p) • Ф(р),
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78788.png)
или
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78789.png)
Нетрудно проверить, что свертка (f * φ)(t) функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста s* = mах{s1, s2}, где s1, s2 ~ показатели роста функций f(t) и φ(t) соответственно. Найдем изображение свертки,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78796.png)
Воспользовавшись тем, что
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78798.png)
Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (при Re р = s > s* такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78805.png)
Таким образом, из (18) и (19) находим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78807.png)
— умножению изображений отвечает свертывание оригиналов,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78809.png)
Пример:
Найти изображение функции
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78811.png)
Функция ψ(t) есть свертка функций f(y) = t и φ(t) = sin t. В силу теоремы умножения
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78820.png)
Задача:
Пусть функция f(t), периодическая с периодом Т, есть функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F[p) дается формулой
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78823.png)
Отыскание оригинала по изображению
Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию f(t). изображением которой является F(p).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.
Теорема:
Если аналитическая в полуплоскости Rep = s > so функция F(p)
1) стремится к нулю при |р| —» + ∞ в любой полуплоскости Re р = а > So равномерно относительно arg р;
2) интеграл
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78828.png)
сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t).
Задача:
Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.
Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений
Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) — дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.
Пример:
Найти оригинал для
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78838.png)
Запишем функцию F(p) в виде:
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78841.png)
Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78842.png)
Пример:
Найти оригинал для функции
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78846.png)
Запишем F(p) в виде
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78848.png)
Отсюда f(t) = t — sin t.
Использование теоремы обращения и следствий из нее
Теорема обращения:
Если функция f(t) есть функция-оригинал с показателем роста so и F{p) — ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78851.png)
где интеграл берется вдоль любой прямой Re p = s > So и понимается в смысле главного значения, т. е. как
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78853.png)
Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) — кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке [0, а] функция-оригинал-с показателем роста so. Рассмотрим функцию φ(t) = , где s>so — любое.
Функция φ(t) удовлетворяет условиям применимости интегральной формулы Фурье, и, следовательно, справедлива формула обращения преобразования Фурье,
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78927.png)
(φ(t) ≡ 0 при t < 0). Подставляя в (3) выражение φ(t) = f(t), найдем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78928.png)
где F{p) — преобразование Лапласа функции f(t) при р = s + iξ. Формулу (2) можно переписать в виде
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78933.png)
откуда получаем формулу обращения преобразования Лапласа
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78934.png)
Как следствие из теоремы обращения получаем теорему единственности.
Теорема:
Две непрерывные функции f(t) и φ(t), имеющие одно и то же изображение F(p), тождественны.
Непосредственное вычисление интеграла обращения (1) обычно затруднительно. Отыскание оригинала по изображению упрощается при некоторых дополнительных ограничениях на F(p).
Теорема:
Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция с полюсами р1, p2….pп. Тогда оригиналом для F(p) будет функция f(t) η(t), где
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78935.png)
Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция, F(p) = , где А(р), В(р) — многочлены относительно р (взаимно простые), причем степень числителя А(р) меньше степени знаменателя В(р), т. к. для всякого изображения должно выполняться предельное соотношение
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78940.png)
Пусть корни знаменателя В(р), являющиеся полюсами изображения F(p), суть р1, р2, …, рп, а их кратности равны r1, r2, …, rп соответственно.
Если число s, фигурирующее в формуле (1), взять большим всех Re pk (k = 1,2,…, п), то по формуле обращения, которая в этих условиях применима, получим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78942.png)
Рассмотрим замкнутый контур ГR (рис.7), состоящий из дуги CR окружности радиуса R с центром в начале координат и стягивающей ее хорды АВ (отрезка прямой Re р = s), и проходимый в положительном направлении, причем радиус R настолько велик, что все полюсы F(p) лежат внутри ГR.
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78944.png)
По теореме Коши о вычетах при любом R, удовлетворяющем указанному условию, будем иметь
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78946.png)
Второе слагаемое слева в равенстве (5) стремится к нулю при R → ∞. Это следует из леммы Жордана, если в ней заменить р на iz и учесть, что F(p) → 0 при Re p → + ∞. Переходя в равенстве (5) к пределу при R → ∞, мы получим слева
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78948.png)
а справа — сумму вычетов по всем полюсам функции F(p)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78949.png)
Замечание:
Воспользовавшись формулой для вычисления вычетов, найдем, что
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78950.png)
Если все полюсы p1, р2,…, рn — простые, то
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78951.png)
и формула (6) принимает вид
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78953.png)
Пример:
Найти оригинал для функции
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78954.png)
Функция F(p) имеет простые полюсы р1 = i. p2 = -i. Пользуясь формулой (7), находим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78957.png)
Теорема:
Пусть изображение F(p) является аналитической функцией в бесконечно удаленной точке р = ∞, причем ее разложение в окрестности |р| > R бесконечно удаленной точки имеет вид
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78961.png)
Тогда оригиналом для F(p) будет функция f(t) η{t), где
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78963.png)
Пример:
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78965.png)
Приложения преобразования Лапласа (операционного исчисления)
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(1)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78968.png)
(ао, а1, а2 — действительные числа) и требуется найти решение уравнения (1) для t > 0, удовлетворяющее начальным условиям
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78974.png)
Будем считать, что f(t) есть функция-оригинал. Тогда x(t) — также функция-оригинал. Пусть
f(t) = F(p), x(t) = X(p).
По теореме о дифференцировании оригинала имеем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78977.png)
Перейдем в уравнении (1) от оригиналов к изображениям. Имеем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78979.png)
Это уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно изображения Х(р) искомой функции. Его называют операторным уравнением. Решая его, найдем операторное решение задачи (1)-(2) —
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78983.png)
Оригинал для Х(р) будет искомым решением х(t) задачи (1)-(2).
Общий случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами от случая п = 2 принципиально ничем не отличается.
Приведем общую схему решения задачи Коши
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78987.png)
Здесь означает применение к 1 преобразование Лапласа,
— применение к III обратного преобразования Лапласа.
Пример:
Решить задачу Коши
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78992.png)
Здесь
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78996.png)
Операторное уравнение
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-78999.png)
Откуда
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79002.png)
По теореме о дифференцировании изображения
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79003.png)
Поэтому
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79005.png)
Формула Дюамеля
В приложениях операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений часто пользуются следствием из теоремы умножения, известным под названием формулы Дюамеля.
Пусть f(t) и φt) — функции-оригиналы, причем функция f(t) непрерывна на [0, + ∞), a φ(t) — непрерывно дифференцируема на [0,+ ∞). Тогда если f(t) = F(p), φ{t) = Ф(р),то по теореме умножения получаем, что
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79066.png)
Нетрудно проверить, что функция ψ(t) непрерывно дифференцируема на [0, + ∞), причем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79074.png)
Отсюда, в силу правила дифференцирования оригиналов, учитывая, что ψ(0) = 0, получаем формулу Дюамеля
(4)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79079.png)
Покажем применение этой формулы.
Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение n-го порядка (n ≥ 1) с постоянными коэффициентами
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79083.png)
при нулевых начальных условиях
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79086.png)
(последнее ограничение несущественно: задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями заменой искомой функции).
Если известно решение x(t) дифференциального уравнения с той же левой частью и правой частью, равной единице,
L[x(t)] = l (7)
при нулевых начальных условиях
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79089.png)
то формула Дюамеля (4) позволяет сразу получить решение исходной задачи (5)-(6).
В самом деле, операторные уравнения, отвечающие задачам (5)-(6) и (7)-(8), имеют соответственно вид
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79091.png)
где F(p) — изображение функции f(t). Из (9) и (10) легко находи
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79097.png)
Отсюда по формуле Дюамеля
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79099.png)
или, поскольку x1(0) = 0, (11)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79102.png)
Пример:
Решить задачу Коши
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79106.png)
Рассмотрим вспомогательную задачу
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79110.png)
Применяя операционный метод, находим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79112.png)
По формуле (11) получаем решение x(t) исходной задачи:
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79117.png)
Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Интегрирование систем осуществляется так же, как и решение одного линейного дифференциального уравнения — путем перехода от системы дифференциальных уравнений к системе операторных уравнений. Решая последнюю как систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, получаем операторное решение системы. Оригинал для негобудетрешением исходной системы дифференциальных уравнений.
Пример:
Найти решение линейной системы
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79121.png)
удовлетворяющее начальным условиям х(0) = у(0) = I.
Пусть х(<) = Х(р), y(t) = Y(p). Пользуясь свойством линейности преобразования Лапласа и теоремой о дифференцировании оригиналов, сводим исходную задачу Коши к операторной системе
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79124.png)
Решая последнюю относительно Х(р) и У(р), получаем
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79130.png)
Решение исходной задачи Коши
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79132.png)
Решение интегральных уравнений
Напомним, что интегральным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Мы рассмотрим лишь уравнение вида (12)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79137.png)
называемое линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром K(t — т), зависящим от разности аргументов (уравнение типа свертки). Здесь φ(t) — искомая функция, f(t) и K(t) — заданные функции.
Пусть f(t) и K(t) есть функции-оригиналы, f(t) =’ F(p), K(t) =’ K(p).
Применяя к обеим частям (12) преобразование Лапласа и, пользуясь теоремой умножения, получим
(13)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79143.png)
где Ф(р) = φ(t). Из (13)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79147.png)
Оригинал для Ф(р) будет решением интегрального уравнения (12).
Пример:
Решить интегральное уравнение
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79150.png)
Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (14), получим
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79154.png)
откуда
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79157.png)
Функция является решением уравнения (14) (подстановка
в уравнение (14) обращает последнее в тождество по t).
Замечание:
Преобразование Лапласа может быть использовано также при решении некоторых задач для уравнений математической физики.
Таблица преобразования Лапласа
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79173.png)
Дополнение к преобразованию Лапласа
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/1-3116.png)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/2-3241.png)
![Преобразование Лапласа](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2019/11/3-2618.png)
Смотрите также:
Устойчивость движения при наличии гироскопических сил | Основные свойства преобразования Лапласа |
Второй метод Ляпунова | Нахождение оригиналов для дробно-рациональных изображений |
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат