Интегрирование в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Рассмотрим основные вопросы интегрирования функций двух переменных. Полученные определения и результаты могут быть перенесены на функции трех и более переменных.

Двойные интегралы

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных.
Интегрирование

Определение и условия существования двойного интеграла

Пусть G — некоторая замкнутая ограниченная область, a z=f(x, у) — произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.

Предполагается, что граница области G состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или Интегрирование — непрерывные функции. Такой областью, например, является замкнутый многоугольник, граница которого состоит из конечного числа отрезков, представляющих собой графики непрерывных функций вида y=kx+b или х=а. Другой пример — область, ограниченная эллипсом (здесь граница состоит из двух кривых: Интегрирование и т. д.

Разобьем область G произвольно на n частей Интегрирование не имеющих общих внутренних точек, с площадями Интегрирование (рис. 167). В каждой части Интегрирование выберем произвольную точку Интегрирование и составим сумму
Интегрирование
которую назовем интегральной суммой для функции f (х, у) в области G. Назовем диаметром d (G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим через Я. наибольший из диаметров частичных областей Интегрирование

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I*, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) по области G и обозначается одним из следующих символов:
Интегрирование

В этом случае функция f (х, у) называется интегрируемой в области G, G — областью интегрирования, х и у — переменными интегрирования, ds (или dx dу) —элементом площади.

Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, что функция f (х, у) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате Интегрирование следующим образом: Интегрирование

Доказательство неинтегрируемости такой функции непосредственно следует из определения двойного интеграла.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в случае одной переменной, удобно воспользоваться теорией сумм Дарбу, которая полностью переносится на случай двойного интеграла. Аналогично доказательству соответствующей теоремы для определенного интеграла доказывается следующая теорема.

Теорема:

Функция f (x, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области G, интегрируема в этой области. Однако не следует считать, что двойной интеграл существует только для непрерывных функций. Имеет место более общая теорема.

Теорема:

Функция f (х, у), ограниченная в замкнутой ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида у=f (х) или Интегрирование, интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть в пространстве дано тело Р (рис. 168), ограниченное сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f (х, у), которая определена в области G, с боков — цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz, и снизу областью G, лежащей в плоскости Оху. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром.

Аналогично тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геометрического смысла определенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Р приводит к геометрическому толкованию двойного интеграла.

Действительно, в данном случае интегральная сумма (1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований Интегрирование и высотами Интегрирование, которую можно принять за приближенное значение объема тела Р:
Интегрирование

Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G на части. При переходе к пределу при Интегрирование это приближенное равенство становится точным:
Интегрирование
Интегрирование

Так как функция f (x, у) интегрируема, то предел интегральной суммы существует и равен двойному интегралу от этой функции по области G. Следовательно,
Интегрирование

Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Замечание:

Если положить Интегрирование всюду в области G, то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади s области G в виде двойного интеграла: Интегрирование

Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому ограничимся формулировкой этих свойств, не останавливаясь на доказательствах.

1°. Если k — произвольное число и функция f (x, у) интегрируема в области G, то функция kf (х, у) тоже интегрируема в G и Интегрирование т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2°. Если функции f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в области G, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и Интегрирование

3°. Если область G является объединением областей Интегрирование не имеющих общих внутренних точек, в каждой из которых функция f (х, у) интегрируема, то в области G эта функция также интегрируема и Интегрирование

4°. Теорема о среднем. Если функция f(x, у) непрерывна в области G, то в этой области найдется такая точка Интегрирование что
Интегрирование
где s — площадь фигуры G.

Итак, рассмотрены определение и основные свойства двойного интеграла, условия существования, выяснен его геометрический смысл. Теперь рассмотрим способы вычисления двойных интегралов.

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику D со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема:

Пусть для функции f (х, у) в прямоугольнике Интегрирование существует двойной интеграл Интегрирование

Пусть, далее, для каждого х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл
Интегрирование

Тогда существует интеграл
Интегрирование
(он называется повторным) и справедливо равенство Интегрирование

Доказательство:

Разобьем прямоугольник D с помощью точек Интегрирование на nk частичных прямоугольников Интегрирование Положим Интегрирование и обозначим через Интегрирование соответственно точную нижнюю и верхнюю грани функции f(x,y) на частичном прямоугольнике Интегрирование (рис. 169). Тогда всюду на этом прямоугольнике
Интегрирование
Положим в этом неравенстве Интегрирование где Интегрирование — произвольная точка отрезка Интегрирование и затем проинтегрируем (4) по у в пределах от Интегрирование Получим
Интегрирование
Суммируя (5) по всем j от 1 до k и используя обозначение (2) имеем Интегрирование

Далее, умножая (6) на Интегрирование и суммируя по всем i от 1 до n, получаем Интегрирование

Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников Интегрирование стремится к нулю Интегрирование. Тогда и наибольшая из длин Интегрирование Крайние члены в (7), представляющие собой нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, стремятся при этом к двойному интегралу (1) (см. сноску на с. 308). Таким образом, существует предел и среднего члена (7), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению определенного интеграла равен Интегрирование

Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство (3). ■
Интегрирование

Замечание:

Если в теореме 13.3 поменять х и у ролями, то будет доказано существование повторного интеграла Интегрирование
и справедливость равенства Интегрирование

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному. Например, в формуле (8) интегрирование сначала производится по х при постоянном у, а затем полученный результат интегрируется по у, т. е. последовательно вычисляются два определенных интеграла.

Пример:

Вычислить Интегрирование
Решение:

Имеем Интегрирование

Случай криволинейной области

Теорема:

Пусть функция z=f(x, у) определена в области Интегрирование где Интегрирование — непрерывные функции, Интегрирование для Интегрирование .Пусть также существует двойной интеграл
Интегрирование
и для каждого х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл Интегрирование

Тогда существует повторный интеграл
Интегрирование

и справедливо равенство ИнтегрированиеДоказательство:

Положим Интегрирование и заключим область G в прямоугольник Интегрирование (рис. 170). Рассмотрим в этом прямоугольнике вспомогательную функцию Интегрирование

Эта функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Действительно, она интегрируема в области G, так как совпадает в ней с f (x, у), и интегрируема в остальной части D — G прямоугольника D, где она равна нулю. Следовательно, согласно свойству 3°

§ 1, она интегрируема и по всему прямоугольнику D. При этом Интегрирование
откуда
Интегрирование

Далее, для каждого х из [а, b] существует интеграл Интегрированиетак как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа. Действительно, отрезки Интегрирование лежат вне области G и на них F (x, у) равна нулю, отсюда первый и третий интегралы
Интегрирование
равны нулю, а второй интеграл существует по условию, так как Интегрирование. Поэтому Интегрирование

Таким образом, для функции F (х, у) выполнены все условия теоремы 13.3 и, следовательно, двойной интеграл от этой функции по прямоугольнику D может быть сведен к повторному
Интегрирование
Отсюда и из равенств (10) и (11) получаем Интегрирование
т. е. формулу (9). ■

Замечание:

Если в теореме 13.4 поменять ролями х и у, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла
Интегрирование
и равенства
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование по области Интегрирование

Решение:

Область G представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой Интегрирование (рис. 171). Следовательно, Интегрирование По формуле (9) имеем Интегрирование

Данный интеграл можно вычислить и по формуле (12), если в G поменять х и у ролями. Тогда треугольник определяется неравенствами Интегрирование откуда Интегрирование и легко проверить, что интеграл Интегрированиеимеет то же самое значение.

Замечание:

Если область G не удовлетворяет условиям теоремы 13.4 (например, прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках), то необходимо область G разбить на части, каждая из которых удовлетворяла бы условиям теоремы 13.4, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно.

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функция f (х, у) непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области G. Тогда для функции f (х, у) существует двойной интеграл
Интегрирование
Предположим, далее, что с помощью формул Интегрирование
мы переходим к новым переменным Интегрирование. Будем считать, что Интегрирование определяются из (2) единственным образом: Интегрирование

С помощью формул (3) каждой точке М (х; у) из области G ставится в соответствие некоторая точка Интегрирование на координатной плоскости с прямоугольными координатами Интегрирование. Пусть множество всех точек Интегрирование образует ограниченную замкнутую область G*. Формулы (2) называют формулами преобразования координат, а формулы (3) — формулами обратного преобразования.

При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и если определитель Интегрирование
отличен в G от нуля, то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных Интегрирование

Определитель (4) называется функциональным определителем или якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций Интегрирование по переменным Интегрирование.

Коротко изложенное можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема:

Если преобразование (2) переводит замкнутую ограниченную область G в замкнутую ограниченную область G* и является взаимно однозначным и если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (4), а функция f (х, у) непрерывна в области G, то справедлива формула замены переменных (5).

Доказательство теоремы достаточно сложное и здесь не приводится.

Как в двойном, так и в определенном интеграле замена переменных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где G — параллелограмм, ограниченный прямыми Интегрирование (рис. 172, а).

Решение:

Непосредственное вычисление этого интеграла достаточно громоздкое, так как для сведения его к повторному (сначала по у, а затем по х) необходимо область G разбить на три области (штриховые линии на рис. 172) и затем вычислить соответственно три интеграла. Однако простая замена переменных Интегрирование
позволяет значительно упростить решение. Прямые Интегрирование в системе координат Оху переходят в прямые Интегрирование Осталось вычислить якобиан. Для этого выразим х и у через Интегрирование из равенств (6): Интегрирование

Следовательно,
Интегрирование
По формуле (5) окончательно получаем Интегрирование

Замечание:

Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержат сумму Интегрирование, то во многих случаях упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам, так как данная сумма в полярных координатах Интегрирование принимает достаточно простой вид Интегрирование
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где G — четверть круга Интегрирование расположенная в I квадранте (рис. 173).

Решение:

Преобразуем интеграл к полярным координатам по формулам Интегрирование Тогда Интегрирование: Интегрирование

Наглядно видно, что в области G р изменяется в пределах от 0 до 1, а Интегрирование — от 0 до Интегрирование/2. Иначе говоря, область G преобразуется в прямоугольник Интегрирование (рис. 173).
Таким образом, по формуле (5) получаем Интегрирование

На практике при замене переменных нет необходимости детально строить область G*. Обычно выясняют пределы изменения новых координат, используя вид области G на плоскости Оху, что и сделано вначале в данном примере.

Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов

Вычисление объема

Как известно, объем v криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у)>0, снизу плоскостью z=0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит контур области G, вычисляется по формуле
Интегрирование
т. е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы тел.

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Интегрирование (рис. 174).
Решение:

Имеем
Интегрирование
где G — треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми Интегрирование Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем Интегрирование

Вычисление площади

Как было установлено, площадь s области G может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
Интегрирование

Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, так как данная формула применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координатным осям.

Пример:

Вычислить площадь области G, ограниченной линиями Интегрирование (рис. 175).
Решение:

Область G представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой Интегрирование справа прямой Интегрирование Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки их пересечения: Интегрирование Следовательно, искомая площадь
Интегрирование

При вычислении двойных интегралов с помощью повторного интегрирования одним из главных моментов является расстановка пределов интегрирования. Если в данном примере выбрать другой порядок повторного интегрирования (сначала по у, а затем по х),
Интегрирование
то область G предварительно пришлось бы разбить на две части (осью Оу), так как она ограничена сверху линией, заданной на отрезках Интегрирование двумя различными уравнениями. Разумеется, был бы получен тот же результат, однако вычисления оказались бы более громоздкими.

Поэтому полезно запомнить следующее правило: если все прямые, параллельные оси Оу, входят в область интегрирования G на линии, заданной одним уравнением, и выходят из области на линии, заданной одним уравнением, то внутренний интеграл целесообразно брать по переменной у, а внешний — по х аналогично, если все прямые, параллельные оси Ох, входят в область интегрирования на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на параболе), и выходят на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на прямой), то внутренний интеграл следует брать по переменной х, а внешний — по у: в этом случае область интегрирования не нужно разбивать на части.

Вычисление площади поверхности

С помощью двойных интегралов можно вычислять площади не только плоских фигур, но и кривых поверхностей.

Пусть поверхность S задана уравнением z=f (x, у), проекцией S на плоскость Оху является область G (рис. 176) и в этой области функция f (x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Интегрирование

Для определения площади поверхности S разобьем область G произвольно на n частей G, без общих внутренних точек с площадями Интегрирование и обозначим через Интегрирование часть поверхности S, проекцией которой на плоскость Оху является частичная область Интегрирование. Таким образом, поверхность S будет разбита на n частей.Интегрирование

В каждой части Интегрирование выберем произвольную точку Интегрирование, на поверхности S ей будет соответствовать точка Интегрирование . Проведем через точку М, касательную плоскость к поверхности: Интегрирование
здесь х, у, z — координаты произвольной точки на плоскости; Интегрирование — координаты точки касания (см. гл. 12, § 4, п. 2). Напомним, что вектор Интегрирование (нормаль), перпендикулярный касательной плоскости, имеет следующие координаты: Интегрирование (Здесь вектор Интегрирование направлен противоположно вектору Интегрирование из гл. 12, § 4, п. 2. Данный вектор Интегрирование образует острый угол с осью Оz.)

Рассмотрим на касательной плоскости ту ее часть, проекцией которой на плоскость Оху является область Интегрирование. Обозначим эту часть через Интегрирование, а ее площадь через Интегрирование Площадь Интегрирование можно считать приближенно равной площади части S, поверхности, а сумму всех таких площадей
Интегрирование
приближенным значением площади всей поверхности S.

За точное значение площади поверхности S примем по определению предел такой суммы
Интегрирование

где Интегрирование — наибольший из диаметров частичных областей Интегрирование. Докажем, что этот предел существует и равен двойному интегралу Интегрирование

Обозначим через Интегрирование угол между вектором Интегрирование и осью Oz. Он равен углу между касательной плоскостью в точке Интегрирование и плоскостью Оху. Так как область Интегрирование есть проекция Интегрирование на плоскость Оху, то площади этих областей связаны соотношением
Интегрирование

Действительно, данная формула, как известно, справедлива для треугольников. Она, очевидно, справедлива и для плоских многоугольников, так как плоский многоугольник можно разбить на несколько треугольников. Она также справедлива и для любой плоской фигуры площади Интегрирование, ограниченной некоторой кривой, поскольку ее площадь можно рассматривать как предел площадей вписанных в нее многоугольников.

С другой стороны, как известно из аналитической геометрии, Интегрирование
Следовательно,
Интегрирование
Подставляя значение Интегрирование в сумму (1), получаем
Интегрирование
Стоящая под знаком предела сумма представляет собой интегральную сумму для функции Интегрирование

Так как эта функция по условию непрерывна в области G, то предел этой суммы при Интегрирование существует и равен двойному интегралу (2), что и требовалось доказать.

Соотношение (2) представляет собой формулу, с помощью которой вычисляется площадь поверхностей, заданных уравнением z=f(x, у).

Пример:

Вычислить площадь той части плоскости Интегрирование, которая заключена в первом октанте (рис. 177).

Решение:

Так как функция Интегрирование и область G, являющаяся проекцией данной части поверхности на плоскость Оху, удовлетворяют сформулированным выше условиям, то искомую площадь можно вычислить по формуле (2). Имеем Интегрирование

Областью G является треугольник, ограниченный осями Ох, Оу и прямой Интегрирование получаемой из уравнения данной плоскости при z=0. Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаемИнтегрирование

Вычисление массы пластинки

Рассмотрим на плоскости Оху материальную пластинку, т. е. некоторую область G, по которой распределена масса m с плотностью р (х, у). Вычислим по заданной плотности р (х, у) массу т этой пластинки, считая, что р (х, у)— непрерывная функция. Разобьем G произвольно на n частей Интегрирование и обозначим через Интегрирование массы этих частей.
Интегрирование
В каждой части произвольно возьмем точку Интегрирование. Массу Интегрирование каждой такой части Интегрирование можно считать приближенно равной Интегрирование — площадь Интегрирование, а масса m всей пластинки приближенно равна сумме
Интегрирование

которая является интегральной суммой для непрерывной функции
р (х, у) в области G. В пределе при Интегрирование, очевидно, получим точное значение массы пластинки, равное двойному интегралу от функции р (х, у) по области G, т. е. Интегрирование

Пример:

Определить массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность р (x, у) в каждой точке М (х; у) пропорциональна квадрату расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен k.

Решение:

Выберем систему координат так, как показано на рис. 178. После этого можно найти функцию р (х, у) исходя из условия задачи. Пусть М (х; у) — произвольная точка квадратной пластинки. Тогда квадрат расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей равен Интегрирование Следовательно, плотность в точке М Интегрирование

По формуле (3) имеем
Интегрирование

Учитывая, что подынтегральная функция четна относительно х и у, а область интегрирования симметрична относительно осей координат, можно ограничиться вычислением интеграла по той части области G, которая расположена в I четверти, т. е. Интегрирование

Вычисление координат центра масс пластинки

Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости Оху некоторую область G. Пусть р (х; у) — плотность этой пластинки в точке М (х; у), причем р (х; у)—непрерывная функция. Разбив область G на части Интегрирование, выберем в каждой из этих частей некоторую точку Интегрирование и будем приближенно считать массу Интегрирование каждой из частей пластинки равной Интегрирование — площадь Интегрирование).

Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке, а именно в точке Интегрирование, то для координат Интегрирование, центра масс такой системы материальных точек получим следующие выражения: Интегрирование
которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо в (4) перейти к пределу при Интегрирование. При этом интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы и мы получим, что координаты центра масс пластинки определяются формулами Интегрирование

Если пластинка однородна, т. е. Интегрирование то формулы координат центра масс упрощаются:
Интегрирование
Величины Интегрирование в формулах (5) называются статическими моментами пластинки относительно осей Оу и Ох.

Таким образом, вычисление координат центра масс пластинки сводится к вычислению трех двойных интегралов.Интегрирование

Пример:

Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной двумя параболами Интегрирование (рис. 179).
Решение:

Координаты центра масс данной пластинки найдем по формулам (6). Сначала вычислим массу пластинки Интегрирование

Далее вычислим статические моменты ее относительно осей координат:
Интегрирование
Затем по формулам (6) найдем Интегрирование

Итак, Интегрирование

Вычисление момента инерции пластинки

Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси, а момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции этих точек.

Пусть область G плоскости Оху занята пластинкой, имеющей непрерывную плотность р (х, у). Разбив область G на части Интегрирование площади которых равны Интегрирование и выбрав в каждой из них некоторую точку Интегрирование, заменим пластинку системой материальных точек с массами Интегрирование и координатами Интегрирование. Момент инерции такой системы точечных масс, например, относительно оси Оу равен Интегрирование

Примем это выражение за приближенное значение момента инерции пластинки. Но оно же представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции Интегрирование. Переходя к пределу при Интегрирование, получаем для момента инерции пластинки относительно оси Оу следующую формулу:
Интегрирование

Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох равен Интегрирование

Найдем момент инерции Интегрирование пластинки относительно начала координат. Принимая во внимание, что момент инерции материальной точки с массой m относительно начала координат равен Интегрирование, рассуждая, как и выше, получаем, что Интегрирование

Пример:

Найти момент инерции круга радиуса R с постоянной плотностью р (x, у)=1 относительно начала координат.
Решение:

По формуле (7) имеем
Интегрирование
Перейдем к полярным координатам. Уравнение окружности (границы круга) в полярных координатах имеет вид Интегрирование Поэтому Интегрирование

Криволинейные интегралы

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащей в плоскости.

Интегралы такого рода называются криволинейными. Они имеют широкое применение в различных разделах математики.

Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и второго рода.

Определение криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим на плоскости Оху некоторую кривую АВ, гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функция z=f(x, у) определена и ограничена на кривой АВ.

Разобьем кривую АВ произвольно на п частей точками Интегрирование выберем на каждой из частичных дуг Интегрирование произвольную точку Интегрирование (рис. 180) и составим сумму
Интегрирование
где Интегрирование — длина дуги Интегрирование Сумма (1) называется интегральной суммой для функции Интегрирование по кривой АВ. Обозначим через Интегрирование наибольшую из длин частичных дуг
Интегрирование
Интегрирование

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (х, у) по кривой А В и обозначается одним из следующих символов
Интегрирование

В этом случае функция f (x, у) называется интегрируемой вдоль кривой АВ, сама кривая АВ — контуром интегрирования, А — начальной, а В — конечной точками интегрирования.

Криволинейный интеграл первого рода легко сводится к определенному интегралу. Действительно, приняв на кривой АВ за параметр длину дуги Интегрирование, отсчитываемую от точки А, получим параметрическое представление кривой Интегрирование При этом функция f (х, у), заданная вдоль АВ, становится сложной функцией параметра Интегрирование. Обозначив через Интегрирование значение параметра Интегрирование, отвечающее точке Интегрирование, а через Интегрирование — отвечающее точке Интегрирование перепишем интегральную сумму (1) в виде Интегрирование
где Интегрирование Сумма (2) является интегральной для определенного интеграла от функции Интегрирование на отрезке [0, L]. Поскольку интегральные суммы (1) и (2) равны между собой, равны и соответствующие им интегралы, т. е. Интегрирование

Заметим, что формула (3) не только выражает криволинейный интеграл через определенный, но и доказывает существование криволинейного интеграла от функции f (х, у), непрерывной вдоль рассматриваемой кривой АВ.

Как было показано, криволинейный интеграл первого рода непосредственно сводится к определенному, однако между этими понятиями имеется следующее различие. В интегральной сумме (1) величины Интегрирование обязательно положительны, независимо от того, какую точку кривой АВ считать начальной, а какую — конечной, т. е. Интегрирование

в то время как определенный интеграл Интегрирование при перестановке пределов интегрирования меняет знак. В остальном криволинейный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Это непосредственно вытекает из формулы (3).

Криволинейный интеграл первого рода, так же как и определенный, имеет геометрический смысл. Если определенный интеграл Интегрирование представляет собой площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл Интегрирование численно равен площади куска цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости Оху, восставленных в точках М (х; у) кривой АВ и имеющих переменную длину f (М) (рис. 181).

В частности, если АВ — не кривая, а отрезок прямой [а, b], расположенный на оси Ох, то Интегрирование и криволинейный интеграл будет обычным определенным интегралом.

Наконец, если положить Интегрирование то получим криволинейный интеграл Интегрирование значение которого есть длина дуги кривой АВ.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла первого рода можно вычислять площадь цилиндрических поверхностей и длины дуг. Кроме этого, криволинейный интеграл первого рода имеет широкое применение в физике. С его помощью можно, как это делали в случае двойных интегралов, находить массу материальной кривой по ее плотности, моменты инерции относительно координатных осей, координаты центра масс такой кривой и т. д.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определенных интегралов.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями Интегрирование — непрерывные вместе со своими производными Интегрирование функции, a f(x, у) — функция, непрерывная вдоль этой кривой, причем для определенности будем считать, что точке А соответствует значение Интегрирование точке В — значение Интегрирование Тогда для любой точки Интегрирование кривой АВ длину Интегрирование дуги AM можно рассматривать как функцию параметра Интегрирование и вычислять ее (гл. 8, § 10, п. 3) по формуле
Интегрирование
откуда, согласно правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу,
ИнтегрированиеИнтегрирование

Заменяя переменную Интегрирование в определенном интеграле в правой части равенства (3) и учитывая (4), получаем Интегрирование

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл Интегрирование
где АВ — часть окружности Интегрирование
Решение:

Так как
Интегрирование
то по формуле (5) получаем Интегрирование

В частности, если кривая АВ задана уравнением у=у(х), Интегрирование где у(х) — непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр (t=х), из формулы (5) имеем Интегрирование

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл
Интегрирование
где АВ — дуга параболы Интегрирование от точки (0; 0) до точки (2; 2). Решение:

Имеем Интегрирование По формуле (6) получаем Интегрирование

Замечание:

Формула (4) представляет самостоятельный интерес. Возводя в квадрат, получаем: Интегрирование Это равенство дает простое геометрическое истолкование дифференциала дуги dl. Учитывая, что дифференциал функции у=у(х) равен приращению ординаты касательной (гл. 5, § 3, п. 1), получаем, что дифференциал дуги dl (см. рис. 185) равен длине отрезка касательной к кривой АВ от точки касания с абциссой х до точки Интегрирование т. е. гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами Интегрирование а равенство Интегрирование представляет собой теорему Пифагора.
Интегрирование

Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть на кривой АВ определены две ограниченные функции Интегрирование. Разобьем кривую АВ на n частей точками Интегрирование Обозначим через Интегрирование, проекции вектора Интегрирование, на оси координат (рис. 182), на каждой частичной дуге Интегрирование возьмем произвольную точку Интегрирование и составим интегральную сумму для функции Интегрирование:
Интегрирование

Определение:

Если интегральная сумма (7) при Интегрирование Интегрирование — длина дуги Интегрирование) имеет предел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции Интегрирование по кривой АВ и обозначается символом
Интегрирование
Сумму
Интегрирование
называют общим криволинейным интегралом второго рода и обозначают символом
Интегрирование

Криволинейные интегралы второго рода, как и интегралы первого рода, легко сводятся к определенным интегралам.

Действительно, пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями Интегрирование — непрерывные вместе со своими производными Интегрирование функции, причем точке А кривой соответствует значение Интегрирование точке В — значение Интегрирование Пусть функции
Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вдоль кривой АВ. Тогда справедливы следующие формулы:
Интегрированиесводящие криволинейные интегралы к определенным интегралам.

Докажем первую из формул (8): Интегрирование
вторая формула доказывается аналогично, а третья получается в результате сложения первой и второй.

Пусть точкам Интегрирование разбиения кривой АВ соответствуют значения Интегрирование параметра t, точкам Интегрирование — значения Интегрирование т. е. Интегрирование имеет координаты Интегрирование, а Интегрирование — координаты Интегрирование Функция Р (х, у) на кривой является сложной функцией параметра t: Интегрирование Так как функции Интегрирование и Интегрирование непрерывны на отрезке Интегрирование, а функция Р (х, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то по теореме о непрерывности сложной функции функция Интегрирование непрерывна на отрезке Интегрирование.

Составим интегральную сумму (7) для функции Р (х, у): Интегрирование

Так как Интегрирование то по формуле Ньютона—ЛейбницаИнтегрирование

С другой стороны, так как функция Интегрирование является непрерывной функцией на Интегрирование, то для нее существует определенный интеграл, стоящий в формуле (9) справа. Запишем его в виде суммы интегралов по частичным отрезкам Интегрирование Интегрирование
Рассмотрим и оценим разность Интегрирование

Из непрерывности функции Интегрирование на Интегрирование по теореме Кантора следует ее равномерная непрерывность на Интегрирование. А это означает, что для любого Интегрирование существует Интегрирование такое, что при Интегрирование выполняется неравенство Интегрирование

Из непрерывности функции Интегрирование следует ее ограниченность на Интегрирование, т. е. существует число k такое, что Интегрирование

Используя (11) и (12), получаем для разности (10) следующую оценку: Интегрирование

Отсюда, в силу произвольности Интегрирование, следует, что Интегрирование
Но при Интегрирование также Интегрирование и наоборот. В самом деле, Интегрирование

Из непрерывности функций Интегрирование следует непрерывность функции Интегрирование на Интегрирование. Но тогда Интегрирование где m и М — минимальное и максимальное значения функции Интегрирование на отрезке Интегрирование, причем m>0 и М>0 в силу условия Интегрирование Из левого неравенства следует, что Интегрирование при Интегрирование, а из правого, что Интегрирование при Интегрирование. Следовательно, из (13) имеем
Интегрирование
т. е. существует криволинейный интеграл Интегрирование и справедлива формула (9).

Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла, что непосредственно вытекает из формул (8).

В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) проходится кривая АВ, и меняет знак при изменении направления обхода кривой, т. е. Интегрирование
Действительно, изменив направление обхода кривой, мы соответственно изменим знаки проекций Интегрирование, в суммах (7), и, следовательно, сами суммы и их пределы изменят знак.

Таким образом, при вычислении криволинейных интегралов второго рода необходимо учитывать направление интегрирования.

В случае, когда L замкнутая кривая, т. е. когда точка В совпадает с точкой А, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура L условимся называть отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают символом Интегрирование

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Криволинейные интегралы второго рода вычисляют сведением их к определенным интегралам по формулам (8).

В частности, если кривая АВ задана уравнением вида Интегрирование где у(х) — непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр (t=x), из формул (8) получаемИнтегрирование
Аналогичные формулы имеют место, если кривая АВ задана уравнением вида х=х(у).

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где АВ — четверть окружности Интегрирование А соответствует t=0, В соответствует Интегрирование
Интегрирование
Решение:

Имеем Интегрирование По третьей из формул (8) получаем Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где L — контур прямоугольника, образованного прямыми х=0, y=0, х=1 и y=1 (рис. 183).
Решение:

На рис. 183 положительное направление обхода контура L обозначено стрелками. Разбивая весь контур интегрирования на части, запишем:
Интегрирование

Легко заметить, что интегралы вдоль участков АВ и CD равны нулю, так как на них у является постоянным и, следовательно, dу=0. Поэтому остается вычислить интегралы по участкам ВС и DA. По формуле, аналогичной первой из формул (14) [заменяя Интегрирование], получаем Интегрирование

Таким образом, окончательно имеем Интегрирование
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где: ИнтегрированиеРешение:

По третьей формуле (14) имеем: Интегрирование

Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обстоятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в § 7.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Обозначим через Интегрирование углы, составляемые с осями координат направленной касательной к кривой АВ в точке М (х; у) (рис. 185); тогда получим соотношения Интегрирование

Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dх и dу их выражениями (15), преобразуем эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода: Интегрирование

Таким образом, формулы (16) выражают криволинейные интегралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения точки по кривой на противоположное Интегрирование, dx и dy меняют знак, и формулы (16) остаются в силе.

В заключение заметим, что были рассмотрены криволинейные интегралы для плоских кривых. Однако их определение и свойства нетрудно перенести и на пространственные кривые.

Пусть АВ — пространственная кривая и на этой кривой определены функции Интегрирование. Тогда по аналогии со случаем плоской кривой можно определить криволинейный интеграл первого рода Интегрирование и криволинейные
Интегрирование

Техника вычисления таких интегралов не отличается по существу от техники вычисления интегралов по плоской кривой.

Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами. Она имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Докажем эту формулу для замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Для краткости будем называть такие области простыми: Предполагается, что контур, ограничивающий область, гладкий или кусочно-гладкий.

Теорема:

Пусть G — некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными Интегрирование в данной области. Тогда имеет место формула Интегрирование
называемая формулой Грина.

Доказательство:

Пусть контур L, ограничивающий область G, может быть задан как уравнениями Интегрирование так и уравнениями Интегрирование (рис. 186). Рассмотрим сначала область G, определенную неравенствами Интегрирование и преобразуем двойной интеграл Интегрирование
в криволинейный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по у. Получим Интегрирование

Каждый из этих двух определенных интегралов равен криволинейному интегралу второго рода, взятому по соответствующей кривой (см. формулы (14), § 5), а именно:
Интегрирование

Таким образом, ИнтегрированиеАналогично доказывается формула Интегрирование
при этом область G задается неравенствами Интегрирование

Вычитая из равенства (3) почленно равенство (2), получаем искомую формулу (1).
Замечание. Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области G, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей. Действительно, пусть область G с границей L имеет вид, изображенный на рис. 187. Разобьем ее на две простые области Интегрирование для каждой из которых справедлива формула (1). Напишем отдельно формулу Грина для Интегрирование и сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по всей области G, а справа — криволинейный интеграл по контуру L области С, так как криволинейный интеграл по вспомогательной кривой берется дважды в противоположных направлениях и при суммировании взаимно уничтожается.

Пример:

С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл Интегрирование где L — окружность Интегрирование
Решение:

Функции Интегрирование непрерывны в замкнутом круге Интегрирование.Интегрирование

Следовательно, по теореме 13.6 формула Грина применима к данному интегралу. Имеем ИнтегрированиеЗаметим, что полученный результат легко проверить непосредственно вычислением данного интеграла.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Как уже отмечалось при решении примера 5 (см. § 5, п. 4), в некоторых случаях величина криволинейного интеграла Интегрирование не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек А и В пути интегрирования. Выясним, при каких условиях такая независимость имеет место. В исследовании этого вопроса важную роль играет формула Грина. Уточним, какие области будут рассматриваться далее.

Определение:

Плоская область G называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области G.

Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и т. п. Простейшим примером неодносвязной области служит область, заключенная между окружностями Интегрирование В самом деле, окружность Интегрирование, лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, которые не принадлежат данной области, например начало координат (0; 0).

Теорема:

Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) определены и непрерывны вместе со своими частными производными Интегрирование в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда следующие четыре условия эквивалентны, т. е. выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:
1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в G,
Интегрирование
2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла Интегрирование
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в G;

3) выражение Интегрирование представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенной в области G. Иными словами, существует такая функция F (х, у), определенная в G, что
Интегрирование
4) в области G всюду
Интегрирование
Доказательство:

Доказательство теоремы проведем по схеме Интегрирование
т. е. покажем, что из первого условия следует второе, из второго — третье, из третьего — четвертое, а из четвертого — снова первое. Тем самым будет доказана эквивалентность всех условий.

Первый этап: Интегрирование Рассмотрим в области G два произвольных пути, соединяющих точки А и В: АСВ и ADB — любые две кусочно-гладкие кривые (рис. 188). В сумме они составляют замкнутую кривую L=АСВ+BDA, расположенную в G. Согласно условию 1)Интегрирование

Второй этап: Интегрирование Пусть интеграл Интегрирование не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит только от точек А и В. Тогда, если точку А зафиксировать: Интегрирование,
Интегрирование
то этот интеграл будет некоторой функцией координат х и у точки В=В(х; у):
Интегрирование

Покажем, что функция F (х, у) дифференцируема и что Интегрирование
Для этого достаточно доказать, что в каждой точке В области существуют частные производные Интегрирование причем Интегрирование

Так как Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны в G, то из (3) следует дифференцируемость функции F (х, у) и равенство (2).

Для доказательства существования частной производной функции F (х, у) по х и первого из равенства (3) составим частное приращение по х функции F(х, у) в точке В (х; у): Интегрированиегде точка С имеет координаты Интегрирование (рис. 189). Так как по условию интеграл не зависит от вида кривой, то возьмем путь от Интегрирование прямолинейным. ТогдаИнтегрирование

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получаем
Интегрированиепоскольку по условию Р (х, у) непрерывна. Аналогично доказывается, что Интегрирование Таким образом, условие 3) установлено.

Третий этап: Интегрирование Пусть в области G определена функция F (х, у) такая, что Интегрирование Тогда
Интегрирование
и по теореме о равенстве смешанных производных
Интегрирование
т. е. получено требуемое равенство (1).

Четвертый этап: Интегрирование. Пусть выполнено условие 4) и пусть L — кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G и ограничивающая область G*. Тогда, применяя формулу Грина к области G* (здесь используется односвязность области G), получаем Интегрирование

В силу условия 4) интеграл справа равен нулю. Следовательно, Интегрирование
для всякого замкнутого контура L, лежащего в области G.

Замечание:

Из эквивалентности условий 1) — 4) теоремы 13.7, в частности, следует, что условие 3) представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Однако для приложений более удобным, необходимым и достаточным условием является условие 4).

Теорема 13.7 позволяет легко решать вопрос о том, зависит или не зависит криволинейный интеграл от выбора пути интегрирования. Так, например, Интегрирование в любой области зависит от выбора пути, так как Интегрирование Необходимо обратить внимание на то, что все условия теоремы существенны. Рассмотрим, например, интеграл
Интегрирование
где L — окружность радиуса R с центром в начале координат. Имеем: Интегрирование

Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути формально выполнено, но, однако, интеграл по окружности L нулю не равен. Действительно, задав окружность уравнениями Интегрирование, получим Интегрирование

На самом деле никакого противоречия с теоремой здесь нет. Просто не выполнено одно из условий теоремы: функции Р и Q и их частные производные Интегрирование не определены в точке (0; 0), а круг, ограниченный окружностью L, с выброшенной точкой (0; 0) уже не является односвязной областью (начало координат играет роль «дырки»).

Интегрирование полных дифференциалов

Из рассмотрения условий независимости криволинейного интеграла Интегрирование от выбора пути интегрирования непосредственно вытекает решение вопроса об интегрировании полных дифференциалов и о нахождении функции по ее полному дифференциалу.

Было доказано, что если функции Р (х, у) и Q (x, у) и их частные производные Интегрирование непрерывны в замкнутой области G, то выражение
Интегрирование
является полным дифференциалом некоторой функции в этой области в том и только в том случае, когда Интегрирование.

Далее мы показали, что если это равенство выполнено, то условию Интегрирование
удовлетворяет функция
Интегрирование

Пусть теперь выражение (1) является полным дифференциалом некоторой функции Ф (х, у). Тогда Интегрирование и разность Интегрирование (см. замечание к теореме 12.6) величина постоянная. Следовательно, Интегрирование
где С — некоторая постоянная. Полагая Интегрирование из (2) получаем Интегрирование, а из (3)—значение постоянной Интегрирование. Теперь (3) можно записать в виде

Интегрирование
а равенство (2) — в виде Интегрирование
Если, наконец, положить Интегрирование то получим формулу Интегрирование

Формула (4) аналогична формуле Ньютона—Лейбница, несправедлива только при условии независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.

Используя полученные результаты, теперь можно указать способ восстановления функции F (х, у), полный дифференциал которой есть заданное выражение (1).

Формула
Интегрирование
где Интегрирование — фиксированная точка, а С — произвольная постоянная, и дает возможность определить все функции, имеющие подынтегральное выражение своим полным дифференциалом.

Для отыскания F (x, у) по формуле (5) достаточно, выбрав любую точку Интегрирование в области G, вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки Интегрирование и (х, у). Так как в формуле (5) интеграл не зависит от выбора пути, то удобно, например, за путь интегрирования взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат (рис. 190). Тогда
Интегрирование

Так как Интегрирование на участке от Интегрирование, a dx=0 на участке от Интегрирование, то равенство (5) принимает вид Интегрирование
где первый определенный интеграл вычисляется при постоянном у, равном Интегрирование, а второй — при постоянном х.
Интегрирование
Пример:

Проверить, является ли выражение Интегрирование полным дифференциалом некоторой функции F (х, у), и, если это так, найти F (х, у).

Решение. В данном выражении функции
Интегрированиенепрерывны вместе с частными производными Интегрирование которые равны между собой. Следовательно, данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F (х, у). Для отыскания функции F (х, у) воспользуемся формулой (2), где А Интегрирование — некоторая фиксированная точка, а В (х; у) — переменная точка.

В данном случае за точку А Интегрирование удобно взять точку (0; 0).
Учитывая, что криволинейный интеграл Интегрирование не зависит от пути интегрирования, выберем путь интегрирования от точки (0; 0) до точки (х; у) в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат. Для этого достаточно взять точку (х; 0) [или точку (0; у)] (рис. 191). Тогда одно звено ломаной будет лежать на оси координат. Имеем
Интегрированиегде С — произвольная постоянная.

Практически при отыскании функции по ее полному дифференциалу удобно поступать следующим образом. Если
Интегрирование
то, интегрируя первое из этих равенств по х, получаем Интегрирование
а интегрируя второе равенство по у, имеем Интегрирование
где Интегрирование — произвольные функции. Если подобрать функции Интегрирование так, чтобы правые части равенств (7) и (8) совпали, то полученная таким образом функция F (x, у) и является функцией, полный дифференциал которой совпадает с выражением Интегрирование

Так, например, пусть Интегрирование Интегрируя коэффициент при dx по х, получаем Интегрирование
интегрируя коэффициент при dy по у, имеем Интегрирование

Правые части равенств (9) и (10) совпадают, если положить Интегрирование Таким образом, Интегрирование

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл
Интегрирование
Решение:

В данном случае функции
Интегрирование
непрерывны и частные производные равны между собой. Значит, выражение уdх+хdу является полным дифференциалом dF (х, у) и данный интеграл не зависит от пути интегрирования. По формулам (7) и (8) находим F (х, у)=ху, и по формуле (4) получаем Интегрирование

Заметим, что данный интеграл можно вычислить и непосредственно, если, например, взять в качестве пути интегрирования ломаную, соединяющую точки (— 1; 2), (2; 2) и (2; 3), звенья которой параллельны осям координат (проделайте самостоятельно).

Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода

Криволинейные интегралы второго рода, так же как и первого рода, имеют широкое применение в геометрии, физике и технике. Ограничимся рассмотрением двух задач: вычислением площадей плоских фигур и определением работы силы.

Вычисление площади с помощью формулы Грина

Пусть G — некоторая область с границей L и s — площадь этой области. Известно, что двойной интеграл
Интегрирование
выражает площадь области G. Поэтому если в формуле Грина подобрать функции Р(х,у) и Q(x,y) таким образом, чтобы Интегрирование, то площадь s области G определяется формулой Интегрирование

Положим Интегрирование тогда Интегрирование
Полагая Интегрирование аналогично находим Интегрирование
а при Интегрирование имеем Интегрирование

Таким образом, получены три формулы для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных контуром L.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом. Решение. Вычислим, например, площадь по формуле (1). Используя параметрические уравнения эллипса Интегрирование имеем Интегрирование по формуле (1) получаем Интегрирование

Работа силы

Известно, что работа, совершаемая переменной силой F (х), направленной вдоль оси Ох, по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки х=а в точку Интегрирование определяется с помощью определенного интеграла по формуле
Интегрирование
(гл. 6, § 8, п. 6). Рассмотрим более общую задачу.

Пусть материальная точка под действием силы Интегрирование перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС в направлении от В к С. Сила Интегрирование предполагается переменной, зависящей от положения точки на кривой ВС. Вычислим работу силы Интегрирование при перемещении точки из В в С. Для этого разобьем (рис. 192) произвольно кривую ВС на n частей точками Интегрирование Заменим приближенно на участке Интегрирование силу F постоянным значением, равным ее значению в точке Интегрированиеа движение точки по дуге Интегрирование заменим движением по отрезку Интегрирование. Тогда работу постоянной силы Интегрирование вдоль отрезка Интегрирование можно принять за приближенное значение работы Интегрирование переменной силы F вдоль дуги Интегрирование т. е.
Интегрирование

Правая часть этого приближенного равенства представляет собой скалярное произведение двух векторов Интегрирование Оно равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. если Интегрирование то Интегрирование Суммируя по всем значениям i от 1 до n, получаем приближенное значение работы А вдоль всей кривой ВС:
Интегрирование

За точное значение работы А принимается предел, к которому стремится ее приближенное значение при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг Интегрирование. Но, с другой стороны, сумма (2) представляет собой сумму двух интегральных сумм для функций
Р (х, у) и Q (х, у), заданных на кривой ВС. По определению пределом этой суммы является криволинейный интеграл второго рода.

Следовательно, работа силы определяется по формуле Интегрирование
где Р и Q — координаты (или проекции на оси координат) силы Интегрирование.

Если рассмотреть данную задачу не на плоскости, а в пространстве, то решение ее сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода по пространственной кривой по формуле Интегрирование

Пример:

Вычислить работу силы Интегрирование(х; у) при перемещении материальной точки по эллипсу в положительном направлении, если сила в каждой точке (x; у) эллипса направлена к центру эллипса и по величине равна расстоянию от точки (х; у) до центра эллипса (рис. 193).
Интегрирование

Решение:

По условию, Интегрирование координаты силы
Интегрирование(х, у) таковы: Интегрирование [знак «—» объясняется тем, что сила направлена к точке (0; 0)]. По формуле (3) имеем Интегрирование

Следовательно, Интегрирование
Заметим, что из того, что интеграл оказался равным нулю, следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции (найдите эту функцию самостоятельно).

Тройные интегралы

В начале главы было введено понятие двойного интеграла от функции двух переменных. Определим интеграл от функции трех переменных — так называемый тройной интеграл. Тройные интегралы, как и двойные, имеют широкое применение в различных физических и геометрических задачах.

Определение тройного интеграла

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.

Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области V трехмерного пространства задана ограниченная функция Интегрирование Разобьем область V на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами Интегрирование

В каждой области возьмем произвольную точку Интегрирование и составим сумму
Интегрирование
которая называется интегральной суммой для функции f (x, у, z) по области V. Обозначим через Интегрирование наибольший из диаметров частичных областей.

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, у, z) по области V и обозначается одним из следующих символов: Интегрирование

В этом случае функция f (x, у, z) называется интегрируемой в области V; V — областью интегрирования; х, у и z — переменными интегрирования; Интегрирование — элементом объема.

В дальнейшем, поскольку результаты, полученные для двойных интегралов, вместе с их доказательствами могут быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений и краткими пояснениями.

Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Если положить всюду в области Интегрирование, то из определения тройного интеграла следует формула для вычисления объема тела V: Интегрирование

Вычисление тройных интегралов

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Рассмотрим область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями Интегрирование, а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область G — проекция области V на плоскость Оху (рис. 194), в которой определены и непрерывны функции Интегрирование. Предположим, далее, что каждая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области V не более чем в двух точках. Тогда для любой функции f (x, у, z), непрерывной в области V, имеет место формула Интегрирование
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных х и у) и внешнего двойного интеграла по области G.

Выражение
Интегрирование
представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функции и области G, по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы 13.4, то, переходя от двойного интеграла
Интегрирование

Интегрирование к повторному, получаем формулу Интегрированиесводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, т. е. переменные х, у и z в формуле (2) можно менять ролями.

В частности, если V— параллелепипед с гранями Интегрирование то формула (2) принимает вид Интегрирование

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование — параллелепипед, ограниченный плоскостями Интегрирование (рис. 195).
Решение. По формуле (3) имеем Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование —пирамида, ограниченная плоскостью x+y+z=1 и координатными плоскостями х=0, у=0, z=0 (рис. 196).
Решение. Область V проектируется на плоскость Оху в треугольник G, ограниченный прямыми х=0 у=0, у=1-х. По формуле (2) имеем Интегрирование

Замена переменных в тройном интеграле

Как для двойных интегралов, так и для тройных имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.

Замену переменных в тройном интеграле производят по следующему правилу.

Если ограниченная замкнутая область V пространства (х, у, z) взаимно однозначно отображается на область V* пространства Интегрирование с помощью непрерывно дифференцируемых функций Интегрирование и якобы J в области V* не обращается в нуль: Интегрирование

В частности, при переходе от прямоугольных координат х, у, z к цилиндрическим координатам Интегрирование (рис. 197), связанным с х, у, z формулами
Интегрирование
якобиан преобразования J=р, поэтому Интегрирование

Название цилиндрические координаты связано с тем, что координатная поверхность p=const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси Oz.

При переходе от прямоугольных координат х, у, z к сферическим координатам Интегрирование (рис. 198), связанным с х, у, z формулами
Интегрирование
якобиан преобразования Интегрирование, поэтому Интегрирование

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность р=const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является сферой. Сферические координаты иначе.- называют полярными координатами в пространстве.

При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область V* обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области V, используя геометрический смысл новых координат.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование переходом к цилиндрическим координатам Интегрирование где V — область, ограниченная поверхностями Интегрирование (рис. 199).

Решение:

Так как область V на плоскость Оху проектируется в круг Интегрирование, то координата Интегрирование изменяется в пределах от Интегрирование, координата Интегрирование. Постоянному значению Интегрирование в пространстве Охуz соответствует цилиндр Интегрирование Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью V, получаем изменение координаты z от значений для точек, лежащих на параболоиде Интегрирование, до значений для точек, лежащих на плоскости Интегрирование Применяя формулу (4), имеем Интегрирование

Трудно дать какую-либо общую рекомендацию, когда следует применять ту или иную систему координат. Это зависит и от области интегрирования, и от вида подынтегральной функции. Однако, например, формулой (5) удобнее пользоваться, когда f (х, у, г.z) имеет вид Интегрирование, а также когда областью V является шар Интегрирование или его часть.
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где V— шар Интегрирование (рис. 200).

Решение:

В данном случае удобно перейти к сферическим координатам: Интегрирование. Из вида области V следует, что координаты Интегрирование меняются в следующих пределах: Интегрирование Интегрирование Так как подынтегральная функция Интегрирование

Некоторые приложения тройных интегралов

Кратко рассмотрим типичные задачи применения тройных интегралов, ограничившись приведением необходимых формул, так как их вывод аналогичен выводу соответствующих формул в случае двойных интегралов.

Если дано некоторое тело V с плотностью p(M)=p(x, у, z), представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл Интегрирование
представляет собой массу m данного тела.
Интегрирование

Моменты инерции тела V с плотностью р(М)=р(x, у, z) относительно осей координат определяются следующими формулами:
Интегрирование

Момент инерции относительно начала координат Интегрирование
Координаты центра масс определяются следующими формулами: Интегрированиегде Интегрирование — координаты центра масс, а m — масса данного тела. В частности, если рассматриваемое тело однородно, т. е.
р (х, у, z)=const, то выражения для координат центра масс упрощаются и принимают вид
Интегрирование

где Интегрирование — объем данного тела.

Как уже было отмечено, тройной интеграл Интегрирование равен объему тела V.

Тройные интегралы в некоторых случаях более удобны для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно вычислить объем не только криволинейного цилиндра, но и других тел.

Пример:

Определить координаты центра масс верхней половины однородного шара V радиуса R с центром в начале координат.

Решение:

Данный полушар ограничен поверхностями Интегрирование В силу симметрии полушара Интегрирование Координата Интегрирование определяется по формуле
Интегрирование

Переходя к сферическим координатам, получаем Интегрирование

Поверхностные интегралы

В этом параграфе рассмотрены интегралы от функций, заданных на поверхности, так называемые поверхностные интегралы.

Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и второго рода.

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция Интегрирование. Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями Интегрирование (рис. 201). Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Интегрирование составим сумму Интегрирование

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f (M) по поверхности S. Обозначим через Интегрирование наибольший из диаметров частей поверхности.

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (х, у, z) по поверхности S и обозначается одним из следующих символов:
Интегрирование

В этом случае функция f (х, у, z) называется интегрируемой по поверхности S, S — областью интегрирования.

Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла. Поэтому свойства двойных интегралов и условия их существования без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.Интегрирование

В частности, если Интегрирование на поверхности S, то Интегрирование
где s — площадь поверхности S, т. е. с помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислять площади поверхностей.

Кроме того, с их помощь!о можно определять массы, статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс и подобные величины для материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения масс. Эти задачи решаются аналогично соответствующим задачам для случая материальной кривой, материальной плоской и пространственной области.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.

Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x, у), где функция z(x, у) вместе с производными Интегрирование непрерывна в замкнутой области G — проекции S на плоскость Оху (рис. 202), и пусть функция f (х, у, z) непрерывна на поверхности S и, следовательно, интегрируема по этой поверхности.

Разобьем поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость Оху. Получим соответственно разбиение области G на части Интегрирование Площадь Интегрирование каждой части поверхности может быть представлена в виде (см. формулу (2), п. 3, § 4)
Интегрирование

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, получаем Интегрирование
где Интегрирование — некоторая точка области G,; As, — площадь G,. Обозначим через М, точку на частичной поверхности с координатами Интегрирование — точка, которая имеется в формуле (2). Составим интегральную сумму для функции f (x, y, z) по поверхности S, выбирая точки Интегрирование в качестве промежуточных: Интегрирование

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции Интегрирование Поэтому предел правой части (3) при Интегрирование равен двойному интегралу Интегрирование

Так как функция f (x, у, z) интегрируема по поверхности S, то предел левой части (3) при Интегрирование равен поверхностному интегралу Интегрирование

Следовательно, переходя к пределу в (3) при Интегрирование, получаем искомую формулу Интегрированиевыражающую поверхностный интеграл первого рода через двойной по проекции поверхности S на плоскость Оху.

Аналогично получаются формулы, выражающие интеграл по поверхности S через двойные по ее проекциям на плоскости Оуz и Oxz.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — часть параболоида вращения Интегрирование отсеченного плоскостью z=0 (рис. 203).
Решение. Поверхность S, заданная уравнением Интегрирование проектируется на плоскость Оху в область G, ограниченную окружностью Интегрирование (уравнение окружности получается из уравнения параболоида при z=0).

Следовательно, областью G является круг Интегрирование В этом круге функции Интегрирование непрерывны. По формуле (4) получаем ИнтегрированиеИнтегрирование

Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам Интегрирование находим
Интегрирование

Определение поверхностного интеграла второго рода

Введем предварительно понятие стороны поверхности.

Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведем через нее нормаль к поверхности (вектор Интегрирование). Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором Интегрирование так, чтобы вектор Интегрирование все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно (рис. 204). В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.

Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность, заданная уравнением z=f (x, у), где Интегрирование — функции, непрерывные в некоторой области G плоскости Оху.

Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Простейшим примером односторонней поверхности служит лист Мёбиуса, изображенный на рис. 205. Его можно получить, взяв полоску бумаги ABCD и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В — с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один из ее краев на 180°. При обходе листа Мёбиуса по его средней линии и возвращении в исходную точку направление нормали меняется на противоположное.Интегрирование

В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны — ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а одностороннюю — неориентируемой.

С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации ее границы.

Пусть S — ориентированная (сторона уже выбрана) поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове, оставляет поверхность слева от себя (рис. 206). Противоположное направление обхода называется отрицательным. Если изменить ориентацию поверхности, т. е. изменить направление нормали на противоположное, то положительное и отрицательное направления обхода контура L поменяются ролями.

Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода.

Пусть S — гладкая поверхность, заданная уравнением Интегрирование — ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, т. е. одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (тем самым мы ориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с осью Оz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности z=f(x, у), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на п частей и обозначим через Интегрирование проекцию i-й части поверхности на плоскость Оху. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Интегрирование, составим сумму

Интегрирование
где Интегрирование — площадь Интегрирование взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности S. Сумма (5) называется интегральной суммой для функции R(M)=R(x, у, z). Обозначим через А. наибольший из диаметров частей поверхности S.

Определение:

Если интегральная сумма (5) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R (х, у, z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:
Интегрирование
В этом случае функция R (х, у, z) называется интегрируемой по поверхности S по переменным х и у.

Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z [z и x] от функции Интегрирование, которая определена на поверхности S:Интегрирование

называют общим поверхностным интегралом второго рода и обозначают символом Интегрирование

Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности (переориентации) он меняет знак.

К понятию поверхностного интеграла второго рода приводит, например, задача о потоке векторного поля, которая будет рассмотрена в $ 14.

Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Вычисление поверхностных интегралов второго рода

Поверхностные интегралы второго рода вычисляют сведением их к двойным интегралам.

Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением z=f( x, у), где функция f (x, у) определена в замкнутой области G — проекции поверхности S на плоскость Оху, a R (х, у, z) — непрерывная функция на поверхности S.

Разобьем поверхность S произвольно на п частей и спроектируем это разбиение на плоскость Оху (рис. 207). Область G разобьется соответственно на части Интегрирование Выберем на каждой части поверхности произвольную точку Интегрирование и составим интегральную сумму
Интегрирование
где Интегрирование — площадь Интегрирование. Так как Интегрирование то Интегрирование

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции
R [x, у, f(x, у)]. Переходя к пределу в (7) при Интегрирование, получаем искомую формулу
Интегрированиевыражающую поверхностный интеграл второго рода по переменным х и у через двойной. Кроме того, формула (8) доказывает существование поверхностного интеграла от функции R (х, у, z), непрерывной на рассматриваемой поверхности S. Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части (8) появится знак минус.

Аналогично устанавливается справедливость следующих формул: Интегрирование
где поверхность S задана соответственно уравнением x=f(y, z) и
y=f(x, z), a Интегрирование —проекции поверхности S соответственно на плоскости Оуz и Oxz.

Для вычисления интеграла общего вида (6) используют те же формулы (8) — (10), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а интеграл (6) — на сумму интегралов по этим частям.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — верхняя сторона поверхности Интегрирование отсеченная плоскостями у=0, у=1 (рис. 208).
Интегрирование
Решение:

Проекцией G данной поверхности на плоскость Оху является прямоугольник, определяемый неравенствами Интегрирование По формуле (8) находим Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — верхняя сторона части плоскости x+z-1=0, отсеченная плоскостями
у=0, у=4 и лежащая в первом октанте (рис. 209).

Решение:

По определению, Интегрирование
Здесь Интегрирование — проекции поверхности S на плоскости Oyz и Оху, а Интегрирование
так как плоскость S параллельна оси Оу. По формулам (8) и (9) соответственно находим
Интегрирование

Следовательно,
Интегрирование

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и другим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интеграла стоят некоторые специальные выражения. Обозначим через Интегрирование направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной ее точке. Поверхностные интегралы второго рода различаются своим отношением к координатным плоскостям:Интегрирование

1. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Оху от функции R(x, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы: Интегрирование
2. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxz от функции Q (х, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы: Интегрирование
3. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oyz от функции Р(х, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы: Интегрирование

Суммируя формулы (11) — (13), получаем формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбранной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода:Интегрирование

Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие косинусы нормали Интегрирование изменят знак и, следовательно, изменит знак поверхностный интеграл второго рода.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — внешняя сторона полусферы Интегрирование расположенной над плоскостью Оху, а Интегрирование — острый угол между нормалью к поверхности S с осью Oz (рис. 210).
Интегрирование

Решение:

По формуле (11), связывающей поверхностные интегралы обоих типов, имеем Интегрирование

Проекцией G данной поверхности S на плоскость Оху является круг Интегрирование. По формуле (8) получаем Интегрирование

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, находим Интегрирование

Формула Остроградского

Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула является аналогом формулы Грина, которая, как известно, связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой. Формула Остроградского имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Выведем эту формулу для замкнутой пространственной области, граница которой пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках. Назовем для краткости такие области простыми. При этом будем рассматривать внешнюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предполагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.

Теорема:

Пусть V — простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции Р (х, у, z), Q (х, у, z) и R (х, у, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула: Интегрированиеназываемая формулой Остроградского.

Доказательство:

Пусть область G — проекция поверхности S (и области V) на плоскость Оху (рис. 211), a Интегрирование и Интегрирование — уравнения соответствующих частей поверхности S — нижней части Интегрирование и верхней Интегрирование.

Преобразуем тройной интеграл
Интегрирование
в поверхностный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по z. Получим
ИнтегрированиеИнтегрирование

Так как область G является проекцией на плоскость Оху и поверхности Интегрирование, и поверхности Интегрирование, то двойные интегралы можно заменить равными им поверхностными интегралами [см. § 11, п. 4, формулу (8)], взятыми соответственно по верхней стороне поверхности Интегрирование и верхней стороне поверхности Интегрирование, т. е.
Интегрирование

Меняя в интеграле по Интегрирование сторону поверхности, получаем Интегрирование
где S — внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V.

Аналогично доказываются формулы
Интегрирование

Складывая почленно равенства (2), (3), (4), приходим к формуле (1). ■

Замечание:

Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей. В самом деле, применяя формулу (1) к каждой из областей разбиения и складывая результаты, получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей области V, а в правой — поверхностный интеграл по поверхности S, ограничивающей область V, так как поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям берутся дважды по противоположным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются.

С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям.

Пример:

Вычислить интеграл
Интегрирование
где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями Интегрирование (см. рис. 196).
Решение:

Используя формулу Остроградского, получаем Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл
Интегрирование
где S — внешняя сторона сферы Интегрирование
Решение:

Применяя формулу Остроградского, имеем Интегрирование

Как было отмечено (§ 9, п. 1), формула Грина выражает площадь области через криволинейный интеграл по ее границе. Точно также из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S — границе этой области. Действительно, подберем функции Р, Q и R так, чтобы
Интегрирование

Тогда получим Интегрирование
где Интегрирование — объем, ограниченный поверхностью S. В частности, полагая Интегрирование получаем для вычисления объема формулу
Интегрирование

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами. Подобно формулам Грина и Остроградского, формулу Стокса широко применяют как в самом анализе, так и в его приложениях.

Пусть S — поверхность, заданная уравнением z=z(х, у), где функции Интегрирование непрерывны в замкнутой области G — проекций S на плоскость Оху; L — контур, ограничивающий S, а l — его проекция на плоскость Оху, являющаяся контуром, ограничивающим область G. Выберем верхнюю сторону поверхности S (рис. 212). Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.

Теорема:

Если функция Р (х, у, z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место следующая формула:
Интегрирование
где Интегрирование — направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении.

Доказательство:

Преобразуем криволинейный интеграл Интегрирование
взятый по контуру L, в интеграл по поверхности S. Это преобразование проведем по следующей схеме: Интегрирование

т. е. криволинейный интеграл по пространственному контуру L преобразуем сначала в криволинейный интеграл по плоскому контуру l, затем переведем его в двойной интеграл по области G и, наконец, этот последний интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S.
Интегрирование

Так как контур L лежит на поверхности S, то координаты его точек удовлетворяют уравнению z=z(x, у) и поэтому значения функции Р (х, y, z) в точках контура L равны значениям функции Р [х, у, z(x, у)] в соответствующих точках контура l, являющегося проекцией L. Проекции же соответствующих участков разбиения контуров L и l на ось Ох совпадают. Поэтому совпадают также интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода от функции Р по контурам L и l, а значит, равны и интегралы: Интегрирование

Далее, применяя формулу Грина, перейдем к двойному интегралу по области G. Получаем
Интегрирование

Здесь подынтегральная функция равна частной производной по у от сложной функции, получающейся из Р (х, у, z) после подстановки
z (x, у) вместо z.

Поскольку s — верхняя сторона поверхности, т. е. Интегрирование (Интегрирование — острый угол между нормалью и осью Oz), нормаль имеет проекции — Интегрирование 1. А так как направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим проекциям, то Интегрирование

Теперь, воспользовавшись формулами (8) и (11) из § 11, можно этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем
Интегрирование

Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость следующих двух формул:
Интегрирование

Складывая почленно равенства (1), (2), (3), получаем формулу
Интегрирование
которая называется формулой Стокса.

С помощью формулы, связывающей поверхностные интегралы, (14) из § 11 формулу Стокса можно переписать в следующем виде: Интегрирование

Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое в правой ее части это то же самое выражение, которое стоит под знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье получаются из него циклической перестановкой координат х, у, z и функций Р, Q, R.

В частности, если поверхность S — область плоскости Оху, ограниченная контуром L, то интегралы по dzdx и dydz обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина.

Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов.

Пример:

Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл Интегрирование
где L — окружность, заданная уравнениями Интегрирование а поверхностью S служит верхняя сторона полусферы Интегрирование и контур L проходится в положительном направлении.

Решение:

Так как Интегрированието криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой L равен нулю: Интегрирование

А это значит, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования.

Как и в случае плоской кривой, условия (5) являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства (6).

При выполнении условий (5) или (6) подынтегральное выражение Интегрирование представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (х, у, z): Интегрирование

Справедливость этого равенства устанавливается так же, как соответствующая формула (4) из § 8 для функции двух переменных.

Скалярное и векторное поля

Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Изучение теории поля выходит за рамки данного курса, поэтому ограничимся только краткими сведениями.

В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определенное значение), поле давлений, поле скоростей и т. д.

Поле величины u называется стационарным (или установившимся), если и не зависит от времени t. В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки М и времени t.

В физических задачах чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные. Для простоты будем считать их стационарными.

Скалярное поле

Пусть G — некоторая область на плоскости или в пространстве. Если в каждой точке М из G определена скалярная величина u, то говорят, что в области G задано скалярное поле. Понятия скалярного поля и функции, определенной в области G, совпадают. Обычно используют следующую терминологию: скалярное поле задается с помощью функции u=F(M), которая называется скалярной функцией. Если в пространстве ввести систему координат Oxyz, то каждая точка М будет иметь определенные координаты х, у, z и скалярная величина и является функцией этих координат: u=F(М)= F(х, у, z).

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, температура выше, дальше от источника теплоты — ниже.

Если окажется, что температура везде одинаковая, то в этом случае скалярное поле постоянно.

Векторное поле

Аналогично с понятием скалярного поля вводится понятие векторного поля: если в каждой точке М из G определен вектор Интегрирование(М), то говорят, что в области G задано векторное поле. Функция Интегрирование(M), с помощью которой задается векторное поле, называется векторной функцией.

Примером векторного поля может служить поле сил любой природы. Каждой точке области соответствует определенный вектор, имеющий числовую величину и направление силы в этой точке.

Пример:

Найти векторное поле скоростей Интегрирование точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Интегрирование вокруг оси.
Решение:

Скорость Интегрирование точки М равна векторному произведению Интегрирование где Интегрирование — вектор угловой скорости; Интегрирование — радиус-вектор точки М вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Примем эту неподвижную точку оси за начало координат, а ось вращения — за ось Oz. Тогда Интегрирование и, следовательно.

Интегрирование
— искомое векторное поле.

Потенциальное поле

Введем понятие потенциального поля. Рассмотрим некоторое скалярное поле F(М). Если в каждой точке М из G определен вектор grad F, то поле этого вектора называется потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенциальное поле, часто называют потенциальным вектором, т. е. вектор Интегрирование(М) потенциальный, если найдется такая скалярная функция F(M), что Интегрирование

Возникает вопрос, при каких условиях данное векторное поле Интегрирование(М) потенциальное. Фактически этот вопрос уже рассмотрен в § 7. Пусть Р, Q и R — проекции вектора Интегрирование на оси координат Ox, Оу, Oz соответственно, т. е.
Интегрирование

В силу соотношения (1) векторное поле Интегрирование(М) является потенциальным, если найдется функция F (М) такая, чтоИнтегрирование

В теореме 13.7 было показано, что выражение Интегрирование (где P, Q, R — непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные первого порядка) полный дифференциал некоторой функции F (х, у, z) в том и только в том случае, когда Р, Q, R удовлетворяют условиям Интегрирование

Но если Интегрирование, то справедливы и равенства (2),
т. е. условие (3) как раз и означает, что данное векторное поле потенциальное. Функция F (х, у, z) в этом случае называется потенциальной функцией поля.

Примером потенциального поля служит поле сил тяготения. Если в начале координат помещена масса т, то эта масса создает поле сил тяготения; в каждой точке М пространства на помещенную в эту точку единичную массу по закону Ньютона действует сила Интегрирование(М), равная по величине Интегрирование и направленная к началу координат. Здесь Интегрирование — расстояние от начала координат О до точки М; k — коэффициент пропорциональности.

Пусть х, у, z — координаты точки М. Тогда проекции Р, Q и R силы Интегрирование(М) определяются следующим образом: Интегрирование

где Интегрирование — направляющие косинусы вектора Интегрирование(М). Следовательно,
Интегрирование

Можно проверить, что данное векторное поле потенциальное и его потенциальная функция Интегрирование

В заключение найдем работу силы Интегрирование(М) при перемещении единичной массы из точки Интегрирование.

Как известно, работа А выражается криволинейным интегралом
Интегрирование
где Р, Q и R — проекции силы Интегрирование(М) на оси координат. Так как данное силовое поле является потенциальным, то подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, поэтому интеграл не зависит от выбора пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Интегрирование

т. е. работа силы Интегрирование(М) равна разности значений потенциальной функции в точках С и В. В данном случае
Интегрирование
где Интегрирование — расстояния точек B и С от начала координат.

Заметим, что областью, в которой определено поле сил тяготения, является все пространство, за исключением начала координат.

Задача о потоке векторного поля

Пусть в пространстве задано векторное поле Интегрирование скоростей жидкости, т. е. пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в каждой точке М (х; у, z) задается вектором Интегрирование
где Р, Q и R — проекции скорости на оси координат. Пусть Р, Q и R — непрерывные функции координат. Вычислим количество П жидкости, протекающей за единицу времени через некоторую ориентированную поверхность S, ограниченную пространственной кривой L, считая плотность жидкости Интегрирование

Пусть Интегрирование — единичный вектор нормали к поверхности S, и пусть его направляющие косинусы являются непрерывными функциями координат х, у, z точек данной поверхности.

Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями Интегрирование и в каждой из них выберем точку Интегрирование

Найдем количество П, жидкости, протекающей за единицу времени через i-ю часть поверхности (рис. 213). Обозначим через Интегрирование угол между векторами Интегрирование. Если этот угол острый, т. е. жидкость течет в «ту сторону», куда указывает нормаль Интегрирование, то величину Интегрирование будем считать положительной, а если угол тупой, т. е. жидкость течет в «обратную сторону», — отрицательной.

Приближенно можно считать, что при достаточно мелком разбиении поверхности S скорость Интегрирование во всех точках i-й части постоянна и равна Интегрирование, а частичные поверхности — плоские. Тогда величина Интегрирование приближенно равна взятому с соответствующим знаком объему цилиндра с площадью основания Интегрирование и высотой, равной модулю проекции вектора Интегрирование на нормаль Интегрирование, т. е. Интегрирование где h — указанная проекция. А так как
Интегрирование

Суммируя по i от l до n, получаем приближенное значение количества П жидкости, протекающей через ориентированную поверхность S за единицу времени:
Интегрирование

Сумма справа является интегральной суммой для функции Интегрирование. Так как проекции Р, Q, R вектора Интегрирование и направляющие косинусы вектора Интегрирование — непрерывные функции координат х, у, z точек поверхности S, то скалярное произведение Интегрирование непрерывная функция. Следовательно, предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей поверхности существует и равен поверхностному интегралу первого рода по поверхности S от функции Интегрирование. Переходя к пределу, получаем точное значение П:

Интегрирование
или, выражая скалярное произведение через координаты векторов,Интегрирование

Воспользовавшись формулой (14) из § 11, связывающей поверхностные интегралы первого и второго рода, окончательно имеем
Интегрирование

Таким образом, количество П жидкости, протекающей за единицу времени через ориентированную поверхность S, представляет собой поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности.

Для произвольного векторного поля Интегрирование поверхностный интеграл второго рода (4) называется потоком вектора Интегрирование [или потоком векторного поля Интегрирование] через поверхность S. Для векторного поля иной природы, чем в рассмотренном примере, поток, разумеется, имеет другой физический смысл.

Дивергенция

Пусть в некоторой области V, ограниченной поверхностью S, задано векторное поле Интегрирование, такое, что функции P(M), Q (М), R (М) непрерывны в V вместе с частными производными.

Определение:

Дивергенцией векторного поля Интегрирование называется скалярная функция Интегрирование, определяемая равенствомИнтегрирование

Используя выражение для дивергенции и понятие потока вектора через поверхность, формулу Остроградского (см. формулу (1), § 12) можно записать в более компактной векторной форме. Поверхностный интеграл в формуле Остроградского представляет собой поток вектора Интегрирование через поверхность S: Интегрирование

Используя это выражение и формулу (5), запишем формулу Остроградского в виде Интегрирование

Таким образом, поток вектора Интегрирование через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции поля Интегрирование, взятому по области, ограниченной поверхностью S.

Покажем, что дивергенция не зависит от выбора системы координат, хотя ее определение и было с ней связано. Для этого возьмем произвольную точку Л1, заключим ее в область V, ограниченную поверхностью S, и применим к области V формулу Остроградскаго. Далее, используя теорему о среднем для тройного интеграла, получаем
Интегрирование
где Интегрирование —некоторая точка области V; Интегрирование — объем области V. Отсюда Интегрирование

Будем теперь стягивать область V в точку М. При этом Интегрирование и мы получаемИнтегрирование
т. е. дивергенция векторного поля Интегрирование в точке М является пределом отношения потока вектора Интегрирование через поверхность S, окружающую точку М, к объему области. А так как поток и объем не зависят от выбора системы координат, то и дивергенция также не зависит от выбора системы координат, что и требовалось показать.

Выясним теперь с помощью формулы (7) физический смысл дивергенции. Для этого будем рассматривать векторное поле Интегрирование как поле скоростей жидкости с плотностью р=1. Как установлено в п. 4, поток
Интегрирование
вектора Интегрирование равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность S в направлении нормали Интегрирование. Пусть Интегрирование — внешняя нормаль. Поскольку S — замкнутая поверхность, то, очевидно, поток вектора Интегрирование равен количеству жидкости, которое за единицу времени возникает или уничтожается в пределах области V, ограниченной поверхностью S. Назовем это количество суммарной мощностью источников (если П>0) или стоков (если П<0), расположенных в области V. Рассмотрим отношение Интегрирование

Оно представляет собой среднюю плотность источников (или стоков), т. е. количество жидкости, возникающей (или исчезающей) за единицу времени в единице объема области V, а предел
Интегрирование
при условии, что область V стягивается в точку М, можно назвать плотностью источников (или стоков) в точке М. Но этот предел равен Интегрирование. Таким образом, дивергенция векторного поля скоростей характеризует плотность источников жидкости.

Если Интегрирование , то, как следует из формулы (6), П>0, т. е. внутри области V имеются источники жидкости и из нее вытекает жидкости больше, чем втекает; если Интегрирование, то П<0, т. е. внутри области V имеются стоки жидкости и в нее втекает жидкости больше, чем вытекает. Если же Интегрирование, то П=0, т. е. внутри области V нет ни стоков, ни источников и в нее втекает столько же жидкости, сколько и вытекает. Это, например, имеет место для любой области V, расположенной в потоке воды, текущей в реке.

Для произвольного векторного поля Интегрирование имеет аналогичный физический смысл: дивергенция характеризует плотность источников поля.

Векторное поле Интегрирование называется соленоидальным (или трубчатым), если в каждой его точке Интегрирование. Примером такого поля служит, как было показано выше, поле скоростей жидкости при отсутствии стоков и источников.

Пример:

Вычислить дивергенцию поля скоростей Интегрирование твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси Oz.

Решение. Здесь Интегрирование. Поэтому Интегрирование т. е. данное векторное поле является соленоидальным.

Циркуляция. Ротор

Пусть снова в некоторой области задано векторное поле
Интегрирование

и L — гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области. Выберем на кривой L одно из двух направлений движения и обозначим через Интегрирование вектор, имеющий в каждой точке направление, совпадающее с направлением движения по кривой в этой точке, и по модулю равный дифференциалу длины дуги:Интегрирование

Тогда криволинейный интеграл от скалярного произведения векторов Интегрирование
Интегрирование
называется циркуляцией векторного поля Интегрирование вдоль кривой L. В силовом поле циркуляция выражает работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути L. Для полей другой природы циркуляция имеет иной физический смысл.

Определение:

Ротором векторного поля Интегрирование называется вектор Интегрирование, определяемый равенствомИнтегрированиеС помощью понятий ротора и циркуляции формулу Стокса
Интегрирование

Таким образом, циркуляция векторного поля Интегрирование вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, ограниченную контуром L.

Так же как и для дивергенции, можно показать, что Интегрирование не зависит от выбора системы координат, а определяется только самим векторным полем Интегрирование.

Пример:

Вычислить ротор поля скоростей Интегрирование твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Интегрирование вокруг оси Oz.
Решение:

Используя определение ротора, получаем Интегрирование
т. е. ротор данного векторного поля направлен по оси вращения Oz, а по модулю равен удвоенной угловой скорости.

Понятие ротора непосредственно связано с понятием потенциального поля. Было показано, что векторное поле Интегрирование потенциальное в том и только в том случае, если Интегрирование

Но это означает, равенство нулю всех трех координат ротора поля Интегрирование, т. е. для того чтобы векторное поле Интегрирование было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Интегрирование

Оператор Гамильтона

Основные понятия теории поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:Интегрирование
Оператор Интегрирование будем рассматривать как символический вектор с координатами Интегрирование, а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением , Интегрирование на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции соответственно по х, у и z.

Основные понятия теории поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:Интегрирование
Оператор Интегрирование будем рассматривать как символический вектор с координатами Интегрирование, а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением , Интегрирование на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции соответственно по х, у и z.

Примеры:
1. Пусть u (x, у, z) — скалярная функция. Тогда произведение оператора Интегрирование на функцию u дает градиент этой функции:
Интегрирование
2. Пусть Интегрирование — вектор-функция. Тогда скалярное произведение оператора Интегрирование на вектор-функцию Интегрирование дает дивергенцию этой функции Интегрирование

3. Векторное произведение оператора Интегрирование на вектор-функцию Интегрирование дает ротор этой функции
Интегрирование

В приложениях часто встречаются так называемые операции второго порядка, т. е. попарные комбинации трех указанных выше операций. Рассмотрим наиболее важные из них. Интегрирование

в силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко получить с помощью оператора Интегрирование:Интегрирование
так как здесь имеем смешанное произведение трех «векторов»: Интегрирование два из которых одинаковы. Такое произведение, очевидно, равно нулю.

Интегрированиев силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко получить с помощью оператора Интегрирование:
Интегрирование
так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно нулю.

Интегрирование
Правая часть равенства (8) символически обозначается так:
Интегрирование

называется оператором Лапласа*. Оператор Лапласа Интегрирование естественно рассматривать как скалярный квадрат «вектора» Интегрирование. В самом деле, Интегрирование

Поэтому равенство (8) с помощью оператора Интегрирование записывается в видеИнтегрирование
называется уравнением Лапласа. С его помощью описываются стационарные процессы различной физической природы, например: стационарное распределение теплоты, электростатическое поле точечных зарядов, установившееся движение несжимаемой жидкости внутри некоторой области и т. д. Скалярное поле u (х, у, z), удовлетворяющее условию Интегрирование, называется лапласовым, или гармоническим, полем.

Дополнение к интегрированию

Интегрирование
Интегрирование
Интегрирование

Смотрите также:

Максимумы и минимумы Задача практического интегрирования
Теорема о среднем Многочлены

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Неопределённый интеграл
  31. Определенный интеграл
  32. Криволинейные интегралы
  33. Поверхностные интегралы
  34. Несобственные интегралы
  35. Кратные интегралы
  36. Интегралы, зависящие от параметра
  37. Квадратный трехчлен
  38. Производная
  39. Применение производной к исследованию функций
  40. Приложения производной
  41. Дифференциал функции
  42. Дифференцирование в математике
  43. Формулы и правила дифференцирования
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат