Оглавление:
Преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы:
- основные тригонометрические тождества
- формулы приведения
- формулы суммы и разности аргументов
- формулы двойного аргумента
- формулы тройного аргумента
- формулы половинного аргумента
- формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение
- формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность)
Формулы сложения и вычитания
Расстояние между двумя точками на плоскости
Задача:
На плоскости даны две точки и
. Найти расстояние АВ между ними.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79702.png)
Решение:
На рис. 125 изображен случай, когда и
. Мы же будем вести рассуждения, справедливые для любого случая расположения точек A и В. Заметим, что
и
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСВ имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79729.png)
или
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79730.png)
Так как и
, то
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79733.png)
откуда имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79737.png)
Пример:
Найти расстояние между точками А (7, —2) и В (4, — 6).
Решение:
По формуле (114.1) имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79742.png)
Пример:
Найти расстояние между точками С (2, —1) и D (3, 1).
Решение:
По формуле (114.1) имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79744.png)
Косинус суммы и разности двух аргументов
а) Косинус разности. Предположим, что углы и
удовлетворяют следующим двум условиям:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79748.png)
На рис. 126 изображены углы и
. Точки А, В и С лежат на единичной окружности (OA = OB = ОС = 1). Заметим, что
.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79750.png)
Кроме системы координат Оху будем рассматривать еще новую систему координат Ох’у’, полученную из старой поворотом на угол .
В дальнейшем будем использовать тот факт, что расстояние ВС между точками В и С, вычисленное в старой системе координат Оху и в новой системе координат Ох’у’, будет одинаково.
В системе координат Оху точка В имеет координаты , а точка С — координаты
. По формуле (114.1) имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79849.png)
В системе координат Ох’у’ точка В имеет координаты (1, 0), а точка С — координаты . По формуле (114.1) найдем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79851.png)
Приравняв правые части формул (115.1) и (115.2), получим выражение для косинуса разности двух углов:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79852.png)
Мы доказали теорему:
Косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса первого угла на синус второго.
Заметим, что ограничения, наложенные на углы и
условиями 1) и 2), можно снять. В самом деле, допустим, что снято ограничение
;
, налагаемое на углы
и
условиями 1), и мы имеем:
и
, где k, m = 0, ±1, ±2, … , или
и
. Положив
,
, получим
и
. Без ограничения общности будем считать, что
. (Ниже будет показано, что условие 2) не существенно.)
Итак, углы и
, удовлетворяют условиям 1) и 2), при которых была доказана теорема. Следовательно,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79868.png)
Подставив вместо и
их значения, получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79869.png)
Воспользовавшись периодичностью синуса и косинуса, придем к формуле (115.3). Мы показали, что условие 1) не существенно.
Допустим теперь, что, вопреки условию 2), , т. е.
. Воспользовавшись четностью косинуса, будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79871.png)
Итак, доказана общность формулы (115.3), т. е. ее справедливость при любых углах и
.
б) Косинус суммы. Так как формула (115.3) справедлива для любых двух углов и
, то, заменив в ней
на
, получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79876.png)
Воспользовавшись четностью косинуса и нечетностью синуса, будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79878.png)
Мы доказали теорему:
Косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса первого угла на синус второго.
Пример:
Вычислить .
Решение:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79882.png)
Формулы (115.3) и (115.4), как и все выводимые в дальнейшем соотношения для тригонометрических функций, сохраняют свою силу и для тригонометрических функций числового аргумента. Вообще, в дальнейшем мы уже не будем всякий раз указывать, как понимается аргумент тригонометрической функции (как угол или как число).
Синус суммы и разности двух аргументов
а) Синус суммы. Воспользовавшись формулой приведения (105.2), будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79886.png)
К правой части последнего равенства применим формулу (115.3):
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79889.png)
Итак,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79890.png)
Мы доказали теорему:
Синус суммы двух аргументов равен произведению синуса первого аргумента на косинус второго плюс произведение косинуса первого аргумента на синус второго.
б) Синус разности. Выводится формула
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79891.png)
и формулируется соответствующая теорема.
Пример:
Вычислить sin 105°.
Решение:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79894.png)
Тангенс суммы и разности двух аргументов
а) Тангенс суммы. При всех допустимых значениях аргументов и
имеет место формула
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79896.png)
Доказательство:
Па основании формул (116.1) и (115.4) имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79897.png)
Разделив почленно числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части, на произведение cosaeosp (мы предполагаем, что оно отлично от нуля), получим (117.1).
б) Тангенс разности. Аналогично можно вывести формулу
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79898.png)
Пример:
Вычислить tg 105°.
Решение:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79903.png)
Пример:
Вычислить .
Решение:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79905.png)
О формулах сложения для нескольких аргументов
Если возникает необходимость найти тригонометрическую функцию трех (или более) слагаемых, то это можно сделать, последовательно применив выведенные в пп. 115—117 формулы. Например:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79907.png)
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79908.png)
и
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79909.png)
Формулы для двойного и половинного аргумента
Выражение и
через степени
и
119. Тригонометрические функции двойного аргумента. Положив в формулах (116.1), (115.4) и (117.1) , мы получаем следующие формулы:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79914.png)
Синус двойного аргумента равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного аргумента.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79915.png)
Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79916.png)
Пример:
Упростить выражение
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79917.png)
Решение:
Мы уже решали этот пример в п. 99. Используя формулы (99.9), (99.10) и (119.1), имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79918.png)
Подставив (119.5) и (119.6) в (119.4), получаем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79919.png)
Замечание:
Формулы (119.5) и (119.6) можно получить и так:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79920.png)
Формулы (119.1) — (119.3) можно использовать для любого аргумента , считая его двойным для аргумента
. Например:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79921.png)
и т. д.
Пример:
Упростить выражение .
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на tg(a/2) и заменим tga по формуле (119.9), тогда получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79922.png)
Пример:
Доказать, что
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79924.png)
Решение:
Заметим, что
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79925.png)
Преобразуя левую часть тем же способом и далее, получим последовательно
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79926.png)
Тождество доказано.
Выражение через степени при натуральном числе
Выражение и
через степени
и
при натуральном числе n.
Случай, когда n = 2, дан формулами (119.1), (119.2). Выразим теперь ,
,
,
и вообще
,
через
и
. Укажем на два способа получения соответствующих формул. Покажем, например, как получаются формулы для
и
.
Первый способ. Представляем в виде
и используем формулу (116.1), а затем используем формулы (119.1) и (119.2):
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79939.png)
Итак,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79940.png)
В правую часть формулы (120.1) входят sin а и cos а; заменив на
, придем к следующей формуле:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79945.png)
которая содержит в правой части только степени sin а. Аналогичные формулы можно получить для cos За:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79947.png)
Заметим, что формулы (120.1) и (120.2) являются частным случаем формулы (118.1), когда в последней . Формулы же (120.3) и (120.4) — частный случай формулы (118.2).
Второй способ. Воспользуемся результатами, полученными в алгебре при изучении комплексных чисел. На основании формулы Муавра (п. 17)
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79950.png)
для случая, когда n = 3, имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79952.png)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Теперь из равенства
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79953.png)
отделяя (и соответственно приравнивая) действительную и мнимую части, получим формулы
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79954.png)
и
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79955.png)
В общем случае для получения sin na и cos na можно поступать также двумя способами: либо применять последовательно теоремы сложения (первый способ), либо пользоваться формулой Муавра (второй способ).
Пример:
Упростить выражение
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79959.png)
Решение:
Применив формулы (120.1) и (120.3), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79963.png)
В конце решения примера мы воспользовались формулами (119.2), (99.1) и (119.1).
Тригонометрические функции половинного аргумента
Часто бывает необходимо, зная тригонометрические функции аргумента , найти тригонометрические функции аргумента
. Выведем соответствующие формулы. Мы имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79969.png)
Присоединим к этой формуле основное тригонометрическое тождество:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79971.png)
Сложив почленно (119.8) и (121.1), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79974.png)
Вычитая (119.8) из (121.1), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79975.png)
Из тождеств (121.2) и (121.3) соответственно имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79977.png)
Разделив почленно тождество (121.3) на (121.2), приходим к тождеству
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79979.png)
Из последнего тождества имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79984.png)
Применяя формулы (121.4), (121.5) и (121.7), следует всякий раз заботиться о знаке, который нужно взять перед радикалом.
Для вычисления tg (а/2) могут быть использованы и формулы, выражающие tg (a/2) через cos а и sin а рационально. Выведем эти формулы:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79992.png)
Итак,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-79996.png)
Так как всегда (формула (121.8) имеет смысл только при 1 + cos a > 0), то из (121.8) можно заключить, что знак
во всех случаях совпадает со знаком sin а.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80003.png)
Итак,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80004.png)
Из последней формулы также ясно, что знак совпадает со знаком sin а, ибо всегда
.
Пример:
Найти sin 22°30′, cos 22°30 и tg 22°30 .
Решение:
Мы знаем, что . Следовательно, применяя формулы (121.5), (121.4) и (121.9), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80012.png)
Пример:
Дано: , где
. Найти
и
.
Решение:
Сначала находим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80046.png)
Так как , то
, a
.
Применяя формулы (121.5), (121.4) и беря в них радикалы с соответствующими знаками, получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80061.png)
Пример:
Доказать тождество
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80066.png)
Решение:
Так как ctg а = cos a/sin а, то достаточно доказать, что
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80082.png)
На основании формул приведения и (99.2) имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80085.png)
Применяя формулу (121.2), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80097.png)
Далее получаем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80094.png)
(Мы применили сначала формулу (119.1), приняв за данный аргумент , а за удвоенный аргумент
, а затем формулу приведения (105.1).) Следовательно, тождество доказано.
Выражение основных тригонометрических функций аргумента a через tg (a/2)
Иногда требуется основные тригонометрические функции (sin a, cos a, tg a и ctg а) выразить рационально через tg (a/2). Покажем, например, как это делается для sin а. Используя тождества
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80115.png)
можно писать
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80117.png)
Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части последнего равенства, почленно на , получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80118.png)
Используя тождество , можно доказать, что
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80126.png)
Соответствующая формула для tg a приводилась нами в п. 119:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80129.png)
Зная tg a можно получить формулу
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80133.png)
Замечание. Формулы (122.1)—(122.4) имеют смысл для всех значений аргумента , кроме
, где n — целое число.
Пример:
Дано . Найти sin a, cos a и tg a.
Решение:
На основании формулы (122.1) имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80146.png)
Аналогично . tg a уже проще искать так:
.
Пример:
Вычислить , если
.
Решение:
На основании формул (122.1) и (122.2) находим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80174.png)
Далее,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80182.png)
Преобразование в сумму выражений
Преобразование в сумму выражений вида ,
и
Основные формулы. Вернемся к формулам (116.1) и (116.2):
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80196.png)
Сложив эти тождества почленно и разделив на 2, получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80203.png)
Выполнив аналогичные действия с формулами (115.3) и (115.4):
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80206.png)
получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80209.png)
Вычтем из (115.3) почленно (115.4) и разделим на 2; получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80214.png)
Примеры:
Иногда при решении примеров, имея произведения тригонометрических функций, например функций аргументов и
, бывает полезно перейти к полусуммам или к полуразностям соответствующих тригонометрических функций.
Пример:
Упростить
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80233.png)
Решение:
Мы решали этот пример в п. 120, используя формулы (120.1) и (120.3) для sin 3a и cos 3a. Покажем теперь, как можно этот же пример решить, используя формулу (123.1). Заметим, что
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80241.png)
Используя только что полученные соотношения, будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80246.png)
(В конце решения примера мы воспользовались формулами п. 119.)
Пример:
Упростить
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80248.png)
Решение:
Преобразовав произведение, стоящее в знаменателе, получаем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80496.png)
Знаменатель преобразуем при помощи формулы приведения
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80499.png)
Числитель же преобразуем так:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80503.png)
Тогда
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80506.png)
Пример:
Вычислить А = sin20°sin40°sin80°. Решение. Заметим, что
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80509.png)
Далее,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80515.png)
так как , а
.
Преобразование в произведение сумм
вида ,
и
125. Основные формулы. При вычислении различных выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью таблиц логарифмов и логарифмической линейки удобно иметь дело с произведениями, а не с суммами. Выведем ряд формул, которые позволяют от сумм переходить к произведениям.
а) Сумма синусов. Запишем формулу (123.1) в виде
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80543.png)
и положим в ней и
. Заметим, что
и
; следовательно,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80554.png)
Сумма двух синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов.
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80572.png)
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80575.png)
б) Разность синусов. Заменив в формуле (125.1) на
, получим, учитывая нечетность синуса,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80564.png)
Разность двух синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы их аргументов.
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80578.png)
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80581.png)
в) Сумма косинусов. Запишем формулу (123.2) в виде
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80585.png)
и положим в ней и
. Мы уже видели, что
и
; следовательно,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80897.png)
Сумма двух косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов.
Пример:
cos 52°30′ + cos 16°30′ = 2 cos 34°30′ cos 18°.
Пример:
cos0,8 + cos2,8 — 2cos1,8cos1.
г) Разность косинусов. Из формулы (123.3), аналогично предыдущему, получается формула
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80912.png)
Разность двух косинусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус обратной полуразности их аргументов.
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80921.png)
Пример:
cos 1,6 — cos 1,4 = —2 sin 1,5 sin 0,1.
д) Сумма тангенсов. Перейдя к синусам и косинусам, получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80933.png)
Итак,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80937.png)
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80940.png)
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80942.png)
е) Разность тангенсов. Заменив в формуле (125.5) на
, будем иметь, учтя четность косинуса и нечетность тангенса,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80972.png)
Пример:
Преобразовать по формуле (125.6) и вычислить, используя таблицу тригонометрических функций (приложение II),
tg 0,55 — tg 0,15.
Решение:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80983.png)
В нашей таблице нет значений функций для аргументов 0,55 и 0,15, поэтому, воспользовавшись формулой (123.2), перейдем к полусумме косинусов, но уже от аргументов, которые имеются в таблице:
Теперь имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80990.png)
Пример:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-80991.png)
Замечание:
Последние две формулы (125.5) и (125.6) имеют смысл для аргументов и
, отличных от
, где n — целое число.
Примеры:
Пример:
Преобразовать в произведение выражение .
Решение:
Заменив по формуле приведения на
, перейдем к сумме косинусов и воспользуемся формулой (125.3):
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81019.png)
Пример:
Преобразовать в произведение .
Решение:
Перейдя к и
, получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81032.png)
Пример:
Привести к виду, удобному для логарифмирования,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81035.png)
Peшeние:
Заменив ctg 60° по формуле приведения на tg 30° и воспользовавшись формулой (126.1), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81041.png)
Далее, будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81043.png)
Последнее выражение можно упростить, если заметить, что , а sin 80° = cos 10°. Теперь будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81048.png)
Пример:
Привести к виду, удобному; для логарифмирования,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81059.png)
Решение:
Воспользовавшись формулой (125.3), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81056.png)
Согласно формуле (120.4)
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81063.png)
откуда
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81069.png)
и мы имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81070.png)
Пример:
Доказать тождество
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-81074.png)
Решение:
Заметим, что (см. (121.2)) и
. После этого преобразуем левую часть предполагаемого тождества:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82760.png)
Следовательно, наше тождество доказано. Мы исключили из рассмотрения те значения аргумента а, при которых выражение или, что то же самое,
равно нулю.
Пример:
Проверить, что tg 9°—tg 27° — tg 63° + tg 81° = 4.
Решение:
Заменив по формуле приведения tg 81° на ctg 9°, а tg 63° на ctg 27° и воспользовавшись формулой (126.1), получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82777.png)
Заметив, что cos 36° = sin 54°, мы приходим к равенству 4 = 4. Итак, tg 9°—tg 27° — tg 63° + tg 81° = 4 .
Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента
Некоторые суммы бывает возможно свести к произведениям, если соответствующим образом ввести вспомогательный аргумент. Проиллюстрируем этот прием на отдельных примерах.
Преобразование в произведение выражения . Мы предполагаем, что
и
. Постараемся подобрать аргумент
и положительный множитель
так, чтобы было
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82788.png)
Возведя в квадрат обе части равенств (127.1) и сложив полученные равенства почленно, будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/изображение_2021-04-23_145228.png)
откуда и
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82791.png)
(В качестве мы берем арифметическое значение корня.) После этого вспомогательный аргумент
можно найти из соотношений
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82794.png)
Теперь будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82797.png)
Итак,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82799.png)
Формулу (127.4) можно получить и так:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82802.png)
Положив теперь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82804.png)
мы придем к формуле (127.4).
Замечание:
Тот факт, что такой аргумент существует, доказан в п. 100
.
Пример 1. Представить в виде произведения выражение .
Решение:
Здесь ,
и
. Следовательно,
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82817.png)
Теперь полагаем
и
.
В качестве аргумента можно взять, например,
. Окончательно имеем
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82828.png)
Пример:
Представить в виде произведения выражение .
Решение:
В этом примере а = 1 и b = 1, следовательно, . Теперь поступаем, как в общем случае:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82835.png)
Положим и
.
В качестве аргумента можно взять, например,
. После этого получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82846.png)
Преобразование в произведение выражений и
при
.
1) Рассмотрим выражение . Запишем его следующим образом:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82882.png)
Так как, по предположению, , то можно положить
. Теперь будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82863.png)
Пример:
Преобразовать в произведение .
Решение:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82867.png)
Положим . В качестве
можно, например, взять
, и мы получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82874.png)
2) Рассмотрим выражение . Запишем его следующим образом:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82878.png)
Так как, по предположению, , то можно положить
. Теперь будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82880.png)
Пример:
Преобразовать в произведение
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82884.png)
Решение:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82888.png)
Положим . В качестве
можно, например, взять
, и мы получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82893.png)
Пример:
Преобразовать в произведение . Решение.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82896.png)
Положим . В качестве
можно, например, взять
, и мы будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82900.png)
Преобразование в произведение выражения . Рассмотрим выражение
, где
. Запишем его следующим образом:
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82903.png)
Так как тангенс изменяется в пределах от до
, то при любых а и b можно положить
, и мы получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82908.png)
Пример:
Преобразовать в произведение . Решение.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82910.png)
Положим . В качестве
можно, например, взять
, и мы будем иметь
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82913.png)
Пример:
Преобразовать в произведение . Решение.
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82916.png)
Положим . В качестве
можно, например, взять
, и мы получим
![Преобразование тригонометрических выражений](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-82919.png)
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат