Преобразование тригонометрических выражений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы:

  • основные тригонометрические тождества
  • формулы приведения
  • формулы суммы и разности аргументов
  • формулы двойного аргумента
  • формулы тройного аргумента
  • формулы половинного аргумента
  • формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение
  • формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность)

Формулы сложения и вычитания

Расстояние между двумя точками на плоскости

Задача:

На плоскости даны две точки Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Найти расстояние АВ между ними.

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

На рис. 125 изображен случай, когда Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Мы же будем вести рассуждения, справедливые для любого случая расположения точек A и В. Заметим, что Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСВ имеем

Преобразование тригонометрических выражений

или

Преобразование тригонометрических выражений

Так как Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений, то

Преобразование тригонометрических выражений

откуда имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Найти расстояние между точками А (7, —2) и В (4, — 6).

Решение:

По формуле (114.1) имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Найти расстояние между точками С (2, —1) и D (3, 1).

Решение:

По формуле (114.1) имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Косинус суммы и разности двух аргументов

а) Косинус разности. Предположим, что углы Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений удовлетворяют следующим двум условиям:

Преобразование тригонометрических выражений

На рис. 126 изображены углы Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Точки А, В и С лежат на единичной окружности (OA = OB = ОС = 1). Заметим, что Преобразование тригонометрических выражений.

Преобразование тригонометрических выражений

Кроме системы координат Оху будем рассматривать еще новую систему координат Ох’у’, полученную из старой поворотом на угол Преобразование тригонометрических выражений.

В дальнейшем будем использовать тот факт, что расстояние ВС между точками В и С, вычисленное в старой системе координат Оху и в новой системе координат Ох’у’, будет одинаково.

В системе координат Оху точка В имеет координаты Преобразование тригонометрических выражений, а точка С — координаты Преобразование тригонометрических выражений. По формуле (114.1) имеем

Преобразование тригонометрических выражений

В системе координат Ох’у’ точка В имеет координаты (1, 0), а точка С — координаты Преобразование тригонометрических выражений. По формуле (114.1) найдем

Преобразование тригонометрических выражений

Приравняв правые части формул (115.1) и (115.2), получим выражение для косинуса разности двух углов:

Преобразование тригонометрических выражений

Мы доказали теорему:

Косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса первого угла на синус второго.

Заметим, что ограничения, наложенные на углы Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений условиями 1) и 2), можно снять. В самом деле, допустим, что снято ограничение Преобразование тригонометрических выражений; Преобразование тригонометрических выражений, налагаемое на углы Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений условиями 1), и мы имеем: Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений, где k, m = 0, ±1, ±2, … , или Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Положив Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений, получим Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Без ограничения общности будем считать, что Преобразование тригонометрических выражений. (Ниже будет показано, что условие 2) не существенно.)

Итак, углы Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений, удовлетворяют условиям 1) и 2), при которых была доказана теорема. Следовательно,

Преобразование тригонометрических выражений

Подставив вместо Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений их значения, получим

Преобразование тригонометрических выражений

Воспользовавшись периодичностью синуса и косинуса, придем к формуле (115.3). Мы показали, что условие 1) не существенно.

Допустим теперь, что, вопреки условию 2), Преобразование тригонометрических выражений, т. е. Преобразование тригонометрических выражений. Воспользовавшись четностью косинуса, будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Итак, доказана общность формулы (115.3), т. е. ее справедливость при любых углах Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений.

б) Косинус суммы. Так как формула (115.3) справедлива для любых двух углов Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений, то, заменив в ней Преобразование тригонометрических выражений на Преобразование тригонометрических выражений, получим

Преобразование тригонометрических выражений

Воспользовавшись четностью косинуса и нечетностью синуса, будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Мы доказали теорему:

Косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса первого угла на синус второго.

Пример:

Вычислить Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Преобразование тригонометрических выражений

Формулы (115.3) и (115.4), как и все выводимые в дальнейшем соотношения для тригонометрических функций, сохраняют свою силу и для тригонометрических функций числового аргумента. Вообще, в дальнейшем мы уже не будем всякий раз указывать, как понимается аргумент тригонометрической функции (как угол или как число).

Синус суммы и разности двух аргументов

а) Синус суммы. Воспользовавшись формулой приведения (105.2), будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

К правой части последнего равенства применим формулу (115.3):

Преобразование тригонометрических выражений

Итак,

Преобразование тригонометрических выражений

Мы доказали теорему:

Синус суммы двух аргументов равен произведению синуса первого аргумента на косинус второго плюс произведение косинуса первого аргумента на синус второго.

б) Синус разности. Выводится формула

Преобразование тригонометрических выражений

и формулируется соответствующая теорема.

Пример:

Вычислить sin 105°.

Решение:

Преобразование тригонометрических выражений

Тангенс суммы и разности двух аргументов

а) Тангенс суммы. При всех допустимых значениях аргументов Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений имеет место формула

Преобразование тригонометрических выражений

Доказательство:

Па основании формул (116.1) и (115.4) имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Разделив почленно числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части, на произведение cosaeosp (мы предполагаем, что оно отлично от нуля), получим (117.1).

б) Тангенс разности. Аналогично можно вывести формулу

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Вычислить tg 105°.

Решение:

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Вычислить Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Преобразование тригонометрических выражений

О формулах сложения для нескольких аргументов

Если возникает необходимость найти тригонометрическую функцию трех (или более) слагаемых, то это можно сделать, последовательно применив выведенные в пп. 115—117 формулы. Например:

Преобразование тригонометрических выражений
Преобразование тригонометрических выражений

и

Преобразование тригонометрических выражений

Формулы для двойного и половинного аргумента

Выражение Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений через степени Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений

119. Тригонометрические функции двойного аргумента. Положив в формулах (116.1), (115.4) и (117.1) Преобразование тригонометрических выражений, мы получаем следующие формулы:

Преобразование тригонометрических выражений

Синус двойного аргумента равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного аргумента.

Преобразование тригонометрических выражений

Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Упростить выражение

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Мы уже решали этот пример в п. 99. Используя формулы (99.9), (99.10) и (119.1), имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Подставив (119.5) и (119.6) в (119.4), получаем

Преобразование тригонометрических выражений

Замечание:

Формулы (119.5) и (119.6) можно получить и так:

Преобразование тригонометрических выражений

Формулы (119.1) — (119.3) можно использовать для любого аргумента Преобразование тригонометрических выражений, считая его двойным для аргумента Преобразование тригонометрических выражений. Например:

Преобразование тригонометрических выражений

и т. д.

Пример:

Упростить выражение Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Умножим числитель и знаменатель на tg(a/2) и заменим tga по формуле (119.9), тогда получим

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Доказать, что

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Заметим, что

Преобразование тригонометрических выражений

Преобразуя левую часть тем же способом и далее, получим последовательно

Преобразование тригонометрических выражений

Тождество доказано.

Выражение через степени при натуральном числе

Выражение Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений через степени Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений при натуральном числе n.

Случай, когда n = 2, дан формулами (119.1), (119.2). Выразим теперь Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений и вообще Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений через Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Укажем на два способа получения соответствующих формул. Покажем, например, как получаются формулы для Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений.

Первый способ. Представляем Преобразование тригонометрических выражений в виде Преобразование тригонометрических выражений и используем формулу (116.1), а затем используем формулы (119.1) и (119.2):

Преобразование тригонометрических выражений

Итак,

Преобразование тригонометрических выражений

В правую часть формулы (120.1) входят sin а и cos а; заменив Преобразование тригонометрических выражений на Преобразование тригонометрических выражений, придем к следующей формуле:

Преобразование тригонометрических выражений

которая содержит в правой части только степени sin а. Аналогичные формулы можно получить для cos За:

Преобразование тригонометрических выражений

Заметим, что формулы (120.1) и (120.2) являются частным случаем формулы (118.1), когда в последней Преобразование тригонометрических выражений. Формулы же (120.3) и (120.4) — частный случай формулы (118.2).

Второй способ. Воспользуемся результатами, полученными в алгебре при изучении комплексных чисел. На основании формулы Муавра (п. 17)

Преобразование тригонометрических выражений

для случая, когда n = 3, имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Теперь из равенства

Преобразование тригонометрических выражений

отделяя (и соответственно приравнивая) действительную и мнимую части, получим формулы

Преобразование тригонометрических выражений

и

Преобразование тригонометрических выражений

В общем случае для получения sin na и cos na можно поступать также двумя способами: либо применять последовательно теоремы сложения (первый способ), либо пользоваться формулой Муавра (второй способ).

Пример:

Упростить выражение

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Применив формулы (120.1) и (120.3), получим

Преобразование тригонометрических выражений

В конце решения примера мы воспользовались формулами (119.2), (99.1) и (119.1).

Тригонометрические функции половинного аргумента

Часто бывает необходимо, зная тригонометрические функции аргумента Преобразование тригонометрических выражений, найти тригонометрические функции аргумента Преобразование тригонометрических выражений. Выведем соответствующие формулы. Мы имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Присоединим к этой формуле основное тригонометрическое тождество:

Преобразование тригонометрических выражений

Сложив почленно (119.8) и (121.1), получим

Преобразование тригонометрических выражений

Вычитая (119.8) из (121.1), получим

Преобразование тригонометрических выражений

Из тождеств (121.2) и (121.3) соответственно имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Разделив почленно тождество (121.3) на (121.2), приходим к тождеству

Преобразование тригонометрических выражений

Из последнего тождества имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Применяя формулы (121.4), (121.5) и (121.7), следует всякий раз заботиться о знаке, который нужно взять перед радикалом.

Для вычисления tg (а/2) могут быть использованы и формулы, выражающие tg (a/2) через cos а и sin а рационально. Выведем эти формулы:

Преобразование тригонометрических выражений

Итак,

Преобразование тригонометрических выражений

Так как всегда Преобразование тригонометрических выражений (формула (121.8) имеет смысл только при 1 + cos a > 0), то из (121.8) можно заключить, что знак Преобразование тригонометрических выражений во всех случаях совпадает со знаком sin а.

Преобразование тригонометрических выражений

Итак,

Преобразование тригонометрических выражений

Из последней формулы также ясно, что знак Преобразование тригонометрических выражений совпадает со знаком sin а, ибо всегда Преобразование тригонометрических выражений.

Пример:

Найти sin 22°30′, cos 22°30 и tg 22°30 .

Решение:

Мы знаем, что Преобразование тригонометрических выражений. Следовательно, применяя формулы (121.5), (121.4) и (121.9), получим

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Дано: Преобразование тригонометрических выражений, где Преобразование тригонометрических выражений. Найти Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Сначала находим

Преобразование тригонометрических выражений

Так как Преобразование тригонометрических выражений, то Преобразование тригонометрических выражений, a Преобразование тригонометрических выражений.

Применяя формулы (121.5), (121.4) и беря в них радикалы с соответствующими знаками, получим

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Доказать тождество

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Так как ctg а = cos a/sin а, то достаточно доказать, что

Преобразование тригонометрических выражений

На основании формул приведения и (99.2) имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Применяя формулу (121.2), получим

Преобразование тригонометрических выражений

Далее получаем

Преобразование тригонометрических выражений

(Мы применили сначала формулу (119.1), приняв за данный аргумент Преобразование тригонометрических выражений, а за удвоенный аргумент Преобразование тригонометрических выражений, а затем формулу приведения (105.1).) Следовательно, тождество доказано.

Выражение основных тригонометрических функций аргумента a через tg (a/2)

Иногда требуется основные тригонометрические функции (sin a, cos a, tg a и ctg а) выразить рационально через tg (a/2). Покажем, например, как это делается для sin а. Используя тождества

Преобразование тригонометрических выражений

можно писать

Преобразование тригонометрических выражений

Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части последнего равенства, почленно на Преобразование тригонометрических выражений, получим

Преобразование тригонометрических выражений

Используя тождество Преобразование тригонометрических выражений, можно доказать, что

Преобразование тригонометрических выражений

Соответствующая формула для tg a приводилась нами в п. 119:

Преобразование тригонометрических выражений

Зная tg a можно получить формулу

Преобразование тригонометрических выражений

Замечание. Формулы (122.1)—(122.4) имеют смысл для всех значений аргумента Преобразование тригонометрических выражений, кроме Преобразование тригонометрических выражений, где n — целое число.

Пример:

Дано Преобразование тригонометрических выражений. Найти sin a, cos a и tg a.

Решение:

На основании формулы (122.1) имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Аналогично Преобразование тригонометрических выражений. tg a уже проще искать так: Преобразование тригонометрических выражений.

Пример:

Вычислить Преобразование тригонометрических выражений, если Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

На основании формул (122.1) и (122.2) находим

Преобразование тригонометрических выражений

Далее,

Преобразование тригонометрических выражений

Преобразование в сумму выражений

Преобразование в сумму выражений вида Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений

Основные формулы. Вернемся к формулам (116.1) и (116.2):

Преобразование тригонометрических выражений

Сложив эти тождества почленно и разделив на 2, получим

Преобразование тригонометрических выражений

Выполнив аналогичные действия с формулами (115.3) и (115.4):

Преобразование тригонометрических выражений

получим

Преобразование тригонометрических выражений

Вычтем из (115.3) почленно (115.4) и разделим на 2; получим

Преобразование тригонометрических выражений

Примеры:

Иногда при решении примеров, имея произведения тригонометрических функций, например функций аргументов Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений, бывает полезно перейти к полусуммам или к полуразностям соответствующих тригонометрических функций.

Пример:

Упростить

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Мы решали этот пример в п. 120, используя формулы (120.1) и (120.3) для sin 3a и cos 3a. Покажем теперь, как можно этот же пример решить, используя формулу (123.1). Заметим, что

Преобразование тригонометрических выражений

Используя только что полученные соотношения, будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

(В конце решения примера мы воспользовались формулами п. 119.)

Пример:

Упростить

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Преобразовав произведение, стоящее в знаменателе, получаем

Преобразование тригонометрических выражений

Знаменатель преобразуем при помощи формулы приведения

Преобразование тригонометрических выражений

Числитель же преобразуем так:

Преобразование тригонометрических выражений

Тогда

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Вычислить А = sin20°sin40°sin80°. Решение. Заметим, что

Преобразование тригонометрических выражений

Далее,

Преобразование тригонометрических выражений

так как Преобразование тригонометрических выражений, а Преобразование тригонометрических выражений.

Преобразование в произведение сумм

вида Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений

125. Основные формулы. При вычислении различных выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью таблиц логарифмов и логарифмической линейки удобно иметь дело с произведениями, а не с суммами. Выведем ряд формул, которые позволяют от сумм переходить к произведениям.

а) Сумма синусов. Запишем формулу (123.1) в виде

Преобразование тригонометрических выражений

и положим в ней Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Заметим, что Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений; следовательно,

Преобразование тригонометрических выражений

Сумма двух синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов.

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

б) Разность синусов. Заменив в формуле (125.1) Преобразование тригонометрических выражений на Преобразование тригонометрических выражений, получим, учитывая нечетность синуса,

Преобразование тригонометрических выражений

Разность двух синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы их аргументов.

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

в) Сумма косинусов. Запишем формулу (123.2) в виде

Преобразование тригонометрических выражений

и положим в ней Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Мы уже видели, что Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений; следовательно,

Преобразование тригонометрических выражений

Сумма двух косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов.

Пример:

cos 52°30′ + cos 16°30′ = 2 cos 34°30′ cos 18°.

Пример:

cos0,8 + cos2,8 — 2cos1,8cos1.

г) Разность косинусов. Из формулы (123.3), аналогично предыдущему, получается формула

Преобразование тригонометрических выражений

Разность двух косинусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус обратной полуразности их аргументов.

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

cos 1,6 — cos 1,4 = —2 sin 1,5 sin 0,1.

д) Сумма тангенсов. Перейдя к синусам и косинусам, получим

Преобразование тригонометрических выражений

Итак,

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

е) Разность тангенсов. Заменив в формуле (125.5) Преобразование тригонометрических выражений на Преобразование тригонометрических выражений, будем иметь, учтя четность косинуса и нечетность тангенса,

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразовать по формуле (125.6) и вычислить, используя таблицу тригонометрических функций (приложение II),

tg 0,55 — tg 0,15.

Решение:

Преобразование тригонометрических выражений

В нашей таблице нет значений функций для аргументов 0,55 и 0,15, поэтому, воспользовавшись формулой (123.2), перейдем к полусумме косинусов, но уже от аргументов, которые имеются в таблице:

Теперь имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразование тригонометрических выражений

Замечание:

Последние две формулы (125.5) и (125.6) имеют смысл для аргументов Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений, отличных от Преобразование тригонометрических выражений, где n — целое число.

Примеры:

Пример:

Преобразовать в произведение выражение Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Заменив Преобразование тригонометрических выражений по формуле приведения на Преобразование тригонометрических выражений, перейдем к сумме косинусов и воспользуемся формулой (125.3):

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразовать в произведение Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Перейдя к Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений, получим

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Привести к виду, удобному для логарифмирования,

Преобразование тригонометрических выражений

Peшeние:

Заменив ctg 60° по формуле приведения на tg 30° и воспользовавшись формулой (126.1), получим

Преобразование тригонометрических выражений

Далее, будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Последнее выражение можно упростить, если заметить, что Преобразование тригонометрических выражений, а sin 80° = cos 10°. Теперь будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Привести к виду, удобному; для логарифмирования,

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Воспользовавшись формулой (125.3), получим

Преобразование тригонометрических выражений

Согласно формуле (120.4)

Преобразование тригонометрических выражений

откуда

Преобразование тригонометрических выражений

и мы имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Доказать тождество

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Заметим, что Преобразование тригонометрических выражений (см. (121.2)) и Преобразование тригонометрических выражений. После этого преобразуем левую часть предполагаемого тождества:

Преобразование тригонометрических выражений

Следовательно, наше тождество доказано. Мы исключили из рассмотрения те значения аргумента а, при которых выражение Преобразование тригонометрических выражений или, что то же самое, Преобразование тригонометрических выражений равно нулю.

Пример:

Проверить, что tg 9°—tg 27° — tg 63° + tg 81° = 4.

Решение:

Заменив по формуле приведения tg 81° на ctg , а tg 63° на ctg 27° и воспользовавшись формулой (126.1), получим

Преобразование тригонометрических выражений

Заметив, что cos 36° = sin 54°, мы приходим к равенству 4 = 4. Итак, tg 9°—tg 27° — tg 63° + tg 81° = 4 .

Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента

Некоторые суммы бывает возможно свести к произведениям, если соответствующим образом ввести вспомогательный аргумент. Проиллюстрируем этот прием на отдельных примерах.

Преобразование в произведение выражения Преобразование тригонометрических выражений. Мы предполагаем, что Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Постараемся подобрать аргумент Преобразование тригонометрических выражений и положительный множитель Преобразование тригонометрических выражений так, чтобы было

Преобразование тригонометрических выражений

Возведя в квадрат обе части равенств (127.1) и сложив полученные равенства почленно, будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

откуда Преобразование тригонометрических выражений и

Преобразование тригонометрических выражений

(В качестве Преобразование тригонометрических выражений мы берем арифметическое значение корня.) После этого вспомогательный аргумент Преобразование тригонометрических выражений можно найти из соотношений

Преобразование тригонометрических выражений

Теперь будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Итак,

Преобразование тригонометрических выражений

Формулу (127.4) можно получить и так:

Преобразование тригонометрических выражений

Положив теперь

Преобразование тригонометрических выражений

мы придем к формуле (127.4).

Замечание:

Тот факт, что такой аргумент Преобразование тригонометрических выражений существует, доказан в п. 100 Преобразование тригонометрических выражений.

Пример 1. Представить в виде произведения выражение Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Здесь Преобразование тригонометрических выражений, Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений. Следовательно,

Преобразование тригонометрических выражений

Теперь полагаем

Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений.

В качестве аргумента Преобразование тригонометрических выражений можно взять, например, Преобразование тригонометрических выражений. Окончательно имеем

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Представить в виде произведения выражение Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

В этом примере а = 1 и b = 1, следовательно, Преобразование тригонометрических выражений. Теперь поступаем, как в общем случае:

Преобразование тригонометрических выражений

Положим Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений.

В качестве аргумента Преобразование тригонометрических выражений можно взять, например, Преобразование тригонометрических выражений. После этого получим

Преобразование тригонометрических выражений

Преобразование в произведение выражений Преобразование тригонометрических выражений и Преобразование тригонометрических выражений при Преобразование тригонометрических выражений.

1) Рассмотрим выражение Преобразование тригонометрических выражений. Запишем его следующим образом:

Преобразование тригонометрических выражений

Так как, по предположению, Преобразование тригонометрических выражений, то можно положить Преобразование тригонометрических выражений. Теперь будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразовать в произведение Преобразование тригонометрических выражений.

Решение:

Преобразование тригонометрических выражений

Положим Преобразование тригонометрических выражений. В качестве Преобразование тригонометрических выражений можно, например, взять Преобразование тригонометрических выражений, и мы получим

Преобразование тригонометрических выражений

2) Рассмотрим выражение Преобразование тригонометрических выражений. Запишем его следующим образом:

Преобразование тригонометрических выражений

Так как, по предположению, Преобразование тригонометрических выражений, то можно положить Преобразование тригонометрических выражений. Теперь будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразовать в произведение

Преобразование тригонометрических выражений

Решение:

Преобразование тригонометрических выражений

Положим Преобразование тригонометрических выражений. В качестве Преобразование тригонометрических выражений можно, например, взять Преобразование тригонометрических выражений, и мы получим

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразовать в произведение Преобразование тригонометрических выражений. Решение.

Преобразование тригонометрических выражений

Положим Преобразование тригонометрических выражений. В качестве Преобразование тригонометрических выражений можно, например, взять Преобразование тригонометрических выражений, и мы будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Преобразование в произведение выражения Преобразование тригонометрических выражений. Рассмотрим выражение Преобразование тригонометрических выражений, где Преобразование тригонометрических выражений. Запишем его следующим образом:

Преобразование тригонометрических выражений

Так как тангенс изменяется в пределах от Преобразование тригонометрических выражений до Преобразование тригонометрических выражений, то при любых а и b можно положить Преобразование тригонометрических выражений, и мы получим

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразовать в произведение Преобразование тригонометрических выражений. Решение.

Преобразование тригонометрических выражений

Положим Преобразование тригонометрических выражений. В качестве Преобразование тригонометрических выражений можно, например, взять Преобразование тригонометрических выражений, и мы будем иметь

Преобразование тригонометрических выражений

Пример:

Преобразовать в произведение Преобразование тригонометрических выражений. Решение.

Преобразование тригонометрических выражений

Положим Преобразование тригонометрических выражений. В качестве Преобразование тригонометрических выражений можно, например, взять Преобразование тригонометрических выражений, и мы получим

Преобразование тригонометрических выражений

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат